Pertemuan ke-1 Teori Dasar Graf
Kelahiran Teori Graf Teori Graf mulai dikenal pada saat seorang matematikawan bangsa Swiss, bernama Leonhard Euler, berhasil mengungkapkan Misteri Jembatan Konigsberg pada tahun 1736. Di Kota Konigsberg (sekarang bernama Kalilingrad, di Uni Soviet) mengalir sebuah sungai bernama sungai Pregel. Di tengah sungai tersebut terdapat dua buah pulau. Dari kedua pulau tersebut terdapat jembatan yang menghubungi ke tepian sungai dan diantara kedua pulau. Jumlah jembatan tersebut adalah 7 buah seperti gambar berikut : A
Sungai Pregel di Kalilingrad (Uni Soviet)
C
D
B
Konon kabarnya, penduduk kota Konigsberg sering berjalan-jalan ke tempat tersebut pada hari-hari libur. Kemudian muncul suatu keinginan untuk dapat menikmati daerah tersebut dengan melalui ketujuh jambatan tepat satu kali, yakni bermula dari satu tempat (A, B, C atau D) dan kembali ke tempat semula. Mereka berusaha untuk memperoleh rute yang sesuai dengan keinginan tersebut, dengan selalu mencoba
menjalaninya. Setelah mencoba berkali-kali dan karena sudah cukup lama tidak diperoleh rutenya, akhirnya penduduk tersebut mengirim surat kepada Euler. Euler dapat memecahkan masalah tersebut, yakni bahwa perjalanan / rute yang diinginkan (yakni berawal dari suatu tempat, melalui ketujuh jembatan tepat satu kali, dan kembali ke tempat semula) tidak mungkin dicapai.
Secara singkat, dalam tulisannya, Euler menyajikan keadaan jembatan Konigsberg tersebut seperti gambar berikut :
A
C
D
B
Dalam masalah di atas, daratan (tepian A dan B, serta pulau C dan D) disajikan sebagai titik dan jembatan disajikan sebagai ruas garis. Euler mengemukakan teoremanya yang mengatakan bahwa perjalanan yang diinginkan di atas (yang kemudian dikenal sebagai perjalanan Euler) akan ada apabila graf terhubung dan banyaknya garis yang datang pada setiap titik (derajat simpul) adalah genap.
Problema & Model Graf Secara umum, langkah-langkah yang perlu dilalui dalam penyelesaian suatu masalah dengan bantuan komputer adalah sebagai berikut : Problema → Model Yang Tepat → Algoritma → Program Komputer
Contoh problema graf : 1. Petugas kantor telepon yang ingin mengumpulkan koin-koin dari telepon umum. Berangkat dari kantor & kembali ke kantornya lagi. Yang diharapkan → suatu rute perjalanan dengan waktu minimal. Masalah di atas dikenal sebagai Travelling Salesman Problem Sebagai contoh :
1 12
8 11
11 9 9
5 11
4
2
7
10
* waktu dalam menit
8
3
1
= Kantor
Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Tetangga Terdekat (yakni menggunakan Metode Greedy)
2. Perancangan Lampu Lalu Lintas. Yang diharapkan → pola lampu lalu lintas dengan jumlah fase minimal. Sebagai contoh :
C
D
B
E
F A A
B
A
C
B
C D
A
E
B
E D
F
B
C
F
C
E
F
E
Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Pewarnaan Graf (juga dikenal sebagai Graph Coloring, yakni menggunakan Metode Greedy)
Graf Secara Formal Sebuah Graf G mengandung 2 himpunan : (1). Himp. V, yang elemennya disebut simpul → Vertex / point / titik / node (2). Himp. E, yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul-simpul, disebut ruas
→ Edge / rusuk / sisi Sehingga sebuah graf dinotasikan sebagai G ( V, E )
Contoh : G ( V, E ) V = { A, B, C, D } E = { ( A, B ), ( B, C ), ( C, D ), ( D, A ), ( B, D ) }
Secara Geometri :
A
e2
e1
B e3
e5
D
C
e4
→ terdiri dari 4 simpul dan 5 ruas
Tidak ada ketentuan khusus dalam penyajian graf secara geometri, seperti dimana dan bagaimana menyajikan simpul dan ruas. Berikut contoh penyajian Graf yang sama, tetapi disajikan berbeda.
A
A
A D
B
C
D
B
C
B
D
C
Beberapa istilah lain dalam graf : Berdampingan simpul U dan V disebut berdampingan bila terdapat ruas (U,V) Order banyaknya simpul Size banyaknya ruas Self-loop (loop) / Gelung ruas yang menghubungkan simpul yang sama ( sebuah simpul ) Ruas sejajar / berganda ruas-ruas yang menghubungkan 2 simpul yang sama
Sebuah graf dikatakan multigraf bila graf tersebut mengandung ruas sejajar atau gelung. Sedangkan graf yang tidak mengandung ruas sejajar atau gelung dikenal sebagai graf sederhana, atau yang disebut graf. Adapun contoh multigraf adalah sebagai berikut.
e2 A
e3
e1 A
e5
A
e4
Multigraf
A
e6
Subgraf G‘(V‘, E‘) adalah Subgraf dari G (V, E) bila : V‘ ⊂ V dan E‘ ⊂ E Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘ adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘ (Spanning Subgraph)
Contoh :
G:
A
e2
e1
B e3
e5
D
C
e4
G’ :
G’ :
A
e2
A
B
e1
e1
e5
e5 D
D
B
G’ spanning subgrapf dari G
G’ subgraf dari G
Graf berlabel Graf berlabel/ berbobot adalah graf yang setiap ruasnya mempunyai nilai/bobot berupa bilangan non negatif. Contoh : B
D
3
12
F
3
8 2
A
2
6
2
H
3 19
4 C
13
E
3
G
Isomorfisma G (V,E) dan G* (V*,E*) adalah 2 buah Graf. f:V→V*
suatu fungsi satu-satu dan pada, sedemikian sehingga (u,v) adalah ruas
dari G jika dan hanya jika (f (u),f(v)) adalah ruas dari G * Maka f disebut fungsi yang isomorfisma dan G & G * adalah graf-graf yang isomorfis Contoh : Graf yang berbentuk huruf A & R, X & K, F & T, dan V & Z, di bawah ini adalah isomorfis.
Homomorfis Jika G* dan G** diperoleh dari G dengan membagi beberapa ruas dari G oleh penambahan beberapa simpul pada ruas tersebut, maka disebut homomorfis
kedua graf G* dan G**
Contoh :
G
G*
G**
Operasi pada Graf Berdasarkan definisi graf (yang terdiri dari 2 himpunan) dan operasi pada himpunan, maka pada graf juga dapat dilakukan operasi-operasi. Bila diketahui 2 buah graf : G1(V1,E1) dan G2(V2,E2), maka : 1. Gabungan G1 ∪ G2 adalah graf dengan himpunan V nya = V1 ∪ V2 dan himpunan E nya = E1 ∪ E2 2. Irisan G1 ∩ G2 adalah graf dengan himpunan V nya = V1 ∩ V2 dan himpunan E nya = E1 ∩ E2 3. Selisih G1 - G2 adalah graf dengan himpunan V nya = V1 dan himpunan E nya = E1 E2 Sedangkan Selisih G2 – G1 adalah graf dengan himpunan V nya = V2 dan himpunan E nya = E2 – E1 4. Penjumlahan Ring G1 ⊕ G2 adalah graf yang dihasilkan dari (G1 ∪ G2) – (G1 ∩ G2) atau (G1 - G2) ∪ (G2 - G1)
Contoh :
G1 A
G2
e1 e5 e6
e4
e8
D
e7
E e3
B
A
e2
e4
C
D
e1
B e2
e3
C
e10 F
G1 ∪ G2 A e4
G1 ∩ G2 B
e1 e5 e6 e8
D
E
e1
A
e2
e7
e3 e10
e9
B
e4
C
e2
D
e3
C
e9
G1 ⊕ G2 A
B e5 e6 e8
E
e7
D
C e10
e9
G1 - G2
G2 – G1
A
B e5 e6 e8
D
E
D
C e10
e7 C
e9
Graf Null / Hampa Ada beberapa pengertian tentang graf null/hampa. Di sini akan dipakai pengertian bahwa suatu graf dikatakan graf null/hampa bila graf tersebut tidak mengandung ruas. Contoh :
G:
V ≠ ∅ dan E=∅
V1 V2
V3
Suatu graf G dikatakan dikomposisikan menjadi K dan L bila G = K ∪ L dan K ∩ L = ∅ Contoh :
A
B
K A
B D A
C B
C
D
L
G C
Penghapusan / Deletion Penghapusan dapat dilakukan pada simpul ataupun ruas. 1) Penghapusan Simpul .
Notasinya : G – {V} Contoh : V1
V2
V4
V1
V5
V7
V3
V5
V4
V6
V3
V7
V6
Penghapusan Simpul V2
2) Penghapusan Ruas . Notasinya : G – {e} Contoh :
e1 e2
e3
e1 e4
e4
e2
e5
e5 Penghapusan Ruas e3
Pemendekan / Shorting Pemendekan/Shorting adalah menghapus simpul yang dihubungkan oleh 2 ruas (simpul berderajat 2), lalu menghubungkan titik-titik ujung yang lain dari kedua ruas tersebut. Contoh :
A
B
D
C
B
D
pemendekan terhadap simpul A dan C
Derajat Graf Derajat graf adalah jumlah dari derajat simpul-simpulnya. Sedangkan derajat simpul adalah banyaknya ruas yang incidence (terhubung) ke simpul tersebut. Contoh :
A
C
d (A) = 2 d (B) = 5 d (C) = 3 d (D) = 3 d (E) = 1 d (F) = 0 + Σ = 14
= 2 x Size
B
F
E D
Berdasarkan derajat simpul, sebuah simpul dapat disebut : • Simpul Ganjil, bila derajat simpulnya merupakan bilangan ganjil • Simpul Genap, bila derajat simpulnya merupakan bilangan genap • Simpul Bergantung / Akhir, bila derajat simpulnya adalah 1 • Simpul Terpencil, bila derajat simpulnya adalah 0
Keterhubungan Dalam keterhubungan sebuah graf, akan dikenal beberapa istilah-istilah berikut : 1. Walk : barisan simpul dan ruas 2. Trail : Walk dengan ruas yang berbeda 3. Path / Jalur : Walk dengan simpul yang berbeda 4. Cycle / Sirkuit : Trail tertutup dengan derajat setiap simpul = 2 Contoh :
B
b
a
d
A
e
D
h
c
C
g
f
1) A, B, C, D, E, F, C, A, B, D, C → Walk 2) A, B, C, D, E, F, C, A → Trail 3) A, B, C, A → Cycle 4) A, B, D, C, B, D, E → Walk 5) A, B, C, D, E, C, F → Trail 6) A, B, D, C, E, D → Trail 7) A, B, D, E, F, C, A → Cycle 8) C, E, F → Path
E
k
F
9) B, D, C, B → Cycle 10) C, A, B, C, D, E, C, F, E → Trail 11) A, B, C, E, F, C, A → Trail
Graf yang tidak mengandung cycle disebut dengan Acyclic Contoh :
Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap 2 simpul dari graf terdapat jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Subgraf terhubung suatu graf disebut komponen dari G bila subgraf tersebut tidak terkandung dalam subgraf terhubung lain yang lebih besar. Jarak antara 2 simpul dalam graf G adalah panjang jalur terpendek antara ke-2 simpul tersebut. Diameter suatu graf terhubung G adalah maksimum jarak antara simpul-simpul G.
