Ventilación Hardy Cross

VENTILACIÓN DE MINAS

FIGMM

INTRODUCION La determinación de la forma como se distribuye el flujo de aire en una mina y de las pérdidas de presión que ocurren en la red, son los problemas de ventilación más comunes que tiene que resolver un ingeniero en la práctica. Se presentan sin embargo una gran variedad de casos, entre los cuales se podrían mencionar los siguientes: a) Se conocen las resistencias de todos los ramales que conforman la red y las características de los ventiladores instalados en ésta. b) Las mismas condiciones del caso anterior pero además, se requiere que a través de uno o más ramales, circule un caudal dado. c) Las condiciones son similares a las del caso anterior, pero se desconoce el punto de operación de uno o más de los ventiladores instalados en la red. d) Una combinación de las condiciones descritas en a) y b), que obliga a modificar las resistencias de algunas de los ramales, con el f in de lograr los caudales requeridos. Los casos a), b) y c) pueden ser resueltos haciendo uso de métodos de aplicación inmediata, mientras que en el último caso, el análisis puede presentar algunas dificultades. La teoría de resolución de redes de ventilación tiene como objetivos principales: - Plantear correctamente el problema ; y - Establecer las ecuaciones que permitan hallar los valores de las incógnitas (caudales que fluyen a través de los ramales, presiones aplicadas por los ventiladores y resistencias de los reguladores). Para resolver una red de ventilación cualquiera, se dispone de dos técnicas principales: a) Métodos numéricos o de aproximaciones sucesivas; y b) Métodos analógicos.


FIGMM

OBJETIVO Aprender el fundamento de Hardy Cross, y su aplicación a redes de ventilación.

FUNDAMENTO TEÓRICO El conjunto de ramales (piques, galerías, chimeneas y tajeos) que forman parte de una mina subterránea, constituyen lo que se conoce como una red de ventilación. Cualquiera que sea la red, ésta se encuentra cerrada a través de las conexiones que tiene la mina con la atmósfera. Si despreciamos los pequeños flujos de gas provenientes de la roca y los escapes de aire comprimido que se producen en las tuberías o a través de las máquinas perforadoras, los caudales de aire que fluyen a través de cada uno de los ramales y los que llegan o salen de cada uno de los nudos que conforman la red, deben cumplir con las leyes de Kirchoff: a) Primera Ley de Kirchoff: La suma algebraica de los caudales de aire en cada nudo debe ser nula, es decir : ∑αi Qi= 0, donde αi será igual a +1 si el caudal fluye hacia el nudo e igual a -1 si el aire fluye desde el nudo. b) Segunda Ley de Kirchoff: En una malla cualquiera de la red, la suma algebraica de las caídas de presión que ocurren a lo largo de cada uno de los ramales que conforman la malla, debe ser nula: ∑αi∆pi ,-= 0 donde αi. será igual a +1 si el aire fluye en la dirección positiva del ramal y -1 si lo hace en sentido contrario. El caudal de aire que fluye a través de la red, deberá cumplir con la ecuación característica de cada ramal. Esta ecuación puede tener cualquiera de las formas que se indican a continuación: a)

∆p = RQ2

pero como p y Q deben tener el mismo signo: ∆p = RQ \Q\ ∆P= RQ\ Q\ - Pf

para ramales pasivos y para ramales activos,

donde pf es la presión que aplica el ventilador; y

VENTILACIÓN DE MINAS b)

FIGMM

Q = Q0 para ramales con caudal fijo.

Mediante la aplicación de estos principios, será posible: a) Precisar el número de incógnitas independientes que existen en cada una de las mallas que conforman la red; y b) Determinar el número de relaciones independientes que existe entre las incógnitas.

c) Número de mallas independientes en una red Supongamos una red cualquiera, constituida por r ramales y n nudos, tal como la que se muestra esquemáticamente en la figura No. 1.

Asumiremos que para efectos del cálculo el sentido horario es positivo, pudiendo asignarse a cada ramal de la red, un sentido arbitrario para el flujo de aire. Como puede observarse, las mallas que conforman la red (ABC, BDC y CAE) no son independientes entre sí, ya que tienen por lo menos un ramal común. Se observa también que es posible seleccionar un número determinado de mallas que tienen las siguientes propiedades: a) Cada ramal de la red figura por lo menos una vez en alguna de la mallas; y b) Cada una de las mallas es una entidad independiente, es decir, ninguna de ellas forma parte de otra malla. El conjunto de mallas así definido, constituye lo que se denomina la red y si se ésta tiene m mallas, se puede demostrar que: m = r - (n-1) = r-n+1 La red de la Figura No. 1 está formada por 6 ramales, 4 nudos y m mallas independientes, es decir:


FIGMM m = 6-4+1 = 3

Los ramales AB, BD, AEC y CD son independientes, ya que pertenecen a tres mallas diferentes.

d) Selección de ecuaciones independientes Suponiendo que ninguna malla contenga ramales con caudales fijos se tendrá como incógnitas r caudales y r caídas de presión en la red, siendo 2r el número total de incógnitas. Se podrá establecer entonces (n-1) ecuaciones de nudos, m = r-n+1 ecuaciones de mallas y r ecuaciones de ramales. El número total de ecuaciones independientes que habría que plantear será entonces: (n-1) + m + r = n-1 + r-n+1 + r = 2r e) Métodos de cálculo para redes de ventilación La resolución de redes de ventilación puede hacerse mediante la aplicación de dos métodos: a) Resolución numérica de ecuaciones aplicando las leyes generales de la ventilación y la teoría de mallas, lo que supone emplear algún procedimiento de aproximaciones sucesivas; o b) Procedimientos analógicos, para lo cual es necesario representar el circuito de ventilación en un modelo que contenga elementos en los que se pueda hacer mediciones físicas de las variables que se necesita determinar.

Aquí se tratará únicamente el caso de los métodos numéricos, pues los métodos analógicos suponen la construcción de un modelo físico de la red (similar a un circuito eléctrico), en el que se hacen mediciones, que luego son convertidas a caudales y caídas de presión. Aunque se ha intentado la aplicación de diversos métodos numéricos para resolver circuitos de ventilación de minas, el que ha dado mejores resultados por su flexibilidad y fácil adaptación a sistemas automatizados de cálculo es el método de Hardy - Cross, desarrollado originalmente para el cálculo de estructuras reticuladas y redes de distribución de agua. f) El método de Hardy-Cross Este método constituye un caso particular de los procedimientos de cálculo denominados de relajamiento. Se trata de resolver un sistema de ecuaciones simultáneas, partiendo de un juego de valores arbitrarios que satisfagan algunas de las ecuaciones. Se calcula luego una corrección que, aplicada a los valores asumidos originalmente, permitirá satisfacer las demás ecuaciones. La corrección introducida hará variar los valores asumidos al inicio del cálculo, lo cual supone que las primeras ecuaciones ya no serán satisfechas por los valores corregidos. Se inicia luego un segundo ciclo de cálculo con los valores corregidos, lo cual permitirá determinar un nuevo valor que se utilizará para hacer la corrección. La aplicación repetida


FIGMM

de este procedimiento conduce a la convergencia de los valores asumidos, reduciéndose progresivamente la corrección hasta hacerse despreciable. Se recomienda iniciar los cálculos asumiendo los caudales que fluyen a través de cada uno de los ramales, los mismos que deberán satisfacer las ecuaciones de equilibrio de caudales y de presiones en cada uno de los nudos. Por tratarse de un método que supone una aproximación gradual a los valores reales, se puede asumir cualquier valor inicial para los caudales (inclusive cero), excepto para aquellos ramales con caudal fijo, para los cuales será necesario fijar el caudal real. Luego del primer ciclo de cálculo, en una malla cualquiera j se tendrá:

y para los ramales ni reguladores):

pasivos (en los que no existen ventiladores

Al no cumplirse las condiciones de equilibrio para cada malla, será necesario calcular una corrección de los caudales para cada una de ellas, de tal modo que:

o lo que es lo mismo:

La corrección que habrá que aplicar a los caudales de cada malla será entonces:

Aplicando sucesivamente esta corrección a cada una de las mallas que forman la red, llegará un momento en que el valor de la corrección será tan pequeño, que se podrá dar por concluido el cálculo. Supóngase que se tiene la siguiente red de ventilación que contiene tres mallas independientes:


FIGMM

Los valores indicados al lado de cada tramo representan la resistencia de cada uno de ellos y las flechas indican la dirección asumida para los flujos de aire. Se ha supuesto además que al interior de cada malla, el sentido horario es positivo. Para dar inicio al cálculo, se asumirá que el caudal de 10 m³/s que llega al nudo A se distribuye de la siguiente manera (en función inversa a las resistencias de los ramales, es decir, que los mayores caudales tenderán a circular a través de los ramales que tienen menor resistencia): -

5 m3/s van del nudo A al B, 4 m3/s van del nudo A al C, 1 m3/s va del nudo A al C pasando por E, y 1 m3/s va del nudo B al C.

