STUDENT REVIEW & BANK SOAL KALKULUS II

STUDENT REVIEW & BANK SOAL KALKULUS II

Dosen Pengampu: Maxrizal, S.Pd.Si., M.Sc.

Disusun Oleh: Mahasiswa Kelas TH & TK Kalkulus II

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015

CATATAN DOSEN PENGAMPU Assalamulaikum wr. wb Salam semangat!!!

Saya ucapkan selamat kepada mahasiswa-mahasiswi yang telah berhasil mereview kembali perkuliahan Kalkulus II selama 1 semester. Student review dan bank soal ini adalah kumpulan materi-materi dari modul kuliah, bahan dari internet dan diskusi materi di kelas selama pembelajaran.

Saya berharap karya para mahasiswa ini akan memotivasi para mahasiswa untuk menulis dan belajar, serta bisa digunakan untuk menunjang pembelajaran Kalkulus II di kampus STMIK Atma Luhur.

Memang masih banyak kekurangan dalam penyusunan materi seperti format naskah, ataupun kebiasan copas (copi-paste) sehingga hasilnya kurang maksimal.

Wassalam

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

NOTASI SIGMA

Written by: 1. Agus Setiawan

- 1311500020

2.Vinsensius Julio

- 1311500001

3.Naufal Mustafa

- 1311500022

4.Romanza

- 1311500094

5.Wawan Suhendra - 1311500039 6.Edo Setiawan

- 1311500038



NOTASI SIGMA

LESSON Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat b

keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan "

x" i

dimana I sebagai

ia

indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan xi adalah rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil. b

x

1

dibaca “sigma dari xi untuk harga i dari a sampai b”.

ia

Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik. k

k c

x  x n

n 0

nc

n c

Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut: Contoh 1 2 =? Penyelesaian: 2 = 2.1 + 2.2 + 2.3 = 2 + 4 6 = 12 Contoh 2 ∑

6−2 =?

Penyelesaian: 6 − 2 = 6 − (2.1) + 6 − (2.2) + 6 − (2.3) = (6 − 2) + (6 − 4) + (6 − 6) = 5


QUESTION Soal 1 (3 + 1) =? Penyelesaian:

∑

(3 + 1)

= (3.1)+1 + (3.2)+1 + (3.3)+1+ (3.4)+1 = 4

+ 7 + 10 + 13

= 34

Soal 2 (2 + ) =? Penyelesaian: ∑

2 +i

= (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4) + (2 + 5) = 3 + 6 + 11 + 20 + 37 = 77

Soal 3 Nyatakan 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 dalam bentuk notasi sigma!

Penyelesaian:

Dengan demikian


Soal 4 Buatlah notasi Sigmanya ! 1 1 1 1 1 + + + + =? 2 4 8 16 32 Penyelesaian: 1 1 1 1 1 + + + + = 2 4 8 16 32

1 2

Soal 5 5

Ubahlah

 (4k  3) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! k 0

Penyelesaian: 5

57

12

 (4k  3)   4(k  7)  3   (4k  25) k 0

k 7

k 7

Soal 6 2

Ubahlah

 (3k  2) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 6 ! k 1

Penyelesaian: 2

2 6

8

 (3k  2)   3(k  6)  2   (3k  16) k 0

k 6

k 6

Soal 7 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigma berikut 5

 (k  1) = ? k 3

Penyelesaian: 5

5 2

3

 (k  1) =  (k  2)  1   (k  3) k 3

k  3 2

k 1


Soal 8 4

Hitunglah nilai dari

 (k

2

 4k )

k 1

Penyelesaian: Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Cara 1: 4

 (k

2

 4k ) = (1 2 – 4(1)) + (2 2 – 4(2)) + (3 2 – 4(3)) + (4 2 – 4(4))

k 1

= (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 – 16) =–3–4–3+0 = –10 Cara 2: 4

4

4

 (k 2  4k ) =

 k 2   4k

k 1

k 1

4

=

k 1

4

 k 2  4 k k 1

k 1

= (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ) – 4( 1 + 2+ 3 + 4) = (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10) = 30 – 40 = –10 Soal 9 Double Sigma 2 +3 =?


Penyelesaian: 2 + 3 = (2.1 + 3.3) + (2.2 + 3.4 + (2.3 + 3.5) + (2.4 + 3.6) = (2 + 9) + (4 + 12) + (6 + 15) + (8 + 18) = 74

Soal 10 2 −3 =? Penyelesaian: 2 + 3 = (2. (−2) − 3.1) + (2. (−1) − 3.2 + (2.0 − 3.3) + (2.1 − 3.4) + (2.2 − 3.5) = (−4 − 3) + (−2 − 6) + (0 − 9) + (2 − 12) + (4 − 15) = -45


DAFTAR PUSTAKA

https://istanamengajar.wordpress.com/2014/01/25/soal-dan-pembahasan-notasi-sigma-1-5/ http://www.slideshare.net/Siti_Aisyah/notasi-jumlah-dan-sigma https://triwahyuningsih.files.wordpress.com/.../contoh-notasi-sigma2.Doc http://rumus-matematika.com/notasi-sigma/ http://rumusdasarmatematika.blogspot.com/2014/11/materi-notasi-sigma-contoh-soal-dan.html www.matematikatips.tk/2014/05/notasi-sigma.html

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

BILANGAN DAN NOTASI SIGMA

Written by: 1.

ABU SYAWAL BANIDAL 1311500 2. 3.

AWALUDIN 1311500044 DINA AGUSTIN 1311500111

4.

FILIA WULANDARI 1311500058

5.

JOSAN ARIANSYAH 1311500103 6.

RIKI ANGGA SAPUTRA 1311500120

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG


2015 BILANGAN DAN NOTASI SIGMA

BARIS BILANGAN 1. KONTEK BARISAN ARITMATIKA DAN GEOMETRI Barisan aritmetika dan geometri, Bagi Anda yang pernah naik taksi yang menggunakan argometer, pernahkah Anda memperhatikan perubahan bilangan yang tercantum pada argometer? Apakah bilangan-bilangan itu berganti secara periodic dan apakah pergantiannya menuruti aturan tertentu? Jika Anda memperhatikan mulai dari awal bilangan yang tercantum pada argometer dan setiap perubahan yang terjadi, apa yang dapat Anda simpulkan dari barisan bilangan-bilangan tersebut? Perhatikan bahwa perubahan bilangan-bilangan pada argometer taksi menuruti aturan tertentu. Setiap dua bilangan yang berurutan mempunyai selisih yang tetap. Barisan bilangan yang seperti itu disebut barisan aritmetika.

Iwan mencari rumah temannya di Jalan Gambir no.55. Setelah sampai di Jalan Gambir ia memperhatikan bahwa rumah-rumah yang terletak di sebelah kanan jalan adalah rumah-rumah dengan nomor urut genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Dengan memperhatikan keadaan itu, kearah manakah Iwan mencari rumah temannya? Barisan nomor-nomor rumah di atas baik di sebelah kiri maupun kanan merupakan barisan bilangan aritmetika.

Diasumsikan bahwa harga tanah mengikuti pola selalu bertambah n% dari tahun sebelumnya. Misalkan untuk mempermudah perhitungan n bernilai 5% dan harga tanah di suatu desa sekarang Rp 200.000,- per meter persegi. Ini berarti setahun lagi harga tanah menjadi Rp 210.000,- per meter persegi. Tahun-tahun berikutnya berturut-turut harga tanah per meter persegi dalam rupiah menjadi 220.500, 231.525, dan seterusnya. Ternyata ini juga adalah contoh barisan geometri. Sekedar mengingatkan Anda, berikut ini adalah rumus-rumus yang dipakai dalam barisan aritmetika dan geometri.

Pada barisan aritmetika: b = un – un-1 un = a + (n−1)b


dengan un = suku ke-n, a = suku pertama dan b = beda Sifat yang berlaku, 2

=

+

=

, atau , t > p,t dan p untuk bilangan asli.

Contoh penerapan sifat itu adalah

=

,

=

pada barisan geometri: r= = Dengan

= suku ke-n, a = suku pertama dan r = rasio

Sikap yang berlaku: =

×

, t > p, t dan p dan bilangan asli

Tetapi tidak berarti selalu

=

Contoh penerapan sikap itu adalah

× =

×

.

Contoh 1 Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan barisan aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah. Berapa banyak permen yang diterima oleh anak terkecil? Penyelesaian: Misal permen yang diterima 5 anak tersebut mulai dari anak tertua adalah a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b a + b = 11 ....1) a + 3b = 19 ....2) Persamaan 2) dikurangkan dengan 1) diperoleh b = 4, selanjutnya a = 7. a + 4b = 7 + 4(4) = 23 Jadi, banyak permen yang diterima anak terkecil adalah 23 buah.


Contoh 2 Tentukan 8 suku pertama dari suatu barisan aritmetika yang suku ke-2 adalah 42 dan suku ke-6 adalah 72.

Penyelesaian: Salah satu alternatif penyelesaian adalah menggunakan sifat barisan aritmetika: u =

u + u u + u u + u ;u = ;u = 2 2 2

Dari informasi yang ada, suku ke-4 barisan ini diperoleh lebih dulu, Yaitu

=

= 57

Kemudian diperoleh

=

= 49,5 dan

=

= 64,5 dari sini diperoleh beda b = 75

dan suku pertama a = 34,5. Jadi 8 suku pertama barisan itu adalah 34,5; 42; 49,5; 57; 64,5; 72; 79,5; 87.

2. Barisan Selain Barisan Aritmetika dan Geometri Ada banyak barisan bilangan yang dapat dipelajari, Jika dibutuhkan materi pengayaan tentang barisan bilangan selain barisan aritmetika dan geometri, maka materi berikut ini dapat menjadi alternatif tambahan. Untuk menentukan suku-suku suatu barisan kita melihat keteraturan pola dari suku-suku sebelumnya. Barisan seperti 2, 4, 7, 11, ... memiliki keteraturan karena beda suku ke-2 dengan pertama adalah 2, beda dari suku ke-3 dengan ke-2 adalah 3, beda suku ke-4 dengan ke-3 adalah 4. Perhatikan juga barisan 1, 2, 5, 12, 27, 58, ... Beda suku ke-2 dengan pertama 1, beda suku ke-3 dengan ke-2 adalah 3, beda suku ke-4 dan ke-3 adalah 7, beda suku ke-5 dan ke-4 adalah 15. Jika masing-masing beda ini dibuat menjadi barisan baru dan dicari lagi selisih masingmasing suku, maka akan terlihat keteraturan barisan ini. Bagaimana menentukan rumus suku ke-n barisan-barisan seperti ini? Salah satu cara untuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan adalah menggunakan konsep fungsi.

a. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Aritmetika Untuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan seperti ini caranya adalah dengan memperhatikan selisih antara dua suku yang berurutan. Bila pada satu tingkat pengurangan


belum diperoleh selisih tetap, maka pengurangan dilakukan pada tingkat berikutnya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan disebut berderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat pengurangan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat pengurangan dan seterusnya. Bentuk umum dari barisan-barisan itu merupakan fungsi dalam n sebagai berikut: Selisih tetap 1 tingkat

( )=

Selisih tetap 2 tingkat

( )=

+ + =

atau ( )=

Selisih tetap 3 tingkat

atau

= +

+ +

=

+

+ +

+

+ +

+

Perlu diperhatikan bahwa a dan b pada fungsi ini tidak sama dengan a = suku pertama dan b = beda pada suku-suku barisan aritmetika yang dibicarakan sebelumnya. Untuk memahami pengertian barisan berderajat satu, berderajat dua, dan seterusnya perhatikan contoh berikut: • Barisan 2, 5, 8, 11, … disebut barisan berderajat satu karena selisih tetap diperoleh pada satu tingkat pengurangan. 2

5

8

3

11, …

3

3

selisih tetap = 3

Barisan 5, 8, 13, 20, 29, … disebut barisan berderajat dua karena selisih tetap diperoleh pada dua tingkat pengurangan. 5

8

13

3

5 2

20 7

2

29 9

selisih tetap = 2

2

• Barisan 2, 5, 18, 45, 90, … disebut barisan berderajat tiga karena selisih tetap diperoleh pada tiga tingkat pengurangan. 2

5 3

18 13

10

45 27

14 4

90 45

18 4

selisih tetap = 4


Untuk menentukan rumus suku ke-n masing-masing barisan itu dilakukan dengan cara sebagai berikut: 1. Barisan Linear ( Berderajat Satu) =

Bentuk umum = 3 + (i)

,

+ ,

= 4 +

=

,

= 2 +

,

, dan seterusnya.

