Estructuras algebraicas

MATEM\u00c1TICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ S.

CAPITULO 5 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 5.1 Ley de composici\u00f3n interna

Definici\u00f3n. Sea E un conjunto, \ue002 se llama \u201cley de composici\u00f3n interna a \ue002 b \ue005 c \ue014 E , \ue000 a,b \ue014 E

Observaci\u00f3n. 1) \ue002 tambi\u00e9n se llama \u201coperaci\u00f3n binaria interna 2) Podemos decir que el conjunto E est\u00e1 cerrado para \ue002 \ uEe\ue00b 0E0\ue008 2en :E es funci\u00f3n 3) \ue002 es ley de composici\u00f3n interna E si y s\u00f3lo si Ejemplos. 1) La adici\u00f3n es ley de composici\u00f3n interna en N,Z ,Q, R \ue002 2) \ue002 definidaZ en por aa \ue004 b \ue005 b \ue003 ab es ley de composici\u00f3n Z interna en \ue012 / entonces, la operaci\u00f3n 3) Si A es un conjunto y \ue000 P (A) \ue005 X X \ue013 A\ue001 definida P en ( A) es ley de composici\u00f3n P ( A)interna en Proposici\u00f3n. Sea \ue002 ley de composici\u00f3n interna en y , entonces: E a,b \ue E014 a) a \ue005 b \ue01b a \ue002 c \ue005 b \ue002 c \ue000 c \ue014 E b) a \ue005 b \ue01b c \ue002 a \ue005 c \ue002 b \ue000 c \ue014 E Demostraci\u00f3n. \ue002 \ue002 a) a \ue005 (a,c) \ue005 (b,c) \ue01b (a,b) \ue005 (b,c) es decir b \ue01b a \ue002 c \ue005 b \ue002 c b) An\u00e1logo 5.1.1 Asociatividad

Definici\u00f3n. Sea\ue002 ley de composici\u00f3n E interna en \ue002 si a \ue002 (b \ue002 c) (a \ue002 b)\ue005 c \ue000 a,b,c \ue014 E

, decimos que \ue002 es asocia

Ejemplos. 1) La adici\u00f3n en Z es asociativa Z , Q ,\ue00een 2) La multiplicaci\u00f3n esN,asociativa \ue005 definida en \ue00e a \ue002 bpor: a \ue003 b \ue003 3) \ue002 2ab es asociativa ya que: ) a \ue002 c) \ue005 a \ue002 c \ue003 (b \ue002 (b \ue003 2bc \ue005 a \ue003 c \ue003 c \ue003 (b \ue003 2bc) \ue003 2a(b \ue003 2bc) \ue005 a \ue003 b \ue003 c \ue003 2bc \ue003 2ab \ue003 2ac \ue003 4abc Por otro lado b) \ue002 c \ue005 b \ue003 c (a \ue002 (a \ue003 2ab) \ue002 \ue005 b \ue003 c \ue003 b \ue003 (a \ue003 2ab) \ue003 2(a \ue003 2ab)c \ue005 a \ue003 b \ue003 c \ue003 2ab \ue003 2ac \ue003 2bc \ue003 4abc c) \ue005 b) \ue002 c entonces \ue002 es asociativa Comoa \ue002 (b \ue002 (a \ue002 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEM\u00c1TICA Y C.C. .

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4) \ue002 definida en \ue00e por: 2b no es asociativa ya que, por ejemplo, a \ue002 b \ue005 a \ue003 2\ue002 (5\ue002 3) \ue005 2\ue002 (5\ue003 2\ue016 3) \ue005 2\ue002 (5\ue003 6) \ue005 2\ue002 11\ue005 2\ue003 2\ue016 11\ue005 24no es igual a (2\ue002 5) \ue002 3\ue005 (2\ue003 2\ue016 5) \ue002 3\ue005 (2\ue003 10) \ue002 3\ue005 12\ue002 3\ue005 12\ue003 2\ue016 3\ue005 18 \ u e 0 1 2, \ u e 0 / entonces la operaci\u00f3n 5) SiA es un conjunto y \ue000 P (A) \ue005 X X \ue013 A\ue001 definida P en ( A) es asociativa 5.1.2 Distributividad

