Ecole Polytechnique Privée d.'Agadir
TD de Transferts de Chaleur avec solution
Pr AHAROUNE Ahmed
TD : Transferts de chaleur
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TD : Transferts de chaleur
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TD : Transferts de chaleur
Table des matières : Généralités ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ............................................. ....................................... ................ 4 Conduction morte en régime permanent.......................................... ................................................................. ............................................. ...................................... ................ 5 Ailettes .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ ............................................. ............................................ ..................... 10 Conduction vive en régime permanent : ..................................................... ............................................................................ .............................................. ........................... 11 Conduction morte en régime variable ........................................... .................................................................. ............................................. ....................................... ................. 12 Conduction vive en régime variable : ......................................................... ................................................................................ ............................................. ......................... ... 13 Conduction 2D par différences finies ........................................... .................................................................. ............................................. ....................................... ................. 13 Rayonnement Rayonnement thermique ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ..................................... .............. 14 Solutions des exercices de généralités .............................. ..................................................... .............................................. ............................................. ............................ ...... 21 Solutions des exercices de Conduction morte en régime permanent............................................ .......................................................... .............. 24 Solutions des exercices d’ailette ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. .......................... ... 32
Solutions des exercices de Conduction vive en régime permanent ....................... .............................................. ..................................... .............. 33 Solutions des exercices du Milieu thermiquement mince ........................................... ................................................................. ................................ .......... 36 Solutions des exercices de Conduction vive en régime variable ........................... .................................................. ..................................... .............. 37 Solutions des exercices de Conduction 2D par différences finies .................................. ........................................................ ............................ ...... 37 Solutions des exercices de Rayonnement Rayonnement thermique ....................... ............................................. ............................................. ..................................... .............. 38 Annexe 1 : Unités thermiques........................................... .................................................................. ............................................. ............................................. ............................. ...... 48 Annexe 2 : Facteur de forme de conduction ............................................ ................................................................... ............................................. ............................ ...... 49 Annexe 3 : Facteur de vue ........................................................ .............................................................................. ............................................. ............................................ ..................... 50 Annexe 4 : Fraction d’énergie........................................... .................................................................. ............................................. ............................................. ............................. ...... 51
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TD : Transferts de chaleur
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TD : Transferts de chaleur
Généralités E xer xer cice G -1 : 1°) Exprimer
en K elvin, elvin, degrés Fahrenheit et degrés R ankine ankine (température absolue dans le système anglo-saxon) les températures de 0°C, 50°C, 100°C, -17.78°C, -273.15°C.
2°) Déterminer la température à laquelle le nombre qui l’exprime est le même en °C question en K et et en °R .
et °F. Même
E xer xer cice G -2 :
On rencontre dans la littérature anglo-saxonne, la chaleur massique exprimée en Btu/lbF (Btu : British thermal unit, lbf : pound force). Calculer sa valeur dans le S.I. ainsi qu’en C.G.S. On donne l1b=453.5g, l Btu=l055 J. E xer xer cice G -3 :
En utilisant les facteurs de conversion entre W et Btu/h, m et ft, K et R, exprimer la constante de 2 le coefficient de h (W/m .°C) en unité angloStefan-Boltzmann 5.67 108 W / m2 . K4 et saxonne Btu / h. ftft2 . R4 .
E xer xer cice G -4 :
En utilisant les facteurs de conversion entre °C et °F, le coefficient co efficient de conversion entre W et de Btu/h, 2 m et ft, exprimer le coefficient de h (W/m .°C) en unité anglo-saxonne (Btu/h.ft 2.°F). E xer xer cice G -5 :
Une résistance électrique de forme cylindrique (D=0,4cm, L=1,5cm) sur un circuit imprimé dissipe une puissance de 0,6 W. En supposant que la chaleur est transférée de manière uniforme à travers toutes les surfaces. Déterminer : (a) la quantité de chaleur dissipée par cette résistance au cours d'une période de 24 heures, (b) le flux de chaleur, (c) la fraction de la chaleur dissipée par les surfaces du haut et du bas. E xer xer cice G -6 :
Un réservoir contient 3m 3 d’eau chaude à Ti=80°C. Il est parfaitement calorifugé sauf sur une partie ature de l’eau a baissé dont la surface est S=0.3m 2. On constate qu’où bout de t=5 heures, la tempér ature de 0.6°C quand la température ambiante est de 20°C. En supposant que la capacité calorifique du réservoir est de 10 3 kcal/°C. 1) Calculer: 1°/ la quantité de chaleur perdue en 5 heures, 2°/ le flux de chaleur à travers le couvercle, 3°/ la densité de flux thermique à travers le couvercle, 4°/ la résistance thermique du couvercle, 5°/ le coefficient global de transmission thermique. On donnera les résultats dans les systèmes M.K.H et S.I. 2) Que se passerait-il au bout de lj, 10j ? E xer xer cice G -7 :
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TD : Transferts de chaleur On remplit en 5 minutes une baignoire de 500 litres avec de l’eau chaude prélevée dans un réservoir supposé à température constante de 50°C. La canalisation de diamètre extérieur de 16 mm et intérieur de 14 mm a une longueur de 10 m. 1) Si la chute de température entre le réservoir et le robinet est de 2°C. Calculer le flux de chaleur perdu par la canalisation pendant le remplissage de la baignoire ainsi que les densités de flux de chaleur correspondants aux surfaces intérieur et extérieur de la canalisation. A quel pourcentage de perte de chaleur cela correspond- il si on suppose que l’eau froide était à 15°C avant d’être chauffée dans le réservoir? 2) La température de l’eau dans la canalisation revient à la température de 20°C au bout de 30
minutes. Calculer le flux de chaleur perdu dans ces conditions. 3) Quelles quantités d’eau chaude faudrait-il prélever en une seule fois pour que les pertes en énergie entre le réservoir et le robinet ne représentent que 10%, 20%, 50%?
Conduction morte en régime permanent E xercice I -1 :
Une paroi d'une surface de 5m 2 a une température de 700 °C d'un côté et de 20 °C de l'autre. Calculer la conductivité et l'épaisseur du mur. Pour le choix d’un matériau qui garantisse une densité
de flux de chaleur de 300 kW/m 2. L'épaisseur max. possible est de 50 cm, K=f(T). E xercice I -2 :
a) Calculer la densité du flux et les températures T1 et T2 d'un mur d’une épaiss eur de 10 cm.
b) On double l'épaisseur de ce mur : que deviennent les pertes (q) et les températures T1 et T2 ? T0 = 500°C; h0 = 20 W/m2K; T’0 = 20°C; 2 h’0 = 5 W/m K ;
k = 1 W/m2K E xercice I -3 : a) Encore une fois un mur. Le mur est composé de:
Briques réfractaires: e1 = 10 cm ; k1 = 1 W/m°C D’un isolant: e2 = 2 cm ; k2 = 0,1 W/m°C
T1 = 1100 °C, T3 = 20 °C. Calculer q et T2. b) que l'isolant (e2) ne supporte pas 740 °C; on propose le garnissage suivant, de même épaisseur totale: Briques réfractaires: e1 = 7 cm, k1 = 1 W/m°C Isolant réfractaire : e2 = 3 cm; k2 = 0,5 W/m°C Isolant: e3 = 2 cm; k3 = 0, 1 W/m°C T1 = 1100 °C, T4 = 20 °C Calculer q, T2, T3 et faire une comparaison avec des résultats de a).
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TD : Transferts de chaleur
E xercice I -4 :
La paroi d'un échangeur de chaleur est constituée d'une plaque de cuivre de 9,5 mm d'épaisseur. Les coefficients d'échange de chaleur sur les deux côtés de la plaque sont 2340 et 6100 kcal/hm 2°C correspondant respectivement aux températures 82 °C et 32 °C du fluide. En supposant que la conductivité thermique de la paroi est 344,5 kcal/hm°C, évaluer la densité du flux de chaleur et calculer la température des surfaces. E xercice I -5 : Un mur de béton de 15 cm d'épaisseur sépare une pièce à la température T i = 20 °C de l'extérieur où la température est Te = 5 °C.
On donne :
-2
hi = 9.1 W.m .K -1 -2
he = 16.7 W.m .K -1 = 1,74 W.m
-1
-1
.K .
Calculer : -la résistance thermique totale - la densité de flux - les températures interne et externe du mur. E xercice I -6 :
Le mur d'un local est constitué de trois matériaux différents :
- du béton d'épaisseur e 1 = 15 cm à l'extérieur (conductivité thermique 1 = 0,23 Wm -1K -1), - un espace e 2 = 5cm entre les deux cloisons rempli de polystyrène expansé (conductivité thermique 2 = 0,035 W.m-1.K -1), - des briques d'épaisseur e 3 =5cm à l'intérieur (conductivité thermique 3 = 0,47 Wm -1K -1). 1) On a mesuré en hiver, les températures des parois intérieures i et extérieure e qui étaient i = 25 °C et e = - 8 °C. 1.1) Donner la relation littérale, puis calculer la résistance thermique du mur pour un mètre carré. 1.2) Donner la relation littérale, puis calculer le flux thermique dans le mur pour un mètre carré. 1.3) Calculer la quantité de chaleur transmise par jour à travers un mètre carré de mur, pour ces températures. En déduire la quantité de chaleur transmise, par jour, à travers 10m 2 de mur.
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TD : Transferts de chaleur 1.4) Tracer la courbe de variation de température = f(e) à travers le mur, de paroi intérieure à paroi extérieure. 2) Les résistances thermiques superficielles interne et externe du mur ont respectivement pour valeur : 1/hi = 0,11 m2.K.W-1 et 1/he = 0,06 m2.K.W-1 2.1) A quels types de transfert thermique ces données se rapportent-elles ? 2.2) Calculer les températures ambiantes extérieure ae et intérieure ai. E xercice I -7 : La paroi d’un four électrique industriel est constituée de plusieurs matériaux comme l’indique le
schéma ci-dessous.
Données numériques. Température ambiante intérieure : i = 1092 °C. Température ambiante extérieure : e = 32 °C. Surface intérieure du four : S = 8,00 m 2. Résistance superficielle interne pour un mètre carré de paroi : 1/h i = r i = 0,036 m 2.K.W-1 Résistance superficielle externe pour un mètre carré de paroi : 1/h e = r e = 0,175 m2.K.W-1 Caractéristiques des divers matériaux : Matériau Brique à feu Brique réfractaire Laine de verre Acier
Épaisseur e1 = 230 mm e2 = 150 mm e3 = 50 mm e4 = 3 mm
Conductivité thermique 1 = 1,04 W.m -1.K -1 2 = 0,70 W.m -1.K -1 3 = 0,07 W.m -1.K -1 4 = 45 W.m-1.K -1
1 . Exprimer littéralement puis calculer la résistance thermique globale R de un mètre carré de paroi. 2 . Exprimer littéralement puis calculer la densité de flux thermique (puissance thermique par unité
de surface) traversant la paroi. 3 . Déterminer 1es températures au niveau des diverses interfaces de 1'intérieur vers l'extérieur si, 1, 2, 3, se. 4 . En admettant que la transmission de la chaleur est uniforme sur l'ensemble des parois du four, calculer la puissance électrique p nécessaire à son fonctionnement à vide. 5 . Calculer le coût de fonctionnement journalier du four sachant que le prix du kW.h est 1,50 Dh. E xercice I -8 : Soit la section droite d’une résistance électrique constituée d’un cœur en graphite, entouré d’une
enveloppe de verre, elle-même enrobée de micanite (mélange de mica et de résine phénolique agissant comme isolant électrique et thermiqu e). On demande de déterminer l’épaisseur optimum de micanite en vue d’assurer le refroidissement maximum de l’enveloppe de verre sachant que 40% de l’énergie électrique dissipée dans la résistance est perdue par convection - rayonnement avec l’ambiance à 2 0°c avec un coefficient d’échange h=17W/m²K. La conductibilité thermique de la micanite est 6 =0,1W/mK. Les caractéristiques électriques de la résistance sont : Pe=1W, Re=10 . Sa longueur est
de 30mm et son diamètre est de 1mm. 7
TD : Transferts de chaleur 1 . Quelle est la températur e à l’interface graphite - verre? 2 . Comparer les résultats avec et sans isolant. E xercice I -9 : murs composés.
