Cours Transfert de Chaleur

Phénomènes de transfert de chaleur et de masse Prof. H.Hofmann LTP, IMX, EPFL ième

Matériaux 4 Matériaux 4

semestre

Phénomènes de transfert

1. Introduction

2

Prof. H. HOFMANN Laboratoire de Technologie des Poudres EPFL / IMX

PHENOMENES DE TRANSFERT

I. TRANSFERT DE CHALEUR

1. INTRODUCTION

1.1. Généralités Les multiples procédés utilisés dans l'industrie sont très souvent le siège d'échanges de chaleur, soit parce que c'est le but recherché (fours, coulée, échangeurs, thermoformage, induction, lits fluidisés, trempe, refroidissement), soit parce que ceuxci interviennent d'une manière inévitable (chocs thermiques, pertes de chaleurs, rayonnement). Des connaissances de base en ce domaine sont donc nécessaires à l'ingénieur de production ou de développement pour - comprendre les phénomènes physiques qu'il observe; - maîtriser les procédés et donc la qualité des produits. Le deuxième principe de la thermodynamique admet que la chaleur (ou énergie thermique) ne peut passer que d'un corps chaud vers un corps froid, c'est-à-dire d'un corps à température donnée vers un autre à température plus basse. Le cours "Phénomènes de Transfert I" a pour objet d'étudier la manière dont s'effectue cet échange. Le transfert de chaleur se produit suivant deux modes modes semblables: - soit par contact: c'est la conduction thermique; - soit à distance: c'est le rayonnement thermique. On considère un troisième mode de transfert d'énergie calorifique qui est la convection. (échange de chaleur entre un fluide et un solide). Dans ce cas le phénomène thermique est compliqué par des déplacements de matière et au transfert de chaleur se superpose le transfert de masse. La thermodynamique établit les conditions de cette transmission de chaleur et détermine les conséquences qui en résultent, mais elle ne se préoccupe pas de la vitesse de cette transmission. En thermodynamique classique, les transformations réversibles supposent essentiellement le voisinage de l'équilibre et par conséquent, les échanges ne peuvent s'effectuer qu'entre corps à températures très voisines. Dans la pratique, ces 2


1. Introduction

3

transferts de chaleur s'effectuent entre corps dont les différences de températures sont finies et la vitesse avec laquelle ils i ls s'effectuent, jouent un rôle important.

1.2. Définitions La chaleur: Pour le cours "Phénomènes de transfert" nous disons simplement que c'est une forme de l'énergie. Disons aussi aussi que, lorsqu'on lorsqu'on introduit une quantité de chaleur dans un corps, la température de ce dernier augmente. Dans le cas d'un changement de phase, une partie de cette chaleur est utilisée pour satisfaire les besoins thermiques liés à ce phénomène (fusion, évaporation, etc...). La température: C’est la manifestation mesurable de la chaleur stockée. On dit aussi que la température est liée a la moyenne d’énergie cinétique due au mouvement des atomes et molécules du corps par la relation: 1 3 2 (1.1) mv = kBT 2 2 La conservation de la chaleur: Une fois que l'énergie a été transformée en chaleur, cette dernière se "conserve" lors des différents transferts qu'elle subit. Q + ∆Q = Q'

(1.1b)

La chaleur spécifique: La relation fondamentale

∆Q = m . c p . ∆T

(1.2)

exprime que, si un corps de masse m stocke ∆Q joules, sa température s'élèvera de ∆T. Cp, la chaleur spécifique (en J/(kg K)) est une propriété physique des matériaux et elle dépend généralement de la température. Elle caractérise sa capacité a emmagasiner de la chaleur. La chaleur spécifique d'une substance est fonction de sa structure moléculaire et de sa phase. L'enthalpie: On appelle "enthalpie" la quantité d'énergie contenue dans l'unité de masse d'un corps porté d'une température de référence T o à la température T. Elle contient d'éventuelles chaleurs de transformation survenues dans l'intervalle T o - T. [H(To) = 0 ; To = 0°C ou 20°C selon les tables]: t ables]:

∆H = ∆Q/m [J/kg]

(1.3)

3


1. Introduction

4

La chaleur latente de changement d'état: La chaleur latente spécifique d'une substance est la quantité de chaleur nécessaire pour entraîner le changement de phase d'une unité de masse de la substance. L'unité SI de la chaleur latente spécifique est le J/kg. La chaleur latente de fusion est la quantité d'énergie thermique dégagée par 1 kg de substance solide (p. ex. quand elle fond) sans qu'il y ait de changement de température. La chaleur latente de vaporisation est la quantité d'énergie thermique nécessaire pour transformer à l'état de vapeur 1 kg d'une substance sans qu'il y ait changement de température. Flux de chaleur: Le flux est un débit de chaleur: P=

∆Q ∆t

[J/s ; W]

(1.4)

Les transferts de chaleur sont mesurés par des flux.

Les transferts de chaleur:

T2

P

Surface S T1
T1

Figure 1.1:

Les transferts de de chaleur

Lorsque deux points dans l'espace sont à des températures différentes (T 2 > T 1), il y a systématiquement transfert de chaleur de T 2 vers T1 (c'est le deuxième principe de la thermodynamique). dS = dS1 + dS2 dS =

dQ

+

T1

− dQ T2

⎛ T2

dS = dQ ⎜

−

⎛1 1⎞ = dQ ⎜ − ⎟ ⎝ T1 T2 ⎠ T 1 ⎞

⎟ = dQ T1T2 ⎠

⎝ T1T2 dS ≥ O ⇒ T2 > T1

T1

T2 P

(T2 − T 1 ) T1T2

4


1. Introduction

5

Le flux est proportionnel à ∆T et à la section de passage.

P = h S (T 1 - T2) [W]

(1.5)

h s'interprète comme un coefficient d'échange de chaleur. On doit souligner ici que la relation dans le chapitre intitulé "Définitions et unités" n'est valable qu'au premier ordre, car h est, le plus souvent, souvent, une fonction de la température et du matériau. D'une manière conventionnelle, on donnera une valeur positive au sens du flux qui va de T 1 vers T2 lorsque T1 > T2. Pour le transfert de chaleur, on utilise très souvent la densité de flux, fl ux, définie par q =

P S

2

[W/m ]

(1.6)

On peut aussi parler de transport de chaleur lors du déplacement d'un fluide chaud.  (kg / s) d'un fluide à la température T correspond à un débit de Un débit massique m chaleur, et donc à un flux:

 Cp T P= m

⎡ kg J ⎤ ⎡ J ⎤ K ⎢ s kgK ⎥ = ⎢ s ⎥ = [W ] ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.7)

T m Figure 1.2:Transfert 1.2:Transfert de chaleur par un fluide

Les modes de transfert de chaleur: Il s'agit d'étudier h dans les cas distincts suivants:

La conduction : Echange de chaleur entre deux points d'un solide, ou encore d'un liquide (ou d'un gaz) immobile et opaque. En régime stationnaire:

P=

k e

S ∆T

k / e h ≅ k /

(1.8)

k est la conductivité du matériau: c'est une fonction de T, x, y, z, de la direction etc.., W mais souvent on admettra que k est est une constante. k en [ ] m ⋅ K

5


1. Introduction

6

e est la distance (en mètre) entre les points considérés.

k S e

T1

T2

Figure 1.3 Conduction

La convection: Echange de chaleur entre une paroi et un fluide avec transport de la chaleur par le fluide en mouvement. P = h . S (T1 - T2) (1.9) h = f (nature du fluide, T 1, . T2) = coefficient d'échange par convection

T1

T

Figure 1.4:Convection 1.4:Convection

Le rayonnement: Echange de chaleur entre deux parois séparées par un milieu transparent. P = ε 12 k B S (T1 − T2 ) 4

4

(1.10)

ε12 = facteur d'émission équivalente de l'ensemble paroi 1 - paroi 2 kB = constante de Boltzmann

Pour les équations du rayonnement, T s'exprime en Kelvin !!! 6


T1

1. Introduction

7

T2

Figure 1.5:Rayonnement 1.5:Rayonnement

Evolution thermique liée à un flux de chaleur: Une quantité de chaleur ∆Q stockée dans un corps entraîne une variation ∆T de la température. Une autre situation se présente lorsqu'un débit de chaleur (flux) s'accumule dans un système (S). On distingue le cas où S contient contient une masse et celui celui où S est traversé par un fluide.

P

P

P’

T

Figure 1.6: Flux accumulé dans dans une masse

∆P =

dQ dt

= mC p

dT dt

(1.11)

La relation (1.11) décrit un régime transitoire: élévation, au fil du temps, de la température d'une masse m accumulant un flux de chaleur ∆P.

7


1. Introduction

8

 et qui échange de la chaleur avec le Problème du tuyau parcouru par un débit m milieu environnant

P1 T1

 m

P’ P

P2 T2

P’’

. Figure 1.7: Flux accumulé dans un débit massique m En régime permanent (c'est-à-dire températures invariantes dans le temps), le bilan énergétique s'écrit:

∆P = P1 − P2 avec Pi = m C p Ti si T2 >T1 , ∆P est responsabl responsablee de l'évél l'évélation ation de tempér température ature de la la masse masse de de T1 à T2 :

∆P = m C p (T2 − T1 )

[W]

(1.12) Notez que ∆P est apporté apporté par un autre fluide. D'autre part, ∆P peut contenir des termes "source" internes à un système: - Une chaleur latente de changement de phase - Un effet Joule - Une chaleur de réaction chimique, etc....

8


2. Conduction Thermique

1

2. CONDUCTION THERMIQUE

La conduction est une transmission de la chaleur dans la matière par vibration moléculaire. Les vibrations thermiques des cristaux sont des phonons excités. Considérons donc un solide homogène à l'intérieur duquel la température varie d'un point à un autre, tout en restant constante en chaque point (régime stationnaire). Chaque point A du solide est repéré par ses trois coordonnées x, y, z, z , et en ce point existe exis te une température T. Puisque pour chaque point A il existe une température T = f (x, y, z), on admettra que cette fonction des trois variables est continue dans tout le solide jusque sur sa surface. Ceci veut dire qu'il qu'il existe au voisinage de A d'autres points points ayant la même température T. On peut tracer à l'intérieur du solide une surface S où tous les points sont à la même température T: une surfaceisotherme où "l'isotherme T" et la température T sont sont représentés par un champ scalaire. Les changements de T sont décrits par un vecteur:   ∂T  ∂T  ∂T  ∇T ≡ grad T = i + (2.1) j+ k ∂ x ∂y ∂z   

En appelant appelant i, j, k les vecteurs unitaires des trois axes, le vecteur grad T, défini en tout point Μ, est perpendiculaire à la surface isotherme et dirigé vers une surface isotherme à température supérieure.(déf. du gradient)

Figure 2.1: Considérons une surface isotherme S à température T à l'instant t (au point Μ). A travers un élément de surface élémentaire dS entourant Μ de la chaleur s'écoule perpendiculairement à S. Soit δP la puissance thermique instantanée traversant dS.

1



2

On appelle q la densité de flux de chaleur:



q=

dP

⎡⎣ W/m 2 ⎤⎦

dS

(2.2)



On représente la densité de courant par un vecteur densité de flux de chaleur ( q ) qui  a pour direction et sens la direction et le sens de l'écoulement de la chaleur. q est parallèle et de sens contraire à grad T. La loi de la conduction de la chaleur (loi de Fourier) s'exprime par la relation suivante: 

q

= −k

gradT

(2.3)

où k(le coefficient de conduction thermique) est une propriété physique du matériau au point Μ (par exemple le matériau, la température, la direction ….). Si le flux de chaleur passe à travers une surface du corps, mais que la surface isotherme n'est pas parallèle à la surface du corps, le flux de chaleur sera:  

δ P = n ⋅ q ⋅ dS

(2.4)

Figure 2.2 :

2.1 Equation de la chaleur dans dans le cas de régime instationnaire instationnaire (Equation de Fourier) Le flux de chaleur P est lui-même fonction du temps et varie en général au fur et à mesure de l’évolution du phénomène qui provoque ce transfert. Le flux de chaleur à travers une surface peut aisément être déterminé si l’on connaît la densité de flux de chaleur en chaque point de la surface. Cette densité peut ce calculer si l’on connaît la loi de répartition des températures dans le milieu. Pour établir cette équation, considérons un point P du milieu. Soit x, y, z les coordonnées de P, soit T la température en ce point  à l’instant t, k la conductivité du matériau qui l’entoure, q le vecteur densité de flux de 2



3



chaleur en P, v le vecteur de vitesse du milieu en ce point (voir Fig 2.3). Considérons un parallélépipède rectangle infinitésimal ABCDA’B’C’D’ (Fig 2.3). On a, d’après le premier principe de la Thermodynamique en régime variable :

Z

Z

B’

A‘ B

2 dz

P

y

y x C‘ D

2dx

X

C

M

dy

dy



q

x

y - dy

y + dy

Fig 2.3 Transfert de chaleur dans un petit élément de volume W

2 ⎞⎤ 1 2 d ⎡ ⎛ v ⎛ ⎞ + + ∑ m i ⎜ H i + vi + gzi ⎟ = ⎢m ⎜ H + + gz ⎟ ⎥ 2 2 ⎝ ⎠ dt ⎣ ⎝ i ⎠⎦

Q

(2.5)

avec  = puissance mécanique communiquée à l’élément W Q = la puissance calorifique que l’élément reçoit  i = débit de matière entrant (m > 0) ou sortant (m < 0) à travers la face m

élémentaire i H i = l’enthalpie massique de cette matière [J/Kg] 3



4

vi =

la vitesse de cette matière zi = altitude de cette matière m est la masse de matière à l’intérieur de l’élément ayant une vitesse v, altitude altit ude z et une enthalpie h. Dans le domaine des transferts de chaleur, normalement aucune énergie mécanique  = 0. n’est échangée avec l’extérieur, donc W Parce que l’élément est de dimension infinitésimale, on peut admettre que zi = z d’où

∑ m gz = gz ∑ m i

i

i

i

i

et avec la règle de la conservation de la masse:

∑ m = dm dt

(2.6)

i

i

d ( mgz ) ∑ m gz = dt i

i

i

Utilisons ce résultat dans l’équation l’ équation (2.5) ,on trouve : Q

2 1 2⎞ d ⎡ v ⎤ ⎛ + ∑ m i ⎜ H i + vi ⎟ = ⎢ mH + m ⎥ 2 ⎠ dt ⎣ 2⎦ ⎝ i

Pour le cas où aucun échange de matière ne se produit : dm  i = 0 donc =0 m dt et la masse du système reste constante, donc Q

(2.7)

(2.8)

2 ⎛ v ⎞ = m ⎜ H + ⎟ 2⎠ dt ⎝

d

Comme déjà mentionné, le système n’est pas soumis à des efforts mécaniques, son énergie cinétique reste donc constante, l’équation (2.8) s’écrit : dH (2.9) Q = m dt Equation (2.9) décrit le cas de conduction thermique pur. Le second membre de l’équation (2.9) devient avec équation 1.2 et 1.3 dH ∂T ∂T (2.10) = mCP = ρ CP dV m dt ∂t ∂t dV = volume de l’élément, ρ = la masse volumique et C p chaleur massique.

4



5

∑ δ P , et

Q est égal à la somme des flux de chaleur traversant la surface de l’élément,

i

i

de la puissance engendrée Q p (chaleur latente de transformation de phase, réaction chimique, effet Joule). Finalement, l’équation (2.5) peut s’écrire (estimations : aucune transfert de masse, puissance mécanique nulle, différence d’énergie potentielle négligeable) :

∑ δ P + Q i

p

= ρ C p

i

∂T dV ∂t

Equation (2.11) est utile, si on peut trouver une expression pour le terme

(2.11)

∑ δ P . Soit i

i

ABCD la face située dans le plan x+dx (voir fig 2.3) et M le milieu du rectangle ABCD. La température en M peut être estimée comme ∂T (2.12) T M = T + dx ∂ x et de même la densité de flux de chaleur en M : 

∂q q M = q + dx ∂ x 



(2.13)

Le flux de chaleur qui traverse la surface ABCD (aire de cette surface = 4dydz) dans le sens de x croissant (sortant du système) est donc :   ∂q ⎛ ⎞ δ P x + dx = −4 ⎜ q + (2.14) dx ⎟ i ⋅ dydz ⎝ dx ⎠ Pour la surface A’B’C’D’, dans le plan x-dx, le flux qui pénètre dans le volume par cette surface est   ∂q ⎛ ⎞ (2.15) δ P x − dx = +4 ⎜ q − dx ⎟ i ⋅ dydz ⎝ ∂ x ⎠ D’une manière strictement analogue on aura 

⎛  ∂q ⎞  δ P y + dy = −4 ⎜ q + dy ⎟ j ⋅ dxdz ∂ y ⎝ ⎠  ⎛  ∂q ⎞  δ P y − dy = +4 ⎜ q − dy ⎟ j ⋅ dxdz ∂ y ⎝ ⎠   ⎛  ∂q dz ⎞ k ⋅ dxdy δ P z + dz = −4 ⎜ q + ∂ z ⎟⎠ ⎝   ∂q ⎛ ⎞ δ P z − dz = +4 ⎜ q − dz ⎟ k ⋅ dxdy ⎝ ∂ z ⎠

(2.16)

Le flux total pénétrant dans dans le solide est la somme de six flux ( (2.14)(2.15)(2.16)) : 5





6





∂q  ∂q  ∂q  δ 8 8 8 = − − − P d x i d y d z d y j d x d z d z kdxdy ∑i i ∂ x ∂y ∂z    ⎛ ∂q  ∂q  ∂q  ⎞ ∑i δ Pi = −8dxdydz ⎜⎝ ∂ x i + ∂y j + ∂z k ⎟⎠

(2.17)

Avec 8 dxdydz = dV et équation (2.17) l’équation (2.11) vient 





⎛ ∂q  ∂q  ∂q  ⎞  ∂T − dV ⎜ i + j + k ⎟ + Q p = ρ C p dV ∂y ∂z ⎠ ∂t ⎝ ∂ x

(2.18)

On peut modifier le premier terme de équation (2.18) utilisant les relations suivantes : 

∂q  ∂   i = (q ⋅i ) ∂ x ∂x   q ⋅ i = q x

(2.19)



qx est une des composantes du vecteur q sur les trois axes (voir aussi équation (2.1) (2.3)) :  ∂T ∂q  ∂ ⎛ ∂T ⎞ donc −k (2.20) q x = − k i = ∂ x ∂x ∂x ⎜⎝ ∂x ⎟⎠ et de façon analogue pour les direction y et z. Dans cette conditions l’équation (2.18) devient :

⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤ Q p ∂T + + ρ C k k k + = ⎢ ∂ ⎜ ∂ ⎟ ∂ ⎜ ∂ ⎟ ∂ ⎜ ∂ ⎟ ⎥ dV p ∂t ⎣ x ⎝ x ⎠ y ⎝ y ⎠ z ⎝ z ⎠ ⎦ ou

(2.21)

∇(k∇T )+q p = ρ C p ∂T ∂t Equation (2.21) constitue la loi de FOURIER. Sa résolution (analytique ou numérique) fournit l'évolution de la température en tout point au cours du temps, si on connaît "l'état initial" et "les conditions aux limites". q p



= Q dV

3

3

est la puissance calorifique spécifique [J/sm ou W/m ]}

6



7

Cas particuliers: - Conductivité thermique constante: On peut imaginer les cas où le changement du k est négligeable, donc k est constant. L’équation (2.21) devient :

⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞ 1 ∂T q p ⎜ ∂ x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ⎟ = α ∂t − k ⎝ ⎠

(2.22)

ou 1 ∂T q p

∆T ≡ ∇2T =

−

α ∂t

k

(2.23)

∆T est le Laplacien de la fonction T et α est la diffusivité thermique : α =

k

ρ C p

⎡ J m3 ⎢ s m K kg ⎣

kg K ⎤ J

⎡ m2 ⎤ ⎥=⎢ s ⎥ ⎦ ⎣ ⎦

(2.24)

- Milieu inerte: q p = 0 (toujours avec k = constante) ;Pas de production de chaleur (pas de réaction

chimique, pas de transformation de phase, pas d’effet Joule). L'équation (2.23) devient:

∇ 2T =

1 ∂T α ∂t

(2.25)

-Cas de régime stationnaire En chaque point, la température reste constante au cours du temps :

∂T = 0 ; ∂t

donc l’équation (2.23) devient

∇2T =

−q p k

(2.26)

et en cas de régime stationnaire dans un milieu inerte:

∇ 2T = 0

(2.27) 7



8

Le Laplacien pour les coordonnées cylindriques ou sphériques est (description des coordonnées voir fig. 2.4):

•

cylindrique :

∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ 2T ∂ 2T ∇T≡ + ⎜ r ⎟ + r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂θ 2 ∂z 2 2

•

1

(2.28)

sphérique :

∇T≡ 2

1 r

2

1 1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ 2T sin θ + + r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎜⎝ ∂θ ⎟⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ 2

(2.29)

z

δz

θ r

φ δr

θ δθ

cylindrique

r

sphérique

Figure 2.4 Coordonnées cylindrique cylindrique et sphérique sphérique

8

Phénomènes de transfert 3. Applications de l’équation de Fourier

1

3. APPLICATIONS DE L’EQUATION DE FOURIER (cas unidimensionnels et stationnaires) Avec l’équation 2.21 nous sommes capables de calculer la distribution de la température en fonction de l’endroit et du temps dans un corps solide. Le calcul de la densité du flux de chaleur q est aussi possible. En tout cas, il faut en premier calculer T(x,y,z, t) et après, par le calcul de la première dérivée de T on peut trouve une une équation pour q. L’Equation (2.21) est une équation différentielle partielle et trouver une solution est relativement difficile. Mais déjà pour des cas stationnaires ( ∂T = 0 ) l’équation devient une équation différentielle ordinaire ∂t et une résolution sans trop d’effort est souvent possible.

