6.
8.1 9. 10.
L\'rcIV DE CONJUNTOS I.\TERSECCIÓNDE CONJUNTOS COMPLEMENTODE UN CONJUNTO D] FERENCIADE CONJUNTOS guÉrntct DTFERENCTA DE coNJUNTos LEYESDE OPERACIONESCON CONJUNTOS CARDINALDE UN CONJUNTO PROPIEDADES PRODUCTOCARTESIANO
nqnnaóu DEuNcoNJUNTo EJERCIAOS
CAPITULOIII,
54 54 55 56 57 58 6I 62 65 68 70
OPERACIONESALGEBMICAS
r.
mrnooucctóu
],1
LEYESDE LOSEXPONENTES
2. 2.r. 2.2 2.2.r
nxpnnsñu ALGEBRAT:A rÉnm¡tostLGEBRArcos rÉnmNossIMEJANTES nnoucctóN oo rÉnm¡vos;EMEJANTES
3. 3.1 4,
POLINOMIO GMDO DE LASEXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONESCON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
4.3. 4.3.1 4,3.2 ,, 5.1. 5.2
otvtstóN otvtstót¡ o¿ poLINoMIos: uÉrooo N¡RMAL y DE HzRNER TEOREMADEL RESIDUO PRODUCTOSYCOCIENTESNOTABLES PRODUCTOSNOTABLES COCIENTESNOTABLES EJERCIAOS
4.r. ,qotctóur susrn¿cctó¡'t 4.2. uuntpuc.¿ctó¡,t
6. 6.r.
p,¿crontz.¿ctóN FACTzR couú¡'t
6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6,9. 6.]0.
TNNOMIOSQUE SONCUADMDOS PERFECTOS DIFERENCIADE DOSCUADMDOS POLINOMTOS QUE SONCUBOSPERFECTOS SUMA Y DIFERENCIADE DOSCUBOS TRINOMIODE LA FORMA ¡2 + px + q TRINOMIODE LA FORMA vv'.+ px * q FACTONZACIONPORADICION YSUSTMCCION BINOMIOS. FACTONZACIÓ¡,IPONDIVISORES FACTONZACIONESADICIONALES
uÁxtuo couú¡¡ otvtsonv uiutuo couúN uútrrpLo z. 7.r. uÁxtuo couúu ntwsoR:M.C.D. 7.2. uiruuo couú¡¡uútrtPLo:m.c.m.
8.
ALGEBRAICAS FRACCIONES
8.r. 8.2 8,3.
,qntaó¡¡ v susrrucaó¡,t DEFMCCIzNES nr, gupurtc¿ctó¡,t PRTNCTPrc r ntrtstów DEFRACCIzNES MULTTzLICAcIóN
8.4. 9. 9.1.
FMCCIONES COMPUESTAS RADICALES RACIONALIZAAÓNNUDENOMINADOR EJERCI9IOS
80 80 84 85 86 87 87 88 9I 9I 93 95 96 r00 IOI 102 107 il0 t20 120 t) l
122 123 , ),1
125 127 t29 t30 t32 I35 t35 136 137 137 139 t4I t42 143 r45 r48
T CAPITULOIV
DE ECUAC]OJ'ES ECUACIONESY SISTEMAS
LA ECUACION ECUACIONESLINEALESCON UNAINCÓGNITA SISTEMADE ECUACIONESLINEALES DETERMINANTES,REGLADE CRAMER DETERMINANTEDE SEGUNDOORDEN DETERMINANTEDE TERCERORDEN ECUACIÓNCUADRÁTICACON UNAINCÓGNITA RESOLUCI ÓN POR FACTONZACIÓN RESOLUCIÓNPORMEDIO DE TJNAFÓRMULA PROPIEDADESDE LASRAICES ECUACIONESREDUCIBLESA LA FORMACUADPJíTICA SISTEMASDE ECUACIONESDE SEGUNDOGRADO PLANTEODE PROBLEMAS EJERCIAOS
CAPITULOV. I. 2. 2.1. 2.2. 2.2,1. 2.2.2. 2.2.3. 2,2.4. 3. 3.t. 3,2, 4. '
, 2. 2.1 2.2 3. 3.1. 3.2 3.3. 4.
DESIG UALDADESE I NECUACIONES
AXIOMASDE ORDENDE LOSNÚMEROSREALES DESIGUALDADES DESIGUALDADESABSOLUTAS INECUACIONES INECUACIONES LINEALES INECUACIONESPOLINÓMICAS INECUACIONESFRACCIONARIAS INECUAC]ONES CONMDICALES VALORABSOLUTO TEIREMASsÁstcos CON VALORABSOLUTO ECUACIONESE INECUACIONES SISTEMASDE INECUACIONES EJERCIC]OS
CAPITULOVI
pnoc nnsñ ¡'t.l ntru Éuc,e suMADEUNApnocnnsñ¡'tmtruÉruc.t AvruÉrucos MEDros pnoc nrsñ ¡,tc nou Érp.tc,s suMADEUNApnocnasñNcnouÉruc's. MEDrosctouÉrrucos
LAsuMADEUNApnocndgó¡,¡cnouÉrmc,qINFINITA pnoc nnst ó¡,t,q n*tóNt c,q
t.1 1.2 2. 2.1
239 239 241 243 244 246 248 249 251 f
EJERCIAOS
I.
207 207 208 209 209 2t0 2t4 2t7 2t9 219 220 225 228
PROGRESIONES
SUCESIONES
CAPITULO VII,
164 t61 i6i l6i66 t-ú t75 175 176 t78 t8I r85 i,89 r92
COMBINATORIA
DEL CONTEO PRINCIPIOS BASICOS PN NCrPrc DE MULTIPuc,¿c tó¡v PNNCIPrcna rotctó¡'t FAcroRrALDE uN ¡túu¿no PROPIEDADES DELOSFACTONALES
(.
LOGICA
Ejemplo:
proposición Simbolizarla siguiente " si Pablo no ha venido entoncesno ha recibido la carta o no está interesadoen el asunto". Lasproposiciones simplesquecomponenson: p:
" Pabloha venido"
q:
" Pabloha recibidola carta"
r:
en el asunto" " Pabloestáinteresado
sesimboliza - p + (- q v - r) luego,la proposición compuesta 4,1.
TABL/I DE VALORESDE VERDAD
depende de los valoresde verdadde las El valorde verdadde unafórmulaproposicional proposicionessimplesque la componen.Es decir, se debe analizartodaslas posibles quela componen, se lascuale's de valoresde verdadde lasproposiciones combinaciones dan en las primerascolumnas.Por tanto, si en una formula proposicionalintervienen "n" proposicionessimplesdiferentes,entoncesen la tablade valoresde verdadhabrá2n combinacionesdiferentes.Así, para dos proposicionesse tiene 22 = 4 posibles etc. de V y F. Paratres,23:8 combinaciones, combinaciones
Ejemplo:
Construirla tabladeverdadde la proposición - p -+ (- q y - r). Como en la proposición dada intervienen 3 proposiciones simples, entoncesse analizará23 = I
renglones.Esto es:
!0
ALGEBRA
p
q
r
-p
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
F
V
V
-)
(q v r)
R
Luego, los valores de verdad de la formula proposicionalse encuentranen la columnaR.
4.2.
CLASIFICACIONDE
FORMUL/ISPROPOSrcIONALES
Las fórmulas proposicionales(las proposicionescompuestas)se clasifican, según sus valoresde verdad,en Tautología,Contradiccióny Contingencia.
4.2.1TAUTOLOGIA Es una fórmulaproposicionalque es verdaderaparacualquier valordeverdadde lasproposiciones quela componen.
LOGICA
Ejemplo:
ll
La tabla de verdadde [(- p -+ q)
p
q
V
^
- q ] -+ p, es:
-p t(-p
-+
q)) q
A
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
.F
q ql
-)
p
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
,--l--l
ttl
---+/\<--J
Y-/
Según la columna" R", la fórmula dadaes una tautología.
4.2.2. CONTRADICCIÓN Es una fórmula proposicional que es falsa para cualquier valor de verdadde las proposicionesque la componen.
Ejemplo:
Latabla de verdadde la fórmula proposicional (-p-+
q) e
(-p¡-q)
, es :
p
q
(-p
-)
q)
e
( -p
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
-q )
L--C ó--J -,1,-
Según la columna" R", la formuladadaes una contradicción.
4.2.3 CONTINGENCIA Es una fórmula proposicional que no es tautología ni contradicción.
1l
ALGEBRA
Ejemplo:
L a tablade verdadde ( p <+ - q ) y - ( p n q ), e s :
p
q
V
p
<:)
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V.
F
F
F
(
p
-q
*Ó!---*/,\¿
q
Según la columna "R", la fórmula dada es una contingencia,ya que no es tautologíani contradicción.
4.3
EQUIVALENCIA tÓCtC,q
Dos fórmulasproposicionalesse dice que son lógicamenteequivalentessi sus tablasde verdad son idénticas, o sus valores de verdad son los mismos en cada renglón. Usaremos el símbolo " = " para expresar la equivalencia entre dos formulas proporcionales.
Ej e m p l o :
l atab ladeverdaddelasformulaps < > q y -(p
v q )s o n :
luego.ias formulasdadassonequivalentes. Es decir, p +> q :-
(p y q)
l3
LOGICA
4.1
EJEMPLOS ADICIONALES
Ejemplo:
p, 9, r son, Jabiendoque los valoresde verdadde las proposiciones V, F, V, determinarel valor de verdadde respectivamente,
-[-(p+ - r) n (- q v'- p )] e -[r + - (- p v - q)] losvaloresde verdadde lasproposiciones: SOLUCION: Sustituyendo proposicionales. p : V, q = F y r = V, segúnlasreglasde lasoperaciones dada,comosigue: seobtieneel valorde verdadde la proposición -[-(p+ - r) n (- q v - p )] <+ -[r -+ - (- p v - q)] -[-(v+ -V) n (-F v - V )] +> -[V + - (- V v - F)] -[-(V-+ F) n (V y F )] +> -[V + - (F vV)] -['F nV] <+ -[V+ - V] -[V nV] <+ -[V+ F] -V <+-F F <+V =F Ejemplo:
q) esF y quer esV, obtenerel valordeverdadde: ^[(-p n q) -+ -r] e -(p v -q)
que-(p Sabiendo
SOLUCIÓN: En primer lugar determinaremoslos valores de verdad de las pn-q es proposiciones simples,p y q. Estoes,si -(pn-q) es F, entonces p y -q sonV, de dondeq esF. V. Luego,segúnla reglade la conjunción, Por tanto, los valores de verdad de las proposicionesP, I y r son. V, F, V. respectivamente, dadaes: el valordeverdadde la proposición En consecuencia, [(-p n q) -+ -r] e -(P v -q) [(-V n F) -+ - V] <+ -(V v -F) [(F nF) -+ F] <+ - (V vV) [F -+ F] <+ -F V <>V =V
ALGEBRA
l-t
Ejemplo:
que r y s proposicionestales Seanpy qproposicionescualesquiera, -(r v - s) es V. Determinarel valor de verdadde [(-p,. r) +> (q v s)] -+ -(p v q)
SOLUCION: Si -(rv - s) es V, entoncesrv - S es F, de dondery -s son F, y s es V. Por tanto,tenemosr: F, s :V, py q proposiciones cualesquiera, Luego, la proposicióndadaresulta [(-p n F) e (q v V)] -+ -(p v q) Según las reglas de la conjunción, disyunción y de la implicación tenemos IFeV ]
-+-(pvq) F-+-(pvq):V
Ejemplo:
Sabiendoque p es F y que q es una proposicióncualesquiera,determinar el valor de verdadde la proposiciónx. Tal que (-p -+ x ) + (p ,.'-q) seaverdadero.
SOLUCION: Si p es F. entoncesla proposicióndadaresulta :(-F+x)-+(Fn-q)
r
=(V -+x)-+F Para que esta última expresión resulte verdadero, según la regla de implicación,.el antecedentedebe ser F, es decir V-+ x : F, de donde x
{
debeserF.
5.
ALGEBRA DE PROPOSrcIONES
Strfl op€racioneslógicas que se realizan en una fórmula proposicional, aplicando ciertasreglasbásicasllamadasleyes lógicas.Es decir, al igual que en ¡decuadamente ..gEt'rabasicadondela simplificaciónde expresionesalgebraicases muy importante,en ,q:*
complejas,a rambiéneriste la necesidadde simplificarfórmulasproposicionales
llamadasleyeslógicas,que a continuaciónse listan. lsr ¡5 Je ciertasequivalencias
I
LOGICA
5.L
l5
LEYES LÓGICAS
son fórmulasproposicionales lógicamente equivalentes, estasson: l)
Leyes de idempotencia:
pA p = p
pvp= p
2)
Leyes conmutativas:
p ^ q= q^p;
pvq:qvp
.ll
Leyes asociativas:
(pnq) A r = pA ( q n r ) (p vq) vr :
4)
Leyes de negación:
p v ( qv r )
-(- p) = p P n- P=F
;
5)
Leyes de identidad:
P Av:p
6)
Leyes de De Morgan:
-F lq.) =- pv- q
P V -P = V
PVF:P
-(pvq) =- p^- q 7)
Definición de implicación:
p -+q= - pvq
8)
Leyes distributivas:
p ^ (qvr ) = ( pnq) v( pnr ) p v( qnr ) =( pvq) n( pvr )
e)
Leyesde absorción:
p ^( pvq) = f, p ^ F:F
10)
;pv( p^q) =p
; pvV:V
Definiciónde dobleimplicación: p <+q=( p- + q) n( q- + p)
#
:ó
5.2.
