– Định nghĩa và cách tính §2. Tích phân bội ba – Định
Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau 1, 2,..., n có thể tích tương ứng là V1, V2,..., V n
Trong mỗi miền Ω k lấy 1 điểm bất kỳ M k(xk,yk,zk) n Lập tổng tích phân Sn f ( xk , y k , zk )Vk k 1
Cho max d (k ) 0 , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω
– Định nghĩa và cách tính §2. Tích phân bội ba – Định
Vậy:
f ( x, y , z )dV
lim
n
f ( xk , y k , zk )Vk
max d ( k )0 k 1
Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có Δ V = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :
f ( x, y, z )dV f (x, y , z )dxdydz
– Định nghĩa và cách tính §2. Tích phân bội ba – Định
Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω dxdydz V () 1.
2. C.f ( x, y, z)dxdydz C f (x, y, z)dxdydz
3. (f ( x, y , z) g ( x, y , z ))dxdydz f ( x, y , z)dxdydz g ( x, y , z )dxdydz
4. Nếu g ≥ f trên Ω thì: f ( x, y, z)dxdydz g ( x, y ,z )dxdydz
5. Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 thì: f ( x, y , z )dxdydz f ( x, y , z)dxdydz f ( x, y, z)dxdydz
1
2
– Định nghĩa và cách tính §2. Tích phân bội ba – Định 6. Định lý giá trị trung bình : Nếu hàm f(x,y,z) liên tục
trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M 0(x0,y0,z0) sao cho : f ( x, y , z )dxdydz f ( x0 , y 0 , z0 )V ( )
Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 1 f (x ,y ,z )dxdydz V ( )
§2. Tích phân bội ba – Định – Định nghĩa và cách tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) với mọi (x,y) thuộc D thì: ( x ,y ) f ( x, y , z )dxdydz f ( x, y , z )dz dxdy D ( x ,y )
Ta còn viết tích phân trên ở dạng ( x , y )
d xd y f ( x, y , z )dz D
( x ,y )
Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân I1 2zdxdydz
trong đó Ω giới hạn bởi
0 x,0 y, x 2 y 2 z 4
Từ các pt không chứa z: x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y ta xác định được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là D Còn 2 bđt chứa z: x2+y2≤z ≤4. Vậy : I1 dxdy D
4
2zdz z
2
D
24
2
D
x y
2
x y
2
2 2
2
2
(16 ( x y ) )dxdy D
0
dxdy
2
d r (16 r 4 )dr 0
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y=0
z=4 z=x2+y2
D x=0
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 2 : Tính tích phân I2 ( x y )dxdydz
trong đó Ω giới hạn bởi y=x 2, y+z=1, z=0 Phương trình không chứa z: y=x2 là đường parabol không kín, ta tìm thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng z=0 bằng cách cho z=0 : y=1 Suy ra hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D 1 Trong miền D, ta có y≤1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong D Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 -1
1
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y+z=1
Vì vậy: 1 y
I2 dxdy ( x y )dz D
0
1 y
( x y ) z 0 D
1
1
1
x 2
dxdy
I2 dx ( x y )(1 y )dy
z=0 y=x2
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x, y≥0 nên ta được 0≤x+y. Vậy : I3
f ( x, y , z )dxdydz x y
I3
dxdy D 1
I3
xdz 0
1 x
xdx
dy
D
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính
x+y=z
y=0
x+y=1
x=0
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng Oxy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ z
Vậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ , z), chúng được gọi là tọa độ trụ của điểm M. Ta có: x r cos y r sin z z
M(x,y,z)
z
x
φ
r
y N(r,φ)
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Công thức tính tích phân trong tọa độ trụ
f ( x, y , z )dxdydz J .f (r cos ,r sin ,z )drd dz
Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ
nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 4: Tính tích phân
I3 zdxdydz
Trong đó Ω là miền giới hạn bởi
z x 2 y 2, z
x2 y 2
Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0 ( x 2 y 2 )2 x 2 y 2 0 z x 2 y 2 2 2 z x y z x 2 y 2 z x 2 y 2 0 (loại) z x 2 y 2 1
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn x 2 y 2 1 x 2 y 2 x 2 y 2
Vậy:
I3
x 2 y 2
dxdy
x 2 y 2 1
zdz
x 2 y 2
Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : x r cos y r sin z z 1
z I3 2 . rdr .( ) 2 0
2
1
1
r
0
0
r 2
I3 d rdr zdz
và ta có 2 r
2
. r (r r )dr 0
2
4
12
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ
Miền D
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 5: Tính tích phân bội ba của hàm Trên miền Ω giới
f
z
x 2 y 2 2 2 x y 1, z 0, x y z 2 hạn bởi
Phương trình không chứa z là x2+y2=1 nên hình chiếu của Ω là hình tròn D: x2+y2≤1 Với 2 mặt còn lại, ta phải so sánh giữa z= 0 và z 2 x y để có cận đối với tp theo dz Ta vẽ thêm đường thẳng 2 x y 0
trong mp z=0 để so sánh Hình tròn nằm dưới đt nên: 0
2
D
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Vậy :
I5
2 x y
dxdy
x 2 y 2 1
0
z x 2 y 2
dz
Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt x r cos y r sin z z
2
I5
d 0
2
1
d 0
r sin
rdr
0
I5
2 r cos
1
0
0 2 r cos
2
z 2
z dz r
r sin
dr 0
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ I5
1 2
2
2 0
2(cos
sin )
1 (1 3
sin2 ) d
x y z
Ta sẽ tính bằng cách thứ 2 x2+y2=1
Miền D
7 3 2
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ I5
z 2 2 x y 2 0 1
x 2 y 2 1
2
2 x y
dxdy
2 x 2 y 2 2 2x 2 2y 2 xy dxdy 2 2 x 2 y 2 1 x y
Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được 2 r 2 2 2r (cos sin ) 2r 2 sin cos I5 d r dr r 0 0 2
1
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu sang tọa độ cực.
