METODO DE HARDY CROSS – TUBERIAS TUBERIAS INTRODUCCIÓN Una red cerrada de tuberías es aquella en la cual los conductos o tuberías que la componen se ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados. Un circuito es cualquier trayectoria cerrada que puede recorrer una partícula fluida, partiendo desde un punto o nudo de la red, fluyendo por distintos tramos, hasta llegar al punto de partida. Las redes urbanas de distribución de agua potable, las redes de distribución de gas para usuarios urbanos, las redes de distribución de agua en distritos de riego, las redes de distribución de gas en sistemas de refrigeración, las redes de distribución de aceite en sistemas de lubricación y las redes de distribución de aire en sistema de ventilación, son ejemplos clásicos de conformación de redes cerradas de tuberías. Sin embargo, en esta oportunidad, el análisis se centrará en las redes de distribución de agua, cuya aplicación es de gran interés para los profesionales de las Ingenierías Hidráulica, Minas, Civil, Industrial, Agrícola y Sanitaria. Las redes urbanas de distribución de agua forman ramificaciones sucesivas de tuberías, siguiendo el trazado de las calles y vías de acceso, conformando circuitos o anillos cerrados, de manera que el agua, en un nudo de la red, puede venir por dos o más direcciones distintas, lo cual presenta la ventaja de no interrumpirse el suministro en los eventos de reparación o de mantenimiento. El análisis de una red cerrada de tuberías conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones no lineales, de solución muy laboriosa, que solamente es posible resolver por métodos de aproximaciones sucesivas, uno de los cuales es el Método de Hardy Cross.
RESUMEN En este trabajo se presentan dos versiones del Método de Hardy Cross para analizar redes cerradas de tuberías. Cada versión del método consiste en un algoritmo matricial, programado en lenguaje BASIC, empleando una ecuación particular de resistencia para el cálculo de la pérdida de carga en los tramos de la
La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía. La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías. Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, D Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva. Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías. Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aquí se presenta, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.
FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS El método se fundamenta en las la s dos leyes siguientes:
ECUACIONES BÁSICAS La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:
(3) Donde, V : Velocidad del flujo, m/s. C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional. D : Diámetro de la tubería, m. Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).
(4) Por continuidad, Luego,
(5) De la cual resulta: r esulta:
(6)
La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la siguiente:
(10) Donde; f es el coeficiente coeficiente de fricción, de Darcy Y en términos del caudal, expresa:
(11) Haciendo;
(12) Resulta:
(13) En general, la ecuación de pérdidas de carga por fricción expresa:
Donde,
(14) r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuación empleada para el cálculo. n : Exponente del caudal, que depende la ecuación de resistencia empleada. n : 1.851, según la ecuación de Hazen & Williams.
A su vez, el número de Reynolds, R, se calcula ca lcula con la siguiente ecuación:
(17) Donde, v : Velocidad del flujo, m/s. r : Densidad del fluido (agua), kg/m3. m : Viscosidad dinámica del fluido, kg/m.s. n : Viscosidad cinemática del fluido, m2/s. D : Diámetro del conducto, m. Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s. La ecuación (16) es una ecuación implícita para f, y por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error (en la subrutina 400), aplicando el Método de Newton & Raphson. Nótese que, para acelerar el cálculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f = X0, calculado con la siguiente fórmula:
(18) CONVENCIONES Los caudales Qij y sus correspondientes pérdidas de carga, hfij, y velocidades, vij serán positivos si fluyen en sentido de las manecillas del reloj, o negativos en sentido contrario. La nomenclatura de los tramos Tij sólo requiere que el primer subíndice represente el número de circuito al cual pertenece. El subíndice j es un número consecutivo que inicia en 1 y termina en el número de tramos del circuito considerado. Ejemplo, el tramo T2.4 es el cuarto tramo del circuito No.2 En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un estricto orden consecutivo, como tampoco un sentido horario o antihorario. Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un único circuito, o a dos, simultáneamente. En el primer caso, el número del circuito adyacente, adyacente, solicitado por por los programas, es cero. En el segundo segundo
75 INPUT L (I, J) 80’ PRINT "D (";I;" ; ";J;")"; "pulg" ; 85 INPUT D (I, J) 90 PRINT "ENTRE EL CAUDAL CON SIGNO (+/-)" ; "Q (";I;2;" , ";J;")" ; "1/s" ; 95 INPUT Q (I, J) 100 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL"; 105 INPUT A (I, J) 110 NEXT J 120 NEXT I 125 NIT = NIT + 1 130 BEEP: BEEP: BEEP 1: BEEP 1 135 FOR I = 1 TO NC 140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0 145 FOR J = TO NT (I) 150 Q = ABS (Q(I, J)) Ù 1.851 * Q (I, J) /ABS (Q (I, J)) 155 hf(I, J) = ((56.23 / C Ù 1.851) * (L(I, J) / D (I, J) Ù 4.87) * Q 160 SUMAPER = SUMAPER + hf (I, J) 165 SUMARELQ = SUMARELQ+ hf (I, J) / Q (I, J) 170 NEXT J 175 DELTAQ (I) = - SUMAPER / (1.851* SUMARELQ) 180 NEXT I 185 FOR I = 1 TO NC 190 FOR J = 1 TO NT (I) 195 U = A (I, J) 200 IF U = 0 THEN GO TO 210 205 Q (I, J) = Q (I, ( I, J) + DELTAQ (I) – (I) – DELTAQ DELTAQ (U): GO TO 215 210 Q(I, J) = Q (I, J) + DELTAQ (I) 215 NEXT J 220 NEXT I 225 FOR I = 1 TO NC 230 FOR J = 1 NT (I)
LISTADO No. 2 DEL PROGRAMA DE CÁLCULO 5 ‘PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE REDES CERRADAS, POR EL MÉTODO DE HARDY CROSS 10 ‘ESTE PROGRAMA EMPLEA LA ECUACIÓN DE DARCY & WWISBACH 15 INPUT "COEFICIENTE DE RUGOSIDAD ABSOLUTA (mm) =" ;K 20 INPUT "NÚMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = " ;NC 25 INPUT "NÚMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NÚMERO DE TRAMOS = " ;N 30 NI = 0 : G = 9.81: NU = 1.00 E-6:C0 =4/ (PI * NU): C1 = K/3.7 35 DIM L (NC, N), D(NC, N), Q(NC, N), A(NC, N), A(NC, N), f(NC, f (NC, N), R(NC, N), hf (NC, N) 40 DIM NT (NC), DELTAQ (NC) 45 FOR I = 1 TO NC 50 PRINT "NÚMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRCUITO No." ; I ; 55 INPUT NT (I) 60 NEXT I 65 FOR I = 1 TO NC 70 FOR J = 1 TO NT (I) ( I) 75 PRINT "L ( " ;I; " , " ;J; " ) " ; "m" ; 80 INPUT L (I, J) 85 PRINT "D (" ;I ;" , " ;J; " ) " ; " mm" ; 90 INPUT D (I, J) 95 PRINT "Q (" ;I; " , " ;J; " ) " ; " I/s " ; 100 INPUT Q (I, J) 105 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL" ; 110 INPUT A (I, J) 115 NEXT J 120 NEXT I 125 NI = NI + 1 130 BEEP: BEEP: BEEP 1 135 FOR I = 1 T0 NC 140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0
255 NEXT J 260 NEXT I 265 BEEP:BEEP:BEEP1:BEEP1 BEEP:BEEP:BEEP1:BEEP1 270 PRIN " NÚMERO DE ITERACIONES = " ; NI 275 FOR I = 1 TO NC 280 PRINT "RESULTADOS DEL CIRCUITO No." ; I 285 FOR J = 1 TO NT (I) 290 PRINT "Q ( ";I;" , ";J;" ) = " ; INT (Q(I, J) * 1000+0.5 ) / 1000 ; "l/s" 295 PRINT "hf (";I;" , ";J;" ) = " ; INT (hf (I, J)* 1000+0.5) / 1000 ; "m" 300 PRINT "V (";I;" , ";J;" ) = " ; INT (4* Q(I, J) * 0.001 / (PI * (D(I, J)*0.001)Ù 2)*1000+0.5)/1000; "m/s" 305 NEXT J 310 NEXT I 315 IMPUT "DESEA OBERVAR NUEVAMENTE LOS RESULTADOS (S/N) " ; R$ 320 IF R$ "S" THEN GO TO 265 325 INPUT "DESEA REALIZAR UN NUEVO CÁLCULO DE REDES"; M$ 330 IF M$ = "S" THEN GO TO 15 335 END 400 ‘SUBRUTINA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN, f, SEGÚN LA ECUACIÓN DE COLEBROOK & WHITE 405 R (I, J) = CO * ABS Q(I, J) / D(I, J) : X0 = -2 * LOG (C1 / D(I, J) + 5.1286 / R(I, J) Ù 0.89 410 X = X0:C2 = LOG (C1/ D (I, J) + 2.51* X / R (I, J)) 420 NIT = 0 430 FN = X + 2 * C2: DF = 1+5.02 / (C2 * R(I, J)) 440 X1 = X – X – FN/DF FN/DF 450 IF ABS (X1-X) > 1E-6 THEN X = X1 : NIT = NIT + 1: GOTO 430 460 f (I, J) = (1 / X) Ù 2: beep1: RETURN 470 END
DEFINICIÓN DE VARIABLES NC: Número total de circuitos que que conforman la red.