Definici\u00f3n. \ue015 Sean\ue002 dos, leyes de composici\u00f3n interna en el conjunto E, a) Se dice que \ue002 distribuye por la izquierda sobre \ue015 si y s\u00f3 (b\ue015 (a \ue002 (a \ue002 a \ue002 c) \ue005 b)\ue015 c) \ue000 a,b,c \ue014 G \ue002 \ue015 sobre si y s\u00f3lo si b) Se dice que distribuye por la derecha (b\ue015 (b \ue002 (c \ue002 c) \ue002 a \ue005 a)\ue015 a) \ue000 a,b,c \ue014 G \ue015 c) Se dice \ue002 que es distributiva sobre si y s\u00f3lo si cumple a) y b

Ejemplos. 1) La multiplicaci\u00f3n es distributiva con respecto de la adici\u00f3n e \ue00e \ue00e (b \ue003 y (a \ue003 a \ue016 c) \ue005 a \ue016 b \ue003 a \ue016 c \ue000 a,b,c \ue014 b) \ue016 c \ue005 a \ue016 c \ue003 b \ue016 c \ue000 a,b,c \ue014

2) La adici\u00f3n no es distributiva con respecto de la multiplicaci\u00f3n e ejemplo, 2\ue003 (5\ue016 4) \ue00c (2\ue003 5) \ue016 (2\ue003 4)

\ue003\ue003 \ue003 \ue003 a \ue00b \ue00e \ue008 \ue00e \ue00e 3) Sean: \ue00e \ue002 e \ue003 0\ue00b 1\ue00e 5\ue003 :\ue008 tal que tal que a \ue002 b \ue005 b y \ u \ue00e a\ue015 b \ue005 a \ue016 b dos leyes de composici\u00f3n interna. a) Pruebe que \ue002 es distributiva por la izquierda con respecto de \ue0 b) Pruebe que \ue002 no es distributiva por la derecha con respecto de \ue Demostraci\u00f3n. \ue003 \ue002 \ue015 \ue00e (bque (a \ue002 a) Debemos demostrar a (a \ue002 c) \ue005 b)\ue015 c) \ue000 a,b,c \ue014 a a a (b\ue015 (b \ue016 (b \ue016 (a \ue002 (a \ue002 a \ue002 c) \ue005 a \ue002 c) \ue005 c) \ue005 b \ue016 c \ue005 b)\ue015 c) a\ue016 b a b a \ue003 b b) Comoa\ue015 (b) \ue002 (a \ue016 (b \ue002 y dado que c \ue005 b) \ue002 c \ue005 c y (a \ue002 c)\ue015 c) \ue005 c \ue015 c \ue005 c a\ue016 b a b 003 \ue002no es distributiva por la derecha con respecto \ue00c concluimos que c c \ue

5.1.3 Elemento neutro

Definici\u00f3n. E se llam Sea\ue002 ley de composici\u00f3n \ue014 interna ena E, elem e ento neutro para \ue002 \ u e 0 0 2 si s\u00f3lo siEe ay\ue005 a \ue002 e \ue005 a \ue000 a \ue014 Ejemplos. \ue00e 1) 0\ue014 es neutro para la adici\u00f3n en los n\u00fameros reales \ue014 \ue00e 2) 1 es neutro para la multiplicaci\u00f3n en los n\u00fameros reales 3) \ue011 P (X ) \ue008 P(X ) donde X es un conjunto P ( X ) es : P (X ) \ue00b y el conjunto potencia \ue005 A \ue014 X ya A \ue011 X \ue005 X \ue011 A \ue005 A \ue000 de X tiene neutro e que P(X)

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Proposici\u00f3n. Sea\ue002 ley de composici\u00f3n interna en E entonces, si existe element \u00e9ste es \u00fanico Demostraci\u00f3n. dem ostrar oque Seane , e1dos neutros para \ue002 , debemos \ue005 s: e e1 ; tenem e \ue \ue005 es neutro, por otro as\u00ed, e \ue002 e1 \ue005 e1 ya que e e \ue002 e lado e ya1 que1 e es neutro, e1005 5.1.4 Conmutatividad

