ACADEMIA
M A
T
SOLUCIONARIO MATEMÁTICA SI G
SIGMATH
UNASAM 2009 - I
DE PIE SOBRE LOS HOMBROS DE LOS DEMÁS
Matemática Pregunta N.º 01 Si MCD A; B 72 N y MCD B; C 60 N . Hallar
A) 6 D) 9
B) 7 Resolución
N si el MCD A; B; C 84 . A) 7 D) 10
B) 8
C) 9 E) 11
Resolución Tema MCD y MCM
MCD B; C d2
a i m e d a c A
MCD B; C 60 N MCD A; B; C 84
x x 2 1 6 6 2 1 x x 2 1 210
x 2 36
MCD A; B; C MCD d1 ; d2
MCD A; B 72 N
Sea “x” el número buscado, entonces la diferencia del número y su cubo será 210 sí y solo si el minuendo es mayor que el sustraendo
H T A M G I S
MCD A; B d1
En el ejercicio:
Tema Productos notables
x 3 x 210
Para resolver el ejercicio aremos uso de la siguiente propiedad: si
()
()
()
Respuesta: Por lo tanto la suma de cifras es 9
S 6 66 666 (70 sumandos)
A) 24 D) 21
B) 23
MCD A ; B ; C 84
C) 16 E) 20
Resolución
Tema Cuatro operaciones fundamentales.
MCD 72 N ;60 N 84
Disponemos la suma de la siguiente manera
84
1
12 N 84 N 7
Respuesta: Por lo tanto N 7
Alternativa D
Pregunta N.º 03 Determinar la suma de las 5 últimas cifras del resultado de efectuar la siguiente suma:
Reemplazando () y () en ()
MCD 6;5 12 N
C) 8 E) 10
Alternativa A
Pregunta N.º 02 Un número y su cubo se diferencian en 210 unidades. Hallar la suma de sus cifras del cuadrado del número.
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
.
.
.
.
6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6
E D C B
6 6 6 6 6 6 6 6 A
70 sumandos
1
MATEMÁTICA Al sumar la primera columna (de derecha a izquierda), diríamos 6 6 6 y así 70 veces, pues hay 70 sumandos, pero podemos abreviar la suma de la siguiente manera: A0
A 70 6 420
Pregunta N.º 04 La suma de 61 números naturales consecutivos es 2745. Hallar el mayor de ellos. A) 60 D) 76
B) 65
C) 70 E) 75
Resolución
Se lleva 42
Tema Cuatro operaciones fundamentales
Al sumar la segunda columna y adicionar lo que se llevo en la primera, se tiene B 69 6 42 45 6
B6
Si consideramos a “n” como el menor de los 61 números, entonces se tiene: n n 1 n 2 n 60 2745 61 sumandos
a i m e d a c A
n n 1 n 2 n 60 2745
H T A M G I S
Se lleva 45
Al sumar la tercera columna y adicionar lo que se llevo en la segunda C 68 6 45 45 3
Se lleva 45
C3
6061 2
61n
60 61 2745 2
61n 30 61 2745 61n 915
n 15
Al sumar la cuarta columna y adicionar lo que se llevo en la tercera D 67 6 45 44 7
61n 1 2 3 60 2745
Como el mayor de los números está representado por “n+60”, entonces
D7
n 60 15 60 75
Respuesta: Por lo tanto, el mayor de los números es 75
Se lleva 44
Alternativa E
Por último sumamos la quinta columna y adicionamos lo que se llevo en la cuarta E 66 6 44 44 0
E0
Se lleva 44 Como ya tenemos las cifras buscadas, entonces hallamos la suma de éstas: A B C D E 0 6 3 7 0 16 Respuesta: Por lo tanto, la suma de las cinco últimas cifras es 16 Alternativa C
Pregunta N.º 05 Sabiendo que los números 10a(4) , 2bc (a) , bb(c ) , están correctamente escritos y a, b, c son cifras diferentes. Hallar “ a b c ” A) 6 D) 5
B) 7
C) 8 E) 4
Resolución Tema Numeración Se tienen los números: 10a(4) , 2bc (a)
, bb(c )
2
MATEMÁTICA Analizando cada uno de ellos:
10a(4)
:
a4
2bc (a)
:
ca
bb(c )
:
bc
La
suma
de
coeficientes
1
2
Alternativa A
4
3
Pregunta N.º 07 Hallar un intervalo del conjunto solución de:
5
Con esto podemos decir que los valores de a, b y c son: a3 b 1 c2
a i m e d a c A Alternativa A
Pregunta N.º 06
Factorizar: x 6 10 x 3 27 ; e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores B) 7
2
La expresión (I) está asociado con:
a 3 b 3 c 3 3abc a b c a 2 b 2 c 2 ab ac bc
Entonces se tiene:
x 2 2x 3 x 4 4 x 2 9 2x 3 3 x 2 6 x x 2 2x 3 x 4 2x 3 x 2 6 x 9
Tema Inecuaciones
x 2 x 1 x3 x
se debe tener en
x x 2 x 3 x 1 0 x x 3
2x 3 (I)
2x 3 3 x
Resolución
x 2 x 1 0 x3 x
x 6 8 x 3 27 10 x 3 8 x 3
x
1 D) , 2
x 2 x 1 x3 x
Agregando 8x 3 y ordenando:
3
1 2 E) 0,
cuenta que: x 3 y x 0 para que la expresión exista en los reales, bajo estas consideraciones resolvemos la inecuación.