2 +

+

+

3 +

4 + ,…

(ii) Rumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 8, 11, … dapat ditentukan dengan cara : (i)

2

5

(ii)

8

3

11, …

3

3

( ) =3 → () + 3+

=2 →

=2

= −1, sehingga diperoleh

= 3 − 1

2. Barisan bederajat dua =

Bentuk umum

+

= 9 +3 + ,

+ . dengan demikian

=

+

+ ,

=4 +2 +

= 16 + 4 + , dan seterusnya. Indentifikasi selisih tetapnya

adalah sebagai berikut: +

(i)

, 4 + 2 + , 9 + 3 + , 16 + 4 + ,…

+

(ii)

5 +

3 +

(iii)

7 + 2

2

Rumus umum suku ke-n barisan 5, 8, 13, 20, 29, … dapat ditentukan dengan cara: (i)

5

8

(ii)

3

(iii)

13 5

2

20 7

2

9 2

( )2 = 2 = 1 → ( )3 +

=3

= 4,

=

ℎ

29

+4


3. Barisan berderajat tiga =

Bentuk umum barisan berderajat tiga +

+ + ,

=8 +4 +2 + ,

+

+

+, dengan demikian

= 27 + 9 + 3 + ,

=

= 64 + 16 +

4 + , dan seterusnya. Indetifikasi selisih tetapnya adalah: +

(i)

+ +

,8 + 4 + 2 + , 27 + 9 + 3 + , 64 + 16 + 4 +

19 + 5 +

7 +3 +

(ii) (iii)

18 + 2

12 + 2

(iv)

37 + 7 +

6

Rumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 18, 45, 90, … dapat ditentukan dengan cara: (i)

2

5

(ii)

18

3

13

45

(iii)

27

10

(iv)

90

14

45

4

18 4

Dengan menyelesaikan persamaan (iv), (iii), (ii), dan (i) diperoleh = 5=

,

= 1, = −

(2

+3

dan d = 5 sehingga rumus suku ke-n

=

+

=

+

− 14 + 15)

b. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Geometri Ada barisan yang setelah dicari beda antara dua suku berurutan tidak juga diperoleh selisih yang tetap sampai beberapa kali tingkat pengurangan, tetapi beda pada tingkat tertentu itu membentuk suatu barisan geometri. Contoh 1: 1

4 1

5 3

2

12 7

4 2

27 15

8 4

58 31

16 8

63 32

16

121,…


2

4

8

Barisan di atas dapat dilihat keteraturannya setelah terjadi pengurangan pada tingkat dua. Tampak bahwa pada barisan itu terdapat unsur 2 ditambah bilangan tertentu. Barisan =2 +

seperti itu dirumuskan sebagai

Jadi, rumus suku ke-n barisan itu adalah

. Untuk n = 1→1 = 2 + k ⇔ k = −1 =2 − .

Contoh 2 5,

10, 5

17, 7

2

28, 11

4 2

47, 19

8 4

82, 35

16 8

149, ... 67 ...

32 16

Seperti pada contoh 1 di atas, barisan seperti ini dirumuskan sebagai

= 2 +

.

Untuk n = 1→ 5 = 2 + k ⇔k = 3. Jadi, rumus suku ke-n barisan itu adalah

=2 +3 .

Alternatif Penyelesaian Soal-soal yang Berhubungan dengan Konsep Deret Aritmetika dan Deret Geometri Untuk mengingatkan Anda, berikut ini adalah rumus-rumus yang dipakai dalam deret aritmetika dan deret geometri. Beberapa soal yang dibahas berikut, bila diberikan kepada siswa, lebih tepat sebagai soal-soal pengayaan. Dalam deret aritmetika berlaku: =

( +

=

−

)=

[(2 + ( − 1) ], dan

= jumlah n suku pertama,

dengan

= jumlah n-1 suku pertama, a = suku pertama,

= suku ke-n, b = beda Dalam deret geometri berlaku: 2 =

(1 − ) (1 − )

=

=

( − 1) , ( − 1)

−

dengan r ≠ 1; r adalah rasio,

= jumlah n suku pertama, a = suku pertama

contoh 1 Deret 1 + 3 + 5 + 2 + 4 + 6 + 3 + 5 + 7 + 4 + 6 + 8 + .... Tentukan jumlah 100 suku pertama!


Penyelesaian: Untuk 100 suku pertama deret dapat dikelompokkan menjadi 3, yaitu: 1+3+5 2+4+6 3+5+7 4+6+8 : 33 + 35 + 37 34 atau dapat ditulis sebagain 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 34 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...+ 35 + 5 + 6 + 7 + 8 + ...+ 37. Jumlahnya adalah =

1 1 1 (34)(1 + 34) + (33)(3 + 35) + (33)(5 + 37) = 595 + 1320 = 1915 2 2 2

Contoh 2 Tentukan n jika

⋯

= 36

Penyelesaian: Deret di atas dapat dinyatakan sebagai 1 (1 + ) = 108 2 ⇔ ⇔

+

= 216n

− 215n = 0

⇔ n (n − 215) = 0 n = 0 atau n = 215 Soal-soal yang Berhubungan dengan Deret Geometri Tak Hingga Pembahasan deret geometri tak hingga di kelas disarankan untuk dimulai dengan peragaan benda nyata. Salah satu alternatifnya seperti contoh berikut ini. Sebagai pembuka guru bertanya berapakah jumlah deret

+ + + + ⋯, Tentu

siswa belum dapat menjawab pertanyaan ini. Selanjutnya guru menginformasikan langkahlangkah kegiatan yang akan mengarahkan para siswa untuk dapat menjawab pertanyaan tadi.


Alat yang digunakan adalah kertas yang berbentuk persegi atau bisa juga persegi panjang yang kemudian dibagi menjadi dua bagian. Selanjutnya bagian terkecil dari kertas itu dibagi lagi menjadi dua bagian dan seterusnya. Secara teoritis proses pembagian ini dapat diulangi terus menerus sampai tak berhingga kali. Pada pembagian yang pertama diperoleh bagian, yang ke-2 diperoleh

bagian , yang ke-3 diperoleh bagian dan seterusnya sampai tak berhingga kali.

Karena siswa sudah mengetahui bahwa luas kertas mula-mula adalah 1 bagian, tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagian sampai tak berhingga kali adalah: 1 1 1 1 + + + +⋯ =1 2 4 8 16 Proses tadi menjelaskan pengertian jumlah deret geometri tak hingga yang bisa diperagakan secara sederhana. Untuk penjelasan secara teoritis perhatikan jumlah n suku pertama deret =

geometri

(

. Jika suku-suku deret itu bertambah terus maka deret akan menjadi deret

)

geometri tak hingga. Dengan demikian limit jumlah deret geometri menjadi lim →

= lim →

=

= lim →

(1 − )

(1 − )

−

(1 − ) (1 − ) − lim →

(1 − )

(1 − )

lim →

Terlihat jelas bahwa nilai Sn sangat dipengaruhi oleh nilai lim →

1.

–1 < r < 1, lim →

=(

)

. Jika

akan menjadi nol sehingga deret tak hingga itu mempunyai jumlah

Deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah disebut konvergen atau

mempunyai limit jumlah. 2.

r < −1 atau r > 1, lim →

= ±∞ sehingga deret tak hingga itu tidak mempunyai limit

jumlah. Deret yang seperti ini disebut divergen. Contoh 1 Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah (4 + 2√2) sedangkan rasionya adalah Tentukan suku pertama deret tersebut! Penyelesaian:

√2


=

(1 − )

= 4 + 2√2

↔

=

(1 − )

1 1 − √2 2

= (4 − 2√2 + 2√2 − 2 = 2 Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 2. Contoh 2 Jumlah suku-suku nomor ganjil dari suatu deret geometri tak hingga adalah 18. Deret itu sendiri mempunyai jumlah 24. Tentukan rasio dan suku pertama deret geometri itu! Penyelesaian: Misal =

= jumlah deret lengkap dan +

+

+

jumlah suku-suku nomor ganjil.

+ ⋯ = 24 →

=

+ ⋯ = 18 →

=

(1 − )

= 24

= 24 (1 − ) … … 1) =

+

= 18(1 −

+

+

(1 −

)

= 18

) … … 2)

Persamaan 1) = 2), sehingga diperoleh 24(1− r) = 18(1−

)

24 1 − = 18 1− 4 (1 − )(1 + ) ↔ = 3 1− 4 1 ↔ =1+ ↔ ; = 16 3 3 ↔

Jadi, rasio deret tersebut dan suku pertamanya 16.

Menyatakan Suatu Deret Dalam Bentuk Notasi Sigma Notasi sigma (Σ ) pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Makna dari ∑

(3 + 1)

dalah 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 yang didapat dari mensubtitusikan

nilai k = 1 sampai k = 6. Jadi, jelas bahwa notasi ini dapat digunakan untuk menyatakan suatu deret bilangan. Untuk mengekspansikan bentuk notasi sigma bukan suatu masalah bagi siswa, karena hanya dengan mensubtitusikan nilai peubah, selesai sudah pekerjaan itu. Tetapi kalau


soalnya diubah dari bentuk penjumlahan menjadi bentuk notasi sigma, ini yang menjadi masalah bagi siswa. Mengapa siswa mengalami kesulitan dalam menyatakan suatu deret ke dalam bentuk notasi sigma? Umumnya ini terkait dengan kesulitan dalam menentukan bentuk umum suku ke-n. Untuk mengatasi hal ini guru harus memulai dengan “pemanasan”, yaitu meminta siswa untuk menyatakan penjumlahan bilangan yang bentuk umum suku-sukunya sederhana. Misalnya guru mulai dengan meminta siswa untuk mengerjakan soal berikut. Tentukan 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 dalam bentuk notasi sigma. Guru meminta siswa untuk mengamati pola suku-suku pada deret tersebut. Diharapkan siswa dapat melihat pola suku ke-1, suku ke-2, suku ke-3, suku ke-4, dan seterusnya seperti berikut ini. suku ke-1 = 3 = 2(1) + 1 suku ke-2 = 5 = 2(2) + 1 suku ke-3 = 7 = 2(3) + 1, dan seterusnya sehingga suku ke-6 = 13 = 2(6) + 1 Dengan melihat pola suku-suku tersebut dapat disimpulkan bahwa suku-suku dalam penjumlahan itu mempunyai pola 2k + 1. Dengan demikian 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = ∑

(2 + 1)

Selanjutnya guru menantang siswa untuk menyatakan dalam notasi sigma bentuk yang sedikit berbeda dengan yang pertama. Tentukan –1 + 2 –3 + 4 –5 + 6 –7 + 8 –9 +10 dalam bentuk notasi sigma. Guru memberikan waktu dua sampai lima menit kepada siswa untuk menyelesaikan soal tersebut. Mungkin banyak siswa yang belum dapat menyelesaikan soal ini. Kalau terjadi demikian maka guru memberikan sedikit bantuan dengan meminta siswa untuk memperhatikan “apa yang terjadi kalau –1 dipangkatkan bilangan ganjil” dan “apa yang terjadi kalau –1 dipangkatkan bilangan genap?”. Dengan memberikan bantuan itu saja diharapkan siswa dapat meneruskan langkah-langkah berikutnya, yaitu sampai pada kesimpulan bahwa: –1 + 2 –3 + 4 –5 + 6 –7 + 8 –9 +10 = ∑

(−1)

Salah satu alternatif yang dapat digunakan sebagai awal berpikir untuk menyatakan penjumlahan dalam bentuk notasi sigma adalah teknik menentukan rumus barisan menggunakan konsep fungsi pada Bab II.


