•
Título: A1 : ECUACIONES EN DIFERENCIAS CON APLICACIONES A MODELOS EN SISTEMAS DINÁMICOS
Profesores: Lic. Gustavo Adolfo Juarez – Lic. Silvia Inés Navarro Universidad: Nacional de Catamarca Propósito general del curso: Con éste curso se pretende exponer en forma sencilla y didáctica el cuerpo teórico que rodea la formulación, resolución y aplicación de las Ecuaciones E cuaciones en Diferencias. El propósito es estudiar una herramienta básica del análisis de los modelos dinámicos discretos, con aplicaciones a las Ciencias Física, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Ciencias Económicas, entre otras, y fortalecida en el Análisis Numérico mediante la simulación de modelos de la programación matemática. matemática. Se pretende dar un enfoque formal de las Ecuaciones en Diferencias, considerando que son una poderosa herramienta de la Matemática Discreta, en su afán de construir modelos en la Dinámica de Sistemas.
Prerrequisitos: Algebra elemental e intermedia. Precálculo. Conceptos de Algebra Lineal.
Listado de temas: Primera Clase: 1. Ecuaciones en Diferencias: Diferencias: clasificación, orden, solución. Ecuaciones Ecuaciones en Diferencias de primer orden. Ecuación en Diferencia de primer orden lineal con coeficiente constante. Diferencia finita. Segunda Clase: 2. Ecuaciones en Diferencias Lineales Lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Ecuaciones en Diferencias Lineales de orden superior. s uperior. 3. Condiciones iniciales. Problemas Problemas con valores iniciales. iniciales. Tercera Clase: 4. Sistemas de ecuaciones ecuaciones en diferencias lineales. lineales. Método de eliminación eliminación de sucesiones incógnitas. Sistemas de ecuaciones en diferencias lineales homogéneos y no homogéneos. 5. Ecuaciones en Diferencias como como Modelos Matemáticos Dinámicos Dinámicos Discretos. Discretos.
1
Primera Clase: Ecuaciones en Diferencias: clasificación, orden, solución. Dada una sucesión { x n } cuyos primeros términos son x0 , x1 , x 2 ,..... , presentamos como Ecuación en Diferencias a toda ecuación que relaciona relacion a términos de esa sucesión. Ejemplo Ilustrativo 1.1: Las siguientes son ecuaciones en diferencias: [1.1] x n + 2 + 5n x n +1 + n 2 x n = 2
[1.2] [1.3]
xn + 3 + 3 xn + 2 − 5 xn +1 + 4 xn = 0
x n+ 2 + cos( x n ) = 2n 3
x n +1 + ( x n ) =
1 2
[1.4]
█
Definición 1.1: Sea el número natural n, tal que el termino n-ésimo de una sucesión es
función de n, es decir x n
= x( n) ,
donde los términos siguientes x n +1 , x n + 2 ,... existen,
entonces llamamos Ecuación en Diferencias a toda ecuación que relaciona al término x n de la sucesión, la sucesión incógnita x n = x (n) y términos siguientes de la sucesión, representada por la forma F (n, x n , x n +1 , x n + 2 ,....) = 0 [1.5] Definición 1.2: El orden de una ecuación en diferencias es la diferencia entre el argumento n
más grande y el más pequeño que aparece en ella. Ejemplo Ilustrativo 1.2: Las ecuaciones [1.1] y [1.2] son de orden dos y tres
respectivamente. La ecuación [1.3] es de segundo orden, obsérvese que no tiene el término correspondiente x n +1 . Además la ecuación [1.4] representa a una ecuación de primer orden.
█
Definición 1.3: Una ecuación en diferencias se dice lineal de orden k , sii tiene la forma:
a k (n) xn + k + ... + a1 (n) xn +1 + a0 (n) xn = R(n) [1.6]
donde los coeficientes ak (n), a0 (n) son no nulos, y R(n) es una función de n. Cuando la sucesión incógnita se encuentra en una función no lineal, la ecuación se llama no lineal. Ejemplo Ilustrativo 1.3: De las ecuaciones en diferencias dadas en el ejemplo 1.1, son
lineales las dos primeras.
█
Definición 1.4: Una ecuación en diferencias lineal de orden k se dice homogénea sii R(n) es
nula. Caso contrario se dice no homogénea. Ejemplo Ilustrativo 1.4: De las ecuaciones en diferencias del ejemplo 1.1, sólo la ecuación
[1.2] dada es homogénea.
█
Así, dada una ecuación en diferencias, la incógnita es la sucesión solución que satisface tal igualdad, o sea: Definición 1.5: Una solución de una ecuación en diferencias será una sucesión de valores
para los cuáles se satisface la ecuación.
2
Primera Clase: Ecuaciones en Diferencias: clasificación, orden, solución. Dada una sucesión { x n } cuyos primeros términos son x0 , x1 , x 2 ,..... , presentamos como Ecuación en Diferencias a toda ecuación que relaciona relacion a términos de esa sucesión. Ejemplo Ilustrativo 1.1: Las siguientes son ecuaciones en diferencias: [1.1] x n + 2 + 5n x n +1 + n 2 x n = 2
[1.2] [1.3]
xn + 3 + 3 xn + 2 − 5 xn +1 + 4 xn = 0
x n+ 2 + cos( x n ) = 2n 3
x n +1 + ( x n ) =
1 2
[1.4]
█
Definición 1.1: Sea el número natural n, tal que el termino n-ésimo de una sucesión es
función de n, es decir x n
= x( n) ,
donde los términos siguientes x n +1 , x n + 2 ,... existen,
entonces llamamos Ecuación en Diferencias a toda ecuación que relaciona al término x n de la sucesión, la sucesión incógnita x n = x (n) y términos siguientes de la sucesión, representada por la forma F (n, x n , x n +1 , x n + 2 ,....) = 0 [1.5] Definición 1.2: El orden de una ecuación en diferencias es la diferencia entre el argumento n
más grande y el más pequeño que aparece en ella. Ejemplo Ilustrativo 1.2: Las ecuaciones [1.1] y [1.2] son de orden dos y tres
respectivamente. La ecuación [1.3] es de segundo orden, obsérvese que no tiene el término correspondiente x n +1 . Además la ecuación [1.4] representa a una ecuación de primer orden.
█
Definición 1.3: Una ecuación en diferencias se dice lineal de orden k , sii tiene la forma:
a k (n) xn + k + ... + a1 (n) xn +1 + a0 (n) xn = R(n) [1.6]
donde los coeficientes ak (n), a0 (n) son no nulos, y R(n) es una función de n. Cuando la sucesión incógnita se encuentra en una función no lineal, la ecuación se llama no lineal. Ejemplo Ilustrativo 1.3: De las ecuaciones en diferencias dadas en el ejemplo 1.1, son
lineales las dos primeras.
█
Definición 1.4: Una ecuación en diferencias lineal de orden k se dice homogénea sii R(n) es
nula. Caso contrario se dice no homogénea. Ejemplo Ilustrativo 1.4: De las ecuaciones en diferencias del ejemplo 1.1, sólo la ecuación
[1.2] dada es homogénea.
█
Así, dada una ecuación en diferencias, la incógnita es la sucesión solución que satisface tal igualdad, o sea: Definición 1.5: Una solución de una ecuación en diferencias será una sucesión de valores
para los cuáles se satisface la ecuación.
2
Ecuaciones en Diferencias de primer orden. Definición 1.6: Sean A1 (n), A2 (n) y B ( n) funciones conocidas tal que Ai (n) nunca se anulan en
el dominio de la variable n. Entonces se llama ecuación en diferencias de primer orden lineal de x n a la expresión: A1 (n) xn +1 + A2 (n) x n = B(n)
[1.7]
Si en particular B(n) es idénticamente cero, entonces se dice que la ecuación es homogénea . Si tanto A1 (n) como A2 (n) son constantes, se llama ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes. Al suponerse que A1 (n) ≠ 0 ,
podemos dividir por él ambos miembros de la ecuación
[1.7], quedando A2 ( n) A1 (n)
= − A(n) ,
B( n) A1 ( n)
= R ( n )
la ecuación [1.7] se convierte en [1.8]
xn+1 − A(n) x n = R( n)
siendo ésta la forma general reducida de las ecuaciones en diferencias de primer orden lineales. En éste trabajo sólo se estudiarán ecuaciones en diferencias lineales con coeficiente constante, por lo que usaremos como notación para las ecuaciones de primer orden la siguiente expresión: x n +1 − ax n = R ( n) con a ≠ 0 [1.9] Una sucesión solución de una ecuación en diferencias se dice general si contiene la constante arbitraria C . Para cada valor de la constante arbitraria la sucesión queda determinada de forma única, en tal caso la sucesión solución se dice que es solución particular de la ecuación en diferencias.
Sucesiones aritmética y geométrica Definición 1.7: Una sucesión se llama progresión aritmética sii un término cualquiera es
igual al anterior más una constante, llamada diferencia de la progresión. En símbolos:
x n +1 = x n + d , ∀n ≥ 0
[1.10]
Definición 1.8: Una sucesión se llama progresión geométrica sii un término cualquiera es
igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón. En símbolos: x n +1
= r .x n
,
[1.11]
∀n ≥ 0
█ En forma recurrente, podemos expresar a un cierto término de una sucesión aritmética o geométrica en función del primer término x0 = C . En efecto, consideremos primero una sucesión aritmética: arit mética: x1 = x 0 + b x 2 = x1 + b = x 0 + 2b
3
x3 = x 2 + b = x0 + 3b
... ....