ALGEBRA
SIMPLIFICACIÓN Nr nÓNMUTES PROPOST\ONALES
Setratade trasformarunafórmulaproposicional en otraequivalente a ella perolo más reducidaposible.Paralo cual se debeusaroportunay correctamente las leyeslógicas. Así mismo,debenespecificarse encadapasola ley o leyesquefueronutilizados. Ejemplos: a)
En cadaunode los siguientes incisos,simplificarla proposición dada: Simplificar : p^(qv-q) como q v - g = V
por la ley denegación
(L. neg.)
luegosetiene: p ^ ( q v - q ):p A V = P , segúnla ley de identidad b)
(L. ident.)
S i m p l i f ica r:-q v(-p n p ) como -p
p = F, segúnla ley denegación ^ luegosetiene:
(L. neg.)
- q v ( - p n p)=-q vF = - Q , segúnla ley deidentidad (L.ident.) c)
Si m p l i f i c a r:, -(p ^-q )vq Porla ley deDe Morgan(L. D M), - ( p n -q) =-p v q luegosetiene: - ( p n - q ) vq =(-p vq )vq : - p v (q v q), segúnla ley asociativa (L.asoc.) = - p v q , segúnla ley de idempotencia (L. Idem.)
d)
Simplificar: - (p -+ - q)
p ^ Porla definicióndeimplicación( d.imp.),p -+ tuq : -p v _ q luegosetiene: -(p+-q)np
= -(-p v-q )^ p
17
LOGICA
Seg ú nla Ley de De Morgan(L.D. M. ), -(-p v -q )
= p
^
q
n' -q) -(P.+ : ll::k'Jm::"'"lili;l Por tanto,
e)
Si m p l i fi ca: r q ^(-p -+-q ) (D.lmp.),-p -+ - q - p v - q Pordefiniciónde implicación luegosetiene: q n ( - p -+-q ) =q A ( p v-q ) = (q n p)v (q n - q ) , segúnlaLey distributiva(L.dist)
f)
= (q ¡ p) v F, segúnla ley de negación
(L. Neg.)
= q r. p, segúnla ley de identidad
(L. ident)
Si m p l i fi ca: r (-p +q ) n (p v-q) por la definiciónde implicación(D. I-p), - p +q
= pv q
luegosetiene: ( - p - + q ) n (p v-q )
= (P v q) n ( Pv- q) = pv (q 4- q), segúnla Ley distributiva(L. dist.) = p v F , segúnla ley de negación (L. neg.) = p , segúnla ley de idempotencia
g)
Simplificar:
(L. Idem)
pv - (p + r)
como pi r = - p v r, segúndefinicióndeimplicación (D.lmp.) luego p .r- (p -+r):
p v-(-pvr ) : pn(pn-r),según la L. deDe Morgan (L.D.M) = p , segúnla Ley deabsorción
(L. Abs)
It
ALGEBRA h)
Simplificar: qv (p +-q) co m o p +-q=-pv-q,
según d e f in ic ió n dimp e lic a c ió n (D.I mp . )
luego se tiene: qvG - + - q)=qv(-pv-q) = (q v - q) y -p, segúnla ley asociativa (L. Asoc.)
i)
= V v - q, segúnla Ley.denegación
(L. Neg.)
= V, segúnlaLey de absorción
(L. Abs.)
Sim p lifi c ar: p^[qv(p^-q)] p^[q v( p n-q)]
j):
L . d is t
= pA [(qvp)n V ]
L.neg
= pn(qvp)
L . id e n t
= p
L.abs.
s i m p l i f i c a r: -(p ^ q )n (p +q ) = (- p v-q )n ( - pvq)
- ( p n q ) n ( p +q ) ,
k)
=pA [(qvp)n( q v -q )]
L.D' M ,D.im p.
=-p v(-q n q )
L.dist
: - p vF : - p
L.neg.
,I I
,li
I \,
L.ident.
S i m i r l i f i ca r:[(p ^-q )v(p ^q )]+(-p^- q) [(p n - q)v(p n q )]+(-pn-q)=[p
I
I
q) ^(-qvq )]+( -p ^ =[ p ^V]- + ( - p^- q)
L.neg.
= p +( - p^- q)
L.idenr .
L.dist.
=_rrv(-p^-q) lfi:
ALGEBRA
l0
6.crRcurros tóctcos: Un circuito, con un interruptor,puedeestar"¿lbicrto"o "ccrrado". Cuandoel interruptor está abierto no pennite el paso de corriente, mientrasque cuando está cerrado sí lo permite. Si asociamosuna proposiciónacada interruptor,intuitivamente,vemos que en el álgebra de circuitos la V de tal proposición indica el interruptor cerrado y F el intemrptor abierto. Así, el circuito lógico que representaa una proposición p es:
p
Si p es V, se tiene:
pasala corriente
#
P:V
,@ Si p esV, setiene:
no pasala corriente
-.a.-Y
P:F 6.1.
CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
proposicionales Las operaciones mediantecircuitoslógicoscon se puedenrepresentar tantosintemrptorescomo proposicionesque la componen,combinadosen serie o en paralelosegúnel conectivológicoqueunelasproposiciones.
6.I.L
CIRCUITOS EN SERIE La conjunciónde dos proposiciones(p n q) está
por un circuitológicoen serie.Estoes: representada pq p y q conectados. en serie. Esteci¡cuito permiteel pasode corrienteúnicamentesi p y q sonV (o estríncerrados). p y q. -\sr. seobtienela tablade verdadde la conjunciónde dosproposiciones,
\
LOGICA
2l
(pvq) esüá 6.1.2. CIRCUITOS EN PARALELO La disyunciónde dosproposiciones por un circuitológicoen paralelo.Estoes: representada
q p y q conectados enparalelo. Este circuito no permite el paso dé coniente únicamentesi p y q son F (o estrfur p y q, es: abiertos). Porlo cual,la tabladeverdadde la disyuncióndedosproposiciones, p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
pv
{
ALGEBRA
22
en serie,mientrasel OBSERVACIÓN El conectivológico "y" (r.) equivalea conexión conectivológico..o" (v) equivalea conexiónen paralelo. Ejemplo:
p+
Representarel circuito lógico de
q'
Co m o P +q=-P V Q: luego el circuito lógico que representaes:
Ejemplo:
Representarel circuito lógico de p e q' C om o :pe>q =(P -+
q)n(q'+
P)
=(-P vq)n(-qvP ), luego el circuito lógico que representaes:
Ejemplo:
el circuitológicode p y q' Representar C o mo
P Y q =-(P <+q ) =-[(p -+ q) ¡ ( q- +
P) ]
=-[(-p v
q) ^( - qv
P) ]
=-(-p v
q) n- ( - qv
P)
= (p ^-
q) v( qn.'
P) ,
es: luegoel círculológicoquerepresenta
5
¡ ,{ I
I
1
L OGIC A
Ejemplo:
Escribir la proposicióncorrespondiente al sgte.circuito y simplificar. J_______J_
q]-
-p J--------J__)
-p SOLUCION: La proposicióncorrespondiente al circuito dadose obtienecomo sigue: - p y q estánconectadasen serie,se simbolizapor: - p
^
g,
- r y -p estánconectadosen serie,se simbolizapor: - t (- p n q ) y (- r
^
- p, ^ - p) estánconectadosen paralelo,se simboliza:
(-p n q ) v (-r
y finalmente,q y [(- p n q ) v (- r A - p)] están ^ -p) conectados en serie,se simbolizapor:q [(-p q ) v(-r^ -p)] ^ ^
Simplificando, seobtiene q
^
[(-p
^
q ) v (- r^ -p )] =,q ,^,[- pn( qv- r ) ] =-p n [q n( q v - r):l - :-P q ^
L.dist. L.conm.L.asoc L. abs.
Por tanto,el circuito equivalenteserá:
Ejemplo: ,
Obtener la proposición conespondienteal siguiente circuito, y simplificar:
25
LOGICA
Cuando Q es consecuencia (conclusión) de las premisas Pt,P2,..., Pn, se escribe:
:j l
premlsas
b,)
o1
conclusión
Estosignificaquela siguienteimplicaciónesunatautología.
(P rn P z,l r...AP")+ Q 7.1
REGLAS DE INFERENCA
Se le llaman reglasde inferenciaa todo argumento. universalmente correcto(o formas querepresentan válido. correctasde razonamiento) métodosgenerales de razonamiento Lassiguientessonformascorrectasde razonamiento:
1)
(PP):Es un método(Modus),queafirma(ponens) MODUSPONENDO PONENS
de la implicación el consecuente, afirmando(ponendo)el antecedente p +q p q 2)
MODUSTOLLENDOTOLLENS(TT): Es el método(Modus), que negando
(tollendo)el consecuente, dela implicación. sepuedenegar(Tollens)el antecedente
p-)
q
-q -p 3)
MODUS TOLLENDOPONENS(TP): Es el método (modus),que negandt'
(tollendo)un miembrodeunadisyunciónseafirma(ponens)el otro miembro.
x
ALGEBRA
p vq
b)
-p,
pvq -q
q
4)
Ley del silogismohipotético(SH)
p +q q +r p +r
5)
Ley de simplificación (LS) a)
p ^q
b)
p
Ley de conjunción(LC)
p q p^q
Ley de adición(LA)
p PVA
8)
Dilemaconstructivo(DC)
p+q r+t pv r qvt
Dilema destructivo(DD)
p- + q r - +t - qv- t !p
V-f
p^q
LOGICA
En las deduccioneso demostracionesformales se deberá justificar cada paso de inferenciahaciendoreferenciaa la regla particularde inferenciaque permite aquel paso. Se indica esta regla poniendo la abreviaturade su nombre a la derechadel paso de inferencia.Es tambiénnecesarioindicar los númerosde las líneasen la inferenciade las que se ha deducidocadapaso. En cada uno de los siguientesejemplos se demostr¿ráque la conclusión indicada es consecuencialógica de las premisasdadas.
Ejemplo:Demostrar:- q
r Ejemplo:Demostrar:
l)
l)
q- +- p
2)
-t
-p+r
2)t 3)
q-+-r
3)
pv r
4)
p-+-t
4)
- q- +t
5)
-p
2,4
TT
5)
q
2,4TT
6)
r
1 ,5
PP
6)
-p
l,5PP
7)
'-q
3,6
TT
7)
r
3,6TP
es-q Luegola conclusión
esr Luegola conclusión
Ejemplo:Demostrar:t n U
Ejemplo:Demostrar: D n G
r-+-p
l)
CvD
2)
-q+S
2)
( BvE) - +F
3)
- Sv U
3)
Av B
4)
rvt
4)
- FvG
5)
p^-q
5)
C- +- A
'l )
6 )psLS
6) A3LS
7 )-qsL S
7) B3LS
8)
-r
1,6
TT
8)
-C
5,6
TT
9)
t
4,8
TP
9)
D
1,8
TP
l0)
s
2,7
PP
10)
BvE
7
L.- \
\
28
ALGEBRA
I l)
u
3 ,1 0 T P
I l)
F
2;t0
PP
12)
tnu
9 ,l l
t2)
c
4,ll
TP
13)
DnG
g,l2
LC.,
LC
Luegola conclusión est n U
Luegola conclusión esD n G E jem p l o :
D e mo stra r:xÉ 3 vx>2 . Ejem plo:
l)
x *2 + 5
2)
v 2 x=6
Dem ostr ar :x
l)
x> yvx< 4
x = 3 -) x+ 2= 5
2)
(x<4vy<4)-+(x
3)
2 x - 2 = 8 - > 2 x*6
3)
x> y+ x:4
4)
2x-2=8
4)
x+4
5)
2x+6
3 ,4 P P
5)
x/y
3,4 TT
6)
x+ 2* 5
1 ,5 T P
6)
x< 4
t,5
TP
7)
x+3
2 ,6 T T
7)
x< 4vy< 4
6
LA
8)
x *3 v x > 2
7
S)
x< yny*4
2,7 PP
LA
L u e g o l a c o n c l u si ó n e+3 sxvx>2
Ejemplo:
L uegolaconclusiónesx
Demostrarlavalidezdel siguienterazonamiento: Si el reloj estáadelantado,entoncesJuanllegó antesde las diez y vio partirel cochede Andrés.Si Andrésdicela verdadentonces Juanno vio partirel cochede Andrés.Andrésdicela verdado estabaen el edificioen el momentodel crimen.El reloj estáadelantado. Por tantoAndrésestaba enel edificioenel momentodel crimen. Seanlasproposiciones p:
"el reloj estáadelantado"
q:
" Juanllegóantesde lasdiez"
r:
" Juanvio partir el cochede Andrés"
s:
"Andrésdicela verdad"
t;
"Andrésestabaen el edificio en el momentodel crimen',
j
LOGICA
29
Luegola demostración es: l)
p -+(q ^ r)
2)
SJ- f
3)
svt
4)
p
s)
q ^r
1,4
6)
q
5LS
7)
r
5LS
8)
-s
2,7
TT
e)
t
3,8
TP
PP
Por tantola conclusión es: t: "Andrésestabaen el edificioenel momentodel crimen" entonces esválido. el razonamiento
8.
FUNCIONES PROPOSrcIONALES Y SII CI]ANTIFICACIÓN
8.1.