Sifat-sifat Notasi Sigma dan Penggunaanya dalam Menyelesaikan Soal-soal yang Terkait dengan Notasi Sigma Dalam menyelesaikan soal-soal berbentuk notasi sigma, sering digunakan sifat-sifat sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku: 1. ∑

=

2. ∑ 3. ∑

( )= ∑

( )

( ( ) + ( )) = ∑

4. ∑

( )+∑

5. ∑

( )=∑

( )+∑

( )=∑

( )

( )

( − )

Contoh 1 1. Buktikan bahwa ∑

(

− ( − 1) ) =

Penyelesaian: Ruas kiri: ∑

=

(

)

+

−

= QUESTION Soal 1

− ( − 1) ) = ∑

2 − 1 = 2∑

=∑ =2

(

−∑

−

= ruas kanan, terbukti

(

− (2 − 1)

1 , menggunakan sifat no. 2 & 1


Penyelesaian:

Soal 2

Penyelesaian:


Soal 3

Penyelesaian:


Soal 4

Penyelesaian:

Soal 5


Penyelesaian:


DAFTAR PUSTAKA

www.google.com


INTEGRAL TAK TENTU

Written by: 1.

Alfian Teguh Prasetyo

2.

Ansori

3.

Bayu Arifin

4.

Doni

5.

Ikhlas Satria

6.

Rendy Fadliansyah

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015 INTEGRAL TAK TENTU


Pengertian Integral Kita telah mempelajari arti differensial atau turunan. Jika kita mempunyai f(x) = adalah

+4, turunannya

f’(x) =2x. Dari contoh fungsi tersebut, kita dapat menentukan suatu fungsi yang turunannya f’(x) =

2x, yang disebut sebagai antiturunan atau antidiferensial atau pengintegralan. Jadi, pengintegralan merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan. Secara umum, jika f(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan f(x) turunan dari f(x) dan c konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk : ∫ ( ) dx = f(x) + c Dibaca “integral fungsi f(x) ke x sama dengan f(x) + c “. Keterangan : ∫ ( ) dx = notasi integral tak tentu f(x) +c = fungsi antiturunan f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran) c = konstanta dx = diferensial (turunan) dari x Rumus – rumus dasar integral tak tentu sebagai berikut : 1. ∫

=ax+c ( )dx = a ∫ ( )

2. ∫

3. ∫[ ( ) + ( )]

=∫ ( )

+∫ ( )

4. ∫[ ( ) − ( )]

=∫ ( )

–∫ ( )

Contoh 1 5 Penyelesaian: ∫5

= 5∫

= 5x + c

Contoh 2 ∫4

dx=

Penyelesaian: ∫4

= 4∫

=4

dx = 4

+c


Rumus dasar integral tak tentu a. Integral Fungsi Aljabar Cara menentukan integral fungsi aljabar. Misalkan y = xn+1 maka kita dapat menentukan turunan pertamanya, yaitu y' = (n+1) x(n+1)-1= (n+1) xn. y' =

dy dy sehingga diperoleh = (n+1) xn. Dari dx dx

persamaan tersebut diperoleh dy = (n + 1) xn dx. Apabila diintegralkan kedua ruas akan diperoleh persamaan: dy = (n + 1) xn dx  y + c = (n + 1) xn dx Kemudian disubtitusikan dengan bentuk fungsi y = x(n + 1) diperoleh (n + 1) xn dx = x(n + 1) + c, sehingga diperoleh xn dx =

1 n 1 x  c , n –1 n 1

Pada materi diferensial, jika turunan F(x) adalah f(x) dan turunan G(x) adalah g(x) maka turunan dari y= F(x) + G(x) adalah

dy =f(x) + g(x), dengan demikian dapat dinyatakan bahwa dx

[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx Sifat-sifat yang merupakan rumus-rumus dasar integral adalah sebagai berikut. 1. dx = x + c 2. xn dx =

1 n+1 x + c; n  –1 n 1

3.  a n dx =

a n+1 x + c; n  –1 n 1

4.  a dx = a + c 5. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx 6. [f(x) – g(x)] dx = f(x) dx – g(x) dx 7.  a f(x) dx = a f(x) dx

1. Jika f(x) = sin x maka f'(x) = cos x 2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = –sin x 3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x 4. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –cosec2 x 5. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x 6. Jika f(x) = cosec x maka f'(x) = cosec x cot x


Contoh: 1. Selesaikan pengintegralan dari x4 x dx. Penyelesaian: x4 x dx =

x

4

1

x x 2 dx

41

=

 x 2 dx

=

1 4 12 1 x c 4 12  1

=

2 112 x c 11

b. Integral Fungsi Trigonometri Karena integral adalah operasi kebalikan (invers) dari turunan (diferensial), integral trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut: 

sin x dx = –cos x + c



cos x dx = sin x + c



1 sin ax dx = – cos ax + c a



cos ax dx =



1 sin (ax + b) dx = – cos (ax +b ) + c a



cos (ax + b) dx =

QUESTION Soal 1 ∫

+ 5

Penyelesaian: +

= =

+

+ k

1 sin ax + c a

1 sin (ax +b ) + c a


Soal 2 ∫ (4

+ 5 )

Penyelesaian: 4 5 + 3+1 1+1 +

= = x4 +

+ k

Soal 3 ∫ Penyelesaian: = =

=> 1 .

=

+k


Soal 4 ∫( √

− 2 )

Penyelesaian: ∫( .

− 2 )

= ∫(

− 2 )

=

−

=

−

=> ∫ ( .

− 2 )

−

=

Soal 5 ∫ Penyelesaian: =

dx = ∫2

=

dx +c

=-

+c

=-

+C

Soal 6 ∫

( √ −

) dx

Penyelesaian: =∫

( √ −

=∫

(

=∫(

-

=

–

) dx

)dx (

)

(

=− =-

+ √

+

) dx

−

( (

+c +c

)

)

+


Soal 7 ∫(

+ 2) dx

Penyelesaian: =

+ 2. +

=

+ 2 +

Soal 8 ∫√

dx

Penyelesaian: =∫

dx

=

(

)

=

+

=

√ +

+

Soal 9 ∫ (4

-6

+ 5x – 6) dx

Penyelesaian: = =

-2

+

+

- 6x + c

- 6x + c

Soal 10 ∫(

−

) dx

Penyelesaian: = ∫( =

) − 4 −

= ∫( +

−4+

)dx


DAFTAR PUSTAKA https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCYQFjAB&url=http s%3A%2F%2Fcdiq22.files.wordpress.com%2F2009%2F01%2Fintegral-tak-tentu-dantentu.doc&ei=YExpVf34LIq0uAS9IOQDw&usg=AFQjCNFZosU3lZg_OzbGORm9ydOoB7IQfg&bvm=bv.94455598,d.c2E&cad=rja

TUGAS KALKULUS 2

TUGAS KALKULUS 2

INTEGRAL TAK TENTU

KELOMPOK I | YONGKI,MAUREDI,ANDIKA,FAUZAN,SAFRUDIN,M.SULAIMAN

CONTOH SOAL INTEGRAL TAK TENTU 1) ʃ (6x2+2-3x2) dx = jawaban : = x3 + 2x - x3 + K = 2x3 + 2x - x3 + K = x3 + 2x + K

2) Jawaban :

3) Jawaban :

4) Jawaban :

5)  5x3 dx = Jawaban : =

5 x3+1 +k 3 1

=

5 4 x 4

+k

6) Jawaban : Misal u = x2 + 9 Maka du = 2x dx du/2 = x dx sehingga . . .

Jika sudah selesai kita integralkan:

7)  7x dx = Jawaban : =

7 1+1 x +k 11

=

7 2 x +k 2

8) Jawaban: u = 2x4 – 5 du = 6x3 dx du/6 = x3 dx Akibatnya soal integral itu berubah menjadi

Kembalikan u ke ujud asalnya, yaitu u = 2x4 – 5, Jadinya. . .

9) Jawaban : Misal u = x3 – 2 Maka du = 3x2 dx Sehingga :

10)

ʃ (x100+10x) dx = jawaban : =

x101 +

x2 +K

=

x101 + 5x2 + K

INTEGRAL SUBTITUSI

Written by: FERA ARISANTY NDURU (1311500061) PUSPITA SARI KURBANI (1311500036) RISTI WAHDANIYAH (1311500025) RIKI TRIYANSYAH (1311500031) EDI SUGIANTO (1311500005) RISKA DIANA (1311500014) SUWARSIH (1311500026)

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015 / 2016

LESSON Integral Subtitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mengganti atau mensubtitusikan fungsi ( ) dengan simbol “U”. Syaratnya jika ada lebih dari dua fungsi “pilih fungsi yang paling rumit atau susah untuk diganti dengan U”.

Teorema Integral Subtitusi :

( )

( )

=

( )

( )

( )

= ( )+

( )

( )

= ( ( )) +

Langkah – langkah pengintegralan dengan teknik subtitusi Secara umum teknik integral subtitusi menggunakan dua langkah di bawah ini 1. Menentukan fungsi

= ( ) sehingga ∫

( )

di ubah menjadi ∫ ( ) = 2. Selesaikan bentuk ∫ ( ) =

Rumus Umum

( )

=

( )

= ( )+

( )

dapat

CONTOH SOAL Contoh 1

(2 + 3) Penyelesaian a. Pilih fungsi yang akan dipakai sebagai u Disini kita memilih atau memakai (2 + 3) sebagai fungsi yang akan kita ganti atau sibtitusi dengan u.

= (2 + 3) b. Cari nilai turunan dari fungsi U. Kemudian dari hasil turunan tersebut tentukan nilai dx.

= (2 + 3) ( )=

= 2

=

c. Masukan ke persamaan awal

(2 + 3)

=

.

2

d. Selesaikan persamaannya

(2 + 3)

= =

2 1 2

1 1 . 2 4+1 1 1 = . + 2 5 1 = + 10 =

=

(

+

+ ) +

Contoh 2

5 (5 + 3) Penyelesaian a. Pilih fungsi yang akan dipakai sebagai U Disini kita memilih atau memakai (5 + 3) sebagai fungsi yang akan kita ganti atau sibtitusi dengan U.

= (5 + 3) b. Cari nilai turunan dari fungsi U. Kemudian dari hasil turunan tersebut tentukan nilai dx.

= (5 + 3) ( )=

= 5

=

c. Masukan ke persamaan awal

5(5 + 3)

=

5.

.

5

d. Selesaikan persamaannya

5(5 + 3)

=

5.

=

1 .5 5

5

1 1 . 5. 5 4+1 1 5 = . + 5 5 5 = + 25 =

=

(

+ ) +

+

QUESTION Soal 1

(2 + 5) Penyelesaian

= (2 + 5) ( )=

(2 + 5)

= 2

=

= =

.

2

1 2

1 1 . + 2 9+1 1 1 = . + 2 10 1 = + 20 =

=

(

+ )

+

Soal 2

(9 + 2) Penyelesaian

= (9 + 2) ( )=

(9 + 2)

= 9

=

= =

.

9

1 9

1 1 . 9 3+1 1 1 = . + 9 4 1 = + 36 =

=

(

+

+ ) +

Soal 3

12 (6

+ 5)

Penyelesaian

= (6 ( )=

12 (6

+ 5) = 12

+ 5)

=

=

12 .

.

12

= 1 + 3+1 1 = + 4 1 = ( + ) + 4 =

Soal 4

4 (2

+ 12)

Penyelesaian

= (2

+ 12)

( )=

= 4

4 (2

+ 12)

=

=

4 .

.

4

= 1 + 7+1 1 = + 8 1 = ( + ) + =

Soal 5

8 (

+ 1)

Penyelesaian

=( ( )=

8 (

+ 1) = 2

+ 1)

=

=

8 .

.

2

=4 1 20 + 1 1 = 4. + 21 = 4.

=

(

+ )

+

+

Soal 6

2 (2

+ 4)

Penyelesaian

= (2

+ 4)

( )=

= 4

2 (2

+ 4)

=

= =

2 .

.

