Determinación nación del del número de platos platos teóricos óri cos necesarios sarios para para una separación dada con líneas de operación y equilibrio rectas. (página 436 "Transferencia de masa" Sherwood, Pigford, Wilke)
G1 y1
Balance en el plato 1
L 0 x0
G1 y1
L0 x0 + G2 y2 = L1 x1 + G1 y1
(1) (1)
1
Si los flujos fl ujos L y V son const consta ante ntes L x0 + G y2 = L x1 + G y1
L 0 x0
L q xq (2) (2) Gq+1 yq+1
Para el caso de absorci absorción ón se despe despeja la fracción racción molar olar en en la la fase gaseosa y1 =
L L x0 + y2 − x1 G G
L p xp
(3) (3)
Gp+1 yp+1
teniendo teniendo en cuenta que la lílínea de operación operación es una una recta y = mx + b y0 = mx0 + b y1 = mx1 + b
y0 − b m y −b x1 = 1 m
Gm+1
(6) (6)
y sabi sabiendo endo que el factor factor de absorción bsorción A es el el cocien coci ente te entre la la pendie ndiente de la líne lí nea a de de operación y la pendiente de la línea de equilibrio.
CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
L Gm
p+1
m+1
(5) (5)
L L L L y0 − b+ y2 − y1 + b Gm Gm Gm G
A =
f p
N
A quí se ha propuesto propuesto una una rectade equil quilibrio brio cuya ordenada al GN+1 yN+1 orige ori gen n no es es cero. Una U na recta recta con estas estas característi racterísticas cas no tien tiene e su su correlato correlato fí físico sico ya quesi no exi existe ste soluto soluto en unafase ase no puede existir soluto en la otra en el equilibrio. L a recta propuesta propuestatien tiene e sentido ntido cuando cuando re representa la la aproxi aproxim mación ación se los los datos de equilibrio. y1 =
q+1
L
(4) (4) x0 =
q
(7) (7)
1 de 9
L N xN
y1 (1+ A) = A y0 + y2 y1 =
A y0 + y2 (1+ A)
(8) (9)
Balance para el plato 2 L x1 + G y3 = L x2 + G y2
(10)
L L x1 − x2 + y3 G G
(11)
y2 = A y1 − A y2 + y3
(12)
y2 (1+ A ) = A y1 + y3
(13)
y2 =
y2 =
A y1 + y3
(1+ A
)
(14)
reemplazando el valor de y1 de la ecuación (9) tenemos ⎡ A y0 + y2 ⎤ A ⎢ ⎥+ y (1+ A) ⎦ 3 ⎣ y2 = (1+ A ) y2 =
⎡ A y2 ⎢1− ⎢ (1+ A ⎣
A2 y0 + A y2 + (1+ A ) y3
(1+ A )
⎤ ⎡ (1+ A )2 − A ⎥ = y2 ⎢ 2 2 ) ⎥⎦ ⎢⎣ (1+ A )
⎡ 1+ 2A + A2 − A ⎢ y2 2 ⎢ 1+ A ) ( ⎣
2
⎤ A2 y + (1+ A ) y 0 3 ⎥= 2 ⎥ (1+ A ) ⎦
⎤ ⎡ 2⎤ A2 y0 + (1+ A ) y3 A A 1 + + ⎥ = y2 ⎢ ⎥= 2 ⎥ ⎢ (1+ A ) 2 ⎥ 1+ A ) ( ⎦ ⎣ ⎦
y2 =
A2 y0 + (1+ A ) y3
1+ A + A2
