T.D. Cinématique I - Mouvements.
..
Exercice n°1 : Loi de mouvement
θ (t)
Le mouvement en rotation d’un bras de rob ot est effectué
..
..
θ0
selon la loi d’accélération θ représentée ci-contre. Elle correspond à une limitation par le couple moteur,
0
T0
2T0
3T0
4T0
5T0
donc d’après le principe fondamental de la dynamique, à une
..
t
..
limitation de l’accélération angulaire θ (t).
- θ0
Cette accélération est donc toujours égale à sa valeur
..
extrémale ± θ 0 ou alors elle est nulle.
.
A l’instant t = 0 s, la vitesse angulaire angulaire θ(t) est nulle et la position angulaire θ(t) est considérée nulle également. Chaque phase de l’accélération a une durée T 0 .
.
1 - Déterminer, pour chaque phase, l’expression de la vitesse angulaire θ(t) et représenter l’ensemble sur un graphe. 2 - Quelles sont les positions atteintes θ(t) aux instants T 0 , 2T0 , 3T0 , 4 T0 et 5T0 ? 3 - Déterminer pour chaque phase l’expression de la position angulaire θ(t) et représenter l’ensemble sur un graphe. 4 - A quel mouvement concret du bras de robot, la loi obtenue correspond-elle ?
Exercice n°2 : (d’après concours Centrale - Supelec 2002) Un appareil d’imagerie médicale doit exécuter un mouvement de rotation θ(t) autour du patient. La plage de mouvement total possible par la cinématique de l’appareil est limitée à ∆θtotal = 225°
..
2
..
2
La motorisation permet une accélération angulaire comprise entre θ min = -13°/s et θ Max = 13°/s
.
L’examen proprement dit a une une durée T = 3 s et se fait à vitesse constante θMax la plus grande possible pour couvrir la plus grande plage angulaire possible, appelée ∆θexamen . 1 - Représenter graphiquement l’allure de la loi de vitesse.
.
2 - Déterminer la durée de la phase d’accélération T 0 , la plage ∆θexamen et la vitesse θMax du mouvement pendant l’examen. Faire les applications numériques.
Exercice n°3 : (d’après concours Mines - Ponts 1999) Un robot est constitué schématiquement d’un bâti de référence 0, d’une barre 1 de longueur OA = L et d’une barre 2 de longueur AB = L.
→
La barre 1 peut avoir un un mouvement mouvement de rotation d’axe (O, z ) par rapport au bâti 0, paramétré par l’angle θ10 .
y0
→
La barre 2 peut avoir un mouvement mouvement de rotation d’axe (A, z ) par rapport à la
→→→
barre 1, paramétré par l’angle θ21. A chaque pièce i est attachée attachée une base ( x i , yi , z )
B 2
1
θ21 y2
A l’instant t = 0, on a θ10 = 90° et θ21 = -180°. La mouvement du robot est assurée par :
. . relation θ21 = - 2 θ10 à tout instant .
1 - Quelle est la trajectoire du point B, symbolisant symbolisant la pince du robot ? 2 - Calculer la vitesse du point B, par rapport au bâti 0, par 2 méthodes différentes.
x1
→ y1
A
θ10
- un moteur qui pilote la valeur de l’angle θ10 - un mécanisme à poulies et courroie, non représenté, qui assure la
→ x2
O
z
x0
Exercice n°4 : (d’après concours Mines - Ponts 1999) y0
Un mécanisme plan est constitué schématiquement d’un bâti de référence 0,
d’une
barre 1
de
longueur
OA = L1
,
d’une
barre 2
3
→ y3
de
→ x3
B
longueur AB = L 2 , d’une barre 3 de longueur BC = L1 .
θ30
→
La barre 1 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (O, z ) par rapport
C
2
au bâti 0, paramétré par l’angle θ10 .
→
La barre 2 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (A, z ) par rapport
0
à la barre 1, paramétré par l’angle θ21 .
θ21 →
x1
La barre 3 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (B, z ) par rapport
→
à la barre 2, mais aussi un mouvement de rotation d’axe (C, z ) par rapport au
A
y1
θ10
bâti 0, paramétré par l’angle θ30 . O
La distance entre les points O et C du bâti est OC = L2 .
x0
z
1
A l’instant t = 0, les angles θ10 et θ30 sont nuls. 1 - Quelle est la figure géométrique formée par les points O, A, B et C à l’instant t = 0. ? 2 - Quelle est la figure géométrique formée par les points O, A, B et C lorsque l’angle θ10 devient non nul ? 3 - Quelle relation existe à tout instant entre θ10 et θ30 ? 4 - Quelle relation existe à tout instant entre θ10 et θ21 ? 5 - En déduire la nature du mouvement de la barre 2 par r apport au bâti 0.
y0
Exercice n°5 : (d’après concours Mines - Ponts 1999) Un mécanisme plan, représenté ci-contre, est constitué schématiquement d’un bâti de référence 0 et de six
5 A
D
barres numérotées de 1 à 6.
E
1
Les barres 1, 2, 4 et 6 ont une longueur L1
2
La barre 3 une longueur L2 égale à la longueur OC caractéristique du bâti 0.
