TEMA 2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS
PRÁCTICAS
Dr. Alberto Gutiérrez B.
Universidad Nacional Nacional San Luis Gonzaga de Ica Departamento Departamento de Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales – Tema Tema 2
SERIES DE POTENCIAS PRÁCTICA 2.1 ------------------------------------------------------------------------------Alberto Gutiérrez Borda Email:
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En los ejercicios del 1 al 30, determinar el intervalo de convergencia de las series de potencias:
∑ 1. √ 3. ∑ 5. ∑ 7. ∑ √ 9. ∑ √ 11. ∑ 13. ∑ √ 15. ∑ √ 17. ∑ ∑ 19. 21. ∑ 23. ∑ 25. ∑ 27. ∑ 29. ∑
∑ 2. 4. ∑ 6. ∑ 8. ∑ 10. ∑ 12. ∑ 14. ∑ 16. ∑ 18. ∑ 20. ∑ 22. ∑ 24. ∑ 26. ∑ 28. ∑ 30. ∑
En los ejercicios del 31 al 54, desarrollar en series de potencias de x las x las siguientes funciones, indicando en qué intervalos son válidos los desarrollos:
33. 35. 37. 39. √ 31.
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34. 36. 38. ( ( √ ) 40. 32.
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42. 43. 44 45. 46. 47. 48. 49. 50. , con 51. (serie binómica) 52. 53. 54. √ 55. Hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencia ∑ . Probar que en ese 41.
intervalo.
56. Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie en el intervalo. Hallar la suma de la serie
. ∑
y sumarla ∑
57. Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie
y sumarlo en ∑
. ∑ 58. Encontrar la única serie de potencias ∑ con radio de convergencia c onvergencia no nulo que cumple . Identificar esta el intervalo abierto. Hallar la suma de la serie
función.
59. Hallar el dominio de convergencia de la serie
.
∑
60. Desarrollar en serie de potencias de x la función,
y probar probar que su su suma es
, siendo ∫
, determinar el radio y el intervalo de convergencia de la serie. 61. Desarrollar en serie de potencia de las siguientes funciones, indicando en que intervalos son válidos los desarrollos: i) . ii) √ iii) iv) 62. Sea ∫ √ , para ]. Desarrollar f en serie de potencias de x (centrada en 0). Hallar el radio y el intervalo de convergencia del desarrollo. . Hallar Dr. Alberto Gutiérrez Borda Email:
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SOLUCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS ALREDEDOR 3
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DE PUNTOS ORDINARIOS PRÁCTICA 2.2 ------------------------------------------------------------------------------Alberto Gutiérrez Borda Email:
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2. En los problemas de a) a h), encuentre la solución en series de potencias. Determinar el radio de convergencia de la serie resultante, identifique la solución en términos de funciones elementales, a) , e) , b) , f) , c) , g) ,
,
h) ,
d) 3. En los problemas de a) hasta n) resuelva cada ecuación diferencial utilizando series de potencias. a) , h) , b) i) , c) j) , d) k) , e) l) , f) m) ,
g) n) . 4. En los problemas de a) a l) encuentre para cada ecuación diferencial dos soluciones linealmente independientes en serie de potencia en torno al punto ordinario . a) , g) , b) , h) , c) , i) , d) , j) , e) , k) , f) , l) .
En los problemas del 4 al 15, usar el método de las series de potencias para resolver la ED dada, sujeta a las condiciones iniciales que se indican:
8. 9. 10. 11. 5. 6. 7.
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12. 13. 14. 15. 16.
En los problemas de 16 y 17, aplicando series de potencia, resuelva las ecuaciones diferenciales, identifique la solución en particular en términos de funciones elementales conocidas:
17. con las condiciones iniciales, 18. con las condiciones condiciones iniciales, 19. El método de las series de potencias, puede también usarse cuando los coeficientes no son polinomios. En los problemas a) a d), encuentre dos soluciones en series de potencia en torno al punto ordinario . a) c) b) d) 20. En los problemas de a) a b). Use el método de las series de potencia para resolver las ecuaciones homogéneas. a) b)
diferencial ,
21. Dada la ecuación encontrar la solución general entorno de 1. 22. Halle la solución por medio de un desarrollo en serie de potencia de (x – 1) 1) de la ecuación diferencial . 23. Establezca la serie binomial por medio de los siguientes pasos: satisface el problema con condición inicial a) Demuestre que inicia l . 24. Mediante la serie de Taylor, resuelva el problema . 25. Mediante la serie de Taylor determine por lo menos los cuatro primeros términos , y(0) distinto de cero del problema de valor inicial y(0) = 0. 26. Considere las ecuaciones a), b) y c), determine sus puntos singulares (reales o complejos). Encuentre la solución general alrededor de x = x = 0 y el intervalo máximo donde está definida. a) ,
b)
c)
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R.: Puntos singulares: ; solución general ∑ , intervalo: . , R.: Puntos singulares no tiene; solución general , intervalo: . ∑ . Dr. Alberto Gutiérrez Borda
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, intervalo: . ∑ 27. Considere para r constante constante la ecuación diferencial , a) Mediante el cambio de variable obtener la ecuación . R.: Puntos singulares no tiene; solución general
b) Encuentre la solución general de ambas ecuaciones. R.:
. ∑ . ∑
28. Resolver mediante la utilización de series de potencia las siguientes ecuaciones y problemas de condiciones iniciales de orden uno: a) d) b) e) c) . f) . 29. Resolver las siguientes ecuaciones directamente y mediante series de potencias y comparar los resultados.
a)
b)
c)
30. Demostrar que 0 es un punto regular de las siguientes ecuaciones y obtener su solución en series de potencias a) . d) .
