UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento Depart amento de Matem´ aticas aticas
TALLER IV Profesor: H. Fabian Ramirez C´alculo alculo Vectorial INTEGRALES TRIPLES
1. Calcu Calcule le
˚
3dV , , donde D est´ a limitado por las superficies z = 0, y = 0, y = x,
D
+ y = 2, x + + y + z = 3 x + y = y + z = 2. Calcu Calcule le
˚
R/=3 R/ =3
z 2 dV , , donde D est´ a limitado por las superficies z = 0, x2 + z = 0,
D
y 2 + z z = = 1. R/ R/= = 13 3. Calcu Calcule le
˚
x2 dV , , donde D est´ a limitado por las superficies y2 + z 2 = 4ax ax,, y 2 = ax ax,,
D
x = 3a
R/=27 R/ =27a a5
4. Calcu Calcule le la integral integral
√
3 3+2π 2
ˆ √ ˆ √ ˆ π/ 4
0
π/ 4
4
cos(6yy 2 )dzdydx cos(6 dzdydx..
2
x
R/= R/ =
− 16
5. * Encuentre Encuentre el volumen volumen del s´ olido limitado, por arriba, por el paraboloide z olido paraboloide z = = 4 x2 y 2 y, por abajo, por el plano z = 4 2x. R/ R/= = π2
− −
−
6. * Encuentre el volumen del s´olido olido en el primer octante acotado inferiormente por el plano xy xy,, superiormente por el plano z = y, lateralmente por el cilindro y 2 = x x,, y el 1 plano x plano x = = 1. R/ R/= =4 7. (Interesan (Interesante) te) Calcule el volumen volumen del s´ olido limitado por los planos z olido planos z = 8π 2 2 2 el hiperboloide x hiperboloide x + y z = 1. R/ R/= =3
−
−1,1, z z = 1 y por
8. * Calcule el volumen del s´olido olido interior a los cilindros y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x (parte mayor) debajo del plano x + + z z = 5 y por encima del plano z = 0. R /=6 =6π π + 224 15 9. ** Si se sabe que el vo volum lumen en de una bola de radio 3 es 36 36π π , calcule el volumen del s´olido D olido D encerrado por el elipsoide x36 + y16 + z25 = 1 Ayuda: transforme el elipsoide en una esfera de coordenada u coordenada uvw vw de de radio 3. Rs/ Rs/=160 =160π π. 2
2
2
10. (Poderoso). Halle el volumen volumen del s´ olido limitado por las superficies x olido superficies x2 +y 2 = 9, 9, z z = = 9 x2 y 2 , x2 + y 2 + (z (z 16)2 = 9 en la regi´on y on y x > 0. Rc/ Rc/= = 171 4 π.
−
− −
−
11. Halle el el volumen volumen del s´ olido sobre el cono z olido cono z 2 = x 2 + y 2 e interior a la esfera x esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2az az.. 3 Re/= Re/ =πa 12. Halle el volumen volumen del cono de helado seccionado seccionado en una esfer esferaa de radio 6 por un cono con un ◦ semi-´ angulo de 30 . ver Figura. Re/ angulo Re/=72 =72π π (2 3). 13. (Inte (Interesan resante) te) Calcu Calcule le
˚
x2 + y 2 + z 2 dV dV donde D es el s´olido olido limitado a la derecha
D x2 + y 2 + z 2
por la esfera √ Re//=a4 π 8−5 2 Re
− √
= 2ay (a > 0) y a la izquierda por el cono y =
√ x2 + z2.
