Sejarah Geometri Euclid Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani matematik Yunani bernama bernama Euclid dari Alexandria Alexandria.. Teks Euclid, Elements Euclid, Elements merupakan merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri geometri.. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. aedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara aksiom secara intuiti! yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul "teorem-teorem teorem-teorem## daripada aksiom-aksiom berkenaan. $alaupun $alaupun banyak daripada keputusankeputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logik yang yang komprehensi!.
%uku Elements %uku Elements ini ini bermula dengan geometri satah, satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian contoh-contoh pembuktian !ormal yang !ormal yang pertama. emudiannya, Elements emudiannya, Elements merangkumi merangkumi geometri pepejal dalam pepejal dalam tiga dimensi dimensi,, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. ebanyakan daripada Elements daripada Elements menyatakan menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor , yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri. &elama dua ribu tahun, kata adjekti! 'Euclid' tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat s angat jelas sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak. (ari ini, bagaimanapun, banyak geometri banyak geometri bukan Euclid sudah Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-)*. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang !i+ikal. &atu implikasi daripada teori Einstein Einstein mengenai mengenai teori kerelati!an umum bahawa umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada si!at-si!at ruang !i+ikal hanyak sekiranya medan graiti tidak terlalu kuat.
Pendekatan aksioman eometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, aksioman, yang mana semua teorem "'penyataan benar'# adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang terhingga. ada permulaan buku Elements buku Elements yang yang pertama, Euclid memberikan lima postulat lima postulat "aksiom#/ ). Apa-ap -apa du dua titik boleh boleh dihubungkan dengan satu garis lurus. lurus. 0. Apa-apa tembereng garis lurus boleh lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus. 1. &atu bulatan bulatan boleh boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari sebagai jejari dan satu lagi titik hujung sebagai pusat. 2. &emua sudut serenjang adalah serenjang adalah kongruen kongruen.. 3. ostulat selari. selari. 4ika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua dua garis ini mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya. Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut/ titik, tembereng garis lurus dan garis, sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang,
kongruen, sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. ata-kata kerja yang berikut muncul/ sambung, dipanjangkan, lukis, silang. %ulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 1 adalah sangat unik. ostulat-postulat 1 dan 3 hanya boleh digunakan untuk untuk geometri satah5 dalam tiga dimensi, postulat 1 mentakri!kan suatu bulatan.
&atu bukti daripada buku Euclid 'Elements' bahawa apabila diberikan satu tembereng garis, satu segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. %uktinya adalah dengan cara binaan/ &atu segitiga sama sa ma 678 dibuat dengan melukis bulatan 9 dan : berpusat pada titik-titik 6 dan 7, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut. ostulat 3 membawa kepada geometri yang sama sebagai penyataan yang berikut, dikenali sebagai Aksiom lay!air , yang hanya boleh dipegang hanya konsep di dalam satah itu/ ;enerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu sahaja garis yang boleh dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi. ostulat-postulat ), 0, 1, dan 3 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-rajah geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi/ iaitu, kita tidak diberitahu bahawa ada perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. bertanda .
0. 4ika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara. 1. 4ika setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara. 2. erkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu sama lain that coincide with one another e=ual one another. 3. 4umlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian berkenaan. Euclid juga menggunakan si!at-si!at lain yang berkaitan dengan magnitud. ) adalah satusatunya bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 0 dan 1 adalah prinsip-prinsip 'aritmetik'5 perhatikan bahawa makna-makna 'tambah' dan 'tolak' di dalam konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. ) hingga 2 secara takri!an mempunyai persamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti 'pertembungan,' de!inisi yang sangat teliti. 3 adalah satu prinsip mereologi. 'eseluruhan', 'sebahagian', dan 'baki' memerlukan takri!an yang tepat. -------------------------------------------------------------#>"---------------------------------------#>"------------------------------
Geometri Euclides eometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang telah dide!inisikan dalam bukunya The Elements. ?ebih khusus, geometri Euclid berbeda dari jenis geometri lain dalam dalil kelima, sering disebut dengaan postulat paralel. @on-Euclidean geometri menggantikan postulat kelima ini dengan salah satu dari dua alternati! postulat dan mengarah ke geometri hiperbolik atau geometri eliptik. Ada dua jenis geometri Euclidean/ geometri bidang, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-tiga. ?ima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut / )# (al ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik. 0# (al ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus. 1# ;engingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya. 2# &emua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen. 3# 4ika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.
dapat dibuktikan sebagai teorema, selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. %anyak usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuiti! sebagai dalil-dalil lainnya. ?ebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi independen dari empat lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri untuk dipertimbangkan Euclidean. ada tahun )0B @ikolay ?obachesky dan pada tahun )10 4Cnos %olyai, dikembangkan secara independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri sepenuhnya di mana postulat kelima tidak menjadi pegangan. 4ohann Darl riedrich auss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak dipublikasikan. Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam proposisi pertama 0 The Elements, tetapi untuk proposisi 0* ia membutuhkannya. %agian dari geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama postulat Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. &ebagaimana dinyatakan di atas, dalil kelima dan karenanya paralel dalil menggambarkan geometri Euclidean. 4ika bagian dari postulat paralel diganti dengan 'garis tidak ada yang melewati titik' geometri maka elips atau bulat dijelaskan.4ika bagian dari postulat paralel diganti dengan 'minimal dua baris ada terjadilah bahwa melalui titik bahwa' maka geometri hiperbolik dijelaskan. &eperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan geometri padat, yang jelas berbeda. eometri bidang adalah bagian dari geometri dalam ruang dua dimensi yang berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti garis, lingkaran dan poligon. eometri padat adalah bagian dari geometri dalam ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat, seperti polyhedra, bola, dan garis dan bidang.
