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2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. De la misma forma que la ecuación ecuación cartesiana cartesiana y = y( x) define una curva en el plano, aquella formada por los puntos ( x, y( x) ) , cuando la variable independiente x recorre un cierto intervalo; una ecuación de la forma r = r (θ ) permite definir una curva en el plano: la que está formada por aquellos puntos P cuyas coordenadas polares (r ,θ ) verifican r = r (θ ), que se llama ecuación de la curva en coordenadas polares. En concreto, las coordenadas cartesianas de los puntos de la curva son ( r (θ ) cos θ , r (θ ) sen θ ) , cuando la variable independiente θ recorre un cierto intervalo. Para dibujar la curva de ecuación r = r (θ ), vamos calculando los valores de r para algunos valores significativos del ángulo θ y dibujamos los correspondientes puntos ( r (θ ) cos θ , r (θ ) sen θ ) , de forma parecida a lo que haríamos para dibujar una curva de ecuación y = y( x) en coordenadas cartesianas. De la misma manera, también pueden considerarse simetrías, valores extremos (que corresponden a los puntos de la l a curva más alejados o más cercanos al origen de coordenadas), etc.
Recta tangente en coordenadas polares. Un elemento esencial para la representación de curvas, es la pendiente de la tangente (si es que existe dicha tangente) t angente) en un punto de la curva. Sabemos que si la curva está dada en coordenad coordenadas as cartesiana cartesianass por la ecuación ecuación y = y( x), entonces la pendiente de la recta tangente en el punto ( x0 , y0 ) de la curva es y′( x0 ). El siguiente resultado establece una fórmula similar cuando la curva viene dada en coordenadas polares en término de las derivadas x′( θ ) e y′(θ ). Si r = r (θ ) es la ecuación polar de la curva, recordemos que las coordenadas cartesianas de los los punt puntoos de curv curvaa vie vienen nen dado dadoss por por las las func funcio ionnes x( θ) : = r (θ ) cos θ e y (θ ) := r (θ ) sen θ . TEOREMA. Sea r = r (θ ) la ecuación de una curva en coordenadas polares y supongamos que r ( θ ) es derivable. Si x′(θ ) ≠ 0, entonces entonces la pendiente de la recta tangente tangente a la curva en un punto P, de y′(θ ) r ′(θ ) sen θ + r (θ ) cosθ coor coorddena enadas das pola polare ress ( r , θ ), es m(θ ) = = . x′(θ ) r ′(θ ) cos θ − r (θ ) sen θ DEM. Podemos expresar en el entorno de este punto P, de de coor coorde dena nada dass pola polare ress ( r , θ ), la curva en coorde coo rdenad nadas as cartes cartesian ianas as y = y( x). La pendiente en este punto P, digamos de coordenadas cartesianas ( x0 , y0 ), sabemos que viene dada por y′( x0 ), es decir, y′( x) evaluada en el punto x0 . Puesto ⎧ x(θ ) = r (θ ) cosθ , que ⎨ usando la regla de la cadena y la derivada de la función inversa 1 obtenemos ⎩ y (θ ) = r (θ ) sen θ , y′(θ ) r ′(θ ) sen θ + r (θ ) cos θ = que y′( x) = y′(θ ) ⋅θ ′( x ) = . x′(θ ) r ′(θ ) cos θ − r (θ ) sen θ 1
NOTA. Recordemos que si la función x = x(θ ) = r (θ ) cosθ es derivable en un punto θ y la derivada x′(θ ) ≠ 0, enton1 . Los puntos en los que la derices existe función inversa θ = θ ( x) y su derivada se puede expresar como θ ′( x) = x ′(θ ) vada x′(θ ) = 0, como veremos en la siguiente observación, tienen, en principio, tangente vertical y en ellos no es posi ble, en general, describir la curva curva como la gráfica de una función y = y( x).
