Transfert de chaleur en régime permanent. Conduction Condu ction_ _ Conv Convectio ection n _ couche limite limite Applicatio Appli cation n aux echangeurs echangeurs de chaleur par plaques, plaques, tubulaire, ESR
1. Bilans de Chaleur
Conservation de la matière dans un système clos Conservation de l ’enthalpie dans un système adiabatique
sur des grandeurs extensives
(masse, chaleur... )
Entrée + Production Production = Sortie Sortie + Destruction + Accumulation
Énergie Calorifique, Électrique, Mécanique, Chimique...
Énergie Système
Matière
Matière
1. Bilans de Chaleur
Conservation de la matière dans un système clos Conservation de l ’enthalpie dans un système adiabatique
sur des grandeurs extensives
(masse, chaleur... )
Entrée + Production Production = Sortie Sortie + Destruction + Accumulation
Énergie Calorifique, Électrique, Mécanique, Chimique...
Énergie Système
Matière
Matière
Ex 1 : Bilans de Chaleur On place 1000 boîtes de soupe dans un stérilisateur (métal 50g, soupe 450g). Elles sont initialement à 120°C, et doivent être refroidies à 38°C. On utilise pour cela de l ’eau à 18°C qui en fin de re refr fro oid idis isse sem men entt es estt à 32 32°C °C.. Quelle est la quantité d ’eau nécessaire ? Cpsoupe = 3970 J.kg-1.K-1 Cpmétal = 501 J.kg-1.K-1 Cpeau = 4180 J.kg-1.K-1 On estime à 15,26.10 3 kJ l’énergie nécessaire pour refroidir le stérilisateur stérilisateur.. On néglige les pertes de chaleur.
Ex 2 : Bilans de Chaleur Du lait (2000 kg.h-1) est refroidi de 75°C à 30°C dans un échangeur. De l’eau (température d’entrée 15°C) circule à l ’extérieur, à 4500 kg.h-1. Quelle est la température de l’eau en sortie de l’échangeur ? Cpeau = 4180 J.kg -1.K-1 Cplait = 4000 J.kg-1.K-1
Ex 3 : Evaporation Quelle est la quantité de chaleur nécessaire à l’évaporation complète d’un litre d’eau in inititia iale leme ment nt à 20°C 20 °C (p (pre ress ssio ion n at atmo mosp sphé hériq rique ue). ). On donne la chaleur latente de vaporisation de l’eau (en kJ.kg-1) : Lv = 3334 – –2 2,9 T (loi de Regnault valable jusqu’à 473K).
2. Régime Stationnaire
Transferts par Conduction (ou Diffusion)
Transferts par Convection
Systèmes immobiles 1ère loi de Fourier Conductivité thermique Résistance thermique - analogie électrique Fluide en mouvement Convection libre Convection forcée
Transferts par Rayonnement
2.1 Conduction qx A
dT k dx
qx
(1)
pour une dimension x, milieu isotrope homogène
puissance thermique
W=J.s-1
débit d’énergie thermique quantité de chaleur par unité de temps
A T k dT/dx qx/A
surface de transfert température conductivité thermique gradient de température selon x flux d ’énergie surfacique
m2 K W.m-1.K-1 K.m-1 W.m-2
Conduction : cas général
Dans le cas général, système à 3 dimensions (x,y,z) La 1ère loi de Fourier (1) s’écrit en considérant le flux à travers une surface isotherme
q A
k grad T T1
(2)
T2
grad T : gradient de la Températur e grad T T
T x T y T z
Conduction
L ’équation (2) (ou (1)) est valable en régime stationnaire ou transitoire. Intégrons la 1ère loi de Fourier en état stationnaire pour une paroi plane
