Bai 15 Tich Phan Duong Loai 2

5/28/2018

Bai15TichPhan DuongLoai2-slidepdf.com

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

1/50

5/28/2018


NỘI DUNG

1. Định nghĩa tp đường loại 2 2.Tính chất tp đường loại 2 3.Cách tính tp đường loại 2 4. Định lý Green 5.Tích phân không phụ thuộc đường đi.


2/50

5/28/2018


ĐỊNH NGHĨA

Trong mp Oxy, cho cung AB và 2 hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định trên AB. Phân hoạch AB bởi các điểm {A0, A2, .., An}, với A0 = A, An = B. Giả sử Ak = (xk, yk), k = 0,…,n. Gọi

xk =

xk+1 – xk , yk = yk+1 – yk, k = 0,…, n-1.


3/50

5/28/2018


Trên cung Ak Ak+1, lấy điểm Mk, xét tổng tp

B  An M k

y k

Ak 1

Ak A  A0

 x k

 Sn

n 1



k  0

 P (Mk ) xk




 Q (Mk ) y k

4/50

5/28/2018


Sn 

n 1

 P (Mk )xk  Q(Mk )y k 

k  0



P ( x , y )dx  Q ( x , y )dy  lim Sn 

n

AB

là tp đường loại 2 của P, Q trên AB Quy ước:



Pdx  Qdy

C

chỉ tích phân trên chu tuyến (đường cong kín) C


5/50

5/28/2018


TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 2 1.Tp đường loại 2 phụ thuộc vào chiều đường đi B

 A

Đổi chiều Pdx  Qdy   Pdx  Qdy đường đi thì tp đổi dấu. A



B

2.Nếu C = C1  C2

 C

Pdx  Qdy 

 C1

Pdx  Qdy 


 C 2

Pdx  Qdy 6/50

5/28/2018


CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 2 Khi tham số hóa chiều đường đi. đường cong, lưu ý về

TH1: (C) viết dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối

P ( x , y )dx  Q ( x , y )dy



C t 2

P ( x (t ), y (t )) x(t )  Q( x (t ), y (t ))y (t ) dt

 t 1


7/50

TH2: (C) viết dạng y = y(x),

5/28/2018


x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối



P ( x , y )dx  Q ( x , y )dy

C



b

 a

( , ( )) ( , ( )) ( ) P x y x Q x y x y x dx    

TH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối d

 P ( x, y )dx  Q( x, y )dy   P ( x (y ), y ) x(y )  Q( x (y ), y ) dy C

c


8/50

5/28/2018


Nhắc lại

Khi tham số hóa cho cung tròn, elippse, ngược chiều kim đồng hồ là tham số tăng dần, cùng chiều kim đồng hồ là tham số giảm dần.


9/50

5/28/2018


Cách tính Tp đường loại 2 trong không gian

I  P ( x , y , z)dx  Q( x , y , z)dy  R ( x , y , z)dz



C

Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm t đầu, 2: điểm cuối

Pdx  Qdy  Rdz



C t 2



 P ( x (t ), y (t ), z (t )) x(t )  Q(, , ) y (t )  R (, , )z(t ) dt t 1


10/50

VÍ DỤ

5/28/2018


1/ Tính:

I  x 2dx  xydy



C

C là đoạn nối từ A(0,0) đến B(1,1) theo các đường cong sau đây: a. Đoạn thẳng AB b.Parabol: x = y2 c. Đường tròn: x2+y2 = 2y, lấy ngược chiều KĐH http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

11/50

5/28/2018

2

I   x dx  xydy A(0, 0), B(1, 1) Bai15TichPhan DuongLoai2-slidepdf.com

C

a/ Đoạn thẳng AB: y = x, x : 0  1 1



2  I   x  x.x.y ( x ) dx

1

0 1

1



2

2

 ( x  x )dx  0

2 3

2

b/ Parabol: x = y , y : 0  1 1



1

2 2 2 7 5 3   I  ( y ) .2y  y .y  dy  (2 y  y )dy  0


0

12

12/50

5/28/2018


c/ x2+y2 = 2y  x2+(y – 1)2 = 1,

lấy ngược chiều KĐH x = cost, y = 1+sint,

A(0,0)  t  



2

B(1,1) 

t

=0

0

I



2

[cos t (  sin t )  cos t (1  sin t )cos t ]dt 

 2 http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

4 13/50

5/28/2018

2/ Tính:




