RESPUESTA EN FRECUENCIA EN SISTEMAS DE CONTROL 1.
INTRODUCCIÓN
1.1. Función de transferencia. Respuesta en frecuencia. 1.2. Sistemas en lazo abierto con controlador proporcional 1.3. Sistemas en lazo cerrado o realimentados. ¿Por qué usarlos? 1.4. Ejemplos
2.
CARACTERÍSTICAS Y SISTEMAS PROTOTIPO DE 2º ORDEN
2.1. Sobrepeso máximo o pico de resonancia 2.2. Frecuencia de resonancia 2.3. Ancho de banda (BW) 2.4. Análisis de sistemas prototipo de 2º orden con parámetros Ejemplos
3.
MÉTODOS GRÁFICOS
3.1. Diagramas de Bode 3.2. Diagrama de Nyquist 3.3. Diagrama de Black – Nichols 3.4. Representaciones en los tres tipos de diagramas
4.
ESTABILIDAD
4.1. Estabilidad relativa: margen de ganancia y margen de fase 4.2. Estabilidad según Routh 4.3. Estabilidad según Bode Cómo obtener el margen de ganancia y el margen de fase a través de las gráficas. Qué sucede con la estabilidad al variar MG y MF. Simulaciones 4.4. Estabilidad según Nyquist Criterio de Nyquist Criterio de Nyquist para sistemas con función de transferencia de fase mínima Criterio de Nyquist para sistemas con función de transferencia de fase no mínima Cómo obtener el margen de ganancia y el margen de fase a través de la gráfica 4.5. Estabilidad según Nichols
5.
SENSIBILIDAD
6.
ADICCIÓN DE POLOS Y CEROS
6.1. Efectos de la adición de un cero en la función de transferencia en lazo abierto Ejemplos 6.2. Efectos de la adición de un polo en la función de transferencia en lazo abierto Ejemplos
7.
ESTUDIO DE SISTEMAS MODIFICADOS
7.1. Perturbaciones 7.2. Condiciones iniciales no nulas
8.
SISTEMAS NO LINEALES CON RETARDOS PUROS
9.
TÉCNICAS CLÁSICAS DE CONTROL
9.1. Compensación por adelanto de fase Procedimiento de diseño de un compensador de adelanto Ejemplo de diseño de un compensador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia Diseño: 9.2. Compensación por atraso de fase Proceso de diseño de un controlador por atraso de fase 9.3. Controladores PD, PI, PID: Diseño con el controlador PD Resumen de las características en el dominio de la frecuencia para distintos valores de Ki y KD Diseño con el controlador PI Compensación PID Métodos de Ziegler-Nichols (2º Método)
10. MODELADO DE UN MOTOR DE CC 10.1. Ecuaciones físicas del sistema Función de Transferencia 10.2. Método de Diseño de un PID para Control de Velocidad de un Motor CC Control Proporcional Control PID 10.3. Sintonía 10.4. Método de Diseño Frecuencial para Control de Velocidad de un Motor CC Diagrama de Bode Agregado de un controlador proporcional Respuesta en lazo cerrado Agregado de un controlador por atraso de fase
-1-
1.
INTRODUCCIÓN
El diseño de sistemas de control con retroalimentación en la industria se realiza probablemente empleando en más ocasiones los métodos de la respuesta en frecuencia que cualquier otro método. La razón principal de la popularidad de estos métodos es que proporcionan diseños buenos desde el punto de vista de la incertidumbre en el modelo de planta. Otra ventaja de la respuesta en frecuencia es la facilidad con la que se puede usar la información experimental para propósitos de diseño; parra sistemas relativamente simples, la respuesta en frecuencia es todavía el método de diseño más rentable. Una desventaja del método es que la teoría en la que se basa es algo complicada y requiere un conocimiento bastante amplio de las variables complejas. Sin embargo, la metodología de diseño es sencilla y la visión que se adquiere al aprender la teoría bien vale la pena el esfuerzo. 1.1. Función de transferencia. Respuesta en frecuencia. Consideraremos sistemas lineales con única entrada y una única salida (SISO), cuyo esquema es el siguiente:
SISTEMA LTI
u(t)
y(t)
La ecuación que relaciona la entrada u(t) con la salida y(t) será una EDO (ecuación diferencial ordinaria) de orden 2 y con coeficientes constantes, que tiene la forma general siguiente:
a0 && y + a1 y& + a2 y = b0u& + b1u La transformada de Laplace de esta ecuación, considerando condiciones iniciales cero, está dada por:
a0 s 2Y ( s) + a1sY ( s) + a2Y ( s ) = b0 sU ( s ) + bU 1 (s) que al ser una ecuación algebraica en lugar de una diferencial, nos permite obtener fácilmente la relación entre Y(s) y U(s) :
Y (s) =
b0 s + b1 U ( s ) = H ( s )U ( s ) a0 s + a1s + a2 2
Esta función H(s), que es la ganancia de transferencia desde U(s) a Y(s), es la llamada función de transferencia del sistema. H(s) es la transformada de Fourier de h(t), siendo h(t) la salida del sistema si la entrada es una delta (h(t) también se llama respuesta al impulso). 1.2. Sistemas en lazo abierto con controlador proporcional Este tipo de sistemas tienen una función de transferencia de la forma siguiente:
H (s) = K p
Y (s) = K PG ( s) U (s)
Y su esquema general es el que sigue:
-2-
donde el bloque con Kp es el controlador y el bloque con G(s) es la planta del sistema. 1.3. Sistemas en lazo cerrado o realimentados. ¿Por qué usarlos? Hay dos tipos de realimentación: positiva y negativa; nosotros usaremos la segunda porque es nuestro objeto de estudio. El esquema general es:
Para sistemas en lazo cerrado la función de transferencia H(s) se expresa como:
H ( s) =
G1 ( s ) Y ( s) = U ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s)
Bajo el estado senoidal permanente s = jw, la ecuación anterior se convierte en:
H ( jω ) =
G1 ( jω ) Y ( jω ) = U ( jω ) 1 + G1 ( jω )G2 ( jω )
La función de transferencia en estado senoidal permanente H(jw) se puede expresar como:
H ( jω ) = H ( jω ) ∠H ( jω ) donde la magnitud o módulo de H(jw) es:
H ( jω ) =
G1 ( jω ) G1 ( jω ) = 1 + G1 ( jω )G2 ( jω ) 1 + G1 ( jω )G2 ( jω )
y la fase de H(s) es:
∠H ( jω ) = φH ( jω ) = ∠G1 ( jω ) − ∠ [1 + G1 ( jω )G2 ( jω )] Los sistemas realimentados son mejores que los de lazo abierto ya que permiten mejorar la estabilidad del sistema, acelerar la respuesta transitoria, mejorar las características del estado estacionario, facilitar el rechazo a perturbaciones y disminuir la sensibilidad a las variaciones de parámetros. Sin embargo hay que tener cuidado, ya que la realimentación también puede ser dañina y no solo no mejorar sino incluso empeorar la estabilidad del sistema. Ejemplo: Consideremos la función de transferencia en lazo abierto H(s) mostrada abajo. Vamos a realimentarla con un lazo de ganancia unidad y vamos a ver cuáles son sus respuestas al escalón y al impulso.
-3-
H ( s) = %realimentación planta = tf ([1 2],[1 3 1]) controller=2 open=planta*controller step(open) impulse(open,’g’)
2( s + 2) s 2 + 3s + 1
% da la función de transferencia de la planta % es el valor de K % sistema en lazo abierto %pinta la respuesta al escalón del sistema %pinta la respuesta al impulso
Step Response
Impulse Response
4
2 1.8
3.5
1.6 3 1.4 1.2 Amplitude
Amplitude
2.5
2
1 0.8
1.5
0.6 1 0.4 0.5
0
0.2
0
5
10
0
15
0
5
Time (sec)
10
15
Time (sec)
Si introducimos el lazo de realimentación vemos que el sistema mejora su respuesta al escalón (pasa de ser 4 en el origen a valer aproximadamente 0.8): close=feedback(open,1) % sistema en lazo cerrado step(close) %pinta la respuesta al escalón impulse(close,’g’) %pinta la respuesta al impulso Step Response
Impulse Response
1.5
2 1.8 1.6 1.4
1 Amplitude
Amplitude
1.2 1 0.8 0.5 0.6 0.4 0.2 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
4
0
Time (sec)
2.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
CARACTERÍSTICAS Y SISTEMAS PROTOTIPO DE 2º ORDEN
En el diseño de sistemas de control lineales donde se emplean los métodos en el dominio de la frecuencia, es necesario definir un conjunto de especificaciones para que el desempeño del sistema se pueda identificar. Las especificaciones tales como el sobrepeso máximo, el factor de amortiguamiento relativo, etc., que se emplean en el dominio del tiempo, ya no se pueden usar directamente en el dominio de la frecuencia. Las siguientes especificaciones en el dominio de la frecuencia son las que más se utilizan en la práctica. 2.1. Sobrepeso máximo o pico de resonancia M r Se define como el valor máximo de H ( jω ) . En general, la magnitud de M r da una indicación de la estabilidad relativa de un sistema estable en lazo cerrado.