6
4
La barre 5 a une longueur 2L 2 . Toutes les barres sont articulées entre elles en leurs x0
extrémités et également en le milieu A de la barre rigide DE C
numérotée 5. Tous les axes de ces mouvements de rotation
→
O
z
F
B
3
0
sont de vecteur directeur z . 1 - Si un mécanisme, non représenté, assure, comme
→
→
dans l’exercice n°3, la relation Ω 21 = - Ω 10 , quelle est la trajectoire du point B de la barre 3 par rapport au bâti 0 ? 2 - En déduire la nature du mouvement de la barre 3 par r apport au bâti 0. z
Exercice n°6 : (d’après concours Centrale - Supelec 2003) →
Le papier entrant à la vitesse v dans une ligne d’imprimerie provient
→
d’un rouleau de papier tournant autour d’un axe (O, y ) à la vitesse ω.
v
ω x
- Est-ce que le rouleau de papier peut tourner à une vitesse ω constante
→
si le papier doit avancer à une vitesse v constante dans la ligne d’imprimerie ? Justifier.
Rouleau de papier
II - Calculs de vitesses.
Exercice n°7 : Centrifugeuse de laboratoire
y2
Une centrifugeuse est constituée :
S1
O
→ → →
β
A
- d’un bâti S0 lié au repère R(O, x , y , z ) considéré fixe
y1
S2
→
- d’un bras S1 mobile en rotation autour de l’axe (O, x ) et
→ → →
→→
lié au repère R1(O, x , y1 , z1 ) tel que α = ( y ,y1 )
G S0
avec α = ω.t et ω constant - d’une éprouvette S2 mobile en rotation autour de l’axe
→
x2
→ → →
(A, z1 ) par rapport à S1 et liée au repère R 2(A, x2 , y2 , z1 ) L’éprouvette s’incline d’un angle β sous l’effet centrifuge.
→
→
→
x
→
z
z1
On pose OA = a y1 et AG = b x2 (a et b constants) G est le centre d’inertie de l’éprouvette S2.
y1
→ → → → 1 - Déterminer les vecteurs vitesses de rotation Ω (S1 /R) = Ω (R1 /R) et Ω (S2 /R) = Ω (R2 /R) → α y 2 - Déterminer le vecteur vitesse v (G∈S2 /R) x → 3 - Déterminer le vecteur accélération a (G∈S2 /R) → →→ → → 4 - Sachant que AG a la direction de g - a (G∈S2 /R) , avec g = g x , déterminer la valeur de β lorsque celle ci ne varie plus
Exercice n°8 : Robot ménager z0
Un robot ménager est constitué de :
→ → →
- un bâti fixe lié au repère R0(O, x0 , y0 , z0 )
y0
→ → →
- un bras lié au repère R 1(O, x1 , y1 , z0 ) mobile autour de l’axe
x2
S0
→
(O, z0 ) par rapport au bâti et repéré par l’angle α
x1 S1
→
(A, z0 ) par rapport au bras et repéré par l’angle β. On pose OA = r 1 . On considère le point M du fouet tel que
→
→
β
A
→ → →
- un fouet lié au repère R2(A, x2 , y2 , z0 ) mobile autour de l’axe
x2
α
→
S2
O
AM = r2 x2 - h z0
x0
1 - Calculer la vitesse du point M du fouet par rapport à R0. M
2 - Calculer l’accélération par rapport à R 0.
→
Le bras est entraîné en rotation autour de (O, z0 ) par un moteur non
→
représenté tournant à vitesse constante ω. Le pignon d’axe (A, z 0 ) lié au fouet, et
y0
z0
→
x1
le pignon d’axe (O, z0 ), de rayon r0, lié au bâti, engrènent en I, et obligent alors le fouet à tourner autour de son axe.
→
S2
I
→
3 - Exprimer V (I∈R2 /R0) en fonction de V (A∈R2 /R0). Compte tenu de
→
→
.
l’engrènement, on a V (I∈R2 /R0) = 0 , en déduire β en fonction de ω. Donner x2
alors la vitesse et l’accélération du point M. 4 - Quel est le torseur cinématique du mouvement du fouet par rapport
S0 S1
Quel est donc le mouvement instantané du fouet ?
pour r2 < r1 - r0 et pour
x2
α pour r2 = r1 - r0
O
x0
r2 > r1 - r0.
( On pourra calculer la vitesse de M lorsque M est le plus près de
→
β
A
au repère R0 ? Quel est l’axe central de ce torseur ?
5 - Donner l’allure de la trajectoire de M
x1
l’axe (O, z0 ), et éventuellement en d’autres positions particulières. )
M
Exercice n°9 : Hélicoptère. La vitesse des hélicoptères est bien inférieure à celle des avions car elle est limitée par la vitesse en bout de pale qui ne doit pas atteindre la vitesse du son, soit environ 340 m/s. Le but de cet exercice est de déterminer la vitesse d’avance maximale théorique d’un hélicoptère en fonction de ce critère. On suppose le vent de vitesse nulle.
→ → →
Soit R0 (O, x0 , y0 , z0 ) le repère fixe par rapport au sol 0. L’hélicoptère 1 se déplace en translation rectiligne uniforme de
→
→
→
→
direction x0 par rapport au sol 0. Soit OA = h z0 + λ x0 où h est une constante et λ un paramètre variable.
