Cinematique - Mécanique des fluides

UNI VERSI VERSI TE L I BANAI ANAIS SE FACULTE FACUL TE DE DE GENI GENI E DEPARTEM EPARTE M ENT ENT MECANIQUE M ECANIQUE MECANIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES Rafic YOUNES 29/10/2007

M.D.F. - Rafic Younès

1

Chapitre 2 : CIN CI NEM EMAT ATII QU QUE E DES DES FL UI DES I  II  III  IV  V  VI  VII 

29/10/2007

– – – – – – –

Intr Introd oduc ucti tio on Desc De scrip riptio tion n du mouv mouvem emen entt Répa Ré parti rtitio tion n des des vites vitesse sess Équa Équatio tion n de cont contin inuit uitéé Écou Écoulem lemen entt pote potent ntiel iel Écou Écoulem lemen entt rota rotatio tionn nnel el Visuali Visualisati sation on des écoule écoulemen ments ts M.D.F. - Rafic Younès

2

1

INTRODUCTION 

Cinématique des fluides :



La cinématique est la descriptio n du mouvement sans référence aux f orces en jeu. En mécanique classique, associé à Galilée et Newton, nous traitons l e mouvement d es particules ponctuelles.



La cinématique du m ouvement fl uide est plus compliquée que celles des particules ponctuelles. Le fluide est considéré comme un continuum constitué d’un nombre infini de «particul es flui des».

29/10/2007


3

INTRODUCTION 







Quelques définitions :

Régime permanent : Les grandeurs ne dépendent pas du temps ∂()/ ∂t=0. Écoulement 1D ou 2D : forme simplifiée d’un écoulement physique réel tridimensionnel. Écoulement interne et externe : Écoulement à l’intérieur d’un conduit ou autour d’un objet.

29/10/2007


4

2

DESCRI PTION DU MOUVEMENT Représentation d’Euler:

Représentatio n de Lagrange:

Les quantités physiques telles que la pression ou la vitesse prennent une valeur numérique en chaque point de l’espace.

29/10/2007

Elle consiste à suivre une particule donné au cours de son mouvement. La vitesse d’un élément fluide peut être définie comme en Mécanique du point classique.


5

DESCRI PTION DU MOUVEMENT Représentation d’Euler: r

r

f euler ( M , t)

V t

OM

r

V dt

t0

r

Représentatio n de Lagrange:

t t0

r

r

dV dt

V t

OM r

f euler ( M , t) dt r

r

V

f lag( M 0 , t, t0 )

d OM dt

r

f V ( M 0 , t, t0 )

r

V grad(V )

r

Lignes de courant (LDC)

d2 OM dt2

r

f ( M 0 , t, t0 )

Trajectoire r

V 29/10/2007

r

dr

0


dx1 V1

dx2 V2

dx3 V3 6

3

DESCRI PTION DU MOUVEMENT Exemple :

Vx

y x 1

Vy

Trajectoire x(t) y(t)

x0 1 cos( y0 cos(

t)

x& 0

sin(

sin(

t)

t) &0 y

t) 1


dx y

Ψ(x,y)

En régime permanent : Trajectoire (x,y) : Fonction de courant 29/10/2007

≡

LDC

x 1

2

y2

dy x 1 x0 1

2

y02


7

DESCRI PTION DU MOUVEMENT Exemple :

Vx

x

Vy

y t

Trajectoire

x(t) y(t)

x0 e

t t0

t &0 1 e y

t0

t 1


Ψ(x,y)

En régime Instationnaire : Trajectoire (x,y) : Fonction de courant 29/10/2007

≠

LDC


dx x x y t

dy y t x0 y0 t0 8

4

REPARTITION DES VI TESSES Rotation

Déformation angulaire

Translation Élongation

29/10/2007


9

REPARTITION DES VI TESSES Soit G(x,y,z,t) une grandeur scalaire :

G dt t

dG

r

r

r

r

G dy y

G dz z

V Vx i Vy j Vz k

Or :

r

dV

29/10/2007

G dx x

Vx t Vy t Vz t

dt

Vx x Vy

Vx y Vy

Vx z Vy

x Vz x

y Vz y

z Vz z


dx dy dz 10

5

REPARTITION DES VI TESSES y

D’

A’

D

Les vitesses dans les points du particule fluide sont égaux.

t+dt

VM’ t

Translation

C’

Ainsi, à l’instant «t» : V(A) = V(B) = V(C) = V(D).

