ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS
Ecuación de continuidad Esta ecuación es una consecuencia del principio de conservación de la masa aplicada a los fluidos en movimiento, y dice que: la cantidad de fluido que entra por la sección de un conducto es igual a la cantidad de fluido que sale por la otra sección, siempre y cuando no existan aportes o fugas, es decir, que el flujo sea permanente.
Línea de flujo Tubo de
Ecuación general de continuidad
Como el líquido que circula en el conducto es el mismo, entonces su densidad es constante y, por lo tanto, la ecuación anterior se simplifica de la siguiente manera:
Al producto del área por la velocidad se le llama gasto, el cual se denota con la letra
Q.
En donde: Q = Gasto, caudal o descarga (m3/s) V = Velocidad media del flujo (m/s) Vol = Volumen del flujo (m3) A = Área de la sección transversal del tubo (m2) t= tiempo que demora el flujo en pasar (segundos)
Ecuación de la energía La ecuación de la energía está fundamentada en la Ley de la conservación de la energía, “La energía no se crea ni se destruye, solamente se transforma”.
En todo sistema hidráulico existen tres tipos de energía: energía de posición, energía de presión y energía de velocidad, si se analizan se puede encontrar cada uno de los términos que integran la ecuación.
Energía cinética La ecuación de la energía cinética es:
……….(1)
La fórmula del peso es: W = mg Al despejar la masa se obtiene:
………..(2)
Sustituyendo 2 en 1
() ….. (3) Si se considera que W es un peso unitario, la ecuación 3 se simplifica a:
Carga o energía de velocidad Energía de presión Con base en la ecuación fundamental de la hidrostática podemos determinar este tipo de energía. P=γ*h
Al despejar h de la expresión anterior, se encuentra otro término de la ecuación de la energía.
Carga o energía de presión Energía potencial Para la determinación de la energía potencial de un cuerpo se multiplica el peso del cuerpo por una altura con respecto a un plano de referencia.
Como w se ha considerado unitario, se tiene: E=Z Z carga o energía de posición
Al sumar cada uno de los términos anteriores y aplicarlos de una sección a otra se obtiene:
•
La ecuación de Bernoulli relaciona la presión p, la rapidez de flujo v y la altura y de dos puntos 1 y 2 cualesquiera, suponiendo un flujo estable en un fluido ideal.
p1 g y1
1 2
p g y
2
v1
1 2
v
2
p2
g y2
1 2
constante
Ecuación de la cantidad de movimiento Esta ecuación nos permite determinar las fuerzas externas que intervienen sobre los flujos cuando éstos se aceleran, es decir, se determinan las fuerzas que las estructuras y límites sólidos aplican a los fluidos cuando cambian de dirección o rapidez. Estos límites o superficies sólidos son los de los conductos, los de los cuerpos sumergidos en el flujo y otros como las paletas de una rueda hidráulica o los álabes de una turbina. El conocimiento de tales fuerzas es indispensable para el diseño de soportes de cimentaciones, para tuberías y canales (llamados atraques), codos, reducciones, turbinas, aspas, propelas, ventiladores, etcétera.
2
v 2
Dónde: F = Fuerza generada por el flujo (N) ρ = Densidad del fluido (UTN/m3)
Q = Gasto que pasa por el conducto (m3/s) Vf = Velocidad final del flujo (m/s) Vi= Velocidad inicial del flujo (m/s)
Aplicando a las tres dimensiones:
Ecuación del momento de la cantidad de movimiento Formulación general: La ecuación de la cantidad de movimiento es:
∑ ∫ ̅ ∫ ̅ ̅ Recordemos que el momento de una fuerza F con respecto a un punto 0 es:
̅ Un vector perpendicular al plano definido por los vectores F y r; de módulo
F.r.sen ; de sentido normal al plano, saliendo. Hallemos
̅ para la formula anterior: ̅ ∫ ̅ ̅ ∫ ̅ ̅ ̅
Es decir, "el par ejercido por todas las fuerzas que actúan sobre el fluido dentro del vc, es igual a la suma de dos términos: La variación con el tiempo del momento de la cantidad de movimiento dentro del vc. El flujo saliente neto del momento de la cantidad de movimiento a partir del vc".
Para flujo permanente:
̅ ∫ ̅ ̅ ̅ Para la aplicación de esta fórmula en el plano (sólo se emplean módulos) recuérdese: sen 90° = 1
∑ ∫
Para un flujo permanente, incompresible y un volumen de control anular, como es el caso, de una bomba radial:
∑ ∑ ∫ ∫
∑ ∑ Es decir: "el flujo de momento de cantidad de movimiento que entra más la suma de los pares que actúan sobre el fluido, es igual al flujo del momento de cantidad de movimiento que sale".