FU NCI ONES PROPOSI CIONALES
en la queX representa al Unafunciónproposicional en unavariableX estodaexpresión sujetou objetoperteneciente a ciertoconjunto.La cualseconvierteen proposiciónpara cada especificación de X. Es decir, si P(X) es una expresiónque se convierteen proposiciónal sustituirla variableX por un objetomatemático, se dice que P es una con más de una función proposicional.Asimismo hay funcionesproposicionales variable. Ejemplo:
y, seala funciónproposicional Si nosreferimosa los númerosnaturales P (X): "X esel divisorde 12",esclaroquela expresión: "X es divisor ya queno podemosdecir nadaacercade su de 12" no esunaproposición a X. Sin embargo,paracada verdado falsedadmientrasno seespecifique esunaproposición asignación dadaal sujetoX dichaexpresión
ALGEBRA
,10
Es decir, sonproposlclones:
Ejemplo:
P (2): " 2 es divisorde 12"
(V)
P (3): " 3 es divisorde 12"
(V)
P (5): "5 es divisorde 12"
(F), etc.
Dada la función proposicionalen dos variables. P (X, Y):
"X es mayorque Y"
siendoX y Y númerosenteros. Entoncespara cadaparticularizaciónde valoresde X y Y setienelas proposiciones: P (2,5):
" 2 es mayorque 5"
(F)
P (-2,-5):
"-2 es mayorque-5"
(v)
P ( 5 , 1):
(V), etc.
CUANTIFICADORES A partir de funciones
se puede obtener proposiciones generales
medianteun
ión. Paraello, introducimoslos símbolosV
y 3, llamadós
res universal y existencial,respectivamente. Los cuales
asociadosa la variablex expresanlo sigu V x, paraexpresar"para todo x",
uieraque seax"
3 x, paraexpresar "existe algún x, tal que", o "existe al menosun x, tal que" Si p(x) es siempre una proposición verdadera,para cualquiera que sea el objeto matemáticoque sustituyea x, entoncesse podráescribir: V x:
p(x), se lee"paratodo x, se verificap(x)"
Si p(x) es alguna vez rna proposiciónverdadera,al sustituir x por al menos un cierto objeto matemático,entoncesse podrá escribir: ) xI
p (x), se lee "existe algúnx, tal que se verifica p(x)"
r-a negaciónde estasfuncionesproposicionalescuantificadas,para cadacaso,son:
( V x :p (x))=)xl -p (x) "' ( l x / p(x))=V x:-p (x) {
L
L OG I CA
Ejemplo:
ll
Seala proposición: "Todo el que estudiatriunfa" La traducciónequivalente de estaproposiciónes "Cualquieraque seala persona,si estudiaentoncestriunfa" luego,si
p (x): x estudia
y
q(x): x triunfa,
se tiene
V x:
(. ,, ?
p (x) -+ q (x),
la simbolizaciónde la proposicióndada.
Ejemplo:
La negaciónde la proposición del ejemploanteriorserá: - ( V x:
p (x)-+q (x))
=
1xl - ( p( x) + q( x) )
=
3xl - ( - p( x) vq( x) )
( I
= lxl
- \- /
p( x) n- q( x)
quequieredecir: " existenpersonas queestudiany no triunfan"
Ejemplo:
Consideremos la siguiente proposición general relativa a todos los númerosprimos: "Existe algún númeroprimo que es par" Si x denotaa un número primo cualquiera,y llamando: p (x) : "x es par",
(- p (x) : x es impar).
se tiene que 3 x / p (x), se lee "existe algún x, tal que se verifica p (x)" o bien "existealgúnnúmeroprimo que espar" luego,la negaciónde estaproposiciónserá: "- ( lx/p(x))=V x:-p(x) se lee "para todo x, se verifica - p (x)" o bien "todo numeroprimo es impar"
A LC E B R A
Eiemplo:
f)emostrar: -2(-2)l< -2 Si
l. 2. J.
Deniostración
V xV y: (x<-lny>l)+ x y < x Yz: z<-l-+22>l -2< -l
4.
-Z< -l-+1-2)r>l
a--a
5.
(.-2)2>1
3 , 4P P
6.
-2 < -l n(-2)2>l
3 , 5L . C
7.
(-2<-l n(-2)2>l)-+ -2 (-4 2 < -2
l, X : -2 , y : (-2 )2
8.
-2(-42 <-2
6 , 7P P
LeonardoDe Pisa tt75 - 1250
LOGICA
JJ
EJERCICIOS Simbolizarcadaunade lasproposiciones siguientes: l.
"El gordoAlbertovive paracomery no comeparavivir".
2.
"La decisióndependerá deliuicioo la intuición,y no dequiénpagómás".
3.
"Si estaplantano crece,entonces necesita másaguao necesita mejorabono".
4.
"El juez lo sentencia a Octaviosi y solosi el fiscalpuedeprobarsu culpabilidad o el testigono dicela verdad".
5.
"Si una sustanciaorgánica se descompone,entoncessus componentesse transformanen abonov fertilizanal suelo".
6.
Seanp, q y r los siguienteenunciados: r'
.
p:
Estudiarématemática
q:
Iré a mi clasede computación
r:
Estoydebuenhumor
Escribaen lenguajecomún las oracionesque corresponden a los siguientes enunciados: a)-pnq;
b )r+(p vq );
c ) - r - ) ( pv- q) ;
d) ( - pnq) +>r
Determinar, por medio de una tabla de verdad, si cada una de las siguientes pro¡iosiciones esunatautología, o contingencia. contradicción
7.
I ( - p ^ - q ) - +P l
v(p n q )
R: contingencia
ALGEBRA
34 t
8.
[(p -+- q ) 1p]v (-pnq)
R: contingencia
9.
[(- p y - q),.(p-+ - q)]t -(-peq)
R: tautología
10.
{(p ^ q)vlp,..(-p v q )l} y -(p -+-q)
R: contradicción
I l.
{[p + (q,. -p) ] n - q]<+ -(p v q)
R: tautología
t2.
( - p y - r ) e > [ -(p n q )v-r]
R: contingencia
1 3.
t (- p v q )^ (q -+ r) I+ - (p
14.
[(-p n q)+ - r] <+ [ r n -(p v - q) ]
R: contradicción
1 5.
[(r+ - p)n(p +-q) ]vt (- p +r)n(- q -+p)l
R: tautología
r) ^-
R: tautología
i proposicionestalesque Sean q y s proposicionescualesquiera,py -(pv-r)es verdadera. siguientes: Hallarel valordeverdadde lasproposiciones :
16.
t7.
a)
- ( p n - q )-+-(svr)
R:
F
b)
[ ( - r ¡ q)y-p ]+-[(p n s)v-r]
R:
V
a)
[ p + ( q ^ s)]y(-q +r)
R:
F
b)
[ ( r ' r q )-+(p ^s)]-+(-q ys)
R:
V
talesque- ( - q n s) es Sean p y r proposiciones cualesquiera,qy s proposiciones falsa.Hallarel valorde verdadde lasproposiciones siguientes:
18.
a)
[( p v- q)ns]+-(-rvs)
(
35
LocrcA
19.
b)
t ( -p^q)+
a)
t ( - p vs)-+(q n r)l e (p +-q )
R:
F
b)
[ ( q-+p )v(-p ^ r)]n [(p +s)v- r ]
R:
V
- rl v - (p., s )
R:V
que: p, g, r y s,pabiendo Hallarel valordeverdaddelasproposiciones
20.
21,
22.
23.
a)
( - p -+q )v-(rn -s)
esfalsa
b)
- ( r-+-p )n (-q ^ s)
esver dader a
a)
( - p ,.q )+(-r+s)
esfalso
b)
- ( r+-p )+(-q vs)
esfalso
a)
- (p v - r) n - (q +- s)
esverdadera
b)
- [ (r^ -q )+(-p +s)]
esver dader a
Si las implicaciones (p n - q) + q
y
(p
^
q) -) - r
sonverdaderas, ¿cuál
esel valordeverdadde p y der? Determinarcualesde las siguientesforinulassonlógicamenteequivalentes?
24.
25.
I:
( p v-q )-+-p
II:
( p -+q )v(p n q )
III:
( p e -q )-+(-p ^ q )
I:
- ( p +q )e [(p " q )^ -q ]
II:
t ( - p ^-q )v-q l <+-[(p vq )n q]
III:
[ - q^(-p vq )]e -(-p +q )
R: F, V
ALGEBRA
Sabiendoque p es F y que q es una proposición cualquiera' determinarel valor de verdadde la proposiciónx, tal que:
seaF
R:F
- q)] e (- p v q) seaV
R:V
seaV
R:F
26.
lx-+ (p ^ q)l-+ p
27.
[x., (p
28.
[(p--+ q) e x] v -(p
^
^
q)
siguientes: Simplificarlasproposiciones
b,:
29.
( p e q ) v ( - p vq )
R:- pvq
30.
t ( - p v q ) n (- q + p ) I + (p n - q )
R:- q
31.
I q - + ( p n r ) ] n [ -p -) (p n r) ]
R: p
32.
[ (q + p) n ( - p -+ q) ]+ - (p v - q)
R:- p
33.
( q - + p ) - + [ ( p v q ) + (q - P ) ] ^
R:- p
34.
[ ( p + q ) + ( - p n - q ) ] n [ (- P n q )v P]
R: pn- q
35.
( - p v q ) + [ p , ..-(p n -q )]
R:p
36.
I q -+ ( r n - q ) ] + [(q " - p)-+r]
R:v
37.
[ ( p - + r ) n -p ] v [(p v q ) -+ r]
R: - pvr
37
LOGICA
38.
- ( p + - q ) v [ (p + r) n - (p ¡ r) ]
R:qv- p
39.
[ ( p - + - r ) + p ] n [ -p -+ - (p v -q) ]
R:p
40.
I p -+ ( p n - q ) ] n[( p v q)-+p ]
R: - q
41.
t - ( p v q ) - +(-p n -q )l -+r
R:r
42.
[ ( r - + p ) + (p n r) ] + [ (rv q ) -+ ( - r ^ q) ]
R: - r
43.
t( -q -+r )n -(qn-r)l +[(r+p)n(p+ - r ) ]
R: - r
44.
[ ( p ^ - q ) v -p ] + [q n -(p + r)]
R: pnq
45.
[ ( p n - q ) v (q n r) ] n t(q v r)n - r l
R:F
46.
t ( - p n q ) v (p n - q ) I v-(-p
47.
[ ( p + - r ) -+ -p ] + [ p n (-q + r)]
48.
[ (p+ r)€
49.
t ( - p < + q ) n rl
-+ q)
(p n r) ] n [ (p + -q ) + q ] v Irn (p y-q )]
R:- pv- q
R:p
R: pnq
R: r
x, tal que: Determinarunaproposición
50.
[ - x + ( q n x)]n (p -+q )=-P
R:- p
51.
[ (x-+ p) n( q v -x)] v (p n - x) = q
R: - q
tu)
ALGEBRA
68.
R: p n-r 69.
-r p
R: - pv- q Por medio de una tabla de valoresde verdad,justificar la validez de los siguientes razonamientos:
7 0.
p +q
a)
b)
- p v- q
- p +r
p r +q
PÍ
Ét
7t .
a)
pv-q
b)
-p -+q
r<+-Q
- r - +- q
pv -r
- ( pn- t) -r t
En cada uno de los siguientesejercicios, demostrarla conclusión dada haciendo el uso
delasreglasdeinferencia, 72.
a)
Demostrar:
U A- V
GnF b) Dem ostr ar :
LOGICA
73.
74.
75 .
76 .
a)
a)
a)
a)
4l
l.
v+-p
l.
C+B
2.
p ^ -t
2.
- D+( EnF)
J.
s-+t
3.
An- B
4.
q +u
4.
( AnE) +G
5.
sv(q n r)
5.
Cv- D
D e m o strax:3 r: vy<2 l.
x=y
2.
v
b) x
Demostrar: y *2 ny >2 2.
y*
(x<3 A y:x+l )+yÉ 8
2.
x/5
3.
x'3
y:8
3.
x:y+ 3ny<
4.
x*y
A
y=x*1
4.
(y>2ny<4)-> x > 5
5.
x*3
--¡xl y
5.
x*y
v
D e m o stra r:rvs
b)
2+x*2 vy*2
+ 3v x>2
Demostrar:r v s
l.
p +-C
1.
p- + - A
2.
A n -B
2.
- q+ B
3;
(-p vq )+(rn t)
3.
- p+r
4.
B vD
4.
Av- B
5.
A -+(C v-D )
5.
q+ r
D e m ostra r: x*3 l.
x:3 +y
2.
x:y
3.
x l5
vy*l
b)
Dem ostr ar :x:5v z>5 l.
x*7) zfx
2.
x<6 v x:3
v y<3
3.
x:3 - ) z > x
4.
x=y+(x=y+2 vx<5 )
4.
x<6- > z> x
5.
x:y+2 -+x
5.
x:5
*3
zl x*y
Demostrar: s v t
b)
4
v x*7
Demostr ar : - pvq
l.
(p -+r)-+(-A vB )
l.
2.
p -+q
^l +
( AnB) - + - ( r +- s)
42
77.
ALGEBRA
a)
3.
B -+s
3.
r - >t
4.
q +r
4.
p- +A
5.
-A -+s
5.
p -+B
Demostrar: x<6 l.
x>yv
2.
b)
x<6
Demostrar: x>4 v y:3
1.
x>y
x>y -+x>4
2,
x>4- + yfl
3.
x>4 -)x:5
3.
x>y- + x> 4
4.
x<6 _ +x=S
4.
x=y_+yfl
5.