→→→
Soit R1(A,x0 ,y0 , z0 ) un repère fixe par rapport à l’hélicoptère 1.
→→→
Soit R2 (A,x2 ,y2 , z0 ) un repère attaché au
→
rotor principal 2 de
→
l’hélicoptère tel que AM = R x2 avec M un point situé à l’extrémité d’une pale. La grandeur R est appelée ‘rayon du rotor’ dans la suite. Le rotor principal 2 est
→
en rotation d’axe (A,z0 ) de paramètre θ par rapport à l’hélicoptère 1. La vitesse
.
de rotation du rotor θ = ω est supposée constante. 1 - Donner l’expression du vecteur position du point M par rapport au référentiel R0 en fonction des paramètres λ, h et R.
→
→
→
2 - Donner les expressions des vecteurs vitesses angulaires Ω (2/1), Ω (1/0) et Ω (2/0) .
.
→
.
3 - Déterminer l’expression du vecteur vitesse v (M∈2/0) du point M du rotor par rapport au sol en fonction de λ, R et θ.
→
4 - Déterminer l’expression de la vitesse maximale V Max , norme maximale de v (M∈2/0)
au cours du mouvement en
précisant pour quelle position ce maximum est atteint. 5 - Sachant que la vitesse de rotation du rotor est ω = 384 tr/min, que le rayon du rotor est R = 4,5 m , donner la vitesse maximale théorique VH Max de l’hélicoptère, exprimée en km/h.
→
6 - Pour la valeur de V H Max obtenue ci-dessus, quelle est la vitesse v (M∈2/0) un demi tour de rotor après la position définie à la question 4. Faire l’application numérique. Conclure quant à la possibilité de se rapprocher de la vitesse maximale théorique VH Max calculée à la question 5. 7 - Déterminer la vitesse maximale de l’hélicoptère V H Max et la vitesse de rotation de son rotor ω , si on impose toujours que le bout de la pale ‘avançante’ atteigne la vitesse du son V Max et que de plus, pour assurer une portance correcte, le bout de la pale
→
‘reculante’ atteigne la moitié de cette vitesse ( selon - x 0 ).
III - Roulement sans glissement ou avec glissement. x
y0
Exercice n°10 : Cylindre roulant. y
→
x
Un cylindre S, de rayon r, d’axe (G,z0 ), roule sans glisser sur un plan
→ → →
horizontal, auquel on attache un repère R 0 (O, x0 , y0 , z0 ) selon la figure ci-contre.
→
La ligne de contact cylindre plan est (I,z 0 ).
O
Appelons x la distance allant de l’origine O, du repère R 0, au point de contact I.
θ
G I
z0
S
x0
Soit P le point du cylindre tel que G soit le milieu de IP. - Déterminer, en fonction de x et r, la vitesse et l’accélération du point P du cylindre par rappor t au repère R0.
→ → →
→→
→→
Pour y parvenir, on peut, attacher un repère R(G, x , y , z ) au solide S, appeler θ = ( x0 , x ) = (y0 , y ) l’angle entre les deux
→
→
repères, considérer que le point P est tel que GP = r y et chercher sa vitesse et son accélération à l’instant où θ = 2 k π. Pour relier le paramètre θ, ainsi introduit, au paramètre demandé x, il faut écrire la condition de roulement sans glissement en I du solide S par rapport au repère R0.
2α
90°
Exercice n°11 : Glissière à billes.
3
On crée une liaison permettant une translation B
( liaison glissière ) entre les solides 0 et 3 en mettant une rangée
B’
C
O1
1
→
A
→
D
A’
z
centre de chaque bille 2 est sur l’axe (O 2, x ) . Le mouvement du solide 3 par rapport au bâti 0 étant
→
une translation de direction x , pour tout point P, on a :
→
C’ 2
de billes 1 et une rangée de billes 2 entre les solides 0 et 3. Le centre de chaque bille 1 est sur l’axe (O 1, x ). Le
O2
y
x
0
120°
→
v (P∈3/0) = V x où V est donné. On suppose qu’il y a r oulement sans glissement en A, A’, B, B’, C, C’ et D.
1 - Sans calculs, donner la forme du torseur cinématique du mouvement d’une bille 1 par rapport au bâti 0, et le torseur cinématique du mouvement d’une bille 1 par rapport au solide 3.
→
→
→
→
2 - Déterminer Ω 1/0 et v (O1∈1/0). On notera R le rayon des billes 1 et r le rayon des billes 2. 3 - Déterminer Ω 2/0 et v (O2∈2/0).
→
→
4 - Calculer l’angle α pour que v (O1∈1/0) = v (O2∈2/0).
Exercice n°12 : Variateur à plateaux (F. U.) Un variateur de vitesse est un mécanisme monté dans une transmission de puissance entre le moteur et le récepteur, et chargé de transformer la vitesse de rotation d e l’arbre moteur en une autre vitesse de rotation adaptée au récepteur et réglable. Le variateur de vitesse représenté ci-dessous est constitué de deux plateaux (1) et (2) en mouvements de rotation
→
→
→
d’axes (A, x ) et (B, x ) avec le bâti. Le galet (3), en mouvement de rotation d’axe (C, u ) par rapport au bâti, roule sans glisser
→
→
sur les deux plateaux en D et E. L’angle θ formé entre y et u est tel que
θ = 45°
→
L’axe ( C, u ) du galet (3) peut, par un mécanisme de réglage manuel non représenté, être déplacé verticalement.