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y 2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y 2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song với Ox (pt không chứa x) , nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, Dyz : 1≤ y2+z2≤4 2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π 4
I6 dydz ( y 2 z 2 )dx Dyz
2
( y 2 z 2 ).2 dydz Dyz
y r cos
in
2
2
2 2 d r .r 2dr 15
Dyz
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Trong không gian cho điểm M(x,y,z), N là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Ta đặt: φ là góc giữa Ox và tia ON θ là góc giữa Oz và tia OM ρ là độ dài đoạn OM
M
θ ρ φ
N
Như vậy 0 ≤ ρ ≤ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, còn khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xác định. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác định φ θ ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Khi đó, ta dễ dàng tính được x sin cos y sin sin z cos
Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau x 2 y 2 z 2 y tan x x 2 y 2 tan z
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu: f ( x, y , z)dxdydz
J f ( sin cos , sin sin , cos )d d d
Trong đó: J
D x, y , z D , ,
2
sin
Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu .
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy (giống tọa độ trụ). Cận của θ, ρ thì dựa vào thiết diện cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz (trục đối xứng của vật thể). Ta thường lấy mặt phẳng cắt dọc là mặt phẳng x=0
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 7 : Tính tích phân I6 2yzdxdydz
Trong đó Ω giới hạn bởi x 2 y 2 z 2 1, x 0, y 0, z 0 Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt x = ρsinθ cosφ, y= ρsinθ sinφ, z = ρcosθ và tìm cận của φ, θ , ρ trong bài này bằng 2 cách Cách 1: Căn cứ vào các bất đẳng thức cho sẵn x 2 y 2 z 2 1 1
z 0 cos 0 0 2 x 0 cos 0 0 2 y 0 sin 0
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cách 2: Dựa trên 2 hình sau
Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn Dxy: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π /2 Cắt dọc Ω bởi 1 mp chứa trục Oz là mp x = 0 bằng cách cho x=0 trong các bđt chứa z: y 2 z2 1, z 0 z
0≤θ ≤π/2
Ta được mặt cắt là ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π /2 Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp mặt cầu x 2
y2
z2
1
r
1
bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu §2. Tích phân 2
1
2
Vậy : I d d 2 sin .2 sin sin . cos d 5
0
2
0
0
2
1
I5 sin d sin cos d 2 4d 0
1 3 I 5 cos 0 sin 3 0
2
2
0 2
0 1
2 5 5 0
x2+y2+z2=1
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu %Doi bien sang toa do cau x^2+y^2+z^2=1, x,y,z>0 clf hold on xlabel('Truc Ox') ylabel('Truc Oy') zlabel('Truc Oz') grid on rotate3d on title('x^2+y^2+z^2=1, x,y,z>0') [phi,theta]=meshgrid(linspace(0,pi/2,30)); x=sin(theta).*cos(phi);y=sin(theta).*sin(phi);z=cos(theta); mesh(x,y,z,'FaceColor','y','EdgeColor','w','FaceAlpha',.5)
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 8: Tính tích phân bội 2ba hàm f(x,y,z)=x+y 2 x y trên miền Ω giới hạn bởi z 2 1, x 0, y 0, z 0 4
9
Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt : x sin cos x 2 sin cos 2 y 3 sin sin y 3 sin sin z cos z cos thì định thức Jacobi J 2.3. 2 sin 6 2 sin 2 2 x y 2 và z 1 1 4 9
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Với cách đổi biến này, hình ellipsoid thành hình cầu Điều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phần tư thứ 2 nên ta có π /2 ≤ φ ≤ π Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = 0 ta được D1 : 1, y sin sin 0 z cos 0, 1 1 sin 0 2 cos 0
z
y
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 : 2 1