......................
En general para el (n+1)-ésimo término, tenemos: [1.12]
x n = x0 + bn
En forma análoga para una sucesión geométrica resulta: x1 = ax0
x 2 = ax1 = a 2 x 0 3 x 3 = ax 2 = a x 0
.... ...................... Para el (n+1)-ésimo término se tiene:
x n = a n x 0
[1.13]
Luego las sucesiones pueden expresarse para un término arbitrario en función del primero según la siguiente notación, donde C es el término inicial x0 : Sucesión aritmética: {C + bn}
[1.14]
Sucesión geométrica:
[1.15]
Ca n
█ Así los términos x n de estos tipos de sucesiones son soluciones de dos ecuaciones en diferencias muy particulares, donde la diferencia y la razón de las progresiones se representarán por a y b, respectivamente: Ecuaciones en Diferencias x n +1 = x n + b , n =
Solución sucesión aritmética
0,1,2,...
x n +1 = ax n , n = 0,1,2,.....; a ≠ 0
[1.16]
sucesión geométrica [1.17]
Teorema 1.1: La solución general de la ecuación en diferencias lineal de primer orden homogénea con coeficiente constante x n +1 − ax n = 0 , n = 0,1,2 ,...., está dada por x n = C .a n donde a y C son constantes, con a ≠
0.
Teorema 1.2: La solución general de la ecuación en diferencias lineal de primer orden con coeficiente constante x n +1 − x n = b , n = 0,1,2,... está dada por x n = C + bn , donde b y C son
constantes. Si b = 0 , la sucesión solución es constante.
█ Ejemplo Ilustrativo 1.6: Hallar la solución de las siguientes ecuaciones en diferencias: a) x n+1 − 5 x n = 0 b) xn +1 + 3 x n = 0 c) 4 x n+1 − 5 xn = 0
4
Solución: Responden al teorema 1.1, por lo que debemos distinguir el valor del coeficiente a
en cada caso: a) La sucesión solución es x n = C 5 n b) La sucesión solución es xn = C ( −3) n c) Reescribiendo la ecuación: xn 1 − 5 x n 4 +
= 0 , así la sucesión solución es x n
5 = C 4
n
█ Ejemplo Ilustrativo 1.7: Hallar la solución de las siguientes ecuaciones en diferencias: c) xn+1 − xn = 0 a) xn+1 − x n = 2 b) 3 x n +1 − 3 x n = 5 Solución: Aplicando el teorema 1.2, las soluciones son:
a) x n
= C + 2n
b) xn
= C +
5 n 3
c)
x n = K
Sucesión geométrica modificada Se considera ahora la siguiente ecuación en diferencias, que se interpreta como una generalización de las presentadas en el parágrafo anterior, y se denomina Sucesión Geométrica Modificada, la mencionada es: [1.18] xn +1 − ax n = b , a ≠ 0, n = 0,1,2,.... Al igual que cuando hallamos como soluciones a las sucesiones aritméticas y geométricas procediendo en forma recurrente, buscaremos la forma general de la solución de [1.18]. Entonces tenemos: x1 = ax 0 + b 2
x 2 = ax1 + b = a x 0 + ( a + 1)b x3 = ax 2 + b = a 3 x 0 + (a 2 + a + 1)b
.... .................................. En general para el (n+1)-ésimo término, tenemos: n n x n = a x 0 + (1 + a + a 2 + .... + a −1 ).b
[1.19]
El coeficiente de b se reduce a: 1 − a n 1 + a + a 2 + .... + a n −1 = 1 − a si a ≠ 1 n si a = 1 Por lo que la solución de [1.18] se expresa como: a n x0 + 11−−aa b si a ≠ 1 [1.20] x n = + = 1 x bn si a 0 n
Si a=1, esta concuerda con el Teorema 1.2, siempre que el valor inicial sea C . Siendo distinto de 1 el valor de a se puede escribir
n x n = a x 0 −
b
b
+ 1− a 1− a
5
[1.21]
Haciendo x0
−
b
= C entonces x n = Ca n +
1− a Reescribiendo [1.20] nos queda
Ca n + 1−ba x n = x0 + bn
si
a ≠1
si
a =1
b
1− a
, a ≠1
[1.22]
Se verifica que la expresión [1.22] es solución general de [1.18] con una constante arbitraria C .
█
Ejemplo Ilustrativo 1.8: Resolver la ecuación x n +1 − 3 x n = 5 Solución: De acuerdo a la expresión [1.22], reconociendo las constantes resulta:
x n = C 3 − n
5 2
Ecuación en Diferencia de primer orden lineal con coeficiente constante. xn +1 − ax n = R ( n) con a ≠ 0
[1.23]
En efecto si R ( n) es constante esto concuerda con la ecuación [1.18]. Por otro lado, siendo x pn una solución particular de la ecuación [1.23], entonces una solución general de la ecuación [1.23] es [1.24] xn = Ca n + x pn Según la ecuación [1.24], el problema de resolver la ecuación [1.23] se reduce al de encontrar una solución particular de la ecuación dada. Existe un método para obtener soluciones particulares llamado método de los coeficientes indeterminados. En éste método, se supone primeramente una forma apropiada de la solución, sugerida por la forma de R( n) en la ecuación [1.23]. Ilustremos éste método con un par de ejemplos. Ejemplo Ilustrativo 1.9: Resolver la ecuación en diferencias xn+1 − 2 xn
= 3n + 1
Solución: La sucesión solución x n se expresa como la suma de la ecuación homogénea
asociada, xn+1 − 2 xn = 0 , cuya solución es x nh = C 2 n , más la solución particular x pn que se sugiere mediante el método de los coeficientes indeterminados como un polinomio lineal p x n = k 1 n + k 2 , según el segundo miembro de la ecuación. Entonces p p x n +1 − 2 x n = k 1 ( n + 1) + k 2 − 2(k 1 n + k 2 )
= k 1 n + k 1 + k 2 − 2k 1 n − 2k 2 = − k 1 n + k 1 − k 2
Comparando el coeficiente de n y el término independiente de esta expresión con los correspondientes de 3n+1, se tiene − k 1 k 1 − k 2
6
=3 =1
Con lo cuál se tiene k 1 = −3 y k 2 = −4 . Por lo tanto particular. Una solución general es x = C 2 − 3n − 4
x pn = −3n − 4 es
solución
n
n
█ Ejemplo Ilustrativo 1.10: Resolver x n +1 − x n = 4n + 3 Solución:
Una solución general es xn
2
= C + 2n + n
█ Por lo tanto si R(n) es un polinomio en n de grado r , es decir R(n) = Pr (n) , al aplicar el método de coeficientes indeterminados formamos otro polinomio Q (n) de igual grado con coeficientes desconocidos, que va ha determinar una solución particular de la ecuación [1.24] reemplazando x pn : Qr (n) si a ≠ 1 p [1.25] x n = n Q n si a = . ( ) 1 r r
en el primer miembro de [1.23] y comparando los coeficientes de esta expresión con los del polinomio dado.
█
Sea ahora R(n) de la forma α n Pr ( n);α ≠ 0 . Haciendo y n
−n
= α
, entonces:
xn
x n+1 − a xn = α n +1 { y n+1 − α a y n }
Dividiendo luego por α
n +1
se obtiene: y n +1 − α a y n
1 = α Pr (n)
Se puede obtener una solución particular de esta ecuación mediante el Método de Coeficientes Indeterminados. Por consiguiente el método de solución para la sucesión original x n , se resume como sigue: Una solución particular de x n +1
− ax n = α Pr (n ) n
[1.26]
se puede determinar resolviendo α n Qr (n) si α ≠ a x = n nα Qr (n) si α = a p n
con lo cuál resulta xn
=
Ca n + α n Qr (n) si α ≠ a n n Ca + nα Qr (n) si α = a
[1.27]
[1.28]
Esta regla es una generalización de lo visto hasta ahora. Si en particular n = 1, R(n ) se reduce a Pr ( n) y si r = 0, R( n) se reduce a k α . Ejemplo Ilustrativo 1.11: Solución: Resultando x pn
Resolver x n
=−
+1
− 5xn =
3n
1 n , entonces la sucesión solución es 3 2
7
x n = C 5 − n
1 n 3 2
█
Ejemplo Ilustrativo 1.12:
Resolver x n +1 − 5 x n
=
3 n (2n + 4 )
Solución: la sucesión solución es
7
xn = C 5 n + 3 n − n − 2
█ Diferencia finita. La expresión ecuación en diferencias hace suponer una ecuación en la cuál intervienen diferencias, por lo cuál hasta aquí parece poco justificado éste nombre. Sin embargo de las ecuaciones en diferencias que se identifican a través de las sucesiones aritméticas y geométricas respectivamente, resulta que ellas se pueden reescribir como: x n +1 − x n = b
[2.1]
x n+1 − x n = ( a − 1) x n
[2.2]
donde los primeros miembros son iguales. Esta es una función que representa la variación de x n cuando la variable n aumenta en 1, y se le llama diferencia ó diferencia finita de x n . Definición 2.1: Se llama diferencia o diferencia finita de una sucesión x n , a la función que
evalúa la variación entre dos términos consecutivos de dicha sucesión. Se denota por ∆ xn , y por lo tanto: ∆ x n = x n +1 − x n [2.3] Las sucesiones aritméticas y geométricas dadas en las ecuaciones [2.1] y [2.2] se reescriben en términos de la diferencia finita como: [2.4] ∆ x n = b [2.5]
∆ x n = (a − 1) x n
Estas ecuaciones representan a dos modelos fundamentales de crecimiento, cuando sus términos son no negativos. Esos modelos se denominan crecimiento aritmético y geométrico y los presentaremos en detalle en los parágrafos 7.2 y 7.3.
