Département de Génie Mécanique 3ème année licence maintenance industrielle Fiabilité des Systèmes – TD N°3 Le 17-03-2014
Exercice N°1 L’examen des fiches historiques d’un type de pièce monté sur 5 systèmes complexes identiques et travaillant dans des conditions semblables a donné les durées de service suivantes : Durées relatives aux défaillances en heures : 3910 5280 4200 2500 6430 5570 3390 1290 4720 7500 5010 2180 3650 4420 3100 5970 2810 1790 7500 8750 Durées relatives aux retraits en heures : 3760 2620 6910 5280 Nous pensons, que la loi de distribution est une loi de Weibull, car nous disposons d’un matériel similaire fonctionnant à peu près dans les mêmes conditions dont la distribution est de type Weibull 1) Vérifier que la loi de distribution est bien une loi de Weibull et déterminer son MTBF. 2) Faire un test d’ajustement de Kolmogorov-Smirnov au sein de α = 5%. 3) Quelle est la signification des valeurs des paramètres α, β et γ pour ces systèmes. 4) Calculer et tracer la fiabilité R(di) et le taux d’avarie λ(di). Exercice N°2 Les temps de service (en heure) d’un type de pièce sont les suivants. - Défaillances : 1350 ; 1500 ; 1700 ; 1950 ; 2300 ; 2800 ; 3400 ; 4000 ; 4900 ; 5800 ; 6700 ; 8200 ; 12000 ; 18000 ; 35000. - Retraits : 6800, 3300, 9400. Nous pensons, que la loi de distribution est une loi de Weibull, car nous disposons d’un matériel similaire fonctionnant à peu près dans les mêmes conditions dont la distribution est de type Weibull 1. Vérifier que la loi de distribution est bien une loi de Weibull et déterminer son MTBF. 2. Quelle est la signification des valeurs des paramètres α, β et γ pour ces systèmes. 3. Calculer et tracer la fiabilité R(di) et le taux d’avarie λ(di).
1
•
Solution de l’exercice 1 : Détermination des valeurs expérimentales et théoriques (tableau 1). Tableau 1 : Calcul des données expérimentales.
ti 1290 1790 2180 2500 2620 2810 3100 3390 3650 3760 3910 4200 4420 4720 5010 5280 5280 5570 5970 6430 6910 7500 7500 8750
di, ri Rang Rang brut corrigé d1 1 1 d2 2 2 d3 3 3 d4 4 4 r1 5 -d5 6 5,05 d6 7 6,1 d7 8 7,15 d8 9 8,2 r2 10 -d9 11 9,32 d10 12 10,44 d11 13 11,56 d12 14 12,78 d13 15 13,80 d14 16 14,92 r3 17 -d15 18 16,18 d16 19 17,44 d17 20 18,70 r4 21 -d18 22 20,28 d19 23 21,86 d20 24 23,44
) F(d i
R(d i )
F(di ) = 1 − R(di )
) − F(d ) F(d i i
0,04 0,08 0,12 0,16 -0,202 0,244 0,286 0,328 -0,372 0,417 0,462 0,511 0,552 0,596 -0,647 0,697 0,748 --0,874 0,937
0,962 0,920 0,880 0,837 -0,794 0,748 0,701 0,663 -0,610 0,562 0,515 0,468 0,417 0,367 -0,321 0,270 0,213 --0,116 0,042
0,038 0,080 0,12 0,16 -0,206 0,251 0,299 0,336 -0,389 0,437 0,484 0,531 0,582 0,63 -0,678 0,730 0,786 --0,884 0,957
0,002 0 0 0 -0,04 0,011 0,019 0,016 -0,019 0,017 0,024 0,021 0,022 0,02 -0,128 0,030 0,086 --0,014 0,017
. 10
0,634 0,978 1,248 1,500 -1,738 1,976 2,220 2,410 -2,674 2,917 3,156 3,408 3,694 3,985 -4,281 4,642 5,092 --6,150 7,624
On trouve les résultats suivants (fig. 1) : ⎛ t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 5400 ⎠
2,3
•
γ = 0 ; β = 2,3 ; η = 5400 ; Le modèle théorique est : R(t) = e
•
⎛ 1⎞ MTBF = γ + η Γ ⎜1 + ⎟ = 0 + η x = 5400 × 0,8859 = 4784 h. β⎠ ⎝
•
β ⎛t − λ⎞ λ(t) = ⎜ ⎟ η ⎝ η ⎠
β−1
;
1,3
2,3 ⎛ t ⎞ = ⎜ ⎟ 5400 ⎝ 5400 ⎠
;
•
D’autre part, D20, 5% = 0,294 ; donc le modèle expérimental est ajustée par le modèle théorique.