4

1 2

1 1 . 2 10 + 1 1 1 = . + 2 11 1 = + 22 =

=

(

+ )

+

+

Soal 7

1000

(10

+ 1000)

Penyelesaian

= (10 ( )=

1000

+ 1000) = 100

(10

=

+ 1000)

=

1000

= 10 1 10 + 1 1 = 10. + 11 10 = + 11 = 10.

=

(

+

+

)

+

.

.

100

Soal 8

5

(5

+ 500)

Penyelesaian

= (5 ( )=

5

(5

+ 500) = 50

+ 500)

=

=

5

=

1 10

.

.

50

1 1 . 10 12 + 1 1 1 = . + 10 13 1 = + 130 =

=

(

+

+

)

+

Soal 9

30

(3

+ 500)

Penyelesaian

= (3

+ 500)

( )=

30

= 30

(3

=

+ 500)

=

30

.

.

= 1 12 + 1 1 = + 13 =

=

(

+

+

)

+

30

Soal 10

12 (3

+ 123)

Penyelesaian

= (3 ( )=

12 (3

+ 123) = 6

=

+ 123)

=

12 .

.

6

= 2 = 2.

= 2.

=

1

+

+ 1

+

(

+

) +

DAFTAR PUSTAKA 

https://denandika.files.wordpress.com/2013/03/2-integral-substitusi-parsial.pdf



https://istanamengajar.wordpress.com/2013/08/26/soal-dan-pembahasan-metodesubstitusi-integral-fungsi-aljabar-1-5/

LAMPIRAN FOTO

INTEGRAL PARSIAL

Written by: 1. DAVID GUNAWAN (1311500108) 2.ILHAM KHARISMA (1311500097) 3.MALIK ABDUL AZIZ (1311500043) 4.THOMAS DWI NURYANTO (1311500114) 5.YAN IRAWAN (1311500065)


INTEGRAL PARSIAL 1.

Pengenalan Integral Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus.Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.Lambang integral adalah Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsiF yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral taktentu dan notasinya ditulis sebagai:

2. Integral Parsial

Integral parsial merupakan salah satu teknik pengintegralan jika teknik integral yang lain tidak dapat diselesaikan seperti teknik integral subtitusi atau integral tak tentu secara umum. Metode integral parsial didasarkan pada integrasi untuk turunan hasil kali dua fungsi. Jika u = u(x) dan v = v(x), maka rumus integral parsial adalah:

Ada dua hal yang sangat penting dalam integral parsial dan akan menentukan berhasil atau tidaknya pengintegralan, yaitu: 1. Pemilihan u dan dv yang tepat, memilih dv sehingga v dapat ditentukan melalui v = ∫ dv 2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dibandingkan ∫ u dv Dalam pembahasan materi integral parsial kali ini, soal dan pembahasan saya kelompokkan berdasarkan jenis dari fungsi u dan dv. Dua-duanya fungsi aljabar atau dua-duanya fungsi trigonometri atau campuran fungsi aljabar dan trigonometri.

3. Contoh Soal dan Pembahasan

1. [Penyelesaian] Dalam soal ini di tentukan u = x ,karena jika x diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,

2. [Penyelesaian] Dalam soal ini di tentukan u = x ,karena jika x diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,

QUESTION 1. ∫ ( 2 ) Penyelesaian : =2

→

=

=2 →

= =

.

= . .

= (2 ) =

−

=

−

=

2 . 3

1 2

− .

1 . 3 +

+

1 2

. 1 2

.2

2. ∫ ( 2 − 1) Penyelesaian : =2 −1 → =

=2

→

= =

.

= . .

= (2 − 1). =

− −

= =

2 . 3

−

− − 1 2

1 2

−

−

1 2 1 − 3

=

.

1 2

1 2

1 2

1 2 +

. 1 . 3 +

+

. (2

)

3. ∫ 2( − 1) Penyelesaian : = ( − 1) → =2

= 3( − 1)

→

=

2

= 2x .

= . .

.

= ( − 1) . (2 ) −

(2 ) . (3( − 1)

= 2 . ( − 1) −

6 ( − 1)

= 2 . ( − 1) −

6 (

= 2 . ( − 1) −

(6

6 4 3 = 2 . ( − 1) − ∫ 2 = 2 . ( − 1) − ∫

− 2 + 1) − 12 −

12 3

−4

+6 ) + +3

6 2

)

4. ∫ (

− 1)

Penyelesaian : =(

− 1) →

=2

= 2(

→

− 1)

= 1 = x 2

.

= . .

.

= (

− 1) . (

= (

−2

=

1 ( 2

1 2 1 = 2 1 = 2 =

= =

3 1 6

−

+ 1) + +

− 1 3

−

1 2

)−

1 2

1 2 1 + 2

−

−

1 2

1 2

. 2(

(2

− ) −

− 1)2 .

2

− 2)

−2

1 1 −( 2 − 2 + ) 6 4 1 1 − 2 + 2 + ) 6 4 1 1 + + + 2 2

−2 3 1 + + 6 2 2 3 1 + + + 2 2

+

5. ∫ 3 ( 4 − 2) Penyelesaian : = (4 − 2) → =3

= 2(4 − 2). 4. →

=

= .

= . −

3 2

.

= (4 − 2) .

= (16

3

3 2

3 2

−

− 16 + 4). (

. 2(4 − 2). 4.

3 2

)−

48

6

. (8 − 4)

= 24

− 24

+6

−

= 24

− 24

+6

1 − ( 48 4

= 24

− 24

+6

1 − 48 4

= 24

− 24

+6

− 12

+8

+

= 24

− 12

− 24

+8

+6

+

= 12

− 16

+6

+

− 24 1 − 24 3 1 + 24 3

+

+

)

6. ∫ 4 ( − 3) Penyelesaian : = ( − 3) → =4

= 2( − 3)

→

=

4

= 2 .

= . −

.

= ( − 3) - (2

) – ∫(2 ) . 2 (x-3) dx

=(

- 6x + 9 ). 2

=2

- 12

=2

− 12

+ 18

-( .4

=2

− 12

+ 18

-

=2

− 12

+ 18

=2

–

=

− 8

− ∫2

- 18

- 12 + 18

. (2x – 6) dx

- ∫4

-

+ 4 +

- 12

.4 + 4 + 18

dx

- . 12 + . 12 +C +

+ ) +

7. ∫ 8 ( 3 − 7) Penyelesaian : = (3 − 7) → =8

→

= 2(3 − 7). 3 =

8

= 4 .

= . −

= (3 − 7) . 4

.

−

4

. 2(3 − 7) . 3.

= (9

− 42x + 49 ). 4

= 36

− 168

+ 196

−

= 36

− 168

+ 196

1 − ( . 72 4

= 36

− 168

+ 196

1 − . 72 4

= 36

− 168

+ 196

− 18

= 36

− 18

= 18

− 112

− 168 + 196

−

+ 56 +

12

72

. (6 − 14)

− 168 1 − . 168 3 1 + . 168 3 + 56

+

+ 196

+

+ )

+

8. ∫ 6 ( 6 − 1) Penyelesaian : = (6 − 1) → =6

= 2(6 − 1). 6 .

→

=

6

= 3 .

= . −

= (6 − 1) . (3

.

)−

(3

). 2(6 − 1) . 6

= (36

− 12x + 1 ). (3

)−

18

= 108

− 36

+3

−

216

− 36

= 108

− 36

+3

1 − ( . 216 4

= 108

− 36

+3

1 − . 216 4

= 108

− 36

+3

− 54

= 108

− 54

− 36

= 54

− 24

+3

+ 12 +

. (12 − 2)

1 − . 36 3 1 + . 36 3

+ 12

+

+3

+

+ )

+

9. ∫ 10 ( + 8) Penyelesaian : = ( + 8) → = 10

= 2( + 8)

→

=

10

= 5 .

= . −

= ( + 8) . (5

.

)−

(5

). 2( + 8)

=(

− 16 + 64). (5

=5

− 80

+ 320

−

=5

+ 80

+ 320

1 − ( 10 4

=5

+ 80

+ 320

−

=5

−

5 2

5 2

+

160 3

=

+ 80

)−

10

1 10 4

1 − 80 3

+ 320

(5

+

). (2 + 16)

+ 80 1 80 3

+

−

1 80 3

+ 320

+

+ )

+ )

10. ∫ √ + 1 Penyelesaian : ( + 1) 1

2 ( + 1) 3

0

2 2 . ( + 1) 5 3

.

2 = . ( + 1) 3

/

2 2 − 1. . ( + 1) 5 3

=

2 4 ( + 1) − ( + 1) 3 15

=

2 4 ( + 1) . ( + 1) − ( + 1) . ( + 1) 3 15

=

2 4 ( + 1) . √ + 1 − ( + 1) . √ + 1 3 15

/

DAFTAR PUSTAKA http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/integral-parsial.html BAPAK MAXRIZAL, S.Pd.


TUGAS KALKULUS INTEGRAL PERSIAL

Written by: 1. REKO

: 1311500023

2.Apri muzapi

: 1311500050

3. Indah edyawati

: 1311500116

4. Heni wahjyuni

: 1311500081

5. Prinanda sari

: 1311500075

6. Anggraini rosalina

: 1311500053



INTEGRAL PARSIAL Teknik integral parsial dapat diterapkan dalam berbagai macam fungsi, dan secara khusus teknik tersebut sangat berguna ketika dijumpai integran yang melibatkan perkalian fungsi-fungsi aljabar dan transendental. Sebagai contoh, integral parsial akan sangat berfungsi dengan baik untuk menyelesaikan,

Integral parsial didasarkan pada rumus turunan dari perkalian dua fungsi.

di mana u dan v adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dalam x. Jika u’ dan v’ kontinu, kita dapat mengintegralkan kedua ruas dari persamaan di atas dan memperoleh

Dengan menulis kembali persamaan di atas, diperoleh teorema berikut. Teorema Jika u dan

v

adalah

1: fungsi-fungsi

dalam

x

Integral yang kontinu

dan

Parsial terdiferensialkan, maka

Rumus integral parsial ini menyatakan integral aslinya ke dalam bentuk integral yang lain. Berdasarkan pemilihan u dan dv, akan lebih mudah menyelesaikan bentuk integral yang kedua daripada bentuk aslinya. Karena pemilihan u dan dv sangatlah krusial dalam proses integral parsial, berikut ini panduan dalam memilih u dan dv.

Panduan dalam Proses Integral Parsial 1. Cobalah untuk memisalkan dv sebagai bagian yang sangat rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral. Sehingga u merupakan faktor lainnya dari integran. 2. Cobalah untuk memisalkan u sebagai bagian dari integran yang turunannya lebih sederhana dari u. Selanjutnya dv merupakan faktor integral lainnya. Perhatikan bahwa dv selalu memuat dx dari integran aslinya.


Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan permasalahan integral dengan menggunakan metode integral parsial, perhatikan beberapa contoh berikut : Contoh 1 (

. .∫

=..

= =4 . = ( + 1) = ∫( + 1) = ( + 1) ℎ ∫

. (

)

=

−∫ =

( + 1) − ∫ ( + 1) 4

=

( + 1) − ∫( + 1) 4

=

( + 1) − . ( + 1)

=

( + 1) −

( + 1) +

Contoh 2 ∫ √3 − 2

= = =

dv = (3 − 2 ) v=−. (3 − 2 ) = − (3 − 2 ) − (3 − 2 ) + ∫ (3 − 2 )

∫ √3 − 2

=

∫ √3 − 2

=−

(3 − 2 ) + . −

.

(3 − 2 ) +


∫ √3 − 2

=−

∫ √3 − 2

=−

(3 − 2 ) −

. (3 − 2 ) +

(3 − 2 ) (5 + 3 − 2 )+c

QUESTION (Berisi 10 contoh soal, lengkap dengan cara penyelesaiannya)

Soal 1 (

.∫

=..

= =4 . = ( + 1) = ∫( + 1) = ( + 1) ℎ ∫

. (

)

=

−∫ =

( + 1) − ∫ ( + 1) 4

=

( + 1) − ∫( + 1) 4

=

( + 1) − . ( + 1)

=

( + 1) −

Soal 2 .∫ (4 − 4)

= ∶

( + 1) +


∶

=

=1 = = ∫(4 − 4)

∫

∶

= 4 − 4 →=

= ∫

∫

= ∫

= 4 →= = .

