TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ COD. 10032068
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PEREIRA 2008
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ COD. 10032068
Monografía Director M. Sc. ÁLVARO ÁNGEL OROZCO GUTIÉRREZ
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PEREIRA 2008
4
Nota de aceptación:
Firma del presidente del jurado
Firma del jurado
Firma del jurado
Pereira, noviembre del 2008 5
AGRADECIMIENTOS Hay personas de una estatura tal que trascienden los espacios y la historia de los que comparten a su alrededor, esas personas son escasas y por ende muy valiosas, es por eso que mis más sinceros agradecimientos y mí mas infinita gratitud es para el ingeniero Jorge Eduardo Calle Trujillo; quien con su colaboración, dedicación y esmero hizo posible la realización de este proyecto.
6
CONTENIDO
pág.
«««««««««««««««««««««««««
13
1. GENERALIDADES «««««««««««««««««««««««.
17
1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos? «««««««««««««
17
INTRODUCCIÓN
1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico? ««««««««««««««««««17 1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico? «««««««««««««
18
1.4 Teoremas (definición) «««««««««««««««««««««
18
1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos? ««21
2. LOS TEOREMAS BÁSICOS «««««««««««««««««««
23
2.1 Teorema de sustitución ««««««««««««««««««««
23
2.1.1 Enunciado «««««««««««««««««««««««««
24
2.1.2 Demostración ««««««««««««««««««««««««
24
2.1.3 Ejemplo de aplicación ««««««««««««««««««««
25
2.1.4 Ejercicios resueltos «««««««««««««««««««««
31
2.1.5 Ejercicios propuestos ««««««««««««««««««««
38
7
2.2 Teorema de superposición «««««««««««««««««««
40
2.2.1 Enunciado «««««««««««««««««««««««««
40
2.2.2 Por qué no se requiere de una demostración ««««««««««
41
2.2.3 Ejemplo de aplicación ««««««««««««««««««42 2.2.4 Ejercicios resueltos «««««««««««««««««««««49 2.2.5 Ejercicios propuestos ««««««««««««««««««««61 2.3 Teorema de Thèvenin «««««««««««««««««««««63 2.3.1 Enunciado «««««««««««««««««««««««««63 2.3.2 Demostración «««««««««««««««««««««««64 2.3.2.1 Teorema unificado de Thévenin «««««««««««««««5 2.3.3 Ejemplo de aplicación ««««««««««««««««««««8 2.3.4 Ejercicios resueltos «««««««««««««««««««««6 2.3.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««« 89 2.4 Teorema de Norton «««««««««««««««««««««« 94 2.4.1 Enunciado ««««««««««««««««««««««««« 95 2.4.2 Demostración ««««««««««««««««««««««« 95 2.4.3 Ejemplo de aplicación «««««««««««««««««««« 97 2.4.4 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««« 99 2.4.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««« 8
105
2.5 Teorema de reciprocidad ««««««««««««««««««10 2.5.1 El principio de reciprocidad ««««««««««««««««10 2.5.2 El teorema como una consecuencia del principio «««««««11 2.5.3 Enunciado ««««««««««««««««««««««««
112
2.5.4 Demostración ««««««««««««««««««««««
113
2.5.5 Ejemplo de aplicación «««««««««««««««««««
117
2.5.6 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««9 2.5.7 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««6
3. OTROS TEOREMAS ««««««««««««««««««««.
131
3.1 Teoremas de Tellegen I y II «««««««««««««««««
131
3.1.1 Enunciados «««««««««««««««««««««««31 3.1.2 Demostración ««««««««««««««««««««««32 3.1.3 Ejemplo de aplicación ««««««««««««««««««6 3.1.4 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««43 3.1.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««51 3.2 Teorema de Millman ««««««««««««««««««««53 3.2.1 Enunciado ««««««««««««««««««««««««53 3.2.2 Demostración ««««««««««««««««««««««54 9
3.2.3 Ejemplo de aplicación «««««««««««««««««««56 3.2.4 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««8 3.2.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««61 3.3 Teorema de Kennelly (Rosen) ««««««««««««««««63 3.3.1 Enunciado ««««««««««««««««««««««««64 3.3.2 Demostración ««««««««««««««««««««««65 3.3.3 Ejemplo de aplicación «««««««««««««««««««70 3.3.4 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««72 3.3.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««9 3.4 Teorema de máxima transferencia de potencia ««««««««80 3.4.1 Enunciado ««««««««««««««««««««««««81 3.4.2 Demostración ««««««««««««««««««««««81 3.4.3 Ejemplo de aplicación «««««««««««««««««««84 3.4.4 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««7 3.4.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««92 3.5 Teorema de Miller ««««««««««««««««««««««
194
3.5.1 Enunciado ««««««««««««««««««««««««94 3.5.2 Demostración «««««««««««««««««««««««95 3.5.3 Ejemplo de aplicación ««««««««««««««««««« 9 10
3.5.4 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««201 3.5.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««
206
3.6 Teorema de compensación «««««««««««««««««« 207 3.6.1 Enunciado «««««««««««««««««««««««« 207 3.6.2 Demostración ««««««««««««««««««««««« 208 3.6.3 Ejemplo de aplicación ««««««««««««««««««« 210 3.6.4 Ejercicios resueltos ««««««««««««««««««««.
211
3.6.5 Ejercicios propuestos ««««««««««««««««««««
217
3.7 Teorema de bisección de Bartlett «««««««««««««««
221
3.7.1 Enunciado ««««««««««««««««««««««««
222
3.7.2 Demostración «««««««««««««««««««««««
223
3.7.3 Ejemplo de aplicación «««««««««««««««««««
226
3.7.4 Ejercicio resuelto «««««««««««««««««««««
229
3.7.5 Ejercicios propuestos «««««««««««««««««««
231
4. CONCLUSIONES «««««««««««««««««««««««
235
«««««««««««««««««««««««
237
BIBLIOGRAFÍA ANEXOS
Biografías «««««««««««««««««««««««
11
241
RESUMEN
Este documento se propone dar a conocer las aplicaciones de los diversos teoremas que se emplean en la teoría de circuitos eléctricos, para así desarrollar una solución más rápida en el momento de hallar la respuesta del circuito. De esta forma con la explicación previa de cada teorema se llevará a cabo el entendimiento y posterior desarrollo de cada uno de estos en el momento que este se pueda y se deba aplicar.
12
INTRODUCCIÓN
Este trabajo pretende establecer un manual de fácil consulta acerca de los más conocidos y utilizados teoremas de los circuitos eléctricos. Para ello se aclararán, primero, conceptos de ¿Qué es la teoría de los circuitos eléctricos?, ¿Qué es un circuito eléctrico?, ¿Cómo se describe un circuito eléctrico?, ¿Qué es un teorema1? y ¿Cómo se usan los teoremas para describir rápidamente los circuitos eléctricos? Se presentarán luego uno a uno especificando en qué tipo de circuitos se pueden usar, cómo se aplican (ejercicios y problemas resueltos) y se propondrán algunos para la cabal comprensión. En lo posible los problemas cubrirán circuitos en el dominio del tiempo, en términos de la transformada de Laplace y en régimen permanente con excitación sinusoidal. En la literatura existente los teoremas se enuncian, demuestran y usan cuando se requieren, es decir, aparecen de repente, como una forma de salir de una dificultad en el proceso del análisis de los circuitos eléctricos, es por esto que su posterior aplicación, es difícil. Se debe buscar dentro de la literatura en extenso. Si se hubiera planeado el hacer una presentación sistematizada de todos ellos, bastaría buscar el apartado de teoremas dentro del conjunto y aplicarlo al caso particular. Algo así como la forma en que se enseña en la Universidad la teoría de circuitos eléctricos. Es posible, pero no se hace así, explicar el funcionamiento de los diferentes fenómenos físicos asociados con la carga eléctrica y su movimiento estableciendo el modelo adecuado para su solución (circuito eléctrico) y detenerse luego a explicar un método para resolver las ecuaciones que resultan (solucionar los 1
Para entender qué es un teorema se transcribirá un texto del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN el cual está escrito en primera persona, se respetará la redacción del original
13
circuitos eléctricos que aparecen en este caso particular). Lo mismo se haría con todos los demás fenómenos. Es decir, se iniciaría explicando que fenómeno o fenómenos físicos se asocian con una máquina eléctrica, con la generación de la energía eléctrica, con su transmisión, con su uso, etc. y en cada uno de estos casos se enseñaría cómo resolver el correspondiente circuito equivalente, tantas veces cuantas sea necesario. Más fácil, si se enseña a resolver, de forma genérica, los circuitos eléctricos en general, de todo tipo. Posteriormente se explica, en cada asignatura, que fenómeno o fenómenos se estudian,
se presenta el modelo correspondiente
(circuito equivalente) y se aplican los conocimientos adquiridos previamente para resolverlo y continuar con el estudio de los resultados obtenidos. Con los teoremas ocurre lo primero, cuando lo ideal sería adelantar un estudio de ellos, en general, habilitando a quien se inicia en el estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos para su posterior uso, de manera rápida, en cada caso. Se precisarán, enunciarán y demostrarán los principales teoremas de circuitos, se hará explícito su significado y su alcance dentro del rango válido para ello. Los teoremas son de gran utilidad en las investigaciones que se hacen dentro del campo de la ingeniería eléctrica, como por ejemplo el Teorema de Thévenin en el análisis de los sistemas eléctricos de potencia. Para cada uno de los teoremas que se mencionan más abajo, hay una forma de entenderlos, analizarlos, comprenderlos y aplicarlos debidamente sistematizados: Enunciado, demostración, ejemplo de aplicación, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. Los teoremas que se desarrollarán son: Teorema de sustitución, Teorema de superposición, Teorema de Thévenin, Teorema de Norton, Principio de reciprocidad, Teorema de reciprocidad, Teoremas de Tellegen I y II, Teorema de Millman, Teorema de Rosen (Kennelly), Teorema de la máxima transferencia de 14
potencia, Teorema de Miller, Teorema de compensación y el Teorema de bisección de Bartlett. Se recopilará toda la información disponible y se realizará un documento de fácil consulta y entendimiento que redundará en el beneficio de la academia y será una herramienta muy útil en el análisis de los sistemas eléctricos de potencia.
15
16
1. GENERALIDADES
1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos? El circuito eléctrico es uno de los modelos empleados para estudiar los fenómenos físicos asociados con la carga eléctrica y con su movimiento. Es a su vez una aproximación al otro modelo, la teoría electromagnética, que al basarse en el estudio de los campos eléctrico y magnético, introduce funciones del tiempo y la posición. Esta dependencia del tiempo y la posición (x, y, z en coordenadas rectangulares; r, z y ߠ en cilíndricas; etc.) hace que el manejo matemático sea pesado y exigente
en cuanto a su solución; es cierto que sus resultados son más exactos y que a través de este tipo de análisis se logran soluciones que están cada vez más cercanas a lo que realmente ocurre con los fenómenos estudiados, pero las aproximaciones que se hacen para llegar a la teoría de los circuitos eléctricos facilitan notablemente el procedimiento al eliminar la posición, y generan afortunadamente resultados bastante precisos.
1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico? Un circuito eléctrico es la interconexión arbitraria de puertas que contienen al menos una trayectoria cerrada o una que eventualmente se puede cerrar. Una puerta es el resultado de concentrar los fenómenos de almacenamiento de energía en los campos eléctrico y magnético, conversión de energía eléctrica en calor, conversión de cualquier tipo de energía en energía eléctrica y la transferencia de energía de un lugar a otro dentro del dispositivo o a su inmediata vecindad mediante un campo magnético, entre otros.
17
Al concentrar los fenómenos la posición pierde todo interés, desaparecen las variables que lo definen en dos o tres dimensiones.
1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico? Para describir un circuito eléctrico se han empleado tradicionalmente los voltajes de nodo y las corrientes de malla, la literatura está llena de ejercicios y explicaciones de ambos métodos, pero el desarrollo en la sistematización de los procesos y la computación han generado procedimientos lógicos basados en la topología. Aparecen así en la teoría de circuitos conceptos como NODO, GRÁFICO, ÁRBOL, RAMA, ENLACE, etc. y procedimientos como la descripción de un circuito arbitrario usando como incógnitas las corrientes de enlace o los voltajes de rama. Estos dos últimos, unidos a los de mallas y nodos, permiten resolver de forma sistemática los diferentes circuitos eléctricos. Este trabajo empleará, al desarrollar los ejercicios, uno u otro, procurando un equilibrio entre ellos.
1.4 Teoremas (definición) Para aclarar los términos de teorema, axioma, postulado, demostración, etc. se transcribe el No 1.01 y el No 1.02 del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN 2, dice el ingeniero Obregón: ³Veamos primero unas cuantas definiciones imprescindibles: 2
IVÁN OBREGÓN (Medellín, 1937) es ingeniero, matemático, actuario e investigador operacional. Ha sido profesor en varias universidades colombianas.
18
Teorema: es una afirmación que debe ser demostrada. Axioma: es una afirmación que está tan en la base de una ciencia, que se parte de ella, aceptándola como cierta, sin demostración alguna. Postulado: es casi sinónimo de axioma. Para nosotros serán sinónimos. Definición: es una descripción de un concepto, que incluya todo lo que se quiere incluir, pero sólo eso. Demostración: es la serie de pasos mediante los cuales se llega a establecer la verdad de un teorema. Los matemáticos son muy exigentes en cuanto que una demostración sólo puede invocar: axiomas, postulados, definiciones, u otros teoremas previamente demostrados. Corolario: es una conclusión que se sigue inmediatamente de un teorema o definición y, por lo tanto, no requiere demostración, o basta una demostración mínima. Lema: es un teorema auxiliar que se enuncia y demuestra, sólo como preparación para la demostración de otro teorema. ¿CÓMO SE DEMUESTRA Y CÓMO NO SE DEMUESTRA UN TEOREMA? Miremos éste (tomado de la llamada Teoría de los Números): ³/DVXPDGHGRVQ~PHURVLPSDUHVGDXQQ~PHURSDU´ Naturalmente este teorema estaría precedido de definiciones: ¿qué es un número par?, ¿qué es un número impar?. La siguiente es una supuesta demostración: (3+5) da 8 que es par; (3+7) da 10 que es par; GDTXHHVSDU« 19
La anterior no es una demostración; a lo sumo podemos llamarla una verificación, pues ¿quién garantiza que (1.235 + 5.679) dé un número par? Una demostración debe dejar garantizada su verdad, más allá de cualquier ejemplo en particular. Existen las llamadas demostraciones directas, en las cuales se construye una serie de pasos, que a partir de axiomas, definiciones o teoremas anteriores, llevan finalmente a concluir la verdad del teorema en cuestión. Existen otras llamadas demostraciones por reducción al absurdo, en las cuales se empieza por suponer que lo que se quiere demostrar es falso; a partir de esa suposición se construyen conclusiones que de ellas se derivan: si se llega a alguna que contradice la suposición original o contradice algún teorema ya demostrado, o alguna definición, se concluye que la suposición era falsa y por lo tanto el teorema es verdadero. 9R\DGDUOHVDFRQWLQXDFLyQGRVGHPRVWUDFLRQHVGHOWHRUHPD ³ODVXPD GHGRVLPSDUHVGDSDU´6XSRQJRTXHHVWiGHILQLGRORTXHHVXQDVXPD y lo que es una multiplicación, y que están demostradas todas las propiedades que deben recordar de sus primeros años de bachillerato. Definiciones previas: número par es aquel que resulta de multiplicar a algún otro número por 2; los demás se llaman números impares. Teorema previo (que supondremos ya demostrado): todo número impar es igual a 1 más algún número par (incluyendo el cero como par). Demostración directa. Paso 1: Sean m y n dos números impares. Entonces, por el teorema anterior, 20
݉ = ݇ × 2 + 1 ; ݊ = × ݎ2 + 1 donde k y r son otros números.
Paso 2: ݉ + ݊ = ݇ × 2 + 1 + × ݎ2 + 1 que por propiedades de la suma
y de la multiplicación es igual a ሺ݇ + ݎሻ × 2 + 1 + 1 = ሺ݇ + ݎሻ × 2 + 2 =
ሺ݇ + ݎ+ 1ሻ × 2.
Paso 3: pero ݇ + ݎ+ 1 es otro número, llamémoslo s: entonces
݉ + ݊ = × ݏ2. Por lo tanto, ݉ + ݊ es par. Demostración por reducción al absurdo.
Paso 1: Supongamos que ݉ + ݊ es impar.
Paso 2: Repitiendo los pasos 1 a 3 de la demostración directa, llegamos a que ݉ + ݊ = × ݏ2 , lo cual implicaría que un número impar
es igual a un número par, contradiciendo las definiciones de par e
impar. Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema queda demostrado. ´ 3
1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos? Puesto que un circuito eléctrico se resuelve empleando las ecuaciones primitivas de cada uno de los elementos pasivos que lo conforman, las ecuaciones de las fuentes y las ecuaciones de red (primera y segunda ley de Kirchhoff); su solución se hará más corta si el número de ellas se reduce, Teorema de Thévenin, o se sistematiza el procedimiento, Teorema de Millman, para lograr el resultado más fácil. Lo anterior llevó a enunciar cada vez un mayor número de teoremas que en la literatura se encuentran dispersos y algunas veces con enunciados difíciles de comprender. 3
IVÁN OBREGÓN´MAGIA Y BELLEZA DE LAS MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA͟, págs. 31-34
21
Es por esto que una sistematización y aclaración de los enunciados y usos es imprescindible para quienes se iniciaron en el campo de la electricidad, procurando que el tema sea tratado de tal forma que el iniciado pueda usarlo adecuadamente.
22
2. LOS TEOREMAS BÁSICOS
Se presentan algunos teoremas, los más difundidos y empleados de la teoría de circuitos. Para cada uno de ellos se da el enunciado (resultado de la adecuación de los que aparecen en la bibliografía) se explica en qué casos y a qué tipo de circuitos se aplica, sus ventajas, la demostración y al menos un ejemplo de aplicación. Se resuelven algunos ejemplos típicos y se proponen otros para el cabal entendimiento.
2.1 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN Sus aplicaciones se dan especialmente en la investigación asociada con los circuitos eléctricos. Se usa bastante en las demostraciones de otros teoremas y en el análisis de los sistemas de potencia. Se aplica a cualquier circuito sin limitaciones, lineal o no, variante o invariante con el tiempo, bilateral o no, cuyo estado energético inicial sea nulo o no. Permite incluso, convertir un circuito no lineal por la presencia de un solo elemento no lineal en uno lineal, al sustituirlo por una fuente de corriente o voltaje. Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados por diversas redes pasivas, puesto que permite simplificar el esquema inicial del circuito, el uso más común de este teorema es para reemplazar un elemento de impedancia4 por una fuente de corriente o voltaje, y viceversa.
4
Se llamará elemento tipo impedancia a una resistencia, una inductancia, una capacitancia o cualquier interconexión de ellos.
23
2.1.1 ENUNCIADO ³Si el n-ésimo elemento de un circuito de una red arbitraria (Figura 1a) no está mutuamente acoplado, es decir, no es una fuente dependiente ni un inductor acoplado, se puede reemplazar por una fuente independiente de voltaje ݁ ݏሺݐሻ = ( )ݐ( ݊ݒFigura 1d) igual al que se produce a través de él en el circuito original,
siempre y cuando ambos circuitos tengan solución única. De la misma forma, si a
través del elemento en consideración circula una corriente ݅݊ ( )ݐse puede sustituir
por una fuente independiente de corriente ݅ ݏሺݐሻ = ݅݊ (( )ݐFigura 2d).´ 5
Si en vez de reemplazar un elemento del circuito se sustituye un elemento del gráfico que no contenga fuentes dependientes, ni inductores acoplados, el teorema sigue siendo válido.
2.1.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 1. Caso de la fuente de voltaje
Tomado de K^d͕ůǀĂƌŽ͕>> ͕:ŽƌŐĞ͘LJ͕'/Z>K͕ŝĚŝĞƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /RCUITOS > dZ/K^͕͟ϭϵϴϳ͘
5
24
Figura 2. Caso de la fuente de corriente
En las figuras 1 y 2 se puede ver paso a paso la justificación del teorema, se observa que cuando se conectan los nodos b y c en la figura 1c no circula corriente a través de la fuente, se unen dos nodos a igual potencial, y además por el elemento continúa circulando la misma corriente que en el circuito original, puesto que el voltaje entre sus bornes sigue siendo ݏ݁ = )ݐ( ݊ݒሺݐሻ.El n-ésimo
elemento en paralelo con una fuente independiente de voltaje (figura 1c) se convierte en un elemento redundante6 y por lo tanto se puede retirar del circuito. De igual forma el voltaje a través de la fuente de independiente de corriente en cortocircuito (figura 2b) es nulo, la fuente opera en vacío, y el elemento en serie con esta fuente es también redundante.
2.1.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN En términos de la transformada de Laplace.
6
Un elemento redundante es cualquiera que está conectado en paralelo con una fuente de voltaje o en serie con una fuente de corriente, dependiente o independiente.
25
Determinar ܸܾܽ ሺݏሻ en el circuito1 de la figura 3 e ܫሺݏሻ en ambos. El valor de ܸሺݏሻ es el obtenido ሾܸܾܽ ሺݏሻ ሿ.
Figura 3. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Para el circuito 1: Se obtienen las ecuaciones aplicando corrientes de enlace
26
Figura 4. Gráfico orientado para el circuito 1
El unir los nodos inferiores para formar uno solo no altera el resultado y garantiza que el gráfico está conectado. Las incógnitas son: ܫ4 ሺݏሻ e ܫ5 ሺݏሻ Las ecuaciones primitivas son:
ܸ2 ()ݏ ܵ ൨=ቂ ܸ3 ()ݏ ܵ
ܸ4 ሺݏሻ =
ܵ ܫ2 ()ݏ ൨ ቃ 2ܵ ܫ3 ()ݏ
1 ܫሺݏሻ ܵ 4
ܸ5 ሺݏሻ = ܫ5 ()ݏ
La ecuación de la fuente de voltaje es:
ܸ1 ሺݏሻ =
1 ܵ
Aplicando sumatorio de voltajes a los anillos formados por los enlaces 4 y 5 se tiene:
ܸ4 ሺݏሻ + ܸ2 ሺݏሻ െ ܸ1 ሺݏሻ = 0 ܸ3 ሺݏሻ + ܸ5 ሺݏሻ = 0 27
(1) (2)
Reemplazando las ecuaciones primitivas en (1) y (2): 1 1 ൬ ൰ ܫ4 ሺݏሻ + ሾܵܫ2 ሺݏሻ + ܵܫ3 ሺݏሻሿ = ܵ ܵ
(3)
ሾܵܫ2 ሺݏሻ + 2ܵܫ3 ()ݏሿ + ܫ5 ሺݏሻ = 0
Expresando ܫ2 ሺݏሻ e ܫ3 ( )ݏen función de las corrientes de enlace:
Aplicando sumatorio de corrientes a los cortes 1 y 2 y despejando: ܫ2 ሺݏሻ = ܫ4 ሺݏሻ
ܫ3 ሺݏሻ = ܫ5 ሺݏሻ
Reemplazando en 3:
1 1 ൬ ൰ ܫ4 ሺݏሻ + ܵܫ4 ሺݏሻ + ܵܫ5 ሺݏሻ = ܵ ܵ ܵܫ4 ሺݏሻ + 2ܵܫ5 ( )ݏ+ ܫ5 ሺݏሻ = 0
ܸܾܽ ሺݏሻ se obtendrá del hecho de que :
ܸܾܽ ሺݏሻ = െܸ5 ሺݏሻ = െ(1)ܫ5 ሺݏሻ
Despejando ܫ4 ሺݏሻ: ܫ4 ሺݏሻ =
1ൗ െ ܵ ܫሺݏሻ 1 ܵ2 5 ܵ = 2 െ 2 ܫሺݏሻ 1ൗ + ܵ ܵ +1 ܵ +1 5 ܵ
Reemplazando la ecuación anterior para obtener el valor de ܫ5 ሺݏሻ: 1 ܵ2 ܵቈ 2 െ 2 ܫሺݏሻ + ሺ1 + 2ܵሻܫ5 ሺݏሻ = 0 ܵ +1 ܵ +1 5 28
֜
ܫ5 ሺݏሻ = De donde:
ܵ3
ܵ ܵ2 + 1
ܵ2 + 1
=
െ (1 + 2ܵ)
ܵ ܵ = ܵ 3 െ ሺ1 + 2ܵሻ(ܵ 2 + 1) െܵ 3 െ ܵ 2 െ 2ܵ െ 1
ܸܾܽ ሺݏሻ =
ܵ3
+
ܵ2
ܵ + 2ܵ + 1
La impedancia de 1ȳ se reemplaza por la fuente ܸܾܽ ሺݏሻ, como se ve en el circuito
siguiente:
Figura 5. Circuito 2 con el valor de V(s) calculado
Ahora se calcula la corriente ܫሺݏሻ para ambos circuitos: Circuito 1:
Despejando ܫ5 ሺݏሻ de la siguiente ecuación:
ܵܫ4 ሺݏሻ + 2ܵܫ5 ሺݏሻ + ܫ5 ሺݏሻ = 0 ܫ5 ሺݏሻ = െ
ܵ ܫሺݏሻ (1 + 2ܵ) 4 29
֜
Reemplazando en la ecuación que se presenta a continuación:
ܫ4 ሺݏሻ =
1 ܵ
1 ܵ 1 = ൬ + ܵ൰ ܫ4 ሺݏሻ + ܵ െ ܫሺݏሻ ൨ ܵ (1 + 2ܵ) 4 ܵ ; organizando ܫሺݏሻ = ܫ4 ሺݏሻ =
ܵ2
1 ܵ + ܵ െ (1 + 2ܵ)
ܵ3
2ܵ + 1 + ܵ 2 + 2ܵ + 1
Circuito 2: Figura 6. Corrientes de malla aplicadas al circuito 2
Tomando sumatorio de voltajes en las mallas: 1 1 = ൬ + ܵ൰ ܫ1 ሺݏሻ + ܵܫ2 ሺݏሻ ܵ ܵ ܵ3
+
ܵ2
ܵ = ܵܫ1 ሺݏሻ + 2ܵܫ2 ሺݏሻ + 2ܵ + 1
Dividiendo por S y despejando ܫ2 ሺݏሻ de la ecuación 5: ܫ2 ሺݏሻ =
1 1 ൬ 3 െ )ݏ( ܫ൰ 2 2 ܵ + ܵ + 2ܵ + 1 1 30
ሺ4ሻ (5)
Reemplazando ܫ2 ሺݏሻ en la ecuación 4 y despejando ܫ1 ሺݏሻ:
Organizando: ܫ1 ሺݏሻ =
1 1 1 1 = ൬ + ܵ൰ ܫ1 ሺݏሻ + ܵ ቆ ൬ 3 െ )ݏ( ܫ൰ቇ 2 ܵ 2 ܵ + ܵ + 2ܵ + 1 1 ܵ
ሺ2ܵ + 1ሻሺܵ 2 + 2ሻ 2ܵ 3 + ܵ 2 + 4ܵ + 2 2ܵ + 1 = = 3 2 3 2 2 3 2 ሺܵ + 2ሻ(ܵ + ܵ + 2ܵ + 1) ሺܵ + 2ሻ(ܵ + ܵ + 2ܵ + 1) ܵ + ܵ 2 + 2ܵ + 1 ܫሺݏሻ = ܫ1 ሺݏሻ =
2ܵ + 1 ܵ 3 + ܵ 2 + 2ܵ + 1
Como se ve, las corrientes son iguales en los dos circuitos.
2.1.4 EJERCICIOS RESUELTOS 2.1.4.1 Aplicar el teorema de sustitución a la resistencia de 2 ȳ del circuito de la figura 7.
Figura 7. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: 31
Empleando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de 2ȳ, por una fuente de voltaje, que equivale al voltaje en bornes de la resistencia: ॽ2 = 2ሺॴሻ = 2ሺ0,83 עെ71,60 ሻ = (1,66 עെ71,60 ) , la corriente ha sido calculada previamente y es un dato del problema.
Ahora se reemplaza la resistencia de 2 ȳ por la fuente de voltaje ॽ2 : Figura 8. Circuito donde se cambio la resistencia de 2ȳ por la fuente ॽ2
En este nuevo circuito se quiere hallar la corriente ॴ: Malla 1:
ॴ2 = ॴ
ॽ1 = ሺ3 + ݆4ሻॴ1 െ ݆5ሺॴ1 െ ॴ2 ሻ Malla 2:
ሺ3 െ ݆ሻॴ1 + ሺ݆5ሻॴ2 = 10
െॽ2 = ሺ9,5 + ݆2,5ሻॴ2 െ ݆5ሺॴ2 െ ॴ1 ሻ
ሺ݆5ሻॴ1 + ሺ9,5 െ ݆2,5ሻॴ2 = െሺ1,66 עെ71,60 ሻ 32
ሺ6ሻ
(7)
Despejando ॴ1 de la ecuación 6:
Reemplazando en la ecuación 7: ሺ݆5ሻ
ॴ1 =
10 െ (݆5)ॴ2 (3 െ ݆)
10 െ (݆5)ॴ2 ൨ + ሺ9,5 െ ݆2,5ሻॴ2 = െሺ1,66 עെ71,60 ሻ (3 െ ݆)
Organizando y despejando ܫ2 se tiene:
17ॴ2 = െሺ1,66 עെ71,60 ሻ + 5 െ ݆15;
ॴ2 = ሺ0,83 עെ71,60 ሻ ܣ
El valor de ॴ2 es el mismo de la corriente ॴ del circuito de la figura 7, como se
puede ver la sustitución de la resistencia de 2ȳ, por la fuente de voltaje ॽ2 no altera las respuestas del circuito.
