UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2000
Estimación del diámetro económico de la tubería de un sistema de bombeo Al las lasia, ia, Daniel G. Instituto de Pesquisas Hidráulicas - UFRGS - Brasil. Depto de Hidraulica -Facultad de Ingeniería - UNNE. E-mail:
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En este trabajo se presenta un método numérico para la determinación del diámetro más económico de la tubería de un sistema de bombeo. En el método se tienen en cuenta los costos de instalación y explotación en función del material, liquido transportado y régimen de escurrimento. En esencia, se procura un diámetro que anule el valor de función derivada de la funcion del costo dependiente del diámetro y basada en las premisas anteriores. Al final sepresenta una aplicación delmétodo para cálculo de cañerias de impulsión para el caso de desagües pluviales. INTRODUCCION
Hasta hace algunos años, los ingenieros hidráulicos utilizaban fórmulas como la de Bresse para el cálculo del diámetro de una impulsión: D = 1,5 . Q
0,5
(1)
Este tipo de fórmulas, al no considerar los costos de operación, dan valores de diámetros relativamente grandes, que conducen el líquido bombeado con velocidades bajas (menores a 1m/s). Otro método expeditivo muy utilizado consiste en fijar una velocidad de escurrimento (según la propia experiencia del proyectista) y, a partir de la ecuación de continuidad, determinar un valor de diámetro. Se percibe entonces la necesidad de contar con un método que tenga en cuenta los factores intervinientes en un sistema de bombeo para la determinación del diámetro económico de la cañería de impulsión de los sistemas de bombeo. PLANTEO GENERAL
Al bombear un caudal Q a la altura Hg , utilizar un diámetro pequeño disminuye los costos de instalación, pero aumenta la velocidad del agua, lo que ocasiona mayores pérdidas Hr en la cañería. Por lo tanto, la bomba necesaria deberá tener una capacidad mayor, con el consecuente aumento del costo de adquisición y del gasto en energía durante su operación. Entonces, es posible percibir que el costo total de un sistema de bombeo estará dado por: C = C1(D) + C2(D) +C3(D)
(2)
En esta ecuación, el primer término representa el costo de instalación de la tubería, que es proporcional a la longitud y al diámetro (aunque no linearmente). Por lo tanto: α
C1 = p . D . L . a
(3)
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donde p es en costo por metro de la tubería instalada; D el diámetro de la tubería; αun exponente que expresa la no linearidad entre el costo de la conducción y el diámetro; L la longitud de la conducción y a la tasa de amortización. La tasa de amortización puede ser calculada a través de la siguiente ecuación: a=
(1 + i )t .i
(4) (1 + i )t − 1 Esta ecuación se utiliza para calcular la amortización de una inversión a lo largo de los t años útiles de la instalación, al tipo de interés real. El valor del coeficiente α fue estudiado por diversos autores y resultando en los siguientes valores condensados en la tabla 3.1. E. Mendiluce (1966) A. Melzer (1964) Vibert – Agüera Soriano (1987) Prevedello (2000) Allasia (2000)
1 2 1,5 1,68 1.2-2*
*ver aplicación al final del presente trabajo
El segundo término de la (1) tiene en cuenta el costo anual de explotación, que se obtiene de la multiplicación entre la potencia P de la bomba, por el número de horas de funcionamiento ( n) y por el precio unitario de la energía (s). Entonces, este término se podrá calcular a través de l a siguiente expresión: C 2 ( D) = n ⋅ s ⋅ P ⋅ 365 = n ⋅ s ⋅ 365 ⋅
γ ⋅ 0,00981 ⋅ Q ⋅ (H g + h + H r ) η
(4)
donde: h: presión al final de la tubería Hr: Pérdida de carga η: rendimiento del conjunto motor - bomba n: número de horas diarias de funcionamiento de la estación de bombeo s: costo de la energía, por kwh Dado que Hg y h son independientes del diámetro, ellos no aparecerán en la derivada de la (4). Para calcular las pérdida en la conducción puede utilizarse la ecuación de de Darcy-Weissbach: Hr = f .