Con el fin de mantener un orden en los cálculos, se recomienda trabajar en forma tabulada, de tal modo de poder observar la convergencia de los valores conforme se aplican las correcciones. La tabla siguiente muestra la secuencia de los primeros cuatro ciclos iterativos correspondientes a la red representada en la figura No. 2.

PROCESO ITERATIVO DE HARDY-CROSS PARA UNA RED SENCILLA

VENTILACIÓN DE MINAS MALLA RAMA L I BD

II

III I

II

III I

II

III I

II

III

FIGMM

R

Qa

R*Q*|Q| -S(R*Q*| Q|) 16 58

1.00

4.00

DC *CB AB *BC *CA * AC CEA

2.00 2.00 1.00 2.00 2.00 2.00 4.00

-6.00 -1.00 5.00 1.00 -4.00 4.00 -1.00

-72 -2 25 2 -32 32 -4

BD DC *CB AB *BC *CA * AC CEA

1.00 2.00 2.00 1.00 2.00 2.00 2.00 4.00

5.61 -4.39 0.44 5.17 1.17 -2.67 2.83 -2.17

31 -39 0 27 3 -14 16 -19

BD

1.00

5.83

34

DC *CB AB *BC *CA * AC CEA

2.00 2.00 1.00 2.00 2.00 2.00 4.00

-4.17 1.25 4.57 0.57 -3.35 2.93 -2.07

-35 3 21 1 -22 17 -17

BD DC *CB AB

1.00 2.00 2.00 1.00

5.76 -4.24 1.15 4.61

33 -36 3 21

*BC *CA * AC CEA

2.00 2.00 2.00 4.00

0.61 -3.32 2.93 -2.07

1 -22 17 -17

5

-28 7

-15

3 -2

1

0 0

0

0

2*R*|Q| 8.00 24.00 4.00 10.00 4.00 16.00 16.00 8.00

S(2*R*| Q|) 36

AQ

Qcorregido

1.611

5.611

30

0.167

24

-1.167

11.22 17.56 1.78 10.33 4.67 10.67 11.33 17.33

31

0.217

26

-0.592

29

0.095

11.66

33

-0.069

16.69 5.02 9.15 2.30 13.41 11.71 16.57 11.52 16.96 4.59 9.22 2.44 13.27 11.72 16.57

25

0.036

28

0.001

33

0.005

25

0.000

28

0.000

* Ramales que pertenecen a más de una malla. Habiéndose reducido el error en los flujos a menos de 0.005 m3/s, se podría detener en este punto el proceso de cálculo, con lo cual la distribución de los caudales al interior de la red será la que se muestra en el siguiente diagrama:

-4.389 0.611 5.167 1.167 -3.833 2.833 -2.167 5.829 -4.171 0.662 4.575 0.575 -3.259 2.928 -2.072 5.759 -4.241 1.184 4.611 0.611 -3.317 2.929 -2.071 5.764 -4.236 1.153 4.611 0.611 -3.318 2.929 -2.071


FIGMM

FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS Consideremos un caudal Q de un fluido cualquiera que circula a través de un conducto de resistencia R. Asumamos que el fluido considerado obedece a la ley p = RQn, donde p es la caída de presión por fricción a lo largo del conducto y n es una constante depende del fluido y del rango del flujo considerado. Suponiendo que no se conoce el valor real del caudal Q, asumamos y valor estimado al que llamaremos Qa, de tal manera que se puede establecer que: Q = Qa + AQ …………………………………….(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FIGMM

donde ∆Q sería el error cometido al asumir un valor de Q que no es el verdadero. Del mismo modo, ∆p sería el error cometido en el cálculo de la caída de presión real p. El problema consiste por lo tanto, en determinar el valor de la corrección ∆Q que habrá que aplicar a Qa, para encontrar el valor real del caudal Q.

En este gráfico, la curva que corresponde a la ecuación p = RQn representa a la relación entre la presión y el caudal a lo largo del conducto a través del cual está circulando el fluido, a la que se denomina curva característica del sistema. La pendiente de esta curva en el intervalo comprendido entre el valor real del caudal (Q) y el valor asumido de éste (Qa), es aproximadamente , relación que en el límite se convierte en

Derivando la relación: p = RQn con respecto a Q se obtiene:

en el punto de la curva que corresponde al valor asumido Qa


Por lo tanto:

FIGMM

es aproximadamente igual a nRQ(n-l)

o lo que es lo mismo:

Pero como: la ecuación (2) también se puede expresar como:

En términos prácticos, el numerador de esta última ecuación representa la “presión desbalanceada”, mientras que el denominador representa la pendiente de la curva que representa la relación entre p y Q a lo largo del conducto. El análisis hecho hasta aquí se refiere a un solo conducto. Si este conducto fuera uno de los varios ramales de una malla cerrada que consiste de r ramales, el valor promedio de la “presión desbalanceada” al interior de la malla se podría expresar como:

Asimismo, la pendiente promedio de la curva sería:

Combinando las ecuaciones (4) y (5) con la ecuación (3) se tendrá el valor promedio de la corrección de caudales que habrá que aplicar al interior de la malla (∆Qm), es decir:


FIGMM

Por otro lado, la caída de presión a lo largo del ramal genérico i para el caudal real Q¡, estará dado por RQn . La segunda Ley de Kirchoff establece que en ausencia de presiones de ventilación externas la suma algebraica de las caídas de presión al interior de una malla cerrada debe ser cero, es decir:

Esto hace que la ecuación (6) se reduzca a:

Teniendo en cuenta que las caídas de presión en la dirección del flujo (RiQian ) son siempre positivas cuando no existe una fuente externa de presión, en la sumatoria de éstas deberá tenerse siempre en cuenta el signo. Por otro lado, debido a que la pendiente de la curva característica del sistema (n RQia(n-1)) es siempre positiva, el signo en el denominador de la ecuación (7) podrá ser ignorado. Siendo necesario escoger una convención de signos para la dirección del flujo al interior de la malla, generalmente se asume que a la dirección en el sentido de las agujas del reloj le corresponde el signo positivo, aunque es irrelevante qué signo se asigna a una dirección determinada, en la medida en que se mantenga el mismo criterio para todas las mallas que conforman la red. Si en una malla cualquiera existiera una fuente externa de presión (ya sea la presión de ventilación natural o la que aplica un ventilador) será necesario incorporar el efecto de éstas a la ecuación (7), debiendo tenerse en cuenta que ambas presiones tendrán signo contrario al de las caídas de presión, de manera que si el signo de estas últimas es siempre positivo, las presiones externas tendrán siempre signo negativo, de tal manera que la ecuación (7) quedará expresada de la siguiente manera:


Donde: es

FIGMM

pvnm es la presión de ventilación natural que existe en la malla, la cual independiente del caudal que circula a través de ésta, pfi

es la presión que aplica el ventilador instalado en el ramal /, para el caudal Qai y

Sf¡

es la pendiente de la curva característica del ventilador instalado en el ramal / para el caudal Qai. Debido a la aproximación considerada al inicio en la derivación de las ecuaciones de Hardy Cross, que proviene del hecho de haber asumido un caudal Qai (que no es el caudal real Q,), el primer intento de balancear las presiones no hará que la sumatoria de éstas sea cero como debería ser, por lo que será necesario aplicar los cálculos repetidas veces hasta que el factor de corrección de los caudales al interior de la malla (AQm) se reduzca a un valor lo más cercano a cero que sea posible, hasta lograr la aproximación deseada. Dado que en general, el empleo de la ecuación cuadrática permite lograr resultados aceptables para el flujo de aire que circula al interior de una red de ventilación de minas, el valor de n que se emplea para estos cálculos es 2, con lo que la ecuación (8) puede ser expresada como sigue:

donde \Qia\ es el valor absoluto de Qia.