14. (Interesante) Utilice coordenadas esf´ ericas para calcular el volumen del s´olido ericas olido limitado 2 2 y + z por las superficies x superficies x = = y 2 + z 2 , x = y el plano plano x = 4. R/ R/= = 128 x = x = 3 π 3
1
15. (Poderoso) Sea S un s´ olido interior del cilindro y 2 +z 2 = 4 y limitado por las superficies cil´ındricas x = z 2 y x 6 = (z 2)2 . Halle el volumen de S . Rc=40π
−
˚
−
x2 y2 z2 16. Calcule I = 1 dxdydz donde D es el s´olido encerrado por el a2 b2 c2 D x2 y 2 z 2 elipsoide 1 + 2 + 2 = 1. Res/= π 8abc a2 b c
− − −
2
−
17. Halle el volumen del s´olido interior a las superficies x2 + z 2 = 4y, x2 + z 2 = 5 exterior al cilindro x 2 + z 2 = 1. Rc/= 458π
˚
−y y
− y2 − 4x2dV sobre el s´olido D limitado superiormente por el para√ 7 boloide z = 16 − y 2 − 4x2 e inferiormente por el plano z = 7. Rc/= 1664+197 π 30
18. Calcule
16
D
19. Halle el volumen de la regi´on limitado por los cilindros hiperb´olicos xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, y z = 25, y z = 49 Rc/=64 20. ** Calcule
˚
x2 + y 2 + z 2 dV , donde D es el s´olido limitado por las superficies
D
z =
x2
+ y 2 ,
z = 3. Rcyci/=
√ 27 2 − 27
2
π
21. Encuentre el centro de masa de un objeto material homog´eneo limitado por los planos coordenados, el plano x + y = 1 y el paraboloide z = 4 x2 4y 2 . R/=( 33 , 27 , 5 ) 95 95 3
− −
22. Un cuerpo est´a limitado por dos superficies esf´ericas conc´ entricas cuyos radios son iguales a r y R (R > r). Teniendo en cuenta que la densidad del material es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de las esferas, halle la masa total del cuerpo. R/=2π(R2 r2 )
−
23. Halle el momento est´a tico de la parte com´ un de las esferas x2 + y 2 + z 2 < R2 y x2 + y 2 + z 2 < 2Rz respecto al plano xy. La densidad en cualquier punto del cuerpo es 5 igual a la distancia entre este punto y el plano xy. R/= 419 180 R π 24. Si D es la regi´on limitada por los planos x = 1, x = 2 y por los cilindros y 2 + z 2 = 4, y2
+ z 2
˚ = 9, calcule e y + z dxdydz ˆ ∞ ˆ ∞ ˆ ∞ x
2
2
D
π
R/= 563e (e 2
x2 + y 2 + z 2 e−(x
25. Demuestre que
+y2 +z 2 )
− 1)
dxdydz = 2π
−∞ −∞ −∞
26. Halle el volumen de la regi´ on R que est´a entre los paraboloides z = x 2 +y2 , z = 4(x2 +y 2 ) y los planos z = 1, z = 4. 27. Encuentre el volumen del s´olido T que est´a bajo el paraboloide z = x 2 + y 2 y sobre el tri´angulo R en el plano xy con v´ertices en (0, 0, 0), (1, 1, 0) y (2, 0, 0). 28. Encontrar el volumen y centroide de la regi´ on s´olida que se halla dentro de la esfera ρ = 3, bajo el como φ = π/3 y arriba del plano φ = π/2. 29. considere los siguientes s´olidos y plantee, pero NOOO eval´ue, las integrales que producen el volumen V del s´olido utilizando los ´ordenes de integraci´on indicados.
2
30. Calcule 0
˚
(4z + 2x
D
≤ x − y ≤ 3.
− 2y)dV donde D es el paralelep´ıpedo 1 ≤ y + z ≤ 3, −1 ≤ −y + z ≤ 1,
31. Determine el volumen del s´olido que se muestra en la Figura 3 32. Encuentre el a´rea de la superficie de la porci´on de la gr´afica de x = y z dentro del cilindro y 2 + z 2 = 1 33. Encuentre los l´ımites de integraci´on para evaluar la integral triple de una funci´on f (x,y,z) sobre el tetraedro D con v´ertices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 1). 34. Halle el volumen de la regi´on del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y + z = 2 y el cilindro x = 4 y 2 . (Fig 4) 2
4 x
2
35. Halle
x
ˆ ˆ − ˆ 0
0
0
36. Encuentre a tal que
Fig 3
−
sin(2z) dydzdx 4 z
−
4 a x2
1
4 x2 −y
ˆ ˆ − − ˆ − 0
0
dzdydx =
a
4 15
37. ¿Para qu´e valor de c ocurre que el volumen del elipsoide x 2 +
y2 4
+
z2 c2 =
1 es igual a 8π?