Definici\u00f3n. Sea\ue002 ley de composici\u00f3n interna en E, \ue002 es conmutativa en E a \ue002 b \ue005 b \ue002 a \ue000 a,b \ue014 E

Ejemplos. Z ,Q ,R 1) La adici\u00f3n y la multiplicaci\u00f3n son operaciones conmutativ 2) La uni\u00f3n y la intersecci\u00f3n de conjuntos son operaciones c conjunto potencia del conjunto A 3) La operaci\u00f3n \ue002 definida en talesque 2bRno conmutativa, ya a \ue002 b \ue005 a \ue003 que, por ejemp\ue002 lo, 2 \ue005 37 \ue00c 2\ue002 3\ue005 8 5.1.5 Elemento inverso

Definici\u00f3n. Sea\ue002 ley de composici\u00f3n interna en E tal que existe elemento ne \ue e \ E u e 0 1 \ue002 4 con respecto de ; se allam acon elemrespecto ento inverso dede \ue002 E014 a \ Eu e a 0\ue002 4a \ue005 ue \ue005 \ue000 al elemento a1 a \ue002 etal aq\ue014 E Ejemplo. \ue00e \ue002 \ue005 Considere la operaci\u00f3n \ue002 2aben tal por que a es bdefinida a \ue003 b \ue003 aa ? \ue005 \ue014 \ue00e asociativa y con neutro 0. \u00bfQ e u\u00e9 tienen elementos inverso Soluci\u00f3n. \ue002 \ue005 Imponiendo la condici\u00f3n de inverso, ase cumplir que adebe e , as\u00ed: \ue004 1 a \ue004 \ue004 a \ue002 a \ue005 e \ue01b a \ue003 a \ue003 a(1\ue003 a \ue01b a \ue005donde a \ue00c 2aa \ue005 0\ue01b 2a) \ue005 , por otro 2a \ue003 1 2 \ue004 \ue004 \ue004 \ue004 a a a a \ue004 2aa \ue005 a \ue005\ue002 a \ue005\ue003 a \ue003 a \ue003 \ue005 ladoa \ue002 2a 0 de donde: 2a \ue003 1 2a \ue003 1 2a \ue003 1 2a \ue003 1 \ue004 a 1 \ue01f \ue025\ue005 \ue000 \ue00e \ue004existe \ue00e tal \ue004 que a \ue014 a \ue014 a \ue020 \ue026 2 \ue003 2\ue027 1 a \ue021

Proposici\u00f3n. Sea\ue002 ley de composici\u00f3n interna en E tal que \ue002 es asociativa y a \ue 014 e entonces, E neutro sitiene inverso, este es \u00fanico. Demostraci\u00f3n. x1 \ue002 x \ue005 xp\ue002 x1 \ue005 e y adem\u00e1s Seanx1 , x2 dos inversosx de entonces se cum le: x1 \ue x2 \ue002 x \ue005 x \ue002 x2 \ue005 e \ue000 x \ue014 E ; debemos demostrar x2005 , ve\u00e1moslo: que UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEM\u00c1TICA Y C.C. .

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x1

x1 e

x1

(x x2) (x1 x) x2 e x2 x2

Proposición. Sea ley de composición interna en E tal que a ,b ,entonces: neutro que ,b E tienen elemento inverso e tal a

es asociativa y con elem

a) (a) a b) (a b) b a Demostración. b a es tal que b) Si demostramocs que (a b ) c e y c (a b) e , habremos a b ; veám demostrado que c es inverso de oslo: (a b) c (a b) (b a) a b (b a) a (b b) a) a e a a a e a de Análogamente,(ac b) e , así, el inverso b esb a de donde se cumple (a b ) b a Ejemplo. Considere la operación definida bena por a tal que es b 2ab 1 a asociativa, con neutro 0 y ea cona 2a 1 2 a) Resuelva la ecuación (2 x) 3 b) Resuelva la inecuación ( 2 x) 2 Solución. Conviene aplicar la propiedad (a b ) b a , tenemos: a) (2 x) 3

2 2 3 x 3 22 1 5 2 2 1 17 2( )x 3 de donde x x x 17 5 5 5 5

2 3

x

x

( 2) 2 2 x 2 2( 2) 1 3 1 8 2 2 2( )x 2 8 x x x 3 3 3 3  1 La solución es 8,   2

b) ( 2 x) 2

x

2 2

x

5.2 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.