Es importante señalar que la selección de las mallas determina la rapidez con la que convergen los valores y por lo tanto, el número de iteraciones que habrá que hacer para lograr resolver la red. Dado que los ramales de alta resistencia desaceleran la convergencia, habrá que seleccionar las mallas procurando - de ser posible - que éstos aparezcan en una sola malla y que no se tengan mallas que contengan más de un ramal de alta resistencia.


FIGMM

El proceso que se sigue para resolver una red de ventilación mediante la aplicación del método de Hardy Cross es el siguiente: a)

Hacer una primera estimación de los caudales que circulan a través de cada uno de los ramales de la red y de las presiones que aplican los ventiladores, asegurándose que en lada nudo o convergencia de tres o más ramales, se cumpla la primera Ley de Kirchoff, es decir, que la suma de los caudales que ingresan a cada nudo sea igual a la suma de los caudales que salen del mismo.

b)

Seleccionar las mallas cerradas que se van a emplear para el análisis, teniendo en cuenta que el número mínimo de mallas que habrá que definir está dado por: m = (N° de ramales - N° de nudos + 1)

c)

Haciendo uso de la ecuación (9), calcular el factor de corrección de caudales que corresponda a cada malla.

d)

Aplicar la corrección calculada para cada malla a todos los caudales de los ramales que conforman la misma.

e)

Una vez aplicadas las correcciones que correspondan a todos los ramales que conforman todas las mallas de la red, repetir los pasos c) y d) hasta que los valores de AQm se hayan reducido hasta un nivel predeterminado, con lo cual se habrá alcanzado un adecuado balance entre los caudales de aire que circulan a través de la red.

Ejemplo de aplicación del método Supóngase que se tiene una mina cuya red de ventilación es la que se muestra a continuación:


FIGMM

Siendo los nudos de una red aquellos puntos en los que convergen tres o más ramales, se aprecia aquí que esta red tiene cuatro nudos: B, C, E y D, por lo que n = 4. Los ramales se definen como aquellos conductos que unen dos nudos, por lo que en esta red se tienen 6 ramales: BC, BD, CE, DE, DC y EFAB, es decir: r = 6. Conociendo el número de nudos y de ramales que tiene la red, podremos determinar el número de mallas que debemos establecer para poder resolver el problema, ya que: m=r-n+1=6-4+1=3 Seleccionaremos entonces tres mallas, de tal forma que el ramal de mayor resistencia (DE) aparezca en sólo una de ellas, con lo cual se podrán definir las mallas I, II y III, tal como se aprecia en la representación esquemática de la red que se muestra en la figura que se incluye en la siguiente página. Se puede iniciar entonces el análisis asignando valores arbitrarios a los caudales, pero cuidando de verificar siempre que la suma de los caudales que llegan a los nudos sea igual a la suma de los caudales que salen de éstos.

Para poder aplicar las Leyes de Kirchoff, es indispensable asegurarse de que todas las mallas sean cerradas. En este caso, se puede apreciar que los puntos F y A son los únicos dos puntos de la red que conectan la mina con la atmósfera y que para mantener las condiciones de equilibrio, el caudal de aire que sale de la mina a través del tramo EF debe ser igual al que ingresa a la mina a través del tramo AB, por lo que tendremos que agregar el ramal virtual FA (que irá a través de la atmósfera y cuya resistencia aerodinámica será cero), con lo cual se logrará tener todas las mallas cerradas. Se sabe que en la red no existe presión de ventilación natural (es decir: pvn = 0), pero sí un ventilador instalado en el ramal EFAB que aplica una presión constante de 2,000 Pa, por lo que su curva característica será una línea horizontal y Sf EFAB = 0. Asumamos entonces que el ventilador instalado en el punto F de la red esté extrayendo de la mina un caudal de 50 m3/s.


FIGMM


FIGMM

Con estos valores se podrá iniciar el proceso de cálculo, haciendo una primera iteración

Luego de aplicar los primeros factores de corrección de cada malla a los caudales asumidos, se tendrá:


Se deberá continuar aplicando el procedimiento anterior hasta que los valores de ∆Q se hayan reducido a un valor predeterminado que podría fijarse en, por ejemplo, ± 1.0. Por tratarse de un proceso repetitivo, es recomendable registrar los cálculos en forma tabulada, tal como se muestra a continuación:

FIGMM


MALLA RAMAL I

II

III

I

II

III

I

II

III

I

II

III

R

Q

R*Q*|Q|

DC

1.0

10.00

100

CE ED EC CB BE DC CB BD

2.0 4.0 2.0 1.0 0.3 1.0 1.0 0.5

30.00 -20.00 -30.00 -20.00 -50.00 10.00 -20.00 30.00

1800 -1600 -1800 -400 -750 100 -400 450

DC

1.0

7.33

54


2.0 4.0 2.0 1.0 0.3 1.0 1.0 0.5

24.00 -21.00 -24.00 -16.67 -45.00 7.33 -16.67 28.33

1152 -1764 -1152 -278 -608 54 -278 401

DC

1.0

7.01

49


2.0 4.0 2.0 1.0 0.3 1.0 1.0 0.5

25.76 -19.00 -25.76 -18.75 -44.76 7.01 -18.75 26.01

1328 -1444 -1328 -352 -601 49 -352 338

DC

1.0

6.80

46


2.0 4.0 2.0 1.0 0.3 1.0 1.0 0.5

24.34 -18.75 -24.34 -17.54 -43.09 6.80 -17.54 25.55

1185 -1406 -1185 -308 -557 46 -308 326

FIGMM

-E(R*Q*|Q|)

2*R*|Q|

E(2*R*|Q|)

AQ

20.00 300

-2950 2000 150

120.00 160.00 120.00 40.00 30.00 20.00 40.00 30.00

9.00 300

-1.00

190

5.00

90

-1.67

14.67 -558

-2037 2000 177

96.00 168.00 96.00 33.33 27.00 14.67 33.33 28.33

-2280 2000 36

103.06 151.97 103.06 37.50 26.86 14.03 37.50 26.01

279

2.00

156

0.24

76

-2.32

-2049 2000 65

97.35 149.99 97.35 35.08 25.85 13.60 35.08 25.55

26.00 -19.00 -23.76 -16.43 -44.76 5.01 -18.99 26.01 7.26

269

0.25

167

1.67

78

-0.46

13.60 -175

29.00 -21.00 -25.00 -15.00 -45.00 8.33 -21.67 28.33 9.34

14.03 -67

Qc

26.01 -18.75 -24.09 -17.08 -43.09 6.55 -19.21 25.55 7.47

261

0.67

158

0.31

74

-0.88

25.01 -18.08 -24.03 -17.23 -42.78 5.92 -18.41 24.67


FIGMM

Como se puede observar en la tabla anterior, luego de cuatro iteraciones se ha logrado reducir el valor de ∆Q a menos de ± 1.0, por lo que se podría dar por terminado el proceso de cálculo. Si se continúa con el proceso para reducir el error, se encontrará que los caudales que circulan a través de la red serán los que se indican en el siguiente diagrama:

Se presenta el desarrollo de un método general para el análisis de circuitos de ventilación de mina a través de los conceptos de la teoría de la red. El material es la continuación y extensión de de los conceptos Básicos de circuitos de ventilación de mina presentados en clase. Debido a la necesidad de proporcionar un juego general de procedimientos que opera, el uso extenso de anotación de la matriz hecho en este trabajo.