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Multiplicando y dividiendo por (A-1)
CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
2 de 9
y2 =
A2 ( A − 1) y0 + (1+ A
(1+ A
y2 =
)( A − 1) y3 + A2 )( A − 1)
A2 ( A − 1) y0 + ( A2 − 1) y3
( A3 − 1)
(20)
(21)
Balance para el plato 3 L x2 + G y4 = L x3 + G y3
(22)
L L x2 − x3 + y4 G G
(23)
y3 = A y2 − A y3 + y4
(24)
y3 (1+ A ) = A y2 + y4
(25)
y3 =
y3 =
A y2 + y4
(26)
(1+ A )
Reemplazando la (19) ecuación en la ecuación (26) tenemos ⎡ A2 y0 + (1+ A ) y3 ⎤ A ⎢ ⎥ + y4 A2 + A + 1 ⎢⎣ ⎥⎦ y3 = (1+ A ) y3 =
A3 y0 + A (1+ A ) y3 + ( A2 + A + 1) y4
( A2 + A
⎡ A (1+ A ) y3 ⎢1− 2 ⎢⎣ ( A + A + 1)(1+ A
+ 1)(1+ A
)
⎤ A3 y0 + ( A2 + A + 1) y4 ⎥= ) ⎥⎦ ( A2 + A + 1)(1+ A )
⎡ ( A2 + A + 1)(1+ A ) − A (1+ A ) ⎤ A3 y0 + ( A2 + A + 1) y4 ⎥= y3 ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ ( A2 + A + 1)(1+ A ) ( A2 + A + 1)(1+ A ) ⎡ ( A2 + 1) (1+ A ) y3 ⎢ 2 ⎢ ( A + A + 1)(1+ A ⎣ CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
⎤ A3 y + ( A2 + A + 1) y 0 4 ⎥= 2 ) ⎥⎦ ( A + A + 1)(1+ A )
(27)
(28)
(29)
(30)
(31) 3 de 9
y3 =
A3 y0 + ( A2 + A + 1) y4
(A
2
+ 1) (1+ A
)
A3 y0 + ⎡⎣ A2 + A + 1⎤⎦ y4 y3 = A3 + A2 + A + 1
(32)
(33)
multiplicando numerador y denominador por (A-1) y3 =
A3 ( A − 1) y0 + ( A2 + A + 1)( A − 1) y4
( A3 + A2 + A + 1)( A − 1) y3 =
A3 ( A − 1) y0 + ( A3 − 1) y4
( A4 − 1)
(34)
(35)
Por analogía se pueden obtener las ecuaciones generales yN =
yN =
A yN −1 + yN +1
(1+ A )
AN ( A − 1) y0 + ( AN − 1) yN +1
(A
N +1
− 1)
(36)
(37)
Haciendo un balance detoda la columna L x0 + G yN +1 = L xN + G y1 xN = x0 +
G L
( y +1 − y1 ) N
(38) (39)
multiplicando por m y sumando b a cada miembro mxN + b = mx0 + b+
yN = y0 +
1 A
Gm ( yN +1 − y1 ) L
( y +1 − y1 ) N
(40)
(41)
igualando las ecuaciones (37) y (41) nos queda
CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
4 de 9
1
y0 +
A
AN ( A − 1) y0 + ( AN − 1) yN +1
( y +1 − y1 ) = N
( A +1 − 1) N
(42)
Multiplicado por A (AN+1-1) A ( AN +1 − 1) y0 + ( AN +1 − 1) ( yN +1 − y1 ) = A AN ( A − 1) y0 + A
( AN − 1) yN+1
( A + 2 − A ) y0 + ( A +1 − 1) y +1 − ( A +1 − 1) ( A +2 − A +1) y0 + ( A +1 − A ) y +1 N
N
N
N
N
N
y1 =
N
(43)
(44)
N
(A (A (A
N +1
N+2
− A ) y0 − ( AN + 2 − AN +1) y0 +
N +1
− 1) yN +1 − ( AN +1 − A ) yN +1 − ( AN +1 − 1) y1 = 0
− A ) y0 − ( AN +1 − A ) yN +1 + ( AN +1 − 1) yN +1 − ( AN +1 − 1) y1 = 0