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OBSERVACIÓN (TANGENTES HORIZONTALES Y VERTICALES). Al igual que en el caso de curvas en coordenadas cartesianas, cuando tratamos de dibujar una curva en coordenadas polares es muy útil conocer los puntos donde la tangente es horizontal, o bien vertical. Si la curva viene dada por la ecuación r = r (θ ), el teorema anterior nos dice que los puntos de tangente horizontal son aquellos para los que r ′(θ )sen θ + r (θ ) cos θ = 0, siempre que r ′(θ ) cos θ − r (θ )sen θ ≠ 0. Por el contrario, los puntos de tangente vertical son aquellos que verifican que r ′(θ ) cos θ − r (θ ) sen θ = 0, siempre que r ′(θ )sen θ + r (θ ) cos θ ≠ 0. Los puntos que verifican simultáneamente las dos ecuaciones ⎧ y′(θ ) = r ′(θ ) sen θ + r (θ ) cos θ = 0, ⎨ ⎩ x′(θ ) = r ′(θ ) cos θ − r (θ ) sen θ = 0,
deben ser estudiados de forma particular. EJEMPLO. En el caso de la curva de ecuación r =1 − cos θ , que se llama cardioide porque tiene forma de corazón, tenemos que r ′(θ ) sen θ + r (θ ) cosθ = cos θ − cos 2 θ + sen 2 θ , r ′(θ ) cos θ − r (θ )sen θ = − sen θ + 2 cos θ sen θ .
Para obtener las soluciones de cos θ − cos 2 θ + sen 2 θ = 0, observemos que cos θ − cos 2 θ + sen 2 θ = cos θ − cos 2 θ +1 − cos 2 θ = −2cos 2 θ + cos θ +1 = [ z = cos θ ]
= −2 z 2 + z + 1 = 0. ⎧ 1 −1 ± 1 + 8 −1 ± 3 ⎪ Entonces z = = = ⎨ 1 De aquí deducimos que cos θ puede tomar los valores 1 −4 −4 ⎪⎩− 2 .
1 1 y − . Si cosθ = 1, tenemos que θ = 0 o θ = 2π . Por el contrario, si cos θ = − , tenemos que 2 2 2π 4π o θ = . Para obtener las soluciones de − sen θ + 2cos θ sen θ = 0, observemos que θ = 3 3 − sen θ + 2cos θ sen θ = sen θ ( 2cos θ −1 ) = 0,
con lo que tenemos también dos posibilidades. Si sen θ = 0, tenemos que θ = 0, θ = π o θ = 2π . 1 5π π Por el contrario, si cos θ = , tenemos que θ = o θ = . Las soluciones comunes, es decir, las 2 3 3 2 2 ⎧cos θ − cos θ + sen θ = 0, soluciones del sistema ⎨ son θ = 0 y θ = 2π . Esto nos dice que los pun− + = θ θ θ 2cos sen 0, ⎩ sen 2π 4π tos de tangente horizontal se obtienen para θ = y θ = ; y los puntos de tangente vertical para 3 3 5π π los valores θ = , θ = y θ = π . Veámoslo en el siguiente gráfico, en el que hemos dibujado la 3 3 cardioide y los puntos donde aparecen tangentes horizontales o verticales. El caso del origen, es decir, para θ = 0 o θ = 2π , es especial puesto que estos valores verifican las dos ecuaciones y, a priori, no podemos decidir si la tangente es horizontal, vertical, oblicua o no existe tangente. La grá-
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fica nos indica que la tangente es, de hecho, horizontal. Para comprobar esto analíticamente calculemos el límite de las pendientes m(θ ) cuando el ángulo polar se acerca a cero, esto es r ′(θ ) sen θ + r (θ ) cosθ
cos θ − cos 2 θ + sen 2 θ = lim lim m(θ ) = lim →0 →0 r ′(θ ) cos θ − r (θ )sen θ →0 − sen θ + 2cos θ sen θ − sen θ + 2sen(2θ ) cos θ − cos(2θ ) = lim = [L'Hôpital] = lim = 0. →0 − sen θ + sen(2θ ) →0 − cos θ + 2cos(2θ ) θ
θ
θ
θ
θ
Este resultado nos indica que la tangente es, como intuíamos, horizontal.