-4-
Normalmente, un valor grande de M r corresponde a un sobrepeso máximo grande de la respuesta escalón. Para la mayoría de los sistemas de control se acepta generalmente, en la práctica, que el valor deseado de M r debe estar entre 1’1 y 1’5. 2.2. Frecuencia de resonancia La frecuencia de resonancia ωr es la frecuencia en la cual el pico de resonancia M r ocurre. 2.3. Ancho de banda (BW) El ancho de banda (BW) es la frecuencia en la cual H ( jω ) cae al 70’7% , o 3dB por debajo de su valor en la frecuencia cero. Da una indicación de las propiedades de respuesta transitoria en el dominio del tiempo de un sistema de control. Un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de levantamiento corto; en cambio, un ancho de banda pequeño tendrá una respuesta en el tiempo más lenta. El ancho de banda también indica las características de filtrado de ruido y la robustez del sistema.
2.4. Análisis de sistemas prototipo de 2º orden con parámetros La expresión general se define como:
ωn 2 Y ( jω ) H ( jω ) = = U ( jω ) s 2 + 2ζωn s + ωn 2 Para sistemas prototipo de segundo orden el pico de resonancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda están relacionados en forma única con el factor de amortiguamiento relativo ζ y con la frecuencia natural no amortiguada ωn del sistema de la forma siguiente:
(1 − u ) + (2ζ u ) donde u = ω ω n 2ζ u ∠M ( ju ) = φM ( ju ) =) − tan −1 1− u2 1
M ( ju ) =
2 2
2
1
2
La frecuencia de resonancia se determina al hacer que la derivada de ωn con respecto a u sea cero; así obtenemos este valor:
ωr = ωn 1 − 2ζ 2
-5-
Ya que la frecuencia es una cantidad real, la ecuación anterior sólo es significativa para 2ζ 2 ≤ 1 , o ζ ≤ 0.707 . Esto significa que para todos los valores de ζ mayores que 0.70, la frecuencia de resonancia es ωr = 0 y M r = 1 . Así, al sustituir en la ecuación de la magnitud de M(ju) para u y simplificando obtenemos el pico de resonancia:
Mr =
1 2ζ 1 − ζ 2
ζ ≤ 0.707
(pico de resonancia)
De acuerdo con la definición de ancho de banda se hace que el valor de M ( jω ) sea igual a 1
M ( jω ) =
2 ≅ 0.707 . 1 (1 − u 2 )2 + (2ζ ) 2
1
= 2
1 1 2 2 2 2 ------------------ (1 − u ) + (2ζ ) = 2 2
Y así nos queda: 12
BW = ωn (1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4ζ 2 + 2
(Ancho de banda)
Observaciones: 1. El pico de resonancia de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado depende de ζ solamente. ü Cuando ζ es cero, M r es infinita. ü Cuando ζ es negativa, el sistema es inestable y el valor de M r ya no tiene sentido. ü Cuando ζ se incrementa, M r disminuye. ü Para ζ = 0.707 M r = 1 y ω r = 0 . Al comparar con la respuesta al escalón unitario, el sobrepeso máximo también depende solamente de ζ . Sin embargo, el sobrepeso máximo es igual a cero cuando ζ ≥ 1 . 2. El ancho de banda es directamente proporcional a ω n ; esto es, BW se incrementa y disminuye en forma lineal con respecto a ω n . BW también disminuye con el incremento en ζ para una ω n fija. Para la respuesta al escalón unitario, el tiempo de levantamiento aumenta cuando ω n disminuye. Por tanto, el BW y el tiempo de levantamiento son inversamente proporcionales entre sí. 3. El ancho de banda y Mr son proporcionales entre si para 0 ≤ ζ ≤ 0.707 . §
Ejercicio: Desarrollar y analizar superponiendo gráficos de las variaciones de ζ para los siguientes sistemas. Comprobar código y generar archivo *.m
[num1,den1]=ord2(2,0) sis1=tf(num1,den1)
%crea un sistema cuya Mr es infinita---oscila
[num2,den2]=ord2(2,0.4) sis2=tf(num2,den2)
%crea un sistema estable, con Mr grande
[num3,den3]=ord2(2,0.7)
%crea un sistema cuyo Mr es 1
-6-
sis3=tf(num3,den3) [num4,den4]=ord2(2,0.9) sis4=tf(num4,den4)
%crea un sistema cuyo Mr es más pequeño
[num5,den5]=ord2(2,2) sis5=tf(num5,den5)
%crea un sistema cuyo Mr es 0
[num6,den6]=ord2(2,-1) sis6=tf(num6,den6)
%crea un sistema inestable
step(sis1,’b’,sis2,’g’,sis3, ‘r’) impulse(sis1,’b’,sis2,’g’,sis3, ‘r’) Impulse Response 0.5
0.45
0.4
0.4
0.3
0.35
0.2
0.3
0.1 Amplitude
Amplitude
Step Response 0.5
0.25
0
0.2
-0.1
0.15
-0.2
0.1
-0.3
0.05
-0.4
0
0
5
10
15
20
-0.5
25
0
5
10
Time (sec)
15
20
25
Time (sec)
Observamos que el sistema 1 (curva azul) es oscilatorio, esto es debido a que su Mr es infinita step(sis4,’y’,sis5,’k’,sis6,’m’) impulse(sis4,’y’,sis5,’k’,sis6,’m’) Step Response
Impulse Response
1 1.4 0.9 1.2
0.7
1
0.6
0.8 Amplitude
Amplitude
0.8
0.5
0.6
0.4 0.4 0.3 0.2 0.2 0.1
0
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
Observamos que el sistema 6 (curva magenta) es inestable; el sistema 4 (curva amarilla) tiene mayor Mr que el sistema 5 (curva negra), como debe ser, ya que así la hemos definido. Ahora para comprobar obtenemos las respuestas en frecuencias de los sistemas utilizando bode. bode (sis1,’b’ ,sis2,’g’,sis3, ‘r’,) bode (sis4,’y’ ,sis5,’k’,sis6, ‘m’,)
%pinta los diagramas de Bode de sis1, sis2 y sis3 %pinta los diagramas de Bode de sis4, sis5 y sis6
-7-
Bode Diagram
Bode Diagram 20 Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
20
0
-20
0
-20
-40
0
0
-90
-90 Phase (deg)
Phase (deg)
-40
-180 -270 -360
-180 -270 -360
-1
10
0
1
10
10
2
-2
10
10
-1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
En la primera gráfica se observa que Mr para el sistema 1 (curva azul) es infinita, tal y como la hemos definido. Las curvas de los sistemas 2 (verde) y 3 (roja) son muy parecidas debido a que sus valores de ζ son casi iguales. Vemos que las curvas amarilla y magenta coinciden en módulo, pero no así en fase, lo que hace que el sistema 6 (curva magenta) sea inestable. §
Ejercicio: Desarrollar y analizar superponiendo gráficos de las variaciones de ωn para los siguientes sistemas. Comprobar código y generar archivo *.m
[num1,den1]=ord2(2,0.4) sis1=tf(num1,den1) [num2,den2]=ord2(1,0.4) sis2=tf(num2,den2) step(sis1,’g’,sis2,’r’) impulse(sis1,’g’,sis2,’r’)
%crea un sistema estable, con Mr grande %crea un sistema estable, con Mr grande %pinta las respuestas al escalón de sis1 y sis2 %pinta las respuestas al impulso de sis1 y sis2
Step Response
Impulse Response
1.4
0.7 0.6
1.2 0.5 1
Amplitude
Amplitude
0.4 0.8
0.6
0.3 0.2 0.1
0.4 0 0.2
0
-0.1
0
5
10
-0.2
15
Time (sec)
0
5
10
15
Time (sec)
Vemos que efectivamente el tiempo de levantamiento es menor si la frecuencia natural es mayor, ya que el sistema 1 (curva verde) lo hemos definido con mayor wn que el sistema 2 (curva roja).