La introducción denotada sobre la matriz que también presenta problemas de escoger las variables que representan las entidades matemáticas. La convención para la notación de la matriz normal se usara letras mayúsculas y minúsculas para los elementos de la matriz, Esto es necesario resaltar la diferencia.


FIGMM

Resolución del Método de Hardy Cross El método de cross es un método iterativo, es decir una solución aproximada mejorada sucesivamente hasta que el error es aceptablemente pequeño. El plan iterativo que se habla abajo es modificado de la presentación original de Hardy Cross(1936) y es similar al método de (gauss – Seidel) resolviendo ecuaciones lineales. Supone que cada ecuación es una función solamente de una variable y utiliza dos términos de las serie de Taylor en la derivación del fórmula de mejorada. Es equivalente al método de Newton de las tangentes aplicadas a cada ecuación por separado. Suponer todas las cantidades de aire qj (j = 1, 2 . . . nb) son inicialmente teniendo en cuenta los valores such eso (Eq. 17-38) es satisfecho, pero no (Eq. 17-39). Como describió antes, esto puede ser conseguido asignando cuarto para un juego de las fibras y utilizar uno de Eqs. 17-23 a 1 7-25. Asumir eso la ecuación de kth hacia dentro Eq.. 17-39 puede ser considerado ser una función de cuarto solamente, donde los pies son la cantidad aérea para la fibra contenía k. en malla. Por lo tanto,

(17-40)

(17-41) Dónde ser el factor de rectificación para la ecuación de Mi o la malla en popa y dónde quiere decir que los términos después de la flecha reemplazan el término antes de la flecha la flecha. Se dilatar Eq.. 17-40 en la serie de Taylor y descuidar los términos de higlKorder, hemos

(17-42) Pretenciosa / t (pies + Aft) en el que = 0 y solucionar para Aft resultan (17-43) donde fi es un de fk carente de originalidad y puede ser expresado como


FIGMM

(17-44)

O, si todos hF. Para las ramas en k de malla las constantes, los derivados de hF estar. Desaparezca. Por lo tanto

Mejorar sucesivamente hasta que el error es aceptablemente pequeño. El plan iterativo de ser hablado de abajo es modificado de la presentación original de Cross resistente (1936) (17-45) Recordar eso Eq.. 17-38 fue satisfecho inicialmente. Continuar satisfacerlo, el seguir a ing de la operación es llevado a cabo:

(17-46) Donde Eq.. 17-24 ha sido utilizado. Debido a que la función depende de que las cantidades aéreas correspondan a las fibras en realidad la mejora repetida de las cantidades aéreas para cada malla es necesaria. Al mismo tiempo, los valores de |/T | O |En popa | Para k = 1, 2,. . . , M es comparado con un valor seguro pequeño e, y cuándo de todos valores de ellos. Si deseado, todos valores de hL. Y hFj es calculado usando Eqs. 17-15 y 17-16, respectivo. Basado en el resultado de la discusión, y limitando el proceso a determinar el número de iteraciones, el método de Hardy Cross puede resumirse como sigue: Paso 1 Hacer:

q

j= 0

para j =1, 2, ..., nb .

Paso 2 Asignar un valor inicial a ∆qi para i =1, 2, ..., m. Paso 3 Hacer:


FIGMM

m

q j ← q j + ∑ bij ∆qi para j = 1, 2, ..., nb i =1

Paso 4 Calcular lo siguiente para i = 1,2,..., m :

∑ b (r / q nb

(a)

∆qi = −

j =1 nb

j

j

∑ b [2r / q j =1

b)

ij

2 ij

q j ← q j + bij ∆qi

j

/ q j − hN j − hFj j

)

/ − (β j + 2γ jq j )

]

para j = 1, 2, ..., nb

Paso 5 Si el número determinado de iteraciones (donde la iteración implica variar i de 1 a m) tiene que ser detenido en el paso 4. Cuando esto ocurre, es generalmente porque la convergencia no existe en los archivos. Paso 6 Si ∆qi es menor o igual que є para i=1,2,…,m en el paso 4, la solución es completa. De lo contrario retornar al paso 4. Todo cálculo está basado en el valor de cada variable. En el paso 4 el cálculo de b debe realizarse inmediatamente después de calcular a para el mismo valor de i. SELECCIÓN DE LA MALLA El radio de convergencia en el método iterativo de Hardy Cross es dependiente no sólo del valor inicial de qj sino también de la selección de la malla. Para una rápida convergencia, es deseable que la matriz de la malla fundamental se construya de manera que el factor de resistencia correspondiente esté acorde con el árbol que define la malla fundamental. En otras palabras, que se escoja un árbol que contenga la más baja resistencia. Tal árbol se muestra con el mínimo de ramificaciones. La construcción del árbol con menos ramificaciones debemos colocar todos los ramales en contacto, en orden decreciente del factor de resistencia y aplocar el algoritmo de búsqueda del árbol


FIGMM

(Minieka, 1978), inicialmente todas las ramas no tienen color y todos los bloques están vacíos. Paso 1 El color de la primera rama es Azul, y los dos lugares finalizan en un punto del bloque vacío. Paso 2 Seleccionar la siguiente rama. ( Si todas las ramas tienen su color, detener el algoritmo; no existe el árbol ramificado). Una de estas cuatro situaciones puede suceder: a) ambos puntos finales están en la rama del mismo bloque. b) Uno de los puntos finales de la rama está en un bloque y el otro punto final no está en ningún bloque. c) Ninguno de los puntos finales está en ningún bloque. d) Cada punto final está en un bloque diferente. Si el caso a) ocurre, el color de la rama naranja (no está en el árbol) y regresar al paso 2. Si ocurre el caso b), el color de la rama es azul (está en el árbol) y asignamos el desbloqueo del punto final al mismo bloque del otro punto final. Si ocurre el caso c), el color de la rama es azul y asignamos cada punto final a un bloque vacío. Si ocurre el caso d), el color de la rama es azul y combinamos el contenido de cada bloque dentro de un bloque, lo imponemos en otro bloque vacío. Ir al paso 3. Paso 3 Si todos los nodos del contacto están en la malla, detener el algoritmo, desde la rama azul, se forma un árbol ramificado. Nuevamente retornar al paso 2. Ejemplo 17-1. Se muestra el siguiente sistema de ventilación en la figura 17-6 a, consiste en dos barras y un aumento conectado a dos niveles de tendencia. Resistencias como r x1010 in.min2/ ft6( N.s2/m8), para cada rama está indicado. Asumiendo esto el diámetro de la tubería no puede ser más de 8.0 in. (1991 Pa) y la ventilación natural es insignificante, resolver la red por el método de Hardy Cross. Realizar cinco iteraciones o continuar hasta que se cumpla la condición de que (0.012 m3/s).

l ∆qi l<=є, con є = 25 cfm


FIGMM

Fig 17-6. Se muestra en dos partes a) un sistema de ventilación consistente en dos barras conectadas con dos niveles de tendencia. B) se muestra la reducción de la red. Solución: Desde que el diámetro está definido, sabemos que es constante en la solución del problema. Para simplificar nuestra combinación de series de ramas y reducir la red del sistema de ventilación 8 mostrada en la fig 17-6 b), donde nb = 6 y nn = 4. El número de segmentos en la malla fundamental está definido por: m = nb − nn + 1 = 6 − 4 + 1 = 3

Ordenando las ramas en forma ascendente según sus resistencias, tenemos: r4 < r2 < r1 < r3 < r6 < r5