(x:5 vz>x)-+y
5.
x>y
6.
x>y-)y
6.
y=3 - + y>l
*.2
1
v x:
, '
y
Demostrarlavalidezde los siguientes razonamientos: 78.
Si la ballenaesun mamíferoentonces tomaoxígenodel aire.Si tomasu oxígeno del aire,entonces no necesitabranquias. La ballenaes un mamíferoy habitaen el océano.Portanto,habitaenel océanoy no necesita branquias.
79.
quedacomoestaba.Si Si la enmienda no fue aprobada entonces la constitución la constituciónqueda como estaba,entoncesno podemosañadir nuevos miembrosal comité. Podemosañadirnuevosmiembrosal comitéo el informe se retrasaráun mes. Pero el informe no se retrasaráun mes. Por tanto. la enmiendafue aprobada.
80.
Negarlassiguientes proposiciones: a)
Vx:
p (x)v-q (x);
b)
3x/p( x) v- q( x)
c)
Vx:
p(x) -+ q (x) ;
b)
3x/p( x) e- q( x)
43
LOGICA
81.
Expresar las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas. ) retraducirlasal lenguajecomún: a)
El cuadradode todo número enteroes mayor que l.
b)
Existen númerosnaturalescuyo cubo aumentadoen I es igual al cubo del siguiente.
82.
c)
Hay jóvenesque no estudianni trabajan.
d)
Todo el que estudiatriunfa.
e)
Ningún cuentode hadases una historiacierta.
0
Ningunacosaes alavez redonda
g)
Nadie es totalmentejuicioso o totalmenteestúpido.
h)
Existe algún número real que es menor que su parte entera
Deducir las siguientes conclusiones de las premisas dadas, dando una demostraciónformal completaen la forma típica.
a)
b)
D e m o stra3r:+4 <3 +7
Demostr ar : 3<5
L Vx: x<2+6-+ x< 3+7
1. Vx: (x<4n4<5)-+x< 5
v <2 +6 2 . Y y : y+4 >2 +5y+4
2.Yy: - 4< - ye y<4
3.
3 +4 t2 +5
3.
4< 5
4.
- 4<- 3
EJERCICIOS VARIOS determinarel valor de cualesquiera, Sabiendoquep es F y queq y r sonproposiciones x, tal que: verdadde la proposición
83.
[(- p n x) y (p
seaV
R: F
84.
[(-pr r)e -(- x -+ p)] y (q+ -p) seaV
R:\-
^-
q)]e -(p-+ r)
LOGICA
45
94.
R: - pv- r
95.
Determinaruna proposiciónx, la más simple de maneraque el circuito lógico siguiente:
seaequivalentealcircuito: # q Dar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos sigüentes:
96.
a)
D e mo strax<6 r: vz>6
b)
Demostr ar - ( :x:yvy/
l. (x< 7 n x:S)+(z>x v y
l.y f l- +( y< I vy:l)
2 .x<6 +(x=5 n x<7 )
2.( x+ 3
^x
/ 3) - +x= 0
l)
.i
ALGEBRA
97.
98.
a)
a)
3 . x >y-)-(yx)
3.yr r l ny * I
4 . x > 4 -+ (x = 5 n x< 7 )
4.x> 3 - + x*y
5 . x >y+x>4
5.x= 3- + x+ y
6 . x >yvx<6
6.x*0
D e m o stra-(xcyn r: x=
Dem ostr ar - ( x: * y^x*
1)
l . ( x =y -) y= 0 ) -+ x = 0
l.( x < I v xy < 0) - +y > l.
2 . ( x = 0 vxY =0 )-+Y =0
2. Y> l+>xcY
3 . x = y+x
* y
3.( x+2yvy > l) - + x< I
4.y=0ex
¡ y
4. x= 2y- +x< y
D e mo stra r:5 +2 *4 +3 l . Vx: x1 2 >4 vx+|
99.
l) b)
b)
<7
Dem ostr ar :3l.3+ 4 l. VxVy:x>y+ y
/ x+ 3
2 . Y y:5 +y< 4 +3 ->5 *y l 4
2. VuVv:u- 3 < v- + 3 *v> u
3 . 5 +l *7
3. ( 3+3) - 3<4
Demostrar la validezdel siguienterazonamiento: Mi padreme alabasi yo estoyorgullosode mi mismo.O me va bienen deportes o no puedoestarorgullosode mi mismo.Si estudiobastante, entonces no me va bienendeportes. Portanto,si mi padreme alaba,entonces no estudiobastante.
100. Epiménidesde Cnosos(siglo VI a. de C.) decía "Todos los cretensesson y yo soycretense, mentirosos luegomiento". Alguiena la vistadeello, razonacomosigue: Si Epiménides mintió en lo quedijo, entonces los cretenses no eranmentirosos, por ser cretense, luegoEpiménides, no era mentirosoy, consecuentemente, no mintióen lo quedijo.Sellegaasí,pues,a unacontradicción. ¿Esterazonamiento escorrecto?.
CAPITALO II
CONJUNTOS 1. INTRODUCCION
En estecapítulose estudianlos conceptos básicosde la teoríaintuitivade conjuntos, notaciones, y sus aplicaciones. subconjuntos, Para alcanzarlos fines sus operaciones prácticosquenosinteresan cantidadde ejemplosilustrativos. secompletaconbastante
2, CONCEPTO Y NOTACIÓN DE CONJUNTO En el lenguaje corriente, empleamosel vocablo conjunto para referirnos a una pluralidado colectividadde objetosqueseconsideranagrupados formandoun todo.Por ejemplo,conjuntode alumnosde unaclase;conjuntode letrasdel abecedario; conjunto deescritores nacionales, etc. ha surgidoel concepto De estanociónde pluralidadcontrapuesta a la de singularidad matemáticode conjunto.Los ejemplosreciénmencionados bastanpor ahoraparatener una idea de dicho concepto.Lo esencialde dichassituacioneses la presenciade por letras elementoso miembrosdel conjunto,los mismosse les denotausualmente minúsculascomo a, b, c,...,y los conjuntosse denotanpor lo comúnmedianteletras mayúsculas comoA, B, C, .... son: Otrossímbolosde usofrecuente que" "l" para expresar'otal a un conjunto. " e" pataexpresrirqueun elementopertenece "<" paraexpresar "menorque". "mayorque". " >" paraexpresar
Parasimbolizarque "x pertenece a A" se escribiráx e A, y la negaciónde éstase escribiníx e A.
48
ALGEBRA
Ejemplo:
Si el conjuntoA estáformadopor los elementosa,b, c y d, escribimos A : {a, b, c, d} Su representación en diagramade Venn es:
Por tanto,la V o F de cadauna de las siguientesexpresioneses:
2.1.
a e A, e sV
b e A ,e sV
ce A,esV
deA,esV
e É A , e sV
{a }e A ,e sF
{b,c} eA,esF
AÉA,esV
NOTACIÓN DE CONJANTOSNUMERICOS
Lasnotaciones paracaracterizar usuales conjuntosnuméricos sonlassiguientes:
Conjuntode los númerosenteros
A tr = { 1 , 2 , 3 , . . . } Z : { . . . , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 . .3. ,. }
Conjuntode los númerosracionales
t ? l I = 1 . ... . - : .- . 0 . 1 . 2 . . . . 1
Conjuntode los númerosnaturales
(
Conjuntode los númerosirracionales
t
s 3""
) ¡ = f,.,-rí,n, r,-u8,...1
Conjuntode los númerosreales,quese denotapor ft, estáformadopor la uniónde los númerosracionales e irracionales
3,
DETERMINACION DE UN CONJUNTO
L-nconjuntopuedeserdeterminado por extensión y por comprensión de dosmaneras: 3.1.
POR EXTENSIÓN Sedicequeun conjuntoestádeterminado por extensiónsí y
sr-rlt-' si senombrantodoslos elementos quelo constituyen. En estecasoseescribensus e,ementos entr¡ dssllaves.
CONJUNTOS
Eje m p l o :
4'
E l co n j u n to A :{2 ,4 ,6 ,8 , l 0} estáescritopor extensión, ya quesepuedenenumerar uno a unotodoslos elementos del conjunto.
3-2.
POR COMPRENSIÓN Se dice -que un conjunto está determinadopor comprensiónsí y solo si se da la propiedado propiedades que caracterizana todoslos elementos del conjunto. Ejemplo:
El conjuntode los númerosnaturalesmenoresa cinco definido por comprensión puedeescribirseB : { x e N /x <5 \ Losnúmeros naturales menores a 5 son: 1,2,3 y 4, por tanto,la determinación porextensión es: B : { I ,2,3,4}
E jemp l o :
Es cri b i rp o re xte n si ó A n : { x eZlx2:3 x } Resolviendo la ecuación x2 : 3 x x' - 3 x = 0 1
x ( x- 3) :0 s eo b ti e n e
X:0,
Porlo tanto,por extensión resulta: 4.
x =3 A: {0, 3}
CONJUNTOSESPECIALES
Llamaremosconjuntosespecialesa aquellosconjuntosque se caracterizanpor el númerode elementos, entreellostenemos: conjuntounitario,conjuntovacío.conjunto universal.
4.].
CONJUNTO UNITARIO
Esaquelconjuntoquetieneun sóloelemento.
50
ALGEBRA
Ejemplo:
A= { x I x2 = 0\
Los conjuntos
B :{x
eN / x 2 = 4 \
son unitariospor tenerun sólo elemento. Estosson:
4.2.
A:{0} y B:{2}
CONJUNTO VACIO
El conjuntonulo o vacío es aquélconjuntoque carecede elementos,y se denotapor 0.
Esdecir,0 ={ } Ejemplo:
los conjuntos A : { x e Z l x2 :-I\ B = { x eN l x<0 } Son conjuntosvacíos, por no existir valoresde x que satisfaganlas condiciones decadaconiunto.
4.3.
CONJUNTO UNIVERSAL
El conjuntouniversal,llamadotambiénuniversoo referencial,es un conjuntode cuyos elementosseescogenalgunosde ellosparaformarotrosconjuntos.Sedenotapor U.
Ejemplo:
Si el conjunto universal esU : {I,2,3,4,.5,6\ Entonces el conjuntoA: {x I -2 < x < 4} sepuedeescribir A : { 1,2,3, 4} Sinembargo, si U : {0, +l , +2,+3,+4,+5,+6\, e l c o n j u n to B : {x l -2
CONJLINTOS
5l
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se sabe que el símbolo e (pertenencia)se utlliza para relacionarun elementocon un conjunto.Asimismo,se puederelaciohardos conjuntosdefinidosen un mismo universo. Los cualesse definen a continuación.
5.1.
INCLUSION DE CONJUNTOS
SeanA y B dos conjuntosdefinidosen un mismo universo. Se dice que A estáincluido en B, o que A es un subconjuntode B, si todos los elementosdel conjuntoA pertenecen al conjunto B; se denotapor A c B, que se lee "A estáincluido en B" o bien "B incluye a A" o bien "A es subconiuntode B"
En símbolos:
A cB <>V x:xe A -> xeB Sudiagramade Vennes:
OBSERVACIONES: 1)
La relación de pertenencia(e) relacionaun elementoa un conjunto, mientras que la relaciónde inclusión (c ) relacionados conjuntos.
2)
El conjunto vacío estáincluido en cualquierotro conjunto.
3)
Todo coniuntoestáincluidoen sí mismo.
Ejemplo:
Se a nl o sco n j u n to s:A :{ I ,2,3,5,7\ B :{2 ,4, 5,6,8}
c : { 2 ,5 } Los valoresde verdadde las siguientesproposicionesson:
ALGEBRA
52
5,2.
CcA,
e sV
2 c C,
os
F
CcB,
e sV
2 e C,
€S
V
Ac B,
e sF
5eA,
€S
V
Bc C,
e sF
4eB,
€s
V
d c A,
e sV
C€A,
es
F
Ac A.
e sV
QeA,
eS
F
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que dos conjuntos,A y B, sonigualessi A c B y B c A. Es decir,si ambos conjuntosestiínformadospor los mismoselementos. A =B <+A c B n B c A
Ensímbolos:
Ejemplo:
Seanlos conjuntos: A = { xl x2 -3 x+2 =0} B :{xe N /x<3 } resolviendo laecuación x2-3 x * 2 : 0 x = 1, x:2 s et i e n e p o r ta n to
A: ll,2l los númerosnaturalesmenoresa 3 son 1 y 2 B= { 1,2}
luego
En consecuencia, A = B, ya quetienenlos mismoselementos.
5.J.
CON,TANTODE PARTES
Dadoun conjuntoA, se entiendepor conjuntode partesde A al conjuntoformadopor todoslos subconjuntos deA, y sedenotapor P(A). Ensí m b o l o s :
P (A ): { X /X cA
O b ie n :
X e P (A )e X cA
}
53
CONJUNTOS
Es decir, si se considerantodos los subconjuntosde A, ellos dan origen a un nuevo conjunto,que se llama conjuntode partesde A. El númerode elementosdel conjunto partesde A es2n, endonden esel númerode elementosdeA. Ejemplo:
Determinarel conjuntodc partesde: A : {a ,b, c} Como A tiene 3 elementos,entoncesel conjuntode partesde A tendrá quesontodoslos subconjuntos 23:8 elementos, deA. Estosson:
Portanto:
0 , {a }, {b }, {c}, { a,b} , { a,c} , { b,c} , A P (A) : { 0, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b, c}, A }
y la inclusión,damoslos Ahora,desdeel puntode vistade la pertenencia valoresdeverdadde lassiguientes expresiones: a eA
,
e sV
a
€P( A)
,
esF
{a}eA
,
e sF
{a}
e P (A)
,
esV
a cA
,
e sF
{a} c P (A)
,
esF
{a }c A
,
e sY
{ a,b} eP( A)
,
gsy
0 eA 0 cA
,
e sF
0
cP( A)
,
esV
,
e sV
0
eP( A)
,
esV
A eA
,
e sF
A
eP( A)
,
esV
A cA
,
g sV
A
cP( A)
,
esF
o €0
,
e sF
{0} c P (A)
,
gsV
e sV
{c} c P (A)
,
esF
{ { a }} cP (A ), 6.