Fig 4. 38. Calcule los vol´ umenes de los siguientes s´olidos
39. Sea C el cuarto de c´ırculo C definido por x = 4 cos t, y = 4 sin t, 0
≤ t ≤ π/2. Calcule
a )
ˆ
2
xy dx
C
40. Calcule
b)
ˆ
2
xy dy
c )
C
ˆ
ˆ
xy 2 ds
C
(x + y)ds a lo largo de los caminos indicados
C
a )
El tri´angulo con v´ertices (0, 0), (4, 0) y (0, 3) recorrido en sentido antihorario. R/=30
b)
El c´ırculo x 2 + y 2 = 2x desde (0, 0) a (2, 0) recorrido en sentido horario. R/=π + 2
c )
El c´ırculo x2 + y 2 = 16 desde (4, 0) a ( 4, 0) recorrido en sentido antihorario. R/=32
−
41. * Jaimito piensa pintar una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene como base la curva C : x2/3 + y 2/3 = (40)2/3 (x > 0 , y > 0) y altura para cada punto (x, y) C est´ a dada por la funci´on f (x, y) = 4 + y2 . Si le proporcionan la pintura y le van a pagar US 100 por pintar 20m2 , ¿cu´al es su ganancia de Jaimito para salir de fiesta? R/=US 7200
∈
3
42. Dibuje una muestra representativa de vectores del campo vectorial F(x, y) = 13 ( y, x)
−
43. Calcule
ˆ 1 − x
2
x
x2 + z 2
C
1/2
1 y2 1 z2 dx + y 2 dy + z dz y + z 2 2x2 + z 2
−
−
donde C es la curva de intersecci´on de las superficies x = y y 2x2 + z 2 = 1 en el primer octante, recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj. R/= 14 44. Calcule
−
ˆ
(x2 , y 2 , z 2 ) dr, donde C es la curva intersecci´on de las superficies x2 +y 2 +z 2 = 16
C 2
·
y x 2 + y = 4y, z 45. Calcule
ˆ
C
≥ 0 recorrida en sentido horario. R/=0 F · dr , donde F (x,y,z) = (−yx,x2 + z, exy +tan(z)) y C es la curva intersecci´on
x2 y2 de las + = 1 y 9x2 + 4y 2 + z 2 = 49 en el primer octante, recorrida en el sentido 4 9 contrario al de las agujas del reloj. R/=(12 3 13) 46. Calcule
ˆ
− √
(x + z , y
− − z, x − y ) · dr , siendo C la curva de intersecci´on entre la esfera
C
x2 + y 2 + z 2 = 16 y el cilindro x 2 + y 2 = 4x R/=0 47. * Calcule I =
ˆ
C 1
(y z)dx+(x z)dy +(y x)dz +
−
−
−
ˆ
C 2
y y y 3+2x sen( ) y cos( ) dx+x cos( )dy x x x
−
siendo C 1 el segmento de recta que va de (1, 2, 2) a ( 1, 0, 2) y C 2 el arco de la semielipse superior 4x2 + y 2 16x + 12 = 0 que va de (1, 0) a (3, 0). R/=6 + 6 = 12
−
−
ˆ
48. Calcule F dr siendo F (x, y) = (ey + yex, xey + ex ) y C es la curva descrita en cada C caso. a ) C es el segmento de recta que va de ( a, 0) a ( a, 0) sobre el eje x. R/= 2a
·
− − b ) C es la trayectoria que va de (a, 0) al punto (−a, 0) sobre la mitad superior de la elipse b2 x2 + a2 y 2 = a 2 b2 . R/=−2a c )
C es la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 recorrida en sentido horario. R/=0
49. Calcule
ˆ xdx + ydy + zdz x2
C
+ y 2
+ z 2
donde C es el arco de la curva x = 2t, y = 2t + 1, z = t 2 + t
que une los puntos P 1 (0, 1, 0) y P 2 (2, 3, 2). R/= 12 ln(17) 2
