CHAPITRE -5-
CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE Objet de la cinématique : La cinématique est la partie de la mécanique qui permet de décrire les mouvements des solides indépendamment DES CAUSES QUI LES PROVOQUENT
I. DÉFINITION D'UN SOLIDE INDÉFORMABLE La cinématique est l'étude des mouvements des solides, c'est à dire de la position, de la vitesse et de l'accélération de ces objets au cours du temps. Hormis quelques mouvements particuliers tels que la translation, déterminer la vitesse d'un solide n'a pas de sens. Les notions de vitesse et d'accélération ne sont définies que pour un point.
1 RÉFÉRENTIEL : ESPACE,TEMPS
La position d'un point n'est définie que relativement à un repère.
RÉFÉRENCE
SPATIALE
Il convient donc en cinématique de mettre en place un repère de référence spatiale (la position, la vitesse et l'accélération seront calculées par rapport à ce repère) Le repère utilisé en mécanique modélise donc l'espace qui nous entoure. Nous choisissons une base d'un espace vectoriel de dimension 3, nous la prenons : y
orthonormée pour la commodité des calculs
y
directe afin d'utiliser le produit vectoriel pour construire le repère de référence.
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CHAPITRE
RÉFÉRENCE
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TEMPOREL
La position du point variant d'un instant à l'autre, il convient de définir le temps, caractérisant la simultanéité des événements dans les différents repères. L'unité sera la seconde.
RÉFÉRENTIEL
ou L'espace à quatre dimensions
est appelé référentiel
, chacune de
.
Nous noterons de la même façon le repère associé à ce référentiel.
2 ÉQUIVALENCE ENTRE RÉFÉRENTIEL ET SOLIDE INDÉFORMABLE SOLIDE INDÉFORMABLE
Tous les solides se déforment sous l'action des sollicitations mécaniques ou des variations de température. Les déformations peuvent être élastiques, plastiques, instantanées ou différées... Si les déformations sont faibles (la plupart des déplacements résultant des déformations reste très petite devant les dimensions générales du solide) on convient de considérer le solide comme indéformable.
Les solides dont la fonction est de se déformer (ressorts, barres de torsion, ...) sont exclus de cette définition. On adoptera dans ce cours le terme de "solide" pour "solide indéformable".
EQUIVALENCE
ENTRE RÉFÉRENTIEL ET SOLIDE INDÉFORMABLE
Un repère d'espace étant défini par une origine et trois vecteurs unitaires orthonormés, les extrémités de ces vecteurs sont à des distances fixes de l'origine tout en étant fixes entre eux. Ceci étant vrai à chaque instant, un référentiel est donc équivalent à un solide. Étudier le mouvement d'un solide par rapport à un autre revient donc à étudier le mouvement des repères liés à ces solides.
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II.
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MOUVEMENT RELATIF DE DEUX SOLIDES
1 PARAMÉTRAGE
Pour connaître la position d'un solide dans l'espace, il suffit de connaître la position de trois de ses points, soit 9 paramètres. Mais les trois points étant à des distances invariables les uns par rapport aux autres, il convient d'ajouter 3 équations de liaison des paramètres. En définitive, la position d'un solide dans l'espace dépend donc de 6 paramètres indépendants qui caractérisent les 6 degrés de liberté du solide ( 3 translations + 3 rotations) par rapport à un référentiel.
GGOG XQVROLGHLQGpIRUPDEOH
2 POSITION D'UN RÉFÉRENTIEL PAR RAPPORT À UN AUTRE : ANGLE D'EULER
De façon générale, soient deux référentiels l'autre lié au solide
et
, l'un lié au solide
,
. par , peut être exprimée :
3
y
soit par le vecteur
y
soit par le vecteur
défini dans le repère
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CHAPITRE
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5HSpUDJHGXSRLQW$
CHANGEMENT
DE RÉFÉRENTIELS, REPÈRES D'ESPACE
En mécanique, il est fréquent de changer de référentiel pour exprimer, sous une autre forme, la position, la vitesse ou l'accélération d'un point ou toute autre grandeur vectorielle. La mécanique newtonienne, basée sur la relativité galiléenne selon laquelle le temps ne dépend pas du référentiel, permet de considérer qu'un changement de référentiel se limite à un changement d'espace. , c'estUn cas élémentaire fréquemment rencontré correspond à une simple rotation des deux repères autour d'un axe. Le cas plus complexe d'une rotation autour d'un point peut alors être considéré comme la succession de trois rotations autour d'axes distincts. Ces deux cas sont étudiés ci-après.