Un mur de 4 m de haut et 6 m de long est composé de deux plaques d'acier ( a= 15 W / m.° C) de 2 cm d'épaisseur chacune, séparés par 1 cm d'épaisseur et 20 cm de largeur des barres d'acier espacé de 99 cm. L'espace entre les plaques d'acier est rempli d’isolant de fibre de verre (i= 0,035 W/m°C). Si la différence de température entre la surface intérieure et celle de l’extérieure du mur est 22°C : 1) déterminer le flux de chaleur échangé à travers le mur, 2) déterminer le flux de chaleur échangé a travers le mur si on ignore les barres d'acier entre les plaques, car ils n'occupent que 1 pour cent de surface d’échange. 2 cm
20 cm
2 cm
99 cm
1 cm
Le mur est construi t de deux grandes plaques d’aciers séparés par 1 cm d'épaisseur des barres d'acier espacé de 99 cm. L'espace restant entre les plaques d'acier est rempli d'isolant en fibre de verre. Le flux de chaleur à travers la paroi du mur est à déterminer, et il est à évaluer si les barres d'acier entre les plaques peuvent être ignorées dans l'analyse, car ils n'occupent que 1 pour cent de la surface d’échange de chaleur.
E xercice I -10 : Soit une paroi composée d’une plaque de cuivre de conductibilité c=372 W/mK et d’épaisseur ec=3mm placé entre deux plaques identiques en inox, de conductibilité I=17 W/mK et d’épaisseur
eI=2mm. Les contacts entre ces différentes plaques sont parfaits. La température de la face gauche de cette paroi est Tg=400°c, tandis que celle de droite vaut Td=100°c. On demande de déterminer les températures des deux faces de la plaque de cuivre.
E xercice I -11 :
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TD : Transferts de chaleur Une paroi composée de deux milieux homogènes de conductibilité et , et d’épaisseur L et L 1
respectivement. Les conditions aux limites sont les suivantes: • CL1 : à gauche: T T 0 •
CL2 : à droite :
dT dx
2
1
2
hT T f (flux de conduction sortant du
domaine 2 est égale au flux de convection dans le fluide) • CL3 : contact parfait entre les deux milieux. On demande la distribution de T dans chacun des milieux et le flux thermique, ainsi que le contrôle par analogie électrique. 1 0,8 W / cm c 2 0,2 W / cm c
h 0,5 W / cm 2 c T 0 600 c T f 200 c L1 4 cm L2 3 cm S 1 cm 2 (aire transversale)
E xercice I -12 :
Un tube à vapeur de longueur L=15 ft (pied), de rayon intérieur r 1=2 in (pouces), de rayon extérieur r 2=2.4in (pouces) et de conductivité thermique =7,2 Btu/h.ft.°F. Le fluide dans le tuyau est à une température moyenne de 250°F, et la moyenne du coefficient de convection de chaleur sur la surface intérieure est h=1.25 Btu/h.ft 2.°F. Si la température moyenne à surface extérieur est T 2=160°F, (a) exprimer l'équation de la chaleur et les conditions aux limites dans le cas d’un régime stationnaire et pour une conduction
unidimensionnelle, (b) déduire la variation de la température dans la conduite par la résolution de l’équation différentielle.
E xercice I -13 SS : cylindre avec isolation :
Soit un conducteur en acier de 7/10, 10m de longueur, de conductivité =46.5 Wm-1K -1 dans laquelle circule de l'eau à 60°C. On suppose que les coefficients d'échange h i=340 Wm-2K -1; he=11 Wm-2K -1 sont constants et que l'air ambiant est à 20°C. 1°) Calculer le diamètre extérieur du calorifugeage en laine de verre qu'il convient de placer autour de conduite pour réduire le flux perdu de moitié ( c=0.04 Wm-1K -1). 2°) Même question avec un isolant de c=0.16 Wm-1K -1 . 3°) Comparer les températures de paroi extérieure des deux calorifugeages et donner la différence de température de l'eau entre l'entrée et la sortie des tubes avant et après l'isolation si l'eau circule à 0.5 ms -1. E xercice I -14 :
Étudiant un tuyau cylindre de rayon interne r 1 et externe r 2 dont la conductivité thermique varie linéairement dans une plage de température comme : (T)= 0(1 + .T) où 0 et sont deux constantes définis. La surface intérieure du tuyau est maintenue à une température constante T 1 tandis que la 9
TD : Transferts de chaleur surface extérieure est maintenue à T 2. En supposant que le transfert de chaleur est unidimensionnel, déterminer : une relation a- la relation du flux de chaleur évacué via le tuyau cylindre, b- la distribution de température T(r) dans le tuyau cylindre. E xercice I -15 : F acteur de forme
Deux tuyaux parallèles, de 5m de long, dans une épaisse couche de béton, circule dans l’un de l'eau chaude et dans l’autre de l’eau froide comme le
montre la Figure. Les diamètres des tuyaux sont 5 cm et la distance entre leurs axes est de 30 cm. Les températures des surfaces chaude et froide des tuyaux sont 70°C et 15°C respectivement. La conductivité thermique du béton est =0,75 W/m.°C. Déterminer le flux de chaleur échangé entre les tuyaux. E xercice I -16 : F acteur de forme
Un réservoir sphérique en acier de diamètre D=1,4 m rempli avec l'eau glacé à 0 ° C est enterré sous terre à un endroit où la conductivité thermique du sol est = 0,55 W/m · ° C. La distance entre le centre du réservoir et la surface du sol est 2,4 m. Pour la surface du sol à une température T=18 ° C, déterminer le flux de chaleur cédé à l'eau glacé dans le réservoir. Que serait votre réponse si la surface du sol été isolée ?
Ailettes E xercice I -20 :
Une ailette de largeur l, d'épaisseur e et de longueur L est fixée entre deux pièces métalliques dont les températures sont identiques et égales à T P. Les deux faces de l'ailette ne sont pas soumises aux mêmes conditions. La face supérieure de l'ailette est soumise à un courant d'air à une température T A et le coefficient d'échange vaut h A. La face inférieure quant à elle, est soumise à un autre courant d'air à la température TB et le coefficient d'échange vaut h B. Afin de déterminer le profil axial de température, 1) Faites un bilan de chaleur sur un volume approprié. Posez clairement vos hypothèses et obtenez l'équation différentielle que doit vérifier la température. 2) Posez les conditions frontières.
E xercice I -21 :
Prenons une cuillère en acier inoxydable ( = 15 W/m.°C), partiellement immergé dans l'eau bouillante à 93°C dans une cuisine à 24°C. Le manche de la cuillère est une section de 0,2cm*1,3cm, et s'étend dans l'air de 18cm de la surface libre de l'eau. Si le coefficient de transfert de chaleur à la surface de la 10
TD : Transferts de chaleur
cuillère exposée à l’air est h=17 W/m2.°C, déterminer la différence de température à la
surface du
manche de la cuillère. Indiquez vos hypothèses.
Conduction vive en régime permanent : E xercice I I -1 :
Supposons qu'il y ait production de chaleur en son milieu. La température est imposée sur une face et .
qp T , T = T0 si x = 0, q = q 1 si x = e x 2 k 2
le flux sur l'autre.
Quelle est la température de la face arrière ? (Pas de valeur numérique, uniquement l’expression littérale) E xercice I I -2 :
Etudiant une sphère homogène de matières radioactives de rayon r 0=0,04m qui génère de la chaleur à un cadence constant q=4.10 7W/m3. La chaleur générée est évacuée constamment à l'environnement. La surface extérieure de la sphère est maintenue à une température uniforme de 80°C et la conductivité thermique de la sphère est =15 W/m.°C. On restant dans l’hypothèse des murs le problème est celui de transfert unidimensionnel. a- Exprimer l'équation différentielle et les conditions aux limites ; b- Exprimer la variation de température dans la sphère en résolvant l'équation différentielle ; c- Déterminer la température au Centre de la sphère. E xercice I I -3 :
Une paroi composée de 2 milieux homogènes de conductibilité
et 2, et d’épaisseur L1 et L2 respectivement. La première paroi est le siège d’une distribution de sources volumiques Q v = 50 W/cm³. Les conditions aux limites sont: - Condition de Dirichlet à gauche T=T 0 - Condition de Newton (convection) à droite
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dT dx
1
hT T f
TD : Transferts de chaleur
Le contact est parfait entre les deux milieux. On demande les distributions de T et de flux thermique dans chacun des milieux, et le contrôle par analogie électrique. On donne : 1 0,8 W / cm c , 2 0,2 W / cm c , h 0,5 W / cm2 c , T 0 600 c , T f 200 c , L1 4 cm , L2 3 cm , S 1 cm2 (aire transversale ).
Conduction morte en régime variable Milieu thermiquement mince
E xercice I I I -1 : Déterminer les relations de la longueur caractéristique d'un mur d'épaisseur 2L, un très long cylindre de rayon r o et une sphère de rayon r o . E xercice I I I -2 : Pour réchauffer du lait pour bébé, la mère verse le lait dans une mince paroi de verre dont le diamètre est de 6 cm. La hauteur du lait dans le verre est de 7 cm. Elle place ensuite le verre dans une grande casserole remplie d'eau chaude à 60°C. Le lait est agité en permanence, de sorte que sa température est uniforme en tout temps. Si le coefficient de transfert de chaleur entre l'eau et le verre est 120W/m 2.°C, déterminer le temps qu’il faut pour que le lait se réchauffe de 3°C à 38°C. En admet que les propriétés
du lait sont les mêmes que ceux de l'eau. Dans ces conditions, le lait peut être traité comme un milieu thermiquement mince, Pourquoi ? Donnés : La conductivité thermique, densité et la chaleur spécifique de l’eau à 20C sont = 0.607 W/m.C, = 998 kg/m 3 et C p = 4.182 kJ/kg. C. E xercice I I I -3 : Trempe d'un corps. Pour mesurer la température d'un milieu, on peut utiliser un thermocouple Cuivre-Constantan. On considère un tel thermocouple réalisé avec du fil de 0.8 mm de diamètre que l'on utilise pour mesurer la température d'air puis d'eau à 130 °C alors que le couple était initialement à la température de 20°C. Tracer la courbe T=f(t) pour le cuivre est le constantan dans l'air et dans l'eau. Au bout de combien de temps la température du couple sera-t-elle correcte à 1°C près. =375 Wm-1K -1, C=380 J.kg-1.K -1, =8940 kg.m-3 On donne : pour le cuivre =21.8 Wm-1K -1, C=420 J.kg-1.K -1, =8900 kg.m-3 pour le constantan hair =11 Wm-2K -1; heau=85 Wm-2K -1 E xercice I I I -4 : R efroidissement d'un réservoir. Un récipient sphérique en acier inoxydable de 25mm d'épaisseur ( =13 Wm-1K -1,C=460 J.kg-1.K -1, =7800 kg.m -3) est complètement rempli avec 45 kg d'eau ( =2.5 Wm-1K -1). L'ensemble, initialement
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TD : Transferts de chaleur à 93°C, est immergé dans l'eau glacée. On donne h i=170 Wm-2K -1; he=230 Wm-2K -1. Calculer le temps nécessaire pour que l'eau se refroidisse à 16°C. Quelle est à cet instant la température de la paroi. Même question pour T i=1°C Comment peut-on évoluer la différence de température entre les surfaces intérieures et extérieures du réservoir ?