50. Calcule
2
ˆ x dy + y dx α
x5/3
+ y 5/3
donde α es la cuarta parte de la astroide x = R cos3 t, y = R sen3 t 4/3
desde el punto (R; 0) hasta el punto (0, R) (Fig 2). R/= 3πR 16 (4,4,4)
51. Calcule
ˆ
xdx + ydy + zdz
x2 + y 2 + z 2 (1, 1, 1) y (4, 4, 4). R/=3 3 (1,1,1)
√
− x − y + 2z
Fig. 2
a lo largo de la recta que une los puntos
52. Determine la masa y la coordenada z del centro de masa de un alambre en forma de h´elice descrita por la curva r (t) = (cost, sen t; t) entre t = 0 y t = 2π , si la densidad es ρ(x,y,z) = π +2π ) x2 + y 2 + z 2 R/m = 2 2(π + 4π3 ), z = 3(3+4 π
√
3
3
2
53. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x, y) = (y 2 , x) al mover una part´ıcula desde (0, 0) hasta (2, 0) a lo largo de la curva C descrita por el conjunto S = (x, y) R2 : y = 1 1 x Fig 3. R/= 13
− | − |}
−
4
∈
Fig. 3
54. Halle la masa del arco de la curva C : x = e t cos t, y = e t sen t, z = e t desde el punto correspondiente a t = 0 hasta un punto cualquiera t = t0 , si la densidad del arco es inversamente proporcional al cuadrado del radio polar, y en el punto (1, 0, 1) la densidad es igual a 1. R/=m = 3(1 e−t
√ −
0
55. Halle el momento de inercia sobre el eje y de un alambre semicircular que tiene la forma x2 + y 2 = 1 , y 0, si su densidad es ρ(x, y) = x + y . Determine tambi´en la masa y el centro de masa del alambre. R/I y = 2, m = 4, (x, y) = (0, 2+8 π )
≥
| | | |
1 1 xy 56. Sea F(x, y) = ye xy un campo de fuerzas Halle el trabajo que x y , xe xy realiza F al mover una part´ıcula desde el punto (1, 1) hasta el punto (2, 2) siguiendo la trayectoria compuesta por C 1 C 2 C 3 , donde
−
−
2
2
∪ ∪ C 1 : es la semicircunferencia (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1, y ≥ 1 C 2 : es la recta que une (3, 1) con (4, 4) C 3 : es la recta que une (4, 4) con (2, 2)
R/=e4
− e − 34
57. Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x,y,z) = (y , z , x) al desplazar una part´ıcula a lo largo de la curva C , intersecci´on de las superficies z = xy y x 2 + y 2 = 1, recorrida en el sentido que vista desde encima del plano xy, es el contrario al de las agujas del reloj. R/= π
−
58. Halle el trabajo realizado por la fuerza F (x,y,z) = (2x y + z, x + y z 2 , 3x 2y + 4z) al desplazar una part´ıcula alrededor de la elipse (x−42) + (y−93) = 1, recorrida en el sentido que, vista desde encima del plano, es el contrario al de las agujas del reloj. R/=12π
− 2
2
−
−
Rotacional y Divergencia
59. Sea F =
−yi +
x x2 +y 2 j.
a) Calcule
∇ × F b) Eval´ue
˛
F d r alrededor de cualquier
·
trayectoria cerrada, (que encierre el origen y que no encierre el origen). 60. Dada φ = 6x3 y2 z. Encuentre
∇2( 1r ) = 0
∇ · ∇φ o bien ∇2φ o div (∇φ).
