´cnica Nacional Escuela Politecnica e ´lisis Matem atico ´ tico II Analisis a a
Formas geom´ etricas etricas del Teorema de Hahn-Banach
Milton Torres Espa˜ na na 26 de noviembre de 2014
En el presente trabajo se abordar´a la interpretaci´on on geom´ g eom´etrica etrica del Teorema de Hahn-Ban H ahn-Banach, ach, que qu e consiste en encontrar las condiciones suficientes para separar dos separar dos conjuntos de un espacio vectorial. Espec´ Espec´ıficamente se presentaran dos versiones geom´etricas. etricas. En primer lugar, se mostrar´an an ciertas definiciones y lemas previos que permitir´an an una demostraci´ demostracion o´n m´as as corta de los teoremas. En lo que sigue, representar´ a un espacio vectorial normado. Adem´as, as, E representar´ Br (x0 ) = { x ∈ E : x − x0 < r }.
1.
Defin Definic icio ione ness Prev Previa iass
→ Definition 1.1 (Funcional sublineal) . Se dice que p : E →
R es
un funcional un funcional sublineal si si satisface las
siguientes condiciones:
∀x ∈ E y ∀λ > 0 ,
p(λx) = λp (x)
p(x + y) ≤ p (x) + p(y)
(1)
∀x, y ∈ E. E .
(2)
es convexo si si Definition 1.2 (Subconjunto convexo). Un subconjunto A ⊂ E es convexo tx + (1 − t)y ∈ A
∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0 , 1].
(Hi perpl rplano ano af´ın) ın). Un hipe Un hiperp rpla lano no af´ın es ın es un subconjunto H de E de de la forma Definition 1.3 (Hipe H = { x ∈ E : f (x) = α },
donde f es un funcional lineal no nulo y α ∈ diremos diremos que f = α es la ecuaci´on on de H .
R es
una constante. Lo notaremos como H = [f = α ] y
Definition 1.4. Sean A y B subconjuntos de E .
1. Un hiperplan hiperplanoo H = [f = α ] separa a separa a A y B si f (x) ≤ α
∀x ∈ A
y
f (x) ≥ α
∀x ∈ B. B .
2. Decimos Decimos que H separa estrictamente a a A y B si existe ε > 0 tal que f (x) ≤ α − ε
∀x ∈ A
y
1
f (x) ≥ α + ε
∀x ∈ B. B .
2.
Teoremas, lemas y proposiciones previas
Teorema 2.1 (Hahn-Banach). Sean E un espacio vectorial real, F ⊆ E un subespacio vectorial,
p : E → R un funcional sublineal, y f : F → R un funcional lineal, tal que f (x) ≤ p (x),
Existe entonces un funcional lineal f ˜ : E →
∀x ∈ F.
R que
extiende a f y que verifica
f ˜(x) ≤ p (x),
∀x ∈ E.
Demostraci´ on. La demostraci´on detallada de este teorema cl´asico se encuentra en [2].
Proposici´ on 2.2. El hiperplano H = [f = α ] es cerrado si y solo si f es continuo.
Demostraci´ on. Supongamos que f es continua. Sea (xn )n∈N ⊂ H tal que xn → x . Por la continuidad de f , f (xn ) → f (x). Adem´as, f (xn ) = α para cada n ∈ N. Entonces f (x) = α , se sigue que x ∈ H . Luego, H es cerrado. Rec´ıprocamente, supongamos que H es cerrado. Sea x0 ∈ H c , sin p´erdida de generalidad, suponemos que f (x0 ) < α. Es claro que H c es abierto y no vac´ıo, entonces existe r > 0 tal que Br (x0 ) ⊆ H c . Adem´as,
∀x ∈ B r (x0 ).
f (x) < α
(3)
Caso contrario, existe x1 ∈ Br (x0 ) tal que f (x1 ) > α. Por la convexidad de Br (x0 ), el conjunto de segmentos {xt = (1 − t)x0 + tx1 : t ∈ [0 , 1]} est´ a contenido en Br (x0 ), entonces f (x0 ) = α, ∀t ∈ [0, 1]. Sin embargo, tomando t = obtiene que f (xt ) = α . Por tanto se verifica (3).
f (x1 )−α f (x1 )−f (x0 )
se
Se sigue de (3),
∀z ∈ B 1 (0).
f (x0 + rz ) < α
Por la linealidad de f ,
α − f (x0 ) r α − f (x0 ) |f (z )| < r Sea ε > 1, si x ∈ E entonces εxx ∈ B 1 (0). Adem´as, f (z ) <
f
cuando ε → 1
x εx
|f ( x)| ≤
<
α − f (x0 ) r
α − f (x0 ) x r
∀z ∈ B 1 (0), ∀z ∈ B 1 (0).
