Ecuaciones Algebraicas

a i u q o i t n A e d d a d i s r e v i n U Ecuaciones e inecuaciones

Instituto de Matemáticas aticas * Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Unviersidad de Anquioquia Medell´ Medell´ın, 24 de julio de 2011

1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

Desde hace más a s de 3000 años nos se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones. El Papiro de Ahmes por ejemplo (figura 1), es un documento egipcio escrito por el escriba Aahmes aproximadamente en 1650 a. C. y recopila una colección on de 87 problemas matem´ aticos aticos con temas referentes a cuestiones de aritmética etica b´ asica, asica, fracciones, cálculo alculo de areas áreas y volúmenes, umenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometr´ trigonometr´ıa básica. asica. En los escritos de los antiguos babilonios, se han descifrado problemas que conducen a ecuaciones y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y goemétrico. etrico. Los problemas algebraicos se enuncian en términos erminos geométricos, etrico s, pero per o las la s soluciones solu ciones no utilizan u tilizan nociones nocio nes de d e la geometr geomet r´ıa. Algunas culturas antiguas estudiaron la solución on de problemas que surg´ surg´ıan en sus transacciones comerciales. Sin embargo, los siguientes avances importantes se dieron en la Grecia clásica.

2.

Figura 1

Conceptos b´ asicos asicos

Un problema registrado en una antigua tablilla babilónica onica dice:

“Un anciano dej´ o al morir 65 monedas de oro, que deb´ deb´ıan ıan repartirse repartirse entre sus su s 5 hijos de modo que cada uno recibiera 3 monedas menos que el hermano que le antecede.”

Problemas como estos los podemos enunciar matemáticamente aticamente por medio de variables que representan las inc´ ognitas del problema y que pueden ser combinadas para formar expresiones algebraicas que podemos relacionar a través es de ecuaciones . Las ecuaciones que consideraremos en esta sección on son ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas . En matemáticas aticas existen otro tipo de ecuaciones que no tratar tra taremo emoss aqu´ı. ı.

Definici´ on on 2.1 Una ecuaci´ on es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que involucra una o varias cantidades desconocidas, llamadas inc´ ognitas. A un valor de la inc´ ognita que verifique la igualdad le llamaremos soluci´ on. on o ra´ız de la ecuaci´ Ejemplo 2.1 *

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1

2

a i u q o i t     n A e d d a d i s r e v i n U

Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

1. En la ecuación

2y

− 3 = 6,

(1)

y representa la incógnita y la igualdad se verifica para y = y=

9 2

⇒

2y

9 2

porque

− 3 = 2 · 92 − 3 = 9 − 3 = 6

Por otra parte, y = 1 no verifica la igualdad y por tanto no es solución porque y=1

⇒

2y

− 4 = 2 · 1 − 3 = −1 = 6

2. La ecuación

x2

√ √ se verifica para x = 2 y x = − 2 porque x=

√

2

√

2

⇒

−2 = 0

(2)

2

−2= 0

y

x=

−

√

2

⇒ −

√

2

2

−2 = 0

3. La ecuación

z2 + 4 = 0

se verifica para z = 2i y z = z = 2i

−2i porque ⇒ z +4 = (2i) +4 = −4+4 = 0

(3)

2

2

y

z=

−2i ⇒

z 2 +4 = ( 2i)2 +4 =

−

−4+4 = 0

4. La ecuación

2x

− 3y = 4

(4)

se verifica para x = 2, y = 0 y también para x = 1, y = 23 .

Observaci´ on 2.1 La ecuaci´ on (1) posee soluciones en Q y no posee soluciones enteras. La ecuaci´ on (2) tiene dos soluciones irracionales (no posee soluciones en Q). La ecuaci´ on (3) no tiene soluciones en R, sus soluciones son complejas. Finalmente, la ecuaci´ on (4) es una ecuaci´ on en dos variables y posee infinitas soluciones. Las ecuaciones presentadas en los ejemplos anteriores se denominan ecuaciones polin´ omicas porque las expresiones algebraicas que las componen son polinomios. Como ejemplos de ecuaciones algebráicas que no son polin´ omicas podemos citar los siguientes: 1.