une seule dimension : x régime stationnaire : q est constant, T ne dépend que de x k constante q A q
x1
dx k dT x2
dx
T1
T2
k
A x 1 q k A
dT
q
T1 T2 - T1 x 2 x1
x2
T2 (3)
Ex 4: Conduction dans une paroi Calculer la perte thermique par m2 pour une paroi de 25,4 mm d’épaisseur dans les deux cas suivants :
paroi en aluminium paroi en fibre isolante
Température intérieure : 352,7 K (79,5 °C) Température extérieure : 297,7 K (24,5 °C) Conductivité thermique fibre isolante : 0,048 W.m -1.K-1 Conductivité thermique de l’aluminium : 202 W.m-1.K-1
Conductivité thermique
La conductivité thermique est définie par l’équation (2) k déterminée expérimentalement substance
Tem p é rat u re (K )
k ( W.m -1 .K -1 )
Air
273
0,0242
H2
273
0,167
Eau
273
0,569
Huile olive
293
0,168
Sauce tomate
296
0,696
Bois
-
0,12 – 0,33
Glace
273
2,25
Papier
-
0,130
Laine de roche
266
0,029
Cuivre
273
388
Aluminium
273
202
Conductivité thermique
Gaz : mécanisme simple, échange d’énergie par collision avec changement de niveau d’énergie des molécules. Déplacement des molécules en fonction du gradient d’énergie. La conductivité thermique est fonction de la température et indépendante de la pression k = aT2 , a constante empirique. Liquides : mécanisme physique identique au gaz mais cohésion plus forte des molécules entre elles. La conductivité thermique est fonction de la température k = a + bT , a et b constantes empiriques. Solides : Énergie conduite par deux mécanismes; électrons libres, transmission d’énergie par vibration d’atomes adjacents.
Résistance Thermique
Dans les équations précédentes, on définit la Résistance Thermique (en K.W-1) pour une paroi d ’épaisseur e (m), de conductivité k (W.m-1.K-1), de surface A (m 2) R
et on a donc
e kA q
T1 T2 R
(4)
Analogie thermique/électrique : q débit thermique (W) T température (K) T1-T2 différence de température (K) R résistance thermique (K.W-1) k conductivité thermique (W.m-1.K-1) (T1-T2)=R.q
I intensité (A) V potentiel (V) U différence de potentiel/tension (V) R résistance électrique () conductivité électrique (S.m-1) U=R.I
Conduction en série
Conduction à travers plusieurs solides en série. Le flux thermique traverse les différents matériaux. En régime permanent, il est identique partout la surface d ’échange A est la même.
q
A
Δx A
(T1 T2 )
T1 T2 q
k B A Δx B
Δx A
(T2 T3 )
T2 T3 q
k A A
C
T1
Exemple 3 couches
k A A
B
k C A Δx C
Δx B
k B A
T2
(T3 T4 ) T3 T4 q
Δx C
q T3
k C A
T4
On aditionneles trois équations: q
T1 T4 Δx A
k A A q
Δx B
k B A
T1 T4 R A RB R C
Dx A DxB DxC
Δx C
k C A
T1 T4 R Total
R Total R A RB R C
R A
RB RTota
RC
Ex 5 : Paroi isolée Les parois d’une chambre froide de stockage sont construites avec trois matériaux différents. La paroi interne (A bois) de 1,27 cm, k A = 0,151 W.m-1.K-1 la paroi centrale (B liège) de 10,16 cm, k B = 0,0433 W.m-1.K-1 la paroi externe (C béton) de 7,62 cm, k C = 0,762 W.m-1.K-1 La température de surface intérieure est de 255,4 K (-17,75°C) La température de surface extérieure est de 291,1 K (18°C) Calculer les pertes thermiques pour 1 m 2 et la température à l’interface entre la paroi interne et la paroi centrale.