∀x ∈ E,
∀x ∈ E.
Entonces f ≤ 1r (α − f (x0 )). Luego, f es continuo.
Lema 2.3. Sea C ⊂ E un conjunto abierto y convexo tal que 0 ∈ C . Para todo x ∈ E se define:
p(x) = ´ınf {α > 0 : α−1 x ∈ C }.
Entonces p satisface (1), (2) y las siguientes propiedades: Existe una constante M tal que 0 ≤ p(x) ≤ M x C = { x ∈ E : p(x) < 1 }.
2
∀x ∈ E ,
(4) (5)
Nota. Al funcional p definido en el lema anterior se lo conoce como el funcional de Minkowski de C o como el gauge de C . Demostraci´ on. La condici´on (1) se obtiene directamente de p(βx ) = ´ınf {α > 0 : α−1 βx ∈ C } = β ´ınf {α > 0 : α−1 x ∈ C } = β p(x),
con β > 0. Para probar la condici´ on (4), como C es abierto y 0 ∈ C entonces existe r > 0 tal que B r (0) ⊂ C . Es claro, por la definici´on de ´ınfimo, que 1 p(x) ≤ x. r Ahora, supongamos que u ∈ C . Como C es abierto, (1 + ε)u ∈ C para ε suficientemente peque˜no. Por 1 lo tanto p (u) ≤ 1+ ıprocamente, si p (x) < 1, existe 0 < α < 1 tal que α −1 u ∈ C y por tanto, ε < 1. Rec´ como C es convexo, u = α (α−1 u) + (1 − α)0 ∈ C . Esto prueba la condici´on (5). Probemos la condici´on (2), sean u, v ∈ C y ε > 0. Entonces (1 − t)v tu ∈ C + p(u) + ε p(v ) + ε
u p(u)+ε
∈ C y
v tal p(v)+ε
que
∀t ∈ [0 , 1].
p(u)+ε Particularmente para t = p(u)+ , obtenemos entonces que p(u)+u p+(vv)+2ε ∈ C . Esto nos lleva a p(v)+2ε p(u + v ) < p(u) + p(v ) + 2 ε, para todo ε > 0. Cuando ε → 0 se tiene que p(u + v ) ≤ p (u) + p(v ).
Lema 2.4. Sean C ⊂ E un conjunto abierto convexo y u0 ∈ E con u0 ∈ C . Entonces existe f ∈ E ∗
tal que f (x) < f (u0 ), ∀u ∈ C . En particular, el hiperplano H = [f = f (u0 )] separa a {u0 } y C . Demostraci´ on. Realizando una traslaci´on, podemos asumir que 0 ∈ C . Consideremos el funcional p como en el Lema 2.4. Definimos V = { αu0 : α ∈ R}. Tambi´en definimos g sobre V por g(tu0 ) = t, t ∈
R.
Tenemos que g (u) ≤ p (u), ∀ u ∈ V . Por el Teorema de Hahn-Banach, existe un funcional lineal f sobre E que extiende g tal que f (u) ≤ p (u) ≤ M uE . Esto nos dice que f es continua. Aplicamos el Lema 2.3. En particular, tomemos f (u0 ) = 1 y f (u) < 1, para todo u ∈ C , por el mismo lema. En resumen, tenemos que f (u0 ) ≤ f (u0 )
y f (u) ≤ f (u0 )
∀u ∈ C.
Es decir, H separa a { u0 } y C .
3.
Formas geom´ etricas del Teorema de Hahn-Banach
etrica del Teorema de Hahn-Banach). Sean A ⊂ E y B ⊂ E Teorema 3.1 (Primera forma geom´ subconjuntos convexos no vac´ıos tal que A ∩ B = ∅ . Supongamos que uno de ellos es abierto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B .