Luego de aplicar el algoritmo del árbol resulta: Árbol-ramas

ramas 1, 2, 4

Segmentos

ramas

3, 5, 6

La matriz malla fundamental está definida por:


FIGMM

1 1 1 B =2  0 3 1

2

3

4

5

1 1 0

1 0 0

0 0 −1 1 0 0

6 0 0  1 

Siguiendo el procedimiento del método de Hardy cross antes mostrado, tenemos: Paso 1 q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = q6 = 0

Paso 2 Asignamos

valores

arbitrarios

∆q1 = 30,000 , ∆q2 = 20,000 , and ∆q3 = 40,000

Paso 3 Malla 1:

q1 ← q1 + ∆q1 = 0 + 30,000 = 30,000 q 2 ← q 2 + ∆q1 = 0 + 30,000 = 30,000 q 3 ← q3 + ∆q1 = 0 + 30,000 = 30,000

Malla 2:

q2 ← q2 + ∆q 2 = 30,000 + 20,000 = 50,000 q 4 ← q 4 + ∆q 2 = 0 − 20,000 = −20,000 q 5 ← q 5 + ∆q 2 = 0 + 20,000 = 20,000

Malla 3:

q1 ← q1 + ∆q 3 = 30,000 + 40,000 = 70,000 q 4 ← q 4 + ∆q3 = −20,000 + 40,000 = 20,000 q 6 ← q 6 + ∆q 3 = 0 + 40,000 = 40,000

Tabla 17-1 Datos Calculados con el Método de Hardy Cross para el Ejemplo 17-1 Iteratio

i

∆qi

q1

q3

q2

q5

q4

q6

n 0 1

30,000

0

0

30,000 30,000 30,000

0

0

0


1

2

3

4

FIGMM

2

20,000

3

40,000

70,000

1

23,030

93,030 73,030 53,030 20,000

2

-

3

22,278

1

8,464

2

-2,566

3

-1,854

52,596

1

396

99,324 46,434 50,566 52,992

2

102

99,426 46,586

3

152

52,840

1

-25

99,401 46,570 50,550 52,815

2

-16

99,385 46,568

3

-2 7

50,000

- 20,000 20,000

50,752 101,49

40,000 -2,278

42,278

48,464

4 48,186 50,464 50,742 98,928 46,332

-4,132

-3,980 48,835 -3,982 52,817

99,392

48,860

52,824

48,842


FIGMM

Paso 4

∆ q1 =

Malla 1:

=

[( 5.20)( 70,000)

2

r1 | q1 | q1 + r2 | q 2 | q2 + r3 | q3 | q3 − hF1 2( r1 | q1 | + r2 | q2 | + r3 | q3 |)

]

+ ( 4.25 )( 50,000 ) + ( 7.60 )( 30,000 ) (10 ) 2

2

−10

2[ ( 5.20 )( 70,000 ) + ( 4.25 )( 50,000 ) + ( 7.60 )( 30,000 ) ](10 )

− 8.000 −10

= 23,030 q1 ← q1 + ∆q1 = 70,000 + 23,030 = 93,030 q 2 ← q 2 + ∆q1 = 50,000 + 23,030 = 73,030 q3 ← q3 + ∆q1 = 30,000 + 23,030 = 53,030

∆ q2 =

Malla 2:

r2 | q 2 | q 2 + r4 | q 4 | q 4 + r5 | q5 | q5 2( r2 | q 2 | + r4 | q 4 | + r5 | q5 |)

[( 4.25)( 73,030) =

2

]

+ ( 3.25 )( 20,000 ) + ( 9.45 )( 20,000 ) (10 ) 2

2

2[ ( 4.25 )( 73,030 ) + ( 3.25 )( 20,000 ) + ( 9.45 )( 20,000 ) ](10 )

= -22,278 q2 ← q2 + ∆q 2 = 73,030 + ( − 22,278 ) = 50,752 q 4 ← q 4 + ∆q 2 = 20,000 − ( − 22,278) = 42,278 q5 ← q5 + ∆q 2 = 20,000 + ( − 22,278 ) = −2,278

Malla 3:

∆ q3 =

r1 | q1 | q1 + r4 | q 4 | q 4 + r6 | q6 | q 6 − hF1 2( r1 | q1 | + r4 | q 4 | + r6 | q6 |)

−10

−10


=

[( 5.20)( 93,030)

2

FIGMM

]

+ ( 3.25 )( 42,278) + ( 8.20 )( 40,000 ) (10 ) 2

2

−10

2[ ( 5.20 )( 93,030) + ( 3.25 )( 42,278) + ( 8.20)( 40,000 ) ] (10 )

− 8.000 −10

= 8,464

q1 ← q1 + ∆q3 = 93,030 + 8,464 = 101,494 q 4 ← q 4 + ∆q3 = 42,278 + 8,464 = 50,742 q 6 ← q 6 + ∆q 3 = 40,000 + 8,464 = 48,464

Paso 5 Desde que una iteración es realizada, ir al siguiente paso. Paso 6 Si los valores de l ∆qi l para i = 1,2,3

son más grandes que 25 cfm,

volver al Paso 4 y realizar una iteración adicional. Los datos calculados en las cuatro iteraciones son presentados en la tabla 17-1. Hasta el final de la cuarta iteración, todos los valores de l ∆qi l están por debajo de 25 cfm.

Es importante terminar el proceso de iteración y calcular hLj y hj para el sistema de ventilación de la Fig 17-6 a. Los resultados se tienen en la tabla 17-2. Como un ejemplo de verificación de la solución, hacemos que el nodo C y la malla A-B-C-DH. Usando los datos de la tabla 17-2 tenemos: 46,568 + 3,982 – 50,550 =0 cfm Para la sumatoria de cantidades que ingresan al nodo, y 0.889 + 0.922 +1.942 – 3.752 = 0.001 in. Para la sumatoria de presiones en la malla


Table 17.2 Solución del ejemplo 17-1

FIGMM


FIGMM

RED CON UNA CANTIDAD FIJA DE RAMAS Una cantidad fija de ramas es aquella cuya cantidad de aire q j está definida o asignada, Desde que la cantidad es asignada o conocida, podemos elegir la dirección de la rama que cumpla q j > 0. Al no Rama

A-B

B-C

C-D

B-E

E-F

F-C

F-G

G-D

D-H

q,cfm

99,392

46,56

50,55

52,82

52,824

3,982

48,84

48,84

99,39

(m3/s)

(46.91)

8

0

4

(24.93)

(1.88)

2

2

2

2.70

9.45

r,10-10in.min2/ft6

0.90

(21.98 (23.86 (24.93

(23.05 (23.05 (46.91

(N.s2/m8)

(0.10)

)

)

)

(0.30)

(1.06)

)

)

)

hL, in.

0.889

4.25

7.60

0.55

0.753

0.015

5.35

2.85

4.30

(Pa)

(221)

(0.47)

(0.85)

(0.06)

(187)

(4)

(0.60)

(0.32)

(0.48)

h, in

0.889

0.922

1.942

0.153

0.753

0.015

1.276

0.680

4.248

(Pa)

(221)

(229)

(483)

(38)

(187)

(4)

(318)

(169)

(1,057

0.922

1.942

0.153

1.276

0.680

)

(229)

(483)

(38)

(318)

(169)

-3.752 (-934)

conocer la solución de la rama se elige entre dos opciones: Pérdida de presión hRj o presión de ventilación hFj , donde hRj >= 0 ; hFj >= 0, y (hRj) (hFj ) = 0 con qj > 0 El diámetro de ventilación para una cantidad fija de la rama no es tratado como una función de q j en la solución del proceso. Las ramas de ventilación en una cantidad de aire no fijada se conoce como rama ventilada. Además podemos llamar a una rama sin ninguna cantidad fija de ramas como una rama ventilada o una rama regular. Excepto para la cantidad fija de ramas, el no conocer o conocer el problema de redes con cantidad fija de ramas es el mismo que se presenta en el problema de redes con abertura natural. Nuestra discusión aquí será limitada a la red en el cual 1<= n q <= m y n q + n f <= m, donde n q, n f y m son respectivamente, los números de cantidad fija de ramales, ramales de ventilación, y mallas fundamentales. Adicionalmente, nosotros vamos asumir que la cantidad fijada de ramales y ramales de ventilación puede ser contenido en un conjunto de fibras con respecto a un árbol. Si existe, tal como un árbol puede ser escogido mediante un primer arreglo los ramales en el orden de ramales regulares (preferiblemente en el orden de sus resistencias), seguido por ramales de ventilación y ramales de cantidad fijada, y entonces aplicando el tramo del árbol del algoritmo (ver art. 17-3). De ese modo cada cantidad fijada de ramales y cada ramal de ventilación es una fibra y es contenido en solo una malla fundamental.