Conduction en parallèle A
R A
T1
q A
B C
RB
qB
RC
T2
qC
RTotal q
T1 T2 RTotal
avec
1 RTotal
1 R A
1 RB
1 RC
Ex 6 : Mur de briques Un mur de briques réfractaires (hauteur 3 m, longueur 2 m, épaisseur 10 cm) d’un four à 250°C est maintenu sur sa face externe à 50°C. Il est traversé de tiges d’acier pour renforcer sa structure. Leur section représente 1% de la surface totale du mur. kbrique = 0,075 W.m-1.K-1 kacier = 15 W.m-1.K-1
Calculer l’influence de ces tiges d ’acier sur les pertes de chaleur.
Conduction dans un cylindre creux
Conduction radiale un cylindre creux : cas typique des tubes de transfert de liquides
une seule dimension : radiale régime permanent :
surface d' échange A(r) dT constante dr q dr dT 2 kL r q T1 T2 (5) 2 kL ln(r 1 r 2) q -kA(r)
T(r) q = constante
2 r L
L
r 1 T 1
r 2 T
Conduction dans un cylindre creux
On réécrit l ’équation (5) en faisant apparaître les surfaces A 1 et A2, surfaces interne et externe du tube A 1 A 2
2 r 1L 2 r 2L
2 L r 2 r 1 ln(r 2 r 1) d' où
A 2 A 1 ln( A 2 A 1 )
q kA lm
et donc q
T1 T2 r 2 r 1
T1 T2 R
A lm
kA lm T1 T2 e
avec R
e kA lm
Équation identique à (4), où e est l’épaisseur de la paroi et A lm la surface logarithmique moyenne
Ex 8 : Cylindre creux isolé On considère un tube en acier inoxydable (k A=21,63 W.m-1.K-1) recouvert d ’une couche d ’isolant (kB= 0,2423 W.m-1.K-1). Il a les dimensions suivantes : diamètre interne du tube d ’acier 2,54 cm, diamètre externe du tube d ’acier 5,08 cm, épaisseur de l’isolant : 2,54 cm La température dans le tube est T1= 881 K (607,8°C), la température à la surface de l’isolant est T3= 310,8 K (37,7°C). Pour une longueur de 30,5 cm de tube calculer les pertes thermiques et la température T2 à l’interface entre le tube et l’isolant.
Ex 9 : Sphère creuse Une jarre (assimilable à une sphère) d’une contenance d’1 L en terre cuite (k=0,1 W.m-1.K-1) contient du vin. Le vin est à 18°C lorsque la température extérieure est de 35°C. On suppose le système immobile, en ne considérant que la conduction de chaleur... Déterminer le débit d’énergie thermique en fonction de l’épaisseur de la jarre. Commenter .
Conduction
Pour toutes les géométries
q
e épaisseur (m) k conductivité thermique (W.m -1.K-1) A (m2) surface plane ou bien ...
T1 T2 R
avec R
e kA
Symétrie cylindrique A lm
A 2 A1 ln( A 2 A1 )
Symétrie sphérique A qm
A1 A 2
L ’analogie électrique est utilisable dans toutes les géométries
en série les résistances thermiques s’additionnent RTotal Ri
en parallèle l’inverse des résistances thermiques (conductances thermiques) s’additionnent 1
RTotal
1 Ri
(6)
2.2. Convection
Échange de chaleur d’un fluide en mouvement avec un matériau solide. Convection naturelle ou forcée
qx A TP TF h
Convection naturelle ou libre : l ’écart de température induit une variation (et donc une hétérogénéité) de masse volumique, et donc des mouvements de fluides (gaz ou liquides). Convection forcée : plus importante dans les procédés industriels. Une action extérieure (compresseur, ventilateur, pompe...) fait circuler le fluide, favorisant l ’échange de chaleur.