█
2
Ejemplo Ilustrativo 2.1: Sea la sucesión x n = 3n + 5n + 2 , hallar su diferencia finita. Solución: ∆ x n = x n +1 − x n =
{3(n + 1)2 + 5(n + 1) + 2 }− { 3n 2 + 5n + 2 } = 6n + 8 █
De la definición 2.1 se deduce: Teorema 2.1: i) ∆C = 0 , si C es constante. ii) ∆n = 1 iii) ∆a n = (a − 1) an Demostración:
i)
Siendo la sucesión constante xn = C , entonces ∆ x n = xn +1 − xn
8
= C − C =
0
ii) iii)
Para la sucesión xn = n se tiene: ∆ xn = xn 1 − xn Siendo la sucesión x n = a n entonces resulta
= n +1− n = 1
+
∆ x n = x n +1 − x n = a
n +1
−a
n
= (a − 1) a
n
█ De las identidades anteriores y de la definición 2.1, se presentan algunas Reglas para Calcular Diferencias:
1.-La diferencia de un múltiplo constante de una sucesión es igual al múltiplo constante de la diferencia de tal sucesión: ∆ (ax n ) = a∆x n 2.-La diferencia de la suma (o diferencia) de dos sucesiones es igual a la suma (o diferencia) de la diferencia de tales sucesiones: ∆( x n ± y n ) = ∆ x n ± ∆y n 3.-La diferencia de la combinación lineal de dos sucesiones es igual a la combinación lineal de las diferencia de esas sucesiones: ∆(axn + by n ) = a∆ x n + b∆y n
4.-La diferencia del producto de dos sucesiones es igual a la suma del producto de una sucesión por la diferencia de la segunda más el término n+1-ésimo de la otra sucesión multiplicado por la diferencia de la primera sucesión: ∆( x n y n ) = x n ∆ y n
+ y n +1 ∆ x n = x n +1 ∆ y n + y n ∆x n
5.-La diferencia del cociente de una sucesión por otra no nula está dada por: xn y n ∆ xn − xn ∆ y n ∆ y = y n y n+1 n Ejemplo Ilustrativo 2.2: Usando el teorema 2.1 y las Reglas de Cálculo de Diferencias,
hallar las diferencias finitas de las siguientes sucesiones: a) x n =
3 .4 n
+ 5n +
Solución: a) ∆ x n = ∆ (3.4 n
b) z n = n5
2 )
+ 5n + 2 = 3∆ ( 4
n
n
c) z n =
( −2) n 3n − 1
) + 5 ∆ ( n ) + ∆ ( 2 ) = 3 .3 .4 n + 5 .1 + 0 = 9 .4 n + 5
b) ∆ z n = ∆ (n5 n ) = n.4.5 n + 5 n +1.1 = (4n + 5)5 n c)
(− 2)n (3n − 1)( −3)(−2) n − (−2) n .∆ (3n − 1) 3n − 1 = (3n − 1)(3n + 2)
∆ z n = ∆
=
− 9n( −2)
n
9n 2 + 3n − 2
█
9
Segunda Clase: Ecuaciones en Diferencias Lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Definición 3.1: La
forma general de una ecuación en diferencias lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a y b , este último no nulo, es: x n + 2 + ax n +1 + bx n = 0 , b ≠ 0
[3.1]
Suponiendo que las soluciones que tienen la forma de potencias n-ésimas de base no nulas, donde una de ellas es: x n = ρ n con ρ ≠ 0 , encontraremos la solución general correspondiente de [3.1]. Reemplazando en la ecuación: ρ n+ 2 Dividiendo por ρ n nos queda: ρ 2
n +1
+ a ρ
n
+ bρ =
0
+ a ρ + b = 0
[3.2]
Ésta nueva ecuación es algebraica de segundo grado por lo que tiene dos raíces, sean éstas, ρ 1 y ρ 2 , luego haciendo cada una de ellas igual a ρ se verifica que es una solución de [3.2]. Recíprocamente, si ρ satisface ser solución particular entonces es la solución de [3.1]. La ecuación [3.2] se llama Ecuación Característica de la ecuación [3.1] y las raíces de [3.2] se llaman raíces características. Las dos raíces características ρ 1 y ρ 2 determinan las soluciones particulares de [3.1], éstas son ρ 1n y ρ 2n . La combinación lineal de ellas es solución general de la ecuación dada. En efecto si las raíces características son raíces reales distintas de [3.2] la solución general es: [3.3] x n = C 1 ρ 1n + C 2 ρ 2n Lo anterior puede verificarse por simple reemplazo en la ecuación [3.1], y en consecuencia se prueba el siguiente enunciado. Dada la ecuación en diferencias x n + 2 + ax n +1 + bx n = 0 con b ≠ 0 , y a y b constantes, donde ρ 1 y ρ 2 son las raíces características distintas de la ecuación Teorema 3.1:
característica asociada a la ecuación en diferencias dada, es decir, ρ in son soluciones particulares, entonces n
n
xn = C 1 ρ 1 + C 2 ρ 2
con ci constante es solución general de la ecuación en diferencias dadas. Ejemplo Ilustrativo 3.1: Resolver la Solución: la sucesión solución es:
ecuación x n + 2
− 7 x n +1 + 10 x n =
x n = C 1 2 + C 2 5 n
0
n
█ Por otro lado si son raíces reales iguales hacemos ρ = ρ 1
= ρ 2 ,
y en tal caso el par
de soluciones particulares son ρ n y n ρ n , resultando la solución general dada por:
10
n x n = (C 1 + C 2 n )ρ [3.4]
En consecuencia podemos decir: Si las raíces de la ecuación característica asociada a la ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes x n + 2 + ax n +1 + bx n = 0 son reales e iguales entonces la solución general de tal ecuación es: n x n = (C 1 + C 2 n )ρ Teorema 3.2:
donde ρ = ρ 1 = ρ 2 y ci constante.
█ Ejemplo Ilustrativo 3.2: Resolver la
ecuación x n
+2
− 8 x n +1 + 16 x n =
0
Solución: la sucesión solución es: x n = (C 1 + C 2 n ) 4 n
█ Se probó que las ecuaciones [3.3] y [3.4] son soluciones generales cuando las raíces características son reales, pero ahora resta considerar el caso en que las raíces características son complejas. En este caso xn puede ser de valor complejo, o bien salvar esto haciendo complejas a las constantes. Sean entonces ρ 1 y ρ 2 las raíces características complejas conjugadas, de forma tal que ρ 1 = c + id , ρ 2 = c − id Siendo el módulo de ambos iguales, llamemos a éste r = c 2
2
+ d
.
Además, para determinar a un número complejo debe considerarse también el argumento, sea éste θ , el cuál define a las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente mediante los valores c, d y r , mencionados. Con éstos elementos, los números complejos en tratamiento se escriben: c − id = r (cosθ − i senθ )
c + id = r (cosθ + i senθ )
Los segundos miembros de éstas expresiones se llaman forma polar o trigonométrica del número complejo, así reescribiendo las raíces características a la forma polar siguiente, ubicando en el plano a tales números complejos según se ve en la figura 3.1: ρ 1 = r (cosθ + i senθ )
ρ 2 = r (cosθ − i sen θ )
De ésta manera una solución general está dada por: x n
11
n
n
= C 1 ρ 1 + C 2 ρ 2
r d
θ c
θ
-d
Figura 3.1: Representación gráfica de los números complejos ρ 1 y ρ 2 Usando la forma polar y el teorema de De Moivre: xn = C 1 { r (cos θ + i senθ ) } + C 2 { r (cos θ − i senθ ) } n
= (C 1 + C 2 ) r
n
O bien:
n
cos nθ + (C 1 − C 2 ) r n i sen nθ
x n = r n { C cos nθ + C * sen nθ }
donde C = C 1 + C 2 y C * = i (C 1
[3.5]
− C 2 )
Siendo [3.5] la solución general de la ecuación en diferencias cuando las raíces de la ecuación características son complejas.