Ada Subgraf S dari graf terhubung G, yang bila kita ambil / pindahkan dari G, akan menyebabkan G tidak terhubung . Kalau tidak ada Subgraf sejati R dari S, yang pemindahannya juga menyebabkan G tidak terhubung, maka S disebut Cut-Set dari G.
Graf Regular Sebuah graf dikatakan graf regular bila derajat setiap simpulnya sama.
Contoh :
Pertemuan ke-2 Teori Dasar Graf (Lanjutan)
Matriks dan Graf Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. Matriks-matriks yang dapat menyajikan model graf tersebut antara lain : •
Matriks Ruas
•
Matriks Adjacency
•
Matriks Incidence
Sebagai contoh, untuk graf seperti di bawah ini : e5 e4
V1 e1
V4 e6
Maka, Matriks Ruas : nx2 1 1 1 1 2 3 3 4
2 3 4 5 3 4 5 5
e3
V5 e7
e2
V2
e8
V3
Atau : 2xn 1 2
1 3
1 4
1 5
2 3
3 4
3 5
V2 1 0 1 0 0
V3 1 1 0 1 1
V4 1 0 1 0 1
V5 1 0 1 1 0
e2 1 0 1 0 0
e3 0 1 1 0 0
e4 1 0 0 1 0
e5 1 0 0 0 1
4 5
Matriks Adjacency : V1 V2 V3 V4 V5
V1 0 1 1 1 1
Matriks Incidence : V1 V2 V3 V4 V5
e1 1 1 0 0 0
e6 0 0 1 1 0
e7 0 0 1 0 1
e8 0 0 0 1 1
Graf Planar Sebuah graf dikatakan graf planar bila graf tersebut dapat disajikan (secara geometri) tanpa adanya ruas yang berpotongan. Sebuah graf yang disajikan tanpa adanya ruas yang berpotongan disebut dengan penyajian planar/map/peta.
Contoh :
K4
Graf Planar
Penyajian Planar
Graf yang termasuk planar antara lain : •
Tree / Pohon
•
Kubus
•
Bidang Empat
•
Bidang Delapan Beraturan
Tree / Pohon
Kubus
Bidang Empat
Bidang Delapan Beraturan
Pada penyajian planar/map, dikenal istilah region. Derajat dari suatu region adalah panjang walk batas region tersebut Contoh :
D r4 B
A
r2
F
E
r1
r3 C
r5
d ( r1 ) = 3 d ( r2 ) = 3 d ( r3 ) = 5 d ( r4 ) = 4 d ( r5 ) = 3 + Σ = 18 = 2 x SIZE Region dengan batasnya gelung, maka d (r) = 1 Region dengan batasnya ruas sejajar, maka d (r) = 2
Formula Euler untuk Graf Planar Untuk Graf Planar berlaku Formula Euler berikut : V–E+R=2
Dimana
p = jumlah simpul dan q = jumlah ruas
Graf Non-Planar Sebuah graf yang tidak dapat disajikan (secara geometri) tanpa adanya ruas yang berpotongan dikenal sebagai graf non planar. Contoh :
K3,3 Utility Graph
K5 = Bintang
Teorema Kuratowski ( 1930 ) Suatu graf adalah Non-Planar jika dan hanya jika mengandung subgraf yang Homomorfis ke K3,3 atau ke K5
Pewarnaan Graf Pewarnaan graf adalah pemberian warna terhadap simpul-simpul graf dimana 2 buah simpul yang berdampingan tidak boleh mempunyai warna yang sama. G berwarna n artinya graf tersebut menggunakan n warna. Bilangan kromatis dari G = K(G) adalah jumlah minimum warna yang dibutuhkan.
Algoritma yang dapat digunakan untuk mendapatkan bilangan kromatis dari sebuah graf adalah Algoritma Welch-Powell. Adapun langkah-langkahnya adalah : 1. Urutkan simpul-simpul berdasarkan derajatnya. Dari besar ke kecil. 2. Warnai.
Contoh :
B
A
C
D
F
E H G
Langkah 1 : urutan simpulnya dari besar ke kecil adalah : E, C, G, A, B, D, F, H
Langkah 2 : mewarnai : warna Merah : E, A warna Putih : C, D, H warna Biru : G, B, F
Sehingga bilangan kromatis graf di atas adalah 3.
Teorema : Pernyataan berikut adalah ekivalen : (1) G berwarna 2 (2) G adalah bipartisi (3) Setiap sirkuit dalam G mempunyai panjang genap
Graf Lengkap k dengan n simpul membutuhkan n warna
Teorema : Suatu graf planar G adalah berwarna 5
Pewarnaan Region Pewarnaan region dapat dilakukan (seperti pemberian warna pada wilayah-wilayah di peta) dengan cara membuat dual dari map tersebut. Gambarkan sebuah simpul baru pada masing-masing region suatu map M, kemudian buat sebuah ruas yang menghubungkan simpul pada 2 buah region yang berdampingan bila terdapat ruas sebagai batas / persekutuan kedua region tersebut. Buatlah tanpa adanya ruas baru yang berpotongan, maka akan terbentuk suatu map M*, yang disebut dual dari map M. Setelah Dualnya terbentuk, dapar dilakukan pewarnaan terhadap simpul-simpulnya. Simpul-simpul tersebut mewakili region sebelumnya, sehingga warna yang digunakan untuk suatu simpul berarti warna yang dapat digunakan untuk pewarnaan region yang diwakilinya.
Teorema : suatu map M adalah berwarna 5 Setiap graf planar adalah berwarna (simpul) 4 Dibuktikan oleh Apple & Haken (1976) – 2000 Graf, jutaan kasus.
Pertemuan ke-3 Pohon (Tree)
Pohon Tree atau pohon adalah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Untuk itu perlu diingat kebali bahwa : •
Suatu Graf G disebut terhubung apabila untuk setiap dua simpul dari graf G selalu terdapat jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
•
Sirkuit atau cycle adalah suatu lintasan tertutup dengan derajat setiap simpul dua.
Contoh :
Sifat :
Suatu Graf G adalah Pohon jika dan hanya jika terdapat satu dan hanya satu jalur diantara setiap pasang simpul dari Graf G.
Teorema : Suatu Graf G dengan n buah simpul adalah Pohon jika : (1)
G terhubung dan tak mengandung sirkuit, atau
(2)
G tidak mengandung sirkuit dan mempunyai n-1 buah ruas, atau
(3)
G mempunyai n-1 buah ruas dan terhubung
Pohon Rentangan Suatu spanning tree atau pohon rentangan adalah suatu subgraf dari graf G yang mengandung semua simpul dari G, dan merupakan suatu pohon. GRAF G n simpul m ruas
Contoh :
SPANNING TREE n simpul n – 1 ruas
m – ( n – 1)
Keterangan Branch Chord
Contoh :
BRANCH (CABANG)
CHORD
Graf G :
Pohon Rentangan dari Graf G :
Pohon Rentangan Minimal Apabila G suatu Graf berbobot (Suatu Network); maka pohon rentangan minimal dari graf adalah pohon rentangan dengan jumlah bobot terkecil. ⇒
Minimal spanning tree
Contoh :
.
8
.
17
.
19
12
.
11
.
13 10
.
15
14
.
18
.
16
9
.
Untuk mendapatkan pohon rentangan minimal dapat digunakan Algoritma •
Solin
•
Kruskal
•
Prim’s
berikut :
SOLIN 1.
Urutkan ruas dari G menurut bobotnya; dari besar ke kecil.
2.
Lakukan penghapusan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan; dengan ketentuan bahwa penghapusan ruas tersebut tidak menyebabkan graf menjadi tidak terhubung.
KRUSKAL 1.
Urutkan ruas dari G menurut bobotnya; dari kecil ke besar.
2.
Lakukan penambahan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan; dengan ketentuan bahwa penambahan ruas tersebut tidak menyebabkan adanya sirkuit.
PRIM’S = Kruskal + menjaga graf tetap terhubung
Untuk mencari pohon rentangan maksimal, dapat dilakukan dengan dengan cara merubah bobot tiap ruas menjadi – (bobot yang lama)
Definisi : Hutan atau foresi adalah graf yang tidak mengandung sirkuit. ∴ Pohon adalah hutan yang terhubung
Contoh :
Pertemuan ke-4
Berbagai Jenis Pohon (Tree)
Pohon Berakar Suatu pohon berakar R adalah suatu pohon bersama dengan suatu simpul r yang dirancang/ditunjuk sebagai akar (root) dari R. Seperti diketahui bahwa hanya terdapat satu jalur antara r dengan simpul lain v pada pohon pohon tersebut. Panjang jalur antara r dengan simpul v disebut level atau kedalaman simpul v. Simpul bukan akar, yang berderajat satu disebut daun. Jalur antara suatu simpul dengan suatu daun disebut cabang (branch). Berikut ini contoh pohon berakar. Contoh : R a
d
b
e
c
g
f
h
i
j
Suatu pohon dapat dijadikan suatu pohon berakar cukup dengan mengangkat salah satu simpul sebagai akar. Dengan adanya akar, setiap ruas dari pohon seolah-olah mempunyai arah, yang bermula dari akar tersebut. Simpul u dikatakan mendahului simpul v jika jalur dari akar r ke v melalui u. Dikatakan u mendahului langsung v bila u mendahului v serta simpul u dan v berdampingan. Pada contoh di atas, a mendahului d, mendahului e, dan mendahului h.
Suatu pohon berakar dapat digunakan untuk menelusurisemua kemungkinan dari kejadian, dengan masing-masing kejadian dapat muncul dalam sejumlah hingga cara. Bebarapa contoh lain yang penting dari pohon berakar adalah pohon binar (binary tree) dan pohon sintaks (syntax tree) atau pohon derivasi (derivation tree).
Pohon Binar Dalam struktur data, pohon memegang peranan yang cukup penting. Struktur ini biasanya digunakan terutama untuk menyajikan data yang mengandung hubungan hirarkikal antara elemen-elemen mereka. Bentuk pohon khusus yang lebih mudah dikelola dalam komputer adalah pohon binary. Bentuk ini merupakan bentuk pohon yang umum. Sebuah pohon binar T didefinisikan terdiri dari sebuah himpunan hingga elemen yang disebut simpul (node), sedemikian sehingga : a. T adalah hampa (disebut pohon null) atau b. T mengandung simpul R yang dipilih (dibedakan dari yang lain), disebut akar (root) dari T, dan simpul sisanya membentuk 2 pohon binar (subpohon kiri dan subpohon kanan dari R) T1 dan T2 yang saling lepas.
Perhatikan bahwa pendefinisian pohon binar di atas adalah rekursif. Jika T1 tidak hampa, maka simpul akarnya disebut suksesor kiri dari R. Hal serupa untuk akar dari T2 (tidak hampa) disebut suksesor kanan dari R. Untuk menyajikan pohon binar, simpul akar adalah simpul yang digambar pada bagian paling atas. Sedangkan suksesor kiri digambarkan sebagai garis ke kiri bawah dan suksesor kanan sebagai garis ke kanan bawah.
