S8 7 Conceptos Básicos Polinomios Cromáticos

8.7 Conceptos básicos sobre polinomios cromáticos

Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real

 Alberto Conejero Conejero y Cristina Jordán Jordán Depto. Matemática Aplicada E.T.S. Ingeniería Informática Universitat Politècnica de València

Cuestión a resolver ¿De cuántas maneras diferentes se puede colorear un grafo? Ejemplo

Observamos que contiene un triángulo, luego el mínimo número posible de colores necesarios es 3. Y como tiene 4 vértices el máximo número será 4. 2 posibilidades

a) Con k=3 colores 2 posibilidades 1 posibilidad 3 posibilidades

Número total= 3 . 2 . 1 . 2 = 12

3 posibilidades

b) Con k=4 colores 3 posibilidades 2 posibilidades

Número total= 4 . 3 . 2 . 3 = 72

¿Qué es un polinomio cromático? Sea G un grafo no dirigido Sea k un número natural, k  1 Llamamos polinomio cromático de G a la función de k que nos da el número de formas de colorear G con k colores

Notación PG(k) = polinomio crómatico de G NOTA  A la función PG(k) se le llama polinomio cromático porque se puede demostrar que es un polinomio

Propiedades del polinomio cromático 1.- Si k < k’ entonces P G(k) < PG(k’) 2.- a) Si k <  (G) entonces PG(k) = 0 b) Si k   (G) entonces PG(k)  1 Consecuencia

 (G) es el menor número natural

k para el que el polinomio PG(k) no es nulo

3.- Si G es un grafo no dirigido con componentes conexas C1, C2, …, Cr , r  1,

entonces PG(k) = PG(C1) PG(C2) … PG(Cr )

Ejemplos 1.-

¿PLn(k) ?, siendo Ln el grafo lineal de n vértices

v3

v2

v1 k posibilidades

k -1 posibilidades

vn-1

vn-2

k -1 posibilidades

PLn(k) = k . (k-1)

k -1 posibilidades

k -1 posibilidades

n-1

PLn(k) = 0 para los valores

k=0 k=1

Luego k = 2 es el menor número natural para el que PLn(k)  0 Por tanto

 ( Ln) = 2

vn k -1 posibilidades

Ejemplos 1.-

PLn(k) = k . (k-1)

n-1,

siendo Ln el grafo lineal de n vértices

2.- ¿ PNn(k) ?, siendo N n el grafo vacío de n vértices

v1 k posibilidades

v3

v2 k posibilidades

vn-2

k posibilidades

k posibilidades

vn-1 k posibilidades

PNn(k) = kn PNn(k) = 0 para k = 0 Luego k = 1 es el menor número natural para el que PNn(k)  0 Por tanto

 ( Nn) = 1

vn k posibilidades

Ejemplos n-1,

1.-

PLn(k) = k . (k-1)

siendo Ln el grafo lineal de n vértices

2.-

PNn(k) = k n, siendo Nn el grafo vacío de n vértices

3.- ¿PKn(k) ? , siendo K n el grafo completo de n vértices k -1 posibilidades

k-2 posibilidades

k posibilidades

PKn(k) = k.(k-1). ... (k-(n-1)) k=0 k=1 PKn(k) = 0 para

k-3 posibilidades

k=2 k = n-1

Luego k = n es el menor número natural para el que PKn(k)  0 k – (n-1) posibilidades

Por tanto

 ( Kn) = n

Ejemplos n-1,

1.-

PLn(k) = k . (k-1)

siendo Ln el grafo lineal de n vértices

2.-

PNn(k) = kn, siendo Nn el grafo vacío de n vértices

3.-

PKn(k) = k.(k-1). ... (k-(n-1)), siendo K n el grafo completo de n vértices k -1 posibilidades

k-2 posibilidades

k posibilidades

PKn(k) = k.(k-1). ... (k-(n-1)) k=0 k=1 PKn(k) = 0 para

k-3 posibilidades

k=2 k = n-1

Luego k = n es el menor número natural para el que PKn(k)  0 k – (n-1) posibilidades

Por tanto

 ( Kn) = n

Ejemplos n-1,

1.-

PLn(k) = k . (k-1)

siendo Ln el grafo lineal de n vértices

2.-

PNn(k) = kn, siendo Nn el grafo vacío de n vértices

3.-

PKn(k) = k.(k-1). ... (k-(n-1)), siendo K n el grafo completo de n vértices k -1 posibilidades

k-2 posibilidades

k posibilidades

PKn(k) = k.(k-1). ... (k-(n-1)) k=0 k=1 PKn(k) = 0 para

k-3 posibilidades

k=2 k = n-1

Luego k = n es el menor número natural para el que PKn(k)  0 k – (n-1) posibilidades

Por tanto

 ( Kn) = n