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, nació en 1885 en Virginia, fue un ingeniero ingeniero de estructuras y
creador del método de cálculo de estructuras conocido como método de Cross o método de distribución de momentos, concebido para el cálculo de grandes estructuras de hormigón armado. Este método fue usado con frecuencia entre el año 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros métodos. El método de Cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran número de construcciones de hormigón armado durante una generación entera. Además también es el autor del método de Hardy Cross para modelar rede s complejas de abastecimiento de agua. Hasta las últimas décadas era el método más usual para resolver una gran cantidad de problemas.
HARDY CROSS
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Obtuvo el título de Bachillerato de Ciencia en ingeniería civil del Instituto de Tecnología de Massachusetts en 1908, y después ingresó en el departamento de puentes de los Ferrocarriles del Pacífico de Missouri en St. Louis, donde permaneció durante un año. Después volvió a la academia de Norfolk en 1909. Un año después de su graduación estudió en Harvard donde obtuvo el título de MCE en 1911. Hardy Cross desarrolló el método de distribución de momentos mientras trabajaba en la universidad de Harvard. Luego trabajó como profesor asistente de ingeniería civil en la universidad de Brown, donde enseñó durante 7 años. Después de un breve regreso a la práctica de ingeniería en general, aceptó un puesto como profesor de ingeniería estructural en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign en 1921. En la Universidad de Illinois Hardy
Cross desarrollo su método de distribución de momentos e influyó en muchos jóvenes ingenieros civiles. Sus estudiantes en Illinois tuvieron con él un duro momento argumentando porque él era difícil de escuchar.
Otro método de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de abastecimiento de agua potable. Hasta décadas recientes, fue el método más común para resolver tales problemas. El recibió numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana
para Educación en Ingeniería (1944), la medalla Wason del Instituto Americano del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros
Estructurales de Gran Bretaña (195 9).
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El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:
Ley de continuidad de masa en los nudos;
Ley de conservación de la energía en los circuitos.
El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen Williams o, bien, la ecuación de Darcy Weisbach. La ecuación de Hazen Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de
ugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el r ugosidad, cálculo de las "pérdidas" de energía. La ecuación de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, po rque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.
Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular,
Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales
o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora
sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva.
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Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías.
Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros
de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.
El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"
( )
Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo. qi : Caudal concentrado en el nudo i
m : Número de tramos que confluyen al nudo i. "La suma algebraica
de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".
hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo
n : Número de tramos del circuito i
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En esta actividad se va a resolver la red de tuberías mostrada, utilizando el
método Hardy-Cross.
Longitud de cada tramo: 1000 m.
Diámetro interior de las tuberías: 400 mm.
Fluido transportado: agua.
Viscosidad cinemática: 1e-6 m2/s.
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1°) = Numerar los tramos de tuberías y asignarles un sentido (esta elección es arbitraria). Este paso ya se ha hecho en el dibujo.
2°) = Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo). 3°) = Asignar un valor numérico a cada caudal de forma que se cumpla la conservación de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se opone al sentido de recorrido de la malla.
4°) = Calcular el coeficiente Ci de cada línea: C i coeficiente de pérdidas de carga lineales Ki f
K i
2 A2
L D
, donde Ki es el
. Se recomienda calcular el
coeficiente de fricción con la fórmula aproximada f 1.02 1.02 log log Re
2.5
5°) = Calcular la corrección a los caudales de cada malla: Q 0.5
.
C Q Q . C Q i
i
i
i
i
6°) = Aplicar la corrección de cada malla a los caudales que l a componen. En el caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la corrección de otras mallas tendrá signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la primera malla. Esta situación ocurre con la línea 1. 7°) = Repetir la iteración.
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Desarrollar la expresión empleada en el estudio de de los caudales en redes de tubería: A
B Qo
D
Qo
C
El método del cálculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en todas las ramas de la red y a continuación hacer un balance de las pérdidas de carga calculadas. En el laso o circuito único, mostrado en la figura 10, para que los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habrá de verificar
Para aplicar esta expresión, la pérdida de carga en función del caudal habrá
. En el caso de utilizar la formula de Hazen Williams, la expresión anterior toma la forma Como se suponen unos caudales , el caudal verdadero en una tubería cualquiera de la red puede expresarse , donde es la corrección que habrá de aplicarse a . Entonces mediante el desarrollo del binomio, ( ) ( ) Se desprecian los términos a partir del segundo pro ser tan pequeños comparado con . que ponerse en la forma,
Para el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuación (I) se obtine:
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( ) ( ) ( ) ( ( )
Despejando .