√ x − 3x = 1

2.

2 + yx = y

−2

3.

2x + 5 x2 3

− − 3x = 1

Las ecuaciones polinómicas se clasifican de acuerdo al grado del polinomio que la forman, como lineales, cuadráticas, c´ ubicas, etc. La pregunta que surge ahora es: ¿C´ omo hallar las soluciones de ecuaciones como las presentadas en el ejemplo (2.1)? Definici´ on 2.2 Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas ra´ıces o soluciones.

Por ejemplo, las ecuaciones x2 x = 6 y 2x2 2x = 12 son equivalentes, ya que ambas tienen las mismas soluciones: x = 3 y x = 2 (verificar). Una ecuación “dif´ıcil de resolver” la podemos convertir en una “fácil de resolver”por medio de la serie de pasos explicados en el siguiente teorema.

− −

−

Teorema 2.1 (Ecuaciones equivalentes) .

1. Si cualquier expresi´ on de una ecuaci´ on se sustituye por una expresi´ on igual, la ecuaci´ on obtenida es equivalente a la original.

a i u q   o i t n A e d d a d i s r e v i n U

3


2. Si a los dos miembros de una ecuaci´ on, se les suma o se les resta una expresi´ on igual, la ecuaci´ on obtenida es equivalente a la original. 3. Si los dos miembros de una ecuaci´ on se multiplican o dividen por una cantidad distina de cero, la ecuaci´ on resultante es equivalente a la original. Ejemplo 2.2 Las ecuaciones (5) y (9) son equivalentes.

x x 1 + =4 2 3 x x 1 6 + =6 4 2 3 x x 1 6 +6 =6 4 2 3 3x + 2 (x 1) = 24

− −

·

(5)

(6)

·

· − · · − 5x − 2 = 24

·

(7) (8)

(9)

De la ecuación (5) a la (6) utilizamos la parte (3) del teorema (2.1); para el resto de pasos utilizamos la parte (1). Otra propiedad importante ya vista de los n´ umeros reales que nos permitirá resolver ecuaciones es la siguiente Teorema 2.2 Para todo par de variables P y Q, PQ = 0

3.

⇐⇒

P = 0 ´ o Q=0

Ecuaci´ on lineal

Definici´ on 3.1 La ecuaci´ on

ax + b = 0,

a=0



(10)

se llama ecuaci´ on lineal o ecuaci´ on de primer grado en la variable x.

Es importante resaltar que la ecuación (10) tiene s´ olo una solución y está dada por x = Ejemplo 3.1 Resuelva la ecuaci´ on 5x + 3 = Soluci´ on

5x + 3 = 5x = 4x =

−25 + x −28 + x −28 x = −7

4.

−

b a

.

−25 + x.

ecuación original sumamos 3 a ambos lados sumamos x a ambos lados

− −

dividimos entre 4 a ambos lados

Ecuaci´ on cuadr´ atica

Definici´ on 4.1 La ecuaci´ on

ax2 + bx + c = 0,

a=0



(11)

donde a,b,c son n´ umeros reales, se llama ecuaci´ on cuadr´ atica o ecuaci´ on de segundo grado en la variable x. Es importante mencionar que la ecuación cuadrática (25), a diferencia de la ecuación lineal (10), puede tener hasta dos soluciones y a continuación mostraremos como hallarlas.

4

a i u q o i t n A e d d a d i s r e v i n U


4.1.

Soluci´ on por factorizaci´ on

Este método lo podemos aplicar a ecuaciones polinómicas (no s´ olo cuadráticas) para las cuales el polinomio que las forma es posible factorizarlo y se basa en el teorema (2.2). Ejemplo 4.1 Resuelva la ecuaci´ on cuadr´ atica x2 = 11x Soluci´ on

x2 = 11x

x2 (x

por lo cual

(x

− 11x + 30 = 0 − 6)(x − 5) = 0

− 6)(x − 5) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒

− 30. − 30

(12) (13) (14)

x 6 = 0 o´ x x = 6 o´ x = 5

−

−5=0

(15) (16)

La ecuaci´ on tiene entonces dos soluciónes: x = 6 y x = 5 (verificar). Del paso (13) al (14) factorizamos el polinomio; el paso (15) es por la propiedad de los números reales que te presentamos en el teorema (2.2). Observaci´ on 4.1 El proceso de factorizaci´ on que realizamos en el paso (14), lo podemos expresar en general como x2 + bx + c = (x + r1 )(x + r2 ) (17) donde r1 y r2 son dos n´ umeros enteros tales que r1 + r1 = b y r1 r1 = c (¿por qu´ e?).