2.1.4.2 Mediante el teorema de sustitución hallar el voltaje ܸ0 , de la figura 9. Figura 9. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
33
La resistencia equivalente: ܴ݁ = ݍሺ1 + 1ሻ צ2 = 1π
a la derecha de a-b es el
resultado del paralelo de una resistencia de 2 ȳ con la serie de 2 resistencias de 1ȳ.
Se reemplaza el valor de la resistencia equivalente y se obtiene el valor de ܸ1 en el siguiente circuito:
Figura 10. Circuito equivalente para obtener el valor de ܸ1
Haciendo de nuevo un paralelo entre las resistencias se obtiene el valor de 0,5 ȳ y a este circuito se le aplica un divisor de tensión para hallar ܸ1 . ܸ1 =
6(0,5) = 2ܸ 1 + 0,5
Aplicando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de 2 ȳ del circuito original por una fuente ideal de voltaje de valor 2ܸ como se muestra en la figura 11:
34
Figura 11. Circuito equivalente para obtener el valor de ܸ0
Y aplicando de nuevo un divisor de tensión se obtiene el valor de ܸ0 , pedido inicialmente.
ܸ0 =
2(1) = 1ܸ 1+1
Resultado que podría haberse obtenido usando voltajes de nodo, sin usar el teorema de sustitución así:
Figura 12. Circuito aplicando voltajes de nodo
35
Nodo 2: ܸ1 െ 6 ܸ1 ܸ1 ܸ1 െ ܸ0 + + + =0 1 1 2 1
(8)
Nodo 3: ܸ0 െ ܸ1 ܸ0 + =0 1 1
(9)
Despejando ܸ1 de la ecuación 9: ܸ1 = 2ܸ0 y reemplazando en la ecuación 8: 3,5 ሺ2ܸ0 ሻ െ 6 െ ܸ0 = 0 ܸ0 = 1ܸ
2.1.4.3 Aplicar el teorema de sustitución en la figura 13 para reemplazar la fuente de voltaje de 9,2 ܸ. Figura 13. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Se reemplaza la fuente de voltaje, por una fuente de corriente aplicando el teorema de sustitución: Del circuito se puede ver que: 36
ܫ3 =
ሺ20 െ 9,2ሻ = 3,6 ; ܣ 3
ܫ1 = 1 ܣ
ܫ2 = ܫ3 + ܫ1 = ܫ3 + 1 = 3,6 + 1 = 4,6 ܣ
Este valor de ܫ2 , se reemplaza en el circuito original y se hallan los voltajes del
circuito de la figura14:
Figura 14. Circuito con la fuente de voltaje reemplazada por la fuente de corriente
ܸ1 = ܫ1 ሺ1ሻ = 1 ܸ ; ܸ3 = ܫ3 ሺ3ሻ = ሺ3,6ሻሺ3ሻ = 10,8 ܸ
Aplicando voltajes de nodo, al nodo 2: 1+
ሺ20 െ ܸ2 ሻ = 4,6 ; 3
ܸ2 = 9,2 ܸ
El valor de ܸ2 es el mismo del circuito de la figura 13, con lo que se demuestra la
validez del teorema de sustitución.
37
2.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1.5.1 Determine ܸ1݊ ,ܸ2݊ y ܸ3݊ para cada uno de los circuitos 1 y 2 de la figura15. Verifique el cumplimiento del teorema de sustitución7.
Figura 15. Ejercicio propuesto
7
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didieƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /Zh/dK^ > dZ/K^͕͟ϭϵϴϳ͘
38
2.1.5.2 a) En el circuito de la figura 16, reemplace la resistencia ܴܾܽ de 300ȳ por un generador con una resistencia interna de 75ȳ de tal forma que el
resto del circuito no note el cambio. b) Repetir el procedimiento anterior, haciendo que la resistencia interna del generador sea de 600ȳ.
Figura 16. Ejercicio propuesto
2.1.5.3 En el circuito de la figura 17: a) Conectar una fuente ideal de voltaje entre los terminales a y b de valor 0
ॽܾܽ = 33,8 ݁ ݆ 147,2 y hallar la corriente a través de ella
b) Conectar una fuente ideal de corriente en serie con la impedancia de 0
݆6ȳ de valor ॴܾܿ = 17,26 ݁ െ݆ 94,31 y hallar el voltaje a través de ella
c) Para el circuito de la figura 17, hallar ॽܾܽ e ॴܾܿ
39
Figura 17. Ejercicio propuesto
2.2 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN Este teorema se aplica a circuitos lineales, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energético8 inicial es nulo y permite reducir un circuito con varias fuentes independientes a varios circuitos, cada uno con una sola fuente o con fuentes del mismo tipo.
2.2.1 ENUNCIADO ³En un circuito lineal arbitrario que contiene dos o más fuentes independientes, el voltaje a través de cualquier elemento o la corriente que fluye por cualquier elemento de la red se puede calcular como la suma algebraica de los aportes individuales de cada fuente independiente actuando por separado. Para encontrar la respuesta debida a una fuente específica, todas las demás se deben
8
El estado energético es el conjunto de variables que permiten determinar la energía almacenada por el ܮ ܥ circuito en un instante determinado. Como ܹ ܥሺݐሻ = ቀ ቁ ܸ ܥ2 ሺݐሻ ; ܹ ܮሺݐሻ = ቀ ቁ ܮܫ2 ሺݐሻ y ܹ ܯሺݐሻ = ܮ
2
ܮ
2
ቀ 1 ቁ ܮܫ1 2 ሺݐሻ + ቀ 2 ቁ ܮܫ2 2 ሺݐሻ ± ܮܫܯ1 ሺݐሻܮܫ2 ( )ݐ, entonces el estado energético (ee) está conformado por los 2
2
voltajes en las capacitancias y las corrientes a través de las inductancias, para capacitancias e inductancias invariantes con el tiempo.
40
reemplazar por circuitos abiertos si son de corriente o por cortocircuitos si son de voltaje.´ Cuando se aplica el teorema de superposición a circuitos lineales que contengan fuentes dependientes se debe tener en cuenta que estas fuentes nunca se desactivan, a menos que su señal de control valga cero. El circuito como se dijo, debe ser lineal, puede ser variante o invariante con el tiempo y su estado energético inicial debe ser nulo9.
2.2.2 ¿POR QUÉ NO SE REQUIERE DE UNA DEMOSTRACIÓN? Un sistema lineal es un sistema que obedece las propiedades de escalado (homogeneidad) y de superposición (aditiva), mientras que un sistema no-lineal es cualquier sistema que no obedece al menos una de estas propiedades. Para demostrar que un sistema ܪ10 obedece la propiedad de escalado se debe demostrar que:
ܪ൫݂݇ሺݐሻ൯ = ݇ܪ൫݂ሺݐሻ൯
9
(10)
Si el estado energético inicial no es nulo, se puede recurrir a desenergizar los elementos almacenadores de energía reemplazando las inductancias por la misma inductancia desenergizada en paralelo con una fuente independiente de corriente de valor iL(0+) ó iL(o-) y las capacitancias por la capacitancia desenergizada en serie con una fuente independiente de voltaje de valor V c(0+) ó Vc(0-).Para los circuitos en términos de la Transformada de Laplace, no hay problema, el proceso de transformación los desenergiza.
10
Donde H es un operador.
41
Figura 18. Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de escalado de linealidad
Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de superposición de linealidad se debe mostrar que: ܪ൫݂1 ሺݐሻ + ݂2 ሺݐሻ൯ = ܪ൫݂1 ሺݐሻ൯ + ܪ൫݂2 ሺݐሻ൯
(11)
Figura 19. Diagrama de bloques demostrando la propiedad de superposición de linealidad
Es posible verificar la linealidad de un sistema en un paso sencillo. Para hacer esto simplemente se combinan los dos primeros pasos para obtener: ܪ൫݇1 ݂1 ሺݐሻ + ݇2 ݂2 ሺݐሻ൯ = ݇1 ܪ൫݂1 ሺݐሻ൯ + ݇2 ܪ൫݂2 ሺݐሻ൯ 2.2.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 42
(12)
1. En términos de la transformada de Laplace. Hallar ܸ2 ( )ݏusando superposición. Figura 20. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: ܸ2 ሺݏሻ = ܸ21 ሺݏሻ + ܸ22 ሺݏሻ
(13)
Donde ܸ21 ሺݏሻ es el valor del voltaje que se obtiene con la fuente de corriente
independiente desactivada, y ܸ22 ሺݏሻ es el valor del voltaje con la fuente de voltaje
independiente ܸ( )ݏdesactivada.
Figura 21. Circuito con la fuente de corriente desactivada
43
Circuito A: Contribución de la fuente de voltaje, con la fuente de corriente desactivada11. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la trayectoria cerrada a la izquierda del circuito se obtiene la primera ecuación: ܸሺݏሻ + ሺܴ + ܵܮሻܫ1 ሺݏሻ + µܸ21 ሺݏሻ = 0
(14)
Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la segunda ecuación: െߙܫ1 ሺݏሻ +
ܸ21 ሺݏሻ =0 1 ܵܥ
Se despeja ܫ1 ሺݏሻ de (14) y se reemplaza en la ec. (15): ܫ1 ሺݏሻ = െ
Reemplazando: ߙ
Ahora se despeja ܸ21 ሺݏሻ:
ܸ21 ሺݏሻ = Reemplazando los valores:
µܸ21 ሺݏሻ + ܸሺݏሻ ሺܴ + ܵܮሻ
µܸ21 ሺݏሻ + ܸሺݏሻ + ܸ ܵܥ21 ሺݏሻ = 0 ሺܴ + ܵܮሻ ܸ()ݏ െߙ ൬ܴ + ܵܮ൰
ߙܸ()ݏ =െ ߙߤ ߙߤ + ܴ(ܵܥ+ )ܵܮ ܵܥ+ ቀܴ + ܵܮቁ
5 െ0,4 ቀܵ + 1ቁ ߙܸ()ݏ ܸ21 ሺݏሻ = െ = ߙߤ + ܴ(ܵܥ+ )ܵܮሺ0,4ሻሺ0,3ሻ + ܱ, 5ܵ(3 + 2ܵ) ܸ21 ሺݏሻ = െ
11
ܵ3
+
3,5ܵ 2
2 + 1,62ܵ + 0,12
Obsérvese que las fuentes dependientes o controladas continúan operando.
44
(15)
Figura 22. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
Circuito B: Contribución de la fuente de corriente, con la fuente de voltaje desactivada. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la primera trayectoria cerrada del circuito se obtiene la tercera ecuación: (ܴ + ܫ)ܵܮ1 ሺݏሻ + µܸ22 ሺݏሻ = 0
(16)
Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la cuarta ecuación: െߙܫ1 ሺݏሻ +
ܸ22 ሺݏሻ െ = )ݏ(ܫ0 1 ܵܥ
Se despeja ܫ1 ሺݏሻ de (17) y se reemplaza en (16): ܫ1 ሺݏሻ =
Reemplazando ܫ1 ሺݏሻ en (16):
1 ሾܸ ܵܥ22 ሺݏሻ െ ܫሺݏሻሿ ߙ
(ܴ + )ܵܮ ሾܸ ܵܥ22 ሺݏሻ െ )ݏ(ܫሿ + ߤ ܸ22 ሺݏሻ = 0 ߙ
Ahora se despeja ܸ22 ሺݏሻ:
45
(17)
(ܴ + )ܵܮ )ݏ(ܫ (ܴ + )ݏ(ܫ)ܵܮ ߙ ܸ22 ሺݏሻ = = ܵܥ ߤ + ߙ (ܴ + ߤߙ )ܵܮ+ ܴ(ܵܥ+ )ܵܮ
Reemplazando por los valores:
2 ሺ3 + 2ܵሻ ቀ ቁ (ܴ + )ݏ(ܫ)ܵܮ ܵ = ܸ22 ሺݏሻ = ߙߤ + ܴ(ܵܥ+ )ܵܮሺ0,4ሻሺ0,3ሻ + ܱ, 5ܵ(3 + 2ܵ) ܸ22 ሺݏሻ =
ܵ3
4ܵ + 6 + 1,5ܵ 2 + 0,12ܵ
Finalmente se suman los dos voltajes para obtener el resultado pedido inicialmente: ܸ2 ሺݏሻ = ܸ21 ሺݏሻ + ܸ22 ሺݏሻ = െ
4ܵ + 6 2 + ܵ 3 + 3,5ܵ 2 + 1,62ܵ + 0,12 ܵ 3 + 1,5ܵ 2 + 0,12ܵ
2. Circuito resistivo En el circuito de la figura 23, calcular el voltaje ܸ aplicando el teorema de superposición.
Figura 23. Circuito resistivo
46
SOLUCIÓN: Se empieza por encontrar la componente de ܸ que resulta de la fuente de 60ܸ, el
circuito de la figura 24 muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada, convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.
Figura 24. Circuito con la fuente de corriente desactivada
Se deduce del circuito que: = ܫെܫ1 ;
ܫ2 = 0,4 = ܫെ0,4ܫ1
Se obtiene la siguiente ecuación después de aplicar el análisis de mallas al circuito:
Despejando ܫ1 :
20ܫ1 + 10ܫ1 െ 60 + 30ሺܫ1 െ 0,4ܫ1 ሻ = 0 ܫ1 ሺ30 + 30 െ 12ሻ = 60
ܫ1 =
Reemplazando ܫ1 en la ecuación:
60 5 = = 1,25 ܣ 48 4 47
ܸ1 = 30ሺܫ1 െ 0,4ܫ1 ሻ = 30൫1,25 െ 0,4ሺ1,25ሻ൯ ܸ1 = 22,5 ܸ
Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se trabaja con el circuito de la figura 25 donde la fuente de voltaje se reemplaza por un corto circuito.
Figura 25. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
Del circuito se halla la corriente ݅
=ܫ
ܸܣ 20
(18)
Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtienen las dos ecuaciones que se presentan a continuación: Nodo A:
Organizando:
െ4 +
ܸ ܣܸ ܣെ ܸ2 + =0 10 20
3ܸ ܣെ 2ܸ2 = 80 48
(19)
Nodo 2: ܸ2 ܸ2 െ ܸܣ െ 0,4 ܫ+ =0 ; 30 10
reemplazando = ܫ
Despejando ܸ ܣ: Reemplazando ܸ ܣen (19):
Finalmente:
VA ; 20
െ7,2ܸ ܣ+ 8ܸ2 = 0 ܸ= ܣ
3 ܸ െ 2ܸ2 = 80 0,9 2
ܸ2 ܸܣ ܸ2 െ ܸܣ െ 0,4 ൨ + =0 30 20 10
ሺ20ሻ
ܸ2 0,9
;
ܸ2 = 60 ܸ
ܸ = ܸ1 + ܸ2 = 22,5 + 60 = 82,5 ܸ 2.2.4 EJERCICIOS RESUELTOS 2.2.4.1 Aplicando el teorema de superposición hallar el valor de la corriente ݅()ݐ. Figura 26. Ejercicio resuelto
49
SOLUCIÓN: La solución total será: ॴ = ॴ1 + ॴ2
(21)
Cálculo de la corriente aportada por la fuente de corriente ॴ1 , con la fuente de
voltaje reemplazada por un corto circuito.
Figura 27. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
El nodo b pasa a ser el que se muestra en la figura 27 por cuanto, al reemplazar la fuente por un corto la corriente que circula por ܴ െ ݆ܹܿ se hace cero y los voltajes
en ellos también.
Aplicando un divisor de voltaje para hallar ॽܽ se obtiene: (Se reemplaza todo el resto del circuito por una fuente de voltajes de valor V - Teorema de sustitución-) ॽܾܽ = ॽܽ = 50
ॽ × ሺ݆30ሻ 50 + ݆30
ሺ22ሻ
Aplicando voltajes de nodo en V: െ2 ע460 +
Reemplazando ॽܾܽ en la ecuación 23: െ2 ע460 +
ॽ ॽ + + 0,1ॽܾܽ = 0 50 + ݆30 8
(23)
ሺॽ × ݆30ሻ ॽ ॽ + + 0,1 =0 50 + ݆30 8 50 + ݆30
(0,17 ע11,990 ) × ॽ = (2 ע460 )
ॴ1 =
ॽ = (11,76 ע34,010 ) ሾܸሿ
ॽ (11,76 ע34,010 ) = = (1,47 ע34,010 ) ሾܣሿ 8 8
Cálculo de la corriente ॴ2 aportada por la fuente de voltaje, con la fuente de corriente reemplazada por un circuito abierto.
Figura 28. Circuito con la fuente de corriente desactivada
51
ॴ2 =
ॽܾܽ = ॽܽ െ ॽܾ = donde ॽ2 = ሺ42 ע00 ሻ
ॽ1 െ ॽ2 8
ሺॽ1 ݆ כ30ሻ ൫ॽ2 כሺെ݆12ሻ൯ െ 10 + ݆12 50 + ݆30
(24)
12
ॽܾܽ = ሺ0,51 ע59,040 ሻॽ1 െ ሺ0,77 עെ 39,80 ሻॽ2
(25)
por lo tanto ॽܾܽ = ሺ0,51 ע59,040 ሻॽ1 Ȅ (32,34 עെ 39,80 )
Aplicando voltajes de nodo en V1:
ॽ1 െ ॽ2 ॽ1 + + 0,1ॽܾܽ = 0 8 50 + ݆30
(26)
Reemplazando ॽܾܽ y ॽ2 en la anterior ecuación se obtiene ॽ1 : ሺ0,17 ע11,880 ሻॽ1 = ሺ8 עെ 14,980 ሻ ;
Como
ॽ1 = (47,06 עെ 26,860 )ሾܸሿ
ॽ1 െ ॽ2 ሺ47,06 עെ 26,860 ሻ െ (42 ע00 ) ॴ2 = = = ሺ2,66 עെ 90,050 ሻ ሾܣሿ 8 8
Entonces la respuesta será la suma de las dos corrientes:
ॴ = ॴ1 + ॴ2 = ሺ1,47 ע34,010 ሻ + ሺ2,66 עെ 90,050 ሻ = ሺ2,20 עെ 56,500 ሻሾܣሿ
12
Para poder aplicar el divisor de voltajes es necesario usar previamente el teorema de sustitución. Ejemplo:
52
2.2.4.2 Calcular por medio del teorema de superposición la corriente ܫ0 . Figura 29. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Se empieza por encontrar la componente de I0 que resulta de la fuente de 12ܸ.El circuito de la figura 30, muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada, convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.
53
Figura 30. Circuito con la fuente de corriente desactivada
Se puede ver en el circuito que hay relación entre las corrientes: ܫ01 = ܫ3 ; ܫ1 = െݔܫ
Mediante un análisis de mallas se hallan las ecuaciones del circuito: Malla 1:
Organizando:
Supermalla 2 y 3:
Organizando:
8ܫ1 + 10ሺܫ1 െ ܫ2 ሻ + 4ܫ1 = 12 22ܫ1 െ 10ܫ2 = 12
(27)
10ሺܫ2 െ ܫ1 ሻ + 2ܫ2 + 6ܫ3 = 0 െ10ܫ1 + 12ܫ2 + 6ܫ3 = 0
Haciendo sumatorio de corrientes en el nodo A: 54
(28)
= ܣܫ0 ;
Entonces:
0,6 ݔܫ+ ܫ2 = ܫ3 como ܫ1 = െݔܫ 0,6ܫ1 െ ܫ2 + ܫ3 = 0
(29)
Reemplazando (29) en (28) se obtiene ܫ1 en términos de ܫ2 : ܫ3 = ܫ2 െ 0,6ܫ1
െ10ܫ1 + 12ܫ2 + 6ሺܫ2 െ 0,6ܫ1 ሻ = 0 despejando ܫ1 ;
ܫ1 = ൬
Ahora se reemplaza este valor de ܫ1 en (27) para encontrar ܫ2 : 45 22 ൬ ൰ ܫ2 െ 10ܫ2 = 12 34
Con este valor se obtiene ܫ1 e ܫ3 :
ܫ1 = 0,83 ; ܣ
45 ൰ܫ 34 2
204 de donde ܫ2 = ൬ ൰ = 0,63 ܣ 325 ܫ3 = ܫ01 = 0,13ܣ
Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se trabaja con el circuito de la figura 31 donde la fuente de voltaje se reemplaza por un corto circuito.
55
Figura 31. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
Se puede deducir del circuito de la figura 31 que:
= ݔܫ
ܸ1 െ ܸ2 4
;
ܫ02 =
ܸ3 6
Aplicando voltajes de nodo al circuito de la figura 31 se hallan las siguientes ecuaciones: Nodo 1:
Organizando:
Nodo 2:
ܸ1 െ ܸ2 ܸ1 െ ܸ3 + െ2=0 4 8 1 1 3 ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ3 = 2 4 8 8 ܸ2 െ ܸ1 ܸ2 ܸ2 െ ܸ3 + + =0 4 2 10 56
(30)
1 17 1 െ ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ =0 4 20 10 3
Nodo 3:
(31)
ܸ3 ܸ1 െ ܸ2 ܸ3 െ ܸ2 ܸ3 െ ܸ1 + + 0,6 ݔܫ+ = 0 ; pero ܫx = reemplazando: 8 6 4 10
Organizando:
ܸ3 െ ܸ2 ܸ3 െ ܸ1 ܸ1 െ ܸ2 ܸ3 + + 0,6 ൨+ =0 10 8 4 6
െ
1 47 11 ܸ1 + ܸ2 െ ܸ =0 20 120 3 40
(32)
Solucionando las tres ecuaciones resultantes se hallan: ܸ1 ; ܸ2 ; ܸ3 3 1 1 ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ3 = 2 8 4 8
1 17 1 െ ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ =0 4 20 10 3 െ
1 47 11 ܸ1 + ܸ2 െ ܸ =0 20 120 3 40
ܸ1 = 9,98 ܸ
Finalmente se calcula ܫ0 :
ܸ2 = 3,72 ܸ
Como ܫ02 =
ܸ3 = 6,53ܸ
ܸ3 6,53 = = 1,09 ܣ 6 6
ܫ0 = ܫ01 + ܫ02 = 0,13 + 1,09 = 1,22 ܣ
57
;
ܫ0 = 1,22ܣ
2.2.4.3 El circuito opera en estado estacionario. Determinar ݏݏܮܫሺݐሻ. Figura 32. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Aporte de la fuente de corriente:
Figura 33. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
58
El circuito cumple con las cinco condiciones de un circuito equivalente: -
Circuito en estado estacionario
-
Resistencia no redundante
-
Excitación constante
-
No hay trayectorias cerradas, formadas sólo por fuentes de voltaje independientes e inductancias
-
No hay cortes compuestos sólo por fuentes de corriente independientes y capacitancias
Circuito equivalente: Capacitancias cambiadas por un circuito abierto y las inductancias por un corto circuito
Figura 34. Circuito equivalente
En este circuito se puede ver claramente que la corriente es cero: ܮܫ2 ݏݏሺݐሻ = 0 59
Aporte de la fuente de voltaje:
Figura 35. Circuito con la fuente de corriente desactivada
ܮܫ2
ॽ = 10 ע00
(10 ע00 ) = = ሺ0,65 ע85,130 ሻ ሾܣሿ ሺ12 െ ݆50ሻ כሺെ݆25ሻ + ݆1,6 ሺ12 െ ݆50ሻ + ሺെ݆25ሻ (400 ݐ+ 85,130 ) ܮܫ2 ݏݏሺݐሻ = 0,65 cos༌
ݏݏܮܫሺݐሻ = ܮܫ1 ݏݏሺݐሻ + ܮܫ2 ݏݏሺݐሻ = 0 + 0,65 cosሺ400 ݐ+ 85,130 ሻ = 0,65 cosሺ400 ݐ+ 85,130 ሻ ݏݏܮܫሺݐሻ = 0,65 cosሺ400 ݐ+ 85,130 ሻ ሾܣሿ
60
2.2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 2.2.5.1 Calcular por medio del teorema de superposición, el voltaje ܸ0 de la red que se muestra a continuación.
Figura 36. Ejercicio propuesto
2.2.5.2 En el circuito de la figura 37, determine ܿܫusando el teorema de superposición.
Figura 37. Ejercicio propuesto
61
2.2.5.3 Aplicar el principio de superposición, para hallar el valor de ܸ0 . Figura 38. Ejercicio propuesto
2.2.5.4 El circuito de la figura 39 opera en estado estacionario Determinar: ܮܫ2ܵܵ ()ݐ Figura 39. Ejercicio propuesto
62
2.3 TEOREMA DE THÉVENIN El conocido teorema de Thévenin Helmholtz
14
13
fue estudiado a mediados del siglo XIX por
en forma más general, es decir para una red activa con N bornes
externos, dicho teorema permaneció casi que olvidado, hasta que fue redescubierto por Thévenin en 1.883, dándose a conocer de nuevo bajo este nombre actual, el famoso teorema de Thévenin. Se aplica a circuitos lineales con una carga que puede ser lineal o no lineal, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energético sea nulo o no. Permite reemplazar un circuito de análisis complejo por uno equivalente de menos tamaño que facilite el cálculo de los efectos externos (circuito equivalente), puede usarse en sistemas de potencia para analizar partes de él reemplazando el resto del sistema de esta forma.
2.3.1 ENUNCIADO ³Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red (Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 40a), se puede sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que contenga sólo una fuente de voltaje independiente en serie con una red Nao (figura 40b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes contenidas en ellas y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando
13
León Charles Thévenin (Meaux, 30 de marzo de 1857 - 21 de septiembre de 1926), fue un ingeniero en telegrafía francés, que extendió el análisis de la Ley de Ohm a los circuitos eléctricos complejos. Su aporte más importante fue el teorema que lleva su nombre. Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (Agosto 31, 1821 ʹ Septiembre 8, 1894) físico alemán que contribuyó con sus conocimientos en múltiples campos de la ciencia.
14
63
la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya ningún acoplamiento entre ellas.´15
FIGURA 40. Circuito original y circuito equivalente de Thévenin
2.3.2 DEMOSTRACIÓN
FIGURA 41. Demostración del teorema de Thévenin
Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 41a se puede ver que la corriente ݅( )ݐque pasa a través de la red pasiva Nb, se puede
descomponer en la corriente ݅1 ( )ݐque es generada por la acción de todas las
fuentes de la red Na de la figura 40a y la corriente ݅2 ( )ݐdebida a la fuente de voltaje ݁ )ݐ( ݔde la figura 41b. Por lo tanto:
݅ሺݐሻ = ݅1 ሺݐሻ + ݅2 ሺݐሻ
(33)
Tomado de K^d͕ůǀĂƌŽ͕>> ͕:ŽƌŐĞ͘LJ͕'/Z>K͕ŝĚŝĞƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /Zh/dK^ > dZ/K^͕͟ϭϵϴϳ͘ 15
64
Cuando ݅( )ݐes cero se puede reemplazar la red Nb en la figura 41a por un circuito abierto (teorema de sustitución) en el cual la diferencia de potencial entre sus
terminales sea nula (la red Nb es pasiva y la corriente que la circula es cero), por lo tanto al aplicar el teorema de superposición se obtiene que: 0 = ݁ ݄ݐሺݐሻ + ሾെ݁ ݔሺݐሻሿ
(34)
Esto indica que para que la corriente a través de la red pasiva Nb sea nula ݁)ݐ( ݔ debe ser igual a ݄݁ܶ ( )ݐcomo se muestra en la figura 42. Si la polaridad
de
݁)ݐ( ݄ܶ݁ = )ݐ( ݔ, se inyecta una corriente ݅1 ( )ݐen la red pasiva Nb de la figura 40b.
FIGURA 42. Determinación del voltaje de Thévenin
2.3.2.1 TEOREMA UNIFICADO DE THÉVENIN Ling-Ming Jin y Shin Park Chan en la revista IEEE TRANSACTIONS ON EDUCATION de agosto de 1989 (Volumen 32 Número 3) presentaron el artículo ³A unified and Efficient Approach for Determining Thévenin (Norton) Equivalent &LUFXLWV´ donde muestran una forma unificada y eficiente de determinar el equivalente
de
Thévenin,
método
que
permite
obtener
simultanea
y
sistemáticamente la impedancia (ܼ݄ܶ ) y la fuente de Thévenin (ܸ݄ܶ ).
Se basan en el hecho de que si ambos circuitos (el original y el de Thévenin) son equivalentes, deben producir los mismos efectos externos, es decir, si se conecta a ambos el mismo circuito externo, los resultados son idénticos.
65
En la figura 43 se muestran ambos circuitos, a los que se ha conectado una fuente independiente de corriente como carga. Figura 43. Teorema unificado de Thévenin
Al ser equivalente, ܸ )ݏ( será el mismo en ambos
En la figura 43b, tomando sumatorio de voltajes en el anillo (malla) se tiene: െܸ ሺݏሻ + ܼ݄ܶ ሺݏሻ ܫሺݏሻ + ܸ݄ܶ ሺݏሻ = 0 ฺ ܸ ሺݏሻ = ܼ݄ܶ ሺݏሻ ܫሺݏሻ + ܸ݄ܶ ሺݏሻ
ሺ35ሻ
Si se resuelve el circuito mostrado en la figura 43a y se despeja ܸ ሺݏሻ se tendrá
una expresión de la forma:
ܸ ሺݏሻ =ٞ ܫሺݏሻ +ٝ
(36)
Por simple comparación el primer término ሺٞሻ es ܼ݄ܶ ሺݏሻ y el segundo ሺٝሻ es ܸ݄ܶ ሺݏሻ .