= (4 − 4) +

+ =

! ∫ (

)=

−∫ (

, ∫ (4 − 4)

) =

( (4 − 4)

=

(4 − 4) − ∫ =

∫

(4 − 4)

∫

∶

= 4 − 4 →=

=

∫

=

Soal 3 ∫ 2 (3x-2)6 dk= U = 2x

dv= (3 − 5)

du = 2

v= (3 − 5)

=

(4 − 4)

(4 − 4) +

=

=

∫

(4 − 4)

(4 − 4)

(4 − 4) −

(4 − 4) −

=

–∫

−∫

=4→

=

. ∫ .

+ =

(4 − 4) +

+


∫ 2 (3 − 5) dx=2x (3 − 5) – ∫

= (3 − 5) -

(3 − 5) +C

. .

(3 − 5) +C

(3 − 5) -

=

(3 − 5) .2dx

Bila diselesaikan lebih lanjut, maka bentuknya menjadi : =(3 − 5)

−

=(3 − 5)

−

=(3 − 5)

+

.

. 3 − 5) +

+

.

.

+

+

Soal 4

∫

√ − 1 dx= = ( − 1)

=

= ( − 1)

=2

( − 1) − ∫

∫ √ − 1 dx=

)

=( − 1)

=

= ( − 1)

= ∫ ( − 1) dx = = ∫

(

√ −1

==

Soal 5 ∫ √ − 5 dx Penyelesaian

( − 1) ∫ ( − 1) − ( − 1) −

( − 1) + ( − 1) + ( − 1) +

( − 1) +


Dalam soal ini U = x, karna jika X di turunkan terus-menerus maka turunannya sama denan 0. Missalkan U = X Du = dx dv= √ − 5 dx = ( − 5) dx v= ∫( − 5)

=

( − 5)

= ∫ √ − 5 dx = u.v - ∫

=

( − 5) - ∫( − 5) dx

=

( − 5) -

=

( − 5) -

( − 5) + c +2 +

Soal 6 ∫ ( − 1) dx Penyelesaian Dalam soal ini U= x, karan jika X di turunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0. Missalkan U = X Du = dx dv= ( − 1) dx. V= ∫ ( − 1) dx =

( − 1)

=∫ ( − 1) dx = u.v - ∫ =

( − 1) -

=

( − 1) -

∫( − 1) dx ∫( − 1) + c

= ( − 1) (6x+1)+c

Soal 7 ∫

√4 − 2

dx

Penyelesaian Dalam soal ini U=

, karna jika U=

di turunkan terus-menerus maka turunanya sama dengan 0,


Missalkan U= Du = 2x dx

dx = (4 − 2 ) dx

dv= √4 − 2

v= ∫(4 − 2 ) dx = (4 − 2 ) √4 − 2

∫

dx = = u.v - ∫

(4 − 2 ) +

=-

∫(4 − 2 ) dx

Bagian yang bewarna merah, di integral satu kali lagi =-

(4 − 2 ) +

∫(4 − 2 ) dx

=-

(4 − 2 ) + ( . − ∫

=-

(4 − 2 ) +

=-

(4 − 2 ) -

−

)

(4 − 2 ) + (4 − 2 ) -

∫(4 − 2 ) dx (4 − 2 ) +

Soal 8 ∫

√ +1

=

Misalkan : u = x =

∫

∫ √ +1

du = dx

− ∫ =x

( + 1) − ∫ ( + 1)

=

( + 1) −

∫( + 1)

=

( + 1) −

. ( + 1) +

=

( + 1) −

( + 1) +

Soal 9 ∫

( + 2) u = x + 2 du =dx =


= ∫

=

∫ ( + 2) ( + 2)]

=[ = =

=[ . ]

(

)

−

−

− ∫

.

− ∫ [ 64]

(0)

=

Soal 10 . ∫ √ − 1 dx= U=x

dv = ( − 1)

du= dx

v=

∫ √ −1

( − 1)

=

( − 1) − ∫ ( − 1)

=

( − 1) −

=

( − 1) −

. ( − 1) + ( − 1) +

Bila diselesaikan lebih lanjut, maka =( − 1) (

−

( − 1)) +

=( − 1) = ( − 1) =

+ +

( − 1) (3 + 2) +


DAFTAR PUSTAKA

https://yos3prens.wordpress.com/2014/08/31/integral-parsial/ http://opanlab.com/matematika/integral/teknik-integral-parsial.php http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/65-12-sma-integral-parsial


JUDUL MATERI

Written by: 1. Sakinah Jailani 1311500054 2.Leny Agusti 131500049 3.Fitrianti 1311500011 4.Suryadi 1311500067 5.Muhammad Apri Caesar 6.Nadiatul Faizah



Integral TentudanLuasDaerah Di AtasSumbu-X

LESSON Pengertian Integral dan Lambangnya 1. a. Pengintegralan merupakan operasi invers dari pendiferensialan. b. Suatu fungsi F, sedemikian sehingga F’(x) = f(x) untuk semua x dalam wilayahnya (rangenya), dinamakan fungsi antiturunan f. c. Ditulis: Dalam hal ini C dinamakan konstanta pengintegralan, f(x) dinamakan integrand dan F’(x) = f(x) dinamakan integral tak tentu. Ada banyak hasil pengintegralan itu (nilai C dapat dipilih dari setiap bilangan real) 2. Jika f(x) = xn, maka

Integral Tertentu, Luas dan Volume 1. Misalkan fungsi f terdefinisi dalam interval tertutup [a,b] atau Integral tertentu f dari a ke b dilambangkan dinyatakan dengan = F(b) – F(a) Luas daerah di bawah kurva a.

= F(b) – F(a) b.

= F(a) – F(b)


a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

R

adalah bidang datar

yang dibatasi oleh grafik-grafik y  f ( x), x  a, x  b, dan y  0 Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan b

A( R)   f ( x)dx a

Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk b

A(R)    f ( x)dx  a

b

 f ( x)dx a

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut : a) Gambar daerah yang bersangkutan b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu c) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang d) Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut e) Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu.

. Daerah antara 2 Kurva


Perhatikan kurva-kurva y  f (x) dan y  g (x) dengan f ( x)  g ( x) pada selang a, b , seperti gambar berikut :

A   f ( x)  g ( x) x Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan: b

A(R ) 

 ( f (x) 

g ( x )) dx

a

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan d

A(R ) 

 ( f ( y )  g ( y )) dy c

Contoh 1 Luas daerah yang dibatasi kurva

=

dan garis x + y = 6


Penyelesaian:

Sebelum mencari titik potong untuk batas atas dan bawah, yaitu mengubah garis persamaan menjadi y = 6 – x Titik potong

=

=6− +

−6=0

(x – 3)(x – 2 ) = 0 x=-3 x=2 =

(

=

=

− +

+

) −6

−6 |

=

(2) + (2) − 6(2) − ( (−3) + (−3) − 6(−3))

=

+ 2 − 12 — 9 + + 18


= -9 − = −20 Contoh 2

Penyelesaian:


QUESTION

Soal 1 Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) =4 - x2, sumbu-x, garis x = 0, dan x = 1.

Penyelesaian: Daerah tersebut adalah daerah R. Luas daerah R adalah:


Soal 2 Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis y 1/4 x 2, sumbu-x, garis x 4, dan sumbu-y.

Penyelesaian:

Soal 3 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Penyelesaian:


3

L 



x

2

dx

0

L

  3 x3 3 0

33 3

0  9

Soal 4 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 6

Penyelesaian: 4

6

2

L   (4 x  x ) dx

A   (4 x  x 2 ) dx 4

0 4

L   (4 x  x 2 ) dx 0



2

1 3

L  2x  x



3 4 0

L  2(4) 2  13 (4) 3  0  32  643



A   2 x 2  13 x 3



4



A  2(6) 2  13 (6)3   2(4) 2  13 (4)3 64 A  72  216 3  32  3

A  152 3  40

Luas daerah  32  643  152 3  40  21

1 3

Soal 5 Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Penyelesaian:

6




2

2  6  y  y dy

L=

0

L=

L=

 6      

2 y2 y 3  y  2 3   0 6

( 2

)



4 2



2

3 3

   



0

L = 12  2  8 

 

L=

 3

22 3

Soal 6 Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral

sebagai ....

Penyelesaian:


 L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x 2

L   (4  x 2 ) dx 0

Soal 7 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….

Penyelesaian:  L  [(2 – y ) – y2 ] y 1

L 

 (2

 y  x 2 ) dy

2



L  2y 

1 2

y

2



1 3

y

3

1



2

L  (2  21  31)  (4  2  83 ) L 

Soal 8

9 2



4 ,5


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360.

Volume benda putar yang terjadi adalah ….

Penyelesaian:  V  (x)2 x 4

V    x dx 0

V 



1 2

x2

V  8

Soal 9

Penyelesaian:

4



0


Soal 10


Penyelesaian:


DAFTAR PUSTAKA www.google.com

Tugas Kalkulus 2 Integral Tentu danLuas Daerah Di Atas Sumbu-X

Written by: Syafrudin Firmansyah (1211500115) Muhammad Yudi (1311500048) Maydika Adha Wardana (1311500109) Erlangga Satria Permana (1211500017) Hudarni Rani (1211500103)


Tugas Kalkulus 2 Integral Tentu dan Luas Daerah Di Atas Sumbu-X LESSON (Berisipembahasankonsepmateridan 2 contohsoal, lengkapdengancarapenyelesaian. Minimal 200 kata, bolehditambahkangambarpendukungjikaada)

-

Contoh 1

∫ (2x3

2

+ 3x +

+ 7)

= ⋯

Penyelesaian: pakai rumus : ∫

∫ (2x3

2

+ 3x +

= + 7)

+ = =

2 4

= -

Contoh 2

∫

x cos(2x2 + 3)dx =……

Penyelesaian:

∫

x cos(2x2 + 3)dx = ∫ x cos u

x du 4 = cosu 4 1 ∫ du = sin u 4 1+c = sin(2 3) 4 1 x2 + + c

4

+

+

3

3

3

+

+

1 2

2

+7 +

+7 +

Tugas Kalkulus 2 QUESTION (Berisi10contohsoal, lengkapdengancarapenyelesaiannya)

-

Soal 1 =

+

Penyelesaian: (

+ 1)

=

1 3

4 0

+

= . 4 + 4 − ( . 0 + 0) =

+

−0

= =25 -

Soal 2

∫sin 3x sin 2x dx = Penyelesaian: -2 sinα sinβ = cos(α +β ) – cos(α -β ) sinα sinβ = 2 1 ( cos(α +β ) – cos(α -β ) ) = 2 1 ( cos(α -β ) - cos(α +β ) )

∫sin 3x sin 2x dx = ∫

cos(3x − 2x)dx

2 1 - ∫ cos(3x + 2x)dx 2 1 = ∫ cos x 2 1 dx - ∫ cos5x 2 1 dx pakai rumus ∫ cos(ax + b) dx = a 1 sin (ax+b) + c

= ,

=

?

Tugas Kalkulus 2 Sehingga menjadi : = 2 1 sin x 2 1 5 1 sin 5x + c = 2 1 sin x 10 1 sin 5x + c

-

Soal 3

∫

x2 2x3 + 3 dx =…..