Simetrías de curvas en polares. Cuando dibujamos la gráfica de la curva C de ecuación cartesiana y = y ( x ) es usual estudiar su simetría respecto del eje OY y su simetría respecto del origen de coordenadas. Sabemos que la curva es simétrica respecto del eje OY (es decir, si ( x, y) ∈ C , entonces (− x, y ) ∈ C ) si verifica que y ( − x) = y ( x) para todo x. De forma similar, la curva es simétrica res pecto del origen (es decir, si ( x, y) ∈ C , entonces ( − x, − y) ∈ C ) si verifica y (− x) = − y ( x) para todo x. En el caso de una curva C de ecuación polar r = r (θ ) también es posible expresar las simetrías en términos de unas relaciones sencillas en las que interviene la función r = r ( θ ). Establecer estas relaciones es lo que haremos a continuación. Simetría respecto del eje OX . Una curva de ecuación polar r = r (θ ) es simétrica respecto del eje OX si verifica que r ( −θ ) = r (θ ) para todo θ . Una curva de ecuación polar r = r (θ ) es simétrica respecto del eje OY si verifica que r (π − θ ) = r (θ ) para todo θ . Simetría respecto del eje OY .
Simetría respecto del origen. Una curva de ecuación polar r = r (θ ) es simétrica respecto del
origen si verifica que r (π + θ ) = r (θ ) para todo θ . La simetría respecto del origen no implica ninguna relación con las simetrías respecto de los ejes coordenados. Es decir, una curva de ecuación polar r = r (θ ) puede ser simétrica respecto del origen y no ser simétrica respecto de ninguno de los dos ejes coordenados.
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EJEMPLO. Ahora dibujaremos la curva llamada lemniscata, cuya ecuación en coordenadas polares es r = a cos(2θ ), siendo a > 0 un número fijo. Observemos que se verifican las siguientes igualdades que nos indican distintas simetrías de la curva. Simetría respecto de OX . r (−θ ) = a cos(−2θ ) = a cos(2θ ) = r (θ ). Simetría respecto de OY . r (π − θ ) = a cos(2(π − θ )) = a cos( − 2θ ) = a cos(2θ ) = r (θ ).
Simetría respecto de O. r(θ + π ) = a cos(2(θ + π )) = a cos(2θ ) = r (θ ). Teniendo esto en cuenta, basta estudiar la curva en el primer cuadrante. Dominio de definición. En este caso tenemos que r (θ ) está bien definido si y, sólo si, se verifica π
que cos(2θ ) ≥ 0, o lo que es lo mismo, 0 ≤ θ ≤ . Observemos además que 0 ≤ r(θ ) ≤ a para todo 4 π
0 ≤ θ ≤ . Esto nos indica que la curva se encuentra dentro de la circunferencia de radio a centra4 da en el origen. Tangentes. En función del ángulo polar, las coordenadas x(θ ) e y (θ ) vienen dadas por las fórmu⎧⎪ x (θ ) = a cos(2θ ) cosθ , las ⎨ Derivando x(θ ) en la igualdad anterior obtenemos y a = θ θ θ ( ) cos(2 ) sen . ⎪⎩ 1 1 − ( cos(2θ ) ) 2 ( − sen(2θ ))2 cosθ − a cos(2θ ) sen θ 2 sen(2θ ) cos θ + cos(2θ ) sen θ ⎛ sen(2θ ) cos θ ⎞ = −a ⎜ + cos(2θ ) sen θ ⎟ = −a . cos(2 ) cos(2 ) θ θ ⎝ ⎠
x′(θ ) = a
Igualmente si derivamos y(θ ) obtenemos que 1 1 − cos(2 ) θ ( ) 2 ( − sen(2θ ))2sen θ + a cos(2θ ) cos θ 2 sen(2θ )sen θ ⎞ cos(2θ ) cos θ − sen(2θ )sen θ ⎛ a = a ⎜ cos(2θ ) cos θ − = . ⎟ cos(2 ) cos(2 ) θ θ ⎝ ⎠
y ′(θ ) = a
para los que y′(θ ) = 0. Como se verifica la relación trigonomécos(3θ ) trica cos( x + y) = cos x cos y − sen x sen y, tenemos que y ′(θ ) = a . Entonces la igualdad cos(2θ ) Ahora calculamos los valores de
θ
π
y′(θ ) = 0 implica que
π
cos(3θ ) = 0, o lo que es lo mismo, 3θ = , es decir, θ = . De forma simi2 6 lar, resolvemos la ecuación x′(θ ) = 0. De la igualdad sen( x + y) = cos x sen y + sen x cos y, tenemos sen(3θ ) que x′(θ ) = − a . Entonces la igualdad x′(θ ) = 0 implica que sen(3θ ) = 0, o lo que es lo cos(2θ ) mismo 3θ = 0 o 3θ = π , es decir,
θ
= 0 o
θ
=
π
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. Como estamos estudiando la curva en el interva-
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lo 0 ≤ θ ≤
π
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nos quedamos sólo con el punto
Tangente horizontal. Calculamos
θ
= 0.