Un ejemplo mostrará la facilidad del método, se hará uno de los ejemplos del artículo como homenaje a los autores: Determinar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b del circuito de la figura 44:
66
Figura 44. Ejemplo del teorema unificado de Thévenin
SOLUCIÓN: Primero se aplica una fuente de corriente de prueba ( ) ܫentre los terminales a y b de la figura 44:
Figura 45. Aplicación de una fuente de corriente de prueba entre a y b
67
Aplicando sumatorio de corrientes en los nodos 1, 2 y a se obtienen las siguientes ecuaciones: ൫ܩ1 + 1ൗ ܵܮ+ ܵܥ൯ 0 െܵܥ
െ 1ൗܵܮ ܩ2 െܩ2
Resolviendo para ܸܽ ( )ݏse obtiene:
Organizando:
ܸܽ ሺݏሻ =
ܸ1 ()ݏ )ݏ(ܫ െܵܥ ܸ2 ()ݏ = 0 ൩ െܩ2 )ݏ( ܲܫ ሺܩ2 + ܵܥ+ ܩ3 ሻ ܸܽ ()ݏ
ሺܵ 2 ܥܮ+ ܵܩ1 ܮ+ 1ሻ ܲܫሺݏሻ + ܵ 2 )ݏ(ܫ ܥܮ ο()ݏ
ܸܽ ሺݏሻ = ቈ
ܵ 2 ܥܮ ܵ 2 ܥܮ+ ܵܩ1 ܮ+ 1 ܲܫሺݏሻ + ܫሺݏሻ οሺݏሻ οሺݏሻ
(37)
Donde οሺݏሻ = ܵ 2 ܮሺܩ1 ܥ+ ܩ3 ሻ + ܵܩ1 ܩܮ3 + ܩ3
De este modo se conocen ܼ݄ܶ ሺݏሻ y ܸ݄ܶ ()ݏ: ܼ݄ܶ ሺݏሻ =
ܵ 2 ܥܮ+ ܵܩ1 ܮ+ 1 οሺݏሻ
ܸ݄ܶ ሺݏሻ =
ܵ 2 ܥܮ οሺݏሻ
2.3.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN En términos de la transformada de Laplace. Determinar el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 46.
68
Figura 46. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Cálculo de ܸ݄ܶ ሺݏሻ: Figura 47. Cálculo de ܸ݄ܶ ሺݏሻ
Del circuito anterior se puede ver que: ܸ1 ሺݏሻ = ܸሺݏሻ Aplicando voltajes de nodo al circuito: Nodo 2: 69
;
ܸܺ ሺݏሻ = ܸ݄ܶ ()ݏ
ܸ2 ሺݏሻ െ ܸሺݏሻ ܸ2 ሺݏሻ െ ܸ݄ܶ ()ݏ + െ 0,03ܸ݄ܶ ሺݏሻ = 0 ܴ2 ܴ1 + ܵܮ
Nodo a:
ܸ݄ܶ ሺݏሻ െ ܸ2 ሺݏሻ ܸ݄ܶ ሺݏሻ + =0 ܴ2 ൫1ൗܵܥ൯
(38)
ሺ39ሻ
Reemplazando los valores y despejando ܸ2 ሺݏሻ de ec.(39) se obtiene: ܸ2 ሺݏሻ = 50ܸ݄ܶ ሺݏሻ
Ahora se reemplaza ܸ2 ሺݏሻ en la ec.(38): ሾܸ݄ܶ ሺݏሻ + 0,005ܵ ܸ݄ܶ ሺݏሻሿ
ǥ െ 0,03ܸ݄ܵܶ ሺݏሻ =
ܵ 1 + 4൨ 50 10
1 ܸ݄ܶ ሺݏሻ + 0,005ܵ ܸ݄ܶ ሺݏሻ െ ܸ݄ܶ ሺݏሻ ൨+ቈ െ ǥ ሺ20 + 0,01ܵሻ 50
ܸ()ݏ ሺ20 + 0,01ܵሻ
Despejando ܸ݄ܶ ሺݏሻ:
ܸ݄ܶ ሺݏሻ =
ሺ1 ×
10െ6 ܵ 2 ሻ
ܸ()ݏ + ሺ0,0167ܵሻ + 19,4
Reemplazando el valor de ܸሺݏሻ se obtiene el ܸ݄ܶ ሺݏሻ: ܸሺݏሻ =
5 ܵ+1
;
5 1 ܸ݄ܶ ሺݏሻ = ൬ ൰൬ ൰ െ6 2 ܵ + 1 ሺ1 × 10 ܵ ሻ + ሺ0,0167ܵሻ + 19,4
ሺ5 × 10െ6 ሻ ܸ݄ܶ ሺݏሻ = 3 ܵ + ሺ16,7 × 103 ሻܵ 2 + ሺ19,42 × 106 ሻܵ + ሺ19,4 × 106 ሻ
Cálculo de ܼ݄ܶ ሺݏሻ: 70
Como se tienen fuentes dependientes es necesario calcular ܼ݄ܶ ሺݏሻ inyectando una
fuente de corriente de prueba ܲܫሺݏሻ16 y obteniendo ܸܲ ሺݏሻ, la relación ܸܲ ሺݏሻ Τ ܲܫሺݏሻ es la impedancia equivalente ܼ݄ܶ ሺݏሻ , igual procedimiento se debe
hacer cuando se tengan inductancias mutuas, incluso este procedimiento funciona cuando no se tienen elementos acoplados (fuentes dependientes o inductancias mutuas) pero en este caso puede resultar más corto usar las equivalencias serie, paralelo , Y-¨RYiceversa.
Figura 48. Cálculo de ܼ݄ܶ ሺݏሻ
Mediante una fuente de corriente de prueba ܫሺݏሻ se va a hallar un voltaje de
prueba ܸ ሺݏሻ, para que la relación de ambos arroje el resultado de la ܼ݄ܶ ሺݏሻ: ܸܺ ሺݏሻ = ܸ ሺݏሻ
16
;
ܼ݄ܶ ሺݏሻ =
ܸ ሺݏሻ ܸܺ ()ݏ = ܫሺݏሻ ܫሺݏሻ
También puede aplicarse una fuente de voltaje ܸ ሺݏሻ y calcular ܫሺݏሻ para obtener la relación propuesta
ܸ ሺݏሻ
ܫሺݏሻ
= ܼ݄ܶ ሺݏሻ.
71
Nodo 1:
Nodo a:
ܸ1 ሺݏሻ െ ܸ ሺݏሻ ܸ1 ሺݏሻ + െ 0,03ܸ ሺݏሻ = 0 ሺ20 + 0,01ܵሻ 50
Despejando ܸ1 ሺݏሻ de (41):
ܸ ሺݏሻ െ ܸ1 ሺݏሻ െ ܫሺݏሻ = 0 50 ܸ1 ሺݏሻ = ܸ ሺݏሻ െ 50 ܫሺݏሻ
Reemplazando este valor en la ec.(40):
ൣܸ ሺݏሻ െ 50 ܫሺݏሻ൧ ൣܸ ሺݏሻ െ 50 ܫሺݏሻ െ ܸ ሺݏሻ൧ + െ 0,03ܸ ሺݏሻ = 0 50 20 + 0,01ܵ
Organizando la ecuación anterior se tiene: ܼ݄ܶ ሺݏሻ =
ሺ0,01ܵ + 70ሻ ܸ ሺݏሻ = ܫሺݏሻ ሺെ0,3 × 10െ3 ܵ + 0,4ሻ
Figura 49. Equivalente de Thévenin
72
(40)
(41)
Ahora se resuelve el mismo ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin:
Figura 50. Ejemplo aplicando el teorema unificado de Thévenin
Usando voltajes de rama: 17
ܸ ሺݏሻ = ܼ݄ܶ ሺݏሻ ܫሺݏሻ + ܸ݄ܶ ሺݏሻ
(42)
Figura 51. Gráfico orientado
Incógnitas: ܸ1 ሺݏሻ , ܸ2 ( )ݏy ܸ3 ()ݏ 17
No es problema, para describir el circuito usando como incógnitas los voltajes de rama, elegir las fuentes de corriente como ramas (si la descripción fuera por corrientes de enlace es recomendable elegirlas como enlace). La dirección elegida para el elemento 3 es la indicada para determinar ܸ3 ሺݏሻ = ܸܲ ()ݏ.
73
No hay inductancias acopladas ܫ3 ሺݏሻ = െ)ݏ( ܫ
Fuentes de corriente: ܫ2 ሺݏሻ = 0,03ܸ ݔሺݏሻ ;
Los demás elementos pasivos: ܫ4 ሺݏሻ =
ܸ4 ()ݏ ܸ5 ()ݏ ܸ6 ()ݏ ; ܫ5 ሺݏሻ = ; ܫ6 ሺݏሻ = = ܸܵܥ6 ()ݏ 1ൗ ܴ1 + ܵܮ ܴ2 ܵܥ
Sumatorio de corrientes en los nodos a los que no llegan fuentes de voltaje: ܫሺ2ሻ ሺݏሻ = 0
െܫ2 ሺݏሻ െ ܫ4 ሺݏሻ + ܫ5 ሺݏሻ = 0
ሺ43ሻ
ܫሺ3ሻ ሺݏሻ = 0
ܫ3 ሺݏሻ െ ܫ5 ሺݏሻ + ܫ6 ሺݏሻ = 0
ሺ44ሻ
Ecuación de la fuente de voltaje:
Reemplazando:
ܸ1 ሺݏሻ = ܸሺݏሻ ฺ elimina una incógnita െ0,03ܸ ݔሺݏሻ െ
Se conoce que: ܸܺ (ܸ = )ݏ6 ()ݏ
ܸ5 ()ݏ ܸ4 ()ݏ + =0 ܴ2 ܴ1 + ܵܮ
ሾെ)ݏ( ܲܫሿ െ
ܸ5 ()ݏ + ܸܵܥ6 ሺݏሻ ܴ2
Expresando Venlace en función de los de rama: Sumatorio de voltajes en anillos: ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ4ሻ ሺݏሻ = 0 ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ5ሻ ሺݏሻ = 0
ܸ4 ሺݏሻ െ ܸ2 ሺݏሻ െ ܸ1 ሺݏሻ = 0 ฺ ܸ4 ሺݏሻ = ܸሺݏሻ + ܸ2 ሺݏሻ ܸ5 ሺݏሻ + ܸ3 ሺݏሻ + ܸ2 ሺݏሻ = 0 ฺ ܸ5 ሺݏሻ = െܸ2 ሺݏሻ െ ܸ3 ሺݏሻ 74
(45)
(46)
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ6ሻ ሺݏሻ = 0
ܸ6 ሺݏሻ െ ܸ3 ሺݏሻ = 0 ฺ ܸ6 ሺݏሻ = ܸ3 ሺݏሻ
Reemplazando en las ecuaciones (45) y (46): െ0,03ሾܸ3 ሺݏሻሿ െ െ
ܸ( )ݏ+ ܸ2 ( )ݏሾെܸ2 ሺݏሻ െ ܸ3 ሺݏሻሿ + =0 ܴ1 + ܵܮ ܴ2
ሾെܸ2 ሺݏሻ െ ܸ3 ሺݏሻሿ + ܵܥሾܸ3 ሺݏሻሿ = )ݏ( ܲܫ ܴ2
(47)
(48)
Despejando ܸ3 ( )ݏque es ܸܲ ()ݏ: De la ec.(47):
ܸ()ݏ 1 െ ܴ + ܵܮെ ܸ3 ( )ݏቂ0,03 + ܴ ቃ 2 1 ܸ2 ሺݏሻ = 1 1 ቂܴ + ܴ1 + ܵܮቃ 2
Reemplazando en la ec.(48):
ܸ()ݏ 1 1 െ ܴ1 + ܵܮെ ܸܲ ( )ݏቂ0,03 + ܴ2 ቃ ൦ ൪ + ܸܲ ሺݏሻ ቂ ܵܥ+ 1ൗܴ ቃ = )ݏ( ܲܫ 1 1 2 ܴ2 ቂܴ + ܴ + ܵܮቃ 2
1
Despejando ܸܲ ()ݏ:
1 ቀ0,03 + 1ൗܴ ቁ ܸ()ݏ ܴ 2 2 ൪ = ܲܫሺݏሻ + ܸܲ ሺݏሻ ൦ቀ ܵܥ+ 1ൗܴ ቁ െ 1 1 1 1 2 + ܴ2 ሺܴ1 + ܵܮሻ ቀܴ + ܴ + ܵܮቁ ܴ2 ܴ1 + ܵܮ 1 2
75
ܸܲ ሺݏሻ =
1 0,03 + 1ൗܴ 2 ܵܥ+ 1ൗܴ െ 1 1 2 ܴ2 ቂܴ + ܴ1 + ܵܮቃ 2 ܸ()ݏ
+
ܲܫሺݏሻ + ڮ
1 1 ܴ2 ሺܴ1 + ܵܮሻ ቀܴ + ܴ + ܵܮቁ ൦ ܵܥ+ 1ൗܴ െ 2 1 2
0,03 + 1ൗܴ 2 ൪ 1 1 ܴ2 ቂܴ + ቃ ܴ1 + ܵܮ 2
ܴ 1 + ܴ +2 ܵܮ 1 ܼ݄ܶ ሺݏሻ = 1 ܴ2 ቀ ܵܥ+ ܴ ቁ ቀ1 + ܴ + ܵܮቁ െ ቀ0,03 + 1ൗܴ ቁ 2 1 2
ܴ 1 + ܴ +2 ܵܮ ܸ()ݏ 1 ൦ ൪ ܸ݄ܶ ሺݏሻ = 1 1 ܴ2 1 ܴ2 ሺܴ1 + ܵܮሻ ቀܴ + ܴ + ܵܮቁ ቀ ܵܥ+ ܴ ቁ ቀ1 + ܴ + ܵܮቁ െ ቀ0,03 + 1ൗܴ ቁ 2 1 1 2 2
2.3.4 EJERCICIOS RESUELTOS 2.3.4.1 Calcular el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b de la figura 52.
76
Figura 52. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Primero se empieza por calcular el ܸ݄ܶ entre las terminales a y b. Figura 53. Cálculo de ܸ݄ܶ
ܸ݄ܶ = 6ܫ3 ;
ܫ1 = 5; ܣ
ܸܺ = 4ሺܫ1 െ ܫ3 ሻ ՜ ܸܺ = 20 െ 4ܫ3
Por medio de un análisis de mallas se obtiene la corriente ܫ3 : 77
Malla 2: 2ሺܫ2 െ ܫ3 ሻ = 2ܸܺ ; reemplazando ܸܺ ; 2ሺܫ2 െ ܫ3 ሻ = 40 െ 8ܫ3
(49)
2ሺܫ3 െ ܫ2 ሻ + 6ܫ3 + 4ሺܫ3 െ ܫ1 ሻ = 0 ; organizando ; െ2ܫ2 + 12ܫ3 = 20
(50)
2ܫ2 + 6ܫ3 = 40
Malla 3:
ܫ2 = 6ܫ3 െ 10
Reemplazando ܫ2 en la ecuación (49) se puede hallar la corriente ܫ3
necesita para calcular el ܸ݄ܶ .
2ሺ6ܫ3 െ 10ሻ + 6ܫ3 = 40 ;
despejando ܫ3 ՜ ܫ3 =
que se
10 3
10 ܸ݄ܶ = 6ܫ3 = 6 ൬ ൰ = 20 ܸ 3
Para el cálculo de ܴ݄ܶ se conecta entre las terminales a y b una fuente de prueba y se reemplaza la fuente de corriente independiente por un circuito abierto.
Figura 54. Cálculo de ܴ݄ܶ
78
Del circuito anterior se puede ver que: ܴ݄ܶ =
ܸ 1 = ݅݅
;
݅ = െ݅3 ;
ܸܺ = െ4ܫ2
A continuación se hace un análisis de mallas para obtener el valor de las corrientes Malla 1: 2ሺܫ1 െ ܫ2 ሻ = 2ܸܺ ; reemplazando ܸܺ ; 2ሺܫ1 െ ܫ2 ሻ = െ8ܫ2
(51)
6ሺܫ2 െ ܫ3 ሻ + 4ܫ2 + 2ሺܫ2 െ ܫ1 ሻ = 0 ; organizando
(52)
ܫ1 + 3ܫ2 = 0
Malla 2:
ܫ1 െ 6ܫ2 + 3ܫ3 = 0
Malla 3:
6ሺܫ3 െ ܫ2 ሻ + 2ܫ3 = െ1
; organizando
8ܫ3 െ 6ܫ2 = െ1
(53)
Resolviendo las ecs.(51), (52) y (53) se obtienen los valores de las corrientes: ܫ1 = 0,168 ܫ ; ܣ2 = െ0,055 ܣ
Finalmente se halla el ܴ݄ܶ :
ܴ݄ܶ =
; ܫ3 = െ0,167 ܣ
1 1 1 = = = 6ȍ ܫെܫ3 0,167
79
Figura 55. Equivalente de Thévenin
2.3.4.2 Calcular el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la figura 56.
Figura 56. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Para calcular ॽ݄ܶ se determina el voltaje en bornes a y b con los terminales abiertos
80
Figura 57. Cálculo de ॽ݄ܶ
Como la corriente ॴ2 = 0, entonces ॽ݄ܶ = ݆50 ॴ1 y mediante un análisis de mallas se obtiene el valor de ॴ1 , necesario para obtener el ॽ݄ܶ . Malla 1:
െ80 + 100ॴ1 െ ݆100ॴ1 + ݆100ॴ1 = 0
Reemplazando ॴ1 se halla ॽ݄ܶ :
despejando 100ॴ1 = 80 ; ॴ1 = 0,8 ܣ
ॽ݄ܶ = ݆50 ॴ1 = ݆50ሺ0,8ሻ = ݆40
Mediante una fuente de prueba se halla la Ժ݄ܶ . Figura 58. Cálculo de Ժ݄ܶ
81
Ժ݄ܶ =
Malla 1:
ॽܲ ॴܲ
ሺ100 + ݆100 െ ݆100ሻॴ + ݆50ॴܲ = 0 ॴ=െ
Malla 2:
݆50 ܫ 100 ܲ
െॽ + ݆50ॴ + ݆50ॴ = 0
Organizando:
reemplazando ॴ ; ॽ݆ = 50ॴ + ݆50 െ ॽ݆ = 50ॴ + 25ॴ = ሺ݆50 + 25ሻॴ Ժ݄ܶ =
ॽ = ሺ25 + ݆50ሻȍ ॴ
Figura 59. Equivalente de Thévenin
82
(54)
(55) ݆50 ॴ ൨ 100
Ahora se resuelve por el mismo ejercicio por medio del teorema unificado de Thévenin: ॽܲ ሺݏሻ = Ժ݄ܶ ሺݏሻॴܲ ሺݏሻ + ॽ݄ܶ ሺݏሻ
(56)
Figura 60. Ejercicio resuelto por medio de Thévenin unificado
Malla de la izquierda:
Organizando:
െ80 + ሺ100 െ ݆100ሻॴ݉ + ݆100ॴ݉ + ݆50ॴܲ = 0
Malla de la derecha:
ॴ݉ = 0,8 െ ݆0,5ॴܲ െॽܲ + ݆50ॴܲ + ݆50ॴ݉ = 0
Reemplazando la ec.(57) en (58):
ॽܲ = ݆50ॴܲ + ݆50ሾ0,8 െ ݆0,5ॴܲ ሿ = ሺ25 + ݆50ሻॴܲ + ݆40 Ժ݄ܶ = (25 + ݆50) 83
(57)
(58)
ॽ݄ܶ = ݆40 2.3.4.3 En el circuito que se muestra a continuación, calcular el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b.
Figura 61. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Del circuito anterior se obtienen las siguientes ecuaciones. = ݔܫ
ܸ1 ; 8
por lo tanto
84
ܸ = ݄ݐ8 ݔܫ
Figura 62. Cálculo de ܸ݄ݐ
Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtiene la ecuación necesaria para hallar el valor de ܸ ݄ݐ. Nodo 1:
ܸ1 = ܸ; ݄ݐ
ܸ2 = 24 ܸ
;
= ݔܫ
ܸ݄ݐ 8
ܸ݄ݐ ܸ ݄ݐെ 24 + 3 ݔܫ+ 4 + =0 8 2
(59)
Reemplazando ݔܫ:
ܸ ݄ݐെ 24 ܸ݄ݐ ܸ݄ݐ + 3 ൨+ 4 + = 0 despejando ; ܸ = ݄ݐ8 ܸ 2 8 8
Para obtener el valor de la ܴ ݄ݐse pone una fuente de prueba entre las terminales a y b del circuito, y se reemplazan la fuente independiente de corriente por un circuito abierto y la fuente independiente de voltaje por un corto circuito.
85
Figura 63. Cálculo de ܴ݄ݐ
Del circuito se puede ver que: = ݔܫ
ܸ 8
;
ܴ= ݄ݐ
Nodo 1:
Reemplazando ݔܫ:
ܸ ܫ
ܸܸ + െ ܫ+ 3 = ݔܫ0 8 2 ܸܸ ܸ + െ ܫ+ 3 ൨ = 0 ; 8 2 8 ܴ= ݄ݐ
ܸ =1 ܫ
86
ܸ = 1 ܫ
(60)
Figura 64. Equivalente de Thévenin
2.3.4.4 Hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la figura 65.
Figura 65. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Haciendo una transformación de fuentes se obtiene el siguiente circuito donde se han puesto en cortocircuito las terminales a y b:
87
Figura 66. Circuito con transformación de fuentes
Del circuito se puede ver que: ॽ = ሺ20 ע00 െ 10ॴܿܿ ሻ
Aplicando corrientes de malla al circuito anterior:
ሺ20 ע00 ሻ = 10ॴܿܿ െ 3ሺॽሻ + ሺ݆10ሻॴܿܿ െ ሺ݆5ሻॴܿܿ
(61)
ሺ20 ע00 ሻ = 10ॴܿܿ െ ሺ60 ע00 ሻ + 30ॴܿܿ + ሺ݆10ሻॴܿܿ െ ሺ݆5ሻॴܿܿ ሺ80 ע00 ሻ = ሺ40 + ݆5ሻॴܿܿ
Donde ॴܿܿ es la ॴܰ ݊ݐݎ18
ॴܿܿ =
ሺ80 ע00 ሻ = ሺ1,98 עെ7,120 ሻ ሺ40 + ݆5ሻ
Cálculo de ॽ݄ܶ :
ॽ݄ܶ = ॽܾܽ = ሺെ݆10ሻॴ + 3ሺ20 ע00 െ 10ॴሻ െ 10ሺॴሻ + ሺ20 ע00 ሻ + ሺ݆5ሻॴ
En el circuito abierto la corriente es cero: ॴ = 0 18
El teorema de Norton se explica en el numeral 2.4
88
(62)
Por lo tanto: ॽ݄ܶ = ሺ60 ע00 ሻ + ሺ20 ע00 ሻ = 80 ܸ
Voltaje que se habría podido obtener más fácilmente del circuito original (figura 65) puesto que si los terminales a y b están abiertos la corriente de valor 2 ע00 circula DWUDYpVGHODUHVLVWHQFLDGH\SRUORWDQWR
ॽ = 2 ע00 כ10 = 20 ܸ
Por lo tanto
Cálculo de Ժ݄ܶ :
ॽ݄ܶ = ॽ + 3ॽ = 80 ܸ Ժ݄ܶ =
ॽ݄ܶ
ॴܰ݊ݐݎ
=
ॽ݄ܶ 80(40 + ݆5) = = ሺ40 + ݆5ሻ ॴܿܿ 80
Más adelante se mostrará que los equivalentes de Thévenin y de Norton son equivalentes entre sí. Figura 67. Equivalente de Thévenin
2.3.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 2.3.5.1 En el circuito de la figura 68, hallar el voltaje ܸ0 . 89
Figura 68. Ejercicio propuesto
2.3.5.2 Calcular el voltaje entre los terminales a y b en el circuito de la figura 69.
Figura 69. Ejercicio propuesto
2.3.5.3 En términos de la transformada de Laplace, determinar el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 70.
90
Figura 70. Ejercicio propuesto
2.3.5.4 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b, en términos de la transformada de Laplace
Figura 71. Ejercicio propuesto
2.3.5.5 a) Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de Thévenin entre los terminales a y b [ܸ݄ܶ ( )ݏy ܼ݄ܶ (])ݏ 91
b) Repetir el ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin
Figura 72. Ejercicio propuesto
2.3.5.6 Determinar ܼ݄ܶ ( )ݏentre a y b para la red de la figura 73 Figura 73. Ejercicio propuesto
92
2.3.5.7 Para el circuito de la figura 74 hallar ܼܾܽ ()ݏ Figura 74. Ejercicio propuesto
2.3.5.8 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b en términos de la transformada de Laplace
Figura 75. Ejercicio propuesto
93
2.3.5.9 El circuito de la figura 76 es un cubo de lado 3m, cada lado tiene una resistencia de ߛ = 1ȳ/݉. Determinar ܴ݄ܶ entre 1 y 1´ Figura 76. Ejercicio propuesto
2.4 TEOREMA DE NORTON El teorema de Norton19 se puede considerar el dual del teorema de Thévenin ya que permite reemplazar parte de la red por un circuito equivalente constituido por la misma red Nao en paralelo con una fuente independiente de corriente. Debieron transcurrir casi cuarenta años para que una versión del de Thévenin, que no es más que el uso de la transformación de una fuente de voltaje en una de corriente, se enunciara como otro teorema.
19
Edward Lawry Norton (Rockland, Maine, 28 de julio de 1898 - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de 1983) fue un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido principalmente por enunciar el teorema que lleva su nombre. Sirvió como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919, asistió a la Universidad de Maine durante un año antes y un año después de su servicio durante la guerra, luego fue trasladado al M.I.T.
94
2.4.1 ENUNCIADO ³Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red (Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 77a) , se puede sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que contenga sólo una fuente de corriente independiente en paralelo con una red Nao (Figura 77b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes contenidas en ella y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya ningún acoplamiento entre ellas.´20
Figura 77. Circuito original y Circuito equivalente de Norton
2.4.2 DEMOSTRACIÓN
20
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y͕'/Z>K͕ŝĚŝĞƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /Zh/dK^ ELÉCTRICO^͕͟ϭϵϴϳ͘
95
Figura 78. Demostración del teorema de Norton
Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 78a se puede ver que el voltaje ܸ( )ݐa través de la red pasiva Nb, se compone del voltaje ܸ1 ( )ݐque es generado por la acción de todas las fuentes en la red Na de la figura 77a y el voltaje ܸ2 ( )ݐdebido a la fuente de corriente )ݐ( ݔܫde la figura 78b. Por lo tanto: ܸሺݐሻ = ܸ1 ሺݐሻ + ܸ2 ሺݐሻ
(63)
Cuando ܸ( )ݐes cero se puede reemplazar la red pasiva Nb en la figura 78a por un corto circuito a través del cual no circula ninguna corriente, por lo tanto al aplicar el teorema de superposición se obtiene que: 0 = ݊ܫሺݐሻ + ሾെ ݔܫሺݐሻሿ
(64)
Esto indica que para que el voltaje a través de la red pasiva Nb sea nulo, )ݐ( ݔܫ
debe ser igual a )ݐ( ݊ܫcomo se muestra en la figura 79. Si la dirección de ݔܫሺݐሻ =
)ݐ( ݊ܫ, se produce una caída de tensión ܸ1 ( )ݐen la red pasiva Nb de la figura 77b. Figura 79. Determinación de la corriente de Norton
96
2.4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN En términos de la transformada de Laplace. Hallar el equivalente de Norton entre los terminales a y b de la figura 80.
Figura 80. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Cálculo de ܼ0 : Red ܰܽ0
Figura 81. Cálculo de ܼ0
97
ܼ0 ሺݏሻ ՜ Paralelo de
1 con la serie de ܴ1 , ܴ2 y ܵܮ ܵܥ
ܴ1 ܴ2 1 ሺܴ1 + ܴ2 + ܵܮሻ ܵܥ+ ܮܥ כ ܴ + ܴ + ܵܮ 1 2 = = ܼ0 ሺݏሻ = ܵܥ 2 1 1 + ሺܴ1 + ܴ2 + ܵܮሻ ܴܥ1 ܵ + ܴܥ2 ܵ + ܵܮܥ+ 1 ܵ 2 + ሺܴ1 ܮ+ ܴ2 ܮሻܵ + ܮܥ ܵܥ ܼ0 ሺݏሻ =
ܵ2
ܵܥ+ ܭ1 + ܭ2 ܵ + ܭ3
donde ܭ1 =
ܴ1 ܴ2 ܮܥ
;
ܭ2 = ሺܴ1 ܮ+ ܴ2 ܮሻ ; ܭ3 =
1 ܮܥ
Figura 82. Cálculo de ܰܫሺݏሻ:
Se halla la impedancia equivalente entre ܴ1 , ܴ2 y ܵܮy se convierte la fuente de voltaje en fuente de corriente:
Figura 83. Impedancia equivalente y conversión de las fuentes
98
ܰܫሺݏሻ = ݍ݁ܫሺݏሻ =
ܸ()ݏ ܴ1 + ܴ2 + ܵܮ
Figura 84. Equivalente de Norton:
ܰܫሺݏሻ = ݍ݁ܫሺݏሻ =
ܸ()ݏ ܴ1 + ܴ2 + ܵܮ
;
ܼ0 ሺݏሻ =
ܵ2
ܵܥ+ ܭ1 + ܭ2 ܵ + ܭ3
2.4.4 EJERCICIOS RESUELTOS 2.4.4.1 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la figura 85
Figura 85. Ejercicio resuelto
99
SOLUCIÓN: Primero se determina la ܰܫ, para esto se ponen en cortocircuito las terminales a y b de la figura 85. Como se ve ܸܾܽ = 0 cuando las terminales están en cortocircuito:
Figura 86. Cálculo de ܰܫ
Entonces: =ܫ
5 = 10݉; ܣ 500
por lo tanto = ܰܫെ10 = ܫെ10ሺ10݉ܣሻ = െ0,1ܣ
Cálculo de RN: Haciendo la ecuación de la corriente de malla en la parte izquierda del circuito de la figura 86: െ5 + 500 ܫ+ ܸܾܽ = 0
(65)
ܸܾܽ = െ25ሺ10ܫሻ = െ250ܫ
(66)
Ahora se hace la malla del lado derecho del circuito (sin el cortocircuito):
despejando = ܫ 100
െܸܾܽ 250
Al sustituir ܫen la ecuación (65) se obtiene ܸܾܽ : െܸܾܽ 500 ൬ ൰ + ܸܾܽ = 5 250
Por lo tanto se procede a obtener la ܴܰ : ܴܰ =
;
ܸܾܽ = െ5 ܸ
െ5 ܸܾܽ = = 50 െ0,1 ܰܫ
Figura 87. Equivalente de Norton:
2.4.4.2 Hallar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la figura 88, en régimen permanente sinusoidal (usando fasores).