Vitesse de transfert, équation de Base :
vitesse de transfert thermique W surface de transfert m2 température de la paroi (surface du solide) K température du fluide K cœfficient de transfert convectif W.m-2.K-1
q h A (TP
TF )
(7)
Cœff. de transfert Convectif
h est fonction de la géométrie du système, des propriétés du fluide, de la nature de l’écoulement, de la nature du solide et de sa température... Dans de nombreux cas des corrélations empiriques permettent de déterminer h Mécanisme
Valeur de h (W.m-2.K-1)
Vapeur condensée
5700-28000
Matière organique
1100-2800
Liquide en ébullition
1700-28000
Eau en mouvement
280-17000
Air calme
2,8-23
Air en mouvement
11,3-55
Convection
Dans la plupart des cas pratiques, la température à la surface des solides n’est pas connue précisément. On observe une couche limite fluide autour du solide. Sa température sera la moyenne entre celle de la paroi et celle du fluide loin de la paroi.
Tfilm
TP
2
TF
Conduction et Convection combinées
Exemple :
une paroi d ’épaisseur e (matériau de conductivité k) sépare deux fluides à T1 et T4. les coefficients de convection externe et interne sont he et hi en régime permanent q est le même partout on a donc convection entre T1 et T2 conduction entre T 2 et T3 convection entre T3 et T4 he T1 T2 kA q h e A(T1 T2 ) (T2 T3 ) h A(T i 3 T4 ) k e
d' où
q
T1 T4 1/h e A e/kA 1/h A i
avec R Total R convection externe
T1 T4 R Total
R conduction R convection interne
T3 e
q hi
T4
Conduction et Convection combinées
On définit un coefficient global de transfert thermique (convection et conduction) U (en W.m -2.K-1) q UA(T1 T4 ) U
1 AR Total
(9)
1 1/he e/k 1/hi
Ceci est possible dans toutes les géométries, notamment dans le cas de conduites cylindriques (échangeurs tubulaires)
Ex 10 : Vapeur dans un tube isolé De la vapeur saturée à 403,3 °C circule dans un tube métallique de diamètre interne de 2,09 cm et de diamètre externe de 2,66 cm. Le tube est entouré d’un isolant d’épaisseur 3,81 cm Le coefficient de convection entre la vapeur et la surface interne est hi=5,6783 kW.m-2.K-1. Le coefficient de convection entre la surface externe et l’air ambiant est he=11,4 W.m-2.K-1. La conductivité thermique moyenne du métal est de 45 W.m-1.K-1. La conductivité thermique moyenne de l’isolant est de 0,064 W.m-1.K-1 Calculer les pertes thermiques pour 1 m de conduite si l’air extérieur est à 26.8°C (300 K).
Conduction et Convection combinées
Cas d ’un cylindre creux dans lequel et autour duquel circulent des fluides
longueur L, épaisseur e (m) ; T 1 à l ’extérieur, T4 à l ’intérieur (K) he et hi coefficients de transfert convectif (W.m-2.K-1) k conductivité de la paroi (W.m-1.K-1) régime permanent : q constant T1
he
T1 T4 T T4 1 q 1/he A e e/k A Al m 1/h A R i i 2 r iL surface interne A e 2 r eL surface externe
avec A i et
A lm
k
A e - A i ln( A e A i )
Le coefficient global de transfert thermique U peut être défini en fonction de la surface interne ou externe du tube. q U A i i (T1 T4 ) Ue A e (T1 T4 )
T2
q
Ui
Ue
T3
hi
T4
1 1/hi
e A i /kA Al m A i /he A e 1
A e /h A i i
e A e /kA Alm 1/he
2.2.1. Convection forcée
Transfert thermique dans les procédés industriels : Fluide Solide Fluide
Le flux thermique convectif est:
q=hA(T-TP )
h dépend du type d ’écoulement
laminaire turbulent
Convection forcée 2 types de transferts entre le fluide et le solide selon le procédé industriel considéré
Écoulement d’un fluide à l’intérieur d’un solide
Écoulement d’un fluide autour d’un solide
(conduite)
2.2.1.1 Écoulements dans une conduite
Détermination du coefficient de convection par des méthodes semi empiriques. Influence des paramètres physiques du fluide, du type et de la vitesse du flux, de la géométrie du système. Type d ’écoulement en fonction du Nombre de Reynolds Flux laminaire :
Re< 2200
Flux turbulent :
Re > 10000
Système intermédiaire :
2200
Nombre de Reynolds = rapport des forces d ’inertie / forces de viscosité
Re
Dv
Dv
(10)
D v
dimension caractéristique (m) vitesse moyenne du fluide (m.s-1) masse volumique (kg.m3) viscosité dynamique (Pa.s) viscosité cinématique (m2.s-1)
Ex 11 : Écoulements
Lorsque l ’écoulement n ’est pas cylindrique, on utilise à la place de D, le diamètre hydraulique : Dh
4
Section de l' écoulement Périmètre mouillé
(11)
Le régime est-il laminaire ou turbulent dans les 3 cas suivants – de l ’eau à 20°C, à 1 m.s-1 dans un cylindre de 50 cm de diamètre à demi rempli – de l ’air à 20°C, à 10 cm. s-1 dans une conduite rectangulaire de section 100 x 2 mm2 – du lait à 70°C, à 5 m.s-1 dans une conduite cylindrique concentrique (diamètre interne 15 cm, diamètre externe 50 cm)
?
