I. Tích phân suy rộng loại một Bài toán Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong: y f ( x) 0, trục hoành, đường thẳng x = a.
s
a
b
f ( x )dx lim f ( x )dx b
b
a
Tích phân suy rộng loại một y f ( x)
khả tích trên đoạn a, b , với mọi b a
Tích phân
b
im f ( x )dx f ( x)dx l b
a
a
được gọi là tích phân suy rộng loại một. Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một a
a
f ( x )dx f ( x)dx lim
b
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
f ( x )dx
b
im f ( x )dx f ( x)dx l a
b
a
Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp) 2) Khảo sát sự hội tụ.
Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)
Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên a,
b
im F (b) F (a) im f ( x )dx l f ( x)dx l b
a
b
a
Tích phân tồn tại khi và chỉ khi khi tồn tại lim F (b) : F () b
f ( x)dx F (x) a
F () F (a ) a
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
Ví dụ
y
1 x
2
, trục hoành và đường thẳng x = 1.
1 1 S 2 lim 2 lim l i m 1 1 b b x 1 x 1 x x b 1
dx
b
dx
b
Diện tích của miền S bằng 1, hữu hạn.
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
Ví dụ
y S
1
dx x
1
x
, trục hoành và đường thẳng x = 1. b
dx
1
x
lim b
b
im ln | x | 1 lim ln b bl b
S là miền có diện tích vô hạn, bằng
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
Ví dụ
y S
1
, trục hoành.
x 1
dx
2
dx
b
2
0
arctan x 2 lim x 1 2 x 1 2
0
b
Diện tích của miền S bằng .
Ví dụ
Tính tích phân
I
e 2 x dx
1
I
e
2 x
dx
e
1
2 x
2
1
e e2 1 2 2 2e 2
Ví dụ
Tính tích phân
I
x ln e
I
x ln e
dx 2
x
e
dx
2
x
1 1 1. 2 ln x ln x e ln() ln e
d (ln x)
1
Ví dụ
Tính tích phân I
x
dx 2
4
1 x 5 x 6 2
1 ( x 2)( x 3)
1 x 3
5x 6
1 x2
1 1 I dx ln | x 3 | 4 ln | x 2 | 4 x 3 x 2 4
() ( ) Dạng vô định.? Không được phép dùng: lim ( f g ) lim f lim g x
x
x
khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại. x 3
x 3 I ln lim ln x 2 4 x x 2
43 1 ln 4 2 ln1 ln 2 ln 2
Ví dụ
I
Tính
x 1
I
1
x
1
6
10
x
0
I 1
1 x
dt t t 1 2
1 x5 x10
Đổi biến: t
dx
dx
5
1 1
0
Đổi cận:
1 x
5
dt
1 x
x 1 t 1 x t 0
dt 2
t 1/ 2 3 / 4 1 2
ln t 1 / 2 t 1/ 2 3 / 4 0
6
dx
Ví dụ
Tính
I
e 2 x cos xdx
0
Đặt u e2 x du 2e2 x dx I e sin x 2 x
Ta có
0
dv cos xdx v sin x
2 e 2 x sin xdx 0
lim e2 x sin x 0 nên I 2 e2 x sin xdx
x
0
u e2 x du 2e2 x dx dv sin xdx v cos x
I 2 e
2 x
cos x
0
4 e
2 x
cos xdx 2 4 I I
2 5
Tính I
Ví dụ
0
arctan x
1 x 2
3/ 2
Đổi biến: t arctan x dt
dx
dx 1 x 2
Đổi cận: x 0 t 0 x t x tan t 1 x I
0
arctan x
1 x 2
3/ 2
2
cos t
dx
2
1
2
0
arctan x
dx
1 x 2 1 x
2
/ 2
t cos tdt 2 1 0
Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) Trường hợp 1: 1
1
x
a 0
dx
1
1
1 x
1 a
1
1 a
Trường hợp 2: 1
1
x
a 0
dx
1 1
hữu hạn, khác 0. tích phân hội tụ.