Figura 88. Ejercicio resuelto
101
SOLUCIÓN: Se halla un circuito equivalente y por medio de un divisor de corriente se obtiene el valor de ॴܰ : Figura 89. Cálculo de ॴܰ
Cálculo de Ժܰ :
ॴܰ =
ॴ = ሺ1 ע900 ሻ = ݆
െሺ3 + ݆ሻ ሺ݆ሻ = ሺ0,24 עെ104,030 ሻܣ ሺ3 + ݆ሻ + ሺ8 + ݆6ሻ
Se elimina la fuente de corriente y se encuentra la impedancia equivalente del circuito:
Figura 90. Cálculo de Ժܰ
102
Ժܰ = ሺ11 + ݆7ሻ Figura 91. Equivalente de Norton
2.4.4.3 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la figura 92.
Figura 92. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Cálculo de ܴܰ : 103
La fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto y la fuente de voltaje se reemplaza por un corto circuito:
Figura 93. Cálculo de ܴܰ
Cálculo de ܰܫ:
ܴܰ = ൫5 צሺ8 + 4 + 8ሻ൯ =
ሺ20 × 5ሻ =4 20 + 5
Se pone en cortocircuito las terminales a y b, de esta forma se halla la corriente de Norton que circula por el circuito:
Figura 94. Cálculo de ܰܫ
104
ܫ1 = 2 ܣ
Malla 2:
Organizando y despejando ܫ2 :
;
ܫ2 = ܰܫ
4(ܫ2 െ ܫ1 ) + 16ܫ2 െ 12 = 0
(67)
ܫ = ܰܫ2 = 1 ܣ
Figura 95. Equivalente de Norton
2.4.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 2.4.5.1 Resolver todos los ejemplos de aplicación, ejercicios resueltos y los propuestos de la parte anterior (teorema de Thévenin) usando el teorema de Norton.
2.4.5.2 En el circuito de la figura 96, hallar el voltaje ܸ0 empleando el teorema de Norton.
105
Figura 96. Ejercicio propuesto
2.4.5.3 Para el circuito de la figura 97, encontrar el voltaje ܸ0 , empleando el teorema de Norton.
Figura 97. Ejercicio propuesto
2.4.5.4 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito de la figura 98, en términos de la transformada de Laplace.
106
Figura 98. Ejercicio propuesto
2.4.5.5 Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de Norton entre los terminales a y b, ሾ ܰܫሺݏሻ y ܻܰ ()ݏሿ Figura 99. Ejercicio propuesto
2.4.5.6 Determinar el circuito equivalente de Norton, en términos de la transformada de Laplace 107
Figura 100. Ejercicio propuesto
2.4.5.7 Determinar la impedancia equivalente entre los terminales p y q
Figura 101. Ejercicio propuesto
2.4.5.8 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito de la figura 102, en términos de la transformada de Laplace
108
Figura 102. Ejercicio propuesto
2.4.5.9 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales p y q del circuito de la figura 103, en términos de la transformada de Laplace
Figura 103. Ejercicio propuesto
109
2.4.5.10 Cuando el circuito ha alcanzado el estado estacionario con el interruptor en la posición 1, este se pasa a la posición 2. Tomando este instante como referencia (t=0) determinar la red equivalente de Norton en términos de la Transformada de Laplace entre los terminales x ± y considerando como carga la inductancia L. Determine ܮܫሺݏሻ e ܮܫሺݐሻ para ݐ 0 Figura 104. Ejercicio propuesto
2.5 TEOREMA DE RECIPROCIDAD 2.5.1 EL PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD Una de las propiedades más útiles para la solución de muchos problemas prácticos e investigaciones en la teoría de los circuitos eléctricos LINEALES, PASIVOS e INVARIANTES CON EL TIEMPO, es la de la reciprocidad. Su estudio se basa en la comparación de dos circuitos constituidos alrededor de la misma red F0 (que como se dijo debe ser lineal, pasiva e invariante con el tiempo, su estado 110
energético inicial debe ser nulo y no contener fuentes dependientes), una vez hecho esto se relacionan las corrientes y voltajes ܸ1 , ܸ2 , ܫ1 , ܫ2 y ܸ1 , ܸ2 , ܫመ1 , ܫመ2 , definidos como se muestra en la figura 105 de la siguiente forma21:
ܸ1 ሺݐሻܫመ1 ሺݐሻ + ܸ2 ሺݐሻܫመ2 ሺݐሻ = ܸ1 ሺݐሻܫ1 ሺݐሻ + ܸ2 ሺݐሻܫ2 ሺݐሻ
(68)
Figura 105. Principio de reciprocidad
2.5.2 EL TEOREMA COMO UNA CONSECUENCIA DEL PRINCIPIO Un caso particular del principio de reciprocidad es el Teorema de reciprocidad:
Figura 106. Teorema de reciprocidad
21
La demostración de este principio se basa en el teorema de Tellegen que se enuncia en el capítulo 3. Se deja como ejercicio su demostración
111
Utilizando la ecuación (68) del principio de reciprocidad y reemplazando los valores de la figura 106, se tiene: ܸ1 ሺݐሻܫመ1 ( )ݐ+ ܸ2 (ܫ)ݐመ2 (ܸ = )ݐ1 (ܫ)ݐ1 ( )ݐ+ ܸ2 (ܫ)ݐ2 ()ݐ ܸሺݐሻܫመ1 ( )ݐ+ 0 × ܫመ2 ( = )ݐ0 × ܫ1 ( )ݐ+ ܸ(ܫ)ݐ2 ()ݐ ܸሺݐሻܫመ1 ሺݐሻ = ܸሺݐሻܫ2 ሺݐሻ ฺ ܫመ1 ሺݐሻ = ܫ2 ሺݐሻ
La lectura de los amperímetros es la misma, si se intercambian excitación y medida
2.5.3 ENUNCIADO ³/D UHODFLyQ HQWUH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH GH XQD respuesta ya sea de corriente o voltaje medida en un nodo de la red, y la excitación aplicada a otro nodo, permanece invariante a un cambio de posiciones entre el nodo de observación y el de excitación, siempre y cuando esta transformación no altere la estructura topológica de la red´. Es decir, la corriente en cualquier rama de una red, debida a una fuente simple de tensión en cualquier otro punto de la red, será igual a la corriente que pasa por la rama en la que se encontraba originalmente la fuente, si ésta se pusiera en la rama en que se midiyRULJLQDOPHQWHODFRUULHQWH´22 Como se dijo, hay una serie de restricciones bajo las cuales el teorema se puede aplicar: -
Este teorema sólo es aplicable a redes de una sola fuente independiente; por lo tanto no es un teorema que se emplee en el análisis de redes con fuentes múltiples.
-
La red es lineal e invariante con el tiempo.
22
Tomado de K^d͕ůǀĂƌŽ͕>> ͕:ŽƌŐĞ͘LJ͕'/Z>K͕ŝĚŝĞƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /Zh/dKS > dZ/K^͕͟ϭϵϴϳ͘
112
-
La red está inicialmente en reposo (estado energético inicial nulo).
-
La red no puede contener fuentes dependientes.
2.5.4 DEMOSTRACIÓN23
Figura 107. Redes auxiliares para demostrar el teorema de reciprocidad
Aplicando el teorema de Tellegen a las redes de la figura 107 se obtiene ܤ
ܫ1 ሺݏሻܸ1 ሺݏሻ + ܫ2 ሺݏሻܸ2 ሺݏሻ + ܭܫሺݏሻܸ ܭሺݏሻ = 0 ݇=3
(69)
ܤ
ܫመ1 ሺݏሻܸ1 ሺݏሻ + ܫመ2 ሺݏሻܸ2 ሺݏሻ + ܫመ ܭሺݏሻܸ ܭሺݏሻ = 0 ݇=3
Puesto que la matriz de la ecuación primitiva que relaciona los ܸ )ݏ( ܭcon los )ݏ( ܭܫ es la misma que relaciona los ܸ )ݏ( ܭcon los ܫመ)ݏ( ܭ, es decir:
23
Tomado de K^d͕ůǀĂƌŽ͕>> ͕:ŽƌŐĞ͘LJ͕'/Z>K͕ŝĚŝĞƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /Zh/dK^ > dZ/K^͕͟ϭϵϴϳ͘
113
ܼ ܭሺݏሻ =
ܸ ܭሺݏሻ ܸ ܭሺݏሻ = ܭܫሺݏሻ ܫመ ܭሺݏሻ
ሬԦ ሺݏሻ = ሾܮሿܫ ݏԦመ ሺݏሻ ܸ ܮ ܮ
ሬԦ ܮሺݏሻ = ሾܮሿܫ ݏԦ ܮሺݏሻ ܸ
ܶ
ܶ ሬԦ ሺݏሻቃ ܫԦ ሺݏሻ ሬԦ ܮሺݏሻ൧ ܫԦመ ܮሺݏሻ = ቂܸ ൣܸ ܮ ܮ
(70)
La ecuación (70) es una clara demostración de que si la red ܨ0 es la misma en
ambos circuitos de la figura 107 entonces: ܤ
ܤ
݇=3
݇=3
ܭܫሺݏሻܸ ܭሺݏሻ = ܫመ ܭሺݏሻܸ ܭሺݏሻ
Igualando las ecuaciones de (69) se obtiene la definición más general de reciprocidad: ܫ1 ሺݏሻܸ1 ሺݏሻ + ܫ2 ሺݏሻܸ2 ሺݏሻ = ܫመ1 ሺݏሻܸ1 ሺݏሻ + ܫመ2 ሺݏሻܸ2 ሺݏሻ
(71)
Se pueden considerar los siguientes casos:
Caso 1: Se reemplazan las redes A y D por fuentes de voltaje ܸ ܣሺݏሻ y ܸ ܦሺݏሻ, las redes B y C por cortocircuitos a través de los cuales circulan corrientes ܤܫሺݏሻ e ܥܫሺݏሻ, respectivamente (figura 108). Es decir: ܸ1 ሺݏሻ = ܸ ܣሺݏሻ
ܸ2 ሺݏሻ = ܸ ܦሺݏሻ ܫ2 ሺݏሻ = ܤܫሺݏሻ
ܫመ1 ሺݏሻ = ܥܫሺݏሻ
ܸ2 ሺݏሻ = ܸ1 ሺݏሻ = 0
114
(72)
Figura 108. Intercambio de posiciones entre fuentes de voltaje y registradores de corriente
Reemplazando la ec.(72) en (71) se obtiene: ܫ2 ()ݏ( ܥܫ )ݏ( ܤܫ )ݏ ܫመ1 ()ݏ = = = ܸ1 (ܸ )ݏ( ܦܸ )ݏ( ܣܸ )ݏ2 ()ݏ
(73)
Caso 2: Se sustituyen las redes A y D por fuentes de corriente )ݏ( ܣܫe )ݏ( ܦܫy las redes B y C por circuitos abiertos (figura 109) a través de los cuales aparecen voltajes ܸ )ݏ( ܤy ܸ)ݏ( ܥ, respectivamente. Es decir: ܫ1 ሺݏሻ = ܣܫሺݏሻ
ܫመ2 ሺݏሻ = ܦܫሺݏሻ
ܸ2 ሺݏሻ = ܸ ܤሺݏሻ
ܸ1 ሺݏሻ = ܸ ܥሺݏሻ
ܫ2 ሺݏሻ = ܫመ1 ሺݏሻ = 0 115
(74)
Figura 109. Intercambio de posiciones entre fuente de corriente y registrador o medidor de voltaje
Reemplazando la ec.(74) en (71) se obtiene: ܸ2 (ܸ )ݏ( ܥܸ )ݏ( ܤܸ )ݏ1 ()ݏ = = = ܫ1 ()ݏ ܫ )ݏ( ܦܫ )ݏ( ܣܫመ2 ()ݏ
(75)
Debe enfatizarse que una fuente independiente de voltaje se toma como un corto circuito ሾܸሺݐሻ = 0ሿ y una de corriente como un circuito abierto ሾܫሺݐሻ = 0ሿ generalizados. Por esta razón tanto en el punto de observación como en el de
excitación hay implícitas restricciones de corto circuito cuando la respuesta es una corriente y la excitación una fuente independiente de voltaje. Similarmente, un voltaje debido a una fuente de corriente implica restricciones de circuito abierto tanto en el punto de observación como en el de excitación. Así, por ejemplo, la figura 110 ilustra una situación en la que el teorema de reciprocidad se cumple ya que en el punto de observación del primer circuito y en el de excitación del segundo se mantiene la restricción de circuito abierto, mientras que en el punto de excitación del primer circuito y de observación del segundo se mantiene la restricción de corto circuito. En este mismo orden de ideas en la figura 111 no se cumple el teorema de reciprocidad. 116
Figura 110. Situación en la que se aplica el teorema de reciprocidad
Figura 111. Situación en la que no se aplica el teorema de reciprocidad
2.5.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN Demostrar que las corrientes medidas por los amperímetros son iguales en los dos circuitos.
117
Figura 112. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Circuito 1: Se halla el equivalente de Thévenin en el circuito: ॽ݄ܶ = 10 × Ժ݄ܶ =
(െ݆5) = ሺ5 െ ݆15ሻܸ 3 + ݆4 െ ݆5
ሺ3 + ݆4ሻ(െ݆5) + 2 = (9,5 െ ݆2,5)ȳ 3 + ݆4 െ ݆5
La corriente medida por el amperímetro será:
Circuito 2:
= ݉ܽܫ
ሺ5 െ ݆15ሻ ॽ݄ܶ = = ሺ0,881 െ ݆1,35ሻܣ Ժ݄ܶ (9,5 െ ݆2,5)
Por medio de un divisor de corriente se obtiene ݉ܽܫ: = ݉ܽܫ
10 (െ݆5) (݆50) × =െ = (0,881 െ ݆1,35)ܣ ሺ3 + ݆4ሻ(െ݆5) 3 + ݆4 െ ݆5 (26 െ ݆17) 2+ 3 + ݆4 െ ݆5 118
2.5.6 EJERCICIOS RESUELTOS 2.5.6.1 Hallar el valor de las corrientes ܫ1 e ܫ2 para los circuitos de la figura 113. Figura 113. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Circuito 1: Se halla la corriente ܫ1 por medio de un divisor de corriente: ܫ1 =
100 20 × = 0,294 ܣ (160)(20) 20 + 160 20 + 160 + 20
Circuito 2: De la misma forma se obtiene la corriente ܫ2 : ܫ2 =
100 20 × = 0,294 ܣ (20)(20) 20 + 20 160 + 20 + 20
Como se puede ver las corrientes son iguales, con lo que se verifica el teorema de reciprocidad. 119
2.5.6.2 Aplicar el teorema de reciprocidad para hallar el valor de las corrientes ܽܫ e ܾܫpara los circuitos de la figura 114.
Figura 114. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Figura 115. Aplicación del teorema de Reciprocidad
ܸ1 ܫመ1 + ܸ2 ܫመ2 = ܸ1 ܫ1 + ܸ2 ܫ2 120
(76)
Del circuito 1 se conoce que: ܸ1 = 4ܸ ; ܸ2 = 0ܸ
Para el circuito 2 se tiene: ܸ1 = 0ܸ
Aplicando la ec.(76) se tiene:
; ܸ2 = 6ܸ
4ܫመ1 + 0ܫመ2 = 0ܫ1 + 6ܫ2
Del circuito 1 se obtiene ܫ1 :
ܫ1 =
;
3 ܫመ1 = ܫ2 2
4 = 2ܣ (2 × 2) 1+ 2+2
Para hallar ܽܫse realiza un divisor de corriente en el circuito 1 original:
Para hallar ܾܫ:
2 2 = ܽܫ൬ ൰ ܫ1 = ൬ ൰ ሺ2ሻ = 1ܣ 2+2 2+2
4ܫመ1 = 6ܫ2
;
ܫመ1 =
= ܽܫെܫ2
3 3 3 ܫ2 = ൬ ൰ ሺെ1ሻ = െ 2 2 2
3 3 = ܾܫെܫመ1 = െ ൬െ ൰ = ܣ 2 2
2.5.6.3 Verificar el cumplimiento del Teorema de reciprocidad.
121
Figura 116. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: El teorema de reciprocidad establece que si se intercambian excitación y medida, éste no se altera, se resolverán ambos circuitos para comprobar este hecho (ܫ debe ser igual en ambos) Circuito 1: Usando voltajes de rama
Figura 117. Gráfico orientado
ܫ = ܫ1 =
ܸ1 50
incognitas: V1 , V2 , ܸ3
122
Ecuaciones de inductancias mutuas: NO HAY Ecuaciones de fuentes de corriente: NO HAY ܫ1 =
ܸ1 50
ܫ2 =
ܸ2 10
ܫ4 =
ܸ4 10
ܫ5 =
ܸ5 25
ܫ6 =
ܸ6 50
ݏ݀݊ܫa los que no llegan fuentes de corriente:
Fuentes de voltaje:
= ܾܫ0
ܫ2 െ ܫ4 + ܫ5 = 0
(77)
= ܿܫ0
ܫ1 െ ܫ5 + ܫ6 = 0
(78)
ܸ3 = ܧĺVHHOLPLQDXQDLQFyJQLWD
Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(77) y (78): ܸ2 ܸ4 ܸ5 െ + =0 ; 10 10 25
ܸ1 ܸ5 ܸ6 െ + =0 ; 50 25 50
multiplicando por 50: 5ܸ2 െ 5ܸ4 + 2ܸ5 = 0
ሺ79ሻ
multiplicando por 50: ܸ1 െ 2ܸ5 + ܸ6 = 0
ሺ80ሻ
Expresando los Venlace en función de los de rama: ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ4ሻ = 0
ܸ4 + ܸ2 െ ܸ3 = 0 ฺ ܸ4 = ܸ3 െ ܸ2 = ܧെ ܸ2
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ5ሻ = 0
ܸ5 + ܸ1 െ ܸ2 = 0 ฺ ܸ5 = െܸ1 + ܸ2
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ6ሻ = 0
ܸ6 െ ܸ1 = 0 ฺ ܸ6 = ܸ1
Reemplazando en las ecs.(79) y (80):
5ܸ2 െ 5ሺ ܧെ ܸ2 ሻ + 2ሺെܸ1 + ܸ2 ሻ = 0 ฺ െ2ܸ1 + 12ܸ2 = 5ܧ 123
(81)
ܸ1 െ 2ሺെܸ1 + ܸ2 ሻ + ܸ1 = 0 ฺ 4ܸ1 െ 2ܸ2 = 0 ฺ ܸ2 = 2ܸ1
Reemplazando (82) en (81):
െ2ܸ1 + 12ሺ2ܸ1 ሻ = 5; ܧ
22ܸ1 = 5ܸ ฺ ܧ1 =
5 ܧ ܸ1 ቀ ൗ22ቁܧ = = ܫ = ܫ1 = 50 220 50
5 ܧ 22
Circuito 2: Se respetan las direcciones dadas ሺܫ = ܾܿܫ4 , ܫ = ݁ܿܫ5 , ܫ = ܿ݀ܫ3 , ܫ = ܫ1 ሻ
Usando voltajes de rama:
Figura 118. Gráfico orientado
ܫ1 =
ܸ1 10
ܫ = ܫ1 =
ܸ1 10
ܫ3 =
ܸ3 50
incognitas: V1 , V2 , ܸ3 ܫ4 =
ܸ4 25
ݏ݀݊ܫa los que no llegan fuentes de corriente: 124
ܫ5 =
ܸ5 50
ܫ6 =
ܸ6 10
(82)
Fuentes de voltaje:
= ܾܫ0
ܫ2 െ ܫ4 + ܫ6 = 0
(83)
= ܿܫ0
െ ܫ3 െ ܫ4 + ܫ5 = 0
(84)
ܸ2 = ܧĺVHHOLPLQDXQDLQFyJQLWD
Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(83) y (84): ܸ1 ܸ4 ܸ6 െ + =0 10 25 10 െ
ܸ3 ܸ4 ܸ5 + + =0 50 25 50
Expresando los Venlace en función de los de rama:
ሺ85ሻ ሺ86ሻ
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ4ሻ = 0
ܸ4 + ܸ1 െ ܸ2 + ܸ3 = 0 ฺ ܸ4 = െܸ1 + ܸ2 െ ܸ3 = െܸ1 + ܧെ ܸ3
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ5ሻ = 0
ܸ5 െ ܸ2 + ܸ3 = 0 ฺ ܸ5 = ܸ2 െ ܸ3 = ܧെ ܸ3
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ6ሻ = 0
ܸ6 െ ܸ1 = 0 ฺ ܸ6 = ܸ1
Reemplazando en las ecs.(85) y (86):
ܸ1 ܸ1 Ȅ ܸ1 + ܧെ ܸ3 25 + =0 10 10
െ
ܸ3 ሺെܸ1 + ܧെ ܸ3 ሻ ሺ ܧെ ܸ3 ሻ + + =0 50 25 50
Multiplicando por 50 y reorganizando: 12ܸ1 + 2ܸ3 = 2ܧ െ2ܸ1 െ 4ܸ3 = െ3ܧ
Despejando ܸ3 de la ec.(88) se tiene:
125
ሺ87ሻ
ሺ88ሻ
Reemplazando la ec.(88) en (87):
ܸ3 =
ሺ3 ܧെ 2ܸ1 ሻ 4
ሺ3 ܧെ 2ܸ1 ሻ = 2ฺ ܧ 12ܸ1 + 2 ቈ 4
ܧ ܧ ܸ1 ቀ22ቁ = = ܫ = ܫ1 = 220 10 10
ܸ1 =
ܧ 22
El resultado es igual al obtenido en el circuito anterior; con lo que se comprueba el teorema de reciprocidad.
2.5.7 EJERCICIOS PROPUESTOS 2.5.7.1 Aplicar el teorema de reciprocidad a los circuitos de la figura 119 que se presenta a continuación.
Figura 119. Ejercicio propuesto
126
2.5.7.2 Aplicar el teorema de Reciprocidad a los circuitos de la figura 120 que se presenta a continuación.
Figura 120. Ejercicio propuesto
2.5.7.3 La red de la figura 121 está compuesta exclusivamente de resistencias lineales de valor constante. La tabla corresponde a mediciones de voltaje y corriente para dos valores definidos de Determine ܸ2 en el segundo caso Figura 121. Ejercicio propuesto
127
ܴ2 y de la excitación.
2.5.7.4 Si se sabe que la red F es lineal, pasiva y recíproca. Determine ܸ )ݐ( ܮen régimen permanente sinusoidal
Figura 122. Ejercicio propuesto
Para los circuitos se tomaron los siguientes datos en el laboratorio:
Tabla 1. Mediciones de laboratorio Magnitud Ángulo de fase con respecto a I2 (t) ܫ
1 ݉ܣ
ܸݍ
10 ܸ
ܸݎ
00 െ900
7ܸ
900
128
2.5.7.5 a) La figura 123 muestra una red lineal recíproca excitada por dos fuentes de voltaje ܸ1 y ܸ2 . Cuando ܸ1 ሺݐሻ = 10ܿݏሺݐݓሻ , ܸ2 ሺݐሻ = 0 y el circuito
alcanza el estado estacionario, entonces ܫ1 ሺݐሻ = 2 cosሺ ݐݓെ ߙሻ , ߙ =
݃ݐെ1 ൫3ൗ4൯ ݁ ܫ2 ሺݐሻ = 2,82 ݐݓ(݊݁ݏ+ 8,10 ). Calcular ܫ1 ሺݐሻ en régimen permanente sinusoidal si ܸ1 ሺݐሻ = 10݊݁ݏሺݐݓሻ ܸ ݕ2 ሺݐሻ = 10ܿݏሺݐݓሻ
b) Si la red de la figura 123 contiene únicamente resistencias y si se sabe que ܸ1 ሺݐሻ = 20ܸ ݕ ݐ2 ሺݐሻ = 0 producen corrientes ܫ1 ሺݐሻ = 5ܫ ݁ ݐ2 ሺݐሻ =
2ݐ. Calcular ܫ1 ሺݐሻ cuando ܸ1 ሺݐሻ = 30 ݐ+ 60 ܸ ݕ2 ሺݐሻ = 60 ݐ+ 15 Figura 123. Ejercicio propuesto
2.5.7.6 La tabla adjunta muestra mediciones obtenidas en el laboratorio para dos formas diferentes de excitación de la red mostrada en la figura 124. a) Calcular el valor de ܴ5
b) Si ܫ1 = ܫ5 ݁ ܫ2 = ܫܭ5 , para que valor de ܭ, ܫ6 = 0 ? c) Determinar el valor de ܴ3 ܴ ݕ4
d) Determinar el valor de ܴ6
129
Figura 124. Ejercicio propuesto
130
3. OTROS TEOREMAS
3.1 TEOREMA DE TELLEGEN I Y II Estos teoremas, son de gran utilidad en las investigaciones teóricas de los circuitos eléctricos, no son más que una consecuencia directa del hecho de que los circuitos eléctricos constituyen un sistema cerrado24, se aplican a todo tipo de circuitos eléctricos, lineales o no, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energético puede ser nulo o no. Los teoremas de Tellegen25 establecen que las sumas de las potencias generadas y consumidas por los elementos de un circuito deben ser nulas. Este teorema permite comprobar los resultados obtenidos en el análisis del circuito y a veces es OODPDGR³EDODQFHGHSRWHQFLDV´
3.1.1 ENUNCIADO TEOREMA I: ³En cualquier red de parámetros concentrados en cualquier instante, la suma algebraica de las potencias absorbidas o generadas por todos los elementos de circuito es nula. Es decir, cuando todas las corrientes se definen en el sentido de las caídas de potencial (o todas en el sentido de las subidas de potencial).
ܤ
ܸ݇ ሺݐሻ = )ݐ( ݇ܫ0
݇=1
;
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ ܶ)ݐ( ܤ. ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܶ)ݐ( ܤܫ. ܸ = )ݐ( ܤܫ0 = ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ )ݐ( ܤ
24
(89)
Que no intercambia energía con el medio Bernard D.H. Tellegen (Winschoten, 24 Junio de 1900 - Eindhoven, 30 Agosto de 1990) ingeniero electricista holandés. Ampliamente conocido en el mundo de la teoría de circuitos eléctricos por su gran aporte el llamado Teorema de Tellegen.
25
131
TEOREMA II: Si se consideran dos circuitos independientes cuyos gráficos sean idénticos e ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ )ݐ( ܤdenota el vector de corrientes y
orientados
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ )ݐ( ܤel de voltajes en el primer circuito y los del segundo, conocido
también con el nombre de circuito adjunto, se designan mediante ^
^
26 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ )ݐ( ܤy ܸ )ݐ( ܤUHVSHFWLYDPHQWH´
ܤ
ܤ
݇=1
݇=1
^
^
ܶ . ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = )ݐ( ܤܫ0 ܸ݇ ሺݐሻ ܫመ݇ ሺݐሻ = ܸ݇ ሺݐሻ ݇ܫሺݐሻ = ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ ܶ)ݐ( ܤ. ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ = )ݐ( ܤܫ )ݐ( ܤ
(90)
3.1.2 DEMOSTRACIÓN Para la demostración se hará uso de las matrices de incidencia, la de incidencia de nodos se recuerda a continuación:
MATRIZ DE INCIDENCIA DE NODOS ሾܣሿ ՜ ሼܰ × ܤሽ donde ܰ es el número de nodos menos 1 y ܤel número de elementos del circuito.