B’

C VM

Et l’instant «t+dt» : V(A’) = V(B’) = V(C’) = V(D’).

x

B

A

r

r

Vx t Vy

r

V (t dt) V (t) dV

r

29/10/2007

dV

dt

t Vz t

r

V dt t


11

REPARTITION DES VI TESSES Élongation

y

A(0,0) B: (dx,0) C : dx,dy D: 0,dy VM D

VM’

C

D’

B' : dx

Vx dx dt,0 x

C' : dx

Vx dx dt, dy x

C’

A ≡A’

D': 0, dy

x

B’

B

Position à l’instant « t » : ABCD r r

V (B) r

V x (B ), 0

V (C ) : Vx (C ), V y(C ) D : 0, V y(D) 29/10/2007

V x (B ) V x X A V x ( A) dV (B )

dx Vx x

Vy y

Vx x

r

V ( A) V ( A' ) (0,0)

Position à l’instant « t+dt » : A’B’C’D’

A' : (0,0)

r

dx

Vx dx x M.D.F. - Rafic Younès

dV

0 0

Vy y

dy dt

dy dt

0 Vy y

0

0 r

0 dr Vz z

12

6

REPARTITION DES VI TESSES VM’

y


C’ D

D’

C

Positions à l’instant « t+dt » :

A' : (0,0)

VM

B' : dx,

B’ A ≡A’

B

x r

V (B )

r

r

V x (B ) i

dV (B)

Vy x

Vy x

x

dx dt Vy

C' :

Vx y

dy dt,

D' :

Vx y

dy dt, dy

x

dx dt

V y (B ) j

0 V y X A dx V y (B) V y( A)

Vy

BB' AB DD' AD

tan d

dx

tan d

dx

29/10/2007

Vy

dt d x Vx dt d y


13

REPARTITION DES VI TESSES VM’

y


C’ D

D’

C

VM

d

Déformation angulaire pure :

d

B’ A ≡A’

d

B

x

1 Vx 2 y

0 r

dV

1 Vx 2 y 1 Vx 2 z

29/10/2007

Vy x Vz x

Vy x

0 1 Vy 2 z

Vz y

1 Vx 2 z 1 Vy 2 z

d Vz x Vz r dr y

dt

1 Vy 2 x

Vx y

dt

Vx dt y

1 Vy 2 x

Vx y

dt

Vy x

0 M.D.F. - Rafic Younès

14

7

REPARTITION DES VI TESSES Rotation

y

VM’

M’

M

1 Vx 2 y 1 Vx 2 z

r

dV

x

1 2 1 2 1 2

r

dV

Vy x Vy x Vx z

1 Vx 2 z Vx 1 Vz dx y 2 y Vz 1 Vz dx x 2 y Vx y

1 2

0

VM

Vz x Vy

dy

29/10/2007

z Vy z

Vy

dz dy

x

0

x Vz x

dz

1 2 1 2

Vy

Vx y

1 2

Vy

1 Vy 2 z 1 Vx 2 z 1 Vy 2 x

Vz y Vz

z

x Vx y

Vx z Vy z

Vz y

Vz x Vz y

r

dr

0

dx dy dz

1 v v rot(v) dr 2


15

REPARTITI ON DES VI TESSES Finalement

r

dV

Vx t Vy t Vz t

1 Vx 2 y

Vx x dt

1 Vx 2 y 1 Vx 2 z

x

Vy

Vy

x Vz x

y

1 Vy 2 z

Translation

1 Vx 2 z 1 Vy 2 z

Vz y

Vz z

Vz x Vz y

dx dy dz

dV

r

r V dt D dr t

1 Vy 2 z 1 Vx 2 z 1 Vy 2 x

Vz y Vz x Vx y

dx dy dz

Rotation

Déformation

r

29/10/2007

Vy

r 1 r rot(V ) dr 2


16

8

EQUATION DE CONTINUITE Théorème d’Ostogradski :

Théorème de transport de Reynolds :

r

dG r (P , t) dt sys

G r (P , t) t VC

G r r V ndA M

SC

r

V n dA

SC

VC

r

Soit G

dM dt

r

r

( P , t) =M ( P , t) Sources volumiques

Sv

VC

Sv

d

t

VC

t

Sv

Forme intégrale de l’équation de continuité

VC

div

r

VC

V d

r

(P , t) div

V

r

VC

t

r

r

V ndA

SC

VC

d

sv

29/10/2007

VC

d

VC

div(

t

(P , t) d

V) d

r

( P , t) d

sv

r

div(

d

sv

sv d

VC

v

V)

sv

Forme différentielle de l’équation de continuité


17

EQUATION DE CONTINUITE Cas particuliers : v

div(

Régime permanent :

V) 0

A2

A1

v

Fluide incompressible :

div(V ) 0

r

Écoulement monodirectionnel :