) ( ( ) En general para un circuito más complicado se tiene:
∑ ∑ () Pero y por lo tanto, ∑( ) () ∑( ∑
En el sistema de tuberías en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para
⁄, los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el método de Hardy Cross. 1500m - 30cm D C1 = 120
Q
W
Z
Q
900m - 40cm D C1 = 120
Se supone que los caudales
Son iguales, respectivamente, a ⁄
⁄ los cálculos se realizan en la tabla que sigue (obsérvese que se ha puesto ⁄ ), procediendo asi se calculan los valores de S mediante el Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego y a continuación se determinan . se notara que cuanto mayor sea ∑ más alejados de los correctos estarán los caudales . (los valores de se han y
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elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores
∑ y así ilustrar en el procedimiento.) L supuesto m m ⁄
grandes de D cm
30
1500
150
25.5
0.170
-27.8
122.2
40
900
-306
-14.4
0.046
-27.8
-333.8
Entonces, los
0.216
456
⁄ ∑() () ∑ ∑ valores de serán () ⁄ y (
) ⁄. Repitiendo de nuevo el proceso de cálculo: 16.5
0.135
+3.2
125.4
-17.1
0.051
+3.2
330.6
0.186
456
No es necesario hacer una nueva aproximación ya que el diagrama B no puede conseguirse una mayor precisión de 3l/s aproximadamente. Teóricamente, HL deberían ser igual a cero, pero esta condición se obtiene muy raramente. Se observa que el caudal que fluye por la tubería de 30cm era el 26,4% de 456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobación satisfactoria.
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Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar H C = 100 en todas las tuberías.
Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es.
h f KQ1.85 k
1,72 x105 L 1.85 1.85 7,86 C H D 7,8666
Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia está en los datos
referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido
contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario.
Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene así:
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La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido
arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de cont inuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente).
Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.
CIRCUITO I
CIRCUITO II
BN
0,03367 CM
0,00969
NM
0,02806 MN
0,02806
MB
MB
0,00830
NC
Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga f 0
h en
cada circuito
aplicando la ecuación de descarga. CIRCUITO I
CIRCUITO II
BN
+87.23 CM
-57.93
NM
- 7.16
MN
+7.16
MB
-56.35
NC
+34.23
h
f 0
+23.72
h
f 0
-16.54
Aplicamos ahora la ecuación ecuación
h f
0
h f
Q
1.85
0
0
Para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada circuito.
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Q
23.72
1.85 1.85 x 2.04 2.04 Q 6
6.3
Q
16.54
1.85 x1.26 Q 7
7.1
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga h F son los siguientes.
Calculamos nuevamente Q
5.44
1.85 1.85 x 2.15 2.15 Q 1
Q
1.37
Q
6.12
1.85 x1.42 Q 2
2.28
Los nuevos caudales caudales y los correspondientes valores de hf son
Calculamos ahora nuevamente la corrección Q
0.47
1.85 1.85 x 2.12 2.12 Q 0
0.12
En consecuencia los caudales son:
Q
Q
0.16
1.85 x1.41 Q 0
0.06
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Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.
Obsérvese que la condición 1, Σh f =0 =0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en
paralelo, tal como se ve a continuación.
Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental. h f BM h f MN h f BN
Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos. Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones h f MC h fMN h f NC 0 h f BNC h f BMC
La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).
D 8"
C H 100 L 0.6km k f 37.83m
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h
Q
Q
hf
87,23
-6
+64
-20
-7,16
-13
0,00692
-130
-56,35
CM
0,00969
-110
MN
0,02806
NC
0,00830
h
h
Q
Q
hf
+73,91
+1
+65
+76,06
0
-33
-18,09
+3
-30
-15,16
0
-6
-136
-61,26
+1
-135
-60,43
57,93
+7
-103
-51,29
-2
-105
-53,15
0
+20
+7,16
+13
+33
+18,09
-3
+30
+15,16
0
+90
+34,23
+7
+97
+39,32
-2
+95
+37,83
K
Qa
h f
NM
0,03367
+70
MB
0,02806
0
f 0
f
Q
f
BN
+23,72
-16,54
-5,44
+6,12
+0,47
-0,16
0
0
Al aplicar el método de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.
14
MECANICA DE FLUIDOS II – HARDY CROSS
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Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga k constante.
Datos:
k 12
k
1800
20000
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Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga k constante.
Datos:
k 12
1800
k 23 20000 k 34 k 14
1800 680
Resolución En primer lugar, debe hacerse una suposición de caudales: Malla I: Q12 Malla II: Q23
350 l / s Q14
240 l / s Q34
650
l / s Q24
760
l / s Q24
110
l / s
110
l / s
En primera iteración será:
Malla I
Malla II
1-2
0.35
220.5
630
1-4
-0.65
-287.3
442
2-4
0.11
72.6
660
2-3
0.24
115.2
4800
3-4
-0.76
-1039.6
1368
2-4
-0.1084
-70.5
650.4
Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos
-0.0016
-0.03
Qi.