26
Tomado de K^d͕ůǀĂƌŽ͕>> ͕:ŽƌŐĞ͘LJ͕'/Z>K͕ŝĚŝĞƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /Zh/dK^ > dZ/K^͕͟ϭϵϴϳ͘
132
Figura 125. Matriz de incidencia de nodos
+1 ݈݁݁݉݁݊݅ܿܿ݁ݎ݅݀ ݑݏ ݕ ݅ ݐ݈݊݁݉݁݁ ݈ܽ ݁݀݅ܿ݊݅ ݆ ݐó݊ ݆݈ܽ݁ܽ ݁ݏ ݆ܽ݅ = ቐെ1 ݈݁݁݉݁݊݅ܿܿ݁ݎ݅݀ ݑݏ ݕ ݅ ݐ݈݊݁݉݁݁ ݈ܽ ݁݀݅ܿ݊݅ ݆ ݐó݊ ܽܿݎ݁ܿܽ ݁ݏ 0 ݈݁݁݉݁݊݅ ݐ݈݊݁݉݁݁ ݈ܽ ݁݀݅ܿ݊݅ ݊ ݆ ݐ Ejemplo: Hallar la matriz de incidencia del siguiente gráfico
Figura 126. Gráfico orientado
El nodo 6 se elige arbitrariamente como referencia
133
Figura 127. Matriz de incidencia de nodos
Es fácil ver que: ሾܣሿ × ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = )ݐ( ܤ0
Figura 128. Comprobación de las leyes de Kirchhoff
ሾܣሿ × ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = )ݐ( ܤ0 ՜ 1ª Ley de Kirchhoff
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሾܣሿܶ × ܸ ܰ ()ݐ( ܤܸ = )ݐ
՜ 2ª Ley de Kirchhoff
3.1.2.1 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TELLEGEN I ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ× )ݐ( ܤ
ܶ ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ )ݐ( ܤ
=0
;
es decir
ܤ
ܸ݇ ሺݐሻ ݇ܫሺݐሻ = 0
=ܭ1
134
Cada elemento del gráfico se supone con la siguiente referencia (referencia normal):
Usando la matriz de incidencia de nodos; ܶ
ܶ ܶܶ ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ = ܶ)ݐ( ܤ൛ሾܣሿܶ × ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = ൛ܸ ܸܰ ()ݐൟ = ܸ ܰ ( )ݐሾܣሿൟ ܰ ( )ݐሾܣሿ
ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬԦ ൛ܸ ܰ ( )ݐሾܣሿൟ × × )ݐ( ܸܰ = )ݐ( ܤܫ൛ሾܣሿ × )ݐ( ܤܫൟ = ܸܰ ( × )ݐ0 = 0 ; por lo tanto: ࢀ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ࢂ (࢚) × ࡵ (࢚) = ฺ Tellegen I
3.1.2.2 DEMOSTRACIÓN DE TELLEGEN II ܤ
ܤ
݇=1
݇=1
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ መ ܸ݇ ሺݐሻܫመ݇ ( = )ݐ ܸ݇ ሺݐሻܸ = )ݐ( ݇ܫ )ݐ( ܤ. )ݐ( ܤܸ = )ݐ( ܤܫ. = )ݐ( ܤܫ0
CIRCUITO 1 ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ , ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ)ݐ( ܤ )ݐ( ܤ
CIRCUITO ADJUNTO መ )ݐ( ܤ, ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ)ݐ( ܤ
Ambos circuitos poseen el mismo gráfico orientado ൣ ݂ܤ൧ = ൣܤ݂ ൧
Donde ൣ ݂ܤ൧ es la matriz fundamental de anillos de dimensiones {L X B} siendo L el número de enlaces (que define, cada uno, un anillo ±trayectoria formada por un enlace y ramas del árbol-). El elemento genérico se define por :
135
ܾ݆݅ =
ۓ ۖ ۔ ۖ ە
+1 ݈ܾ݁݁݉݁݊ ݈݈݅݊ܽ ݈ܽ ݁ܿ݁݊݁ݐݎ݁ ݆ ݐáݏ݁݊݅ܿܿ݁ݎ݅݀ ݏݑݏ ݕ ݅ ܿ݅ݏ ܿ݊݁݀݅ܿ݊݅ െ1 ݈ܾ݁݁݉݁݊ ݈݈݅݊ܽ ݈ܽ ݁ݏ݁݊݁ݐݎ݁ ݆ ݐáݏ݁݊݅ܿܿ݁ݎ݅݀ ݑݏ ݕ ݅ ܿ݅ݏ ݊݊݁݀݅ܿ݊݅ܿ 0 ݈ܾ݁݁݉݁݊ ݈݈݅݊ܽ ݈ܽ ݁ܿ݁݊݁ݐݎ݁ ݊ ݆ ݐá݅ ܿ݅ݏ
CIRCUITO 1
CIRCUITO ADJUNTO
ൣ ݂ܤ൧ × ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ = )ݐ( ܤ0
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = )ݐ( ܤ0 ൣ ݂ܤ൧ × ܸ
ሺ91ሻ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ൣ ݂ܤ൧ × ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ )ݐ( ܤܫ = )ݐ( ܮ
ܶ መܫ = )ݐ( ܮሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ መ)ݐ( ܤ ൣ ݂ܤ൧ × ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሺ92ሻ
Transponiendo la ecuación (92): ܶ
ܶ
ܶ ቄൣ ݂ܤ൧ × ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ )ݐ( ܮܫቅ = ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ )ݐ( ܤ
;
Post multiplicando por ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ )ݐ( ܤ:
(93) (94)
ܶ
ܶ ܶ ܶ ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ × ܶ)ݐ( ܮܫൣ ݂ܤ൧ = ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ × )ݐ( ܮൣ ݂ܤ൧ )ݐ( ܤ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ൛ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ × )ݐ( ܮൣ ݂ܤ൧ൟ × ܸ)ݐ( ܤܸ × )ݐ( ܤܫ = )ݐ( ܤ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ × )ݐ( ܮቄൣ ݂ܤ൧ × ܸ)ݐ( ܤቅ = )ݐ( ܤܸ × )ݐ( ܤܫ
Por lo tanto:
de la ecuación ሺ93ሻ ൣ ݂ܤ൧ × ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ = )ݐ( ܤ0 ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܶ ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ × ܶ)ݐ( ܮܫ0 = 0 = ܫሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = )ݐ( ܤܸ × )ݐ( ܤቄ )ݐ( ܤܸ × )ݐ( ܤܫቅ = )ݐ( ܤܸ × )ݐ( ܤܫ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ࢀ ࡵሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ (࢚) × ࢂ (࢚) = ֜ Tellegen II
3.1.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN Verificar el Teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.
136
Figura 129. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Circuito 1: Método de corrientes de enlace
Figura 130. Grafico orientado
Incógnitas: ܫ4 , ܫ5 , ܫ6 , ܫ7
Fuentes de voltaje: ܸ1 = 1ܸ
ܸ݈݁݁݉݁݊ ) ݏݐ݈݊݁݉݁݁ܫ(݂ = ݏݐ ܸ2 = 1 × ܫ2
;
ܸ3 = 1 × ܫ3 ;
ܸ4 = 1 × ܫ4 ; ܸ5 = 1 × ܫ5 ;
ܸ݈݈ܽ݊݅ = ݏ0 ; excepto en anillos con fuentes de corriente
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ4ሻ = 0
ܸ4 + ܸ3 െ ܸ1 = 0
137
ܸ6 = 1 × ܫ6
ܸ5 + ܸ2 െ ܸ1 = 0
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ5ሻ = 0
ܸ6 + ܸ3 െ ܸ2 = 0
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ6ሻ = 0
Ecuación de la fuente de corriente: ܫ7 = 1 ฺ ܣelimina una incógnita Reemplazando los voltajes en función de las corrientes: ܫ4 + ܫ3 െ 1 = 0
(95)
ܫ5 + ܫ2 െ 1 = 0 Expresar ݂ = ܽ݉ܽݎܫሺ ݈݁ܿܽ݊݁ܫሻ:
ܫ6 + ܫ3 െ ܫ2 = 0
(ܫ3) = 0
ܫ3 െ ܫ4 െ ܫ6 = 0
(ܫ2) = 0
ܫ2 െ ܫ5 + ܫ6 െ ܫ7 = 0
(ܫ1) = 0
ܫ1 + ܫ5 + ܫ4 = 0
(96)
ฺ
ฺ
(97)
ܫ3 = ܫ4 + ܫ6
ܫ1 = െܫ4 െ ܫ5
ฺ
ܫ2 = ܫ5 െ ܫ6 + 1
Reemplazando en las ecuaciones (95) (96) y (97): ܫ4 + ሺܫ4 + ܫ6 ሻ = 1
ܫ5 + ሺܫ5 െ ܫ6 + 1ሻ = 1
ܫ6 + ሺܫ4 + ܫ6 ሻ െ ሺܫ5 െ ܫ6 + 1ሻ = 0
1 2 0 1 ܫ4 0 2 െ1൩ ܫ5 ൩ = 0൩ 1 െ1 3 ܫ6 1
Resolviendo: ܫ4 =
3 ; ܣ 8
ܫ5 =
ܫ1 = െܫ4 െ ܫ5 = െ
1 1 ܫ ; ܣ6 = ܣ 8 4
1 ܣ 2
138
ฺ 2ܫ4 + ܫ6 = 1
ฺ
ฺ 2ܫ5 െ ܫ6 = 0
ܫ4 െ ܫ5 + 3ܫ6 = 1
(98) (99) (100)
ܫ2 = ܫ5 െ ܫ6 + 1 =
ܫ3 = ܫ4 + ܫ6 = ܫ7 = 1 ܣ
5 ܣ 8
7 ܣ 8
Por lo tanto los voltajes serán: 7 ܸ1 = 1ܸ ; ܸ2 = ܸ 8
;
5 ܸ3 = ܸ ; 8
7 ܸ7 + ܸ2 = 0 ฺ ܸ7 = െܸ2 = െ ܸ 8
3 1 ܸ ; ܸ5 = ܸ ; 8 8
ܸ4 =
Tabla 2. Comprobación de Tellegen I Elemento 1 2 3 4 5 6 7
ܸ [ܸ]
]ܣ[ ܫ
ܲ= ܸܫݔ
7ൗ 8 5ൗ 8 3ൗ 8 1ൗ 8 1ൗ 4
49ൗ 64 25ൗ 64 9ൗ 64 1ൗ 64 4ൗ 64 െ 56ൗ64
െ 1ൗ2
1
7ൗ 8 5ൗ 8 3ൗ 8 1ൗ 8 1ൗ 4 െ 7ൗ8
1
െ 32ൗ64
ܸ݈݁݁݉ × = ݈݉݁݁ܫ0 ֜ Tellegen I
Circuito 2: Método de corrientes de enlace
139
ܸ6 =
1 ܸ 4
Figura 131. Grafico orientado
Incógnitas: ॴ4 , ॴ5 , ॴ6 , ॴ7
Fuentes de voltaje: ॽ4 = െ5 ע900 ܸ
݆10 ॽ Inductancias mutuas: 5 ൨ = ॽ2 ݆5
ܸ݈݂݁݁݉݁݊ = ݏݐሺ ݏݐ݈݊݁݉݁݁ܫሻ: ॽ1 = 10ॴ1 ;
ॽ3 = 5ॴ3 ;
݆5 ॴ5 ൨ ൨ ݆5 ॴ2
ॽ7 = െ݆4ॴ7
ॽ݈݈ܽ݊݅ = ݏ0 ; excepto en anillos con fuentes de corriente
ॽ݈݈ܽ݊݅ ሺ4ሻ = 0
ॽ݈݈ܽ݊݅ ሺ5ሻ = 0
ॽ݈݈ܽ݊݅ ሺ7ሻ = 0
ॽ4 + ॽ3 െ ॽ1 = 0
ॽ5 + ॽ2 െ ॽ1 = 0
ॽ7 + ॽ2 = 0
Ecuación de la fuente de corriente: ॴ6 = 3ॴ݂ = 3ॴ4
Reemplazando los voltajes en función de las corrientes: െ5 ע900 + 5ॴ3 െ 10ॴ1 = 0
ሺ݆10ॴ5 + ݆5ॴ2 ሻ + ሺ݆5ॴ5 + ݆5ॴ2 ሻ െ 10ॴ1 = 0 െ݆4ॴ7 + ሺ݆5ॴ5 + ݆5ॴ2 ሻ = 0 140
(101) ሺ102ሻ
ሺ103ሻ
Expresar ݂ = ܽ݉ܽݎܫሺ ݈݁ܿܽ݊݁ܫሻ:
ॴ(1) = 0
ॴ1 + ॴ4 + ॴ5 = 0
ฺ
ॴ(3) = 0
ॴ3 െ ॴ4 െ ॴ6 = 0
ฺ
ॴ(2) = 0
ॴ2 െ ॴ5 + ॴ6 െ ॴ7 = 0
ॴ1 = െॴ4 െ ॴ5
ฺ
ॴ2 = ॴ5 െ ॴ6 + ॴ7
ॴ3 = ॴ4 + ॴ6
Reemplazando en las ecuaciones (101) (102) y (103): 5ሺॴ4 + ॴ6 ሻ + 10ሺॴ4 + ॴ5 ሻ = 5 ע900
݆15ॴ5 + ݆10ሺॴ5 െ ॴ6 + ॴ7 ሻ + 10ሺॴ4 + ॴ5 ሻ = 0
െ݆4ॴ7 + ݆5ॴ5 + ݆5ሺॴ5 െ ॴ6 + ॴ7 ሻ = 0
ሺ104ሻ
ሺ105ሻ
(106)
Ecuación de la fuente de corriente:
ሺ107ሻ
ॴ6 = 3ॴ4
Reemplazando (107) en (104), (105) y (106): 30ॴ4 + 10ॴ5 = 5 ע900
ሺ10 െ ݆30ሻॴ4 + ሺ10 + ݆25ሻॴ5 + ݆10ॴ7 = 0 െ݆15ॴ4 + ݆10ॴ5 + ݆ॴ7 = 0
Resolviendo:
30 ሺ10 െ ݆30ሻ െ݆15
ॴ4 = ሺ0,11 ע94,270 ሻ ; ܣ
10 ሺ10 + ݆25ሻ ݆10
0 ॴ4 5 ע900 ݆10൩ ॴ5 ൩ = 0 ൩ ॴ7 ݆ 0
ॴ5 = ሺ0,17 ע81,910 ሻ ; ܣ
ॴ1 = െॴ4 െ ॴ5 = ሺ0,28 עെ93,330 ሻܣ
ॴ2 = ॴ5 െ ॴ6 + ॴ7 = ሺ0,40 עെ142,820 ሻܣ ॴ3 = ॴ4 + ॴ6 = ሺ0,44 ע94,270 ሻܣ ॴ6 = 3ॴ4 = ሺ0,33 ע94,270 ሻܣ
141
ॴ7 = ሺ0,38 עെ166,610 ሻ ܣ
Por lo tanto los voltajes serán: ॽ1 = 10ॴ1 = ሺ2,8 עെ93,330 ሻ ܸ
ॽ2 = ݆5ሺॴ5 + ॴ2 ሻ = ሺ1,5 עെ76,710 ሻ ܸ ॽ3 = 5ॴ3 = ሺ2,2 ע94,270 ሻ ܸ
ॽ4 = ሺ5 עെ900 ሻ ܸ
ॽ5 = ॽ1 െ ॽ2 = ሺ1,44 עെ110,90 ሻ ܸ ॽ6 = ॽ2 െ ॽ3 = ሺ3,7 עെ82,040 ሻ ܸ
ॽ7 = െ݆4ॴ7 = ሺ1,51 ע103,40 ሻ ܸ
Tabla 3. Comprobación de Tellegen I Elemento 1 2 3 4 5 6 7
ॽ [ܸ]
ሺ2,8 עെ93,330 ሻ
ሺ1,5 עെ76,710 ሻ
ॴ]ܣ[ כ
ሺ0,28 ע93,330 ሻ
ሺ0,6 ע66,110 ሻ
ሺ0,11 עെ94,270 ሻ
ሺ0,55 ע175,730 ሻ
ሺ0,33 עെ 94,270 ሻ
ሺ1,22 עെ176.310 ሻ
ሺ0,44 עെ94,270 ሻ
ሺ1,44 עെ110,90 ሻ
ሺ0,17 עെ81,910 ሻ
ሺ3,7 עെ82,040 ሻ
ሺ1,51 ע103,40 ሻ
ሺ0,784 ע00 ሻ
ሺ0,40 ע142,820 ሻ
ሺ2,2 ע94,270 ሻ ሺ5 עെ900 ሻ
ܲ = ॽ כॴ ݔ
ሺ0,38 ע166,610 ሻ
ܸ݈݁݁݉ × = ݈݉݁݁ܫ0 ֜ Tellegen I Tellegen II: 142
ሺ0,97 ע00 ሻ
ሺ0,24 ע167,190 ሻ ሺ0,57 עെ900 ሻ
ܤ
ܤ
݇=1
݇=1
ܸ݇ ሺݐሻܫመ݇ ( = )ݐ ܸ݇ ሺݐሻ)ݐ( ݇ܫ
Tabla 4. Comprobación de Tellegen II Elemento 1 2 3 4 5 6 7 ܤ
ܸܭ
1 7ൗ 8 5ൗ 8 3ൗ 8 1ൗ 8 1ൗ 4 7 െ ൗ8
ܭܫ
െ 1ൗ2 7ൗ 8 5ൗ 8 3ൗ 8 1ൗ 8 1ൗ 4 1 ܤ
ܸܭ
ܸܫ ܭመܭ
1,445
െ0,35
െ1,3125 െ1,83
െ2,8
െ0,28
െ0,28
2,2
0,44
0,275
െ1,5
െ0,4
െ5
0,11
0,04125
െ1,4
0,17
0,02125
െ3,7
0,33
0,0825
1,5
െ0,38
0,3325
ܸ݇ ሺݐሻܫመ݇ ( = )ݐ ܸ݇ ሺݐሻ = )ݐ( ݇ܫ0
݇=1
ܫመܭ
݇=1
ܸܭܫ ܭ
1,42
െ0,175 െ0,925 1,5
3.1.4 EJERCICIOS RESUELTOS 3.1.4.1 Verificar el teorema de Tellegen II, encontrando el voltaje que se produce entre los terminales a y b del circuito 2 de la figura 132
27
27
.
Tomado de K^d͕ůǀĂƌŽ͕>> ͕:ŽƌŐĞ͘LJ͕'/Z>K͕ŝĚŝĞƌ͕͞/EdZKh/ME>E>/^/^ /Zh/dK^ > dZ/K^͕͟ϭϵϴϳ͘
143
Figura 132. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Aplicando la ecuación del teorema de Tellegen: ܤ
ܤ
݇=1
݇=1
ܸ݇ ሺݐሻ ܫመ݇ ሺݐሻ = ܸ݇ ሺݐሻ ݇ܫሺݐሻ ܸ1 ܫመ1 + ܸ2 ܫመ2 = ܸ1 ܫ1 + ܸ2 ܫ2
ܸ Del circuito 2 se nota que: ܫመ1 = െ ቆ 1ൗ2ቇ 20 ቆെ
ܸ1 ቇ = ൫ܸ1 × 10൯ + ሺ10 × (െ2)ሻ ฺ െ10ܸ1 = 10ܸ1 െ 20 2
ฺ ܸ1 = 1ܸ
3.1.4.2 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.
144
Figura 133. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Circuito 1: Método de voltajes de rama
Figura 134. Grafico orientado
Incógnitas: ܸ1 , ܸ2 , ܸ5 , ܸ7 ݂ = ݏݐ݈݊݁݉݁݁ܫሺܸ݈݁݁݉݁݊ ݏݐሻ: ܫ2 =
ܸ2 ܸ3 ; ܫ3 = ; 2 1
ܫ4 =
ܸ4 2
; ܫ5 =
ܸ5 4
; ܫ6 =
ܸ6 ܸ7 ; ܫ7 = 1 1
Sumatorio de corrientes en nodos donde no llegan fuentes de voltaje: 145
݀݊ܫሺ1ሻ = 0
െܫ2 + ܫ3 + ܫ4 = 0
݀݊ܫሺ3ሻ = 0
െܫ3 െ ܫ5 + ܫ7 = 0
݀݊ܫሺ2ሻ = 0
െܫ4 + ܫ5 െ ܫ6 = 0
Ecuación de la fuente de voltaje: ܸ1 = 10 ܸ ฺ elimina una incógnita Reemplazando las corrientes en función de los voltajes: െ
ܸ4 ܸ2 + ܸ3 + = 0 2 2
െ
Expresar ܸ݈݁݊ܽܿ݁ = ݂ሺܸ ܽ݉ܽݎሻ: ܸ݈݈ܽ݊݅
ܸ݈݈ܽ݊݅
ܸ݈݈ܽ݊݅
(3)
=0
(4)
=0
(6)
=0
(108)
ܸ4 ܸ5 + െ ܸ6 = 0 4 2
െܸ3 െ
ሺ109ሻ
ܸ5 + ܸ7 = 0 4
(110)
ܸ3 + ܸ7 െ ܸ1 + ܸ2 = 0
ฺ
ܸ6 + ܸ5 + ܸ7 = 0
ܸ6 = െܸ5 െ ܸ7
ܸ4 + ܸ5 + ܸ7 െ ܸ1 + ܸ2 = 0 ฺ
ܸ3 = ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ7
ฺ
ܸ4 = ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ5 െ ܸ7
Reemplazando en las ecuaciones (108) (109) y (110): െ
ܸ2 1 + ሺܸ1 െ ܸ2 െ ܸ7 ሻ + ሺܸ1 െ ܸ2 െ ܸ5 െ ܸ7 ሻ = 0 2 2
1 ܸ5 െ ሺܸ1 െ ܸ2 െ ܸ5 െ ܸ7 ሻ + Ȅ ܸ5 െ ܸ7 = 0 2 4 െሺܸ1 െ ܸ2 െ ܸ7 ሻ െ
Reorganizando:
ܸ5 + ܸ7 = 0 4
146
4 1 3 ܸ2 30 2 7 6൩ ܸ5 ൩ = 20൩ 4 െ1 8 ܸ7 40
4ܸ2 + ܸ5 + 3ܸ7 = 30
(111)
2ܸ2 + 7ܸ5 + 6ܸ7 = 20
(112)
4ܸ2 െ ܸ5 + 8ܸ7 = 40
(113)
Resolviendo:
ܸ2 = 6,26 ܸ ;
ܸ1 = 10 ܸ
ܸ5 = െ0,48 ܸ
;
ܸ7 = 1,8 ܸ
ܸ3 = ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ7 = 1,94 ܸ
ܸ4 = ܸ1 െ ܸ2 െ ܸ5 െ ܸ7 = 2,42 ܸ
ܸ6 = െܸ5 െ ܸ7 = െ1,32 ܸ
Por lo tanto las corrientes serán: ܫ1 = െܫ2 = െ3,13 ܣ ܫ2 =
ܫ5 =
ܸ2 = 3,13 ܣ 2
ܸ5 = െ0,12 ܣ 4
ܫ3 =
ܫ6 =
ܸ3 = 1,94 ܣ 1
ܸ6 = െ1,32 ܣ 1
ܫ4 =
ܫ7 =
ܸ4 = 1,21 ܣ 2 ܸ7 = 1,8 ܣ 1
Tabla 5. Comprobación de Tellegen I Elemento 1 2 3 4 5 6 7
ܸ [ܸ]
]ܣ[ ܫ
െ3,13 3,13 1,94 1,21 െ0,12 െ1,32 1,8
10 6,26 1,94 2,42 െ0,48 െ1,32 1,8 147
ܲ= ܸܫݔ െ31,3 19,6 3,76 2,92 0,057 1,74 3,24
ܸ݈݁݁݉ × = ݈݉݁݁ܫ0 ֜ Tellegen I Circuito 2: Método de corrientes de enlace
Figura 135. Grafico orientado
Incógnitas: ܫ3 , ܫ4 , ܫ6
ܸ݈݂݁݁݉݁݊ = ݏݐሺ ݏݐ݈݊݁݉݁݁ܫሻ: 1 ܸ1 = 5 ܸ ; ܸ2 = ܫ2 ; 2
1 ܸ3 = 3ܫ3 ; ܸ4 = 1 × ܫ4 ; ܸ5 = 2 × ܫ5 ; ܸ7 = ܫ7 2
ܸ݈݈ܽ݊݅ = ݏ0 ; excepto en anillos con fuentes de corriente
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ3ሻ = 0
ܸ݈݈ܽ݊݅ ሺ4ሻ = 0
ܸ3 + ܸ7 െ ܸ1 + ܸ2 = 0
ܸ4 + ܸ5 + ܸ7 െ ܸ1 + ܸ2 = 0
Ecuación de la fuente de corriente: ܫ6 = = ܫ1 ฺ ܣelimina una incógnita
Reemplazando los voltajes en función de las corrientes: 3ܫ3 + ܫ4 + 2ܫ5 + 148
ܫ7 ܫ2 െ5+ =0 2 2
ܫ2 ܫ7 െ5+ =0 2 2
ሺ114ሻ
(115)
Expresar ݂ = ܽ݉ܽݎܫሺ ݈݁ܿܽ݊݁ܫሻ:
(ܫ2) = 0
ܫ2 െ ܫ3 െ ܫ4 = 0
(ܫ7) = 0
ܫ7 െ ܫ3 െ ܫ4 െ ܫ6 = 0
(ܫ5) = 0
ܫ5 െ ܫ4 െ ܫ6 = 0
ฺ
ฺ
ܫ2 = ܫ3 + ܫ4
ܫ5 = ܫ4 + ܫ6
ฺ
ܫ7 = ܫ3 + ܫ4 + ܫ6
Reemplazando en las ecuaciones (114) y (115): 1 1 3ܫ3 + ሺܫ3 + ܫ4 + ܫ6 ሻ + ሺܫ3 + ܫ4 ሻ = 5 2 2
1 1 ܫ4 + 2ሺܫ4 + ܫ6 ሻ + ሺܫ3 + ܫ4 + ܫ6 ሻ + ሺܫ3 + ܫ4 ሻ = 5 2 2
Organizando:
4ܫ3 + ܫ4 =
ܫ3 + 4ܫ4 =
9ൗ 4 1 ܫ3 ቂ ቃ ൨ = 2൩ 5ൗ 1 4 ܫ4 2
9 2
(116)
5 2
(117)
Resolviendo: ܫ3 =
31 ܣ 30
;
ܫ1 = െܫ2 = െ ܫ6 = 1 ܣ
;
ܫ4 =
42 ܣ 30
;
11 ܣ 30
ܫ2 = ܫ3 + ܫ4 =
ܫ7 = ܫ3 + ܫ4 + ܫ6 =
Por lo tanto los voltajes serán: ܸ1 = 5 ܸ
;
1 21 ܸ2 = ܫ2 = ܸ 2 30
72 ܣ 30 ;
42 ܣ 30
;
ܸ3 = 3ܫ3 = 149
ܫ5 = ܫ4 + ܫ6 =
93 ܸ 30
;
41 ܣ 30
ܸ4 = 1 × ܫ4 =
11 ܸ 30
ܸ5 = 2 × ܫ5 =
82 ܸ 30
;
ܸ6 = െܸ5 െ ܸ7 = െ
118 ܸ 30
1 36 ܸ7 = ܫ7 = ܸ 2 30
;
Tabla 6. Comprobación de Tellegen I ܸ [ܸ]
Elemento 1
]ܣ[ ܫ
െ42ൗ 30 42ൗ 30 31ൗ 30 11ൗ 30 41ൗ 30 1 72ൗ 30
5 21ൗ 30 93ൗ 30 11ൗ 30 82ൗ 30 െ118ൗ 30 36ൗ 30
2 3 4 5 6 7
ܲ= ܸܫݔ
െ7 49ൗ 50 961ൗ 300 121ൗ 900 1681ൗ 450 െ59ൗ 15 72ൗ 25
ܸ݈݁݁݉ × = ݈݉݁݁ܫ0 ֜ Tellegen I Tellegen II: ܤ
ܤ
݇=1
݇=1
ܸ݇ ሺݐሻܫመ݇ ( = )ݐ ܸ݇ ሺݐሻ)ݐ( ݇ܫ
150
Tabla 7. Comprobación de Tellegen II
ܸܭ
Elemento
ܭܫ
1
10
2
6,26
െ3,13
3
1,94
1,94
4
2,42
1,21
5
െ0,48
െ0,12
1,8
1,8
6 7
െ1,32
ܤ
3,13
െ1,32 ܤ
ܸܭ
5 21ൗ 30 93ൗ 30 11ൗ 30 82ൗ 30 െ118ൗ 30 36ൗ 30
ܸ݇ ሺݐሻܫመ݇ ( = )ݐ ܸ݇ ሺݐሻ = )ݐ( ݇ܫ0
݇=1
݇=1
ܫመܭ െ42ൗ 30 42ൗ 30 31ൗ 30 11ൗ 30 41ൗ 30 1 72ൗ 30
ܸܫ ܭመܭ
ܸܭܫ ܭ
െ14
8,764
െ15,65
2
6,014
0,887
0,443
െ0,656
െ0,328
4,32
2,16
െ1,32
2,191
5,192
3.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.1.5.1 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.
Figura 136. Ejercicio propuesto
151
3.1.5.2 Verificar el teorema de Tellegen I para el circuito de la figura 137.
Figura 137. Ejercicio propuesto
3.1.5.3 Usando matrices de incidencia determinar las corrientes a través de y los voltajes en bornes de todos los elementos del circuito dado. Verificar el cumplimiento del teorema de Tellegen I
Figura 138. Ejercicio propuesto
152
3.2 TEOREMA DE MILLMAN El Teorema de Millman se llamó así en honor al electrónico ruso Jacob Millman28, y no es más que la aplicación rápida para configuración específica de las leyes de Kirchhoff. De lo dicho se desprende que este teorema se puede aplicar a todos los circuitos eléctricos que satisfagan las leyes de Kirchhoff y al ser estas el resultado de las leyes de conversión de la masa y la energía, no tiene excepción. Se aplica a cualquier circuito eléctrico, lineal o no, variante o invariante con el tiempo y cuyo estado energético sea nulo o no, cabe aclarar que no se puede aplicar este teorema cuando en el circuito existan impedancias acopladas.
3.2.1 ENUNCIADO Cuando se conocen las impedancias que concurren en el nodo B y los voltajes entre el nodo A y los extremos de dichas impedancias, se puede calcular el voltaje que existe entre los nodos A y B ሺܸ ܤܣሻ.