CHANGEMENT
DE REPÈRE D'UN VECTEUR DANS LE CAS D'UNE ROTATION AUTOUR D'UN AXE
autour de l'axe Dans ces conditions, les vecteurs unitaires de
On peut ainsi écrire la matrice de passage laquelle l'axe
reste confondu avec
du repère
pour la rotation d'angle
dans
de la façon suivante :
Un vecteur soit pour le vecteur
dans le changement de repère de
:
Inversement, si l'on veut effectuer un changement de repère de repère
(matrice inverse).
REMARQUE :Ici
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dans le
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(matrice transposée).
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5RWDWLRQDXWRXUG XQD[HIL[H
CHANGEMENT D'EULER
DE BASE D'UN VECTEUR DANS LE CAS D'UNE ROTATION AUTOUR D'UN POINT
- ANGLES
Si la rotation autour d'un point de l'angle dont les matrices de passage sont
se fait par l'intermédiaire de 3 rotations élémentaires précédentes , le passage du repère
vers le repère
s'exprimera
avec Pour définir 3 rotations élémentaires il est fréquent d'utiliser 3 angles appelés « angles d'Euler ». Ces angles sont couramment utilisés en astronomie pour définir la position d'une planète par rapport à un référentiel donné. Par convention, ces angles sont définis de la façon suivante :
Les changements de repères successifs sont :
CHANGEMENT
DE BASE D'UN VECTEUR DANS LE CAS GÉNÉRAL
donne :
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GGOG XQVROLGHLQGpIRUPDEOH
3 DÉRIVÉE TEMPORELLE D'UN VECTEUR PAR RAPPORT À UN RÉFÉRENTIEL
Formule de la base mobile Cette formule de dérivation de la base mobile par rapport à la base de référence est fondamentale ; elle est la base de toutes les relations cinématiques. Soient : y
un repère
y
un repère
lié au bâti d'un système
dans la base
y
base
; c'est le vecteur taux de rotation de la
par rapport à la base
y
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4 TRAJECTOIRE, VITESSE ET ACCÉLÉRATION D'UN POINT PAR RAPPORT À UN RÉFÉRENTIEL POSITION
Lorsqu'un point matériel est mobile par rapport à un repère
, on peut caractériser sa position par son
vecteur position noté : sont les coordonnées du point
dans le repère
.
TRAJECTOIRE
VITESSE
Ou encore d'après l'expression du vecteur position :
ACCÉLÉRATION
Ou encore d'après l'expression du vecteur position :
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5 COMPOSITION DE MOUVEMENT
Considérons un solide lui même en mouvement par rapport à un repère
fixe.
5HSqUHHQPRXYHPHQW
en dérivant par rapport à t dans le repère fixe rapport à un référentiel
et en utilisant la formule de dérivation d'un vecteur par
qui devient par
qui est la vitesse du point M
Attention : Relation de composition des vecteurs accélérations Pour les vecteurs accélérations, la relation de composition n'est plus aussi simple ! Composition des vecteurs accélérations :
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6 TORSEUR DISTRIBUTEUR DES VITESSES
TORSEUR
CINÉMATIQUE OU TORSEUR DISTRIBUTEUR DES VITESSES
En appliquant la relation au vecteur
, le temps
étant le paramètre de dérivation, on obtient :
C'est la relation de changement de point pour le transfert d'un torseur d'un point A à un point M.