Tema Factorización
3
1 B) 3, 2
En la inecuación
C) 9 E) 12
Resolución
3
1 A) , 2
C) 3,
Respuesta: Por lo tanto, el valor de a b c 6
2
x 2 x 1 x3 x
H T A M G I S
a b c 3 1 2 6
A) 3 D) 11
factor
Respuesta: Por lo tanto, la respuesta es 3
0 b c a 4
0
del
x 4 2x 3 x 2 6 x 9 es 3
Como “b” es inicio de un número, entonces no podría tomar el valor de cero, así:
1
La suma de coeficientes del factor x 2 2 x 3 es 6
x 2 2x x 2 4 x 3 0 x x 3 6 x 3 0 x x 3
Multiplicamos por ( 1 ) a toda la expresión. 6x 3 0 x x 3
3
MATEMÁTICA Nótese que esta última ecuación es una ecuación exponencial, por lo tanto a bases iguales le corresponde exponentes iguales:
2 x 1 x x 3 0 Los puntos críticos son: x1
1 2
x2 0
;
x2 1 x2 1 x3 x3
x 3 3
;
x 3 x 2 1 x 2 1 x 3
Ubicando los puntos en la recta real.
3
1 2
1 C.S. 3; 0; 2
3x 2 x 0
x 3 x 1 0
0
x0
x
Como x tiene dos valores entonces:
a i m e d a c A x 0 1 x 3
1 C.S. 3; 0; 2
Respuesta:
Alternativa B
Pregunta N.º 08 2
Hallar x si:
A) 1/4 D) – 1/9
3x
x
x 3
3
B) 1
3
C) E)
1/9 – 1/4
Tema Ecuación exponencial Transformando adecuadamente ambos miembros de la ecuación.
3x
x 3
33
x 3
3x
x 2 1
x2
2 1
x
x 3
x 3
x 3
x 2 1
3 x 3 3 x 3
3
x x
3 x2
3 3
3x
2 1
Por lo tanto, según las alternativas, x 2
1 9
Alternativa C
Pregunta N.º 09 Calcular “m” si el sistema:
x x
Resolución
x 3 3
x2 0 2 1 2 1 x 9 3
H T A M G I S
Teniendo en cuenta las restricciones iniciales x 3 y x 0 se tiene:
x 3 3
1 3
x my 1 mx 3my 2m 3
(1) (2)
Es incompatible A) 1 D) 0
B) – 1
C) – 3 E) 2
Resolución Tema Sistema de ecuaciones. En el sistema: x my 1 mx 3my 2m 3
(1) (2)
Dividimos por “m” a la ecuación (2), con m 0 . x my 1 3 x 3y 2 m
4
MATEMÁTICA Ahora: el sistema será incompatible si y solo si: 1 m 1 1 3 2 3 m
x 12 y4
x 12 Nos piden calcular 3 y 4
m 3
Respuesta: Por lo tanto, el sistema será incompatible cuando m 3
Alternativa C Pregunta N.º 10 x Hallar ; después de resolver el sistema: y
Respuesta: x Por lo tanto, el valor de 3 y
Pregunta N.º 11 Desde un punto P exterior a una circunferencia C se traza la tangente PE y la secante PBT , B, T y E en C. Siendo mBET 60º y mTPE 20º , calcular 2mBTE .
a i m e d a c A
B) 2
A) 100º D) 110º
C) 3 E) 5
B) 80º
Tema Circunferencia.
Graficando el enunciado.
x
Para simplificar los cálculos haremos un cambio de variable. Sea:
60º 2
20º
P
E
En una circunferencia se cumple:
2 m 16 n 1 16
Volviendo las variables iniciales en () se tiene:
De este último
B
()
Reemplazando en el sistema inicial se tiene:
2 1 x y 16 x y 1 1 16
120º
T
Tema Sistema de ecuaciones.