Convection forcée
Le nombre de Nüsselt est défini comme le rapport entre les aspects convectif et conductif Nu
hD k
(12)
D dimension caractéristique (m) h coefficient de transfert convectif (W.m2.K-1) k conductivité du fluide (W.m-1.K-1)
Le nombre de Prandtl est le rapport entre les mouvements de matière et de chaleur Pr
CP k
(13)
CP k
viscosité dynamique (Pa.s) capacité thermique (J.kg-1.K-1) conductivité du fluide (W.m-1.K-1)
Convection forcée
d’une manière générale, des formules heuristiques donnent une relation entre ces nombres :
Nu = f (Re, Pr, L/D)
puis le coefficient de transfert convectif peut être déterminé puisque
h
k Nu D
(14)
selon le type d ’écoulement, la géométrie de l ’échangeur, le type de fluides... un grand nombre de relation existe.
Écoulement Laminaire dans un Tube horizontal
Lorsque Re<2100 Nu
D h k L F P
D μ 1,61 (Re Pr )1 3 F k L μP
hD
0,14 (14)
dimension caractéristique (m) coefficient de transfert convectif moyen (W.m-2.K-1) conductivité (W.m-1.K-1) longueur du tube (m) viscosité du fluide à la température moyenne du fluide (Pa.s) viscosité du fluide à la température de la paroi (Pa.s)
Ce calcul de Nu est vrai pour (Re.Pr.D/L) >12 si (Re.Pr.D/L) 12Nu ne dépend que de la géométrie. Nu = 3,66 (cylindre)
Écoulement Turbulent dans un Tube horizontal
Lorsque Re >> 2100, le flux devient turbulent et le débit thermique important. μ 0,023 Re0,8 Pr 1 3 F Nu k μP hD
D h k L F P
0,14 (15)
Colburn
dimension caractéristique (m) coefficient de transfert convectif moyen (W.m-2.K-1) conductivité (W.m-1.K-1) longueur du tube (m) viscosité du fluide à la température moyenne du fluide (Pa.s) viscosité du fluide à la température de la paroi (Pa.s)
Ce calcul de Nu est peut être utilisé pour 0,7
60 hL basé sur le logarithme moyen de la température. Les propriétés du fluide sont évaluées pour une température moyenne du fluide Pour L/D <60, cette équation (15) est corrigée par [1+(D/L) 0.7]
Ex 12 : Chauffage d ’air
De l’air à une température moyenne de 60°C est chauffé dans un tube de diamètre interne 2,54 cm de longueur 2,54 m; il circule à une vitesse de 7,62 m.s-1. Le milieu de chauffage est de la vapeur condensée à 140° C à l’extérieur du tube. Le coefficient de transfert de chaleur de la vapeur avec le tube est de plusieurs milliers de W.m-2.K-1 et la résistance du métal est très petite. On suppose que la température du métal en contact avec l’air est de 140 °C
• Calculer le coefficient de transfert • Calculer le flux de transfert q/A
Évolution de l’écart de Température
Les équations de transfert sont applicables si DT est constant
q UADT UA(T2 T1 )
où T1 est la température du fluide, T 2 celle du fluide caloporteur (K) U le coefficient d ’échange thermique (convectif et/ou conductif) (W.m2.K-1) A la surface d ’échange (m2)
