LA VERDADERA FORMULA DE BRESSE Por SERGIO TERCERO TALAVERA
Se efectúa una revisión de la Fórmula del Diámetro Económico, de la forma en que es expresada actualmente y que es llamada como la Fórmula de Bresse. Se investigan las raíces de la misma en los documentos escritos en los años de 1800 en Francia, para poder encontrar La Verdadera Fórmula de Bresse. También se presentan los resultados obtenidos en la deducción y aplicación de la Fórmula del Diámetro Económico con datos actuales de Nicaragua. MANAGUA, NICARAGUA, 15 DE FEBRERO DE 2014
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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 1 PRIMERA PARTE: LA VERDADERA FÓRMULA DE BRESSE ........... .................... .................. ................... ................... .................. .................. ........... .. 2 1 ¿QUIÉN FUE BRESSE? ¿ERA UN PROFESIONAL RECONOCIDO EN EL CAMPO DE LA INGENIERÍA? .................................................................................................................................... 2 2
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.......... BIBLIOGR ÁFICA........................... ................................... .................................... ................................... .................................. ........................ ....... 3 2.1.
PRIMER PERÍODO. PER ÍODO. .................. ........................... .................. .................. .................. .................. ................... ................... .................. .................. ........... .. 4
2.1.1.
FORMA I: AZEVEDO NETTO Y GUILLERMO ACOSTA ....................................................... 5
2.1.2.
FORMA II: ACUEDUCTO ARCEDIANO - GUADALAJARA ................................................... 5
2.1.3.
FORMA III: HUGUES GODART ..................................................................................... 5
2.1.4.
FORMA IV: VARIOS AUTORES ...................................................................................... 5
2.1.5.
FORMA V: VÍCTOR DAVID CHOY BEJAR ....................................................................... 6
2.1.6.
FORMA VI: FORMA GENERAL ...................................................................................... 6
2.2
CONCLUSIÓN SOBRE LA DEFINICIÓN DEL PROBLEM PRO BLEMA: A:......................... .................................. .................. ............. .... 6
3
EL OBJETO DE LA INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓ N ................................... ................. ................................... ................................... .................................... ..................... ... 7
4
METODOLOGÍA METODOLO GÍA DE LA INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓ N................................. ............... ................................... ................................... ................................. ............... 7
5
RESUMEN DE LOS HALLAZGOS HALLA ZGOS .................................. ................ .................................... ................................... ................................... ........................... ......... 8
6
5.1
PRIMERA REFERENCIA ..................................................................................................... 9
5.2
SEGUNDA REFERENCIA .................................................................................................... 9
5.3
TERCERA REFERENCIA ....................................................................................................
10
5.4
CUARTA REFERENCIA .....................................................................................................
11
5.5
QUINTA REFERENCIA .....................................................................................................
11
5.6
SEXTA REFERENCIA REFER ENCIA ................. ........................... ................... .................. .................. .................. .................. .................. .................. ................. ........ 12
5.7
SÉPTIMA REFERENCIA .................................................................................................... 12
5.8
OCTAVA REFERENCI REFE RENCIA A .................. ........................... .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .............. ..... 12
COMPROBACIÓN DE LA AUTENTICIDAD HISTÓRICA O DE HISTORICIDAD: HISTORICIDAD:.................. ........................... ......... 13 6.1
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 13
6.2
CRITERIOS DE AUTENTICIDAD HISTÓRICA HISTÓ RICA .................. ........................... .................. .................. .................. ................. ........ 13
6.3
APLICACIÓN DE LOS CRITERIOS DE AUTENTICI AUTE NTICIDAD DAD .................. ........................... .................. .................. ........... .. 13
6.4
LA VERDADERA FÓRMULA DE BRESSE BRES SE .................. ........................... .................. .................. .................. .................. .............. ..... 17
SEGUNDA PARTE: ACTUALIZACIÓN DE LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO ECONÓMICO ....................... ....................... 18
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1
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 18
2
DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO MÁS ECONÓMICO:............................... 19
3
FÓRMULA GENERAL DEL DIÁMETRO ECONÓMICO: ............................................................. 22
4
REDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO ECONÓMICO CON VALORES ACTUALES ...... 22
5
COMENTARIO SOBRE LA RAIZ DE Q EN LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO ECONÓMICO: ................................ 23
6
VELOCIDAD ECONÓMICA ...................................................................................................... 23
7 COMPARACIÓN DE RESULTADOS DE DIÁMETROS ECONÓMICOS CALCULADOS Y ESTIMADOS CON LA FÓRMULA: .................................................................................................... 24 8 CURVAS DE RELACIÓN DE LOS PARÁMETROS HIDRÁULICOS VS. COSTO DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA PARA LOS DIÁMETROS ECONÓMICOS. ........................................................................ 24 APÉNDICE I ........................................................................................................................................ 28 RESÚMENES DE LA BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA EN RELACIÓN CON EL CÁLCULO DEL DIÁMETRO ECONÓMICO DE UNA TUBERÍA POR BOMBEO ................................................................................. 28 PRIMERA ETAPA 1.
PERÍODO 1920 - 2013 ........................................................................................ 28
WATER SUPPLY ENGINEERING. BABBITT AND DOLAND. FIFTH EDITION. 1955 ............ 28
2. ABASTECIMIENTOS DE AGUA Y ALCANTARILLADOS (ACUEDUCTOS Y CLOACAS). GUSTAVO RIVAS MIJARES. SEGUNDA EDICIÓN. 1961 ........................................................... 29 3. FLUID MECHANICS WITH ENGINEERING APPLICATIONS. DAUGHERTY AND FRANZINI. SIXTH EDITION. 1965 ............................................................................................................. 29 4. INGENIERIA SANITARIA. W.A. HARDENBERGH Y EDWARD B. RODIE. PRIMERA EDICIÓN EN ESPAÑOL. 1966 ................................................................................................................ 29 5. ABASTECIMIENTO DE AGUA Y REMOCIÓN DE AGUAS RESIDUALES. VOL. 1. - GORDON M. FAIR, JOHN C. GEYER Y DANIEL A. OKUN. PRIMERA EDICIÓN EN ESPAÑOL. 1968 .......... 29 6.
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. VÍCTOR L. STREETER. 4ª. EDICIÓN EN ESPAÑOL. 1968 ... 30
7. WATER SUPPLY AND WASTEWATER DISPOSAL IN DEVELOPING COUNTRIES. PROCEEDINGS OF A WATER SUPPLY AND SANITATION SEMINAR HELD IN BANGKOK 19-23 JANUARY 1970. EDITED BY M. B. PESCOD AND D.A. OKUN. 1970 ........................................ 30 8. INGENIERIA DE ACUEDUCTOS Y TRATAMIENTO DE AGUAS. HERNANDO SÁNCHEZ MONTENEGRO. VENEZUELA. 1970 ....................................................................................... 30 9. WATER SUPPLY AND POLLUTION CONTROL. JOH W. CLARK, WARREN VIESSMAN, JR. AND MARK J. HAMMER. SECOND EDITION. U.S.A. 1971 ...................................................... 30 10. ABASTECIMIENTO DE AGUA Y ALCANTARILLADO. ERNEST W. STEEL. TRADUCCIÓN DE LA 4ª. EDICIÓN EN INGLÉS DE WATER SUPPLY AND SEWERAGE. U.S.A. 1972 ................ 30 11. MANUAL DE HIDRÁULICA. J. M. DE AZEVEDO NETTO Y GUILLERMO ACOSTA ALVAREZ. 6ª. EDICIÓN. BRASIL. PÁG. 254 Y 255. 1975 ......................................................... 30 iii
12.
WATER AND WASTE-WATER TECHNOLOGY.- MARK J. HAMMER. U.S.A. 1975 ....... 32
13. TEORÍA Y DISEÑO DE SISTEMAS DE LOS ABASTECIMIENTOS DE AGUA. SIMÓN AROCHA. VENEZUELA. 1977 .................................................................................................. 32 14. ÉCOULEMENT DES FLUIDS DANS LES TUYAUTERIES. JACQUES BONNIN. INGÉNIEUR EN CHEF À ÉLECTRICITÉ DE FRANCE. FRANCIA. 1983 ............................................................ 32 15.
FORMULAIRE PONT-À-MOUSSON. SAINT GOBAIN CANALISATION. FRANCE. 1989 . 33
16. D´ALIMENTATION EN EAU POTABLE. ÉCOLE NATIONALE D´INGÉNIEURS DE TUNIS.MAHMOUD MOUSSA.- TUNISIA, AFRICA. 1991 .................................................................... 34 17. DIMENSIONADO ÓPTIMO DE REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA RAMIFICADAS CONSIDERANDO LOS ELEMENTOS DE REGULACIÓN. RAFAEL PÉREZ GARCÍA.UNIVERSIDAD DE VALENCIA, ESPAÑA. 1993 ................................................................................................ 34 18. LES NOUVELLES TECHNIQUES DE TRANSPORT D´EFFLUENTS. DOCUMENT TECHNIQUE FNDAE NO.17.- BERNARD BRÉMOND.- JUIN 1995. FRANCE. 1995 ................... 36 19. HIDRÁULICA GENERAL.- VOL.I.- FUNDAMENTOS. DÉCIMOCTAVA REIMPRESIÓN. GILBERTO SOTELO ÁVILA. MÉXICO. 1997 .............................................................................. 36 20. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE.- COMUNICACIONES CIENTÍFICAS Y TECNOLÓGICAS 2000.- INSTITUTO DE PESQUISAS HIDRÁULICAS - UFRGS - BRASIL. DEPTO DE HIDRÁULICA -FACULTAD DE INGENIERÍA - UNNE. E-MAIL:
[email protected] BRASIL. 2000 .......................................................................................................................... 36 21. ESTUDO COMPARATIVO ENTRE METODOLOGIAS DE DIMENSIONAMENTO ECONOMICO DE ADUTORAS. DISSERTAÇAO DE MESTRADA. PAULA KRISTHINA CORDEIRO FREIRE. UNIVERSIDAD FEDERAL DA PARAÍBA. CAMPINA GRANDE, BRASIL. 2000................ 37 22. ADUCTION ET DISTRIBUTION D´EAU.- HUGUES GODART. INGÉNIEUR EN CHEF À LA GÉNÉRALE-DES-EAUX. FRANCE. 2000 ................................................................................... 38 23. NOTA TÉCNICA: DIMENSIONAMENTO ECONOMICO DE INSTALACOES DE RECALQUE.- HEBERT PIMENTEL GOMES. DOCTOR EN HIDRÁULICA. UNIVERSIDAD FEDERAL DE PARAÍBA. BRASIL.- REVISA ENGENHARIA SANITARIA E AMBIENTAL.- VOL. 6 NO.3, JUL/SET 2001. BRASIL. 2001 .................................................................................................. 39 24. DISEÑO DE UNA NUEVA LÍNEA DE IMPULSIÓN Y SELECCIÓN DEL EQUIPO DE BOMBEO PARA LA EXTRACCIÓN DE AGUA SUBTERRÁNEA PLANES DE EXPANSIÓN DE MÍNIMO COSTO DE AGUA POTABLE Y ALCANTARILLADO EPS CHIMBOTE. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE: INGENIERO MECÁNICO DE FLUIDOS. AUTOR VICTOR DAVID CHOY BEJAR. LIMA – PERÚ. 2002 ..................................... 40 25. DISEÑO DE SISTEMA DE ABASTECIMIENTO DE AGUA POTABLE” COMUNIDAD SIRAMA NORTE-SUR. CHICHIGALPA, CHINANDEGA. MONOGRAFÍA: MARCIA SOLEDAD MENDEZ ESPINAL; MARÍA TERESA FLORES RUGAMAUNI. NICARAGUA. 2003 ..................... 40
iv
26. DIMENSIONNEMENT DE SYSTÈMES DE POMPAGE PHOTOVOLTAÏQUE.- A. HADJ ARAB, M. BENGHANEM ET A. GHARBI. REV. ENERG. REN. VOL. 8 (2005) 19 – 26.ALGERIA.AFRICA. 2005 .......................................................................................................... 41 27. HTTP://WWW.WEBREVIEW.DZ/IMG/PDF/22-BEDJAOUI.PDF NOUVELLE APPROCHE POUR LE CALCUL DU DIAMETRE ECONOMIQUE DANS LES CONDUITES DE REFOULEMENT.A. BEDJAOUI, PR. B. ACHOUR, M.T. BOUZIANE.- COURRIER DU SAVOIR – N°06, JUIN 2005, PP.141-145.- L´ALGERIE. AFRICA. 2005 ................................................................................. 41 28. MODEL FOR DETERMINING FLOW DIAMETER AND ECONOMIC VELOCITY IN WATER ELEVATING SYSTEMS.- JO˜AO L. ZOCOLER, FRANCISCO C. BAGGIO FILHO, LUÍS A. F. OLIVEIRA, AND FERNANDO B. T. HERNANDEZ.- HINDAWI PUBLISHING CORPORATION MATHEMATICAL PROBLEMS IN ENGINEERING.- VOLUME 2006, ARTICLE ID 17263, PAGES 1 –17.- DOI 10.1155/MPE/2006/17263.- 2006 ...................................................................... 42 29. CHEMICAL ENGINEERING DESIGN INFORMATION. ECONOMIC PIPE DIAMETER. WILLIAM R. WILCOX. ............................................................................................................. 42 HTTP://PEOPLE.CLARKSON.EDU/~WWILCOX/DESIGN/ECONDIA.PDF.- 2008 ...................... 42 30.
CÁLCULO DEL DIAMETRO ECONOMICAMENTE VANTAGGIOSO ............................... 44
HTTP://WWW.UNIFI.IT/OFFERTAFORMATIVA/ALLEGATI/UPLOADED_FILES/2009/200001/B 002652/CORRENTI%20IN%20PRESSIONE%204%20FAUNISTICA%2009-10.PDF.- 2009 ....... 44 31. DESIGN DU PÉRIMÈTRE IRRIGUÉ ET STRATÉGIE DE MANAGEMENT LOCAL DE L´IRRIGATION EN AMONT DU BARRAGE DE PENSA. MÉMOIRE DE FIN D’ETUDE POUR L’OBTENTION DE MASTER SPÉCIALISÉ EN HYDRAULIQUE ET SYSTEME IRRIGUE.- ARDIOUMA HEMA. 2010 ........................................................................................................................... 44 32. LE DIAMÈTRE ÉCONOMIQUE EN CANALISATION DE REFOULEMENT. ECONOMIC PIPE DIAMETER. BY DANIEL KRIER ON 21 MARS 2011.-................................................................ 44 HTTP://GEMEAU.GABRIEL-DESHAYES.ORG/WP-CONTENT/UPLOADS/2009/12/LEDIAMÈTRE-ÉCONOMIQUE-EN-CANALISATION-DE-REFOULEMENT.- ECONOMIC-PIPEDIAMETER.PDF 2011 ............................................................................................................ 44 33. REV. IVOIR. SCI. TECHNOL., 19 (2012) 159 – 174 ISSN 1813-3290, HTTP://WWW.REVIST.CI.- RÉGIME DE CONSOMMATION EN EAU ET SON UTILISATION DANS LE CALCUL DES RÉSEAUX D’ALIMENTATION EN EAU POTABLE.- TAOFIC BACHAROU, GOSSOU HOUINOU, EDMOND C. ADJOVI ET MOUDACHIROU ADJIBOICHA.- 2012 ............. 46 34. MECÁNICA DE FLUIDOS. 5ª. EDICIÓN. IMPULSIONES. PRESENTACIÓN DE JOSÉ AGÜERA SORIANO. 2012 ....................................................................................................... 47 35. NOMBRE DEL DOCUMENTO (DESCONOCIDO, SIN FECHA).- CAPÍTULO 2. CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO HIDRÁULICO DE UN ACUEDUCTO. ACUEDUCTO ARCEDIANO – GUADALAJARA. MÉXICO. PTOLOMEO UNAN: 8080/XMLUI. ......................... 48 APENDICE 2 ....................................................................................................................................... 49 v
RESÚMENES DE LA BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA EN RELACIÓN CON EL CÁLCULO DEL DIÁMETRO ECONÓMICO DE UNA TUBERÍA POR BOMBEO ................................................................................. 49 SEGUNDA ETAPA
PERÍODO DE 1800 - 1920................................................................................... 49
1. COURS D´ECONOMIE INDUSTRIELLE.- TOME I. M. ADOLPHE BLANQUI. PARIS, FRANCE. 348 PAGINAS. 1838 ............................................................................................................... 49 2. FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. PREMIER EDITION.- J. CLAUDEL. P ARIS, FRANCE. 762 PÁGINAS. 1845 ...................................................................................................................... 49 3. COURS D´AGRICULTURE ET D´HYDRAULIQUE AGRICOLE.- TOME PREMIER. PAR M. NADAULT DE BUFFON. PARIS, FRANCE. 502 PÁGINAS. 1853 ................................................ 50 4. SALUBRITÉ URBAINE, DISTRIBUTIONS D´EAU, ASSAINISSEMENT. SECONDE EDITION. TOME PREMIER. PAR G. BECHMANN. PARIS, FRANCE. 613 PÁGINAS. 1854 ........................ 50 5. TRAITÉ THÉORIQUE ET PRATIQUE DE LA CONDUITE DE LA DISTRIBUTION DES EAUX. PAR J. DUPUIT. 552 PÁGINAS. 1854 ...................................................................................... 51 6. TRAITÉ THÉORIQUE ET PRATIQUE DE LA CONDUITE DE LA DISTRIBUTION DES EAUX. PAR J. DUPUIT. ATLAS. 146 PÁGINAS. 1854 .......................................................................... 52 7. MANUEL DES ASPIRANTS AU GRADE D´INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSÉES. PARTIE THÉORIQUE. TOME SECOND. PAR J. REGNAULT. PARIS, FRANCE. 504 PÁGINAS. 1855 ....... 52 8. FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. J. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. QUATRIèME ÉDITION.- J. CLAUDEL. PARIS, FRANCE. 1028 PÁGINAS. 1857 ............................................................................................................. 52 9. COURS D´AGRICULTURE ET D´HYDRAULIQUE AGRICOLE.- TOME TROISIèME. PAR M. NADAULT DE BUFFON. PARIS, FRANCE. 627 PÁGINAS. 1858 ................................................ 53 10. COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE. PAR M. MAHISTRE. PARIS, FRANCE. 570 PÁGINAS. 1858 ...................................................................................................................... 53 11. COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. PREMIÉRE PARTIE. RÉSISTENCA DES MATÉRIAUX ET STABILITÉ DES CONSTRUCTIONS. PARIS, FRANCE. 1859 ....................................................... 53 12. COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. HYDRAULIQUE. PARIS, FRANCE. 503 PÁGINAS. 1860 ......... 53 13. HIDRAULIQUE AGRICOLE. APPLICATIONS. DES CANAUX D´IRRIGATION DE L´ITALIE SEPTENTRIONALE.- PAR M. NADAULT DE BUFFON. SECONDE EDITION. TOME I. 549 PÁGINAS. 1861 ...................................................................................................................... 55 14. TRAITÉ DESCRIPTIF ET RAISONNÉ DES CONSTRUCTIONS HIDRAULIQUES A LA MER ET DANS LES EAUX COURANTES. PREMIERE PARTIE, HYDRAULIQUE. PAR E. R OFFIAENS. PARIS, FRANCE. 306 PÁGINAS. 1861 ................................................................................................ 55
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15. DE L´AXE HIDRAULIQUE DES COURS D´EAU. PAR M. BOUDIN. GAND, BELGIQUE. 178 PÁGINAS. 1863 ...................................................................................................................... 55 16. FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. SIXIèME ÉDITION.- J. CLAUDEL. PARIS, FRANCE. 1267 PÁGINAS. 1864 ...................................................................................................................... 55 17. RECHERCHES HYDRAULIQUES. PREMIèRE PARTIE. RECHERCHES EXPÉRIMENTALES SUR L´ÉCOULEMENT DE L´EAU DANS LES CANAUX DÉCOUVERTS. PAR M. H. DARCY et M. H. BAZIN. 738 PÁGINAS. 1865 ................................................................................................... 56 18. TRAITÉ THÉORIQUE ET PRATIQUE DE LA CONDUITE DE LA DISTRIBUTION DES EAUX. PAR J. DUPUIT. DEUXIèME ÉDITION. 520 PÁGINAS. 1865 .................................................... 56 19. CATALOGUE GÉNÉRAL DE LIBRARIE FRANCAISE PENDANT 25 ANS (1840 – 1865). TOME PREMIER (A-C) OTTO LORENZ, LIBRAIRE. PARIS, FRANCE. 634 PAGINAS. 1867......... 57 20. EXPOSÉ DE LA SITUATION DE LA MÉCANIQUE APPLIQUÉE. PAR MM. CH. COMBES, ED. PHILLIPS ET ED. COLLIGNON. PARIS, FRANCE. 259 PÁGINAS. 1867 ................................ 58 21. COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. HYDRAULIQUE. DEUXIèME ÉDITION. PARIS, FRANCE. 587 PÁGINAS. 1868 ...................................................................................................................... 58 22. PRINCIPES DE MÉCANIQUE EXPÉRIMENTALE ET APPLIQUÉE. PREMIERE PARTIE. PAR M. GUIRAUDET. PARIS, FRANCE. 221 PAGINAS. 1868 .......................................................... 58 23. COURS DE MÉCANIQUE APPLIQUÉE AUX CONSTRUCTIONS. DEUXIèME PARTIE. HIDRAULIQUE. PAR M. ÉDOUARD COLLIGNON. PARIS, FRANCIA. 620 PÁGINAS. 1870........ 58 24. DE DIVERS APPAREILS SERVANT à ELÉVER L´EAU. DEUXIèME EDITION. PAR MM. CHAUVEAU DES ROCHES, BELIN ET VIGREUX. PARIS, FRANCE. 90 PÁGINAS. 1873 .............. 61 25. TRAITÉ DE MÉCANIQUE. QUATRIèME PARTIE. DINAMIQUE. PAR M. ÉDOUARD COLLIGNON. PARIS, FRANCIA. 659 PÁGINAS. 1874 .............................................................. 61 26. COURS DE MÉCANIQUE ET DES MACHINES, PROFESÉE à L´ÉCOLE POLYTECHNIQUE, PAR M. EDM. BOUR. DYNAMIQUE ET HIDRAULIQUE. 402 PÁGINAS. 1874 .......................... 61 27. MANUEL DE L´INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSÉES PAR A. DEBAUVE. 16me. FASCICULE. TEXTE. TRAITÉ DES EAUX 2e. PARTIE. DISTRIBUTION D´EAU. PARIS, FRANCE. 285 PÁGINAS. 1875 ...................................................................................................................... 62 28. COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. HYDRAULIQUE. TROISIèME ÉDITION. PARIS, FRANCE. 622 PÁGINAS. 1879 ...................................................................................................................... 62 29. TRAITÉ D´HYDRAULIQUE, PRÉCEDÉ D´UNE INTRODUCTION SUR LES PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE, PAR M. A. GRAËFF. TOME DEUXIèME, PARTIE PRATIQUE. PARIS, FRANCE. 539 PÁGINAS. 1883 ..................................................................................... 63 30.