3.1 La méthode basique La méthode basique est de l’expliquer en utilisant l’exemple d’un mur ou se déroule une réaction chimique. Exemple 3.1 Un long et mince (épaisseur e) mur en béton est en cours de durcissement par une réaction chimique (hydratation du ciment). Cette réaction est exothermique ( q p

> 0 ⎡⎣W/m3 ⎤⎦ ). Les

deux surfaces extérieures sont gardées à la température ambiante T w . Calculer la température maximale à l’intérieur pour le cas stationnaire.

q

z

Tw

y

Tw

e

x

Figure 3.1 : Système des coordonnées

1. Choix du système de coordonnées et identification des variables indépendantes Pour ce problème, les cordonnées cartésiennes sont bien adaptées à la situation. La température va changer seulement dans la direction x. Dans les autres directions (y et z) on peut attendre une distribution distribution de température homogène (q x et q y = 0) ; voir Figure3.1. Parce qu’on n’attend pas une très grande différence de la température à l’intérieur du mur, il est possible de de dire que k est constant. constant. 2. Ecrire l’équation de Fourier adaptée au problème 1 ∂T q p ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T

∂ x 2

+

+ 2 = 2 ∂ ∂z y   =0,parce que ∂T ∂y = ∂z =0

∂T

∂

α t 

=0,cas stationnaire

−

k

(3.1)


2

(3.1) devient

∂ 2T q p =− k ∂ x 2

(3.2)

3. Trouver la solution générale de l’équation différentielle Il faut intégrer l’équation (3.2) deux fois : q p

T ( x) = −

2k

x

2

+ C1 x + C2

(3.3)

4. Ecrire les conditions aux limites et les conditions initiales Pour exemple 3.1 seulement deux conditions aux limites sont connues (et nécessaires): T(x = 0) = Tw et T(x = e) = T w Important : utiliser seulement des informations accessibles pour les conditions aux limites et initiales. Autrement, la solution n’est pas utile. 5. Utiliser les conditions aux limites et initiales pour trouver les valeurs des constantes d’intégration Cette étape peut être très compliquée. Pour exemple 3.1 elle est encore simple : Pour x = 0, on trouve avec l’équation (3.3) : Tw

= −0 + 0 + C2 donc

C2

= Tw

(3.4)

Pour x = e, on trouve Tw

=−

q p

2k

e

2

+ C1e + C2



donc C1 =

=T w

q p e

2k

(3.5)

6. Utiliser les solutions (3.4) et (3.5) dans l’équation (3.3) pour obtenir une solution particulière pour le problème : T ( x) = −

q p

2k

x

2

+

q p e

2k

x + Tw

(3.6)

On peut écrire équation (3.6) aussi, dans une forme sans dimension (cette forme d’équation va nous donner la possibilité d’évaluer le résultat) : T

− T w

q p e

2

k

1 ⎡x

x = ⎢ − ⎛⎜ ⎞⎟ 2 ⎢⎣ e ⎝ e ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

(3.7)


3

7. Vérifier si la solution est correcte 0.14 0.12 ) k 0.1 / 2 e 0.08 q ( / w 0.06 T T 0.04 0.02

Séri e1

0 0.00

0.50

1.00

x/e

Figure 3.2 Equation 3.7 Il faut « jouer » avec la solution, vérifier les cas extrêmes (x = 0 ; x = e), si possible construire un graphe avec la solution. Finalement, il faut trouver la densité du flux de chaleur q en fonction de x q ( x ) = −k

q e ⎤ ∂T ⎡ q p = k⎢ x− p ⎥ 2k ⎦ ∂ x ⎣k

(3.8)

pour x = 0, l’équation (3.8) devient q x =0

=−

q p e

2

(3.9)

et pour x = e : q x = e

=

q p e

2

(3.10)

La différence entre les équations (3.9) et(3.10) est seulement le signe ou la direction du flux ! Pour x = e/2, q devient nul (le gradient de la température est aussi nul à cet endroit !) Il est aussi intéressant que la densité du flux de chaleur ne dépende pas de k !

Exemple 3.2 Un mur simple dans un état thermique stable et sans puissance calorifique (pas de production de chaleur

⎡⎣ q p = 0 ⎤⎦ ).

Le mur est mince, le flux de chaleur est parallèle à la

direction x. Les températures des deux côtés sont différentes. Calculer le profil de la température et la densité du flux de chaleur (Figure 3.3).

1. T = T(x),cas stationnaire, flux seulement dans la direction x


2.

∂ 2T =0 ∂ x 2

4

(3.11) !

T T T

T = T 1 - (T 1 - T 2 ) x /e

1

1

T

2

T

x

0

2

x

e

e Solution

P r o b lè m e

Figure 3.3 Mur simple, cas stationnaire

3. Solution générale : (3.12) 4.

Conditions aux limites : T(x = 0) = T1 ; T(x = e) = T2

5. constantes d’intégration : T1

= 0 + C2

donc C2

= T1;

T2

= C1e + C2

donc C1 =

T2 − T 1 e

(3.13)

6. Solution : T ( x ) = T1 +

T2 − T 1 e

x

(3.14)

7. La solution satisfait les conditions aux limites. Equation (3.14) est linéaire parce que le terme (T2-T1)/e est constant. 8. Que vaut q dans ce cas là ? ∂T ∂ ∂ T −T T −T T −T = −k ⎛⎜ T1 + 2 1 x ⎞⎟ = − k ⎛⎜ T1 − 1 2 x ⎞⎟ = k 1 2 q = −k ∂ x ∂x ⎝ ∂x ⎝ e e e ⎠ ⎠

donc

q = k

∆T e

Cette solution est l’équation la plus simple pour la conduction de chaleur.

(3.15)


5

Exemple 3.3 Trouver la distribution de la température dans un long tube cylindrique circulaire (Figure 3.4). Cas stationnaire sans production de de chaleur.

T

r i

To

To T(r)

Ti

r o

Ti r o

r i

r

Figure 3.4 Exemple tube cylindrique

1.

T = T(r) (car indépendant de ϕ et de z)

2. On a donc

∆T ≡ ∇2T = 0

et avec des coordonnées cylindriques : 1 ∂ ⎛ ∂T ⎜ r r ∂r ⎝ ∂r

(3.16)

⎞ + 1 ∂ 2T + ∂ 2T = 0 ⎟ r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ⎠    =0;

∂T ∂T et =0 ∂θ ∂ z

donc

(3.17)

∂ ⎛ ∂T (r ) ⎞ =0 r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ 3. Intégrations de l’équation (3.17) ∂T (r ) première première intégration: intégration: r deuxième intégration: intégration: T(r) = C1 ln r + C2 = C1 ; et deuxième ∂r 4. Conditions aux limites : T(r = r i) = Ti ; T(r = r 0) = T0 5. Que valent les Ci (i = 1,2) ?


6

= C1 ln ri + C 2 T0 = C1 ln ro + C 2 T −T T −T ⇒ C1 = i o ; C 2 = Ti − i o ln ri r r ln ⎛⎜ i ⎞⎟ ln ⎛⎜ i ⎞⎟ ⎝ ro ⎠ ⎝ r o ⎠

Ti

(3.18)

6. T ( r ) = Ti

+

Ti

− T o

r ln ⎛⎜ i ⎞⎟ ⎝ r o ⎠

( ln r − ln ri )

ln ⎛⎜ r

⎞

ri ⎟⎠

− Ti = ⎝ r T1 − T0 ln ⎛⎜ i ⎞⎟ ⎝ ro ⎠ T

(3.19)

ln ⎛⎜ r ⎞⎟ T − Ti ⎝ r i ⎠ ou = r To − Ti l n ⎛⎜ o ⎞⎟ ⎝ r i ⎠

7. La solution satisfait les conditions aux aux limites.

8.

Que vaut q ? qradial

= −k

T − T 1 C ∂T (r ) = −k 1 = − k i o r ∂r r ln ⎛⎜ i ⎞⎟ r ⎝ r o ⎠

(3.20)

3.2 Barre ou tube cylindrique avec production de chaleur Si dans l’équation (3.19) r tend vers zéro (barre cylindrique) le terme C 1ln ( r) (voir point 3 exemple 3.3) tend vers l’infini, ce qui est impossible sauf si C 1 est nul. Ainsi, dans une barre circulaire T = C2. La température est donc uniforme et il n’y a aucun flux de chaleur. (Attention : ce cas là représente une situation purement stationnaire (difficilement réalisable)) Pour la conduction de chaleur dans un tube creux avec production de chaleur. La loi de la propagation de la chaleur devient (voir aussi équation. (3.17)) : q p ∂ ⎛ ∂T ⎞ = − r ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k

1

(3.21)

Si q est constant dans tout le volume, la répartition de température est : 2

T (r ) = −

q p r

(3.22) + C1 ln r + C2 4k avec des conditions aux limites T(r = r i) = Ti ; T(r = r o) = To on peut trouver les constantes d’intégration :


C 1 =

To − Ti r ln ⎛⎜ o ⎞⎟ ⎝ ri ⎠

+

7

q p ro2 − ri 2

4k ln ⎛ r o

⎜ ⎝

⎞ r i ⎟⎠

C 2

=

− To ln ri q p ri2 ln ro − ro2 ln ri + ro ⎞ r 4k ⎛ ln ⎜ ln ⎛⎜ o ⎞⎟ ⎟ ⎝ ri ⎠ ⎝ r i ⎠

Ti ln ro

(3.23)

Donc on peut trouve T( r )si on remplace C1 et C2 d’équation (3.23) dans l’équation (3.22). La densité du flux de chaleur est 2 ⎞ ∂T (r ) ∂ ⎛ q p r = − k ⎜⎜ − + C1 ln r + C2 ⎟⎟ = q = −k ∂r ∂r ⎝ 4k ⎠

q p r

2

−

k C1 r

(3.24)

avec C1 comme défini dans l’équation (3.23). Dans le cas de la barre cylindrique avec production de chaleur, les équations appropriées sont :

T

=−

q p r

2

4k

+ C3 ⇒ T (r ) = T0 +

q p

(r 4k

2 0

− r 2 )

∂T (r ) q p r = q = −k 2 ∂r

(3.25)

La loi de distribution est parabolique, le maximum étant au centre de la barre. La seule condition aux limites est T(r = r o) = To.

3.3 Mur composite Si le mur est constitué de n couches juxtaposées d’épaisseurs e1, e2, e3, …en de conductivité k 1,k 2,k 3,….k n. On suppose que le contact entre deux couches est parfait, c’est-àdire que l’on admet qu’il n’y a pas de discontinuité de la température aux interfaces. Il n’y a ni perte ni production de chaleur. On suppose le cas stationnaire (q est constant !) et avec (3.15) on trouve : q=

k1 e1

(T0

− T1 ) =

k 2 e2

(T1 − T2 ) = ....... =

k n en

(Tn−1 − Tn )

(3.26)

Soit S la surface de ce mur composite, le flux P est égal à

P = qS

= hS (T0 − Tn ) =

(T0 − T n ) [W ] 1 hS

(3.27)


Le terme

1 hS

8

à la résistance électrique) ; donc (3.27) est la résistance thermique R k k (analogue

− T n

T0

P=

devient

Rk

(3.28)

Pour la résistance thermique en série (mur composite, transfert fluide- mur, résistance thermique entre les différentes couches d’un mur) on peut écrire (comme pour la résistance électrique en série) : 1 1 [K/W] (3.29) Rk = S i hi

∑

1

Pour la conduction on a

hi

=

ei k i

; pour la résistance entre deux couches : r i. En fait, les

contacts réels sont imparfaits et ils introduisent une variation brusque de température au 2 niveau des interfaces. (valeur typique pour 1/r = h interface : 1000 – 2000 W/m °C). Figure 3.5 montre un cas général. La résistance thermique pour ce cas est : Rk

e 1⎛ 1⎞ = ⎜ ∑ i + ∑ r j + ∑ ⎟ S⎝ ki hk ⎠

(3.30)

er

Le 1 terme représente la résistance dans la matière i, le deuxième la résistance entre deux composés i et j et le troisième la résistance entre le mur et le fluide environnant. La densité du flux de chaleur devient :

q=

T0' − T0'' ei

1

∑ k + ∑ r + ∑ h

=

Tn −1 − Tn T1 − T 2 = en e2

j

i

i

j

k

k n

k

(3.31)

k 2

En général, les deux deux températures du fluide T’0 et T’’0 sont connues mais pas les températures sur la surface du mur (To, T n’) Le problème du choix du coefficient de transfert de chaleur h fera objet de la partie convection.

T’ 0

q= k i

T/ r i ∆ T/r

r j h k T’’ T’ ’0 ei

Figure 3.5 Mur composite


9

3.4 La conductivité thermique k = f(T ) Pour le cas simple (flux de chaleur dans la direction x, cas stationnaire) on peut améliorer le résultat du calcul si on remplace k par k moyenne (3.15) : moyenne (k m). Il convient d’écrire l’équation (3.15) dT q = −k (T ) dx (3.32) ou qdx = −k (T )dT

et, en intégrant par variables séparées : T i

∫

q(e − 0) = − k (T )dT

(3.33)

T 0

Avec la définition du k m : km

=

T 2

1

∫ k (T )dT

(3.34)

T2 − T 1 T 1

on trouve pour équation (3.33) : q = − k m

T 1

T1 − T 0

T 0

e

(3.35)

La répartition de température s’écrit T1 − T0

T1

q = − km T

0

e

T x

= − k m T

T x

− T0

x

0

(3.36)

T 1

T ( x ) = T0

+

k m T T − T 0 1 0 T x

e

k m T

x

0

La courbe T(x) n’est plus linéaire en x.

3.5 Résistance thermique thermique d’un tube cylindrique cylindrique circulaire et l’épaisseur l’épaisseur critique d’un revêtement isolant Calculons le flux de chaleur P traversant tra versant le cylindre de rayon r (utilisant (utili sant l’équation.(3.20)) : P = q 2π rL = − k

(T2 − T 1 ) 1 ln

=

r 1

r

2π rL

d ' ou P

r 2

2π kL T2 − T 1 r 2 ln r 1

(3.37)


10

Le flux est donc, en contraire en densité du flux, le même quel que soit r (pas de production de chaleur). Dans ces conditions et en comparaison avec l’équation. (3.28) on obtient :

Rk =

ln

r 2

r 1

[°C/W]

2π kL

(3.38)

Exemple Un tube cylindrique (composite ou non) de longueur L et de rayon r 1 et r 2 possède une résistance thermique R k0 k0. Supposons qu’autour de ce tube soit placé un isolant de rayon extérieur r et de conductivité k. h est le coefficient de convection avec l’air ambiant de température Ta. La température intérieure du tube est T1, la résistance thermique entre fluide intérieur et la paroi est négligeable. La résistance thermique du système (voir aussi Fig. 3.6) est alors : r ln 1 r 2 + Rk = Rk 0 + (3.39) 2π kL h2π rL

Ta T1 h

r 2 r 1

r

Figure 3.6 : Revêtement cylindrique Examinons comment varie R k le rayon r de l’isolant : k avec dRk dr avec dRk

=

1

2π kL r

k h

=

1

= rc 1

−

1

1

2π hL r

2

=

⎛ r − k ⎞ ⎟ 2 ⎜ 2π kLr ⎝ h⎠ 1

(3.40)

r − r c ) 2 ( 2π kLr dr On remarque que le fait de mettre une épaisseur d’isolant a d’abords un effet négatif car l’augmentation de la surface d’échange diminue la résistance totale. Mais cet effet et rapidement atténué par l’épaisseur d’isolant. dRk dRk > 0 si r > rc et < 0 si r < rc Ainsi dr dr


11

Appliqué à Fig 3.6 : a) Si r2 dRk dr

b) Si r2

≥ rc

r ≥ r2

comme

≥ rc

> 0 ⇒ Rk croit toujours avec r

≤

rc al alors:

lorsque r2

< r < r c

lorsq lorsque ue rc

< r

dR k dr

dR k dr

>0

<0

; R k décroit avec r. ; R k croi croitt avec avec r

Ainsi R k passe par une valeur minimale lorsque r = r c. Fig 3.7 montre dR k k /dr en fonction de r et r c.

2

0 s t i -2 n u . b r -4 a r d / k R -6 d

r>rc rc=10

-8

-10 0

5

10

15 r

Fig 3.7 graphique Cas a) en trait plein (avec r 2>r c), cas b) en traitillé avec r c =10.

20

25

Phénomènes de transfert 4. L’équation de Fourier, deux dimensions, régime stationnaire

1

4. L’EQUATION DE FOURIER, DEUX DIMENSIONS, REGIME STATIONNAIRE

T= 0, y = 8

Y

0.5 T0

T= 0 T

T= 0

Z X

T = T0

y=0 y=0 x=L

x=0

Figure 4.1 Répartition de température dans une paroi semi-infinie

Pour une paroi semi-infinie sans production de chaleur et dans un régime stationnaire, l’équation de Fourier Fourier est :

∂ 2T ∂ 2T + = 0 ∂ x 2 ∂y 2

(4.1)

On peut résoudre l’équation (4.1) par la méthode de séparation des variables. On cherche la solution dans la forme du produit suivant : T ( x, y ) = X ( x ) ⋅ Y ( y )

(4.2)

En remplaçant l’équation (4.2) dans (4.1), on obtient : Y

d2X dx

2

+ X

d 2Y dy

2

=0

et après séparation des variables

⎛1 -⎜ ⎝ X

(4.3)

2 2 ⎞ ⎛ d X ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ d Y ⎞ ⎟ ⎜ dx 2 ⎟ = ⎜ Y ⎟ ⎜ dy 2 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Comme les deux parts de l’équation (4.3) sont indépendantes l’une de l’autre, on peut les égaliser à un constant k’2, la constante de séparation : 2 d X + k '2 X = 0 2 dx (4.4) 2 d Y − k '2 Y = 0 2 dy


2

Les équations (4.4) sont des équations homogènes et linéaires avec des coefficients constants. La solution analytique des équations (4.4) est X = e ax X = C e

et

Y = e by

avec a = ± ik' ik' et b= ± k' k'

' − ik ' x 2

+C e ± Puisque e ik ' x est identique à cos(k ' x) ± i sin( k ' x) X = C1 cos(k ' x) + C2 sin(k ' x ) ' ik ' x 1

Y = C3e

k'y

(4.5)

(4.6)

+ C4 e− k ' y

(4.7)

La solution générale de l’équation (4.1) est donc le produit des équations (4.6) et (4.7) : − T ( x, y ) = ( C1 cos(k ' x) + C2 sin(k ' x) ) ⋅ ( C3e k y + C4e k '

'y

)

(4.8)

Exemple 1 Pour un cas simple (paroi semi-infinie sans production de chaleur et avec une température constante T0 à la surface y = 0 (dans un régime stationnaire ) Fig 4.1), les conditions aux limites sont :

T = 0 si T = 0 si T = 0 si T = T0

x=0 condition aux limites 1 x = L C.L. 2 y=∞ C.L. 3 si y = 0 C.L. 4

L’équation (4.8) doit satisfaire aux conditions aux limites 1 – 4. 1. L’équation (4.8) doit être égale à zéro pour x = 0, c’est-à-dire C 1 =0. 2. L’équation (4.8) doit être égale à zéro pour x = L, donc sin(k ' L) = 0

(fonction propre)

(4.9)

L’équation (4.9) est satisfaite pour k’L = 0, π, 2π, …,nπ (valeur propre), ou d’une manière plus générale si k’ = nπ/L.Donc l’équation (4.6) s’écrit : nπ x X ( x) = C 2 sin L

(4.10)

ou de façon plus générale : ∞

X ( x ) =

∑

C n sin

nπ x L

n=0

3.

(4.11)

C.L.3 est satisfaite si C3 dans l’équation (4.7) ou (4.8) est nulle

Avec k’ = n π/L (voir 4.9.) l’équation (4.7) devient Y = C 4e

−

nπ y L

(4.12)


3

Avec les équations (4.11) et (4.12)l’équation (4.8) devient : ∞

∑

T ( x, y ) =

Ane

−

nπ y L

n =0

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

sin ⎜

(4.13)

An est une nouvelle constante qui inclue toutes les constantes C n. 4. Si on tient compte de C.L.4, l’équation (4.13) s’écrit : ∞ ⎛ nπ ⎞ T0 = An sin ⎜ x⎟ L ⎝ ⎠ n =0

∑

(4.14)

Finalement, il faut déterminer les valeurs de la constante An. Pour ce faire on peut utiliser la procédure de développement du théorème de Fourier Fourier : mπ x On multiplie les deux côtés de l’équation (4.14) par sin si n et on intègre entre x = 0 et L x = L (pour facilité l’intégration on on utilise l’endroit relatif x/L): ∞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ T0 ∫ sin mπ ⎜ ⎟d ⎜ ⎟ = ∫ ∑ An sin nπ ⎜ ⎟ sin mπ ⎜ ⎟ d ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ x =0 n= 0 ⎝ L⎠ ⎝ L⎠ ⎝ L⎠ x = 0 1

1

L

(4.15)

L

L’intégrale de droite est égale a zéro pour toutes les valeurs de n sauf pour n = m ; dans ce cas elle est à An/2. L’intégrale du côté gauche vaut 2/n π pour n impair, donc An =

4T 0

n = impair

nπ

(4.16)

La solution pour l’équation (4.8) pour la plaque semi-infinie est donc ∞

T = T0

∑

n =1 n impair

4 nπ

e

−

nπ y L

⎛ nπ x ⎞ ⎟ L ⎝ ⎠

sin ⎜

(4.17)

La figure 4.2 montre la convergence de l’équation (4.17) pour x/L = 0.5 et y/L = 0.1 (n = 1,3,5,7,…35). Pour n> 15, l’équation 4.17 devient stable est assez précise. 1 0.95 0.9 0.85 0.8 o T / T

0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5

0

10

20

30

n

Figure 4.2 Comportement de l’équation 4.17 en fonction de n.