·

4.2.

Soluci´ on por completaci´ on de cuadrados

Este método aparece registrado en una antiguo pergamino babilonio; actualmente se le conoce como método de “completación de cuadrados” y lo aplicamos cuando el polinomio que forma la ecuación no lo podemos factorizar. El método consiste en sumarle a ambos lados de la ecuación x2 + bx + c = 0

la cantidad (b/2)2 , esto hace que el polinomio resultante se pueda factorizar y as´ı podemos aplicar el método de factorización (4.1) como mostraremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.2 Utilice el método de completaci´ on de cuadrados para resolver x2 Soluci´ on Observemos que no existen dos enteros r1 y r2 tales que r1 + r1 = el método de factorización no nos sirve. En este caso b = 4 y:

−

−4 y r · r

x2

− 4x − 1 = 0 x − 4x = 1 − 4x + (−2) = 1 + (−2) x − 4x + 4 = 5 (x − 2) = 5 √ x−2 =± 5 √ x =2 ± 5 2

2

1

1

= 1 y por tanto (18)

2

x2

− 4x − 1 = 0.

(19)

sumamos (b/2)2

2

2

Las soluciones de la ecuación vienen dadas entonces por x = 2 +

(20) (21)

(22)

(23) (24)

√ 5 y x = 2 − √ 5 (verificar).

Observaci´ on 4.2 En el paso (19) aislamos las variables a la izquierda del “igual” y en el paso (20) sumamos la cantidad que hace que la expresi´ on del lado izquierdo se convierta en un cuadrado perfecto.

a i u q o i t n A   e   d     d   a d   i s  r e v i n U

5


La cantidad a sumar (b/2)2 se aplica a la ecuación x2 + bx + c = 0. ¿Qué ocurre con el caso general ax2 + bx + c = 0 con a = 1?



Actividad 4.1 Resuelva la ecuaci´ on 3z 2 + z

4.3.

−

1 2

= 0.

F´ ormula general

La ecuaci´ on cuadrática

ax2 + bx + c = 0 ,

a=0

(25)



admite tres posibles tipos de soluciones (o ra´ıces): dos n´ umeros reales diferentes; un número real doble, o dos números complejos conjugados, dependiendo de que su discriminante ∆ = b2

− 4ac

sea positivo, cero o negativo respectivamente. A continuación utilizamos el método de “completación de cuadrados” para encontrar las soluciones de ( 25). En el caso a = 0, (25) se reduce a la ecuación lineal (10). Si a = 0, dividimos entonces ambos lados de (25) entre a



b c x2 + x + = 0 , a a pasamos a restar el término independiente

b c x2 + x = a a y sumamos a ambos lados de la última igualdad la mitad del coeficiente que acompa˜ na a x elevado al cuadrado (“completamos el cuadrado”):

−

b x + x+ a

2

b 2a

2

=

−

c + a

2

b 2a

(26)

El lado izquierdo de (26) es un cuadrado perfecto, b x + x+ a

2

b 2a

2

=

b x+ 2a

=

−4ac + b

2

(27)

y para el lado derecho de (26) tenemos

−

c + a

b 2a

2

2

=

− ac + 4ab

2

2

4a

2

=

b2

− 4ac

4a2

(28)

Al igualar (27) y (28) obtenemos

b 2a

x+

luego

b x+ = 2a

y por tanto

b2

2

=

b2

− 4ac

4a2

− 4ac = ± √ b − 4ac 2

± 4a 2a √ b − 4ac −b ± √ b − 4ac b x=− ± = 2a 2a 2a 2

2

2

Teorema 4.1 Las soluciones de la ecuaci´ on cuadr´ atica

ax2 + bx + c = 0

(29)

con a = 0 est´ an dadas por



√ − b + b − 4ac x= 2

2a

√ − b − b − 4ac x= 2

y

y van a depender del signo del discrimante ∆ = b2

2a

− 4ac:

(30)

6



Si ∆ = b2 Si ∆ = b2 Si ∆ = b2

− 4ac > 0, la ecuaci´ on tiene dos soluciones reales y distintas. − 4ac = 0, la ecuaci´ on tiene s´ olo una soluci´ on que es real. − 4ac < 0, la ecuaci´ on tiene dos soluciones complejas.

Ejemplo 4.3 Resuelva la ecuaci´ on

x+1 x 2 = 3x + 2 2x 3

− −

Soluci´ on

x+1 x 2 = 3x + 2 2x 3 (x + 1)(2x 3) = (x 2)(3x + 2)

− − − − 2x − x − 3 = 3x − 4x − 4 x − 3x − 1 = 0 2

2

ecuación original

pasamos a multiplicar los denominadores

2

desarrollamos los productos

pasamos todo al lado izquierdo

Al aplicar (30) a la u ´ ltima ecuación con a = 1, b = x=

3+

√ 13

2

−3 y c = −1 obtenemos las soluciones √ 3 − 13 x= .

y

2

Finalizamos esta sección con un teorema que establece la relación que existe entre los coeficientes a, b y c de la ecuación (29) y las ra´ıces (soluciones) de la misma. Teorema 4.2 Si r1 y r2 son las ra´ıces de la ecuaci´ on cuadr´ atica ax2 + bx + c = 0,

entonces

r1 + r2 =

5.

− ab

y

a = 0,

(31)



r1 r2 =

·

c a

(32)

Soluci´ on de problemas

Las siguientes son algunas recomendaciones para la solución de problemas.

1. Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o inc´ ognita). 2. Relacione los datos conocidos con la incógnita a través de una ecuación. 3. Resuelva la ecuaci´ on y compruebe las soluciones obtenidas.

5.1.

Problemas que conducen a ecuaciones lineales

Ejemplo 5.1 Dos ciudades A y B est´ an separadas entre s´ı 9 Km. Dos autos parten en el mismo instante de cada una de las ciudades y van uno hacia el otro. El que sale de A va a 9 Km/h y el de B a 5 Km/h. Determine la distancia recorrida por el que sali´ o de A hasta el punto P en el que se encuentran. Soluci´ on

1. Identificamos los datos e inc´ ognitas del problema:


7


V A : Velocidad (Km/h) del auto que sale de A. V B : Velocidad (Km/h) del auto que sale de B.

x : Distancia (Km) recorrida por el auto que sale de A hasta que se encuentran.

2. Relacionamos los datos e incógnitas del problema: Distancia (Km) de A a P = x Distancia (Km) de B a P = 9 distancia recorrida Tiempo = velocidad

9 Km

−x

A

x

9- x

P

3. Planteamos la ecuaci´ on y la resolvemos:

Tiempo empleado de A a P = Tiempo empleado de B a P x 9 x = V A V B x 9 x = 9 5 5x = 9(9 x)

− − − 5x = 81 − 9x

14x = 81 81 x= 14

Por tanto, la distancia recorrida por los autos hasta el punto de encuentro es de x = Km.

5.2.

81 14

≈ 5.7857

Problemas que conducen a ecuaciones cuadr´ aticas

Ejemplo 5.2 Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3 cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60 cm 3? Soluci´ on

1. Identificamos los datos e inc´ ognitas del problema:

Ancho = L cm Largo = 2L cm Cortes = 3 cm

2. Relacionamos los datos y las incógnitas a través de una ecuación:

B

8



Volumen de la caja = base

× altura

3. Relacionamos los datos y las incógnitas a través de una ecuación: 3(2L

− 6)(L − 6) = 60 L − 9L + 8 = 0 (L − 8)(L − 1) = 0 2

y entonces L = 8 ó L = 1. Con L = 1 no es posible construir una caja con las dimensiones pedidas, mientras que con L = 8 s´ı. La soluci´ on es por tanto L = 8.

