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Ecuaciones Fundamentales de las Turbomáquinas 1. Intercambio de cantidad de Movimiento entre fluido y rotor (Euler):
El balance de energía permite computar las transformaciones de energía calórica en potencial y cinética. Para completar la cascada de energía es necesario poder evaluar la transformación de energía cinética en energía mecánica en el eje de la máquina. Esta transformación tiene lugar en las turbomáquinas en el rotor, conjunto de paletas o álabes de forma aerodinámica, montado en la periferia de un disco giratorio, sobre el cual atraviesa el fluido. La acción del fluido sobre las paletas causa la aparición de fuerzas sobre ellas. Estas fuerzas, actuando en la periferia del disco, causan un torque sobre el eje. El torque generado multiplicado por la velocidad de rotación del eje, resulta en la potencia mecánica entregada o recibida por el eje de la turbomáquina. La acción del fluido sobre el paletado es un intercambio de cantidad de movimiento que puede computarse por medio del Teorema de Euler (pronúnciese “oiler”) , consistente en la aplicación de la segunda ley de Newton a las paletas del disco giratorio Para deducir la fórmula de Euler reemplazamos el disco con su paletado por un volumen de
Figura 1: Volumen control control sobre el rotor de una turbomáquina indicando trayectoria trayectoria y velocidades de un diferencial de masa Consideramos flujo adiabático reversible (no viscoso ni tur bulento), velocidad del rotor ω constante, y caudal másico por unidad de área constante en la cara de entrada. El fluido posee componentes de velocidad axial, radial y tangencial, tanto a la entrada como a la salida. Es decir la velocidad absoluta de entrada es:
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Y la velocidad absoluta de salida es:
Siendo los subíndices: 1: entrada 2: salida a: axial r: radial t: tangencial
De éstas, sólo las componentes tangenciales tienen influencia en el torque. La segunda ley de Newton aplicada a una pequeña cantidad de masa dm que describe una trayectoria como se muestra en la figura, se escribe como:
Siendo τ el torque. Si indicamos con ºm el caudal torque por la velocidad angular (ω), obtenemos:
másico dm/dt, y con N la potencia, igual al
La velocidad tangencial del disco será U = r.ω , (no confundir con la energía interna) por lo que la fórmula de Euler resulta:
(1)
La potencia por unidad de caudal másico, o, lo que es lo mismo, la energía por unidad de masa, (en la jerga de compresores y bombas de lengua inglesa se lo denomina Head) resulta:
(2)
La cual es independiente del fluido de trabajo, por lo cual es válida para todo tipo de fluidos, compresibles (gas) e incompresibles (líquidos). Es decir turbomáquinas térmicas e hidráulicas. En palabras la ecuación de Euler resulta: “ La potencia entregada o cedida al eje de la turbomáquina es igual a la variación del momento
de la cantidad de movimiento que sufre el fluido entre la entrada y la salida multiplicado por la velocidad angular de la maquina”
Si el resultado es positivo se trata de un torque aplicado al eje y una potencia entregada al eje, por lo que se trata de una turbomáquina motriz (turbina). Si el resultado es negativo el torque se opone al movimiento del eje, se trata de una máquina a la cual se debe entregar energía mecánica, es decir, una máquina operada (compresor, bomba). En este último caso, por conveniencia, se invierten los signos de la ecuación de Euler para trabajar con cantidades positivas.
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2. Triángulo de velocidades
Independientemente de las componentes que posea la velocidad absoluta de fluido C, puramente radial, axial, tangencial o contenga las 3 componentes, se puede representar C y la velocidad tangencial del rotor U sobre un plano meridional de la turbomáquina a la entrada y salida del álabe.
Figura 2: Triángulo de velocidades general de entrada al rotor Interesa conocer la velocidad relativa entre fluido y rotor que llamaremos w, que representa la resta vectorial de estas dos, es decir:
(3)
Análogamente se puede representar el triángulo de velocidades a la salida del álabe del rotor, salvando que las componentes van a cambiar en función de si la turbomáquina es radial o axial. Aplicando el teorema del coseno al triángulo de velocidades a la entrada y a la salida respectivamente:
Del triángulo se observa que
Despejando entonces U Ct de ambas ecuaciones y se reemplaza en la ecuación (2) quedando:
(4)
Esta es la ecuación de Euler en función de las velocidades absoluta del fluido, la velocidad tangencial del rotor y la velocidad relativa entre fluido y rotor. 3. 1° Ley de la Termodinámica
Recordando que por conservación de energía en una turbomáquina en régimen permanente, la potencia es:
(5)
Nota: se desprecia la energía potencial y se considera la máquina adiabática.