→
→
→
→
On note Ω 1 = ω1 x la vitesse de rotation du plateau d’entrée (1), et Ω 2 = ω2 x la vitesse de rotation du plateau de sortie (2). 1 - En écrivant le non glissement en D et en E, trouver la loi entrée-sortie du mécanisme pour un réglage donné, c’est à dire la relation entre ω1 et ω2. (certaines caractéristiques géométriques du variateur
2
y
interviendront bien sûr dans la loi entrée-sortie).
→
On pourra auparavant calculer v (D∈1/0) en
B
→
u
fonction de ω1; v (E∈2/0) en fonction de ω2; et
→
D
→
θ
v (D∈3/0) en fonction de v (E∈3/0).
F
2 - Montrer qu’en déplaçant le galet (3) et son
→
axe ( C, u ) verticalement, on fait varier ω2 si ω1 reste constant. x
3 - En pratique, le galet (3) n’est pas en contact avec le plateau (1) en un point unique D, le
E
contact se fait suivant une ligne verticale. Montrer que la vitesse de glissement du galet par rapport au plateau peut être non nulle en tout point de cette ligne autre que D (F par exemple) dans certaines conditions.
C
3
A
1
Exercice n°13 : Butée à billes
Une butée à billes est un organe mécanique à éléments roulants permettant, lorsqu’il est associé à d’autres types de roulements, de réaliser des liaisons pivot pouvant supporter des efforts axiaux importants. La butée à billes considérée est constituée :
→→→
- d’une bague S 0 solidaire d’un repère R0 (O,x0 , y0 , z0 ) fixe, supposé galiléen, - d’une bague S 2 dont le mouvement par rapport à S 0 (ou R0) est représenté par
→ {V (S2 /S0)} = { ω → y0 , 0 }O
- de 19 billes homogènes, de rayon r et de masse m. On considère la bille S de centre C. La trajectoire dans R 0 du centre C de cette bille est un cercle de centre O et de r ayon a. La bille S est en contact en I avec la bague S 0 et en J avec la bague S 2.
→→→
→
→
On définit le repère R (O, x ,y0 , z ) par OC = a x
avec
→→ θ = ( x0 , x )
y0 S2
a
S
J r
S0 O
C
x
I
Une étude de dynamique vous permettra de montrer dans quelques mois qu’une charge axiale minimale doit être appliquée sur cette butée à billes, pour que l’on ait roulement et pivotement sans glissement en I et en J, le non respect de cette condition provoquant une usure prématurée de la butée. Mais pr éalablement, il convient d’analyser la cinématique de cette butée. 1 - Exprimer la condition de non glissement en I et celle en J. En déduire le torseur cinématique, en C, du mouvement de la bille S par rapport au repère fixe R0. Montrer que le vecteur vitesse de rotation a une composante de pivotement indéterminée. 2 - Exprimer le torseur cinématique en O du mouvement du repère R par rapport au repère fixe R 0 pour trouver une relation entre l’angle θ et la vitesse de rotation ω.
IV - Mouvement plan sur plan - Cinématique graphique.
Exercice n°14 : Roues directrices de véhicules. Une voiture possède 2 roues non directrices en C et D sur l’essieu arrière, et 2 roues directrices en A et B sur l’essieu avant. La voiture tourne à gauche (voir figure ci contre). 1 - Donner le centre instantané de rotation du châssis de la voiture dans son mouvement par rapport à la route. On suppose qu’aucune roue ne glisse (dérape) sur la
C
A
route. 2 - Tracer la roue située en A (définir son orientation). 3 - Quelle est la particularité de la norme de la vitesse de chacun des points A, B, C, D appartenant au châssis par rapport à la route. 4 - Conclusions.
D
B
y
Exercice n°15 : Système bielle manivelle ( moteur thermique) →
Le vilebrequin 1 (manivelle) tourne autour de l’axe (O, z ). La bielle 2 est liée au vilebrequin 1 par une liaison permettant une
0
Piston 3
→
rotation d’axe (A, z ) et au piston par une liaison permettant une rotation
→
d’axe (B, z ).
→
B
Le piston se déplace en translation selon la direction y .
→ →
On pose (O x , OA ) = θ
→
→
1 - Exprimer la relation entre Ω 1/0 et V (A∈1/0). 2 - En prenant
||
4 cm pour la représentation de
Bielle 2
→
V (A∈1/0) ||,
→
construire le vecteur vitesse V (B∈3/0) . 3 - Construire le C.I.R. I 20 du mouvement de 2/0.
→
A
4 - En déduire une autre méthode pour construire V (B∈3/0)
→
→
5 - Que se passe-t-il lorsque A est sur (O, x ); sur (O, y ) ?