Penyelesaian: cara subtitusi: misal: u = 2x 3+3 dx du = 6x 2 dx = 6x2 du Sehingga :

∫

x2 2x3 + 3 dx = ∫

1

x2u 6x2 du =∫ 6 1u2 1

du = 6 1 2 11 1 + u2 1 +1 + c = 6 1

2

Tugas Kalkulus 2 3 2u2 3+ c = 9 1 (2x 3 +3) 2x3 + 3 + c

-

Soal 4

∫

x2 cos x dx =

Penyelesaian: Pakai rumus integral parsial : ∫u dv = uv - ∫v du misal : u = x 2 du = 2x dx dv = cos x dx Sehingga :

∫ ∫

v = ∫cos x dx = sinx

x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx

x sin x dx perlu diparsialkan lagi tersendiri : misal u = x du = dx dv = sinx dx

v = ∫sin x dx = - cos x

sehingga : ∫ x sin x dx = x . (-cos x) - ∫ − cos xdx = - x cos x + ∫cos xdx = -x cos x + sinx +c Maka :

∫

x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx = x 2 . sinx – 2 (-x cos x + sinx) + c = x 2 . sinx + 2x cos x – 2 sin x + c = (x 2 - 2). sin x + 2x cos x + c

-

∫

Soal 5 x cos(2x2 + 3)dx=…

Penyelesaian: misal : u = 2x 2 +3 x du 4 sehingga :

du = 4x dx

dx =

Tugas Kalkulus 2

∫

x cos(2x2 + 3)dx = ∫ x cos u

x du 4 = cosu 4 1 ∫ du = sin u 4 1+c = sin(2 3) 4 1 x2 + + c ∫

Soal 6 (2 )3 dx

Penyelesaian: =

Missal

→

=

=( + )

→

=

( + )

= ( + ) ∫

= ( + )

4 3

|

-∫ + 4 3

(2 )4 4 1 x dx = 4 1 (2 + x) 4 4

| 4 1 5 1 (2 + x) 5

3

4

−∫ =

( + )

→

(

+ ) =

( + )

(

+ )

+

Tugas Kalkulus 2 | = 4 1 (1296 – 625) 20 1 (7776 – 3125) = 4 671 20 4651 = 20 3355 − 4651 =20 1296 = -64

3

-

Soal 7 cos

=⋯

Penyelesaian: Cara subtitusi : misal u = sin x

∫

du = cos x dx

2

6

sin2 cos π π

x x dx = ∫ u2 du = 3 1u3 = 3 1 sin 3x 2 6

| π π

∫ =

=

-

Soal 8

(1 −

)

= . =

Tugas Kalkulus 2 Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :

Penyelesaian: Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x : 3x = x 2 - 2x ⇔ x 2 - 5x = 0 ⇔ x(x - 5) = 0 didapat titik potong di x = 5 dan x = 0 L=∫ − − 5 0

(3x (x2 2x)) dx =∫ − 5 0

(5x x2 ) dx =2 2 5x-3 3 1x 5

| = 52 2 5 - 53 3 1 = 2 125 3 125 = 6 375 − 250 = 6 125

0

Tugas Kalkulus 2 = 20 6 5 satuan luas

-

Soal 9

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :

Penyelesaian: cari titik potong kedua persamaan : 8-2x 2 = x + 2 ⇔ 2x 2 +x – 6 = 0 ⇔ (2x - 3)( x + 2) = 0 Didapat titik potong x = 2 3 dan x = -2 L=∫ −

− − + 2 3 2

((8 2x2 ) (x 2))dx =∫ −

− − 2 3 2

(6 2x2 x)dx = 6x 3 2 x 32 1 x 22 3 2

| −

Tugas Kalkulus 2 = {6 . 2 33 2( 2 3 ) 32 1( 2 3 ) 2 } - {6 . -2 3 2 (-2) 3 2 1 (-2) 2 } = {9 3 2. 8 27 2 1. 4 9 } – {-12 + 3 16 - 2} =924 54 8 9 + 12 3 16 + 2 = 23 24 54 8 93 16 = 24 552 − 54 − 27 −128 = 24 343 = 14 24 7 satuan luas

Tugas Kalkulus 2

Soal 10 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan y = x +6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360 0 adalah…..

Penyelesaian: Titik potong kurva : x 2= x + 6 ⇔ x 2- x – 6 = 0 ⇔ (x- 3)(x+2) = 0 titik potong di x = 3 dan x = -2 V=π

∫

−

+ 3 2

((x 6)2 - ( x 2 ) 2 ) dx =π

∫

−

+ + − 3 2

((x2 12x 36) x4 ) dx =π

∫

−

− + + + 3 2

( x4 x2 12x 36) dx =π {5 1 x 5+ 3 1 x 3 + 6 x 2 + 36x} 3 2

| −

= π {(5 243 + 9 + 54 + 108) – (

Tugas Kalkulus 2 5 32 3 8 + 24 – 72)} = π (5 243 +171 5 32 + 3 8 + 48) = π (5 275 + 3 8 + 219) = π (219 – 55 + 3 8 ) = π (164 + 3 8) = 166 3 2 π satuan volume

Tugas Kalkulus 2 DAFTAR PUSTAKA -

http://www.ittelkom.ac.id/admisi/elearning

-

http://Bloggerbahyou.blogspot.com

-

http://istanamengajar.wordpress.com

-

http://matematikastudycenter.com

-

http://dwipurnomoikipbu.file.wordpress.com

-

http://www.academia.edu.com

TUGAS KALKULUS 2 KELOMPOK F

2015

Written By : 1. AIDIL FITRI : 1311500024 2. ARIP : 1311500085 3. EJI ANDINO DIKA : 1311500034 4. I NENGAH PRAMA WISESA : 1311500027 5. NIRI : 1311500040

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG BABEL T.A 2015

1


2015

JUDUL MATERI QUESTION (Berisi 10 contoh soal, lengkap dengan cara penyelesaiannya)

Soal 1 .............................. Penyelesaian: ..............................






2


2015





3


2015

F . Integral Tentu dan Luas Daerah Di Atas Sumbu-X : 1. Gambarkan daerah-daerah yang luasnya dinyatakan dengan integral berikut : a . ∫ ( + 2) Penyelesaian : a. Grafik y = f(x) = x + 2 mempunyai titik potong (0, 2) dan (–2, 0) sehingga ∫ ( + 2)

Tentukan nilai-nilai integral berikut : 2 . ∫ ( + 3) 3 . ∫ (x − x)

Penyelesaian :

4


2015

Hitunglah nilai integral dari fungsi berikut : 4 . ∫ (2 + 4) 5 . ∫ (3x + 4) 6 . ∫ (3x + 4)

Penyelesaian :

Tentukan nilai-nilai integral berikut : 7.∫ 6 8.∫ 9 . ∫ (5x + 2x)

5


2015

Penyelesaian :

Tentukan nilai-nilai integral berikut : 10 . ∫ 4 Penyelesaian :

6

MAKALAH KALKULUS

LUAS DAERAH DIANTARA DUA KURVA

DI SUSUN OLEH : PUTRI KUMALA AYU BANI AR WICAKSONO JOVANCO AMIRUL MUSLIM CHOLISDIANSYAH GILANG FEBRIANZA WP.

STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG

Kata Pengantar

Bismillahhirrohmanirrohim. Dengan memanjatkan doa dan puji syukur kehadirat Allah SWT serta sholawat tercurahkan ke junjungan kita kepada Nabi Muhammad SAW, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas kelompok dengan judul Luas daerah di antara dua Kurva. Adapun penyusunan makalah ini dapat terselesaikan berkat bantuan dari segala pihak yang membantu menyelesaikan penyusunan makalah ini. Maka dari itu penyusun mengucapkan terimakasih kepada : Bapak Maxrizal, selaku dosen matakuliah Kalkulus yang telah memberi tugas untuk penyusunan makalah ini. Penyusun menyadari bahwa makalah ini masih banyak kesalahan dan kekurangan, karena itu tim penyusun mengharapkan sumbangan pikiran, pendapat serta saran-saran yang berguna demi memperbaiki makalah ini. Semoga makalah ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca.

Pangkalpinang, 30 Mei 2015

Penyusun

LUAS DAERAH DIANTARA DUA KURVA

Secara singat mungkin Luas daerah di antara dua kurva dapat dijelaskan sebagai berikut.

a. Luas Daerah Antara Dua Kurva di Atas Sumbu x

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dimana f(x) > g(x) dalam interval x = a dan x = b dapat ditentukan dengan rumus :

b.

Luas Daerah Antara Dua Kurva di Bawah Sumbu x

Rumus :

CONTOH SOAL

1. Carilah luas kurva

di antara garis x=0, x=4 dan sumbu x.

Tutup Jawaban

2. Tentukanlah luas yang dibentuk oleh y = sin x, y = 1, x = 0 dan terletak di kuadran 1.

Tutup Jawaban Kuadran 1 artinya batas integral mulai dari

3. Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan luas yang dibentuk oleh garis

dan

.

Lihat Jawaban 4. Carilah luas yang diarsir dari gambar dibawah ini. Persamaan garisnya adalah dan .

Tutup Jawaban Supaya lebih mudah, lebih baik kita menghitung luas kurva terhadap sumbu y. Sesuaikan persamaan kurva sehingga menjadi dan , lalu cari titik potong nya.

Lakukan Integral dari kurva kanan dikurang kurva kiri. Gunakan batas integral dari -1 sampai 2.

5. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis

,

dan

!

Tutup Jawaban Untuk menyelesaikan soal ini, gambarlah dulu ketiga garis dan tandai luas yang ingin dicari.

Melihat gambar yang diarsir, cara untuk menyelesaikan adalah dengan membagi 2 daerah seperti gambar dibawah ini

Cari terlebih dahulu titik potong antara kurva y=2x dengan x+y=6.

Lalu cari titik potong antara kurva y=1/2 x dengan x+y=6.

Cari luas kurva bagian I.

Cari luas kurva bagian II.

Jadi luas yang diarsir adalah Luas Kurva I + Luas Kurva II = 6 cm. 6. Hitunglah luas daerah kurva

, yang dibatasi sumbu y dan garis x = 5 !

Tutup Jawaban Untuk menyelesaikan soal ini, pertama carilah titik potong dengan sumbu x. Lalu supaya lebih jelas, gambarlah kurva tersebut. Titik potong dengan sumbu x

Gambarlah kurva tersebut

Dari gambar terlihat bahwa ada 2 daerah dimana yang satu berada di bawah sumbu x dan yang satu di atas sumbu x. Supaya penjumlahan kedua daerah tersebut benar, maka kita perlu untuk memecahkan integral menjadi dua interval, yaitu dari 0-3, dan dari 3-5.

Tanda minus pada luas daerah I perlu diabaikan karena tanda minus hanya menandakan bahwa letak daerah berada di bawah sumbu x. Carilah luas kurva dengan menambahkan kedua daerah tersebut

7. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh

dan sumbu x !

Tutup Jawaban Untuk grafik fungsi pangkat 3, perlu dianalisa ada berapa titik potong pada sumbu x nya. Jika titik potong sumbu x lebih dari satu, maka untuk amannya, kita perlu melakukan integral secara terpisah untuk masing-masing interval titik potong. Ini karena dalam fungsi pangkat 3 terkadang ada fungsi naik dan fungsi turun yang saling meniadakan. Jika kita langsung mengintegral tanpa memecah interval, hasilnya akan salah. Cari titik potong grafik dengan sumbu x (berarti y = 0).

Jika digambar, hasilnya kurang lebih seperti di bawah ini.

Disini dapat kita lihat bahwa daerah A berada di atas sumbu x dan daerah B di bawah sumbu x. Jika kita langsung menggabungkan kedua daerah tersebut, akan didapat hasil = 0, sehingga kita perlu memecah interval dan mencari masing-masing daerah.

Perhatikan bahwa luas B bernilai minus, karena letaknya yang di bawah sumbu x. Inilah yang menyebabkan perhitungan integral secara langsung akan saling meniadakan. Untuk menghitung luas, nilai minus ini harus kita abaikan, yang kita perhitungkan hanya luas daerahnya saja.

8.

8.

Carilah luas daerah yang diarsir !