40


4

La figure 4.3 montre la température relative (T/T 0) on fonction de x/L pour différentes distances de la surface y = 0 (voir Fig. 4.1). Les distances choisies sont y/L = 0.1 ; 0.5 et 1.

1 0.8 o 0.6 T / T 0.4

0.2 0 0

0.25

0.5

0.75

1

X/L figure 4.3 Température relative en fonction de x/L. pour y/L = 1.

y/L = 0.1 ;

y/L = 0.5 et

Finalement, Figure 4.4 montre la température relative en fonction de la distance de la surface y = 0 pour x/L = 0.5. 1 0.8 0.6

o T / T 0.4

0.2 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y/L Figure 4.4 : Température relative en fonction de y/L.

Exemple 2 Une plaque semi-infinie avec des conditions aux limites suivantes :

C.L. 1 C.L. 2 C.L. 3 C.L. 4

T = T1 T = T1 T = T1 T = f(x)

si si si si

x=0 x=L y= ∞ y=0

On peut partiellement utiliser la solution de l’exemple 1 si on transforme les conditions aux limites par introduction de la fonction = T − T 1 (4.18) θ =


5

L’équation (4.1) devient donc

∂ 2θ ∂ 2θ + =0 ∂ x 2 ∂y 2

(4.19)

et les conditions aux limites deviennent : θ

( 0, y ) = θ ( L, y ) = θ ( x, ∞ ) = 0

et

θ ( x, 0) =

f ( x) − T1 = F ( x ) .

On peut résoudre l’équation (4.19) par la méthode de séparation des variables. On cherche la solution dans la forme du produit suivant : θ ( x , y )

= X ( x) ⋅ Y ( y )

(4.20)

Si on suit le même procédé que dans l’exemple 1 on peut trouver ∞

θ ( x,

y) =

∑Ae

−

nπ y L

n

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

sin ⎜

n =0

(4.21)

L’équation (4.21) est analogue à l’équation (4.13). Après l’application de la C.L. 4 on trouve ∞

F ( x) =

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎠

∑ A sin ⎜⎝ L n

n =0

(4.22)

La multiplication avec sin (mπx/L) et l’intégration de x/L = 0 à x/L = 1 donnent, donnent, comme avant

⎡ ⎛ x ⎞⎤ ⎛ x ⎞ A F ( x ) ⎢sin mπ ⎜ ⎟⎥d ⎜ ⎟ = n ⎝ L ⎠⎦ ⎝ L ⎠ 2 ⎣ =0

1

∫ x L

(4.23)

donc An est An =

2

x = L

∫

L x =0

F ( x ) sin

nπ x L

dx

(4.24)

La solution finale est (avec A0 = 0) : ∞

T = T1 +

∑Ae n

n =1

−

nπ y L

⎛ nπ x ⎞ ⎟ ⎝ L ⎠

sin ⎜

ou An =

2

x = L

∫

L x =0

( f ( x) − T1 ) sin

nπ x L

dx

Pour la solution dans des cas plus difficiles il faut consulter des ouvrages spécialisés.

(4.25)

Phénomènes de transfert 5.Régime transitoire ou variable, cas d’une plaque semi-infinie

11

5. REGIME TRANSITOIRE OU VARIABLE, CAS D’UNE PLAQUE SEMI-INFINIE Le régime transitoire correspond à un brusque changement de l’équilibre thermique. Une telle perturbation se propage dans le milieu et fait subir une évolution à tous les éléments du système. Au bout d’un certain temps, le phénomène perturbateur disparaît ou bien se stabilise et tout le système évolue vers un nouvel état d’équilibre. Dans le cas du régime variable le système évolue constamment sans jamais atteindre un équilibre thermique. Ces évolutions sont généralement plus lentes et le plus souvent périodiques. Dans le domaine de la science et technologie des matériaux, les régimes transitoires et variables sont très importants ; par exemple, pour tous les traitements thermiques des matériaux et pour la solidification. Le problème dans le domaine de transfert de la chaleur est très souvent de trouver une solution de type T = T (x,y,z,t) de l’équation de Fourier (2.21, chapitre 2) :

∇(k ∇T )+q p = ρ C p

∂T ∂t

(5.1)

pour 0>t>τ (ou τ pe peu → ∞); et pour (x,y,z) décrire une région R (ou R peut → ∞) . La condition initiale (C.I) est donnée sous la forme T = Ti ( x, y, z ) si t = 0

(5.2)

On a seulement besoin d’une seule condition initiale. Pour les cas stationnaires (chapitre 3 et 4) aucune C.I. n’est nécessaire. Pour les cas périodiques où soit q ,soit les conditions aux limites (C.L.) changent de manière périodique dans le temps, on peut négliger le comportement transitoire du début. Il faut deux C.L pour chaque coordonnée. Très souvent, les coordonnées montrent les formes suivantes : a) premier type : T est spécifié pour pour les limites de de R (exemples x = 0 ; x = -L et x = L) pour t> 0 b) deuxième type : La dérivée de T dans la direction perpendiculaire à la paroi pour une limite de R est spécifiée pour t>0 c) troisième type : La dérivée dérivée de T en direction perpendiculaire d’une paroi est proportionnelle proportionnelle à la température de la paroi. L’exemple typique est le transfert de chaleur à la surface par convection ∂T q = −k (5.3) = h (T − T∞ ) paroi ∂ x paroi Figure 5.1 montre la distribution distribution de de la température pour les trois cas différents différents de C.L..

5.1 Echauffement ou refroidissement de Newtonien Avant d’expliquer les solutions générales, on va discuter un cas important : la plaque mince: dans le cas où la densité du flux de chaleur à intérieur de la pièce (conduction) peut être plus grande que la densité du flux de chaleur par convection sortant la pièce, on peut négliger le gradient de température à l’intérieur de la pièce. Dans ce cas on parle d’échauffement ou de refroidissement Newtonien.


hL

Pour le cas Newtonien il faut que

k

22

≤ 0.1 (Nombre de Biot ≤ 0.1).

Figure 5.1 : La distribution de la température température pour les trois cas différents différents de C.L.. (Heat transfer textbook third edition, John H.Lienhard et al. )

Pour le cas Newtonien, le bilan de chaleur sera: Parrivant = Psortant

−V ρ C p

dT dt surface, coté ˆ solid

= hA(T − Tfluid )

(5.4)

avec V le volume de la pièce et A sa surface exposée à l’air (ou à un autre fluide). A partir de l’équation (5.4) on trouve la température de la pièce en fonction du temps : dT

(T − Tfluid ) T

= −h

dT

∫ Tinitial

(T − Tfluid )

A

dt V ρ C p t

hA

=−∫

dt C V ρ p t = 0

donc

(T − T ) = ⎛ − h exp ⎜ ⎜ ρ C (T − T ) ⎝ f

i

f

p

A ⎞ t ⎟ V ⎟⎠

(5.5)


33

5.2 Solution générale pour le cas simplifié Supposant que le problème de transfert de chaleur permet de négliger le flux de chaleur dans les directions y et z et de plus que k est constant, l’équation (5.1) devient :

∂ 2T 1 ∂T = ∂ x 2 α ∂t

(5.6)

Cherchons un produit solution du type T(x,t) = X(x) G(t). L’équation (5.6) devient 1 d2X X dx ainsi d 2 X dx et

2

dG dt

2

=

1 dG α G dt

= − λ 2

+ λ 2 X = 0

(5.7)

+ αλ 2G = 0

avec λ comme constante de séparation des variables. La solution pour X est X = C1 cos ( λ x ) + C2 sin ( λ x )

(5.8)

et pour G : G = exp ( −λ 2α t )

(5.9)

donc la solution générale est :

(

)

T ( x, t ) = ⎡⎣C1 cos ( λ x ) + C 2 sin ( λ x ) ⎤⎦ ⋅ exp − λ 2αt

(5.10)

5.3 Application Pour l’application de l’équation (5.10) on va traiter le cas suivant : Une plaque à une température initiale T i homogène a subi un refroidissement rapide par les deux côtés x = -L et x = L. Le milieu de la plaque est l’origine des coordonnées (x = 0) ! La température à la surface (T f ) est constante : T(x,0) = T i (La distribution de la température est homogène)

∂T ( 0, t ) = 0 (le problème est symétrique) ∂ x

C.I.

C.L. 1

∂T ( L, t ) h + ⎡⎣T ( L, t ) − T f ⎤⎦ = 0 (les flux arrivant arrivant et sortant sortant de la surface sont égaux) C.L.2 ∂ x k Comme déjà montré, il faut que la température à la surface soit à zéro, donc il faut remplacer T par T-Tf = θ .


44

Donc les C.I et C.L deviennent θ ( x, 0) = Ti − T f = θ i

(5.11)

∂θ ( 0, t ) =0 ∂ x

(5.12)

∂θ ( L, t ) dx

h

+ θ ( L, t ) = 0 k

(5.13)

(5.10) soit égal à zéro (dsin (dsin x/dx= La C.L. 1 (équation (5.12) demande que C 2 de l’équation (5.10) cos x) et on peut montrer que l’équation (5.13) exige λ L 1 cot ( λn L ) = (5.14) ( λ n L ) = n Bi ⎛ hL ⎞

⎜ k ⎟ ⎝ ⎠

avec hL/k = Bi, nombre de Biot L’équation (5.14)est analogue à 4.9 et λn à un nombre infini de valeurs propre. En tenant compte du fait que C 2 = 0 et en admettant que tous les λn qui satisfont l’équation (5.14) sont possibles l’équation l’équation (5.10) (5.10) devient : ∞

θ=

∑ A cos ( λ x ) ⋅ exp( −λ αt ) n

2 n

n

(5.15)

n =1

Dû à l’équation (5.11) θi =

∞

∑ A cos ( λ x ) n

n

(5.16)

n =1

Ensuite on trouve la solution finale en utilisant le même processus que l’on a décrit au chapitre 4, mais avec une multiplication par cos ( λ m x ) dx et l’intégration donne : θ θi

=

T − T f Ti − T f

2sin ( λ n L )

∞

=∑

cos ( λn x ) ⋅ exp ( −λn2α t ) n =1 λn L + sin ( λn L ) cos ( λn L )

Pour faciliter le calcul, les modifications suivantes suivantes seront introduites : ξ = x / L

posi positi tion on rela relati tiv ve 2

Fo =α t/L t/L

nomb nombre re de Four Fourie ier r

Θ= ( T-Tf ) / (Ti − T f ) température relative Bi=hL/k λˆn = λ n L

nombre de Biot

(5.17)


et l’équation (5.17) devient : ∞ θ T − T f

⎛ 2 L2 ⎞ ⎛ L ⎞ = =∑ cos ⎜ λn x ⎟ ⋅ exp ⎜ −λn 2 α t ⎟ L θ i Ti − T f ⎝ L ⎠ n =1 λn L + sin ( λnL ) cos ( λn L ) ⎝ ⎠ 2sin ( λ n L )

55

(5.18)

et finalement ˆ 2sin λ n ˆ 2 Fo cos λˆnξ ⋅ exp −λ n ˆ ˆ ˆ n =1 λn + sin λn cos λ n ∞

Θ=∑

( )

(

)

(5.19)

ˆ sont les solutions de l’équation (5.14) et dépendent de Biot. Les solutions pour Les valeurs λ n n = 1, 2, 3, 4 et différentes valeurs de Biot sont données au tableau 5.1. Tableau 5.1 : Solutions de l’équation (5.14)

Bi

ˆ λ 1

ˆ λ 2

ˆ λ 3

ˆ λ 4

100 10 1 0.1

1.5552 1.4289 0.8603 0.3111

4.6658 4.3058 3.4256 3.1731

7.7764 7.2281 6.4373 6.2991

10.8871 10.2003 9.5293 9.4354

La convergence de l’équation (5.19) est souvent très bonne, on peut trouver des résultats assez précis avec n = 2 ou 3. Pour trouver les valeurs pour différents Bi on peut faire une interpolation graphique des valeurs données au tableau 5.1 . Attention : ces valeurs sont en radian (dans les cosinus et sinus) et cette équation n’est valable que pour les plaques. Pour les cylindres et sphères qui se refroidissent (ou au contraire se réchauffe) à la surface R, on peut calculer la température température T(r,t) en utilisant l’équation l’équation suivante : ∞ T − T f Θ= = An exp −λ ˆn2 Fo f n (5.20) Ti − T f n =1

∑

(

)

ˆ et f n sont données au tableau 5.2 Les valeurs pour A n, λ n Tableau 5.2 : Valeurs pour la solution de l’équation (5.20) (J 0 et J1 sont des fonctions de Bessel, premier type) Forme

ˆ λ n

An 2 J1 ( An )

cylindre

( ( )

ˆ) λˆn J 02 λˆn + J 12 (λ n sphère

2

ˆ sin λˆn − λˆn cos λ n ˆ ˆ ˆ λ − sin λ cos λ n

n

n

)

f n

( )

( )

ˆ λˆn J1 λˆn = Bir0 J 0 λ n

⎛ ˆ r ⎞ J 0 ⎜ λ ⎟ n ⎝ r 0 ⎠

ˆ = 1 − Bi λˆn cot λ n r 0

⎛ r0 ⎞ ⎛ λ ˆn r ⎞ ⎜⎜ ˆ ⎟⎟ sin ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ λ n r ⎠ ⎝ r 0 ⎠

Pour les applications pratiques, des solutions graphiques des équations (5.19) et (5.20) ont été développées (voir Figures 5.2, 5.3 et 5.4) avec L la demi-épaisseur de la plaque et l’origine de x dans le centre de la plaque. Pour des cylindres et sphères : R = L ; r = x.


66

Figure 5.2 : Variation de la température relative d’une plaque infinie initialement à une température uniforme Ti puis soumise à un environnement à température T f. (Transport Phenomena in metallurgy,Geiger etal., Addison-WesleyPublishingCompany, Reading MA, USA 1973)


77

Figure 5.3 : Variation de la température relative d’un cylindre infini initialement à une température uniforme Ti puis soumis à un environnement à température T f. (Transport Phenomena in metallurgy,Geiger etal., Addison-WesleyPublishingCompany, Reading MA, USA 1973)


88

Figure 5.4 : Variation de la température relative d’une sphère initialement à une température uniforme Ti puis soumise à un environnement à température T f. (Transport Phenomena in metallurgy,Geiger metallurgy,Geiger etal., Addison-WesleyPublishingCompany Addison-WesleyPublishingCompany,, Reading MA, USA 1973).

La vitesse d’échauffement et de refroidissement est plus importante que la température ellemême. Si on préfère une solution analytique, on doit développer l’expression dT/dt des équations données ci-dessus. Pour des solutions graphiques on peut utiliser les figures 5.5 et 5.6.


99

Figure 5.5: Taux de refroidissement d’une plaque infinie initialement à une température uniforme Ti puis soumise à un environnement à température T f. (Transport Phenomena in metallurgy,Geiger metallurgy,Geiger etal., Addison-WesleyPublishingCompany Addison-WesleyPublishingCompany,, Reading MA, USA 1973).


10 10

Figure 5.5 (suite): Taux de refroidissement d’une plaque infinie initialement à une température uniforme Ti puis soumise à un environnement à température T f. (Transport Phenomena in metallurgy,Geiger etal., Addison-WesleyPublishingCompany, Reading MA, USA 1973).


11 11

Figure 5.6 : Taux de refroidissement d’un cylindre infini initialement à une température uniforme Ti puis soumis à un environnement à température T f. (Transport Phenomena in metallurgy,Geiger metallurgy,Geiger etal., Addison-WesleyPublishingCompany Addison-WesleyPublishingCompany,, Reading MA, USA 1973).


12 12

Figure 5.7: Taux de refroidissement r efroidissement d’une sphère initialement à une température uniforme T i puis soumise à un environnement environnement à température T f. (Transport Phenomena in metallurgy,Geiger metallurgy,Geiger etal., Addison-WesleyPublishingCompany Addison-WesleyPublishingCompany,, Reading MA, USA 1973).


13 13

5.4 Plaque infinie La figure 5.8 montre montre une plaque plaque infinie infinie dont une tranche tranche très mince ( ∆ x ' ) à une distance x’ du centre de la plaque se trouve à la température T i au temps t = 0. Ce maximum de température disparaît au cours du temps.

t> 0

t= 0 T

T

∆ x’ t1 t2

X= -

8

∆ x’

X= +

8

∆ x’

8

X= +

X =0

X= 0

Figure 5.8 : Répartition de la température dans un solide infini. On peut calculer la répartition de la température à l’aide de la solution de l’équation (5.6), c’est-à-dire :

⎡ ( x − x ') 2 ⎤ T ( x, t ) = exp ⎢ − ⎥ ∆x ' 4α t ⎥ 2 πα t ⎢⎣ ⎦ T i

(5.21)

Si au même instant t = 0, il existe une autre tranche avec la même épaisseur mais à des températures différentes, l’équation (5.21) devient :

⎡ ( x − x ' )2 ⎤ n ⎥ ∆x ' T ( x, t ) = ∑ exp ⎢ − ⎢ ⎥ t 4 α t 2 πα n =1 ⎣ ⎦ 2

T in

(5.22)

La température T(x,t) est l’addition du résultat de chaque tranche.. Supposons que l’épaisseur des tranches ∆x’ tend vers zéro, on peut exprimer la température initiale par une fonction f(x’) et la somme de l’équation (5.22) devient une intégrale :

⎡ ( x − x ' )2 ⎤ T ( x, t ) = ∫ exp ⎢ − ⎥ dx ' 4α t ⎥ ⎢⎣ x '=−∞ 2 πα t ⎦ +∞

f ( x ')

(5.23)


14 14

Exemple : Plaque infinie avec des conditions aux limites suivantes : f(x’) = 0 f(x’) = Ti

si x < a et x> b si a < x
Alors. L’équation L’équation (5.23) devient devient ∞ ⎡ ( x − x ')2 ⎤ T ( x, t ) = ∫ 0 dx ' + ∫ d x exp ⎢ − ' 0 dx ' + ⎥ ∫ t 4 α t 2 πα a b −∞ ⎣⎢ ⎦⎥ a

Soit β =

( x '− x ) 2 α t

b

T i

(5.24)

, l’équation (5.24) s’écrira : (b − x )

T ( x, t ) =

2 αt

Ti

π

∫

β =

( a− x) 2 α t

e

− β 2

⎛ T i ⎜ 2 d β = ⎜ 2 ⎜ π ⎝

( b− x )

( a− x )

2 αt

∫

e

−β2

dβ −

0

2

2 α t

π

∫

e

− β 2

0

⎞ ⎟ d β ⎟ ⎟ ⎠

(5.25)

avec la définition de la fonction d’erreur : erf ( N ) =

2

N

∫e π

−u 2

du

(5.26)

0

(erf 0 = 0 ; erf ∞ = 1 ; erfc x (fonction d’erreur complémentaire) complémentaire) = 1 – erf x ) l’équation (5.25) devient T ( x, t ) =

(b − x ) (a − x) ⎤ − erf ⎢ erf ⎥ 2⎣ 2 αt 2 α t ⎦

T i ⎡

(5.27)

Quelques valeurs de erf(N) : N

erf(N)

N

erf(N)

N

erf(N)

N

erf(N)

0

0

0,3

0,328627

0,8

0,742101

1,8

0,989091

0,05

0,056372

0,4

0,428392

1

0,842701

2

0,995322

0,1

0,112463

0,5

0,520500

1,2

0,910314

2,5

0,999593

0,15

0,167996

0,6

0,603856

1,4

0,952285

3

0,999978

0,2

0,222703

0,7

0,677801

1,6

0,976348

∞

1


15 15

5.5 La plaque semi-infinie Une plaque semi-infinie existe pour 0 ≤ x ≤ ∞ . On peut supposer les conditions conditions aux limites suivantes : T(x,0) = f(x) ; T(0,t) = 0 Il est possible de développer une solution pour la plaque semi-infinie, si on considère une plaque infinie avec les conditions conditions aux limites limites décrits à la figure figure 5.9 :

T

X= -

f(x)

8

X=+

8

f(-x) Fonction impair: f(-x) = -f(x)

Figure 5.9 : Fonction impaire qui satisfait les condition aux limites T(0,t) = 0 L’équation (5.23) devient donc : 0

T ( x, t ) =

∫ −∞

⎡ ( x − x ' )2 ⎤ ⎡ ( x − x ' )2 ⎤ +∞ f x ( ' ) ⎥ dx ' + ⎥ dx ' exp ⎢ − exp ⎢ − ∫ ⎢ ⎥ ⎢ 4α t 4α t ⎥ 2 πα t 0 2 πα t ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− f (− x ')

Exemple - La fonction f(x) = T i (Température constante et homogène) ; donc T(x,0) = T i - T(0,t) = Ts (à la surface, la température température est constante constante est ≠ 0). Avec la définition θ = T − T s les conditions aux limites deviennent : θ ( x, 0) = Ti − Ts ;

θ ( 0, t ) = 0

Comme auparavant, on effectue le changement de variables suivant : x '− x β = 2 α t x '+ x β = 2 α t Après réarrangement, l’équation (5.28) devient

(5.28)


x β = ⎛ ∞ ⎞ 2 α t ⎟ θ 1 ⎜ − β − β e d e d β β = + ⎜ ∫ ⎟ ∫ θ i π ⎜ x ∞ ⎟ β =− ⎝ 2 α t ⎠ 2

2

16 16

(5.29)

L’équation (5.29) devient θ θ i

=

1 π

x

x

2 αt

2 α t

∫

2

e− β d β =

2 π

x

−

∫

2

e − β d β

(5.30)

0

2 α t

Finalement, la solution peut s’écrire : T − T s Ti − T s

= erf (

x

) 2 α t

(5.31)

L’équation (5.31) décrit la température comme une fonction du lieu et du temps dans une plaque semi-infinie qui présente une distribution distribution homogène de température au temps t = 0 avec un changement brusque. La température initiale (t = 0) de la surface, T s , reste la même quelque soit t > 0. La densité de flux de chaleur q s’écrit donc : ∂T ∂T ∂u q = −k = −k ∂ x ∂u ∂x x avec u = 2 α t q = −k

q = − k

A la surface ( x = 0 ) et puisque α =

(Ti − T s ) π

exp ( −u 2 ) ⋅

2 α t

(5.32)

⎛ x 2⎞ exp ⎜ − ⎟ πα t ⎝ 4α t ⎠

(Ti − T s )

k

ρ C p

l’équation (5.32) peut s’écrire :

q = − k ρ C p

La quantité

1

(Ti − T s ) π t

(5.33)

k ρ C p est appelée l’effusivité thermique E ou coefficient d’arrachement

thermique de la plaque.