OPERACIONESENTRE CONJUNTOS:
En esta secciónse analizaránvarias operacionesque combinandos o más conjuntos mediantereglasbien definidaspara formar nuevosconjuntos.A estacombinaciónde conjuntos se le llaman operacionesentre los mismos, y son: unión, intersección, de lasmismas. complementación, diferencia,diferenciasimétricay combinaciones
ALGEBRA
54
6.1.
UNIÓN DE CONJANTOS
DadosdosconjuntosA y B, sellamauniónde A y B, al conjuntoformadopor todoslos elementos deA o de B. Sedenotapor A U B. E n s í m b o l o sA: U B : { x I x e A vx e B } Es deci r :
x e ( A U B )e x
e A vx e B
en diagramade Vennes Su representación
esA U B dondela partesombreada Ejemplo:
A= { 3,5,6} B = { I,2,3,7)
Seanlos conjurtos
C= { 2,3,4,5} , secumpleque: Entonces
A U B:
{ 1,2,3,5,6,7\
A U C:
{ 2,3,4,5,6\
B U C:
{ 1,2,3,4,5,7}
que estánen ambosconjuntosse cuentan que los elementos Obsérvese unasolavezen la unión.
6.2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Dado los conjuntosA y B, la intersecciónde los conjuntosA y B es el conjunto a los dos conjuntosdados,es decir que formadopor los elementosque son comunes. pertenecen a A y a B. Sedenotapor AllB En símbolo:
A fl B ={x/xe A n xe B }
O bien:
xe (A l l B )e x€ A n xe B fl
CONJLTNTOS
f.l
Su representación en diagrama de Venn es
U A
@)
( \_,
Donde la parte sombreadaes A n g
Ejemplo:
Seanlos conjuntos A ={u, b, e, f} B :{c, d , e , f , g } Los elementoscomunesaAyB
son e y f, entonces:A fl B:{e, f,}, y
el conjuntode partesde A 0 B es
P ( A 0 n¡ = { 0, { e} , { f} , { e,f} } E je m p l o :
Se a nl o sco n j u n to s A = { 1,3,5,7) B = {2 ,4,6,8} Estos conjuntos,A y B, no tienen elementoscomunesluego la intersección esvacío. deambosconjuntos E sd e ci r:
A f^l B ={ }=0,
En consecuencia los conjuntosA y B sondisjuntos. Portanto,dosconjuntoscuyaintersección esvacíasellamandisjuntos. Es decir:
6.3.
A y B sondisjuntos eAf-l B = 0
COMPLEMENTO DE UN CONJANTO
I
Sea A un conjunto definido en un universo U, el complementode A es el conjunto formadopor todos los elementosde U que no pertenecená A. Se denotapor: A'. En símbolos:
A ':{xe U /xe A l A ':{x/xq A }
o bien
x e A '+>x e A
i
ALGEBRA
56
El diagrama de Venn correspondiente es:
esA' Dondela partesombreada
Ejemplo:
Se a nl o sco n j u n to s U : {1 ,2 ,3,4,5,6,7,8,9\ A = { 1 ,3 ,4,5,7,9\ B = {2 ,4 ,5,6,7,91 A'está formadopor2,6, 8 y B'por l, 3, 8. Segunla definición, A " = {2 ,6 ,8} , Es decir, B t = {1 ,3 ,8} E n t o n ce s
A tfl B ':{8 }
P(A'nB):{0,{8}} 6.4.
DIFERENCU DE CONJUNTOS
La diferenciade conjuntosA - B es el conjunto SeanA y B dos conjuntoscualesquiera. a B. formadopor todoslos elementosde A queno pertenecen En símbolos:
A -B ={x/xe A n
o bien
xe (A -B )e xe A ^
Luegoseverificaque:
xÉ B}
A -B =A l ''l B '
es: El diagramade Venncorrespondiente
x ÉB
1
I
1
CONJUNTOS
57
Donde la partesombreadaes A - B De rnodosimilar se defineB.- A como sigue: B -A ={xlxeB nxeA }
Ejemplo:
Seanlos conjuntos U -- { a, b, c, d, e, f, g, h, i} A :{a,b, d , e , g , i} B ={u,d, f , g , h , i} Los elementosde A que no estánen B son : b, e,
A -B = { b, e}
entonces
Mientras los elementosde B que no estiínen A son: f, h, luego
B _ A ={f,h } A.= { c, f, h}
Además:
B t= { b, c, e} Entonces
A fl B '={b,e}
B n A ' ={ lh } Obsérvese que
A - B = AflB' B - A = B0 A'
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS de un universoU, la diferenciasimétricaentre DadosdosconjuntosA y B, cualesquiera quepertenecen a A o B, pero estosconjuntosesun conjuntoformadopor los elementos no a ambos.Tambiénse puededefinir comola uniónde los conjuntosA-B y B-A. Se deno t a p o r A n B.
E nsím b o lo s:
A ¡ B : (A -B ) U (B - A )
obie n
A ¡B :(A nB t)U (B nA c )
obien :
A ¡B :(A U B )-
(A n B )
ALGEBRA
i8
El diagramade Venn correspondiente es:
Dondela partesombreada es A ¡ B Eje m p l o :
Se a nl o sco n j u n to s
U : { l ,2,3,4,5,6.7,8,g) A :12,4,5,6,8,9| B :{1,3,4,5,8,9}
donde
B- A:{ 1,3} ,
A -B :{2 ,6 \, (A -B )U (B -A) :
luego
{ 1,2,3,6) ,
e n t o nce A s ¿ B : (A -B ) U (B - A) : U,2,3,61 A '= { 1 ,3 ,7\ , B' = 12,6,7\r
Ad e má s
A n B' ={ 2,6\
d e d o nd e
B n A' = { 1,3} luego
(A n B ') U (B n A' ) : { 1,2,3,6}
e n t o n ce s
A ¡B :(A n g ')U (BnA)
Po r o trap a rte
: { 1,2,3,6\ AUB= { l ,2,3,4,5,6, 8, 9} A|3 = { 4, 5, 8, 9}
luego E n t o n ce s
7.
(A U B) - ( A n B) : { 1,2,3,6\ A ¡B =(A U B ) - ( A [l B) : { 1,2,3,6\
LEYES DE OPERACIONESCON CONJUNTOS
que rigen Pararettrenciaposterior,damosaquíuna lista de las leyesmásimportantes conconjuntos lasoperaciones
CONJUNTOS
59
l)
L-eyesde idempotencia
AUA = A,
Aí'lA = A
2)
Leyesconmutativas
AUB = B UA,
AnB = B nA
3)
I-.y., asociativas
AU ( B U C¡= (AUBjU C
An( BnC) : ( AnB) nc 4)
L e yes di s tri buti v as
A n ( B UC) : ( A 0 s ) U( A n C)
AU(Bflc¡=(AUB)n(AUc) 5)
6)
L e ye s deabs orc i ón
Leyes deDeMorgan
A n ( A UC) : A ,
A U( A 0 C¡ = , A .
A ( - | U: U,
A f lg = 6
(A U B)': A'll B'
(An B)'= A'UB' 7)
Leyesde complemento
A U Af : U, A l)A': A nBt:A- B,
8)
A U ó = A,
Leyesde identidad
4 , (A')'= A Ut= 0,0t:U
A []U: A
A continuación sedetallanlos ejerciciosilustrativos parael usode estasleyes.
Ejemplo:
Demostrar: (A U B') n (A U B): A
(Au B') n (Au B): A u (B'nB)
L.Dist.
:A U $
L . Cm p
: A
L. Idnt.
60
Ejemplo:
ALGEBRA
D e m o stra r: A U (B -A )=A U B
A U ( B - A ) = A U ( B nA)
:(AuB) n( AuA' ) =(Au B)flU =A U B
Ejemplo:
L. Cmp. L. Dist. L. Cmp. L. Idnt.
Demostrar: [(A'UB) -A] n (AUB)= B - A [(A'UB)-A] n (AUB)= [(A'UB) n A'] n (AUB)L.Cmp.
= [A']n (AuB)
L. Abs.
= (A'fl A) u (A'n B)
L. Dist.
=0u(A'nB) = A'f-lB =B -A
Ejemplo:
Demostrar:
L. Idnt. L. Cmp.
( A ' - B ) UtB- ( B- A) l= e
(A'-B')u t B- ( B-A ) l:[A' n (B')'] u tB-(BnA')l =[A'llB] u tBn (BnA)'l :(A'n B)UtBn (B'U(A')')l :(A'n B) u tBn (B'uA)l =(A'nB) u tBn B') u (BnA)l
L. Cmp. L. cmp. L. D' M. L. cmp. L. dist:
=(A'nB) u tou(B nA)l
L. cmp.
=(A'nB) U (BnA)
L. Idnt.
= B 0 ( A. UA) : B []U
L.dist.
:B
L.ident
L. cmp.
CONJUNTOS
E jemp l o :
6l
D e m o stra r: [A ¡(B -A )] -B :A- B [A a(B -A)] - B : [A ¡ (B l^lA')] n e'
L. cmp.
: {[An (BnA)'l U I(BnA') nA']] llB'D.dif.simt : {[An @'uA)]U Fn (A'nA)l] nB' L.DM,L.asoc
: {[A] u tBn A'l] ne' :{(A us)n(AuA')}ns' ={(AuB)nU}ne' :(A u B)0s' :(A n B)u(BnB) =(A-B) u0
L. comp
=A -B
L. ident.
L.abs,L.idmp L.dist. L.comp. L.ident. L. dist.
Nótesequeen cadaejemplosehandemostrado la igualdadde dosconjuntos,y en cada pasode la demostración seanotanlasleyesquefueronaplicadas.
CARDINAL DE UN CONJUNTO SeaA un conjuntofrnito definidoen un conjuntouniversalU. Sellama"cardinalde A" al númerode elementos de A y sedenotapor q(A).
Ejemplo:
Seanlosconjuntos A = { a,b, c, d, e} B : {0,1 , 2 ,{ 0 , 1 } {, l, 2 } ,0 }
c:{}:0 Entoncesel cardinalde cadaconjuntoes: : n (A) 5, puesconstade cinco elementos q (B) : 6, puesconstade seiselementos : n (C): n (0) 0, puescarecede elementos
62
E.I.
ALGEBRA
PROPIEDADES
Sean A, B, C tres conjuntosdados,entonces: 1)
n ( A -B) =n( A ) - n ( A n B )
2) 3)
n (A ¡ B): n (A U B)- n (A [l B) n (A U B)= n (A)+ r (B)-n (A fl B)
4)
n (AUBUC):q (A)+n(B)+q(c)-q (A0BFn(Allc))-nGnc) + n (AflBflc)
E jemp l o :
;\
S e a nl o sco n j u n to s{t/ IJ: {-2 ,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\ \,/
A ={xe U /x' :x} B :{x
l x2etJ)
C :{xe U /0
A : {-1,0 ,l} ,
q ( A) :3
B : {-2,-1 ,0 , I , 2 , 3 \ , n(B)=6 C = {0,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1n(c)=7 , Entonces
B t: {4,5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) rl (B') = 6 C ": {-2,- 1 , 7 , 8 , 9 \ ¡ r ( C' ) = 5
luego
A nB : {- 1 , 0 ,l}
B 'n C '= { 7 ,8 ,9 }
n ( An B) :3 n ( An C) :2 n ( Bn C) :4 q (B'nC')= 3
A nB IC = { 0 ,l}
n ( An Bn C) :2
A nC : {0 ,l} B n C : {0 , 1 , 2 , 3 \
Por tanto se tiene
n (A- B ) :r (A )-q (A nB ) : 3 - 3 : 0 t1{A¡B): 1(AUB)- n(AnB): q(A)+ r(B)- 2q(A0B): 3 * 6 - 2(3): 3 : 6+5-2(3) : 5 t(B'1C')=I(B'UC')-n(B'¡C'¡:I(Bc)+n(C'¡-2r11e'nC\
CONJUNTOS
63
n(AUBUc):n(A)+n(B)+a(c)-n(Al-1B)-n(AOC)-n@flC)+n(A0B0C):3+0+z-3-2
Estosresultadosse puedenobservaren el siguientediagramade Venn.
U A
Ejemplo:
En una encuestaa 120 electoressobre sus candidatosfavoritos,se determinóque: por el candidatoA, 50 por candidatoB, 66 electores tienenpreferencia 50 por C,27 por los candidatos A y C, 30 por A y B, 2l porB y C, y 20 por ningunode los trescandidatos. no tienenpreferencia por lostrescandidatos? a) Cuántoselectores tienepreferencia A o B, perono a C? b) Cuántosprefierena los candidatos c) Curlntosprefiererta dosde los candidatos?
