Erik Alejandro Leon Rojas
ECUACION DE EULER PARA COLUMNAS Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carg a gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga m ucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: “Largas e Intermedias”. A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. Las diferencias entre los t res grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas re rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por combinación de esfuerzas, aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento. Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sec ción recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada, con respecto al centro de gravedad, en una sección cualquiera. El estado de carga en e sta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o, mejor dicho, por flexión).
La teoría de las columnas es la fórmula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático sumo. La fórmula de Euler, que solamente es válida para c olumnas largas calcula lo que se conoce como la carga crítica de pandeo.
Esta es la carga última que puede ser soportada por columnas largas; es decir, la carga presente en el instante del colapso. Consideremos una columna soportada en sus dos extremos por angulaciones y sometida a una carga axial P. Supongamos que esta columna inicialmente es recta homogénea, y de sección transversal constan toda su longitud. También debe suponerse que el material de esta hecha la columna se comporta elásticamente. Es decir, se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al límite de proporcionalidad del material. Cuando se intenta determinar la carga de pandeo de una columna debe uno darse cue nta que una columna cargada con la carga crítica de pandeo puede tener dos posiciones de equilibrio. Consideremos por ejemplo, una dicha barra mostrada (a ponga que la carga axial P parte de un valor bajo y se incrementa gradualmente de magnitud. Si se aplica una pequeña fuerza lateralmente la barra se deformará lateralmente una pequeña cantidad. Si se quita Q la barra regresará a su configuración recta. Sin embargo, la barra deformada no regresará a su posición recta cuando la carga axial P sea de un valor particular, llamado la carga crítica de pandeo. Cuando se aplica esa carga crítica, la barra se deformará debido a la pequeña carga lateral Q, pero conservará la posición deformada cuando se quita Q. En la condición de la barra puede describirse como equilibrio neutro. Si en la condición de equilibrio neutro, la carga axial se reduce ligeramente, la barra regresará a su posición recta. Si la carga axial se incrementa ligeramente, la barra sufrirá el colapso. Se llama carga crítica de pandeos a aquella a la cual co rresponde el equilibrio neutro. Se obtiene la carga crítica de pandeo para una columna, considerando a la barra en la configuración flexionada de equilibrio neutro. La Fig. 3.11 (b) muestra un diagrama de cuerpo libre de la barra en esa situación. El momento flexionante es: ∑M corte = 0 : M = -Py.
Se usa el signo menos debido a los ejes coordenados elegidos. Estos ejes y, por consiguiente, el signo menos para el momento flexionante se eligen para simplificar la solución matemática del
problema. Pueden elegirse otros ejes, pero la expresión matemática para la solución no sería tan fácil para su análisis.
LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER
Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en la cual es mas flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la c arga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elástico. Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así pues, para aumenta la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del c entro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más par ecidos posible ( como en una columna hueca). Para que la fórmula de Euler sea aplicable, e l esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia I por Ar2, donde A es el área de la sección recta y r es el radio de giro mínimo.