MÉCANIQUE GÉNÉRALE PAR A. FLAMANT. PARIS, FRANCE. 577 PÁGINAS. 1888 .... 63 vii
31. COURS DE CONSTRUCTION. DOUZIèME PARTIE.- TRAITÉ D´HYDRAULIQUE, ALIMENTATION ET DISTRIBUTION D´EAU, JEAUGEAGES, ÉTABLISSEMENT DES FONTAINES PUBLICS. PAR J. OLIVE. PARIS, FRANCE. 685 PÁGINAS. 1890 ................................................ 63 32. MÉCANIQUE APPLIQUÉE, HYDRAULIQUE PAR A. FLAMANT. PARIS, FRANCE. 721 PÁGINAS. 1891 ...................................................................................................................... 63 33. MÉMOIRES DU BARON HAUSSMANN.- III GRAND TRAVAUX DE PARIS. PARIS, FRANCE. 603 PÁGINAS. 1893 ................................................................................................ 66 34. LES TRAVAUX PUBLICS ET LES INGÉNIEURS DES PONTS ET CHAUSÉES DEPUIS LE XVII SIECLE. A. DEBAUVE. PARIS, FRANCE. 445 PÁGINAS. 1893 ................................................... 66 35. ASSAINISSEMENT DES VILLES ET ÉGOUTS DE PARIS, PAR PAUL WERY. PARIS, FRANCE. 661 PÁGINAS. 1898 ................................................................................................ 66 36.
DISTRIBUTIONS D´EAU. PAR GEORGES DARIÉS. PARIS, FRANCE. 578 PÁGINAS. 1899 67
37. HYDRAULIQUE PAR A. FLAMANT. SECONDE ÉDITION, CONSIDÉRABLEMENT AUGMENTÉE. PARIS, FRANCE. 707 PÁGINAS. 1900 .............................................................. 68 38. FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. ONZIEME ÉDITION ENTIÉREMENT REFONDUE.- J. CLAUDEL. TOME PREMIER. REVUE ET CORRIGÉE PAR DE NOMBREUX COLLABORATEURS SOUS LA DIRECTION DE GEORGE DARIÉS. PARIS, FRANCE. 1186 PÁGINAS. 1907 ................ 68 39.
COURS D´HYDRAULIQUE, PAR J. GRIALOU. PARIS, FRANCE. 554 PÁGINAS. 1916 .... 69
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LA VERDADERA FÓRMULA DE BRESSE PARA LA DETERMINACIÓN DEL DIÁMETRO ECONÓMICO DE TUBERÍAS DE AGUA POTABLE POR BOMBEO POR MsC ING. SERGIO OMAR TERCERO TALAVERA DICIEMBRE 2013 – ENERO 2014
INTRODUCCIO N Desde hace 30 años aproximadamente, me he interesado en el cálculo del diámetro económico de una tubería de impulsión de agua potable, habiendo publicado en 1983 un artículo iniciado en el año 19761. Fue ahí cuando comencé a tener mayor contacto con la llamada “Fórmula de Bresse”. A partir de entonces, he encontrado que la conocida expresión de la Fórmula de Bresse: D = 1.5Q 0.5 , en algunos textos se presenta un tanto modificada, lo cual ha llamado mi atención y me ha hecho dudar sobre su verdadera expresión, que si es única o existen varias formas en que Bresse expresó su ecuación, si es que la expresó, y esta inquietud es la que ha dado origen a esta investigación, que complemento con mi propio análisis del diámetro más económico. La Fórmula de Bresse es muy utilizada en nuestro medio por cuanto permite seleccionar de una forma rápida un diámetro de tubería para conducir por bombeo el caudal o gasto de diseño requerido a un costo aproximadamente mínimo, o sea, el más económico u óptimo. Por supuesto, no se debe olvidar que a los ingenieros se nos ha enseñado que el cálculo riguroso del diámetro económico significa encontrar el diámetro de la tubería que arroje el valor mínimo de los costos de inversión + costos de mantenimiento y explotación actualizados a una tasa de amortización dada durante el período de diseño, expresados de forma simplificada por: Costo Total = Costo de la tubería + Costos de energía de bombeo En este artículo, pues, se hace una investigación en torno a la llamada Fórmula de Bresse, proponiéndome responder a las preguntas de: ¿Quién fue Bresse? ¿Era un profesional reconocido en el campo de la ingeniería? ¿Cómo se presenta la Fórmula de Bresse en los libros y artículos públicos contemporáneos y de su época? ¿Cuál es la expresión original de su fórmula? ¿Sigue siendo válida la fórmula? Por otra parte, se presentan las conclusiones del análisis del diámetro económico efectuado por el autor de este artículo en fechas recientes, después del artículo presentado en 1983.
1
Determinación de diámetros más económicos para líneas de conducción de agua potable por bombeo.
PRIMERA PARTE: LA VERDADERA FO RMULA DE BRESSE 1
¿QUIÉN FUE BRESSE? ¿ERA UN PROFESIONAL RECONOCIDO EN EL CAMPO DE LA INGENIERÍA?
Al leer los libros de esa época (1800), gracias a la maravilla de la internet y de sus bienhechores, uno se da cuenta de la grandeza de ese tiempo en que a base de experimentaciones dentro de todas las limitaciones tecnológicas propias de la época, se desarrollaban las expresiones matemáticas que hoy rigen la hidráulica, la astronomía, la medicina, la mecánica, la física, la química, la hidrología, la geología, en fin, todas las ciencias, y con ellas, todas las explicaciones formuladas que hoy sirven de base para dimensionar y proyectar las obras de ingeniería. Ese es el tiempo en que le tocó vivir a Jacques-Antoine-Charles BRESSE, cuando todavía se fabricaban los tubos de plomo, de arcilla y de madera para conducir el agua potable y que emergían los tubos de hierro fundido, tiempo que él mismo enriqueció con sus investigaciones y su obra. Jacques-Antoine-Charles Bresse fue un ingeniero mecánico francés, nacido en Vienne, Isère, el 09 de octubre de 1822 y muerto el 22 de mayo de 1883 en París, Francia. Se especializó en el diseño y uso de motores hidráulicos. Se graduó en la Escuela Imperial Politécnica (l´École Impériale Polytechnique) en el curso académico de 1843, habiendo recibido su educación formal previamente en la Escuela de Puentes y Calzadas (l´École des Ponts et Chaussées) de París. Desde el inicio de su carrera se consagró a la enseñanza. En 1849 fue nombrado profesor del Curso de Mecánica Aplicada en la Escuela de Puentes y Calzadas y en 1879 fue nombrado profesor de un curso análogo en la Escuela Imperial Politécnica. Bresse fue un reconocido matemático e hidráulico que dejó su legado escrito en 3 obras de mucho interés2, con los títulos siguientes:
Recherches Analytiques sur la Flexion et la Résistance des Pièces Courbes. 1854. 246 páginas. Cours de Mécanique Appliquée.- Première Partie.- Résistence des Matériaux et Stabilité des Constructions.- 1859. 1392 páginas. Cours de Mécanique Appliqué.- Seconde Partie. Hydraulique. Première Edition 1860. 453 páginas.
2
http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30409575h Histoire documentaire de la mécanique française (fragments), d'après le musée centennal de la mécanique à l'Exposition universelle de 1900, par Émile Eude. Editado en 1902. Fuente : Bibliothèque nationale de France, département Sciences et techniques, 2013106444, página 293.
2
Cours de Mécanique Appliqué.- Trosième Partie.- Calcul de Moments de Flexion dans une Poutre à Plusieurs Travées Solidaires. 1865 Cours de Mécanique et Machines.- Tome Premier.- Première, Deuxième et Troisième Partie. Cinématique – Dynamique du point matériel – Statique. 1885. 527 pages. Publicado después de su muerte (22.05.1883).- 533 páginas. Cours de Mécanique et Machines.- Tome Second.- Quatrième, Cinquième et Sixième Partie. Dinamique des Systèmes en Général – Mécanique Spéciale des Fluides.- Étude des Machines a l´État de Mouvement. 1883. 527 páginas. Publicado después de su muerte (22.05.1883)
Su nombre figura entre los 72 sabios de la época inscritos en la Torre Eiffel por la contribución que tuvieron en su concepción y construcción.
Fuente: http://francofilesfunfacts.blogspot.com/2009_04_01_archive.html
2
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
La búsqueda de información bibliográfica sobre el Diámetro económico y la Fórmula de Bresse efectuada en los textos disponibles de mecánica de fluidos, hidráulica, abastecimiento de agua, monografías y publicaciones periódicas, la he dividido en dos períodos: El primer período que he llamado período contemporáneo para referirme a los textos que he utilizado en mi formación profesional y que datan de los años de 1940 hasta nuestros días y, el segundo período, que corresponde aproximadamente a los años de 1840 - 1920.
3
Por limitaciones propias, la búsqueda la he limitado a textos en español, inglés, francés y portugués, en que más o menos puedo direccionar la búsqueda e interpretar los textos.
2.1. PRIMER PERÍODO. Las conclusiones de este pequeño recorrido sobre una muestra de textos reconocidos mundialmente y de otros que se proyectan a través de monografías y artículos de revistas se podrían extraer desde diferentes ángulos de vista, sea cronológico, geográfico o por tipo de documento. Como se trata de hallar la verdad sobre la Fórmula de Bresse, he preferido seguir la investigación cronológica, que podría arrojar alguna información sobre su origen. En los libros clásicos de hidráulica, mecánica de fluidos, ingeniería sanitaria y abastecimiento de agua potable de reconocidos autores: Streeter, Daugherty & Francini, Babbit & Doland, Rivas Mijares; Hardenbergh & Rodie; Fair, Geyer y Okun; Steel; Sánchez Montenegro; Clark, Viesmann & Hammer, no se hace ninguna referencia a Bresse o a la Fórmula de Bresse, exceptuando dos de ellos: el Manual de Hidráulica de los ingenieros Azevedo Netto – Acosta Alvarez y el libro de Teoría y Diseño de los Abastecimientos de Agua, de Simón Arocha. En los libros de abastecimiento de agua de origen estadounidense no se menciona una sola palabra respecto a Jacques-Antoine-Charles Bresse ni a su fórmula y, no es que no hayan tenido contacto con la corriente europea, pues Babbitt and Doland, por ejemplo, que inicia la publicación de su libro en 1929, al calcular la fórmula del diámetro económico menciona únicamente que utiliza la fórmula de flujo derivada por A. Flamant. Ann. Ponts et chausées, September, 1892; pero no hace ninguna referencia a Bresse, que sí lo menciona Flamant, como lo veremos más adelante.En esta búsqueda, que confieso que ha pretendido ser exhaustiva, (digo esto porque a veces algunos autores para cubrirse las espaldas, ellos dicen que “ no ha pretendido ser exhaustiva”, lo que en mi caso no ha sido así, pues le he dedicado mucho tiempo y hasta ahí he podido llegar), he encontrado varias fórmulas para la determinación del diámetro económico, destacándose la fórmula de Vibert como la más recomendada. Por otra parte, encontramos que autores contemporáneos de Latinoamérica, Francia y África hacen alusión a la Fórmula de Bresse; pero la presentan de diversas formas, predominando unas sobre otras, pero en el fondo lo que se refleja es que no hay una claridad sobre su expresión, tal como se puede apreciar a continuación. En los 35 documentos consultados, cuando se ha encontrado la Fórmula de Bresse, ésta ha estado expresada básicamente de 5 maneras, tomando en cuenta hasta la deducción misma de la fórmula:
4
2.1.1. FORMA I: AZEVEDO NETTO Y GUILLERMO ACOSTA
3
La Forma I está deducida en el Manual de Hidráulica. J. M. De Azevedo Netto y Guillermo Acosta Alvarez. 6ª. Edición en español. Págs. 254 y 255, que aunque no es propiamente la fórmula de Bresse, se incluye aquí porque es el origen de dicha Fórmula, , “que es la conocida fórmula de Bresse, aplicable a las instalaciones de funcionamiento continuo.” expresada como:
√ 2.1.2. FORMA II: ACUEDUCTO ARCEDIANO - GUADALAJARA
La Forma II fue expresada así en un estudio del diseño hidráulico del acueducto Arcediano – Guadalajara. México. UNAN, ubicado entre 2012 - 2013. 2.1.3. FORMA III: HUGUES GODART
La Forma III la incluye Hugues Godart en un artículo publicado en el 2000, en el que expone que por simple minimización, Bresse obtuvo esta fórmula general, y que despreciando el paréntesis a la potencia de 1/6, el valor del coeficiente es 1.37, y que con los valores de la época de Bresse, el valor resultante fue de 1.5. 2.1.4. FORMA IV: VARIOS AUTORES
√
o
La Forma IV es la expresión utilizada por algunos de los autores de los documentos investigados para referirse a la fórmula de Bresse.
3
Algunas fórmulas las he copiado directamente de los textos respectivos para asegurar su fidelidad .
5
En un documento ubicado en el año 2012 – 2013, se resalta lo siguiente en relación al valor del coeficiente: “se ha encontrado que es aproximadamente igual a 1.2; en tanto que cuando el diámetro se calcula en pulgadas, habiéndose dado el gasto en l/s, resulta un valor de 1.5, y entonces la fórmula de Bresse es conocida también con el nombre de fórmula de Dupuit , quedando como4”:
2.1.5. FORMA V: VÍCTOR DAVID CHOY BEJAR
Esta forma descrita en la Tesis del Ing. Victor David Choy Bejar, de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú, él la define como “la fórmula de Bresse para bombeos discontinuos”.
2.1.6. FORMA VI: FORMA GENERAL
√ La Forma VI es la forma general de la fórmula atribuida a Bresse y es ahí donde se establecen las mayores diferencias, pues algunos autores (Azevedo-Alvarez y Arocha, por ejemplo) afirman que los valores de K oscilan entre 0.7 y 1.6; Sotelo afirma que tiene un valor constante K = 1.20 aproximadamente (igual lo dice otro documento mejicano de autor desconocido); A. Hadj Arab, M. Benghanem et A. Gharbi afirman que su valor varía entre 0.75 y 1.40; Joao L. Zocoler, Francisco C. Baggio Filho, Luís A. F. Oliveira, and Fernando B. T. Hernández, cada uno por su lado, afirman que el valor de K oscila entre 0.7 y 1.3; otro autor dice que K varía entre 1.35 y 1.76.-
2.2
CONCLUSIÓN SOBRE LA DEFINICIÓN DEL PROBLEMA:
Con los resultados arriba indicados, se puede apreciar que, efectivamente, no existe una coincidencia sobre la Fórmula de Bresse, siendo ésta la raíz de la presente investigación. Además, existe un dato curioso contenido en un documento de origen mejicano (del que no pude determinar su nombre y año de publicación con exactitud), que de paso dice que “la fórmula de Bresse es conocida también con el nombre de fórmula de Dupuit …” Este comentario aislado, aparecido en un documento del cual no pude averiguar su autor, y que un principio no parecía ser de interés, en el curso de esta investigación adquirió un interés preponderante, como lo veremos más adelante.
4
En itálica y entre comillas se muestran los textos extraídos íntegros de sus autores, traducidos al español.
6
3
EL OBJETO DE LA INVESTIGACIÓN
Entonces nuevamente surge la pregunta: ¿Qué fue lo que en realidad expresó Jacques-Antoine-Charles Bresse que con el tiempo se convirtió en la Fórmula de Bresse? Para responder a esta pregunta, se tratará ahora de ir un poco más hacia atrás, llegar al Siglo XIX y así entrar a la época en que se desarrolló Bresse y descubrir, si fuera posible, la VERDADERA FÓRMULA DE BRESSE, la que él presentó como suya o que, si él no la hubiera presentado como tal, sus colegas de esos años, se la reconocieran como propia. En este recorrido (retroceso debería decir) hacia el pasado revisé 72 documentos especializados en el tema de la hidráulica, entre libros y revistas técnicas, que se agregan a los 35 documentos revisados en la Primera Parte utilizados para definir el problema, todo esto motivado por el deseo de encontrar la verdadera Fórmula de Bresse y eso me ha hecho “caminar” por muchas horas, apartándome de mi vida familiar, de dirección en dirección, a través del ciberespacio, hasta haber encontrado, creo yo, documentos valiosos por su rareza y antigüedad, que me han transportado a esos años febriles de la investigación y de los fundamentos de las ciencias puras y aplicadas. La revisión la he tratado de limitar al abastecimiento de agua y la hidráulica, aunque algunas veces, no he respetado la regla y me he introducido en otras disciplinas por si acaso pudiera encontrar en ellas algún detalle en particular sobre el tema de la investigación. En el Apéndice I presento los resúmenes de las 35 obras del período 1920 – 2013 que, entre tantas otras que pueden existir, abordan el tema del diámetro económico y en el Apéndice II presento los resúmenes de las 39 obras más relevantes 5 del período 1840 – 1920, en que encontré alguna referencia sobre el Diámetro económico en la bibliografía consultada. Para el primer período se tuvo dos fuentes de información: los libros de mi propiedad y los documentos (libros, artículos, revistas) que pude localizar en la red de internet, mientras que para el segundo período la investigación fue a través de internet. No se incluyen en estos resúmenes la lista de publicaciones periódicas (revistas, memorias, journales) de los años de 1880 en que se alude a Bresse; pero no en relación al diámetro económico, ni siquiera en relación a la hidráulica en general, sino que se refiere a sus trabajos en materia de análisis y diseño de estructuras de puentes (mecánica aplicada).