-8-
3.
MÉTODOS GRÁFICOS
3.1. Diagramas de Bode La técnica de representación de Bode permite hacer gráficas rápidamente y con una precisión que es suficiente para el diseño de sistemas de control. La primera idea es graficar las curvas de magnitud empleando una escala logarítmica y las curvas de fase empleando una escala lineal. Esto permite graficar plantas cuyas funciones de transferencia son de alto orden mediante la adición gráfica simple de los términos separados. Esto es así porque una expresión compleja con factores de ceros y polos se puede escribir como:
G ( jω ) =
s1.s2 r1e jθ1 ⋅ r2 e jθ2 r1 ⋅ r2 j (θ1 +θ2 −θ3 ) = = e r3e jθ3 s3 r3
Operando llegamos a la expresión siguiente:
G dB = 20 log
V2 V1
Las ventajas de trabajar con la respuesta en frecuencia en términos de las gráficas de Bode son: 1. Las gráficas de Bode de sistemas en serie simplemente se suman. 2. La relación fase-ganancia está en términos de los logaritmos de fase y ganancia. 3. se puede mostrar una variación mucho más amplia del comportamiento del sistema; esto es. Tanto el comportamiento de alta frecuencia como el de baja frecuencia se pueden mostrar en una gráfica. 4. El diseño de compensadores se puede basar completamente en gráficas de Bode.
3.2. Diagrama de Nyquist Este tipo de representación se realiza colocando la parte real de la función de transferencia en el eje de abscisas y su parte imaginaria en el eje de ordenadas. Este diagrama es muy útil a la hora de calcular el margen de ganancia y el margen de fase, así como para analizar la estabilidad del sistema. 3.3. Diagrama de Black – Nichols Este tipo de representación se basa en el hecho de colocar sobre un mismo plano el módulo y la fase de la función de transferencia a partir de sus dos gráficas separadas. Se usa mucho si los diseños y cálculos se realizan a mano, pero en la actualidad, debido al uso de ordenadores, este tipo de diagrama está perdiendo importancia. Aún así veremos algún ejemplo. 3.4. Representaciones en los tres tipos de diagramas %Ejemplo Bode planta=tf([1 1],[1 2 1]) contr=2 open=tf(planta*contr) close=feedback(open,1) bode(open,'g',close,'r')
-9-
Bode Diagram 10
Magnitude (dB)
0 -10 -20 -30
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 -2
-1
10
0
10
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Vemos que la realimentación mejora la respuesta en frecuencia del sistema al aumentar el ancho de banda. %Ejemplo Nyquist sis1=tf([1 2],[ 2 3 2])
%forma la función de transferencia de un sistema de orden 2 con los coeficientes dados %forma la función de transferencia de un sistema de orden 3 con los coeficientes dados %pinta el diagrama de Nyquist de cada sistema
sis2=tf([1 1 2],[1 2 3 2]) nyquist(sis1,'r',sis2,'g')
Nyquist Diagram 1 0.8 0.6
Imaginary Axis
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Real Axis
Vemos que al aumentar el orden el diagrama se reduce. %Ejemplo Nichols num = [-4 48 -18 250 600]; den = [1 30 282 525 60]; H = tf(num,den) nichols(H);ngrid
- 10 -
0.8
1
Nichols Chart 40 0 dB 30
0.25 dB
Open-Loop Gain (dB)
0.5 dB 20
1 dB
-1 dB
3 dB
10
-3 dB
6 dB 0
-6 dB
-10
-12 dB
-20 dB -20 180
270
360
450
540
630
720
Open-Loop Phase (deg)
4.
ESTABILIDAD
4.1. Estabilidad relativa: margen de ganancia y margen de fase Trabajaremos con funciones de transferencia de fase mínima. Estabilidad relativa: margen de ganancia y margen de fase § Margen de ganancia según Bode Se define como margen de ganancia (MG), a la inversa de H en la frecuencia wp a la cual el ángulo de fase es 180º. Entonces el margen de ganancia está dado por:
GM = 20 log10
1 = −20 log10 H ( jwp ) H ( jwp )
§ Margen de ganancia según Nyquist El margen de ganancia se emplea para indicar la cercanía de la intersección del sistema en lazo cerrado al punto (-1,j0) también se define como:
GM = 20 log10
1 = −20 log10 L( jwp ) L( jwp )
El margen de ganancia es la cantidad en decibelios que se pueden añadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable. El margen de ganancia indica sólo la estabilidad con respecto a la variación de la ganancia de lazo; por tanto, es inadecuado para indicar la estabilidad relativa cuando otros parámetros del sistema están sometidos a variación. Para incluir el corrimiento de fase que pueden producir las variaciones de estos parámetros definimos el margen de fase. §
Margen de fase según Bode:
Se define como margen de fase (MF), a la cantidad de retardo de fase adicional necesaria a la frecuencia de cruce (aquella en la que el valor de módulo de H es igual a 1 para que el sistema quede al borde de la inestabilidad. El margen de fase está dado por:
PM = ∠H ( jω g ) − 180º §
Margen de fase según Nyquist:
- 11 -
El margen de fase se define como el ángulo en grados que la traza L(jw) se debe rotar alrededor del origen para que el cruce de ganancia pase por el punto (-1,j0).
PM = ∠L( jω g ) − 180º donde wg es la frecuencia donde el módulo de L es 1. 4.2. Estabilidad según Routh Consideremos la ecuación característica para un sistema de orden n:
a ( s ) = a0 s n + a1s n −1 + a2 s n − 2 + ....... + an −1s + an Para este desarrollo consideraremos a0 = 1 , sin perder generalidad. Es posible hacer ciertas afirmaciones acerca de la estabilidad sin calcular las raíces del polinomio. Según Routh, podemos resolver este problema de la siguiente manera: Una condición necesaria para la estabilidad del sistema (es decir, que todas las raíces de la ecuación tengan partes reales negativas) es que todos los coeficientes a i sean positivos; si falta cualquiera de los coeficientes (son cero) o son negativos, entonces el sistema tendrá polos ubicados fuera del semiplano izquierdo y el sistema no será estable. Routh también demostró que una condición necesaria y suficiente para que el sistema sea estable es que los elementos en la primera columna del llamado arreglo de Routh sean positivos. Para determinar el arreglo de Routh, los coeficientes del polinomio característico se disponen en dos líneas, cada una empezando con el primero y segundo coeficientes y seguido por los coeficientes pares e impares como sigue:
sn : s
n −1
1
a2
a4 ...
: a1
a3
a5 ...
Las siguientes líneas se añaden posteriormente para completar el arreglo de Routh.
sn : 1 s n −1 : a1 s n − 2 : b1 s n −3 : c1 ... s2 : s: s0 :
... * * *
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
... ... ... ...
... *
... ...