Contoh :
A B
D
C
E
G
F
H
I
J
K
Pohon Sintaks Untuk menjelaskan mengenai bahasa secara teoritis dan formal, kita lihat terlebih dahulu sebuah kalimat sehari-hari dalam bahasa Indonesia, yaitu : SI KUCING KECIL MENENDANG BOLA BESAR
Gambar penguraian kalimat di atas membentuk struktur pohon, yang disebut pohon sintaks dari kalimat. Disini kalimat dibagi-bagi berdasar jenis dan fungsi kata. Dari pelajaran bahasa Indonesia kita tahu bahwa kalimat di atas telah benar susunannya, atau telah benar tata bahasanya. Pohon sintaks dari kalimat di atas dapat dilihat sebagai berikut :
KALIMAT
Subyek
Predikat
Obyek
Kata Sandang
Si
Kata Benda
Kata Keadaan
Kucing
Kecil
Kata Kerja
Menendang
Kata Benda
Kata Keadaan
Bola
Besar
Pertemuan ke-5 Graf Berarah
Graf Berarah Di dalam situasi yang dinamis, seperti pada komputer digital ataupun pada sistem aliran (flow system), konsep graf berarah lebih sering digunakan dibandingkan dengan konsep graf tak berarah. Suatu graf berarah (Directed Graph, yang dikenal sebagai Digraf) D terdiri dari 2 himpunan : (1). Himp. V, yang elemennya disebut simpul → Vertex / point / titik / node (2). Himp. A, yang merupakan pasangan terurut dari simpul-simpul, disebut ruas berarah → Arc / arkus Sehingga sebuah digraf dinotasikan sebagai D ( V, A )
Contoh : Sebuah graf berarah D(V,A), dengan : 1. V = { 1, 2, 3, 4 } 2. A = { (1,4), (2,1), (2,1), (4,2), (4,3), (2,3), (2,2) }
1
4
2 3
Arc (2,2) disebut gelung (self-loop), sedangkan arc (2,2) muncul 2 kali, disebut arc sejajar atau arc berganda.
Apabila arc suatu graf berarah mempunyai suatu bobot, graf berarah tersebut dinamakan suatu jaringan atau network.
Beberapa Pengertian dalam graf berarah : •
Derajat ke luar (out degree) suatu simpul adalah banyaknya arc yang mulai / keluar dari simpul tersebut.
•
Derajat ke dalam (in degree) suatu simpul adalah banyaknya arc yang berakhir / masuk ke simpul tersebut.
•
Simpul berderajat ke dalam = 0 disebut sumber (source), sedangkan simpul berderajat ke luar = 0 disebut muara (sink).
•
Pengertian Walk, Trail, Path (Jalur) dan Sirkuit (Cycle) berlaku pula pada graf berarah, dimana harus sesuai dengan arah arc. Kalau tidak sesuai dengan arah arc-nya, maka disebut sebagai semi walk, semi path atau semi trail.
Pada graf berarah terdapat 3 pengertian keterhubungan, yakni : •
Terhubung lemah, jika terdapat suatu semi path antara setiap 2 simpul dari D.
•
Terhubung unilateral, jika antara setiap 2 simpul u dan v dari D, terdapat jalur dari u ke v atau dari v ke u.
•
Terhubung kuat, jika antara setiap 2 simpul u dan v dari D, terdapat jalur dari u ke v dan dari v ke u.
Contoh :
A
B
A
B
C
C
Terhubung Lemah
Terhubung Unilateral
A
B
C Terhubung Kuat
Relasi dan Matriks Pandang D(V,A) suatu graf berarah tanpa arc sejajar, maka A adalah himpunan bagian dari V x V (produk Cartesis himpunan), jadi merupakan Relasi pada V. Sebaliknya bila R adalah Relasi pada suatu himpunan V, maka D(V,R) merupakan graf berarah tanpa arc sejajar. Jadi konsep Relasi dan konsep graf berarah tanpa arc sejajar adalah satu dan sama.
Misalkan D(V,A) suatu graf berarah dengan simpul v1, v2, … , vm. Matriks M berukuran (mxm) merupakan matriks (matriks adjacency) dari D, dengan mendefinisikan sebagai berikut : M = (Mij), dengan mij banyaknya arc yang mulai di vi dan berakhir di vj Bila D tidak mengandung arc berganda, maka elemen M adalah 0 dan 1. Kalau Graf berarah mengandung arc berganda, elemen M merupakan bilangan bulat non negatif. Jadi suatu matriks berukuran (mxm) yang elemennya bilangan bulat non negatif menyatakan secara tunggal suatu graf berarah dengan m simpul.
Contoh :
D(V,A) : V1
V2
V4
V3
1
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
1
0
0
1
0
Matriks M
Teorema : M adalah Matriks dari sutau graf berarah D, maka elemen baris ke i kolom ke j dari Matriks Mn menyatakan banyaknya walk dengan panjang n dari simpul vi ke simpul vj.
Algoritma Jalur Terpendek Pandang D suatu graf berarah yang hingga dengan tiap-taip arc mempunyai bobot. Jadi D merupakan suatu network. Kita hendak menentukan Jalur Terpendek antara 2 simpul u dan v. Gambar berikut merupakan suatu network. Kita ingin menghitung jalur terpendek dari simpul u ke simpul v.
4
x 4
a
3 6
u
2
y
Sumber
3
2
2
3
b
v Muara
1
3
2
c
z 5
Untuk dapat menentukan jalur terpendeknya, kita gunakan cara berikut : •
Buat table jarak, dengan tiap kolom mewakili simpul yang ada, dan kita isikan data jarak dari satu simpul ke simpul lainnya sesuai dengan kolom yang ada. Usahakan diurut dari yang kecil ke besar. u
x
y
z
a
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
b bv = 3
c
v
cv = 3
uy = 6 •
Kita mulai dengan simpul u sebagai simpul awal. Beri harga = 0. Ambil simpul dengan jarak terdekat dari u, dalam hal ini z (uz =2), kemudian tandai uz. Semua arc lain, yang berakhir di z kita hapus. Beri harga = 2 pada kolom z. Kemudian
pada judul kolom yang telah diberi harga, kita tandai *. Hasil langkah tersebut dapat dilihat pada tabel berikut ini : u* (0)
x
y
z* (2)
a
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
b bv = 3
c
v
cv = 3
uy = 6
•
Dari simpul u dan z (yang telah ditandai *), dicari simpul lain yang jaraknya terdekat dihitung dari u. Jadi harus diperhitungkan harga yang tertulis di judul kolom. Disini ux =4 merupakan nilai terkecil, sehingga kita beri harga pada kolom x = 4, kemudian kita hapus data yang berakhir dengan x dan kita beri tanda * pada judul kolom x. Hasil langkah tersebut dapat dilihat pada tabel berikut ini : u* (0)
x* (4)
y
z* (2)
a
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
b bv = 3
c
v
cv = 3
uy = 6
•
Demikian proses dilanjutkan berturut-turut sebagai berikut : u* (0)
x* (4)
y* (4)
z* (2)
a
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
u* (0)
x* (4)
y* (4)
z* (2)
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
b bv = 3
c
v
cv = 3
uy = 6
uy = 6
a
b bv = 3
c* (5) cv = 3
v
u* (0)
x* (4)
y* (4)
z* (2)
a
b* (6)
c* (5)
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
bv = 3
cv = 3
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
u* (0)
x* (4)
y* (4)
z* (2)
a* (8)
b* (6)
c* (5)
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
bv = 3
cv = 3
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
u* (0)
x* (4)
y* (4)
z* (2)
a* (8)
b* (6)
c* (5)
uz = 2
xy = 3
yc = 1
zy = 2
ab = 2
bv = 3
cv = 3
ux = 4
xa = 4
yb = 2
zc = 5
av = 3
v
uy = 6
v
uy = 6
v* (8)
uy = 6
Dari tabel terakhir, data yang kita gunakan adalah data yang ditandai kotak. Terlihat dari judul kolom masing-masing simpul, harga yang merupakan jarak terpendek dari simpul awal (dalam hal ini simpul u) ke simpul tersebut. Sebagai contoh, jarak terpendek dari u ke v adalah 8. Sedangkan dari u ke c adalah 5, dan seterusnya. Jalur terpendek dari u ke v dapat ditentukan dengan cara mundur, yakni dari data yang ada yang berakhir dengan v adalah cv, kemudian yang berakhir dengan c adalah yc, yang berakhir dengan y adalah zy dan yang berakhir dengan z adalah u. Sehingga jalur yang dimaksud adalah : u → z → y → c → v Penggambaran dari solusi tersebut adalah sebagai berikut :
4
x 4
3 6
u
a
2
y
Sumber
3
2
2
b
3
v Muara
1
3
2
c
z 5
Problema Aliran Maksimal Tujuan dari problema aliran maksimal adalah mengatur jadwal pengiriman barang agar jumlah barang yang dikirimkan dari suatu simpul ke simpul lain (yang tertentu) adalah maksimum. Simpul yang mengirimkan (simpul awal) disebut sumber (source) dan simpul yang menerima kiriman disebut muara (sink). Antara sumber dan muara terdapat pula simpul lain yang disebut simpul perantara. Dalam hal ini ditetapkan bahwa simpul perantara tidak dapat menyimpan barang.
Contoh :
8 sumber
10
a
0
4
b
4
5 0
c
d 0
5
7
0
10
muara
Untuk menyelesaikan problema aliran maksimal ini dapat digunakan beberapa cara, antara lain dengan menelusuri satu persatu jalur yang dapat dilalui ataupun dengan memanfaatkan max flow min cut. Adapun aliran maksimal dari contoh ini adalah 22.
Pertemuan ke-6 Graf Berarah (Lanjutan)
Mesin State Hingga Mesin State Hingga merupakan suatu struktur abstrak yang didefinisikan terdiri atas : (1)
Himpunan hingga A, berisi simbol input
(2)
Himpunan hingga S, berisi internal state
(3)
Himpunan hingga Z, berisi simbol output
(4)
Sebuah fungsi f : S x A → S, disebut fungsi next-state
(5)
Seubuah fungsi g : S x A → Z disebut fungsi output
⇒
M ( A, S, Z, f, g)
⇒
M (A, S, Z, q0, f, g)
Contoh :
M ( A, S, Z, f, g) dengan :
(1)
A
= (a,b)
(2)
S
= (q0, q1, q2)
(3)
Z
= ( x, y, z)
(4)
f
:
(5)
INPUT : OUTPUT :
S x A → S, yang didefinisikan sebagai : f (qo, a) = q1
f (q0, b) = q2
f (q1, a) = q2
f (q1, b) = q1
f (q2, a) = qo
f (q2, b) = q1
g : S x A → Z, yang didefinisikan sebagai : g (q0, a) = x
g (q0, b)= y
g (q1, a) = x
g (q1, b)= z
g (q2, a) = z
g (q2, b)= y
Untai Untai
Automata Hingga Automata Hingga merupakan suatu struktur abstrak yang didefinisikan terdiri atas : (1) Himpunan hingga A, berisi simbul input
⇒
(2)
Himpunan hingga S, berisi internal state
(3)
Himpunan T (dimana T ⊂ S), elemennya disebut state penerima
(4)
State awal (biasanya q0), anggota S
(5)
Fungsi next-state f : S x A → S INPUT OUTPUT
M (A, S, T, qo, f)
: Untai : Diterima atau ditolak
Contoh : M (A, S, T, qo, f) dengan : (1)
A = { a, b }
(2)
S = { q0, q1, q2 }
(3)
T = { qo, q1 }
(4)
State awal = q0
(5)
Fungsi next-state f : S x A → S, yang didefinisikan sebagai tabel berikut : f
a
b
q0
q0
q1
q1
q0
q2
q2
q2
q2
Pertemuan ke-7 Algoritma
Algoritma Istilah algoritma pertama kali diperkenalkan oleh seorang ahli matematika yaitu Abu Ja’far Muhammad Ibnu Musa Al Khawarizmi. Yang dimaksud dengan algoritma adalah : Urutan dari barisan instruksi untuk menyelesaikan suatu masalah Adapun algoritma dapat dinyatakan dalam bentuk : flow chart, diagram alur, bahasa semu Sedangkan
secara
bahasa,
algoritma
berarti
suatu
metode
khusus
untuk
menyelesaikan suatu masalah yang nyata (dari Webster Dictionary).