61. Demuestre que
62. Demuestre que div(f F) = f divF + ( f ) F y despues demuestre que div(
∇ ·
r
r3
) =0
63. Determine la constante a de modo que div( F) = 0 donde F = ( 4x 6y +3z)i +( 2x+ y 5z) j + (5x + 6y + az)k.
− −
−
−
64. Suponga que A = x 2 z 2 i
− 2y2z2 j + xy2zk. Encuentre rot (rot A). 65. Suponga que ∇ × F = 0. Eval´ue ∇ · (F × r). 66. Sea F es un campo vectorial con segundas derivadas parciales continuas Demuestre: a )
Si F es conservativo, entonces rot F = 0 . b ) div(rot F) = 0
67. Encuentre rot ( rf (r)), donde f (r) es diferenciable. 68. Suponga que v = w
× r. Demuestre que rot v = 2w, donde w es un vector constante
69. a) Encuentre constantes a, b y c, de modo que F = ( 4x
− − 3y + az)i + (bx + 3y + 5z) j + (4x + cy + 3z)k
sea irrotacional. b) Demuestre que F es conservativo y halle la funci´on potencial de F . 70. Demuestre que si φ(x,y,z) es cualquier soluci´on de la ecuaci´on de Laplace , entonces ψ es un vector que es tanto solenoidal (div ψ = 0) como irrotacional (rot ψ = 0)
∇
5
∇
EJERCICIOS DE CURVAS (APENDICE) Funciones vectoriales
71. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales
− 2), √ 4 − t) R/ (2, 4) 1 , √ 9e−t , ln(1 − t) R/ (−3, −2) ∪ (−2, 1) g(t) = ( t+2 f (t) = (t2 , ln(t
t
2
72. Trace la imagen de las siguientes funciones a )
f (t) = (1 + t3 , t2 )
b)
g(t) = (4cos t, 5sen t)
c )
r(t) = (cos t, sen t, t), con t
≥ 0.
73. Halle una funci´ on vectorial que represente a las siguientes curvas a )
9x2 + 4y 2 = 36
b)
y = x 2
− 4x + 7
74. Halle una funci´ on vectorial que represente a la curva de intersecci´on de las siguientes superficies. a )
x2 + y 2 = 16 y z = xy
b)
z = 16x2 + 9y2 y y = x 2 ,
R/ : f (t) = (4cos t, 4sen t, 16cos t sen t), R/ : g (t) = (t, t2 , 16t2 + 9t4 ),
t
∈ R
t
∈ R
75. Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que se indican a )
b)
c )
√ − t2, ln(3 − t), et−3), con t ∈ [−2, 3)
f (t) = ( 4
f (t) =
f (t) =
− − − − −
2arcsen t π cos(2πt) , t sen( ), , 3t t t π , t 1, ln t + 1 , 3 sen t,
t
1
t
, 2t ,
e )
f (t) =
f (t) =
∈ (0, 1) si t ∈ [1, 2]
si t
∈ [0, 1) si t ∈ [1, 2]
1, 0, 3 ,
d )
si t
arc sen t 1 4t2 + 5, , sen t sen( ) , t t
si t = 0
5, 0, 0 ,
si t = 0
t2
4
|t − 3| −
e t−2 1 t ,
1
,
si t = 2
76. La imagen de la funci´ on vectorial r (t) = (et−1 , e−2(t−1) ) describe la trayectoria de una part´ıcula que se mueve en el plano xy. 1 x2 , x
a )
Trace la gr´afica de la trayectoria de la part´ıcula. (R: y =
b)
Dibuje los vectores velocidad y aceleraci´on para t = 1.
c )
Halle la ecuaci´on vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el punto A(e, e−2 ).
−
2t, t2 ; 2e2(t−1)
≥ 0)
77. Dada la funci´ on vectorial r (t) = 1 . Halle la ecuaci´on vectorial de la recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r ′ (t) es paralelo al vector r(t). R/: l(x,y,z) = ( 1, 1, 2) s( 2, 2, 4).