Donde los elementos a partir de la tercera línea se calculan como sigue:
b1 = −
b2 = −
1
a2
a1
a3 a1
1
a4
a1
a5 a1
=
=
a1a2 − a3 a1 a1a4 − a5 a1
c1 = −
c2 = −
- 12 -
a1
a3
b1
b2 b1
a1
a5
b1
b3 b1
=
a3b1 − a1b2 b1
=
a5b1 − a1b3 b1
b3 = −
1
a6
a1
a7 a1
=
a1a6 − a7 a1
c1 = −
a1
a7
b1
b4 b1
=
a7 b1 − a1b4 b1
Estos deben ser todos positivos si todas las raíces del polinomio característico están en el semiplano izquierdo (SPI). Sin embargo, si los elementos de la primera columna no son todos positivos, entonces el número de raíces en el semiplano derecho (SPD) es igual al número de cambios de signo en la primera columna. Ejemplo:
a ( s ) = s 6 + 4 s 5 + 3s 4 + 2 s 3 + s 2 + 4 s + 4 Cuyo arreglo de Routh es:
s6 : s5 : s4 :
1 4 5/ 2
3 2 0
1 4 4 0 4
−12 / 5 s3 : 2 2 s : 3 4 1 s : −76 /15 s0 : 4 En el cálculo del arreglo de Routh una línea se puede multiplicar o dividir por una constante positiva si esto simplifica el restote los cálculos. Podemos observar asimismo que las dos últimas líneas tienen un término cada una. Casos especiales: Si el primer término en una de las líneas es cero o si una línea entera es cero, entonces el arreglo estándar de Routh no puede ser formado y deben usarse otras técnicas, algunas de las cuales se mencionan abajo: 1. Si solamente el primer elemento en una de las líneas es cero, entonces podemos reemplazar el cero por una constante positiva pequeña ε > 0 y proseguir como antes. El criterio de estabilidad se aplica entones tomando el límite cuando ε → 0 . 2. Si una línea entera del arreglo de Routh es cero, indica que hay una para de raíces complejas conjugadas que son la imagen espejo una de la otra con respecto al eje imaginario. El método de Routh es útil en la determinación del intervalo de los parámetros para los cuales un sistema retroalimentado permanece estable. Consideremos el sistema:
u
s +1 s + 5s 2 − 6 s 3
y
K
Las propiedades de estabilidad del sistema son una función de la ganancia K de retroalimentación. La ecuación característica está dada por:
- 13 -
1+ K
s +1 =0 s + 5s 2 − 6 s 3
⇒ s 3 + 5s 2 + ( K − 6) s + K = 0
El arreglo de Routh correspondiente es:
s3 :
1
K −6
s2 :
5
K
s: s0 :
4K − 3 5 K
Si el sistema va a permanecer estable debemos tener:
4K − 3 > 0 5 ⇒ K > 7.5 K >0 4.3. Estabilidad según Bode Las trazas de Bode de una función de transferencia son una herramienta gráfica de suma utilidad para el análisis y diseño de sistemas de control lineales. Ventajas: 1. En ausencia de un ordenador, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta. 2. El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de ganancia y el margen de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist. 3. Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de Nyquist. Desventaja: La estabilidad absoluta y relativa a sistemas de fase mínima se puede determinar desde las trazas de Bode, pero no así los de fase no mínima. Por ejemplo, no hay forma de decir que el ángulo de φ11 para el criterio de Nyquist esté sobre las trazas de Bode. Cómo obtener el margen de ganancia y el margen de fase a través de las gráficas. 1. El margen de ganancia es positivo y el sistema es estable si la magnitud de L( jω ) al cruce de fase es negativo en dB. Esto es, el margen de ganancia se mide abajo del eje 0-dB. Si el margen de ganancia se mide arriba del eje 0-dB, el margen de ganancia es negativo y el sistema es inestable. 2. El margen de fase es positivo y el sistema es estable si la fase de L( jω ) es mayor que -180º en el cruce de ganancia. Esto es, el margen de fase se mide arriba del eje -180º. Si el margen de fase se mide abajo del eje -180º, el margen de fase es negativo y el sistema es inestable. Qué sucede con la estabilidad al variar MG y MF. Simulaciones Veamos algunos ejemplos que ilustran lo comentado hasta ahora. Para ello usaremos el MATLAB, con el que iremos haciendo simulaciones y distintas funciones de lazo. Consideremos la siguiente función de transferencia en lazo cerrado:
- 14 -
2500 s ( s + 5)( s + 50)
H ( s) =
Vamos a calcular su margen de ganancia y su margen de fase con MATLAB: %simulación_lazo1 planta=tf([1],[1 55 250 0]) contr=2500 open=tf(planta*contr) close=feedback(open,1) [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(close) Obtenemos estos valores: Gm = 4.5 %margen de ganancia en unidades lineales Pm = 37.48 %margen de fase en grados Wcg = 15.8114 %frecuencia de corte de ganancia Wcp = 9.0284 %frecuencia de corte de fase margin(close,’b’)
% pinta los diagramas de Bode de la función de transferencia en lazo cerrado señalando los márgenes de ganancia y de fase Bode Diagram Gm = 13.1 dB (at 15.8 rad/sec) , Pm = 37.5 deg (at 9.03 rad/sec)
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
Phase (deg)
-150 0
-90
-180
-270 -1
0
10
10
10
1
10
2
3
10
Frequency (rad/sec)
Podemos observar que tanto el margen de ganancia como el margen de fase son positivos y por tanto el sistema será estable: Sus respuestas al escalón y al impulso vienen dadas por: step(close,’g’) %pinta la respuesta al escalón del sistema impulse(close,’r’) %pinta la respuesta al impulso del sistema Impulse Response 5
1.2
4
1
3
0.8
2
Amplitude
Amplitude
Step Response 1.4
0.6
1
0.4
0
0.2
-1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-2
3
Time (sec)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
Si consideramos un sistema cuyos márgenes de ganancia o fase sean negativos, es decir que tenga una función de transferencia en lazo cerrado dada por:
H (s) =
10000 s( s + 5)( s + 50)
- 15 -
%simulación_lazo2 s=tf(‘s’) num=10000 den=(s*(s+2)*(s+10)) open=tf(num/den) close=feedback(open,1) [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(close) Obtenemos estos valores: Gm = infinito Pm = -118.9819 Wcg = 0 Wcp = 20.9819 margin(close,’b’) % pinta los diagramas de Bode de la función de transferencia en lazo cerrado señalando los márgenes de ganancia y de fase Bode Diagram Gm = Inf , Pm = -118 deg (at 21 rad/sec) 10
Magnitude (dB)
0 -10 -20 -30 -40 -225
Phase (deg)
-270 -315 -360 -405 0
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Podemos observar que margen de ganancia es infinito y el margen de fase es negativo y por tanto el sistema será inestable. Sus respuestas al escalón y al impulso vienen dadas por: step(close,’g’) impulse(close,’r’)
%pinta la respuesta al escalón del sistema %pinta la respuesta al impulso del sistema Step Response
Impulse Response
4
40
20 2 0 0 Amplitude
Amplitude
-20
-2
-40
-60 -4 -80 -6 -100
-8
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
-120
0.35
Time (sec)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Time (sec)
4.4. Estabilidad según Nyquist Analizaremos la estabilidad de sistemas de fase mínima; estos sistemas cumplen lo siguiente: 1. Una función de transferencia de fase mínima no tiene polos o ceros en el semiplano derecho del plano s o sobre el eje jw, incluyendo al origen. 2. Para una función de transferencia de fase mínima L(s) con Hemos visto ya la relación general entre el pico de resonancia M r de la respuesta en frecuencia y el sobrepeso máximo de la respuesta en el tiempo. En general, se está
- 16 -
interesado no sólo en la estabilidad absoluta de un sistema, sino también en su estabilidad relativa. En el dominio del tiempo, la estabilidad relativa se mide por parámetros tales como el sobrepeso máximo y el factor de amortiguamiento relativo. En el dominio de la frecuencia el pico de resonancia se puede emplear para indicar la estabilidad relativa. Otra forma de medir la estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia es observando cómo de cerca se encuentra la traza de Nyquist de L( jω ) del punto ( −1, j 0) . 1. La ganancia de lazo K es baja. La respuesta al escalón está bien amortiguada y el valor de Mr de la respuesta en frecuencia es bajo. 2. K se incrementa: el sistema es aún estable pero Mr es grande. 3. K se incrementa más: la traza pasa ahora por el punto crítico, el sistema es marginalmente estable y Mr se vuelve infinita. 4. K es relativamente muy grande: la traza de Nyquist encierra ahora al punto (1,j0) y por tanto el sistema es inestable. La curva de magnitud del módulo de H(jw) en función de w deja de tener significado; de hecho el sistema es inestable siendo Mr todavía finito. La pendiente negativa de la curva de fase se incrementa conforme la estabilidad relativa se decrementa. Cuando el sistema es inestable, la pendiente más allá de la frecuencia de resonancia se vuelve positiva. Criterio de Nyquist El criterio de Nyquist es un método semigráfico que determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado al investigar las propiedades de la traza en el dominio de la frecuencia, la traza de Nyquist, de la función de transferencia de G1(s)G2(s) o L(s). Específicamente, la traza de Nyquist de L(s) es una gráfica de L(jw) en coordenadas polares de Im[ L( jw)] contra Re[ L ( jw)] cuando w varía desde 0 hasta ∞ . Ventajas: 1. Además de proveer la estabilidad absoluta el criterio de Nyquist también da información sobre la estabilidad relativa de un sistema estable y el grado de inestabilidad de un sistema inestable. También da indicación de cómo se puede mejorar la estabilidad del sistema, si es necesario. 2. La traza de Nyquist de L(s) es muy fácil de obtener, especialmente con la ayuda de un ordenador. 3. La traza de Nyquist de L(s) da información sobre las características en el dominio de la frecuencia tales como Mr, BW y otras, con facilidad. 4. La traza de Nyquist es útil para sistemas con retardos puros que no se pueden tratar con el criterio de Routh - Hurwitz, y que son difíciles de analizar con le métodos del lugar de las raíces. El criterio de Nyquist representa un método para determinar la localización de las raíces de la ecuación característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s. Hay que tener en cuenta que este criterio no da la localización exacta de las raíces de la ecuación característica. Consideremos que la función de transferencia en lazo cerrado de un sistema SISO es:
H (s) =
KG1 ( s ) 1 + KG1 ( s )G2 ( s )
Ya que la ecuación característica se obtiene al hacer que e polinomio denominador de H(s) sea cero, las raíces de la ecuación característica son también los ceros de 1+KG1(s)G(s). Es decir, éstas deben satisfacer:
1 + KG1 ( s )G2 ( s ) = 0 Se definen dos tipos de estabilidad con respecto a la configuración del sistema:
- 17 -
1. Estabilidad en lazo abierto: un sistema se dice ser estable en lazo abierto si los polos de la función de transferencia de lazo L( s ) están todos en el semiplano izquierdo del plano s. Para un sistema de un lazo sencillo, esto es equivalente a que el sistema sea estable cuando el lazo se abre en cualquier punto. 2. Estabilidad en lazo cerrado: un sistema se dice ser estable en lazo cerrado, o simplemente estable, si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado o los ceros de 1 + L ( s ) están en el semiplano izquierdo del plano s. Analizaremos la estabilidad de sistemas de fase mínima; estos sistemas cumplen lo siguiente: 1. Una función de transferencia de fase mínima no tiene polos o ceros en el semiplano derecho del plano s o sobre el eje jw, incluyendo al origen. 2. Para una función de transferencia de fase mínima L(s) con m ceros y n polos, excluyendo los polos en s=0, cuando s=jw, y w varía desde inf a 0, la variación total de fase de L(jw) es (n-m)p radianes. Criterio de Nyquist para sistemas con función de transferencia de fase mínima Para un sistema en lazo cerrado con función de transferencia de lazo L( s ) , que es de tipo de fase mínima, el sistema es estable en lazo cerrado si la gráfica de L( s ) que corresponde a la trayectoria de Nyquist no encierra al punto (-1,j0); si este punto está encerrado por la traza de Nyquist el sistema es inestable. Veamos un ejemplo: Sea la función de transferencia de lazo L(s) siguiente:
L( s ) =
K s ( s + 2)(s + 10)
Hagamos una simulación para valores de K=200 (sistema estable), K=240 (sistema marginalmente estable) y K=500 (sistema inestable) %Simulación_Nyquist s=tf('s') den=s*(s+2)*(s+10) sis1=(200/den) sis2=(240/den) sis3=(500/den) nyquist(sis1,sis2,sis3)
%crea la función de transferencia con K=200 %crea la función de transferencia con K=240 %crea la función de transferencia con K=500 %pinta el diagrama de Nyquist dependiendo del valor de K que hayamos puesto Nyquist Diagram
2
1.5
Leyenda: ----- K=200 ----- K=240 ----- K=500
1
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
Criterio de Nyquist para sistemas con función de transferencia de fase no mínima El criterio de estabilidad de Nyquist se puede llevar a cabo sólo mediante la construcción de la traza de Nyquist que corresponde a la porción desde s = j∞ hasta s = 0 de la trayectoria de Nyquist.
- 18 -
Cómo obtener el margen de ganancia y el margen de fase a través de la gráfica Tal t como hemos definido el margen de ganancia y el margen de fase en el primer punto de este apartado sobre estabilidad, podremos calcular dichos márgenes de la siguiente forma: Para calcular el margen de ganancia: Para calcular el margen de fase:
4.5. Estabilidad según Nichols La traza de magnitud- fase es otra forma de gráfica en el dominio de la frecuencia, que tiene ciertas ventajas de análisis y diseño en el dominio de la frecuencia. La traza de magnitud-fase de una función de transferencia L(jw) se hace en el valor absoluto de |L(jw)| (dB) contra
- 19 -
M (s) =
G ( s) 1 + G ( s)
Para un estado senoidal permanente hacemos s=jw tenemos:
G ( jω ) = Re G ( jω ) + Im G ( jω ) = x + jy Así el módulo de M será:
M ( jω ) =
x2 + y2 (1 + x 2 ) + y 2
Si consideramos M(jw)=M (por simplificar) tenemos:
M (1 + x 2 ) + y 2 = x 2 + y 2 y al operar nos queda: 2
M2 M + y2 = x− 2 2 1− M 1− M
2
M ≠1 M2 ,0 y 2 1− M
Para un valor dado de M, esta ecuación representa un círculo de centro
radio
M . 1− M 2
Cuando M toma diferentes valores la ecuación anterior describe en el plano G(jw), una familia de círculos que se llaman lugar geométrico de M constante, o círculos de M constante; éstos son simétricos con respecto a la línea M =1 y al eje real. Gráficamente, la intersección de la curva G(jw) y el círculo M constante da el valor de M en la frecuencia correspondiente sobre la curva de G(jw). Si se quiere mantenerle valor de Mr menor que cierto valor, la curva G(jw) no debe interceptar al círculo correspondiente de M en cualquier punto, y al mismo tiempo no debe encerrar al punto (-1,j0). El círculo M constante con el menor radio que es tangente a la curva G(jw) da el valor de Mr, y la frecuencia de resonancia ωr se lee del punto tangente sobre la curva G(jw). El BW se encuentra en la intersección de la curva G(jw) y el lugar geométrico M =0.707. Lugar geométrico de fase constante en el plano G(jw) El lugar geométrico de fase constante de un sistema en lazo cerrado se puede graficar en el plano G(jw9 a través de un método similar al usado para graficar el lugar geométrico de M constante. En general, la información de fase del sistema en lazo cerrado rara vez se utiliza en el análisis y diseño, ya que la información sobre Mr, ωr , y BW se obtiene de la curva de magnitud. Los lugares geométricos de fase constante se llaman círculos de N constante y se describen por la ecuación: 2
2
1 1 1 1 x+ + y − = + 2 2N 4 4N 2 La carta de Nichols
- 20 -
Una de las mayores desventajas al trabajar en coordenadas polares de la traza de Nyquist de G(jw) es que la curva ya no retiene su forma original cuando una modificación simple tal como el cambio de ganancia de lazo se hacen al sistema. Frecuentemente, en situaciones de introducir controladores al sistema. Esto requiere una reconstrucción completa de la traza de Nyquist de la G(jw) modificada. APRA el trabajo de diseño que involucra a Mr y BW como especificaciones, es más conveniente trabajar con la traza de magnitud-fase G(jw), ya que cuando se altera la ganancia de lazo, la curva G(jw) completa se corre hacia arriba o hacia abajo en forma vertical, sin distorsión. Cuando las propiedades de fase de G(jw) se cambian de forma independiente, sin afectar la ganancia, la traza de magnitud-fase se afecta sólo en dirección horizontal. Por la razón anterior, el lugar geométrico de M constate en las coordenadas polares se transfiere a las coordenadas magnitud-fase, y el lugar geométrico resultante forma una carta de Nichols. Veamos un ejemplo:
G(s) =
15 × 106 K s ( s + 400.26)( s + 3008)
Recordemos que la simulación hay que hacerla con realimentación unitaria. Probaremos para varios valores de K: K = 7.348, K = 14.5, K = 181.2, K = 273.57. %Ejemplo_Nichols s=tf('s') %defino la función de transferencia de la planta num=15000000 den=s*(s+400.26)*(s+3008) planta=(num/den) open1=7.348*planta open2=14.5*planta open3=181.2*planta open4=273.57*planta close1=feedback(open1,1) close2=feedback(open2,1) close3=feedback(open3,1) close4=feedback(open4,1)
%creo los cuatro sistemas en lazo abierto con los distinta K
%creo cuatro sistemas en lazo cerrado mediante los sistemas en lazo abierto definidos antes
nichols(close1,'b',close2,'r',close3,'g',close4,'y')
%pinta los diagramas de Nichols de los cuatro sistemas
Nichols Chart 150
Open-Loop Gain (dB)
100
50
0
-50
-100
-150 -405
-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Open-Loop Phase (deg)
Si ahora analizamos su respuesta al escalón: step(close1,’b’)
- 21 -
step(close2,'r')
Step Response
Step Response
2
1.4
1.8 1.2 1.6 1
1.4
Amplitude
Amplitude
1.2 1 0.8 0.6
0.8
0.6
0.4
0.4 0.2 0.2 0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0
0.08
0
0.005
0.01
Time (sec)
step(close3,’g’)
1.6
6
1.4
4
1.2
2
1 0.8
0.03
0 -2
0.6
-4
0.4
-6
0.2
-8
0
-10
0.02
0.025
Step Response 8
Amplitude
Amplitude
Step Response
0.01
0.02
step(close4,'y')
1.8
0
0.015 Time (sec)
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0
100
Time (sec)
200
300
400
500
600
700
800
900
Time (sec)
Se puede observar que tanto el primer sistema como el segundo son estables, el tercero es marginalmente estable (su diagrama de Nichols pasa por el punto (-1,j0)), y el cuarto es inestable.