Dari suatu permasalahan yang akan diselesaikan, bisa terjadi terdapat lebih dari satu algoritma. Dalam memilih algoritma yang terbaik yang dapat digunakan, harus diperhatikan beberapa kriteria. Kriteria tersebut antara lain : •
Efektif dan efisien
•
Jumlah langkahnya berhingga
•
Berakhir
•
Ada output
•
Terstruktur
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam proses penyelesaian masalah dengan bantuan komputer adalah sebagai berikut :
MASALAH ?
MODEL
ALGORITMA
PROGRAM
DATA
EKSEKUSI
HASIL / SOLUSI
Studi Tentang Algoritma Hal-hal yang akan dipelajari mengenai studi algoritma yaitu : 1.
Bagaimana Merencanakannya
2.
Bagaimana Menyatakannya
3.
Bagaimana Validitasnya
4.
Bagaimana Menganalisisnya
5.
Bagaimana Menguji suatu program
Merencanakan algoritma : Merupakan suatu studi tentang teknik variasi design (model) Menyatakan algoritma : Menyatakannya dengan singkat, dibuat dalam bahasa pemrograman yang terstruktur, misalnya Pascal, C
Validitas algoritma : Memenuhi kebutuhan yang diinginkan, dan perhitungannya/solusinya selalu benar untuk semua kemungkinan input yang legal Menganalisis algoritma : Perbandingan dari waktu perhitungan dan banyaknya storage/memori yang digunakan (efisiensi) Menguji suatu program : Pengujian suatu program yang dilakukan dalam dua fase, yakni : •
Fase Debugging : → proses dari eksekusi program yang mengkoreksi kesalahan dalam bahasa pemrograman (logic & syntax)
•
Fase Profiling : → program sudah benar → melihat/mengukur waktu tempuh & storage
Analisis Algoritma Sebagaimana studi tentang algoritma, maka faktor yang sangat diperhitungkan adalah faktor efisiensi, yang meliputi : a.
b.
Waktu tempuh (running time) •
banyaknya langkah
•
besar dan jenis input data
•
jenis operasi
•
jenis komputer dan kompilator
Jumlah memori yang dipakai
Dalam hal menganalisis algoritma, dikenal istilah kompleksitas. Kompleksitas adalah : Sebuah fungsi F(N) yang diberikan untuk waktu tempuh dan / atau kebutuhan storage dengan ukuran N input data Kompleksitas ini dapat berupa kompleksitas waktu & memori
Beberapa definisi kompleksitas: 1. f(n) = Ο(g(n)) ⇔ ∃ dua konstanta positif c dan n0 ∋ f(n) ≤ cg(n) ∀ n ≥ n0 2. f(n) = Ω(g(n)) ⇔ ∃ konstanta positif c dan n0 ∋ f(n) ≥ cg(n) ∀ n 〉 n0 3. f(n) = θ(g(n)) ⇔ ∃ konstanta positif c1, c2 dan n0 ∋ c1g(n)≤ f(n) ≤ c2g(n) ∀ n 〉 n0 4. f(n) ∼ ο(g(n)) ⇔ ∃ sebuah konstanta positif n0 ∋ lim f ( n ) / g ( n ) → 1, ∀ n 〉 n0
n →∞
Dari keempat definisi di atas, yang paling banyak digunakan untuk menganalisis algoritma adalah definisi 1 (Big Oh).
Teorema : Jika f(n) = am nm + am-1 nm-1 + . . .+ a1 n + a0 adalah polinomial tingkat m, maka f(n) = Ο(nm)
Sebagai contoh : f(n) = 3n5 + 4n4 + 10n2 + 56
= Ο(n5 )
f(n) = 9n7 + 5n6 + 36
= Ο(n7 )
f(n) = 8n9
= Ο(n9 )
f(n) = n6 + 19
= Ο(n6 )
f(n) = 25
= Ο(n0 ) = Ο(1)
Berikut ini adalah urutan dari Big Oh - Big Oh : Ο(1) 〈 Ο(log n) 〈 Ο(n) 〈 Ο(n log n) 〈 Ο(n2) 〈 Ο(n3) 〈 Ο(2n)
Berikut ini beberapa contoh analisis terhadap algoritma Contoh 1 : (i)
c←a+b
(ii)
for i ← 1 to n do c←a+b repeat
(iii)
for i ← 1 to n do for j ← 1 to n do c←a+b repeat repeat
Analisisnya : banyaknya
f(n)
Big Oh
operasi + (i)
1 kali
f(n) = 1
Ο(1)
(ii)
n kali
f(n) = n
Ο(n)
(iii)
n2 kali
f(n) = n2
Ο(n2)
Contoh 2 : Penjumlahan 2 buah matriks berorde (m X n) dan elemennya real
1.
Set A[i,j], B[i,j], C[i,j] real
2.
Untuk i ← 1 s/d m kerjakan
3.
untuk j ← 1 s/d n kerjakan
4.
C[i,j] ← A[i,j] + B[i,j]
5. 6.
akhir j akhir i
Analisisnya : jumlah operasi +
= mn kali
jumlah memori
= 3 mn x 4 = 12 mn
(asumsi : 1 elemen memerlukan 4 satuan memori/byte) total
= 13 mn
Keadaan Dari Kompleksitas Waktu Algoritma Keadaan dari kompleksitas waktu algoritma meliputi : a.
WORST Case
→
nilai maksimum dari f(n) ∀ input yang mungkin
b.
BEST Case
→
nilai minimum dari f(n) ∀ input yang mungkin
c.
AVERAGE Case
→
nilai ekspektasi dari f(n)
Contoh 3 : Menentukan lokasi suatu elemen pada array data secara linier
1.
Set k:= 1 ; loc := 0
2.
Repeat langkah 3 dan 4 While loc := 0 dan k ≤ n
3.
If Item := Data(k) then set loc := k
4.
Set k := k + 1
5.
If loc := 0 then Write Elemen tidak ada pada array data Else
6.
Write loc adalah lokasi dari elemen
Exit
Bila elemen (item) yang dicari merupakan elemen terakhir dari array tersebut atau tidak terdapat dalam array : → WORST CASE ⇒ F(n) = Ο(n)
Bila elemen (item) yang dicari merupakan elemen pertama dari array tersebut : → BEST CASE ⇒ F(n) = Ο(1)
Bila elemen (item) yang dicari berada diantara elemen pertama dan elemen terakhir dari array tersebut : → AVERAGE CASE Banyaknya elemen dalam array tersebut adalah n, maka probabilitas masing-masing elemen adalah 1/n ⇒ F(n)
= 1 . 1/n + 2 . 1/n + 3 . 1/n + . . . + n . 1/n = ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) . 1/n = (n + 1) . n/2 . 1/n = (n + 1)/2 = 1/2 n + 1/2 = Ο(n)
Pertemuan ke-8 Teknik Iteratif & Rekursif
Teknik Iteratif Teknik Iteratif merupakan suatu teknik pembuatan algoritma dengan pemanggilan procedure beberapa kali atau hingga suatu kondisi tertentu terpenuhi
Contoh : Teknik Iteratif pada algoritma untuk menghitung faktorial dari bilangan bulat positif n, adalah sebagai berikut :
Function FAK (n : integer) : integer FAK=1 For i = 1 TO n FAK = FAK * i NEXT i END FAK
Gambaran jalannya proses algoritma tersebut adalah sebagai berikut : Misal n = 5, maka : FAK=1, kemudian i
FAK
1
1*1=1
2
1*2=2
3
2*3=6
4
6 * 4 = 24
5
24 * 5 = 120
Contoh : BARISAN BILANGAN FIBBONACI
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . Teknik Iteratif pada algoritma untuk menentukan suku ke-n dari barisan bilangan Fibbonaci, adalah sebagai berikut :
1.
Set x, y, n, i, f : integer
2.
x←1;y←1
3.
If n 〉 2 then begin for i ← 3 to n do
4.
begin 5.
F←x+y
6.
x←y
7.
y←F end else
8.
F←x
9.
Write(F) End
Gambaran jalannya proses algoritma tersebut adalah sebagai berikut : Misal n = 5, maka : x=1, y=1, kemudian i
F
x
y
3
1+1=2
1
2
4
1+2=3
2
3
5
2+3=5
3
5
Teknik Rekursif
Teknik Rekursif merupakan salah satu cara pembuatan algoritma dengan pemanggilan procedure atau function yang sama
Contoh : Teknik Rekursif pada algoritma untuk menghitung faktorial dari bilangan bulat positif n, adalah sebagai berikut :
Function FAK (n : integer) : integer 1.
If n := 0 then FAK := 1
2.
Else FAK := n * FAK(n-1)
Gambaran jalannya proses algoritma tersebut adalah sebagai berikut : Misal n = 5, maka : FAK(5) = 5 * FAK(4)
FAK(4) = 4 * FAK(3)
FAK(3) = 3 * FAK(2)
FAK(2) = 2 * FAK(1)
FAK(1) = 1 * FAK(0)
1 Contoh : BARISAN BILANGAN FIBBONACI
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . Teknik Rekursif pada algoritma untuk menentukan suku ke-n dari barisan bilangan Fibbonaci, adalah sebagai berikut :
Procedure F(n : integer) : integer If n ≤ 2 then F(n) = 1
1.
else F(n) = F(n-1) + F(n-2) Endif End
Gambaran jalannya proses algoritma tersebut adalah sebagai berikut : Misal n = 5, maka :
F(5) F(4)
F(3) F(2)
F(3)
F(2) F(2) F(1) 1
1
F(1)
1
1
PERBEDAAN ANTARA TEKNIK ITERATIF DAN REKURSIF :
1
ITERATIF
REKURSIF
Tidak ada variabel lokal baru
Ada variabel lokal baru
Program tidak sederhana
Program menjadi lebih sederhana
Permainan Menara Hanoi Contoh paling umum dari penggunaan teknik rekursif adalah pada permainan menara Hanoi. Berdasarkan legenda, pertama kali dimainkan secara manual oleh seorang pendeta Budha di Hanoi, sehingga permainan ini disebut Menara Hanoi. Dalam permainan ini, akan dipindahkan sejumlah piringan yang tidak sama besarnya dari satu tonggak ke tonggak lainnya, dengan diperbolehkan menggunakan (melewati) sebuah tonggak bantuan. Aturan permainannya adalah semua piringan pada tonggak A akan dipindahkan ke tonggak C (dapat dengan melewati tonggak bantuan B), dengan ketentuan bahwa pemindahan piringan dilakukan satu per satu dan piringan yang lebih besar tidak boleh diletakan di atas piringan yang lebih kecil. Untuk jelasnya lihat gambar berikut :
Tonggak Asal (A)
Tonggak Bantu (B)
Tonggak Tujuan (C)
Menurut legenda tersebut dikatakan bahwa jika anda selesai memindahkan seluruh 64 piringan, pada saat itu juga dunia kiamat. Ini menurut legenda, yang mungkin juga benar. Secara umum, untuk menyelesaikan n buah piringan diperlukan pemindahan
sebanyak 2n –1 kali. Bayangkan jika untuk setiap pemindahan memerlukan waktu 1 detik, maka berapa waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan 64 buah piringan.