O Vilebrequin 1
x
0
Exercice n°16 : Fermeture de porte par vérin. Une porte P dont l’axe du mouvement par rapport à un bâti 0 passe par A est animée par un vérin dont le corps C v est articulé en B et la tige T v en C. Représentée dans la po sition fermée, on s’intéresse à son mouvement en début d’ouverture.
→
1 - Tracer une vitesse de rentrée de tige v (C∈Tv /Cv) de norme 0,1 m/s représentée par un vecteur de norme 20 mm.
→
2 - Construire le vecteur v (C∈P/0).
→
3 - En déduire le vecteur v (D∈P/0). Quelle est sa norme, en m/s. 4 - Sachant que la porte a une largeur de 2 m quelle est sa vitesse de rotation ? 5 - Quelle approximation faut il faire pour déterminer le temps d’ouverture à 90° de cette porte ?
B
Cv
Tv
0 P D
C
A
0
Exercice n°17 : Engin de levage Cet appareil monté sur le plateau (0) d’un camion, permet de soulever de la ferraille à l’aide d’un plateau magnétique (10). Le
→
déplacement de (10) s’obtient par rotation de l’appareil autour de (O, z ), et par action sur les vérins (2,3) et (7,8). Dans la configuration du dessin : 1 - Déterminer la vitesse, en I, de levée de la pièce 10 pour une rentrée de tige du vérin (7,8) de 10 mm/s. 2 - Déterminer la vitesse, en I, de levée de la pièce 10 pour une sortie de tige du vérin (2,3) de 10 mm/s. 3 - Déterminer la vitesse, en I, de levée de la pièce 10 pour une rentrée de tige du vérin (7,8) et une sortie de tige du vérin (2,3) de 10 mm/s simultanées. 4 - Pour chaque cas, est-ce que cette levée est bien verticale ?
V- Liaisons et Chaînes de solides
Exercice n°18 : Angles d’Euler → →
Un cône C de sommet S, d’angle au sommet 2.α de rayon à la base R, de hauteur H roule sans glisser sur un plan (O, x0 , y0 ). 1 - Exprimer le roulement sans glissement en S. On peut donc assimiler le point S à O. On paramètre le mouvement du cône par les 3 angles d’Euler.
→
→
- La génératrice du cône en contact avec le plan est (S, v ), l’axe du cône est (S, z ).
→ → →
→ → →
→ → →
→ → →
- L’angle ψ permet de passer de la base (x 0 , y0 , z0 ) à la base ( n , v , z0 ). - L’angle θ permet de passer de la base ( n , v , z0 ) à la base ( n , w , z ).
→ → →
→ → →
- L’angle ϕ permet de passer de la base ( n , w , z ) à la base ( x , y , z ) attachée au cône C. 2 - Faire des dessins des différentes bases et du cône. Relier α à θ.
→
3 - Exprimer le vecteur Ω (C/R0) 4 - Exprimer la condition de roulement sans glissement en un point I, autre que S, de la génératrice de contact.
Exercice n°19 : Système bielle manivelle. x
Dans un exercice précédent, on avait déterminé graphiquement la vitesse de
α
t
.→
translation du piston en fonction de la vitesse de rotation de la manivelle θ z pour une position donnée du mécanisme. On souhaite maintenant déterminer la vitesse de translation du piston de façon générale, c’est à dire que l’on souhaite trouver une
→
.→
0
Piston 3
→
relation du type v (B∈3/0) = x x = f(θ) x .
→
→
→ →
→ →
On note (OA) = R , (AB) = L , OB = x x , θ = ( x , u ) et α = ( t , x )
w
B
1 - Donner le graphe des liaisons de ce mécanisme. 2 - En écrivant la fermeture de chaîne géométrique, trouver deux relations liant x, θ et α ( et les paramètres géométriques constants du mécanisme L et R ). 3 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux relations liant
Bielle 2
x, θ, α et leurs dérivées par rapport au temps ( et L, R ). 4 - Montrer que les systèmes d’équations trouvés aux questions 2 et 3 sont
u
équivalents.
θ
5 - Déterminer la loi entrée/sortie : x = f(θ) ( paramétrée par R et L )
y
A O
Vilebrequin 1
0 v
Exercice n°20 : Pompe. Le dessin ci après représente la vue en coupe à l’échelle 1 d’une pompe. Cette pompe est constituée de différents éléments :
→ → →
- Un corps 0 auquel on attache un repère de référence R(O, x , y , z ). Sur le dessin il est représenté par plusieurs domaines hachurés (de la même manière) ainsi que par des domaines non hachurés séparant les domaines hachurés et signifiant que le plan de coupe passe par des parties creuses. Comme partie creuse, on retrouve une conduite d’admission du fluide à pomper C A et une conduite de refoulement du fluide pompé CR. Solidaire totalement de ce corps, on aperçoit un couvercle 0’ représenté également par des domaines hachurés (d’un autre type de hachures) et des domaines non hachurés. Ce couvercle 0’ est maintenu sur le corps 0 par deux écrous 0’’.
→
- Un ensemble d’éléments oscillants constitué, d’un cylindre 3 d’axe (B, z ) en liaison pivot de même axe avec le corps 0, et
→
d’une chemise de piston 3’ ( pièce tubulaire d’axe (B,x2 ) encastrée serrée dans le cylindre 3 ).