5.
SENSIBILIDAD
La sensibilidad del sistema con respecto a variaciones de parámetros se puede interpretar fácilmente empleando las trazas en el dominio de la frecuencia. Consideremos un sistema de control lineal con realimentación unitaria descrito por el diagrama de bloques:
cuya función de transferencia es :
H ( s) =
Y (s) G(s) = U ( s ) 1 + G ( s)
La sensibilidad de H(s) con respecto a la ganancia de lazo K se define como:
S GH ( s) =
dH ( s) G ( s ) ⋅ dG ( s ) H ( s )
- 22 -
Por tanto, para el sistema de control que hemos considerado en este apartado (K=1), se tiene:
1
S ( s) = H G
G(s) 1+ 1 G ( s)
Como se ve, la sensibilidad es función de la variable compleja s. Es deseable formular un criterio de diseño sobre la sensibilidad en la forma siguiente:
| 1 | 1 G ( jω ) | S ( jω ) |= = ≤K | 1 + G ( jω ) | | 1 + 1 | G ( jω ) H G
donde K es un número real positivo. La ecuación anterior es análoga a la magnitud de la función de transferencia de lazo cerrado del módulo de H(jω), con G(jω) reemplazado por 1
G ( jω )
. Por tanto, la
ecuación de sensibilidad de la ecuación anterior se puede determinar al graficar
1
G ( jω )
en coordenadas polares a lo largo de los círculos de M constante, o graficar
1
G ( jω )
en las coordenadas magnitud-fase con la carta de Nichols.
La ecuación anterior también nos muestra que para sensibilidad baja, la ganancia de lazo de G(jω) debe ser alta, pero se conoce que en general, una ganancia alta podría causar inestabilidad. Por tanto, el diseñador nuevamente tiene el reto de diseñar un sistema tanto con un alto grado de estabilidad, como con una baja sensibilidad.
6.
ADICCIÓN DE POLOS Y CEROS
En este apartado vamos a estudiar como afecta al sistema la adicción de ceros y polos a la función de transferencia. Es simple estudiar los efectos de añadir ceros y polos a la función de transferencia en lazo cerrado; sin embargo, es más realista desde el punto de vista de diseño modificar la función de transferencia en lazo abierto. Nuestro estudio se centra a sistemas de segundo orden, nos centraremos en estudiar dichos sistemas. El diagrama de bloques con el que vamos a trabajar es el siguiente:
Por último decir que vamos a estudiar la función de transferencia en el dominio de Laplace, lo cual es extensible al dominio de la frecuencia con sólo hacer s=jw.
6.1. Efectos de la adición de un cero en la función de transferencia en lazo abierto
- 23 -
La función de transferencia en lazo cerrado del sistema prototipo de segundo orden viene dada por:
M ( s) =
ω n2 Y ( s) G ( s) = = 2 R( s ) 1 + G ( s) H ( s ) s + 2ζω n s + ω n2
Dicha ecuación se puede considerar como la de un sistema de control con realimentación unitaria de la función de transferencia en lazo abierto del sistema prototipo de segundo orden:
G(s) = Si se añade un cero en s = − 1
ω n2 s(s + 2ζω n )
a la función de transferencia anterior se convierte en:
T
G(s) =
ω n2 (1 + Ts ) s(s + 2ζω n )
Con lo que la función de transferencia de lazo cerrado quedaría de la siguiente forma:
M (s) =
ω n2 (1 + Ts ) s 2 + (2ζω n + Tω n2 )s + ω n2
Las expresiones exactas de los parámetros son difíciles de obtener en forma analítica, aunque el sistema aún es de segundo orden. Después de una obtención larga, el ancho de banda del sistema se encuentra como:
BW = − b +
b 2 + 4ω n4 2
en donde:
b = 4ζ 2ω n2 + 4ζω n3T − 2ω n2 − ω n4T 2 Esto se ve en sistemas de segundo orden pero en general se observa que: “El efecto general de añadir un cero a la función de transferencia en lazo abierto es incrementar el ancho de banda del sistema en lazo cerrado”. Sin embargo, sobre un intervalo de valores pequeños de T, el ancho de banda disminuye. Un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de levantamiento más rápido. Sin embargo, cuando T se hace más grande, el cero de la función de transferencia en lazo cerrado, que es s = − 1
T
, se mueve muy cerca del origen,
causando que el sistema tenga constantes de tiempo muy grandes. La situación en que el tiempo de levantamiento es rápido, pero la constante de tiempo larga del cero cercano al origen del plano s causa que la respuesta en el tiempo se arrastre para alcanzar el valor en el estado estable final (es decir, el tiempo de asentamiento será más largo). Vamos a ver con unos ejemplos sencillos otros efectos que no hemos comentado pero que se verán con mucha más claridad con las simulaciones. Hemos considerado que nuestra planta tiene la siguiente función de transferencia de orden dos con frecuencia natural ωn=2,4 y ζ=0,4:
G(s) =
1 1 = 2 2 s + 2ωnζs + ωn s + 1'92 s + 5'76 2
Ejemplo:
- 24 -
Vamos a añadir primeramente un cero en s = 2. Para eso con el MATLAB creamos el sistema realimentado en el que consideramos nuestro controlador como GC = s-2. Los comandos para generar nuestro sistema realimentado son: [num,dem]=ord2(2.4,0.4) sys=tf(num,dem) contr=tf([1 -2],[1]) sys1=sys*contr sr=feedback(sys1,1) bode(sys,'b',sys1,'r',sr,'g') Con estos comandos generamos un sistema sys que es la función de transferencia de la planta (que en los diagramas que aparecen posteriormente se dibujará en azul); un sistema sys1, que es la del sistema en lazo abierto (que se dibujará en rojo); y un sistema sr, que es el sistema realimentado (que se dibujará en verde). El diagrama de Bode de los tres sistemas será el siguiente: Bode Diagram
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
-80 180
Phase (deg)
90 0 -90 -180 -2
-1
10
0
10
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Como vemos en las gráficas un cero produce también un aumento de la ganancia y de la fase del sistema. Ahora observaremos como afecta el cero en s = 2 a la respuesta al escalón: Step Response 0.3 0.2 0.1
Amplitude
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Un comentario que hay que hacer a las gráficas que son respuesta al escalón es que para cada sistema se han utilizado distintos escalones de referencia. Esto es debido al comando step del Matlab. Aún así es fácil ver como la adicción de un cero supone un aumento en el sobreimpulso, que se ve aumentado aún más al producirse la realimentación. Además el tiempo de subida es menor. Además se ve que el cero no afecta a la estabilidad, aunque dicho cero sea inestable, ya que todos los sistemas son estables. Ahora vamos a pasar a estudiar la adición de un cero en s = -2. Para poder simularlo no tenemos más que cambiar el sistema sys1, y en vez de multiplicar la función de transferencia de la planta por s-2, multiplicaríamos por s + 2. El diagrama de Bode para este caso sería:
- 25 -
Bode Diagram 20
Magnitude (dB)
0 -20 -40 -60 -80 45
Phase (deg)
0 -45 -90 -135 -180 -2
-1
10
0
10
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Vemos que aunque el cero sea ahora estable la ganancia y la fase siguen aumentando. En cuanto a la respuesta al escalón, tendríamos la siguiente gráfica: Step Response 0.7
0.6
Amplitude
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
En esta gráfica podemos ver como el sistema sigue siendo estable, el sobreimpulso del sistema realimentado aumenta con respecto a la planta, pero disminuye con respecto al lazo abierto, pero el tiempo de subida sigue siendo menor que en el sistema en lazo abierto. 6.2. Efectos de la adición de un polo en la función de transferencia en lazo abierto Añadir un polo en s = − 1
T
a la función de transferencia de la trayectoria directa lleva
a:
G(s) =
ω n2 s(s + 2ζω n )(1 + Ts )
Ya que el sistema es ahora de tercer orden, se puede hacer inestable para un cierto conjunto de parámetros del sistema. Para valores pequeños de T, el ancho de banda del sistema se incrementa ligeramente por la adición del polo. Cuando T se vuelve más grande, el polo añadido a G(s) tiene el efecto de disminuir el ancho de banda. Se puede concluir que en general: “El efecto de añadir un polo a la función de transferencia en lazo abierto hace que el sistema en lazo cerrado sea menos estable, mientras que disminuye el ancho de banda” Se tienen las siguientes relaciones: 1. El tiempo de subida se incrementa con la disminución del ancho de banda.