Vậy :
1
I8 d d 6 2 sin ( sin cos sin sin )d
2
2
0
1
I8 (sin cos )d sin d 6 3d
2
2
2
0
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D
z
Hình chiếu
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x 2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0 Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt và được hình chiếu là D: x2+y2≤1 Suy ra : 0≤φ ≤2π Ta cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng x=0 để được mặt cắt giới hạn bởi : -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤z
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Suy ra 0≤θ≤π/4, 0 ≤ρ≤√2
z
0≤θ≤π/40≤θ≤π/4
Miền D
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Vậy 2
I9
d 0
2
4
2
d 0
sin ( sin cos
0
2
I9 0
2
4
(cos
sin sin )d
sin2 d
sin )d 0
3
d
0
Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân với nhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0. Suy ra I9=0 Tuy nhiên, vì miền Ω có hình chiếu là hình tròn nên ta cũng có thể đổi tích phân trên sang tọa độ trụ thông thường
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 x 2 y 2
I9
dxdy x 2 y 2 1
I9
(x
y )dz
x2
y2
x 2 y 2
(x
y )( 2
x2
y 2 )dxdy
x 2 y 2 1 2
I9
1
d 0
r (r cos
I9=0
1
(cos 0
r )dr
0
2
I9
r sin )( 1 r 2 r 2( 1 r 2
s in )d 0
r )dr
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 4 r 2
Ví dụ 10 : Đổi tích phân I10 d dr r 2dz sau về tọa độ Descartes 0 0 0 2
1
Từ cận của tích phân theo dr, d φ ta có hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, 0 2 D: 0 r 1 1 x 1 2 2 1 x y 1 x
Ta còn xác định cận theo z
1
-1
1
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Từ cận của tích phân theo dz ta sẽ xác định mặt giới hạn trên, giới hạn dưới : 0z
0 z 4 x 2 y 2
4 r 2
Hàm dưới dấu tích phân : f ( x, y , z)
Vậy:
1
I10 dx 1
x2
r x 2 y 2
x 2 y 2
y 2 4 x 2 y 2
dy
0
2
2
x y dz
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích
0
I11 dx
phân sau sang
a2 x 2
0
dy
xdz
a tọa độ cầu và tính a2 x 2 a2 x 2 y 2 Ta cũng bắt đầu từ cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu của miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy
a x 0 D: 2 2 2 2 a x y a x 3 2
a -a
0
2
-a
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cận tích
2 2 2 2 x y z a 2 2 2 z 0 a x y phân theo z 0 dz là cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0 Cắt dọc miền lấy tích phân z bởi mặt phẳng chứa trục Oz z y là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0 ≤ ρ≤a Cuối cùng thay x=ρ sinθcosφ vào x = t, y =0
0.5
0
y
-0.5
-1
3
2
a
2
-1.5
I11 d d sin . sin cos d -1.5
2
2
0
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân trên miền V: x 2+y2=1, z=0, x 2 y 2 z2 x2+y2=z2 (z≥0) của hàm f ( x, y, z ) 3 mặt giới hạn V không có mặt cầu nhưng vì hàm f(x,y,z) mà ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu
Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V bởi mp x=0 ta được D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp duy nhất đường thẳng y=1 1 tương ứng là mặt trụ trong không gian với pt: 1 x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2
2
I12
d 0
I12
I 12
1 4
2
1 sin
2
d 0
sin . d
1 4
4
2
d 0
1 d 3 sin 1 2 ln 2 2
2
0
4
(
2
d
2
2
1 ) 1
2
2
d 0
4
1 sin d 4
4
d cos 2 2 (1 co s )
4
1 sin 0
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu
D1
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 13: Cho tích phân I
dxdydz
x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 1, x 2 y 2 z 2 2 V
Với V giới hạn bởi a. Viết cận tích phân trong toạ độ trụ b. Viết cận tích phân trong toạ độ cầu c. Tính tích phân
a. Hình chiếu D xy: x2+y2≤1 0 2 ,0 r 1 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 2
1
0