4
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
En primer lugar, fue necesario averiguar si Bresse había escrito algo relacionado a este asunto, habiendo ya visto en un apartado anterior que el ingeniero Bresse fue un ingeniero matemático, dedicado por entero a la investigación y enseñanza y que estuvo a cargo del Curso de Mecánica 5
En total fueron revisados 104 documentos entre libros, memorias y publicaciones peródicas.
7
Aplicada en la Escuela de Puentes y Calzadas y que como tal escribió las 2 series de textos6, citados más arriba en este documento. Desgraciadamente, en ninguno de los volúmenes citados, que fueron escritos por Bresse, se encuentra referencia alguna al cálculo del diámetro económico de tuberías de bombeo. En materia de economía en la selección de tuberías al costo mínimo se encuentran únicamente 2 casos, analizados por Bresse en su libro de Hidráulica publicado en 1860, como parte del Curso de Mecánica Aplicada impartido en la Escuela de Puentes y Calzadas: uno sobre la selección de una combinación de diámetros de tuberías por gravedad de llegada y salida de un nodo de distribución, y el otro, sobre la selección de la mejor combinación de diámetros de tuberías por gravedad uniendo dos reservorios ubicados a diferentes alturas. No se aborda en ninguna parte el tema de la tubería de impulsión por medio de una bomba 7 y el consumo de energía de la máquina a vapor, por ejemplo, que en ese entonces estaba en desarrollo. No satisfecho con los resultados obtenidos al no haber podido encontrar ningún libro publicado de Bresse que mostrara la fórmula, la investigación la continué en las Memorias (Annales) de la Escuela de Puentes y Calzadas, Journales de la Escuela Politécnica y en los Informes (Comptes Rendus) de las Sesiones de la Academia de Ciencias de Francia, publicados en el Siglo XVIII, que tenían alguna relación con Bresse. En estos últimos documentos, si bien es cierto que encontré algunas referencias a Bresse, todas ellas estuvieron relacionadas a las matemáticas y al análisis mecánico de estructuras, sobre el cual Bresse fue un verdadero maestro reconocido y galardonado. También, entrelazada con las búsquedas arriba indicadas, reorienté la búsqueda a textos escritos por otros autores de la época que pudieran hacer referencia al tema en cuestión y fue aquí donde encontré información relevante; sin embargo debo decir que, por lo visto en todos los libros consultados, no se acostumbraba en esa época incorporar la bibliografía de los documentos de referencia utilizados por sus autores para escribir sus propios libros, sino que dentro de los mismos textos hacían alusión a las experiencias de determinados investigadores, probablemente debido a que eran pocos los libros escritos sobre esta materia hasta ese entonces. Esto dificultó mi investigación.
5
RESUMEN DE LOS HALLAZGOS
Este resumen está dirigido a presentar a grandes rasgos y en orden cronológico los asuntos relacionados a Bresse y su Fórmula, que están contenidos en los documentos consultados, respetando la forma de su presentación, siempre que se consideró importante hacerlo. 6
La confirmación de que los libros encontrados eran todos los que había publicado Bresse, la encontré en el Catálogo de Librerías Francesas publicado en 1867, que contiene todos los libros publicados en el período de 1840 – 1865 y que incluye los mismos libros que yo ya había encontrado siguiendo otras fuentes. 7 En ese tiempo las bombas reconocidas como tales eran las llamadas bombas reciprocantes (aspirantesimpelentes o sólo aspirantes) mientras se avanzaba en la concepción, construcción, establecimiento y normalización de las bombas centrífugas.
8
5.1
P RIMERA REFERENCIA
En 1845 fue publicada la Primera Edición del libro 8 “Fórmulas, Tablas y Enseñanzas Técnicas. Ayuda Memoria de los Ingenieros, Arquitectos, etc. Por J. Claudel ”. En el capítulo de Tuberías de conducción de agua, páginas 119/120 de este libro, se presenta el problema 118, relacionado con la selección del diámetro económico de una tubería de bombeo, enunciado así: “Se trata de, con la ayuda de una máquina a vapor, elevar 60 metros cúbicos de agua por hora a 25 metros de altura sobre el nivel del pozo de las bombas; la longitud de la tubería, que tiene un diámetro constante en toda su longitud, es de 1000 metros. Se pregunta qué diámetro se le debe dar a la tubería, sabiendo que ella no alimenta ningún ramal en su recorrido”. El autor explica que en la solución es necesario tomar en cuenta el precio de la tubería y de las máquinas que son necesarias para diferentes diámetros, haciendo intervenir también en la comparación de precios, el interés de las sumas dispensadas, así como los gastos anuales de carbón y de mantenimiento; también debe tenerse en cuenta la renovación del material. La solución del problema no la lleva hasta su final; pero calcula la pérdida de carga, con auxilio de una tabla elaborada por él mismo, con lo cual determina la potencia en CV requerida para cumplir el trabajo propuesto para diámetros de 0.09, 0.12, 0.15, 0.20 y 0.25m. Este mismo problema se encuentra en las publicaciones de 1857 y 1864 correspondientes a la cuarta y sexta edición del libro, respectivamente. Ya en la onceava edición de 1907, el problema se presenta de otra forma, esta vez basado en la ecuación dada por A. Flamant en su libro de hidráulica publicado en 1891. En ninguna de las ediciones consultadas se hace referencia a Bresse.
5.2
S EGUNDA REFERENCIA
En el año 18549, J. Dupuit publicó su Tratado Teórico y Práctico de la Conducción de la Distribución de las Aguas, Primera Edición, en el cual presenta el cálculo del diámetro económico de una tubería ascensional10.
8
Este libro “Fórmulas, Tablas y Enseñanzas Técnicas. Ayuda Memoria de los Ingenieros,
Arquitectos, etc. Por J. Claudel ”, con el correr del tiempo se convirtió en un texto clásico de la hidráulica de sistemas de agua potable en Francia, de tal forma que en el año 1907 fue publicada su Onceava Edición del Primer Tomo y en el año 1920 fue publicada la Onceava Edición totalmente refundida del Segundo Tomo. 9
En 1865, fue publicada la Segunda Edición de este mismo libro confirmando la fórmula expuesta en la Primera Edición.
9
En este libro, el Sr. Dupuit deduce la fórmula del diámetro económico D, quedando expresada por:
En que: q Caudal en m3/s F Costo de un caballo de vapor de la máquina C costo del carbón consumido para producir 1.000 kilográmetro de trabajo con la máquina que se debe utilizar. N Número de horas de bombeo/día μD costo del metro de tubería de diámetro D. Luego, al considerar como valores promedios11 F = 1800 fr, μ= 100 fr. e introducirlos en la fórmula, resulta:
N = 12 h
C = 0,00035 fr, y
COMENTARIO 1: Esto ya es un hallazgo importante en la investigación, que da nuevas luces sobre la intervención de Bresse en la concepción de la Fórmula del Diámetro Económico, pues estamos viendo que en 1854, 6 años antes de que fuera publicado el Tomo de Hidráulica de Bresse, ya J. Dupuit había elaborado la deducción matemática del diámetro económico y encontrado la expresión
, que es casi igual a la llamada “Fórmula de Bresse”, con la diferencia de que el coeficiente encontrado por Dupuit es 1,60 en lugar del 1,50 atribuido a dicha fórmula.
5.3
TERCERA REFERENCIA
En 1860, Bresse publica su libro del Curso de Mecánica Aplicada impartido en la Escuela Imperial de Puentes y Calzadas. Hidráulica.
10
Es decir, aquella tubería que se encuentra en una condición tal que para conducir un determinado caudal de un extremo al otro requiere el impulso externo provisto por una bomba con la potencia suficiente para vencer la carga estática y dinámica. 11 En la segunda edición, Dupuit cambia los valores de F y C, dejando los mismos valores que había utilizado para N y μ. Con los nuevos valores de: F = 5000fr y C = 0,00022fr llega al mismo valor de 1,60 para el coeficiente de la raíz de Q, es decir, que se mantiene la ecuación . Creyendo que podía haber sido un error, pude comprobar que las operaciones están correctas: en un caso da 1,600 y en el otro, 1,603.
√
10
En el Prólogo o Prefacio de esta obra, Bresse indica que “ha aprovechado los ingeniosos métodos creados por M. Dupuit para resolver diversos problemas a los que dan lugar las conducciones con diámetro variable o con caudal variable de una sección a otra, así como las conducciones con varios ramales…” Bresse, aunque hace alusión al costo mínimo en dicho libro, lo hace en otro contexto, refiriéndose a una tubería por gravedad, de tal forma que no escribe ninguna palabra sobre el cálculo del diámetro económico de una conducción por bombeo.
5.4
CUARTA REFERENCIA
En 1868 (ocho años después del aparecimiento de la Primera Edición del libro de Hidráulica de Bresse) se publica la Segunda Edición de su Hidráulica y aunque en esta edición se introducen cambios importantes en el Capítulo IV, que concierne al movimiento del agua en canales descubiertos, se dejó prácticamente intacto el Capítulo III dedicado al movimiento permanente del agua en tuberías, quedando intactos también los dos problemas de cálculo de las mejores combinaciones de diámetros para obtener el mínimo de costos de la inversión en tuberías por gravedad y, el tema de las tuberías por bombeo sigue sin ser abordado.
5.5
QUINTA REFERENCIA
En 1870 se publica el Curso de Mecánica Aplicada a las Construcciones. Segunda Parte. Hidráulica, por el Sr. Edouard Collignon. Este libro viene al rescate de Bresse, pues el Ing. Collignon desarrolla la teoría del cálculo del diámetro económico y al finalizar su trabajo (¡Eureka!) escribe: El Sr. Bresse ha propuesto la fórmula12:
√
Siendo R el radio de la tubería expresado en metros y Q el caudal expresado en m3/s. Refiriéndose a la fórmula de la velocidad (u), Collignon dice que: “ Conociendo u, se podrá calcular R y N. La fórmula muestra que la determinación de la velocidad
más conveniente no depende más que de los precios f y f´, y del rendimiento de la máquina.” Después salen a la luz algunas nuevas publicaciones; pero ninguna hace una referencia específica a la Fórmula de Dupuit o de Bresse para el cálculo del diámetro económico.
12
Obsérvese que ahora la fórmula tiene coeficiente de 0,75; pero es fácilmente deducible que esta fórmula es equivalente a
√
11
5.6
SEXTA REFERENCIA
Once años después, en 1891 es publicado el libro Mecánica Aplicada, Hidráulica, por A. Flamant , quien aborda el cálculo del diámetro económico de tuberías de conducción de agua por bombeo e introduce nuevos elementos que apuntan a la llamada Fórmula de Bresse: Flamant desarrolla el cálculo del diámetro económico y establece la fórmula 13
√ √
E indica, entre otros, de forma similar a lo expresado por E. Collignon sobre la velocidad más conveniente, que “El coeficiente de no depende de la longitud L, ni de la altura H, ni del volumen, él no depende más que del rendimiento m de la máquina y de los precios p y p´.” Luego, agregando algunas acotaciones sobre el resultado obtenido, concluye afirmando que: “ El valor promedio de adoptado.”
√
, que ha sido indicado por Bresse, puede entonces ser
¡Esto es todo lo que dice de Bresse en relación con la fórmula obtenida! COMENTARIO 2: SEGÚN A. FLAMANT, EL APORTE DE BRESSE A LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO ECONÓMICO CONSISTE EN HABER INDICADO QUE EL COEFICIENTE DE LA RAIZ DE Q ES IGUAL A 1.50
5.7
S ÉPTIMA REFERENCIA
Posteriormente, en 1899, aparece el libro Distribuciones de Agua, de George Dariés, profesor de hidráulica en la Escuela Especial de Trabajos Públicos y Superintendente de Obras del Servicio de Aguas de París. En este libro, el Ing. Dariés atribuye la Fórmula
5.8
√
a Flamant.
OCTAVA REFERENCIA
Luego, en 1916, J. Grialou publica su libro Curso de Hidráulica, dedicando el Problema 41 al desarrollo matemático de la selección del diámetro económico de las Conducciones de bombeo, que le lleva a establecer la fórmula general del diámetro económico:
13
En la Segunda Edición publicada en el año 1900, A. Flamant mantiene el mismo desarrollo del problema y el cálculo del diámetro económico, es decir que sigue siendo válida su apreciación de que “El valo r promedio de
, que ha sido indicado por Bresse, puede entonces ser adoptado.”
12
Y que al sustituir los valores de las variables y constantes por:
Concluye con estas palabras: “ lo que da la fórmula bien conocida, llamada fórmula de Bresse,
√
.
6
COMPROBACIÓN HISTORICIDAD:
6.1
I NTRODUCCIÓN
DE
LA
AUTENTICIDAD
HISTÓRICA
O
DE
Luego de haber recorrido parte de la historia de la hidráulica escrita en Francia desde 1840 hasta 1916 en la búsqueda de la Fórmula del Diámetro Económico expresada por el Ing. JacquesAntoine-Charles Bresse, queda ahora verificar su autenticidad histórica. Más que todo como un ejercicio en el uso de un método de investigación histórica, trataré de someter las pruebas recogidas del Siglo XIX y principios del Siglo XX sobre la participación del Ing. Jacques-Antoine-Charles BRESSE en el desarrollo de la Fórmula del Diámetro Económico, a unos criterios de autenticidad histórica, dentro de los muchos que existen y que son utilizados por los especialistas, a quienes les pido disculpas por mi atrevimiento.
6.2
CRITERIOS DE AUTENTICIDAD HISTÓRICA
Entre los criterios básicos14 para determinar la autenticidad histórica15, que se pudieran aplicar a este caso, se han seleccionado tres de ellos, cuales son: 1) el criterio del testimonio múltiple, 2) el criterio de discontinuidad y 3) el criterio de conformidad o continuidad.
6.3
APLICACIÓN DE LOS CRITERIOS DE AUTENTICIDAD
6.3.1
CRITERIO DEL TESTIMONIO MÚLTIPLE
14
http://rsanzcarrera2.wordpress.com/2007/05/30/criterios-de-autenticidad-historica/ John P. Meier, autor de un libro extraordinario sobre el Señor Jesucristo, escrito en 3 tomos, llamado “ Un Judío Marginal ” propuso y aplicó en su investigación sobre la autenticidad de los dichos de Jesús o del Jesús histórico, estos criterios: 1) criterio de dificultad; 2) criterio de discontinuidad; 3) criterio de testimonio múltiple; 4) criterio de coherencia, y; 5) criterio de rechazo y ejecución . 15
13
6.3.1.1 CONCEPTO En los estudios históricos se aplica el siguiente criterio: un testimonio concordante procedente de fuentes diversas y no sospechosas de estar vinculadas entre sí, es auténtico. El criterio contrario sería que el testimonio de uno solamente, es testimonio nulo.
6.3.1.2 HALLAZGOS La deducción y expresión de la fórmula del diámetro económico, tal como se conoce, fue publicada por primera vez en 1854 por Dupuit expresada por:
√ √
A partir de 1870, el ingeniero Bresse es citado por varios autores (Collignon, Flamant y Grialou) como quien propuso la Fórmula (Grialou) como La llamada Fórmula de Bresse.
, identificándola uno de ellos
Un solo autor (Dariés) atribuye la fórmula del diámetro económico a Flamant. En ninguna de las fuentes consultadas se le atribuye a Bresse el desarrollo matemático de la fórmula como tal, así como tampoco se le atribuyen diferentes coeficientes calculados para diversas situaciones. Bresse, en su Hidráulica publicada en 1860, no aborda el tema del diámetro económico de tuberías de bombeo, y, por otra parte, hace alusión a Dupuit (y no al revés, Dupuit haciendo alusión a Bresse), lo cual induce a pensar que D upuit fue antes que Bresse, de tal forma que en el Prefacio de la Primera Edición de su libro de hidráulica, Bresse dice que: “Hemos aprovechado por otra parte de los ingeniosos métodos creados por M. Dupuit para resolver diversos problemas a los que dan lugar las conducciones con diámetro o caudal variable de una sección a otra, como las conducciones con varios ramales…;”
Tampoco se pudo encontrar ni un libro, ni ningún un artículo en el cual BRESSE haya efectuado el desarrollo matemático de la fórmula del diámetro económico de la forma
√
.
En cuanto a las variaciones del valor del coeficiente K, se encontró que el único que establece algunas comparaciones sobre este asunto es A. Flamant, quien comentando el resultado obtenido de
√
, en su libro, dice que:
14
“Si en lugar de estos valores que pueden ser considerados como promedios, se tuviera, dentro de circunstancias excepcionales, la relación encontraría
√ √
, en lugar de 50, se
; y, si al contrario, esta relación no fuera más que 25, en lugar de
50, el valor de D sería , lo que confirma bien lo que acabamos de decir en cuanto a la influencia de las variaciones de las cantidades que intervienen en la fórmula.” 6.3.1.3 CONCLUSIÓN SEGÚN CRITERIO DEL TESTIMONIO MÚLTIPLE En conclusión, según este solo criterio, y tomando en cuenta los resultados de la investigación bibliográfica de los años 1800, podemos afirmar que: I.
Fue DUPUIT y no BRESSE quien desarrolló la Fórmula general del Diámetro Económico expresada por
√ √
expresar de manera concreta por costo y a la tecnología de su época. II.
, deduciendo que su valor se podría , de acuerdo a los parámetros de
BRESSE propuso el coeficiente de 1.5 para la fórmula del diámetro económico,
√
quedando expresada por . Esto no pudo ser confirmado en escritos de BRESSE, sino a través de escritos desarrollados por sus colegas. III.
BRESSE no propuso diversos valores para el coeficiente de la Fórmula, sino que sólo propuso el valor de 1.50 para dicho coeficiente. Esto fue testimoniado al menos en 3 libros escritos en la segunda mitad del Siglo XIX.
IV.
Según la documentación que se logró revisar, A. FLAMANT fue el único que hizo un análisis de diversos escenarios para el diámetro económico, apoyado en algunos ejemplos, de lo que pasaría con el valor del coeficiente si se cambiara la relación
de los precios . 6.3.2
CRITERIO DE DISCONTINUIDAD 6.3.2.1 CONCEPTO
Este criterio de autenticidad nos dice lo siguiente: Se puede considerar como auténtico un dato que no puede reducirse a las concepciones o a los conceptos de la época.
6.3.2.2 HALLAZGOS
15
√
Las referencias a la Fórmula aparecen a partir de 1870, es decir, después de que BRESSE había publicado todos sus libros y, probablemente, había escrito su artículo sobre este tema en las revistas técnicas de su época publicadas por las escuelas en las cuales él impartía sus clases de mecánica y en la Academia de Ciencias a la cual pertenecía. En ningún escrito posterior a BRESSE, en los documentos revisados pertenecientes al Siglo XIX, se atribuye este coeficiente de 1,5 a otro autor, salvo el error evidente que comete Dariés que en 1899 se lo atribuye a Flamant, cuando el mismo Flamant en 1891 se lo había atribuido a Bresse.