(A
N +1
− A )( y0 − yN +1 ) + ( AN +1 − 1) ( yN +1 − y1 ) = 0
(45)
(46) (47)
( y +1 − y1 ) ( A +1 − A ) = ( y +1 − y0 ) ( A +1 − 1)
(48)
( y +1 − y1 ) ( A +1 − A ) = y mx b − + ( +1 ( 0 ) ) ( A +1 − 1)
(49)
N
N
N
N
N
N
N
N
La ecuación (49) es la ecuación 5.54 página 145 de Treybal
(A
N +1
− 1)
( y +1 − y1 ) = ( A +1 − A ) ( y +1 − y0 ) N
N
(50)
N
⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎤ ( yN +1 − y1 ) AN +1 ⎢ − 1⎥ = −A ⎢⎣ ( yN +1 − y0 ) ⎥⎦ ( yN +1 − y0 )
(51)
⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎤ −A ⎥ ⎢ ⎢ ( yN +1 − y0 ) ⎥⎦ AN +1 = ⎣ ⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎤ − 1⎥ ⎢ ⎢⎣ ( yN +1 − y0 ) ⎥⎦
(52)
CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
5 de 9
⎧ ⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎤⎫ ⎪⎢ − A ⎥⎪ y y − ⎪⎪ ⎢ ( N +1 0 ) ⎥⎦ ⎪⎪ ( N + 1) ln( A ) = ln⎨ ⎣ ⎬ ⎪ ⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎤ ⎪ ⎪ ⎢ y − y − 1⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ( N +1 0 ) ⎥⎦ ⎪⎭ ⎧ ⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎧ ⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎤⎫ ⎤⎫ ⎪⎢ ⎪ ⎪ −A ⎥ ⎢ − A ⎥⎪ − − y y y y ⎥⎦ ⎪⎪ ⎥⎦ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢ ( N +1 0 ) ⎪⎪ ⎢ ( N +1 0 ) ln ⎨ ⎣ ln ⎨ ⎣ ⎬ ⎬ − ln( A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ y y y y − − ⎪ ( N +1 1 ) ⎪ ⎪ ( N +1 1 ) ⎪ ⎪ ⎢ y − y − 1⎥ ⎪ ⎪ ⎢ y − y − 1⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ( N +1 0 ) ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪ ⎢⎣ ( N +1 0 ) ⎥⎦ ⎪⎭ N= ⎩ − 1= ⎩ ln( A ) ln( A ) ⎧⎡ y − y − A y − y ⎤⎫ ( N +1 0 ) ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎣⎢( N +1 1 ) ln⎨ ⎬ ⎪ A ⎡⎣( yN +1 − y1 ) − ( yN +1 − y0 ) ⎤⎦ ⎪ ⎭ N= ⎩ ln( A ) ⎧ ⎡ yN +1 (1− A ) − y1 + A y0 ⎤ ⎫ ⎪ ⎦⎪ ln⎨ ⎣ ⎬ A ( y0 − y1 ) ⎪⎩ ⎪⎭ N= ln( A )
⎧ ⎡ yN +1 (1− A ) + y0 − y1 + A y0 − y0 ⎤ ⎫ ⎪ ⎦⎪ ln ⎨ ⎣ ⎬ A ( y0 − y1 ) ⎪⎩ ⎪⎭ N= ln( A ) ⎧ ⎡ yN +1 (1− A ) − y0 ( A − 1) + y0 − y1 ⎤ ⎫ ⎪ ⎦⎪ ln⎨ ⎣ ⎬ A ( y0 − y1 ) ⎪⎩ ⎪⎭ N= ln( A ) ⎧ ⎡( yN +1 − y0 )(1− A ) + ( y0 − y1 ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎦⎪ ln⎨ ⎣ ⎬ A ( y0 − y1 ) ⎪⎩ ⎪⎭ N= ln( A )
CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
(53)
) (54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
6 de 9
