TD 3 Trigonalisation

PT

TD 3 : Trigonalisation

.k = 1 Valeur propre λ .

.de

multiplicit´ e m

.Espace

solution E

. − λIn )X = 0 (A

.B

propre Eλ

base de Eλ

.a jouter 1 `a k R´ esolution de

Compl´ eter B en

.Espace

R´ esolution de

. − λIn (A

)k X

=0

.non

B a m

. vecteurs

.oui

Stop .

une . base de E

Pour Trigonaliser une matrice On proc`ede presque comme pour la diagonalisation : seules les ´etapes 3 et 4 sont l´eg`erement diff´erentes. Etape 1 : Ecrire la relation P (λ) = d´et(A − λIn ), en dessinant la matrice. Etape 2 : Calculer et factoriser P . En d´eduire les valeurs propres λ et leur multiplicit´e mλ . Etape 3 : Pour chaque valeur propre λ : a) R´esoudre le syst`eme (A − λIn )X = 0 et en d´eduire une base Bλ de l’espace propre de λ. b) Prendre k = 1. Tant que la base Bλ comporte moins de m vecteurs, effectuer l’´etape n´ecessaire suivante (´eventuellement plusieurs fois) : c) Ajouter 1 `a k, r´esoudre le syst`eme (A − λIn )k X = 0 et compl´eter Bλ en une base de l’espace des solutions de ce syst`eme. Etape 4 : a) Mettre toutes les bases Bλ bout `a bout pour fabriquer une grande base B en respectant la contrainte suivante : l’ordre k de fabrication de deux vecteurs associ´es ` a une mˆeme valeur propre doit ˆetre respect´e. b) Ecrire la relation A = P T P −1 . c) Ecrire la matrice P dont les colonnes sont les vecteurs de la grande base B. d) Ecrire la matrice triangulaire T de l’endomorphisme X 7→ AX dans la base B. Cette matrice aura la particularit´e utile suivante : Chaque coefficient de la diagonale principale de T sera la valeur propre associ´e au vecteur de P dispos´e sur la mˆeme colonne.

Etape 5 : Au besoin, inverser la matrice P pour obtenir la matrice P −1 .

–2– ( (Λ)

Exercice 1. Trigonaliser sur R la matrice (

3 1

) −1 . 1 )

−4 0 5

0 1 1

−2 0 3

0  −3 1 1Exercice 3. Trigonaliser la matrice  0 −1

1 0 1 0

0 4 0 1

 2 0 3 0

−1 0 −1 0 0

1 1 2 0 0

0 1 0 1 2

Exercice 2. Trigonaliser la matrice 



1 0  1 1Exercice 4. Trigonaliser la matrice  0 0 0 ( Exercice 5. Trigonaliser la matrice ( Exercice 6. Trigonaliser la matrice

4 1 1 1 −1 −2

−2 −1 1

2 5 3 1 3 2

)

−1 −3 −2

)

 1 0   1  −2  −3