GEOMETRI EUCLID Euclid Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid ahli ilmu ukur !unani yang besar" Meskipun semasa hidupnya tokoh#tokoh seperti $apoleon Martin Luther %le&ander yang %gung 'auh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam 'angka pan'ang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu" (elain kemasyhurannya hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui" Misalnya kita tahu dia pernah akti) sebagai guru di Iskandariah Mesir di sekitar tahun *++ (M tetapi kapan dia lahir dan kapan dia ,a)at betul#betul gelap" -ahkan kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia dilahirkan" Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal kedudukannya dalam se'arah terutama terletak pada te&tbooknya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements" %rti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus#rumus pribadi yang dilontarkannya" .ampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya dan 'uga sudah dapat dibuktikan kebenarannya" (umbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan# bahan dan permasalahan serta )ormulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku" Di sini tersangkut yang paling utama pemilihan dalil#dalil serta perhitungan#perhitungannya misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik" (esudah itu dengan cermat dan hati#hati dia mengatur dalil sehingga mudah di)ahami oleh orang#orang sesudahnya" -ilamana perlu dia menyediakan petun'uk cara pemecahan hal#hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan#percobaan terhadap permasalahan yang terle,atkan" /erlu dicatat bah,a buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat 'uga di samping itu mengandung bagian#bagian soal al'abar yang luas berikut teori pen'umlahan" -uku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 0+++ tahun dan tak syak lagi merupakan te&tbook yang paling sukses yang pernah disusun manusia" -egitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya sa'a sudah mampu menyisihkan semua te&tbook yang pernah dibikin orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi" %slinya ditulis dalam bahasa !unani kemudian buku The Elements itu diter'emahkan ke dalam pelbagai bahasa" Terbitan pertama muncul tahun 1230 sekitar *+ tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg" (e'ak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu#ribu edisi yang beragam corak" (ebagai alat pelatih logika pikiran manusia buku The Elements ' auh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah %ristoteles tentang logika" -uku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur dedukti) dan sekaligus merupakan buah pikir yang menak'ubkan dari semua hasil kreasi otak manusia" %dalah adil 'ika kita mengatakan bah,a buku Euclid merupakan )aktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern" Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan#pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang ta'am serta bi'ak" .asil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara ker'a penyelidikan empiris dan percobaan# percobaan di satu pihak dengan analisa hati#hati dan kesimpulan yang punya
dasar kuat di lain pihak" 4ita masih bertanya#tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di Cina tetapi rasanya aman 'ika kita menganggap bah,a hal itu bukanlah semata#mata lantaran soal kebetulan" Memanglah peranan yang digerakkan oleh orang#orang brilian seperti $e,ton Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting" Tetapi tentu ada sebab# musababnya mengapa orang#orang ini muncul di Eropa" Mungkin sekali )aktor historis yang paling menon'ol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme !unani bersamaan dengan pengetahuan matematika yang di,ariskan oleh !unani kepada Eropa" /atut kiranya dicatat bah,a Cina ##meskipun berabad#abad lamanya teknologinya 'auh lebih ma'u ketimbang Eropa## tak pernah memiliki struktur matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa" Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid" Orang#orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan" -agi orang# orang Eropa anggapan bah,a ada beberapa dasar prinsip#prinsip 5sika yang dari padanya semuanya berasal tampaknya hal yang ,a'ar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka" /ada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak melainkan mereka yakin benar bah,a gagasan Euclid ##dan dengan sendirinya teorinya## memang benar#benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya" /engaruh Euclid terhadap (ir Isaac $e,ton sangat kentara sekali se'ak $e,ton menulis buku kesohornya The /rincipia dalam bentuk kegeometrian mirip dengan The Elements" -erbagai ilmu,an mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan 'alan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli" Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel 6hitehead dan 5loso) (pino7a" 4ini para ahli matematika sudah memaklumi bah,a geometri Euclid " bukan satu#satunya sistem geometri yang memang 'adi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula mereka pun maklum bah,a selama 18+ tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid" (ebenarnya se'ak teori relati9itas Einstein diterima orang para ilmu,an menyadari bah,a geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakra,ala yang sesungguhnya" /ada kedekatan sekitar :Lubang hitam: dan bintang neutron ##misalnya## dimana gayaberat berada dalam dera'at tinggi geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia ataupun tidak menun'ukkan pen'abaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan" Tetapi contoh#contoh ini langka karena dalam banyak hal peker'aan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan" 4ema'uan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam se'arah" (e'arah Geometri Euclid Geometri Euclidean adalah sistem matematika dikaitkan dengan %le&andria matematika,an !unani Euclid yang di'elaskan dalam buku teks tentang geometri yaitu Elements " Metode Euclid terdiri dalam asumsi satu set kecil intuiti) menarik aksioma dan menyimpulkan lainnya proposisi ; dalil < dari ini" Meskipun banyak dari hasil Euclid telah dinyatakan oleh matematika,an sebelumnya Euclid adalah yang pertama untuk menun'ukkan bagaimana proposisi#proposisi bisa masuk ke dalam dedukti) dan komprehensi) sistem logis " Unsur dimulai dengan pesa,at geometri masih dia'arkan di sekolah menengah sebagai yang pertama sistem