Pertemuan ke-9 Teknik Backtracking
Teknik Backtracking merupakan salah satu teknik dalam penyelesaian masalah secara umum (General Problem Solving). Adapun dasar dari teknik ini adalah suatu teknik pencarian (Teknik Searching). Teknik pencarian ini digunakan dalam rangka mendapatkan himpunan penyelesaian yang mungkin. Dari himpunan penyelesaian yang mungkin ini akan diperoleh solusi optimal atau memuaskan.
Teknik Backtracking ini diperkenalkan pertama kali oleh : D.H. Lehmer (1950), Penulisan algoritmanya oleh : R.J. Walker (1960), dan Variasi aplikasinya dikembangkan oleh : Golomb & Baumert (1960)
Berikut ini disajikan algoritma backtracking secara umum, yang menggunakan teknik iteratif :
PROCEDURE BACKTRACK(n) INTEGER k,n; LOCAL x(1:n) k←1 WHILE k > 0 DO IF ada x(k) yang belum dicoba sedemikian sehingga x(k) ∈ T(x(1), … , x(k-1)) AND Bk(x(1), … , x(k)) = TRUE THEN IF (x(1), … , x(k)) adalah sebuah jalur (path) yang merupakan solusi THEN PRINT (x(1), … , x(k)) ENDIF k←k+1 ELSE k ← k – 1 ENDIF REPEAT
END BACKTRACK
Sedangkan bentuk rekursifnya adalah sebagai berikut :
PROCEDURE RBACKTRACK(k) GLOBAL n, x(1:n) FOR setiap x(k) sedemikian sehingga x(k) ∈ T(x(1), … , x(k-1)) AND Bk(x(1), … , x(k)) = TRUE IF (x(1), … , x(k)) adalah sebuah jalur (path) yang merupakan solusi THEN PRINT (x(1), … , x(k)) ENDIF CALL RBACKTRACK(k + 1) END RBACKTRACK
Contoh Pemakaian Teknik Backtracking : •
The 8 - Queens Problem
•
The 4 - Queens Problem
•
Sum of Subsets
•
Graph Coloring
•
Hamilton Cycles
•
Knapsack Problem
•
Tic - Tac - Toe Game
•
The Travelling Salesman Problem
Sum of Subsets Masalah utama dari Sum of Subsets adalah jika terdapat n bilangan real dan ingin dihitung semua kombinasi yang mungkin dari himpunan bilangan tersebut. Kombinasi yang diinginkan yaitu kombinasi yang jumlah seluruh elemennya sama dengan M (tertentu).
Sebelum kita selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan teknik backtracking, perhatikan terlebih dahulu penyajian permasalahan dan penyelesaiannya dalam bentuk pohon. Misalkan banyaknya bilangan real tersebut adalah 4 (n=4). Terdapat 2 jenis pohon pencarian, yakni Breadth First Search (BFS) yang menggunakan queue dan Depth First Search (DFS) yang menggunakan stack. Berikut penggambaran kedua jenis pohon tersebut.
1
2
6
12
16
7
13
14
3
8
9
4
10
11
15
Breadth First Search (BFS)
5
1
2
3
18
19
26
30
27
31
28
4
20
29
24
21
25
22
23
12
16
5
13
17
14
6
15
10
7
11
8
9
Depth First Search (DFS)
Kedua bentuk penyajian pohon dari persoalan sum of subsets, merupakan tahapan pertama dalam proses mendapatkan solusi sesungguhnya (solusi optimal). Untuk mendapatkan solusi yang optimal dari ruang penyelesaian digunakan suatu algoritma lain. Algoritma tersebut menggunakan teknik backtracking, yang selanjutnya disebut dengan algoritma SUMOFSUB.
PROCEDURE SUMOFSUB(s,k,r) GLOBAL INTEGER M,n GLOBAL REAL W(1:n) GLOBAL BOOLEAN X(1:n) REAL r,s; INTEGER k,j X(k) = 1 IF s + W(k) = M THEN PRINT (X(j), j ← 1 TO k) ELSE IF s + W(k) + W(k+1) ≤ M THEN
CALL SUMOFSUB(s+W(k), k+1, r-W(k)) ENDIF ENDIF IF s + r - W(k) ≥ M AND s + W(k) ≤ M THEN X(k) 0 CALL SUMOFSUB(s, k+1, r-W(k)) ENDIF END SUMOFSUB
Contoh : Suatu himpunan terdiri dari 6 bilangan, yakni {5, 10, 12, 13, 15, 18} yang disusun secara tidak turun. Akan ditentukan himpunan-himpunan bagiannya, yang jumlah seluruh elemennya adalah 30.
0,1,73
5,2,68
15,3,58
27,4,46
0,2,68
5,3,58
10,3,58
0,3,58
15,4,46
17,4,46
5,4,46
10,4,46
12,4,46
15,5,33
B
5,5,33
10,5,33
12,5,33
13,5,33
12,6,18
13,6,18
A
20,6,18
Bagian dari state space tree dengan SUMOFSUB
C
0,4,46
0,5,33
Perhatikan simpul A, B dan C yang merupakan outputnya dalam bentuk tuple (1,1,0,0,1), (1,0,1,1) dan (0,0,1,0,0,1).
Pertemuan ke-10 Metode Devide And Conquer (DANDC) - Searching
Di dalam metode ini, kita mempunyai suatu fungsi untuk menghitung input. Kemudian n input tersebut dipartisi menjadi k subset input yang berbeda (1< k ≤ n) → k subproblem k subproblem → k subsolusi → solusi
Bentuk Umum dari Proses Metode DANDC :
n input
Input 1
Input 2
Input 3
...
Input k
Subproblem 1
Subproblem 2
Subproblem 3
...
Subproblem k
Subsolusi 1
Subsolusi 2
Subsolusi 3
...
Subsolusi k
Solusi Optimal
Jika subproblem masih relatif cukup besar, maka metode DANDC dapat digunakan lagi untuk keadaan tersebut. Pemakaian ulang DANDC dinyatakan dengan teknik rekursif. Pemecahan menjadi k subproblem ini menunjukkan bahwa ia mempunyai sifat yang sama dengan problem aslinya (awalnya).
Algoritmanya secara umum :
PROCEDURE DANDC(p,q) GLOBAL n,A(1:n); INTEGER m.p.q IF SMALL(p,q) THEN G(p,q) ELSE M ← DIVIDE(p,q) COMBINE(DANDC(p,m),DANDC(m+1,q)) ENDIF END DANDC
SMALL(p,q) adlah fungsi yang bernilai boole yang menentukan apakah input q-p+1 berukuran cukup kecil ∋ solusi dapat dihitung tanpa pemecahan. Jika demikian halnya, maka fungsi G(p,q) yang dipanggil. Pada keadaan lain fungsi DIVIDE(p,q) yang dipanggil. Fungsi DIVIDE(p,q) menghasilkan integer yang menguraikan input menjadi 2 bagian. Misal m = DIVIDE(p,q), maka input dipecah ∋ A(p:m) dan A(m+1,q)
Metode DANDC biasa dipakai pada searching dan sorting.
Searching Menentukan Bilangan Max dan Min Sebelum kita lihat penggunaan metode DANDC-nya, maka kita lihat terlebih dahulu algoritmanya secara iteratif sebagai berikut :
PROCEDURE STRAITMAXMIN INTEGER i,n max ← min ← A(1) For i ← 2 TO n DO IF A(i) > max THEN max ← A(i)
………bagian perbandingan
ELSE IF A(i) < min THEN min ← A(i) ………bagian perbandingan
ENDIF ENDIF REPEAT END STRAITMAXMIN
Procedure STRAITMAXMIN tersebut akan menghasilkan 3 keadaan, yakni: 1. Best Case, bila datanya tersusun menaik, dengan banyak perbandingan adalah n-1 2. Worst Case, bila datanya tersusun menurun, dengan banyak perbandingan adalah 2(n-1) 3. Average Case, bila datanya tidak tersusun menaik ataupun menurun, dengan banyak perbandingan adalah 3(n-1)/2
Bila pada procedure STRAITMAXMIN tersebut, bagian perbandingannya diubah menjadi : IF A(i) > max THEN max ← A(i) ENDIF IF A(i) < min THEN min ← A(i) ENDIF Maka Best Case = Worst Case = Average Case = 2(n-1)
Algoritmanya secara rekursif (dengan metode DANDC)
PROCEDURE MAXMIN(i,j,fmax,fmin) INTEGER i,j; GLOBAL n,A(1:n) CASE : i=j
; fmax ← fmin ← A(i)
: i=j-1 ; IF A(i) < A(j) THEN fmax ← A(j); fmin ← A(i) ELSE fmax ← A(i); fmin ← A(j) ENDIF : ELSE mid ← (i+j)/2 CALL MAXMIN(i,mid,gmax,gmin) CALL MAXMIN(mid+1,j,hmax,hmin)
fmax ← MAX(gmax,hmax) fmin ← MIN(gmin,hmin) ENDCASE END MAXMIN
Contoh : A = { 22, 13, -5, -8, 15, 60, 17, 31, 47 } Maka simulasi dari procedure MAXMIN tersebut adalah :
9 1
9
60
-8
5 1
5
22
8
-8
6
3 1
3
22
-5
4 4
5
15
1 1
2
22
13
-8
9
60
17
6 6
7
60
17
7 8
9
2 3
3
-5
-5
Jadi outputnya adalah max = 60 dan min = -8
Jumlah perbandingan elemennya, yang direpresentasikan oleh T(n) adalah :
T(n) {
T( n/2 ) +T( n/2 ) + 2
;n>2
1
;n=2
47
31
0
;n=1
untuk n ≈ power value dari 2 = 2k dan k integer positif, maka : T(n)
= 2 T(n/2) + 2 = 2 (2 T(n/4) + 2) + 2 = 4 T(n/4) + 4 + 2 = 22 T(n/22) + 22 + 2 = 23 T(n/23) + 23 + 22 + 2 . . . = 2k-1 T(2) + 2k-1 + 2k-2 + … + 23 + 22 + 2 = 2k-1 +2k - 2 = 3n/2 - 2
Jadi T(n) = Ο(n)
Pertemuan ke-11 Metode Devide And Conquer (DANDC) - Sorting
Sorting Untuk mengurutkan barisan n input elemen yang ditempatkan dalam suatu array. Urutan yang diinginkan adalah urutan yang tidak turun (non decreasing).