Conduction vive en régime variable : E xercice I I -4 :
Un corps cylindre de longueur L et de diamètre D (volume V et de surface S ) initialement à la température T(0)=30°C est plongé dans l ’eau de température T∞=5°C (supposée constante assez loin du cylindre). On fera l’hypothèse que le coefficient d’échange h (uniforme autour du corps) est
suffisamment petit pour que la température du corps (variable dans le temps) soit la même dans tout le corps. 1) Sachant que le cylindre est le siège d’une production de chaleur E générée. Faites un bilan d’énergie autour du corps afin d’obtenir l’équation différentielle décrivant l’évolution temporelle de
la température. 2) Déterminer le temps au bout duquel la température du cylindre atteint 15°C. =1000 kg/m3 ; C=4180 J/kg.K ; L=1 m ; D=0,1 m ; h=100 W/m 2.K ; Eg=20 W
Conduction 2D par différences finies E xercice VI -1 : La chambre d’un four industriel comporte une colonne de brique de conductivité =1 W/m.k et de
section carré de 1 m de côté. Trois faces de cette colonne sont soumises à une température de 500 K et le coefficient h vaut 10W/m 2.k. En utilisant un maillage de 0.25 m, déterminer le profil de température dans la colonne. Sur le volume en pointillé vérifier que la chaleur entrant par conduction est égale à celle sortant par convection 1. à cause de la symétrie, on ne définit que 8 nœuds 2. sur les faces dans le four les températures sont connues
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TD : Transferts de chaleur E xercice I V-2 : Un long barrage en béton ( =0,6 W/m.°C, c oefficient d’absorption de rayonnement : α s = 0,7 2 m /s), de section triangulaire dont la surface exposée est soumise à des flux de chaleur solaire q s 800 W/m2 et de chaleur convectif avec l’air a une température T0=25°C et un coefficient de transfert de chaleur h 0=30 W/m2.°C. Les deux mètres du haut du barrage, section verticale, est l'objet de convection de l'eau à T i=15°C avec un coefficient de transfert de chaleur h i=150 W/m2.°C. Le flux de chaleur échangé à travers la surface de la base, de deux mètres de long, est considérée comme négligeable. Utiliser la méthode de différence finie d'un maillage Δx=Δy=1m et en supposant que le transfert de chaleur est stationnaire à deux dimensions, déterminer les températures du début, milieu et du bas de la surface exposée du barrage.
Rayonnement thermique Angle solide V-1 : Calculer l’angle solide sous lequel on voit d’un point M, un petit cercle de 2 cm de rayon à une
distance de 50 cm sous une incidence normale et sous une incidence de 45°C. V-2 : Déterminer sans calcule l’angle solide sous lequel on voit un mur à partir d’un autre coin d’une
pièce cubique. Facteur de forme : V-3 : Utilisation des abaques (Voir Annexe 3)
Pour la configuration illustrée sur la Figure ci-dessous, avec S 3 la surface plane annulaire entre les deux cylindres. Déterminer les expressions F 13, F31, F32 et F23 en fonction de F 11, F12 et les trois surfaces S1, S 2 et S3. F 33 est le facteur de forme entre les deux surfaces annulaires opposées. S 1 est la surface intérieure du cylindre extérieur et S 2 la surface externe du cylindre intérieur. Pour L=20cm, r 1=20cm et r 2=10cm, déterminer F 11, F12 et F13 .
V-4: règle de Hottel
Démonter que : F 12
S 1 S 2 S 3 2S 1
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TD : Transferts de chaleur
V-5 : Méthode des cordes croisées
Facteur de forme entre 2 surfaces non concaves quelconques (sans obstacle)
R
Q Démonter que : F 12
S2
S
S1
P
S PR S QS S RQ S PS 2. S 1
V-6 : Application : Cas de deux facettes dans des plans normaux
Déterminer les facteurs de forme F 12 et F21 en fonction de a, b et h.
P 1
h Q
R
S 2
a
b
V-7 : Application : détermination des facteurs de vue pour les géométries suivantes
2 4
3
a
1 a
D D
V-8 : Application :
(2)
Deux cylindres parallèles infiniment longs d'un diamètre D sont situés sur une distance d l’un de l'autre. Déterminer le facteur de
forme F12 entre ces deux cylindres. V-9 :
(1)
d
Une source de rayonnement ponctuelle émet une puissance de 200 W. Calculer son intensité énergétique. 15
TD : Transferts de chaleur Elle éclaire sous une incidence de 30° une surface de 0.25 m 2 placée à 3 m. Calculer l’éclairement de cette surface, ainsi que le flux énergétique qu’elle reçoit. V 10 : Corps noir
Une surface de 1.5 cm 2 rayonne comme un corps noir à la température de 1600 °C. Calculer : 1) la puissance totale rayonnée dans l’espace,
2) sa luminance énergétique, 3) la longueur d’onde pour laqu elle le rayonnement est maximal, 4) la luminance monochromatique pour la longueur d’onde de 2.3 m 5) la longueur d’onde pour laquelle la luminance est la même que la précédente. V-11 : Pour chauffer une pièce d’un appartement, on se sert d’un radiateur cylindrique
de 2 cm de diamètre et de 50 cm de longueur. Ce radiateur rayonne comme un corps noir et émet une puissance de 1 kW : 1) calculer sa température, 2) calculer la longueur d’onde pour laquelle sa luminance est maximale, 3) quelle devrait – être sa température pour que cette longueur d’onde soit 2 m ?
4) quelle serait alors sa puissance dégagée ? Un corps noir a une surface de 1.2 cm 2. Calculer la puissance énergétique rayonnée dans le visible (0.4 m< <0.7 m) pour des températures de 1500 et 2000 °C. V-12 :
V-13 : Flux net d’une surface grise
Soit trois surfaces planes (1,2 et 3) grises de dimensions semi infini fermées (voir figure) : - Calculer les facteurs de forme suivant (voir figure) : F11, F12, F13, F21, F22, F23, F31, F32, F33. - Donner la radiosité de chaque surface. 3=0.5, 2=0.5,
T3=500°C, L3=0.4m
T2=500°C, L2=0.3m 1=0.15,
T1=100°C, L1=0.5m
une feuille mince d'aluminium d’émissivité 3 = 0,15 est placée entre deux plaques parallèles très larges qui sont maintenus à des températures uniformes T 1 = 900 K et T 2 = 650 K. Le flux net de chaleur échangé par rayonnement entre les deux plaques est à déterminé pour les cas avec et sans écran. Les émissivités des surfaces sont donnés : 1 = 0,5, 2 = 0,8, et 3 = 0,15. 12-51.
T 1 = 900 K 1 = 0.5
T 2 = 650 K 2 = 0.8
V-14 : Deux boucliers fins d’émissivités 3=0.10
et 4=0.15 sont, des deux côtés, placés entre deux très grandes plaques parallèles, qui sont maintenues aux températures uniformes T 1=600K et à T 2=300K et ont les émissivités 1=0.6 et 2=0.7, respectivement. Déterminez les flux nets échangé entre les deux plaques (1 et 2) avec et sans les boucliers par unité de surface des plaques. Déterminez les températures des boucliers T 3 et T4 à l’équilibre thermique.
3 = 0.15
T 1 = 600
K
3 = 0.10 4 = 0.15 T 2 = 300 K = 0.7
V-15 : Un thermocouple protégé d’émissivité 2=0.15 est utilisé pour
par le papier d'aluminium mesurer la température de gaz chauds coulant dans un conduit dont les murs sont maintenus à 16
Ecran Radiatif
Thermocouple T th = 530 K
Air, T f T w = 380 K
1 = 0.7 2 = 0.15
TD : Transferts de chaleur Tw=380 K. Le thermomètre montre une lecture de température Tth=530 K. En supposant l’émissivité de la jonction de thermocouple 1=0.7 et le coefficient de transfert de chaleur de convection h=120 W/m 2 °C, déterminez la température réelle du gaz. Qu’il est la lecture du thermomètre si aucune protection de radiation n'a été utilisée ? V-16 : Deux cylindres coaxiales de diamètres D 1 =0.10 m et D 2=0,30 m et d’émissivités 1 = 0,7 et 2 = 0,4 sont maintenues à des températures uniforme T 1 = 750 K et T 2 = 500 K, respectivement. D2 = 0.3 m T 2 = 500 K 2 = 0.4
D1 = 0.1 m T 1 = 750 K 1 = 0.7
Ecran Radiatif D3 = 0.2 m 3 = 0.2
Maintenant un écran thermique coaxial de diamètre D 3 = 0.20 m et d’émissivité 3 = 0,2 est placé entre les deux cylindres. Déterminer le flux net échangé entre les deux cylindres par unité de longueur des cylindres et comparer le résultat avec et sans écran.
On considère un four parallélépipédique représenté sur la figure (ci-après). On assimile les parois du four à des surfaces noires de températures T 1, T2 et T3. On cherche à évaluer les pertes radiatives du four par sa porte d'enfournement lorsque celle-ci reste ouverte pendant le fonctionnement. V-17 :
4m
3m
S6
S1 S
S
5
S2
S4
S3=S4+S5+S6+S7 (toutes les surfaces latérales)
7
S0 2m
1
T0= 300 K T1= 1200 K T2= 800 K T3= 1000 K
V-18 : Problème de lampe Une lampe de 100 W est alimentée sous 220 V. Elle est constituée d’un filament de tungstène placé au centre d’une ampoule sphérique de 8 cm de diamètre à l’intérieur de laquelle on fait le
vide. Pour que la lumière soit assez blanche, il est nécessaire que la température du filament soit de 2600 K. 1) Déterminer le diamètre et la longueur du filament si le facteur d’émission total hémisphérique du tungstène est de 0.3 (résistivité du tungstène 88 cm). 2) Déterminer la puissance rayonnée dans le visible (entre 0.4 et 0.7 m) si le facteur d’émission spectral hémisphérique est de 0.45 dans ce domaine.
17
TD : Transferts de chaleur 3) Quelle est la puissance absorbée par l’ampoule en supposant que le verre est parfaitement transparent jusqu’à 2.7 m et se comporte comme un corps noir au-delà, en admettant que 4)
le facteur d’émission spectral hémisphérique du tungstène est de 0.2 dans tout le domaine au-delà 2.7 m. Déterminer la température de l’ampoule si le facteur d’émission total hémisphérique du
verre est de 0.93 en négligeant les pertes de chaleur par convection naturelle. V-18 : Problème d'écran
On insère entre deux plans (à T1 et T2) un écran. Quelles seront les températures superficielles de ce dernier et les valeurs du flux échangé (sans et avec écran), en régime permanent? εMo à 2000 K = 0,21¸ εMo à 600 K = 0.06 Matériaux : Molybdène poli, T1=2000K, T2=600K, Epaisseur d’écran : 3mm
V-19 : Problème de thermocouple:
Un thermocouple est posé entre deux parois infinies. Parois 1 : oxyde d’aluminium à 800 °C
Parois 2 : Graphite à 950 °C L’espace entre les deux plaques est rempli par de l’azote sous une pression de 1,67 bars.
La distance entre les deux plaques est de 0.9 m, le thermocouple se trouve 30 cm au-dessus de la surface 2. Calculez la température du thermocouple (pas de convection ou conduction) V-20 : Corps Gris
Une longue pièce a sa section en forme d'hexagone régulier creux. Les parois intérieures de l'hexagone sont toutes opaques, grises et diffuses. Sachant qu'on peut négliger les échanges par conduction entre les surfaces, et qu'on a pu déterminer les températures et les émissivités comme étant : Surface 1 2 3 4 5 6 Température (K) 300 400 500 600 500 400 Émissivités 0.7 0.4 0.3 0.8 0.3 0.1 Calculez la densité de flux net perdu pour chacune des surfaces. Ces dernières sont numérotées dans l'ordre naturel. V-21 : Méthode des réseaux électriques a) Construisez le réseau complet
d'une enceinte composée de deux surfaces grises diffuses.
Calculer : - la résistance de surface - la résistance géométrique (spatiale) - le flux net perdu par A1. b) Construisez le réseau complet d'une enceinte composée - de trois surfaces diffuses grises. - de deux surfaces grises diffuse et d'une surface noire ou très grande - de deux surfaces grises diffuse et d'une surface réfractaire. Dans chaque cas de figure appliquez la loi des noeuds de Kirchhoff (la somme algébrique des courants arrivant à un noeud est nulle) 18
TD : Transferts de chaleur V-22 : Déperdition d'un circuit par convection et rayonnement
Un conduit (de diamètre extérieur égal à 30 cm) contenant un fluide qui lui impose une température de surface extérieure de 100 °C, traverse un hall d'usine dont les parois sont à 15°C alors que l'air ambiant est caractérisé par T air = 20°C et hc= 6 W.m-2.K -1. Calculez le flux de chaleur par mètre courant échangé entre le conduit et son environnement, a) pour une émissivité 1=0.95 (tuyau nu, très oxydé) ; b) pour une émissivité 1=0.05 (tuyau recouvert d'une feuille mince d'aluminium). V-23 : Mesure de la température d'un gaz au moyen d'une sonde munie d'un écran thermique.