Dans un échangeur DT change en fonction de la position (x) et du type d’appareil. On distingue notamment :
T2 T1e
(16)
les Échangeur à co-courant et les Échangeur à contre-courant uniforme
T1e T1s
T2e
T1s T2s
T2s T1e
T2e T1s
Ecart de Température et Température moyenne
L’utilisation de ces équations est difficile car il faut connaître la température moyenne du fluide pour évaluer T P , TF et connaître µ P et µF . Par ailleurs la température moyenne varie le long du tube entre l’entrée et la sortie sui te au transfert thermique. Il faut chercher à estimer une valeur moyenne de T équivalente à l’entrée et à la sortie. pour un écoulement : ΔTmoyen =
q UA ΔTmoyen
ΔTsortie - ΔTentrée
ln ΔTsortie ΔTentrée
On considère généralement pour un écoulement laminaire : TF moyen
q hm ADTmoyen hm A TP TF moyen hm A
TF entrée
TF sortie 2
DT DTsortie (TP TF entrée ) (TP TF sortie ) hm A entrée 2 2
Ex 13 : Échangeurs
Un liquide huileux avec un cp =2,30 kJ.kg-1.K-1 est refroidi dans un échangeur de 98,6 °C (371,9 K) à 76,4 °C (349,7 K). Le fluide circule dans un tube a une vitesse de 3630 kg.h-1. De l’eau à 15,4°C (288,6 K) circule à l’extérieur du tube avec un débit de 1450 kg.h-1. Le cp de l’eau est 4,187 kJ.kg-1.K-1 Calculer pour un échangeur à contre-courant puis à co-courant.
la température de l’eau en sortie,
l’aire de transfert de chaleur nécessaire si U i = 340 W.m -2.K-1
Conclure
Ex 14 : Chauffage d’huile De l’huile à 67°C (340 K) entre dans un tube de diamètre interne 1 cm et d’une longueur de 4,5 m avec un débit de 36 kg.h-1. La température de surface du tube est constante et égale à 227 °C (500 K), température de la vapeur condensée à l’extérieur du tube. Les propriétés de l’huile sont : Cp=2,5 kJ.kg-1.K-1, kh=0,144 W.m-1.K-1 Le coefficient de transfert thermique du tube est très important . La viscosité dynamique de l’huile varie avec la température : T (K) 340 367 395 420 450 (Pa.s) 6,5.10-3 5,05 .10-3 3,8 .10-3 2,8 .10-3 1,95 .10-3
Estimer le coefficient de transfert Estimer la température de l’huile en sortie
Écoulement autour d’un solide immergé
Un solide est immergé dans un fluide en mouvement
On considère les transferts de chaleur entre le fluide et le solide uniquement. Le transfert est fonction de la forme du solide (sphère, cylindre, plaque ...). La nature du flux dépend du type de forme, de sa position dans le flux, la proximité d’autres formes, la vitesse du flux et les propriétés du fluide. Le coefficient de transfert moyen d’un corps immergé est déterminé à partir d ’une relation du type:
Nu C Rem Pr 1 3
(17)
m et C sont des constantes dépendant du type de géométrie Les propriétés du fluide sont évaluées à la température du film Tf =(TP+TF)/2 avec TP température du fluide près du solide et T F température moyenne du fluide. La vitesse du fluide est la vitesse libre du fluide proche du solide.