•
β > 1 : donc nous avons à faire à un matériel d’usure, le taux d’avarie est faiblement croissant au départ puis fortement par la suite (β = 2,3).
2
0 5400 2,3 Échelle : 1/100
R(di) V (t)
Figure 1 : Représentation graphique.
1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Temps H di enen heure Figure 2 : Allure de la probabilité de survie R(di).
3
λ (di)
0,0009 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0000 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Temps heure di enenheure
Figure 3 : Allure du taux d’avarie λ (di) . •
Solution de l’exercice 2 : Détermination des valeurs expérimentales et théoriques (tableau 2). Tableau 2 : Calcul des données expérimentales. ti
di, rk
i
j
1350 1500 1700 1950 2300 2800 3300 3400 4000 4900 5800 6700 6800 8200 9400 12000 18000 35000
d1 d2 d3 d4 d5 d6 r1 d7 d8 d9 d10 d11 r2 d12 r3 d13 d14 d15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 2 3 4 5 6 -7,08 8,16 9,24 10,32 11,40 -12,66 -14,24 15,83 17,41
) R(di) . 10 F(d i 0,038 0.96 0,00049057 0,092 0,91 0,00032365 0,146 0,86 0,00026289 0,201 0,80 0,00022725 0,255 0,75 0,00019970 0,309 0,68 0,00017683 ---0,368 0,62 0,00015985 0,427 0,56 0,00014824 0,485 0,49 0,00013598 0,544 0,44 0,00012718 0,603 0,39 0,00012041 ---0,672 0,33 0,00011187 ---0,757 0,22 0,000098079 0,844 0,13 0,000085817 0,929 0,03 0,000069518 4
On trouve les résultats suivants (fig. 4) : ⎛ t −1300 ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 6000 ⎠
•
γ = 1300 ; β = 0,7 ; η = 6000 ; Le modèle théorique est : R(t) = e
•
⎛ 1⎞ MTBF = γ + η.Γ ⎜1 + ⎟ = 1300 + η.x = 1300 + 6000 ×1, 2608 = 8865h. ⎝ β⎠
•
β ⎛t − λ⎞ λ (t) = ⎜ ⎟ η ⎝ η ⎠
β−1
0, 7 ⎛ t − 1300 ⎞ = ⎜ ⎟ 6000 ⎝ 6000 ⎠
0,7
.
−0,3
.
•
γ>0 : ce type de matériel ne tombera pas en panne entre 0 et 1300 h puisque il a une fiabilité égale à 1.
•
β< 1 : nous avons à faire à un matériel de jeunesse, le taux d’avarie est fortement décroissent au départ puis in deviendra constant par la suite (β = 0,7).
•
η : est le paramètre d’échelle (1/1000 dans ce cas).
1300 5400 0,7
Échelle : 1/1000
Figure 4 : Représentation graphique.
5
R(di)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0 5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
di en h
λ(di)
Figure 5 : Allure de la probabilité de survie R(di). 0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
di en h
Figure 6 : Allure du taux d’avarie λ (di) . 6