aksiomatik dan contoh pertama dari bukti )ormal " It goes ke geometri solid dari tiga dimensi " -anyak dari Elemen menyatakan hasil dari apa yang sekarang disebut al'abar dan nomor teori ditulis dalam bahasa geometris" (elama lebih dari dua ribu tahun kata si)at :Euclid: tidak diperlukan karena tidak ada geometri lain yang disusun" %ksioma Euclid nampak seperti sangat 'elas bah,a pembuktian teorema lainnya dianggap benar dalam arti mutlak sering meta5sik" $amun sekarang banyak lainnya konsisten diri non#Euclidean geometri diketahui yang pertama yang telah ditemukan pada a,al abad 1=" Implikasi dari Einstein teori >s relati9itas umum adalah bah,a ruang Euclidean adalah pendekatan yang baik terhadap si)at ruang 5sik hanya di mana medan gra9itasi tidak terlalu kuat" ?2@ Unsur Unsur terutama sebuah sistematisasi pengetahuan a,al geometri" 4eunggulannya di atas pera,atan sebelumnya dengan cepat diakui dengan hasil bah,a ada sedikit minat dalam melestarikan yang sebelumnya dan mereka sekarang hampir semua hilang" -uku I#IA dan AI membahas geometri bidang datar" -anyak hasil tentang tokoh#tokoh pesa,at terbukti misalnya Bika segitiga memiliki dua sudut yang sama maka sisi subtended oleh sudut adalah sama tersebut" Teorema /ythagoras terbukti" -uku A dan AII# berurusan dengan nomor teori dengan nomor diperlakukan secara geometris melalui representasi mereka sebagai segmen garis dengan berbagai pan'ang" /engertian seperti bilangan prima dan rasional dan bilangan irasional diperkenalkan" !ang tak terbatas bilangan prima terbukti" -uku I#III geometri perhatian padat" .asil khas adalah rasio +1+* antara 9olume kerucut dan silinder dengan ketinggian yang sama dan basis" /ersamaan postulat Bika dua garis berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga 'umlah dari sudut#sudut bagian dalam di satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat maka mau tidak mau harus dua baris saling berpotongan pada sisi 'ika diperpan'ang cukup 'auh" %ksioma Geometri Euclidean adalah sistem aksiomatik di mana semua teorema ;:pernyataan benar:< berasal dari se'umlah kecil aksioma" Men'elang a,al buku pertama dari Elemen Euclid memberikan lima postulat ;aksioma< untuk pesa,at geometri menyatakan dalam hal konstruksi ;sebagaimana diter'emahkan oleh Thomas .eath< :Mari berikut akan mendalilkan: 1" :Untuk menggambar garis lurus dari setiap titik ke titik apapun" : 0" :Untuk menghasilkan ?memperluas@ sebuah garis lurus yang terbatas terus menerus dalam garis lurus" : *" :Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan 'arak ?radius@" : 2" :Itu semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain": 8" /ara paralel dalil :Itu 'ika garis lurus 'atuh di dua 'alur lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepat dua garis lurus 'ika diproduksi tanpa batas ,aktu bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat" : Meskipun pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan keberadaan konstruksi mereka 'uga diambil untuk men'adi unik" Elements 'uga memasukkan lima :notasi biasa: 1" .al#hal yang sama dengan hal yang sama 'uga sama satu dengan lainnya" 0" Bika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama maka keutuhan adalah sama" *" Bika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama maka sisanya adalah sama" 2" .al#hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain" 8" 4eseluruhan lebih besar daripada bagian" /aralel postulat Untuk nenek moyang paralel mendalilkan tampak kurang 'elas dari yang lain" Euclid sendiri tampaknya telah dianggap sebagai yang secara kualitati) berbeda dari yang lain sebagaimana dibuktikan oleh organisasi dari Elemen 03 yang pertama ia menya'ikan proposisi adalah mereka yang dapat dibuktikan tanpa itu" %ksioma banyak alternati) dapat dirumuskan yang sama
konsekuensi logis sebagai paralel dalil" Misalnya aksioma /lay)air >s menyatakan Dalam pesa,at melalui titik tidak pada garis lurus yang diberikan paling banyak satu baris dapat ditarik bah,a tidak pernah memenuhi garis yang diberikan" (ebuah bukti dari elemen Euclid bah,a mengingat segmen garis segitiga sama sisi ada yang mencakup segmen sebagai salah satu sisinya" -uktinya adalah dengan mengkonstruksi sebuah segitiga sama sisi F dibuat dengan menggambar lingkaran dan H berpusat pada poin dan F dan mengambil satu persimpangan lingkaran sebagai titik ketiga dari segitiga" Metode pembuktian Geometri Euclid adalah konstrukti) " /ostulat 1 0 * dan 8 menegaskan bah,a keberadaan dan keunikan dari bidang geometri tertentu dan penegasan ini adalah konstruksi alam yaitu kita tidak diberitahu bah,a sesuatu itu ada tetapi 'uga kita diberikan metode untuk membuatnya dengan lebih dari satu tidak ada kompas dan lurus yang tidak bertanda " Dalam hal ini geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem aksiomatik modern seperti teori set dimana sering menegaskan keberadaan ob'ek tanpa memberitahukan bagaimana mengkonstruksi mereka atau menegaskan keberadaan ob'ek yang tidak dapat dibangun dalam teori" Tepatnya garis#garis pada kertas model dari ob'ek dide5nisikan dalam sistem )ormal bukan contoh ob'ek tersebut" Misalnya garis lurus Euclidean memiliki lebar tidak tetapi setiap garis yang ditarik nyata akan" Meskipun hampir semua matematika,an modern yang mempertimbangkan metode nonconstructi9e hanya sebagai suara sebagai yang konstrukti) bukti konstrukti) Euclid sering digantikan keliru nonconstructi9e yang#misalnya beberapa bukti /ythagorean >yang irasional nomor yang terlibat yang biasanya diperlukan pernyataan seperti :Cari ukuran umum terbesar dari """ : Euclid sering digunakan bukti oleh kontradiksi " Geometri Euclidean 'uga memungkinkan metode superposisi di mana angka ditrans)er ke titik lain di ruang angkasa" Misalnya proposisi I"2 sisi#sudut#sisi kongruensi segitiga terbukti dengan memindahkan salah satu dari dua segitiga sehingga salah satu sisinya bertepatan dengan sisi segitiga sama lain dan kemudian membuktikan bah,a sisi lain bertepatan 'uga " -eberapa pera,atan modern menambahkan seperenam postulat kekakuan segitiga yang dapat digunakan sebagai alternati) untuk superposisi" (istem pengukuran dan aritmatika Geometri Euclidean memiliki dua tipe dasar pengukuran sudut dan 'arak" (kala sudut adalah mutlak dan Euclid menggunakan sudut yang tepat sebagai unit dasarnya sehingga misalnya sebuah sudut 28 dera'at akan disebut sebagai setengah dari sudut kanan" (kala 'arak relati) satu se,enang#,enang mengambil segmen garis dengan pan'ang tertentu sebagai unit dan 'arak lainnya disa'ikan dalam kaitannya dengan hal itu" (ebuah garis dalam geometri Euclidean adalah model garis bilangan real " (ebuah segmen garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik akhir dan berisi setiap titik pada garis antara titik akhir" /enambahan di,akili oleh konstruksi di mana satu segmen garis akan disalin ke akhir dari suatu segmen garis untuk memperpan'ang pan'angnya dan 'uga untuk pengurangan" /engukuran luas dan 9olume berasal dari 'arak" (ebagai contoh sebuah persegi pan'ang dengan lebar * dan pan'ang 2 memiliki luas yang me,akili produk 10" 4arena interpretasi geometris dari perkalian terbatas pada tiga dimensi tidak ada cara langsung mena)sirkan produk dari empat atau lebih angka dan Euclid dihindari produk tersebut meskipun mereka tersirat misalnya dalam bukti buku I proposisi 0+" Contoh kongruensi" Dua angka di sebelah kiri adalah kongruen sementara yang ketiga adalah serupa kepada mereka" %ngka terakhir adalah tidak" /erhatikan bah,a congruences mengubah