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En turbomáquinas térmicas las velocidades alcanzadas por el fluido son cercanas o incluso superiores a la velocidad del sonido, por lo cual no es correcto despreciar el término de energía cinética. Definimos la entalpia absoluta ó de estancamiento (o remanso) como:
Además la temperatura de estancamiento es:
Igualando con la ecuación de Euler, obtenemos:
(6)
4. Turbomáquinas Axiales
Este tipo de máquinas poseen álabes móviles que giran solidarios al rotor y álabes fijos en el estator de la turbomáquina. Álabes móviles y fijos se encuentran dispuestos alternadamente y a la combinación de una hilera de álabes móviles y fijos, o al revés, se le denomina etapa. Las turbomáquinas pueden estar compuestas por múltiples etapas en serie. Para máquinas con reducido cambio en el radio medio del rotor se puede considerar U1=U2=U. Este caso corresponde a turbinas o compresores axiales donde el fluido circula en sentido principalmente axial.
Figura 3: Corte de compresor axial (izquierda); Álabes de un compresor axial (derecha) Aplicando esto a la ecuación (6) se desprende que el cambio en la entalpía absoluta del fluido (que representa la potencia específica generada o consumida) es debido principalmente al cambio en la velocidad tangencial del flujo. Esto conlleva a diseñar los álabes de formas adecuadas que permitan imponerle o absorber del fluido (que circula principalmente axial), velocidad tangencial (figura 3). La ecuación (6) para este caso queda:
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También es típico diseñar la turbomáquina de forma que las componentes axiales de las velocidades absolutas se mantengan constantes dentro del rotor, Ca1=Ca2, para mantener un caudal constante a lo largo de la turbomáquina y así evitar fluctuaciones. 5. Turbomáquinas radiales
En este tipo de máquinas, el fluido cambia de dirección en un ángulo de 90º (o próximo) siguiendo la forma del rotor. Así el rotor o el fluido es impulsado por la fuerza centrífuga que gobierna dentro del rotor. Los álabes móviles se encuentran solidarios al rotor que gira, mientras que en el estator puede o no contener álabes fijos. Nuevamente la combinación de una hilera de álabes móviles y fijos, o al revés, se denomina etapa. Para máquinas con importantes cambios en el radio medio del rotor (P.ej. Compresores centrífugos o turbinas radiales), el cambio en la entalpía absoluta es dado en gran medida por el cambio en el radio del rotor. Es decir, el efecto centrífugo genera la mayor parte del cambio en la entalpía del fluido o viceversa. Una gran velocidad tangencial del rotor U, incrementa las velocidades absolutas y relativas del fluido, por lo tanto no deben despreciarse otros efectos (efecto de difusor o tobera) que tienen lugar dentro del rotor y que se ven representados por la velocidad absoluta y relativa. La ecuación (6) para este tipo de máquinas queda completa:
En algunos compresores centrífugos, dependiendo del tipo de admisión que tenga, es posible considerar que la velocidad absoluta de entrada es netamente axial, con lo cual es posible considerar que C1t = 0 (componente tangencial de la velocidad absoluta nula)
Figura 4: Compresor centrífugo 6. Grado de reacción
Se define como el cociente entre el salto entálpico en el rotor, sobre el salto entálpico total de la etapa (rotor +estator).
(7)
σ=0 σ>0
Máquina de acción Máquina de reacción
En otras palabras indica, el porcentaje de efecto de difusión o reacción (tobera) que tienen los álabes del rotor en comparación con el obtenido en toda la etapa (rotor +estator).
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En caso de considerar ρ =
cte (no siempre se puede considerar esto) y proceso isoentrópico, el grado de reacción se convierte en el cociente de los saltos de presiones entre rotor y estator. Para un proceso isoentrópico se cumple:
Por lo tanto queda:
Integro para el rotor y también para un escalonamiento y obtengo:
y
Reemplazo en (7)
(8)
Esta deducción vale para turbomáquinas hidráulicas o en turbomáquinas térmicas donde el cambio de densidad en el escalonamiento puede despreciarse.
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