Cuando dotamos a un conjunto de una o más leyes de composición es qu estamos dando a dicho conjunto cierta estructura. Una estructura, por consiguie queda definida por los axiomas que rigen las relaciones y las operaciones de la está dotada. En lo que sigue estudiaremos, brevemente, las estructuras fundam del álgebra: grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. .

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5.2.1 Grupo

Definición. Un grupo es un par G, () donde: 1) G es un conjunto 2) es ley de composición interna en G tal que: a) a (b c) (a b) c a,b,c G e G tal que b) Existe a e e a a a G c) Sia G entonces existe a G tal que a a a a e Observación Decimos que el grupo G, ) es( conmutativo si la operación

es conmutativa

Ejemplos. 1) (Z, ) es grupo conmutativo 2) ( 0 , )es un grupo conmutativo 3) Q ( , ) tal que a b

ab

2

es grupo conmutativo

Proposición. Sea(G, ) un grupo entonces a c :b c a b , a,b,c G Demostración. )Si a c b c debemos demostrar que a b (a c) c (b c) c a c b c a (c c) b (c c) a e

b e

a

b

)Propuesto Proposición. a,b G entonces, la ecuación Sea(G, ) un grupo, a x b tiene solución única en G Demostración. a x b a (a x) a b (a a ) x a b Es claro

e x a b x a b a b es solución y única que

Ejemplos. 1) (C, ) dondeC (a,b) / a,b es el conjunto de los números complejos y la adición esta definida ) (c ,(d) (a c,b d ) (a,b) , (c,d ) C , es un grupo a,bpor conmutativo  a c   / a,b,c,d  es el conjunto de las b d  matrices cuadradas de tamaño 2 en y la suma se define por:

2) (M (2, ) , ) dondeM (2, )

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a  b a  b

c 

e   d  f c  e  d  f

g 

a e c g     h  b f d h  g  (a e,c g,b h

es f ,d

un

grupo conmutativo donde

h)

3) Demuestre que las dos funciones ;) f (x) x , g(x

1 x

,x Q

0 , tienen

estructura de grupo bajo la composición de funciones Demostración. 1 1 Como:( f g)(x) f (g(x)) f ( ) g(x) x

(g f )(x) g( f (x)) g(x)

x

1 x

1 (g g)(x) g(g(x)) g( ) x x f (x)

g(x) f (x)

( f f )(x) f ( f (x)) x f (x) , entonces la composición es ley de A en composición interna f (x),g(x) Estos resultados podemos escribirlos es la siguiente tabla de doble entr f ( x) g( x)

f ( x) f ( x) g( x)

g( x) g( x) f ( x)

Es inmediato que: e fes El elemento neutro ( x) f (x)de g(x) de El elemento inverso esf (x) ; el elemento inverso esg(x) La asociatividad la puede probar Ud. Así,(A, ) es grupo; además es grupo conmutativo. (Z, ) tal que 4) Sea ( grupo a b a b 2, a,b Z . Demuestre que Z , ) es Demostración. Claramente es ley de composición interna en Z Debemos demostrar que es asociativa, posee neutro e inverso en Z i) a (b c) a (b c 2) a (b c 2) 2 a b c 4 (a b) c (a b 2) c (a b 2) c 2 a b c 4 así,a (b c) (a b) c a,b,c Z e a e tal e aque a a Z ii) Debemos probar que existe neutro e Imponiendo la condicióna atenemos: a e a a e 2 a e 2 Ahora debemos verificar que el neutro opera por la derecha, tenemos: e a 2 a 2 a 2 a ; así. el neutro e es 2 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. .