FIGMM

Si las mallas fundamentales son construidas en esta forma, y las mallas conteniendo cantidades fijas de ramales y ramales de ventilación son numerados desde 1 hasta nq y nq + 1 hasta nq + nf , respectivamente, entonces la ley de voltaje de kirchhoff para la red de ventilación con cantidades fijas de ramales. Pueden ser escritas como: nb

hRki – hFki = -Σ bij (rj IqjI qj – hNj) para i = 1,2, ……, nq (17-47) nb

j=1

Σ bij (rj IqjI qj – hNj) – hFki = 0

para i = nq + 1, nq + 2, …., nq + nf

(17-48) j=1

nb

Σ bij (rj IqjI qj – hNj) = 0

para i = nq + nf +1, nq + nf + 2 , ….,m

(17-49) j=1

Donde Ki es la cantidad de ramales para la fibra que esta contenida en la malla i. El siguiente procedimiento, el cual es una aplicación

del método

iterativo de Hardy Cross, es generalmente empleado en la solución de los sistemas de ecuaciones (17-38) y (17-47) a (17-49). Paso 1: Hacer Δqi = qki para i = 1,2, ….,nq Paso 2: Asignar valores iniciales a Δqi para i = nq + 1, nq + 2, ….,m Paso 3: Hacer qj = 0

para j = 1,2, …., nb.

Paso 4: Calcular qj = Σ bijΔqi

para j = 1,2,3,…., nb


FIGMM

Paso 5: Performancia de la iteración de Hardy Cross (ver pasos 4 a 6, art. 173)

para i = nq +1, nq + 2, ….., m.

Paso 6: Para i = 1,2,3,…,nq, nb

(a) calcular

tj = -Σ bij (rj IqjI qj – hNj) j=1

(b) si ti >=0 , hacer hRki = ti y hFKi = 0. De otra forma, hacer hRKi = 0 y hFKi = -ti Es importante notar que en el paso 5 la iteración es realizada solo para las mallas que no contienen una cantidad fija de ramales. Si es deseado, todo hLj y hFj son calculados mediante el uso de ecuaciones (17-15) y (17-16), respectivamente. El valor no nulo para cabezas de ventilación obtenido en el paso 6b implica que la ventilación en la cantidad fijada de ramales debe ser operada en la cabeza hFKi con la cantidad dada qKi. Si la ventilación no es permitida en la cantidad fijada de ramales, entonces el resultado calculado con el hFKi no nulo, no es una solución valida.

RED CON DIVISIÓN CONTROLADA En este tipo de red de ventilación, la cantidad de aire para m ramales correspondientes a un conjunto de son dadas y esas para las ramales del árbol son únicamente determinadas por la ecuación (17-23) la ley de corriente de kirchhoff para la red de ventilación es satisfecha. Por lo tanto, todos los ramales en la red son considerados como ramales de cantidad fija. Factores de resistencia rj presiones de ventilación natural hNj son todos dados. Los desconocidos son resueltos y están regulados por las perdidas de cabeza hRj y las cabezas de ventilación hFj. Nosotros vamos a asumir que, sin perdida de generalidad, la dirección de los ramales son escogidos para coincidir con los flujos de aire tal que todo valor de qj será positivo. Por considerar la potencia de aire en adición a la ley de kirchhoff, una formulación generalizada para el problema de redes con división controlada puede ser presentada en la siguiente forma. Minimizar:


Z = Σ qjhFj = Σ qj(hLj + hRj – hNj)

FIGMM

(17-50)

Sujeto a: Σ qij(hLj + hRj – hNj – hFj) = 0 para i = 1,2,….,m Y hRj >= 0 ; hFj >= 0

para j = 1,2,…..nb

(17-51) (17-52)

Donde: hLj = rj IqjI qj Ecuación (17-50) es la función lineal objetivo que es minimizado. La ecuación (17-51) las constantes lineales del sistema, y la ecuación (17-52) define la no negatividad de las condiciones. El problema formulado con estos tipos de ecuaciones es conocer como el problema de programación lineal (LP) y puede ser resuelto por las técnicas originales de programación lineal. En términos de programación lineal, cualquier solución que satisfaga las ecuaciones (17-51) y (17-52) es una solución factible. Una optima solución es una factible solución que minimiza la ecuación (17-50). En general, existen mas de una optima solución para el problema de ventilación. Si no hay limitaciones establecidas en el uso de ventilación o ventilación para aumento de presión, entonces la solución optima puede siempre consistir en no mas que m valores positivos de hFj. Si ventiladores y/o reguladores no son permitidos en algún ramal, el correspondiente hFj y/o hRj puede ser eliminado de la ecuación. In la siguiente discusión, nosotros primero vamos a considerar el caso especial donde solo un ventilador principal será instalado como un impelente o insuflante. Por simplicidad, la presión de ventilación natural será considerada insignificante. Desde que solo un ventilador principal esta implicado, nuestro objetivo es determinar la cabeza del ventilador principal y la posición y cabezas de los reguladores. Mediante el numerado de los ramales con el ventilador como ramal 1 y escoger este ramal como una fibra contenida en la malla 1, el problema puede ser indicado como sigue. Minimizar: nb

Z = q1hF1 = Σ qj(hLj + hRj) j=1

nb

(17-53)


Sujeto a: Σ bij(hLj + hRj) = 0

FIGMM

para

i = 2,3,…….,m

(17-54)

j=1

Y hRj >= 0 para j = 1,2,3,…….,nb

(17-55)

Debido a que q1 es una constante, Ec. 17-53 puede ser remplazado por: Minimizar: z’ = hF1

(17-56)

Empleando presiones de nodo, el problema puede también ser dado como sigue. Minimizar: hF = PNnn - PN1

(17-57)

Sujeto a: PNj - Pni - hRij = hLij para todos los ramales (i,j) excepto el ramal (nn,1) (17-58) Y hRij >= 0 para todos los ramales (i,j) excepto ramal (nn,1)

(17-

59) Donde PNk es la presión del nodo k referido al nodo 1, en pulgadas de agua (Pa). La presión del nodo más bajo que en el nodo 1 es considerado positivo. El doble subíndice ij es empleado para denotar el ramal cuyo nodo inicial y final son i y j, respectivamente. En adición los nodos correspondientes a la entrada y salida del sistema de ventilación son numerados con 1 y nn, y un ramal asumido de retorno (nn,1) teniendo resistencia cero es aumentada a la red. El ventilador principal es asumido para ser localizado en este ramal simulado. Una ruta critica aproximada La formulación para el problema con un ventilador principal antes discutido es similar para ese del método de la ruta critica.(CPM) para proyectar programar. La siguiente más larga ruta para el algoritmo, el cual es adoptado del método de ruta critica, puede ser empleado para obtener 2 juegos de soluciones óptimas.