Nótese que el
caudas Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor QI=-0.0016 obtenido
previamente en la malla malla I. A continuación se repite el proceso: proceso:
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Malla I
Malla II
1-2
0.348
217.9
326.4
1-4
-0.652
-289
443.3
2-4
0.111
73.9
666
2-3
0.237
112.3
4740
3-4
-0.763
-1047.9
1373.4
2-4
-0.11
-72.6
660
-0.0008
-0.00018
La aproximación es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal son los siguientes:
Q12 0 .3 4 72 m 3 / s Q14 0.6 52 8 m 3 / s Q23 0.2 36 8 m 3 / s Q34 0.7 632 m 3 / s
Q24 0 .1 1 0 4 m 3 / s
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Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método de Cross.
Esquema de la red de tuberías del ejemplo.
Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.
Circuito No.
I
Longitud
Diámetro
Qinicial
m
pulg
mm
l/s
1-1
600
16
400
180
*1-2
300
12
300
*1-3
300
8
*1-4
600
1-5
600
Tramo
No.
Circuito
QDEF
Hf
V
QDEF
hf
v
l/s
m
m/s
l/s
m
m/s
0
195.711
3.526
1.557
196.076
3.094
1.560
60
2
76.268
1.251
1.079
76.358
1.077
1.080
200
10
3
25.011
1.144
0.796
25.249
1.004
0.804
12
300
-70
4
-46.509
-1.001 -0.658
-45.841
-0.809 -0.649
16
400
-250
0
-234.289
-4.919 -1.864
-233.924
-4.367 -1.862
adyacente
å hf = 0.001
å hf = -0.001
*2-1
300
12
300
-60
1
-76.268
-1.251 -1.079
-76.358
-1.077 -1.080
2-2
300
12
300
70
0
69.443
1.051
69.718
0.904
*2-3
300
8
200
-10
3
-11.257
-0.261 -0.358
-11.109
-0.212 -0.354
2-4
300
12
300
45
0
44.443
0.460
44.718
0.386
0.982
0.986
II
0.629
å hf = -0.001 III
å hf = -0.001
*3-1
300
8
200
-10
1
-25.011
-1.144 -0.796
-25.249
-1.004 -0.804
*3-2
300
8
200
10
2
11.257
0.261
0.358
11.109
0.212
0.354
3-3
300
8
200
25
0
25.700
1.203
0.818
25.827
1.049
0.822
*3-4
300
12
300
-45
4
-36.521
-0.320 -0.517
-36.091
-0.257 -0.511
å hf = 0.000
IV
0.633
å hf = 0.000
*4-1
600
12
300
70
1
46.509
1.001
4-2
300
12
300
-80
0
-87.779
*4-3
300
12
300
45
3
4-4
300
8
200
60
4-5
900
8
200
-20
45.841
0.809
-1.622 -1.242
-88.082
-1.420 -1.246
36.521
0.320
0.517
36.091
0.257
0.511
0
52.221
4.469
1.662
51.918
4.050
1.653
0
-27.779
-4.168 -0.884
-28.082
-3.695 -0.894
å hf = 0.000
0.658
å hf = -0.001
0.649
*3-2
300
8
200
10
2
11.257
0.261
0.358
11.109
0.212
0.354
3-3
300
8
200
25
0
25.700
1.203
0.818
25.827
1.049
0.822
*3-4
300
12
300
-45
4
-36.521
-0.320 -0.517
-36.091
-0.257 -0.511
å hf = 0.000
IV
å hf = 0.000
*4-1
600
12
300
70
1
46.509
1.001
4-2
300
12
300
-80
0
-87.779
*4-3
300
12
300
45
3
4-4
300
8
200
60
4-5
900
8
200
-20
45.841
0.809
-1.622 -1.242
-88.082
-1.420 -1.246
36.521
0.320
0.517
36.091
0.257
0.511
0
52.221
4.469
1.662
51.918
4.050
1.653
0
-27.779
-4.168 -0.884
-28.082
-3.695 -0.894
å hf = 0.000
0.658
0.649
å hf = -0.001
Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C,
permanece constante, aún con las variaciones del caudal y del número de Reynolds.
Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por
fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas con la ecuación de Darcy Weisbach.
Así mismo, el dimensionamiento dimensionamiento de una red determinada, determinada, analizada analizada
Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C,
permanece constante, aún con las variaciones del caudal y del número de Reynolds.
Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por
fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas con la ecuación de Darcy Weisbach.
Así mismo, el dimensionamiento dimensionamiento de una red determinada, determinada, analizada analizada con el Método de Cross y la ecuación de Hazen & Williams, conduciría a la especificación de diámetros mayores que los que se obtendrían si se aplicara el mismo método con la ecuación de Darcy & Weisbach. Ello se comprobaría cuando, de cumplir requerimientos de cargas de presión mínima y máxima, se trata.
Se recomienda la difusión y el uso más generalizado del Método de Cross con la ecuación de Darcy Weisbach, en conjunción con la ecuación de Colebrook White.
Es más confiable un valor de k que el correspondiente a C.
El valor del coeficiente de viscosidad cinemática, v, debe introducirse lo más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo más real posible.
Mecánica de fluidos II de F Ugarte
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