6. Solidification

1

6. SOLIDIFICATION 6.1 Solidification dans un moule en sable.

Considérons un métal pur liquide à sa température de fusion, mis en contact avec une paroi lisse d’un moule de faible conduction thermique. La figure 6.1 montre la distribution de température dans le métal et dans le moule à un certain temps durant la solidification. Métal solidifié moule

Métal liquide

Ts

TM

Tx

T0 x=0

Figure 6.1 Distribution

sable

x=M

de température durant la solidification d’un métal dans un moule en

Puisque la quasi-totalité de la résistance au flux de chaleur est due au moule, la température de surface est presque égale à la température de fusion du métal TM. Ce qui signifie que durant la solidification l’abaissement de température dans le métal solidifié est petit, et qu’à l’interface moule-métal, une température de Ts ≅ TM est maintenue constante. Sous ces conditions, la distribution de température dans le moule est donnée par l’équation 5.31 (la solution pour un solide semi-infini):

− T M = erf T0 − T M 2 T

avec

x

α t

(6.1)

x : distance à l’intérieur du moule α : diffusivité thermique du moule T 0 : sa température initiale uniforme du moule ( habituellement, il s’agit de la température ambiante). L’utilisation de cette équation suppose que le moule est suffisamment épais pour satisfaire la condition aux limitesT (∞, t ) =T 0 . En pratique, cette condition est souvent satisfaite car la zone thermiquement affectée du moule se limite à une couche de seulement environs un quart de son épaisseur. Notre principal intérêt n’est pas la distribution de température du moule, mais plutôt la vitesse a laquelle la chaleur est extraite du métal en solidification, ce qui conduira inévitablement à la détermination du temps total de solidification. L’équation 5.33 nous permet d’obtenir la quantité de chaleur qui passe à travers le moule (q(x = 0)) et cette dernière doit être égale à la chaleur latente évacuée lors de la solidification solidification :


q x =0

6. Solidification

=−

k ρ C p

πt

2

k ρ C p (TM − T0 ) π t

(T0 − T M ) =

(6.2)

Le produit k ρ C p représente la capacité du moule à absorber de la chaleur à une certaine vitesse, et est appelé l’effusivité thermique. La vitesse à laquelle la chaleur latente dégagée par unité de surface peut s’écrire

qsolidification

où

= ρ ' H f

dM dt

(6.3)

ρ ′ : densité du métal en solidification [Kg/m3] H f : chaleur latente de

fusion du métal [J/Kg] M : épaisseur du métal solidifié [m] En égalant les équations (6.2)et, (6.3) on obtient la vitesse de croissance de la phase solide: dM ( T M − T0 ) k ρ C p (6.4) = dt ′ ρ H f π t En intégrant l’équation (6.4) avec des conditions limites : M (t = 0) = 0 M (t

= t ) = M

nous obtenons: M

=

⎛ T − T ⎞ ⎜⎜ M 0 ⎟⎟ π ⎝ ρ ′ H f ⎠

2

k ρ C p t

(6.5)

Nous observons que la vitesse de solidification dépend de certaines caractéristiques du métal, T −T 0 ρ ′H , et de l’effusivité thermique du moule k ρ C p . M

f

6.2 Effet de la forme sur le temps de solidification.

La solidification dans un moule plane n’est pas le cas que l’ingénieur rencontre habituellement en pratique. Il lui est plus fréquent de déterminer le temps de solidification de pièces complexes, pour lesquelles, la forme du moule a quelques influences sur le temps de solidification. Par exemple, la différence de flux de chaleur à l’intérieur d’une pièce avec des parois convexes, concaves, ou planes est montrée à la figure 6.2. Le flux de chaleur dans une surface (de la pièce) convexe est divergent et par conséquent, il est à peine plus rapide que dans un moule à surface plane. Par contre, le flux de chaleur à l’intérieur d’une paroi (de la pièce) concave est convergent et donc moins rapide que dans un moule à surface plane.


6. Solidification

3

métal

moule

Figure 6.2 : Effet de contour sur le flux de chaleur dans différentes formes de moules.

En première approximation, de tels effets sont souvent négligés parce que la zone chauffée du moule est mince et que la différence de flux entre une paroi plane et une incurvée est petite. De cette manière, nous constatons qu’un moule donné a la capacité d’absorber une certaine quantité de chaleur en un temps donné, sans tenir compte de son contour. Nous pouvons par conséquent généralisé l’équation (6.2) , pour tout contour et pour une surface A donnée, le moule absorbe une quantité de chaleur Q en un temps t. t

∫

Q = A q x =0 dt

=

A k ρ C p (TM

π

0

− T0 ) t dt

∫ 0

t

=

2 A k ρ C p (TM − T 0 ) π

t

(6.6)

Pour qu’un moulage de volume V soit complètement solidifié, il faut que toute sa chaleur latente Q ait été évacuée. Q = ρ ′VH f [J] (6.7) En combinant les équations (6.6) et (6.7) nous arrivons au temps de solidification qui est une fonction du rapport volume-surface de la pièce: 2 2 π ⎛ ρ ′ H f ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ V ⎞ (6.8) t = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 4 ⎝ T M − T0 ⎠ ⎝⎜ k ρ C p ⎠⎟ ⎝ A ⎠      

=C

≡ constante de Chvorinov

L’équation (6.8) connue comme la règle de Chvorinov et C: la constante de Chvorinov 7.2.3 Effet de surchauffe sur le temps de solidification.

Nous pouvons estimer l’effet de surchauffe sur le temps de solidification en tenant compte du fait que le sable ne doit non plus absorber que la chaleur latente de fusion mais aussi celle de la surchauffe. Une fois de plus nous supposons que le gradient de température à l’intérieur de la pièce est négligeable, et que lorsque le temps de solidification est écoulé, toute la pièce est proche de sa température de solidification. Dans ce cas, la quantité totale de chaleur à évacuer est: Q = ρ ′VH f + ρ l′VC p,l ∆Ts (6.9) L’indice l signifie que ces propriétés correspondent à la phase liquide, degrés de surchauffe.

∆T s est

le nombre de


6. Solidification

4

Considérons maintenant une plaque infinie, dans le but de faire un calcul simple mais suffisamment précis, nous supposons que l’équation (6.6) est valable bien que la température à l’interface moule-métal n’est pas constante lorsque la phase liquide perd sa surchauffe. En faisant une telle approximation, nous pouvons négliger la différence de densité entre les phases liquide et solide. Par conséquent, ρ ′ ≅ ρ ′ , et en égalant les équations (6.9) et (6.6) , nous obtenons: 2 2 π 1 ⎛ ρ ′ H f ′ ⎞ ⎛ V ⎞ (6.10) t = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 k ρ C p ⎝ TM − T0 ⎠ ⎝ A ⎠ l

Dans cette expression, H ′ est la chaleur effective de fusion, elle représente la somme de la chaleur latente de fusion et la surchauffe du liquide: H f′ = H f + C p,l ∆T s (6.11) f

Remarquons que le temps de solidification est encore proportionnel à (V/A)2. 6. 4 Moulage avec une température de surface constante.

Prenons une masse d’un métal liquide pur, à sa température de fusion, dont la surface est soudainement refroidie à la températureT . Après la solidification d’une partie de la pièce, le profil de température dans le métal solide sera identique à celui dans le cas d’un solide semiinfini (figure 6.3), à un détail près: la plage de température dans le métal en solidification s’étend de T à T plutôt que d’aller jusqu’àT ∞ . Malgré cela, la distribution de température dans le métal solidifié semble atteindreT ∞ , ce qui nous permet d’écrire: T − T s x (6.12) = erf T∞ − T s 2 α ' t s

s

M

Métal solidifié

Métal liquide

moule

TM

T 8

Ts x=0

Figure 6.3 :

solidification.

x=M

Ressemblance entre la distribution de température dans un métal en


6. Solidification

5

A la figure 6.3, T ∞ n’est a priori pas connue, c’est une température imaginaire imaginaire qui rend la distribution de température analogue à celle du cas d’un solide semi-infini. Développons maintenant l’expression de la vitesse de solidification en utilisant la condition limite: T ( M , t ) = T M (6.13) C’est-à-dire que l’interface solide-liquide est à température de fusion. En plus, nous savons que la vitesse de solidification multipliée par la chaleur latente par unité de volume (densité de flux de chaleur (q) qui sort du liquide, donc avec un signe négatif) équivaut à la densité de flux de chaleur dans le solide (à l’interface):

−k '

∂ T ∂ x

( M , t ) = − H f ρ ′

dM dt

(6.14)

En appliquant l’équation (6.13) à la distribution de température, l’équation (6.12) devient: T M − T s M (6.15) = erf T∞ − T s 2 α ' t Comme le membre de gauche est une constante, l’argument de la fonction d’erreur doit aussi être une constante. Et donc: M = 2 β α ' t (6.16) Une fois de plus, l’épaisseur solidifiée est proportionnel à

t .

Pour évaluer la constante β , nous cherchons le flux de chaleur à l’interface solide-liquide, solide-liquide, que nous obtenons de l’équation 5.32 pour x = M, (T∞ − Ts ) k ' ρ ′C′p ⎡ M 2 ⎤ ∂ T (6.17) exp ⎢− −k ' ( M , t ) = − ⎥ t ∂ x 4 α ' π t ⎣ ⎦ Avec les relations (6.16) et (6.15) on peut trouver pour (6.17) :

(T M − Ts ) − k ' ( M , t ) = − dx erf β ⋅ ∂T

k ' ρ ′C ′p 2 exp ( − β ) π t

(6.18)

L’évolution de la chaleur latente à l’interface s’écrit, par dérivation de l’équation (6.16) q = − H f ρ ′

dM dt

= − H f ρ ′β

α ' t

(6.19)

En substituant les équation (6.18) et (6.19) dans l’équation (6.14), après simplification, il vient: C p′ β (6.20) β e erf β = (T M − Ts ) 2

H f π

Nous possédons maintenant l’expression permettant de calculer (difficilement)β .


6. Solidification

6

En résumé, β peut être déterminé par l’équation (6.20). Comme l’épaisseur de solidification M est connue par l’équation (6.16), T ∞ peut être calculé grâce grâce à l’équation l’équation (6.15), et donc la distribution distribution de température température peut être tracée (équation (6.12)). Ces résultats ne sont, bien sûr, valables que pour un flux de chaleur unidirectionnel. Ils peuvent être appliqués à une plaque pour déterminer le temps de solidification, en évaluant β et en utilisant l’équation (6.16) avec M = L, la demi-épaisseur de la plaque. 6.5 Gradients dans le moule et dans le métal, sans résistance à l’interface.

Métal solidifié

Métal liquide

moule

TM

Ts T0

x=0

Figure 6.4 :

x=M

Distribution de température durant la solidification sans résistance à l’interface.

Ce cas est illustré par la figure 6.4. Le moule et le métal forment les deux des barrières au flux de chaleur. Le moule est initialement à température ambiante, le métal liquide est à sa température de fusion. Supposons que le moule soit assez épais pour qu’une augmentation de température n’apparaisse pas à sa surface externe. Nous pouvons le considérer comme semiinfini. Ce cas est utile pour calculer la vitesse de solidification d’un lingot dans un moule en métal (par ex: Cu, Fe). Il s’applique lorsque suffisamment de matériau est déjà solidifié, de cette manière la résistance à l’interface n’est plus significative. Dans le problème précédant, T était fixé comme une condition limite de la situation. Dans ce cas, T dépend des propriétés thermiques du moule et du métal. Développons une solution qui satisfasse la condition: ⎡ ⎛∂T ⎞ ⎡ ⎛ ∂ T ⎞ ⎤⎤ (6.21) lim ⎢ − k ⎜ ' − − k ⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎥ = 0 ⎟ ξ →0 ∂ ∂ x x ⎢⎣ ⎝ ⎠ x=0 −ξ ⎢⎣ ⎝ ⎠ x =0 +ξ ⎥⎦ ⎥⎦ s

s

c’est-à-dire que la densité du flux de chaleur venant du métal en solidification, à l’interface moule-pièce, doit être égal au flux quittant l’interface dans le moule. Comme précédemment, deux conditions limites à l’interface solide-liquide doivent être satisfaites: (6.22) T ( M , t ) = T M

−k '

∂ T ∂ x

dM ( M , t ) = − H f ρ ′ dt

(6.23)

Le moule est évidemment semi-infini dans le domaine des x négatifs, avec une température de surface T (interface moule/pièce solidifiée) inconnue. Ainsi, du coté du moule (x négatif): s


6. Solidification

7

− T s −x (6.24) = erf T0 − T s 2 α t où T 0 est la température initiale du moule. Pour le métal en solidification, l’équation (6.12) s’applique encore. Toutefois, remarquons qu’à ce stade, T ∞ et T sont encore inconnues. Si on applique l’équation (6.22) à l’équation (6.12), nous constatons que l’argument de la fonction d’erreur doit être constant, définissons-le à nouveau commeβ , de cette manière l’équation (6.16) s’applique. En dérivant les équation (6.24) et (6.12), et en utilisant les équations(6.21), (6.22), et (6.23), nous obtenons: ⎛ k ' ρ ′C p′ ⎞ (T M − T 0 ) β = β e ⎜ + erf β ⎟ (6.25) ⎜ k ρ C p ⎟ H f π ⎝ ⎠ T

s

2

(T M − Ts ) C ′p H f π

(T∞ − Ts ) C ′p H f π

2

= β e β erf β

2

= β e β

(6.26)

(6.27)

k ' ρ ′C p′ − T 0 = (6.28) T∞ − Ts k ρ C p Pour résumer les résultats de ce paragraphe, nous avons calculé les profils de température dans le moule et dans le métal en solidification, nous avons aussi déterminé la vitesse de solidification. Pour calculer le profil de température du moule, il nous a suffit de suivre la démarche suivante: 1) calculer β par l'équation (6.25) 2) calculer Ts par l’équation (6.26) 3) calculer T ∞ par l’équation (6.27) ou (6.28) 4) tracer le profil de température en utilisant l’équation (6.12). Ts

6.6 Résistance à l’interface.

Sur la figure 6.5, la résistance à l’interface est plus grande que celle à l’interface solideliquide. Une importance pratique est attachée à ce cas lorsque le temps de solidification est court. Cette approche est utile pour estimer le temps de solidification de petites et fines sections dans des moules en métaux tels que ceux utilisés pour des moulages sous pressions ou des moules en coquilles. Dans ce cas, le gradient de température du moule et de la pièce sont négligeables, et la chaleur s’échappe du moulage comme si un coefficient de transfert de chaleur agissait à la surface. Alors, la quantité totale de chaleur Q qui traverse l’interface moule-métal en un temps t est : (6.29) Q = hA (Ts − T0 ) t


6. Solidification

8 Métal liquide

Métal solidifié moule

TM Ts

T0

x=0

Figure 6.5 : Distribution

l’interface

x=M

de température durant la solidification avec une grande résistance à

Si les gradients de température dans le métal solidifié et dans le moule sont négligeables, alors Ts ≅ T M et c’est seulement la chaleur latente qui doit être évacuée durant la solidification. Il est par conséquent facile de montrer qu’en combinant les équations (6.7) et (6.29), nous obtenons: V h (T M − T 0 ) (6.30) M = = t ρ ′H f A Remarquons que la forme n’a pas d’effet sur l’applicabilité de l’équation (6.30). La forme n’est pas non plus spécifiée dans le cas du refroidissement ou du chauffage d’un solide, avec des gradients de température internes négligeables. Ici, l’épaisseur solidifiée est proportionnelle au temps plutôt qu’à sa racine carrée. Considérons maintenant le cas oùT ≠T , et où la chaleur quitte la pièce via h à la surface, maintenue à la températureT 0 , d’un moule refroidi à l’eau. Ici, nous simplifions l’étude en approximant le profil de température à l’intérieur du métal en solidification comme une fonction linéaire. De cette manière, le flux de chaleur à l’interface moule-pièce s’écrit: T − T s (6.31) q x =0 = k ' M s

M

M

Et aussi: q x =0

= h (Ts − T0 )

(6.32)

Éliminons alors la température de surfaceT , qui varie, en combinant les équation (6.31) et (6.32). Grâce au profil de température linéaire, nous pouvons exprimer le flux à l’interface liquide simplement par (mur composite): T − T q x =0 = q x = M = M 0 (6.33) 1 M + s

h

k '

De plus, en x = M, la chaleur latente de fusion est dégagée, c’est-à-dire que q x= M = ρ ′H f

dM dt

(6.34)

En combinant les équation (6.33) et (6.34), et en intégrant entre M = 0 en t = 0 et M = M en t = t, nous obtenons:


6. Solidification M

=

h (T M − T 0 )

′ f ρ H

9 t−

h

2k '

M 2

(6.35)

Si on suppose que le profile de température n’est pas linéaire, une solution plus exacte, mais similaire à l’équation (6.35) peut être obtenue grâce à un facteur additionnelα : h (T M − T 0 ) h 2 (6.36) M = t− M ′ f α ρ H 2k ' où C p′ (TM − T ) 1 1 (6.37) α≡ + + 0

2

4

3H f

L’équation (6.36) est presque exacte pour hM/ k k ≥ 1/2, pour hM/ k k < 1/2, l’épaisseur solidifiée est surestimée d’environ 10-15%.


7. Conductivité thermique

1

7. CONDUCTIVITE THERMIQUE 7.1 Conductivité des gaz

La théorie cinétique des gaz permet de relier les propriétés thermophysiques des gaz (conductivité thermique, viscosité, coefficient de diffusion) en fonction des paramètres intrinsèques du gaz (masse molaire, diamètre moléculaire).Une mole d’un gaz parfait dans les conditions normales (273K, 1 bar) a un volume de 22,4 l. Cette mole (contenant Na=6,022.1023 molécules) possède une densité moléculaire (toujours dans les conditions standard) de 2,688 1019 molécules par cm3. Un " vide" de 0,00001 Pa, contient en fait environ 3 millions de molécules par mm 3. Ces chiffres justifient l’application de la statistique pour traiter des problèmes à l’échelle macroscopique. macroscopique. Une molécule avec avec un volume moyen de de 30 3 Å , le rapport entre le volume non occupé et le volume occupé par les molécules vaut environ 103 pour les conditions normales. Dans de telles conditions et à l’aide de la cinématique des gaz parfaits on peut formuler les hypothèses suivantes : • Les interactions moléculaires entre molécules (autres que les chocs) sont négligeables. • Le nombre n de molécules par unité de volume est grand et constant (homogénéité du gaz à l’échelle macroscopique). • Entre deux chocs, supposés élastiques, le mouvement de chaque molécule est rectiligne et uniforme. • La direction des vecteurs vitesse des diverses molécules obéit à une répartition spatiale uniforme. • Le module des vecteurs vitesse répond à une loi de distribution (à déterminer) qui ne dépend pas du temps lorsque les variables d’état macroscopiques sont fixes. La mécanique statistique de Boltzmann permet de déterminer la loi de distribution des vitesses des molécules pour un gaz parfait. Considérons un gaz monoatomique de volume total V, d’énergie interne U, comprenant n molécules. A l’échelle atomique, l’état du gaz est entièrement déterminé si on connaît à tout instant t la position l i (3 coordonnées) et la vitesse vi ou la quantité de mouvement pi (3 coordonnées) de chaque molécule. On appelle espace de phase à l’instant t, l’espace à 6 dimensions (3 coordonnées de position + 3 coordonnées de mouvement), tel que l’état d’une molécule soit représenté par un point Xi (point image) de cet espace. Cet espace est divisé en domaines ∆ de même dimension suffisamment petits pour que tous les points Xi d’un même domaine représente des molécules dans un état énergétique identique. L’état du gaz est alors défini par les coordonnées des différents domaines de l’espace de phase et par la densité moléculaire de ces domaines. L’état ainsi défini est un état macroscopique car il ne tient pas compte des individualités des molécules (une molécule quelle qu’elle soit n’intervenant que par les 6 variables l i, vi). Si on suppose que les molécules sont discernables, leur arrangement dans les différents domaines de l’espace de phase est appelé complexion. La mécanique statistique de Boltzmann est fondée sur les définitions et conventions précédentes relatives à l’espace de phase, et des trois hypothèses supplémentaires : 1. toutes les complexions d’un état sont également probables, 2. la probabilité P d’un état macroscopique se mesure par le nombre de complexions qui permettent de le réaliser, 3. l’état du gaz en équilibre est celui qui correspond à la probabilité maximum. La probabilité d’un état (ou nombre de complexions d’un état) peut être établie de la façon suivante. Soit un état avec :



2

N1 molécules dans le domaine ∆1, N2 molécules dans le domaine ∆2, etc… Ni molécules dans le domaine ∆i, Le nombre de permutations totales possibles entre toutes les molécules discernables est N! (avec N = N i ). Mais la permutation des molécules à l’intérieur d’un même domaine ne

∑

modifie pas une complexion. Pour chaque domaine ∆i, ces permutations inefficaces sont au nombre de Ni !. Au total, il y en a : N1 !⋅ N 2 !.....Ni ! = N i ! (7.1)

∏ i

D’après l’hypothèse 2, la probabilité d’un état est égale au nombre de complexions qui réalisent cet état : N ! P= (7.2) N i !