6.

Desigualdades

Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones no son necesariamente iguales. Como ejemplos podemos citar x < 2, a b + c, 3x2 x + 5 > 0, etc. Al sustituir las variables de una desigualdad por números podemos obtener expresiones verdaderas o falsas. Por ejemplo, al sustituir x = 2 en 4x 1 > 0 obtenemos la proposición verdadera 7 > 0, mientras que al sustituir x = 0 obtenemos la proposición falsa 1 > 0. Si al sustituir un n´ umero en una desigualdad obtenemos una proposición verdadera, se dice que dicho n´ umero es una soluci´ on de la desigualdad. Resolver una desigualdad signfica encontrar todas sus soluciones. Algunas desigualdades no poseen soluciones, por ejemplo x2 < 0 no posee soluciones reales porque todo n´ umero real al cuadrado es mayor o igual a cero. Otras desigualdades como 1 < x < 3 poseen infinitas soluciones, a saber, todo número real x entre 1 y 3. Al conjunto formado por todas las soluciones de esta desigualdad lo denotamos por ( 1, 3) y se le denomina intervalo abierto. Si a y b son n´ umeros reales tales que a < b, los siguientes son otros posibles tipos de intervalos:

≤

−

−

−

−

−

(a, b) = x

{ ∈ R : a < x < b}. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. (a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.

−

[a,

∞) = {x ∈ R : x ≥ a}. (−∞, b) = {x ∈ R :< x < b}. (−∞, b] = {x ∈ R :< x ≤ b}. (−∞, ∞) = {x : −∞ < x < ∞}.

Las siguientes propiedades nos ayudarán a resolver desigualdades.

Proposici´ on 6.1 (Propiedades de las desigualdades) Para todo a,b,c siguientes propiedades. a2

≥ 0.

a
⇒

a + c > a + b.

c > 0 y a < b =

ac < bc.

c < 0 y a < b

ac > bc.

⇒ =⇒

a>0 =

1 > 0. a

a<0 =

1 < 0. a

⇒ ⇒

∈ R se satisfacen las

a i u q o i t n A e d d  a d i s r e v   i   n U

9


Ejemplo 6.1 Resuelva la desigualdad

x2

− x−6 ≥ 0. 1−x

Solución: Factorizamos el numerador y aplicamos la ley de los signos a (x + 2)(x 3) (1 x)

− ≥ 0. −

La imagen presentada a continuación muestra como cambian los signos para cada una de las expresiones que componen la fracción.

La solución est´ a dada por el conjunto

(

−∞, −2] ∩ (1, 3]

Recordemos que el valor absoluto de un número real x está dado por

|x| = −xx

si x 0 si x < 0

≥

Las siguientes propiedades relacionan el valor absoluto con las desigualdades. Proposici´ on 6.2 (Desigualdades con valor absoluto)

|x| ≤ a ⇐⇒ −a < x < a |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ó x ≥ a

Estas propiedades nos permiten resolver el siguiente tipo de desigualdades con valor absoluto. Ejemplo 6.2 Encuentre los valores de x que satisfacen x+4 <2 x 2

−

Solución: La primera propiedad de la proposición (6.2) nos permite escribir (33) como

−2 < xx +− 42 < 2

(33)

10



que equivale a

−2 < xx +− 42

x+4 <2 x 2

y

−

y resolvemos cada una de estas desigualdades con el método gráfico mostrado en el ejemplo anterior. La solución total será la intersecci´ on de las soluciones de cada una de las desigualdades. Para la primera desigualdad tenemos 0 < 2+

x+4 x 2

−

=

⇒

0<

3x

x

−2

Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la fracción se muestran a continuación

y el conjunto solución est´ a dado por

S 1 = (

−∞, 0) ∪ (2, +∞)

(34)

Para la segunda desigualdad tenemos x+4 x 2

− −2<0

=

⇒

8 x

−x < 0 −2

Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la fracción se muestran a continuación

y el conjunto solución est´ a dado por

S 2 = (

−∞, 2) ∪ (8, +∞)

La solución de (33) est´ a dada por la intersecci´ on de las soluciones (34) y (35) S = S 1

∩ S

2

=(

−∞, 0) ∩ (8, +∞)

(35)

a i u q o i t n A e d d a d i s r e v i  n U

11


7. 7.1.