beberapa si)at seperti lokasi dan orientasi tetapi membiarkan orang lain tidak berubah seperti 'arak dan sudut " Benis kedua si)at ini disebut in9ariants dan bela'ar mereka adalah inti dari geometri" Euclid mengacu pada sepasang garis atau sepasang tokoh planar atau padat sebagai :sama: ;JK< 'ika pan'ang mereka daerah atau 9olume adalah sama dan ' uga untuk sudut" Istilah lebih kuat : kongruen :mengacu pada ide bah,a seorang tokoh seluruh ukuran yang sama dan bentuk sebagai sosok lain" %tau dua tokoh yang kongruen 'ika seseorang dapat dipindahkan di atas yang lain sehingga cocok dengan persis" ;Nlipping di atas diperbolehkan"< Badi misalnya persegi pan'ang 0& dan *&2 persegi pan'ang adalah sama tetapi tidak kongruen dan huru) R adalah kongruen dengan bayangannya" %ngka yang akan kongruen kecuali untuk ukuran mereka yang berbeda disebut sebagai serupa" $otasi dan terminologi /enamaan poin dan angka /oin la7im diberi nama menggunakan huru) al)abet" Tokoh lainnya seperti garis segitiga atau lingkaran diberi nama dengan da)tar cukup banyak poin untuk men'emput mereka keluar 'elas dari angka yang rele9an misalnya segitiga %-C biasanya akan men'adi segitiga dengan simpul pada titik#titik % - dan C " sudut pelengkap dan penun'ang (udut yang 'umlah adalah sudut siku#siku disebut komplementer mereka yang 'umlah adalah sudut lurus adalah tambahan " Modern 9ersi notasi Euclid Dalam terminologi modern sudut biasanya akan diukur dalam dera'at atau radian " -uku pela'aran sekolah modern sering mende5nisikan tokoh terpisah yang disebut baris ;tak terbatas< sinar ;semi#in5nite< dan segmen garis ;pan'ang terbatas<" Euclid daripada membahas sebuah sinar sebagai ob'ek yang meluas hingga tak terbatas dalam satu arah biasanya akan menggunakan lokusi seperti :'ika baris ini diperpan'ang dengan pan'ang yang cukup: meskipun ia kadang#kadang disebut :garis yang tak terbatas": (ebuah :garis: dalam Euclid dapat berupa lurus atau melengkung dan ia menggunakan istilah yang lebih spesi5k :garis lurus: bila diperlukan" -eberapa hasil penting atau terkenal P Bembatan keledai teorema menyatakan bah,a % Q - dan C Q D" P Bumlah dari sudut % - dan C adalah sama dengan 13+ dera'at" P Teorema /ythagoras Bumlah dari bidang dua kotak pada kaki ;a dan b< dari sebuah segitiga siku#siku sama dengan luas persegi pada sisi miring ;c<" P Teorema Thales 'ika %C adalah diameter maka sudut di - adalah sudut kanan" Bembatan Menilai The -ridge o) Menilai ;/ons %sinorum< menyatakan bah,a dalam segitiga sama kaki sudut di dasar sama satu sama lain dan 'ika garis#garis lurus yang sama yang diproduksi lebih lan'ut maka sudut ba,ah dasar sama satu sama lain" $amanya mungkin dikaitkan dengan peran sering sebagai tes nyata pertama dalam Unsur#unsur kecerdasan pembaca dan sebagai 'embatan untuk proposisi keras yang diikuti" .al ini 'uga mungkin dinamakan demikian karena kemiripannya sosok geometris untuk 'embatan yang curam yang hanya seekor keledai yakin#kaki bisa menyeberang" 4esesuaian segitiga 4ongruensi segitiga ditentukan dengan menentukan dua sisi dan sudut antara mereka ;(%(< dua sudut dan sisi antara mereka ;%(%< atau dua sudut dan sisi yang berdekatan sesuai ;((%<" Menentukan dua sisi dan sudut yang berdekatan ;((%< bagaimanapun dapat menghasilkan dua segitiga yang mungkin berbeda" (egitiga adalah kongruen 'ika mereka memiliki ketiga sisi yang sama ;(((< dua sisi dan sudut antara mereka sama ;(%(< atau dua sudut dan sisi yang sama ;%(%< ;-uku I proposisi 2 3 dan 0<" ;(egitiga dengan tiga sudut yang sama umumnya serupa tetapi belum tentu kongruen Buga segitiga dengan dua sisi yang sama dan sudut yang berdekatan tidak selalu sama""< Bumlah sudut sebuah segitiga Bumlah sudut sebuah segitiga sama dengan sudut lurus ;13+ dera'at<"
Teorema /ythagoras /ara terkenal /ythagoras Teorema ;buku I proposisi 2< menyatakan bah,a dalam setiap segitiga siku#siku luas persegi yang sisi adalah sisi miring ;sisi berla,anan sudut yang tepat< sama dengan 'umlah dari bidang kotak yang sisi#sisinya dua kaki ;kedua belah pihak yang bertemu di sudut kanan<" Thales >Teorema Thales >Teorema yaitu setelah Thales dari Miletus menyatakan bah,a 'ika % - dan C adalah titik pada lingkaran di mana %C line adalah diameter lingkaran maka sudut %-C adalah sudut kanan" /enyanyi menyangka bah,a Thales membuktikan Teorema melalui Euclid buku saya prop *0 menurut cara Euclid buku III prop *1" Tradisi mengatakan bah,a Thales dikorbankan lembu untuk merayakan teorema ini" (caling daerah dan 9olume Dalam terminologi modern area sosok pesa,at sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi linier Dan 9olume yang solid untuk kubus " Euclid membuktikan hasil ini dalam berbagai kasus khusus seperti luas lingkaran dan 9olume yang solid parallelepipedal" Euclid ditentukan tapi tidak semua dari konstanta proporsionalitas yang rele9an" Misalnya itu penggantinya %rchimedes yang membuktikan bah,a bola memiliki 0S* 9olume silinder circumscribing" %plikasi 4arena status dasar geometri Euclidean dalam matematika tidak mungkin untuk memberikan lebih dari sampling ,akil dari aplikasi di sini" (ebuah sur9eyor menggunakan Tingkat 4emasan (phere berlaku untuk tumpukan 'eruk " (ebuah cermin parabola memba,a sinar paralel dari cahaya untuk )okus" (eperti yang disarankan oleh etimologi kata salah satu alasan paling a,al untuk kepentingan dalam geometri itu sur9ei dan hasil praktis tertentu dari geometri Euclidean seperti properti yang tepat#sudut segitiga *#2#8 digunakan 'auh sebelum mereka terbukti secara )ormal" Benis#'enis dasar pengukuran dalam geometri Euclidean adalah 'arak dan sudut dan kedua kuantitas dapat diukur langsung oleh sur9eyor" (ecara historis 'arak sering diukur dengan rantai seperti rantai Gunter itu dan sudut menggunakan lingkaran lulus dan kemudian teodolit " (ebuah aplikasi dari geometri Euclidean yang solid adalah penentuan pengaturan kemasan seperti masalah untuk menemukan yang paling e5sien kemasan bola dalam dimensi n" Masalah ini memiliki aplikasi dalam deteksi dan koreksi kesalahan " Optik geometris menggunakan geometri Euclidean untuk menganalisis )okus cahaya oleh lensa dan cermin" P Geometri digunakan dalam seni dan arsitektur" P Menara air terdiri dari kerucut silinder dan belahan bumi" Aolumenya dapat dihitung dengan menggunakan geometri padat" P Geometri dapat digunakan untuk merancang origami" Geometri digunakan secara luas dalam arsitektur " Geometri dapat digunakan untuk merancang origami " -eberapa masalah konstruksi klasik geometri tidak mungkin menggunakan kompas dan penggaris#se'a'ar tetapi dapat diselesaikan dengan menggunakan origami " (ebagai gambaran dari struktur ruang Euclid percaya bah,a aksioma rekannya 'elas pernyataan tentang realitas 5sik" -ukti Euclid tergantung pada asumsi mungkin tidak 'elas dalam aksioma mendasar Euclid khususnya yang gerakan tertentu dari angka tidak mengubah si)at geometris mereka seperti pan'ang sisi dan sudut interior yang disebut gerakan Euclidean yang meliputi ter'emahan dan " rotasi angka Diambil sebagai deskripsi 5sik ruang postulat 0 ;memperluas baris< menegaskan ruang yang tidak memiliki lubang atau batas# batas ;dengan kata lain ruang homogen dan tak terbatas< postulat 2 ;kesetaraan sudut kanan < mengatakan bah,a ruang adalah isotropik dan angka mungkin akan dipindahkan ke lokasi manapun dengan tetap men'aga keselarasan dan postulat 8 ;paralel dalil< bah,a ruang adalah datar ;tidak memiliki kelengkungan intrinsik "< (ebagaimana di'elaskan lebih rinci di ba,ah