1
x
1 a
Tích phân phân kỳ.
Trường hợp 3: 1
1
x dx ln | x |
a 0
a
Tích phân phân kỳ.
Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)
hoäi tuï, neáu 1 x dx phaân kyø, neáu 1 a 0
1
Neáu 1, thì I hoäi tuï. I
x 2
1
ln x
dx
Neáu 1, thì I phaân kyø. Neáu 1, 1, thì I hoäi tuï. Neáu 1, 1, thì I PK.
Tích phân hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1.
x a f ( x) 0, g ( x) 0
và khả tích trên a,
f ( x) g ( x) ở lân cận của . Khi đó:
1) Nếu
g ( x)dx
hội tụ, thì
f ( x)dx a
a
2) Nếu
f ( x)dx
hội tụ.
phân kỳ, thì
a
g ( x)dx
phân kỳ.
a
Để khsát sự hội tụ của I
với
dx
a
đã biết kết quả.
f ( x )dx, thường đem so sánh
Chú ý (trong tiêu chuẩn 1): 1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm.
Chỉ cần tồn tại a x , f ( x) g ( x) 2) Chỉ cần
3) Cận dưới của tích phân
dx
x
là số dương ( a 0. )
a
Khảo sát sự hội tụ I
Ví dụ
2 x 1
Ta có f ( x)
Vì
dx
2
2
1 2 x sin 3x 2
2
1 2x
2
dx 2
sin 2 3x
g ( x)
hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.
Khảo sát sự hội tụ I
Ví dụ
x
dx 2
1
f ( x)
Ta có
Vì
dx
x
2
1 x sin 3 x 2
2
2 x
2
sin 2 3x
g ( x)
hội tụ, nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.
1
Ví dụ
I
Khảo sát sự hội tụ
1
3
Ta có f ( x)
Vì
dx
2 x
ln x x 5
1 x5
1 2x
3
ln xdx x 5
g ( x ) x 5
phân kỳ , nên I phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.
Tích phân hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2.
x a f ( x) 0, g ( x) 0 K lim
x
1) K 0 : nếu
2) K höõu haïn, 0 :
g ( x)
Khi đó:
hội tụ, thì
f ( x)dx
hội tụ.
a
f ( x)
g ( x)dx a
và khả tích trên a,
f ( x)dx và
g ( x)dx cùng HT hoặc cùng PK. a
a
3) K :
nếu
f ( x)dx hội tụ, thì g ( x)dx
hội tụ.
Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh 2.
Để khảo sát sự hội tụ của
f ( x)dx a
1) kiểm tra f(x) có là hàm không âm (trong lân cận của ) 2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương đương của f(x) khi x tiến ra dương vô cùng. 3) Tính K lim
x
f ( x) g ( x)
, kết luận.
Hai hàm f(x) và g(x) không âm: nếu f ( x)
f ( x)dx vaø g (x)dx
cùng tính chất.
x
g ( x) , thì
Hội tụ tuyệt đối
Định lý
Nếu f ( x) dx hội tụ, thì f ( x)dx hội tụ. a
a
Định nghĩa
Nếu f ( x) dx hội tụ, thì f ( x)dx gọi là hội tụ tuyệt đối a
a
Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của
f ( x)dx a
ksát sự HT của tích phân hàm không âm
f ( x) dx a
để sử dụng được hai tiêu chuẩn so sánh
Ví dụ
I
Khảo sát sự hội tụ
1
Ta có f ( x)
Khi đó: lim
x
x
1 5 x ln x f ( x) g ( x)
1
f ( x)dx 1
Vì
1/ 2
5x
5 x ln x
Chọn g ( x)
1 x1/ 2
hữu hạn, khác 0.