6.3.2.3 CONCLUSIÓN SEGÚN CRITERIO DE DISCONTINUIDAD Bajo este criterio, entonces, podemos afirmar que la fórmula por BRESSE. 6.3.3
√
fue propuesta
CRITERIO DE CONFORMIDAD O CONTINUIDAD
6.3.3.1 CONCEPTO Se puede considerar como auténtico un dicho o una acción que esté en estrecha conformidad no solamente con su época y ambiente (sea lingüístico, geográfico, social, político, religioso, etc.), sino además y sobre todo que sea perfectamente coherente con la enseñanza esencial del supuesto autor;
6.3.3.2 HALLAZGOS BRESSE dedicó su vida entera a la enseñanza en los centros de estudio de renombre de París, Francia, y fue un reconocido ingeniero matemático, premiado por sus aportes a las ciencias aplicadas y su dedicación a la búsqueda de facilitar los cálculos, con los medios de que se disponía en la época, desarrollando tablas numéricas de mucha utilidad. 16
En el “Libro del Centenario de la Escuela Politécnica, 1897 ” fue publicado un texto
biográfico de Bresse, que en uno de sus párrafos centrales, dice: “Se comprende cuánto un trabajo semejante, llevado hasta a las tablas numéricas, ha
debido exigir de paciencia y de esfuerzos; siendo éstas unas de las características más determinantes de la obra de Bresse; él no duda de abordar y de proseguir largos cálculos para presentar los resultados que él ha obtenido bajo la forma que hará más cómodo su empleo; él está preocupado de facilitar a los ingenieros las operaciones numéricas que 16
http://www.sabix.org/bulletin/b5/bresse.html
16
ellos deberán efectuar; él considera que de esta forma rendirá un servicio importante a la práctica y, para alcanzar este objetivo, él no se deja frenar ni por el poco interés de las reducciones en números, ni por la masa considerable de los resultados a acumular .”
6.3.3.3 CONCLUSIÓN SEGÚN CRITERIO DE CONFORMIDAD O CONTINUIDAD
√
Bajo este tercer criterio, podemos afirmar que BRESSE propuso la fórmula , a fin de reducir el cálculo del diámetro económico, utilizando un coeficiente acorde a la tecnología y los precios vigentes de la energía y de las tuberías, lo cual es coherente con su formación científica y su espíritu de enseñanza.
6.4
LA VERDADERA FÓRMULA DE BRESSE
Con los elementos descubiertos en la investigación bibliográfica de más de 180 años, se puede afirmar que: 1. Fue JULES DUPUIT el primero que en 1854 propuso la fórmula del diámetro económico, expresada por
√
, habiendo determinado que para los precios de la época, el
coeficiente K era igual a 1.60, convirtiendo su fórmula en
√
√
.
2. LA VERDADERA FÓRMULA DE BRESSE ES , estando el diámetro D expresado en metros y el caudal Q en m3/s, publicada probablemente después de 1860. 3. El ingeniero JACQUES-ANTOINE-CHARLES BRESSE no propuso diferentes valores del coeficiente K, sino únicamente el valor de 1.5. 4. Édouard Collignon en 1870 expresó que: “la determinación de la velocidad más conveniente no depende más que de los precios f y f´, y del rendimiento de la máquina ” y a
√
su vez, A. Flamant, en 1891, expresó que: “El coeficiente de no depende de la longitud L, ni de la altura H, ni del caudal, él no depende más que del rendimiento m de la máquina y de los precios p y p´.” 5. En 1891, A. Flamant indicó que si la relación de precios del capital (p) y de la operación (p´) en lugar de 50 fuera 100 o 25, el coeficiente sería de 1.70 y de 1.35, respectivamente.
17
SEGUNDA PARTE: ACTUALIZACIO N DE LA FO RMULA DEL DIA METRO ECONO MICO
1
INTRODUCCIÓN
En el trabajo que elaboré y que fue presentado en el año de 1983 en el XIV Congreso Centroamericano de Ingeniería Sanitaria y Ambiental (AIDIS), celebrado en Panamá, titulado Determinación de Diámetros Más Económicos para Líneas de Conducción de Agua Potable por Bombeo, establecí una serie de ecuaciones para determinar el “ diámetro económico” y la “velocidad económica” en función del tipo de suelo de excavación y el costo del kWh, para tubería de asbesto cemento (coeficiente C 140) y diámetro (D) en pulgadas, caudal (Q) en galones por minuto (gpm) y velocidad (V) en pies por segundo (pps), acorde con los materiales y unidades de medida usuales en esa época. Luego que han transcurrido 31 años desde entonces, las condiciones de análisis son otras, pues los costos han cambiado, el asbesto cemento ha sido erradicado en la producción de tuberías para agua potable, el sistema métrico se está imponiendo y existe mayor acceso a la información técnica. Antes de iniciar la investigación sobre “La verdadera Fórmula de Bresse”, yo ya había actualizado los cálculos del diámetro económico para distintos escenarios, haciendo variar los índices de costos, tasa de descuento y coeficiente de rugosidad C, con unidades de medida del diámetro D (pulgadas) y el caudal Q (gpm). Estos resultados los transformé en una serie de ecuaciones y gráficas de correlación en el sistema métrico de la gradiente hidráulica, diámetro, caudal, velocidad y el costo de la energía eléctrica (kWh). Posteriormente a la formulación de estas ecuaciones y gráficos, me dispuse ahora a seguir la metodología de cálculo del diámetro económico utilizada por los autores del S. XIX y que sigue siendo de actualidad. Me refiero a la “determinación del costo mínimo de una función por el criterio de la primera derivada” . A lo efectuado por los autores del S. XIX en la aplicación del criterio de la primera derivada para hallar el valor mínimo de la expresión matemática de los costos totales, hay que agregar que la confirmación de que el valor crítico encontrado al igualar a cero la primera derivada de la variable (D), requiere que el valor de la primera derivada cambie de signo de (-) a (+), al pasar de un valor ˂D a un valor ˃D, siendo D el valor encontrado para la derivada igual a cero.
18
2
DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO MÁS ECONÓMICO:
La ecuación básica está representada por: COSTO TOTAL = COSTOS DE LA INVERSIÓN + COSTOS DE OPERACIÓN Y MANTENIMIENTO La inversión está compuesta por los costos de la tubería instalada más la construcción y equipamiento de la estación de bombeo; sin embargo, considerando que la estación de bombeo se construye de una sola vez y no está sujeta a grandes cambios durante la vida del proyecto (25 años), más que el cambio de los equipos de bombeo, para efectos prácticos de la comparación, la inversión se reduce a los costos de adquisición e instalación de la tubería de conducción. En cuanto a los costos de operación y mantenimiento, los costos relevantes que establecen diferencias entre una alternativa y otra, son los relacionados a la demanda de energía necesaria para vencer la resistencia hidráulica unitaria (gradiente hidráulica) de las tuberías, puesto que la energía requerida para vencer la carga estática o de posición es común a todas las alternativas y, por consiguiente, no es necesario incluirla en la comparación de costos y, además, la longitud de la tubería de conducción tampoco entra en la comparación económica, por ser un elemento común a ambos componentes de la fórmula. Para hacer comparables el costo de capital (tuberías) y de operación, se utiliza el método de las matemáticas financieras llamado Método de las Anualidades. En resumen, con el análisis de partida queda determinado que el Costo del Diámetro Económico o Diámetro Optimo se puede expresar por: Costo Total Anual (CTA) = Costo Anual de Tuberías (CAT) + Costo Anual de Energía (CAE) CTA = CAT + CAE A continuación de procederá a explicar cada uno de los términos de la ecuación: Costo Anual de Tubería: CAT = CUT x A CUT A
Costo Unitario de la tubería instalada Factor de recuperación de capital
19
Por medio de un análisis de regresión lineal de los precios de mercado de tuberías instaladas desde 50mm hasta 500 mm, se determinó que existe una correlación potencial entre el costo (C$)17 y el diámetro (D) de la tubería, de la forma:
Que tiene un coeficiente de determinación
Por lo tanto, queda:
Siendo A:
y un coeficiente de correlación
.
[]
Costo Anual de Energía: CAE. Es el elemento de costos que presenta las mayores incertidumbres, por cuanto depende de muchas variables de costo, que son desconocidas y que deben ser supuestas para poder concretar la fórmula. El CAE depende del caudal de bombeo (Q b); el tiempo de bombeo anual (horas); el costo del kWh (C$), la eficiencia de la bomba (E b), la eficiencia del motor (E m) y la gradiente hidráulica (S). A su vez, la “S” depende, en primer lugar, de la fórmula que se adopte para su cálculo y luego del Q b y del Coeficiente de rugosidad.- En este caso en particular, se ha adoptado la fórmula de Hazen – Williams, que es la más utilizada en Nicaragua para tuberías a presión. En este análisis se considerará un bombeo permanente de 24 horas durante los 365 días del año. Dicho lo anterior, podemos expresar el CAE por:
( ) Sustituyendo S de la Fórmula de Hazen- Williams:
Resulta:
17
Tasa de cambio: 1 USD = 26 C$
20
Haciendo
Resulta: Y de ahí resulta:
Extrayendo la primera derivada de la ecuación de costos totales anuales (CTA), igualando a cero y simplificando, resulta:
Luego, haciendo
y
:
Sustituyendo los valores de A y B y simplificando operaciones, resulta:
21
Por otra parte, la raíz 6.1333 se puede expresar como
y descomponer en el
producto de dos radicales de igual base con distintos exponentes, en el cual se suman los exponentes (
, así que:
Se ha comprobado que la
es igual a 1.00 al considerar tres cifras significativas, por lo cual
es un valor que se puede despreciar de la ecuación, quedando, por lo tanto, expresada la Fórmula General del Diámetro Económico u Óptimo por:
3
FÓRMULA GENERAL DEL DIÁMETRO ECONÓMICO:
4
REDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO ECONÓMICO CON VALORES ACTUALES
Si ahora consideramos como valores usuales E b = 0.8; Em = 0.9; i = 8%; n = 25 y C = 150 para tuberías plásticas de 2” a 10”, y C = 110 para tuberías de hierro fundido dúctil de 300 mm – 500 mm, entonces la fórmula se reduciría a: a) Tuberías plásticas de 50 mm – 250 mm: b) Tuberías de HFD de 300 mm – 500 mm:
Tomando en cuenta que la tarifa actual de bombeo de agua potable es de C$ 2.04/kWh18, las fórmulas se reducen a: a) Tuberías plásticas:
18
Tasa de cambio: 1 USD = 26 C$
22
b) Tuberías de HFD:
5
COMENTARIO SOBRE LA RAIZ DE Q EN LA FÓRMULA DEL DIÁMETRO ECONÓMICO:
Cuando el Sr. Jules Dupuit dedujo la Fórmula del Diámetro Económico, la pérdida de carga H fue expresada por
Y se consideró que el costo de la tubería estaba en relación directa con su diámetro, por la expresión:
√
La fórmula utilizada para la determinación de la pérdida de carga es la que da origen a Fórmula del Diámetro Económico. Así vemos que en la fórmula de Dupuit, él utilizó
en la
para llegar a su fórmula por la primera derivada y, por el contrario, al calcular ahora Hf con la fórmula de Hazen-Williams, que incluye los factores de y , se obtienen los resultados
√ √
arriba indicados en que no aparece en la Fórmula del Diámetro Económico. Si en lugar de utilizar la fórmula empírica de Hazen Williams hubiéramos utilizado la fórmula de Darcy – Weisbach para determinar la pérdida de carga (
), tendríamos
en la Fórmula del
Diámetro Económico, de forma similar a como fue expresado en las fórmulas del Siglo XIX.
6
VELOCIDAD ECONÓMICA
En cuanto a la Velocidad Económica , sabiendo que por la ecuación de continuidad:
Entonces, se obtiene para a) Tuberías plásticas:
b) Tuberías de HFD:
23
7
COMPARACIÓN DE RESULTADOS DE DIÁMETROS ECONÓMICOS CALCULADOS Y ESTIMADOS CON LA FÓRMULA:
En la gráfica que sigue se observa que existe una buena aproximación de los diámetros económicos calculados y los diámetros económicos estimados con la Fórmula del Diámetro Económico para tuberías plásticas (C 150) hasta Q= 75.7 Lps y tuberías de hierro fundido (C 110) para Q ˃ 75.7 Lps, utilizando los valores Eb = 0.8; Em = 0.9; i = 8%; n = 25 y C$ 2.04/kWh.
CURVA COMPARATIVA DE LOS DIÁMETROS ECONÓMICOS COMERCIAL REAL Y CALCULADO VS. CAUDAL PARA RANGO DE 6.3 A 630 Lps 800
D I Á M E T R O
E C O N Ó M I C O
C O M E R C I A L (
700 D. Ec. Comercial calculado 600
D.Económico Real
500 400 300 200
m m 100
)
0 6.31
75.71
504.73
CAUDAL (LITROS POR SEGUNDO
8
CURVAS DE RELACIÓN DE LOS PARÁMETROS HIDRÁULICOS VS. COSTO DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA PARA LOS DIÁMETROS ECONÓMICOS.
Con los resultados del cálculo de los diámetros económicos para distintos valores de caudal y costo de energía eléctrica, sin aplicar la Fórmula del Diámetro Económico obtenida a través de la derivación, fueron establecidas las siguientes relaciones entre diámetros, caudales, velocidades, gradiente hidráulica y costo de energía eléctrica.
24
Diámetros económicos (mm) en función de Q (L/s) y C$/KwH 900 800
m m700 n e s 600 a í r e b500 u t e 400 d o 300 r t e m200 á i D100
Kwh = C$ 3.00 Kwh = C$ 4.00 Kwh =C$ 5.00 Kwh = C$ 6.00 Kwh = C$ 7.00 Kwh = C$ 8.00 Kwh = C$ 9.00
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
CAUDAL Q EN LITROS POR SEGUNDO
Velocidad económica promedio para rango de costo de Kwh de C$ 3.00 - C$ 9.0 y para costo de C$5.00/Kwh 1.80 1.60
s / 1.40 m1.20 n e1.00 d a0.80 d i c 0.60 o l e0.40 v
y = -0.0005x2 + 0.035x + 0.9086 R² = 0.8219
0.20 0.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 0 5 0 5 1 1 2 2 3 3
0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 5 0 4 4 5 5 6 6 7
CAUDAL Q EN LITROS POR SEGUNDO Veloc promedio (m/s)
C$5.00/Kwh
Polinómica (Veloc promedio (m/s))
25
16.0
Gradiente hidráulica de diámetros económicos (m/1000 m) en función de Q (L/s) y C$/KwH
14.0
Kwh = C$ 3.00
m 0 12.0 0 0 1 / m10.0 n e a g r 8.0 a c e d 6.0 s a d i d r 4.0 é P
Kwh = C$ 4.00 Kwh =C$ 5.00
y = -0.1533x + 5.6083 R² = 0.7006
Kwh = C$ 6.00 Kwh = C$ 7.00 Kwh = C$ 8.00
2.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
CAUDAL Q EN LITROS POR SEGUNDO
Gradiente hidráulica económica (m/1000m) para líneas de conducción por bombeo en función de la tarifa eléctrica ) 7.0 m 0 0 0 6.0 1 / m ( a 5.0 c i m ó 4.0 n o c e a 3.0 c i l u á r d i 2.0 h e t n 1.0 e i d a r G0.0
y = 6.7176e-0.151x R² = 0.981
Pérdidas de carga (m/1000m) Exponencial (Pérdidas de carga (m/1000m))
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
Tarifa de energía eléctrica de bombeo (C$/Kwh)
26
Diámetro económico (mm) para líneas de conducción por bombeo en función del caudal Q en m 3 / seg 900 m800 m n700 e o600 c i m ó500 n o400 c e o 300 r t e m200 á i D100
y=1128.11629X2+1642.24245X+154.173 987 R2=0.99 y = 0.3141x2 + 25.578x + 96.15 R² = 0.986 Regresión polinómica STT Diámetro económico
0 0 1 0 . 0
0 2 0 . 0
0 3 0 . 0
0 4 0 . 0
0 5 0 . 0
0 6 0 . 0
0 7 0 . 0
0 8 0 . 0
0 9 0 . 0
0 0 1 . 0
0 5 1 . 0
0 0 2 . 0
0 5 2 . 0
0 0 3 . 0
0 5 3 . 0
0 0 4 . 0
0 0 0 5 0 5 4 5 5 . . . 0 0 0
0 0 6 . 0
0 0 5 0 6 7 . . 0 0
Caudal en m3/seg
Velocidad económica (m/s) para líneas de conducción por bombeo en función de la tarifa eléctrica (C$/KwH) 1.60 ) 1.40 s / m1.20 ( a c i 1.00 m ó n0.80 o c e d0.60 a d i c 0.40 o l e V0.20
y = 1.5414e-0.06x R² = 0.9833 Velocidad m/s Exponencial (Velocidad m/s)
0.00 3
4
5
6
7
8
9
Tarifa de energía eléctrica de bombeo (C$/Kwh)
27
APE NDICE I RESU MENES DE LA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA EN RELACION CON EL CA LCULO DEL DIA METRO ECONOMICO DE UNA TUBERIA POR BOMBEO PRIMERA ETAPA PERIODO 1920 - 2013
1. WATER SUPPLY ENGINEERING. BABBITT AND DOLAND. FIFTH EDITION. 1955 En las páginas 156/157 del Capítulo 9, Acueductos, de este libro, cuya primera edición fue publicada en 1929 y que ha sido una referencia obligatoria en la historia del abastecimiento de agua en los E.U.A., presenta el artículo 9.5, Diámetro de la tubería por la cual es bombeada el agua. En relación a la determinación del diámetro de una tubería de bombeo de agua, explica que el método a utilizar es el usual de las empresas en que se determina el costo mínimo de una expresión matemática por medio de la primera derivada igualada a cero. Presenta las ecuaciones de costos de la tubería y del bombeo y formula la ecuación de costo total de esta forma:
Esta ecuación la deriva respecto a la variable d, la iguala a cero y encuentra una fórmula del diámetro económico expresada por:
La velocidad económica es expresada en función de Q y d de las siguientes formas:
* + * +
y
Donde: a = costo del hierro fundido, en centavos de dólar por libra. B = Costos de instalación de la tubería = 0.00159L + 0.0006Y + (0.005 + 0.0145D)W C = coeficiente de la fórmula de Hazen and Williams, que se toma igual a 100. D = profundidad de la zanja, en pies. d = diámetro de la tubería en pulgadas. 28
P = costo de bombeo de 1 MG a 1 pie de altura, en centavos de dólar. Q = caudal a través de la tubería, en pie3/seg. r = tasa anual de interés más los costos hundidos de la tasa de depreciación más la tasa de otros cargos anuales. s = pendiente de la gradiente hidráulica. V = velocidad del flujo del agua en la tubería, en pies/s. W= tasa salarial de obreros no calificados, en centavos de dólar por hora. Y = costo de la hilaza, centavos de dólar por libra. Los valores económicos de la velocidad de flujo los introduce en la Tabla 9-1, los cuales han sido computados de una fórmula aproximada, basada en la fórmula de flujo de Flamant, que se expresa por:
2. ABASTECIMIENTOS DE AGUA Y ALCANTARILLADOS (ACUEDUCTOS Y CLOACAS). GUSTAVO RIVAS MIJARES. SEGUNDA EDICIÓN. 1961 Rivas Mijares se limita (pág.200) a expresar que: “…El estudio económico, mediante costos capitalizados , es el camino más adecuado para decidir sobre los diámetros más económicos” . Y añade: “En el caso de aducciones con bombeo, deben
intervenir en la determinación de la capacidad: a) el gasto disponible en las fuentes; y b) las horas de bombeo que se adopten para el presente y el futuro”.
3. FLUID MECHANICS WITH ENGINEERING APPLICATIONS. DAUGHERTY AND FRANZINI. SIXTH EDITION. 1965 No aborda el tema del diámetro económico, ni hace referencia a Bresse.
4. INGENIERIA SANITARIA. W.A. HARDENBERGH Y EDWARD B. RODIE. PRIMERA EDICIÓN EN ESPAÑOL. 1966 No hace referencia a la selección del diámetro económico de tuberías por bombeo.
5. ABASTECIMIENTO DE AGUA Y REMOCIÓN DE AGUAS RESIDUALES. VOL. 1. - GORDON M. FAIR, JOHN C. GEYER Y DANIEL A. OKUN. PRIMERA EDICIÓN EN ESPAÑOL. 1968 Al igual que Clark,Viessman y Hammer, se hace referencia al método numérico de Lagrange (1736 1813) para seleccionar la mejor alternativa de combinación de tuberías. Pero no se hace ninguna referencia a Bresse. 29
6. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. VÍCTOR L. STREETER. 4ª. EDICIÓN EN ESPAÑOL. 1968 No aborda el tema del diámetro económico, ni hace referencia a Bresse.