→
- Une manivelle 1 en liaison pivot d’axe (O, z ) avec le corps 0. - Un piston 2 pièce globalement
de
y
révolution
x1
d’axe AB en liaison pivot
→
d’axe
(A, z )
avec
CA
la 3’
manivelle 1 et en liaison pivot
3
glissant d’axe AB avec la chemise de piston 3’. On
TA
attache à ce piston un repère
→ →→
R2 (A, x2 , y2 , z ). On notera
→ →
x
β
que l’angle β = ( x , x2 ) est négatif sur la figure. Bien que
x2
situé dans le plan de coupe,
CR
on ne coupe pas ( donc on ne
0’
hachure pas ) le piston, car
0’’
z TR
c’est une pièce pleine, donc il n’y
a
pas
l’intérieur
de
détails
qu’une
à
1
coupe
2
0
permettrait de voir. On remarquera sur le dessin, le petit trou T A dans la pièce 3 et celui dans la pièce 0 permettant la communication entre la conduite d’admission et la chambre du piston. On remarquera que les trous équivalents T R pratiqués au niveau de la conduite de refoulement de sont pas en communication. y
x1
Le schéma cinématique de cette pompe est également représenté ci contre. On retrouve sur cette représentation les mêmes solides numérotés,
2
A
3
1
les mêmes points caractéristiques ainsi que les mêmes systèmes d’axes que sur le dessin. On pose (OA) = R , (AB) = x et (OB) = L
α
B
x
O 0
0
β
1 - Sachant que la manivelle 1 est entraînée à 1500 tr/mn, calculer le débit moyen Qm de la pompe. 2 - Donner le graphe des liaisons pour ce mécanisme. 3 - En écrivant la fermeture de chaîne géométrique, trouver deux relations liant les paramètres x, α et β . 4 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux relations liant x, α, β et leurs dérivées par rapport au temps. 5 - Montrer que les systèmes d’équations trouvés aux questions 3 et 4 sont équivalents.
.
.
6 - Déterminer la loi x = f(α,α). 7 - En déduire l’expression puis le tracé du débit instantané Qi(α(t)) de la pompe en fonction de α.
x2
Exercice n°21 : Motorisation d’un axe de robot. (d’après concours Mines - Ponts 1999) Le schéma ci-contre représente l’axe ρ (rho) complet d’un robot de
R
tri de déchets déjà étudié partiellement dans le TD1, avec des numérotations de pièces et des noms de points différents. Au point J se trouve la trompe qui saisit les objets à trier. Avec le repérage de la figure ci-contre : - Dans l’exercice n°3, on a montré que si ω54 = -2 ω43 et si
→
à un instant, le point I de 5 est sur l’axe (A,x' 3), alors la trajectoire
→
de I, point de 5 par rapport à 3 est un segment de l’axe (A,x' 3). - Dans l’exercice n°4, on a montré que ADEF étant un parallélogramme, alors le solide 7 est un mouvement de translation (circulaire) par rapport à 3. - Dans l’exercice n°5, on a montré que FGHI étant un parallélogramme, alors, compte 2R
tenu des résultats précédents, le solide 6 est en mouvement de translation rectiligne, de
→
direction x'3 , par rapport au solide 3. Remarque : Dans cet exercice, on ne s’intéresse qu’à cet axe ρ , c’est à
dire qu’on considère que les deux autres axes, θ et ϕ, qui positionnent le point J en coordonnées sphériques ne sont pas animés. En réalité, conformément à la figure ci-contre, le bâti est le solide 1, la liaison pivot entre le solide 2 et le solide 1 définit l’angle θ, et la liaison pivot entre le solide 3 et le solide 2 définit l’angle ϕ. A - Création du mouvement de 4 par rapport à 3.
On pose AB = b
et AC = c , deux distances constantes et
CB = x , la distance variable, dont la valeur définit la position angulaire du solide 4 par rapport au solide 3. Cette distance variable x est réalisée grâce à un vérin électrique, symbolisé par les pièces 10, 11
.
et 12. Son moteur crée la rotation θmoteur telle que θmoteur = ω11/10
→→
→→
→→
→→
On pose γ = ( z0 , z4 ) ( angle négatif sur la figure du haut de page ) et α = ( x3 ,x'4) ; (x'3,x3 ) = - 135° ; (x'4, z4 ) = - 45° 1 - Montrer que γ = α -
π 2
2 - Exprimer la relation de fermeture de chaîne géométrique sur les points ABC, en fonction des paramètres du problème. 3 - En déduire l’expression de x en fonction de b, c et α. En déduire l’expression de x en fonction de b, c et γ . 4 - La liaison entre le solide 12 et le solide 11 est une liaison hélicoïdale de pas p positif. Ecrire la relation de fermeture de chaîne cinématique dans la chaîne 12, 11, 10, 4 , 3. Par une projection judicieuse de l’une des deux équations vectorielles, donner la
.
relation liant θmoteur à ω12/11 .
→
d CB → . 5 - La définition de x dans ce problème conduit à x = { }R . x12 . En déduire la relation liant x , p et ω12/11 . En dt 10 . . déduire la relation liant x et θmoteur .
.