3 mn 16 mn 1 16
C) 90º E) 70º
Resolución
Resolución
x y 1 m 1 x y n
Alternativa C
H T A M G I S
3 1 1 x y x y 16 x y 1 x y 1 1 16
A) 1 D) 4
xy 8 x y 16
2 1 x y 16 1 1 x y 16
120 2 360 2 240
(1)
Por propiedad de ángulo exterior 20
2 2
2 40
(2)
Restando (2) de (1) se tiene: 4 200 50º
5
MATEMÁTICA En el gráfico usamos la propiedad de ángulo inscrito. x
2 2
x 50º
Pregunta N.º 130 En la figura mABC 70º , A y C son puntos de tangencia, AF // BC y CE // AB , calcular m EF
Como nos piden el doble de la medida del ángulo x, entonces se tiene:
A
B
2 x 100º
Alternativa A Pregunta N.º 12
E
C
En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD , luego se traza DE (E sobre BC ) paralelo a AB . F
Calcular AB, si BE 3 y BC 3 AB . A) 6 D) 5
B) 9
a i m e d a c A A) 12º D) 30º
C) 4 E) 8
B) 15º
H T A M G I S Tema Circunferencia
Tema Triángulos. Graficando:
B
3
E
D
A
70º
110º
250º
70º
E
C
C
x
Como los triángulos ABC y DEC son semejantes, entonces se cumple que: ,
x0
70
2
x4
()
m FC m m AE m EF AC 360º
Como x 0
En una circunferencia se cumple:
x x 4 0
x 2
x 140
x2 4x 0
x0
F
Propiedad de ángulo interior en una circunferencia
9x 3x 2 3x 12 x 3 x
B
70º
3x
3 2
A
3 3x x x 3x
20º 40º
Resolución
Resolución
x
C) E)
360º
x4
(1)
También se cumple:
Respuesta:
70
Por lo tanto, AB x 4 Alternativa C
2
140
(2)
6
MATEMÁTICA Restando (2) de (1) se obtiene
N
110º
cos 6 x 3 sin 2 x cos 2 x sin6 x sin6 x
Ahora simplificamos el denominador:
Reemplazando en () x 30º
D tan6 x 3 sec 2 x. tan 2 x 1
Respuesta:
D tan6 x 3 sec x. tan x 1
2
30º Por lo tanto, la medida del ángulo EF Alternativa D Pregunta N.º 14 Simplificar la expresión: E
sin6 x sin x 1 3 1 6 cos x cos x cos x
D
sin6 x sin 2 x 3 1 cos 6 x cos 2 x
a i m e d a c A
cot 6 x 3 csc 2 x cot 2 x 1 tan6 x 3 sec 2 x. tan 2 x 1
A) tan4 x
D
H T A M G I S
B) sin x cot 5 x
D) sec 5 x
C) sec x cot 3 x E) cot 6 x
Resolución
D
sin6 x 3 sin 2 x cos 2 x cos 6 x cos 6 x cos 6 x cos 6 x
D
sin6 x 3 sin 2 x cos 2 x cos 6 x cos 6 x
Reemplazando (N) y (D) en la expresión E
Tema Identidades trigonométricas En:
E
E
6
2
2
cot x 3 csc x cot x 1 tan6 x 3 sec 2 x. tan 2 x 1
Simplificamos por separado el numerador y denominador. Sea: Numerador (N)
E
cos 6 x 3 sin 2 x cos 2 x sin6 x sin6 x sin6 x 3 sin 2 x cos 2 x cos 6 x cos 6 x
cos6 x cos6 x 3 sin2 x cos 2 x sin6 x sin6 x sin6 x 3 sin2 x cos 2 x cos6 x
cos 6 x E cot 6 x 6 sin x
Denominador (D) N cot 6 x 3 csc 2 x cot 2 x 1 2
N cot 6 x 3 csc x cot x 1
Respuesta: Por lo tanto, simplificando nos queda cot 6 x Alternativa E
2
cos 6 x 1 cos x N 3 1 6 sin x sin x sin x N
cos 6 x cos 2 x 3 1 sin6 x sin 4 x
N
cos 6 x 3 sin 2 x cos 2 x sin6 x sin6 x sin6 x sin6 x
Pregunta N.º 15 Resolver en el primer cuadrante: 3 cos x cos y 4 sin x sin y 1 4
7
MATEMÁTICA A) x 30º ; y 60º
x 30º
B) x y 30º
En (III)
C) x y 60º
y 30º
D) x 0º ; y 90º E) x y 15º
Respuesta: Resolución
Por lo tanto, x y 30º
Tema Sistema de ecuaciones trigonométricas
Alternativa B
Sea: 3 cos x cos y 4 1 sin x sin y 4
(I)
a i m e d a c A
H T A M G I S (II)
Sumando ambas ecuaciones se tiene:
cos x cos y sin x.sin y
3 1 4 4
cos x cos y sin x.sin y 1
Usando la identidad trigonométrica de la diferencia de ángulos. cos x y 1
Hay que recordar que:
cos 0 1 , cos 2 1 , ………..
Como nos piden resolver en el primer cuadrante, entonces: xy 0
xy
(III)
Reemplazando la ecuación (III) en (II) sin x sin x sin 2 x sin x
1 4
1 4
1 2
8