█
Ejemplo Ilustrativo 3.3: Resolver la ecuación x n + 2 − 2 x n +1 + 4 x n = 0 Solución: La ecuación característica es: ρ 2 − 2 ρ + 4 = 0 , cuyas raíces son complejas
conjugadas: ρ 1 = 1 + i
3 y ρ 2
= 1− i
Resultando r =2 y θ = 60 , denotamos a las raíces características: ρ 1 = 2(cos 60° + i sen 60°) ρ 2 = 2(cos 60° − i sen 60°) o
En consecuencia la sucesión solución es:
12
3
n xn = 2 [C 1 (cos 60°n + isen60°n ) + C 2 (cos 60°n − isen60°n)]
xn = 2 [ C cos(60°n) + C ∗ sen(60°n)] n
█ Ejemplo Ilustrativo 3.4: Resolver la ecuación x n + 2 + 9 x n =
0
Solución: En consecuencia la sucesión solución es: x n = 3 (C cos(90°n) + C ∗ sen(90°n)) n
█ Obsérvese que en el último ejercicio podríamos usar la expresión [3.5] para denotar la solución en cuyo caso es: x n = C 1 (3i ) n + C 2 ( −3i ) n Por otro lado también podemos recurrir a las potencias de la unidad imaginaria, así, la solución resulta ser: • n ( ) 3 4 + ∈ C C si n 2 1 • (C − C )i3 n si n ∈ 4+ 1 2 xn = 1 • − (C 1 + C 2 )3n si n ∈ 4+ 2 • − (C 1 − C 2 )i3n si n ∈ 4+ 3 Definición 3.2: La forma general de una ecuación en diferencias lineal no homogénea de segundo orden con coeficiente constante a y b no nulo es: x n + 2 + ax n +1 + bx n = R ( n) , b ≠ 0 [3.6]
Una solución general de la ecuación no homogénea [3.6] es la suma de una solución general de la correspondiente ecuación homogénea asociada x nh y una solución particular de la ecuación [3.6] denotada por x pn . En forma análoga a lo presentado en el parágrafo anterior se tiene los conceptos de ecuación característica y raíces características para [3.6]. Para encontrar una solución particular de [3.6] es también apropiado el método de los coeficientes indeterminados, suponiendo al igual que para las de primer orden, una forma supuesta de una solución particular. Sean ρ 1 y ρ 2 las raíces características de la ecuación [3.6] y Pk (n) y Qk (n) dos polinomios en n de grado k . En este caso, si R(n) = α n Pk (n) se p
puede encontrar una solución particular x n de [3.6] haciendo: α n Qk (n) si α ≠ ρ i ; i = 1,2 x pn = α n nQk ( n) si α = ρ 1 ∨α = ρ 2 α n n 2Q (n) si α = ρ = ρ k 1 2
[3.7]
█ Ejemplo Ilustrativo 3.5: Resolver la ecuación x n + 2 − 7 xn+1 + 10 x n = 3 n
13
Solución: la solución de la ecuación dada es: x n = C 1 2 + C 2 5 − n
n
1 n 3 2
█
Ejemplo Ilustrativo 3.6: Resolver la ecuación x n + 2 − 7 x n +1 + 10 x n = 5 n Solución: la solución es: x n = C 1 2 n + C 2 5 n +
1 n 5 15
█ 2
Ejemplo Ilustrativo 3.7: Resolver la ecuación x n + 2 + x n +1 + x n = n + n + 1 Solución: la solución homogénea: x n = C cos(120°n ) + C
∗
h
sen(120°n)
Para buscar la solución particular observemos que: 2
Q2 (n) = h1n + h2 n + h3 2
p
= 1 ≠ ρ i , por lo tanto: x n = h1 n + h2 n + h3
además
Reemplazando en la ecuación dada se tiene: x pn+ 2 + x pn+1 + x np = h1 n 2 + ( 2h1 + h2 ) n + (4h1 + h2 + h3 )
Comparando con el segundo miembro de la ecuación dada: h1 2h1 4h 1
=1 =1
+ h2 + h2
Resolviendo el sistema nos queda: x pn
=1
+ h3 2
= n −n−2
Y por lo tanto la solución buscada es: x n
2
= C cos(120 °n ) + C sen (120 °n ) + n − n − 2 ∗
█ Ecuaciones en Diferencias Lineales de orden superior. Una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden k con coeficientes constantes toma la forma x n + k + a1 x n + k −1 + ... + a k − 2 x n + 2 + a k −1 x n +1 + a k x n = 0
con
a k ≠ 0
Suponiendo que la solución es de la forma ρ n , se reemplaza en la ecuación dada, y se tiene la siguiente ecuación característica:
14
ρ n+ k + a1 ρ n+ k −1 + ... + ak −2 ρ n+ 2 + ak −1 ρ n+1 + ak ρ n = 0
si las k raíces características son reales y distintas, y las denotamos por: ρ 1 , ρ 2 ,...., ρ k , la solución es la sucesión es: n n n [4.3] x n = C 1 ρ 1 + C 2 ρ 2 + ... + C k ρ k Por otro lado supongamos que las h primeras raíces características son iguales, decimos que tienen multiplicidad h, y expresamos a la sucesión solución por: 2 x n = (C 1 + C 2 n + C 3 n + ... + C h n
con ρ = ρ i y
i =
h −1
) ρ n
+ C h +1 ρ h +1 + ... + C k ρ k n
n
[4.4]
1,..., h .
Finalmente, si existen raíces complejas, reconocemos que aparecen de a pares, pues están cada una con su conjugada. En tal caso se considera si aparecen soluciones distintas o iguales con cierta multiplicidad, y se expresan trigonométricamente en función del argumento y del modulo. Sea las dos primeras raíces soluciones complejas conjugadas, es decir: ρ 2 = ρ 1 , entonces la solución se expresa como: x n = r [C cos nθ + C * sen nθ ] + C 3 ρ 3 + ... + C k ρ k n
n
n
[4.5]
siendo r el módulo y θ el argumento de ρ 1 . Ilustremos cada caso con ejemplos a fin de analizar lo antes mencionado. Ejemplo Ilustrativo 4.1: x n + 3 − 2 x n+ 2 − 5 x n +1 + 6 x n = 0
Resolver
la
ecuación
en
diferencias
lineal
Solución: la sucesión solución es: n n n x n = C 11 + C 2 (−2) + C 3 3
█ Ejemplo Ilustrativo 4.2: Resolver la ecuación en diferencias lineal siguiente x n+ 4 − 7 x n +3 + 13 x n+ 2 + 3 x n +1 − 18 x n = 0 Solución: la sucesión solución toma la forma:
x n = C 1 ( −1) n + C 2 2 n + (C 3 + C 4 n)3 n
█ Ejemplo Ilustrativo 4.3: Resolver la ecuación en diferencias lineal siguiente
xn +4 − 5 x n+3 + 7 xn+ 2 − 5 xn+1 + 6 xn = 0 Solución: Las raíces características son i,-i, 2 y 3, aquí aplicaremos la expresión [4.5]. Las
primeras permiten denotar: ρ 1 = cos 90° + i sen 90° y ρ 2 = cos 90° − i sen 90°
15
Por lo tanto la sucesión solución es *
x n = C cos( 90°n) + C
sen( 90°n) + C 3 2 n + C 4 3 n █
•
Solución de ecuaciones en diferencias no homogéneas de orden superior
Ejemplo Ilustrativo 4.4: Resolver la ecuación en diferencias lineal x n + 4 + x n =
2n + 1
Solución: Vamos a comenzar a resolver la ecuación homogénea asociada, siendo la ecuación
característica: ρ 4 + 1 = 0
cuyas raíces son:
ρ 1 = cos45° + i sen 45° ρ 2 = cos 45° − i sen 45°
ρ 3 = − cos 45° + i sen 45° ρ 4 = − cos 45° − i sen 45°
Formando las potencias enésimas y agrupando constantes nos queda la sucesión solución homogénea: x n = C cos(45°n) + C * sen(45°n) h
Ahora buscamos la forma de la solución particular: x pn
= hn + k
Reemplazando se tiene: x pn+ 4 + xnp = h(n + 4) + k + hn + k = 2hn + (4h + 2k )
Comparando coeficientes resulta: Por lo tanto x pn
=n−
h = 1; k = −
3 2
3 , en consecuencia 2
x n = C cos( 45°n) + C * sen( 45°n) + n −
Ejemplo
Ilustrativo
4.5:
Resolver
la
3 . 2
ecuación
█ en
diferencias
xn +3 − 2 xn + 2 − 5 xn +1 + 6 xn = 4 h n n x n = C 1 + C 2 ( −2) + C 3 3
Hacemos x pn = h la solución general de la ecuación no homogénea dada es: 2 n n █ xn = C 1 + C 2 (−2) + C 3 3 − 3
Solución:
Ejemplo Ilustrativo 4.6: Resolver la ecuación en diferencias lineal siguiente x n + 4 −
25 x 6 n
+3
+ 5 x n + 2 −
5 x 6 n
+1
− x n =
Solución:
16
2 n (n 2 + 3)
lineal
3 x = C 1 2
n
h n
1 + C 2 − 3
n
+ C 3 2 + C 4 n
x n = h 2 [k 1 n + k 2 n + k 3 n ] p
n
3
2
En tal caso nos queda al reemplazar: p
x n + 4 −
=
25 p x 6 n+3
+ 5 x n + 2 − p
5 p p x n +1 − x n 6
=
1 n 2 h [21k 1 n 2 + (309 k 1 + 14 k 2 ) n + (847 k 1 + 103 k 2 + 7 k 3 )] 3
Por lo tanto la sucesión solución es: 3 x n = C 1 2
n
1 + C 2 − 3
n
+ C 3 2 + C 4 + 3.2 n
n
1 3 103 2 21 n − 98 n
+
20851 n 2058
█ Condiciones iniciales. Problemas con valores iniciales. Vimos como resolver una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes de orden arbitrario k , y en todos los casos la sucesión solución se expresó en términos de una constante, o tantas constantes como orden de la ecuación. Tales soluciones se llaman soluciones generales, y por cada valor que se asigne a tales constantes se tiene una llamada solución particular, la cuál determina en forma única a esa sucesión. En efecto, de la ecuación en diferencia lineal de primer orden xn +1 − 2 xn
= 3,
la
solución general es xn = C 2 n − 3 . Para cada valor de C tendremos una solución particular de la ecuación dada. Si en cambio escribimos la ecuación como xn+1 = 2 xn + 3 , para cada valor que asignemos a un cierto término, el siguiente término queda unívocamente determinado, y por recurrencia toda la sucesión. Es más, si el término conocido es el primero de la sucesión, o sea x0 , la sucesión queda determinada en su totalidad. Esta solución particular es única y responde a una condición inicial dada, tal valor de la sucesión definida por una condición inicial se llama valor inicial . A continuación se muestran en la figura 5.1 algunas soluciones de la ecuación en diferencias xn +1 − 2 x n = 3 , donde cada una de ellas responde a un valor inicial distinto. Veremos la unicidad de una solución bajo una condición inicial dada. Supongamos ahora que se cumplen las siguientes condiciones: i)
El valor inicial x 0 está dado.