Une sonde (thermocouple) munissons d'un écran thermique constitué par un mince cylindre coaxial en acier inoxydable ( e=0.32 à 500°C) ayant un diamètre inférieur cinq fois plus grand que le diamètre extérieur de la sonde, et suffisamment long pour qu'il puisse être considéré comme "infini" (le thermocouple ne "voit" pas le conduit). Tp(paroi du condui Te (écran)
Ts(sonde)
g
- Donnez le circuit analogique. - Déterminez la température réelle T g du gaz. On donne : - la température de la paroi du conduit : T p=200°C ; - la température indiquée par le thermocouple (la sonde) : T s=480°C ; - l'émissivité de la sonde s=0.85 ; - le coefficient de convection entre la sonde et le gaz : h c,s=140 W.m-2.K -1.; - le coefficient de convection entre l'écran et le gaz : h c,e=110 W.m-2.K -1.(le même pour les deux faces de l'écran).
19
TD : Transferts de chaleur
Solutions des exercices
20
TD : Transferts de chaleur
Solutions des exercices de généralités Solution d’exercice
G-1 :
1°)
T K T C 273.15 T F 1.8 * T C 32
T R 1.8 * T C 491.67
T(°C) 100 50 0 -17.78 -273.15
T(K)
T(°F)
T(°R)
373.15 323.15 273.15 255.37 0
212 122 32 0 -459.67
631.67 581.67 491.67 459.67 0
T F 1.8 * T C 32
2°)
avec x
Solution d’exercice
32 0.8
T(°F)=T(°C)=x
40
G-2
1) On rencontre dans la littérature anglo-saxonne, la chaleur massique exprimée en Btu/lbF (Btu : British thermal unit, lbf : pound force). Calculer sa valeur dans le S.I. ainsi qu’en C.G.S. On donne l1b=453.5g, l Btu=l055 J. 1 Btu 1lb *1 F
Solution d’exercice
5.67 *10-8
0.4535kg *
1C
4187
J kg . K
4187 cal 4185 g .C
1
cal
g .C
1.8
G-3
W m2 . K 4
Solution d’exercice
1055 J
= 5.67 108
3.41214
Btu
Btu -8 h 0.171 * 10 2 4 (3.2808 ft)2 (1.8 R)4 h.ft . R
G-4
Le facteur de conversion entre C et F est donné par : 1C = 1.8F
1
W m 2 .C
3.41214
=
Btu
Btu h 0 . 1761 (3.2808 ft)2 (1.8 F) h.ft 2 . F
Solution d’exercice
G-5
Hypothèses : La chaleur est transférée de façon uniforme à travers
toutes les surfaces. Analyses (a) la chaleur dissipée par cette résistance au cours d'une période de 24 heures est : Qtotal Q total t (0.6 W)(24 h) 14.4 Wh = 51.84 kJ (1 Wh = 3600 Ws = 3.6 kJ) (b) Le flux de chaleur à la surface de la résistance est 21
TD : Transferts de chaleur S total 2 q
D 2 4
Q total S s
DL 2 0.60 W
2.136 cm
2
(0.4 cm) 2 4
(0.4 cm)(1.5 cm) 0.251 1.885 2.136 cm 2
0.2809 W/cm 2
(c) En supposant que le coefficient de transfert de chaleur est uniforme, le transfert de chaleur est proportionnelle à la surface. Ensuite, la fraction de la chaleur dissipée par le haut et le bas des surfaces de la résistance devient Qhau t bas Qtotal
S haut bas
S total
0.251 2.136
0.118 or (11.8%)
Discussion :
Le transfert de chaleur par le haut et le bas des surfaces sont faibles par rapport à celle transféré par la surface cylindrique . C’est le cas des murs au sens thermique du terme. Solution d’exercice
G-6
I) Hypothèse : les températures de l’eau et du réservoir sont homogène est égale à une
température moyenne T eau(t) à chaque instant t. 1°) La quantité de chaleur perdue en 5 heures est : Q(t 5h) m.c eau m.c réservoir T eau (t 5h) T eau (t 0)
Q(t 5h) 3 *103 *1kcal / C 103 kcal / C 0.6C 2. 4 103 kcal (Système MKH) Q(t 5h) 2.4 103 kcal 2.4 103 * 4.185kJ 10044kJ
(Système
International) 2°) calcul du flux de chaleur à travers le couvercle
(t 5h)
Q(t 5h)
t
(t 5h) 480
2.4 103 kcal 5h
4185 J 60 * 60 s
480
kcal
(Système MKH)
h
480 *1.1625 W 558 W
(SI)
3°) calcul du densité de flux thermique à travers le couvercle kcal 480 (t 5h) h 1600 kcal (t 5h) (Système MKH) S 0.3m 2 m 2 .h 4185 J kcal W W (t 5h) 1600 2 1600 1600 * 1 . 1625 1860 (SI) 3600 m 2 . s m .h m2 m2 4°) résistance thermique du couvercle
Par analogie thermique électrique : U Rélectrique * I Rthermique
T
T Rthermique *
T air T eau (t 5h)
Rthermique 0.12375
(t 5h)
C .h kcal
0.12375 *
Rthermique
20 80 0.6C 480
C .3600. s 4185. J
kcal
0.12375
C .h kcal
(Système MKH)
h
0.12375 *
5°) le coefficient global de transmission thermique K
22
T
1
C
1.1625 W
0.1064
C W
(SI)
TD : Transferts de chaleur K * S * T K
1
Rthérmique * S
S * T
1 0.12375 * 0.3
kcal
K 26.93
K
26.93
S * Rthérmique * kcal
m .h.C II) Si en suppose que Rthérmique Cte T eau t T air
(t )
mc
Rthérmique
d T eau t T air T eau t T air
dT dt
mc
air
T eau t 20 60 *e t= 1j=24h t=10j=240h
(SI)
d T eau t T air
→
dt
Rthérmique.mc
eau
m 2 . K
Rthérmique * S
dt
T t T T 0 T e eau
W
1
(Système MKH)
m 2 .h.C
26.93 *1.1625 31.32
2
t
Rthérmique .mc
air
avec Rthérmique.mc 0.12375 * 4103 495h 1
t ( h ) 49 5
Tair (24h)=77°C Tair (240h)=56.9°C
G-7 : 1) Soit Q p la chaleur perdue pendant le remplissage la baignoire ( t 5 min ) Q P 500(kg ) *1(kcal / kg .C ) * 2(C ) 1000kcal 4185 kJ Soit Q la chaleur nécessaire pour chauffer 500 litres d’eau : Q 500 *1* 50 15 17.5.103 kcal 73.2.103 kJ Le flux perdu est :
Solution d’exercice
P
Q P
t
4185 5 * 60
13.95 kW 12.103 kcal .h 1
Densité de flux rapporté à la surface intérieure ou extérieure de la canalisation :
P S
p 2. . R. L
P . D. L
L=10m
Densité de flux intérieure de la canalisation: int
P S int
13.95 kW 3
.14.10 .10
31.7 kW .m 2
Densité de flux extérieure de la canalisation : ext
P S ext
13.95 kW 3
.16.10 .10
Pourcentage de perte :
Q P Q
27.8 kW .m 2
m.C .T perter m.C .T chauffage
T perte T chauffage
2
50 15
5.7%
2) Chaleur perdue pendant le refroidissement de l’eau dans l a canalisation Qr : Hypothèse : à chaque instant t la température de l’eau dans la canalisation est homogène. r C 4185
meau du canalisation .C eau dansla canalisation .
t
avec : meau du canalisation
kJ kg
14.10 10 .3,14.
3 2
meau du canalisation
3
4
.10 1,54 kg
23
Di2 . . . L 4
et
TD : Transferts de chaleur r
1,54 * 4185 * 50 20 30 * 60
107 W
Les densités de flux : Densité de flux intérieure de la canalisation: int, r
r S int
107 kW 3
.14.10 .10
243 W .m 2
Densité de flux extérieure de la canalisation : ext , r
r S ext
107 kW 3
.16.10 .10
213 W .m 2
3) soit y les pertes en énergie : En note : : quantité d’énergie perdue, Q perdue Qconsommée : quantité d’énergie consommée (chauffage par effet joule), : quantité d’énergie utilisée dans la baignoire. Qutilisée Qconsommée Qutilisée Q perd ue
y
Q perd ue Qconsommée
1
Seul le terme perte est négatif.
Qutilisée Qconsommée
Qutilisée x * c * T baignoire T eau froid e x * c * 48 15 33 * x * c Qconsommée x meau du canalisation * c * T réservoire T eau froid e x 1.54 * c * 50 15 y 1 x
Qutilisée Qconsommée
1
33 * x 35 * x 1.54
53,8651 y 35 * y 2
Résultats : y x(l)
0.1 32.3
0.2 8.6
0.5 1.7
Solutions des exercices de Conduction morte en régime permanent Solution d’ exercise I -1 300kW / m 2 e max 50cm Cst ? e
Avec
T 1 T 2 e T T 1 T ( x) 2 x T 1 e S
et
24
TD : Transferts de chaleur 300.103
e
.680
e
max 441,2 * 0,5 220 W / m 2 C
441.2 W / m 2 C
On cherche donc un matériau ayant une conductivité thermique 220 W/m2°C Cu, Al, Zn pas possible Acier doux 350°C = 33 W/m°C ; e = 7.5 cm Acier inox 350°C = 20 W/m°C ; e = 4.5 cm
Solution d’ exercise I -2
On calcule :
T 0 T 1
T 1 T 2 T 2 T 0' T 0 T 0' 500 20 1371 e e 1 1 1 1 0.1 1
1
h0
h0'
h0
h0'
20
1
(W / m 2 )
5
De plus, 500 T 1 T 20 1371 d’où T1=431°C et 2 1371. 1 1 20 D’où T2=294°C
5
Si maintenant e = 20 cm : '
500 20 1066 1 0.2 1
(W / m 2 )
20 1 5 ' T 1 446C et T 2' 233C
Ainsi a diminué de 23% (et non de moitié), T 1 a augmenté et T 2 a diminué. Solution d’ exercise I -3 a)Briques réfractaires
e2 2 cm Isolant 2 0.1W / mC T 1100C , T 20C 3 1
e1 10 cm
1 / W m C 1
On a donc : 1100 T 2 1100 20 3600 W / m 2 et donc 3600 d’où T2=740°C Ici, 0.1 0.02 0.1 1
0.1
1
b) Brique réfractaire : e1 7 cm 1 1W / mC e3 3 cm Isolant réfractaire : Isolant : W m C 0 . 5 / 2
e3 2 cm 3 0.1W / mC
Avec à nouveau : T 1= 1100°C, T4=20°C Nous trouvons : '
1100 20 3273 0.07 0.03 0.02 1
0.5
(W / m 2 ) (a)
0.1
25
TD : Transferts de chaleur 1100 T 2
'
0.91 et 3273 '
0.07
d’où T 2' 870C ,
1
de plus 3273
T T 0.03 ' 2
' 3
, donc T 3' 674C (T 3' T 2 ). (b)
0.5
On se rend compte qu'il convient de se méfier des solutions intuitives ou "évidentes" et qu'il vaut mieux les étayer par un calcul, même approximatif.