L.V 2
(5)
D.2.g
donde, por continuidad, V2 vale:
V
2
=
Q 2 .16
π 2 .D 4
Reemplazando estos valores en la (4) se obtiene:
(6)
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C 2 ( D) = n ⋅ s ⋅ 365 ⋅
γ ⋅ 0,00981 ⋅ Q 3 ⋅ f ⋅ L ⋅ 16 η ⋅ π 2 ⋅ D5 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ η
(7)
El tercer término de la (1) se refiere al costo de instalación de la bomba y que, junto con el primer término de dicha ecuación, son los únicos incluidos por Bresse en su fórmula. En este trabajo se siguió la concepción de Mendiluce-Melzer-Viber y Prevedello de considerar que la variación del costo de la bomba entre las distintas alternativas es despreciable en función de las incertezas asociadas. DETERMINACION DE LA ECUACIÓN
Reemplazando las ecuaciones (2) y (7) en la (1) y despreciando el término del costo de la bomba, resulta:
C( D) = p ⋅ D
α
⋅ L ⋅ a + n ⋅ s ⋅ 365 ⋅
0, 00981 .Q 3.f .L .16
η. π2 .D5 .2g
(8)
Derivando la expresión (8) con respecto al diámetro e igualando a cero, se obtiene el valor del diámetro que hace mínimo el costo. Para asegurar que se trataba de un mínimo, se debe verificar que la segunda derivada sea positiva. Esta condición condición está asegurada siempre y cuando el parámetro α sea positivo, lo que siempre es así en la práctica, pues el costo de la conducción crece con el diámetro. Por lo tanto, la expresión de la derivada igual a “cero” es la siguiente: 67,6 . η .p.a. α . D
6 + ( α −1)
Q 3 . f . γ . n . s
=0
(9)
Utilizando la fórmula de Colebrook, mostrada en (10), utiizada para el cálculo de fricción en tuberías con régimen turbulento, el coeficiente f dado por la ecuación (11) y la expresión del número de Reynolds, mostrada en (12), se llega a la expresión buscada, que se muestra en (13):
k 2,51 = −2 . log + 3 , 7 . D f Re . f
1
f = fa . D6 Re =
+ ( α -1)
(10)
(11)
V .D
(12)
ν
( ν es la viscosidad cinemática del fluido, medida en m2/s). 1
D=
0,25
6 + ( α −1) 1 6 + ( α −1 )
2 k 2,51 .ν fa log 3,7.D + V. D . f
(13)
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La ecuación (13) puede ser resuelta iterativamente, dado que la incógnita D se encuentra en ambos miembros de la ecuación. APLICACION
Como corolario del trabajo fue aplicado para el cálculo del diámetro más económico de una conducción hormigón destinada a evacuar excesos pluviales en la ciudad de Porto Alegre - Río Grande do Sul - Brasil, En los cálculos fueron considerados dos casos: el primero, considerando la rotura de pavimentos asfálticos, instalación y posterior repavimentación; el segundo simplemente la colocación de los caños enterrados. Los valores son presentados en la Tabla Nº1, en Reales (unidad monetaria del Brasil), siendo la cotización al 18/8/2000 de 1,85 Reales por Dolar.
Tabla Nº1
Valores utilizados en el cálculo
Item Simbología Costo de energía s Rendimiento Conjunto Motor η bomba Horas de funcionamiento n Ajuste entre costo y diámetro α Costo tubería instalada por metro
p
Rugosidad abs. canal Viscosidad cinemática Peso específico Tasa de amortización
k
υ γ a
Unidad R$/kwh
hs
m2.s-1 kg.m-3
Valor 0,10 0.65 8 1.2 2 460 4.5 0.03 0.000001 1000 0,10
Observaciones
Enterrado bajo bajo pavimento Enterrado bajo bajo pavimento Hormigon armado agua
Independientemente del valor inicial del diámetro, la convergencia fue rápida. Los valores resultantes se aproximaron bastante a los diámetros comerciales definitivamente adoptados. CONCLUSIONES
De la aplicación del método resulta un diámetro económico teórico, debiendo estudiarse como soluciones prácticas del problema la utilización de los diámetros comerciales próximos al valor calculado. La gran generalidad del método permite su empleo en casi cualquier situacion práctica, sujetas ellas a la corecta valoración en cada caso de los coeficientes de cálculo a partir de obras similares mediante la aplicación de técnicas tales como regresión lineal. REFERENCIAS
PEDREVELLO, C. L. 2000. Diâmetro mais econômico de uma canalização de recalque. Revista Brasileira de Recursos Hídricos. Vol 5 No 2, pp.39-42. SORIANO, J.A. 1992. Mecánica de Fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas. 3a ed. Madrid – Gráficas Lormo ROUSE, HUNTER (1952), Engineering Hydraulics. New York - John Wiley % Sons, Inc DEPARTAMENTO DE ESGOTOS PLUVIAIS (DEP) (2000), Orçamento de Condutos Pluviais na Bacia do Arroio Tamandare. Porto Alegre.