SOLUCION:Seanlosconjuntos : U:
universode electores
A:
quetienenpreferencia por el candidato"A" electores
B:
por "B" quetienenpreferencia electores
C:
por "C" quetienenpreferencia electores
En diagramade Venn:
ALGEBRA
PRIMERMETODO: Segúnel problema: r'¡(A) = 66,
11(B) = 50,
11(C): 50
:27, Ti(AnC)- 27,\ (Bllc): zl n (Al-lC) N( AUBUC ): IOO luego, aplicandolas propiedadesde cardinalidádde conjuntosy las leyes que rigen las operacionescon conjuntosse obtienen: a)
los electoresque tienenpreferenciapor los 3 candidatosson v : q(AnBnc)
: r1(A)+n(B)+a(C)-a comoI(AUBUC) (A['lB)-rl(A0C)-n@f^lC)+n(A0Bnc) 1 00 : 66+50+50-30-27- 2 1 + v de d o n d e v =12 b)
los electoresque prefieren A o B pero no C, son :
x+Y+'::',i,i..]l]-;l,oru, n.,
= [q (A)+ q (B)- n (AnB)]-r ((AnC) U (Bnc)) - r (A)+ n (B)-q (AnB)- tn (AnC)+ n (Br-tC) -n (AnBnC)l : 66- r5 0 - 3 01 2 7+ 2 t - t 2 l =50 c)
queprefierena dosde loscandidatos electores son:
-"l Y*u+:T,fi:;l^::ji -#ilf.n'r :3 0 * 27+21-3(l i ) -42
SEGL-,\¡DO METODO De la representación en diagrarnade Venn,se obtienen: P ¡rl t r s c and id a r o sA.Il oC
X +Y +Z +
U+ V -f W+ T : 1 0 0 :
(l)
P t l : e l c a nd id a toA
X + Y + U+ V
F¡ re l c a n d id a toB-
Y + Z + V + W: 5 0
(p )
P -: : , c ¡ n J iJa toC
U+ V + W+ T : 5 0
(4 ),
6 6 (2 )
CONJUNTOS Por los candidatosA y C
lJ + tr/ :27
(5)
P o r l o sca n d id a tosA yB
Y+V=30
(6 )
P o r l o s can d id a tosB yC
V + W= 2 1
(7 )
Resolviendoel sistemade ecuacionesresulta: 6en 3 : (Y + V )+ Z +
X+Y +(U+W ):66;
5en2:
27
:66
X +Y
:3 9
X+Y +
+ Z + W: 5 0
30
(S )
W: 5 0
Z+ W
= 20 ( 9)
( V+ W)+U +T :5 0
7en4
2 l +U +T =5 0 U + T =2 9 (1 0 ) = 100
(X +Y )+(Z +W)+(U +T) + V
8, 9y 1 0 e n l :
39
+
20
+
29
+V= 100 Y:12
de5, 6 y T s e o b t i en e n :
U =1 5 ;Y= 18;W :9
lu e g o d e S, g y l 0 s e o b ti e n e n :
T-
Por tanto:
1 4;X=
b)
Y : 12electores X +Y +Z =5 0 e l e ctor es
c)
U +Y *W:4 2 e l e cto res
a)
2l;Z
= ll
,
9.
PRODACTOCARTESIANO
sontodos de dosconjuntosA y B es el conjuntocuyoselementos Productocartesiano x pertenecea A y la segunday los paresordenados(x, y) tal quela primeracomponente a B. Sedenotapor AxB. A n Ye B}
Ensímbolos
A xB :{(x,y)/xe
O bie n
(x,y)e A xB <+ xeA n YeB
S iB : A , e n t o n c e s
A xA :A 2 ={l x.v ) lx e A nv e A}
6
Ejemplo:
ALGEBRA
S e a n l o sco n j u n toA s : { 2 ,4,6) B : {1 ,3 } El productocartesiano A x B.es: A x B = {(2 ,l ) , (2 ,3 ),(4 , l ), (4,3) ,( 6, 1) ,( 6,3) } Gráficamente comosigue: sepuederepresentar
En la abscisase anotan los elementosdel primer conjunto y en la ordenadalos elementosdel segundoconjunto. Portantoel productocartesianono esconmutativo.Es decir:
AxB+ BxA
Si A y B sonfinitos,el cardinaldel productocartesiano resulta: n (AxB) : q (BxA) = n (A) n (B) Ejemplo:
Sea
A : {2,3,4}
Entonces AxA=A2={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)\ De donde n (AxA) :q (A2):3. 3 : 9 La representación cartesiana de A2 es:
67
CONJUNTOS
Ejemplo:
SeanA y B los intervalosdenúmerosreales A: { x
e R l a
B: { y
e R l c
Entoncessetiene Ax B:] a ,b ]x Ic,d [= {(x,y) eR' I u.x
Ejemplo:
Seanlos conjuntos
A = { x e RI -1
¡ c
68
ALGEBRA
Ejemplo:
D e m ostra r: (A !B )xC =(A xC ) U
( BxC)
SOLUCION:Sea(x, y) el parordenado quepertenece al productocartesiano (A U B)xC.Esdecir: (x, y) e t(A U B)xCl e_xe(A U B) n yeC <+ (xeA v xeB) n yeC <+( xeA n yeC) v ( xeB n yeC) +) (x, y)e(AxC) v (x, y)e(BxC) <->(x, y)e [(AxC)U (BxC)] Hemos aplicado,sucesivamente: definición de producto cartesiano, definición de unión de conjuntos,distributividadde proposiciones, y deunióndeconjunto. definiciones deproductocartesiano Luegoseconcluyeque
(A U B )x C :(A x C) U( B x C) 10.
PARTICIÓNDE AN CONJUNTO
Una partición de un conjunto A no vacío es una colección de los subconjuntos no vacíosAl, Az, ...,de A talesque:
1)
Ai l A ¡ = 0
2)
A r U Az U . . . . =A
si i *j
(mutuamente disjuntos) (la uniónesA)
A los subconjuntos A¡ se les llama celdaso bloquesde la partición.Por ejemplo,el siguientediagramamuestraunaparticiónde un conjuntoA en cincobloques. A
CONJUNTOS
Ejemplo:
ó9
Sea
A = {u, b, c, d, e, f, g, h}
Consideremoslos siguientessubconjuntosde A Ar : {a, c, e, f, g, h} , Az= {a, c, e, g,} A¡ = {&,b, c, d} , Aq: {b, d_}, As: {l h} Entonces{Al, A¡} no es una partición ya que Al fl A¡ * 0. Por otra parte, {A¡, As} no es una partición ya que A¡ U As + A. Pero {A¡, Aa} si es unaparticiónde A, puesAr fl A¿: 0 y Ar U A¿: A. Asimismo,{Az, Aq,A5}es unaparticiónde A.
GottfriedWilhelm,Baronvon Leibniz(1646- l716)
70
ALGEBRA
EJERCICIOS 1.
Escribirpor extensióncadauno de los siguientesconjuntos A :{xe N /1
e Z /(x+l ¡2:4¡
D = { x/x2 :2 xl E :{x/x3 :x} 2.
Escribirpor extensión los conjuntos: A :{x
e U l -3
p a r al o sc a s oen s que:
3'
y B:{ xeU/x2eU}
a ) [¡ = {1 ,2,3,4,5,6,7,g,g1 b ) U : {-3 ,-2,- 1,0, 1,2,3,4, 5, 6, 7, g, g}
Si A, B y U sonlos conjuntosdel ejercicioanterior,hallar paracadainciso: An B, A U B, A - B , B - A , A ¿ B yA .a B..
4.
Seanlosconjuntos: A = {0,0}
B : 1 - t , 0 ,t ¡ C ={a ,b ,c,d } D ={a ,e ,i ,o ,u } Determinar: a)
el númerode elementos o el cardinalde los conjuntosp(A), p(B) , p(c) y P(D).
b)
los conjuntosp(A), p(B),p(C) y p(D).
c)
los conjuntosp(AnB),p(p(AnB)),p(a) np(B.¡
d)
losvaloresdeverdadde lassiguientes expresiones: ó:{0},
e s-.--
0.0,
es- - - .-
0e0,
es
ócó,
es
-t
CONJUNTOS
5.
es
0 e A,
CS
$ cA,
0 e { 0},
es
0
Ae A,
ES
A cA,
es
{ 0 } e P( B ) ,
ES
{0}cP(B),
es
Q e P(A),
es
Qc P(A),
es
{ { } e P( A ) ,
CS
{Q}c P(A), es
{a,b}eP(C),
ES
{a,b}cP(C), es
B e P(B),
CS
B c P(B),
D e P(D),
CS
{D} c P(D), es
-
{0},
es
es
Dadoslos conjuntos: U:{u, b, c, d, e, f, g, h}, A :{a, c, d, q h } , B = { b , c , e , f } , C: { a , c , d , e }
Hallar:
a) At, Bt, Ct.
b)A n B" B n A" (A-B)u (B-A) c) (A a B)-A, P[(Aa B) n A']
plp((A-B) (BnA')], d)p[(A-B).n n (BnA))l 6.
Determinarlos elementosde A y B sabiendoque el universoes U: {1 ,2,3,4,5,6,7,8} , A ¡B :
7.
Determinarlos elementosde A, B y del universoU sabiendoque AU B:
8.
{1, 2 , 3 , 4 , 5 \ y B ' : { 1 , 4 , 7 }
{a , b,c,e, f,g,h}, A nB :
{a , e } y B ' : { c , d , g , i}
S i A : { a ,b , c, d } , B : {d ,X ,y} y C : { a,y,z} , subconjuntos no vacíostieneel conjunto(A n B) U C? ¿Cuántos el conjuntoA n (B U C) ¿Cuántos
15.3
ALGEBRA
:1
9.
Determinar la expresiónque rcprcscrrtala ¡rartesombreadaen cada uno de los
siguientesdiagramas: b)
c)
d)
e)
1 0.
0
los enunciados siguientes: DadostresconjuntosA, B y C talesquesatisfacen 1 r o . A c BcC
,
2 d o . S i XeC+XeA
esfalso? Deterrninar,cualde los siguientesenunciados a ) A0 B: C , b ) A U B :C ,
ll.
c)AflB*A,
d) C- B:O
SeanA y B dosconjuntosen un universo,talesqueseverifica:
(A-B)u(B-A):AuB
T3
CONJUNTOS Determinar, cuál de los siguientesenunciadoses falso? a ¡ A'0 B :B ,
b)A "l.¡ B =A ', c)A n B : @,
d )A c B '
de las siguientes la equivalencia demostrar de conjuntos, Usandoleyeso propiedades proposiciones: 12.
(A n B) U (A-B): A
13.
t( A -B )U B l -A =B -A
14.
A-(A-B)= A fl B
ls.
B-[A-(A-B)]= B-R
16.
( A U B )-(C -A )=A U (B - C)
17.
tA - (B-C)lUC= ( A- B) U C
18.
(A n B)-(Afi C) : A n (B-C)
le.
tA-(Bu c)l u (An B)u (An c)=A
20 .
(A -B )U (B -A )=(A U B ) - ( A n B )
2r.
(A U B )-(A ¿B ):A ftB
22.
( A f^l B )¡(B nC ):(A aC ) n s
23.
(A U B )¡(B U C )=(A aC) - B
74
ALGEBRA
24.
B c Ae A U B :A
25.
Ac Bn A cC e A c(B 0 C )
2 6.
P ( A ) U P (B )cP (A U B )
"l
A
27.
P[ ( A n B ) u C :)P ] ( A u C ) n P( Bu c)
28.
( A0 B)xC :(A xC )f-l (B xC )
29.
( A - B )xC :(A xC )-(B xC )
30.
Si A y B denotandosconjuntoscualesquiera, simplificar
{(AUB)nt(B-A)U(AnB)l}n tAU(AUB)'l 31.
Si A c ByA l l C :
K A nc)-slutBu (A-c)l 32.
R:AflB
R: B
S e a nl o sco n j u n to s U : {0 , 1 ,2,3,4,5,6,7,8,9} A ={xe U l 2*eU} B ={x e U ll
C : { x e U /fi
e U}
Hallanr :( B- A ) ,n ( A a C )q, ( B ' ¿ C' )y n t( AUC) RBl.R:3 ,4 ,7 y3 33 .
Sa b i e n d o q u e A:cC , B .
Q,n( C) = 100,n( AUB) :20,
n ( A n B ):2 0 yq (B )-r (A ):2. a)
q [(C -A )|B ]
,b )r[(C - B) flA]
Hallar : R:26;24
CONJUNTOS
34.
Seanlos conjuntos,A y B, tales que AIB tiene 10 elementosy A U B tiene 15 elementos.Cuántoselementostiene A f-l B?
35.
Dados los conjuntos,A y B, talesque A U B tiene 18 elementosy A 0 B tiene 7 elementos.Cuántoselementostiene AIB?.
36.
En una encuestaa 100 estudiantesaceÍca de los hábitosde lectura.se determinó los resultadosque se muestranen un diagramade Venn.
donde: H:
queleenhistoria estudiantes
L:
queleenLiteratura estudiantes
M:
queleenMatemática estudiantes
Determinarel númerode estudiantesque leen:
an Jt.
a)
Historia
b)
solamenteHistoria
c)
Historia y Matemática
d)
Historia y Matemáticapero no leen Literatura
e)
Literaturao Matemáticapero no leen Historia
0
ninguna
En cierta competencia,todos los alumnos gustan de Aritmética, algunos de Físicay otrosde Química. Si 350 gustande Aritméticay Física,y 470 de Químicao Aritmética,cuántosno gustande Física?