7. WATER SUPPLY AND WASTEWATER DISPOSAL IN DEVELOPING COUNTRIES. PROCEEDINGS OF A WATER SUPPLY AND SANITATION SEMINAR HELD IN BANGKOK 19-23 JANUARY 1970. EDITED BY M. B. PESCOD AND D.A. OKUN. 1970 No dice nada sobre Bresse ni sobre el diámetro económico.
8. INGENIERIA DE ACUEDUCTOS Y TRATAMIENTO DE AGUAS. HERNANDO SÁNCHEZ MONTENEGRO. VENEZUELA. 1970 No hace referencia a Bresse; pero sí explica la metodología de cálculo del diámetro más económico por medio de la determinación del costo mínimo de la suma de costos de la tubería más el costo del bombeo. También refiere que “en conducciones por bombeo, la velocidad no ha de exceder de 1.50 m/s” y da las velocidades económicas frecuentemente encontradas para tuberías de asbesto-cemento de diferentes diámetros 19. De la información que presenta el autor Sánchez, se observa que la velocidad económica va creciendo desde 0.60 m/s para 6 pulgadas hasta 1.30 m/s para 30 pulgadas.
9. WATER SUPPLY AND POLLUTION CONTROL. JOH W. CLARK, WARREN VIESSMAN, JR. AND MARK J. HAMMER. SECOND EDITION. U.S.A. 1971 Aunque hace referencia a metodologías para determinar el diámetro económico de un acueducto, no hace ninguna referencia a Bresse. Enfatiza sobre la metodología para seleccionar entre varias alternativas de alineamiento de tuberías a presión combinadas con tuberías por gravedad.
10. ABASTECIMIENTO DE AGUA Y ALCANTARILLADO. ERNEST W. STEEL. TRADUCCIÓN DE LA 4ª. EDICIÓN EN INGLÉS DE WATER SUPPLY AND SEWERAGE. U.S.A. 1972 No aborda el tema del diámetro económico, ni hace referencia a Bresse.
11. MANUAL DE HIDRÁULICA. J. M. DE AZEVEDO NETTO Y GUILLERMO ACOSTA ALVAREZ. 6ª. EDICIÓN. BRASIL. PÁG. 254 Y 255. 1975 Azevedo y Alvarez efectúan la deducción teórica para la fórmula del diámetro económico, pasando por 19
INGENIERIA DE ACUEDUCTOS Y TRATAMIENTO DE AGUAS. Hernando Sánchez Montenegro. 1970.- Pág. 206 y 207. 30
20
Y luego sustituyendo K por el radical de la raíz sexta, expresan la fórmula:
√ “que es la conocida fórmula de Bresse, aplicable a las i nstalaciones de funcionamiento 21
continuo.”
Luego, en el mismo apartado se continúa diciendo que el valor K = 1.5 fue obtenido en función de los precios de la época (1886)22, con esta información: P1 = 4000 francos P2 = 100 francos ή = 0.60 K´ = 0.00256 Finalmente, con las explicaciones ahí contenidas, concluyen en que “ por lo general, K varía de 0.7 a 1.6. Por eso, siempre que se parte de un valor medio de k, la solución obtenida será aproximada”.
Además, aclaran que: “en realidad, la adopción de la fórmula de Bresse equivale a fijar una velocidad media que se denomina velocidad económica” y establece que: Para
K = 0.9 K = 1.1 K = 1.3
V = 1.60 m/seg; V = 1.06 V = 0.75
20
Esta fórmula deducida en la Hidráulica de Azevedo – Acosta es muy parecida a la deducida por A. Flamant en su libro de Hidráulica de 1891. 21 Al expresar la Fórmula de Bresse, los autores Azevedo Netto y Acosta Alvarez no hacen alusión a una fuente bibliográfica en particular; sin embargo, en la bibliografía de la 8ª. Edición del libro en portugués aparecida en 1998, se encuentra esta referencia general, que podría tener alguna relación con la fórmula: Dupond A. Hydraulique Urbaine. Editions Eyrolles. Paris, 1965 .- También se observa que en la 6ª. Edición de 1975 en español, aparecen estas otras referencias de autores franceses, que podrían tener aportes sobre la fórmula de Bresse y que extrañamente no fueron incluidas en la 8ª. Edición en portugués: 1) Boileau, P. – Notions Pratique Nouvelles d´Hydraulique. Paris, 1921; 2) Bonnet, L.- Traité des Distributions d´eau et des égouts. Hydraulique. Paris, 1921; 3) Bresse, Cours de Mécanique Appliquée. Hydraulique. Paris, 1868; 4) Cauvin, A., Cours d´Hydraulique. Paris, 1949; 5) Désari, M.G., Hydraulique. Paris, 1946; 6) Dupont, A., Hydraulique Urbaine. Paris, Editions Eyrolles, 1965; Eydoux, D., Hydraulique Générale et Appliquée.Paris, 1921; 7) Flamant, A., Hydraulique. Paris, 1923; 8) Shlag, A., Hydraulique Générale et Mécanique des fluides. Liege, 1950; 9) Schlag, A., L´ecoulement en conduites des liquides, gaz et vapeurs. Paris, 1949. 22 Un dato llamativo por inverosimil, pues el Ing. Bresse había fallecido en 1882, es decir, que si realmente el valor de K = 1.50 fue obtenido con precios de 1886, él no pudo haber sido su autor.
31
K = 1.5
V = 0.57
En este mismo contexto, el libro incluye la Fórmula de Vibert:
En que: N = número de horas de bombeo diario dividido por 24. e = costo de la energía eléctrica (kWh) f = costo del hierro dúctil (kg) k = 1.55 para 24 horas y 1.35 para 10 horas de bombeo. Q = caudal (m3/s).
12. WATER AND WASTE-WATER TECHNOLOGY.- MARK J. HAMMER. U.S.A. 1975 No dice nada sobre Bresse ni sobre el diámetro económico.
13. TEORÍA Y DISEÑO DE SISTEMAS DE LOS ABASTECIMIENTOS DE AGUA. SIMÓN AROCHA. VENEZUELA. 1977 En el reconocido libro de Simón Arocha, al abordar el tema del diámetro económico expresa que “un predimensionamiento puede hacerse con la fórmula de Bresse 23”, expresada por:
√ D en metros Q en m3/seg K4 = 0.7 – 1.6 Después establece que el análisis de los casos ha llevado a establecer criterios de velocidad económica que para las Normas INOS24 varía desde 0.70 m/s hasta 1.60 m/seg.
14. ÉCOULEMENT DES FLUIDS DANS LES TUYAUTERIES. JACQUES BONNIN. INGÉNIEUR EN CHEF À ÉLECTRICITÉ DE FRANCE. FRANCIA. 1983 Este autor describe la Fórmula de Bresse25
√
23
Teoría y Diseño de Sistemas de los Abastecimientos de Agua. Simón Arocha. 1977.- Pág. 144. Arocha no hace ninguna referencia bibliográfica que pudiera conducir al origen de la Fórmula de Bresse, como tal. 24 Normas venezolanas del extinto Instituto Nacional de Obras Sanitarias. 25 En esta fórmula, el autor hace la referencia bibliográfica de DUPONT (A.). – Hydraulique urbaine. Eyrolles (1969).
32
que da una velocidad optimal de
⁄
Comenta, además, que en las condiciones económicas actuales esta velocidad es demasiado baja, por lo cual es preferible corregir26 la fórmula de Bresse a:
√ En la cual resulta una velocidad media aproximadamente igual a
⁄ Que es un valor bastante satisfactorio para tuberías con diámetros entre 0.1 y 1.0 m. Continúa diciendo este autor que la fijación de una velocidad única tiene el inconveniente de que no toma en cuenta el precio de la energía, ni el tipo de material de constitución de la tubería, ni el tiempo de consumo de la energía, todo lo cual ha sido tomado en cuenta por Vibert27 para tuberías de hierro fundido, resultando la expresión o Fórmula de Vibert:
En que “e” y “f” son el precio del kWh y el precio del hierro fundido por Kg, respectivamente. A” es un número que depende del número (N) de horas de bombeo por día. Vibert da un “ valor de A = 1.547 para N = 24 (n = 1), y 1.35 para N = 10 (n=0,416). Se observa que el exponente 0,46 de q v difiere muy poco de la raíz cuadrada. Y, además, agrega un diagrama para el cálculo del diámetro económico en función del factor de utilización n/N, donde “n” es el número de horas de bombeo por día.
15. FORMULAIRE PONT-À-MOUSSON. SAINT GOBAIN CANALISATION. FRANCE. 1989
26
Aquí él utiliza la referencia bibliográfica de BONNIN (J.). – Hydraulique urbaine appliquée aux agglomérations de petite et moyenne importance. Eyrolles (1977). 27 En esta fórmula él hace la referencia bibliográfica de DUPONT (A.). – Hydraulique urbaine. Eyrolles (1969).
33
Para la estimación del diámetro económico, este formulario no menciona la fórmula de Bresse e incluye únicamente una ecuación “con la ayuda de la fórmula de Vibert 28”, expresada por:
Con: D = diámetro económico de la tubería en metros; N = tiempo de funcionamiento diario de la bomba en horas, divido por 24; e = precio del Kilovatiohora en francos; f = precio de la tubería expresado en francos por kilogramo; Q = caudal en metros cúbicos por segundo. El coeficiente 1,456 de la fórmula tiene en cuenta una tasa de amortización de 8% durante 50 años.
16. D´ALIMENTATION EN EAU POTABLE. ÉCOLE NATIONALE D´INGÉNIEURS DE TUNIS.MAHMOUD MOUSSA.- TUNISIA, AFRICA. 1991 Este documento presenta la Fórmula de Bresse de la forma conocida, sin indicar la fuente de información:
E indica que la velocidad media correspondiente es del orden de 0.60 m/s.
17. DIMENSIONADO ÓPTIMO DE REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA RAMIFICADAS CONSIDERANDO LOS ELEMENTOS DE REGULACIÓN. RAFAEL PÉREZ GARCÍA.UNIVERSIDAD DE VALENCIA, ESPAÑA. 1993 El ingeniero Pérez García inicia su revisión de las fórmulas del diámetro económico con la de Bresse:
Pérez García en su tesis doctoral hace el desarrollo teórico de la derivación matemática del diámetro económico y presenta su propia fórmula del diámetro óptimo o diámetro económico:
28
Formulaire Pont-à-Mousson. Saint Gobain Canalisation. 1989, pág. 32.
34
q = caudal de conducción at = factor de amortización a = exponente de costes de la tubería nh = número de horas de bombeo p = precio medio del KWh ή = rendimiento global del grupo motor-bomba A = coeficiente de costos de la tubería B = coeficiente de pérdidas de carga El también explica cómo diversos autores han llegado a sus fórmulas, considerando unos el costo de la tubería en función del peso del material y otros en función de su diámetro. Refiere que en España la fórmula más utilizada es la del ingeniero español Enrique Mendiluce, basada en que el costo de la tubería es lineal en función a su diámetro29, que está expresada por:
Luego, este autor refiere que Melzer (1964) estima que el costo unitario de la tubería es proporcional no ya a su diámetro, sino a su peso, lo que en la práctica equivale a decir que el coste es proporcional a D2, por lo cual reemplazando a = 2 en la fórmula 4.41, resulta la fórmula de Melzer:
Melzer en su estudio extiende el concepto de la proporcionalidad del costo con D 2 también a la instalación de la tubería; pero en la práctica se ha demostrado que el costo de la instalación varía aproximadamente linealmente con su diámetro. De ahí que se adopten exponentes intermedios entre los de Melzer y Mendiluce. Vibert, partiendo de la hipótesis de que c = A.D 1.5 llega a la siguiente expresión del diámetro económico:
29
Ya en el año 1854, J. Dupuit había hecho esta misma consideración sobre la relación lineal y directa del costo y el diámetro de la tubería.
35
En 1987, Agüero Soriano, J. propone su fórmula:
Y luego en 1992 la replantea de esta otra forma:
18. LES NOUVELLES TECHNIQUES DE TRANSPORT D´EFFLUENTS. DOCUMENT TECHNIQUE FNDAE NO.17.- BERNARD BRÉMOND.- JUIN 1995. FRANCE. 1995 No tiene información pertinente al diámetro económico.
19. HIDRÁULICA GENERAL.- VOL.I.- FUNDAMENTOS. DÉCIMOCTAVA REIMPRESIÓN. GILBERTO SOTELO ÁVILA. MÉXICO. 1997 En este texto se sigue una metodología similar a la expuesta en el libro de Azevedo Netto, con la
√
particularidad de que introduce una variante en la derivación de la fórmula general , que también la designa como la “Fórmula llamada de Bresse” en que K es una constante que vale aproximadamente 1.2030. Al igual que Azevedo Netto, este autor también dice que el adoptar la fórmula de Bresse equivale a fijar una velocidad media económica, que para valores de K entre 1.0 y 1.5, resultan velocidades entre 1.28 y 0.57 m/seg. Este autor da una tabla de valores de velocidad media más económica según Richter para tuberías de succión, descarga de bombas, distribución e hidroeléctricas.
20. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE.- COMUNICACIONES CIENTÍFICAS Y TECNOLÓGICAS 2000.- INSTITUTO DE PESQUISAS HIDRÁULICAS - UFRGS - BRASIL. DEPTO DE HIDRÁULICA -FACULTAD DE INGENIERÍA - UNNE. E-MAIL:
[email protected] BRASIL. 2000 En este artículo dedicado a la Estimación del Diámetro Económico de la Tubería de un Sistema de Bombeo, se expresa que: Hasta hace algunos años, los ingenieros hidráulicos utilizaban fórmulas como la de Bresse para el cálculo del diámetro de una impulsión: 30
Hidráulica General. Vol.1. Fundamentos. Gilberto Sotelo Ávila. Pág. 367 .
36
Este tipo de fórmulas, al no considerar los costos de operación, dan valores de diámetros relativamente grandes, que conducen el líquido bombeado con velocidades bajas (menores a 1m/s).
21. ESTUDO COMPARATIVO ENTRE METODOLOGIAS DE DIMENSIONAMENTO ECONOMICO DE ADUTORAS. DISSERTAÇAO DE MESTRADA. PAULA KRISTHINA CORDEIRO FREIRE. UNIVERSIDAD FEDERAL DA PARAÍBA. CAMPINA GRANDE, BRASIL. 2000 En cuanto a la Fórmula de Bresse, desarrolla el tema basado en los aportes de los libros de Hidráulica de Azevedo Netto y Sotelo Avila ya mencionados. Por otra parte, hace el desarrollo teórico del cálculo del diámetro económico por el método de Melzer (1964) basado en el peso de las tuberías, partiendo de la hipótesis de que el costo de las tuberías es proporcional al peso de las mismas31 y que llega a la expresión siguiente para el diámetro económico:
Donde: DOT = diámetro óptimo o diámetro económico. β = coeficiente de pérdidas de carga de Darcy – Weisbach n = número anual de horas de bombeo en horas/año p = precio del kWh en Reales/kWh C = costo del metro de tubería y por metro de diámetro, e Reales/mxm a = coeficiente de amortización de la fórmula del interés compuesto ή = rendimiento global del conjunto motor – bomba en decimales. Q = caudal en m 3/seg. También hace referencia al Método de la variación lineal de los costos de las tuberías, llamado Método de Mendiluce (1966), que parte del principio de que el costo de las tuberías varía linealmente con el diámetro de las mismas. Con el desarrollo de este método se llega a la expresión matemática del diámetro económico siguiente:
31
Es interesante ver la forma en que dándole vuelta a los mismos conceptos arrastrados desde a mediados del Siglo XIX, como veremos más adelante, se presentan en la actualidad como conceptos nuevos.
37
Donde la simbología es la misma descrita en la fórmula anterior.
22. ADUCTION ET DISTRIBUTION D´EAU.- HUGUES GODART. INGÉNIEUR EN CHEF À LA GÉNÉRALE-DES-EAUX. FRANCE. 2000 Según Godart, Bresse propuso un método para la determinación del diámetro económico partiendo de que el precio (P 1) de la tubería es directamente proporcional al diámetro (D) de la misma y a su longitud (L), es decir, que: P1 = K1DL, lo cual es verdadero para una variación del diámetro relativamente baja. De otra parte, él ha propuesto que el precio (P 2) de la inversión de la estación elevadora + los gastos de explotación actualizados se podía escribir como: P2 = K2N, con N = potencia de la estación. El precio global sería, entonces: P = P1 + P2 = K1DL + K2N Por un cálculo simple de minimización, él obtiene el valor optimal:
Con: ή rendimiento de la bomba, α coeficiente de Chézy Despreciando el factor debajo de la potencia 1/6, se obtiene:
√
Y teniendo en cuenta los valores corrientes de su época, que aparecen en el término bajo la potencia 1/6, Bresse propuso:
√
Fórmula cuyo mérito es el haber resaltado que el diámetro económico no depende de la altura H ni de la longitud L. 38
Otra conclusión simple se aplica a la velocidad optimal en la tubería de bombeo: V = 0.56 m/s. Vibert y Koch han afinado la fórmula de Bresse y han propuesto: D = 1.547(e/f)0.154Q 0.46 Para un bombeo continuo, y D = 1.35(e/f)0.154Q 0.46 Para 10 horas de bombeo por día con “e” precio del KWh y “f” el precio del Kg de hierro.
23. NOTA TÉCNICA: DIMENSIONAMENTO ECONOMICO DE INSTALACOES DE RECALQUE.HEBERT PIMENTEL GOMES. DOCTOR EN HIDRÁULICA. UNIVERSIDAD FEDERAL DE PARAÍBA. BRASIL.- REVISA ENGENHARIA SANITARIA E AMBIENTAL.- VOL. 6 NO.3, JUL/SET 2001. BRASIL. 2001 Este autor declara que una de las primeras fórmulas de hidráulica para el dimensionamiento de tuberías de impulsión y que todavía es utilizada es la fórmula de Bresse, expresada por:
√
, aplicable para el funcionamiento continuo, durante 24 horas diarias. También expresa que para un funcionamiento del sistema durante un determinado número d horas diarias, la ABNT (1982) recomienda utilizar la fórmula en el sistema métrico:
Además, agrega una Tabla de Velocidades Recomendadas y valores correspondientes del coeficiente de Bresse (K) para tuberías de succión, descarga de bombas, distribución y plantas hidroeléctricas, desarrollada por Avila en 197832. Por otra parte, deduce dos nuevas fórmulas: una para el costo de la tubería en función del diámetro y otra en función de su peso, así: a) Fórmula basada en la variación lineal de los costos de la tubería:
32
Es el mismo libro de Hidráulica General.Vol I. de Sotelo Avila referido más atrás. Sin embargo, este autor modifica la Tabla No. 9.4 del libro al introducir unos coeficientes K que él atribuye a Bresse, llamándolos “Coeficientes de Bresse”.