Solution d’ exercise I -4
e = 0.0095m h1 = 2340 kcal/hm 2°C ( h : heur) h2 = 6100 kcal/hm 2°C T1 = 82°C T2 = 32°C = 344.5 kcal/hm°C
T 1 T 2 82 32 1 0.0095 1 e 1
h1
h2
344.5
2340
1
80793kcal / h.m 2 93922.5 (W / m 2 )
6100
Avec T 1 T 1' T 2' T 2 T 1' 47.5C et T 2' 45.2C 1 1 h1
h2
Solution d’ exercise I -5 : = hi(Ti – TiP) = (/e)(TiP – TeP) = he(TeP – Te) = (Ti – Te)/R Avec R = 1/h i + e/ = 1/he = 0,11 + 0,15/1,74 + 0,06 = 0,2562 m 2.K.W-1
De la dernière égalité : = 15/0,2562
= 58,546 W.m -2
De la première égalité : TiP = Ti - /hi = Ti - .R i = 20 – 58,546*0,11 TiP = 13,6 °C De la même façon : TeP = Te + /he = Te + .R e = 5 + 58,546*0,06 TiP = 8,5 °C Solution d‘ exercise I -6 1.1) R = R be + R poly + R br = e1/1 + e2/2 + e3/3 = 15.10
R = 2,187 K.W -1.m2
1.2) = (i – e)/R
= 15,088 W.m -2
26
-2
/0,23 + 5.10-2/0,035 + 5.10-2/0,47
TD : Transferts de chaleur 1.3) Q = .t = 15,088*24*3600 Q = 1,304.106 J.m-2 Pour 10 m2 de mur : Q’ = 10Q
Q’ = 13,04.10 6 J.m2
1.4) = (1 - e).1/e1 1 = e + e1./1 = - 8 +9,84* 1 = 1,84 °C
De la même façon : = (i - 2).3/e3 2 = i – e3./3 = 25 – 15,088.5.10-2/0,47 2 = 23,39 °C 2.1) Transferts thermiques intérieur et extérieur par convection. 2.2) = he(e - ae) ae = e - /he = - 8 – 15,088*0,06 ae = - 8,9 °C = hi(ai - i) ai = 1 + /hi = 25 + 15,088*0,11 ae = 26,7 °C Solution d’ exercise I -7 1) R = R a + R lv + R br + R bf + 1/hi + 1/he
R T = 1,36 m2.K.W-1
2) = (I - e)/R
= 779 W.m -2 3) = hi(i - si) si = i - /hi = 1064 °C = 1(si - 1)/e1 1 = si - .e1/1 = 892 °C = 2(1 - 2)/e2 2 = 1 - .e2/2 = 725 °C = 3(2 - 3)/e3 3 = 2 - .e3/3 = 169 °C = he(se - e) se = e + /he = 168 °C 4) Puissance = = .S = 6,23 kW 5) E = P.t = 149,6 kWh
Coût = 255 Dh Solution d‘ exercise I -8
Micanite
Te
T3 T2
TP(-2a)
Verre
C
Graphite
A Qconv ray 0.40 P E 0.4W ( N . B. P E I ² R E I ² 106 I 103 A
faible courant )
27
TD : Transferts de chaleur Avec isolation
ln r 3 r 2
2 k env L 2 r ext hext L 0.493.984 53.073 58.8 T 2 79c
T 2 T e Qc v
1
Sans isolation
T 2 T e Qc v
1
0.4 x312 124.8 T 2 145c
2 r ext hext L
Solution d’ exercise I -9 Hypothèses :
1 Le transfert de chaleur est stationnaire. 2 Le transfert de chaleur à travers le mur peut être estimé à une dimension. 3 les conductivités thermiques sont constantes. 4 Les surfaces de la paroi sont maintenues à des températures constantes. Nous considérons que l'analyse de 1 m de haut et 1 m de large portion de la paroi qui est représentative de tout le mur. Résistance thermique du réseau et les résistances sont R2
R1
T 1
R2 R barre
Reqv
1
R2
L acier .S acier
L acier S barre
R3 Risolant
T 2
R3
R1 R4 Racier
1
R4
1
R3
L isolant S isolant
1 1.333
0.02 m (15 W/m. C)(1 m ) 2
0.2 m (15 W/m. C)(0.01 m ) 2
0.00133 C/W
1.333 C/W
0.2 m
(0.035 W/m. C)(0.99 m ) 2
1 5.772
5.772 C/W
Req 1.083 C/W
2 cm
20 cm
2 cm
Rtotal R1 Reqv R4 0.00133 1.083 0.00133 1.0856 C/W
Le flux de chaleur pour une surface de 1 m 2 est :
T Rtotal
22 C 1.0857 C/W
20.26 W 99 cm
Le flux total échangé à travers le mur est : total (4 6)Q 24(20.26 W) 486.3 W
Si les barres d'acier entre les plaques sont ignorées dans l'analyse, le flux de chaleur pour une surface de 1 m 2 est
T Rtotal
T R1 Rinsulation R4
22 C (0.00133 5.772 0.00133)C/W
3.81 W
Le flux de chaleur qui traverse les barres d'acier entre les plaques est de (20.26-3.81)/20,26=81,2% du transfert de chaleur qui travers les le mur, malgré les faibles espace qu'ils occupent, et bien sûr, leur effet ne peut être négligé. Le raccordement des bars servent de "ponts thermiques". Solution d’ exercise I -10 :
28
1 cm
TD : Transferts de chaleur Conservation du flux I Avec : I
T I S I
C I
et C
e I
T C S C eC
T I 145,03c T C g 254,97 c I 1,232 106 W d T C 245,03c C 1,232 106 W T C 9,94 c
T tot T g T d 300c la résistance totale R I S
e I I S
eC C S
e I I S
et la densité du flux est égale :
T tot R.S e g g T I T C T g I I 145,03c T C 254,97 c I S 6 2 I 1,232 10 W / m e d S T C T C d T C g c c 9,94 c T C 245,03c c S
Solution d’ exercise I -11 : a) Solution directe : 2
Milieu 1: Milieu 2:
d T 1 2
dx 2 d T 2 2
0 T 1 a x b 0 T 2 cx d
dx Conditions aux limites : en x 0 :
T 1 x 0 T 0
b T 0 600c
T 1 x L1 T 2 x L1
en x L1 :
a L1 T 0 c L1 d
1 x L1 2 x L1 dT h T 2 L L T f en x L1 L2 : 2 2 1 2 dx L1 L2 en x L1 :
Solution :
T 1 22,73 x 600 T 2 90,91 x 872,73
a 1 c 2
2 c h c L1 L2 d T f T 1 L1 T 2 L1 509,1c
et
T 2 L1 L2 236,36c
1 1a 18,18 W / cm²
La densité du flux : 2 2c 18,18 W / cm² conv h236,36 200 18,18 W / cm²
Représentation graphique :
Solution d’exercice
1-12 :
29
TD : Transferts de chaleur Hypothèses : 1- la
conduction thermique est stable et unidimensionnelle car le tuyau est long par rapport à son épaisseur, et il ya une symétrie thermique sur la ligne centrale. 2- La conductibilité thermique est constante. 3- Il n'ya pas de génération de chaleur dans le tuyau. Propriétés : La conductivité thermique est donnée à be = 7.2 Btu/h ft°F. Analyse :
(a) Notant que le transfert de chaleur est une dimension radiale r de la direction, la formulation mathématique de ce problème peut être exprimé comme T =160F
dT r 0 dr dr d
dT (r 1 )
et
k
dr
Vapeur 250F h=1.25
h[T T (r1 )]
T (r2 ) T 2 160 F
L = 15 ft
(b) L'intégration de l'équation différentielle une fois en fonction de r donne dT r C 1 dr
En multipliant les deux côtés de l'équation ci- dessus par dr/r , l’intégration conduit à : dT
dr
C 1 r
T (r ) C1 ln r C2
où C1 et C2 sont des constantes arbitraires. Appliquant les conditions aux limites : C 1
r = r 1:
k
r = r 2:
T (r2 ) C1 ln r2 C2 T2
r 1
h[T (C1 ln r1 C2 )]
D’où les solutions de C1 et C2 sont : C 1
T 2 T r k ln 2 r 1 hr 1
C 2 T 2 C 1 ln r 2 T 2
and
T (r ) C 1 ln r T 2 C 1 ln r 2 C 1 (ln r ln r 2 ) T 2
ln
2.4 2
(160 250)F 7.2 Btu/h ft F
ln
T 2 T ln r 2 r 2 k ln r 1 hr 1
T 2 T r ln T 2 r 2 k r 2 ln r 1 hr 1
r 2.4 in
160F 24.74 ln
r 2.4 in
160F
2
(12.5 Btu/h ft F)(2 / 12 ft )
(c) Le flux de chaleur à travers le tuyau est k .S
dT dr
k (2 rL)
C 1 r
2 Lk
2 (15 ft)(7.2 Btu/h ft F) ln Solution d’exercice
T 2 T r k ln 2 r 1 hr 1
2.4 2
(160 250)F 7.2 Btu/h ft F
16,800 Btu/h
2 (12.5 Btu/h ft F)(2 / 12 ft)
I -14 :
Un tuyau cylindre avec la conductivité variable est soumise à des températures spécifiés des deux côtés. La variation de température et le flux de chaleur sont à déterminée.
30
TD : Transferts de chaleur Hypothèses : 1 Le transfert
de chaleur est stationnaire et unidimensionnel. 2 La conductivité thermique varie linéairement avec la température. 3 Pas de génération de chaleur. La conductivité thermique est donnée par : (T ) 0 (1 .T ) . a-
(T )
r 1
T 1 r 2 r
le flux de chaleur à travers le tuyau cylindre est exprimé par : T 1 T 2
cylindre 4 moyenner 1r 2
r 2 r 1
où r 1 est le rayon interne, r 2 est celui de l'extérieure, et
moyenne (T moyenne) 0 1 b-
T 2
T 2 T 1 2
est la conductivité thermique moyenne.
Pour déterminer la distribution de température à l'interpréteur du cylindre, nous commençons avec l’équation du Fourier exprimée sous la forme : dT
(T ). S .
dr
Où le flux de chaleur par conduction est constant à travers la surface S 4. .r 2 . Séparons les variables dans l'équation ci-dessus et intégrant de r = r 1 où T (r1 ) T 1 jusqu’à r où T (r ) T , nous obtenons r
dr
r 1
r 2
T
4 (T )dT T 1
Substituer (T ) 0 (1 .T ) et effectuer l’intégration : 1 1 (T 2 T 12 ) ] 4 0 [(T T 1 ) 2 r r 1
Substituer le expression de la partie ( a) et réorganiser : T 2
2
T
2 moyenne r 2 (r r 1 )
. 0
r (r 2 r 1 )
(T 1 T 2 ) T 12
2
T 1 0
de la température T . À l'aide de la formule quadratique, la distribution de la température T ( r ) dans le tube cylindrique est déterminé par : C’est une équation quadratique
T (r )
1
1
2
2 moyenne r 2 ( r r 1 )
. 0
r (r 2 r 1 )
(T 1 T 2 ) T 12
2
T 1
Le choix du signe de l'expression de racine carrée (+ ou -) est déterminé afin que la température à tout moment dans le cylindre reste entre T 1 et T 2 Solution d’exercice
I -15 : F acteur de forme : (voir Annexe 2 ) T 1 = 60C
Hypothèse : le transfert de chaleur est en deux dimensions (pas de changement dans la direction axiale). La conductivité thermique du béton est = 0.75 W/m°C. Le facteur de forme pour cette configuration est donné dans le tableau :
T 2 = 15C
D = 5 cm
= 40 cm L = 8 m
31
TD : Transferts de chaleur F c
2 L
4 z 2 D12 D2 2 cosh D D 2 1 2 1
2 (8 m) 2 2 2 1 4(0.4 m) (0.05 m) (0.05 m) cosh 2(0.05 m)(0.05 m)
9.078 m
Le flux de transfert de chaleur échangé entre les tuyaux est : F c (T 1 T 2 ) (9.078 m)(0.75 W/m. C)(60 15)C 306 W
Solution d’exercice I -16
: F acteur de forme (voir Annexe 2 )
Un réservoir sphérique contenant de l'eau glacé est enterré sous-sol. Le flux de chaleur échangé avec le réservoir est à déterminer pour les deux cas : surface au sol isolée et non isolée. Hypothèses 1 le transfert de chaleur est à deux. 2 Conductivité thermique du béton est constante. 3 La surface du réservoir est supposée être à la même température que celle de l'eau glacé en raison de la résistance négligeable de l'acier. La conductivité thermique du béton est donnée : = 0.55 W/m ° c. Le facteur de forme pour cette configuration est donné dans l’annexe : F C
2 D
D 1 0.25 z
T 1 =18C
T 2 = 0C
= 2.4 m D = 1.4 m
2 (1.4 m) 10.30 m 1.4 m 1 0.25 2.4 m
Puis le taux constant de transfert de chaleur du réservoir devient F C . .(T 1 T 2 ) (10.30 m)(0.55 W/m. C)(18 0)C 102 W
Si la surface du sol est isolée, F C
2 D 1 0.25
D z
2 (1.4 m) 7.68 m 1.4 m 1 0.25 2.4 m
F C .(T 1 T 2 ) (7.68 m)(0.55 W/m. C)(18 0)C 76 W
Solutions des exercices d’ailette Solution d’exercice
I -20 :
Solution d’exercice
I -21 :
H ypothèses : 1 La température de la partie immergée de la cuillère est égale à la température de l'eau. 2 La température de la cuillère varie le long de la cuillère T (x). 3 Le transfert de chaleur à partir de l'extrémité de la cuillère est négligeable. 4 Le coefficient de transfert de chaleur est constant et uniforme sur toute la surface de la cuillère. 5 Les propriétés thermiques de la cuillère sont constantes. 6 Le transfert de chaleur par rayonnement et supposé négligeable.