- 26 -
2. Los valores grandes de Mr también corresponden a un sobreimpulso máximo grande en las respuestas al escalón unitario. La correlación entre Mr y el sobreimpulso máximo de la respuesta al escalón tiene sentido solamente cuando el sistema es estable. Ahora pasamos a ver algunas simulaciones. La función de transferencia de la planta es la misma que hemos utilizado en el caso de la adición de polos. Vamos a empezar añadiendo un polo en s=2. Como antes veremos como afecta al diagrama de Bode: [num,dem]=ord2(2.4,0.4) sys=tf(num,dem) contr=tf([1],[2 1]) sys1=sys*contr sr=feedback(sys1,1) bode(sys,'b',sys1,'r',sr,'g') Bode Diagram 0
Magnitude (dB)
-20 -40 -60 -80 -100 -120 0
Phase (deg)
-90 -180 -270 -360 -1
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Vemos que cuando añadimos un polo el efecto es una disminución de la ganancia y de la fase del sistema. Ahora pasamos a comentar el efecto que produce en la respuesta al escalón: step(sys,'b',sys1,'r',sr,'g') Step Response 1 0.9 0.8 0.7
Amplitude
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Como sabemos, es un polo inestable por lo que nos inestabilizará el sistema tanto en lazo abierto como en lazo cerrado. Esto se ve muy bien en la gráfica ya que para una entrada finita, nuestro sistema tiene una salida infinita. Como vemos el sobreimpulso no afecta en este caso ya que la salida se va al infinito. Ahora pasamos a estudiar las gráficas cuando añadimos un polo en s=-2. El diagrama de Bode será el siguiente:
- 27 -
En este caso vemos como también disminuye la ganancia y la fase del sistema cuando le añadimos este polo. La respuesta al escalón será la siguiente:
En este caso vemos como el sistema sigue estable, ya que le hemos introducido un polo estable y por tanto no se modifica la estabilidad del sistema. En cuanto al sobreimpulso se muestra en la gráfica que al contrario de lo que pasa cuando introducíamos un cero, en este caso disminuye. Con respecto al tiempo de subida tenemos que dicho tiempo se incrementa como habíamos comentado antes.
7.
ESTUDIO DE SISTEMAS MODIFICADOS
En este apartado vamos a estudiar como afectan a un sistema unas condiciones impuestas. En concreto, estudiaremos el caso de sistemas en los que tenemos perturbaciones y condiciones iniciales no nulas. 7.1. Perturbaciones Supongamos que tenemos el siguiente sistema:
d
+
GC
+
GP
Para poder estudiar dicho sistema aplicamos el principio de superposición. Dicho principio es aplicable gracias a la linealidad de los sistemas que nosotros estamos estudiando. Por tanto, definimos las siguientes funciones de transferencia, en las cuales consideramos la otra entrada nula:
- 28 -
GC G P YR = R 1 + GC G P Y GP R = 0 ⇒ GD = D = R 1 + GC G P D = 0 ⇒ GR =
Por el principio de superposición tendremos:
Y = YR + Y D Nuestro objetivo será diseñar un controlador que haga que la señal de salida siga a la de referencia. Para conseguir esto, lo más sencillo es hacer que:
GR → 1 y que:
GD → 0 Así conseguimos que Y=YR=R. Esto se consigue si |GCGP|>>1. Si imponemos está condición en GD, tenemos que:
GD →
1 GC
Por tanto para que se cumplan las dos condiciones para que nuestra señal de salida sea igual a la de referencia, tenemos que hacer:
GC → ∞ Esto no es realizable realmente, pero es posible aproximarse. Consideramos ahora el sistema con dos perturbaciones:
d GC
GP
+
n +
Con el esquema anterior tenemos que estudiar tres funciones de transferencia, que son las siguientes:
GC G P YR = R 1 + GC G P Y GC G P D = 0, R = 0 ⇒ G N = N = − N 1 + GC G P Y GP R = 0, N = 0 ⇒ G D = D = R 1 + GC G P D = 0, N = 0 ⇒ G R =
Con lo que tendríamos que la salida sería:
Y = Y R + YD + Y N Ahora tendremos que hacer que GN y GD se hagan cero mientras GR se hace uno, cosa que es imposible hacer con el esquema antes puesto, ya que GN es igual a -GR. Lo que necesitamos es un sistema con dos grados de libertad, ya que si tenemos dos controladores podremos eliminar las dos perturbaciones y conseguir que la salida siga a la referencia. 7.2. Condiciones iniciales no nulas Nuestra pregunta ahora es: ¿cómo influyen las condiciones iniciales distintas de cero a nuestro sistema?
- 29 -
Debido a la propiedad de la transformada de Laplace de la derivada de orden n de una función:
L{f ( n (t )} = s n F ( s ) − s n −1 F (0) − s n − 2 F ' (0) − ... − sF ( n − 2 (0) − F ( n −1 (0)
tenemos que las condiciones iniciales de la transformada de Laplace de la entrada influirán en la salida. Cuando se calcula la función de transferencia se supone que las condiciones iniciales son nulas. Cuando tenemos condiciones iniciales distintas de cero, para hallar la función de transferencia suponemos que son nulas y después añadimos dichas condiciones ya que se cumple el principio de superposición. Estas condiciones iniciales implican una traslación a la salida. El MATLAB no te deja ponerle condiciones iniciales directamente a la función de transferencia, pero si te deja en el espacio de estados, así que lo que hemos hecho ha sido convertir una función de transferencia de orden 2 con una frecuencia natural ωn=1 y ζ=0,5 y la hemos convertido al espacio de estados. Una vez echo esto, hemos conseguido establecerle las condiciones iniciales gracias al comando inicial del MATLAB. Los comandos del MATLAB han sido los siguientes: [num,dem]=ord2(1,0.5) sys=tf(num,dem) s1=ss(sys) initial(s1,[3;2]) Con estos comandos se genera la siguiente gráfica que ilustra la traslación que hemos hablado antes: Response to Initial Conditions 3.5
3
2.5
Amplitude
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
Time (sec)
8.
