Página 1 de 11 SESIÓN 6. ANALISIS DE POSICIONES ¿Qué es? Dado un mecanismo de un grado de libertad, en función de su entrada (la posición angular d la manivela, usualmente) debe encontrarse la posición angular del resto de los eslabones, en el caso de juntas de pasador, y la posición de correderas en el caso de juntas prismáticas o de pin deslizante. Maneras de realizarlo Método gráfico: la forma más eficiente es construir un modelo en el computador utilizando un software tal como Working Model®, o bien realizando un modelo físico a escala apropiada. El resultado es simplemente la posición o configuración del mecanismo para varios valores de posición angular del eslabón de entrada, que tomaremos como la manivela.
Método algebraico Hay que producir a partir del mecanismo un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas serán las coordenadas que definan la configuración del mecanismo dado un valor de entrada de la posición de la manivela (y las dimensiones del mecanismo, desde luego). Las ecuaciones resultantes pueden ser solucionables algebraicamente o numéricamente. A continuación se presenta: • Obtención de las ecuaciones de configuración para un mecanismo dado: “ecuación de lazo vectorial”. • Solución algebraica para unos casos comunes: el mecanismo de cuatro barras de junta de pasador, mecanismo de cuatro barras con junta prismática y para una inversión de este último • Ejemplo de aplicación: problema práctico (es decir, enunciado en términos de datos medibles y cuya relevancia este al alcance de la intuición) que implique lo señalado en el ítem anterior • Solución para el caso no lineal: método de Newton Raphson; elaboración de un código en SciLab
Página 2 de 11 Ecuación de lazo vectorial Se trazan vectores a lo largo de los eslabones y entre nodos de interés (es decir que involucren las posiciones angulares o lineales que se desea hallar y la posición angular de la manivela de entrada)
La base del vector se define según la manera en que se quiera interpretar el valor de la posición angular. Se sugiere tomar O2 como origen fijo de un sistema de coordenada XY, donde X va a lo largo de la línea que une los nodos del bastidor. La ecuación de lazo vectorial es:
Formación de las ecuaciones Es cuestión de representar cada uno de los términos de la ecuación de lazo vectorial utilizando su expresión polar:
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Tomando R como factor común y definiendo la “identidad de Euler” como:
Se tiene:
Utilizando esto en la ecuación de lazo vectorial se tiene que:
Reemplazando la identidad de Euler y separando partes real e imaginaria:
Página 4 de 11 Son estas dos ecuaciones donde las incógnitas son {θ3, θ4} Se puede hacer lo mismo con otros mecanismos. En el texto de Norton se muestra el caso para mecanismo de manivela corredera y para una inversión de éste que mostraremos mas adelante. El propósito de presentar el tratamiento algebraico es que el análisis grafico de la velocidad y la aceleración se facilita en su interpretación; veremos que dicho tratamiento permite descomponer el resultado que WorkingModel® puede arrojar, lo que enriquece aquello que podamos decir o proponer con respecto de un mecanismo. Solución de las incógnitas Para los casos indicados Norton ofrece solución analítica, quizá más valiosa si se ingresa en una hoja de cálculo, de manera que pueda obtenerse de manera grafica la información sobre la configuración del mecanismo. Podría existir alguna información que se desea obtener con respecto de la configuración y que no fuese posible de manera directa con, por ejemplo, WorkingModel®.
Nótese que para el mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador existen dos soluciones; corresponden a las dos formas de armar el mecanismo:
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Caso para el mecanismo de cuatro barras con corredera Lazo vectorial: el eje X se escoge paralelo a la corredera.
La ecuación vectorial y su desarrollo son:
Página 6 de 11 Solución:
Véase que como el argumento de la función arco-seno solo puede ir de -1 a 1, entonces se tiene que: a sin θ 2 − c ≤1 b Resulta ser una restricción al mecanismo en cuestión. Si no se cumple, entonces la manivela no podrá dar un giro completo sin encontrar atascamiento Caso para el mecanismo de cuatro barras con corredera: inversión Lazo vectorial: en este caso la distancia “b” es variable (pasa a ser una de las incógnitas); por otra parte entre los eslabones 3 y 4 la orientación (posición angular) relativa es constante (ver: γ)
El desarrollo de la ecuación vectorial es:
Junto con:
Se tiene como incógnitas {θ3, b}:
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Detalles adicionales sobre el mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador Angulo de transmisión en un mecanismo manivela-balancín (Grashof): según la siguiente figura, el ángulo de transmisión se toma como el ángulo agudo formado entre los eslabones 3 y 4 (móviles). Aunque no va a ser 0° (porque el mecanismo es de Grashof) si va a tener unos valores extremos que, mientras mas se alejen de cero, significa que el mecanismo será mas eficiente en la transmisión de fuerza. Los valores extremos del ángulo de transmisión corresponden a las siguientes configuraciones:
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Para mecanismos de no-Grashof, o de Grashof tipo doble balancín, es claro que al impulsar el mecanismo desde el eslabón 2 o 4 habrá un momento de atascamiento, donde los dos eslabones móviles restantes estarán colineales:
Resulta relevante saber a qué ángulos de la manivela de entrada se encuentran tales configuraciones de atascamiento; existe una expresión que se interpreta según la siguiente figura:
Página 9 de 11 Ejemplo de aplicación Una situación en la que lo aquí expuesto resulta aplicable es la siguiente:
Hallar el recorrido horizontal en que las puntas del transportador van por encima del nivel de la banda transportadora: vemos que tales puntas hacen parte del transportador, que es un cuerpo rígido y a la vez el eslabón acoplador según el siguiente lazo vectorial: y
R3 R2
R4
x R1
Página 10 de 11 El mecanismo de cuatro barras indicado es un paralelogramo. Luego sabemos que θ3 = θ1 = 0; también que θ2 = θ4. Debemos hallar inicialmente para que rango de valores de θ2 la punta del transportador estará arriba del nivel de la banda: y Q H RQ R2
h x
RQ es un vector constante en magnitud y tiene la misma orientación θ3, que ya se conoce. La coordenada y de Q esta dada por R2 sin (180° − θ 2 ) + H . Debemos resolver para θ2 de la siguiente ecuación:
h = R2 sin (180° − θ 2 ) + H Y esto dará los valores de θ2 entre los cuales Q estará por encima del nivel de la banda. El recorrido horizontal de Q por sobre la banda (acción de transporte) estará dado por la diferencia en la coordenada horizontal x de Q para ambos valores de θ2 recién hallados. La coordenada horizontal de Q esta dada por: R2 cosθ 2 + RQx
RQx es la componente horizontal de RQ, que se puede medir sobre el plano del mecanismo. Hallar el desplazamiento total del eslabón DE: Aquí identificamos el mecanismo de cuatro barras AB, BC, CD, DA (manivela, acoplador, balancín, bastidor). DE hace parte de CD, luego sus desplazamientos son los mismos. Como este eslabón ejecuta rotación pura, su desplazamiento será angular. Su máximo recorrido (amplitud) para una vuelta de la manivela (es decir 360° de θ2 según el desarrollo hasta aquí hecho) puede hallarse tras evaluar la expresión para θ4 (posición angular del balancín). Para tener una interpretación correcta de lo que arroje dicha expresión deberá considerarse el siguiente lazo vectorial:
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y Q H h x R2 R3 R4
R1