Jacob Millman (nació 1911 en Rusia , murió el 22 de Mayo 1991) fue profesor de Ingeniería Eléctrica en la universidad de Columbia. Millman obtuvo un Ph.D. del MIT en 1935. Trabajó en la Universidad de Columbia desde 1951, hasta su retiro en 1975. Desde 1941 hasta 1987, Millman escribió ocho libros basados en electrónica. 28
153
Figura 139. Teorema de Millman
ܸܤܣ
σ݊݇=1 ܻ݇ ܸ݇ܣ = σ݊݇=1 ܻ݇
(118)
3.2.2 DEMOSTRACIÓN Si se conocen los voltajes ܸܣ1 , ܸܣ2 , ǥ , ܸ ݊ܣaunque se ignore la configuración de la red entre A y los otros nodos, al aplicar sumatorio de corrientes en el nodo B, tomando A como el nodo de referencia, se obtiene: ሺܻ1 + ܻ2 + ڮ+ ܻ݊ ሻܸ ܣܤെ ܻ1 ܸ1 ܣെ ܻ2 ܸ2 ܣെ ڮെ ܻ݊ ܸ݊ = ܣ0
Organizando la ecuación anterior: ݊
݊
݇=1
݇=1
൭ ܻ݇ ൱ ܸ ܣܤെ ൭ ܻ݇ ൱ ܸ݇ = ܣ0 Se tiene en cuenta que ܸ = ܣܤെܸܤܣ
y
154
ܸ݇ = ܣെܸ ݇ܣse deduce que:
ܸ= ܤܣ
σ݊݇=1 ܻ݇ ܸ݇ܣ σ݊݇=1 ܻ݇
Fórmula que constituye la expresión del teorema de Millman.29 El nodo A puede ser cualquiera en el circuito y, por lo tanto puede ser alguno de ORV QRGRV « Q (Q HVWH Faso será nulo el término correspondiente de: ݊
ܻ݇ ܸ݇ܣ
݇=1
El caso de n fuentes de voltaje en paralelo (figura 140) es un caso particular en el que se puede aplicar el teorema de Millman.
Figura 140. Caso particular donde se aplica el teorema de Millman
Aplicando el Teorema de Millman: ܸܤܣ
29
σ݊݇=1 ܻ݇ ܸ݇ = σ݊݇=1 ܻ݇
݊
; ܻ݁ = ݍ ܻ݇ ݇=1
Como se ve, no es más que la aplicación inmediata de las 2 leyes de Kirchhoff para esta configuración.
155
3.2.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN Aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 141, para encontrar la corriente que pasa por la resistencia de 100 ȳ. Figura 141. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Aplicando la ecuación del teorema de Millman se obtiene:
ܸܾܽ = ݊
1 1 σ݊݇=1 ܻ݇ ܸ݇ ܸ1 ܻ1 + ܸ2 ܻ2 ሺ40ሻ൫ ൗ4൯ + ሺ50ሻቀ ൗ5ቁ 400 = = = ܸ σ݊݇=1 ܻ݇ ܻ1 + ܻ2 9 ൫1ൗ4൯ + ቀ1ൗ5ቁ
9 ܻ݁ = ݍ ܻ݇ = ܻ1 + ܻ2 = ൫1ൗ4൯ + ቀ1ൗ5ቁ = ; 20 ݇=1
ܼ1 = 20 +
ܼ݁= ݍ
ሺ80ሻሺ100ሻ 580 = ȳ 9 80 + 100
(VWHYDORUVHREWLHQHGHVFRQHFWDQGROD³FDUJD´ 156
1 1 20 = = ȳ ܻ݁ ݍ9ൗ 9 20
Figura 142. Circuito equivalente
400ൗ 2 9 = ܶܫ = ܣ ቀ580ൗ9 + 20ൗ9ቁ 3
Por medio de un divisor de corriente, se halla la corriente que pasa por la resistencia de 100 ȳ: Figura 143. Divisor de corriente
=ܫ
80 8 2 ൬ ൰= ܣ 27 3 100 + 80
157
3.2.4 EJERCICIOS RESUELTOS 3.2.4.1 En el circuito de la figura 144, todas las tensiones están medidas respecto a tierra. a) Calcular la tensión del punto 1 respecto a tierra. E 6LVHFRQHFWDXQDUHVLVWHQFLD5 HQWUH\WLHUUDGHWHUPLQDUHO potencial.
Figura 144. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: a) Aplicando el teorema de Millman 1 1 1 1 σ݊݇=1 ܻ݇ ܸ݇ െ20ቀ ൗ5ቁ െ 20ቀ ൗ5ቁ െ 20ቀ ൗ5ቁ െ 20ቀ ൗ5ቁ ܸ10 = = = െ20 ܸ σ݊݇=1 ܻ݇ ቀ1ൗ5ቁ + ቀ1ൗ5ቁ + ቀ1ൗ5ቁ + ቀ1ൗ5ቁ
b) Se halla la resistencia equivalente del circuito: ܴ݁= ݍ
1 5 = ȳ 1 4ቀ ቁ 4 5 158
Figura 145. Divisor de voltaje
Mediante un divisor de voltaje se calcula ܸ0 :
5 ܸ0 = െ20 ቌ ቍ = െ16 ܸ 5 + ቀ5ൗ4ቁ
3.2.4.2 Aplicando el teorema de Millman, hallar el ܸܾܽ y la corriente ܫ. Figura 146. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Sin la carga: ܸܾܽ =
6൫1ൗ10൯ + 6൫1ൗ20൯ + 6൫1ൗ30൯ = 6ܸ ൫1ൗ10൯ + ൫1ൗ20൯ + ൫1ൗ30൯ 159
ܴ݁= ݍ
1 60 = ȳ 1 1 1 ቀ10ቁ + ቀ20ቁ + ቀ30ቁ 11
Figura 147. Cálculo de la corriente I
=ܫെ
6 = െ0,39 ܣ ൫10 + 60ൗ11൯
3.2.4.3 En el circuito de la figura 148 determinar la potencia cedida o absorbida por la fuente de corriente, aplicando el teorema de Millman.
Figura 148. Ejercicio resuelto
160
SOLUCIÓN: Para aplicar el teorema de Millman hay que replantear el circuito:
Figura 149. Circuito replanteado
ܸ12 = ܸ10 െ ܸ20
Aplicando el teorema de Millman para hallar ܸ10 y ܸ20 se obtiene:
σ݊݇=1 ܻ݇ ܸ݇ ൫1 × 1ൗ1൯ + ൫0 × 1ൗ1൯ െ 1 ܸ10 = = = 0ܸ 1 1 σ݊݇=1 ܻ݇ +1 1
ܸ20
σ݊݇=1 ܻ݇ ܸ݇ ൫1ൗ2 × 2൯ െ ൫1ൗ1 × 2൯ + ൫1ൗ2 × 0൯ + 1 = = =0ܸ 1 1 1 σ݊݇=1 ܻ݇ + + 2 1 2 ܸ12 = ܸ10 െ ܸ20 = 0 ܸ
; ܲ = ܸ = ܫሺ0ሻሺ1ሻ = 0 ܹ
3.2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 161
3.2.5.1 Hallar el voltaje ܸܾܽ aplicando el teorema de Millman. Figura 150. Ejercicio propuesto
3.2.5.2 Hallar el voltaje ܸܾܽ aplicando el teorema de Millman. Figura 151. Ejercicio propuesto
3.2.5.3 Un generador trifásico a 400c.p.s opera a un voltaje entre líneas de 205 V, cada fase de una carga conectada en Y tiene una impedancia equivalente de Ժܻ = (1,5 + ݆0,5)ȳ
a 400c.p.s, cada una de las tres líneas que
conectan a la carga con el generador tiene una impedancia Ժ( = ܮ0,070 + 162
݆0,0526)ȳ a 400c.p.s. Si se llama N el punto neutro del equivalente en Y
del generador, determinar ॽܰܰ Ԣ .
Repetir el mismo procedimiento si la impedancia de la línea pasa a valer
(0,1 + ݆0,0526)ȳ Figura 152. Ejercicio propuesto
3.3 TEOREMA DE ROSEN (KENNELLY) El teorema de Rosen analiza las diferentes transformaciones de impedancias que se pueden dar al momento de analizar un circuito, para que su estudio y respectiva solución se haga más fácil. El teorema de Kennelly30 es una parte del teorema general de Rosen, más específicamente la transformación estrella ±triángulo y viceversa.
1
Arthur Edwin Kennelly (Colaba, 17 de diciembre de 1861 - Boston, 18 de junio de 1939) fué un ingeniero eléctrico americano. Desde 1902 hasta 1930 trabajó como profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad de Harvard y como adjunto en el Instituto de Tecnología de Massachusetts desde 1913 hasta 1924. A él se debe la aplicación de la teoría de los números complejos al análisis de circuitos en alterna, así como las ecuaciones de transformación de cargas en estrella y en triángulo (teorema que lleva su nombre).
163
De lo dicho se ve que se aplica a circuitos lineales, pasivos, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energético es nulo.
3.3.1 ENUNCIADO Un circuito pasivo constituido por n impedancias ܼ1 , ܼ2 , ǥ , ܼ݊ conectadas en
estrella (figura 153), puede ser sustituido por otro circuito equivalente formado por ݊ ሺ݊െ1ሻ 2
impedancias ܼ12 , ܼ13 , ǥ , ܼ1݊ , ܼ23 , ǥ , ܼ2݊ , ǥ , ܼ݉݊
(figura 154).
Figura 153. Impedancias conectadas en estrella
164
conectadas en polígono
Figura 154. Impedancias conectadas en polígono
3.3.2 DEMOSTRACIÓN Sean las conexiones:
Figura 155. Admitancias conectadas en estrella - Admitancias conectadas en polígono
165
Aplicando el teorema de Millman al circuito en estrella: ܸܵܰ
σ݊=1 ܸܻ ܰ = σ݊=1 ܻ
(119)
= ݍܻ כ ܵݍܸ = ݍܫ൫ܸ ܰݍെ ܸܵܰ ൯ ܰݍܸ ݍܻ = ݍܻ כ
σ݊=1 ܸܻ ܰ െ ܻݍ σ݊=1 ܻ
σ݊=1 ܻܲ ܸ ܰݍെ σ݊=1 ܸܻ ܰ ܻ ܰݍܸ ݍσ݊=1 ܻ െ ܻ ݍσ݊=1 ܸܻ ܰ = ݍܫ = ܻ ݍቈ σ݊=1 ܻ σ݊=1 ܻ = ݍܫ
ܻݍ
σ݊=1 ܻ
݊
ൣܻ ܰݍܸ െ ܻ ܸܰ ൧ = =1
ܻݍ
σ݊=1 ܻ
݊
൦ ܻ ൣܸ ܰݍെ ܸ ܰ൧൪ =1
Cambiando p por k en el denominador: En conexión estrella la ecuación será: ݊
= ݍܫ ቈ =1
Del segundo circuito (Polígono):
ܻܻ ݍ ൫ܸ ܰݍെ ܸ ܰ൯ σ݊݇=1 ܻ݇
(120)
݊
݊
=1
=1
ݍܸ = ݍܫ1 ܻ1 ݍ+ ܸݍ2 ܻ2 ݍ+ ڮ+ ܸ ݍܻ ݍ+ ڮ+ ܸ = ݍܻ݊ ݊ݍ ܸ = ݍܻ ݍ ܻ ݍ൫ܸ ܰݍെ ܸ ܰ൯ En conexión polígono la ecuación será: ݊
= ݍܫ ܻ ݍ൫ܸ ܰݍെ ܸ ܰ൯ =1
(121)
Comparando las ecuaciones obtenidas en estrella y polígono, se encuentra la relación general que representa el teorema de Rosen:
166
ܻ= ݍ
ܻݍܻ σ݊݇=1 ܻ݇
(122)
1 1 1 ܼ ݍܼ ܼ = ݍ൬ܼ + ܼ + ڮ+ ܼ ൰ 1 2 ݊
(123)
Casos particulares como aplicación:
a) Cuando n=2: Admitancias en serie, en este caso el polígono estará formado por: 2 כሺ2 െ 1ሻ = 1 admitancia 2
Figura 156. Caso admitancias en serie
ܻ12 =
ܻ1 ܻ2 ܻ1 + ܻ2
ܼ12 = ܼ1 ܼ2 ൬
ó
1 1 + ൰ ܼ1 ܼ2
b) Cuando n=3 (teorema de Kennelly) Estrella ± Triángulo. En este caso se tiene: 3 כሺ3 െ 1ሻ = 3 admitancias en triángulo 2
167
Figura 157. Transformación Estrella ± Triángulo
ܻ12 = ܻ13 = ܻ23 =
ܻ1 ܻ2 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3
ܻ1 ܻ3 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3
ܻ2 ܻ3 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3
ó
ܼ12 = ܼ1 ܼ2 ൬
ó
ܼ13 = ܼ1 ܼ3 ൬
ó
1 1 1 + + ൰ ܼ1 ܼ2 ܼ3 1 1 1 + + ൰ ܼ1 ܼ2 ܼ3
1 1 1 ܼ23 = ܼ2 ܼ3 ൬ + + ൰ ܼ1 ܼ2 ܼ3
De la misma forma se obtiene la transformación Triángulo ±Estrella:
168
Figura 158. Transformación Triángulo ± Estrella
ܼ1 =
ܼ12
ܼ23 ܼ12 ܼ13 ܼ12 ; ܼ2 = ; ܼ12 + ܼ23 + ܼ13 + ܼ23 + ܼ13
c) Cuando n=4, En este caso se tiene: 4 כሺ4 െ 1ሻ = 6 admitancias en polígono 2
Figura 159. Impedancias en polígono
169
ܼ3 =
ܼ13 ܼ23 ܼ12 + ܼ23 + ܼ13
ܻ12 = ܻ13 = ܻ14 =
ܻ1 ܻ2 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4
ܻ23 =
ܻ1 ܻ4 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4
ܻ34 =
ܻ1 ܻ3 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4
ܻ24 =
ܻ2 ܻ3 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 ܻ2 ܻ4 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 ܻ3 ܻ4 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4
Para n=4 se dispone de seis ecuaciones con cuatro incógnitas, por lo que el sistema no se puede resolver, al menos que se impongan (arbitrariamente) otras condiciones como, por ejemplo, que ܻ12 ܻ34 = ܻ13 ܻ24 = ܻ14 ܻ23 que permitirá calcular
los elementos de la estrella equivalente.
3.3.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN Calcular la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 160.
Figura 160. Ejemplo de aplicación
170
SOLUCIÓN: Aplicando la transformación (Triangulo ± Estrella) al primer triangulo: ܼ1 = ܼ2 = ܼ3 =
ܼ13 ܼ12 18 × 6 = = 3 ܭȳ ܼ12 + ܼ23 + ܼ13 12 + 18 + 6 ܼ12 ܼ12
ܼ23 ܼ12 12 × 6 = = 2 ܭȳ + ܼ23 + ܼ13 12 + 18 + 6
18 × 6 ܼ13 ܼ23 = = 6 ܭȳ + ܼ23 + ܼ13 12 + 18 + 6
Figura 161. Circuito equivalente 1
ܼ1 = ሺ2 + 8ሻ = 10 ܭȳ ܼ12 =
;
ܼ2 = ሺ12 + 6ሻ = 18 ܭȳ
ܼ1 ܼ2 (10 × 18) = = 6,43 ܭȳ ܼ1 + ܼ2 10 + 18 171
Figura 162. Circuito equivalente 2
ܼ݁ = ݍሺ10 + 3 + 6,43 + 4ሻ = 23,43 ܭȳ Figura 163. Circuito equivalente final
3.3.4 EJERCICIOS RESUELTOS 3.3.4.1 Calcular la impedancia equivalente entre los terminales a y b de la figura 164.
172
Figura 164. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Transformando el triangulo d-c-e en una Y equivalente: Ժܿܰ = Ժ݁ܰ = Ժ݀ܰ =
Ժܿ݁ Ժܿ݁ Ժܿ݁
ሺ6 െ ݆6ሻሺ8 + ݆4ሻ Ժܿ݁ Ժܿ݀ = = ሺ3,068 עെ 4,40 ሻȳ + Ժܿ݀ + Ժ݀݁ ሺ6 െ ݆6ሻ + ሺ8 + ݆4ሻ + ሺ10 െ ݆4ሻ
ሺ6 െ ݆6ሻሺ10 െ ݆4ሻ Ժܿ݁ Ժ݀݁ = = ሺ3,69 עെ 52,770 ሻȳ + Ժܿ݀ + Ժ݀݁ ሺ6 െ ݆6ሻ + ሺ8 + ݆4ሻ + ሺ10 െ ݆4ሻ ሺ8 + ݆4ሻሺ10 െ ݆4ሻ Ժܿ݀ Ժ݀݁ = = ሺ3,89 ע18, 80 ሻȳ + Ժܿ݀ + Ժ݀݁ ሺ6 െ ݆6ሻ + ሺ8 + ݆4ሻ + ሺ10 െ ݆4ሻ
173
Figura 165. Circuito equivalente 1
Ժ1 = ሺ3,89 ע18, 80 + 8 ע900 ሻ = ሺ9,95 ע68, 30 ሻȳ
Ժ12
Ժ2 = ሺ3,69 עെ 52,770 + 10,2 עെ78,700 ሻ = ሺ13,61 עെ 71, 900 ሻȳ
ሺ9,95 ע68, 30 ሻሺ13,61 עെ 71, 900 ሻ Ժ1 Ժ2 = = ሺ15,52 ע21, 420 ሻȳ = 0 0 ሻ ሻ ሺ13,61 ሺ9,95 עെ 71, 90 ע68, 3 + Ժ1 + Ժ2
Figura 166. Circuito equivalente 2
174
Ժ݁ = ݍ2 + ݆4 + ሺ3,068 עെ 4,40 ሻ + ሺ15,52 ע21, 420 ሻ = ሺ19,50 + ݆9,43ሻȳ Figura 167. Circuito equivalente final
3.3.4.2 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 168, aplicando el teorema de Rosen.
Figura 168. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Las admitancias del polígono serán: 175
ܻ12 =
൫1ൗ4൯൫1ൗ3൯ ܻ1 ܻ2 1 = = ȳ ; 1ൗ + 1ൗ + 1 + 1ൗ ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 22 4 3 4
൫1ൗ4൯ሺ1ሻ 3 ܻ1 ܻ3 = = ȳ ; ܻ13 = 1ൗ + 1ൗ + 1 + 1ൗ 22 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 4 3 4
ܼ12 = ܼ13 =
1 = 22 ȳ ܻ12
1 22 = ȳ ܻ13 3
൫1ൗ4൯൫1ൗ2൯ ܻ1 ܻ4 3 1 44 ܻ14 = = = ȳ ; ܼ14 = = ȳ 1ൗ + 1ൗ + 1 + 1ൗ ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 44 ܻ14 3 4 3 4
ܻ23 = ܻ24 =
൫1ൗ3൯ሺ1ሻ ܻ2 ܻ3 2 = = ȳ 1ൗ + 1ൗ + 1 + 1ൗ 11 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 4 3 4
;
൫1ൗ3൯൫1ൗ2൯ ܻ2 ܻ4 1 = = ȳ ; 1ൗ + 1ൗ + 1 + 1ൗ ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 11 4 3 4
ሺ1ሻ൫1ൗ2൯ 3 ܻ3 ܻ4 = = ȳ ; ܻ34 = 1 1 1 11 ܻ1 + ܻ2 + ܻ3 + ܻ4 ൗ4 + ൗ3 + 1 + ൗ4 Figura 169. Circuito equivalente
176
ܼ23 = ܼ24 = ܼ34 =
1 11 = ȳ ܻ23 2
1 = 11 ȳ ܻ24
1 11 = ȳ ܻ34 3
3.3.4.3 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 170, aplicando el teorema de Rosen.
Figura 170. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Las admitancias del polígono serán:
ঀ12
1 1 ቀ12ቁ ൬െ݆4൰ ঀ1 ঀ2 = = = (0,0341 + ݆0,0551) ȳ 1 1 1 1 ঀ1 + ঀ2 + ঀ3 + ঀ4 + + + 12 െ݆4 ሺ8 + ݆3ሻ ሺ10 + ݆5ሻ
Ժ12 = ঀ13
1 1 = = (8,10 െ ݆13.10)ȳ ঀ12 (0,0341 + ݆0,0551)
1 1 ቀ12ቁ ൬8 + ݆3൰ ঀ1 ঀ3 = = ሺ0,018 െ ݆0,024ሻ ȳ = 1 1 1 1 ঀ1 + ঀ2 + ঀ3 + ঀ4 + + + 12 െ݆4 ሺ8 + ݆3ሻ ሺ10 + ݆5ሻ
Ժ13 =
1 1 = = (20,12 െ ݆26.04)ȳ ঀ13 ሺ0,018 െ ݆0,024ሻ 177
ঀ14
1 1 ቀ12ቁ ൬ ൰ ঀ1 ঀ4 10 + ݆5 = = = ሺ0,0121 െ ݆0,0197ሻȳ 1 1 1 1 ঀ1 + ঀ2 + ঀ3 + ঀ4 + + + 12 െ݆4 ሺ8 + ݆3ሻ ሺ10 + ݆5ሻ
Ժ14 = ঀ23
1 1 ൬െ݆4൰ ൬ ঀ2 ঀ3 8 + ݆3൰ = = = ሺ0,0721 െ ݆0,0557ሻȳ 1 1 1 1 ঀ1 + ঀ2 + ঀ3 + ঀ4 + + + 12 െ݆4 ሺ8 + ݆3ሻ ሺ10 + ݆5ሻ
Ժ23 = ঀ24
1 1 = = (8,68 െ ݆6.70)ȳ ঀ23 ሺ0,0721 െ ݆0,0557ሻ
1 1 ൬െ݆4൰ ൬ ൰ ঀ2 ঀ4 10 + ݆5 = = (0,0592 + ݆0,036)ȳ = 1 1 1 1 ঀ1 + ঀ2 + ঀ3 + ঀ4 + + + 12 െ݆4 ሺ8 + ݆3ሻ ሺ10 + ݆5ሻ
Ժ24 = ঀ34
1 1 = = (22,61 + ݆36,64)ȳ ঀ14 ሺ0,0121 െ ݆0,0197ሻ
1 1 = = (12,21 െ ݆7,54)ȳ ঀ24 (0,0592 + ݆0,036)
1 1 ൬8 + ݆3൰ ൬ ൰ ঀ3 ঀ4 10 + ݆5 = = = (0,00629 െ ݆0,032)ȳ 1 1 1 1 ঀ1 + ঀ2 + ঀ3 + ঀ4 + + + 12 െ݆4 ሺ8 + ݆3ሻ ሺ10 + ݆5ሻ
Ժ34 =
1 1 = = (5,92 + ݆30)ȳ ঀ34 (0,00629 െ ݆0,032)
178
Figura 171. Circuito equivalente
3.3.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.3.5.1 Encontrar la resistencia equivalente ܴܾܽ ; ܿ = ܴ ݊9ȳ Figura 172. Ejercicio propuesto
3.3.5.2 Hallar la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 173, aplicando el teorema de Rosen.
179
Figura 173. Ejercicio propuesto
3.4 TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA (RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL) El análisis de circuitos es muy importante en el estudio de sistemas diseñados para transferir potencia entre una fuente y una carga, este teorema fue enunciado por Moritz von Jacobi31 \HQHOSULQFLSLRIXHFRQRFLGRFRPROD³OH\GHJacobi´ Los elementos que transmiten información mediante señales eléctricas, necesitan transmitir una máxima cantidad de potencia desde la fuente hasta la carga, hecho por el cual la aplicación de este teorema llega a ser muy útil en el momento indicado para esta tarea.
31
Moritz Hermann (Boris Semyonovich) von Jacobi, nació en Rusia el 21 de septiembre de 1801 y murió el 10 de marzo de 1874, ingeniero y físico. Jacobi trabajo en el desarrollo de motores eléctricos y de cables de comunicación.
180
3.4.1 ENUNCIADO La potencia máxima entregada por una fuente real de voltaje o de corriente de una red, representada dicha red por un circuito equivalente de Thévenin, se alcanza cuando la impedancia de la carga (ܼ) ܮ, es igual a la conjugada de la impedancia
equivalente de Thévenin (ܼ) כ ݄ܼܶ = ܮ 3.4.2 DEMOSTRACIÓN
El concepto de transferencia máxima de potencia en el contexto de una red en régimen permanente sinusoidal, se empieza por ver en la siguiente figura 174.
Figura 174. Circuito para describir la transferencia máxima de potencia
Se debe determinar la impedancia de carga ܼ ܮque permite entregar una potencia
máxima a los terminales a y b, cualquier red lineal puede ser vista desde los
terminales de la carga en términos de un circuito equivalente de Thévenin, hecho por el cual la labor se reduce a encontrar el valor de ܼ ܮque hace que se suministre una potencia media máxima a ܼ ܮen el circuito que se muestra a continuación:
181
Figura 175. El circuito de la figura anterior, sustituyendo la red por su equivalente de Thévenin
Para que la transferencia de potencia sea máxima, ܼ ܮdebe ser igual al conjugado
de la impedancia de Thévenin, es decir:
ܼכ ݄ܼܶ = ܮ
(124)
Para demostrar la ecuación anterior se empieza por expresar ܼ݄ܶ y ܼ ܮen forma
rectangular:
ܼ݄ܶ = ܴ݄ܶ + ݆݄ܺܶ
y
ܼ ܮܴ = ܮ+ ݆ܺܮ
En las dos ecuaciones anteriores, el término de la reactancia lleva su propio signo algebraico, positivo para la inductancia y negativo para la capacitancia. Puesto que se está haciendo un cálculo de potencia media, se supone que la amplitud del voltaje de Thévenin se expresa mediante su valor en rms, también se usa el voltaje de Thévenin como fasor de referencia. En estas condiciones a partir de la figura 175 el valor rms de la corriente de carga ܫserá: =ܫ
ሺܴ݄ܶ
ܸ݄ܶ + ܴ ܮሻ + ݆ሺ݄ܺܶ + ܺ ܮሻ
La potencia media suministrada a la carga es: ܲ = ȁܫȁ2 ܴ= ܮ
ሺܴ݄ܶ
ሺ125ሻ
ȁܸ݄ܶ ȁ2 ܴܮ ; donde ܸ݄ܶ , ܴ݄ܶ ݄ܶܺ ݕson valores fijos + ܴ ܮሻ2 + ሺ݄ܺܶ + ܺ ܮሻ2 182
ܴܮ
y
ܺܮ
son variables independientes. Ahora para maximizar P, se deben
encontrar los valores de ܴ ܮy ܺ ܮpara los que ߲ܲΤ߲ܴ ܮy ߲ܲΤ߲ܺ ܮson ambas cero
߲ܲ െȁܸ݄ܶ ȁ2 2ܴ ܮሺ݄ܺܶ + ܺ ܮሻ = ߲ܺ ܮሾሺܴ݄ܶ + ܴ ܮሻ2 + ሺ݄ܺܶ + ܺ ܮሻ2 ሿ2
ȁܸ݄ܶ ȁ2 ሾሺܴ݄ܶ + ܴ ܮሻ2 + ሺ݄ܺܶ + ܺ ܮሻ2 െ 2ܴ ܮሺܴ݄ܶ + ܴ ܮሻሿ ߲ܲ = ሾሺܴ݄ܶ + ܴ ܮሻ2 + ሺ݄ܺܶ + ܺ ܮሻ2 ሿ2 ߲ܴܮ
߲ܲ =0 ߲ܴܮ
߲ܲ =0 ߲ܺܮ
cuando
ܺ = ܮെ݄ܺܶ
cuando ሺܴ݄ܶ + ܴ ܮሻ2 ȁܸ݄ܶ ȁ2 = 2ܴ ܮȁܸ݄ܶ ȁ2 ሺܴ݄ܶ + ܴ ܮሻ ՜ usando ݄ܺܶ = െܺܮ
ܴ݄ܶ = ܴܮ
Ahora combinando las dos ecuaciones obtenidas: ܼ݄ܶ = ܴ݄ܶ + ݆݄ܺܶ = ܴ ܮെ ݆ܺܮ
;
ܼ ; כ ݄ܼܶ = ܮlo que se quería demostrar
Máxima potencia media absorbida La máxima potencia media que puede suministrarse a ܼ ܮcuando esta es igual al conjugado de ܼ݄ܶ se calcula directamente a partir del circuito de la figura 175. Cuando ܼ כ ݄ܼܶ = ܮ, la corriente rms de carga es ܸ݄ܶ Τ2ܴ ܮy la máxima potencia media suministrada a la carga es:
ܲ݉ܽ= ݔ
ȁܸ݄ܶ ȁ2 ܴܮ 4ܴ ܮ2
=
1 ȁܸ݄ܶ ȁ2 4 ܴܮ
(126)
Si el voltaje de Thévenin está expresado en términos de su amplitud máxima, y no en función de su amplitud rms, la potencia queda como: 183
ܲ݉ܽݔ
1 ܸ݉ 2 = 8 ܴܮ
(127)
Máxima transferencia de potencia cuando Z está restringida Sólo puede suministrarse una potencia media máxima a ܼ ܮsi esta puede hacerse
igual al conjugado de ܼ݄ܶ . Pero hay situaciones donde esto no es posible, en primer lugar
ܴ ܮy ܺ ܮpueden estar restringidas a un rango limitado de valores.
En este caso, la condición óptima para ܴ ܮy ܺ ܮconsiste en ajustar ܺ ܮlo más próxima posible a െ݄ܺܶ y luego ajustar ܴ ܮlo más próxima a ටܴ݄ܶ 2 + ሺ݄ܺܶ + ܺ ܮሻ2
que sea posible.
Un segundo tipo de restricción se produce cuando se puede variar la magnitud de ܼ ܮ, pero no su ángulo de fase. Con esta restricción, se transfiere la mayor cantidad
posible de potencia a la carga cuando la magnitud de ܼ ܮes igual a la magnitud de
ܼ݄ܶ , es decir:
ȁܼ ܮȁ = ȁܼ݄ܶ ȁ
Para redes puramente resistivas, la transferencia máxima de potencia se produce cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin.
3.4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN Determinación de la transferencia máxima de potencia sin restricciones de carga. a) Para el circuito de la figura 176, determinar la impedancia Ժ ܮque permite transferir una potencia media máxima a Ժ ܮ.
b) ¿Cuál es la máxima potencia media transferida a la impedancia de carga determinada en el punto (a)?