Écoulement autour d’une Plaque plate immergée
Plaque plate parallèle au flux de longueur L
Re
L v
Lvρ
L
Lv
longueur de la plaque (m) vitesse moyenne du fluide (m.s-1) masse volumique (kg.m3) viscosité dynamique (Pa.s) 2.s-1) un système viscosité cinématique Pour laminaire avec un (m Re inférieur à 3.105 et Pr >0.7
Nu 0,664 Re0,5 Pr 1 3
Pour un système turbulent avec Re supérieur à
0,8
3*10 5
13
(18)
et un Pr r >0.7
Nu Pr Turbulence(19) Attention à la nature0,0366 du matériau :Re si rugueux, pour Re= 2.10 4.
Ex 15 : Ailette de cuivre Une fine ailette de cuivre soudée à un tube a une surface de 5,1 x 5,1 cm2. La température de cette ailette est de 82,2 °C. De l’air a 15,6 °C et à une 1atm circule parallèlement à cette ailette à une vitesse de 12,2 m.s-1 Les propriétés physiques de l’air à 48,9°C sont : =1,097 kg.m-3 k =0,0280 W.m-1.K-1 =1,95.10-5 Pa.s Cp=1006 J.kg-1.K-1
Calculer le coefficient de transfert h Calculer le coefficient de transfert h pour une surface rugueuse avec un système complètement turbulent.
Écoulement autour d’un Cylindre immergé
Cylindre à axe perpendiculaire à un fluide en mouvement. La dimension caractéristique est le diamètre externe du tube D L ’équation permettant de calculer le transfert thermique est :
m 13 Nu C Re Pr où C et m sont donnés dans le tableau suivant
en fonction de Re
Re 1-4 4-40 40-4000 4000-40000 >40000
(20)
m 0,33 0,358 0,466 0,618 0,805
C 0,989 0,911 0,683 0,193 0,0266
D
Dv Dv Les propriétés du fluide sont évaluées à la Re température du film La vitesse du fluide est la vitesse libre du fluide proche du solide.
Écoulement autour d’une Sphère immergée
Une sphère est chauffée ou refroidie par un fluide en mouvement.
La dimension caractéristique est le diamètre de la sphère D
Les équations permettant de calculer le transfert thermique sont pour un Nombre de Reynolds de 1 à 70 000 et un Nombre de Prandtl de 0.6 à 400:
Nu 2 0,6 Re0,5 Pr 1 3
Re
(21)
Dv
Dv
Pour les autres cas et notamment des Reynolds inférieurs il faut tenir compte de la convection naturelle.
D
Ex 16 : Sphère immergée Une sphère de cuivre est placée dans les mêmes conditions que l ’ailette de l ’ex 15. La température de surface de cette sphère de diamètre 5,1 cm est de 82,2 °C. De l’air a 15,6 °C et à une 1atm circule autour de cette sphère à une vitesse de 12,2 m.s-1. Calculer le coefficient de transfert h
Écoulement autour d’un Faisceau de tubes
Le fluide circule entre plusieurs rangées de tubes.