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iii) Debemos demostrar que, apara todoa Z talquea a a a 2 Z existe Imponiendo la condición a a 2 tenemos: a a 2 a a 2 2 a 4 a Por otro lado, como a a a (4 a) a (4 a) 2 2entonces a 4 a Concluimos: Z, )( es grupo

5) Sea A a,b y (A, ) un grupo. Demuestre que el grupo es conmutativo Demostración. Debemos demostrar b queb aa Como (A, ) es grupo entonces debe poseer neutro e; supongamos q e b entonces a b a e a e a b a

6) Sea una ley de composición interna definida Q Q tal enque A (1, x) / x Q ; (a,b) (c , d) (ac,bc d) . Se sabe que ( grupo donde A, ) es determine el neutro e en A. Solución. Seae (1, p) A tal elemento neutro; imponiendo la condición de neutro de cumplir:1, x( ) (1,p) (1, p) (1, x) (1, x) (1, x) A A De (1, x) (1, p) (1, x) tenemos1, x( p) (1, x) , de aquí concluimos x p x , de donde (1,0) es e p 0, así, el neutro lateral derecho Ahora debemos verificar que es neutro lateral izquierdo, tenemos: e (1, x) (1,0) (1, x) (1,0 x) (1, x) (1,x) A , luego, e(1,0) 3 3 3 x y() x y 7) Seax, y Z3. Pruebe que Solución. (x y)3 (x y)(x y)(x y) 3 2 2 3 x 3x y 3xy x x3 y3 , ya que 30(mod 3)

5.2.2 Anillo

Definición. (A, , ) se llama anillo si y sólo si: El trío a) (A, ) es grupo conmutativo b) es ley de composición interna en A c) es asociativa d) es distributiva con respecto de + Definición. Sea(A, , ) un anillo, entonces: a) (A, , ) es conmutativo si y sólo si es conmutativa b) (A, , ) es un Anillo con unidad si y sólo si existe elemento neutro para UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. .

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Ejemplos. 1) (Z, , ) es anillo 2) (E, , ) es anillo, donde par E x Z / x esunnúmero 3) (Z, , ) donde a b 2ab es anillo 4) ( , , ) tal que (a,b) (c,d ) (a c,b d ) y (a,b) (c,d ) (ac,bd) es anillo 5) (C, , ) tal que , (a,b) (c,d) (a c,b d ) , C (a,b) (c,d) (ac bd,ad bc) es un anillo 6) (Z 4, , ) es anillo a c  x z  ax cy az cw     7) (M (2, ), , ) es anillo donde   b d  y w  bx dy bz dw  Proposición. Sea(A, , ) un anillo con neutro aditivo 0 e inverso aditivo dea el elemento a Se cumple: a) a 0 0 a 0 a A b) ( a) b a ( b) (a b) a,b A Demostración. a) a 0 0 a 0 (a a) (a a) a 0 (a a) a a a 0 (a a) a(a 0) (a a) a a 0 0 a 0 Análogamente se demuestra que a b , de b) Demostraremos aque ) b y( (a b) son inversos aditivos entonces, por la unicidad del inverso concluirem (a b)( a) bos que a bde ( a) b a b ( a a) b 0 b 0, así,( a ) b es inverso aditivo a bde Por otro lado , es inmediato (a bque ) es inverso aditivo De manera análoga se demuaestra ( b) que (a b)

Corolario. Si (A, , ) es un anillo entonces: a b 0 a 0 b 0 a,b A En efecto, usando la contrapositiva y la parte a) de la proposición ante a 0 b 0) a b 0 tenemo(s: Observación. El recíproco del corolario no se cumple, ya que, por ejemplo 1 0  0 0  0 0       a) En el anillo (M (2, ), , ) se tiene 0 0  1 0  0 0  (Z 4, , ) se tiene b) En el anillo 22 0


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Definición. (A, triple Un anillo conmutativo es un , ) tal que: a) (A, , ) es anillo b) es conmutativa Ejemplos. a) (Z, , ) es anillo conmutativo b) El anillo M ((2, ), , ) no es conmutativo c) En general Z m , (, ) es anillo conmutativo d) El anillo M ((2, ), , ) no es conmutativo ya que por ejemplo 1 0  1 1  1 1  1 1  1 0  3 3              2 3  1 0  5 2  1 0  2 3  1 0 

Definición. Un anillo con identidad es(A un , , )triple tal que: a) (A, , ) es anillo b) Existe 1 A tal quea1 a 1 a a A Ejemplos. 1) Z ( , , ) es anillo con unidad 1 0  2) M ( (2, ), , ) es anillo con1  0 1  , , ) tal que 3) ( (a,b) (c,d ) (a c,b d ) y (a,b) (c,d ) (ac,bd) es anillo con unidad(11,1) 4) C ( , , ) tal que C , (a,b) (c,d ) (a c,b d ), (a,b) (c,d) (ac bd,ad bc) es un anillo con unidad (1,0) 1 5) Z ( 4, , ) es anillo conmutativo con unidad 5.2.3 Dominio de Integridad.