39
b) Fórmula basada en en el peso de la tubería:
24. DISEÑO DE UNA NUEVA LÍNEA DE IMPULSIÓN Y SELECCIÓN DEL EQUIPO DE BOMBEO PARA LA EXTRACCIÓN DE AGUA SUBTERRÁNEA PLANES DE EXPANSIÓN DE MÍNIMO COSTO DE AGUA POTABLE Y ALCANTARILLADO EPS CHIMBOTE. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE: INGENIERO MECÁNICO DE FLUIDOS. AUTOR VICTOR DAVID CHOY BEJAR. LIMA – PERÚ. 2002 En el planteamiento teórico y metodológico (Capítulo IV, 4.1.1, página 15), el autor expresa que: “ Un primer paso en la determinación del diseño de la línea de impulsión es la elección del diámetro
de la tubería, para esto se utiliza una formula empírica conocida como la fórmula de Bresse 33 para bombeos discontinuos:
“La cual está basada en los siguientes parámetros: D : Diámetro interior aproximado (m). N : Número de horas de bombeo al día. Qb : Caudal de bombeo obtenido de la demanda horaria por persona, del análisis poblacional y del número de horas de bombeo por día en (m3/s). ”
25. DISEÑO DE SISTEMA DE ABASTECIMIENTO DE AG UA POTABLE” COMUNIDA D SIRAMA NORTE-SUR. CHICHIGALPA, CHINANDEGA. MONOGRAFÍA: MARCIA SOLEDAD MENDEZ ESPINAL; MARÍA TERESA FLORES RUGAMAUNI. NICARAGUA. 2003 Para determinar el mejor diámetro (más económico), puede aplicarse la fórmula siguiente, similar a la de Bresse34 con k =0.9 y n=0.45. D = k (Q)
n
33
Las referencias bibliográficas de este trabajo son de autores modernos, entre los cuales se encuentran los libros de Abastecimiento de agua, Teoría y Diseño, 1980, por Simón Arocha y el Manual de Hidráulica, 1975, por Azevedo Netto y Guillermo Acosta, y el Manual de Hidráulica General, por Sotelo Avila, sin fecha. 34 Aunque no hace una referencia específica de la fuente de información utilizada, se observa que es la misma fórmula que en el Manual de Hidráulica de Azevedo Netto – Acosta Alvarez (Sexta edición en español. 1975, pág.257) se indica que es la fórmula que: “ En los E.E.U.U. se emplea… ”
40
D = 0.9(Q)
0.45
26. DIMENSIONNEMENT DE SYSTÈMES DE POMPAGE PHOTOVOLTAÏQUE.- A. HADJ ARAB, M. BENGHANEM ET A. GHARBI. REV. ENERG. REN. VOL. 8 (2005) 19 – 26. ALGERIA.AFRICA. 2005 Tomando de referencia P. Silvestre, ‘’Fundamentos de Hidráulica General ‘’, Limusa, Mexico, 381 p., 1983, expresa la Fórmula de Bresse así:
√
D : diámetro de la tubería (m) K : coeficiente que varía de 0,75 a 1,40 Q : caudal punta de la bomba (m3/s)
27. HTTP://WWW.WEBREVIEW.DZ/IMG/PDF/22-BEDJAOUI.PDF NOUVELLE APPROCHE POUR LE CALCUL DU DIAMETRE ECONOMIQUE DANS LES CONDUITES DE REFOULEMENT35.- A. BEDJAOUI, PR. B. ACHOUR, M.T. BOUZIANE.- COURRIER DU SAVOIR – N°06, JUIN 2005, PP.141-145.- L´ALGERIE. AFRICA. 2005 Estos autores, A. Bedjaoui et al., comentan la existencia de las fórmulas para el cálculo del diámetro económico elaboradas por:
A partir de las conocidas ecuaciones de costos de tuberías y de energía de bombeo, fue elaborada una serie de tablas para la determinación directa del diámetro económico para tuberías de asbesto cemento clase 30 y clase 20, PVC y PEAD y de ahí se deduce y propone una “nueva Fórmula36” para la determinación del diámetro económico, expresada por:
35
Nuevo método para el Cálculo del Diámetro Económico de las tuberías de bombeo. 1.5 Esa “nueva fórmula” D = 1.27Q ya aparece bautizada en otro artículo citado anteriormente y elaborado posteriormente a éste como “ La Fórmula de Bedjaoui ”, que es uno de los autores del artículo y de la investigación efectuada en Algeria, Affrica. 36
41
28. MODEL FOR DETERMINING FLOW DIAMETER AND ECONOMIC VELOCITY IN WATER ELEVATING SYSTEMS.- JO˜AO L. ZOCOLER, FR ANCISCO C. BAGGIO FILHO, LUÍS A. F. OLIVEIRA, AND FERNANDO B. T. HERNANDEZ.- HINDAWI PUBLISHING CORPORATION MATHEMATICAL PROBLEMS IN ENGINEERING.- VOLUME 2006, ARTICLE ID 17263, PAGES 1–17.- DOI 10.1155/MPE/2006/17263.- 2006 Presentan la Fórmula de Bresse de esta forma:
Ellos aclaran que la fórmula es aplicable para una operación continua y que el valor de K usualmente varía entre 0.7 y 1.3, y depende del costo de la energía de elevación y del costo de la tubería. Luego, aparecen dos nuevas fórmulas para la operación no continua, elaboradas por Forchheimer y ABNT37:
Donde: φ = diámetro de la tubería (m); Q = caudal del sistema (m 3s-1); X = número de horas de trabajo de la instalación por año divido por 8760; T = número de horas de trabajo de la instalación dividido por 24. Adicionalmente a esto, se menciona que otros investigadores han desarrollado sus propias fórmulas o modelos para calcular el diámetro económico, entre los cuales cita a Camp 38(1952), Cuomo y Villela (1961), Babbitt 1973), Deb (1978), Lencastre (1983), Coiado y Rivelli (1993), y Zocoler (1998).
29. CHEMICAL ENGINEERING DESIGN INFORMATION. ECONOMIC PIPE DIAMETER. WILLIAM R. WILCOX. HTTP://PEOPLE.CLARKSON.EDU/~WWILCOX/DESIGN/ECONDIA.PDF.-2008 En esta referencia sin nombre se encuentra un artículo que expone 3 fórmulas recomendadas por tres textos reconocidos en la ingeniería química para el cálculo del diámetro económico de impulsión de fluidos con densidades diferentes al agua: Perry (7ª. Edición) establece que: “ para líquidos de baja viscosidad en tuberías de acero cédula 40, la velocidad económica óptima se ubica típicamente en el rango de 1.8 a 2.4 m/s.”
37
Asociación Brasileña de Normas Técnicas. Estos son los años de publicación de los documentos de referencia utilizados por estos a utores.
38
42
Towler & Sinnott (Gavin Towler and Ray Sinnott, “Chemical Engineering Design:
Principles, Practice and Economics of Plant and Process Design,” ButterworthHeinemann/Elsevier, Burlington, MA, 2008) p 269: Para flujos turbulentos en tubería de acero al carbón A106:
25 to 200 mm, di,opt = 0.664 G0.51ρ-0.36 250 to 600 mm, di,opt = 0.534 G0.43ρ-0.30 Para flujos turbulentos en tubería de acero inoxidable 304:
25 to 200 mm, di,opt = 0.550 G0.49ρ-0.35 250 to 600 mm, di,opt = 0.465 G0.43ρ-0.31 Donde d i,opt es el diámetro óptimo en m, G es el caudal en Kg/s, y ρ es la densidad del fluido en kg/m3. Para flujos turbulentos en tubería de acero al carbón A106:
25 to 200 mm, di,opt = 0.664 G0.51 250 to 600 mm, di,opt = 0.534 G0.43 Para flujos turbulentos en tubería de acero inoxidable 304: 25 to 200 mm, di,opt = 0.550 G0.49 250 to 600 mm, di,opt = 0.465 G0.43
Peters & Timmerhaus 5 th edition (Max S. Peters, Klaus D. Timmerhaus and Ronald E. West, “Plant Design and Economics for Chemical Engineers,” McGraw -Hill, NY, 2003) p 501: Para flujo turbulento en tuberías de ace ro con diámetro interior ≥ 1 pulgada (2.54 cm):
Di,opt ≈ 0.363mv 0.45 ρ0.13. Donde Di,opt es el diámetro interno óptimo (m), mv es el flujo volumétrico en m3/s y ρ es la densidad del fluido en kg/m3. Note que ésta y las siguientes ecuaciones no son dimensionalmente consistentes, así que usted debe convertir todos los parámetros a las unidades específicas. Para flujos viscosos en tuberías de acero con un diámetro interno ≥ 1 pulgada:
Di,opt ≈ 0.133mv0.40 μ0.13
⋅
39
Donde μ es la viscosidad del fluido en Pa s. 39
Nuevamente vemos la semejanza de estas fórmulas con las ya conocidas, pues así tenemos que en la primera fórmula para flujo turbulento, al cambiar m v por Q y al hacer ρ = 1.0, para el agua, la primera fórmula se convierte en:
43
30. CÁLCULO DEL DIAMETRO ECONOMICAMENTE VANTAGGIOSO HTTP://WWW.UNIFI.IT/OFFERTAFORMATIVA/ALLEGATI/UPLOADED_FILES/2009 /200001/B002652/CORRENTI%20IN%20PRESSIONE%204%20FAUNISTICA%200 9-10.PDF.- 2009 En esta presentación se expresa la Fórmula de Bresse: D = 1.5Q 0.5 e indica que de la fórmula se desprenden velocidades alrededor de 1.5 m/s y que el coeficiente de 1.5 es un valor medio, pudiendo variar entre 1.35 y 1.76.
31. DESIGN DU PÉRIMÈTRE IRRIGUÉ ET STRATÉGIE DE MANAGEMENT LOCAL DE L´IRRIGATION EN AMONT DU BARRAGE DE PENS A. MÉMOIRE DE FIN D’ ETUDE POUR L’OBTENTION DE MASTE R SPÉCIALISÉ EN HYDRAULIQUE ET SYSTEME IRRIGUE. ARDIOUMA HEMA. 2010 En esta monografía, el autor expresa que el cálculo del diámetro interno (Di) 40 permite escoger el diámetro nominal (DN) de la tubería de bombeo y que es obtenido por la fórmula de Bresse siguiente:
Con la fórmula de Bresse, él calcula lo que denomina diámetro interior (Di) y el diámetro nominal (DN) lo selecciona como el diámetro comercial inferior más próximo.
32. LE DIAMÈTRE ÉCONOMIQUE EN CANALISATION DE REFOULEMENT. ECONOMIC PIPE DIAMETER. BY DANIEL KRIER ON 21 MARS 2011.HTTP://GEMEAU.GABRIEL-DESHAYES.ORG/WP-CONTENT/UPLOADS/2009/12/LEDIAMÈTRE-ÉCONOMIQUE-EN-CANALISATION-DE-REFOULEMENT.ECONOMICPIPE-DIAMETER.PDF 2011 El comenta lo siguiente: La Fórmula de Bresse 0,5
D = 1,5 Q^
Di,opt ≈ 0.363Q
en USI
0.45
Y si en la segunda fórmula introducimos la viscosidad del agua μ = 1002, la fórmula se convierte en: 0.40 Di,opt ≈ 0.326Q 40
Este es un nuevo concepto que no aparece en las demás referencias consultadas.
44
“La Fórmula de Vibert, que es de mayor referencia en la actualidad, data, sin embargo, de 1948”:
Con: n = duración del bombeo en horas/día e = precio del kWh f = precio del Kg de hierro fundido. A través de varias asunciones y fórmulas, el autor del artículo llega a una nueva fórmula expresada por:
Con: Rcd 41= Relación del costo de la tubería instalada por metro de diámetro y metro de longitud (€/m). a = Relación de la anualidad / inversión e = precio del kWh en € n = número de horas de funcionamiento de la bomba por día ή = rendimiento del grupo de la motobomba C = coeficiente de la fórmula de Hazen-Williams Q = caudal en m 3/s D = diámetro en m. Krier aplicando los valores siguientes a su fórmula arriba escrita: Rcd = (1100 €/m) a = 0,05478 e = 0,0612€/kWh n = 16 h/día ή = 0,65 C = 140 Q = caudal en m 3/s D = diámetro en m. Llega a la fórmula:
E indica que la velocidad obtenida es del orden de 1,5 m/s.
41
En otro punto de su documento, él comenta que la relación del costo de la tubería instalada es el término más difícil de obtener, el cual es del orden de 1000 a 1300 €/m de diámetro/m lineal.
45
33. REV. IVOIR. SCI. TECHNOL., 19 (2012) 159 – 174 ISSN 1813-3290, HTTP://WWW.REVIST.CI.- RÉGIME DE CONSOMMATION EN EAU ET SON UTILISATION DANS LE CALCUL DES RÉSEAUX D’ALIMENTATION EN EAU POTABLE.- TAOFIC BACHAROU, GOSSOU HOUINOU, EDMOND C. ADJOVI ET MOUDACHIROU ADJIBOICHA.2012 En este artículo se presentan 4 fórmulas empíricas para la determinación del diámetro más económico de una tubería de bombeo: a) La Fórmula de Bresse: D = 1.5Q 1/2 b) La Fórmula de Bonnin; D = Q 1/2 c) La Fórmula de Vibert: D = 1.35 (e/f)0.154Q 0.46 e = precio del kWh f = precio del kilogramo de tubería instalada. d) La Fórmula de Bedjaoui: D = 1.27Q 1/2 Nótese que en comparación con otras fuentes consultadas, aquí la fórmula de Bresse se define como aquella cuyo factor es 1.5 y no cualquiera otro. El autor del artículo de la revista, a través de cálculos matemáticos, concluye en que el diámetro económico es una función directa de la variación del consumo y el tiempo de bombeo e inversamente proporcional a los parámetros de la tubería y de la inversión, formulando esta ecuación:
Donde: D
= Diámetro económico. 46
α = k3/(3k – 2) = Factor de variación horaria de consumos tp = tiempo de bombeo (horas/día) ρm = masa volumétrica del material de la tubería Pu = costo unitario de la tubería P2 = costo dependiente del diámetro de la tubería Q h moy = Caudal medio horario
34. MECÁNICA DE FLUIDOS. 5ª. EDICIÓN. IMPULSIONES. PRESENTACIÓN DE JOSÉ AGÜERA SORIANO. 2012 El autor cita las fórmulas de Diámetro económico siguientes: 42
Fórmula de Mendiluce
f h p D 1, 263 a c D f ή
0 ,166
Q 0,5
= diámetro en metros = coeficiente de fricción ( f o = 0,015) = rendimiento de la bomba (ho = 0,7) a
a h p c Q
(1 r ) r t
t (1 r ) 1 = factor de amortización = número anual horas de funcionamiento = precio del kWh = coeficiente económico de ajuste ( c1 = c·Dn) = caudal en m3/s
Fórmula de Melzer
f h p D 1,106 a c
0 ,143
Q 0 , 43
Fórmula de Vibert
f h p D 1,165 a c
0 ,154
Q 0, 46
Como corolario de su trabajo, el autor Agüero Soriano propone esta fórmula:
f p h D 1,165 0,5 1,44 104 p' a
0,15 4
Q 0, 46 2
42
Nótese que en esta expresión de la Fórmula de Mendiluce el coeficiente que en la fórmula contenida en el trabajo de Cordeiro Freire era igual a 1.913, ahora aparece como 1.263.-
47
Donde: p = precio actual de la tarifa a utilizar p' = precio actual de la tarifa de referencia (riegos agrícolas en baja tensión, 200 kW de potencia contratada y demandada, 1500 horas de consumo en horas llano, cos f = 1):
35. NOMBRE DEL DOCUMENTO (DESCONOCIDO, SIN FECHA).- CAPÍTULO 2. CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO HIDRÁULICO DE UN ACUEDUCTO. ACUEDUCTO ARCEDIANO – GUADALAJARA. MÉXICO. PTOLOMEO UNAN: 8080/XMLUI. Señala que la Fórmula de Bresse es ésta:
Además, agrega que este radical en el sistema de unidades MKS, “se ha encontrado que es aproximadamente igual a 1.2; en tanto que cuando el diámetro se calcula en pulgadas, habiéndose dado el gasto en l/s, resulta un valor de 1.5, y entonces la fórmula de Bresse es conocida también con el nombre de fórmula de Dupuit, quedando como”:
48
APENDICE 2 RESU MENES DE LA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA EN RELACION CON EL CA LCULO DEL DIA METRO ECONOMICO DE UNA TUBERIA POR BOMBEO SEGUNDA ETAPA PERIODO DE 1800 - 1920
1.
COURS D´ECONOMIE INDUSTRIELLE.- TOME I. M. ADOLPHE BLANQUI. PARIS, FRANCE. 348 PAGINAS. 1838
Este libro es interesante por cuanto muestra la situación económica que se vivía en Francia y resto del mundo desarrollado de Europa.- Ya para entonces había muerto Adam Smith, el precursor de la economía de libre mercado. En esa época existía la oposición tenaz de algunos países como España a la libre introducción de la maquinaria (molinos de viento) en su industria, por temor al desempleo; de cómo se venía desarrollando la banca, la administración pública, la industria con la máquina de vapor, que con ella se incrementaba el comercio y transporte acuático, disminuyendo los tiempos de comunicación, etc., etc.
2.
FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. PREMIER EDITION.- J. CLAUDEL. PARIS, FRANCE. 762 PÁGINAS. 1845
Como veremos más adelante, este libro cuya Primera Edición apareció en 1845, es sumamente interesante para nuestro propósito de descubrir la famosa Fórmula de Bresse en su origen, por cuanto es la primera vez que se relacionan los costos de la inversión de la tubería y la máquina de vapor con los costos de operación y mantenimiento. En el capítulo de Tuberías de conducción de agua, en las páginas 119/120, presenta un problema relacionado con la selección del diámetro económico de una tubería de bombeo, enunciado así: “ 119. 2º. Problema. Este problema y los otros que siguen no son otra cosa que la reunión de varios
análogos al precedente (118), y se resuelven siguiendo los mismos pasos que para el primero. ” “Se trata, por medio de una máquina a vapor, de elevar por hora 60 metros cúbicos de agua a
25.00 metros de altura sobre el nivel de extracción de la bomba; la longitud total de la tubería, que tiene un diámetro constante en toda su longitud, es de 1000 metros; se pide (determinar) qué diámetro se deberá dar a la tubería, sabiendo que ella no alimenta ningún ramal en su recorrido.” “Si se fuera a considerar solamente el costo de l a tubería, es evidente que se deberá adoptar el
diámetro más pequeño capaz de conducir el caudal de 60 metros cúbicos por hora, o 16,6667 litros 49
por segundo, sin que la velocidad media sobrepase 3.00 m por segundo; pero como la carga a vencer y, por consiguiente, la fuerza de la máquina aumenta a medida que el diámetro de la conducción disminuye, se debe, para resolver de la forma más conveniente el problema en cuestión elaborar una tabla de precios de las tuberías y de las máquinas que son necesarias, e introducir en la comparación de estos precios los intereses de las sumas dispensadas, así como los gastos anuales de carbón y de mantenimiento; es necesario también tener en cuenta la renovación del material.” “Se debe, entonces, tener en cuenta la fuerza de las máquinas para los diferentes diámetros
susceptibles de ser empleados. El más pequeño de los diámetros que uno puede usar es 0,09 m, el que para una dispensa de 16,8586 litros, exige una carga de 0,11073676 por metro de longitud de conducción; la carga, bastante exacta, para el volumen de 16,8586 litros que debe suministrar la tubería, se obtiene por una simple proporción…”
El autor explica que en la solución es necesario tomar en cuenta el precio de la tubería y de las máquinas que son necesarias para diferentes diámetros, haciendo intervenir también en la comparación de precios, el interés de las sumas dispensadas, así como los gastos anuales de carbón y de mantenimiento; también debe tenerse en cuenta la renovación del material. La solución del problema no la lleva hasta su final; pero presenta el procedimiento para calcular la pérdida de carga, con auxilio de una tabla elaborada por él mismo, con lo cual determina la potencia en CV requerida para cumplir el trabajo propuesto. En esa época el cálculo de las pérdidas por fricción en tuberías se resolvía por medio de tablas elaboradas cada uno por su cuenta y en este orden, por los ingenieros De Prony, Mary y Morin (no había entrado aún en escena Henry Darcy, quien fue el primero en introducir el concepto de la rugosidad de las tuberías en el cálculo de la pérdida de carga).
3.
COURS D´AGRICULTURE ET D´HYDRAULIQUE AGRICOLE.- TOME PREMIER. PAR M. NADAULT DE BUFFON. PARIS, FRANCE. 502 PÁGINAS. 1853
No dice respecto a Bresse o al cálculo de diámetro de tuberías para la conducción del agua.
4.