5
Tích phân
1
dx
và
g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1
1
g ( x)dx phân kỳ ( 2 1 ), nên tích phân I phân kỳ. 1
Ví dụ
2 x
Khảo sát sự hội tụ I
3 xdx 3
1
Ta có f ( x)
Chọn g ( x)
x
3 x 2 x sin 3x 3
1 x
2
lim
x
Tích phân
f ( x)dx 1
3x 2x
f ( x ) g ( x)
3
1 5
sin 3x
3 2x2
hữu hạn, khác 0.
và
g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1
Vì
g ( x)dx hội tụ ( 2 1 ), nên tích phân I hội tụ. 1
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ I
arctan xdx
2 x 1
Ta có
f ( x)
Chọn g ( x)
1 x
2
arctan x 2 x 2 ln x
lim
f ( x)dx 1
f ( x )
x
g ( x)
2 2 x
2
Tích phân
x
4
2
2
2 ln x
4x
2
hữu hạn, khác 0.
và
g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1
Vì
g ( x)dx hội tụ ( 2 1 ), nên tích phân I hội tụ. 1
Khảo sát sự hội tụ I
Ví dụ
(3 x 1) 0
Ta có f ( x) Khi đó:
lim
x
1 (3 x 1) 1) x 1
x
f ( x) g ( x)
1
Vì J
f ( x)dx 0
1
3 x
3/ 2
x 1
Chọn g ( x)
1 x3 / 2
hữu hạn, khác 0.
3
Tích phân
dx
và
g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 0
3
g ( x)dx hội tụ ( 2 1 ), nên tích phân I hội tụ. 0
Sai! vì Sai! vì J phân kỳ (xem phần tích phân suy rộng loại hai)
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ I
dx
(3 x 1) 0
1
Cách giải đúng! I 0
I 1
(3 x 1) x 1
dx
(3x 1) 1
x 1
là tích phân xác định nên hội tụ. Xét tích phân
Ta có f ( x) Khi đó:
x
1
lim
x
Tích phân
(3 x 1) 1) x 1 f ( x) g ( x)
g ( x)dx
3/ 2
Chọn g ( x)
I1 I 2
I 2
1 x 3 / 2
hữu hạn, khác 0.
3
f ( x)dx 1
1
3 x
1
Vì
dx
x 1
và
g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1
HT (
3
1), nên I1 HT, suy ra I HT.
Khảo sát sự hội tụ
Ví dụ
I
e
x 2
dx
1
x 1 f ( x) e
e
x
dx e
x 2
x
e x g ( x)
1
1
1
e
g ( x)dx HT 1
Tích phân đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1.
Ví dụ
1 1/ x Khảo sát sự hội tụ I e cos dx x 1 2
1/ x 2
f ( x) e
cos
1
1
x
2
x
1 2x
2
3 2x
2
I
HT
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ I
x
e
1
Ta có:
x 1 e x x
f ( x)
1 x
xe
1 x
2
1 x
e
x
1 x
g ( x) Tích phân đã cho hội tụ.
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ I
1
f ( x)
x3 x 2 1 x x3 / 2 x 3x 1 3
dx
x
3
1 x
3/ 2
x3 x 2 1 dx 3 x 3x 1
Tích phân hội tụ.
Khảo sát sự hội tụ I
Ví dụ
0
f ( x)
Tính
e 0
x
arctan x x 2e
x
dx e
2e x 0
x
2e
x
dx
g ( x)
1 HT, HT, nên tích phân đã cho HT.
Ví dụ
arctan x
Khảo sát sự hội tụ I
1
2arctan x
e
3 / x
1
3
dx
1 2 / 2 arctan 3 x 3 3 2arctan x 2 / x 2 x 2 3 / x 3 / x e 1 3 / x 3x e 1
HT
Ví dụ
Chứng minh tích phân hội tụ và tính
x
I
3
f ( x)
x
1 x 1 x 2
1 x
dx 1 x2
2 1 nên tích phân I hội tụ.