3
Demostraci´ on. Sea C = A − B , definido como A − B = { a − b : a ∈ A, b ∈ B } =
(A − b).
(6)
b∈B
C es convexo, pues dados x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1] tenemos que si x = a − b, y = c − d con a, c ∈ A y b, d ∈ B entonces λx + (1 − λ)y = λ (a − b) + (1 − λ)(c − d)
= λa − λb + (1 − λ)c − (1 − λ)d = λa + (1 − λ)c − [λb + (1 − λ)d] ∈ C.
∈A
∈B
Esto se da por la convexidad de A y B . Tambi´en, C es abierto y no vac´ıo, ya que es la uni´o n de ∈ C ya que A y B son disjuntos. abiertos no vac´ıos (observar su definici´on). Adem´as, 0 Aplicando el Lema 2.4, existe f ∈ E ∗ tal que
∀z ∈ C.
f (z ) < 0
Como z = x − y , con x ∈ A y y ∈ B . Por la linealidad de f y como z es arbitrario tenemos que
∀x ∈ A,
f (x) < f (y )
∀y ∈ B.
Si fijamos una constante α tal que sup f (x) ≤ α ≤ ´ınf f (y). x∈B
x∈A
Definimos el hiperplano H = [f = α ], entonces f (x) ≤ α
∀x ∈ A
f (y ) ≥ α
∀y ∈ B.
y Por tanto, H separa A y B . Adem´as, H es cerrado por la Proposici´on 2.2.
etrica del Teorema de Hahn-Banach). Sean A ⊂ E y B ⊂ E Teorema 3.2 (Segunda forma geom´ subconjuntos convexos no vac´ıos tal que A ∩ B = ∅. Supongamos que A es cerrado y B compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa estrictamente A y B . Demostraci´ on. Sea C definido como en (6). Por la demostraci´on anterior, 0 ∈ C y C es convexo. Ahora probemos que C es cerrado, sea ( un )n∈N ⊂ C tal que u n → u . Entonces para cada n ∈ N, u n = v n − wn tal que v n ∈ A y w n ∈ B . Como B es compacto entonces existen ϕ : N → N creciente estrictamente y w ∈ B tales que wϕ(n) → w . Observemos que vn = u n + wn , de esto vϕ(n) → v = u + w . Como A es cerrado, v ∈ A . Luego, u = v − w y u ∈ C . Por tanto C es cerrado. Vemos que 0 ∈ C c . Como C es cerrado, entonces C c es abierto. Existe r > 0 tal que Br (0) ⊂ C c . Por tanto, Br (0) y C son disjuntos. Aplicando el Teorema 3.1, existe un hiperplano cerrado H = [f = α ] ≡ 0 tal que que separa a Br (0) y C . De esto, f ∈ E ∗ y f f (x − y) ≤ f (rz ),
∀x ∈ A, ∀y ∈ B , ∀z ∈ B 1 (0).
Eligiendo −z (pues −z ∈ B 1 (0)), obtenemos por la linealidad de f que f (x − y ) ≤ −rf (z ). Adem´as, porque f es acotada tenemos que f (x − y ) ≤ −rf ,
∀x ∈ A,
∀y ∈ B .
Tomemos ε = 21 rf , se logra por la linealidad de f f (x) + ε ≤ f (y) − ε,
∀x ∈ A, 4
∀y ∈ B.
Escogemos una constante α ∗ tal que sup f (x) + ε ≤ α ∗ ≤ ´ınf f (y ) − ε. y ∈B
x∈A
Por definici´on, el hiperplano H ∗ = [f = α ∗ ] separa estrictamente A y B . Tambi´en, H ∗ es cerrado por la Proposici´ on 2.2.
Referencias [1] Brezis, H., Functional Anlaysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations , Universitex, Springer,(2010). [2] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications , Wiley. [3] Bothelo, F., Functional Anlaysis and Applied Optimization in Banach Spaces , Springer Internacional,(2014), Suiza. [4] Gallier, J., Geometric Methods and Applications , Segunda Edici´on, Springer,(2010).
5