SALUBRITÉ URBAINE, DISTRIBUTIONS D´EAU, ASSAINISSEMENT. SECONDE EDITION. TOME PREMIER. PAR G. BECHMANN. PARIS, FRANCE. 613 PÁGINAS. 1854
Sobre el tema que nos ocupa, tiene dos referencias útiles para la época: En la pág. 303, se refiere al costo de la tubería de hierro fundido, que corrientemente se dice que el costo de un metro lineal está en una relación directa al diámetro de 1 Franco por cada centímetro, que es bastante aceptable para los diámetros medios; pero se aleja de los diámetros pequeños y grandes. En su lugar, él propone utilizar esta relación para el diámetro interior D en centímetros aplicable para presiones de 60 a 80 metros de agua: 50
Luego, en la página 338 se acerca más al tema de la selección del diámetro de tuberías de bombeo con este concepto: “El diámetro a dar a las conducciones de bombeo es indeterminado, puesto que se puede, aumentando la fuerza de las máquinas, vencer el exceso de pérdida resultante de un incremento del caudal para un diámetro dado o de una reducción del diámetro para un volumen de agua fijo; pero conviene, en la práctica, quedar dentro de ciertos límites, a fin de no presionar sobre los costos de las conducciones, de una parte, y de no exponerse, de otra parte, a desgastes considerables que podrían tener más de un inconveniente. Lo más habitual es proponerse obtener una velocidad variando de 0.60 m a 1 metro por segundo.”
5.
TRAITÉ THÉORIQUE ET PRATIQUE DE LA CONDUITE DE LA DISTRIBUTION DES EAUX. PAR J. DUPUIT. 552 PÁGINAS. 1854
En las páginas 213/216 presenta el problema 128 dedicado a la demostración del cálculo del diámetro de una tubería tomando en consideración que el gasto generado por la suma de los costos de la tubería instalada, la bomba y la energía consumida sea un mínimo. El explica que la tubería podría tener un diámetro arbitrario, puesto que para conducir el caudal necesario sólo se necesita aplicar la carga necesaria con una máquina más potente y de mayor consumo de carbón; sin embargo, “la cuestión es saber si la economía obtenida en el establecimiento de la tubería ascensional compensará el excedente de gastos provenientes de la máquina. En una palabra, se ve, que en toda cuestión de esta naturaleza, se trata de determinar el diámetro que da un mínimo para la suma de los gastos, lo cual se puede realizar por medio de un cálculo bastante simple.” En ese estado del conocimiento, la pérdida de carga por fricción en tuberías estaba expresada por la fórmula:
Y se consideraba que el costo de la tubería estaba en relación directa con su diámetro por la expresión:
Una vez establecida la ecuación de los gastos de inversión y operación y mantenimiento, expresada por:
51
Se deduce la fórmula para el diámetro mínimo:
Y agrega la derivada de S:
Luego, Dupuit hace la observación que el D no depende de la longitud de la conducción y que variaciones bastante sensibles de los valores de F, C, N y μ tienen muy poca influencia en el valor de D, debido a que estas cantidades entran bajo un radical de la sexta potencia. Y luego anuncia que si uno hace: , que se pueden considerar como valores promedio de estas cantidades, se obtendrá:
√
√
corresponde al diámetro de una sola tubería, mientras que corresponde al diámetro de una tubería doble, utilizable para el caso en que por alguna razón se decida tener dos tuberías paralelas en lugar de una sola.
6.
TRAITÉ THÉORIQUE ET PRATIQUE DE LA CONDUITE DE LA DISTRIBUTION DES EAUX. PAR J. DUPUIT. ATLAS. 146 PÁGINAS. 1854
Se trata de un atlas de esquemas de alimentación y distribución de agua. Por supuesto, no hay nada relacionado a Bresse y el diámetro económico.
7.
MANUEL DES ASPIRANTS AU GRADE D´INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSÉES. PARTIE THÉORIQUE. TOME SECOND. PAR J. REGNAULT. PARIS, FRANCE. 504 PÁGINAS. 1855
Aunque el tema de la hidráulica ocupa bastantes páginas del libro, no se aborda del todo el tópico de la selección económica del diámetro de una tubería de conducción por bombeo.
8.
FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. J. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. QUATRIèME ÉDITION.- J. CLAUDEL. PARIS, FRANCE. 1028 PÁGINAS. 1857
En las páginas 155 y 156, se encuentra el mismo problema y la misma solución dados en la Primera Edición del año 1845 y no se agrega nada nuevo sobre este particular. 52
9.
COURS D´AGRICULTURE ET D´HYDRAULIQUE AGRICOLE.- TOME TROISIèME. PAR M. NADAULT DE BUFFON. PARIS, FRANCE. 627 PÁGINAS. 1858
No dice respecto a Bresse o al cálculo de diámetro de tuberías para la conducción del agua.
10.
COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE. PAR M. MAHISTRE. PARIS, FRANCE. 570 PÁGINAS. 1858
No dice nada respecto a Bresse o al diámetro económico. Entre otros asuntos, trata sobre los tipos de bombas de la época y de la teoría matemática que describía el movimiento del agua en tuberías, según el Sr. De Prony43:
Siendo: F La resistencia al movimiento. D El peso del agua por unidad de volumen s La longitud infinitamente pequeña de una vena líquida u´ La velocidad constante en la conducción α, β coeficientes que tienen por valores α = 0,00017 y β = 0,003416
11.
COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. PREMIÉRE PARTIE. RÉSISTENCA DES MATÉRIAUX ET STABILITÉ DES CONSTRUCTIONS. PARIS, FRANCE. 1859
La importancia de este libro es que fue el primero escrito por M. Jacques-Antoine-Charles Bresse, el cual fue dedicado al estudio de la Resistencia de Materiales. En el prólogo de su primer libro explica que la Mecánica Aplicada de una manera precisa sale de la teoría pura para entrar en las cuestiones prácticas. Además, añade que los problemas de Mecánica cuyas soluciones son del interés de los ingenieros se clasifican en las tres categorías siguientes: el estudio de las máquinas, la resistencia de materiales y la hidráulica.-
12.
COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. HYDRAULIQUE. PARIS, FRANCE. 503 PÁGINAS. 1860
Este es el segundo libro publicado de Bresse. En la página VIII del Prefacio, Bresse, haciendo alusión a Dupuit, dice lo siguiente:
43
Página 439.
53
“Hemos aprovechado por otra parte de los ingeniosos métodos creados por M. Dupuit para resolver diversos problemas a los que dan lugar las conducciones con diámetro o caudal variable de una sección a otra, como las conducciones con varios ramales… ;” En el Capítulo Tercero, Sección IV, De las conducciones complejas o con varias ramas , se encuentran dos numerales relacionados al tema del costo mínimo: Numeral 60, página 163, se encuentra el análisis denominado: Introducción en el segundo 44 problema, de la condición del mínimo de gastos , y Numeral 64, página 180, se encuentra el otro análisis sobre el costo mínimo: La investigación del 45 costo mínimo en un caso particular . Veamos el Numeral 60. Este artículo está dedicado al análisis de un nodo para encontrar el costo mínimo de 4 tuberías, de las cuales 2 de ellas entran al nodo llevando el agua que es distribuida por dos tuberías que salen del nodo para llevar el agua a los puntos de la demanda, bajo la condición de que todas las tuberías siempre transporten el mismo caudal. En la introducción del análisis, el Sr. Bresse expresa que en París el precio de un metro de tubería, con un diámetro D, incluyendo todos los costos de su instalación, es aproximadamente 100D, de donde resulta que el costo de un tubo de longitud L será proporcional al producto LD. Luego, él dedica sus análisis al transporte de agua por varias tuberías conectadas entre dos o tres reservorios, estando cada uno de ellos a diferente nivel y a presión atmosférica. También analiza el caso de una tubería alimentada por dos reservorios en que se investiga la distribución del agua para cada uno de ellos. En el Numeral 64, se trata del análisis de una tubería compuesta por varios tramos de diferentes diámetros alimentados por un reservorio situado en un punto más elevado, es decir, que el flujo es por gravedad. Se desea determinar los diámetros de las tuberías, de manera a obtener los caudales indicados, bajo la condición del mínimo de costos. Finaliza este Capítulo Tercero con el párrafo siguiente: “Aquí se termina el estudio del movimiento permanente del agua en las tuberías; existen, sin duda, otros asuntos que podrían ser de interés; sin embargo, en la imposibilidad de tratarlos todos, hemos tenido que centrarnos en las generalidades y en algunos ejemplos. ” El Capítulo Séptimo y último está dedicado a Los Motores hidráulicos y Algunas Máquinas elevadoras de agua. Distingue la bomba sólo aspirante o impelente o aspirante-impelente y la 44
Introduction dans le second problème, de la condition du minimum de dépense en argent. Recherche du minimum de dépense en argent dans un cas particulier.
45
54
turbina elevadora o bomba centrífuga, que estaba en desarrollo y posicionándose con diversos diseños, como nueva tecnología emergente de la época. El libro termina con este párrafo: “Existe en el Conservatorio de las Artes y Materias una bomba centrífuga que figuró en la
Exposición universal de Londres en 1851; otro modelo, expuesto en Paris, en 1855, bajo el nombre de la bomba centrífuga de Appold , daba, según el constructor, un rendimiento del 69 por ciento. Estas máquinas son interesantes por el hecho de que con escasas dimensiones ellas pueden mover grandes cantidades de agua, punto de vista de su semejanza con las turbinas.”
13.
HIDRAULIQUE AGRICOLE. APPLICATIONS. DES CANAUX D´IRRIGATION DE L´ITALIE SEPTENTRIONALE.- PAR M. NADAULT DE BUFFON. SECONDE EDITION. TOME I. 549 PÁGINAS. 1861
No dice respecto a Bresse o al cálculo de diámetro de tuberías para la conducción del agua.
14.
TRAITÉ DESCRIPTIF ET RAISONNÉ DES CONSTRUCTIONS HIDRAULIQUES A LA MER ET DANS LES EAUX COURANTES. PREMIERE PARTIE, HYDRAULIQUE. PAR E. ROFFIAENS. PARIS, FRANCE. 306 PÁGINAS. 1861
No trata el tema del diámetro económico. En la página 186, nada más hace referencia a una tabla de cálculos desarrollada por Bresse que facilita el cálculo de la velocidad y el caudal del agua en tuberías conociendo el diámetro y la carga por metro. Esta tabla fue construida sobre los datos experimentales de D´Arcy46.
15.
DE L´AXE HIDRAULIQUE DES COURS D´EAU. PAR M. BOUDIN. GAND, BELGIQUE. 178 PÁGINAS. 1863
No dice respecto a Bresse o al cálculo de diámetro de tuberías para la conducción del agua.
16.
FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. SIXIèME ÉDITION.- J. CLAUDEL. PARIS, FRANCE. 1267 PÁGINAS. 1864
En las páginas 167 y 168, se encuentra el mismo problema y la misma solución dados en la Primera Edición del año 1845, enunciado más arriba y no se agrega nada nuevo sobre este particular.
46
Así está escrito en el libro, aunque en todas las demás referencias se escribe Darcy.
55
17.
RECHERCHES HYDRAULIQUES. PREMIèRE PARTIE. RECHERCHES EXPÉRIMENTALES SUR L´ÉCOULEMENT DE L´EAU DANS LES CANAUX DÉCOUVERTS. PAR M. H. DARCY et M. H. BAZIN. 738 PÁGINAS. 1865
No dice nada respecto a Bresse o al cálculo de diámetro de tuberías para la conducción del agua.
18.
TRAITÉ THÉORIQUE ET PRATIQUE DE LA CONDUITE DE LA DISTRIBUTION DES EAUX. PAR J. DUPUIT. DEUXIèME ÉDITION. 520 PÁGINAS. 1865
Capítulo XIV, Páginas 317/319 presenta el problema 152 sobre el cálculo de los gastos relativos a la instalación de máquinas de vapor aplicadas a la elevación del agua y en las páginas 319/322 presenta el problema 153 del cálculo de los gastos relativos al consumo, mantenimiento y marcha de estas máquinas. En el Capítulo XV Numeral 159, páginas 329/332 Détermination du diamètre de la conduite ascensionelle, M. Dupuit presenta el cálculo del diámetro mínimo, diferenciando e igualando a cero la expresión del costo total. Este es el mismo procedimiento establecido en la Primera Edición de su libro, con la diferencia que en esta segunda edición reordena las ecuaciones de la derivada y el diámetro mínimo “D” para lograr una mejor comprensión, poniendo de primero la ecuación de suma de costos “S “S”:
, luego la derivación de S:
y después el resultado del D económico:
En que: S Costo total en francos. F Costo de un caballo de vapor de la máquina D diámetro en metros q Caudal en m3/s N Número de horas de bombeo/día L Longitud en metros μD costo del metro de tubería de Diámetro D. C costo del carbón consumido para producir 1.000 kilográmetro de trabajo con la máquina que se debe utilizar. H la pérdida de carga en la tubería ascensional: 56
Si se desea tener doble tubería para asegurar el servicio, entonces: Luego, plantea que si se toma47 F = 5000 Fr, N = 12 horas, C = 0,00022 Fr, que se pueden considerar como valores promedios de esos parámetros, se tendrá:
μ = 100 Fr,
Agregando que: “estas expresiones se deben tener como aproximaciones suficientes para e studios preliminares”. Y luego inserta una tabla de q vs. D y D´ , expresando estas últimas consideraciones: “ Es Es obvio que estas cifras deben ser rectificadas según las condiciones locales, y que
consideraciones que no son susceptibles de entrar en los cálculos pueden llevar al ingeniero a modificar los resultados. Hemos admitido, por ejemplo, una hipótesis que no es muy exacta, de que se puede asimilar un gasto anual al capital que representa … Por el contrario, a menudo es más fácil y más ventajoso gastar 5000 fr por año que comprometer de una manera definitiva un capital de 100 000 fr. Es por eso que no se debe ver los resultados precedentes más que como cifras destinadas a servir de punto de partida para ulteriores investigaciones más completas.” “Si el agua debe ser elevada por medio de un motor hidráulico, el diámetro será limitado por un
cálculo semejante, en el cual se deben introducir los elementos especiales de la cuestión. Pero estos elementos dependen demasiado de las condiciones locales para que uno les pueda someter a un tipo común. No se puede dar otra regla que buscar la combinación que arroje el gasto mínimo, y ver enseguida qué modificaciones se le deben efectuar para que ella satisfaga las otras condiciones de una buena distribución.”
CATALOGUE GÉNÉRAL DE LIBRARIE FRANCAISE PENDANT 25 ANS (1840 – 1865). TOME PREMIER (A-C) OTTO LORENZ, LIBRAIRE. PARIS, FRANCE. 634 PAGINAS. 1867
19.
En la página 370/371 se mencionan las obras publicadas por Bresse (Jacques Antoine Charles) y que son las siguientes:
47
Cours de mécanique APPLIQUÉE, professé a l´École impériale des ponts et des chausées. 2 Vol. 1859 – 1859 – 1860: 1860: Tome I. Résistance des matériaux et stabilité des constructions; Tome II. Hydraulique.
Llama la atención que los datos de F y C utilizados en esta Segunda Edición son diferentes a los utilizados en la Primera Edición, llegando siempre al mismo mi smo resultado .
√
57
20.
El mismo, 3e. partie. Calcul des moments de flexions dans une poutre à plusieurs travées solidaires. Recherches analytiques sur la flexion et la résistance des pièces courbes, accompagnées de tables numériques pour calculer la pousée des arcs chargés de poids d´un manière quelconque, et leur pression máximum sous une charge uniformément répartie. 1854.
EXPOSÉ DE LA SITUATION DE LA MÉCANIQUE APPLIQUÉE. PAR MM. CH. COMBES, ED. PHILLIPS ET ED. COLLIGNON. PARIS, FRANCE. 259 PÁGINAS. 1867
No dice respecto a Bresse o al cálculo de diámetro de tuberías para la conducción del agua.
21.
COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. HYDRAULIQUE. DEUXIèME ÉDITION. PARIS, FRANCE. 587 PÁGINAS. 1868
En la Segunda Edición publicada en el año 1868, (ocho años después del aparecimiento de la primera edición), el Ing. Bresse introdujo cambios importantes en el Capítulo IV que concierne al movimiento del agua en canales descubiertos; pero dejó prácticamente intacto el Capítulo III dedicado al movimiento permanente del agua en tuberías, dejando intactos con ello los dos problemas de cálculo de las mejores combinaciones de diámetros para obtener el mínimo de costos de la inversión en tuberías por gravedad. El tema de las tuberías por bombeo no es abordado.
22.
PRINCIPES DE MÉCANIQUE EXPÉRIMENTALE ET APPLIQUÉE. PREMIERE PARTIE. PAR M. GUIRAUDET. PARIS, FRANCE. 221 PAGINAS. 1868
Sobre el tema del diámetro económico lo más próximo que tiene con él son los comentarios en la página 207 en relación a la mayor energía consumida a medida que es más pequeño el diámetro de la tubería de bombeo.
23.
COURS DE MÉCANIQUE APPLIQUÉE AUX CONSTRUCTIONS. DEUXIèME PARTIE. HIDRAULIQUE. PAR M. ÉDOUARD COLLIGNON. PARIS, FRANCIA. 620 PÁGINAS. 1870
En la página 217, menciona al Sr. Bresse en la solución de un problema de tubería alimentada por un reservorio con varias ramas de distribución a lo largo de la misma. De la página 218, Numeral 137, extraigo el siguiente problema completo, incluyendo el ejemplo desarrollado por Édouard Colllignon, por la enorme importancia que para mí tiene en relación con este trabajo investigativo que me he propuesto llevar a cabo sobre el origen de la Fórmula de Bresse: 58
“Nos proponemos determinar de la forma más económica posible el diámetro de una tubería de longitud L, en el cual una máquina a vapor bombea un cierto volumen de agua hasta un reservorio situado a una altura H. Llamemos f el precio promedio del caballo de vapor, que incluye el capital que representa el consumo y el mantenimiento anuales de la máquina, y f´ el precio de la unidad de longitud de tubería, incluyendo su instalación, para un diámetro igual a la unidad. Sean, además, N, el número de caballos de la máquina, y R el radio de la tubería, el gasto de instalación de la toma de agua, incrementado por el capital de explotación y mantenimiento será expresado por la suma: Entre más se reduzca el radio R de la tubería, más se aumentará la fricción del agua, y, por consiguiente, más se requerirá una máquina potente; disminuir R, es entonces aumentar N; y se concibe que existe un cierto diámetro, 2R, que corresponde al mínimo de la suma P. Sea Q el volumen de agua que debe suministrar la tubería en un segundo y u la velocidad promedio. El radio R de la tubería estará dado por la ecuación:
Adoptaremos para el movimiento la ecuación de Darcy; llamando J la pendiente de los niveles piezométricos de una extremidad a la otra de la tubería, tendremos:
y supondremos que b1 tiene un valor constante; lo que significa admitir que el diámetro del tubo sea superior a un cierto límite, de 0,30 m aproximadamente. El trabajo útil de las bombas en un segundo se compondrá de dos partes: una es el trabajo correspondiente a la elevación del agua; que es igual a ; el otro es el trabajo de fricción del agua en el tubo; hemos visto
48
que era igual por unidad de tiempo a
Es decir, aquí a: oa O finalmente a: El trabajo total que debe ser desarrollado por la máquina, si se llama m a su rendimiento, o la relación del trabajo útil al trabajo motor, será entonces igual a
48
Se refiere al numeral 129 de un problema anterior.