Contoh barisan dengan urutan : 1. Menaik
: 5, 8, 10, 12, 15, 16
2. Menurun
: 20, 17, 15, 14, 12, 10
3. Tidak turun
: 5, 9, 10, 12, 12, 15, 16
4. Tidak naik
: 16, 15, 15, 12, 10, 8
Dari Metode Sorting yang ada, akan dibahas metode merge sort dan quick sort.
Merge Sort Algoritma dari Merge Sort terdiri dari dua prosedur, yakni prosedur MERGESORT dan prosedur MERGE. Kedua prosedur tersebut tidak dapat dipisahkan satu dengan yang lainnya (terintegrasi).
PROCEDURE MERGESORT(low,high) INTEGER low,high IF low < high THEN mid ← (low + high) / 2 CALL MERGESORT(low,mid) CALL MERGESORT(mid+1,high) CALL MERGE(low,mid,high) ENDIF END MERGESORT
PROCEDURE MERGE(low,mid,high) INTEGER h,I,j,k,low,mid,high GLOBAL A(low:high); LOCAL B(low:high) h ← low; j ← mid + 1; i ← low WHILE h ≤ mid AND j ≤ high DO IF A(h) ≤ A(j) THEN B(i) ← A(h); h ← h+1 ELSE B(i) ← A(j); j ← j+1 ENDIF i ← i+1 REPEAT IF h > mid THEN FOR k ← j TO high DO B(i) ← A(k); i ← i+1 REPEAT ELSE FOR k ← h TO mid DO B(i) ← A(k); i ← i+1 REPEAT ENDIF FOR k ← low TO high DO B(k) ← A(k) REPEAT END MERGE
Contoh : A(1:10) yakni : A = { 310, 285, 179, 652, 351, 423, 861, 254, 450, 520 }
Representasi di dalam tree dari CALL MERGESORT sbb :
1,10
1,5
6,10
1,3
1,2
1,1
4,5
3,3
4,4
6,8
5,5
2,2
6,7
6,6
1,1,2
6,6,7
1,2,3
4,4,5
6,7,8
1,3,5
1,5,10
T(n) = Ο(n 2log n)
9,9,10
6,8,10
8,8
7,7
Representasi di dalam tree dari CALL MERGE sbb :
9,10
9,9
10,10
Quick Sort Algoritma Quick Sort terdiri dari dua prosedur, yaitu prosedur PARTITION dan prosedur QUICKSORT.
PROCEDURE QUICKSORT(p,q) IF p < q THEN j ← q+1 CALL PARTITION(p,j) CALL QUICKSORT(p,j-1) CALL QUICKSORT(j+1,q) ENDIF END QUICKSORT
PROCEDURE PARTITION(m,p) INTEGER m,p,i; GLOBAL A(m-1,p) V ← A(m); i ← m LOOP LOOP i ← i+1 UNTIL A(i) ≥ V REPEAT LOOP p ← p-1 UNTIL A(p) ≤ V REPEAT IF i < p THEN CALL INTERCHANGE(A(i),A(p)) ELSE EXIT REPEAT A(m) ← A(p); A(p) ← V END PARTITION
Contoh : Suatu array A berisi elemen-elemen :
65
70
75
80
85
60
55
50
45
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Hasil tracenya adalah sebagai berikut :
i
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
65
70
75
80
85
60
55
50
45
+∞
2
9
65
45
75
80
85
60
55
50
70
+∞
3
8
65
45
50
80
85
60
55
75
70
+∞
4
7
65
45
50
55
85
60
80
75
70
+∞
5
6
65
45
50
55
60
85
80
75
70
+∞
6
5
60
45
50
55
65
85
80
75
70
+∞
5
4
55
45
50
60
65
85
80
75
70
+∞
4
3
50
45
55
60
65
85
80
75
70
+∞
3
2
45
50
55
60
65
85
80
75
70
+∞
10
9
55
45
50
60
65
70
80
75
85
+∞
9
8
50
45
55
60
65
70
75
80
85
+∞
8
7
45
50
55
60
65
70
75
80
85
+∞
Analisisnya : Worst Case = Ο(n2) Average Case = Ο(n log n)
Pertemuan ke-12 Metode Greedy
Masalah Knapsack Kita diberikan sebuah knapsack (ransel) yang dapat menampung berat maksimum M dan sehimpunan benda A = {a0,a1,...,an-1} yang berbobot W = {w0,w1,...,wn-1}. Setiap benda tersebut diberikan nilai profit yang dinotasikan dengan P = {p0,p1,...,pn-1}. Jika kita diperbolehkan memasukkan zi bagian dari benda ai yang ada ke dalam knapsack dimana 0 ≤zi ≤ 1 , maka kita dapatkan profit sebesar zi pi untuk benda ai tersebut. Yang dimaksud dengan masalah knapsack adalah : Bagaimana kita memilih atau menentukan zi untuk masing-masing benda ai dari keadaan di atas dengan tujuan mendapatkan total profit yang maksimal, dan dengan kendala bahwa total bobot dari benda-benda yang dimasukkan ke dalam knapsack tidak melebihi M. Secara matematis, masalah knapsack tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
maksimumkan Q =
n-1
∑z p i
i
i=0
n −1
dengan kendala
∑z w i
i
≤W
i =0
dan 0 ≤ zi ≤ 1 , pi 〉 0 , wi 〉 0 , 0 ≤ i ≤ n-1
Sebuah solusi yang optimal adalah himpunan Z = {z0,z1,...,zn-1} yang memaksimalkan nilai Q dan memenuhi kendala-kendala yang ada.
Contoh : Kita diberikan sebuah knapsack (ransel) yang dapat menampung berat maksimum 15 Kg dan sehimpunan benda A = {a0,a1,a2,a3} yang berbobot (dalam Kg) W = {5,9,2,4}. Setiap benda tersebut diberikan nilai profit P = {100,135,26,20}. Jika kita diperbolehkan memasukkan zi bagian dari benda ai yang ada ke dalam knapsack dimana 0 ≤ zi ≤ 1 , maka tentukanlah Z = {z0,z1,z2,z3} agar diperoleh total profit yang maksimal !
Algoritma Sekuensial Knapsack Metode Greedy Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah knapsack secara sekuensial adalah dengan pemakaian metode Greedy. Procedure tersebut disebut procedure GREEDY_KNAPSACK. Sebelum procedure tersebut digunakan, benda-benda harus diurutkan rasio pi/wi -nya tidak menaik. Dengan kata lain : p0/ w0 ≥ p1 / w1 ≥ ... ≥ pn-1 / wn-1
Adapun procedure GREEDY_KNAPSACK adalah sebagai berikut :
procedure GREEDY_KNAPSACK(P,W,M,Z,n) real P(0:n-1),W(0:n-1),Z(0:n-1),cu;
{n = banyak benda}
integer i,n; Z←0
{ Z(0), Z(1), . . . , Z(n-1) = 0}
cu ← M for i ← 0 to n-1 do if W(i) 〉 cu then exit endif Z(i) ← 1 cu ← cu - W(i) repeat if i ≤ n-1 then Z(i) ← cu/W(i) endif end GREEDY_KNAPSACK
Jika algoritma ini digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti pada contoh yang lalu, dimana n = 4; M = 15; W = { 5,9,2,4 }; P = { 100,135,26,20 }, maka akan terlihat hasil tracenya sebagai berikut : Z←0 cu ← 15
i=0 karena W(0) 〈 cu
yaitu : 5 〈 15 berarti :
Z(0) ← 1 cu ← 15 - 5 = 10
i=1 karena W(1) 〈 cu
yaitu : 9 〈 10 berarti :
Z(1) ← 1 cu ← 10 - 9 = 1
i=2 karena W(2) 〉 cu
yaitu : 2 〉 1
berarti :
keluar dari loop (exit)
Karena 2 ≤ 3 maka Z(2) ← cu/W(2) = 1/2 = 0,5
Jadi optimisasi masalah knapsack diperoleh bila Z = { 1; 1; 0,5; 0 } Sehingga Q = 1 x 100 + 1 x 135 + 0,5 x 26 + 0 x 20 = 100 + 135 + 13 + 0 = 248
Analisis : Kompleksitas waktu dari algoritma Greedy_Knapsack ini adalah O(n). Tetapi jika data yang digunakan belum terurut rasio pi/wi -nya tidak menaik, maka diperlukan kompleksitas waktu sebesar O(n log n) untuk mengurutkan sebelumnya. Sehingga untuk masalah optimisasi knapsack, kompleksitas waktu dari algoritma ini akan lebih besar pada waktu proses pengurutannya.
Latihan : Diketahui 3 buah benda dan sebuah knapsack dengan kapasitas maksimum 20. Berat dan profit dari masing-masing benda tersebut adalah (18, 15, 10) dan (25, 24, 15). Tentukanlah Z agar diperoleh total profit yang maksimal !
Jawab : Pertama, kita periksa apakah rasio pi/wi -nya tidak menaik. p0/w0 = 25/18 p1/w1 = 24/15 p2/w2 = 15/10 Terlihat bahwa syarat rasio pi/wi -nya tidak menaik belum terpenuhi. Jadi susunan (urutan) -nya untuk sementara kita ubah, agar syarat rasio pi/wi -nya tidak menaik terpenuhi dan kita dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan procedure GREEDY_KNAPSACK. Untuk itu, kita ubah sementara urutan benda-bendanya (setelah diperoleh jawaban sementara, kita kembalikan urutan ke susunan semula). Perubahan yang kita lakukan adalah sebagai berikut : urutan ke-
urutan ke-
(yang lama)
(yang baru)
0
2
1
0
2
1
sehingga syaratnya terpenuhi ; 24/15 〉 15/10 〉 25/18 → rasio pi/wi -nya tidak menaik
Sekarang kita sudah dapat menggunakan procedure GREEDY_KNAPSACK untuk menyelesaikan masalah tersebut. Adapun hasil trace-nya adalah sebagai berikut :
Z←0 cu ← 20
i=0 karena W(0) 〈 cu
yaitu : 15 〈 20
berarti :
Z(0) ← 1
cu ← 20 - 15 = 5 i=1 karena W(2) 〉 cu
yaitu : 10 〉 5 berarti :
keluar dari loop (exit)
Karena 1 ≤ 2 maka Z(1) ← cu/W(1) = 5/10 = 0,5 Jadi diperoleh : Z(0) = 1 ; Z(1) = 0,5 ; Z(2) = 0 Sekarang urutannya kita kembalikan seperti semula, yakni :
urutan ke-
urutan ke-
(yang saat ini)
(yang
Z(i)
semula) 2
0
0
0
1
1
1
2
0,5
Jadi optimisasi masalah knapsack diperoleh bila Z = { 0; 1; 0,5 } Sehingga Q = 0 x 25 + 1 x 24 + 0,5 x 15 = 0 + 24 + 7,5 = 31,5
Pertemuan ke-13 Metode Greedy (Lanjutan)
Masalah Pohon Rentangan Minimal Permasalahan umum dari pohon rentangan minimal adalah mencari minimum biaya (cost) pohon rentangan dari setiap ruas suatu graf yang membentuk pohon. Setiap graf tidak dapat ditentukan pohon rentangan minimalnya. Adapun graf yang dapat kita tentukan pohon rentangan minimalnya adalah graf yang memenuhi ketiga syarat berikut : 1.
graf tersebut harus terhubung
2.
setiap ruas dari graf tersebut harus mempunyai nilai atau bobot (graf berlabel)
3.
graf teresbut tidak berarah
Algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pohon rentangan minimal cukup banyak. Dalam pembahasan ini, algoritma yang akan dipakai adalah algoritma PRIM’S. Berikut ini akan disajikan langkah-langkah penyelesaian masalah pohon rentangan minimal dengan menggunakan algoritma PRIM’S.