0
I d rdr
2 r 2
2
2 r
dz r 2 z 2
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu b. Hình chiếu D xy: x2+y2≤1 0 2 Cắt V theo mặt phẳng x=0 chứa trục Oz : y 2 1, y 2 z 2 2 0 Đi theo các tia màu 1.5
hồng từ gốc toạ độ lần V1 lượt từ trên xuống, ta sẽ gặp đường tròn, đt rồi V2 V2 đường tròn. Do đó, miền V sẽ được V3 chia thành 3 phần bởi 2 đt màu xanh lá trên mặt cắt , tương ứng trong không gian là mặt nón 1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -1.5
2
2
2
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cả 3 miền V1, V2, V3 đều có hình chiếu xuống mp z=0 là hình tròn D xy như câu a/ V1 là phía trên nón với z dương V2 là phần dưới nửa nón dương và phía trên nửa nón âm Vì pt mặt trụ trong toạ độ cầu là x 2 y 2 2 sin 2 1
V3 là phía dưới nón với z âm
0 4 0 2
3 4 4 0 1sin 3 4 0 2
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu I V1
V2
V 3
3 1 4 2 2 sin d 2 2 sin d sin 2 sin d 4 d d d d 0 3 0 0 0 0 4 4 2
c. Tính tích phân
Ta có thể chọn 1 trong 3 cách tính: toa độ Dec, toạ độ trụ hoặc toạ độ cầu 2
1
0
0
2 r 2
I d rdr
0
dz r 2 z 2
§2. Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω được tính bởi V () 1.dxdydz
Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi y x 2 , y 4, x z 0, z 0
Dxy: y=x2, y=4
4
Vì phải so sánh giữa 2 mặt z=0 và z=x nên miền D chia thành 2 phần bởi đt x=0 0
x
V dxdy dz dxdy dz D1 0
x 4
D2 0
0 2
4
3.5 3 2.5 2
D1
1.5 1
D2
0.5
x
V dx dy dz dx dy dz
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
§2. Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi 1 x 2 y 2 z2 4, x y
Ta sẽ tính thể tích bằng cách đổi tích phân bội ba V () dxdydz sang tọa độ cầu bình thường x
2.5 2
Hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là nửa hình vành khăn D: 1 x
2
2
y 4, x y
1.5 1 0.5 y
0 -0.5 -1 -1.5
π/4 ≤ φ ≤ 5 π /4
-2 -2.5
2
1
0
1
2
§2. Tích phân bội ba – UD hình học Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng chứa trục Oz là y = x ta được miền D1 là hình vành khăn nên 0 ≤ θ ≤ π
D1
Trong miền D1 ta đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên: 1 ≤ ρ ≤ 2 Vậy:
5
4
2
0
1
2
V ( ) d d sin d
4
§2. Tích phân bội ba – UD hình học 14 V ( ) 3
D
D1
§2. Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn bởi x 2 y 2 z2 2z, z
x 2 y 2
Tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy bằng cách khử z : x
2
y
2
(x
2
2
y )
2 x
2
y
2
x
2
2
y
1
ta được hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng x=0 chứa trục Oz, ta được miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z → 0 ≤ θ ≤π /4 đi theo chiều mũi tên từ trong gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 mặt cầu với phương trình 2
2
2
2
x y z 2z 2 cos 2cos
§2. Tích phân bội ba – Ứng dụng hình học 2
4
I14 d d 0
0
1
/4 0 ≤ θ ≤π
1
2cos
sin d
0
§2. Tích phân bội ba – Ứng dụng cơ học Cho vật thể V có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) là f(x,y,z) . Ta có
Khối lượng vật thể là Moment quán tính với trục Ox Moment quán tính với mp yz
m(V ) f ( x, y, z )dxdydz V
I x ( y 2 z 2 ). fdxdydz V
2
I yz x . fdxdydz V
Moment quán tính với gốc O
IO ( x 2 y 2 z 2 ). fdxdydz V
§2. Tích phân bội ba – Ứng dụng cơ học Moment tĩnh với mp Oxz
M xz y. fdxdydz V
Toạ độ trọng tâm x. fdxdydz
x0 V
fdxdydz
V
y. fdxdydz
, y0 V
fdxdydz
V
z . fdxdydz
, z0 V
fdxdydz
V
§2. Tích phân bội ba – Bài tập I. Tính tp bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Vy 1.f1
x
y
2.f2
z;V2 : y x2
3.f3 4.f4 5.f5
x
z;V1 : x x 2 , y
z
y 2 ;V3 : z z;V4 : z y2
6.f6
xy ;V6 : z
7.f7
y ;V 7 : z
x 2 0, z 0, x
0, z 4, z
0, x
y
z 1
0
x2
y2,z
0, x 2
x2
y 2, z
2
x2
;V5 : x 2
y2
z2
2,x 2
x2
y 2, x2
4
1 x 2
0, y
0, x
2z
3, y
y 2
y2
z2 2
y2
4
1, y 3
y2
1