−
− − 6
78. Sean las curvas C 1 y C 2 dadas por las funciones vectoriales C 1 : f (t) =
1
−
2
t2
, 2t + 1, 1 + e2−t
C 2 : g (t) =
2t
− 1 , 4 − t, 3 − et+1
2
− 32 , 5, 2)
a )
Halle el punto de intersecci´ on de las curvas C 1 y C 2 R/: f (2) = g ( 1) = (
b)
Calcule la medida del ´angulo que forman las curvas C 1 y C 2 en su punto de
−
intersecci´ on. R/: θ = arccos
√
− 3 3
79. La fuerza que act´ ua sobre una part´ıcula de masa m = 2 en el plano est´a dada en funci´on del tiempo t por la ecuaci´on
F(t) = 2(cos t
− t sen t), 2(sen t + t cos t)
Cuando t = 0 la posici´on y la velocidad de la part´ıcula son f (0) = (2, 0) y v (0) = (1, 0). Halle la velocidad y la posici´on de la part´ıcula como funciones de t. Ayuda: Ley de Newton, F(t) = ma(t). R: f (t) = (t sen t + cos t + t + 1, t cos t + sent)
−
80. Una part´ıcula inicia su movimiento en f (0) = (2, 0, 0) con velocidad inicial v (0) = i j + k. Su aceleraci´o n es a(t) = (2t, 3t2 , 6t). Determine la funci´on velocidad y la posici´o n de la
−
part´ıcula en cualquier instante t. R: f (t) =
t3 3
4
+ t + 2, t4
− t, t3 + t
x2 + y 2 + z 2 = R 2
81. Halle una parametrizaci´on para la curva C :
z = a
R > 0 0 < a < R
82. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas
− √ ˆ √ ˆ √
√ t2 t 2 2 + t, t, ln t , (t > 0), desde t = 1 hasta t = 2. R/ 22 (3+ ln(2)) 2 2 2 t t cos u sen u du, du, 4t1/2 , desde t = 1 hasta t = 4. R/ 3 2 b ) α(t) = 2u 2u 1 1
a )
α(t) =
√
83. Halle la longitud de la curva α(t) = (t, 1 + t2 ) , desde el punto en que los vectores α(t) y α′ (t) son paralelos√ de sentidos opuestos hasta el punto en que los mismos vectores son ortogonales. R/ 25 14 ln( 5 2)
√ −
−
84. Una part´ıcula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante t su posici´on es α(t) = (2t cos t, 2t sen t, t2 + 2t)
−
√
a )
Determine la rapidez de la part´ıcula en el instante t = 1 R/ 2 2
b)
Si la part´ıcula toca al plano xy en el instante t = 0, halle otro instante t1 en que la part´ıcula toca nuevamente el plano xy. R/ t = 2
c )
Halle el espacio recorrido por la part´ıcula desde t = 0 hasta t = t 1 .
85. En los siguientes ejercicios, represente la curva dada mediante la intersecci´on de dos superficies. Halle ecuaciones param´ etricas para cada curva. a )
x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4 (primer octante)
b)
x2 +y2 +z 2 = 16, xy = 4 (primer octante)
√ 4 − t2 √ R/ x = t, y = 4t , z = 1t −t4 + 16t2 − 16 R/ x = t, y = t, z =
t
86. Sea C una curva en el espacio dada por α(t) =
ˆ 0
β (u)du donde β (u) = (u cos(u), u sen(u), 1).
Calcule la longitud de arco de la curva C desde el punto α(0) hasta el punto α(1).
7
87. Halle las ecuaciones de los planos normal principal, rectificante y osculador de la curva intersecci´ on de las superfices x2 + y 2 + z 2 = 6 en el punto A(1, 1, 2). osculador: y = 1
x2
R/: P 0 : y = 1. P N : 2x
8
− y2 + z 2 = 4
− z = 0, P R : x + 2z − 5 = 0 Plano