32
TD : Transferts de chaleur Notant que la section transversale de la cuillère est constante et x a pour origine la surface libre de l'eau. La variation de température le long de la cuillère peut être exprimée comme : T ( x ) T Tb T
h, T
cosh a ( L x ) cosh aL
Où p 2(0.002 0.013) 0.030 m S c (0.002)(0.013) 0.000026 m a
hp .S c
17 * 0.03
15 * 0.000026
0.2cm
T b L=18cm
2
1.3cm
36 m-1
La température de la pointe de la cuillère est déterminée par : T ( L) T (T b T ) = 24 + (93 24)
cosh a( L L) cosh aL cosh 0 cosh(36 0.18)
= 24 + (93 24)
1 326
= 24.2C
Par conséquent, la différence de température dans l'ensemble du poignée de la cuillère exposée est : T T b T ( L) (93 24.2) 68.8C
Solutions des exercices de Conduction vive en régime permanent Solution d’exercice
I I -1 :
2T q q , en intégrant deux fois on trouve : T ( x) x 2 A. x B 2 2 x q
C.L.1 on a : T (0) T 0 B T 0 on a donc T ( x) Avec densité de flux ( x) A
q.e (e)
T (e)
q
e 2
q.e 2
(e).e
2 q 2 (e).e T 0 T (e) e 2
dT dx
q. x A.
x 2 A. x T 0 2
(e) q.e A.
et donc
T 0 , on trouve l’équation cherchée
Solution d’exercice II-2 :
La chaleur est générée uniformément dans la sphérique en matières radioactives avec la température de surface imposée. La variation de la température dans la sphère et la température du centre doivent être déterminée. H ypothèses : 1 le régime de transfert de chaleur est stationnaire, puisqu'il n'y a aucune variation de température avec le temps. 2 Le transfert de chaleur est unidimensionnel et il présente une symétrie thermique sur le centre. 3 La conductivité thermique est constante. 4 Le flux de chaleur généré est uniforme. 33
TD : Transferts de chaleur a- noter que le transfert de chaleur est stationnaire et unidimensionnel dans le sens radial r , l’équation de la chaleur est donc : 1 d 2 dT q r 0 r 2 dr dr
et
Avec q constante
T (r0 ) T s 80 C (température de
dT (0) dr
T s=80°C
q
surface)
0
r o
r
0 (Symétrie thermique sur le centre)
b- multipliant les deux côtés de l’équation différentielle par r 2 : d 2 dT q 2 r r dr dr Intégration à r donne : 2
r
dT dr
q r 3 3
C 1 (a)
Appliquer la condition de limite au point milieu, 0
dT (0)
L'autre condition limite à T s
Substitution
q
q
0 C 1 C 1 0 3 dr Division des deux côtés de l’équation (a) par r 2 pour l'amener à une équation facilement intégrable : dT q q 2 r et T (r ) r C 2 (b) 6 dr 3
àr=0:
r r 0 ,
r 02 C 2
C 2 T s
6 C 2 dans l’équation (b)
T (r ) T s
q 6
q 6
r 02
ce qui donne après réarrangement
(r 02 r 2 )
qui est la solution souhaitée pour la distribution de température dans la sphère en fonction de r . c- La température au centre de la sphère ( r = 0) est : T (0) T s
q 6
(r 0 ) T s 2 0
2
qr 02 6
80C +
(4 107 W/m3 )(0.04 m) 2 6 (15 W/ m.C)
791C
Ainsi, au centre la température sera de 711°C au-dessus de la température de la surface extérieure de la sphère. Solution d’exercice
I I -3 : Solution directe :
Milieu 1
T 1 21 Qv 0 x 2
dT 2 dx
2
→ T 1
Qv x 2 2 1
ax b
→ 1 1
dT 1
→ 2 2
dT 2
dx
Qv x a 1
Milieu 2
0
→ T 2 c. x d
Quatre constantes à identifier a, b, c, d. Conditions aux limites : 1) x = 0 T 1 0 a T 0
2) x = L1 3) x = L1
T 1 L1 T 2 L1 1 L1 2 L1
4) ) x = L1 + L2 34
dx
2 . c
TD : Transferts de chaleur
dT dx
hT L1 L2 T f L1 L2
Solutions des équations différentielles : T 1 L1 T 2 L1 895.45C dT 1 159.09 → 0 xT max T 1, Max T 1 xT max 916.36C 50 dx T Paroi T 2 L1 L2 T 2 x 7 281.8C T1
Qv .x
2
2. 1
a.x b 31.25x 2 198.86x 600(c )
T2 c.x d 204.55x 1713.65(c ) 2 2 c 2 40.91(W / cm )
1 Qv x a. 1 50x 159.09(W / cm ) 2
1 ( x 0) 159.09W / cm2 1 ( x 0) 1 ( x L1 ) 2 1 ( x L1 ) 2 ( x L1 ) 40.91W / cm
2 ( x L1 L2 ) h(T L1 L2 T f ) 0.5 281.8 200 40.9W / cm 2
Contrôle par l’analogie électrique
35
TD : Transferts de chaleur
en TL1:
T L1 T 0 R1
T L1 T f Rext R2
Qv L1S 2
0 T L 895.45C 1
en TL1+L2:
T L1 L2 T L1 R2
T L1 L2 T f Rext
0 T L L 281.8c 1
2
Solutions des exercices du Milieu thermiquement mince Solution d’exercice
I I I -1 :
Lc ,mur pla n
V
Lc ,cylindre
V
Lc , sph ère
V
S S S
2 La.b 2a.b 2
L
r o h
r o
4 r o / 3
2 r o h
2
3
4 r o
2
a
r o 3
b
2L
Solution d’exerciceI I I
-2 : H ypothèses : 1 Le contenant en verre de forme cylindrique d'un rayon de r 0 = 3 cm. 2 Les propriétés thermiques du lait sont prises comme ceux de l'eau. 3 Les propriétés thermiques du lait sont constantes à la température ambiante. 4 Le coefficient de transfert de chaleur est constant et uniforme sur toute la surface. 5 Le nombre de Biot, dans ce cas est importante (beaucoup plus grand que 0,1). Toutefois, le système global d'analyse est encore applicable puisque le lait est agité en permanence, de sorte que sa température reste uniforme en tout temps. Analyse : La longueur caractéristique et le nombre de Biot du verre de lait sont : 2
Lc
V
Bi
hLc
S
r o L 2 r o L 2 r o
2
(0.03 m)2 (0.07 m) 2 (0.03 m)(0.07 m) + 2 (0.03 m)
(120 W/m .C)(0.0105 m)
2
Eau 60 C
Lait 3 C
0.01050 m
2
(0.607 W/m. C)
2.076 > 0.1
Pour les raisons citées ci-dessus, nous pouvons utiliser le système global d'analyse afin de déterminer le temps nécessaire pour que le lait se réchauffe de 3°C à 38°C.
36
TD : Transferts de chaleur b
hS C pV
T (t ) T T i T
120 W/m .C 2
h C p Lc
e bt
(998 kg/m )(4182 J/kg. C)(0.0105 m) 3
38 60 3 60
0.002738 s -1
-1
e (0.002738s )t t 348 s 5.8 min
Par conséquent, il faudra environ 6 minutes pour réchauffer le lait de 3°C à 38°C.
Solutions des exercices de Conduction vive en régime variable Solution d’exercice
I I -4 :
1) Bilan d’énergie autour du corps
E entrée E sortie E générée
dE Stockage dt
VC
dT dt
h. S T T q .V
Avec E générée q.V dT
T T Condition initiale : à t=0 T(0)=T i Posant : T T
q .V
h. s .V .C
h. S
q .V h. S d
h. s .V .C
0 T i T
Solution t 0.e
dt
dt
q .V h. S
h . s
t .V . C h . s
q.V .V . C t T i T T t T . e h. S h. S h . s .V . C t T t T q .V q.V .e 1 T i T T i T h. S T i T h. S q .V
2) Le temps au bout duquel la température du cylindre atteint 15°C :
15 5 0,437 9,57.10 t 0.437 1 . e 4
30 5
30 5
30 5
De là, on obtient t=1000s=16.9 minute
Solutions des exercices de Conduction 2D par différences finies VI -1 : Voir transparent du cours
Solution d’exercice
37
TD : Transferts de chaleur Solution d’exercice VI -2 : Nœud 5 sur la frontière isolée peut être considéré comme un nœud de l'intérieur qui donne : T droit T gauche T haut T bas 4T noeud 0 .
Utilisation de la méthode du bilan d'énergie et en prenant la direction de tous les transferts de chaleur vers le nœud, les équations aux différences finies pour les nœuds ont été obtenus comme suit : l
(T i T 1 )
Nœud 1:
hi
Nœud 2:
hi l (T i T 2 )
2
T 2 T 3
l T 2 T 1 l
2
l T 1 T 2 l
2
l
T 5 T 3
Nœud 3:
l
Nœud 4:
hi
Nœud 5:
T 4 2T 3 T 6 4T 5 0
Nœud 6:
l l 2
l = 1 m, = et q s 800 W/m2 . Où
(T i T 4 )
l T 5 T 6 2
l
l
l
l / 2 sin 45
sin 45
s q s h0 (T 0 T 1 ) 0
l T 4 T 2 l
2
l sin 45
l T 2 T 4 2
l / 2
l
T 3 T 2 l
0
s q s h0 (T 0 T 3 ) 0
l T 5 T 4 2
l
0
1
Eau
2
ho, T o
3
4
5
q s
hi, T i 6
Isolée
s q s h0 (T 0 T 6 ) 0
0.6 W/mC, hi =150 W/m2C, T i =15C, ho = 30 W/m2C, T 0 =25C, s = 0.7,
système de six équations à six inconnues constitue la formulation de la différence finie du problème. Les températures des six nœuds sont déterminées par la résolution des six équations cidessus. T 1 = T haut =21.3C, T 2 =15.1C, T 3 = T milieu =43.2C, T 4 =15.1C, T 5 =36.3C, T 6 = T bas =43.6C Le
Discussion Notez que la température la plus élevée se produit à un endroit plus éloigné de l'eau, comme prévu.
Solutions des exercices de Rayonnement thermique Angle solide V-1
Voir cours V-2 Facteur de forme : V-3 : Utilisation des abaques
2 F 13 F 12 F 11 1 → F 13
Par réciprocité : F 31
S 1 S 3
1 2
F 13
(1 F 12 F 11 ) S 1 2. S 3
(1 F 12 F 11 )
F 22 0 2 F 23 F 21 1 → F 23
1 2
(1 F 21 )
38
TD : Transferts de chaleur 1
S 1
2
S 2
Par réciprocité : F 23 (1
F 12 ) et F 32
S 2 2. S 3
S 1
(1
S 2
F 12 )
F 33 F 31 F 32 1
Et F 33 1 F 31 F 32 F 33 1 F 33 1
S 1 2. S 3
(1 F 12 F 11 )
S 1 S 2 2. S 3
S 1 2. S 3
S 2 2. S 3
(1
S 1
F 12 )
S 2
(2 F 12 F 11 )
D’après l’annexe 3 : pour 2.0 et 2.0, F 11 0.23; F 12 0.34 .