∏ i

On peut déduire de la mécanique statistique de Boltzmann plusieurs propriétés d’un gaz parfait. Pour un gaz monoatomique monoatomique l’énergie l’énergie interne est : 3 N k T = A B U = (7.3) 2 NA est le nombre d’Avogadro, N A ≈ 6,022*1023 , k B constante de Boltzmann et les chaleurs spécifiques : 3 R 5R Cv = ; C p = (7.4) 2 2 Le résultat plus important concerne la distribution des vitesses des molécules. La répartition de la vitesse s’exprime par la loi de Maxwell-Boltzmann: 

⎛ M ⎞ ⎟ ⎝ 2π RT ⎠

3/ 2

F ( v x , v y , v z ) = F ( v ) = 2π ⎜

e

⎛ Mv2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2 RT ⎠

(7.5)

avec M , la masse molaire. Equation (7.5) donne la proportion des molécules de gaz ayant à  un instant t donné une vitesse v .On peut en déduire la loi de distribution des modules de la vitesse. On obtient : 

F( v

) = F ( v ) = 4π v 2 ⎜⎛ 2π RT ⎟⎞ M

⎝

⎠

3/ 2

e

⎛ Mv2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2 RT ⎠

(7.6)

Cette loi de distribution est représentée figure 7.1. Enfin, nous aurons besoin dans la partie suivante de connaître la loi de distribution des projections des vitesses selon une direction. Toujours d’après(7.5); on montre que : 1/ 2 ⎛ Mv x2 ⎞ M ⎞ ⎛ F ( v x ) = ⎜ ⎟ exp ⎜ − 2RT ⎟ ⎝ 2π RT ⎠ ⎝ ⎠

(7.7)

Cette loi de distribution correspond à une répartition gaussienne, et est représentée figure 7.2 pour de l’hélium, considéré considéré comme un un gaz parfait, à trois températures températures différentes. Ces lois de distribution permettent de définir : • la vitesse la plus probable, notée v m, qui correspond au maximum de la courbe F(v) présentée figure 7.1 : 2 RT (7.8) vm = M

• la vitesse moyenne,

v , qui correspond à la moyenne calculée sur le module des vitesses :



v

=

1∞ n

∫

vdnv

1∞

=

n

0

∫

vF ( v )dv =

0

8 RT π M

3

(7.9)

Figure 7.1 : Loi de répartition des modules des vitesses pour l’Hélium (M = 4 g/mole), à 300

K

Figure 7.2 : Loi de répartition des projections des vitesses selon une direction pour l’Hélium

(M = 4 g/mole) (Fig 7.1et 7.2 : Pierre Neveu ; Neveu ; http://neveu.pierre.free.fr/cv.h http://neveu.pierre.free.fr/cv.htm) tm) Le nombre g de molécules qui heurtent une unité de surface de paroi pendant une unité de temps correspond, pour chaque vitesse de projection v x, au nombre de molécules contenues dans un cylindre d’axe parallèle à x, de base unité, et de hauteur v x. Pour les molécules dont la vitesse à une projection sur x comprise entre v x et vx+dvx, ce nombre est : dn vx.vx. Pour l’ensemble du spectre des vitesses v x >0, on aura : ∞

g

= ∫ v x dnv

(7.10)

x

0

D’après la loi de répartition f(vx) et sa définition (7.7) : g ∞

∫

2

Or xe− ax = 0

1/ 2 ∞

⎞ = n ⎜⎛ ⎟ ⎝ 2π RT ⎠ M

1 d’où (avec l’équation (7.9) 2a

∫v e x

0

⎛ Mv x2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2 RT ⎠

dv x

(7.11)


7. Conductivité thermique g =

4

nv

(7.12) 4 La valeur g est importante pour expliquer le transfert de chaleur par des molécules de gaz. A une concentration élevée de molécule, elles ne sont plus capables de toucher la paroi sans une interaction (collision) entre entre elles-même. Les chocs entre les molécules et parois et entre les molécules elles-même sont nécessaires au maintien d’un état d’équilibre statistique garantissant l’anisotropie des vitesses moléculaires. La distance moyenne que une molécule peut parcourir dans un gaz entre deux chocs intermoléculaires est représenté par le libre parcours moyen λ. Supposant que les molécules sont sphériques (diamètre d), rigides et élastiques : L’hypothèse sur l’élasticité implique la conservation de l’énergie cinétique au cours d’un choc. Compte tenu de la dimension des molécules, une collision se produit chaque fois que la distance entre les centres de deux molécules est égale au diamètre de molécules. Considérons une molécule A, qui se déplace à la vitesse moyenne v . Sa sphère d’influence balaie, pendant l’unité de temps, un volume π d 2v . L’unité de volume renfermant n molécules, le nombre de chocs pendant l’unité de temps serait n ⋅ π d 2v si les autres molécules étaient immobiles. Pour tenir compte du mouvement des autres molécules, considérons les cas suivant: a. la vitesse relative des deux molécules est 2 v (  →← ) b. la vitesse relative est nulle, ( ↑  ↑) c. la vitesse relative vaut v 2 ( →  ↑) . En utilisant la vitesse relative du cas c intermédiaire (cas a et b sont des cas extrêmes), le nombre de choc pendant l’unité de temps ( φ) devient : φ = nπ d 2v 2 (7.13) Entre deux chocs, une molécule parcourt une distance moyenne : v 1 λ = = (7.14) φ 2π d 2 n Avec la relation P = nk BT on peut exprimer l’équation (7.14) par des paramètre facile à mesurer : λ =

k B

T

(7.15) 2π d P Sous les conditions normales (273 K, 1 bar), pour l’oxygène λ vaut environ 50 nm et le nombre des collisions est autour de 5 10 9 par seconde. 2

Conductivité thermique :

Un flux de chaleur correspond à un flux d’énergie. L’énergie interne du gaz parfait n’étant fonction que de la température, les molécules du plan O à la température T ont une énergie interne u différente de celles des molécules situées au niveau du plan O’ dont la température est T’ = T + dT et l’énergie interne u’ = u + du. Fig. 7.3. Or, du =

C v N A

dT

(7.16)



T

B

T B> T q

L

5

A

P’

λ

P T

A

Figure 7.3 : Transfert d’énergie dans la phase gazeuse

Du fait de l’agitation thermique, il y a entre les plans parallèles voisins des transferts d’énergie (ou de chaleur), : les molécules partant de P vers P’ y apportent moins d’énergie que la quantité cédée par les molécules de P’ à P. Le flux d’énergie a donc lieu globalement de B vers A. La variation de l’énergie interne d’une molécule

∆u =

C v N A

λ

∂T d λ

(7.17)

La densité du flux de chaleur q devient avec l’équation (7.12) q = g ⋅ ∆u

=

nv C v

λ

4 N A

∂T ∂λ

(7.18)

donc k devient : k =

nC v v λ N A 4

(7.19)

Tableau 7.1 : Conductivité thermique et C v pour quelques gaz (273 K, 1 bar).

gaz Cv (kJ/kg (kJ/kg.K) .K) k (W/m (W/m.K) .K))) Ne

0,629

0,463

A

0,318

0,159

H2

0,997

1,74

N2

0,746

0,237

O2

0,653

0,240

CO2 0,632

1,42

Pour les gaz dilués, on peut montre que l’influence de la température est : k (T ) =

1

k B N A

2

π M

d

T

(7.20)

Pour les gaz polyatomique, on peut calculer la conductivité thermique par l’équation de Eucken (A. Eucken ; Z. Physik 14 (1912) 324) :



k

1.25 R ⎞ = η ⎛⎜ C P + ⎟ M ⎠ ⎝

6 (7.21)

avec η = viscosité du gaz. La conductivité des mélanges gazeux obéit à des lois complexes ; en tout première approximation, il est possible d’utiliser la l a formule suivante (déviation ≈ 3%) :

∑ x k M = ∑ x M

1/ 3

i i

k composée

i

i

1/ 3

i

(7.22)

i

i

7.2 Conductivité thermique dans les solides cristallins Texte basé sur Ch. Kittel (Physique de l’état solide, 5e édition Dunod Université 1983)

Considérons les vibrations élastiques d’un cristal dont la maille primitive contient un atome. Il faut déterminer la fréquence de l’onde ω (ω = 2π f f = fréquence ) en fonction du vecteur  ⎛ 2π ⎞ d’onde K ⎜ K = ⎟ qui décrit cette onde. Quand une onde se propage dans la direction λ ⎠ ⎝ [100], [110] ou [111] d’un cristal cubique, des plans entiers se déplacent en phase ; le mouvement est parallèle ou perpendiculaire au vecteur d’onde. Nous pouvons décrire par une seule coordonnée u s le déplacement du plan « s » par rapport à sa position d’équilibre. Supposant que la force causée sur un plan « s » par le déplacement du plan s+p est proportionnelle à la différence us+p – us de leurs déplacements (Fig7.4). La force résultante sur un plan « s » est : Fs = CP ( us+ p − u s ) (7.23)

∑ P

Onde longitudinale s -1

s

Onde transversale s s+1 s+2

s+ 1 s+ 2

a u s-1

u s u s+ 1 u s+ 2

u s u s+ 1 u s+ 2 K

K

Figure 7.4 Plans des atomes déplacés par le passage d’une onde.

La constante Cp est la constante de rappel entre les plans séparés de p et sera différente pour un mode longitudinal et un mode transverse. (C p est défini pour un atome du plan et F s est la force qui s’exerce sur un atome du plan s). L’équation de mouvement du plan s est : 2

M

d u dt 2

= ∑ C P ( us + p − u s ) P

(7.24)



7

où M est la masse d’un atome. Cherchant des solutions telles que tous les déplacements aient une dépendance en temps de la  forme e−iω t on est capable de trouver la relation qui lient ω à K , c’est la relation de dispersion (relation entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe des ondes) ( vGr = ∂ω / ∂K ≠ ω / K = vPh )) : 2 CP (1 − cos nKa ) ω 2 = (7.25)

∑

M n>0

où a est la distance entre des plans. La Figure 7.5 montre la variation de ω en fonction de K. La pente de ω en fonction de K est toujours nulle à la limite de la zone K = ±π / a . Ce résultat suggère le rôle particulier des vecteurs d’onde de phonons situés à la limite de la zone de Brillouin.

K

Figure 7.5 : La variation de

ω en fonction de K.

La vitesse d’un paquet d’ondes est la vitesse de groupe, elle est définie par le gradient d ω/dK. La vitesse de groupe est la vitesse de transmission de l’énergie dans le milieu. Pour la relation de dispersion (7.25) la vitesse de groupe est : d ω 1 = (C1a 2 / M )1/ 2 cos ⎛⎜ Ka ⎞⎟ (7.26) vGr = dK ⎝2 ⎠ L’équation (7.26) montre que la vitesse de groupe est nulle en bord de zone. Ceci ne surprend pas dans le cas d’une onde stationnaire. Pour nKa << 1, la vitesse du son est indépendante de la fréquence. Dans les cristaux ayant plus d’un atome par maille élémentaire, le spectre de vibration présente de nouvelles caractéristiques. Pour chaque mode de polarisation dans une direction de propagation donnée, la relation de dispersion de ω en fonction de K donne deux branches, nommées branches acoustique et optique (Figure 7.6). La figure montre que les solutions ondulatoires n’existent pas pour certaines fréquences, ici pour celles comprises entre ( 2C / M 1 )1/ 2 et ( 2C / M 2 )1/ 2 . C’est une caractéristique des ondes élastiques dans les réseaux polyatomiques. Il y a une bande interdite interdite de fréquences à la limite K max max = ± π/a de la première zone de Brillouin.



8

Figure 7.6 : Branches optiques et acoustique de la relation de dispersion pour un réseau

linéaire diatomique (Ch. Kittel) L’énergie d’une vibration du réseau est quantifiée. Le quantum d’énergie est appelé phonon , par analogie au photon, c’est le quantum d’énergie électromagnétique. électromagnétique. Les ondes élastiques dans les cristaux sont formées de phonons. Les vibrations thermiques des cristaux sont des phonons excités thermiquement, analogues aux photons excités thermiquement du rayonnement électromagnétique d’un corps noir dans une enceinte. L’énergie d’un mode élastique (ε) de pulsation ω est : ε = ( n + 1 / 2)ω (7.27) Lorsque le mode est dans l’état excité caractérisé par le nombre quantique n, c’est-à-dire  lorsque le mode est occupé par n phonons. Un phonon de vecteur d’onde K interagit avec les particules, par exemple les photons, les l es neutrons et les électrons, comme s’il possédait une quantité de mouvement  K. Un phonon n’a pas réellement de quantité de mouvement. La raison pour laquelle les phonons du réseau ne transportent pas de quantité de mouvement vient du fait qu’une coordonnée de phonon (sauf pour K = 0) ne fait intervenir que les coordonnée relatives des atomes. La forme de l’équation qui définit la conductivité implique que le processus de transfert de l’énergie thermique est un phénomène statistique. Si l’énergie était propagée directement sans déviation dans l’échantillon, l’expression du flux thermique ne dépendrait pas du gradient de température, mais seulement de la différence de température ∆T entre les extrémités de l’échantillon, indépendamment de la longueur de l’échantillon. C’est la nature statistique du processus de conductivité qui introduit introduit le gradient de température. température. D’après la théorie cinétique des gaz la conductivité thermique d’un gaz et donnée par l’équation (7.19). Ce résultat fut appliqué pour la première fois par Debye pour décrire la conductivité thermique dans les solides diélectriques, avec C comme capacité calorifique des phonons, v comme vitesse des phonons et λ comme libre parcours moyen des phonons. Des valeurs typiques du libre parcours moyen sont par exemple pour le quartz 4 nm (0 °C), 54 nm (- 190 °C). La conductivité thermique

Le libre parcours moyen λ des phonons est déterminé principalement par deux phénomènes : la diffusion géométrique et la diffusion par d’autres phonons. Pour que la conductivité thermique soit possible, il faut qu’il y ait dans le cristal des mécanismes par lesquels la



9

distribution des phonons peut être mise localement en équilibre thermique. Il ne suffit pas d’avoir un mécanisme qui limite le libre parcours moyen, il faut encore trouver un processus qui établisse une distribution d’équilibre des phonons. Les collisions des phonons avec les défauts ou la surface du cristal n’établissent pas l’équilibre thermique, car de telles collisions ne changent pas l’énergie des phonons. Il faut également remarquer que les mécanismes de collision à trois phonons ne contribuent pas à l’équilibre, mais pour une raison subtile : la quantité de mouvement totale du gaz de phonons ne varie pas lors d’une telle collision (Figure 7.7) :    (7.28) K1 + K 2 = K 3 Peierls a fait remarquer que les mécanismes de collision à trois phonons, qui influent sur la    conductibilité thermique, ne sont pas de la forme K1 + K 2 = K 3 mais de la forme 



K1 + K2







= K3 + G

(7.29)

où G est un vecteur du réseau réciproque (Figure.7.5).

K y

K y K 2

K 1

K 1 K x

K 2

K 3

K x

K 3 G

K 1 +K 2

Figure 7.7 Mécanismes Mécanismes de collision des phonons

De tels processus sont toujours possibles dans un réseau périodique. Les seuls vecteurs  d’onde de phonons significatifs K se situent à l’intérieur de la première zone de Brillouin et  tout autre K de plus grande amplitude produit lors d’une collision doit être ramenée à  l’intérieur de la première zone par addition d’un G . Les processus processus ou les collisions pour lesquelles G ≠ 0 sont appelés processus Umklapp, (de l’allemand : « retournement ») ou mécanisme U. Les collisions pour lesquelles G = 0, sont appelé mécanismes normaux ou mécanismes N. A haute température (T> θ, température de Debye) tous les phonons sont    ω K excités car k B T > max . L’énergie des phonons 1 , K 2 est suffisante pour qu’il y ait 1 Umklapp si elle est de l’ordre de k Bθ , car chacun des phonons 1 et 2 doit avoir un vecteur 2 d’onde de l’ordre de 1/2 G pour que la collision (7.29) soit possible. A basse température, le 1 nombre de phonons de haute énergie k Bθ varie à peu près comme e -θ/2T, d’après la loi de 2 Boltzmann.



10

Les effets géométriques peuvent également intervenir notablement pour limiter le libre parcours moyen. Quand, à basse température, température, le libre parcours moyen λ devient comparable à la largeur de l’échantillon, la valeur de λ est limitée par cette largeur et la conductivité thermique devient fonction des dimensions de l’échantillon. A basse température les processus Umklapp ne limitent plus la conductivité thermique et l’effet de taille devient dominant, comme le montre la figure 7.8. Le seul terme du membre de droite de l’équation (7.19) dépendant de la température est C, la capacité calorifique, qui varie en T 3 à basse température. Nous pouvons donc nous attendre à ce que la conductivité thermique varie en T 3 à basse température. L’effet de taille intervient chaque fois que le libre parcours moyen des phonons devient devient comparable au diamètre de l’échantillon. Figure 7.9 montres la conductivité thermique de différents matériaux en fonction de la température.

100

) K m / W ( e u q i m r e 10 h t é t i v i t c u d n o C

Mecanisme U

k= 1/T K=T3

1 1

10

100

T (K)

Figure 7.8 : : Conductivité thermique en fonction de la température t empérature

Dans les verres, la conductivité thermique décroît avec la température. Les valeurs de la conductivité thermique à température ambiante sont environ dix fois plus faibles que pour les cristaux. Par exemple, λ dans le quartz vitreux est de 0.8 nm, c’est qui est de l’ordre de grandeur des dimensions d’un tétraèdre de dioxyde de silicium. A très haute température T> 1500°C), les matériaux à basse conductivité électrique montrent une augmentation des valeurs pour la conductivité thermique à cause cause de la conduction conduction d’énergie par rayonnement. rayonnement. 16 k Bν 3 kr = T (7.30) 3 a a= coefficient d’absorption, ν = indice de réfraction.



11

Conducteur

Mode principal de transmission de la chaleur: électrons

Di-éléctrique

Mode principal de transmission de la chaleur: phonons Rayonnement (dans les pores)

Gaz

Mode principal de transmission de la chaleur: Rayonnement Mouvement Brownien

Figure 7.9 : Conductivité thermique des métaux et alliages



12

Dans le cas de métaux, la conductivité thermique est composée par la conductivité des phonons et par la conductivité des électrons libres li bres (ou gaz de Fermi). La capacité calorifique pour un gaz de Fermi est 1 nk T C el = π 2 B (7.31) ε F 2 εF= énergie de Fermi n = concentration des électrons donc la conductivité thermique des électrons libre est : 1 π 2 nk B2 λ el (7.32) kel = T 3 mvF avec m masse de l’électron au repos. A température ambiante, les métaux purs tendent à avoir des valeurs de conductivité thermique une à deux fois plus élevées que les solides diélectriques. Dans le cas des métaux qui contiennent des impuretés ou des alliages désordonnés, la contribution des phonons peut être comparable à celle des électrons. Pour les semi-conducteurs, k el est une fonction de n(T).Comme n augmente avec la température, k elel augmente aussi avec la température. Il est possible de calculer la conductivité thermique d’un matériau composé en utilisant l’équation de Maxwell-Eucken :

kcomp

⎡ ⎛ 1 − kc / k d ⎞ ⎤ + V 1 2 ⎢ ⎥ d ⎜ 2( kc / k d ) + 1 ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎢ = k c ⎢ ⎛ 1 − kc / k d ⎞ ⎥ ⎢ 1 − V d ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ kc / k d + 1 ⎠ ⎥⎦

(7.33)

où k c : conductivité thermique thermique de la matrice (phase continue) k d : conductivité thermique thermique du dispersant Vd : proportion volume du dispersant Vc = 1 - Vd Dans le cas de matériaux poreux avec des pores isolés, la conductivité thermique effective est keff

= kc (1 − P )

(7.34)

où P est la porosité du matériau. Pour les cas plus difficiles (porosité ouverte, haute température, etc) il existe beaucoup de littérature disponible : W. Schotte A.I.CH E. Journal & (1960) 63 ; R Krupiozka, Int. Chem. Eng 1 (1967) (1967) 122. 7.3 Conductivité thermique des liquides.

Des nombreuses relations semi-théoriques existent pour prévoir la conductivité thermique d’un liquide et se dispenser d’une mesure toujours délicate. Généralement, on observe le comportement dans les liquides : -La conductivité baisse quand la température s’élève (de 0.15% par °C en moyenne) sauf pour l’eau et la glycérine.