38.
R: 120
Supongo que Alvaro toma huevos o tocino (o ambos) para su desayunocada mañana durante el mes de enero. Si come tocino 26 mañanas1' huevos I r mañanas.¿Cuántasmañanascome huevosy tocino?
R: ll
CAPITULO III
O PER ACION ES A LG E B RA ICA S T.
INTRODUCCION
En estecapítulonos ocuparemos de las expresiones algebraicas, de los polinomios,de las operacionesfundamentales entreellos y de la manerade efectuarlas.La habilidad paramanipularlas expresionesalgebraicas, de la maneramás eficienteposible,es un requisitoprimordial y necesariopara progresarsatisfactoriamente en las aplicaciones del álgebra.Por tanto, es conveniente,que el tema sea desarrolladocon suficiente claridady complementado conmayornúmeroposiblede ejercicios. 1.1
LEYES DE LOS EXPONENTES
En basea las operaciones de multiplicacióny adiciónde los númerosrealesy los axiomasde conmutatividady asociatividadcorrespondientes se tienen las siguientes leyesde los exponentes quedescribenel algoritmode la potenciación.
\m nm +n
a ' b n = (a b )'
a)
A A =a
b)
c^\). n
a' +=
d ) # = (;)'
e)
( a') ,'=
s)
I o " =-
m-n a."
o
a
a"
0
I@^)' j' = q'n'
h)
(; )' =
(: )'
:
2.T.
ALGEBRA
DEFINICIÓN
Una proposiciónes toda oración o enunciadorespectode la cual se puededecir si es verdaderao falsa,pero no ambasa la vez. Es decir, toda proposiciónestáasociadaa un valor de verdad, la cual puede ser verdaderao bien falsa. Así, si una proposición es verdadera,se dice que su valor de verdad es V y si ,esfalsa, se dice que su valor de verdades F.
Ejemplo:
2.2.'
El,valor de verdadde las siguientesproposicioneses: a)
"El símbolodel aguaesH2O"
V
b)
"2 esmúltiplode 3"
F
c)
"2 esun númeroprimo"
V
NOTACIONES y CONECTTVOSLóGTCOS
A las proposicionessimples o genéricas(llamadastambién atómicas)se acostumbran denotarcon las letrasminúsculasp, g, r,....Así, por ejemplo,
p : "21 esdivisiblepor7". q :" 3 2 '.j
-
| = 2 3 zt
r : "El hombreesel arquitecto de supropiodestino,, A partir de proposicionessimples se pueden generar otras proposicionessimples o compuestasutilizando ciertasconstantesproposicionales llamadosconectivoslógicos, tales como: el conectivo "no", se denota "-"; el conectivo ,,y,,, se denota ,.A,,; el conectivo "o", se denota o'v "; el conectivo "si..., entonces...',, se denota ,,-+"; el c-'nectivo"si y sólo si", se denota"*"
y el conectivo"o" excluyente,se denota.,v',.
T
:-T ALGEBRA SOLUCION: En primer lugar, se determin arálaproposicióncorrespondiente al circuito dado.Estoes: q y - p estiínconectadosen pararero, se simboriza:q v _ p (q v - p) y r estánconectadosen serie,se simboliza:(q v _ p)n r p y - q estánconectadosen serie, se simboliza: p _q ^ Finalmente, (q v - p)n r y (p - q) estánconectadosen paralelo, se ^ simboliza:
[(q v_ p )¡r]v(p n_q) Simplificando, seobtiene [(q v - p) n r] v (p - q) = [_(pn_q)n r]v(p _q) L.D'M. ^ ^ = [-(pn-q)v(pn -q)]n [rv(p n _q)] L.dist. =Vn[rv(p L.neg. ^ -q)] : rv(p L.Ident. ^ -dJ Portantoel circuitoequivalente es
7.
INFERENCIA TÓEIC,I
Se debe entenderpor inferencia lógica a un razonamientoen el que a partir de un conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado conclusión.Un razonamientoes válido sí, y solamentesí, la conjunciónde las premisas implica la conclusión,o la conclusiónes consecuenciade las premisas.Es decir, si las premisas son todas verdaderas,entonces las conclusionesque se derivan de ellas lógicamentehan de ser verdaderas.Sin embargo,si una o más de las premisases falsa, la conjunción de todas las premisas es falsa; por tanto, la conclusión puede ser rerdaderao falsa.
INDICE Piz;n:
CAPITULOI.
t. 2. 2.t.
LOGICA
INTRODUCCION PROPOSrcIONES DEFINICIÓN
l I
2.2. .]. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5, 3.6.
NOTACIONESY CONECTIVOS LÓGICOS PROPOSICIONALES OPERACIONES NEGACIÓN CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN IMPLICACIÓNO CONDICIONAL DOBLEIMPLICACION O BICONDICIONAL DISYUNCIÓNEXCLUSIVA FÓRMULASPROPOSrc IONA LES /, TABLADE VALORES DE VERDAD 4.2. CLASIFICACIÓUOT TÓNUUUS PROPOSICIONALES 4.2,1 TAUTOLOCIA 4.2.2. CONTRADTCCTÓN 4,2,3 CONTINGENCIA 4.3 LÓGICA EQUIVALENCIA 4.4 EJEMPLOSADICIONALES 5. ALGEBRADE PROPOSICIONES 5.]. LEYESLOGICAS 5.2. SIMPLIFICACIÓNDEFÓRMULASPROPOSrcIONALES CIRCUITOS LOGICOS: 6.I. CIRCUITOSEN SERIEY EN PARALELO 6.1,1 CIRCUITOS EN SERIE 6.1.2 CIRCUITOS EN PARALELO 7. INFERENCIA LOGICA 7.t REGLASDE INFERENCIA FTJNCIONES PROPOSrcIONALES YSU CUANTIFI CACI ÓN 8. FUNCIONES PROPOSICIONALES 8.1. 8.2. CUANTIFICADORES EJERCIAOS
CAPITULOII,
L 2. 2.t. 3. 3.t. 3.2. 4. 4.1. 4.3. 5. (t
5.2. 5.3. 6.
CONJUNTOS
INTRODUCCION CONCEPTOYNOTACIÓNDE CONJUNTO NOTACIÓNDE CONJUNTOSNUMÉNCOS DETERMINACIÓNDE UN CONJUNTO POR EXTENSIÓN POR COMPRENSIÓN CONJUNTOSESPECIALES CONJUNTOUNITARIO CONJUNTOVACíO CONJUNTOUNIVERSAL RELACIONES ENTRECONJUNTOS INCLUSIÓNDE CONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS CONJUNTODE PARTES : OPERACIONES ENTRECONJU NTOS
i 5 6 7 I 8 9 IO IO II II t¿
I'3 I4 t\-
I6 20 20 20 ZI ', ,,t
,25 29 29 30 33
LOGICA ¿
3.
OPERACIONESPROPOSrcIONALES
Dada una o dos proposiciones,cuyos valores de verdad se conocen,las operaciones entre proposicionestratan de generarotras proposicionesy caracterizarla proposición resultantea travésde su valor de verdad. Estas son: La negación, conjunción, disyunción, implicación, doble implicación y la disyunciónexclusiva.
3.T.
NEGACIÓN
La negación de la proposición 'op" es la proposició,no'no p" que se escribe-p, cuya tabla de valoresde verdades:
Ejemplo:
' La negaciónde la proposición '/ p:
" todo estudiantees educado"
es
-p:
" no todo estudiantees educado"
o bien
-p:
" hay estudiantesque no son educados",
la cual es V, ya que p es F
Ejemplo:
La negaciónde la proposición q:
" tres es mayor que dos"
ES
-q:
"3 no es mayorque dos" , _
o bien
-q:
" no es ciertoque 3 es mayor que2"
como q es V en estecaso,-q es F.
--:/
LOGICA
l):
r9 s i m p l i fi ca r: Iq ¡ (q -+ -p )] -+ - ( pnq) lq¡(q-+-p)l-+ -(p n q) :[qn (- q v - p)]-+ (- p v - q) L.D' M. = [( q - q) v (q n - p)]-+(- p v - q) L.dist. ^ : IF v(qn- p) ] L.neg. - + ( - pv- q) = (q - p)l -+ (- p v - q) L.ident. ^ = -(q ^ -p) ' v( - pv- q) D.im p.
m)
= (-q vp) v( - pv- q)
L. D.M.
= (-q v-q) v( pv- p)
L. asoc.
: -q vV :V
L.idem,L neg. L. abs.
S i m p l ifi ca r:[-p ^ (q -+p )]v[(p v- q) n( qvp) ]
[-p n (q+p)] v [ (p v-9) n ( q v p)] = [-p
^
(-q v p)] v [p v (_q n q)] D.imp.L.dist
= [(-p
-q) v (-p n p)] v [p v F] ^ [(-p n -q )vF]r r p
= (-p ¡-q )v
Ejemplo:
p
L.dist.,L.neg. L.neg.,L.ident. L.ident.
= (-p vp )n( - qvp)
L.dist.
= V n (-q vp)
L.neg
= -q vp
L.ident
Determinar unaproposición X, tal que [( _x _+p)n x] v (p q ) = q ^
SOLUCION: Simplificando la proposición delprimermiembrosetiene [ (x" p )n x] v(p ¡ q )=q xv(p X
q )=q
D.Imp. L.abs.
Luego,paraque se verifiquela equivalencia, ra proposiciónx debeser q o su equivalente, pues qv(pnq)=q
L. abs.
3. 3.I 32. 33. /', 5. 5.1 5.2. 5.3. 6 6.1. 7, 7.1
PERMUTACIONES PERMUTACIONESSIMPLES PERMUTACIONES CI RCULA RES PERMUTACIONES CON REPETICIÓN VARIACIONES VANACIONESSIMPLES VARIACIONES CON REPETICIÓN COMBINACIONES COMBINACIONESSIMPLES COMBINACIONESCON REPETICIÓN PROPIEDADES NOTACIÓNDE SUMATONA Y PRODUCTONA PROPIEDADES BINOMIO DE NEWTON PROPIEDADES EJERCIAOS
CAPITULO VIII,
I. 2. 2.r
LOGANTMOS
INTRODUCCION y LocAnirutc¿s FUNCToNES EXqoNENCTALES ru¡tctóUEXPoNENCTAL
2.2.
ruuctó¡vtoctnirutct
3. 4. 4.1.
PROPIEDADESFUNDAMENTALESDE LOSLOGANTMOS ECIJACI)NES EXqoNENCTALESy LocAúrutc¿s ECUACIONESEXPONENCIALES
i.2. i.
ECUACTzNES toc,s,Nrutcts y LocAnirutcts EXqzNENCIALES srsrEMADEECUACIINES EJERCICIOS
I. ) :1 :_'
NUMEROSCOMPLEJOS OPERACI ONES FUNDAMENTALES
ti
PROPIEDADES
I
! !
301 301 301 302 303 30s 305 306 309 3t3
NUMEROSCOMPLEJOSY SUS OPEMCIONB
CAPITULOU,
J
266 267 269 271 272 272 274 275 275 279 280 282 283 286 288 290
.cotctórv su'srntcctóN vutnpuctctó¡v on'tstóu vóot'to v susPRoPTEDADES FoRrLtPILARot uNNúuzno coMPLEJo FORII4 LYPONENCIAL =OPEILl DE D' MOIVRE
.¿LaEsDEL'y¡,¡úuonocoMPLNo ; ¡-:3f\ E\ c 1..41 y LocAnlrutctót t coMpLEJA r/ J\
323 324 324 325 326 326 328 328 329 330 332 333 336 340
clpiruLo I
LOGICA r.
nvrnonucctórv
La lógicaes la disciplinaque tratade los métodos,modosy formasdel razonamiento esválidoo no. si un argumento humano.Ofrecereglasy técnicasparadeterminar del lenguaje de la lógicaes eliminarlas ambigüedades Una de las metasfundamentales ordinario, introduciendosímbolos y conectivosIógicos en la construcciónde proposiciones. lógico,queconsisteen decidir sonla basedel razonamiento Dadoquelasproposiciones veremos q¡repreviamentefueronaceptados, la validezde una ideaen basea enunciados a continuaciónel conceptode proposición,su simbolizacióny conectivoslógicos' Posteriormentese estudiarán las operacionesproposicionales,leyes lógicas, a circuitoslógicose inferencialógica. aplicaciones
2.
PROPOSrcIONES
las siguientesoraciones: Consideremos
a)
Tomedosaspirinas
b) c)
¿Hablaustedinglés? 2 esun númeroPrimo
d)
3 esmayorque5
e)
El sol saldrámañana
Se trata de cinco oracionesdiferentes,una orden,una interrogativay tres declarativas' de las De las dos primeras no podemosdecir que seanverdaderasni falsas.Mientras, falsas' A tres últimas, que son declarativas,tiene sentidodecir que son verdaderaso estasoracionesse denominaproposiciones.
LOGICA t
3.3.
DISYANCIÓN
Se llama disyunciónde dos proposiciones,p y q, a la proposiciónque se obtiene por mediodel conectivo"o", seescribep v q i selee "p o q" (inclusivo), uniéndolas cuyatablade valoresde verdad:s:
Pr
q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
rP V 9
REGLA es falsa (F) si las dos proposicionescomponentes La disyunciónde dos proposiciones sonfalsas,en otro casoesverdadera(V).