ii)
Dados valores arbitrarios de la variable n y xn queda determinado x n +1 de manera única mediante la ecuación en diferencias.
Las condiciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera:
17
i)
El valor x 0 de x n en n=0 es único.
ii)
Si el valor de x k para n=k está determinado de manera única, entonces el valor de x k +1 , para n=k +1 también está determinado de manera única.
Reiterando este procedimiento para todo n del dominio de la sucesión, resulta única la determinación de tal sucesión. Este método de demostración es llamado de Inducción Completa. De ésta manera, para las ecuaciones en diferencias que satisfacen la condición ii), la existencia y la unicidad de las soluciones bajo las condiciones iniciales dadas, quedan probadas.
█
Mencionamos en el parágrafo 1.5, que para una ecuación de primer orden una solución general de la ecuación no homogénea es igual a la suma de la solución general de la ecuación homogénea asociada más una solución particular de la ecuación no homogénea dada. Esto se generaliza para toda ecuación en diferencias lineal, y resulta de una importante propiedad de la diferencia denominada linealidad. *
Teorema 5.1: (Linealidad de soluciones de ecuaciones en diferencias) Sea x n una
sucesión solución de la ecuación en diferencias lineal de orden k ak (n) xn + k + .... + a1 (n) xn +1 + a0 (n) xn = R(n)
y sea xn⊗ sucesión solución de la ecuación en diferencias lineal de orden k siguiente ak (n) xn +k + .... + a1 (n) xn+1 + a0 (n) xn = S (n) , entonces la combinación lineal C 1 xn* + C 2 xn⊗ es solución de la ecuación en diferencias lineal de orden k : [5.1] a k (n) xn +k + .... + a1 (n) xn +1 + a0 (n) xn = C 1 R(n) + C 2 S (n)
█ Por otro lado, reconociendo que una ecuación en diferencias tiene una solución general y otra particular correspondiente a cada valor de las constantes arbitrarias, y que una sucesión solución de una ecuación en diferencias se puede construir por recurrencia a partir de valores arbitrarios asignados a cada término de la sucesión, denominados valores iniciales, se tiene que para una ecuación lineal de orden k , el k +1-ésimo término se puede determinar a partir de los k términos anteriores. Así cualquier solución particular obtenida de esa forma se dice que satisface condiciones iniciales. Además si x n* es una solución general, contiene
k constantes
arbitrarias y puede
satisfacer una condición inicial dada. Si x n es una solución particular, x n ⊗
∗
⊗
= C 1 x n + C 2 x n
,
contiene también k constantes arbitrarias y puede satisfacer una condición inicial, ya que xn es la suma de x n* y una sucesión totalmente determinada. Por lo tanto, x n es una solución general de la ecuación [5.1]. Siendo x n⊗ también solución general, más aún lo es xn . Por otro lado si se eligen S (n ) = 0 y C 1 = C 2 = 1 , resulta que una solución general de la ecuación lineal en diferencias [5.1], es la suma de una solución particular de la propia ecuación y una solución general de la ecuación lineal en diferencias homogénea obtenida haciendo igual a 0 el segundo miembro de [5.1], llamada ecuación homogénea asociada.
18
Así el problema de resolver [5.1] se ha separado en dos. Se llama solución [5.1], a una solución de la ecuación en diferencias lineal homogénea asociada y que denotamos con x nh . Cuando se resuelve una ecuación de éste tipo se tiene en cuenta que si dos sucesiones son soluciones de una ecuación en diferencias lineal homogénea lo es cualquier combinación lineal de ellas con cualquier par de coeficientes constantes. Una reiterada aplicación de estos enunciados permite generalizar lo que se cumple para el caso en que el número de soluciones sea más de dos.
homogénea de la ecuación
Problemas con Valores Iniciales El problema de resolver una ecuación en diferencias con condiciones iniciales dadas se llama problema con valor inicial , y en tal caso la solución es una sucesión única. Ejemplo Ilustrativo 5.1: Resolver el siguiente problema con valor inicial:
xn +1 − 2 xn = 3 x0 = 1 Solución: Según dijimos antes, la solución de la ecuación dada es: x n = C 2 − 3 n
Ahora
tomando el valor inicial dado para la solución obtenida resulta: x 0 = C 2 − 3 = C − 3 = 1 En consecuencia, C = 4 , con lo cuál la sucesión queda determinada en forma única como: 0
x n =
4.2 n − 3
█ El razonamiento usado hasta aquí para ecuaciones en diferencias de primer orden, puede extenderse a ecuaciones en diferencias de orden superior, con la diferencia de que aumenta el número de condiciones iniciales y de constantes arbitrarias dadas, justificándose esto a través de las variantes del método de inducción completa. En efecto, si tenemos una ecuación en diferencias de orden arbitrario k , una forma de determinar una solución particular es despejar de la ecuación el término x n + k de manera que dependa de los términos anteriores. Así, a partir de k valores arbitrarios para esos primeros términos de la sucesión el k +1-ésimo término se determina en forma única. Con lo cuál la sucesión se construye por recurrencia. Además, si los valores corresponden a los primeros k términos de la sucesión, x0 , x1 ,..., xk −1 , la sucesión queda determinada en su totalidad. El problema de valor inicial tendrá tantas condiciones iniciales como es el orden de la ecuación en diferencia. Asignar k valores iniciales a una sucesión que responde a una ecuación en diferencias de orden k , implica también unicidad en tal solución, la cuál nos lleva a modificar la condición i) citada en el parágrafo anterior. Así para poder asignar los valores arbitrarios, una solución general debe contener k constantes. De ésta manera la condición de unicidad ii) se generaliza diciendo: ii) Si se asigna a la variable n y a los términos xn , x n +1 ,...., x n + k −1 valores arbitrarios, entonces x n+ k se determina de manera única.
19
Esta condición se satisface siempre que todos los coeficientes sean funciones unívocas en n. La forma que adquiere la inducción matemática esta dada por una de sus variantes que dice: i)
Para un número natural k , están dados x0 , x1 ,..., x k −1
ii)
Sea h un número natural no menor que k . Si x h , x h −1 ,..., x h − k +1 son únicos, entonces xh +1 queda determinada de manera única.
Ejemplo Ilustrativo 5.2: Resolver el siguiente problema con valor inicial: xn + 2 − 4 xn +1 + 4 xn = 0
x0 = 1 x1 = 4
Solución: La raíz característica dos es doble, por los que la solución general de la ecuación en
diferencias dada es: xn
= (C 1 + C 2 n )2
n
Reemplazando para los valores iniciales dados se tiene: x0 = (C 1 + C 2 .0)2 0 = C 1 = 1 x1 = (C 1 + C 2 .1) 21 = 2C 1 + 2C 2 =
Es decir:
C 2 = 1 . La sucesión buscada es xn =
2 + 2C 2
=
4
(1 + n)2 n █
20
Tercera Clase: Sistemas de ecuaciones en diferencias lineales. Método de eliminación de sucesiones incógnitas. Las ecuaciones en diferencias tratadas hasta ahora consisten en una sola ecuación en una sucesión incógnita. Un conjunto de n ecuaciones en diferencias simultáneas de n sucesiones incógnitas se llama sistema de ecuaciones en diferencias. Ejemplo Ilustrativo 6.1: Supongamos el sistema siguiente:
x n +1 − y n y n +1 − 9x n
0 =0 =
Solución: La primera ecuación se puede escribir como x n+ 2 − y n+1 = 0 . Sustituyendo y n +1 según la segunda ecuación, se tiene xn + 2 − 9xn = 0; ésta es ya una ecuación en una sola
sucesión. Luego se reemplaza, por ejemplo, la segunda ecuación del sistema con la ecuación en diferencias de xn obtenida y resulta el sistema xn +1 − yn = 0 xn + 2 − 9xn = 0
La segunda ecuación del nuevo sistema es la ecuación en diferencias lineal de segundo orden cuyas raíces características son 3 y -3. Por consiguiente, una solución general de la ecuación es xn = C1 3n + C2 (− 3) n
Luego se obtiene yn = xn+1 = C13n+1 + C2 (− 3)n+1 de la primera ecuación como la segunda sucesión. Por lo tanto las soluciones generales del sistema está dado por las sucesiones: + + yn = C13n 1 + C2 (− 3)n 1 xn = C13n + C2 (− 3)n
█
Si además, tenemos los valores iniciales x 0 y y 0 , se tiene x0 = C1 + C2 y y0 = 3 C1 − 3 C2 . De estas ecuaciones, se determinan C 1 y C 2 . Como x1 se determina por y0 , la condición de unicidad para xn se cumple. Por consiguiente yn resulta determinada de manera única de la primera ecuación del sistema. De esta manera dicho par de sucesiones es una solución general del sistema. Consideremos que el número de sucesiones incógnitas es dos, pero ahora cada una de ellas toma la forma más general. Así, se considera un sistema de ecuaciones en diferencias de la forma: xn +1 = axn + byn + R( n) [6.1] yn +1 = cxn + dyn + S( n) llamado sistema de ecuaciones en diferencias de primer orden lineales con coeficientes constantes. Siendo no nulos R ( n ) o S ( n ) cada ecuación es no homogénea y por lo tanto el sistema también. Si ambos son nulos, el sistema es homogéneo. En cuanto a los primeros miembros, en general x n +1 e yn+1 pueden estar multiplicadas por constantes.