FIGMM

Procedimiento de numerado de nodos: Paso 1: Numerar los nodos, así que todos los ramales (i,j) tienen i < j. Para lograr esto, numerar la entrada del nodo i, entonces usar el próximo entero para cualquier nodo no numerado cuyos nudos anteriores están ya numerados, y repetir el procedimiento hasta que todos los nudos han sido numerados. Procedimiento hacia adelante: Paso 2 Hacer e1 = 0 Paso 3 Para j = 2,3, ….,nn, juego ej igual para el máximo valor de (ei + hLij) para todos los ramales (i,j) cuyo nodo final es j. Paso 4 Computar xij = ej - ei -hLy para todos los ramales (i,j). Paso 5 Hacer hF = enn Procedimiento hacia atrás: Paso 6 Hacer gnn = enn Paso 7 Para i = nn - 1, nn - 2 , ……,1, conjunto gi igual al mínimo valor de (gj hLij) Para todos los ramales (i,j) cuyo nodo inicial es i. Paso 8 Computar yij = gj - gi - hLij para todos los ramales (i,j). En la performancia de los pasos anteriores, el retorno del ramal adicionado (nn,1), debe ser ignorado. Los procedimientos de entrada y salida producen dos conjuntos de soluciones óptimas con el mismo valor mínimo de la cabeza (hF) d4el ventilador. Para distinguir los dos conjuntos de soluciones, la presión del nodo PNi, estaba representado por ei, y gi en el ingreso y salida respectivamente. Similarmente, la perdida de cabeza hRij por regulador estaba representada por Xij y Yij. Para ilustrar, considerar la red en la fig. 17-7, donde las pérdidas de cabeza para los ramales están indicadas y los nodos están numerados de acuerdo al procedimiento de numeración de nodos.


FIGMM

Dos conjuntos de soluciones optimas obtenidas mediante los procedimientos de entrada y salida son mostrados en las figuras 178a y 17-8b, respectivamente. Ellos están también resumidos en la tabla 17-3. Observe que los ramales correspondientes a los no nulos hRij y hF están indicados por la línea punteada, y los ramales sobrantes de la red son mostrados por la simple o doble línea continua. Los ramales mostrados por la línea continua forman un tramo del árbol dirigido.

Si la perdida de cabeza hij es considerada una distancia, entonces la mas larga ruta desde el nodo 1 a cualquier otro nodo de la red esta contenido en el tramo del árbol dirigido de la figura 17-8a, y la mas larga ruta desde cualquier nodo hasta el nodo nn, o la salida esta contenida en el tramo del árbol dirigido de la fig. 17-8b. Nosotros vamos a llamar a estos árboles, los árboles de mas larga ruta, y la correspondiente solución del árbol de ruta mas larga. La mas larga ruta desde el nodo 1 hasta el nodo nn, o desde el ingreso a la salida, es conocido como la division libre y corresponde a la ruta critica del proyecto de red por el método de la ruta critica. La división libre, cual es la misma en ambas soluciones, es mostrada por la doble línea en la fig. 17-8 es la ruta desde el nodo 1 hasta el nodo nn, con Xij = Yij = 0 para todos los ramales en la ruta. El puede ser trazado hacia atrás desde el nodo nn hasta el nodo 1 para los ramales con Xij = 0, o hacia delante desde el nodo 1 hasta el nodo n n para el ramal con Yij = 0.


FIGMM


FIGMM

Figura 17-8 la ruta mas larga de la solución de la red de la fig. 17-7 (a) la solución obtenido por el procedimiento de entrada. (b) la solución obtenida por el procedimiento de salida. Los números subrayados son perdidas de cabeza por regulador.

SOLUCIONES ALTERNATIVAS Puesto que la solución a las redes con divisiones controladas es, en general, no único, es a menudo deseable explorar soluciones alternativas. El procedimiento siguiente puede ser empleado en la obtención de una solución alternativa de los dos sistemas de soluciones del largo-trayectoria-árbol. El PASO 1 Elige un secciones de corte tales que (1) los nodos 1 y nodo nn estan contenido en N1 Y N2 Respectivamente, y (2) las ramas en el secciones de corte excepto la rama simulado de vuelta, están todos positivos basados en la dirección de N1 a N2 El PASO 2 Dejó PNi para todos los nodos i en los cuales esté N1 Y también deje PNi = gi Para todos los nodos i en los cuales este en N2 . El PASO 3


FIGMM

Dejó hRij=Xij para todos los ramas (i,J) cuyos nodos iniciales y finales son ambos N1 Y también deje hRij=Yij para todos los ramas (i,J) cuyo nodos iniciales y finales estén ambos en N2. El PASO 4 Calcula hRij= PNj- PNi- HLij por todo las ramas positivas (i,J) En el secciones de corte El PASO 5 Dejó hf = PNnn A excepción de los pasos 1 y 4, todos los pasos están implicados simplemente con la transferencia de los datos de las soluciones del largo-trayectoria-árbol. Como ejemplo, podemos considerar la solución alternativa dada en la fig. 17-9, la cual fue obtenida de las soluciones del largo-trayectoriaárbol de la fig 17-8 Consistiendo en determinadas ramales (3,5), (3,6), (4,5), (4,6) y (8,1) es un secciones de corte que satisface las condiciones del paso 1. Los nodos 1, 2, 3, y 4 están contenidas en N1 los nodos 5, 6, 7 y 8 están contenidas en N2. Observe que permanecen partidos libres y el número de nonulos h Rij de valores distintos a cero sin cambiar. Excepto la rama de vuelta, las ramas con cero hRij desde un árbol. OPERACIÓN DE CORTE DE SECCIONES como observamos en art. 17-1 cada acoplamiento cortado por un secciones de corte tiene a menudo dos ramas en campo común con el secciones de corte . Denotemos por la letra s y t Las dos ramas del acoplamiento i que son comunes con el secciones de corte, y expresa la ley del voltaje de kirchhoff del extremo.


bis h s + bit ht +

nb

∑b h j =1

ij

j

FIGMM

= 0 (17 − 60 )

j ≠s , t

Para el acoplamiento i como supone que ha sido satisfecha la ley de voltaje de kirchhoff. Si una gota de presión constante ∆p se agrega y se resta de las gotas de presión hj Para cada rama positivo y negativo del secciones de corte K, respectivamente, entonces la suma de las gotas de presión para los ramas s Y t En acoplamiento i se da por


FIGMM

b ( h + c ∆ p ) + b ( h + c ∆ p ) = b h + h h + ∆ p(b c + b c )  (17− 61) is

s

ks

it

t

kt

is

s

it

t

is

ks

it

kt

En la tabla 17-4 los resultados posibles de bis, bit, cks, y ckt se enumeran para demostrar el tercer término en el lado derecho de la Eq. 17-61 Desaparece. Es, por lo tanto, fácil ver que la ley de voltaje de kirchhoff, Eq 17-60 sigue satisfecha. Es valido para cualquier acoplamiento que tenga ramas en campo común con el secciones de corte. Esta característica del secciones de corte y de los acoplamientos es la base de la operación del secciones de corte, que fue introducida en el análisis de las redes de la ventilación por Wang (1981). Aplicando la operación del secciones de corte, las soluciones alternativas se pueden obtener de una solución óptima existente. Por ejemplo, la solución demostrada en fig. 17-9, lo Cuál fue generado de las soluciones del largo-trayectoria-árbol, se puede obtener de la que esta' dada en la fig. 17-8a eligiendo el secciones de corte que consiste en ramas (3,5), (4,5), y (5,7) y que funciona con ∆p=hR5,7 como puede ser observado de este ejemplo, el uso de los resultados de la operación del secciones de corte en la re-localización de un regulador a partir de un ramal a otro. Se resumen las condiciones bajo las cuales el regulador en el ramal (s,t) se puede volver a poner para ramificar (u,v) sin que afecte la cabeza del ventilador como sigue: 1. – ramas (s,t) y (u,v) Se contienen en un cutset en del cual todos los valores de hRij Sea distinto.