Curiosidades

La sucesi´ on de Fibonacci

En el a˜ no 1202 el matem´ atico italiano Leonardo de Pisa, tambi´ en llamado Fibonacci, incluy´ o en su libro Liber Abaci el siguiente problema: “Imaginemos una pareja de conejos, macho y hembra, encerrados en un campo donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de vida, engendrando siempre un ´ unico par macho-hembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par m´ as de iguales caracter´ısticas. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cu´ antos pares contendr´ıa el cercado al cabo de un a˜ no?” La figura 2 nos puede ayudar a comprender el problema. Observemos que en el primer y segundo mes sólo habrá una (1) pareja de conejos. Al finalizar el segundo mes, la hembra tendr´ıa su primer parto y por tanto para el tercer mes ya habr´ıan dos (2) parejas de cone jos. Para el cuarto mes, los padres tendr´ıan otra pareja y los hijos todav´ıa no, por lo que ser´ıan tres (3) las parejas. En el quinto mes se producir´ıa el primer parto de los hijos y otro más de los padres, con lo que las parejas que correteaban por el campo ya serán cinco (5). De esta manera podemos seguir el proceso para ir calculando los conejitos durante los meses siguientes. La sucesión de parejas de conejos que se genera de esta manera está dada por 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

(36)

Figura 2: Parejas de conejos

y se le denomina sucesi´ on de Fibonacci . Esta sucesión se caracteriza porque cada término de la sucesi´ on es suma de los dos anteriores. Por ejemplo: 3 = 1 + 2, 13 = 5 + 8, etc. Si denotamos por xn al término n-ésimo de la sucesión, entonces x0 = 1,

x1 = 1,

xn+2 = xn+1 + xn

para n = 3, 4, . . .

(37)

La sucesión de Fibonacci es recurrente , es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término espec´ıfico. ¿Cómo calcular el término n-ésimo de la sucesión sin calcuar los anteriores? En particular, ¿cómo calcular por ejemplo el número de parejas de conejos en el mes 5432 sin calcular las parejas de los meses anteriores? Para responder a esta pregunta empezamos asumiendo que el término n-ésimo de la sucesión es posible escribirlo como xn = rn donde r R. Al sustituirlo en (37), obtenemos la ecuación xn = rn

luego

r2

∈ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒

xn+2 = xn+1 + xn rn+2 = rn+1 + rn

rn r2 = rn (r + 1)

·

·

r2 = r + 1

√ (−1) ± (−1) − 4 · 1 · (−1) − 1± 5 =⇒ r = = 2 2 2

−r−1= 0

Obtenemos entonces dos valores para r y la expresi´ on para xn va a estar dada por una combinaci´ on de ambas ra´ıces de la siguiente manera: xn = c1r1n + c2 r2n .

(38)

12



√ − √ √ − − √

Los valores de las constantes c1 y c2 son respectivamente 1/ 5 y 1/ 5 y la expresión final para xn es n n 1 1+ 5 1 1 5 xn = (39) 2 2 5 5

√



√







√

1+ 5 El n´ umero se denomina n´ umero ´ aureo y se denota por ϕ. Si tomamos términos suce2 sivos de la sucesión de Fibonacci y formamos los cocientes: 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, . . . , 34/21, 89/55, . . . entonces es posible mostrar que xn+1 xn

√

1+ 5 se aproxima a ϕ = 2

cuando n se hace “grande”.

(40)

Tambi´ en podemos construir una serie de cuadrados cuyos lados tengan como longitud los primeros términos de la sucesión de Fibonacci y encajarlos como se muestra en la figura (a). Si trazamos arcos que conecten los extremos opuestos de estos cuadrados como se muestra en la figura (a), obtenemos una curva llamada espiral ´ aurea , presente en el diseño de las conchas de los caracoles y también en la disposición de los pétalos de ciertas flores.

(a) Espiral a úrea

(b) Concha de caracol

Ecuaciones Algebraicas

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