MEDIDAS DE DISPERSIÓN A pesar de la gran importancia de las medidas de tendencia central y de la cantidad de información que aportan individualmente, no hay que dejar de señalar que en muchas ocasiones esa información, no sólo no es completa, sino que puede inducir a errores en su interpretación. Veamos Veamos algunos ejemplos.
1ª SEMANA
2ª SEMANA
#$ $ -$ 0$ 1$ 2$ #$$
-$ /$ 0$ 0$ 1$ 1$ 1$
350 350 *a media y la mediana de amas distriuciones coinciden &el valor de amas es 0$ en los dos casos( y, sin emargo, las
Consideremos dos grupos de personas extraídos como muestras respectivas de dos polaciones distintas! el primero est" compuesto por #$$ personas que asisten a la proyección de una película para niños, y el segundo por #$$ personas elegidas entre los asistentes a una discoteca juvenil. %udiera ocurrir que, aun siendo las distriuciones de las edades de amos grupos muy distinta, la media y la mediana coincidieran para amas. &'a un ejemplo concreto en que esto ocurra(. )gualmente ocurre en este otro ejemplo. *a caja de un +iosco registra las siguientes entradas en soles, a lo largo de dos semanas correspondientes a pocas
consecuencias que se podrían derivar de una y otra tala son ien distintas. Comprendemos pues, a la vista de estos ejemplos, la necesidad de conocer otras medidas, aparte de los valores de centrali3ación, que nos indiquen la mayor o menor desviación de cada oservación respecto de aquellos valores. *as medidas de desviación, variación o dispersión que estudiaremos a continuación son! a( 4ango 4ango,, amplit amplitud ud o reco recorri rrido do ( 'esv 'esvia iaci ción ón medi media a c( 'esv 'esvia iaci ción ón típ típic ica a d( *a vari varian an3a 3a e( Coe5ci Coe5cient ente e de variac variación ión
distintas del año
RANGO, AMPLITUD TOTAL TOTAL O RECORRIDO 6l rango se suele de5nir como la
Adem"s, esta información puede ser
diferencia entre los dos valores extremos (R
errónea, pues el hecho de que no in7uyan
= límit !"#$i%$ & límit i'$i%$) que
m"s de dos valores del total de la serie
toma la variale. 6s la medida de dispersión
puede provocar una deformación de la
m"s sencilla y tamin, por tanto, la que
realidad.
proporciona proporciona menos información.
Comparemos, Comparemos, por ejemplo, estas dos series!
S$i 1*
1 0 8 8
S$i 2*
2 / 1 2 #$ # #/ #1 1
2
9
9 #$
1+
Amas series tienen rango #1 #8 : # ; #2 : (, pero est"n desigualmente agrupadas, pues mientras la primera tiene una mayor
concentración en el centro, la segunda se distriuye uniformemente a lo largo de todo el recorrido. 6l uso de esta medida de dispersión, ser" pues, astante restringido.
DES-IACIÓN MEDIA 6n teoría, la desviación puede referirse a cada una de las medidas de tendencia central! media, mediana o moda< pero el
8 2 2 Veamos ahora cómo se calcula la
inters se suele centrar en la medida de la
desviación media en el caso de datos
desviación con respecto a la media, que
agrupados en intervalos.
llamaremos desviación media. %uede de5nirse como la media aritmtica de las desviaciones de cada uno de los
DM
=
∑n
i
⋅ x
N
'onde oservamos que ahora las
valores con respecto a la media aritmtica
desviaciones van multiplicadas por las
de la distriución, y de indica así!
frecuencias de los intervalos
DM
=
∑ x − x
correspondientes.
N
Adem"s, las desviaciones son de cada
=ótese que se toman las desviaciones en valor asoluto, es decir, que la fórmula no
centro, o marca de clase, a la media aritmtica. 6s decir,
distingue si la diferencia de cada valor de la variale con la media es en m"s o en
DM
=
menos. >a se har" advertido que esta expresión
∑n
i
( x m − x) N
E.m#l%* %ara hallar la desviación media de
sirve para calcular la desviación media en el
la siguiente tala referida a las edades de
caso de datos sin agrupar. Veamos un
los #$$ empleados de una cierta empresa!
ejemplo! ?e tiene los valores , , /, /, 0, 1, 8, 2, 2. Averiguar la desviación media de estos valores. x / / / 0 1
x
− @@# @# @# $ #
x
x
− # # # $ #
x
Cl/!
'i
#1@$
$@/
2
/@2
2
2@-
#2
-@-1
$
-1@/$
#2
/$@//
#0
//@/2
2
/2@0 Veamos cómo se procede!
-
ni ⋅ −
los valores de la variale. ?i es muy alta,
Clase
ni
xm
ni ⋅ xm
#1@$
#2
-1
$@/
2
#81
/@2
2
2@-
#2
como medida de dispersión en todas
-@-1
$
aquellas distriuciones en las que la medida
-1@/$
#2
de tendencia central m"s signi5cativas
/$@//
#0
haya sido la media. ?in emargo, para las
//@/2
2
mismas distriuciones es mucho m"s
/2@0
-
signi5cativa la desviación típica, que
x
−
x
x
#1,8
x
--,//
indica gran dispersión< si es muy aja re7eja un uen agrupamiento y que los valores son parecidos entre sí. *a desviación media se puede utili3ar
#$$ ' ; 1,$9
estudiaremos a continuación, y eso hace que el uso de la desviación media sea cada
*a desviación media viene a indicar el
ve3 m"s restringido.
grado de concentración o de dispersión de
DES-IACIÓN TPICA 6s sin duda la medida de dispersión m"s importante, ya que adem"s sirve como medida previa al c"lculo de otros valores estadísticos. *a desviación típica se de5ne como la raí3 cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distriución. 6s decir, S
=
∑ ( x − x)
2
0 2 #$ # #1 %rimero hallamos *uego ? ; 13,76
=
=
3,71
todo largo! ?e aplica la siguiente fórmula
N
∑ x − x
S =
2
N
CLCULO DE LA DES-IACIÓN TPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS EN CLASES Veamos la fórmula anterior aplicada a un caso concreto. Ballar la desviación típica de la serie! 0, 2, #$, #, #1. − − x x
x
8,$/ /,2/ $,$/ -,/ --,1/
CLCULO DE LA DES-IACIÓN TPICA PARA DATOS AGRUPADOS EN CLASES AGRUPADOS POR RECUENCIAS
%ara datos sin agrupar, o ien! S
x
@0, @, @$, #,2 0,2 ; #$,
x
x
∑ fx
2
N
'onde x = x m − x y f es la frecuencia asoluta de cada intervalo. todo areviado o corto! *a fórmula a utili3ar es! S = I
∑ fd N
'onde! )! amplitud de la clase
2
fd − ∑ N
2
'! distancia en clases desde cada una en concreto a la clase que contiene a la media supuesta A. 6jemplo! *as alturas en cm de un grupo de #$- personas se distriuyen así! Clases f #0$ : #00 #00 : #1$ 1 #1$ : #10 # #10 : #8$ #2 #8$ : #80 0 #80 : #2$ #8 #2$ : #20 #$ #20 : #9$ 8 #9$ : #90 / #90 : $$ # #$4esp! ? ; 9,01