21
Además, si b=c=0 entonces x n +1 e yn+1 satisfacen separadamente dos ecuaciones independientes. Por lo tanto se supone provisoriamente que b ≠ 0 . Si se reemplaza n con (n+1) en la primera ecuación del sistema [6.1], entonces [6.2] xn +2 = axn +1 + byn +1 + R( n+ 1) Sustituyendo yn+1 de [6.2] según la segunda ecuación del sistema, se tiene xn +2 = axn +1 + bcxn + bdyn + R( n+ 1) + bS( n)
Además de la primera ecuación se tiene que by n = x n+1 − ax n − R( n) , con lo cuál resulta luego de agrupar términos: xn +2 − ( a + d) xn +1 + ( ad − bc) xn = R( n + 1) − dR( n) + bS( n)
[6.3]
Esta es una ecuación en diferencias de segundo orden lineal con coeficientes constantes en xn , siempre que ad ≠ bc , pues si se verifica la igualdad la ecuación se reduce a una de primer orden. Si se obtiene una solución general xn de la ecuación [6.3] entonces yn se determina de la primera ecuación del sistema. Ejemplo Ilustrativo 6.2: Resolver el sistema
xn+1 ny+1 Solución: De la primera se tiene:
= =
7 xn − 4 yn + 2 6 nx − 3 ny
xn+2 = 7 xn+1 − 4 yn+1 + 2 .
Tomando la segunda ecuación y sustituyendo nos queda: xn +2 y aplicando la primera ecuación:
=
7 xn +1 − 24 xn + 12 yn + 2
xn+2 − 4 xn+1 + 3 xn = 8
Esta es una ecuación de segundo orden en x n , no homogénea, cuya solución es xn = C1 + C2 3 n − 4 n
De la primera ecuación despejando yn , y del resultado anterior nos queda: yn =
3 2
C1 + C2 3n − 6 n+
Ejemplo Ilustrativo 6.3: Resolver el sistema
3 2
xn +1 yn +1
█
=
xn − 2 yn
=
3 xn − 6 yn
Solución: Al realizar la eliminación de la sucesión y n resulta la ecuación de primer orden en
x n siguiente: x n +1 + 5x n = 0, cuya solución es x n = C (−5) n Buscamos ahora la segunda sucesión y resulta y n = 3C (−5) n
Ejemplo Ilustrativo 6.4: Resolver el sistema
22
█
x n +1 = y n +1 = z = n +1
3 x n 4 x n − 16 x n
+ y n + y n
+ z n
− y n
− z n
Solución: x n = C 1 2 + C 2 3 + C 3 (−2) n
n
y n = −C 1 2 − 5C 3 (−2) n
n
n
z n = −5C 1 2 n − 4C 2 3 n + 11C 3 (−2) n
█ Sistemas de ecuaciones en diferencias lineales homogéneos. Vimos a través del método de eliminación que un sistema de ecuaciones en diferencias lineales es equivalente a una ecuación en una sola sucesión incógnita de grado mayor o igual a las ecuaciones del sistema, por lo que podemos suponer ahora la forma de las sucesiones soluciones tal como lo hicimos en las ecuaciones lineales, es decir, dado el sistema de dos ecuaciones en diferencias lineales de dos incógnitas homogéneas siguiente.
nx+1 ny+1
=
ax by n + n
=
cx dy n + n
[6.4]
suponemos que las sucesiones soluciones tienen la forma x n = C ρ n y yn = C ′ ρ n , donde ρ ≠ 0 siendo al menos una de las constantes C y C ´ no es nula. Sustituyendo estas expresiones en [6.4] Eliminando C y C ´ de este sistema se obtiene :
( ρ − a )( ρ − d ) − bc = 0 la solución del sistema es: n n xn = C1 ρ1 + C2 ρ 2
n
n
yn = C1′ ρ1 + C2′ ρ 2
cuando las raíces son distintas y yn = ( C1′ + C2′ n) ρ in
n xn = ( C1 + C2 n) ρ i
cuando las raíces son iguales.
█
Ejemplo Ilustrativo 6.6: Resolver el sistema
Solución:
xn = C1 + C2 ( −1) n
xn + 1 = 2 xn − yn yn +1 = 3 xn − 2 yn y
yn = C1′ + C2′ ( −1) n
Finalmente la solución se denota por el par xn = C1 + C2 ( − 1) n yn = C1 + 3 C2 ( −1) n
23
█
Ejemplo Ilustrativo 6.7: Resolver el sistema xn +1 =
xn + yn
yn +1 =
Solución:
xn = ( C1 + C2 n)2 n
− x n +3 y n
yn = ( C1′ + C2′ n)2 n
o bien expresando en términos de las mismas constantes, la segunda sucesión es n y n = xn +1 − x n = [C 1 + C 2 (n + 2 )]2
█ Observación: cuando las raíces características son iguales no puede aplicarse la relación
entre las constantes. En efecto, al verificarse la solución se ve que no se obtiene la ecuación dada. Ejemplo Ilustrativo 6.8: Resolver el sistema
xn +1 yn +1
=
xn − 2 yn
=
3 xn − 6 yn
Solución: Las raíces características son 0 y 5. Por lo tanto se toma la única raíz no nula y la
ecuación se reduce al primer orden, ésta es:
x n = C 5 ; y n = C ′5 n
n
También los podemos expresar en términos de la misma constante, en cuyo caso la segunda sucesión es: y n =
1 (− x n 1 + x n ) = 2C 5 n 2
█
+
Sistemas de Ecuaciones en Diferencias Lineales No Homogéneos Ejemplo Ilustrativo 6.9: Consideremos el siguiente sistema no homogéneo de ecuaciones en
diferencias lineales, cuyo sistema asociado está dado en el ejemplo ilustrativo 6.1. y n x n +1 = y n +1 = 9 x n
+n
Solución: Utilizando los resultados ya conocidos por el ejemplo 6.1, donde las soluciones del
sistema homogéneo asociado son: x nh = C 1 3 n + C 2 ( −3) n
ynh = C1 3 n +1 + C2 ( − 3) n +1
Además sabemos que las raíces características son distintas de 1, entonces podemos hacer x pn = k1 + k2 n
y
p
yn = h1 + h2 n
Sustituyendo estas expresiones en cada ecuación del sistema, se tiene: x pn +1 − y pn = k1 + k 2 ( n + 1) − h1 − h2 n = n yn +1 − 9 xn = h1 + h2 ( n + 1) − p
p
24
9 k1 − 9 k 2 n = 0
Comparando los coeficientes de las potencias de n, se tiene el sistema algebraico de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: k1 −9 k 1
resultando: k 1
=−
5 ; k 32 2
+k2
= + h2
+ h1
1 ;h 8 1
0 =0 =0
− h1
−9 k 2
=−
=1
− h2
k2
=−
+ h2
9 ;h 32 2
=−
9 8
Por lo tanto una solución general es:
1 (5 + 4 n) 32 9 n 1 C − (1 + 4 n) 2 ( −3) 32
xn = C 13 + C 2 ( −3) − n
n +1 yn = C + 13
n
+
█
Ejemplo Ilustrativo 6.10: Resolver el sistema
y n xn +1 = y n +1 = 9 x n Solución:
x n = k 2 p
n
y
y n = h 2 p
+
2n
n
Al reemplazar y desarrollar se tiene: x pn +1 − y pn =
2 n ( 2 k − h) = 0
Finalmente se tiene:
y pn +1 − 9 xn p=
x n = C 1 3 n + C 2 ( −3) n −
2 (n2 h− 9 k) = 2
n
1 n 2 5
y n = C 1 3 n +1 + C 2 (−3) n +1 −
2 n 2 5
█
Ejemplo Ilustrativo 6.11: Resolver el sistema
y n x n +1 = y n +1 = 9 x n Solución:
x pn = k1 n + k2 + k3 2 n
Finalmente las sucesiones soluciones son: xn = C1 3n + C2 ( −3) n −
+n +2
n
y pn = h1 n + h2 + h3 2 n
1 1 ( n+ 1) − 2 n+ 2 8 5
yn = C1 3 n +1 + C2 (−3) n+1 −
25
9 1 ( n+ 2) − 2 n+1 8 5
█
Ecuaciones en Diferencias como Modelos Matemáticos Dinámicos Discretos. Una de las aplicaciones más importantes que tienen actualmente las Matemáticas es su utilización en el estudio de fenómenos que pueden ocurrir en los distintos ámbitos de las diferentes ciencias o disciplinas, y que pretenden ser descriptos mediante alguna expresión matemática, sea ésta determinística o probabilística, esto es, representar tal fenómeno mediante un modelo matemático. Los modelos matemáticos son una representación de los resultados que se producen mediante la aplicación de un fenómeno, más aún, la representación paso a paso de la ocurrencia del fenómeno, lleva a la representación dinámica conocida como simulación. Demos formalmente algunas definiciones y conc eptos: Definición 7.1: Un Modelo Matemático es una representación matemática simplificada de un