Ejemplo:
La disyunciónde lasproposiciones
es
p:
" 15esmúltiplode5"
q:
" 15esmúltiplode2"
p v q:
" 15esmúltiplode 5 o de 2"
la cualesV, ya que p esV.
Ejemplo:
La proposición compuesta " Carlosesun buenjugadoro esmuy afortunado" simples esla disyunciónde lasproposiciones p:
" Carlosesun buenjugador"
q:
" Carlosesmuy afortunado"
sesimboliza p v q compuesta luego,la proposición
!
3.2.
ALGEBRA
CONJANCIÓN
Se llama conjunciónde dos proposiciones,p y g, a la proposición que se obtiene uniéndolaspor medio del conectivo.. y ',, se escribe p A q se lee "p y q", cuya tabla ] de valoresde verdades:
REGLA La conjunciónde dos proposiciones es verdadera(V) solamentecuandolas dos proposiciones componentes sonverdaderas, enotrocasoesfalsa(F). Ejemplo:
La conjunciónde las proposiciones p:
"3 es mayorque 2',
q:
"3 divide a 6"
q: "3 es mayorque 2 y dividea 6 ,., ^ la cual es V, ya que las proposicionesp y q son verdaderas es
Ejemplo:
p
La proposicióncompuesta " 2 es un númeropar y primo" es la conjunciónde las proposicionessimples p:
"2 es un númeropar"
q:
" 2 es un númeroprimo"
LOGICA
3.5.
DOBLE IMPLICACION O BICONDICIONAL
Se llama doble implicación o bicondicionalde dos proposiciones,p y q, a la proposición que se obtieneuniéndolaspor medio del conectivo:o'...si y sólo si...",se escribep <> q y se lee "p si y sólo si q", cuyatablade valoresde verdades:
REGLA es verdadera(V) solamentecuandolas dos La bicondicionalde dos proposiciones proposiciones componentes tienenel mismovalordeverdad,en otrocasoesfalsa(F).
Ejemplo:
la proposicióncompuesta " A Juan se le otorgaráuna becasi y sólo si obtieneun promediomayor a 60 puntos" es la bicondicionalde las proposiciones: p:
" A Juanse le otorgaráuna beca"
q:
" Juanobtieneun promediomayor a 60 puntos"
luego la proposicióncompuestase simboliza
Ejemplo:
peq
Seanlas proposiciones p:
"Esta ley seráaprobadaen estasesión"
q:
"Esta ley es apoyadapor la mayoría"
luegola proposición - p <> -q es: " Esta ley no seráaprobadaen estasecciónsi y sólo si no es apot'adapor la mayoría"
I
ALGEBRA
l
_1.1. I M PLICACI ON O CONDICIONAL
Se llama implicación o condicionalde dos proposiciones,p y q, a la proposiciónque se obtieneuniéndolaspor medio del conectivo:" si... entonces...", se escribep -+ q y se lee " si p, entoncesq" o "p implica q". En el esquemap -+ q llamaremosa la primera proposición(p) antecedentey a la segunda(q) consecuente.cuya tabla de valores de verdades:
REGLA cuandoel antecedente La implicaciónde dos proposiciones es falsa(F), solamente (V) y el consecuente verdadero esfalso,en otrocasoesverdadera
Ejemplo:
La proposicióncompuesta "si un materialse calientaentoncesse dilata" es la implicaciónde las proposiciones p:
" Un materialse caliente"
(antecedente)
q:
" El materialse dilata"
(consecuente)
luego,la proposicióncompuestase simboliza
Ejemplo:
p -+ q
Seanlas proposiciones: p:
" Antonio viaja a Europa"
q:
" Antonio perdió susdocumentos",
entoncesla proposición
q + -p
es:
" si Antonio perdió susdocumentosentoncesno viaja a Europa"
t
E
3.6.
ALGEBRA
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
se llamadisyunciónexclusivade dosproposiciones, p y q , a la proposición quese obtienemiéndolaspor mediodel conectivo"o" excluyente,se escribep v q y selee "p o q" en sentido excluyente(p o bien q), cuya tabla de valores de verdad es:
REGLA La disyunciónexclusivade dosproposiciones es falsa(F) cuandolas dos proposiciones componentes tienenel mismovalor de verdad,en otro casoesverdadera(V). NOTA: Es ciertoque p v q equivalea la negaciónde p <+ q. Ejemplo:
La proposicióncompuesta " la capitaldeBolivia esLaPazo Sucre" esla disyunciónexclusivade lasproposiciones: p:
" La capitalde Bolivia esLaPaz"
q:
" La capitalde BoliviaesSucre"
luego la proposicióncompuestase simbolizap v g, pues se excluyela posibilidadde quesecumplanambasproposiciones. 4.
FORMULAS PROPOSrcIONALES
Una fórmula proposicionales una combinaciónde proposicionesy conectivoslógicos quesimbolizaavnaproposición compuesta o molecular.Porejemplo,las siguientes son fórmulasproposicionales : p ^ ( q v-p ),
(-p +q )n r,
py( - p+r )
39
LOGICA
62. R: pvq
63.
R: -p nq
r
64.
-pq p
R:p nq
-q
65.
R: p n 9
i
l
,
66.
l
I
R: r n-q
r __J
67.
!r
-p
R:q
3t
52.
ALGEBRA
[ (x+ q)-+x] n(- q + -p) =p
^
q
R:p
Construirel circuito lógico que representaa cadauna de las proposicionessiguientes:
53 .
p +q
54.
p eq
55 .
pvq
56 .
{ (pn -q)v
57.
{ [ p "( q v r ) ]
58.
{ t ( p v q ) ^ ( - pvr)
59.
{[ - r , . ( p v q ) ] " [ ( - p v r ) n ( - q v - r ) ] ] n [ - p' , ( q,..r ) ]
[ -q v( -p n q ) rr(p ^-r)
]] n (p v q)
] n (-p v-q )
l r [ (p n q )v
(- r ^-
q) ] ] n( pvqvr )
Escribirla proposiciónque caracteriza a cadauno de los siguientes circuitoslógicos,y simplificar: lPq
60.
I
-q
l-p
R: pnq q-p
61 .
R: - pn- q
44
85.
ALGEBRA
[(p-+ -q)e(x v p)]+ -(r-+ -p)
R:V
seaF
Simplificar las siguientesproposiciones:
{[p n ( q -+ r )] n I p -+ (q n - r )] ]v {(p n q ) v [( p n r )n (q v - r ) ]]
87.
t( - p^- q) e - ( q-+p)ly
88.
l qn ( s+ q ) l y I (p^ -q
89.
{ ( p n - q ) v - (p e q ) v - [ (q -+ p ) v ( r + s ) 1 ] y I q
{ (p^ -q)v -[ (p n -q )v (q + p )]
),, (-p
^ q)
R: p n q
v (p -+ r) v (p + > q )l
^
R: q
]
R: -q
(p +q ) l
R: p
Determinarunaproposiciónx , tal que: 90.
x - + ( p < + x ) =p vq
R:- q
91.
v x) = p v - q [(py -x )+ x] ^(q
R: -q
92.
[(r n x)<+(x + r)] n [q -+(- p
^
x )] = p
^
- q
R:p
Obtenerlasproposiciones correspondientes a los siguientescircuitosy simplificar:
q
93. -q
R:p
ALGEBRA
76
39.
Un grupode 70 personasejecutantrabajosmanualesutilizandotres materiales: barro,maderay cartulina. Se sabeque todosutilizan barro,29 utilizanmadera,40 cartulinay I I emplean los tresmateriales. Cuantosutilizanúnicamente barro?
40.
R: 12
De 33 personasque viajaron a Europa, 15 visitaron Francia, 16 visitaron Inglaterra,16visitaronSuiza,5 visitaronFranciay Suiza,5 visitaronInglaterray Suiza,y 2 los trespaíses.
4t.
a)
Cu¿intos visitaron.únicamente Francia?
R:6
b)
CuántosvisitaronInglaterrao Suizaperono Francia?
R: 18
c)
Cu¡ántos visitaronFranciay Suizaperono Inglatena?
R:3
22 con cebolla, 29 con Una meseratomó una orden de 57 hamburguesas: mostazay 25 con salsade tomate.De éstas,l0 teníansólo cebollay 15 sólo mostaza;7 de las hamburguesas tenía sólo cebolla y mostazay 3 los tres ingredientes. Realiceun diagramade Venn y determine:
42.
a) Cuántashamburguesas llevabansalsay mostazasolamente?
R: 4
b) Cuantassólollevabansalsa?
R: 16
c) Cuántashamburguesas llevabancebollao mostaza,perono salsa?
R: 32
Un ingenieroquedirigela construcción de un edificiode tresplantas,distribuye el personalde la siguientemanera:43 trabajanen la primeraplanta, 58 en la terceraplanta, 16 en la primera y segundaplanta,22 en la primera y tercera planta,7 trabajanen las tres plantas.Si 52 trabajanen una solaplantay 37 en dosplantasalavezperono en lastres,Cuántostrabajan a)
en la primera y segunda,pero no en la tercera,
R:9
b)
en la segundao tercerapero no en la primera,
R: 53
c)
únicamenteen la primera? y
R:.12
d)
q+ántostrabajan en total?
R:96
CONJUNTOS
43.
Un Club deportivoconstade 85 socios,de los cuales43 practicanfi¡tbol. .16 basket,41 tenis,45 practicansóloun deportey 5 practicanlos tresdeportes. Cuántossociosdel Clubpracticanexactamente dosdeportes?
44.
45.
Seanlosconjuntos:A: {a,b, c, d} y H a l l a r : a)A xB , b )B xA , c) AxA,
R: 35
B: {1, 3, 5} d) BxB
S e a n l o sco n j u n to A s:= {x e R l - 1 < x< 3} B = {y e R l -2
ETERCICIOS VARIOS 46.
SeanA y B dosconjuntosincluidosen un mismoconjuntouniversal. Cuál de las siguientesexpresiones esincorrecto? a ) An B' cA ,
47.
b )A o B cA U B ,
c) ( A[lB) ' cA¡ 8,
d) BnA' cA¡ B
Sean A, B y C tres conjuntosno vacíos incluidos en un mismo conjuntc universal.Determinarel valor de verdadde las siguientesafirmaciones: a ) Si Ac ( B U C ) n A f^ tC= O + A c B b) Si Ac B' n C c A -+ B f^lC : ó c ) S i ( A n B )' :A a B n A n B n C * o + C c ( AU B)
d)Si( AU B )c A ¿ B ( AU B )n C * o - +An B0 C * o ^ 48.
Si A y B denotandosconjuntoscualesquiera, determinarel valor de verdadd, lassiguientes afirmaciones a) Si q (A) : 3, n (B) : 4 y \ (A U B) = 5, entonces 11(P (A n B )) : 4 b) Si q (A):2, q (B):3, P(A) U P(B)es 12.
entonces el númeromáximodeelementos de
78
ALGEBRA
c ) Si A 0 B"*
( B - A ) ^ ( C - A ):(B a C )-A
5 0.
(A - B)' n (A - C)' = (A a B) 0 e
51.
{t(Au B)-(c-A)ln t(An B)-(A- c)l} u (B-c).
R: B.UC
52.
(c - B) {t(Au B)n (B- c)'lu t c- (A.nB)1.}-
R: BUC.
53.
{lc u (B-A)ln IB- (c u A)'l'} u B
R: BUC
54.
U {B-l(Al-ts) U (A U B).1} {t(A-B)u (Bc-A)l-B}
R: A'
55.
l(Au B')A (B-A)l'U[(An B)'- (B- A)]
R: B'
s6.
{[(A'n B)A (A-B)]'n t(A- B).-(A U B)l] A Ac
R:B- A
57.
{[(A'-B)u (B'-A')]'U[A A (A.UB).]] A (B- A).
R:(An B)'
18.
En un certamencientífico escolar
.34 estudiantesrecibieronpremios por sus provectoscientíficos.Se dieron 14 premios a proyectosde biología, 13 a provectosde química y 2l a proyectosde física. Si 3 estudiantesrecibieron premiosen las tres áreas,¿Cuántosrecibieronpremiosexactamente en: a) una -rla
áre¿'1.b) dos áreas?
R: 23,8
CONJUNTOS
59.
79
Paraestudiarla calidadde un producto se considerantres tipos de defectosA, B y C, como los más importantes.Se analizaron120 productoscon los siguientes resultados: 49 productostienenel defectoA, 48 productostienenel defectoB, 49 productostienenel defectoC, 6l productostienen exactamenteun solo tipo de defecto, 7 productos tienen los tres fipos de defectos,y el resto de los productos no presentanningún tipo de defectos.Determinar: a) Cuantosproductostienendos tipos de defectos? b) Cuántosproductosno tienendefectos?
60.
R:32;20
En una encuesta a 180estudiantes se halló que:62se comportanbien, 125son irtteligentes,I44 son habladores,106 son habladorese inteligentes,22 estudiantes se comportanbien y no soninteligentes, 13 secomportanbien y no sonhabladores, l5 secomportan perono soninteligentes. bieny sonhabladores, a) Cuántosde los 180 estudiantes entrevistados no son inteligentes,no son R: l0
habladoresni se comportanbien?
b) Cuantosestudiantesse comportanbien o son inteligentes,pero no habladores?
R:26
"Tal como le habíailuminadotoda su vida, también ahora el entendimientoiluminó ese instante de la existenciade Juan Gaviota. Tenían razón. él era capaz de volar más alto". R. Bach