Jawab :

L = -33 + 6.32 – 9.3 – (-13 + 6.12 – 9.1) L = -27 + 54 – 27 – (-1+ 6 – 9) = 0 – (-4) = 4

9. Luas daerah yang diarsir adalah …

Jawab :

10. Tentukan luas daerah yang diarsir berikut

Jawab : misalkan persamaan garis kita tulis menjadi f(x) = 2x – 17 dan parabola menjadi g(x) = x2 – 25. Pada bagian yang diarsir, kurva f(x) lebih di atas dibandingkan dengan kurva g(x) Maka luas daerah di atas bisa dinyatakan dengan

TUGAS MAKALAH KALKULUS II Luas Daerah Di Antara Dua Kurva

Written by: 1. Jovanco Giotama TGR (1311500106)

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015 JUDUL MATERI

TUGAS MAKALAH KALKULUS II Soal-soal mengenai Luas Daerah Kurva dapat diselesaikan dengan beberapa metode. Untuk kurva berbentuk linear atau garis lurus, luas dapat dicari dengan metode biasa (menghitung luas segitiga atau trapesium). Tetapi untuk kurva dari persamaan kuadrat ataupun persamaan pangkat tiga, cara biasa tidak dapat digunakan. Untuk kurva hasil persamaan kuadrat dan persamaan pangkat banyak lainnya, kita perlu menggunakan cara integral untuk menghitung luasnya. Cara integral inilah yang dipelajari.Sebagai bahan belajar, berikut ini diberikan contoh soal mengenai luas daerah kurva.

Contoh 1 Carilah luas kurva

di antara garis x=0, x=4 dan sumbu x.

Penyelesaian

Contoh 2 Tentukanlah luas yang dibentuk oleh y = sin x, y = 1, x = 0 dan terletak di kuadran 1 Penyelesaian: Kuadran 1 artinya batas integral mulai dari

TUGAS MAKALAH KALKULUS II

QUESTION Soal 1 Tentukan luas yang dibentuk oleh garis

dan

.

Penyelesaian: Cari dahulu titik potong kedua kurva untuk dijadikan batas

Jadi titik potong adalah (2, 1) dan (-1, 4), sehingga batas integral yang digunakan adalah -1 sampai dengan 2.


Soal 2 Carilah luas yang diarsir dari gambar dibawah ini. Persamaan garisnya adalah dan Penyelesaian:

.


Lakukan Integral dari kurva kanan dikurang kurva kiri. Gunakan batas integral dari -1 sampai 2.

Soal 3 Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis Penyelesaian:

,

dan


Lalu cari titik potong antara kurva y=1/2 x dengan x+y=6.

Cari luas kurva bagian I.

Cari luas kurva bagian II.


Jadi luas yang diarsir adalah Luas Kurva I + Luas Kurva II = 6 cm.

Soal 4 Hitunglah luas daerah kurva Penyelesaian: Titik potong dengan sumbu x

, yang dibatasi sumbu y dan garis x = 5


Tanda minus pada luas daerah I perlu diabaikan karena tanda minus hanya menandakan bahwa letak daerah berada di bawah sumbu x. Carilah luas kurva dengan menambahkan kedua daerah tersebut


Soal 5 Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh Penyelesaian: Cari titik potong grafik dengan sumbu x (berarti y = 0).

dan sumbu x


Soal 6 Carilah luas daerah yang dibatasi oleh

dan

Penyelesaian: Cari titik potong kurva

Cari titik potong kurva

dengan sumbu x.

dengan sumbu x.


Lalu cari titik potong antara kedua kurva.

TUGAS MAKALAH KALKULUS II Luas kedua adalah daerah di atas sumbu x. Daerah tersebut juga harus dibagi dua yaitu kurva dengan batas dari dikurangi dengan daerah kurva dengan batas dari

Jadi luas daerah kurva = Luas Daerah I + Luas Daerah II

DAFTAR PUSTAKA (http://contohsoal.org/2013/01/luas-daerah-kurva-dengan-integral)


VOLUME BENDA PUTAR PADA SUMBU-X

Written by: 1.Inka (1211500075) 2.Meyindra Indah Pratiwi (1311500073) 3.Ita Lestari (1311500072) 4.Fanshuri (1311500077) 5.Lisa Ria Wulandari (1311500070)



VOLUME BENDA PUTAR PADA SUMBU X

LESSON Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah b

V    ( f ( x )) 2 dx a

Contoh 1 Contoh : Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f (x) = 4 – x2, sumbu–x, dan sumbu–y diputar 360o terhadap Sumbu–x! Penyelesaian: Jawab : a. Volumenya adalah V = π (4 − x ) dx = π =

16 −

= π

=

+

(16 . 2 − =

(16 − 8 + x )dx

8 1 .2 + . 2 3 5

32 −

−0

64 32 + 3 5

256  15

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu–x adalah

Contoh 2

256  satuan volume. 15


Tentukan volume dari benda putar jika daerah yang dibatasai oleh fungsi f(x) = 4 -x2, sumbu x, dan sumbu y diputar 360º terhadap sumbu x:

Penyelesaian:

Diputar mengelilingi sumbu x Dari grafik di atas terlihat luasan r dibatasi oleh titik di sumbu x (0,0) dan (0,2)

Jadi volume benda putar jika luasan M diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360º adalah 256/15 π


QUESTION (Berisi10contohsoal, lengkapdengancarapenyelesaiannya)

Soal 1 Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar terhadap sumbu x? Penyelesaian:

Menggunakan metode cakram


Menggunakan metode cincin silinder

Soal 2 Hitunglah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x jika diputar terhadap sumbu x? Penyelesaian: Jawab :


Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x Perpotongan kedua kurva: x2 = –x2 + 4x x2 + x2 – 4x = 0 2x2 – 4x = 0 2x(x – 2) = 0 2x = 0 atau x = 2 x = 0 atau x = 2 x = 0 → y = 02 = 0 x = 2 → y = 22 = 4 Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4) Menggunakan metode cakram :

Soal 3 Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = x² dengan batas x = 0 sampai x = 2 dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360° adalah ....


Penyelesaian:

Soal 4 Tentukan volume benda putar jika luasan yang dibatasi oleh y = 3x +1 , x =4, sb x diputar pada sumbu x Penyelesaian: = =

∫ ∫ (3 + 1)

= [3

+3

+ ]

= 237

Soal 5 Tentukan volume benda putar jika luasan yang dibatasi oleh

=4−

diputar pada sumbu x!

Penyelesaian: Perpotongan dengan sumbu x 4−

=0

4= = ±2 =

∫

= [4 −

] dx

= [16 −

+

]

=

Soal 6 Tentukan volume benda putar yang terjadi jika luasan antara kurva =

dan

=

diputar pada sb x

, 5 pada kuadran 1


Penyelesaian: =

(

∫

= [

)−(

−

)

]

=

Soal 7 Tentukan volume benda putar yang terjadi jika luasan antara kurva =−

dan

= − diputar pada sb x

Penyelesaian: =−

,

Sehingga

=− = ±1

=2 ∫ ( =2 [

− −

)dx ]

=

Soal 8 Tentukanlah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh grafik sumbu x, dan sumbu y diputar

,

terhadap: sumbu x.

Penyelesaian: Volumenya

adalah


Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x adalah satuan volume Soal 9 . Hitunglah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x jika diputar terhadap sumbu x? Penyelesaian: Jawab :



Soal 10 Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = x² dengan batas x = 0 sampai x = 2 dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360° adalah .... Penyelesaian:


DAFTAR PUSTAKA

https://esthifitria.files.wordpress.com/2013/01/menentukan-volume-benda-putar.docx http://rumus-matematika.com/metode-menghitung-volume-benda-putar/ http://rumushitung.com/2015/04/16/rumus-volume-benda-putar-dan-contoh-soal/ risqi.blog.com/files/2011/01/Soal-dan-penyelesaian-tentang-luas-daerah-bidang-dan-volumebenda-putar.docx http://rumus-matematika.com/metode-menghitung-volume-benda-putar/

TUGAS KALKULUS Mencari Volume Benda Putar Terhadap Sumbu – X

Penyusun :

Eko septo Ali aridho ( 1311500101 ) M. Adtyas Julianda ( 1211500031 ) Windra Andeas ( 1311500006 ) Memo Bongo Joyo Adi Cahya Mita Kwan po STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG TAHUN AJARAN : 2014 – 2015 ( GENAP ) JURUSAN TI Kel : TH

1

Kalkulus 2 | Stmik Atma Luhur Pangkalpinang

Baiklah disini kami akan menjelaskan bagaimana cara mencari volume benda putar terhadap sumbu – X. Ada 2 metode yang kami gunakan untuk menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu metode cakram & metode cincin silinder 1. Metode cakram   

berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi Luas Alas selalu berupa lingkaran sehingga Luas Alas = πr2 (r adalah jari-jari putaran) digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

2. Metode cincin silinder   

berdasarkan pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran karena keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penjelasan dan contoh dibawah ini :

2


Contoh : Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar terhadap sumbu x.



Metode cakram:

3




Metode cincin silinder:

pertanyaan 1 :

4


Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar terhadap sumbu x

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x

Perpotongan kedua kurva: x2 = –x2 + 4x x2 + x2 – 4x = 0 2x2 – 4x = 0 2x(x – 2) = 0 2x = 0 atau x = 2 x = 0 atau x = 2 x = 0 → y = 02 = 0 x = 2 → y = 22 = 4 Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

5




Metode cakram:



Metode cincin silinder: 6


Pertanyaan 2 : 7


Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis x = 4

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: x = 4

Perpotongan kurva dan garis: x2 = 6x – x2 x2 + x2 – 6x = 0 2x2 – 6x = 0 2x(x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3 x = 0 → y = 02 = 0 x = 3 → y = 32 = 9



Metode cakram: 8




Metode cincin silinder: 9


Pertanyaan 3 : 10


Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis x = –1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis merah muda: x = –1



Metode Cakram:



Metode Cincin silinder: 11


Pertanyaan 4 : Penggunaan Metode Cakram 12


Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh grafik,

Dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ π) dengan pusat putaran sumbu-x.

Pembahasan Dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun ruang adalah,

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume.

Pertanyaan 5 : Penggunaan Metode Cincin 13


Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari y = √x dan y = x2 terhadap sumbu-x, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Pembahasan : Dari gambar di atas dapat ditentukan bahwa jari-jari luar dan dalamnya adalah sebagai berikut.

Dengan mengintegralkan dengan batas antara 0 dan 1, menghasilkan

Pertanyaan 6 : 14


Tentukan volume dari benda putar jika daerah yang dibatasai oleh fungsi f(x) = 4 -x2, sumbu x, dan sumbu y diputar 360º terhadap sumbu - x

Diputar mengelilingi sumbu x Dari grafik di atas terlihat luasan r dibatasi oleh titik di sumbu x (0,0) dan (0,2)

Jadi volume benda putar jika luasan M diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360º adalah 256/15 π.

Pertanyaan 7 :

15


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daereah yang dibatasi oleh kurva y = √x , garis x = 2, garis y = 4, dan garis y = 3. Jawab: Kita gambar dulu luasan dimaksud

daerah berwarna biru muda di atas akan diputar mengelilingi sumbu x maka volume benda putar yang terjadi:

Jadi volume benda putar tersebut adalah 12 π satuan volume.