cierto tipo de fenómenos reales. En la creación de un modelo matemático hay un proceso de conceptualización. Se parte de una idea intuitiva y se introduce el concepto inspirado de tal idea, mediante algunas de sus propiedades básicas, prescindiendo después del punto de partida intuitivo. El conjunto de propiedades, entre ellos teoremas, que se deducen mediante razonamientos lógicos de los axiomas, constituye la Ciencia Matemática a que nos referimos: Teoría de Probabilidades, Teoría de Juegos, Programación Lineal, Análisis Variacional Continuo o Discreto, etc. Para la aplicación de la teoría construida, hay un segundo proceso de desconceptualización, que consiste en traducir los resultados logrados a la realidad concreta de partida en forma aproximada. ¿En que medida se adapta un modelo a la realidad?, esto es una cuestión de carácter intuitivo para lo cual no se pueden dar reglas. Es más fácil decir cuando un modelo no se adapta bien a la realidad, que dar una norma rígida para aceptarlo. En efecto, en el proceso de conceptualización reconocemos variable que intervienen e influyen sobre el fenómeno, pero según sea el numero de tales variables, o la forma de intervenir en el modelo, estas se van clasificando en cuales son más significativas, así es como descartamos algunas de las variables, haciendo más fácil el modelo desde el punto de vista operativo, pero corriendo el riesgo de la precisión de los resultados de acuerdo al fenómeno real. Así es como se reconoce que un modelo matemático es una caricatura de la realidad. Según sea el fenómeno a describir podemos tener alguna herramienta matemática asociada, es más, un mismo fenómeno puede estar representado por modelos que usen distintas áreas de la matemática, aquí hacemos referencia a aquellos que varían con el tiempo, y como las distintas variables que participan en los resultados del fenómeno, definen un sistema, así pues se tiene la siguiente definición: Definición 7.2: Un modelo matemático es un sistema dinámico cuando el conjunto de
variables que determinan el comportamiento del fenómeno forman un sistema que dependen de una variable independiente dada por el tiempo. Debemos reconocer que un sistema es un conjunto de elementos relacionados entre sí; en nuestro caso son variables que determinan el fenómeno. Tales variables se dice que forman un sistema si existe una relación de dependencia entre ellas, de manera que la variación de una de ellas influye en la variación de las restantes, esto se interpreta con el concepto de retroalimentación entre las variables. Tal concepto es muy útil porque nos permite partir desde la estructura del sistema que analizamos y llegar hasta su comportamiento dinámico. Los modelos tratados bajo sistemas dinámicos requieren de dos herramientas matemáticas muy importantes, y que según sea la variable independiente continua o no los modelos matemáticos serán continuos o discretos. Las herramientas a la que hacemos referencia son
26
las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencias. Aquí nos abocaremos a los modelos matemáticos discretos bajo sistemas dinámicos, es decir a aquellos que se representan mediante ecuaciones en diferencias o sistemas de ecuaciones en diferencias. En efecto, las ecuaciones en diferencias son una herramienta fundamental para los sistemas dinámicos, pues siendo una sucesión de datos del experimento a estudiar, dependiente del tiempo, se trata de establecer ecuaciones que representen la relación entre distintos estados de la variable a lo largo del tiempo, así surgen expresiones que representan al fenómeno, es decir el modelo matemático. Tal vez un primer e inmediato ejemplo esta en la variación de una cantidad que varíe con el tiempo, tal como el tamaño de una población, en efecto, siendo el tiempo nuestra variable independiente y además considerándola discreta, a fin de determinar el tamaño de la población para un tiempo dado, iniciaremos nuestra representación de mediante ecuaciones en diferencias del fenómeno de crecimiento.
7.1.
Crecimiento Aritmético
Un caso muy particular de variación poblacional ocurre con las abejas, en donde, de toda una población sólo la abeja reina da origen a una nueva camada. Mencionemos esto en términos de una sucesión, y consideremos que a partir de una población inicial el número de abejas crece sumando el número de crías en cada eclosión, al cuál lo supondremos constante. Esto se traduce en fórmula de la siguiente manera: Sea x0 el número inicial de abejas y sea N el número de crías que se obtiene de la abeja reina en cada eclosión, el cuál lo vamos a considerar constante; y que después de cada eclosión se inicia un nuevo periodo, en donde el tamaño de la población en cada periodo los indicaremos con x1 , x2 , x3 ,... , por lo que al inicio de cada uno de dichos periodos la cantidad de abejas está dada por: xi +1 = xi + N
Es decir, que la diferencia entre el número de abejas en dos periodos consecutivos es constante, o sea N . Podemos escribir esto como: xi +1 − xi = N
la cuál es una ecuación en diferencia de primer orden lineal de la forma [1.10] dada en el parágrafo 1.3, es decir, es una progresión aritmética. Este modelo de crecimiento se conoce como crecimiento aritmético. Así podemos establecer condiciones que determinan el citado crecimiento: i) ii)
Hay una abeja reina en una población inicial de tamaño x0 . De la reina se obtiene una nueva camada de crías en cada período, sea éste número una constante N .
Entonces para llegar a conocer el número de abejas al finalizar un determinado periodo i-ésimo, se lo obtiene con la formula de la sucesión solución, es decir, xi = x0 + iN .
27
7.3.
Crecimiento Geométrico
La ecuación demográfica expresa el tamaño de una población para un tiempo determinado, a partir del tamaño de dicha población en un tiempo anterior, y de sus variaciones dadas durante tal intervalo de tiempo, ya sea, debido al crecimiento natural (nacimientos y defunciones) o por movimientos migratorios (emigraciones e inmigraciones). Así pues: Pt +h = Pt + Bh − Dh + I h − E h
donde Pt h es el tamaño de la población en el tiempo t +h, siendo h el tiempo transcurrido a partir de un año conocido t , considerado como base, siendo el tamaño de la población el indicado con Pt y a partir del cuál se ve modificada durante ese tiempo h transcurrido por los nacimientos B, las defunciones D, las inmigraciones I y las emigraciones E , llevadas a cabo durante ese periodo de tiempo h. +
Si las dos últimas variables o componentes de la ecuación son nulas, se dice que la población es cerrada, en tal caso solo depende de un crecimiento natural. Estas cuatro componentes de la ecuación demográfica: B, D, I y E , en general son expresiones que dependen del tamaño de la población, esto es, son proporcionales y se conocen como índices o tasa de natalidad (b), mortalidad (d ), inmigración (i) y emigración (e), y se suelen expresar en por mil. Así se tiene: Bh = bPt
Dh = dPt
I h = iPt
por lo que la ecuación demográfica puede escribirse: llamando a la expresión entre paréntesis diferencia homogénea de primer orden.
α ,
se tiene:
E h = ePt
Pt + h = (1 + b − d + i − e )Pt Pt + h = α Pt ,
que es una ecuación en
█
Un problema de progresión geométrica presentado en un libro de texto de matemáticas titulado "Jinkoki", que fue ampliamente utilizado en Japón en el siglo XVII, y sobre el cuál hace mención T. Takahashi, dice: A principios de año nuevo aparece una pareja de ratones, quienes tienen luego una camada de 12 crías. El número de ratones es ahora 14. En febrero no solamente la pareja inicial, sino también cada una de las nuevas parejas, da lugar a 12 crías. El número total de roedores se convierte en 98. En esta forma, una vez por mes cada pareja de ratones de cada una de las generaciones tiene una camada de 12 crías. ¿Cuál es el número total de ratones al final de diciembre?. Realizando las cuentas para cada uno de los doce meses se llega a 27.682.574.402, que es el resultado correcto. Pero podremos analizar este problema de la siguiente forma, ya que primeramente las condiciones del problema se resumen en: i) Hay dos ratones a principios de enero. ii) Cada pareja tiene 12 crías en cada mes, o sea, el incremento del número de ratones es de 6 por 1. Para llegar al número de ratones presentes al final de diciembre, de acuerdo a las condiciones anteriores, formularemos ecuaciones cuyas incógnitas sean las cantidades de ratones al finalizar cada uno de los meses de enero a diciembre.