I  2ydx  xdy C

2

2

với C là cung ellipse x + 3y = 3 đi từ (0, 1) đến giao điểm đầu tiên của ellipse với đường thẳng y = x, lấy theo chiều KĐH. x  3cos t , y  sin t

1

( x , y )  (0,1)  t   / 2 3

Tại giao điểm với đt y = x:

3cos t  sin t  t  http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

3

14/50

5/28/2018


x  3cos t , y  sin t I  2ydx  xdy



C



3



 2sin t ( 3sin t )  3cos t .cos t  dt  

2


15/50

5/28/2018




3/ Tính: I  2ydx  zdy  3ydz C

với C là gt của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mp z = 3 - x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương trục Oz 2x2 + y2 = 9


x 

3 2

cost ,

y  3sint , 3 z  3 cos t 2 t : 0 2

16/50

5/28/2018




I  2ydx  zdy  3ydz C

x  3 cos t , y  3sin t , z  3  3 cos t 2 2 2 y (t ) x (t )  z (t ) y (t )  3y (t ) z(t ) 3 3  6sin t ( sin t )  (3  cos t )(3cos t ) 2 2 3 9sin t sin t 2

 9cos t


17/50

5/28/2018



18/50

5/28/2018



19/50

5/28/2018



20/50

5/28/2018



21/50

5/28/2018



22/50

5/28/2018



23/50

CÔNG THỨC GREEN

5/28/2018


Định nghĩa: Nếu chu tuyến C(đường cong kín) là biên của miền D  R2, chiều dương của C là chiều mà đi trên đó, miền D nằm về bên trái. C1 C C2

D D

Định nghĩa: Miền đơn liên là miền mà mọi chu tuyến trong miền này có thể co về 1 điểm trong miền( không chứa lỗ thủng). http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

24/50

Định lý

5/28/2018


D là miền đóng và bị chận trong R2, C là biên định hướng dương của D. Giả sử P, Q và các đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó

 C

Pdx  Qdy 

 D

 Q P    x  y  dxdy  

(Công thức Green) Lưu ý: C có thể gồm nhiều chu tuyến giới hạn miền D.


25/50

VÍ DỤ

5/28/2018


2

2

1/ Tính: I  C x ydx xy dy trong đó C là đtròn   x2 + y2 = 1, lấy ngược chiều KĐH. 2

2

Gọi D là hình tròn x + y  1, khi đó C là biên định hướng dương của D. Áp dụng công thức Green:


26/50

5/28/2018




2

2

I  x ydx  xy dy  C

2





 Q P    x  y  dxdy

D





2

(  y  x )dxdy



D: x 2  y 2 1 2

1

 

 d 0

0

 r dr  3

2


27/50

5/28/2018




2/ Tính: I  ( x  2 y )dx  (3x  y )dy C

C = {(x, y)/ |x| + |y| = 1} , lấy theo chiều KĐH. Gọi D là hình vuông |x|+|y|  1. Khi đó C là biên định hướng âm của D. Áp dụng công thức Green :  Q P  I  ( x  2y )dx  (3x  y )dy      dxdy   C D y   x






28/50

5/28/2018




I  ( x  2y )dx  (3x  y )dy C



 D



 Q P    x  y  dxdy  



(3  2)dxdy  5S (D)  10

D


29/50

5/28/2018


3/ Tính:

3

x 2 I   ( x  y cos xy )dx  (  xy  x  x cos xy )dy C 3 C là nửa dưới đt x2 + y2 = 2x, ngược chiều KĐH 2

• Nếu tham số hóa để tính I  khó C1

2

• C không kín nên không thể áp dụng ct Green.

-1

Gọi C1 là đoạn thẳng y = 0, x: 2  0 D là nửa dưới hình tròn x2 + y2  2x http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

30/50

5/28/2018


C1

Khi đó C  C1 là biên định hướng dương của D.