Beaucoup d ’échangeurs industriels sont de ce type (par exemple :un échangeur gaz chaud circulant dans le tube et chauffant un gaz froid externe)
La dimension caractéristique est le diamètre externe D des tubes (m)
Le faisceau est caractérisé par :
Re
Dv
Sn distance normale entre les centres
Sp distance parallèle entre les centres des tubes par rapport au flux
On distingue des faisceaux en ligne
Dv
en quinconce
D
D Sn
Sp
Sn
Sp
Faisceau de tubes
Pour un système avec un Nombre de Reynolds compris entre 2000 à 40000 on utilise l’équation
Nu C Rem Pr 1 3
(22)
où C et m sont donnés dans le tableau suivant en fonction de la géométrie
Sn=Sp=1,25D
Sn=Sp=1,5D
Sn=Sp=2D
C
m
C
m
C
m
en ligne
0,386
0,592
0,278
0,620
0,254
0,632
en quinconce
0,575
0,556
0,511
0,562
0,535
0,556
rangées :
si moins de 10 rangées, multiplier C par : 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,64
0,80
0,87
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
0,99
1
en quinconce0,68
0,75
0,83
0,89
0,92
0,95
0,97
0,98
0,99
1
en ligne
Ex 17 : Faisceau de tubes De l’air à 15°C (288 K) et 1 atm passe dans un échangeur composé de 4 rangées de 10 tubes disposés en ligne. La vitesse de l ’air est de 8 m.s-1 à l’entrée de l’échangeur . La température à la surface des tubes est de 57 °C (330,4 K) Le diamètre externe des tubes est de 2,5 cm. L’écart normal au flux Sn des tubes est de 4 cm . L’écart parallèle au flux Sp des tubes est de 4 cm. Les paramètres physiques de l’air à 37°C (310,8 K) sont : k =2,7 10-2 W.m-1.K-1, Pr=0.705, Cp=1,004 kJ.kg-1.K-1, = 1,137 kg.m-3, = 1,9.10-5 Pa.s Pour une longueur des tubes de 30 cm calculer la vitesse de transfert thermique et la température de sortie.
Convection libre
Le nombre de Grashof est défini comme le rapport entre les forces de pesanteur et de viscosité Gr
gTP
TF D ²
D g
3 (23)
dimension caractéristique (m) accélération de la pesanteur (m.s -2) coeff. de dilatation isobare (K -1) TP TF températures de la paroi et du fluide (K) viscosité cinématique (m 2.s-1)
d’une manière générale, des formules heuristiques donnent une relation entre ces nombres :
Nu = f (Gr, Pr)
Convection libre
Nu = C (Gr Pr )m
plaque verticale cylindre vertical cylindre horizontal plaque horizontale au dessus en dessous
GrPr
Régime
C
m
104-109 104-109 109-1013 10 4-109 109-1013
laminaire laminaire turbulent laminaire turbulent
0,52 0,25 0,59 0,25 0,13 0,33 0,53 0,25 0,13 0,33
105-2.107 3.105-3.1010
laminaire laminaire
0,54 0,25 0,27 0,25
Ex 18 : Paroi d ’un four La paroi d ’un four de cuisson (0.5 m de haut) est à la température de 232°C, est en contact avec de l ’air à 37,8°C. Calculer le coefficient de transfert et le transfert de chaleur par unité de largeur de la paroi. (on ne considère pas le rayonnement). Les propriétés de l ’air sont : k
(W.m-1.K-1) (kg.m-3)
µ (Pa.s) Cp (kJ.kg .K ) -1
(K-1)
-1
37,8°C 0,0270 1,137 1,9 10-5 1,0048 3,22 10-3
135°C 0,0343 0,867 2,32 10-5 1,016 2,45 10-3
232°C 0,0408 0,7 2,71 10-5 1,030 1,98 10-3
Dimensionnement
Traitement thermique des fluides Les dimensions influencent les échanges thermiques !
Problème complexe ! Hypothèses réalistes
Distribution des temps de séjour! Objectifs (QmCp dT/dt) / Moyens (U A V) Choix du type d’échangeur en fonction du produit…
Échangeur Tubulaire
Caractéristiques :
diamètre et longueur des tubes... Géométrie, Circulation et Nature du fluide caloporteur variées... nombre de « passes » des deux fluides... présence d’ailettes longitudinales ou transversales... chicanes... • Résistant à la pression • Facilement nettoyable • Remplacement du fluide caloporteur par un chauffage par effet Joule
Échangeur à Plaques
caractéristiques :
dimensions des plaques, diamètres des orifices (D en m), écartement des plaques (y en m), épaisseur des plaques, nombre de plaques v vitesse du fluide dans l'échangeur (m.s -1) v=Q/S avec Q débit volumique du fluide (m 3.s-1) et S section de passage du fluide entre 2 plaques (m 2) S = largeur plaque x épaisseur du canal x nombre de canaux