59
Y el número N de caballos se obtendrá dividiendo este resultado por 75. La función P se convierte después de todas estas sustituciones en:
Para encontrar el mínimo, igualamos a cero la derivada de P en relación a u, quedando así
De donde se deduce
Conociendo u, se podrá calcular R y N. La fórmula muestra que la determinación de la velocidad más conveniente no depende más que de los precios f y f´, y del rendimiento de la máquina. Supongamos por ejemplo que la máquina de vapor tenga un rendimiento de 0,60; que ella quema 4 kilogramos de carbón por hora y por caballo, y que ella debe funcionar 8 horas por día. El precio de la máquina se ha fijado en 800 francos por caballo, y el precio del carbón a 35 francos la tonelada. El gasto ligado a la máquina se puede establecer como sigue: Gasto anual por caballo. Combustible: 0,004T x 8h x 365 ¼ días x 35 Fr = 409,08 Suma a valorar para mantenimiento y reparaciones = 50,92 Total del gasto anual = 460,00 Que, capitalizado a 4,5%, representa un gasto Una vez hecho de = 10,222,22 Agregamos para el precio de adquisición de la máquina 800,00 = 11,022,22 O sea, redondeando las cifras: 11,050,00 Entonces, se tendrá f = 11050.0 El precio de los tubos a razón de 1 franco por centímetro de diámetro, da f´ = 100 francos. Por otra parte m = 0,60 ᴫ = 3,14 Π = 1000
B1 = 0,000530 De donde 60
Lo que no da aproximadamente U = 0,47 m Se calculará R por la ecuación
Ahora bien, pone en evidencia un hecho interesante: la velocidad u es independiente de Q; de tal forma que se puede expresar Llamando a θ un número, que será igual a
O finalmente al producto de por factores constantes. En la práctica f´m es siempre mucho más pequeño que f, pero la relación de
queda comprendida entre ciertos límites; las raíces sextas de de estos límites son
poco diferentes la una de la otra, de tal forma que el coeficiente θ es poco variable, a pesar de las variaciones de la velocidad u. El Sr. Bresse ha propuesto la fórmula:
Que se puede evaluar para aproximadamente en todos los casos. R está ev aluado en metros y Q en metros cúbicos por segundo.
24.
DE DIVERS APPAREILS SERVANT à ELÉVER L´EAU. DEUXIèME EDITION. PAR MM. CHAUVEAU DES ROCHES, BELIN ET VIGREUX. PARIS, FRANCE. 90 PÁGINAS. 1873
Ninguna referencia a Bresse ni al diámetro económico.
25.
TRAITÉ DE MÉCANIQUE. QUATRIèME PARTIE. DINAMIQUE. PAR M. ÉDOUARD COLLIGNON. PARIS, FRANCIA. 659 PÁGINAS. 1874
Ninguna referencia a Bresse en relación al diámetro económico. En la página 633 menciona una de las obras de Bresse en relación al movimiento vibratorio.
26.
COURS DE MÉCANIQUE ET DES MACHINES, PROFESÉE à L´ÉCOLE POLYTECHNIQUE, PAR M. EDM. BOUR. DYNAMIQUE ET HIDRAULIQUE. 402 PÁGINAS. 1874
61
En la página 360 menciona al Sr. Bresse en relación a unas tablas de doble entrada elaboradas por éste para encontrar el diámetro de una tubería capaz de conducir, bajo una carga dada, un determinado volumen de agua49, así como también presenta la Fórmula de Dupuit para este tipo de cálculos utilizando logaritmos.
27.
MANUEL DE L´INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSÉES PAR A. DEBAUVE. 16me. FASCICULE. TEXTE. TRAITÉ DES EAUX 2e. PARTIE. DISTRIBUTION D´EAU. PARIS, FRANCE. 285 PÁGINAS. 1875
Este libro tiene dos referencias a Jacques Antoine Charles Bresse y no menciona el problema de la determinación del diámetro mínimo de una tubería de bombeo. En la página 4 indica que el estudio teórico de la repartición de la velocidad en la sección de un tubo aparece en el Traité d´hidraulique50 de Bresse.Luego, en las páginas 35 y 36 presenta un desarrollo teórico para calcular el diámetro mínimo de un conjunto de tuberías de entrada y salida de un nodo de distribución de agua en la red, el cual concluye así: “en suma, el análisis precedente dad o por el Sr. Bresse en su Curso de hidráulica no es de gran ayuda en la práctica porque él conduce a fórmulas muy complicadas.”
28.
COURS DE MECHANIQUE APPLIQUÉE PROFESSÉ A L´ÉCOLE IMPERIALE DES PONTS ET CHAUSÉES. PAR M. BRESSE. HYDRAULIQUE. TROISIèME ÉDITION. PARIS, FRANCE. 622 PÁGINAS. 1879
En esta nueva edición, Bresse introduce cambios importantes sobre todo en materia del Capítulo Cuarto, del Movimiento del Agua en Canales descubiertos, relacionados a los resultados de las experiencias de Bazin y de un ingeniero belga, Boudin. Por otra parte, en relación al tema del costo mínimo, vuelve con el mismo problema de la primera y de la segunda edición sobre el cálculo del diámetro para una tubería que drena por gravedad; lo único que esta vez considera que el costo de la tubería no sea una relación directa con su diámetro, sino una función cualquiera f(D).-
49
En diferentes textos se utiliza el término “volumen de agua” en lugar de “caudal, cuando está sobreentendido que es volumen por unidad de tiempo (caudal). 50 Probablemente se refiera al Tomo 2 del Curso de Mecánica Aplicada, dedicado a la Hidráulica, publicado en 1860, pues no existe referencia de que Bresse haya escrito otro libro sobre hidráulica.
62
29.
TRAITÉ D´HYDRAULIQUE, PRÉCEDÉ D´UNE INTRODUCTION SUR LES PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE, PAR M. A. GRAËFF. TOME DEUXIèME, PARTIE PRATIQUE. PARIS, FRANCE. 539 PÁGINAS. 1883
En el numeral 180. Remanso, hace referencia al Sr. Bresse y a su método propuesto para el cálculo del remanso, como también lo hace en relación a los métodos de Dupuit, Saint Venant y Bazin.
30.
MÉCANIQUE GÉNÉRALE PAR A. FLAMANT. PARIS, FRANCE. 577 PÁGINAS. 1888
Ninguna referencia a Bresse ni al diámetro económico.
31.
COURS DE CONSTRUCTION. DOUZIèME PARTIE.- TRAITÉ D´HYDRAULIQUE, ALIMENTATION ET DISTRIBUTION D´EAU, JEAUGEAGES, ÉTABLISSEMENT DES FONTAINES PUBLICS. PAR J. OLIVE. PARIS, FRANCE. 685 PÁGINAS. 1890
Menciona al Sr. Bresse en las páginas 174 y 176 y en esta última lo hace refiriéndose a la solución de problemas de movimiento del agua en tuberías; expresa que: “Entre aquellos que han buscado relacionar los diversos elementos del problema por métodos
racionales y de fórmulas desprovistas de todo empirismo, se deben mencionar los nombres de Barré de Saint-Venant, Bresse, Boussinesq, Maurice Levy, Kleitz, a la vez ingenieros y analistas distinguidos.”
En la página 447, Numeral 368, describe el problema de “Elevación del agua por una conducción de diámetro uniforme”, con el siguiente enunciado: “ Se desea elevar 12 litros 50 de agua por una conducción de un diámetro uniforme por medio de
una bomba de vapor en un reservorio situado a 30 metros sobre el nivel del pozo de succión de la bomba y a una distancia de 1000 metros de ese pozo.” Con este enunciado explica la forma en que se ha de resolver el problema tomando en consideración la pérdida de carga en la tubería calculada con una Tabla de Mary, luego calcula los costos de la tubería y de la bomba para cada diámetro, agregando el interés y los costos de operación y mantenimiento.
32.
MÉCANIQUE APPLIQUÉE, HYDRAULIQUE PAR A. FLAMANT. PARIS, FRANCE. 721 PÁGINAS. 1891
En el Capitulo IV – Tuberías de conducción, sección 2, Problemas diversos, páginas 169/172, presenta el problema #192 – Calcul d´une conduite élevatoire (Cálculo de una conducción 63
elevadora), que por su importancia en la investigación en curso, voy a traducir y a exponer íntegramente a continuación: “ En general, el agua destinada a la distribución en las ciudades deberá ser impulsada por medio de
máquinas que serán estudiadas en otro volumen de l´Encyclopédie, y bombeada a un reservorio elevado. El cálculo del diámetro de la conducción da lugar a un comentario interesante. Designemos por p el precio del caballo de vapor de la máquina elevadora, que incluye el gasto de mantenimiento y de explotación capitalizado, y por p´ el precio de la unidad de longitud de una conducción que tiene por diámetro la unidad. Si N es la cantidad de caballos de vapor de la máquina, D el diámetro de la conducción y L su longitud, el gasto en dinero de la máquina y la conducción representará un capital .
“Sea Q el volumen de agua a elevar por segundo y H la altura de elevación. El trabajo útil de la máquina, por segundo, será ; pero por otra parte ella deberá vencer el trabajo de fricción en la tubería, lo que equivale a decir que la altura real de elevación H será aumentada por la pérdida
de carga que, por la longitud L será, según lo que acabamos de ver 51 , desarrollar por la máquina será así
⌊ ⌋
. El trabajo real a
. La cantidad N de caballos de vapor se obtendrá
dividiendo este trabajo, expresado en Kilográmetros, por el rendimiento m de la máquina y por 75.- De ahí resulta que el capital tendrá por expresión:
∏
“Si se desea escoger el diámetro de la conducción de manera que P sea un mínimo, es necesario igualar a cero la derivada
“De donde se extrae que:
, lo que da:
∏ o bien,
51
, o bien
Se refiere probablemente al Problema 89 en que demuestra que la carga necesaria para llevar un determinado Q por una tubería está expresada por: .- En el Problema 88 (página 161) ha hecho sus consideraciones para definir b 1 como un valor constante, aunque también él explica que su valor “bien podría ser una función variable o bien en función de la velocidad como fue propuesto por Prony o en función del diámetro como lo propuso Darcy” .
64
“El coeficiente de
√
√ no depende de la longitud L, ni de la altura H, ni del caudal, él no depende
más que del rendimiento m de la máquina y de los precios p y p´. La relación variable
no figura
más que por su raíz sexta, es decir que sus variaciones no tienen mucha influencia sobre el valor del coeficiente que multiplica resultará:
√
. Sea, por ejemplo, b1 = 0,0004; m = 0,75; p = 5,000 fr 52.; p´ = 100,
√
“ Si en lugar de estos valores que pueden ser considerados como promedios, se tuviera, dentro de
circunstancias excepcionales, la relación
√ √ √
, en lugar de 50, se encontraría
; y,
si al contrario, esta relación no fuera más que 25, en lugar de 50, el valor de D sería , lo que confirma bien lo que acabamos de decir en cuanto a la influencia de las variaciones de las cantidades que intervienen en la fórmula. El valor promedio de indicado por Bresse, puede entonces siempre ser adoptado.”
, que ha sido
“ Se puede destacar que la velocidad media, U, en la tubería ascensional, que es igual a
: :
por valor, de acuerdo a la expresión de arriba de
(7)
, tiene
“Lo que, con los valores precedentes de m, p y p´, da: U = 0,564. “ Y este valor promedio de la velocidad U, por las mismas razones que vienen de ser desarrolladas, puede ser considerado aproximadamente como un valor constante o aplicable a todos los casos prácticos. En todo caso, cualquiera que sea esta velocidad la más económica (7), según los valores locales de m, p y p´, ella se mantendrá la misma, si en lugar de una sola conducción uniendo la máquina con el reservorio, hubieran dos o una cantidad más grande. Ahora, en efecto, si hay n conducciones, por ejemplo, el caudal de cada una siendo Q y su diámetro D, el caudal total será nQ, pero la altura correspondiente a la pérdida de carga a agregar a H para calcular la potencia de la máquina, será siempre
∏
. La expresión del gasto total P será entonces:
52
“Este precio de 5000 fr. puede ser justificado de esta forma: adquisición de la máquina, 1.000 fr.; gastos anuales, por caballo, consumo de combustible, 4 toneladas a 30 fr., 120 fr.; mantenimiento y reparación, 30 fr.; amortización, 50 fr. Total 200 fr. Representando un capital de 4.000 fr.”
65
“y la ecuación a resolver para obtener el v alor mínimo de P será exactamente la misma que se
estableció aquí arriba. Entonces resultará siempre el mismo valor de
o de U.
“Esta circunstancia de dos o varias conducciones ascensionales, se presenta frecuentemente y en
particular cuando la ciudad que se trata de alimentar se encuentra ubicada entre la máquina elevadora y el reservorio. La velocidad la más económica es independiente del número de estas conducciones, y ella tiene un valor determinado en cada localidad por aquellos de m, p y p´. “Esta conclusión, así como las precedentes, parte del supuesto de que se hace abstracción de las
variaciones del coeficiente b1 con el diámetro y con la velocidad. Ella es bastante exacta para una primera aproximación y esta aproximación es generalmente suficiente, puesto que el diámetro a adoptar para las conducciones ascensionales no necesita ser determinado con una exactitud absoluta en función a la necesidad económica puesto que uno tiene que emplear conducciones que tengan el diámetro existente en el comercio.”
33.
MÉMOIRES DU BARON HAUSSMANN.- III GRAND TRAVAUX DE PARIS. PARIS, FRANCE. 603 PÁGINAS. 1893
Menciona a M. Dupuit, Belgrand y otros; pero no menciona a Bresse ni al cálculo del diámetro económico.
34.
LES TRAVAUX PUBLICS ET LES INGÉNIEURS DES PONTS ET CHAUSÉES DEPUIS LE XVII SIECLE. A. DEBAUVE. PARIS, FRANCE. 445 PÁGINAS. 1893
En el Capítulo VIII y último dedicado a los Ingenieros de Puentes y Calzadas, el autor incluye datos biográficos de los científicos que contribuyeron al desarrollo de la ciencia y a su aplicación en las grandes obras de Francia y en otros países; entre los ingenieros matemáticos 53 , Debauve, completamente diferente a como ha descrito los datos biográficos de los demás científicos, se refiere a Bresse con estas pocas y simples palabras en que resalta las Escuelas y no a Bresse: “Bresse, que fue también del Instituto, y de quien las lecciones en dos grandes Escuelas han formado varias generaciones de ingenieros”.
35.
ASSAINISSEMENT DES VILLES ET ÉGOUTS DE PARIS, PAR PAUL WERY. PARIS, FRANCE. 661 PÁGINAS. 1898
Ni una palabra sobre Bresse o del diámetro ecónomico.
53
Debauve clasificó a los científicos en 9 categorías, una de las cuales es la de Distribuidores de Agua, y en la 9a. categoría – ingenieros matemáticos - incluyó a todos aquellos que no habían alcanzado un lugar en las 8 precedentes.
66
36.
DISTRIBUTIONS D´EAU. PAR GEORGES DARIÉS. PARIS, FRANCE. 578 PÁGINAS. 1899
En el Capítulo VIII – Máquinas elevadoras – Bombas, página 258, aparece la sección de Cálculo de la bomba – 155. Conducción de bombeo. En este artículo, el autor indica que la velocidad debe permanecer entre 0.50 y 1.0 m/s y que, el método usual es fijarse una primera velocidad para deducir un diámetro y la pérdida de carga, luego la potencia en caballos de vapor a suministrar por la máquina; haciendo variar la velocidad unos pocos centímetros hacia abajo y hacia arriba, la comparación de los resultados conduce rápidamente al diámetro buscado. Y continúa expresando, textualmente: “ M. Flamant indica la fórmula:
“En la cual: b1 el coeficiente de Darcy (tubería vieja); ρ el peso del mero cúbico de agua; m el rendimiento mecánico de la máquina; p el precio del caballo de vapor de la máquina elavadora; p´ el precio de reventa del metro lineal de tubería en hierro fundido de un metro de diámetro, comprendida toda la instalación; Q el volumen de agua a elevar por segundo; U velocidad en m/s. “Con los datos promedios: b1 = 0,0004, m = 0,75,
p = 5000 fr.,
p´= 100 fr.
“Se obtiene: D = 1.50√Q ;
“De donde: U = 0,56 “Este valor es un mínimo; en la práctica la relación
oscila entre 1,50 y 1,75.
“ El precio aproximado de 5000 francos por caballo de vapor se justifica así: adquisición de la
maquinaria, 1.000 francos; gastos anuales por una jornada de 10 horas, consumo de carbón, 4 tons a 30 francos, o sea, 120 francos; mantenimiento, 30 francos; amortización, 50 francos. Total, 200 francos, que representa un capital de 4.000 francos. Continúa con un ejemplo del cálculo de la tubería de bombeo de las aguas de Pithivieres, de 3200 metros de longitud, que ha sido calculada para un volumen diario de 500 metros cúbicos de agua u 11,5 l/s, con una pendiente de 0,002 m por metro. El ábaco (fig.78) indica para estos datos: 67
D = 0,192
U = 0,48;
“ Que es el diámetro que ha escogido M. Debauve, a quien le confiaron el proyecto de servicio de
agua.” “ La Fórmula de M. Flamant da solamente:”
37.
HYDRAULIQUE PAR A. FLAMANT. SECONDE ÉDITION, CONSIDÉRABLEMENT AUGMENTÉE. PARIS, FRANCE. 707 PÁGINAS. 1900
En esta Segunda Edición, en las páginas 169/171 del Capítulo IV – Tuberías de conducción – se presenta el mismo problema incluido en la Primera Edición de 1891 correspondiente al Cálculo de una conducción elevadora, esta vez designado como No.95.
38.
FORMULES, TABLES ET RENSEIGNEMENTS TECHNIQUES. AIDE MÉMOIRE DES INGÉNIEURS, DES ARCHITECTES, ETC. ONZIEME ÉDITION ENTIÉREMENT REFONDUE.- J. CLAUDEL. TOME PREMIER. REVUE ET CORRIGÉE PAR DE NOMBREUX COLLABORATEURS SOUS LA DIRECTION DE GEORGE DARIÉS. PARIS, FRANCE. 1186 PÁGINAS. 1907
En esta edición ya no se presenta el problema de la selección del diámetro económico de tuberías de bombeo de la forma en que fue presentado hasta la Edición Sexta (1864)54, sino que ahora se presenta teniendo en cuenta la publicación de Flamant en 1981, después del cambio dado por los resultados de los experimentos de Darcy. En las páginas 296/297 presenta el problema 46. Conducciones de bombeo. Expresa que a través del análisis se demuestra que el diámetro que da un mínimo de los gastos de instalación de la máquina elevadora y de la conducción es la raíz de la ecuación55:
√
(2)
54
No se tuvo acceso a todas las ediciones de esta manual, por lo cual no se puede asegurar en cuál de las ediciones es que se da el cambio al enunciado y solución del problema. 55 Se observa que es la misma expresión de A. Flamant (1891) con la diferencia de que el peso específico del agua lo representa por la letra (peso de un metro cúbico de agua mientras que Flamant lo representa por la letra ∏. -
68
Luego de expresar los mismos valores de Flamant sobre las variables m, p y p´, explica que “Después de algunos años el valor de p´ ha bajado sensiblemente; actualmente en París p´ = 90 francos; en provincia, se puede tener p´ = 75 francos. La ecuación (2) combinada con aquella del caudal:
,
Da para la velocidad:
,
Y con los datos de arriba:
Y finaliza diciendo que : “Será de buenas condiciones prácticas fijar el diámetro de acuerdo al caudal y para la condición de que la velocidad se aproxime a 0,60 metros por segundo”.
39.
COURS D´HYDRAULIQUE, PAR J. GRIALOU. PARIS, FRANCE. 554 PÁGINAS. 1916
Capítulo VI – Tuberías de conducción. Problema 41. Conducciones de bombeo. Págs. 129/132. El autor explica el concepto de tuberías de bombeo 56, así como las relaciones proporcionales o inversamente proporcionales entre el diámetro, la velocidad, la pérdida de carga y los costos de inversión y de operación y mantenimiento, lo cual conlleva a buscar un diámetro que minimice la suma de los costos, con tal de que la velocidad se mantenga entre 0,5 y 1,0 metros por segundo. El afirma que el costo la tubería es proporcional a su diámetro, siendo de 1 fr a 0,80 fr por centímetro de diámetro y por metro de longitud. Una vez definida la ecuación de costos totales y habiendo efectuado la primera derivada para obtener el costo mínimo, observa que:”La ecuación del mínimum no encierra ni H, ni L; la solución es, por lo tanto, independiente de la altura de elevación y de la longitud de la conducción.” El desarrollo matemático lo lleva hasta el punto de demostrar que:
En promedio, se puede establecer: B1 =
= 0,0004
√ p = 4000 fr K = 100,
56
Conduites de refoulement.
69