Les surfaces
S 1 2 * * 20 * 20 2513cm 2 S 2 2 * * 10 * 20 1257cm 2 S 3 .(202 102 ) 942cm 2 F 33 1 F 33 1
Les valeurs de
S 1 S 2 2. S 3
S 1 2. S 3
2513 1257
(2 F 12 F 11 ) 2513
(2 * 0.34 0.23) 0.213 2 * 942 2 * 942 F 13 , F 31 , F 23 et F 32 sont directement calculé.
V-4: règle de Hottel
S 1 F 12 S 1 F 13 S 1 S 2 F 21 S 2 F 23 S 2 S 3 F 31 S 3 F 32 S 3
F 11 0 F 22 0 Conservation de l’énergie (système géométriquement fermé) F 33 0
S 1 F 12 S 2 F 21
,
S 1 F 13 S 3 F 31 F 12
,
S 2 F 23 S 3 F 32 Réciprocité
S 1 S 2 S 3 2S 1
V-5 : Méthode des cordes croisées Pour PQRS (enceinte fermée S1 convexe) : S 1 F 12 S 1 F 1 PR S 1 F 1QS S 1 Pour PQR (plan de fermeture) : S 1 F 1 PR
S 1 S PR S RQ
Pour PQS (plan de fermeture) : S 1 F 1QS
2 S 1 S QS S PS 2
S RQ S PS S PR S QS
D' où F 12
2.S 1
V-6 : Application : Cas de deux facettes dans des plans normaux F 1QS F 1QR F 1 RS
F 12 F 1 RS F 1QS F 1QR Soit le triangle (PQS) : F 1QS
PQ QS PS
Soit le triangle (PQR) : F 1 RQ
F 12 F 1QS F 1QR
2. PQ
PQ QR PR 2. PQ
PQ QS PS PQ QR PR 2. PQ
39
2. PQ
RS PR PS 2. PQ
TD : Transferts de chaleur
a b2 h 2
a 2 h2 b
F 12
2.h S 1 F 12 S 2 F 21 h. F 12 b.F 21
a b2 h 2
a 2 h2 b
D’où : F 21
2.b
V-7 :
Remarque : F 12 F 21 F 34 F 43
F 13 F 31 F 32 F 23 F 24 F 42 F 41 F 14
Appliquant la méthode des cordes croisées : F 12
diag cotés 2a
F 13
diag cotés
2S1
2 a 2. a
2. a a 2
1
1
2. a
2S1
2 1
2
On vérifie bien que : F 12 F 13 F 14 1 V-8 :
Le facteur de forme entre les deux cylindres en face l’un de l'autre pour d / D> 3 est déterminée par à l’utilisation de la méthode des cordes croisées.
F 12 F 12 D’ou F 12
diag cotés 2S1 2 d 2 D 2 2d 2( D / 2)
2 d 2 D 2 d
D
V-13
Calculer les facteurs de forme suivant (voir figure) : F11, F12, F13, F21, F22, F23, F31, F32, F33. F11= F22= F33=0 surfaces planes
Application de la Règle de Hottel : F 12 F 12 F 13 F 23
S 1 S 2 S 3 2S 1
S 1 S 3 S 2 2S 1
L1 L2 L3
L1 L3 L2
S 2 S 3 S 21 2S 2
S 2 F 23 S 3 F 3.2
2 L1
2 L1
L2 L3 L1
F 32
2 L2
L2 L3
F 23
0.5 0.3 0.4 2 * 0.5 0.5 0.4 0.3
2 * 0.5
0.3 1 0.4 3
2S 1
0.4
0.6
0.3 0.4 0.5 2 * 0.3
S 1 S 2 S 3
1
0.25
40
1
0.4 0.6
0.2 0.6
1 3
TD : Transferts de chaleur S 2 F 21 S 1 F 1.2
F 21
S 3 F 31 S 1 F 1.3
F 31
L1 L2 L1 L3
F 12
0.5
F 13
0.5
0.3 0.4
0.4
2 3
0.6 0.75
Radiosité des différentes surfaces :
J 1 1 1 1 F 11 J 1 F 12 J 2 F 13 J 3 J 2 2 1 2 F 21 J 1 F 22 J 2 F 23 J 3 J 3 3 1 3 F 31 J 1 F 32 J 2 F 33 J 3
M 30 1 3 S 3 3 J3 1
1
S 1 F 13
S 2 F 23
1 1 0 1
M
S 1 1
1 2
1
J
J2
S 1 F 12
S 2 2
M 20
Définition du flux net d’une surface 1 :
Le flux net de la surface 1 est égal à la différence entre celui le flux émis et celui absorbé. 1,nette
S 1 1 1 1
Calcule du flux net de la surface 1.
1 1 F 12 1 1 1 2 1 2 F 21 1 F 1 F 3 31 3 32 3
1 1 F 13 J 1 1 2 F 23 J 2 1
J 3
0.34 0.51 J 1 1 * T 14 1 1 1 1 2 * T 24 J 2 3 6 4 3 * T 3 0.375 0.125 1 J 3 0.34 0.51 J 1 164 1 1 1 16466 1 J 2 3 6 16466 1 J 3 0.375 0.125 K M J
M 1 K M 1 M J I J J
41
M
0 1
J 1
TD : Transferts de chaleur J 1 25536 Après inversion de la matrice : J 2 29934 J 29785 3 1,nette S 1
1 1 1
M
0 1
J 1 4477 Wm 2
La surface 1 reçoit de la chaleur. V-16 : H ypothèses 1 Le
régime est stationnaire 2 les surfaces sont opaques, diffuse, et grises. 3 Le transfert de chaleur par convection n'est pas considéré. Les surfaces d’échange des cylindres et de l’écran par unité de longueur sont S Cyl,Interne S 1 D1 L (0.2 m)(1 m) 0.628 m
2
2 S Cyl,Externe S 2 D2 L (0.1 m)(1 m) 0.314 m 2 S écran S 3 D3 L (0.3 m)(1 m) 0.942 m
Le flux net échangé par rayonnement entre les deux cylindres avec l’é cran par unité de longueur est (T 1 T 2 ) 1 3,1 1 3, 2 4
12, Avec écran
1 1
S 1 1
1
S 1 F 13
S 3 3,1
4
S 3 3, 2
1
S 3 F 3, 2
1 2
S 2 2
(5.67 108 W/m 2 K 4 )[(750 K ) 4 (500 K ) 4 ] 1 0.7 1 1 0.2 1 1 0.4 2 (0.314)(0.7) (0.314)(1) (0.628)(0.2) (0.628)(1) (0.942)(0.4)
703 W
S'il y n'a aucun écran : S 1 (T 1 T 2 ) 4
12 , Sans écran
4
D2 = 0.3 m
T 2 = 500 K 1 1 2 D1 2 = 0.4 1 2 D2 (5.67 108 W/m 2 K 4 )[(750 K ) 4 (500 K ) 4 ] 1 1 0.4 0.1 0.7 0.4 0.3 2343 W
D1 = 0.1 m T 1 = 750 K 1 = 0.7
Puis leur ratio devient 12, Avec écran 12, Sans écran
703 W 2343 W
0.3 Ecran Radiatif D3 = 0.2 m 3 = 0.2
12-51. H ypothèses 1 régime
est stationnaire 2 les surfaces sont opaques, diffuse, et grises. 3 le transfert de chaleur par convection n'est pas considéré.
42
TD : Transferts de chaleur T 1 = 900 K 1 = 0.5
Ecran Radiatif
T 2 = 650 K
3 = 0.15
2 = 0.8
La densité de flux net échangé par rayonnement entre les deux plaques avec écran mince en aluminium est 4
Q 12,on eshield
4
(T 1 T 2 )
1 1 1 1 1 1 1 2 3,1 3,2 (5.67 10
8
2
4
4
4
W/m K )[( 900 K ) (650 K ) ]
1 1 1 1 1 1 0.5 0.8 0.15 0.15
1857 W/m2
La densité de flux net échangé par rayonnement entre les deux plaques sans écran mince en aluminium est : (5.67 108 W/m 2 K 4 )[(900 K ) 4 (650 K ) 4 ] 12035 W/m 2 1 1 1 1 1 1 0.5 0.8 1 2 (T 1 T 2 ) 4
Q
12, no shield
4
Le rapport des deux flux pour les deux cas devient Q 12, Avec écran Q 12,Sans écran
1857 W 12035 W
1 6
L’introduisant d’écran réduit six fois les échanges radiatifs. V-14
Hypothèses : - Les surfaces sont opaques, diffuse, et grises. - Convection de transfert de chaleur n'est pas pris en considération. Les émissivités des surfaces sont : 1 = 0.6, 2 = 0.7, 3 = 0.10 et 4 = 0.15. Le flux net entre les surfaces 1 et 2 sans boucliers est donné par :
1 1
1
1 2
S 1 1
S 1 F 12
S 2 2
(T 1 T 2 ) 12 ,sans bo ucliers 1 1 1 2 1 4
S 1 1
S 1 F 12
4
S 2 2
Or F12=1, S1=S2=S D’où : 43
T 1 = 600 K 1 = 0.6 T 2 = 300 K 2 = 0.7
TD : Transferts de chaleur 4
4
(T 1 T 2 ) 12 ,sans bo ucliers 1 1 1 1 2 (5.67 10 W/m K )[(600 K ) (300 K ) ] 1 1 1 0.6 0.7 8
2
4
4
4
3288 W/m 2
Le flux net entre les surfaces 1 et 2 avec boucliers est donné par :
4
T 1 = 600 K 1 = 0.6
3 = 0.10
4
(T 1 T 2 )
12 ,avec bo ucliers
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 8 2 4 4 4 (5.67 10 W/m K )[(600 K ) (300 K ) ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.6 0.7 0.10 0.10 0.15 0.15 206 W/m 2
4 = 0.15 T 2 = 300 K 2 = 0.7
La température d'équilibre thermique de boucliers sont déterminés à partir de : (T 1 T 3 ) 4
13
4
1 1 1 1 3 (5.67 10 W/m K )[(600 K ) T 3 ] 8
206 W/m 2
4
4
4
1 1 1 0.6 0.10
T 3 549 K
(T 4 T 2 ) 4
42
2
4
1 1 1 4 2 (5.67 10 W/m K )[T 4 (300 K ) ] 8
206 W/m 2
2
4
4
4
1 1 1 0.15 0.7
T 4 429 K
V-15
La température des gaz chauds dans un conduit est mesurée par un thermocouple. La température du gaz est à déterminer et sans rapport avec un écran de protection.