b) . e) c) . f) 31. Clasificar los puntos singulares de las siguientes ecuaciones lineales: a) . e) b) . f) . . c) . g) d) . 32. Determinar la naturaleza del punto 0 de la ecuación en función del parámetro . 33. Halle la solución general de las siguientes ecuaciones, usando desarrollos en serie de potencia en x en x y y exprese dichas soluciones mediante funciones elementales: a) ,
R.: . R.: , . R.: .
b) c) 34. En los problemas del (a) a (f), usando series de potencias, encuentre la solución general alrededor de x x = 0 de la ecuación deferencial. En cada caso determine el intervalo máximo donde está definida. (a) ,
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, (c) . 35. Encuentre la solución general de la ecuación en la forma , donde y son serie de potencias. R.: . 36. Halle la solución general de la ecuación en términos (b)
de una serie de potencias alrededor de t = = 0 ¿puede identificar esta serie en término de funciones elementales?
R.:
.
37. Halle los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y determine si son regulares. Suponga que es constante. a) , d) , b) , e) , c) , f) .
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALREDEDOR DE UN PUNTO SINGULAR REGULAR PRÁCTICA 2.3 ------------------------------------------------------------------------------Alberto Gutiérrez Borda Email:
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En los problemas de 1 a 11. Halle los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales la solución general de la ecuación diferencial, determine si son regulares. Suponga que es constante: 1. , 2. , 3. , 4. . 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. En los ejercicios del 12 a 13, encuentre la ecuación indicial y los exponentes en la singularidad de la ecuación diferencial: 12. .
13. 14. Halle la solución general de siendo . 15. Dada la ecuación , encuentre todas las soluciones de la , con . Si es posible escríbalas en términos de forma ∑ funciones elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental? 16. Hallar todas las soluciones de , de la forma ∑ . ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental? 17. Resolver . 18. Para la ecuación , halle la solución sobre que satisface . Muestre que no hay ninguna solución que satisfaga . En los problemas de 19 a 26, emplear el método de Frobenius para hallar las soluciones en torno de un punto singular regular: 19. .
20. , 21. , 8
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, , . 27. Considere las ecuaciones a) , R.: Puntos singulares: , solución general , intervalo: . ∑ b) , R.: Puntos singulares no tiene, solución general ∑ , intervalo: . ∑ c) . R.: Puntos singulares no tiene, solución general ∑ ∑ , intervalo: . 22. 23. 24.
25.
.
26.
.
Determine sus puntos singulares (reales o complejos). Encuentre la solución general alrededor de x = x = 0 y el intervalo máximo donde está definida.
28. Probar que las ecuaciones a) , b) , solo tiene una solucion en forma de serie de Frobenius alrededor del punto 0. 29. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de la forma de series de potencias alrededor de 0: a) , e) b) . f) . c) . g) . d) . 30. Demostrar que la posee 0 como punto singular y deducir que m = 0 y irregular. Introducir la función . Concluir que y(x) y(x) sólo converge en 0 y por lo tanto que no puede ser solución de dicha ecuación. 31. Resuelva las siguientes ecuaciones por método de Frobenius: a) ,
∑
b) c)
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R.: √ . R.: ( (√ ) ( (√ ). ∑ R.: √ Dr. Alberto Gutiérrez Borda
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d) e) f) g) h)
. R.: . R.: . , . R.: , R.: . . . R.: √ ∑
32. Demuestre que la solución general de la ecuación
es la
usando para ello el método de Frobenius. 33. Hallar la solución general de la ecuación en función
las proximidades del origen.
R.:
√ .
34. Dada la ecuación homogénea , encuentre dos soluciones independientes como series de Frobenius alrededor del punto x = x = 0. 35. En los problemas del a) a j), usando el método de Frobenius, encuentre la solución general alrededor de x x = 0 de la ecuación diferencial. En cada caso determine el intervalo máximo donde está definida. a) ,
∑ , intervalo: I = R.: | | ∑ IR.
b)
c)
d)
e) f)
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, R.: | | ∑ ∑ , intervalo: . , √ | | | | R.: ∑ ( ) ( ) ( ) ( √ √ √ √ √ √ ||√ ∑ ( (√ √ )(√ √ )√ √ , intervalo: {}. , R.: | | ∑ * +, intervalo: ⋃ . , R.: ∑ Dr. Alberto Gutiérrez Borda
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, intervalo: . ∑ g) , , R.: | | ∑ h) , + * R.: *| | ∑ +, donde * ∑ +, intervalo: {}. i) , j) . 36. Considérese la ecuación diferencial . Resuélvala de modo que las soluciones sean válidas para x arbitrario x arbitrario grande. 37. Halle la solución general de . 38. Dada la ecuación con , encuentre todas las soluciones de con . Si es posible escríbalas en términos de la forma ∑ funciones elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental? 39. Resolver , con . 40. Muestre que la sustitución transforma la ecuación en la ecuación . Determine si el punto s = 0 es ordinario, singular regular o singular no regular. Resuelva la ecuación. 41. Para la ecuación , halle la solución sobre que satisface . Muestre que no hay ninguna solución que satisfaga . 42. Considere las ecuaciones a) a e) para encontrar el polinomio indicial, sus raíces, la solución general alrededor de x = x = 0 y el intervalo máximo donde está definida. a) ,
b)
c)
R.: , solución general: ∑ , intervalo: I = IR. ∑ , R.: , solución general: || ∑ , intervalo: {}. , R.: , solución general: * + || ∑
Donde 11
, intervalo: {}. ∑
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d)
e)
, R.: , solución general: | | ∑ ∑ intervalo: . . R.: , solución general: , intervalo: || ∑ {}. Dr. Alberto Gutiérrez Borda Email:
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