PROPRIÉTÉ D'ÉQUIPROJECTIVITÉ
que l'on écrit sous la forme , on obtient, en dérivant par rapport au temps, dans le repère R0 :
d'où
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AXE
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INSTANTANÉ DE VIRATION
L'ensemble des points d'un solide qui, à un moment donné ont une vitesse nulle par rapport à un autre solide, constitue l'axe instantané de viration (ou de rotation).
7 MÉTHODES DE RÉSOLUTION ANALYTIQUE DANS
LE CAS D'UNE CHAÎNE FERMÉE DE SOLIDE
En présence d'une chaîne fermée de solides, nous devons gérer les compatibilités de mouvements, ce qui donne lieu à l'écriture d'un système d'équations linéaires en position et en vitesse par dérivation. Ces structures engendrent un effet de transformation de mouvement, dont il convient de déterminer la ‘' loi entrée – sortie ' Analyse géométrique d'une chaîne fermée de solides
Nous utilisons des relations vectorielles du type :
Ces relations vectorielles projetées sur deux axes (mécanismes plans) ou trois axes (mécanismes spatiaux), conduisent à deux (trois) relations scalaires entre les paramètres de situation des solides. Dans le cas de mécanismes plans, nous obtenons, en supplément, des relations angulaires du type : Dans le cas de mécanismes spatiaux, nous pouvons traduire le fait qu'une liaison impose un angle constant (souvent droit) entre deux vecteurs des bases liées au solides Exemple : joint de Cardan où les bras du croisillon font un angle de 90° Analyse cinématique d'une chaîne fermée de solides
Cette analyse permet d'écrire des relations du type : Ces relations conduisent à deux relations (égalité des résultantes, égalité des moments au même point), qui projetées sur deux axes (mécanismes plans) ou sur trois axes (mécanismes spatiaux), permettent d'obtenir trois ou six relations scalaires entre les dérivées des paramètres de situation des solides.
DANS
LE CAS D'UNE CHAÎNE OUVERTE DE SOLIDES
Analyse géométrique d'une chaîne ouverte de solides
Pour un point d'un solide les relations vectorielles seront du type :( solides (centres de gravité, centres des liaisons, extrémités, etc....)
: points particuliers des
Ces relations projetées sur deux axes (mécanismes plans) ou trois axes (mécanismes spatiaux), conduisent à l'écriture de relations scalaires des paramètres de situation des solides. Ces relations sont indépendantes entre-elles.
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Analyse cinématique d'une chaîne ouverte de solides
Il convient de déterminer les vitesses et accélérations des points particuliers des solides (centres de gravité, centres des liaisons, extrémités, etc...) de la chaîne de solides, par différentes méthodes (ou combinaison de méthodes) : y
dérivation directe du vecteur position
y
composition des vitesses, des accélérations
y
torseurs cinématiques au même point : champ des vitesses d'un solide
y
vitesse de glissement
III. MOUVEMENT PARTICULIER : TRANSLATION ET DE ROTATION 1 MOUVEMENT DE TRANSLATION
CARACTÉRISTIQUES
y
Les trajectoires de tous les points du solide sont parallèles.
y
Si la trajectoire est une droite, la translation est dite rectiligne.
y
Si la trajectoire est une courbe, la translation est dite curviligne.
y
Si cette courbe est un cercle, la translation est dite circulaire.
y
La liaison qui permet de réaliser un mouvement de translation rectiligne entre deux solides est la « liaison glissière »
TORSEUR
CINÉMATIQUE
Remarque CONCLUSION La condition nécessaire et suffisante pour qu'un solide soit animé d'un mouvement de translation est que le champ des accélérations soit uniforme. 11
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REMARQUE IMPORTANTE Le fait que plusieurs points particuliers ont la même accélération n'implique pas forcément que le solide auquel ils appartiennent soit animé d'un mouvement de translation
2 MOUVEMENT DE ROTATION
CARACTÉRISTIQUES
y
Les trajectoires de tous les points du solide sont des cercles contenus dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation et centrés sur celui-ci.
y
La liaison qui permet de réaliser un tel mouvement entre deux solides est la « liaison pivot »
TORSEUR
CINÉMATIQUE
Remarque a pour valeur Cette expression met en évidence la « répartition triangulaire des vecteurs vitesses »
5pSDUWLWLRQGHVYLWHVVHVGDQVOHFDVG XQPRXYHPHQWGHURWDWLRQ
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IV.