2

D

Áp dụng ct Green:

-1

3

x 2 ( x  y cos xy )dx  ( 3  xy  x  x cos xy )dy 2



C C 1

 Q P   dxdy    x y 



   D 0



2cos

d 2



2

 D

( x

2

 y

 1)dxdy

2

(r  1)rdr 

0


4

31/50



5/28/2018



Pdx  Qdy  Pdx  Qdy 

C C 1



C

Pdx  Qdy 


C 1



 I  Pdx  Qdy  C

4

4



 Pdx  Qdy C 1

2

P  x  y cos xy C1 : y = 0, x: 2  0 3  x 2 Q   xy  x  x cos xy  3 0

I 

4



2

8

4

3

 x dx   2


32/50

y

5/28/2018

x


4/ Cho P   ,Q  2 ,   2 2 2 kiểm tra:Py  Qx x  y x  y Tính : I  Pdx  Qdy trong các TH sau: C

 a)C là đtr x + y = R , R > 0 tùy ý. 2

2

2

2

2

b)C là đtr (x – 3) + (y – 1) = 2. c)C ={(x,y)/ max {|x|, |y|} =1} d)C là đường cong bao quanh gốc tọa độ nối từ điểm (1, 0) đến (, 0).

Các đường cong đều lấy ngược chiều KĐH. http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

33/50

5/28/2018

y

x

P 2 ,Q  2 , 2 2 x  y x  y 2

2


2

2

2

Q x  x 2y 222x  y2  x 2 2  P y  ( x  y ) ( x  y ) a)C là đtr x2 + y2 = R2, R > 0 tùy ý.

Vì P, Q và các đạo hàm riêng không xác định tại (0, 0) nên không thể áp dụng công thức Green trên hình tròn x2 + y2  R2 . http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

34/50

Tham số hóa C:

5/28/2018

y

x

,Q  2 , P 2 2 2 x  y x  y


 x  R cos t , y  R sin t t : 0  2



I  Pdx  Qdy C 2



R sin t (R sin t )  R cos t (R cos t )

 0

2

R

dt

 2 http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

35/50

Nhận xét: trên đường tròn C, do x2 + y2 = R2,

5/28/2018


thay vào tp ta có

ydx  xdy  I  Pdx  Qdy  2





C

C

R

Lúc này : P   y2 ,Q  x 2 , xác định tại (0, 0).

R

R

Áp dụng ct Green được



I

 C

 ydx  xdy R

2





 1   1  dxdy  2  2 2  R R  2

x 2  y 2 R


36/50

5/28/2018


b)C là đtr (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4.

Áp dụng ct Green trên

1

hình tròn biên C 3





I  Pdx  Qdy  C

Q x  Py   dxdy

( x 3)2  ( y 1)2  4

0 http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

37/50

c)C ={(x,y)/ max { |x|, |y|} = 1} P  

5/28/2018

y


x

2

y

2

,Q 

x x

2

2

 y

,

Không thể áp dụng ct Green trên miền hình vuông (P, Q không xác định tại (0,0). Dùng 1 đường tròn C’ đủ nhỏ bao gốc O (hoặc 1 đtròn đủ lớn bao cả đường cong C). Áp dụng ct Green trên hình vành khăn (HVK) giới hạn bởi C và C’( hình vành khăn sẽ không chứa (0,0)).


38/50

5/28/2018

2 2 2  C : x  y  R lấy cùng chiều KĐH I Pdx  Qdy Bai15TichPhan DuongLoai2-slidepdf.com



C C 

Q x  Py   dxdy  0  



HVK





 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy  2 (theo câu a) C

C

Nhận xét: khi tính tp trong câu c) theo cách này, không sử dụng tham số hóa của đc (C), Nếu C là đường cong tùy ý bao gốc O? http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

39/50

5/28/2018

d)C là đường cong bao quanh gốc O nối từ (1,0) đến (,0) Bai15TichPhan DuongLoai2-slidepdf.com

1

Nối vào C bởi C’ với C’: y = 0, x :   1

Khi đó C  C’ là đường cong kín bao gốc O, áp dụng kết quả câu c).