Phénomène de transfert

8. Convection

1

8. Convection La convection est un mode de transport d’énergie par l’action combinée de la conduction, de l’accumulation de l’énergie et du mouvement du milieu. La convection est le mécanisme le plus important de transfert d’énergie entre une surface solide et un liquide ou un gaz. Le transfert d’énergie par convection d’une surface dont la température est supérieure à celle du fluide qui l’entoure s’effectue en plusieurs étapes. D’abord la chaleur s’écoule par conduction de la surface aux molécules du fluide adjacentes. L’énergie ainsi transmise sert à augmenter la température et l’énergie interne de ces molécules du fluide. Ensuite les molécules vont se mélanger avec d’autres molécules situées dans une région à basse température et transférer une partie de leur énergie. Dans ce cas l’écoulement transporte le fluide et l’énergie. L’énergie est, à présent, emmagasinée dans les molécules du fluide et elle est transportée sous l’effet de leur mouvement. La transmission de chaleur par convection est désignée, selon le mode d’écoulement du fluide, par convection libre et convection forcée. Lorsqu’il se produit au sein du fluide des courants dus simplement aux différences de température, on dit que la convection est naturelle ou libre. Par contre si le mouvement du fluide est provoqué par une action externe, telle une pompe ou un ventilateur, le processus est appelé convection forcée . On peut exprimer la quantité de chaleur transmise par convection entre une paroi solide et un fluide au moyen de l’équation (1.9) : P = hS (T1 − T2 )

(1.9)

Sous cette forme, l’équation de la convection semble être tout à fait simple. En réalité, il n’en est rien, car l’Éq.1.9 est une définition de l’unité de conductance thermique moyenne par convection plutôt qu’une loi de transmission de la chaleur par convection. Le coefficient d’échange de chaleur par convection est, en effet, une fonction l’écoulement du fluide, des propriétés thermiques du milieu fluide et de la géométrie du système. Sa valeur numérique n’est généralement pas uniforme sur une surface et elle dépend également du lieu où on mesure la température. Comme le transfert d’énergie par convection est très intimement lié au mouvement du fluide, il est nécessaire de connaître le mécanisme de l’écoulement du fluide avant d’examiner celui de l’écoulement de la chaleur. Un des plus importants aspects de l’étude hydrodynamique est d’établir si le mouvement du fluide est laminaire ou turbulent. Lorsqu’un fluide s’écoule en mouvement laminaire le long d’une surface dont la température est différente de celle du fluide, la chaleur est transmise seulement par conduction aussi bien à l’intérieur du fluide qu’à l’interface entre le fluide et la surface. Par contre dans un écoulement turbulent , le mécanisme de conduction est modifié et favorisé par d’innombrables tourbillons. Les petits volumes de fluide en se mélangeant avec d’autres jouent le rôle de porteur d’énergie. Par conséquent conséquent un accroissement de turbulence amène amène une augmentation de la quantité de chaleur s’écoulant par convection. Lorsqu’un fluide s’écoule le long d’une surface, indépendamment de la nature de l’écoulement —laminaire ou turbulent — les molécules à proximité de la surface sont ralenties à cause des forces de visqueuses. Les molécules du fluide adjacentes à la surface y adhèrent et ont une vitesse nulle par rapport à la paroi. Les autres molécules du fluide s’efforçant de glisser sur les premières sont ralenties, phénomène qui donne naissance aux


8. Convection

2

forces de cisaillement. Dans un écoulement laminaire l’interaction, appelée cisaillement visqueux, s’effectue entre les molécules à une échelle microscopique. Dans l’écoulement turbulent une interaction entre les masses du fluide à une échelle macroscopique, appelée cisaillement turbulent, se superpose au cisaillement visqueux. Les effets des forces visqueuses qui prennent naissance à la paroi s’étendent dans la masse du fluide, mais à une faible distance de la paroi la vitesse des particules fluides atteint celle de l’écoulement libre non perturbé. La région dans laquelle sont localisées les variations notables de la vitesse est appelée couche limite hydrodynamique . L’épaisseur de cette couche est définie comme étant la distance comptée à partir de la paroi où la vitesse locale atteint 99 % de la vitesse u∞ du fluide loin de la paroi. Le profil des vitesses à l’intérieur de la couche limite dépend de la nature de l’écoulement. Comme le fluide poursuit son écoulement le long de la plaque, les forces de cisaillement ralentissent de plus en plus son mouvement et l’épaisseur de la couche limite augmente. Figure 8.1 montre l’accroissement de la couche limite et les profils des vitesses en différents points de la plaque. Borde d’attaque u 8

u 8

u 8

sous couche limite laminaire

laminaire X=0

Figure 8.1 :

turbulante transitoire

Profils des vitesses pour les couches limites laminaire et turbulente dans un écoulement sur une plaque plane.

Les profils des vitesses près du bord d’attaque sont représentatifs des couches limites laminaires. Cependant l’écoulement l’écoulement à l’intérieur de la couche limite reste laminaire seulement sur une certaine distance à partir du bord d’attaque et devient ensuite turbulent. A l’intérieur de la couche limite turbulente, il subsiste, tout contre la paroi, une très mince couche en écoulement presque laminaire appelée sous couche limite laminaire ou film laminaire. La distance entre le bord d’attaque et le point de transition où la couche limite devient turbulente est appelée longueur critique. 8.1 Le nombre de Nusselt

Lorsque la vitesse du fluide et la turbulence sont faibles, le transport d’énergie n’est que faiblement aidé par les courants de mélange à une échelle macroscopique. Par contre, si la la vitesse est grande et si le mélange entre le fluide chaud et le fluide froid contribue notablement au transfert d’énergie, le mécanisme de conduction devient moins important. En conséquence, pour transporter par convection à travers un fluide une quantité de chaleur donnée, il est nécessaire que le gradient de température soit plus grand dans la région à faible vitesse que dans celle où la vitesse est élevée. Au voisinage immédiat de la paroi la chaleur se meut par conduction pure, les molécules du fluide étant stationnaires par rapport à la frontière


8. Convection

3

de la couche limite. On compte naturellement sur un grand gradient de la température dans cette couche. A mesure que l’on s’éloigne de la paroi, le mouvement du fluide favorise le transport d’énergie et le gradient de température diminue de moins en moins vite pour atteindre finalement celui du courant principal. La répartition des températures pour l’écoulement turbulent de l’air le long d’une plaque plane, représentée sur la figure 8.2, illustre qualitativement ce comportement. y

T 8

u

δt δ’t Ts

Figure 8.2 :

Répartition des températures dans une couche limite turbulente pour un fluide s’écoulant sur une plaque chauffée

Comme à l’interface (y=0) la chaleur s’écoule seulement par conduction, la densité du flux de chaleur peut être calculée à partir de l’équation ∂T qsurface− fluide = −k f (8.1) dy

y = 0

k f = conductivité thermique du fluide. On peut établir une relation entre le coefficient d’échange de chaleur, h, défini par l’équation 1.9, et le gradient de température à la paroi. En égalisant les équations 8.1et 8.1et 1.9 on obtient ∂T = h S (T − T ) (8.2) Psurface− fluide = qsurface− fluide S = − Sk f ∂ y c s ∞ conductance moyenne moyenne de convection par unité de surface, [W/m 2°C] La valeur du gradient de température dans le fluide étant la même indépendamment de la températ rature de réfé référrence on peut écrire ∂T = ∂(T − T s ) . En introduisant une longueur L caractéristique du corps à partir duquel la chaleur se transmet, l’équation (8.2) se met sous la forme adimensionnelle : ∂T ∂T ∂T − − − ∂ y y =0 ∂y y =0 hc L ∂y y =0 hc S hL = ⇒ = = Nu ;⇒ c = (8.3) k f S Ts − T∞ kf L Ts − T∞ k f Ts − T ∞ hc = coefficient de

L

La combinaison du coefficient d’échange de chaleur par convection hc , de la longueur caractéristique L, de la conductivité thermique du fluide k f , sous la forme hc L/k f f est est appelée le Nombre de Nusselt, Nu. Ce nombre est une quantité adimensionnelle. Le nombre de


8. Convection

4

Nusselt peut être interprété physiquement physiquement comme étant le rapport du gradient de température dans le fluide en contact immédiat avec la surface sur le gradient de température de référence (Ts − T∞ ) / L . En pratique, le nombre de Nusselt est une mesure commode du coefficient d’échange de chaleur par convection car, une fois sa valeur connue, on peut calculer le coefficient d’échange de chaleur par convection d’après la relation : hc

= Nu

k f L

(8.4)

8.2 Evaluation de coefficient d’échange de chaleur par convection, (analyse dimensionnelle et détermination des groupes adimensionnels)

Il existe quatre méthodes générales pour déterminer les coefficients d’échange de chaleur par convection : 1. L’analyse dimensionnelle combinée avec les expériences. 2. Les solutions mathématiques exactes des équations de la couche limite. 3. Les études approchées de la couche limite par les méthodes d’intégration. 4. L’analogie entre le transfert de chaleur, de masse et de quantité de mouvement. L’analyse dimensionnelle nécessite des calculs mathématiques simples, son champ d’application est le plus vaste. La principale restriction de cette méthode provient du fait que les résultats obtenus sont incomplets et tout à fait inutiles sans les données expérimentales. Elle contribue peu à notre compréhension du processus de transfert mais facilite l’interprétation et étend le domaine d’application des données expérimentales en les rassemblant suivant des groupes adimensionnels. Dans la pratique, les coefficients d’échange de chaleur par convection sont généralement calculés à partir des équations empiriques obtenues en établissant une corrélation entre les données expérimentales au moyen de l’analyse dimensionnelle. Pour appliquer l’analyse dimensionnelle il est indispensable de connaître au préalable les variables qui influencent le phénomène, et le succès ou l’échec l’échec de la méthode méthode dépend du du choix approprié de de ces variables. La première étape consiste à choisir un système de dimensions fondamentales. Celles-ci seront la longueur L, le temps T, la température θ et la masse M. A partir ces dimensions fondamentales toutes les autres grandeurs peuvent être définies. Par exemple Q = mC∆T

[J = Nm = kg m2 s-2]

[Q] = ML2T-2 Le nombre de groupe indépendant adimensionnel nécessaire pour exprimer la relation décrivant un phénomène, peut être déterminé par une méthode empirique due à Buckingham. D’après ce théorème, le nombre de groupe indépendant adimensionnel, qui peut être formé par la combinaison des variables physiques du problème donné, est égal au nombre total de ces quantités physiques (par exemple, densité, viscosité, coefficient d’échange de chaleur etc.) diminué du nombre des dimensions fondamentales nécessaires pour exprimer les formules dimensionnelles des n quantités physiques. (Exemple : nous avions 7 grandeurs g 1,…, g7 et 4 dimensions M, L, T, θ. On a obtenu une loi avec 3 = 7-4 paramètres sans dimensions Π1, Π2, Π3). L’équation exprimant exprimant la relation entre les variables possède possède une solution de la forme : F (Π1 , Π 2 , Π 3 , ...) = 0 (8.5)


8. Convection

5

Pour un phénomène représenté par trois groupes adimensionnels l’équation (8.5) est de la forme F (Π1 , Π 2, Π 3) = 0 (8.6) Elle peut également être mise sous la forme Π1 = f (Π 2 , Π 3 )

(8.7)

Pour un tel problème, on peut déterminer la corrélation entre les données expérimentales en traçant Π1 en fonction de Π2 pour différentes valeurs de Π3 Détermination des groupes adimensionnelle (cas de la convection) :

Le coefficient h dépend d’un certain nombre de grandeurs : hc = f(g1,g2,…, gn) Il nous faut d’abord fixer ces grandeurs : - Dans le cas de l’écoulement le long d’une paroi, l’échange de chaleur peut évoluer le long de la paroi. Dans le cas de l’écoulement dans une tuyauterie, il est certain que le flux dépend du diamètre. Dans tous les cas, une grandeur dimensionnelle de longueur intervient ; appelons d cette grandeur. - Le flux dépend des caractéristiques thermiques du fluide, c’est-à-dire sa chaleur massique, C p et sa conductivité thermique k. Lorsque C p dépend de la température, C p et T ne sont pas des quantités indépendantes. - Enfin la viscosité, µ, la densité ρ et la vitesse (vitesse moyenne dans le tube, par exemple, um) jouent aussi des rôles importants. Dans ces conditions :

= f (d , C p , k , ρ , u m , µ ) avec les dimensions de ces diverses grandeurs :

(8.8)

hc

Grandeur hc

d C p k

Dimension MT-3θ-1 L L2T-2θ-1 MLT-3θ-1

Grandeur ρ um µ

Dimension ML-3 LT-1 ML-1T-1

Avec 7 variables et 4 unités fondamentales, la loi fondamentale de la convection doit dépendre de 3 grandeurs sans dimensions. Elle est de la forme de l’équation (8.6) avec, par exemple : Π1 = d α1 µ β1 ρ γ 1 k δ1 h c Π 2 = d α 2 µ β 2 ρ γ 2 k δ2 C p

(8.9)

Π 3 = d α3 µ β3 ρ γ 3 k δ3 u m En faisant intervenir les dimensions, la première relation devient −3 −1 θ = 1 [Π1 ] = Lα1 M β1 L− β1T −β 1 M γ1 L−3γ 1 M δ1 Lδ 1T −3δ 1θ −δ 1MT

(8.10)


8. Convection

6

Pour que Πn reste adimensionnel, il faut que la somme des exposants de chaque dimension fondamentale soit nulle. La relation (8.10) donne : pour L: α1 − β1 − 3γ 1 + δ1 = 0 pour M: β1 + γ 1 + δ 1 + 1 = 0 pour T: - β1 + γ 1 − 3δ 1 − 3 = 0 pour θ : -γ 1 − 1 = 0

(8.11)

=1 β 1 = 0 γ 1 = 0 δ 1 = −1

(8.12)

Ce qui nous permet de déduire : α 1

Ainsi

Π1 =

hc d k f

= Nu (nombre de Nusselt)

(8.13)

Avec la même méthode on obtient pour Π2:

Π2 =

µ C p

= Pr (nombre de Prandlt)

(8.14)

= Re (nombre de Reynolds) Reynolds)

(8.15)

k f

Enfin pour Π3 :

Π3 =

ρ um d ρ µ

Dans ces conditions, la loi fondamentale du transfert de chaleur par convection est de la forme : F ( Nu , Pr, Re) = 0 ou

Re, r1 , ...r n ) Nu = f (Pr, Re

(8.16)

où les r i sont des rapports entre grandeurs de même dimensions. Le nombre de Prandtl

Ce nombre est entièrement caractéristique du fluide considéré. L’inverse du nombre de Prandtl est appelé par les « thermiciens » français : le nombre de Stanton (S). Dans le cas des gaz, Pr est sensiblement constant avec la pression et la température et ne varie qu’avec les changements thermiques de C p(T). Voici quelques exemples du nombre de Prandtl à 100°C pour des gaz courants :


8. Convection

7

Gaz H2 Air Ar CO2 CO He N2 O2 H2O (vapeur)

Pr 0.69 0.69 0.66 0.75 0.72 0.71 0.70 0.70 1.06

Dans le cas des liquides, le nombre de Prandtl est beaucoup plus variable : Liquide Eau Alcool éthylique Glycol Glycérine

T (°C) 0 20 100 0 30 60 20 100 0 30

Pr 13.6 7.03 1.75 21.8 13.9 12.1 203 25 100’000 5’200

Pour les métaux liquides, au contraire, Pr est très petit, de l’ordre l’ ordre de 0.01. Le nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds est défini par l’équation (8.15). Si on introduit la viscosité cinématique ν = µ / ρ : Re =

um d

ν

(8.17)

Ce nombre joue un rôle fondamental dans la caractérisation de l’écoulement : • Si Re < 2400 on est en régime laminaire. • Pour des vitesses plus élevées, Re >> 2400, le régime turbulent apparaît (figure 8.1). Considérons l’écoulement le long d’un plan, à partir d’un certain endroit (zone de transition) s’amorce un noyau à l’intérieur duquel les trajectoires du gaz sont tourbillonnantes (noyau turbulent). Il existe toujours une sous couche limite laminaire. Dans le cas d’un écoulement dans une tuyauterie, les phénomènes sont sensiblement les mêmes. Néanmoins, à partir d’une certaine distance le noyau turbulent occupe la totalité de la tuyauterie sauf la zone de souscouche laminaire (Figure 8.3).


8. Convection

8

Écoulement laminaire u0

Zone de régime non établi

Zone de régime établi

Écoulement turbulent u0

Figure 8.2 Right: Photogra Photographsof phsof near-lam near-laminarflow inarflow (left) (left) andturbulent andturbulent flow (right) (right) in a clearpipemuch clearpipemuch likethe oneused by Reynolds Reynolds.. (From Binder Binder 1953). 1953).

Zone de régime non établi

Zone de régime établi

l es zones établi dans une tuyauterie. Figure 8.3 : Couche limite turbulente et les Dans une tuyauterie le régime turbulent a lieu lorsque Re > 5000. Dans le cas où 2400 < Re < 5000, on a une zone transitoire. Pour l’eau, la vitesse critique (Re = 2400) est 24 ⋅10 −4 (8.18) uc = d

et pour l’air : uc

=

360 ⋅10 −4 d

(8.19)

où d est le diamètre du tube en mètres et u c est donnée en m/s. 8.3 Ecoulement de la chaleur en régime laminaire et en régime turbulent (convection forcée)

a) Cas d’une plaque plane parallèle à l’écoulement laminaire : Le nombre de Nusselt en un point situé à une distance x du bord de la plaque est 1/ 2 1/ 3 (8.20) Nu ( x) = 0.322 [ Re( x) ] [ Pr ] où la fonctionnalité de x indique que dans le calcul de Nu et de Re la dimension d est à remplacer par x. Le nombre de Nusselt moyen sur une plaque de largeur L est 1/ 2 1/ 3 Nu( L) = 0.664 [ Re( L) ] [ Pr ] (8.21) b) Cas d’un écoulement laminaire dans un tube : Pratiquement on considère deux domaines : 1) Le régime est établi : Nu = 3.7 Ceci correspond à la région où x

> 0.1

r ⋅ Re⋅ Pr

(8.22) (8.23)

Avec x : distance à partir de l’entrée du tube, r : rayon du tube (Remarque : le produit Re Pr = Pe, nombre de Péclet) . i


8. Convection

9

Cette condition correspond à Pour l’air : x/r > 80 Pour l’eau : x/r > 600 Pour l’huile x/r > 10’000 Donc dans un tuyau d’un mètre de rayon, il faut 600m avant que l’eau entre en régime établi. 2) Le régime n’est pas établi 1/ 3

⎛ x ⎞ Nu = 1.06 ⎜ ⎟ ⎝ r ⋅ Re⋅ Pr ⎠

(8.24)

c) Cas d’un tube perpendiculaire à l’écoulement laminaire : Nu = 0.82 Re Re0.4 Pr 0 .3

(8.25)

d) Cas d’une plaque parallèle à l’écoulement turbulent : 0.8 Nu ( x ) = 0.0298 Pr1/ 3 [ Re( x) ]

(8.26)

e) Cas d’un tube lisse à l’écoulement turbulent : Dans le cas des gaz la formule adoptée en pratique est : 3/ 4 Nu = 0.026 ( Re⋅ Pr )

(8.27)

Pour les liquides, on utilise surtout l’équation suivante : Re 0.8 Pr 0 .4 Nu = 0.023 Re

(8.28)

8.4 La convection naturelle 1

Lorsqu’un fluide se trouve en contact avec un corps chaud, sa température augmente et sa masse volumique diminue, et il se déplace (il monte) par rapport au corps chaud. Cet écoulement de fluide le long de ce corps chaud entraîne un phénomène de convection convection que l’on appelle naturelle ou libre. Si le fluide est plus chaud que le corps, l’écoulement se fera vers le bas mais il y aura aura toujours de la convection. convection. La recherche de la loi de la convection naturelle est de nouveau guidée par l’analyse dimensionnelle. Seulement, cette fois, le nombre de Reynolds (l’équation 8.15) doit être remplacé par un autre nombre sans dimensions. Dans le cas de la convection forcée u m était une donnée du problème. En convection naturelle, la vitesse du fluide dépend indirectement des conditions du problème. Il convient donc de trouver une expression qui représente cette vitesse. En convection libre comme en convection forcée, l’écoulement peut être laminaire ou turbulent et dépend de la distance au bord d’attaque, des propriétés du fluide, de la force de pesanteur et de l’écart de température entre entre la surface et le fluide. Le Le champ de température température en convection naturelle (Fig. 8.4) est identique à celui observé en convection forcée. De ce fait l’interprétation physique du nombre de Nusselt peut être utilisée. Cependant, pour les applications pratiques on utilise généralement l’équation δ P = hcδ A(Ts − T∞ ) (8.29)

1

Texte tiré partiellement de l’ouvrage : « Transmission de la chaleur et Thermodynamique » par F. KREITH KREITH :Professeur de Mécanique, Mécanique, Université du Colorado, Colorado, TRADUCTION ET ADAPTATION par KODJA BADR-EL-DINE; MASSON ET Cie, ÉDITEURS ; PARIS, 1967


8. Convection

10

La raison pour laquelle on rapporte cette équation à une surface infiniment petite δ A est que le coefficient d’échange de chaleur, h c, par convection naturelle n’est pas uniforme sur une surface. De même qu’en convection forcée sur une plaque plane, on fera la distinction entre une valeur locale de h c et une valeur moyenne hc obtenue en prenant la moyenne de h c sur la surface entière.