Una de las formas para solucionar una ecuación de segundo grado es fa allí usamos la proposición (a b 0) (a 0 b 0) , sin embargo existen algunos conjuntos donde esto no ocurre, porZ4ejem tenem plo,o2sen 2 0. Definición. b 0 con 0 el neutro Sea A(, , ) un anillo.aSi ,b A son no nulos tala que a y b se llaman divisores del cero para + entonces, Ejemplos. 1) Z ( 6, , ) es anillo con divisores del cero 2) M ( (2, ), , ) es anillo con divisores del cero


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Teorema. Un anillo A, (, ) no tiene divisores del cero si y sólo si es válida la ley de cancelación para la multiplicación. Demostración ) Sea (,A, ) un anillo sin divisores del ,c A ytal que a,bcero c 0, a b , veámoslo: debemos demostrar aque: c bsic entonces a c b c 0 (a b) c 0; comoA(, , ) es un anillo sin divisores a c b c a b del ceroc y 0entonces a b 0, de donde, )Supongamos que se cumple la cancelación para la multiplicación, debemo demostrar que: a b 0 (a 0 b 0) Si a 0entoncesba 0 a b a 0 de donde b 0 Definición. Un dominio de integridad es un tripleA(, , ) tal que: a) (A, , ) es anillo conmutativo con identidad b) (a 0 b 0) a b 0) donde el neutro para + es 0 Observación. Sea A(, , ) un dominio de integridad, entonces: a) (a c b c) a b a,b,c A, c 0 x ab , a 0tiene solución única b) La ecuación c) a b 0 (a 0 b 0) Ejemplos. a) (Z 5, , ) es dominio de integridad b) (C, , ) tal que C , (a,b) (c,d ) (a c,b d ) , (a,b) (c,d) (ac bd,ad bc) es dominio de integridad Observación. (Z 4, , ) , la ecuación 2 x 0 tiene dos soluciones, naturalmente En el anillo que nos interesa una estructura tal que unaaecuación delsolución tipo x b tenga x b única; en la estructura de cuerpo una ecuación del tiene tiposolución a y es única. 5.2.4 Cuerpo

Definición. El tripleA,( , ) e un cuerpo si y sólo si: a) (A, , ) es anillo conmutativo con unidad 1 1 a a b) a A 0 a 1 A tal que 1 Ejemplos. a) (Z 3, , ) es cuerpo


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b) (C, , ) tal que C

; (a,b) (c,d) (a c,b d ) ,

(a, b) (c, d ) (ac bd,ad bc) es cuerpo donde (a, b) 1 (

a

2

a b

, 2

-b

2

a

b

2

)

Observación. (A, , ) es dominio de integridad; en efecto: a) Si A(, , ) es un cuerpo entonces sólo falta demostrar (a que 0 b 0) a b 0; lo demostraremos usando la contrapositiva a b ( 0) (a 0 b 0) 1 Supongamos aque 0 yb que b 0, entonces 0 b 1, de aquí a b() b deducimos que a 0, lo que constituye una contradicción. b) El recíproco no es cierto,(Aes , , )decir, dominio de integridad no implica que (A, , ) sea un cuerpo, ya que, por(Zejem , , ) es plo, dominio de integridad y sin embargo no es un cuerpo 5.3 EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Decida si las siguientes operaciones son o no ley de composición interna conjunto declarado a) :Z Z Z tal que a b ab 2 x

b) definida Zen 0 tal que x y

2

y

c)