2
t 1 x t x 1 2tdt 2 xdx 2
2
I
x 3
xdx 2
1 x
2
2
tdt
t t
2
2
1
ln
t 1 t 1
1
ln1 ln ln 3 2
3
Chứng minh tích phân hội tụ và tính
Ví dụ
f ( x)
x
1 x 1 x 4
1 11 / 2
x
2
80
1
x
x
I
3/ 2
3 2
dx 4
x2 1
1 nên I hội tụ.
3 4 2 4 t dt 2 xdx t x 1 t 1 x 2
4
I
x 80
ln
xdx 2
1 x 4
t 1 t 1
2
t t
4
9
1
t
dt 2
9
1
t
dt
2
9
1
arctan t 9 ln arctan 9 10 2
9
3
2t dt
8
Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn x
x
I
e
x dx
lim
x
1
x
x 1 f ( x)
e
x
1 x
1
e
t
t x e
dt
g ( x)
g ( x)dx 1
FK nên I phân kỳ.
, dùng qui tắc Lôpital Giới hạn có dạng vô định ' t x t x e e dt dt x t 1 t e 1 1 lim x lim lim xlim 0 ' x x x x x e x e x e
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
sin xdx
x
I
2
1
f ( x)
sin x x ln 2 x 2
1
x
x ln 2 x 2
1 x
2
ln 2 x
g ( x)
Hội tụ.
Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, không sử dụng so sánh được.
x
Xét tích phân hàm không âm J
1
f ( x)
sin x x ln 2 x 2
1 x ln 2 x 2
x
1 x
Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.
2
sin x 2
ln 2 x
dx
g ( x) Hội tụ.
Ví dụ
I
Khảo sát sự hội tụ
sin xdx sin xdx x
1
u
Tích phân từng phần:
1
du
x
1 x
2
dx
dv sin xdx v cos x
I
1
sin x x
dx
cos x x
1
J
1
Xét tích phân J
cos x
1
cos x cos x x
2
hội tụ, suy ra I hội tụ.
dx
x
2
dx
cos1
cos x x
2
1
J
1 x
2
hội tụ
I
Khảo sát sự hội tụ
Ví dụ
sin xdx sin xdx x
1
Xét tích phân hàm không âm J sin x x 1 cos 2 x
2 x
1
I 1
dx
2 x 1
sin 2 x x
dx
dx
1 cos 2 x 2x cos 2 x
2x 1
1
2x
phân kỳ
I 2
1
1
sin x sin x x
dx
dx I1 I 2
cos2 xdx 2 x
hội tụ (tương tự ví dụ trước)
Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối
Chú ý: 1) Với tích phân chỉ có có một điểm suy rộng
a
a
f ( x)dx khi tách ra có dạng vô định G( x) H ( x) vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ. a
2) Với tích phân có hai điểm suy rộng
f ( x)dx
a
khi tách ra thành tích phân f ( x)dx
f ( x )dx
a
chỉ cần chỉ cần một trong hai tphân PK, thì tphân ban đầu PK.
Định nghĩa
I. Tích phân suy rộng loại hai
Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x), nếu lim f ( x) x x0
Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy nhất là x0 = b. b
t
f ( x )dx f ( x)dx : tlim b
a
a
Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b]
I. Tích phân suy rộng loại hai Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy nhất là x0 = a. Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] b
b
f ( x )dx f ( x)dx : tlim a
a
t
I. Tích phân suy rộng loại hai Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy nhất là c a, b Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x )dx f ( x )dx t
b
t c a
t c t
lim f ( x)dx lim f ( x )dx Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi khi cả hai tích phân ở
vế phải hội tụ
I. Tích phân suy rộng loại hai Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một.
Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b]
Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên a, b b
t
f ( x)dx lim f ( x )dx t
a
b
a
lim F (t ) F (a) t b
Tích phân tồn tại khi và chỉ khi khi tồn tại lim F (t ) : F (b ) t b
b
a
b
f ( x)dx F ( x ) F (b ) F (a ) a
Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị.
