Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencias. Depto. de Matem´atica y Ciencias de la Computaci´on.
Fundamentos y Deducci´on de F´ormula de Manning
Alumno: V´ıctor Calder´on Maldonado ´ Profesor: Alvaro San Mart´ın
1.
Fundamentos de la F´ ormula de Manning
La formula de Manning, tambi´en llamada de Manning-Gauckler es una f´ormula determinar el flujo de canal abierto, o por una superficie libre impulsado por la gravedad, determinada de forma emp´ırica, es decir, es una expresi´on matem´atica que sintetiza, por medio de regresiones, correlaciones u otro medio num´erico, una serie resultados observados en diversos ensayos, sin que sea necesario para ello disponer de una teor´ıa que la sustente. Esta se present´o por primera vez por el ingeniero franc´es Philippe Gauckler en 1867 y luego fue re-elaborada por el ingeniero irland´es Robert Manning en 1890. El coeficiente principal para esta f´ormula es el coeficiente de rugosidad de Manning, ´este depende de muchos factores como la rugosidad superficial y la sinuosidad. Para determinar este coeficiente se debe hacer un estudio de la superficie que esta en contacto con el flujo, si esto no es posible, se debe recurrir a fotografias de r´ıos donde n se ha determinado mediante la f´ormula de Manning. Finalmente, esta f´ormula depende de el coeficiente de rugosidad de Manning, de la pendiente de la l´ınea de agua o gradiente hidr´aulico y del radio hidr´aulico. El radio hidr´aulico no es la mitad del di´ametro hidr´aulico como el nombre puede sugerir. Es una funci´on de la forma de la tuber´ıa, canal o r´ıo en el que el agua est´a fluyendo.
Figura 1: Ejemplos de secciones de canales regulares
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2.
Deducci´ on de la F´ ormula de Manning
Para comenzar con la deducci´on de la Ecuaci´on o f´ormula de Manning, primero debemos conocer algunas relaciones. la primera es la ecuaci´on de Darcy-Weisbach, ´esta describe p´erdidas de cabeza debidas a la fricci´on en paredes. En mec´anica de fluidos, la p´ erdida de cabeza o p´ erdidas por fricci´ on hf a lo largo de una longitud L de una tuber´ıa de di´ametro D, para un flujo con velocidad V , est´a dada por la ecuaci´on de Darcy-Weisbach. hf = f
L V2 D 2g
(1)
donde f es el factor de fricci´on de Darcy-weisbach y g es la aceleraci´on de gravedad. Usando la definici´on de la pendiente de fricci´ on, pendiente de la l´ınea de agua o gradiente hidr´ aulico (m/m)., Sf = hf /L y reemplazando, podemos despejar V . Nos queda: √ 2g V = DSf (2) f El radio Hidr´aulico R de una tuber´ıa circular es, 2
πD A D R= = 4 = P πD 4
(3)
Luego, el di´ametro de la tuber´ıa D puede reemplazarse en (2) por D = 4R
(4)
para llegar a la ecuaci´on de Darcy-Weisbach de la forma: √ 8g V = (5) RSf f √ Ahora, Tomando la expresi´on C = 8g , definiendola como el coeficiente de Chezy y f utilizandolo en la ecuaci´on (5), ´esta se reescribe como √ (6) V = C RSf que es la ecuaci´on de Chezy para el flujo en canales abiertos. La ecuaci´on de Manning 1/6 se deriva de la ecuaci´on de Chezy haciendo C = Rn , donde n es el Coeficiente de rugosidad de Manning. Luego nos queda: 1/2
R2/3 Sf V = n
1/2
= 1/n × R2/3 × Sf 3
(7)
La ecuaci´on de Manning (7) es v´alida en unidades SI, con R en metros y V en metros por segundo (Sf es adimensional por ser una pendiente). Para V en pies por segundo y R en pies, la ecuaci´on de Manning se reescribe como V =
1,49 1/2 × R2/3 × Sf n
(8)
[1,49 = (3,281)1/3 y 3.281 pies = 1 m]. y sabiendo que el caudal Q puede ser expresado como Q=A·V
(9)
Podemos expresar las ecuaciones (7) y (8) de la forma: 1/2
Q = A × 1/n × R2/3 × Sf 1,49 1/2 Q = A× × R2/3 × Sf n entonces tenemos una expresi´on para calcular el caudal.
(10) (11)
Comparando las ecuaciones (5) y (7), el n de Manning puede expresarse en t´erminos del factor de fricci´on de Darcy-Weisbach, f , como sigue: √ f 1/6 R (12) n= 8g con todos los valores en unidades del SI. La ecuaci´on de Manning es v´alida para flujo completamente turbulento, para el cual es factor de fricc´on de Darcy-Weisbach f es independiente del n´ umero de Reynolds Re. Henderson sugiere el siguiente criterio para flujo completamente turbulento: √ n6 RSf ≥ 1,9 × 10−13 con R en pies (13) o n6
√
RSf ≥ 1,1 × 10−13
con R en metros
(14)
Finalmente, podemos ver que para la deducci´on de la F´ormula de Manning es fundamental conocer: a. La ecuaci´on (1) de Darcy-Weisbach, que corresponde a la p´erdida por fricci´on. b. La definici´on de la pendiente de la l´ınea de agua o gradiente hidr´aulico. c. El radio hidr´aulico de una tuber´ıa circular (3). d. El coeficiente de Chezy. e. Expresion para describir el caudal que atraviesa una secci´on transversal. 4