teori relati9itas Einstein secara signi5kan mengubah pandangan ini" 4arakter ambigu aksioma sebagai a,alnya dirumuskan oleh Euclid memungkinkan komentator yang berbeda untuk tidak setu'u tentang beberapa implikasi mereka yang lain untuk struktur ruang seperti apakah atau tidak itu adalah tak terbatas ;lihat di ba,ah< dan apa yang topologi adalah" Modern lebih ketat )ormulasi ulang dari sistem biasanya bertu'uan untuk pemisahan bersih dari masalah ini" Interpreting aksioma Euclid dalam semangat pendekatan yang lebih modern aksioma 1#2 konsisten dengan baik ruang tak terbatas atau terbatas ;seperti dalam geometri berbentuk bulat pan'ang < dan semua lima aksioma konsisten dengan berbagai topologi ;misalnya pesa,at silinder atau torus untuk dua dimensi geometri Euclidean<" %rchimedes dan %pollonius -ola % memiliki 0S* 9olume dan luas permukaan silinder circumscribing" (ebuah bola dan silinder ditempatkan di makam %rchimedes atas permintaannya" %rchimedes ;ca" 03 (M #" ca 010 (M< seorang tokoh yang penuh ,arna tentang siapa anekdot berse'arah dicatat dikenang bersama dengan Euclid sebagai salah satu yang terbesar yang hebat matematika kuno" Meskipun dasar karyanya ditempatkan di tempat oleh Euclid karyanya tidak seperti Euclid diyakini telah sepenuhnya asli" Ia membuktikan persamaan untuk 9olume dan bidang berbagai tokoh dalam dua dan tiga dimensi dan diucapkan dalam %rchimedes properti nomor terbatas" %pollonius dari /erga ;ca" 00 (M#1=+ (M ca"< terutama dikenal untuk penyelidikan tentang bagian berbentuk kerucut" Ren Descartes" /otret setelah Nrans .als 123" abad ke#1 Descartes Ren Descartes ;18=#18+< mengembangkan analisis geometri metode alternati) untuk meresmikan geometri" Dalam pendekatan ini titik yang di,akili oleh Cartesian koordinat ;& y< baris di,akili oleh persamaan dan sebagainya " Dalam pendekatan asli Euclid yang Teorema /ythagoras berikut dari aksioma Euclid" Dalam pendekatan Cartesian aksioma adalah aksioma al'abar dan persamaan mengekspresikan teorema /ythagoras ini kemudian de5nisi dari salah satu istilah dalam aksioma Euclid yang sekarang dianggap theorems" /ersamaan mende5nisikan 'arak antara dua titik / Q ;p V< dan W Q ;r s< kemudian dikenal sebagai Euclidean metrik dan metrik lainnya mende5nisikan non#Euclidean geometri " Dalam hal analisis geometri pembatasan geometri klasik untuk konstruksi kompas dan se'a'ar berarti pembatasan untuk persamaan pertama dan kedua#order misalnya y Q 0 & X 1 ;baris< atau & 0 X y 0 Q ; lingkaran<" Buga pada abad ke 1 Desargues Girard termoti9asi oleh teori perspekti) memperkenalkan konsep poin ideal garis dan pesa,at di tak terhingga" .asilnya dapat dianggap sebagai 'enis geometri umum pro'ecti9e geometri tetapi 'uga dapat digunakan untuk menghasilkan bukti#bukti dalam geometri Euclidean biasa di mana 'umlah kasus khusus berkurang" Mengkuadratkan lingkaran bidang ini persegi dan lingkaran ini adalah sama" /ada tahun 1330 terbukti bah,a angka ini tidak dapat dibangun dalam 'umlah terbatas langkah dengan ideal kompas dan penggaris#se'a'ar " abad ke#13 Geometers dari abad ke#13 ber'uang untuk menentukan batas#batas sistem Euclidean" -anyak sia#sia untuk membuktikan postulat kelima dari empat pertama" Dengan 1* sedikitnya 03 bukti yang berbeda telah diterbitkan tetapi semuanya ditemukan tidak benar" Men'elang periode ini geometers 'uga mencoba untuk menentukan apa konstruksi dapat dicapai dalam geometri Euclidean" Misalnya masalah trisecting sudut dengan kompas dan penggaris#se'a'ar adalah salah satu yang secara alamiah ter'adi dalam teori karena aksioma#aksioma meru'uk pada operasi konstrukti) yang dapat dilakukan dengan alat tersebut" $amun abad upaya gagal untuk
menemukan solusi untuk masalah ini sampai /ierre 6ant7el menerbitkan bukti pada tahun 13* bah,a seperti konstruksi tidak mungkin" 4onstruksi lain yang terbukti tidak mungkin termasuk menggandakan kubus dan mengkuadratkan lingkaran " Dalam kasus penggandaan kubus ketidakmungkinan konstruksi berasal dari )akta bah,a kompas dan metode#se'a'ar melibatkan persamaan pertama dan orde kedua sementara menggandakan kubus membutuhkan solusi dari persamaan orde ketiga" (e'arah geometri non Euclid Da9id .ilbert ;130 Y 1=2*< Ri,ayat Da9id .ilbert menuntut ilmu di Gymnasium yang terdapat di kota tempat kelahirannya 4onigsberg" (etelah lulus memasuki uni9ersitas 4onigsberg dimana dia dia'ar oleh Lindemann" /ernah kuliah selama satu semester di uni9ersitas .eidelberg di ba,ah bimbingan analis ?La7arus@ Nuchs" .ilbert lulus pada tahun 1338 dengan thesis tentang teori in9arian dan mempunyai teman kuliah ?.ermann@ Minko,ski dimana mereka saling mempengaruhi satu dengan lainnya" /ada tahun 1332 ?%dol)@ .ur,it7 menga'ar di uni9ersitas 4onigsberg dan cepat men'alin persahabatan dengan .ilbert" /ersabahatan ini adalah )aktor paling penting bagi perkembangan matematikal .ilbert" Tahun berikutnya 133 .ilbert men'adi sta) penga'ar di 4onigsberg sampai tahun 13=8 diangkat sebagai dosen utama sampai tahun 13=0 diangkat men'adi asisten pro)esor sebelum men'adi pro)esor penuh pada tahun 13=*" /impinan 4onigsberg pada saat ini adalah .einrich 6eber yang sangat dikenal karena menghadirkan untuk pertama kalinya di5nisi#di5nisi abstrak untuk himpunan dan bidang pada periode 133+#13=+" 'uga mengarang tiga buku teks al'abar" .ilbert sering melakukan per'alanan ke mancanegara guna menghadiri konggres matematika,an yang men'adi Zciri[ abad itu" (uksesi Tahun 13=0 (ch,ard pindah dari Gottingen ke -erlin untuk menggantikan posisi 6eierstrass dan 4lein memberi pena,aran kepada .ilbert untuk mengisi 'abatan yang kosong di Gottingen itu kepada .ilbert" 4lein gagal membu'uk .ilbert dan posisi itu diisi oleh .einrich 6eber yang pindah dari 4onigsberg" /osisi 6eber pada tahun 133* diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bah,a \ adalah bilangan transenden" Lindemann pula yang menyarankan agar thesis .ilbert tentang teori in9arian dan mendukung agar topik ini terus dipela'ari" 6eber hanya men'abat selama tiga tahun sebelum pindah ke (trasbourg dan akhirnya posisi itu diisi oleh .ilbert" (e'ak tahun 13=8 .ilbert menduduki posisi kepala bidang matematika di Gottingen" 4etenaran .ilbert dalam dunia matematika baru bersinar setalah tahun 1=++ sehingga banyak institusi#institusi pendidikan berusaha menariknya dari Gottingen sebelum untuk akhirnya pindah ke uni9ersitas -erlin pada tahun 1=+0 untuk menggantikan posisi Nuchs" /enggantinya di Gottingen adalah temannya .ermann Minko,ski" Teori in9arian .ilbert 4arya pertama .ilbert adalah teori in9arian pada tahun 1333 dimana dia dapat membuktikan theorema basis yang tersohor" /embuktian ini dikirimkan sebagai artikel pada Mathematische %nnalen" ?/aul@ Gordan adalah pro)esor matematika di Erlangen sekaligus pakar dalam teori in9arian namun cara dan metode .ilbert yang re9olusioner ini sulit dipahami sehingga perlu pihak ketiga yang menilai" Buri yang ditun'uk adalah 4lein" Le,at teman akrabnya .ur,it7 .ilbert mengetahui bah,a Gordan mengirim surat 4lein guna membicarakan artikel tersebut" Mengetahui hal ini .ilbert menulis surat kepada 4lein yang isinya menyatakan bah,a dia tidak akan melakukan perubahan pada artikel yang sudah dikirim" 4lein menerima dua surat dari .ilbert dan Gordan dimana saat itu .ilbert adalah asisten penga'ar dari Gordan yang sangat terkenal di dunia karena teori in9arian" (isi lain Gordan 'uga mengetahui