4
Ví dụ
I
Tính tích phân
2
dx x 2
Theo định nghĩa 4
I 2
dx x 2
4
d ( x 2)
t 2 t
1/ 2
lim
x 2
4
lim 2 x 2 2 2 lim 2 t 2 2 2 t 2
t 2
t
Theo công thức Newton – Leibnitz (gọn hơn) 4
I 2
dx x 2
4
2 x 2 2 2
42 22 2 2
3
Ví dụ
I
Tích phân
0 3
I 0
dx
dx x 1
3
x 1
ln | x 1 | 0 ln 2 ln1 ln 2
Sai! vì Sai! vì có điểm kỳ dị x = 1 trong đoạn [0,3]. 1
I 0
dx x 1
3
1
dx x 1
I1 I 2 1
Xét tích phân I 1 lim
t 1 0
dx x 1
lim ln | t 1| t 1
Vậy tích phân I 1 phân kỳ. Suy ra tích phân đã cho phân kỳ
1
Tính tích phân I
Ví dụ
0
dx (2 x) 1 x
Đặt 1 x t 1 x t 2 dx 2tdt Đổi cận: x 0 t 1 x 1 t 0 1 2dt 2tdt I 2 2 1 t 1 1 t t 0 0 ( 2 x ) 1 x 1
dx
0
1
arctan1 tan1 arctan tan 0 I 2arctan t 0 2 ar
2
Tích phân hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1. Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất.
x a f ( x) 0, g ( x) 0
a, b
và khả tích trên
f ( x) g ( x) ở lân cận của trái của b. Khi đó: b
b
1) Nếu
g ( x)dx a
2) Nếu
hội tụ, thì
f ( x)dx
hội tụ.
a b
f ( x)dx a
b
phân kỳ, thì
g ( x)dx
phân kỳ.
a
Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất.
Tích phân hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2. (x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất)
x a f ( x) 0, g ( x) 0 K lim x b
b
1) K 0 : nếu
f ( x) g ( x)
g ( x)dx
a, b
Khi đó: b
hội tụ, thì f ( x)dx hội tụ.
a
2) K höõu haïn, 0 :
a
b
b
và khả tích trên
f ( x)dx và
g ( x)dx a
a
b
3) K :
cùng HT hoặc cùng PK.
nếu
f ( x)dx
b
hội tụ, thì g ( x)dx hội tụ.
Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)
phaân kyø, neáu 1 dx a x a hoäi tuï, neáu 1 b
1
phaân kyø, neáu 1 dx a b x hoäi tuï, neáu 1 b
1
Chú ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một!
2
Ví dụ
I
Khảo sát sự hội tụ
1
Ta có f ( x)
Chọn
g ( x)
1 1/ 2
x 1
f ( x)dx 1
2
Vì
g ( x)dx 1
lim
x
x 2 1 1 1/ 2
( x 1)( x 1)
2
Tích phân
x 1
1
dx
2 x 1 f ( x) g ( x)
1 2
hữu hạn, khác 0.
2
và
g ( x)dx
cùng hội tụ hay phân kỳ.
1
1
hội tụ ( 1), nên tích phân I hội tụ. 2
Ví dụ
f ( x)
5
x 0
e 1 x
x3 / 5 x
0
e x 1
Khảo sát sự hội tụ
1
( x 0)
2/5
I 0
f ( x)
2 x3
3 x (3 x)
x 3
5
1
3
Ví dụ
ln 1 x3 dx
Khảo sát sự hội tụ I ln 1 x3
1
hội tụ vì 1 2
2 x3dx 9 x 2 1
18 ( x 3)
1/ 2
hội tụ vì 1 2
1
Ví dụ
5 x3 x
Khảo sát sự hội tụ I tan x x dx 0
tan x x x 5 x x 3
x 0
tan x x
x3 3
( x 3 ) x
x1/ 2 3
x /3
x3 3
3 ( x 0)
( x3 ) phân kỳ vì
5/ 2
4
Ví dụ
I
Khảo sát sự hội tụ
0
f ( x)
1 x 2
x 2 x 4
x 4
4 ( x 4)
1
5 2
1
dx x 2
phân kỳ vì 1
Khảo sát sự hội tụ
Ví dụ
I
0
1
I
sin 2 xdx x
0
lim
sin 2 x
x 0
x
Ta có
2
1
x
2
2
I1 I 2
không là tích phân suy rộng mà là tích phân xác định nên HT
sin 2 x x
sin 2 xdx
x
I 1
1
2
2
sin 2 xdx
1 x
2
g ( x)
Vì
g ( x)dx 1
HT , nên I1 HT, suy ra I HT.