140 120

Température

t e 100 ) ) s C / ° ( m e c 80 r ( u e t a s r s 60 é e p t i m V e 40 T

vitesse

20 0 0

2

4

6

8

10

12

Distanc e de la surface, y (mm) (mm)

Figure 8.4 :

Variation de la vitesse d’écoulement et de la température perpendiculairement à une plaque chaude.

p +

∂ p dx ∂ x

dx x

τ yx

τ

yx

+

∂ (τ )dy ∂ y yx

dz y dy

Γ x = ρ g

p

z

y

Figure 8.5 :

Schéma montrant les forces forces qui agissent sur un élément élément de fluide un écoulement en convection naturelle Supposons une paroi verticale à température sensiblement uniforme T p et un fluide à température Tf . Au voisinage de cette paroi, la température du fluide évolue lentement de T f à à T p créant ainsi une couche limite. Soit un élément de volume infiniment petit du fluide situé


8. Convection

11

tout près de la paroi de dimensions dx, dy et dz. Lorsqu'il se trouve très près de la paroi, sa température est T p. Lorsque la température température du fluide est différente de celle de la paroi, par exemple Tf > > T p la densité du fluide se diminue. Par suite suite la force de gravité gravité (définie comme étant la force par unité de masse) agissant sur une unité de volume dans la partie chauffée du fluide est plus faible que dans le fluide non chauffé. Ce déséquilibre est à l’origine de la montée du fluide chaud. Lorsque l’air est en mouvement, des forces de pression et de frottement viennent s’ajouter à la force ascensionnelle. Une fois que le régime permanent est établi, la force totale sur un élément de volume d x dy dz agit dans la direction positive de l’axe x: 1. La force due au gradient de pression :

∂ p ∂p dx )dydz = − ( dxdydz ) ∂ x ∂x

(8.30)

dxdydz dz Γ x = g ρ dxdy

(8.31)

pdydz − ( p +

2. La force de gravité : Où g est l’accélération de la gravité. 3. Les forces de cisaillement dues au gradient de vitesse : ∂τ ⎛ ⎞ (8.32) (−τ yx )dxdz + ⎜τ yx + yx dy ⎟ dxdz ∂ y ⎠ ⎝ Puisque en écoulement laminaire τ yx = µ (∂u / ∂y ) , la force de frottement résultant est :

⎛ ∂ 2u ⎞ ⎜ µ ∂ y 2 ⎟ dxdydz ⎝ ⎠ avec u = vitesse moyenne dans le temps suivant la direction x. La variation de la quantité de mouvement de l’élément fluide est ⎡ ∂u ∂v ⎤ ρ dxdydz ⎢u +v ⎥ z ∂ ∂y ⎦ ⎣ avec v = vitesse moyenne dans le temps suivant la direction y

(8.33)

(8.34)

En appliquant, au volume élémentaire, la seconde loi de Newton on obtient :

⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂p ∂ 2u + v ⎟ = − − ρ g + µ 2 ρ ⎜ u (8.35) ∂x ∂y ⎝ ∂ x ∂y ⎠ Le fluide non chauffé, loin de la plaque, est en équilibre hydrostatique, soit ∂ pe / ∂x = − ρ e g , où l’indice e indique les conditions d’équilibre. A n’importe quel niveau la pression est uniforme et par conséquent ∂ p / ∂x = ∂pe / ∂x . Donc l’équation (8.35) devient : ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u ρ ⎜ u + v ⎟ = ( ρe − ρ ) g + µ 2 (8.36) x y y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Une autre simplification peut être introduite en supposant que la densité ρ dépend seulement de la température et non de la pression. Ceci est évident pour un fluide incompressible, mais pour un gaz cela implique que la dimension verticale du corps est suffisamment petite pour


8. Convection

12

que la densité hydrostatique ρe soit constante. Avec ces hypothèses le terme ascensionnel peut s’écrire g ( ρ e − ρ ) = g ( ρ ∞ − ρ ) = −ρ g β (T∞ − T ) (8.37) où β est le coefficient de dilatation thermique défini par

( ρ ∞ − ρ ) ρ ( T − T∞ )

1⎞ ⎛ dans le cas β (8.38) c as d un gaz parfait parf ait = ' : ⎜ ⎟ T ⎠ ⎝ L’équation du mouvement pour la convection naturelle est obtenue finalement en substituant le terme ascensionnel exprimé par l’Éq. (8.37) dans l’Éq. (8.36), ce qui donne β

=

⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂2u ρ ⎜ u + v ⎟ = ρ g β (T − T∞ ) + µ 2 x ∂ ∂y ⎠ ∂y ⎝

(8.39)

Le problème consiste, maintenant, à déterminer les conditions pour lesquelles le champ de vitesse dans un système en convection naturelle est semblable au champ de vitesse dans un autre système. Les conditions aux limites sont identiques pour tous les systèmes en convection naturelle, c’est-à-dire que la vitesse est nulle à la fois sur la surface de la plaque et à une distance assez éloignée de la plaque. Il est alors possible de supposer (8.40) u = um f ( y ) de sorte que du

= um

dy

df dy

(8.41)

on peut montrer, en utilisant util isant la méthode d’analyse dimensionnelle, que um

=

ρβθ gD 2 µ

(8.42)

avec θ = (T − T ∞ ) . Par conséquent, dans le nombre sans dimensions qu’avait fournit l’analyse dimensionnelle (le nombre de Reynolds), il convient de remplacer u m par

ρβθ gD 2 µ

, la quantité restante étant

sans dimensions. On définit un nouveau nombre sans dimensions, le nombre de Grashof : Gr =

ρ D ρβ ρβθ gD 2 µ

µ

=

ρ 2 β θ gD 3 µ 2

Ainsi, la loi de la convection naturelle serait serait de la forme Pr, r1 , ..r q ) Nu = f ( Gr , Pr

(8.43) (8.44)

Les équations de la convection naturelle :

En prenant Tm

=

1 (T − T ) 2 p ∞

(8.45)

on obtient la loi générale suivante : Nu = a ( Gr ⋅ Pr )

avec Ra = Gr Pr •

n

= a ⋅ Ra n

Ra étant le nombre de Rayleigh avec

(8.46)


8. Convection

13

a 1.18 0.54 0.135

Gr Pr de 10-3 à 5 102 de 5 10 2 à 2 107 de 2 10 7 à 1013 •

n 1/8 1/4 1/3

Pour des tubes horizontaux, horizontaux, on obtient une formule plus précise pour pour 0.7
T f

f

f

p

NuT f

= 0.46Gr T 1/ 4

(8.48)

f

Ces formules sont valables pour 1 < Pr.Gr < 10 8

h

Cas de la convection dans l’air Dans le cas d’une plaque verticale de hauteur H 1/ 4 θ ⎞ ⎛ h = 1.4 ⎜ ⎟ ⎝ H ⎠ Pour un cylindre horizontal de diamètre D a ) Pour l’air ambiant 1/ 4 θ ⎞ ⎛ h = 1.3 ⎜ ⎟ ⎝ D ⎠ b) Pour l’air à température T (en Kelvin) 1/ 4 θ ⎞ ⎛ h = 5.6 ⎜ ⎟ ⎝ D ⋅ T ⎠

⎡⎣ Wm -2 °C −1 ⎦⎤

(8.49)

-2 −1 ⎣⎡ Wm °C ⎦⎤

(8.50)

-2 −1 ⎣⎡ Wm ⋅ K ⎦⎤

(8.51)

Cas des plaques horizontales dans l’air a) Pour un flux descendant 1/ 4

(8.52)

1/ 4

(8.53)

1/ 3

(8.54)

Nu = 0.27(Gr Pr) 5

valable si 3 10 < Gr Pr < 3 10

10

b) Pour un flux ascendant Nu = 0.54(Gr Pr)

valable si 10 5 < Gr Pr < 2 10 7 Nu = 0.14(Gr Pr)

valable si 2 10 7 < Gr Pr < 3 10 10 Où les propriétés sont calculer à la température moyenne T m.


9. Rayonnement

1

9. TRANSFERT DE CHALEUR PAR RAYONNEMENT .

Tous les corps solides, liquides ou gazeux émettent un rayonnement de nature électromagnétique. Cette émission d’énergie représente un flux de chaleur émis par le corps considéré. Ce rayonnement est composé de radiations de longueurs d’ondes différentes (0.3 µ m à 100 µ m ) donnant des spectres continus dans le cas des solides et des spectres de bandes pour certains gaz. L’intensité dépend de la température du corps. Le vide et la plupart des gaz simples ( O2 , N 2 , H 2 ) constituent des milieux parfaitement transparents à la propagation de ce rayonnement. Certains gaz composés (en particulier CO2 , H 2O , CO , CH 4 ) sont seulement partiellement transparents, car la propagation s’accompagne d’une diminution de l’énergie transportée. Certains liquides et solides (polymères, verres) entrent également dans cette catégorie. Mais la majorité des liquides et solides sont opaques, car ils arrêtent la propagation de tout rayonnement dès leur surfaces. Du point de vue de l’émission, on distingue : -

le rayonnement de corps opaques provenant de leur seule surface le rayonnement des corps partiellement transparents qui provient de toute leur masse.

Un rayonnement incident φ i , qui arrive sur un corps opaque est en partie réfléchi ( φ r ) et le reste est absorbé sous forme de chaleur au voisinage du lieu de l’impact. Comme en optique, la réflexion peut être diffuse, spéculaire ou quelconque. Lorsqu’on étudie l’équilibre thermique d’un système, tout corps doit être considéré de deux points de vue : -

comme émetteur, car il envoi toujours un rayonnement lié à sa température (sauf s’il est parfaitement transparent). - comme récepteur, car il reçoit des rayonnements émis ou réfléchis et diffusés par les corps qui l’entourent. A ce titre, un corps absorbe une partie du rayonnement et en réfléchit le reste, donc le flux de rayonnement provenant d’un corps est très souvent la somme du flux émis et du flux réfléchi. La figure 9.1 montre les rayonnements électromagnétiques ordonnés selon leurs longueurs d’onde et selon leurs fréquences.

Fig 9.1 : Rayonnements électromagnétiques ordonnés selon leurs longueurs d’onde et selon leurs fréquences.


9. Rayonnement

2

9.1 Le rayonnement de corps opaques 9.1.1 Le corps opaque en tant qu’émetteur de rayonnement Définitions a)

e : l’émittance énergétique ou pouvoir émissif total. φ = 0 à 0K). L’élément de surface dS du corps émet un flux dφ [W ] lié à sa température ( d φ = e=

d φ

⎡⎣W / m2 ⎤⎦

dS

(9.1)

e est donc la densité de flux émis par dS dans toutes les directions de l’espace.

b)

L D : luminance dans la direction D. L D est le flux rayonné par unité d’angle solide dans la direction D et par unité de surface

perpendiculaire à D (figure 9.2)

Figure 9.2 Définition de L D 2

L D

=

d φ D dSn d ω

⎡⎣Wm−2 sr −1 ⎤⎦

(9.2)

(Watt par mètre carré de surface normale et par stéradian) c)

Loi de Lambert : « La luminance des surfaces dites diffuses est indépendante de la direction D » L D

= L

(9.3)


9. Rayonnement

3

C’est-à-dire qu’on voit ces surfaces avec la même intensité lumineuse quelle que soit la direction d’observation. L’équation 9.2 devient donc 2 d φ

= LdS cos( β )dω

On peut calculer le flux total d’une telle surface en intégrant d 2φ D sur le demi-espace au-dessus de dS : dφ

=∫1

2

En sachant que

d φ dS

∫

1 2

espace

espace

d 2φ D

cos β dw = π et avec l’équation 9.1, on obtient

⎡⎣W / m2 ⎤⎦

= e = π L

(9.4)

d) Flux élémentaire dans la direction D . La fraction du flux émise dans la direction D s’écrit (en utilisant les équation 9.2, 9.3 et 9.4) 2 d φ D

=

e

π

dS cos β dω

[W ]

(9.5)

e étant l’émittance de la source.

Le flux élémentaire d 3φ Dλ rayonné dans la bande spectrale λ , λ + d λ permet d’écrire ∞

2

d φ D

=∫ 0

d 3φ Dλ d λ

d λ

(9.6)

L’émittance monochromatique directionnelle est donc 3

e Dλ =

d φ Dλ dS cos β dω d λ

(9.7)

9.1.2 Le corps opaque en tant que récepteur de rayonnement a)

Eclairement (ou irradiation)

L’éclairement ϕ est ϕ est la densité de flux de chaleur « arrivant » sur l’unité de surface dS’ originaire du demi-espace « visible » par cette surface :


ϕ = =

d φ

9. Rayonnement

⎡⎣W / m 2 ⎤⎦

dS

4

(9.8)

b) Facteur d’absorbtion α . α =

d φ absorbé d φ

α est aussi défini par λ et λ et D : α λ , α D , α Dλ . α varie entre 0 et 1. On appelle corps noir corps pour lequel α Dλ = 1 d’où α = 1. c) Facteur de réflexion ρ . Il est défini de la même manière (corps opaques)

ρ

=

d φ refléchi d φ

= 1 − α

(9.9)

9.1.3 Les lois du rayonnement thermique (corps noir) a) Emittance monochromatique du corps noir, lois de Planck et de Wien La loi de Planck dit : « L’émittance monochromatique du corps noir dépend seulement de λ et de T ». E λ

=

d φ λ dS

=

C 1

⎡⎣Wm−2 µ m−1 ⎤⎦ ⎛ ⎞ λ 5 ⎜ e λ T − 1⎟ ⎝ ⎠ C 2

(9.10)

où E : e pour un corps noir exprimée en ⎡⎣Wm−2 µ m −1 ⎤⎦ . T est exprimée en Kelvin, et λ en λ en µ m .

= 2π hc2 = 3.74 ⋅10 8 C2 = hc / k

C1

(c : vitesse de la lumière, h : constante de Planck) (k : constante de Boltzmann)

La figure 9.3 montre des graphes de la fonction 9.10.


9. Rayonnement

5

Figure 9.3 Emittance d’un corps noir La loi de Wien permet d’exprimer le fait que les maxima de ces courbes se déplacent : λ m

=

2898

[µm]

T

(9.11)

b) Emittance totale du corps noir, loi de Stefan Boltzmann. E

=

d φ

∞

= ∫ Eλ d λ = σ T 4 ⎡⎣W / m2 ⎤⎦ dS 0

où σ : constante de Stefan Boltzmann = 5.67 ⋅10 −8 ⎡⎣Wm−2 K −4 ⎤⎦

(9.12)


9. Rayonnement

6

9.1.4 Le rayonnement d’un corps opaque non noir. Le corps noir est l’émetteur idéal. Les corps opaque n’émettent qu’une fraction de E λ . Facteur d’émission monochromatique ε λ .

a) ε λ b)

=

eλ E λ

(9.13)

Facteur d’émission totale ε Lorsque e =

d φ dS

∞

∞

∞

0

0

0

peut définir = ∫ eλ d λ = ∫ ε λ Eλ d λ < ∫ Eλ d λ = E on

ε =

e E

(9.14)

Normalement, ε est une fonction de T. c) Le corps gris Quand ε λ est constant quelle que soit λ , on parle d’un corps gris. ε λ = ε = cons consta tant ntee

(9.1 (9.15) 5)

et, dans ce cas ∞

∞

∫

e = ε λ Eλ d λ 0

= ε ∫ Eλ d λ = ε E

0

L’émittance du corps gris est donc e = εσ T

4

d)

⎡⎣W / m2 ⎤⎦

(9.16)

La loi de Kirchhoff

Cette loi établit un rapport entre le coefficient d’absorption α et le coefficient d’émission ε d‘une même surface. Soit une surface grise dS à la température T. Cette surface reçoit un flux d φ dont φ dont elle absorbe α ⋅ d φ . Simultanément elle émet un flux dφ = = e ⋅ dS . A l’équilibre le bilan est nul : α dφ '− εσ T 4 dS = 0

(9.17)

Si d φ φ provient provient d’une source noire à la même température, les conditions d’équilibre sont satisfaites (échange de chaleur nul) : dφ ' = σ T dS , donc 4

ασ T 4 dS − εσ T 4 dS = 0

(9.18)

Phénomènes de transfert et α

9. Rayonnement

7

= ε pour les corps gris.

Cette loi signifie que quand un corps gris absorbe 30% de l’énergie qu’il reçoit, simultanément il émet 30% de l’énergie qui aurait été émise par un corps noir à la même température. Pour les corps non gris, on obtient avec le même genre d’analyse :

= ε λ

(9.19)

= ε = 1

(9.20)

αλ et, pour des corps noirs α

e) Facteur d’émission et d’absorption de corps opaques usuels. – Corps non métallique. L’hypothèse du corps gris est excellente. Pour des réfractaires, on prendra ε = 0.8 . Pour une plus grande précision, il faut consulter des ouvrages spécialisés. Pour des peinture réfléchissantes, par exemple, on pourra trouver ε = 0.3 . Pour le graphite ε ≈ 1 . Bien entendu, le facteur d’absorption α est égal à ε . -

Métaux En toute rigueur, ces corps ne sont pas assimilables à des corps gris car ε varie fortement avec λ , λ , ε dépend de la température α peut varier avec l’angle de rayonnement incident (métaux polis : réflexion spéculaire) ε et α varient avec l’état de surface (oxydation, rugosités, etc.) i

i

i

i

Quelques exemples de valeurs de ε :

Fer poli : Fonte oxydée : Aluminium poli : Aluminium très oxydé :

0.15 (20°C) à 0.35 (900°C) 0.65 (20°C) à 0.85 (900°C) 0.05 0.015

Pour les valeurs de ε Dλ ou ε λ , la littérature fournit des courbes très irrégulières et très liées à l’expérimentation. On peut estimer que l’hypothèse ε = α = constante pour chaque surface métallique représente une valeur moyenne acceptable.


9. Rayonnement

8

9.2 Rayonnement de corps partiellement transparents Pour ce genre de corps, on doit introduire la transmission τ , le bilan devient α

+ ρ + τ = 1

(9.21)

Quand un rayonnement φ 0 pénètre dans un milieu semi-transparent, il s’éteint progressivement par absorption, entre x et x + dx il aura perdu un certain pourcentage de sa valeur en x. Si ce pourcentage est proportionnel à dx, on aura :

ρ d φ

φ ( x )

= − Kdx α

et après intégration φ ( x ) = φ 0 e

− Kx

τ

(loi de Beer)

En fait, le problème peut se décomposer en une somme

Σφ λ ( x ) avec un coefficient

(9.22) K λ pour

chaque longueur d’onde : φλ ( x ) = φ 0λ ⋅ e

− Kλ x

(9.23)

9.2.1 Les gaz comme récepteurs de rayonnement Une couche gazeuse d’épaisseur L absorbera donc (à ne pas confondre avec L la luminance): φabs α L

= φ0 − φL = φ0 ⎡⎣1 − e− KL ⎤⎦ = φ0 ⋅α L

(9.24)

= 1 − e− KL est donc le coefficient d’absorption de la couche L. Le facteur de transmission sera

donc : τ L

= e− KL = 1 − α L

(9.25)

9.2.2 Les gaz comme émetteurs de rayonnement L’extension de la loi de Kirchhoff pour les gaz d’épaisseur L s’écrit

ε λ L Les gaz ne sont pas des corps gris : ε L

= α λ L = 1 − e K

≠ α L . En effet,

λ L

(9.26)

ε L dépend de la température du gaz, alors

que α L dépend de la température du rayonnement absorbé.


9. Rayonnement

9

9.2.3 Coefficients d’émission et d’absorption du gaz carbonique et de la vapeur d’eau. Les gaz CO2 et H 2O (vapeur d’eau) sont présents en grandes quantités dans les gaz de combustion. Leurs rayonnements est parfois essentiel dans les échanges de chaleur entre les flammes ou les gaz chauds et les charges à réchauffer (à l’inverse, l’air est transparent au rayonnement). Les bandes l’absorption et d’émission principales de ces gaz sont les suivantes :

λ [ µ m ]

CO2

H 2O

2.36 à 3.02

2.24 à 3.25

4.01 à 4.8

4.8 à 8.5

12.5 à 16.5

12 à 25

Les diagrammes des figures 9.4 et 9.5 donne ε en fonction de T g (température du gaz) pour ( atm)

différentes valeurs du produit de la pression partielle P par et l’épaisseur L du gaz. Si la pression totale Pt est différente de 1 atm on effectuera une correction en multipliant ε par un facteur de correction C. Les courbes des figures 9.4 et 9.5 peuvent aussi fournir α pour un rayonnement incident provenant d’une source source extérieure extérieure à la températur températuree de rayonnement rayonnement T R :

= ε ' dans les courbes

-

si T g > T R , α

-

si T g < T R , on pose ( PL )

∗

= PL ⋅ T R / Tg et on lit

ε ' po pour le couple ( Pe L)∗ ; puis on calcule

α par α

= ε '⋅ (Tg / T R )0.65

(9.27)

La même correction que dans le cas de ε . Si on a de la vapeur d’eau, on peut corriger les valeurs en fonction de

Pe + Pt

2

( Pe : pression

partielle partielle de vapeur d’eau). En cas de mélange de H 2 O et de CO2 , on peut corriger les résultats qui se contentent de faire la somme somme des valeur valeurss en en util utilis isant ant la figur figuree 9.6 9.6 ( PC : pression partielle partielle du du CO2 ). Donc

ε

= ε CO + ε H O − ∆ε

α

= α CO + α H O − ∆α

2

2

(9.28)

2

2

(9.29)

Certains gaz peuvent véhiculer des particules solides (suies, etc.). Dans ce cas leurs facteurs d’émission et d’absorption sont totalement modifiés. Les valeurs correspondantes ne peuvent être approchées que par l’expérimentation.


Fig. 9.4 : CO2

9. Rayonnement

10


9. Rayonnement

Fig 9.5 H 2O

Fig. 9.6 (Fig 9.4, 9.5 et 9.6 : Thermique théorique et pratique à l’usage de l’ingénieur, Bernard Eyglunent).

11


9. Rayonnement

12

9.3 Calcul des échanges de chaleur par rayonnement. En général, dans un cas réel, plusieurs corps sont placés en interaction mutuelle. Chaque corps émet du rayonnement dans toutes les directions de l’espace et reçoit un rayonnement complexe qui est la résultante des émissions directes des corps qui l’entourent et d’un grand nombre de réflexions. Donc, dans la pratique, le problème est de calculer le résultat net des échanges par rayonnement entre tous les corps présent. Dans la plupart des cas, le calcul exact des échanges est matériellement impossible. On a donc été amené à étudier certains cas simples pour lesquels le calcul des échanges entre les corps est possible. Une première approximation consiste à assimiler tous les corps solides rencontrés à des corps gris : La grande difficulté réside dans la « réduction » d’un cas réel à un cas connu : c’est ce que l’on appelle la modélisation du problème. 9.3.1 Echanges par rayonnement entre deux surfaces noires opaques, séparées par un milieu parfaitement transparent.