hubungan antara 4lein dan .ilbert yang sudah ter'alin lama" %khirnya 4lein mengemukakan terobosan in9arian dari .ilbert ini dan ber'an'i akan menerbitkan sebagai artikel pada %nnalen tanpa perubahan sedikitpun" Merasa bah,a karyanya dihargai .ilbert mengembangkan metode lain dalam teori in9arian untuk kembali diterbitkan dalam Mathematische %nnelen dimana sebelumnya dikirim kepada 4lein" 4omentar dari 4lein adalah ZTidak perlu diragukan lagi bah,a makalah ini adalah karya maha penting dalam bidang al'abar umum yang pernah diterbitkan oleh %nnalen"[ (istimatika in9arian .ilbert secara singkat dapat disebutkan sebagai berikut" Misalkan bentuk & dengan pangkat n untuk menemukan bilangan terkecil dari in9arian dan co9arian rasional integral dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional integral dengan koe5sien#koe5sien numerikal dari himpunan lengkap" 4iprah .ilbert (aat masih di 4onigsberg tahun 13=* .ilbert mengarang ]ahlbericht untuk teori bilangan al'abarik" 4omunitas matematika Berman ;German Mathematical (ociety< yang baru didirikan tiga tahun sebelumnya mendaulat agar karya ini dianggap sebagai laporan hasil perkembangan dari komunitas ini selama tiga tahun" Isi pokok buku ini adalah sistesis dari karya 4ummer 4ronecker dan Dedekind namun dirangkai dan diisi dengan gagasan#gagasan .ilbert yang cemerlang" (emua gagasan ini sekarang lebih dikenal dengan sebutan teori bidang kelas ;Class 5eld theory<" 4arya penting .ilbert adalah makalah ZOn the Theory o) %lgebraic Norms[ yang dimuat pada Mathematische %nnalen pada tahun 13=+" Di sini .ilbert mendi5snikan bentuk al'abarik sebagai )ungsi homogen integral rasional dalam peubah#peubah tertentu dimana koe5sien#koe5sien adalah bilangan#bilangan dalam Z,ilayah rasionalitas[ ;domain o) rationality<" Theorema yang menyatakan bah,a untuk deret tak#terhingga ( Q N1 N0 N* ^ dari bentuk#bentuk peubah#peubah n &1 &0 &* ^ &n terdapat bilngan m dalam bentuk berurutan yang diekspresikan sebagai N Q %1N1 X %0N0 X ^ %mNm Dimana %i adalah bentuk#bentuk yang sama dengan peubah#peubah n" .ilbert mengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk in9arian dengan bentuk#bentuk arbitrari banyak peubah" Tidak puas dengan teori in9arian .ilbert men'ela'ahi geometri" Geometri rekaan .ilbert dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Euclid sendiri" Dari pembela'aran secara sistematik dari geometri Euclidian .ilbert merumuskan dua puluh satu aksioma dan melakukan analisis terhadap masing#masing signi5kansinya" 4arya dalam geometri dituang dalam buku ber'udul Grundlagen der geometrie pada tahun 13== di mana geometri ditempatkan dalam tatanan aksioma yang )ormal" -uku ini terus diperbaharui dalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatik dalam matematika yang akan men'adi karakteristik utama bagi geometri saat memasuki abad 0+" 0* problem matematika .ilbert 'uga dikenal karena mengemukakan 0* problem atau tantangan matematika bagi para matematika,an" Le,at pidatonya pada konggres internasional matematika,an kedua di /aris disebutkan 0* problem yang menantang kreati9itas para matematika,an" Disebutkan bah,a suatu problem matematika mampu merangsang otak#otak kreati) untuk berusaha menemukan solusi namun apa yang diperoleh terkadang 'auh dari harapan" -ukan berarti hasil sampingan ;by# product< ini tidak berguna 'ustru hal ini akan memperkaya khasanah matematika" Nermat ;baca Nermat dan 6iles< sebagai contoh meninggalkan TTN ;Theorema Terakhir Nermat< yang mendorong adanya penemuan bilangan# bilangan ideal dari 4ummer dan melakukan generalisasi dalam bidang al'abar yang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor akan mendasari teori bilangan
modern dan akhirnya teori )ungsi" /roblem bilangan kardinal kontinuum dari Cantor 1" 4eselarasan ;compatibility< aksioma#aksioma dalam aritmatika 0" 4esamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama *" /roblem garis lurus sebagai 'arak terpendek antara dua titik 2" 4onsep trans)ormasi kelompok ;grup< berkesinambungan tanpa asumsi yang dapat berbedaa ;di_erentiability< dari )ungsi#)ungsi dalam kelompok dari Lie" 8" /erlakuan matematikal terhadap aksioma#aksioma dalam 5sika" " -ilangan# bilangan irrasional dan transenden tertentu " /roblem bilangan#bilangan prima 3" /embuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan ;reciprocity< dari berbagai bilangan dalam bidang" =" Determinasi dari sol9abilitas persamaan Diophantus 1+" -entuk#bentuk kuadratik dengan koe5sien#koe5sien al'abarik numerikal 11" /erluasan theorema 4ronecker pada bidang %belian bagi rasionalitas dalam lingkup al'abarik" 10" 4etidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tu'uh dengan menggunakan )ungsi#)ungsi yang mempunyai dua argumen" 1*" /embuktian terbatasnya sistem )ungsi#)ungsi lengkap tertentu 12" Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumerati) (chubert 18" /roblem topologi dari kur9a#kur9 dan permukaan#permukaan al'abarik" 1" Ekspresi bentuk#bentuk tertentu dari persegi pan'ang 1" Membangun ruang dari polyhedra congruent 13" %pakah solusi untuk problem#problem umum dalam 9ariasi kalkulus selalu membutuhkan analitik 1=" /roblem umum nilai#nilai batas 0+" -ukti keberadaan persamaan#persamaan di)erensial linier mempunyai kelompok monodromik yang sudah di'abarkan 01" /enyeragaman relasi#relasi analitik dalam )ungsi#)ungsi otomorphik 00" /engembangan lebih lan'ut metode 9ariasi#9ariasi kalkulus Ruang .ilbert 4arya .ilbert tentang persamaan#persamaan integral yang terbit pada tahun 1=+= merintis penelitian dalam analisis )ungsional ;cabang matematika dimana )ungsi#)ungsi dipela'ari secara terpisah<" 4arya ini 'uga memberi dasar kiprahnya dalam ruang dimensional tak terhingga ;in5nite#dimensional space< yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang .ilbert" 4onsep ini berguna dalam analisis matematikal dan mekanika Vuantum" /enggunaan persamaan# persamaan integral .ilbert mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan 5sika matematikal dan yang paling penting adalah memoarnya tentang teori gas kinetik dan teori radiasi" %da beberapa orang yang menyebut bah,a pada tahun 1=18 .ilbert sudah menemukan persamaan#persamaan bidang untuk relati9itas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein" Terdapat catatan yang menyebutkan bah,a .ilbert mengirimkan artikel tersebut pada tanggal 0+ $o9ember 1=18 lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yang berisikan ralat terhadap persamaan#persamaan bidang" %rtikel Einstein muncul pada tanggal 0 Desember 1=18 tapi bukti bah,a makalah .ilbert ;tertanggal Desember 1=18< tidak mencantumkan persamaan#persamaan bidang" Dasar#dasar Geometri .ilbert menekuni suatu bidang sampai benar#benar tuntas" (etelah usai dengan Z]ahlbericht[ dia mulai beralih ke geometri" (e'ak tahun13=2 dia menga'ar geometri non#Euclidian dan pada periode 13=3#13==mengeluarkan buku ZDasar# dasar Geometri[ ;Grundlagen der Geometrie<" -uku ini dapat disebut karya besar karena kemudian diter'emahkan ke bahasa negara terkemuka dan memba,a dampak besar bagi perkembangan geometri pada abad 0+" Geometri yang selama ini seakan dilupakan se'ak Euclid di'abarkan ulang dan banyak dire9isi ulang oleh .ilbert" .ilbert merintis dengan memasukkan Zkaranter al'abar dan analisis ke dalam geometri" (istematika geometri dilakukan dengan membagi men'adi * obyek titik garis dan bidang dan enam kemungkinan keterhubungan" Le,at buku itu .ilber mengukuhkan diri sebagai penggagas Zaliran aksiomatik[