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CONTACT ENTRE SOLIDE
1 VITESSE DE GLISSEMENT
Le contact ponctuel de deux solides se fait en
*OLVVHPHQW
Cette vitesse se trouve dans le plan tangent commun à
. La vitesse de glissement est égale à la par rapport à
2 VECTEURS ROULEMENT ET PIVOTEMENT
Le mouvement relatif de
est défini par le torseur des vitesses relatives
Le vecteur taux de rotation se décompose en deux parties :
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y
pivotement : composante de direction la normale au contact
y
roulement :
composante
de
direction
parallèle
au
plan
de
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contact
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CHAPITRE
V.
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APPLICATIONS AU MOUVEMENT PLAN SUR PLAN
1 DÉFINITION ET PARAMÉTRAGE Définiti on et paramétrage
MOUVEMENT
PLAN SUR PLAN
Exemple Fer à repasser sur une table, bielle de moteur à explosion par rapport au carter...
PARAMÉTRAGE
DE LA POSITION DE
S
PAR RAPPORT À
RO
Soient les repères soient confondus. La position de
et
lié à
et
peut être définie de la façon suivante :
y y
3DUDPpWUDJHSODQSODQ
TORSEUR
CINÉMATIQUE D'UN MOUVEMENT PLAN SUR PLAN
Conclusions :
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• le vecteur rotation est perpendiculaire aux plans • le mouvement plan sur plan est la combinaison d'une translation et d'une rotation
MÉTHODES
POUR LA CINÉMATIQUE GRAPHIQUE
Emploi des différentes méthodes : La composition des vitesses est utilisée généralement dans 3 cas principaux : y
pour déterminer une vitesse de glissement, lorsqu'il existe un contact,
y
pour déterminer une vitesse en bout de tige d'un vérin, lorsque le corps tourne et la tige translate.
y
pour déterminer une vitesse, qui dépend de 2 mouvements d'entrée.
La méthode de l'équiprojectivité et la méthode du CIR sont utilisés pour déterminer une vitesse d'un point d'une pièce ayant un mouvement quelconque par rapport au bâti (c'est-à-dire que c'est ni une rotation, ni une translation).
Avantages et inconvénients de la cinématique graphique par rapport à la cinématique analytique Avantage : y
Méthode plus rapide.
Inconvénients : y
Méthode utilisée seulement pour des mouvements plan sur plan.
y
La solution déterminée est valable seulement dans la position de la figure (si l'on souhaite une vitesse d'un point du solide dans une autre position, il faut refaire le schéma et la construction graphique...).
y
Méthode moins précise.
2 CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION : CIR
PROPRIÉTÉS
DU
CIR
1. 2. 3.
RÉPARTITION
LINÉAIRE DES VECTEURS VITESSE
La répartition des vecteurs vitesse des points de
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par rapport à
est semblable à celle de tout mouvement
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de rotation autour du point : y
linéarité des vitesses sur toute droite passant par le CIR
y
égalité des normes des vecteurs vitesse pour tous les points situés à la même distance du CIR
5pSDUWLWLRQGHVYLWHVVHV&,5
DÉTERMINATION
GÉOMÉTRIQUE DU
CIR
Il est primordial de situer le CIR, car s'il est connu, il permet de déterminer tous les vecteurs vitesse des points d'un solide à partir de la donnée d'un seul de ces vecteurs vitesse.
3 MÉTHODE DE L'ÉQUIPROJECTIVITÉ
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4 THÉORÈME DES 3 PLANS GLISSANTS
: ou encore
d'où
:
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