los valores de
θ
para los que y ′(θ ) = 0 y x′(θ ) ≠ 0. Como
⎛ π ⎞ ⎟ ≠ 0 en el punto correspondiente a este valor del ángulo la curva tiene tangente horizontal. ⎝6⎠
x′ ⎜
Calculamos los valores de θ para los que x′(θ ) = 0 e y ′(θ ) ≠ 0. Como y′ ( 0 ) ≠ 0 en el punto correspondiente a este valor del ángulo la curva tiene tangente vertical. Tangente vertical.
Es interesante conocer la pendiente de la tangente para el valor
θ
π
= . El punto que se obtiene en
4
⎛ π ⎞
este caso es el origen de coordenadas, es decir, r ⎜ ⎟ = 0. Sin embargo, las derivadas no están de⎝4⎠ finidas en este punto. Entonces, para calcular la pendiente debemos calcular el límite cos(3θ ) 3π 2 cos ⎛⎜ ⎞⎟ − cos(2θ ) y′(θ ) cos(3θ ) ⎝ 4 ⎠ = − 2 = 1. lim m(θ ) = lim = lim = − lim =− sen(3θ ) ′ 3π sen(3θ ) 2 → → x (θ ) → → sen ⎜⎛ ⎟⎞ 4 4 4 −a 4 cos(2θ ) ⎝ 4 ⎠ 2 a
θ
π
−
θ
π
−
θ
π
−
θ
π
−
Con estos datos, podemos realizar el dibujo que mostramos en la figura de abajo, con a =1.
OBSERVACIÓN. A veces hay valores de θ para los que r (θ ) < 0, lo que no tendría sentido si exigimos que el radio polar sea positivo. Sin embargo, el punto de coordenadas ( r (θ ) cos θ , r (θ )sen θ ) puede ser representado en el plano aunque r ( θ ) < 0. Por eso, en algunos libros se admiten radios negativos, con lo que un punto tiene dos pares de coordenadas polares, la habitual y ( −r , θ ± π ). No obstante, nosotros siempre supondremos, como venimos haciendo, que r ≥ 0.
EJERCICIO 1. Calcula la pendiente de las curvas dadas por las siguientes ecuaciones polares en los puntos que se indican: π π 3π a) r = 1 − sen θ en θ = 0, π . b) r = sen(2θ ) en θ = ± , ± . c) r = cos(2θ ) en θ = 0, ± , π . 4 4 2
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EJERCICIO 2. Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas. a) r = 1 − cos θ , r = 1 + cos θ , b) r = 1 − sen θ , r = 1 + sen θ , c) r = 2sen θ , r = 2sen(2θ ), d) r = 1 − cosθ , r = cos θ , e) r = 2, r 2 = 4sen θ , f) r 2 = 2 cos(2θ ), r 2 = 2 sen(2θ ). EJERCICIO 3. Dibuja la curva de ecuación polar
r 2 = 4 cos θ .
EJERCICIO 4. Dibuja las siguientes curvas espirales de ecuación polar:
r = θ , r = e
θ
1 y r = . θ
EJERCICIO 5. Dibuja la región plana limitada por la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = 1 + senθ con θ ∈ [0,2π ]. EJERCICIO 6. Dibuja la curva que, en coordenadas polares, viene dada por va se conoce como rosa de cuatro hojas.
r = 4 cos(2 θ ) .
Esta cur-
EJERCICIO 7. Consideremos dos puntos fijos del plano C 1 y C 2 distintos. Fijemos un sistema de referencia en el plano de forma que C1 = (c,0) y C2 = (−c,0), con c > 0. Determina la ecuación cartesiana de los puntos P = ( x, y) tales que el producto de las distancias de P a C 1 y de P a C 2 es una constante k > 0. Comprueba que, en el caso particular en el que k = c 2 , dicha curva es una lemniscata obteniendo su ecuación polar.
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