2 definida en Z tal a que b (a b)

d)

definida en Z tal a que b

e)

a que b definida en Q tal

a b

2

a b

2

3

3 f) La multiplicación usual definida ; B 0,1 ; C 2,4,6... A 1,0,2en g) : P (A) P (A) P (A) donde A es un conjunto y P(A) es la potencia de A 2) Sea ley de composición interna definida en el conjunto E , demuestre: a) (a b ) a c b c a,b,c E b) (a b ) c a c b a,b,c E

3) Decida cuales de las siguientes “leyes de composición internas”son asocia b a a b ab a) definida en tal que b a a 2b b) definida en tal que c) La unión de conjuntos : P (A), P (A) P (A)

4) Decida cuales de las siguientes “leyes de composición internas” tienen ne para la operación binaria interna definida a) : P (A) P (A) P (A tal que ) (P, R) P R donde A es un conjunto y P(A) es la potencia de A UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. .

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ab b) definida Qental que a b 2 c) definida en tal que b aa b 1 d) definida en tal x que y xy x

5) Sea una ley de composición interna en el conjunto E. Demuestre: Si exis elemento neutro para , este elemento es único.

6) Decida cuales de las siguientes “leyes de composición internas” son conm para la operación binaria interna definida a) definida en tal que b a a b 3ab b) definida en tal que b a a b 2ab 7) Determine la tabla de multiplicar para quea b máxa,b

definida 1,2,3el ,4 conjunto tal E en

8) Sea ley de composición interna definida en el conjunto E tal que la ope es asociativa y tiene neutro e. Demuxestre que:inverso si x entonces E tiene este es único.

9) En T se define la ley de composición ainterna b a b por ab Estudie la asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y elemento inver

2 10) En Z se define la operación binaria interna b a btal que a Estudie la asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y elemento inver

11) EnQ Q se define por (a,b) (c,d ) (ac,ad b) Estudie la asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y elemento inver 12) En el conjunto S a,b,c se define a b c

a a b c

por la siguiente tabla: b b a c

c c c c

Estudie la asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y elemento inv 13) EnZ a b

se define las operaciones binaria interna a b a by 1 por y

a b ab Z , )(un ¿Es el par Z , )( un ¿Es el par

a) grupo? b) grupo? c) ¿Es distributiva con respecto de ? d) ¿ Es distributiva con respecto de ? UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. .

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14) Sea A

a,b

y (A, ) un grupo. Demuestre que el grupo es conmutativo

(G, ) un grupo, demuestre: 15) Sea a) a c b c a b a,b,c G c) la ecuaciónx a b tiene solución única en G , )es un grupo si (Cx, y) / x, y 16) Demuestre(Cque números complejos donde (a,b) (c,d ) (a c,b d )

es el conjunto de los

 a c   / a,b,c,d es el  b d  de las matrices cuadradas de tamaño 2 en y g  a e c g    , es un grupo h  b f d h 

17) Demuestre(M que (2, ), ) donde M (2, ) conjunto a c  e    b d   f 18) En

a definimos las operaciones binarias internas a b by y tal que a b = ab. Demuestre que distribuye por la izquierda a pero que no hace por la derecha

+

19) Demuestre que(el par 1, )es un grupo donde a b a b ab Resuelva la ecuación 2 x 6 = 18 20) Demuestre que (el , ) es un anillo donde + es la suma usual y a b =2ab Z , trío 21) Demuestre que (el 2, ), , ) con las características dadas en el ejercicio 17 M (trío a c  e g  ae cf ag ch      es un anillo y b d  f h  be df bg dh  C , trío 22) Demuestre que (el , )con las características del ejercicio 16 y donde (a,b) (c,d ) (ac bd,ad bc) es un anillo

23) Demuestre(Zque 4, , ) es un anillo a Aaditivo (A, , ) un anillo con neutro aditivo 0 y opuesto 24) Sea el elem de ento a . Demuestre: a) a 0 0a 0 a A b)( a)b a( b) (ab) a,b A

25) ¿Los anillos de los ejercicios 21 y 22 son dominio de integridad?

A, , ) no tiene divisores del cero si y sólo si es valida la ley 26) Demuestre: Un (anillo de cancelación para la multiplicación. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. .

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Estructuras algebraicas

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