PROCEDURE PRIM(E,COST,n,T,mincost) REAL COST(n,n),mincost INTEGER NEAR(n),n,i,j,k,l,T(1:n-1,2) (k,l) ← ruas dengan biaya atau bobot yang minimum mincost ← COST(k,l) (T(1,1),T(1,2)) ← (k,l) FOR i ← 1 TO n DO IF COST (i,l) < COST(i,k) THEN NEAR (i) ←l
ELSE NEAR(i) ← k ENDIF REPEAT i NEAR(k) ← NEAR(l) ← 0 FOR i ← 2 TO n-1 DO Pilih j (sebuah index) sedemikian sehingga NEAR(j) ≠ 0 AND COST(j,NEAR(j)) adalah minimum (T(i,1),T(i,2)) ← (j,NEAR(j)) mincost ← mincost + COST(j,NEAR(j)) NEAR(j) ← 0 FOR k ← 1 TO n DO IF NEAR(k) ≠ 0 AND COST(k,NEAR(k)) > COST(k,j) THEN NEAR(k) ← j ENDIF REPEAT k REPEAT i IF mincost ≥ ~ THEN PRINT ‘bukan pohon rentangan’ ENDIF END PRIM
Contoh : Perhatikan graf berikut ini : Tentukanlah nilai pohon rentangan minimalnya, serta pohon yang membentuk pohon rentangan minimal tersebut.
10
1
2
50
45 40
30
3 35
25
4
5
20
55 6
15
Penyelesaian : Dengan menggunakan algoritma PRIM’S, prosesnya adalah sebagai berikut : (k,l) ← (1,2) mincost ← COST(1,2) = 10 (T(1,1),T(1,2)) ← (1,2) i=1 COST (1,2) < COST(1,1) … ? 10 < ~ … → TRUE : NEAR (1) ←2 i=2 COST (2,2) < COST(2,1) … ? ~ < 10 … → FALSE : NEAR (2) ←1 i=3 COST (3,2) < COST(3,1) … ? 50 < ~ … → TRUE : NEAR (3) ←2 i=4 COST (4,2) < COST(4,1) … ? ~ < 30 … → FALSE : NEAR (4) ←1 i=5 COST (5,2) < COST(5,1) … ? 40 < 45 … → TRUE : NEAR (5) ←2 i=6 COST (6,2) < COST(6,1) … ? 25 < ~ … → TRUE : NEAR (6) ←2 NEAR(1) ← NEAR(2) ← 0
i=2 Pilih j = 6 karena NEAR(6) ≠ 0 dan COST(6,NEAR(6)) adalah minimum (T(2,1),T(2,2)) ← (6,2) mincost ← 10 + COST(6,2) = 10 + 25 = 35
NEAR(6) ← 0 k=1 NEAR(1) ≠ 0 dan COST(1,NEAR(1)) > COST(1,6) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=2 NEAR(2) ≠ 0 dan COST(2,NEAR(2)) > COST(2,6) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > 25 … → FALSE dan TRUE → FALSE k=3 NEAR(3) ≠ 0 dan COST(3,NEAR(3)) > COST(3,6) … ? 2 ≠ 0 dan 50 > 15 … → TRUE dan TRUE → TRUE : NEAR(3) = 6 k=4 NEAR(4) ≠ 0 dan COST(4,NEAR(4)) > COST(4,6) … ? 1 ≠ 0 dan 30 > 20 … → TRUE dan TRUE → TRUE : NEAR(4) = 6 k=5 NEAR(5) ≠ 0 dan COST(5,NEAR(5)) > COST(5,6) … ? 2 ≠ 0 dan 40 > 55 … → TRUE dan FALSE → FALSE k=6 NEAR(6) ≠ 0 dan COST(6,NEAR(6)) > COST(6,6) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE
i=3 Pilih j = 3 karena NEAR(3) ≠ 0 dan COST(3,NEAR(3)) adalah minimum (T(3,1),T(3,2)) ← (3,6) mincost ← 35 + COST(3,6) = 35 + 15 = 50 NEAR(3) ← 0 k=1 NEAR(1) ≠ 0 dan COST(1,NEAR(1)) > COST(1,3) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=2 NEAR(2) ≠ 0 dan COST(2,NEAR(2)) > COST(2,3) … ?
0 ≠ 0 dan ~ > 50 … → FALSE dan TRUE → FALSE k=3 NEAR(3) ≠ 0 dan COST(3,NEAR(3)) > COST(3,3) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=4 NEAR(4) ≠ 0 dan COST(4,NEAR(4)) > COST(4,3) … ? 6 ≠ 0 dan 20 > ~ … → TRUE dan FALSE → FALSE k=5 NEAR(5) ≠ 0 dan COST(5,NEAR(5)) > COST(5,3) … ? 2 ≠ 0 dan 40 > 35 … → TRUE dan TRUE → TRUE : NEAR(5) = 3 k=6 NEAR(6) ≠ 0 dan COST(6,NEAR(6)) > COST(6,3) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > 15 … → FALSE dan TRUE → FALSE
i=4 Pilih j = 4 karena NEAR(4) ≠ 0 dan COST(4,NEAR(4)) adalah minimum (T(4,1),T(4,2)) ← (4,6) mincost ← 50 + COST(4,6) = 50 + 20 = 70 NEAR(4) ← 0 k=1 NEAR(1) ≠ 0 dan COST(1,NEAR(1)) > COST(1,4) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > 30 … → FALSE dan TRUE → FALSE k=2 NEAR(2) ≠ 0 dan COST(2,NEAR(2)) > COST(2,4) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=3 NEAR(3) ≠ 0 dan COST(3,NEAR(3)) > COST(3,4) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=4 NEAR(4) ≠ 0 dan COST(4,NEAR(4)) > COST(4,4) … ?
0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=5 NEAR(5) ≠ 0 dan COST(5,NEAR(5)) > COST(5,4) … ? 3 ≠ 0 dan 35 > ~ … → TRUE dan FALSE → FALSE k=6 NEAR(6) ≠ 0 dan COST(6,NEAR(6)) > COST(6,4) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > 20 … → FALSE dan TRUE → FALSE
i=5 Pilih j = 5 karena NEAR(5) ≠ 0 dan COST(5,NEAR(5)) adalah minimum (T(5,1),T(5,2)) ← (5,3) mincost ← 70 + COST(5,3) = 70 + 35 = 105 NEAR(5) ← 0 k=1 NEAR(1) ≠ 0 dan COST(1,NEAR(1)) > COST(1,5) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > 45 … → FALSE dan TRUE → FALSE k=2 NEAR(2) ≠ 0 dan COST(2,NEAR(2)) > COST(2,5) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > 40 … → FALSE dan TRUE → FALSE k=3 NEAR(3) ≠ 0 dan COST(3,NEAR(3)) > COST(3,5) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > 35 … → FALSE dan TRUE → FALSE k=4 NEAR(4) ≠ 0 dan COST(4,NEAR(4)) > COST(4,5) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=5 NEAR(5) ≠ 0 dan COST(5,NEAR(5)) > COST(5,5) … ? 0 ≠ 0 dan ~ > ~ … → FALSE dan FALSE → FALSE k=6 NEAR(6) ≠ 0 dan COST(6,NEAR(6)) > COST(6,5) … ?
0 ≠ 0 dan ~ > 55 … → FALSE dan TRUE → FALSE mincost ≥ ~ … ? 105 ≥ ~ … → FALSE ∴ terdapat sebuah pohon rentangan, yang mempunyai nilai minimal = 105 Berikut adalah bentuk pohon rentangan minimalnya :
10
1
2 3 35
25
4
5 15
20 6
Pertemuan ke-14 Pemrograman Dinamis
Metode Umum Pemrograman Dinamis adalah metode rancangan algoritma yang dapat dipakai bila pemecahan masalah yang mungkin dipandang sebagai hasil dari rangkaian keputusankeputusan. Untuk beberapa masalah dari masalah-masalah ynag dapat dipandang dengan cara ini, rangkaian optimal dari keputusan-keputusan mungkin dapat ditemukan dengan membuat satu dari keputusan-keputusan pada satu waktu dan jangan pernah membuat keputusan yang keliru. Satu cara untuk memecahkan masalah-masalah yang mana ini tidak mungkin untuk membuat sebuah rangkaian dari langkah-langkah keputusan yang dapat dilakukan mengacu (mengarah) kepada rangkaian keputusan optimal adalah untuk mencoba semua kemungkinan rangkaian-rangkaian keputusan. Pemrograman Dinamis seringkali secara drastic (spontan) mengurangi jumlah pembilangan dengan menghindari pembilangan dari beberapa rangkaian keputusan yang tidak memungkinkan menjadi optimal. Dalam merumuskan hubungan-hubungan kembali pemrograman dinamis yang harus dipecahkan, seseorang dapat menggunakan 1 dari 2 pendekatan yang berbeda yaitu forward atau backward.
Multistage Graf Sebuah multistage graf adalah sebuah graf berarah dimana bentuk tersebut dibagi dalam k ≥ 2 disjoint set V1.
Berikut ini adalah contoh sebuah graf 5 stage.
2 9
1
3 7
3
4
2 7
11 4 2
6
6
2
7 s
4
11
1 8
8
9 4
5 3
10
2
12
t
5
5 6
11
5
V1
V2
V3
V4
V5
Algoritma untuk menyelesaikan masalah multistage graf, dengan pendekatan forward adalah sebagi berikut : Procedure FGRAPH(E,k,n,P) 1.
real COST(n), integer D(n-1), P(k), r, j, k, n
2.
COST(n) ← 0
3.
for j ← n-1 to 1 by -1 do
4.
let r be a vertex such that 〈 j , r 〉 ∈ E and c( j,r ) + COST(r) is minimum
5.
COST(j) ← c( j,r ) + COST(r)
6.
D(j) ← r
7.
repeat
8.
P(1) ← 1 ; P(k) ← n
9.
for j ← 2 to k-1 do
10.