yang memberi dampak besar terhadap matematika dan pendidikan matematika" /angantar buku dia,ali dengan kutipan ?Immanuel@ 4ant Z(emua pengetahuan manusia dia,ali oleh intuisi menghasilkan konsep#konsep dan diakhiri dengan ide#ide"[ 4utipan ini digunakan untuk menun'ukkan bah,a dirinya anti#4ant" Menurutnya tidak ada ?peran@ intuisi dalam mempela'ari geometri dimana titik garis dan bidang adalah elemen#elemen dari suatu himpinan tertentu" Teori himpunan ;set theory< yang selama ini masuk ,ilayah al'abar dan analisis dipakai dalam geometri" 4arya bersama .ermann Minko,ski meninggal pada tahun 1=+= meninggalkan kepedihan mendalam bagi .ilbert" (etelah merasa tuntas dengan geometri dan analisis # tidak diuraikan .ilbert masuk 5sika matematika" (ebelum dan setelah /D I meneliti aplikasi persamaan#persamaaan integral untuk memecahkan teori#teori 5sika seperti teroi kinetik dari gas" /en'ela'ahan ini membuat dia berkolaborasi dengan Emmy $oether ;1333#1=*8< dalam mempela'ari in9arian di)erensial" Emmy adalah anak al'abaris Ma& $oether yang ditarik dari Gottingen oleh .ilbert dan 4elin untuk melakukan penelitian bersama" .asil sampingan adalah Emmy mampu mengeluarkan buku pada tahun 1=13 yang berisikan ZTheorema $oether"[ (e'ak tahun 1==+ .ilbert sudah menger'akan aksiomatisasi yang dimaksudkan untuk memec&ahkan problem 5sika yang terkait dengan mekanika Vuantum" .asil akhir sudah akan diraih namun karena problem kesehatan maka tongkat esta)et penelitian diserahkan # le,at kolaborasi Y dengan L" $ordheim dan B" 9on $eumann" 4arya puncak .ilbert dalam aksiomatisasi aritmatikda dan logika dapat kita nikmati le,at para penerusnya" 4arya Dasar#dasar matematika dan Dasar#dasar logika matematika lebih mengenalkan kolaboratornya sebagai .ilber#-ernays dan .ilbert#%ckermann" (umbangsih -anyak cabang matematika yang ditekuni oleh .ilbert dimana masing#masing mampu menun'ukkan kualitasnya sehingga sangat sulit menyebutkan sumbangsih .ilbert secara spesi5k" Dapat disebutkan teori in9arian bidang#bidang bilangan al'abarik analisis )ungsional persamaan# persamaan integral 5sika matematikal dan 9ariasi#9ariasi kalkulus" %da yang menyebutkan bah,a bakat matematikal ditun'ang dengan mengemukakan pemikiran#pemikiran baru dan menghubungkan semua disiplin#disiplin ilmu tersebut merupakan betapa banyaknya Z'asa[ .ilbert bagi perkembangan matematika dan 5sika Y khususnya mekanika Vuantumm baik secara sendiri maupun sebagai karya kolaborasi" /roblem yang dikompilasi akan terus berupaya dipecahkan oleh matematika,an era berikutnya"
Sejarah Geometri Euclid
Geometri Euclidean adalah sistem matematika yang dikaitkan dengan Alexandria matematikawan Yunani Euclid , yang dijelaskan dalam buku teks tentang geometri yaitu
Elements . ;etode Euclid terdiri dalam asumsi satu set kecil intuiti! menarik aksioma , dan menyimpulkan lainnya proposisi " dalil # dari ini. ;eskipun banyak dari hasil Euclid telah dinyatakan oleh matematikawan sebelumnya, Euclid adalah yang pertama untuk menunjukkan bagaimana proposisi-proposisi bisa masuk ke dalam dedukti! dan komprehensi! sistem logis . Unsur dimulai dengan pesawat geometri, masih diajarkan di sekolah menengah sebagai yang pertama sistem aksiomatik dan contoh pertama dari bukti !ormal . %erpindah ke geometri solid dari tiga dimensi . %anyak dari Elemen menyatakan hasil dari apa yang sekarang disebut aljabar dan nomor teori , ditulis dalam bahasa geometris. &elama lebih dari dua ribu tahun, kata si!at 'Euclid' tidak diperlukan karena tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma Euclid nampak seperti s angat jelas bahwa pembuktian teorema lainnya dianggap benar dalam arti, mutlak sering meta!isik,. @amun, sekarang banyak lainnya konsisten diri non-Euclidean geometri diketahui, yang pertama yang telah ditemukan pada awal abad )*. Implikasi dari Einstein teori relatiitas umum adalah bahwa ruang Euclidean adalah pendekatan yang baik terhadap si!at ruang !isik hanya di mana medan graitasi tidak terlalu kuat.
Unsur Unsur terutama sebuah sistematisasi pengetahuan awal geometri. eunggulannya di atas perawatan sebelumnya dengan cepat diakui, dengan hasil bahwa ada sedikit minat dalam melestarikan yang sebelumnya, dan mereka sekarang hampir semua hilang. %uku I-IH dan HI membahas geometri bidang datar. %anyak hasil tentang tokoh-tokoh pesawat terbukti, misalnya, Jika segitiga memiliki dua sudut yang sama, maka sisi yang bersesuaian dengan sudut tersebut adalah sama . Teorema ythagoras terbukti. %uku H dan HII- berurusan dengan nomor teori, dengan nomor diperlakukan secar a geometris melalui representasi mereka sebagai segmen garis dengan berbagai panjang. engertian seperti bilangan prima dan rasional dan bilangan irasional diperkenalkan. Yang tak terbatas bilangan prima terbukti. %uku I-III geometri perhatian padat. (asil khas adalah rasio >)/>1 antara olume kerucut dan silinder dengan ketinggian yang sama dan basis.
ersamaan postulat/ 4ika dua garis berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut-sudut bagian dalam di satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mau tidak mau harus dua baris saling berpotongan pada sisi jika diperpanjang cukup jauh.
Aksioma
eometri Euclidean adalah sistem aksiomatik , di mana semua teorema "'pernyataan benar'# berasal dari sejumlah kecil aksioma. ;enjelang awal buku pertama dari Elemen, Euclid memberikan lima postulat "aksioma# untuk pesawat geometri , menyatakan dalam hal konstruksi "sebagaimana diterjemahkan oleh Thomas (eath#/ ';ari berikut akan mendalilkan'/ ). 'Jntuk menggambar garis lurus dari setiap titik ke titik apapun. ' 0. 'Jntuk menghasilkan KmemperluasL sebuah garis lurus yang terbatas terus menerus dalam garis lurus. ' 1. 'Jntuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak KradiusL. ' 2. 'Itu semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain.' 3. Para paralel dalil / 'Itu, jika garis lurus jatuh di dua jalur lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat. ' ;eskipun pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan keberadaan konstruksi, mereka juga diambil untuk menjadi unik. Elements juga memasukkan lima 'notasi biasa'/ ). (al-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu dengan lainnya. 0. 4ika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama, maka keutuhan adalah sama. 1. 4ika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama, maka sisanya adalah sama. 2. (al-hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain. 3. eseluruhan lebih besar daripada bagian. Paralel postulat Jntuk nenek moyang, paralel tampak kurang jelas mendalilkan dari yang lain. Euclid sendiri tampaknya telah dianggap sebagai yang secara kualitati! berbeda dari yang lain, sebagaimana dibuktikan oleh organisasi dari Elemen: 0 yang pertama ia menyajikan proposisi adalah mereka yang dapat dibuktikan tanpa itu. Aksioma banyak alternati! dapat dirumuskan yang sama konsekuensi logis sebagai paralel dalil. ;isalnya aksioma lay!air Ms menyatakan/
&ebuah bukti dari elemen Euclid bahwa, mengingat segmen garis, segitiga sama sisi ada yang mencakup segmen sebagai salah satu sisinya. %uktinya adalah dengan mengkonstruksi
sebuah segitiga sama sisi 678 dibuat dengan menggambar lingkaran dan 9 : berpusat pada poin 6 dan 7, dan mengambil satu persimpangan lingkaran sebagai titik ketiga dari segitiga.
Metode pembuktian eometri Euclid adalah konstruktif . ostulat ), 0, 1, dan 3 menegaskan bahwa keberadaan dan keunikan dari bidang geometri tertentu, dan penegasan ini adalah konstruksi alam/ yaitu, kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk membuatnya dengan lebih dari satu tidak ada kompas dan lurus yang tidak bertanda .