184
Figura 176. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: a) Se comienza por hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b del circuito de la figura 176, luego después de dos transformaciones de fuente con la fuente de 20ܸ, la resistencia de 5ȳ y la resistencia de 20ȳ, se simplifica el circuito para obtener el que se muestra a continuación.
Figura 177. Circuito simplificado
185
ॽ݄ܶ =
ሺ16 ע00 ሻ ሺെ݆6ሻ = ሺ19,2 עെ 53,130 ሻ = (11,52 െ ݆15,36)ܸ 4 + ݆3 െ ݆6
Se obtiene la impedancia de Thévenin desactivando la fuente independiente y calculando la impedancia que se ve al mirar hacia los terminales a y b. Ժ݄ܶ =
ሺെ݆6ሻ(4 + ݆3) = (5,76 െ ݆1,68)ȳ 4 + ݆3 െ ݆6
Para obtener una máxima transferencia de potencia media, la impedancia de carga debe ser el conjugado de Ժ݄ܶ , por lo que:
Ժ = ܮԺ݄ܶ ( = כ5,76 + ݆1,68)ȳ
b) Para calcular la máxima potencia media suministrada a Ժ ܮse utiliza la siguiente figura donde se ha sustituido la red original por su equivalente de Thévenin.
Figura 178. Red original sustituida por su equivalente de Thévenin
Analizando la figura 178 se puede ver que la magnitud rms de la corriente de carga ܫes: = ݂݂݁ܫ
19,2Τξ2 = 1,1785 ܣ 2(5,76) 186
La potencia media suministrada a la carga será: ܲ = ݂݂݁ܫ2 ሺ5,76ሻ = 8 ܹ 3.4.4 EJERCICIOS RESUELTOS 3.4.4.1 Determinación de la transferencia máxima de potencia con restricciones de la impedancia de carga. a) Para el circuito de la figura 179, ¿Qué valor de Ժ ܮda como resultado una máxima transferencia de potencia media hacia potencia máxima en miliwatios?
Ժ¿ ? ܮCuál es la
b) Suponer que puede variarse la resistencia de carga entre 0 y 4000 ȳ y que la reactancia capacitiva de la carga puede variarse entre
0 y െ 2000 ȳ. ¿Qué valores de ܴ ܮy ܺ ܮpermiten transferir la mayor
cantidad de potencia media hacia la carga? ¿Cuál es la máxima potencia media que puede transferirse con estas restricciones?
Figura 179. Ejercicio resuelto
187
SOLUCIÓN: a) Si no hay restricciones en lo que se respecta a los valores de ܴ ܮy ܺ ܮ, la impedancia de carga debe ser igual al conjugado de la impedancia de Thévenin. Por lo tanto se hace: ܴ = ܮ3000 ȳ ݕ
ܺ = ܮെ4000 ȳ , lo que es equivalente a, Ժ = ܮሺ3000 െ ݆4000ሻȳ
Ya que el valor de la fuente de tensión está dada en forma de valor rms, la potencia media suministrada a Ժ ܮserá: ܲ=
1 102 25 = ܹ݉ = 8,33 ܹ݉ 4 3000 3
b) Puesto que ܴ ܮy ܺ ܮestán restringidas, primero se hace ܺ ܮlo más próxima a
െ4000ȳ que sea posible; por lo tanto, ܺ = ܮെ2000 ȳ. A continuación, se asigna un
valor a ܴܮ
condiciones:
lo más próximo a ටܴ݄ܶ 2 + (ܺ ܮ+ ݄ܺܶ )2 que sea posible. En estas ܴ = ඥ30002 + ሺെ2000ሻ + 4000)2 = 3605,55 ȳ
Ya que se puede variar ܴ ܮentre 0 ݕ4000 ȳ, se asigna a ܴ ܮel valor de 3605,55 ȳ. Por lo tanto, la impedancia de la carga se debe ajustar con el valor: Ժ = ܮሺ3605,55 െ ݆2000ሻȳ
Si se asigna a ܼ ܮeste valor, el valor de la corriente de carga será: = ݂݂݁ܫ
ሺ10 ע00 ሻ = ሺ1,4489עെ16,850 ሻ ݉ܣ 6605,55 + ݆2000
La potencia media suministrada a la carga es:
ܲ = ൫ ݂݂݁ܫ2 ൯ܴ = ܮሺ1,4489 × 10െ3 ሻ2 ሺ3605,55ሻ = 7,57 ܹ݉ 188
Este valor es la potencia máxima que se puede suministrar a la carga teniendo en cuenta las restricciones relativas a ܴ ܮy ܺ ܮ, se puede ver que esta potencia es inferior a la que podría suministrarse si no hubiera restricciones; en el punto (a) se pudo observar que podían llegar a suministrarse 8,33 ܹ݉. 3.4.4.2 Cálculo de la transferencia máxima de potencia con restricciones relativas al ángulo de impedancia. Se conecta una impedancia de carga con un ángulo de fase constante de െ36,870
a los terminales a y b del circuito de la figura, se varía la magnitud de ܼ ܮhasta que
la potencia media suministrada sea la máxima posible, teniendo presente la restricción mencionada. a) Calcular el valor de ܼ ܮen forma rectangular.
b) Calcular la potencia media suministrada a ܼ ܮ. Figura 180. Ejercicio resuelto
189
SOLUCIÓN: a) Se sabe que la magnitud de ܼ ܮes igual a la magnitud de ܼ݄ܶ .Por lo tanto: ȁܼ ܮȁ = ȁܼ݄ܶ ȁ = ȁሺ3000 + ݆4000ሻȁ = 5000ȳ
Ahora, como el ángulo de fase de ܼ ܮes െ36,870 , se tiene:
ܼ = ܮሺ5000עെ36,870 ሻ = ሺ4000 െ ݆3000ሻȳ
b) Siendo ܼ ܮigual a ሺ4000 െ ݆3000ሻȳ , la corriente de carga tendrá el valor: = ݂݂݁ܫ
10 = ሺ1,4142 עെ8,130 ሻ݉ܣ 7000 + ݆1000
La potencia media suministrada a la carga tendrá el valor:
ܲ = ൫ ݂݂݁ܫ2 ൯ܴ = ܮሺ1,4142 × 10െ3 ሻ2 ሺ4000ሻ = 8 ܹ݉
Este valor es la máxima potencia que puede suministrarse mediante este circuito a una impedancia de carga cuyo ángulo tenga un valor constante de െ36,870 . De nuevo se puede ver que este valor es inferior a la máxima potencia que podría suministrarse a ܼ ܮsi no hubiera ningún tipo de restricción. 3.4.4.3 Calcular la impedancia de carga Ժ ܮque absorbería la potencia máxima y cuanto es esta ܲ݉ܽ ݔ.
190
Figura 181. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Cálculo del equivalente de Thévenin െॴ1 + ॴ2 = ሺ2 ע150 ሻ
(128)
Malla 1 y 2: Desconectando la carga
ሺ݆4ሻॴ1 + ሺ݆4 െ ݆2ሻॴ2 = 0
ሺ݆4ሻॴ1 + ሺ݆2ሻॴ2 = 0
Despejando las corrientes de las ecs.(128) y (129) se obtiene:
Calculo de ॽ݄ܶ :
ॴ1 = ሺ0,67 עെ1650 ሻܣ
;
ॴ2 = ሺ1,33 ע150 ሻ ܣ
ॽ݄ܶ = ሺെ15 עെ100 ሻ െ ሺ݆2ሻॴ2 = ሺ14,08 ע179,860 ሻ ܸ
191
(129)
Figura 182. Cálculo de Ժ݄ܶ
Ժ݄ܶ = 3 + ሺെ݆2 ݆ צ8ሻ = ሺ4,01 עെ41,630 ሻ = (3 െ ݆3)ȳ Ժ݄ܶ = (3 െ ݆3)ȳ
Por lo tanto la potencia máxima será: ܲ݉ܽ= ݔ
ȁܸ݄ܶ ȁ2 ȁ14,08ȁ2 = = 16,52 ܹ 4ܴ݄ܶ 4(3)
3.4.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.4.5.1 Calcular la potencia media suministrada a la resistencia de 100ȳ en el circuito mostrado si ܸ݃ = 660ሺܿݏ5000ݐሻ ܸ Figura 183. Ejercicio propuesto
192
3.4.5.2 ¿Cuál es el valor de la resistencia ܴ en la figura 184 que maximiza la potencia promedio entregada a la carga?
Figura 184. Ejercicio propuesto
3.4.5.3 Determinar los valores ܴ y ܮpara el circuito de la figura 185 que produzcan la transferencia máxima de potencia a la carga.
Figura 185. Ejercicio propuesto
193
3.5 TEOREMA DE MILLER El teorema de Miller32, es un teorema muy utilizado en electrónica y en circuitos eléctricos para determinar y facilitar los cálculos en un circuito, al momento de dividir una impedancia que cumpla con las condiciones para hacerlo. 3.5.1 ENUNCIADO En un circuito lineal donde exista una impedancia ܼ conectada entre dos nodos,
cada uno con voltajes ܸ1 y ܸ2 como se muestra en la figura 186 , se puede
reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectadas entre sus correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas impedancias: ܼ Τ(1 െ )ܭy ܼܭΤ( ܭെ 1) donde ܸ = ܭ2 Τܸ1 . Figura 186. Teorema de Miller
32
John Milton Miller fué un notable Ingeniero Electricista Estadounidense, ampliamente conocido por descubrir el Efecto Miller e inventar los circuitos oscilatorios con cuarzos de cristal (Oscilaciones de Miller). Miller nació en Hanover, Pennsylvania, y en 1915 recibió su Ph.D. en física de la Universidad de Yale.
194
3.5.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 187. Teorema de Miller
ܸ1 = ܼܫ1 + ܸ2
;
ܸ2 = ܼܫ2 + ܸ1
;
=ܭ
ܸ2 ܸ1
Figura 188. Circuito equivalente
Convirtiendo a cada lado las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y usando el valor de ܭ:
195
Figura 189. Conversión de las fuentes
Aplicando el Teorema de sustitución para cada lado:
Figura 190. Aplicación del teorema de sustitución
Se obtiene el siguiente circuito:
Figura 191. Circuito equivalente
196
Hallando la ܼ݁ ݍen ambos lados, se obtiene la expresión que se quería demostrar: െ
ܼ ܼ ቀ ܭቁ
ܼ ܼെܭ
=
ܼΤܭ ܼ = 1 െ1 1െܭ ܭ
;
െ
ܼ ()ܼܭ ܼܭ = ܼ െ ܭ ܼܭെ 1
Figura 192. Demostración del teorema de Miller
3.5.2.1 Teorema dual de Miller En un circuito lineal donde exista una impedancia ܼ conectada entre un nodo y tierra, donde dos corrientes I1 e I2 convergen en el mismo nodo, como se ve en la
figura 193, se puede reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectados entre sus correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas impedancias: ሺ1 + ߙሻܼ
y ሺ1 + ߙሻܼΤߙ donde Ƚ = I2 ΤI1 .
Figura 193. Teorema dual de Miller
197
Figura 194. Circuito equivalente
Convirtiendo a cada lado las fuentes de corriente en fuentes de voltaje:
Figura 195. Conversión de las fuentes
Siguiendo un procedimiento similar al que se utilizó en el teorema general de Miller se llega a obtener el mismo circuito previamente mostrado:
Figura 196. Demostración del teorema dual de Miller
198
3.5.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN Determinar la relación de voltaje ܸ0 Τܸ݅ en el circuito de la figura 197, aplicando el
teorema de Miller.
Figura 197. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Del circuito se puede deducir directamente el valor de la relación ܭ: =ܭ
ܸ2 െ4ܸ1 = = െ4 ܸ1 ܸ1
Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de 20ȳ, tal como se muestra en la figura 198.
Figura 198. Aplicación del teorema de Miller
199
El valor de la resistencia ܴ1 se calcula de la siguiente forma: ܴ1 =
20 = 4ȳ ሺ1 െ (െ4)ሻ
Y el valor de la resistencia ܴ2 se calcula con la siguiente ecuación: ܴ2 =
20(െ4) = 16ȳ െ4 െ 1
El circuito equivalente se muestra a continuación:
Figura 199. Circuito equivalente
De este circuito se puede deducir que la relación entre el voltaje ܸ0 y el voltaje ܸ1
se puede determinar aplicando un divisor de voltaje a la red que se encuentra a la derecha (la resistencia de 16ȳ en paralelo con la fuente de voltaje redunda). 2 ܸ0 = െ ൬ ൰ 4ܸ1 = െ1,6ܸ1 3+2
A partir de la red que se encuentra a la izquierda se puede deducir la relación entre el voltaje ܸ1 y el voltaje ܸ݅ de la siguiente forma: ܸ1 = ൬
4צ4 ൰ ܸ = 0,5ܸ݅݊ 2 + ሺ4 צ4ሻ ݅݊ 200
Por lo tanto la relación entre el voltaje ܸ0 y el voltaje ܸ݅݊ es la siguiente: ܸ0 = െሺ1,6ሻሺ0,5ሻ = െ0,8 ܸ݅݊
3.5.4 EJERCICIOS RESUELTOS 3.5.4.1 Determinar la relación de voltaje ܸ0 Τܸ݅݊ y la relación de corriente ݅0 Τ݅݅݊ en el circuito de la figura 200, aplicando el teorema de Miller.
Figura 200. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: En este circuito se quiere aplicar el teorema de Miller a la resistencia de 200ܭȳ, pero no es posible determinar directamente el valor del parámetro ܭ, tal como se
hizo en el ejercicio anterior. Cuando se presenta este tipo de circuitos, el procedimiento a usar es el siguiente:
Si se considera que el parámetro ܭtiene un valor lo suficientemente elevado como para suponer que el denominador de la relación que tiene que aplicarse para 201
calcular la resistencia ܴ2 es aproximadamente igual a 1, y por lo tanto se cumple lo
siguiente:
ܴ2 ൎ ܴ = 200 ܭȳ
Con esta aproximación se puede obtener el circuito equivalente mostrado a continuación:
Figura 201. Circuito equivalente
A partir de este circuito se pueden realizar los siguientes cálculos: ܸ2 = െ50 ܾܫሺ200ܭȳ צ40ܭȳ צ10ܭȳሻ = ሺെ384,62ܭȳሻܾܫ =ܭ
ܸ1 = ሺ1,1ܭȳሻܾܫ
ܸ2 ሺെ384,62ܭȳሻܾܫ = = െ349,65 ሺ1,1ܭȳሻܾܫ ܸ1
Este resultado confirma que la aproximación realizada para determinar el valor de la resistencia ܴ2 es válida. Una vez conocido valor de ܭse puede determinar el
valor de la resistencia equivalente ܴ1 utilizando la ecuación correspondiente: 202
ܴ1 =
200ܭȳ = 0,57ܭȳ 1 + 349,65
Para determinar la relación entre el voltaje ܸ1 y el voltaje ܸ݅ se aplica un divisor de voltaje:
ܸ1 =
ሺ0,57ܭȳ צ1,1ܭȳሻ ܸ = 0,036 ܸ݅ ሺ0,57ܭȳ צ1,1ܭȳሻ + 10ܭȳ ݅݊
Finalmente, de la parte derecha del circuito se puede deducir que: ܸ0 = ܸ2 = ሺെ384,62 ܭȳሻܾܫ
Pero: = ܾܫ
ሺെ384,62 ܭȳሻሺ0,036ሻ ܸ0 ܸ1 ; por lo tanto = = െ12,6 ܸ݅݊ 1,1 ܭȳ 1,1ܭȳ
Para calcular la relación entre la corriente de salida y la de entrada se deben realizar los siguientes cálculos: A partir de la red que se encuentra a la derecha del circuito mostrado en la figura se puede calcular la relación entre la corriente ܫ0 y la corriente ܾܫaplicando un divisor de corriente:
ܫ0 =
ሺ40ܭȳ צ200ܭȳሻ ሺെ50 ܾܫሻ = െ38,46ܾܫ ሺ40ܭȳ צ200ܭȳሻ + 10ܭȳ
De la misma forma, la relación entre la corriente ܾܫy la corriente ݅ܫse puede calcular aplicando un divisor de corriente a la red que se encuentra a la izquierda del circuito equivalente:
Por lo tanto:
= ܾܫ
0,57ܭȳ = ܫ0,34 ݊݅ܫ 0,57ܭȳ + 1,1ܭȳ ݅݊
203
ܫ0 = ሺെ38,46ሻሺ0,34ሻ = െ13,13 ݊݅ܫ
De esta forma quedan determinadas las dos relaciones pedidas en el enunciado del problema.
3.5.4.2 Determinar la relación de voltaje ॽ0 Τॽ݅݊ en el circuito de la figura 202, aplicando el teorema de Miller.
Figura 202. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Del circuito anterior se puede deducir directamente el valor de la relación ܭ: =ܭ
ॽ2 െ2ॽ1 = = െ2 ॽ1 ॽ1
Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de 10ȳ, tal como se muestra en la figura 203.
204
Figura 203. Aplicación del teorema de Miller
El valor de la resistencia ܴ1 se calcula de la siguiente forma: ܴ1 =
10 10 = ȳ ሺ1 െ (െ2)ሻ 3
El valor de la resistencia ܴ2 se calcula con la siguiente ecuación: ܴ2 =
10(െ2) 20 = ȳ 3 െ2 െ 1
El circuito equivalente se muestra a continuación:
Figura 204. Circuito equivalente
205
De este circuito se puede sacar la relación entre el voltaje ॽ0 y el voltaje ॽ1 se puede determinar aplicando un divisor de voltaje a la red que se encuentra a la derecha del circuito: െ݆8 ॽ0 = ൬ ൰ 2ॽ1 = 8ॽ1 െ݆8 + ݆6
En la red que se encuentra a la izquierda se puede deducir la relación entre el voltaje ॽ1 y el voltaje ॽ݅݊ de la siguiente forma:
൫10ൗ3 ݆ צ4൯ ॽ1 = ൭ ൱ ॽ݅݊ = 0,36ॽ݅݊ 5 + ൫10ൗ3 ݆ צ4൯
Por lo tanto la relación entre el voltaje ॽ0 y el voltaje ॽ݅݊ es la siguiente: ॽ0 = ሺ8ሻ(0,36) = 2,86 ॽ݅݊
3.5.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.5.5.1 En el circuito de la figura 205, hallar la impedancia equivalente respecto de la fuente ideal de voltaje, aplicando el teorema de Miller.
Figura 205. Ejercicio propuesto
206
3.6 TEOREMA DE COMPENSACIÓN Este teorema resulta de aplicar el teorema de sustitución al problema de determinar la alteración que se produce en las corrientes de un circuito lineal cuando se da un incremento al parámetro que define uno de sus elementos pasivos. Se aplica ampliamente para estudiar y comparar los errores posibles de los diferentes dispositivos de medida y para determinar las tolerancias de los parámetros que constituyen un circuito y en los problemas de sensitividad (análisis de sistemas de potencia). El circuito debe ser lineal, variante o invariante con el tiempo y su estado energético inicial puede ser cero o no.
3.6.1 ENUNCIADO 1aParte: Si la corriente en una rama de una red lineal y activa es ܫy la impedancia ܼ de esta rama se incrementa una cantidad οܼ, el incremento de corriente
y voltaje en
cada rama de la red es el que produciría una fuente de
voltaje de valor ܫοܼ que posea la misma polaridad de la caída de voltaje
sobre οܼ producida por la corriente ܫ, actuando sobre la red ya afectada
por el cambio οܼ y con todas las demás fuentes independientes nulas. Figura 206. Teorema de compensación 1ª parte
207
2aParte: Si el voltaje en una rama de una red lineal y activa es ܸ y la
conductancia ܩde esta rama se incrementa una cantidad οܩ, el incremento de corriente y voltaje en cada rama de la red es el que
produciría una fuente de corriente de valor ܸο ܩque posea la misma
dirección de la corriente por ο ܩdebida al voltaje ܸ, actuando sobre la
red ya afectada por el cambio ο ܩy con todas la demás fuentes independientes nulas.
Figura 207. Teorema de compensación 2ª parte
3.6.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 208. Demostración del teorema de compensación
208
Considerando el voltaje que pasa a través de la rama del circuito que fue modificada, se tiene: ܸ + οܸ = ሺܼ + οܼሻሺ ܫ+ οܫሻ = ܼ ܫ+ οܼ ܫ+ ሺܼ + οܼሻοܫ
De la red original se puede ver que: ܸ = ܼܫ Por lo tanto:
οܸ = ሺοܼሻ ܫ+ ሺܼ + οܼሻοܫ
Con base en esta ecuación se construye la red lineal pasiva:
Figura 209. Red lineal bilateral pasiva
209
(130)
ο = ܫെ
ܮܫ = ܯܫ+ ο; ܫ
ܼ݄ܶ
ܮܫοܼ ; ܼ ݄ܼܶ = ܯ+ ܼ ܮ+ οܼ + ܼ ܮ+ οܼ ο = ܫെ
ܮܫ = ܯܫെ = ܮܫ
ܮܫοܼ ܼܯ
ܮܫοܼ ܼܯ
ܼܯܫ ܯ ܼ ܯെ οܼ
(131)
despejando ܮܫse obtiene: (132)
3.6.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN En el circuito de la figura 210, hallar la corriente de carga ॴ ܮcuando se pone un
DPSHUtPHWUR FRQ XQD UHVLVWHQFLD LQWHUQD GH HQ VHULH FRQ OD LPSHGDQFLD GH carga.
Figura 210. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN: Se empieza por hallar el equivalente de Thévenin del circuito:
210
Ժ݄ܶ =
ሺ3 + ݆4ሻ(െ݆5) + 2 = (9,5 െ ݆2,5)ȳ 3 + ݆4 െ ݆5
ॽ݄ܶ = 10 ×
െ݆5 ݆50 =െ = ሺ5 െ ݆15ሻ ܸ 3 + ݆4 െ ݆5 3െ݆
Figura 211. Equivalente de Thévenin del circuito
Ժ = ܯԺ݄ܶ + Ժ ܮ+ οԺ = ሺ9,5 െ ݆2,5ሻ + ሺ9,5 + ݆2,5ሻ + 1 = 20ȳ ॴ= ܯ
ॴ= ܮ
(5 െ ݆15) (5 െ ݆15) = = (0,25 െ ݆0,75)ȳ Ժܯ 20
ሺ20ሻ(0,25 െ ݆0,75) Ժܯॴ ܯ = = (0,263 െ ݆0,789)ȳ 20 െ 1 Ժ ܯെ οԺ
3.6.4 EJERCICIOS RESUELTOS
3.6.4.1 Aplicar el teorema de compensación para determinar el οܴ que se debe
introducir para que la corriente que pasa por la resistencia de 160 ȳ sea
de 0,6 ܣ, en lugar de 0,5 ܣ, en el circuito de la figura 212.
211
Figura 212. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Se quiere encontrar el οܴ que se introduce cuando la corriente que pasa por la resistencia de 160 ȳ pasa a valer 0,6 ܣ, para lo que se eliminan las fuentes de
voltaje y se redibuja el circuito:
Figura 213. Aplicación del teorema de compensación
ܫ+ ο = ܫ0,6
= ܫ0,5 ܣ ;
ο = ܫ0,6 െ 0,5 = 0,1 ܣ
െܫοܴ = ሺ160 + οܴሻο ܫ+ ሺ20 צ20ሻοܫ
212
;
0,1 =
െ0,5οܴ ሺ160 + οܴሻ + ሺ20 צ20ሻ
Despejando οܴ:
17 + 0,1οܴ = െ0,5οܴ
;
οܴ = െ
17 = െ28,333 ȳ 0,6
Por lo tanto el valor requerido de la resistencia, al haber un incremento οܴ será: ܴ = ሺ160 + οܴሻ = 160 െ 28,333 = 131,67 ȳ
3.6.4.2 Aplicar el teorema de compensación para obtener las corrientes que se obtienen al insertar una impedancia de 10ȳ en serie con la capacitancia en el circuito de la figura 214.
Figura 214. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN: Se quieren encontrar las corrientes que se obtienen al insertar una impedancia de 10ȳ en serie con la capacitancia, para lo que se eliminan las fuentes de voltaje y se redibuja el circuito:
213
Figura 215. Aplicación del teorema de compensación
οॴ2 =
ሺ20 ݆ צ10ሻ = ሺ4 + ݆8ሻ
ሺ10 + ݆20ሻ ሺ10 + ݆20ሻ = = ሺെ0,41 + ݆0,492ሻ ܣ ሺ10 െ ݆40ሻ + ሺ20 ݆ צ10ሻ ሺ14 െ ݆32ሻ
El voltaje en ሺ20 ݆ צ10ሻ será:
ሺ4 + ݆8ሻοॴ2 = ሺ4 + ݆8ሻሺെ0,41 + ݆0,492ሻ = (െ5,58 െ ݆1,312)
Por lo tanto con este valor se pueden obtener οॴ1 y οॴ3 : οॴ1 =
οॴ3 =
(െ5,58 െ ݆1,312) = ሺെ0,279 െ ݆0,0656ሻ ܣ 20
(െ5,58 െ ݆1,312) = ሺെ0,1312 + ݆0,558ሻ ܣ ݆10
Con estos valores se pueden hallar las nuevas corrientes que se generan cuando se conecta la impedancia de 10ȳ en serie con la capacitancia, en el circuito original:
214
Figura 216. Impedancia en serie con la capacitancia en el circuito original
ॴ1ܰ = ॴ1 െ οॴ1 = 1 െ ሺെ0,279 െ ݆0,0656ሻ = ሺ1,279 + ݆0,0656ሻܣ
ॴ2ܰ = ॴ2 െ οॴ2 = ሺ1 + ݆2ሻ െ ሺെ0,41 + ݆0,492ሻ = ሺ1,41 + ݆1,508ሻܣ ॴ3ܰ = ॴ3 െ οॴ3 = ݆2 െ ሺെ0,1312 + ݆0,558ሻ = ሺ0,1312 + ݆1,442ሻܣ
3.6.4.3 Calcular la corriente que se obtiene cuando se inserta un amperímetro entre las terminales c y d de la figura 217, con una resistencia interna de 100ȳ.
Figura 217. Ejercicio resuelto
215
SOLUCIÓN: Hallando el equivalente de Thévenin entre los terminales c y d se tiene: ܴ݄ܶ = 300 +
ሺ250ሻ(500) 1400 = ȳ 250 + 500 3
2 500 ൰= ܸ ܸ݄ܶ = 10 ൬ 3 500 + 250
Figura 218. Equivalente de Thévenin del circuito
Aplicando el teorema de compensación se obtiene el siguiente circuito:
Figura 219. Aplicación del teorema de compensación
216
La resistencia total del circuito será: ܴ ݄ܴܶ = ܯ+ ܴ ܮ+ οܴ =
1400 2300 + 200 + 100 = 3 3
Para hallar la corriente ܫen el circuito original: =ܫ
10 = 1,91 × 10െ2 ܣ ሺ500ሻ(600) 250 + 500 + 600
Aplicando un divisor de corriente: × ܫ = ܯܫ
500 500 = 1,91 × 10െ2 ൬ ൰ = 0,00869 ܣ 500 + 600 500 + 600
Para hallar la corriente que se obtiene cuando se ingresa la impedancia del amperímetro, se utiliza la siguiente ecuación:
= ܮܫ ܴܯܫ ܯ = = ܮܫ ܴ ܯെ οܴ
ܴܯܫ ܯ ܴ ܯെ οܴ
(133)
2300 × 0,00869 3 = 0,01 ܣ 2300 െ 100 3
3.6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.6.5.1 En el circuito de la figura 220, determinar la variación de voltaje a circuito abierto ܸܾܽ en función de la variación experimentada por la resistencia ܴ,
cuyo valor nominal es 1ȳ. ¿Cuánto valdrá esta variación si ܴ se
cortocircuita?
217
Figura 220. Ejercicio propuesto
3.6.5.2 Cuando se cambia la resistencia de carga en el circuito 1 y pasa a valer 8ȳ en el circuito 2, las corrientes también cambian de 4 ܣa 3ܣ. Calcular el valor de la resistencia ܴ, aplicando el teorema de compensación. Figura 221. Ejercicio propuesto
3.6.5.3 Calcular la corriente que circula por la resistencia de 5ȳ del circuito mostrado en la figura 222, si la lectura de un amperímetro con una resistencia interna de 0,5ȳ conectado en serie con dicha resistencia es 7,37 ܣ. 218
Figura 222. Ejercicio propuesto
3.6.5.4 Demostrar que el puente de Wheatstone de la figura 223, está en equilibrio (el galvanómetro G mide 0 )ܣ, cuando la resistencia ܴ = 800ȳ. Si la
resistencia ܴ pasa a valer 801ȳ, calcular la lectura del galvanómetro si este presenta una resistencia interna de 50ȳ.
Figura 223. Ejercicio propuesto
3.6.5.5 Un generador trifásico a 400ܿ. . ݏopera a un voltaje entre líneas de 205 ܸ, cada fase de una carga conectada en Y tiene una impedancia equivalente 219
de Ժܻ = (1,5 + ݆0,5)ȳ
a 400c.p.s, cada una de las tres líneas que
conectan a la carga con el generador tiene una impedancia Ժ( = ܮ0,070 +
݆0,0526)ȳ a 400ܿ. . ݏ. Si se llama N el punto neutro del equivalente en Y
del generador, determinar ॽܰܰ Ԣ .
Repetir el mismo procedimiento si la impedancia de la línea pasa a valer
(0,1 + ݆0,0526)ȳ Figura 224. Ejercicio propuesto
220
3.7 TEOREMA DE BISECCIÓN DE BARTLETT El teorema de Bartlett 33 es de gran utilidad cuando se tienen circuitos que pueden dividirse en dos partes simétricas mediante una línea denominada eje de simetría, tal como se muestra en la figura 225. Cada una de las partes debe ser la imagen especular de la otra con respecto al eje de simetría. Además de proporcionar un método para el análisis de las redes que presentan estas características, el teorema de Bartlett ofrece una nueva forma de estudiar y utilizar las propiedades de las redes simétricas.