P(j) ← D(P(j-1))
11.
repeat
12.
end FGRAPH
Contoh Soal Graf & Analisis Algoritma
1. Orang yang dikenal sebagai bapak dari lahirnya (awal) teori graf adalah : A. Solin dan Kruskal
C. Welch-Powell
B. Hamilton
D. Leonhard Euler
2. Bila size dari suatu graf adalah n, maka jumlah derajat grafnya adalah : A. 2n-1
C. 2n
B. 2 (n-1)
D. 2n+1
3. Pada pohon, simpul yang bukan merupakan akar dan berderajat simpul 1 adalah : A. Cabang
C. Brother
B. Daun
D. Level
4. Suatu bentuk graf yang terbentuk karena penambahan sejumlah vertex baru terhadap graf asal disebut : A. Isomorfis
C. Homomorfis
B. Isograf
D. Isographic
5. Suatu tree yang mempunyai cabang / anak selalu 2 disebut : A. Unary tree
C. Union tree
B. Binary tree
D. Threenary Tree
6. Graf yang tidak memiliki self loop atau ruas sejajar disebut : A. multigraf
C. graf null
B. graf sederhana
D. graf lengkap
7. Algoritma Welch-Powell digunakan untuk mencari : A. Minimal Spanning Tree
C. Bilangan Kromatik
B. Aliran Maksimal
D. Jalur Terpendek
8. Perjalanan (walk) yang semua simpul dalam barisan berbeda adalah A. jalur (path)
C. sirkuit (cycle)
B. lintasan ( trail)
D. diameter
9. Graf regular adalah graf yang memiliki : A. gelung atau self-loop
C. derajat setiap simpulnya berbeda
B. ruas sejajar
D. derajat setiap simpulnya sama
Untuk soal no. 10 s/d 16, gunakan graf di bawah ini :
L
A
B
K
C D
J I
E H
F G
Graf G1 10. Order dan Size dari graf G1 adalah : A. 4 dan 12
C. 12 dan 17
B. 12 dan 16
D. 16 dan 12
11. Derajat dari graf G1 adalah : A. 12
C. 32
B. 24
D. 34
Graf & Analisis Algoritma RAT
Halaman 87 dari 95 halaman
12. Bilangan Kromatik dari graf G1 adalah : A. 2
C. 4
B. 3
D. 5
13. Pada pewarnaan graf G1, simpul yang boleh menggunakan warna yang sama adalah : A. A dan L
C. C dan H
B. A dan B
D. B dan H
14. Jarak antara simpul A dan G pada graf G1 adalah : A. 2
C. 4
B. 3
D. 5
15. Graf G1 mempunyai diameter : A. 2
C. 4
B. 3
D. 5
16. Yang merupakan jalur (path) dalam graf G1 adalah : A. A,B,C,H,A
C. A,L,K,F
B. E,D,K,J,C,D
D. A,H,C,J,F
17. Graf G2 berikut ini, mempunyai region sebanyak : A
B
D
G
J
E H
C
F
I
K
Graf G2
Logika & Algoritma RAT
Halaman 88 dari 95 halaman
A. 2
C. 4
B. 3
D. 5
18. Pembuatan jadwal kuliah pada suatu Perguruan Tinggi dapat diselesaikan dengan membawanya ke masalah graf, yakni masalah : A. jalur terpendek
C. pewarnaan graf
B. minimal spanning tree
D. travelling salesman
19. Matriks adjasensi suatu graf bersifat : A. simetris
C. transitif
B. refleksif
D. antisimetris
20. Pada graf berarah, simpul yang mempunyai derajat kedalam = 0 disebut : A. muara
C. terpencil
B. sumber
D. artikulasi
21. Pada graf berarah, simpul yang mempunyai derajat keluar = 0 disebut : A. muara
C. terpencil
B. sumber
D. artikulasi
22. Formula Euler untuk graf planar; dimana V adalah banyaknya simpul, E banyaknya ruas dan R banyaknya region, adalah : A. V - R + E = 2
C. V - E + 2 = R
B. V - E + R = 2
D. V + E - R = -2
23. Yang bukan merupakan graf planar adalah : A. graf kubus B. graf segitiga
D. graf lengkap dengan 5 simpul (K5)
C. graf berbentuk pohon
24. Manakah dari pernyataan berikut yang paling benar ? Logika & Algoritma RAT
Halaman 89 dari 95 halaman
A. Graf Regular juga merupakan Graf Lengkap B. Graf Lengkap juga merupakan Graf Regular
C. Graf Bipartisi juga merupakan Graf Regular D. Graf Regular juga merupakan Graf Bipartisi
25. Bilangan Kromatik dari graf bipartisi adalah : A. 2
C. 4
B. 3
D. 5
26. Suatu urutan dari barisan langkah-langkah guna menyelesaikan masalah disebut : A. algoritma
C. instruksi
B. semi algoritma
D. semi instruksi
27. Suatu prosedur yang hanya akan berhenti jika menghasilkan penyelesaian yang diharapkan disebut : A. algoritma
C. instruksi
B. semi algoritma
D. semi instruksi
28. Diagram alur dari proses penyelesaian masalah, yang paling benar adalah : A. masalah → semi algoritma → model → program → eksekusi → hasil B. masalah → model → algoritma → program → eksekusi → hasil C. masalah → algoritma → model → program → eksekusi → hasil D. masalah → program → algoritma → model → eksekusi → hasil
29. Penilaian dari suatu algoritma pertama kali dilihat dari : A. efisiensi
C. terstruktur
B. efektivitas
D. ada output
30. Yang bukan termasuk kriteria dari suatu algoritma yang terbaik adalah : A. efisiensi
C. berakhir
B. terstruktur
D. prosesnya cepat
Logika & Algoritma RAT
Halaman 90 dari 95 halaman
31. Jika diketahui F(x) = 20 x7 + 12 x4 + 38 merupakan fungsi waktu tempuh, maka A. F(x) = O(20 x7)
C. F(x) = O(x7 + x4)
B. F(x) = 20 O(x7)
D. F(x) = O(x7)
32. Bila terdapat 4 algoritma sorting (kita sebut algoritma A, B, C dan D), dimana algoritma A memiliki kompleksitas O(n2), algoritma B memiliki kompleksitas O(n3), algoritma C memiliki kompleksitas O(log n), dan algoritma D memiliki kompleksitas O(n), maka algoritma manakah dari keempat algoritma tersebut yang lebih baik ? A. algoritma A
C. algoritma C
B. algoritma B
D. algoritma D
33. Diberikan sebuah algoritma sebagai berikut :
Set A[i,j], B[i,j], C[i,j] real untuk i ← 1 s/d n kerjakan untuk j ← 1 s/d n kerjakan C[i,j] ← A[i,j] + B[i,j] akhir j akhir i
Algoritma diatas merupakan algoritma untuk : A. melakukan penjumlahan matriks
C. melakukan penjumlahan
B. melakukan perkalian matriks
D. melakukan perkalian
34. Algoritma pada soal nomor 33 mempunyai kompleksitas waktu : A. O(n)
C. O(log n)
B. O(n2)
D. O(n3)
Logika & Algoritma RAT
Halaman 91 dari 95 halaman
35. Diberikan sebuah algoritma sebagai berikut : Function RAT (n : integer) : integer If n := 1 then RAT := 1 Else RAT := n * RAT(n-1) End Function
Algoritma di atas menggunakan teknik : A. Backtracking
C. Greedy
B. Rekursif
D. Iteratif
36. Bila Algoritma pada soal nomor 35 berinput n = 5, maka outputnya adalah : A. 120
C. 7
B. 720
D. 5040
37. Bila Algoritma pada soal nomor 35 berinput n = 5, maka pemanggilan ulang function RAT adalah : A. 1 kali
C. 5 kali
B. 4 kali
D. n kali
38. Algoritma pada soal nomor 35 mempunyai kompleksitas waktu : A. O(n)
C. O(n2)
B. O(log n)
D. O(n3)
39. Diberikan sebuah algoritma sebagai berikut : Set x, y, n, i, f : integer x←1;y←1 If n 〉 2 then begin for i ← 3 to n do begin Graf & Analisis Algoritma RAT
Halaman 92 dari 95 halaman
F←x+y x←y y←F end end else F←x Write(F) End
Algoritma di atas menggunakan teknik : A. Iteratif
C. Greedy
B. DANDC
D. Rekursif
40. Bila Algoritma pada soal nomor 39 berinput n = 13, maka outputnya adalah : A. 55
C. 89
B. 233
D. 144
41. Algoritma pada soal nomor 39 mempunyai keadaan kompleksitas waktu : A. keadaan terbaik ≠ keadaan
C. keadaan terbaik > keadaan terburuk
terburuk B. keadaan terbaik = keadaan
D. keadaan terbaik < keadaan terburuk
terburuk
42. Dasar dari teknik algoritma Backtracking adalah : A. searching
C. divide and conquer
B. merging
D. sorting
43. Pencarian ruang solusi dengan menggunakan stack disebut juga dengan istilah : A. Depth First Search
C. Binary Search
B. Breadth First Search
D. Mergesort
Graf & Analisis Algoritma RAT
Halaman 93 dari 95 halaman
44. Pencarian ruang solusi dengan menggunakan queue disebut juga dengan istilah : A. Depth First Search
C. Binary Search
B. Breadth First Search
D. Mergesort
45. Solusi yang diperoleh dengan cara Depth First Search berupa tupel yang : A. berbeda secara teratur
C. sembarang
B. seragam atau sama
D. berbeda dan tidak teratur
46. Teknik Divide AND Conquer adalah teknik yang digunakan untuk merancang sebuah algoritma dengan cara : A. memecah n input menjadi 2 subset input B. memecah n input sebanyak k input, k < n C. memecah n input sebanyak 2 input D. memecah n input menjadi k subset input, 1 < k ≤ n
47. Perhatikan procedure berikut ini : PROCEDURE STRAITMAXMIN(A,n,max,min) INTEGER i,n max ← min ← A(1) FOR i ← 2 TO n DO IF A(i) > max THEN max ← A(i) ELSE IF A(i) < min THEN min ← A(i) ENDIF REPEAT END STRAITMAXMIN
Pada procedure STRAITMAXMIN di atas, akan tercapai keadaan terbaik bila : A. elemen A(1: n) disusun secara menaik B. elemen A(1: n) disusun secara menurun C. elemen A(1: n) disusun secara acak D. elemen A(1: n) disusun secara tidak naik Logika & Algoritma RAT
Halaman 94 dari 95 halaman
48. Bila diketahui sebuah prosedur sebagai berikut : PROCEDURE XXX(A,n) solusi ← 0
......{solusi awal}
FOR i ← 1 TO n DO x ← SELECT(A) IF FEASIBLE (solusi,x) THEN solusi ← UNION(solusi,x) ENDIF REPEAT RETURN (solusi) END XXX
Algoritma di atas adalah algoritma secara umum dari : A. Metode DANDC
C. Pemrograman Dinamis
B. Teknik BackTracking
D. Metode Greedy
49. Pada permainan menara HANOI, algoritma yang paling baik adalah digunakannya teknik/metode : A. Backtracking
C. Greedy
B. Iteratif
D. Rekursif
50. Pada permainan menara HANOI, bila banyaknya piringan adalah 5 buah, maka banyaknya pemindahan adalah sebanyak : A. 15 kali
C. 31 kali
B. 16 kali
D. 32 kali
Graf & Analisis Algoritma RAT
Halaman 95 dari 95 halaman