SC

r

r

n3 A1

r V1 n1

r S3 r

SC

n3

r

r

V n dA

r

dA

A2

1

r

1

V1 A1

2

0 r

r

V2 n2 dA

r

V1 n1 A1

r

V n dA

r

V2 n2 A2

r

=0

0

V3 n3 dA r

A3

0

V3

r

n3

0

2

V2 A2 Fluide compressible :

V1 A1 V2 A2 Fluide incompressible : 29/10/2007


18

9

ECOULEMENT POTENTIEL Pour cet écoulement, la vorticité est nulle en chaque point :

2

On définit alors un potentiel scalaire tel que : r

V

r

r

rot(V) 0

Or le bilan de masse pour un fluide incompressible est : r

grad( )

div(V ) 0

div[ grad( )]

( ) 0

Le signe «moins» permet d’orienter les li gnes de courant des zones àvaleurs élevéesde Φ aux zones àfaibles valeurs de Φ.

r

r

r

grad( ) dl

V dl

d

Sur les lignes équipotentiels d r

grad( ) 0 29/10/2007

r

V dl

0

r

r

V

dl


19

ECOULEMENT POTENTIEL Soit un écoulement permanent irrotationnel d'un fluide incompressible autour d'un cylindre de rayon R. Les conditions aux limites à l'infini induit un champs de vitesse uniforme parallèle à l'axe des x . la vitesse particulaire est tangente au cylindre pour tous les points de sa surface.

le potentiel des vitesses vérifie l'équation différencielle dite de Laplace: ( ) 0

p2 f ' (r ) 0

g" ( )

B rp

cos p

(r , ) Conditions aux limites : vr (r , 0) V0 vr (r

v( 29/10/2007

0) v (

A rp

r M

f (r ) g( )

On cherche une solution sous la forme :

r 2 f " (r ) r f ' (r )

y

V0

x

2

g( ) 0 sin p

(r , )

R) 0

) 0 M.D.F. - Rafic Younès

V0

r

R2 r

cos 20

10

ECOULEMENT POTENTIEL dr Vr

Lignes de courant :

r d V

(r , )

V0

r

Vr

avec :

R2 r

1

V

r

r

sin

Théorie

Expérience

29/10/2007


21

ECOULEMENT ROTATI ONNEL LDC : Lignes de tourbillon r 1 rot(V ) 2

r

r x

r

i

y

j

r z

dx

dy

dz

x

y

z

k

Soit un tube tourbillon limité par les trois surfaces S1, S2 et S3. r

r

div[rot (V )] 0 r

r S1

r

r

1

S1

VC

n1 dS

r

r

1

n1 dS 1

29/10/2007

S1

n2 dS r

2

S2

r

r

2

S2

div[rot(V )] d

n2 dS

S3

0

r

3

r

0 =0

n3 dS r

V3

S

r

rot(V ) n dS

S2

0

r

n3

r

2

S2

n3

Flux de tourbillon

r

S3

n3 1

S1 M.D.F. - Rafic Younès

r

r

n2

r

2

0

r

n1 22

11

ECOULEMENT ROTATI ONNEL : Circulation du tourbillon

D’après le théorème d’Ampere-Stockes : r

S

r

r

rot(V ) n dS

C

r

2 S

V n ds

r

r

r

n dS

C

r

0

r

r

A //V

Az x

En plus : r

rot(V ) 2 29/10/2007

r

Az y

et V y x y

r

rot( A)

0

à Oz

0

0 Vz=0 et z Az Az dx dy x y

Or : LDC

2

y x

S

r

Si l’on considère un écoulement dans le plan D’où : V x

2

div(V ) 0

Écoulement permanent incompressible : Or : div[rot ( A)] est toujours vraie

r

V n ds

2

On peut alors poser : A z(x ,y ) = Ψ(x ,y )


23

ECOULEMENT ROTATI ONNEL Étude expérimentale sur le Vortex :

Zone 1 : r < a r

r

V

r e

Zone 2 : r < a r

V

a2

r

r

e

V

a

29/10/2007


r 24

12

VISUAL ISATION DES ECOULEMENTS On utilise de nombreuses méthodes :  Colorants très variés.  Colorants fluorescents illuminés avec des lasers.  Bulles d’hydrogènes produites en continu ou par impulsions.  Divers types de fumées ou vapeur d’eau.  Réflexion de la lumière sur des paillettes suspendues dans le fluide.  Photographie en longue pose des trajectoires de particules. 29/10/2007


25

VISUAL ISATION DES ECOULEMENTS Colorants

Colorants fluorescents

Bulles d’hydrogènes

fumées

29/10/2007


26

13

Cinematique - Mécanique des fluides

Recommend Documents