Figura 225. Definición de la simetría de la red para el teorema de bisección de Bartlett
Como se indica en la figura anterior, las dos redes simétricas deben ser lineales y no deben contener fuentes independientes. Estas son externas a las redes, y se identifican como ܸ1 y ܸ1 Ԣ . Entre las dos redes simétricas puede haber cualquier número de conexiones.
El teorema de la bisección de Bartlett trata sobre el comportamiento de las redes simétricas cuando s eles aplica lo que se conoce como excitaciones simétricas o de modo común ሺܸ1 = ܸ1 Ԣ = ܸܿ ሻ y antisimétricas o de modo diferencial ሺܸ1 = െܸ1 Ԣ =
ܸ݀ ሻ. 33
A.C. Bartlett fue un ingeniero ingles que hizo innumerables contribuciones en el campo de la teoría de líneas y filtros.
221
3.7.1 ENUNCIADO 1aParte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado en la figura 225 utilizando el modo común, tal como se observa en la figura 226a, las corrientes y voltajes de toda la red no se modifican si las conexiones entre las dos partes de la red se cortan y se dejan en circuito abierto, como se indica en la figura 226b. 2aParte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado en la figura 225 utilizando el modo diferencial, tal como se observa en la figura 226c, las corrientes y voltajes de toda la red no se modifican si las conexiones entre las dos partes de la red se cortan y se unen entre sí con un cortocircuito, como se indica en la figura 226d.
Figura 226. Planteamiento del teorema de la bisección de Bartlett
222
3.7.2 DEMOSTRACIÓN Dado que este teorema es válido para redes lineales, para comprobar su enunciado puede aplicarse un razonamiento basado en el teorema de superposición, analizando primero el efecto producido por la fuente ܸ1 cuando la fuente ܸ1 Ԣ es nula, y luego el caso contrario.
Para la excitación en modo común, cuando se aplica ܸ1 = ܸܿ con la otra fuente en
cero, por el enlace ݇ entre las dos redes va a circular la corriente ݇ܫ, y el voltaje
entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ . Si se aplica ܸ1 Ԣ = ܸܿ con la otra fuente
en cero, dada la simetría de la red, por el enlace ݇ entre las dos redes va a circular
la corriente െ ݇ܫ, y el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ . Al aplicar simultáneamente las dos excitaciones, esto es ܸ1 = ܸ1 Ԣ = ܸܿ , la corriente por el enlace ݇ va a ser ݇ܫെ = ݇ܫ0 y el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser
ܸ݆݇ + ܸ݆݇ = 2ܸ݆݇ . Por lo tanto, como las corrientes por cada uno de los enlaces son
nulas, pueden cortarse las conexiones y dejarlas en circuito abierto sin modificar las corrientes y voltajes restantes. De la misma forma, para la excitación en modo diferencial, cuando se aplica es ܸ1 = ܸ݀ con la otra fuente en cero, por el enlace k entre las dos redes va a circular
la corriente ݇ܫ, y el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ , mientras que
cuando se aplica െܸ1 Ԣ = ܸ݀ con la otra fuente en cero, dad la simetría de la red,
por el enlace ݇ entre las dos redes va a circular la corriente ݇ܫ, y el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser െܸ݆݇ . Al aplicar simultáneamente las dos
excitaciones, esto es, ܸ1 = െܸ1 Ԣ = ܸ݀ , la corriente por el enlace ݇ va a ser ݇ܫ+ = ݇ܫ
2 ݇ܫy el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ െ ܸ݆݇ = 0. Por lo tanto, como los voltajes entre los enlaces son nulos, pueden cortarse las conexiones y unir los extremos en un punto común sin modificar las corrientes y voltajes restantes.
223
Si se tiene una red que cumple con la condición de simetría exigida por el teorema pero cuyas excitaciones son arbitrarias, es posible descomponer las fuentes arbitrarias en sus componentes de modo común y modo diferencial, al aplicar el teorema para cada uno de los casos y luego determinar la respuesta total aplicando el teorema de superposición. Cualquier par arbitrario de fuentes puede expresarse de la siguiente forma:
ܸ1 = ܸܿ + ܸ݀
(134)
Ԣ
Donde ܸܿ
y
ܸ1 = ܸܿ െ ܸ݀
ܸ݀ son las componentes de modo común y modo diferencial
respectivamente. A partir de este sistema de ecuaciones se puede determinar el valor para cada uno de estos componentes. ܸܿ =
ܸ1 + ܸ1 Ԣ 2
(135)
ܸ1 െ ܸ1 Ԣ ܸ݀ = 2 Una vez conocidas las excitaciones de modo común y modo diferencial respectivamente se aplica el teorema de bisección de Bartlett para cada caso y finalmente se calcula la respuesta total realizando la suma algebraica de las respuestas obtenidas previamente, de acuerdo con el teorema de superposición.
224
Figura 227. Aplicación del teorema de Bartlett para cuatro diferentes redes
225
3.7.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN Aplicar el teorema de Bartlett para determinar la corriente que circula por la resistencia ܴ݉ en función de las entradas ܸ1 y ܸ1 ´. Figura 228. Ejemplo de aplicación del teorema de Bartlett
SOLUCIÓN: Para poder aplicar el teorema de Bartlett es necesario que el circuito sea simétrico con respecto al eje vertical que puede dibujarse en su parte central, para lo cual es necesario dividir la resistencia ܴ݉ en dos resistencias conectadas en serie, cada
una de las cuales tiene un valor de ܴ݉ Τ2, y separar la resistencia ܴ3 en dos resistencias conectadas en paralelo, cada una de las cuales vale 2ܴ3 . El circuito de la figura 229 muestra el circuito equivalente:
226
Figura 229. Circuito equivalente con la simetría adecuada para aplicar el teorema de Bartlett al circuito de la figura 228
Dado que las fuentes ܸ1 y ܸ1 ´ pueden tomar cualquier valor, es necesario calcular
las fuentes de modo común y modo diferencial, aplicar el teorema de Bartlett para
cada paso y hallar la respuesta total aplicando el teorema de superposición. Las fuentes correspondientes a cada uno de los modos están dadas por la ecuación: ܸܿ = ܸ݀ =
ܸ1 + ܸ1 ´ 2 ܸ1 െ ܸ1 ´ 2
La figura 230 muestra los circuitos resultantes para cada uno de los modos:
227
(136)
Figura 230. Circuitos correspondientes al modo común y al modo diferencial para la red de la figura 228
Del análisis correspondiente al modo común, presentado en la figura 230a se puede deducir que: = ܿܫ0
(137)
Por otra parte, al analizar el circuito correspondiente al modo diferencial, presentado en la figura 230b, se puede observar que ambos extremos de la resistencia 2ܴ3 están conectados al punto común o tierra del circuito, por lo tanto se tiene que el voltaje ܸ݃݀ 1 es igual a ܸ݀ . De acuerdo con esto, la corriente ܶܫque circula por la resistencia ܴ se puede expresar de la siguiente forma: = ܶܫ
െµܸ݀
ܴ ܴ + ቀܴ2 צ2݉ ቁ
(138)
Para determinar la relación entre la corriente ݀ܫy la corriente ܶܫse puede aplicar el
principio del divisor de corriente:
228
= ݀ܫ
ܴ2 ܶܫ ܴ ቀܴ2 + 2݉ ቁ
(139)
Sustituyendo es esta ecuación la expresión de ܶܫy el valor de ܸ݀ en función de
ܸ1 y ܸ1 ´ se obtiene finalmente:
= ݀ܫ
െµܴ2 ൫ܸ1 െ ܸ1 ´ ൯ ܴ ሺ2ܴ2 + ܴ݉ ሻ + ܴ2 ܴ݉
(140)
Por lo tanto la corriente que circula por la resistencia ܴ݉ en el circuito de la figura
228 estará dada por la expresión:
ܿܫ = ܫ+ = ݀ܫ
െµܴ2 (ܸ1 െ ܸ1 ´ ) ܴ ሺ2ܴ2 + ܴ݉ ሻ + ܴ2 ܴ݉
(141)
3.7.4 EJERCICIO RESUELTO En el circuito de la figura 231 aplicar el teorema de Bartlett reemplazando la impedancia terminal por una de 1000ȳ.
Figura 231. Ejercicio resuelto
229
SOLUCIÓN: Para poder dividir el circuito, los valores de los componentes deben ser simétricos cuando se hace la partición correspondiente:
Figura 232. Circuito cuando se aplica la bisección por medio del teorema de Bartlett
El teorema de Bartlett permite encontrar la red equivalente del circuito original, combinando los condensadores y las inductancias en la red dividida:
230
Figura 233. Circuito final después de la modificación de la impedancia de 100ȳ por la impedancia de carga de 1000ȳ
3.7.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.7.5.1 Demuestre que la red de la figura 234 satisface los requisitos para aplicar el teorema de Bartlett
Figura 234. Ejercicio propuesto
231
3.7.5.2 En la red de la figura 235 aplicar el teorema de Bartlett para dividir el circuito simétricamente
Figura 235. Ejercicio propuesto
3.7.5.3 En el circuito de la figura 236 aplicar el teorema de Bartlett
232
Figura 236. Ejercicio propuesto
233
4. CONCLUSIONES
x Se pudo precisar cada uno de los teoremas planteados inicialmente y facilitar un documento de fácil consulta y entendimiento en el campo de la teoría de circuitos eléctricos que se enseña en la universidad. x En cada uno de los teoremas se resolvieron ejercicios de una forma clara y detallada para comprenderlos fácilmente. x La documentación y posterior realización del trabajo se realizó de una manera tal que se asimilara cada uno de los teoremas y se pudiera identificar en cuales casos estos se podían aplicar. x Las figuras utilizadas en este documento se trataron de realizar de una forma explícita y de fácil comprensión. x Dentro de las posibilidades que otorga un documento en su formato de monografía, se recopiló información de muchas fuentes optimizando el contenido de cada una de ellas.
235
BIBLIOGRAFÍA
[1] $&267$$&$//(-\*,5$/'2'³,QWURGXFFLyQDO análisis de circuitos HOpFWULFRV´ [2] 5$6(³7HRUtDGH&LUFXLWRVIXQGDPHQWRV´(G0DUFRPER. [3] WILLIAM H., KEMMERLY J. ³Análisis de circuitos en ingeniería´(G0FGraw Hill. [4] CONEJO NAVARRO, A.J. ³Circuitos Eléctricos para la Ingeniería´ Ed. Mc Graw Hill. [5] GOMEZ, A., OLIVERA, J.A. ³Problemas resueltos de teoría de circuitos´ Ed. Paraninfo. >@3$55$90\RWURV³7HRUtDGHFLUFXLWRV´UNED. 2 tomos. [7] GARRIDO, C., CIDRÁS, J³3UREOHPDVGHFLUFXLWRVHOpFWULFRV´ Ed. Reverté. [8] BELENGUER, E.F., ESPINOZA J.M. ³7HRUtD GH FLrcuitos. Cuestiones UHVXHOWDV´ Publicacions UJI. > @1,/6621-:³&LUFXLWRVHOpFWULFRV´Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. [10] JOHNSON, D. E³$QiOLVLVEiVLFRGHFLUFXLWRVHOpFWULFRV´(G3UHQWLFH-Hall. [11] DORF, R. C ³&LUFXLWRV HOpFWULFRV ,QWURGXFFLyQ DO DQiOLVLV \ GLVHxR´ Ed.Alfaomega. 237
[12] SCOTT, D. E ³,QWURGXFFLyQ DO DQiOLVLV GH Fircuitos: Un enfRTXH VLVWpPLFR´ Ed. McGraw ±Hill. [13] DESOER, C. A³%DVLFFLUFXLWWKHRU\´ Ed. McGraw-Hill. [14] CHUA, L. O., DESOER C. A., KUH (6³/LQHDUDQGQRQOLQHDUFLUFXLWV´ Ed. McGraw-Hill. [15] +8(/60$1/:³%DVLFFLUFXLWWKHRU\´ Ed. Prentice-Hall. [16] ,5:,1-'³%DVLFFLUFXLWVDQDO\VLV´ Macmillan Publishing Company. [17] SANDER, K. F ³(OHFWULF FLUFXLW DQDO\VLV SULQFLSOHV DQG DSSOLFDWLRQV´ Ed. Addison-Wesley. [18] CHOMA, J ´(OHFWULFDO QHWZRUNV 7KHRU\ DQG DQDO\VLV´, Ed. John Wiley and Sons. [19] .$51,6³$SSOLHGFLUFXLWDQDO\VLV´ John Wiley. [20] +$<7 : ³$QiOLVLV GH FLUFXLWRV GH ,QJHQLHUtD´, Ed. Mc Graw-Hill, México, 1993. [21] EDMINISTER, -$³&LUFXLWRV(OpFWULFRV´(GMc Graw Hill. [22] CHAN-Shu, CHAN-Yun, CHAN-*DU ³$QDO\VLV RI OLQHDU 1HWZRUNV DQG 6\VWHPV´,Ed. Addison Wesley. 1972. >@9$19$/.(1%85*0(³$QiOLVLVGH5HGHV´(GLimusa, México, 1979.
238
>@ 9$1 9$/.(1%85* 0( ³,QWURGXFWLRQ WR 0RGHUQ 1HWZRUN 6\QWKHVLV´ (G Jhon Wiley & Sons, Inc, 1960. [25] PASTOR, A. \ RWURV ³&LUFXLWRV (OpFWULFRV 9RO ´,
Ed. UNED (Madrid
2.003). [26] LING-Ming Jin, SHIN Park Chan ³$ Unified and Efficient Approach for determining Thévenin (Norton) Equivalent CLUFXLWV´ IEEE Transactions on Education, vol.32, no.3, pag. 408, Agosto 1989. [27] .$=,0,(5&=8. 0. ³$ QHWZRUN WKHRUHP GXDO WR PLOOHU¶V WKHRUHP´ IEEE transactions on education, vol.31, no.4, pag. 265, Noviembre 1988. [28] :(,66*³1HWZRUN7KHRUHPVIRU7UDQVLVWRU&LUFXLWV´IEEE transactions on education, vol.37, no.1, pag. 36, Febrero 1994. [29@ 6.$$5 '/ %52:1 :/ ³(PSODVL]LQJ 6RPH /LWWOH-Used Theorems in ,QWURGXFWRU\1HWZRUN$QDO\VLV´IEEE transactions on education, vol.39, no.4, pag. 532, Noviembre 1996. [30] DAVIDOVI&0'³$6LPSOH3URRIRI0LOOHUV7KHRUHP´IEEE transactions on education, vol.42, no.2, pag. 154, Mayo 1999.
239
ANEXO Biografías
A.1 Arthur Edwin Kennelly (Colaba, 17 de diciembre de 1861 - Boston, 18 de junio de 1939) fué un ingeniero eléctrico americano. Kennelly nació en Colaba, cerca de Bombay en la India y fue educado en la University College School de Londres. Era hijo de David Joseph Kennelly (18311907), un oficial irlandés capitán de barco y de Catherine Gibson (1839-1863). Su madre murió cuando él tan sólo contaba con tres años de edad. Tras jubilarse su padre en 1863, la familia regresó a Inglaterra. En 1878, su padre volvió a casarse con Ellen L. Vivian, mudándose a vivir a Sydney, en la isla Cape Breton de Nueva Escocia, cuando asumió el control la ciudad y de la Louisbourg Coal and Railway Company Limited. A raíz de este segundo matrimonio de su padre, Arthur tuvo cuatro hermanastros: Ziadia Kennelly (1881), Davides Jr. Kennelly (1882), Nell K. Kennelly (1883) y Spencer M. Kennelly (1885). Estuvo en el laboratorio West Orange de Thomas Edison desde diciembre de 1877 hasta marzo de 1894. En 1893, durante su investigación en ingeniería eléctrica, presentó un documento sobre la "impedancia" al Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos (AIEE). Investigó el uso de los números complejos en relación a la ley de Ohm en corriente alterna dentro de la teoría de circuitos. En 1902 investigó las propiedades eléctricas en la propagación de ondas de radio por la ionosfera. Sus conclusiones, en cuanto a la existencia de una zona atmosférica ionizada favorable a la propagación de estas ondas, fueron semejantes a las del físico británico Oliver Heaviside. Esta zona se encuentra entre los 90 y los 300 km de altura y recibe el nombre de capa de KennellyHeaviside en honor a ambos investigadores. 241
Desde 1902 hasta 1930 trabajó como profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad de Harvard y como adjunto en el Instituto de Tecnología de Massachusetts desde 1913 hasta 1924. Uno de los estudiantes de este instituto fue Vannevar Bush. Kennelly recibió reconocimientos de su trabajo desde distintas instituciones de muchos países, entre los que cabe destacar: x
"Premio de la Institución IEE" (1887)
x
"Medalla de Oro de Howard Potts del Instituto Franklin" (1917)
x
"Cruz Chevalier de la legión de Honor de Francia"
x
"Medalla Edison" del AIEE, ahora Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (1933)
La Medalla de Edison se la dieron "por los meritorios logros en la ciencia eléctrica, la ingeniería eléctrica y las técnicas eléctricas, como ejemplo a sus contribuciones a la teoría de la transmisión eléctrica y al desarrollo de estándares eléctricos internacionales". El mismo intituto ya le había concedido el año anterior la "Medalla de Honor" "por sus estudios de los fenómenos de la propagación de ondas radio de y sus contribuciones a los métodos de análisis en la teoría y en la medida de la corriente alterna que son ampliamente utilizados en la actualidad". A él se debe la aplicación de la teoría de los números complejos al análisis de circuitos en alterna, así como las ecuaciones de transformación de cargas en estrella y en triángulo (teorema que lleva su nombre). Kennelly fue un participante activo en organizaciones profesionales tales como la "Sociedad para la Promoción del Sistema Métrico de Pesos y Medidas", de la "Sociedad de la Ingeniería del Alumbrado" y del "Comité Nacional de ESTADOS UNIDOS de la Comisión Electrotécnica Internacional". También fue presidente del
242
AIEE y del "Instituto de Ingenieros de la Radio", durante el período de 1898 a 1900 y en 1916, respectivamente.
A.2 León-Charles Thévenin (Meaux, 1857- Paris 1927) Aunque participó en el estudio y el diseño de los sistemas telegráficos (incluyendo la transmisión subterránea), los condensadores cilíndricos (capacitores) y el electromagnetismo, es mejor conocido por un teorema que presentó, primero en el French Journal of Physics-Theory and Applications, en 1883. Apareció con el encabezado de "Sur un nouveau théoreme d'electricitè dynamique (Acerca de un nuevo teorema de la electricidad dinámica)'' y originalmente se le conocía como el teorema generador equivalente. Existe cierta evidencia de que Hermann von Helmholtz presentó un teorema similar en 1853. Sin embargo, el profesor Helmholtz aplicó el teorema a la fisiología animal y no a los sistemas de comunicación o generadores y, por tanto, no recibió el crédito que merecía en este campo. A principios de la década de los veinte, AT&T efectuó ciertos trabajos pioneros usando el circuito equivalente y tal vez haya empezado a referirse al teorema como sencillamente el Teorema de Thèvenin. De hecho, Edward L. Norton, en esa época ingeniero en AT&T presentó un equivalente de la fuente de corriente del equivalente de Thèvenin que en la actualidad se conoce como el circuito equivalente de Norton. Como dato curioso, el comandante Thévenin fue un ávido esquiador y de hecho fue comisionado en una competencia internacional de ski en Charrionix, Francia, en 1912.
243
A.3 Edward Lawry Norton (Rockland, Maine, 28 de julio de 1898[1] - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de 1983) fué un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido principalmente por enunciar el teorema que lleva su nombre. Él sirvió como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919. Asistió a la Universidad de Maine durante un año antes y un año después de su servicio durante la guerra, luego fue trasladado a M.I.T. En 1920, recibiendo su S.B.Grado (ingeniería eléctrica), en 1922. Empezó a trabajar en 1922 en la Western Electric Corporation en la ciudad de Nueva York, que más tarde se convirtieron en los laboratorios Bell en 1925. Mientras trabajaba para la Western Electric, M.A. obtuvo un grado en ingeniería eléctrica de la Universidad de Columbia en 1925. Se retiró en 1961 y falleció el 28 de enero de 1983 en la King James Nursing Home en Chatham, Nueva Jersey.
Patentes de Norton Norton se convirtió en un miembro de la Acoustical Society de América y del IRE (estos últimos en 1961). En su biografía de 1954, que se reproduce por cortesía de los Archivos de AT & T, dice que él tenía 19 patentes; De los cuales sólo 18 han sido encontrados en el registro U. S. PTO: Fecha
de Fecha
de Número de Título
presentación aprobación
patente
24/11/1924
21/08/1928
1,681,554
Filtro de onda
25/11/1924
07/04/1931
1,799,634
Transmisión onda
244
Comentario
en -
12/05/1925
16/04/1929
1,708,950
Filtro
de
ondas -
eléctricas 18/05/1925
02/07/1929
1,719,484
Sistema
de -
transmisión Carrier[2] 31/03/1926
03/04/1928
1,664,755
Red eléctrica
-
23/09/1926
13/09/1927
1,642,506
Sistema
de -
transmisión
de
onda 30/10/1926
29/10/1929
1,733,554
Dispositivo
-
magnético 14/05/1927
17/02/1931
1,792,497
Dispositivo vibrador
Conjunta de A. C. Keller
[3]
sujección 16/04/1929
13/01/1931
1,788,538
Filtrado
de -
circuitos 31/05/1929
17/02/1931
1,792,655
Reproductor
de -
sonido 29/07/1932
17/04/1934
1,954,943
Red
de -
transmisión
de
onda 19/05/1934
05/11/1935
2,019,624
Atenuación ecualizador
245
-
con
16/08/1934
06/04/1937
2,076,248
Filtro de onda
-
30/09/1936
03/05/1938
2,115,826
Impedancia
-
transformador 12/05/1937
16/08/1938
2,126,915
Red
de -
transmisión
de
onda 18/10/1938
21/05/1940
2,201,296
Sistema telefónico Conjunta
con
A.A. Lundstrom 17/09/1941
20/07/1943
2,324,797
Amplificador
de -
[4]
diferencial 07/07/1947
15/02/1955
2,702,186
Acelerómetro
Conjunta
con
G.A. Head
Documentos publicados por Norton Ha publicado tres documentos durante su vida, ninguno de los cuales menciona el teorema enunciado por él:
246
Fecha Título
Diario
Abril,
Redes de resistencia Bell
1937
constante
Tomo Páginas Comentarios System 16
con Technical
178-
Biografía
de
193
la página 250
245-
Biografía
247
la página 263
151-
-
aplicaciones a grupos Journal de filtro Junio,
Contador de fluidos Bell
1942
magnéticos[5]
20
Laboratories
de
Record Abril,
Mediciones
1945
dinámicas
Transacciones de AIEE
64
156
dispositivos electromagnéticos
Otros trabajos Norton escribió 92 memorandos técnicos (TMs en Bell Laboratories). Norton debido a la falta de publicaciones, prefirió trabajar y dejar de darse notoriedad. Aplicó sus conocimientos profundos de análisis de circuitos a muchos campos, y después de la Segunda Guerra Mundial trabajó en los sistemas de guía de misiles Nike. El 11 de noviembre de 1926, él escribió la nota técnica Diseño de Redes para frecuencia uniforme finita característica, que se reproduce por cortesía de los Archivos de AT & T, que contiene el siguiente párrafo en la página 9. Dicho párrafo define claramente lo que hoy es conocido como el circuito Norton equivalente. Norton nunca publicó este resultado o mencionado en ninguna de sus 18 patentes y 3 publicaciones. En Europa, es conocida como el circuito Mayer Norton equivalente. El ingeniero de telecomunicaciones alemán Hans Ferdinand 247
Mayer publicó el mismo resultado en el mismo mes que Norton su memoria técnica.
A.4 Bernard Tellegen (Winschoten, 24 June 1900 - Eindhoven, 30 August 1990) era un ingeniero eléctrico holandés e inventor del pentodo y el girador. Es también conocido para un teorema en teoría de circuito, el teorema de Tellegen. Obtuvo un título en ingeniería eléctrica de la universidad de Delft en 1923, y unió los laboratorios de investigación de Philips en Eindhoven. En 1926 inventó el pentodo. (Nota: esta invención es un fenomenal progreso en la edad de tubos de vacío. Es una mejora grande sobre triodes y tetrodes.) Los giradores los inventó alrededor de 1948. (Nota: el girador es útil para simular el efecto de un inductor sin usar un rollo. Por ejemplo, es usado en los igualadores de ilustración gráfica de equipo de alta fidelidad.) Sujetó 41 patentes de los EE.UU.. En el 1946-1966 de período Tellegen era un catedrático de adjunto de teoría de circuito en la universidad de Delft. De 1942 a 1952 era presidente y miembro honorífico de el equipo electrónico de Países Bajos y la sociedad de radio. El instituto australiano de ingenieros de radio nombró a Tellegen un miembro vitalicio honorífico en 1953. Era Fellow del IEEE, y ganó la medalla de Edison de IEEE en 1973 "Para una carrera creativa del logro importante en teoría de circuito eléctrica, incluyendo el girador". Tellegen fue votado un miembro del Academia de Ciencias de Países Bajos real en 1960. En 1970 la universidad de Delft conferenció sobre un doctor título de causa de honoris.
A.5 Harold Rosen (1926 nacido en Nueva Orleans, Luisiana) es un ingeniero eléctrico, conocido por diseñar y dirigir la construcción del primer satélite de comunicaciones 248
geosincrónico, Syncom, para compañía de Hughes Aircraft. Rosen se tituló de Tulane University en 1947 en ingeniería eléctrica. Recibió su M.S.. Y Ph.D.. En ingeniería eléctrica del California Institute of Technology en 1948 y 1951, respectivamente. Rosen recibió el medalla de Alexander Graham Bell de IEEE en 1982, y el premio de Charles Stark Draper en 1995.
A.6 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (31 de Agosto, 1821 - 8 de septiembre de 1894) era un médico alemán y físico que muchas contribuciones importantes a algunas áreas extensamente variadas de la ciencia moderna. En fisiología y psicología fisiológica, es conocido para su matemática del ojo, teorías de la visión, las ideas sobre la percepción visual del espacio, investigación de visión en color, y sobre la sensación del tono, la percepción del sonido, y el empirismo. En física, es conocido por sus teorías en el ahorro de la energía, el trabajo en electrodinámica termodinámica química, y sobre unos cimientos mecánicos de termodinámica. Como un filósofo, es conocido para su filosofía de ciencia, las ideas sobre la relación entre las leyes de la percepción y las leyes de la naturaleza, la ciencia de estética, y las ideas sobre el poder civilizando de ciencia. Una asociación alemana grande de instituciones de investigación, la Asociación de Helmholtz, fue creada en su honor.
A.7 Jacob Millman (1911, Rusia- Florida,1991) era un catedrático de ingeniería eléctrica en Columbia University. Millman recibió un Ph.D. del MIT en 1935. Se hizo socio de Columbia University en 1951, y se jubiló en 1975. De 1941 a 1987, Millman escribió ocho
249
libros de texto sobre equipo electrónico. Su obituario fue imprimido en el periódico de New York Times en 24 mayo 1991. El teorema de Millman (por lo demás conocido como el teorema del generador paralelo) es su más grande invención en el mundo de los circuitos eléctricos.
A.8 John Milton Miller Fué un ingeniero eléctrico estadounidense famoso, conocido por descubrir el efecto que lleva su nombre e inventar circuitos fundamentales para osciladores de cristal de cuarzo (molinero osciladores). Miller nació en Hanover, Pensilvania, y en 1915 recibió su Ph.D. En física de Yale University. De 1907-1919 trabajó con la agencia nacional de aviación, después trabajo como ingeniero de radio en el laboratorio de radio (1919-1923) de la marina de los Estados Unidos y posteriormente en el laboratorio de investigación naval (NRL). De 1925-1936 llevó una investigación del auricular de radio en la Atwater KentManufacturing compañía, la Filadelfia, y de 1936-1940 fue ayudante de la laboratorio de la compañía Radiotron de RCA. En 1940 regresó a NRL donde se hizo encargado de división de radio (1945), director adjunto de investigación (1951), y administrador de investigación científico (1952). Miller fue premiado en 1945 por sus grandes contribuciones en el desarrollo de la radio en el campo de la frecuencia flexible y el desarrollo de equipo de radar que solucionó una escasez de material muy grave en los Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial, además se le otorgó la medalla de IRE de Honorin 1953 por sus contribuciones innovadoras para nuestros conocimientos básicos en la teoría de tubo de electrón, de instrumentos de radio y mediciones, y especialmente de los osciladores de cristal.
250
A.9 Moritz Hermann (Boris Semyonovich) von Jacobi (21 de septiembre de 1801 - 10 de marzo de 1874) fue un ingeniero y físico ruso, nacido en Potsdam. Jacobi trabajó en Rusia principalmente. Promovió el progreso en motores eléctricos galvanoplasticos, yen el desarrollo de la telegrafía. Incursiono en el campo de los motores magnéticos. En 1835 se trasladó a Dorpat (ahora Tartu, Estonia) para dictar una conferencia en la universidad de Dorpat. Se trasladó a C/. Petersburg en 1837 para investigar el uso de maquinas móviles electromagnéticas para el ejercito ruso. Investigó el poder de un electroimán en motores y generadores. Mientras investigaba la transferencia de poder de una batería a un motor eléctrico, dedujo el teorema de la máxima transferencia de potencia34.
34
Todas las biografías fueron tomadas de Internet.
251