I. Tính các tích phân sau
1)
1 ( x 1)( x 2)
3
2)
3
1 ( x 1)( x 2)( x 3)
2
3
( x 2)(3x 2 x 1) 2
4) 2
5) 2
dx
(5 x 3)
3)
2
dx
( x 1) 2
x( x 1)
x 1
( x 1)
1
2
4
3
ln 5 ln 2 11
1
ln 2 ln 3 5 5
1 ln 2
dx 3
dx 2
dx
ln 2
3
3 16
ln 2
17 128
6) 0
1 x x 2 2
x 3
7) 1
8) 0
x( x x 1) 2
x 2 x 1 6
9) 0
0
dx
7 dx
3 2
arctan 7
ln3 ln 3
3 18
6
dx
arct ar ctan an 2
4 x 2 4 x 5
4
10)
2 7
dx
dx e e x
x
4
11)
1 e e x
0
12) 1
x
dx
1 x(ln x 1) 2
1
13)
2
cosh ( x)
0
14) xe2 x dx 0
15) 1
2 2 ln 2
dx
dx
2 1
1 4
dx
ln 2
x( x 6 3)
9
16)
dx e4 x 1
0
17) 0
18) 0
19) 2
20) 1
ln 2
2 x 4 1 x
4 dx
dx e x 1 dx
x 2 x 2 1 dx sinh x
4ln2
1
e 1 ln e 1
1
21) e3 x dx
3e 2
1
22) e
dx
1
2
x ln x
1
xdx
23)
0
dx
(1 x) x
2
24) 1
25) 2
ln 2 2
2 x
xdx x 1 3
ln 7 6
1
5
2 arctan 3 3
dx
26)
0
x 1 x 2
2
2 3
3
0
13
27) e2 x cos3 xdx
dx
28)
4
2 3 ( x x 1 )
29) 0
30) 1
dx (4 x 2 1) x 2 1 x 12 2
x
2
1
2
dx
3 3 3
9 13 4
31) 1
dx
2 x 3
2
dx
32)
( x 3)3 / 2
2
2 x
33) x e
3
dx
ln xdx 1
35) 1
10
2 5 5 1 3
0
34)
1
1
x3
4
1
1
x 1
5
dx
64
1
36)
2 3 x x3 dx 5
0 1
x3
187
dx
37)
1 (4 x)
625
1 x2
15
4
2
x dx
38)
2 (1 x
2
) 4 x
2
5 5
2
dx
1
x x 1
2
2
dx
1
x x 2 1
3
39)
40)
I. Tìm tất cả các giá trị để chuỗi hội tụ
e3 / x 1 1) ln 1 dx, 0 1
arctan3 x
2)
(2 x)
0
3) 1
1 x 2 x 2
4) 1
5) 1
dx
dx
không tồn tại
1
x
1
1
dx x e x
x 2 x
dx
1
6)
ln 1 x x
e
0
1
7)
x
0
4
dx
dx
3
ln(1 x ) x 2
( x 1) 3
8)
x 7 x5 1
1
9)
dx
1
10)
e x 1 x cosh x cos x
5
2
dx
x3 sin x x
1
5
3
dx
5 6
2
1 2
1 5