Sistem pengukuran dan aritmatika eometri Euclidean memiliki dua tipe dasar pengukuran/ sudut dan jarak. &kala sudut adalah mutlak, dan Euclid menggunakan sudut yang tepat sebagai unit dasarnya, sehingga, misalnya, sebuah sudut 23 derajat akan disebut sebagai setengah dari sudut kanan. &kala jarak relati!, satu sewenang-wenang mengambil segmen garis dengan panjang tertentu sebagai unit, dan jarak lainnya disajikan dalam kaitannya dengan hal itu. &ebuah garis dalam geometri Euclidean adalah model garis bilangan real . &ebuah segmen garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik akhir, dan berisi setiap titik pada garis antara titik akhir. enambahan diwakili oleh konstruksi di mana satu segmen garis akan disalin ke akhir dari suatu segmen garis untuk memperpanjang panjangnya, dan juga untuk pengurangan. engukuran luas dan olume berasal dari jarak. &ebagai contoh, sebuah persegi panjang dengan lebar 1 dan panjang 2 memiliki luas yang mewakili produk, )0. arena interpretasi geometris dari perkalian terbatas pada tiga dimensi, tidak ada cara langsung mena!sirkan produk dari empat atau lebih angka, dan Euclid dihindari produk tersebut, meskipun mereka tersirat, misalnya, dalam bukti buku I, proposisi 0>.
Dontoh kongruensi.
Notasi dan terminologi
Penamaan poin dan angka oin la+im diberi nama menggunakan huru! al!abet. Qbjek lainnya, seperti garis, segitiga, atau lingkaran, diberi nama dengan da!tar cukup banyak poin untuk menjemput mereka keluar jelas dari angka yang relean, misalnya, segitiga A%D biasanya akan menjadi segitiga dengan simpul pada titik-titik A, %, dan D .
sudut pelengkap dan penunjang &udut yang jumlahnya *> derajat adalah sudut siku-siku disebut komplementer , sedangkan sudut yang jumlahnya )> derajat adalah sudut lurus adalah tambahan "suplementer#.
Versi Modern notasi Euclid
Beberapa hasil penting atau terkenal
•
Teorema embatan keledai menyatakan bahwa A R % dan D R <.
•
4umlah dari sudut A, %, dan D adalah sama dengan )> derajat.
•
Teorema P!thagoras" 4umlah dari bidang dua kotak pada kaki (a dan b) dari sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas persegi pada sisi miring (c).
•
Teorema Thales" jika AD adalah diameter, maka sudut di % adalah sudut kanan.
embatan Menilai 4embatan menilai (Pons sinorum) menyatakan bahwa dalam segitiga sama kaki sudut di dasar sama satu sama lain, dan, !ika garis-garis lurus yang sama yang diproduksi lebih lan!ut, maka sudut ba"ah dasar sama satu sama lain. @amanya mungkin dikaitkan dengan peran sering sebagai tes nyata pertama dalam Unsur-unsur kecerdasan pembaca dan sebagai jembatan untuk proposisi keras yang diikuti. (al ini juga mungkin dinamakan demikian karena kemiripannya sosok geometris untuk jembatan yang curam yang hanya seekor keledai yang dapat menyeberang.
#ongruensi segitiga
ongruensi segitiga ditentukan dengan menentukan dua sisi dan sudut antara mereka "&A&#, dua sudut dan sisi antara mereka "A&A# atau dua sudut dan sisi yang berdekatan sesuai "&&A#. ;enentukan dua sisi dan sudut yang berdekatan "&&A#, bagaimanapun, dapat menghasilkan dua segitiga yang mungkin berbeda. &egitiga dikatakan kongruen jika mereka memiliki ketiga sisi yang sama "&&&#, dua sisi dan sudut antara mereka sama "&A&#, atau dua sudut dan sisi yang sama "A&A# "%uku I, proposisi 2, , dan 0B#. "&egitiga dengan tiga sudut yang sama umumnya serupa, tetapi belum tentu kongruen 4uga, segitiga dengan dua sisi yang sama dan sudut yang berdekatan tidak selalu sama..#
umlah sudut sebuah segitiga 4umlah sudut sebuah segitiga sama dengan sudut lurus ")> derajat#.
Teorema P!thagoras ara terkenal Teorema ythagoras "buku I, proposisi 2S# menyatakan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, luas persegi yang sisinya adalah sisi miring "sisi berlawanan sudut yang tepat# sama dengan jumlah dari bidang kotak yang sisi-sisinya bertemu di sudut *> derajat "kedua belah pihak yang bertemu di sudut kanan#.
Thales $Teorema Thales MTeorema , yaitu setelah Thales dari ;iletus menyatakan bahwa jika A, %, dan D adalah titik pada lingkaran di mana garis AD adalah diameter lingkaran, maka sudut A%D adalah sudut kanan. enyanyi menyangka bahwa Thales membuktikan Teorema melalui Euclid buku saya, prop 10 menurut cara Euclid buku III, prop 1). Tradisi mengatakan bahwa Thales mengorbankan lembu untuk merayakan teorema ini.
Scaling daerah dan %olume
Aplikasi arena status dasar geometri Euclidean dalam matematika, tidak mungkin untuk memberikan lebih dari sampling wakil dari aplikasi di sini.
&ebuah sureyor menggunakan Tingkat
emasan &phere berlaku untuk tumpukan jeruk .
&ebuah cermin parabola membawa sinar paralel dari cahaya untuk !okus. &eperti yang disarankan oleh etimologi kata, salah satu alasan paling awal untuk kepentingan dalam geometri itu surei , dan hasil praktis tertentu dari geometri Euclidean, seperti properti yang tepat-sudut segitiga 1-2-3, digunakan jauh sebelum mereka terbukti secara !ormal. 4enis-jenis dasar pengukuran dalam geometri Euclidean adalah jarak dan sudut, dan kedua kuantitas dapat diukur langsung oleh sureyor. &ecara historis, jarak sering diukur dengan
rantai seperti rantai unter itu , dan sudut menggunakan lingkaran lulus dan, kemudian, teodolit . &ebuah aplikasi dari geometri Euclidean yang solid adalah penentuan pengaturan kemasan , seperti masalah untuk menemukan yang paling e!isien kemasan bola dalam dimensi n. ;asalah ini memiliki aplikasi dalam deteksi dan koreksi kesalahan . Qptik geometris menggunakan geometri Euclidean untuk menganalisis !okus cahaya oleh lensa dan cermin.
•
eometri digunakan dalam seni dan arsitektur.
•
;enara air terdiri dari kerucut, silinder, dan setengah bola. Holumenya dapat dihitung dengan menggunakan geometri padat.
•
eometri dapat digunakan untuk merancang origami.
eometri digunakan secara luas dalam arsitektur . eometri dapat digunakan untuk merancang origami . %eberapa masalah konstruksi klasik geometri tidak mungkin menggunakan kompas dan penggaris-sejajar , tetapi dapat diselesaikan dengan menggunakan origami . Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. aedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuiti! yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul "teorem-teorem# daripada aksiom-aksiom berkenaan. $alaupun banyak daripada keputusankeputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logik yang komprehensi!.
%uku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian !ormal yang pertama. emudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. ebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor , yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri. &elama dua ribu tahun, kata adjekti! 'Euclid' tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak. (ari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-)*. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang !i+ikal. &atu implikasi daripada teori Einstein mengenai teori kerelati!an umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada si!at-si!at ruang !i+ikal hanyak sekiranya medan graiti tidak terlalu kuat.