6 - Supposons qu’à l’instant t = 0 , γ = 0 , θmoteur = 0 et x = x0 . Donner la relation liant à tout instant γ à θmoteur et aux paramètres du problème.
B - Création du mouvement de 5 par rapport à 4.
Ce mouvement est obtenu grâce à l’ensemble poulie de rayon R5 = R, solidaire du bras 5, poulie de rayon R 3 = 2R, solidaire du solide 3 et courroie 8 reliant ces deux poulies. On suppose que la courroie est inextensible et s’enroule sans glisser. Supposons le mécanisme à poulies et courroie représenté
v
v
ci-contre. La poulie 3 a un rayon R3 et la poulie 5 a un rayon R 5 .
w 3
→→→
La base ( u , v , w ) est orthonormée directe.
4
8
5
→→→
7 - Exprimer dans la base ( u , v , w ) et en fonction
F
A
→
de R3 et ω34 le vecteur vitesse v (M∈3/4) .
→→→
N
8 - Exprimer dans la base ( u , v , w ) et en fonction
→
u
M
de R5 et ω54 le vecteur vitesse v (N∈5/4) .
9 - Exploiter les hypothèses d’inextensibilité de la courroie et d’enroulement de la courroie sur les poulies sans glissement
→
→
pour obtenir une relation liant les deux vecteurs vitesse v (M∈3/4) et v (N∈5/4) . 10 - En déduire une relation liant ω54 , ω34 , R3 et R5 .
→
11 - Montrer alors que la relation, assurant une trajectoire du point I sur l’axe (A,x' 3),
ω54 = - 2 ω43 est vérifiée si les
rayons R3 et R5 sont tels que R3 = 2 R5 .
Exercice n°22 : Table élévatrice. (d’après concours Mines DACN 2005) Le schéma ci-contre représente une table élévatrice. C’est un mécanisme plan, toutes les liaisons pivots sont d’axes perpendiculaires au plan de la figure et passant respectivement par A, O, C, E, F, B et D. En ces deux derniers points sont montés des galets respectivement numérotés 5 et 7 assurant une liaison ponctuelle respectivement en I avec le plateau 2 et en J avec le châssis 1 . Les longueurs OA, OB, OC et OD sont égales au paramètre a, les longueurs AE et OF au paramètre b. L’angle
αmax = 80°
α varie
de
αmin = 10°
à
lorsque la longueur EF du vérin
passe de λmin à λmax et la hauteur de la table passe de hmin à hmax ( on pose h = AC = DB ) Le paramètre de base du problème, fonction duquel on exprimera les résultats est a. De plus on mesure b ≈ 0,23 a (7) 1 - Déterminer la relation liant l’angle α à l’élongation λ du vérin. 2 - En déduire la course c du vérin. 3 - Exprimer la hauteur h de la table. Donner h min et hmax .
.
.
.
.
4 - La vitesse du vérin est λ = λ0 = constante. Déterminer la vitesse ascensionnelle h de la table, en fonction de α, λ0 , a et b .
.
.
.
5 - Déterminer hmin , hmax et h(α =60°) 6 - Vérifier graphiquement le dernier résultat ci-dessus.
→
( On utilisera la longueur du vecteur u 6 sur le dessin comme vitesse de départ )
Exercice n°23 : Joint de Cardan.
θ10
Un joint de Cardan, schématisé ci-contre,
permet
de
transmettre
z0 = z0 ’ Croisillon 2
z1
le Arbre d’Entrée 1
mouvement de rotation d’un arbre moteur
Arbre de Sortie 3
lié à 1 vers un arbre récepteur lié à 3. Un exemple est proposé sur la photo ci-dessous, dans le cas de la mise en rotation
d’une
roue
à
câble
O
de
y0 = y1
téléphérique.
δ
Le mouvement de rotation est
θ30
transmis d’un arbre à l’autre par l’intermédiaire du croisillon 2 lié à 1
Bâti 0
x0 ’
→
y0 ’ = y3
δ
par une liaison pivot d’axe (0,z 1 ) et lié
x0
→
x3
à 3 par une liaison pivot d’axe (0,x 3 ).
Bâti 0
→
L’arbre d’entrée 1 est en liaison pivot d’axe (O, y0 ) avec le bâti 0.
→
L’arbre de sortie 3 est en liaison pivot d’axe (O,y0 ’) avec le bâti 0. L’arbre d’entrée 1 et l’arbre de sortie 3 sont concourants en O et font un angle de brisure δ entre eux.
→ → →
→ → →
Les deux repères R0 (O, x0 , y0 , z0 ) et R0’ (O, x0 ’, y0 ’, z0 ) sont
→
fixes, ils sont liés au bâti, ils sont tournés de l’angle δ autour de z 0 l’un par rapport à l’autre.
→
→
→
Le repère R1(O, x 1, y 0, z 1) est lié à l’arbre d’entrée 1 et le
→ →
→
repère R3(O, x 3, y 0’, z 3) est lié à l’arbre de sortie 3. 1 - Compte tenu de la forme du croisillon 2, déterminer une
→
→
condition liant x3 et z1 et l’exploiter pour trouver une relation entre θ10 , θ30 et δ.