40/50

TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI

5/28/2018


D là miền mở đơn liên. P, Q và các đạo hàm riêng liên tục trên D. Các điều sau tương đương: P Q 1/  y x B

2 /  Pdx  Qdy không phụ thuộc đường nối A, B A

3 /  Pdx  Qdy với mọi chu tuyến trong D C / Tồn tại hàm U(x, y) thỏa: dU  Pdx  Qdy

4

(Biểu thức dưới dấu tp là vp toàn phần của U) http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

41/50

5/28/2018

Áp dụng 1. Thông thường ta sẽ kiểm tra điều kiện 1 Bai15TichPhan DuongLoai2-slidepdf.com

hoặc 4 (nếu hàm U có thể đoán nhanh). 2. Nếu 1 hoặc 4 thỏa, có 2 cách tính tp từ A đến B C1: Đổi đường lấy tp thông thường đi theo

các đoạn thẳng // với các trục tọa độ B

Lưu ý miền D

A http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

42/50

Áp dụng

5/28/2018


C : với hàm U trong đk 4 2

B



Pdx  Qdy  U (B )  U ( A)

A

Cách tìm U:

C1: Tìm U từ hệ :U’x = P, U’y = Q C2: chọn (x0, y0) tùy ý trong D x

U ( x, y ) 



y

P (t , y 0 )dt 

x0

hay U ( x , y ) 

x

y

 P (t , y )dt   Q(x , t )dt 0

x0 http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2



y 0

Q ( x , t )dt

y 0 43/50

VÍ DỤ

5/28/2018


1/ Tính : I  ydx  xdy



C

C: đoạn thẳng nối 2 điểm (1, -1), (2,1). P’ = Q’ trên R nên tp không phụ thuộc y x 2 đường đi. (2, 1) (2,1) I

 (1, 1)

1 1

2



ydx  xdy  2

(2, 1) 1





1

1

ydx  xdy

 1dx  2dy  3

-1 http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

44/50

Cách khác: nhận thấy hàm U(x, y) = xy thỏa

5/28/2018


dU = ydx + xdy trên R2 nên I = U(2, 1) – U(1, -1) = 2 + 1 = 3


45/50

(0,2)

5/28/2018

2/ Tính : I 




( x  2 y )dx  ydy 2



(2,1)

( x

y )

Theo đường không cắt đường thẳng x + y = 0 P’ = Q’ , y

2

2

I  2

(x,y):

x + y  0

x

0

ydy

 (2  y ) 1

2



( x  4)dx

 ( x  2)

2

2

 ln 2  2

-1

x + y =0 http://slidepdf.com/reader/full/bai-15-tich-phan-duong-loai-2

46/50

5/28/2018


Hoặc(tính U): chọn (x0, y0) = (1, 0) x

U ( x , y ) 

(t  0)dt

(

2

y



(

tdt 2

0 x  t ) t  0) x  ln | x  y |  1 x  y 1


47/50

3/ Tìm các hằng số a, b sao cho tp

5/28/2018


B



(axy 2  3y )dx  [(b  2) x 2 y  (a  b ) x ]dy

A

không phụ thuộc đường đi. Sau đó, với a, b vừa tìm được, tính tp với A(-1, 2), B(0,3).   Py  Qx



B

A

1

5

a  ,b  2 2

1

2

2

U ( x , y )  x y  3xy 4

Pdx  Qdy  U (B )  U ( A)  5


48/50

5/28/2018


4/ Tìm hàm số h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho tp B



(2 xy  3)h( y )dy  y 2h( y )dx

A

không phụ thuộc đường đi. Sau đó, với h vừa tìm được, tính tp với A(-1,1), B(1,1) theo đường tròn x2 + y2 = 2y, lấy cùng chiều KĐH.


49/50

B 5/28/2018




2

I  (2 xy  3)h( y )dy  y h( y )dx A

  h( y )  Py  Qx

1

y 4

 2 x 3  I  2   3  4  dy theo nửa trên đường ( 1,1) y y  y tròn



(1,1)

dx

Đổi đường lấy tp: chọn đường thẳng nối A, B. I 

1



dx

 2


50/50

Bai 15 Tich Phan Duong Loai 2

Recommend Documents