28
Denotemos por x1 , x2 , x3 ,..., x12 al número de ratones en enero, febrero, marzo, ..., diciembre, respectivamente. Inicialmente hay dos ratones y a fines de enero el número de ratones llega a ser x1 . Por lo tanto el incremento de dicho número es x1 − 2 , que es igual a 6 × 2 por la condición ii). Es decir: [7.1] x1 − 2 = 6.2 Como x1 es también el número de ratones al principio de febrero, el incremento del número en dicho mes es igual a x 2 − x1 , que es igual a 6 x1 por la condición ii), es decir: x2 − x1 = 6 x1
[7.2]
Del mismo modo, por la condición ii), el incremento del número de ratones en cada uno de los meses restantes está dado por las siguientes ecuaciones: [7.3] xi +1 − xi = 6 xi Las expresiones [7.1], [7.2] y [7.3] forman un sistema de ecuaciones simultáneas con doce incógnitas x1 , x2 , x3 ,..., x12 . Para resolverlas, despejemos la incógnita de [7.2] y resolvamos: x1 = 6 × 2 + 2 = 14
Reemplazando éste valor en [7.3], se tiene una sola incógnita ahora, que al despejarla queda: x 2 = 6 x1 + x1 = 98
Reiterando éste procedimiento, se tiene: x3 = 7 x2 = 686 x4 = 7 x3 = 4802
............................ Para poder observar la regularidad, es mejor representar estos valores en forma de exponentes, esto es, x 2 =
2.7 2
x3 = 2.7 3 x 4 = 2.7 4
............ Por lo que : x12
=
2.712
Si bien el problema está resuelto, en el desarrollo se escribió muchas fórmulas semejantes, con el propósito de resumirlas realizaremos lo siguiente: Representemos los meses del primero al último mediante la variable n. Análogamente, sea x n la forma de representar a x1 , x 2 , x3 ,..., x12 . Denotemos con x n el número de ratones presentes al final del n-ésimo mes. Si bien las ecuaciones [7.1] y [7.2] relacionan el número existente de ratones de un mes determinado y del anterior a ese, la
29
ecuación [7.3] parece tener una forma diferente, la cuál se puede reformular estableciendo para n=0, x0 , a lo que llamaremos de aquí en adelante, valor inicial, entonces tendremos: x1 − x0 = 6 x0
que es una forma de escribir [7.1] en forma idéntica a [7.2] y [7.3]. Por lo tanto, el número de ratones al principio del n-ésimo mes es, x n −1 , de donde las ecuaciones [7.1], [7.2] y [7.3] se resumen en la fórmula xn − x n−1 = 6 xn −1 [7.4] Considerando ésta nueva expresión, las soluciones para los distintos meses se puede expresar con la fórmula n x n = 2.7 [7.5] donde la variable puede tomar ahora valores desde cero. Reacomodando términos en [7.4] y aplicando la definición de una ecuación en diferencia lineal de primer orden homogénea, nos queda: xn+1 − 7 x n = 0 siendo su solución general progresiones geométricas. Así éste modelo de crecimiento se conoce como crecimiento geométrico.
7.4.
Crecimiento Geométrico Modificado
Modifiquemos un poco el problema de la progresión geométrica. Supongamos que hay dos ratones al principio del año y que por cada uno de ellos hay 6 crías al cabo de un mes. Supongamos además que los gatos atrapan 10 ratones al mes. Entonces, en vez de la ecuación [7.4], la ecuación en diferencias del número de ratones resulta ser x n +1 − xn = 6 x n − 10
con n variando de 0 a 11 y con la condición inicial, x0
=
[7.6] 2.
Esta ecuación [7.6], es una ecuación en diferencia de primer orden con coeficiente constante, cuya forma general es una sucesión geométrica modificada, que puede ser escrita como: x n+1 − 7 xn = −10
Más aún usando la forma recurrente derivada de [7.6] se puede obtener los siguientes valores numéricos: x1 = 7 x 0 − 10 =
4
x 2 = 7 x1 − 10 = 18 x3 = 7 x 2 − 10 = 116
............................... x12 = 7 x11 − 10 = 4.613.762.340
Donde se ve que la cantidad de ratones es mucho menor ahora que en el caso anterior en que no había gatos, los cuales actúan como depredadores.
30
El problema en sí es un P.V.I., en efecto:
x n+1 - 7 x n = -10 x0 = 2 siendo la solución la sucesión: x n
=
1 n 7 3
+
5 3
Un planteo que puede hacerse es que sólo nos interesa la cantidad de ratones, y que la cantidad de gatos que intervienen no afecta a nuestro problema, sino solo la incidencia de estos en la cantidad de ratones, por ello es que lo que se agregó en este nuevo modelo fue sólo una constante. Posteriormente veremos en el último parágrafo, como hacer participar a la otra población en un modelo.
7.5.
Crecimiento con Retraso: la sucesión de Fibonacci
Es posible que la variación de una población para un próximo año dependa no solamente de la cantidad de individuos de ese año, sino también de la densidad de población en un año anterior. Por ejemplo, la población herbívora dependerá de la vegetación que a la vez puede depender de la cantidad de vegetación devorada por los herbívoros en el año anterior. En tal caso si el número de esa población para un i-ésimo año es xi , entonces xi +1 = f ( xi , xi −1 ) , la cuál es una ecuación en diferencia de segundo orden, y el modelo se
conoce como crecimiento con retardo, extendiéndose este nombre para cualquier orden mayor de la ecuación. Un ejemplo típico es el de la ecuación de segundo orden lineal que modela a un conocido planteo del problema de los conejos, estudiado por Leonardo de Pisa, el cuál dice: se desea conocer el número de parejas de conejos adultos resultantes de una pareja durante un año si cada pareja adulta produce mensualmente una pareja nueva y los recién nacidos alcanzan la plena madurez en el curso de un mes. En efecto, llamemos con x0 el número inicial de parejas adultas, con x1 el número de parejas existentes al cabo de finalizado el primer mes, con x 2 la cantidad de parejas al finalizar el segundo mes, y en general con x i , el número de parejas de conejos adultos, al finalizar el i-ésimo mes, entonces, podemos analizar el problema de la siguiente manera: • x 0 = 1 la cuál es una condición inicial. • Pasado un mes, se tendrá una nueva pareja de conejos, que al ser recién nacidos no afectan a nuestro segundo valor de la sucesión, así: x1 = 1. • Al finalizar el segundo mes se tiene dos parejas de conejos adultos, e igual cantidad de recién nacidos, los que al cabo del próximo mes serán adultos, así: x 2 = x0 + x1 • Esta última expresión se extiende para los siguientes meses con lo que se puede escribir la nueva ecuación como una generalización de la anterior: xi +1 = xi + xi −1
siendo una ecuación en diferencias lineal de segundo orden. Debe tenerse cuidado que la ecuación anterior no es el modelo completo de nuestro problema, pues las condiciones iniciales determinan la sucesión única dada por el P.V.I. siguiente:
31
x0 = 1 x1 = 1 x = x + x i i −1 i +1
Queda así determinada la sucesión única conocida como Sucesión de Fibonacci, nombre con el que pasó a la inmortalidad Leonardo de Pisa.
7.6.
Variación de precios según una cierta depreciación
El precio de mercado de un producto para un cierto año t , a partir de su aparición sufre una cierta depreciación d , respecto de cada nuevo año. Consideremos que sea este del 4%, entonces podemos decir que si el precio para un determinado año t se expresa por p t , resultará que para el año siguiente el precio se expresa como: pt +1 = (1 − 0,04) pt = 0,96 p t
De hecho ésta es una ecuación en diferencias de primer orden que responde a una progresión geométrica. Al igual que antes se trata de un problema con valor inicial, en donde el precio con el que salió al mercado es el valor inicial, es decir: p 0 es el valor con el cuál sale al mercado.
7.7.
Variación de velocidad en un móvil
Supongamos un vehículo de velocidad libre que acelera en una pista recta con una velocidad inicial de 80 km/h, al pasar por el punto de control, y que acelera durante diez segundos de forma tal que a t segundos de pasar por dicho control su velocidad esta dada por vt , siendo vt = vt −1 + 3t + 5 . De ésta manera podemos hallar las velocidades a cada segundo según la ecuación en diferencias de primer orden dada, con el valor inicial v0 = 80 . En efecto, se puede hallar los valores: v1 = 80 + 3 × 1 + 5 = 88 v 2 = 88 + 3 × 2 + 5 = 99
............................ v10 =
260 + 30 + 5 = 295
También aquí corresponde ver al modelo como un problema con valor inicial.
7.8.
Crecimiento en Poblaciones con dos Especies
Un modelo matemático discreto que podemos tratarlo matricialmente, abordado mediante potencias de una matriz de transición en un sistema de ecuaciones lineales de primer orden es el de poblaciones en competencias. En efecto, sea una población con crecimiento constante a proporcional a la cantidad de ejemplares existentes el año anterior, y siendo p0 la población inicial, se tiene que pi +1 = api , como se presentó en el modelo geométrico. Esto corresponde a un modelo sin competencia, pero ahora tomando a dos poblaciones que compiten entre sí en un mismo hábitat, infinitamente grande como para que su tamaño este fuera del alcance del problema, al igual que cualquier otra disponibilidad, entonces, cada
32