→
→
. →
→
→
. →
2 - En déduire la relation ω30 = f(θ10, δ).ω10 . On pose Ω 1/0 = ω10 y0 = θ10 y0 et Ω 3/0 = ω30 y0 ’ = θ30 y0 ’. 3 - Ce joint de transmission entre deux arbres est-il homocinétique ? 4 - Comment associer 2 joints de Cardan pour obtenir un ensemble homocinétique ?
Exercice n°24 : Système de commande en translation par liaison hélicoïdale. Le schéma cinématique d’un tel système est représenté ci-dessous à gauche. 1 - Ecrire la fermeture cinématique de chaîne relative à ce mécanisme. 2 - En déduire la loi entrée sortie V20 fonction de ω10. 3 - Le deuxième schéma proposé, ci-dessous à droite est-il équivalent au premier ? Justifier. 0
2
1
y
y
1 0
x
2
0
x
0
VI - Engrenages
Exercice n°25 : Engrenage.
y
La schéma cinématique ci contre représente un engrenage constitué de 2 pignons
→
→
numérotés 1 et 2. Chaque pignon est en liaison pivot d’axe (O, z ) pour 1 et (O’, z ) pour 2
→ → →
2
avec un bâti 0 auquel on attache un repère de référence R(O, x , y , z ).
O’
O’
I
Quand l’un des pignons est nettement plus grand
I
que l’autre, comme dans le cas du dessin ci-contre, on parle
O
1
de roue et pignon.
z O
En adoptant des profils de dents qui soient des
0
développantes de cercles, on fait en sorte que le
→ y
comportement cinématique d’un engrenage soit équivalent à celui de 2 roues lisses cylindriques de rayon R 1 = OI et R2 = O’I roulant sans glisser l’une sur l’autre en I.
Cylindre primitif
Le profil obtenu est représenté sur le dessin ci-contre. La présence des dents a comme intérêt de permettre de transmettre des forts couples sans glissement, ce que ne permet une roue lisse de friction.
→
On appelle cylindre primitif du pignon 1 le cylindre de rayon OI, d’axe (O, z ). Le schéma correspondant est proposé en dessous.
ω 1 - Déterminer la relation liant 10 aux rayons R1 et R2.
x
ω20
Sachant qu’un bon engrènement nécessite des dents de même ‘‘taille’’ sur chaque pignon, on a donc un nombre de dents Z proportionnel au périmètre de chaque
1 ce coefficient de proportionnalité. La grandeur m est appelée module de l’engrenage. π m ω10 2 - Exprimer alors en fonction de Z1et Z2. ω20
pignon. Soit
3
y
Exercice n°26 : Train épicycloïdal de base (Type I). Un train épicycloïdal, schématisé ci contre, est un mécanisme à engrenages dont l’un
2
au moins des pignons ( 2, appelé satellite) est en liaison pivot avec un solide ( 4, appelé porte satellite) lui même en liaison pivot avec le bâti 0. Ce pignon satellite 2 engrène avec d’autres
A O’
4
1
pignons 1 et 3 appelés planétaires. Ici 1 et 2 sont des pignons cylindriques à dentures extérieures
B
et 3 est un pignon à denture intérieure ( appelé couronne intérieure ). Un tel mécanisme est présenté en photo ci-contre dans
O 1
2
le cas d’un réducteur de nez de perceuse. 1 - Exprimer les deux conditions de roulement sans 0
glissement ( aux deux points A et B ). 2 - Décomposer chaque équation en utilisant une relation de Chasles utilisant les mouvements par rapport à 4. 3 - En déduire que
R3 ω14 =R1 ω34
4 - En déduire la formule dite de Willis :
ω10 - λ ω30 + ( λ - 1 ) ω40 = 0.
3
Donner λ, la raison de base du train épicycloïdal.
x
Exercice n°27 : Différentiel
y
5
Le bâti (0) est en fait le châssis de la voiture. (5) est l’arbre de sortie de la boite de vitesse. (1), et (3) sont les arbres qui transmettent le mouvement aux 2
roues.
3
1 - Le véhicule est à l’arrêt et soulevé sur un pont (dans un garage par exemple). On fait tourner la roue reliée à (1), que se passe-t-il ? 2 - Le véhicule roule en ligne droite, donner la relation entre ω5/0 et ω1/0.
x
3 - Cas général : Donner la relation entre qui relie ω4/0 , ω3/0 et ω1/0. On 1
la mettra sous la forme classique d’une relation de Willis. Retrouver les résultats des question 1 et 2.
0
4
4 - Quel est l’intérêt d’un différentiel ?
Roulements
4
3
5
Différentiel de Porsche Cayenne
Joint de transmission
4
Exercice n°28 : Transmission d’hélicoptère La figure schématise la transmission d’un hélicoptère, depuis
le
groupe
turbo
propulseur jusqu’aux pales. 1 - Réaliser
le
schéma
cinématique 2D de la transmission 2 - Calculer le
rapport
de
réduction de la transmission 3 - Sachant que la vitesse de rotation du groupe turbo propulseur est de 3200 tr/min, calculer la vitesse maximum de croisière de l’hélicoptère pour qu’en bout de pale on ne dépasse pas la vitesse du son.