⎧⎪ ( yN +1 − y0 ) (1− A ) 1 ⎫⎪ ln⎨ + ⎬ A A ⎪ ⎪⎩ ( y0 − y1 ) ⎭ N= ln( A ) ⎧ ( yN +1 − ( mx0 + b) ) (1− A ) 1 ⎫ ⎪ ⎪ ln⎨ + ⎬ A A ⎪ ⎪⎩ ( ( mx0 + b) − y1 ) ⎭ N= ln( A ) ⎧ ( yN +1 − ( mx0 + b) ) ⎛ 1 ⎞ 1 ⎫⎪ ⎪ ln ⎨ ⎜ 1− ⎟ + ⎬ y mx b − + ( ) ⎝ A ⎠ A ⎪⎭ ( ) ⎪⎩ 1 0 N= ln( A )
(60)
(61)
(62)
La ecuación (62) es la ecuación 5.55 página 145 de Treybal Para soluciones diluidas se pueden usar fracciones molares. Para soluciones concentradas se deben usar fracciones libres de soluto. En este último caso verificar que la ecuación de equilibrio debe ser una recta en fracciones libres de soluto. Si A=1 la ecuación (48) queda indeterminada por lo quese debe aplicar l´Hopital con respecto a A d ( AN +1 − A
( y +1 − y1 ) dA = ( y +1 − y0 ) ( A +1 − 1) N
N
N
) =
( N + 1) AN − 1 ( N + 1) AN
(63)
dA
( y +1 − y1 ) N = ( y +1 − y0 ) ( N + 1) N
(64)
N
La ecuación (64) es la ecuación 5.56 página 145 de Treybal
( N + 1)
( y +1 − y1 ) =N y y − ( +1 0 ) N
(65)
N
⎡ ( yN +1 − y1 ) ⎤ ( yN +1 − y1 ) − 1⎥ = − N⎢ ⎢⎣ ( yN +1 − y0 ) ⎥⎦ ( yN +1 − y0 )
CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
(66)
7 de 9
( y +1 − y1 ) − ( y +1 − y1 ) ( y +1 − y0 ) = N= ⎡ ( y +1 − y1 ) ⎤ ⎡( y +1 − y1 ) − ( y +1 − y0 ) ⎤ ⎦ ⎢ − 1⎥ ⎣ ⎢⎣ ( y +1 − y0 ) ⎥⎦ N
−
N
N
N
N
(67)
N
N
N=
( y +1 − y1 ) ( y +1 − y1 ) = ( y1 − y0 ) ( y1 − ( mx0 + b) ) N
N
(68)
La ecuación (68) es la ecuación 5.57 página 145 de Treybal Si se parte de la ecuación (37) y se distribuyen los términos tenemos yN =
AN ( A − 1) y0 + ( AN − 1) yN +1
( AN+1 − 1)
( A +1 − 1) y
(69)
= AN ( A − 1) y0 + ( AN − 1) yN +1
(70)
AN +1yN − yN = AN +1y0 − AN y0 + AN yN +1 − yN +1
(71)
AN +1 ( yN − y0 ) = ( yN − yN +1 ) + AN ( yN +1 − y0 )
(72)
N
N
reemplazando yN con la ecuación (41) ⎛⎡ ⎞ ⎤ 1 AN +1 ⎜ ⎢ y0 + yN +1 − y1 ) ⎥ − y0 ⎟ = ( yN − yN +1) + AN ( yN +1 − y0 ) ( A ⎦ ⎝⎣ ⎠
(73)
⎛ ⎞ 1 AN +1 ⎜ y0 + yN +1 − y1 ) − y0 ⎟ = ( yN − yN +1) + AN ( yN +1 − y0 ) ( A ⎝ ⎠
(74)
AN ( yN +1 − y1 ) = ( yN − yN +1) + AN ( yN +1 − y0 )
(75)
AN ( y0 − y1 ) = ( yN − yN +1)
(76)
AN =
( y +1 − y ) ( y1 − y0 ) N
N
⎛y −y ⎞ N ln A = ln⎜ N +1 N ⎟ ⎝ y1 − y0 ⎠ CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc
(77)
(78) 8 de 9
⎛ y −y ⎞ ln⎜ N+1 N ⎟ y −y N= ⎝ 1 0 ⎠ lnA ⎛ yN+1 − ( mxN + b) ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ y1 − ( mx0 + b) ⎟ ⎠ N= ⎝ lnA