Pertanyaan 8 :

16


Perputaran Terhadap Sumbu x

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°, maka volume yang akan terjadi : Contoh : Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = x² dengan batas x = 0 sampai x = 2 dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360° adalah .... Jawab :

Pertanyaan 9 : Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik F (x) = x – 2 , sumbu-y, garis x = 2, dan y = -1 diputar 360° mengelilingi sumbu-x Jawab: Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volumenya adalah 2

V     ((1) 2  ( x  2) 2 ))dx 0 2

V     1  ( x 2  4 x  4)dx 0 2

 1  V     x 3  2 x 2  3 x   3 0  8   V       8  6   0    3 2 V   satuan volume 3 Pertanyaan 10 : 17


Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y  x 2 dan y 2  8x diputar mengelilingi sumbu X. Jawab : Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ). Pada selang 0,2 , 8 x  x 2 . Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh 2

V      0

 8x   x   dx  485  2

2 2

SUMBER 18


    

http://rumushitung.com/2015/04/16/rumus-volume-benda-putar-dan-contoh-soal/ http://beni95h.blogspot.com/2015/01/httpbeni95h.html http://rumus-matematika.com/metode-menghitung-volume-benda-putar/ https://yos3prens.wordpress.com/2013/08/03/aplikasi-integral-menentukan-volume-denganmetode-cakram/ https://yos3prens.wordpress.com/2013/08/26/aplikasi-integral-menentukan-volume-denganmetode-cincin/

19



Volume Benda Putar Dua Kurva

Written by: 1. Abdull Rasid

( 1311500013 )

2. Rossi Aldiyanto

( 1311500091 )

3. Bagus Detiadi

( 1311500082 )

4. Anggun Saputra

( 1311500087 )

5. Said Noval Assegaf

( 1311500095 )

6. Jaka Yulian Aradya

( 1311500008 )

7. Hidayattullah Muttaqien

( 1311500041 )

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015 Volume Benda Putar Dua Kurva


Anggota Kelompok……




Soal 3 Carilah volume benda putar pada daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = x diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu-y. Jawab : Dari persamaan y = x2 dan garis x = y, substitusikan x = y ke y = x2 , maka :

y = y2 ↔

y - y2 = 0

↔

y (y - 1) = 0

↔ y=0 | y=1

V=

( (y))2 - (g(y))2 dx

=

(y - y2)dx

=

y2 - y3

=


Soal 4 Tentukan volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o

Gambar 25. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x. Jawaban : Perpotongan antara kurva y = 6x – x2 dan y = x adalah sebagai berikut. y1 = y2 ↔ 6x – x2 = x ↔ 5x – x2 = 0 ↔ x(5 – x) = 0 ↔ x = 0 atau x = 5 Nilai x = 0 dan x = 5 digunakan sebagai batas-batas integrasi volume benda putarnya. Dengan demikian, diperoleh :


Soal 5 Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 , y = 3x2 , dan y = 3 di kuadran pertama diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o.

Gambar 27. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 , y = 3x2 , dan y = 3. Pembahasan : Kurva y = x2 → x1 = → x12 = y

Kurva y = 3x2 ↔ x2 = ↔ x22 = 1/3 y Dengan demikian, volume benda putarnya adalah :

V = 3π satuan volume


Soal 6 . Grafik selengkapnya sebagai berikut

Menentukan Batas-batas Jika diputar pada sumbu x, terlihat dari gambar batas-batasnya adalah 0 dan 2 Jika diputar pada sumbu y, terlihat batas-batasnya adalah 0 dan 4 Kali ini akan dihitung untuk putar sumbu y, sehingga batas yang diambil 0 dan 4 Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk dua buah kurva: V = π a∫b ( [f1(y)]2 − [f2(y)]2 ) dy atau V = π a∫b ( [x1]2 − [x2]2 ) dy → Ubah bentuk "y =... " menjadi "x =..." atau "x2 =..." , y = −x2 + 4 x2 = 4 − y y = − 2x + 4 2x = 4 − y x = 2 − 1/2 y x2 = 4 −2y + y2/4 sehingga V = π a∫b ( [x1]2 − [x2]2 ) dy V = π 0∫4 ( [4 − y] − [4 −2y + y2/4] ) dy V = π 0∫4 ( 4 − y − 4 + 2y − y2/4 ) dy V = π 0∫4 (y − y2/4 ) dy V = π [ 1/2 y2 − y3/12]04 V = (1/2 . 16 − 64/12)π − (0) π = 8/3 π


Soal 7 Hitunglah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x jika diputar terhadap sumbu x? Jawab :



Menggunakan metode cincin silinder :



Soal 8

= −1 =

[(

)−(

=

−

=

2 +1

=

2 + 2

+ 1)²]

+2

2 1

=

[4 + 2] − [1 + 1]

=

6–2

=4

+1


Soal 9 Dearah yang dibatasi oleh y = x² dan y² = x di putar terhadap sumbu x sejauh 360 º. Volumenya dalah :

1= 2 2 = 1 = :x =1 =1

= π

( 1 −

2 )

= π

( −

)

= π

1 2

= π

1 1 − −0 2 5

= π

5−2 10

=

3 π 10

−

1 5

1 0


Soal 10 =

−3 = x–3

=

–x–3+3

= −

=0

x ( − 1) = x = 0 V x = 1

V=

∫ ( − 3) − (

− 3)

=

∫ (

− 6 − 9) − (

=

∫

− 6 −

=

∫

−

=

∫

=

∫

−

− ( )

−3−

=

−

=

− =

−

− 6

− 9)

+ 6 + +

( )

+2

− =

−

=

=


Soal 11

V=

∫ (

− 2 ) − ( − 2)

=

∫ (

−4

+ 4

)− (

=

∫

−4

+ 4

−

=

∫

−4

+ 3

+ 4 −4

=

−

+

=

−

+

+ +

− 4 + 4) + 4 −4

−4 −4

3 2

=

− 81 + 27 + 18 − 12 −

=

− 48 −

=

− 48 −

=

− 40

=

−

=

−8 +8

− 16 + 18 + 8 − 8


Soal 12 Hitung volume benda putar dan daerah yang di batasi

=

=

jika di putar pada sumbu y

Jawab : Tentukan titik potong kurva tersebut = = = −

=0

( − 1) = 0 x=0Vx=1 y=0

Jadi titik potongnya alaha (0,0) dan (1,1). Hitung volume dengan persamaan : ∫

−( )

=

∫ ( −

)

=

−

V=

= =

−

1 0 −0

y=1


DAFTAR PUSTAKA Frank Ayres , Jr ., 1984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua (Terjemahan). Jakarta: Erlangga. Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga Stroud, K.A. 1986.Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.


Volume Benda Putar Pada Sumbu-Y

Written by: 1. Erzal Syahreza

1311500083

2. Rendi

1311500127

3. Angga Sang P

1311500126

4. Muhammad Liyandi

1311500090

5. Ifan Suhendra

1311500015

6. Maximilianus



Volume Benda Putar Pada Sumbu-Y Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh x  g ( x), y  c, y  d Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda d

tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu: V    x 2dy . c

Y

yd

x  f ( y)

X yc


Gambar 4.15

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu x1  f ( x), x 2  g ( x), y  c, y  d . Dengan x1  x 2 Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu: d





V    x12  x22 dy c

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut : b

V 

 A ( x )dx a

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.


Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh y  f ( x), y  0, x  1, dan x  b diputar dengan sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang a, b . Misal pusat cakram  x0 ,0 dan jari-jari r  f  x0  . Maka luas cakram dinyatakan :

Ax 0   f

2

x0 

Oleh karena itu, volume benda putar : b 2

   f (x)

V 

dx

a

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x  g ( y), x  0, y  c dan y  d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar : d

V 

2

  g ( y ) 

dy

c

Bila daerah yang dibatasi oleh y  f x   0 , y  g  x   0, f ( x)  g ( x) untuk setiap

x  a, b, x  a dan x  b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume: b





V    f 2 ( x )  g 2 ( x ) dx a

Bila daerah yang dibatasi oleh x  f  y   0, x  g  y   0, f ( y )  g ( y ) untuk setiap

y  c, d , y  c dan y  d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume : d

V 

 f c

2



( y )  g 2 ( y ) dy


Contoh 1 Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y  x 2 dan y 2  8 x diputar mengelilingi Sumbu Y. Penyelesaian:

kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ). Pada selang 0,4, y 

y2 8

Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

 V     0 2

 y2  y     8 

 

2

2

  dy  48   5 

Metode Kulit Tabung Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut. Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

 V   r2   r1 h  2 rh  r dengan :

r2  r1  r rata  rata , jari  jari , r2  r1   r 2

Bila daerah yang dibatasi oleh y  f ( x), y  0, x  a, x  b diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r  x dan r  x dan tinggi tabung h  f (x) Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2 b

V 

 2  xf x dx a

Misal daerah dibatasi oleh kurva y  f  x , y  g  x , f ( x)  g ( x), x  a, b  , x  a dan x  b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar b

V 

 2 x  f ( x ) 

g ( x )  dx

a

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x  f ( y ), x  0, y  c, y  d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume = d

V 

 2  y  f ( y )  dy c

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

x  f  y , x  g  y , f ( y )  g ( y ), y  c, d , dan y  c dan y  d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan d

V 

 2 y  f ( y ) 

g ( y )  dx

c

Contoh 2 Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola

Penyelesaian:

y  2  x 2 dan di atas parabola y  x 2 diputar mengelilingi sumbu Y. 1







V  2  x 2  x 2  x 2 dx   0

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang 0  y  1 dibatasi x  2  y dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi 1  y  2 1

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume = V    0

2

 y  dx     2

1

2



2  y dy  


QUESTION (Berisi 10 contoh soal, lengkap dengan cara penyelesaiannya)

Soal 1 y 4-------------------

y  2x 2--------

0

1

x

Penyelesaian: y  2x y x  2 4

v  

 2

4

 

 2 4

 

 2

2

 y    dy  2 

y2 dy 4  1 .y   4

 y3      12 

2

1 y3   .  4 3 

4

2

 43   23         12   12   64    12 56   12

  8        12   4, 6


Soal 2 y

y  x2

2--------------

1--------

0

1

Penyelesaian: y  x2 2

y  2 x2 yx 2

v 

 y

2

dy

1

2

    y  dy 1

2

 y 2   22   12               2 1   2   2   4 1 3        2 2 2  1, 5

x


Soal 3 y

2---------------y x

1---0

x

Penyelesaian: y x ( y2 )  2 x

2

y2  x 2

 

v    y2

2

dy

1 2

 1

2

 y5  y dy     5 1

  4

 25   15            5   5    32   1  31         5  5 5  6, 2


Soal 4 y

2-----------

x  y 1

0

x

Penyelesaian:

x  y 1 2 2

v    ( y  1) dy 0 2

   ( y 2  2 y  1)dy 0 2

2

 y3       y2  y 3 0 0  2

 23   03  2      2  2     02  0  3  3  0  8      4  2    0 3   8  12  6  26     3   8, 6 3 


Soal 5 y 3----------------

y  4x  1

0

x

Penyelesaian: y  4x 1 y 1 x 4 3

2

y2  2 y 1  y 1  v    dy  dy 4  16 0 3

 y3   y2  y  3  3  16  0    0  33   03  2 2   3  3    0  0     3  3  16 16             27  9 3  3  3   16   16    


Soal 6 y

2-------

y  x2 1------------x

Penyelesaian:

y  x2 x y2 2 2

v     y  2  dy 1 2





   y 2  4 y  4 dy 1

2

2

 y3       2 y2  4 y 3 1 1 

 23   13       2.2 2  4.2     2.12  4.1    3   3 8  1      8  8    2  4 3  3   8  24  24   1  6  12      3 3      56   19       3   3  37    12, 3 3


Soal 7 y

y2  x 2------------------

0

x

Penyelesaian:

y 2

2

y

 x 2



y 

2

x

x 2

v  

 y 

2

dy

0

2

 



y 2dy

2

 y3     3 0

0

 

 0

2

 23   03          3   3   8       0   3  8    2, 6 3


Soal 8 y

4-----------

x   y2  4 y 1 2----

0

x

Penyelesaian: 4





2

v     y 2  4 y  1 dy 2

4





   y 4  8 y 3  18 y 2  8 y  1 dy 2 4

4

 y5       4 y 4  6 y3  4 y 2  y  5 2 2   45   25     4.44  6.43  4.42  4     4.24  6.23  4.2 2  2     5   5  1024   32     1024  384  64  4     32  48  16  2     5   5  1024   32    700     2   5   5   1024  3500   32  10     5    5  2518   5


Soal 9 y

4----------------

y  x 1

0

x

Penyelesaian: y  x 1 x  y 1 4 2

v     y  1 dy 0

4





   y 2  2 y  1 dy 0

4

 y3      y2  y  3 0

  43   03     4 2  4     0 2  0     3   3  64     16  4    0   3   64     12   3   64  36  28      9,3  3  3


Soal 10 y

2--------

yx

1------------0

Penyelesaian: yx 2

2

y  x2

y x 2

v    ( y ) 2 dy 1

2

   ( y 2 )dy 1

2

 y3     3 1

 23   13           3   3   8 1     3 3 7   3

x


DAFTAR PUSTAKA Purnomo(2003). From https://dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com, 23 mei 2015

STUDENT REVIEW & BANK SOAL KALKULUS II

Recommend Documents