DELTAQ(I):
Valor de la corrección de los caudales del circuito I
U:
Variable temporal que almacena un número de circuito que es adyacente al tramo actual, y que sirve para saber si el caudal de dicho tramo se corrige con su propio DELTAQ (I) o con los DELTAQ de los dos circuitos a los cuales pertenece.
V(I, J):
Velocidad del flujo en el tramo T ij
K:
Coeficiente de rugosidad de la tubería
G:
Constante de aceleración gravitacional.
UN = n:
Viscosidad cinemática del agua.
f (NC, N):
Matriz que almacena los valores del coeficiente de fricción, f .
R(NC, N):
Matriz que almacena los valores del número de Reynolds, R.
XO:
Valo Valorr inic inicia iall de arra arranq nque ue de
, par paraa cal calcu cula larr más más rápid rápidam amen ente te el valo valorr de de f.f.
FN:
Función necesaria para aplicar el Método de Newton Raphson.
DF:
Derivada de la función FN.
XI:
Valor más aproximado de
NIT:
, según el Método de Newton- Raphson.
Contador de iteraciones en el Método Método de Newton-Raphson para el cálculo cálculo del coeficiente de fricción, f
CONCLUSIONES Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C,
RECOMENDACIONES Se recomienda la difusión y el uso más generalizado del Método de Cross con la ecuación de Darcy & Weisbach, en conjunción con la ecuación de Colebrook & White. Es más confiable un valor de k que el correspondiente a C. El valor del coeficiente de viscosidad cinemática, v, debe introducirse lo más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo más real posible.
EJEMPLO DE APLICACIÓN Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método de Cross.
Los resultados del análisis de la red Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron los resultados consignados consignados en la figura 3 y la tabla 1. Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos
DATOS INICIALES DE LA RED C = 125; k = 0.15 mm Circuito Tramo Longitud Diámetro Q inicial No. m
I
pulg mm
l/s
METODO DE CROSSHAZEN & WILLIAMS No.Circuito adyacente
QDEF
Hf
V
QDEF
hf
v
l/s
m
m/s
l/s
m
m/s
1-1
600
16
400
180
0
195.711
3.526
1.557
196.076
3.094
1.560
*1-2
300
12
300
60
2
76.268
1.251
1.079
76.358
1.077
1.080
*1-3
300
8
200
10
3
25.011
1.144
0.796
25.249
1.004
0.804
*1-4
600
12
300
-70
4
-46.509
-1.001 -0.658
-45.841
-0.809
-0.649
1-5
600
16
400 -250
0
-234.289
-4.919 -1.864
-233.924
-4.367
-1.862
å hf = 0.001
II
å h f = -0.001
*2-1
300
12
300
-60
1
-76.268
-1.251 -1.079
-76.358
-1.077
-1.080
2-2
300
12
300
70
0
69.443
1.051
0.982
69.718
0.904
0.986
*2-3
300
8
200
-10
3
-11.257
-0.261 -0.358
-11.109
-0.212
-0.354
2-4
300
12
300
45
0
44.443
0.460
44.718
0.386
0.633
0.629
å hf = -0.001 III
METODO DE CROSSDARCY & WEISBACH
å h f = -0.001
*3-1
300
8
200
-10
1
-25.011
-1.144 -0.796
-25.249
-1.004
-0.804
*3-2
300
8
200
10
2
11.257
0.261
0.358
11.109
0.212
0.354
3-3
300
8
200
25
0
25.700
1.203
0.818
25.827
1.049
0.822
*3-4
300
12
300
-45
4
-36.521
-0.320 -0.517
å hf = 0.000
IV
-36.091
-0.257
-0.511
å h f = 0.000
*4-1
600
12
300
70
1
46.509
1.001
0.658
45.841
0.809
0.649
4-2
300
12
300
-80
0
-87.779
-1.622 -1.242
-88.082
-1.420
-1.246
*4-3
300
12
300
45
3
36.521
0.320
0.517
36.091
0.257
0.511
4-4
300
8
200
60
0
52.221
4.469
1.662
51.918
4.050
1.653
4-5
900
8
200
-20
0
-27.779
-4.168 -0.884
-28.082
-3.695
-0.894
å hf = 0.000 * Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultáneamente.
å h f = -0.001