FIGMM

2. - las direcciones del ramal (s,t) Y el ramal (u,v) es opuesto en el secciones de corte. 3. - el valor de hRst es el mínimo entre los ramales que se contienen en el secciones de corte y tienen la misma dirección que el ramal (s,t) 4. – ramal (u,v) No contiene en la fractura libre, y hRuv = 0. El secciones de corte que satisface estas condiciones es un secciones de corte fundamental con respecto al árbol en el cual todos los valores de hRij =0. Ramal (u,v) Es un árbol-rama que no contiene en la fractura libre. Puesto que el ramal (u,v) es un árbol-rama, es un ramal positivo fundamental en el secciones de corte si en la convención estándar se emplea. Sin embargo, asumiremos a través del recordatorio del capítulo que el nodo 1 o la entrada está contenido siempre en N1, Y la dirección del secciones de corte esta desde N1 a N2 a por lo tanto, el ramal (u,v) puede ser positivo o negativo dependiendo en si el nodo u o el nodo V está contenido en N1. Así si es desagradable instalar un regulador en cierto ramal, uno puede explorar la posibilidad de volver a poner el regulador a otro ramal. Una vez que se ha encontrado el secciones de corte que satisface las condiciones antedichas, una solución alternativa a la solución óptima existente se puede obtener por el procedimiento siguiente para volver a poner un regulador: PASO 1 Si le ramal (s,t) es un ramal negativo en el secciones de corte, dej que

∆p = hRst

Ventiladores múltiples El problema de ventiladores principales múltiples, excepto ésos que están instalados en series y paralelos, es acompañado siempre por las entradas múltiples y/o las salidas. En hecho, la solución a una red con división controlada no puede ser obtenida al limitar la red a un solo ventilador, a menos que exista en la red por lo menos un secciones de corte que separe nodo nn del nodo 1 y contenga, además del ramal simulado de vuelta, exactamente una rama positivo.


FIGMM

Aquí la solución con un ventilador en el ramal simulado de vuelta no se considera una solución verdadera. Sin embargo, en la solución de un problema que implica las entradas múltiples y/o las salidas, podemos primero combinar todas las entradas o salidas en un solo nodo, y obtenemos la solución temporal por el algoritmo del largotrayectoria si se asume que un ventilador principal en el ramal simulado de vuelta. Después de obtener la solución del largo trayectoria-árbol, una operación del secciones de corte se realiza para quitar el ventilador en el ramal de vuelta y para agregar sopladores en todo el ramal cuyos nodos iniciales sean el nodo 1, o los extractores en todos los ramales cuyos nodos finales sean el nodo nn. En este caso, la cabeza del ventilador y la pérdida principal del regulador están implicadas en la operación del secciones de corte. Para reducir al mínimo la energía de aire total, la operación del secciones de corte se realiza en la solución del largo-trayectoriaárbol correspondiendo al procedimiento de avanzar o el procedimiento retroceder, dependiendo de si un soplador o un dispositivo de escape es deseado. Antes de ilustrar la adición de ventiladores por ejemplo, examinaremos los cambios en la energía de aire total asociada a una operación del secciones de corte. Para la conveniencia, deje

h d ij

denotan pulgadas de agua (PA) la

gota de presión que es ajustada por un ventilador o un regulador en rama (i,j). Entonces llevando la siguiente relación:

hDij = pNj – pNi - hLij hRij = hDij

y hFij = 0

(17-62) si hDij ≥ 0

hRij = 0 y hFij = - hDij si hDij < 0

(17-63) (17-64)

Suponga un sistema de los valores para hDij que se da en una solución. Eligiendo un secciones de corte y realizando la operación del secciones de corte con un valor de ∆p nosotros tenemos H´Dij = hDij + dij ∆p

(17-65)

Del donde la primera indica el valor de hDij Después de la operacion del secciones de corte y


FIGMM

dij = 1 si el ramal (i,j) es un ramal positivo en el secciones de corte dij = -1 si el ramal (i,j) es un ramal negativo en el secciones de corte dij = 0 si el ramal (i,j) no esta contenido en el secciones de corte Puesto que la energía de aire es proporcional al producto de la cabeza y de la cantidad, la capacidad del energía-ahorro de un secciones de corte con ∆p se puede expresar en in*cfm

Wc =

∑ ( hR − h`R ) q ij

ij

ij

=

∑ ( hF − h`F ) ij

ij

……. (17-66)

Donde la adición se asume para el control de todas las ramas en el secciones de corte , y la primera indica el valor después de la operación del secciones de corte. Para obtener la energía de aire en hp wc Tiene que ser multiplicada por 5.2/33,000 o 1.576*10^ (-4) (la unidad del SI para wc es w). Si los valores para hDij En un secciones de corte sea distinto y ± ∆p se fija igual a uno de los valores para hDij entonces el número de valores distintos a cero de h`Dij es igual a el hDij de esto se ilustra en la fig. 17-10, Donde las soluciones 2 a 5 son obtenidas de las soluciones 1 en la operacion del secciones de corte. Observe que el valor para wc con una disminución del número de valores positivos de hDij (regulador) o un aumento en el número de valores negativos de hDij. Significa que los ventiladores emplean el aumentador de presión en vez del regulador resultando en un ahorro de la energía sin embargo, ésto no es siempre verdad para una red general. Si un secciones de corte no contiene el ramal en la fractura libre, el ahorro en energía no resultará de la operación del secciones de corte que aumenta el


FIGMM

número de ventiladores con una disminución correspondiente del número de reguladores. Ahora déjenos de vuelta a la adición de sopladores o de extractores. Las soluciones del largo-trayectoria-árbol para una red con las entradas múltiples y las salidas se dan en la fig. 17-12 las soluciones requieren tres ventiladores para el sistema del soplador y dos ventiladores para el dispositivo de escape. Si se desea el dispositivo de escape, elegimos consistir el secciones de corte


FIGMM


FIGMM

De ramas (12,14), (13,14), y (14,1), y llevar a cabo una operación de secciones de corte con ∆p = hD16.1 = −5.76 Sobre la base de la solución en la figura. 17-11, que

fueron obtenido en el procedimiento delantero - pase. Esto resulta en una solución óptima mostrado en la figura. 17-13. Usar Eq. 17-66 y las cantidades aéreas poner en una lista en el Cuadro 17-5, que obtenemos wC = (0.80 )(118 ,000 ) = 94 ,400 in .cfm (11.1 KW)

Or, wC = (5.76 )( 260 ,000 ) −(5.76 )(142 ,000 ) −( 4.96 )(118 ,000 ) wC =94 ,400 in .cfm (11.1 kW)

Si la operación de secciones de corte

es llevada a cabo sobre el

resultado del procedimiento hacia atrás - premisa, que es dada en la figura. 17-12, el resultado de la cabeza en la rama (13,14) será 5.76. (1433 Pa) en lugar de 4.96 presente. (1234 Pa). Usar la misma lógica, el resultado de los procedimiento hacia atrás - premisa, figura. 17-12, debe ser usado en la solución para el sistema de soplador. Una solución óptima para el sistema de soplador es indicada en la figura. 17-14. Note que la presión de nodal negativa demuestra la presión encima del dato atmosférico en el sistema de soplador.


FIGMM


FIGMM


FIGMM

CONCLUSIONES •

El método de Hardy Cross se basa en el algoritmo de aproximaciones sucesivas que permite hacer varias operaciones de un mismo tipo (iteraciones) hasta que se cumpla determinada condición (errores tiendan a cero).

•

Los programas usados para la ventilación son una gran herramienta en la red, ya que puede dimensionarla de acuerdo a caudales impuesto o caudales requeridos en un tramo, además puede escoger o recomendar el ventilador necesario en la red. Pero para el uso de estos es necesario la participación de personas con conocimientos suficientes en el área de ventilación, esto con el fin de aprovechar al máximo los resultados arrojados por el programa, y pueden ser utilizados tanto para ventilación principal, como para ventilación secundaria.

Ventilación Hardy Cross

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