44
TD : Transferts de chaleur
Thermocouple T th = 530 K
Air, T f
1 = 0.7 2 = 0.15
T w = 380 K
Hypothèses : Les surfaces sont opaques, diffuse et grises. Le flux net échangé entre la surface du thermocouple et la surface du conduit est : 1 1
1
1 2,1
1 2, 3
1
1 3
S 1 1
S 1 F 12
S 2 2 ,1
S 2 2 , 3
S 2 F 2 , 3
S 3 3
(T th T W ) 1 2 ,1 1 2 , 3 4
Thermocouple w , Avec Ecran
1 1
S 1 1
1
S 1 F 12
S 2 2 ,1
4
S 2 2 , 3
1
S 2 F 2 , 3
1 3
S 3 3
S 1 surface de la sonde S 1 S 2 surface de l ' écran S 3 surface du conduit
Notant que F12=1, F23=1 et S 1/S3 tend ver zéro D’où : Thermoucou pleécran
Thermocouple _ W , Avec Ecran
(T Th T W ) 4
4
1 1 2 1 1 2 8 2 4 4 4 (5.67 10 W/m K )[(530 K ) (380 K ) ] 1 1 1 2 0.7 0.15 239.2 W/m 2 S 1
A l’équilibre thermique la densité de flux échangée par le thermocouple par c onvection
celle échangée par rayonnement. convction,Thermocouple rayonnement,thermocouple h(T ga z T th ) 239.2 W/m 2 2 2 T ga z 531.99 K 120 W/m C(T ga z 530) 239.2 W/m
Sans écran du thermocouple la température du gaz est :
45
est égale à
TD : Transferts de chaleur
Thermocouple T th = 850 K
Air, T f T w = 500 K
th (T th T w ) 4
T ga z T th
= 0.6
4
h (0.7)(5.67 10 W/m K )[(530 K ) (380 K ) ] 8
530 K
2
4
2 120 W/m C
4
4
549.2 K
V-17
1) Déterminer le diamètre et la longueur du filament si le facteur d’émission total hémisphérique du tungstène est de 0.3 (résistivité du tungstène 88 cm). 0 4 8 4 5 2 M T Tu . .T 0.3 * 5.67 10 * 2600 7.7710 Wm
S * M T 0 100W S . D. L
100
0
M T
100 7.7710
5
D. L 4.1 105 m 2
La résistance électrique du fil est : Re
V 2 P
Re
2202 100
L . D 2
484
484
4
L 2
43197 104 m 1
D D’où :
L 0.898m D 4.56 105 m
2) la puissance rayonnée dans le visible (entre 0.4 et 0.7 m) si le facteur d’émission spectral hémisphérique est de 0.45 dans ce domaine : 0.4 0.7 0 S * M d S * visible M .T d M 0.T d S * visible F 00.7.T F 00.4.T .T 4 0.4 0 0 0.7
P Visible
1 0.4 m
0 .T
et T 2600 K 1 .T 0.4 * 2600 1040 m. K F 00.4T
2 0.7 m et T 2600 K 2 .T 0.7 * 2600 1820 m. K F 00.7T
46
0.05 100 4.18 100
0.0005 0.0418
TD : Transferts de chaleur P Visible * D * L * visible 0.0418 0.00055.67 108 * 2600 4 P Visible * 4.56 105 * 0.898* 0.45 * 0.0418 0.00055.67 108 * 2600 4 6.2 W
Le calcul peut être fait autrement : 4 P Totale * S * * T P 100 W
La puissance totale rayonnée par le fil est :
4 S * * T
P Visible S * visible F 00.7.T F 00.4.T .T 4 P
Visible
P
100 0.3
F 00.7.T F 00.4.T
3) la puissance absorbée par l’ampoule en supposant que le verre est parfaitement transparent jusqu’à 2.7 m et se comporte comme un corps noir au-delà, en admett ant que le facteur d’émission spectral hémisphérique du tungstène est de 0.2 dans tout le domaine au-delà 2.7 m : P Inf S * visible 1 F 02.7.T .T 4 P
Inf
1 F 02.7.T
3 2.7 m et T 2600 K 3 .T 2.7 * 2600 7020 m. K F 02.7T P Inf P
Inf
1 F 02.7.T 100 *
0.2 0.3
80.97 100
0.8097
1 0.8097 12.7 W
4)
Régime stationnaire : la puissance absorbée par le verre est égale à la puissance rayonnée par le verre vers l’extérieure, d’où : 4 P Inf 12.3 W S Verre * Verre * T Verre
Avec Verre facteur d’émission total hémisphérique du verre 4 .T Verre
12.3 W
S Verre * Verre *
4 1.16 1010 K .T Verre
12.3
0.93 * 5.67 10 8 * 4 * * 4 102
T verre 328 K
47
2
TD : Transferts de chaleur
Annexe 1 : Unités thermiques S.I. : Système International
Température : T(K) = T(°C) T(K)= T(°C)+273,15 Quantité de chaleur : 1 Joule = 0,239 cal = 0,948.10 -3 Btu Flux thermique : 1 W = 0,239 cal.s -1 = 0,86 kcal.h-1 =3,41 Btu.h-1 Densité de flux : 1 Wm-2 =23,6.10-6 cal.cm-2.s-1 = 0,86 kcal .m -2.h-1 =0,317 Btu.ft-2.h-l Coefficient global de transmission thermique: 1 W.m-2K -l = 23,9.10-6 cal.cm-2.s-1.°C-1 = 0,86 kcal.m -2.h-1.°C-1= 0,176 Btu.ft-2.h-1.°F-1 Résistance thermique: 1 K.W-1 = 4,1855°C.s.ca1 -1= 1,163°C.h.kca1 -1 = 0,526°F.h.Btu-1 C.G.S. : Centimètre, gramme et seconde.
Quantité de chaleur : 1 cal = 4,1855 J Flux thermique : 1 cal.s-1= 4,1855 W Densité de flux : 1 cal.cm-2.s-1 = 4,1855.10 4 W.m-2 Coefficient global de transmission thermique : 1 cal.cm-2.s-l.°C-1= 4,1855.10-4 W.m-2.K -1 Résistance thermique : 1°C.s.cal-1 = 0,239 K.W -1 ANGLO-SAXON : Système Anglo Saxon
Température : T(°R) = 1,8 T(K) Quantité de chaleur : 1 Btu = 1055 J Flux de chaleur : 1 Btu.h-1 = 0,293 W Densité de flux : 1 Btu.ft-2.h-1 = 3,15 W.m-2 Coefficient global de transmission thermique : 1 Btu.ft-2.h-1.°F-1 = 5,68 W.m-2K -1 Résistance thermique 1°F.h.Btu-1= 1,9 K.W-1
T(°F) = 1,8 T(°C)+32
T(°F) = 1,8 T(°C)
(Btu = British Thermal Unit)
(1 ft = 0,3048 m) (Feet : pieds en français )
48
TD : Transferts de chaleur
Annexe 2 : Facteur de forme de conduction Facteurs de forme de conduction de certains Systèmes Bidimensionnels F c (T 1 T 2 ) Système
Schéma
Conditions
Sphère isotherme enterré dans un milieu semi-infini.
Sphère isotherme enterré dans un milieu semi-infini. Cylindre horizontal isotherme de longueur L enterré dans un milieu semi-infini
Cylindre vertical dans un milieu semi-infini
Conduction entre deux cylindres de longueur infinie L en moyenne
Cylindre circulaire horizontal de longueur L à mi-chemin entre les plans parallèles d'égale longueur et largeur infinie Cylindre circulaire de longueur L centré dans un carré solide de longueur égale Excentrique cylindre circulaire de longueur L dans un cylindre de longueur égale Conduction par les bords de murs
49
Facteur de forme (F c)
TD : Transferts de chaleur
Annexe 3 : Facteur de vue
50
TD : Transferts de chaleur
Annexe 4 : Fraction d’énergie Fraction d’énergie F0-λ T rayonnée par un corps noir entre 0 et λ
51
TD : Transferts de chaleur Gaz 12-65 H ypothèses Tous les gaz dans le mélange sont des gaz parfait.
La fraction volumétriques est égale celle des pressions. Par conséquent, la pression partielle de CO 2 est P c y CO2 P 0.5(0.5 atm) 0.25 atm D’où,
P c L (0.25 atm)(1.2 m) 0.30 m atm 0.98 ft atm L’émissivité de CO 2 correspondant à la température des gaz T g = 500 K et à 1
atm est déduite de la figure (1, Annexe5).
c, 1 atm 0.14
Cette valeur est celle de l’émissivité à 1 atm et il doit être corrigé pour avoir celle de la pression totale de 0,5 atm. Le facteur de correction de pression est déduit de la figure (2, Annexe5). , C c = 0.90
Puis l'émissivité réelle du gaz est : g C c c, 1atm 0.90 0.14 0.126 12-67 H ypothèses Tous les gaz dans le mélange sont des gaz parfait.
la longueur moyenne du faisceau Puis,
L = 0.60 D = 0.60.(8 m) = 4.8 m
P c L 0.15 atm(4.8 m) 0.72 m atm L'émissivité de CO 2 correspondant à cette valeur à la température T g = 600 K et a 1 atm est déduite de la figure (1, Annexe5). c, 1 atm 0.24
Pour une température de source de T s = 450 K, l'absorptivité du gaz est déterminée à nouveau à l'aide des graphiques émissivités comme suit : T 450 K 0.54 m atm P c L s (0.15 atm)(4.8 m) 600 K T g L’émissivité de CO 2 correspondant
Annexe5).
à cette valeur à une température T s = 450 K et a 1atm est déduite de la figure (1, c, 1 atm 0.14
L’absorptivité de CO 2 est déterminée à partir
T g c C c T s
0.65
c, 1 atm
600 K (1) 450 K
0.65
(0.14) 0.17
La surface du cylindrique est S s DH 2
D 2
(8 m)(8 m) 2
(8 m) 2
4 4 Puis le flux net échangé par rayonnement entre le gaz et les parois du cylindre devient
301.6 m 2
Q net S s ( g T g 4 g T s4 )
(301.6 m 2 )(5.67 108 W/m 2 K 4 )[ 0.14(600 K ) 4 0.17( 450 K ) 4 ] 1.91 105
W
12-69 H ypothèses Tous les gaz dans le mélange sont des gaz parfait
La longueur moyenne du faisceau est (voir Annex5 tableau 1) L = 0.65 D = 0.65(2 m) = 1.3 m La fraction molaire est égale à la fraction de la pression. D’où : P c L (0.15 atm)(1.3 m) 0.195 m atm 0.64 ft atm
52
2m T g = 1200 K T s = 600 K
TD : Transferts de chaleur L'émissivité de CO 2 correspondant à cette valeur à la température T g = 1200 K et 1 atm est (voir annex5 figure 1) : c, 1 atm 0.14
Pour une température de source de T s = 600 K, l'absorptivité du gaz est déterminée à nouveau à l'aide des graphiques d’émissivité comme suit : P c L
T s T g
(0.15 atm)(1.3 m)
600 K 1200 K
0.0975 m atm 0.32 ft atm
L’émissivité de CO 2 correspondant à cette valeur à une température
de T s = K 600 et 1atm est (voir annex5 figure 1) :
c, 1 atm 0.092 L’absorptivité de CO 2 est déterminée à partir
T g c C c T s
0.65
c, 1 atm
1200 K (1) 600 K
0.65
(0.092) 0.144
La surface de la sphère est
S D 2 (2 m) 2 12.57 m 2
Alors le flux thermique net échangé par rayonnement entre le mélange du gaz et les murs du four est : net S ( g T g 4 g T s4 )
(12.57 m 2 )(5.67 10 8 W/m 2 K 4 )[ 0.14(1200 K ) 4 0.144(600 K ) 4 ] 1.936 105
W
12-70
H ypothèses Tous les gaz dans le mélange sont des gaz parfait . Les fractions molaires d’un mélange de ga z sont équivalentes aux fractions des pressions partielles. Par conséquent, les pressions partielles de CO 2 et H2O sont : T s = 600 K P CO y CO P 0.06(1 atm) 0.06 atm 2
2
P H 2O y H2O P 0.09(1 atm) 0.09 atm
D = 15 cm
La longueur moyenne faisceau pour un cylindre circulaire infinie est (voir tableau 1 de l’annexe 5) : L = 0.95(0.15 m) = 0.1425 m
Gaz de combustion, 1 atm T = 1500 K
D’où
P CO2 L (0.06 atm)(0.1425 m) 0.00855 m atm 0.028 ft atm P H 2O L (0.09 atm)(0.1425 m) 0.0128 m atm 0.042 ft atm L’émissivité de CO 2 et de H 2O correspondant à ces valeurs d’1atm sont déduite du graphe de la figure1 de l’anexxe5.
CO2 , 1 atm 0.034 et
de la température des gaz T g = 1500 K et de pression totale
H 2O , 1 atm 0.016
Les deux CO 2 et H2O sont présents dans le même mélange, et nous avons besoin de corriger les valeurs de l’émissivité . Le facteur de correction d’émissivité à T = T g = 1500 K est déduite de la figure3 de l’annexe 5. P CO 2 L P H 2O L 0.028 0.042 0.07 P H 2O 0.09 0.6 P H 2O P CO 2 0.09 0.06
0.0
Puis l'émissivité réelle des gaz de combustion devient:
g C CO 2 CO 2, 1 atm C H 2O H 2O , 1 atm 1 0.034 1 0.016 0.0 0.05 Pour une température de source de T s = 600 K, l'absorptivité du gaz est à nouveau déterminée d’émissivité comme suit :
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en utilisant les graphiques