Figure 9.7 Echanges 9.7 Echanges par rayonnement entre deux surfaces. L’équation 9.5 décrit le flux total d 2φ 1 émis par un élément de surface dS 1 d’un corps noir dans l’angle solide d ω ω1 (direction D). Soit un deuxième corps noir dont l’élément de surface ω1 . Alors dS 2 intercepte le rayonnement émis par d ω d ω 1

=

dS 2 cos β 2 2

d

( d = M M ) 1

2

(9.30)

donc 2

=

σ T14 dS1 cos β1 dS 2 cos β 2

2 π d Lorsque le corps numéro 2 est un corps noir, ce flux est totalement absorbé. d φ 1

Simultanément, dS 2 (à la température T 2 ) émet en direction de dS 1 :

(9.31)


9. Rayonnement

2

d φ 2

=

13

σ T24 dS2 cos β 2 dS1 cos β 1 d 2

π

(9.32)

qui est aussi totalement absorbé par dS 1 Le bilan de l’échange est 2

d φ12 dφ12

= σ (T14 − T 24 )

= d 2φ1 − d 2φ 2

(9.33)

dS1 cos β1dS 2 cos β 2 2

π d

(9.34)

Le flux total échangé entre S 1 et S 2 sera obtenu par une double intégration de d 2φ 12 : φ12

= σ (T14 − T 24 ) ∫∫

dS1 cos β1dS 2 cos β 2

S1S 2

π d 2

(9.35)

Dans le cas de deux plaques parallèles infinies noires l’équation (9.35) devient : φ12

= σ (T14 − T24 ) S 1

( S1 = S 2 )

(9.36)

Par analogie, le flux échangé entre deux surfaces noires s’écrit φ12

= σ (T14 − T24 ) S1F12

= σ (T14 − T24 ) S 2 F21

(9.37)

avec S1 F12 12

= S 2 F2 1 =

∫∫

dS1 cos β1dS2 cos β 2

S1S 2

2 π d

(9.38)

F 12 et F 21 sont des quantités purement géométriques et sans dimensions : F 12 : facteur d’angle sous lequel S 1 voit S 2 F 21 : facteur d’angle sous lequel S 2 voit S 1

Ainsi, le problème du calcul des échanges se réduit uniquement au calcul de ces facteurs d‘angle. Dans la littérature spécialisée, il existe plusieurs exemples pour de calcul de F 12 . 9.3.2 Echanges par rayonnement entre deux surfaces grises opaques séparées par un mili eu parfaitement transparent. Si ϕ1

= ε1σ T 4 est le flux par unité de surface émis par

S 1 il sera partiellement absorbé par S 2 , le

flux réfléchi étant à son tour partiellement absorbé par S 1 et ainsi de suite (voir figure 9.8).


9. Rayonnement

14

Σ colonne gauche 2 2 G1 = ε 1 (1 − ε 2 ) ϕ1 ⎡1 + (1 − ε 1 ) (1 − ε 2 ) + (1 − ε 1 ) (1 − ε 2 ) + ...⎤ ⎣ ⎦ ε 2 (1 − ε 2 ) ϕ 1 = 1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 )

Il faut donc calculer la fraction du flux ϕ 1 absorbé par S 1 : G1 =

et la fraction de flux ϕ 1 absorbé par S 2 : D1

=

D1

(9.39)

= Σ colonne droite : ε 2

1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 )

ϕ 1

(9.40)

Figure 9.8 Echanges par rayonnement entre deux surfaces grises. Réciproquement, pour le flux ϕ 2 , les quantités G2 et D2 sont définies de manière analogue : G2 =fraction du flux ϕ2 absorbe par S 1 : ε 1 G2 = ϕ 2 1 − (1 − ε1 )(1 − ε 2 )

(9.41)

Au total S 1 a émis ϕ 1 et absorbé G1 + G2 , le flux de chaleur ϕ 12 échangé avec S 2 est donc le résultat du bilan : ϕ12

= ϕ 1 − ( G1 + G2 )

(9.42)


9. Rayonnement

15

ou ϕ12

=

φ12 S 1

=

ε 1ε 2 1 − (1 − ε 1 ) (1 − ε 2 )

σ (T14 − T 24 )

On peut trouver le même résultat avec ϕ12

⎡⎣W / m 2 ⎤⎦

(9.43)

= ( D1 + D2 ) − ϕ 2

Il existe aussi une autre méthode de calcul basée sur l’éclairement (cf. §9.1 et voir figure 9.9)

Figure 9.9 On appelle radiosité J la somme du flux ϕ e émis par la surface S et de l’ensemble ϕ r des flux réfléchis sur la surface S

⎡⎣W / m2 ⎤⎦

J = ϕ e + ϕ r

(9.44)

où

= εσ T 4 ϕr = (1 − ε ) E ϕe

( E : éclairement)

La figure 9.10 montre la situation des deux surfaces.

ϕ1

(1-e1)J2

}

J1

ε 2J 1 ε1J2

J2

S1

Figure 9.10

(1-e2)J1

}

ϕ2

S2


9. Rayonnement

16

Pour S 1 on a

ϕe

= ϕ1 = ε 1σ T 14

(9.45)

ϕ r = (1 − ε 1 ) J 2

(9.46)

J 2 constitue l’éclairement de S 1 , J 1 constitue l’éclairement de S 2 . Donc

= ϕ1 + J 2 (1 − ε 1 ) J 2 = ϕ2 + J 1 (1 − ε 2 ) J1

(9.47)

L’expression finale des éclairements est : J 1

=

ϕ1 + (1 − ε 1 ) ϕ 2

et

1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 )

J 2

=

ϕ2 + (1 − ε 2 ) ϕ 1 1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 )

(9.48)

Le flux ϕ 12 s’écrit : ϕ12 = J1 − J 2

=

ε1ε 2 1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 )

σ (T14 − T 24 )

(9.49)

En particulier, si une des surfaces est noire (par exemple, la surface dans un four, ε 1 , T 1 ) rayonnant dans un grand hâle ( ε 2

= 1, T a ) , on obtient ϕ12

= ε 2σ (T14 − T a4 )

(9.50)

Exemples - Deux surfaces grises (de dimensions finies) fermant tout l’espace Remarque: Si les deux surfaces S 1 et S 2 sont vis-à-vis comme sur la figure 9.11 a), il faudrait considérer une surface S3 fictive, qui formerait avec S1 et S2 une enceinte. S3 contribuerait alors à l’ensemble des échanges de chaleur, comme nous le verrons au paragraphe 9.3.3.

Ce que nous disons ci-dessous ne correspond qu’au cas de la figure 9.11 b), où l’espace est totalement fermé par S1 et S2.

Figure 9.11

(a)

(b)


9. Rayonnement

17

Reprenons la méthode des radiosités (éclairement) dans ce cas. Le calcul s’applique au cas de la figure 9.12

Figure 9.12 J1 (radiosité de S1), flux total quittant S 1 se compose du: flux ϕ1 émis par S1 flux ϕr1 réfléchi par S1 (ce dernier dans le cas où S1 est concave, provient partiellement de S1 elle-même et de S2). •

•

Le flux total (en watts) quittant S1 s’écrit donc: S1 J1 = S1 ϕ1 + (1 - ε1) [F11 S1 J1 + F21 S2 J2] et comme F21 S2 = F12 S1 On obtient: de même:

J1 = ϕ1 + (1 - ε1) [F11 J1 + F12 J2] J2 = ϕ2 + (1 - ε2) [F21 J1 + F22 J2]

(9.49)

Remarquons que la deuxième équation s’obtient par permutation des indices 1 et 2 de la première.

L’ensemble 9.49 de 2 équations du 1er degré à deux inconnues fournit J 1 et J 2 (expressions assez volumineuses et de peu d’intérêt ici). Une fois les radiosités J1 et J2 connues, on calcule le flux échangé entre S 1 et S2 par:

φ12 = F12 S1 J1 - F21 S2 J2 = F12 S1 (J1 - J2)

(9.50)

On trouve:

Φ12 S 1

=

ε 1ε 2

⎛ S ⎞ F 1 − ⎜1 − ε1 1 ⎟ (1 − ε 2 ) + ε 1ε 2 11 S2 ⎠ F 12 ⎝

σ (T1

4

− T 24 ) (W/m2)

Exemples:

S1 = plan S2 = cavité de forme quelconque

(9.51)


9. Rayonnement

18

S1 = solide convexe S2 = solide concave entourant complètement S1 (ex: deux cylindres, deux sphères, etc...)

Plans parallèles infinis

Tous ces cas particuliers sont du ressort de la formule 9.51 avec F 11 = 0 et F 12 = 1. Pour les plans infinis on a bien sûr S 1/S2 = 1. Ces derniers calculs sont applicables quels que soient S 1 et S2 pourvu que S 2 ferme totalement l’espace vu par S1 et que S1 soit convexe. On notera que si la surface extérieure S 2 est noire (ε2 = 1) ou très grande (S 1/S2 l’expression (9.51) se réduit à:

φ12 = ε1 S1 σ (T14 - T24)

(W)

→ 0), (9.52)

Cela revient à dire que si un petit corps est placé dans une grande enceinte, cette dernière se comporte comme une surface noire.

9.3.3 Echanges par rayonnement entre une surface grise et plusieurs surfaces grises opaques formant une enceinte fermée. C’est l’extension du cas précédant au cas où la surface S1 est soumise au rayonnement de plusieurs surfaces différentes (p.ex. le sol d’un four avec les différentes parois). - Trois surfaces planes

Pour simplifier, traitons d’abord le cas d’une enceinte triangulaire (fig. 9.13).

Figure 9.13

Enceinte triangulaire

L’extension des formules des paragraphe paragraphe 9.3.2 est immédiate: J1 = ϕ1 + (1 - ε1) [F12 J2 + F13 J3] J2 = ϕ2 + (1 - ε2) [F21 J1 + F23 J3] J3 = ϕ3 + (1 - ε3) [F31 J1 + F32 J2] On obtient un système de 3 équations à trois inconnues qui fournit J 1, J2 et J3.

(9.53)


9. Rayonnement

19

Les flux échangés par S1 se calculent alors par:

φ12 = F12 S1 (J1 - J2) φ13 = F13 S1 (J1 - J3) φ1,23 = S1 (J1 - F12 J2 - F13 J3) = φ12 + φ13

(9.54)

Les autres s’obtiennent, par permutation des indices.

-Trois surfaces concaves

On écrira: J1 = ϕ1 + (1 - ε1) [F11 J1 + F12 J2 + F13 J3] etc... et on développera des calculs semblables à 9.54.

(9.55)

-n surfaces concaves:

C’est le cas le plus général n

Ji

= ϕ i +(1− ε i )∑ FijJ i

(pour i = 1 à n) ce qui donne n équations à n inconnues, et

j=1

Φij = Fij Si ( J i − J j )

(9.56)

9.3.3.1 Quelques exemples:

a) Deux surfaces plans en vis à vis dans le vide. (fig.9.14). S3 représente ici le vide, caractérisé par: T3 = 0 (degré K) ε3 = 1 (corps noir) De plus, F11 = F22 = 0

Figure 9.14

Calcul des radiosités: J1 = ϕ1 + (1 - ε1) [F12 J2 + F13 J3] J2 = ϕ2 + (1 - ε2) [F21 J1 + F23 J3] J3 = ϕ3 + (1 - ε3) [F31 J1 + F32 J2] = 0 soit, ici J1 = ε1 σ T1 + (1 - ε1) F12 J2 4

et

J2 = ε2 σ T2 + (1 - ε2) F21 J1 4


d’où

J 1

=

9. Rayonnement

ε1σ T14 + (1 − ε 1 ) F12ε 2σ T 2 4 1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 ) F12 F 21

20

et

J 2

=

4 ε 2σ T24 + (1 − ε 2 ) F21 21ε 1σ T 1

1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 ) F12 F 21

(9.57)

Calcul des flux:

Φ12 = F12 S1 ( J1 − J 2 )

⎡⎣1 − (1 − ε 2 ) F21 ⎤⎦ ε 1σ T14 − ⎡⎣1 − (1 − ε 1 ) F12 ⎤⎦ ε 2σ T24 Φ12 = F12 S 1 1 − (1 − ε1 ) (1 − ε 2 ) F12 F 21 et

(9.58)

Φ1,23 = S1 ( J1 − F12 J 2 − F13J 3 ) etc...

On remarque que si T 1 = T 2, on obtient φ12 ≠ 0, ce qui peut surprendre et paraître contraire au « deuxième principe ». Ce résultat est cependant exact. φ12 serait égal à zéro si T1 = T2 = T3. En revanche, si T 1 = T2, ε1 = ε2 et F12 = F21, le problème devient symétrique (deux plaques identiques vis à vis) et φ12 = 0. Exemple: P2 = plan infini S1 = surface finie F12 = 1 F21 = S1/S2 → 0

Le calcul des radiosités se réduit à: 4 J1 = ε1 σ T1 + (1 - ε1) J2 J2 = ε2 σ T24 et φ12 = S1 (J1 - J2) = ε1 S1 σ (T14 - ε2 T24).

b) Deux surfaces planes en vis à vis dans une pièce à la température ambiante. C’est le même jeu d’équations que dans l’exemple a), mais avec: T3 ≈ 300 K ε3 = 1 Ici, J3 ≠ 0 et le calcul des radiosités fait intervenir les trois équations (9.53)


9. Rayonnement

21

c) Deux faces d’un cube rayonnant entre elles dans le vide ,les autres faces étant absentes (fig 9.15).

Figure 9.15 Deux faces d’un cube L’application de la formule 11 de l'annexe "facteur d'angle": F12

=

2

⎡2 π ⎣

2Arctg ( 1

2

) − 2Arctg (1 +

1 2

4

Ln 3

)⎤⎦

≈ 0.2

= F21

J1 = ϕ1 + (1 - 0.5) x 0.2 J 2 = ϕ1 + 0.1 J 2 J2 = ϕ2 + (1 - 0.8) x 0.2 J 1 = ϕ1 + 0.04 J1 avec

ϕ1 = ε1 σ T14

Soit

J1

d’où

φ12 = F12 S1 [J1 - J2]

=

et

ϕ1 +0.1ϕ 2 0.996

ϕ2 = ε2 σ T24 et

J2

=

ϕ 2 +0.04ϕ1 0.996

(9.59)

(9.60) et

Φ12 a

2

=0.2

0.96ϕ1 −0.9ϕ 2 0.996

=

0.096σT

4 1

−0.144 σT

0.996

4 2

2

[W/m ]

d) Un thermocouple devant une paroi infinie (fig. 9.16)

Le thermocouple est représenté par la sphère S 1 (ε1, T1). Le plan P2 (ε2, T2) occupe la moitié de l’espace visible par la surface S1. Donc: F12 = ½ et F21 = 0. Mais S1 échange aussi avec l’espace E3 (T3 = 0, ε3 = 1) d’où provient le flux ϕ3 = 0 (si on est dans le vide). D’où: F13 = ½ et J3 = 0.

Les équations de radiosités deviennent: J1 = ϕ1 (1 - ε1) ½ J2

Figure 9.16


9. Rayonnement

22

J2 = ϕ2 d’où:

J 1

= ϕ1 +

(1 − ε 1 ) 2

ϕ 2

1 + ε 1 ⎤ ϕ 2 ⎥ Φ12 = 1 S1 ( J1 − J 2 ) = 1 S1 ⎡⎢ ϕ1 − 2 2 ⎣ 2 ⎦ 1 − ε 1 ⎤ ϕ 2 ⎥ Φ13 = 1 S1 ( J1 − J 3 ) = 1 S1 ⎡⎢ ϕ1 + 2 2 ⎣ 2 ⎦

et

La température d’équilibre du thermocouple sera telle que le flux total échangé nul, ce qui donne: 2 ϕ1 - ε1 ϕ2 = 0

=

T14

et

ε 2 2

T24

φ12 + φ13 soit (9.61) (9.62)

Cette température lue dépend bien sûr de ε2, mais pas de l’émissivité ε1 du thermocouple. Si ε2 = 1, cela donne: T 14 = T24/2 Notons que si le thermocouple avait été représenté par une petite surface S1, parallèle à P2, le résultat aurait été strictement identique (de même que pour S1 quelconque). Ce calcul explique pourquoi la lecture d’un thermocouple « posé » sur une surface est fausse.

e) Un thermocouple entre deux plans (fig. 9.17)

Représentons le thermocouple par une petite surface S 1 irradiée d’un côté (S1/2) par P2 et de l’autre (S1/2) par P3. On a:

F12 = F13 = ½ F23 = F32 = 1 F21 = F31 = 0

Figure 9.17


J1

= ϕ 1 +

9. Rayonnement

(1 − ε 1 ) 2

23

( J 2 + J 3 )

= ϕ 2 + (1 − ε 2 ) J 3 J 3 = ϕ3 + (1 − ε 3 ) J 2 J 2

d’où

⎡ ( J + J ) ⎤ Φ1,23 = S1 ⎢ J 1 − 2 3 ⎥ = 0 à l’équilibre, 2 ⎣ ⎦ J + J3 J1 = 2 ce qui peut paraître évident;

donc

ϕ 1 +

ou

ϕ 1

=

et avec J 2

=

et

2 1 − ε 1 2 ε 1 2

( J 2 + J 3 ) = 12 ( J 2 + J 3 )

( J 2 + J 3 )

ϕ 2 + (1 − ε 2 ) ϕ 3

et

1 − (1 − ε 2 ) (1 − ε 3 )

= ε 1

J 3

=

ϕ3 + (1 − ε 3 ) ϕ 2 1 − (1 − ε 2 ) (1 − ε 3 )

ϕ 2 + ϕ3 − 12 ( ε 2ϕ 3 + ε 3ϕ 2 )

on trouve

ϕ1

En remplaçant à:

ϕ1, ϕ2 et ϕ3 par leurs valeurs, ϕ1 = ε1σT14, ϕ2 = ε2σT24, ϕ3 = ε3σT34, on arrive

1 − (1 − ε 2 ) (1 − ε 3 )

4 1

T

=

ε 2T24 + ε 3T34 −

ε 2ε 3 2

(T + T ) 4 2

1 − (1 − ε 2 ) (1 − ε 3 )

4 3

(9.63)

C’est la température d’équilibre du thermocouple. Si les deux plans sont à la même température (T2 = T3), on obtient T 1 = T2 = T3 quels que soient ε1 et ε2. On comprend qu’un tel calcul peut être facilement étendu au cas d’une enceinte parallélépipède (6 faces différentes).

9.3.4 Echanges par rayonnement entre deux surfaces grises opaques séparées par un milieu semi-transparent. Cet exemple est de grande importance importance pratique puisque c’est le cas de l’échange entre entre un gaz rayonnant chauds et les parois du four qui le contient. C’est aussi malheureusement un des plus difficiles et nous nous bornerons à quelques exemples de résultats à titre indicatif.


9. Rayonnement

24

- Echange entre une paroi et un gaz (fig. 9.18)

Figure 9.18 Echange entre une paroi et un gaz

1) Paroi noire: On écrit que le flux émis par le gaz ( εgg calculé à la température Tg) moins le flux absorbé par le gaz (αgp calculé à la température Tp) est égal au flux échangé avec la paroi:

ϕ gp = σ ε gg Tg4 − α gp Tp4

[W/m2]

(9.64)

Pour le calcul de εgg et αgp, se reporter au paragraphe 3

2) Paroi grise (ε p): ϕ gp

= ⎡⎣1 − α gg (1 − ε p ) ⎤⎦ ε ggσ Tg4 − α gpε pσ T p4

ϕ pg

= ε pσ ⎡⎣Tp4 − ε gg T g4 ⎤⎦

(9.65)

- Echange entre deux parois parallèles infinies séparées par un gaz (fig. 9.19)

Figure 9.19 Parois parallèles séparées par un gaz Quelques formules sont calculables dans les cas les plus simples: [αgi calculé à la température Ti] 1) Deux parois noires:

ϕ1 = σ [εgg Tg4 + (1 - αg2) T24 - T14] ϕ2 = σ [εgg Tg4 + (1 - αg1) T14 - T24] ϕ3 = σ [2 εgg Tg4 - αg1 T14 - αg2 T24]

reçu par P1 2 reçu par P2 [W/m ] cédé par le gaz.

(9.66)

Phénomènes de transfert On a bien:

9. Rayonnement

25

ϕg = ϕ1 + ϕ2.

2) Deux parois grises et gaz gris:

(On suppose αg = εg)

Si on pose: E1 = flux total arrivant sur P1 (éclairement), par unité de surface J1 = flux total quittant P1 (radiosité) E2 = flux total arrivant sur P2 J2 = flux total quittant P2 On a: E1 = (1-εg) J2 + εg σ Tg J1 = (1-ε1) E1 + ε1 σ T14 4 E2 = (1-εg) J1 + εg σ Tg 4 J2 = (1-ε2) E2 + ε2 σ T2 4

2

[W/m ]

Le flux échangé par P 1 avec P2 et avec le gaz est:

(9.67)

ϕ1 = J1 - E1.

On trouve, en séparant la contribution de T 2 et celle de Tg:

ϕ1

= ε1σ

ε 2 (1 − ε g ) ( T14 − T24 ) + ε g ⎡1 + (1 − ε g ) (1 − ε 2 ) ⎤ ( T14

⎣

2

1 − (1 − ε g ) (1 − ε1 ) (1 − ε 2 )

• Pour T g = T 1 = T 2 , on retrouve

• Pour

⎦

− Tg4 )

(9.68)

ϕ1 = 0

⎡1 − (1 − ε g )2 (1 − ε 2 ) ⎤ (T14 − T 24 ) ⎢ ⎥⎦ T g = T 2 , on a ϕ1 = ε 1σ ⎣ 2 1 − (1 − ε g ) (1 − ε 1 ) (1 − ε 2 )

et si ε1 = 1, on retrouve corps noir). • Pour obtenir

ϕ1 = ε1 σ (T14 - T24)

(Flux échangé entre un corps gris et un

ϕ2, il suffit d’intervertir les indices 1 et 2. On constate que ϕ2 ≠ -ϕ1.

• Le flux échangé par le gaz avec P1 et P2 est ϕg = ϕ1 + ϕ2:

ϕg

ε1 ⎡1 + (1 − ε g ) (1 − ε 2 ) ⎤ (T14

= ε gσ ⎣

− Tg4 ) + ε 2 ⎡⎣1 + (1 −ε g ) (1 − ε 1 ) ⎤⎦ (T 24 − Tg4 )

⎦ 2 1 − (1 − ε g ) (1 − ε 1 ) (1 − ε 2 )

Cours Transfert de Chaleur

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