SISTEMAS NO LINEALES CON RETARDOS PUROS
Los sistemas en lazo cerrado con retardo en los lazos por lo general están sujetos a mayores problemas de estabilidad que los sistemas sin retardos. Ya que un retardo puro Td se modela con la función de transferencia e-sTd, la función característica del sistema ya no tendrá coeficientes constantes. Por tanto el criterio de Routh-Hurwitz no es aplicable. El método del lugar geométrico de las raíces- aunque no ha sido tratado en este trabajo- se podría aplicar a este tipo de sistemas, pero la construcción del lugar geométrico de las raíces es muy compleja. Se mostrará un ejemplo de la aplicación del criterio de Nyquist para determinar la estabilidad de este tipo de sistemas utilizando MATLAB. Vamos a modelar este tipo de sistemas con la siguiente función de transferencia: L(s)=L1(s)e-Tds
- 30 -
Donde L1(s) es una función racional de s con coeficientes constantes, y Td es el tiempo de retardo puro en segundos. La estabilidad del sistema puede ser investigada al construir la traza de Nyquist de L(s) y al observar su comportamiento con respecto al punto (-1, j0). El efecto del término exponencial es que rota el fasor L1(jω) en cada ω por un ángulo ωTd radianes en sentido horario. Sin embargo, la amplitud de L1(jω) no se afecta por el retardo, ya que la amplitud de e-jωTd es unitaria para todas las frecuencias. La mayoría de los sistemas de control son del tipo 1 o mayor, la magnitud de L(jω) usualmente se aproxima a cero cuando ω se aproxima a infinito. Por lo que la traza de Nyquist de la función de transferencia anterior a menudo es una espiral hacia el origen en sentido horario cuando ω se aproxima a infinito, y existe un número infinito de intersecciones con el eje real del plano L(jω). Una vez que se construye la traza de Nyquist de L(jω), la estabilidad del sistema se determina de la forma usual investigando el ángulo Φ11. Vamos a verlo con un ejemplo. L(s)=L1(s)e-Tds =
e - Tds s(s + 1)(s + 2)
La siguiente imagen de las trayectorias de Nyquist la hemos obtenido con los siguientes comandos del MATLAB, suponiendo tiempos de retardo distintos: sys1 = tf(1,[1 3 2 0]); % TF of 1/s(s+1)(s+2) sys2 = tf(1,[1 3 2 0]); sys1.inputd = 2,09; % 2,09 sec input delay sys2.inputd = 10; sys1.outputd = 0; % 0 sec output delay. No es necesaria td = totaldelay(sys1) % td = 2,09 sec nyquist(sys1,'g',sys2,'r'); Nyquist Diagram 10 8 6
Imaginary Axis
4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
La figura muestra un detalle de las trazas de Nyquist para dos valores de Td ( en color verde, para un tiempo de retardo a la entrada de 2,09 segundos y en rojo para 10 segundos). Si el retardo fuese cero dicho sistema sería estable. La condición de estabilidad se deteriora conforme Td se incrementa, debido a la intersección de L(jω) sobre el eje real, al aproximarse al punto (-1, j0). Cuando Td = 2,09 segundos, el diagrama pasa a través del punto (-1, j0). El sistema es inestable cuando Td es mayor que 2,09 segundos, puesto que el punto (-1,j0) está encerrado(en este caso, hemos elegido un tiempo demasiado grande para que se apreciaran los cambios en la gráfica) . Omitimos el desarrollo matemático del cálculo de las intersecciones con el eje real para distintos valores de frecuencia de la función de transferencia que hemos utilizado como ejemplo.
- 31 -
Trayectoria crítica: Antes hemos deducido gráficamente a partir de la traza de Nyquist cuál era el margen de retardo que admitía el sistema para ser estable fijándonos en el punto (-1, j0), ahora vamos a tratar de calcularlo. Recordemos al principio del apartado anterior el modelado de los sistemas con retardo. Las raíces de la ecuación característica satisfacen: L(s)=L1(s)e-Tds = -1 El segundo miembro de esta ecuación señala el hecho de que (-1,j0) es el punto crítico para el análisis de la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Rescribiendo la ecuación: L1(s)= -eTds Cuando s =jω , el primer miembro de esta ecuación da la traza de Nyquist de la función de transferencia de lazo cerrado cuando no hay tiempos de retardo. El término de exponencial tiene magnitud de uno para cualquier valor de ω, y su fase es de –ωTd radianes. Por lo que el segundo miembro de esta última ecuación describe una trayectoria crítica, que es un círculo con radio unitario, y centrado en el origen del plano L1(jω). Cuando ω = 0, la trayectoria comienza en el punto (-1, j0), conforme ω se incrementa, el punto crítico traza un círculo unitario en sentido horario. Utilizando la función del ejemplo anterior, nuestro problema se centraría ahora en encontrar el margen de retardo permitido en nuestro sistema para que sea estable. El ejemplo siguiente ilustra la aplicación del criterio de Nyquist al estudio de estabilidad de un sistema en lazo cerrado con un retardo puro. Aproximación de eTds: Para las técnicas de análisis y diseño que requieren una función racional, se puede aplicar o bien una simple aproximación en series de potencias o la aproximación de Padé del tiempo de retardo. Se emplean las gráficas en el dominio de la frecuencia para evaluar la exactitud de este tipo de aproximaciones. Con MATLAB, es muy sencillo programarlo, ya que en la versión 6.5 disponemos de funciones específicas para ello: pade(sys , orden.aprox) Tomamos como referencia el siguiente sistema de orden 2: L(s)=L1(s)e-Tds =
e -Td s s 2 + 2s + 1
Ahora se trata de comparar el diagrama de Nyquist para un sistema con un retardo de tal forma que sea estable (por ejemplo, Td =1,5s) con la aproximación y sin ella. A partir de diversas simulaciones, se concluye que la aproximación empeora cuanto más grandes son los retardos (en el ejemplo se comprueba que esto ocurre para tiempos que sobrepasan los 8 segundos). %Cálculo de la aproximación de Pade de un sistema con retardo sys = tf(1,[1 2 1]); % TF of 1/s^2+ 2s+ 1 sys.inputd = 1.5; % 1.5 sec input delay sysPade1 = pade(sys,1) %aproximación de orden 1 sysPade5 = pade(sys,5) %aproximación de orden 5 nyquist(sys,'r',sysPade1,'b', sysPade5,'g');
- 32 -
Nyquist Diagram 1 0.8 0.6 0.4 Imaginary Axis
Aproximación de Pade de un sistema con retardo
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
La aproximación de orden 5 ya es similar a la función original, no así la función con la aproximación de primer orden.
9.
TÉCNICAS CLÁSICAS DE CONTROL
9.1. Compensación por adelanto de fase Para disminuir la amplificación a altas frecuencias de un controlador PD, se añade un polo a frecuencias más altas que la de corte del propio compensador PD. Entonces la fase se incrementará (o se adelantará), pero sí conseguiremos limitar la amplificación a altas frecuencias. El compensador por adelanto tendrá la siguiente función de transferencia: D(s)= K
Ts + 1 , αTs + 1
donde α<1.
La contribución de fase de este compensador es de :
Φ = tan −1 (Tω ) − tan −1 (αTω ) La frecuencia donde la fase es máxima es: Y la fase máxima es:
sin Φ max =
1−α 1+α
ω máx = 1
T α
Procedimiento de diseño de un compensador de adelanto CASO 1: Diseño para una ganancia en bajas frecuencias (especificación del error en régimen estacionario ess) 1. Determinar la ganancia en lazo abierto K que satisface los requisitos del error. CASO 2: Diseño teniendo en cuenta el ancho de banda del sistema en lazo cerrado. 1. Determinar la frecuencia de cruce de tal forma que esté por debajo del ancho de banda deseado para el lazo cerrado (un factor de dos). 2. Evaluar el margen de fase del sistema sin compensar usando el valor de K calculado en el primer paso. 3. Permitir un margen de fase extra, entre 5º y 12º, y determinar el adelanto de fase necesario Φmax . 4. Determinar α . 5. Establecer la nueva frecuencia de cruce a ωmax 6. Mediante la respuesta en frecuencia del sistema compensado, se comprueba el margen de fase y se ajusta el diseño si fuera necesario.
- 33 -
Ejemplo de diseño de un compensador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia La siguiente función de transferencia podría modelar un motor de continua:
G (s) =
1 s(s + 1)
Las especificaciones de diseño son: - Error en régimen estacionario menor que 0,01 cuando tenemos a la entrada una señal rampa. - El margen de fase es de 45º. Diseño: El error en régimen estacionario viene dado por:
1 1 1 e ss = s lim 0 s. = 2 D(0) 1 + D(s)G (s) s Asignamos K =10 en la ecuación de la función de transferencia del compensador. Como podemos ver en el diagrama de Bode de KG(s),
Diagrama de Bode de la función 10/s (s+1)
sys2 = tf(1,[1 1 0]) [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys2) Gm =Inf Pm =17.9642 Wcg = Inf Wcp = 3.0842 Da como resultado un margen de ganancia infinito y el margen de fase (PM) es 18. Para llegar a un margen de fase de 45º, necesitamos añadir una fase de 27º a la frecuencia 3 rad / s. De todas formas para mantener la ganancia en bajas frecuencias, se añade todavía más fase, por lo tanto Φmax = 40º. De sin Φ max =
1−α 1+α
, tenemos 1/α=4,022
Fijamos la nueva frecuencia de cruce en 3 rad/s, por lo que T = 1/ ω α ~ 0,17 El compensador de adelanto es: D(s)= 10
0,17s + 1 0,0413s + 1
El diagrama de Bode del sistema compensado y sin compensar es:
- 34 -
Diagrama de Bode del sistema compensado con una red de adelanto
El nuevo margen de fase es de 26,516, el margen de ganancia infinito y ωcp =1,92 rad/s 9.2. Compensación por atraso de fase La compensación por retraso de fase se aproxima al control proporcional integral. La función de transferencia de este tipo de compensadores viene dada por: D(s)= α
Ts + 1 , αTs + 1
donde α >1. El principal objetivo de una red por atraso de fase es proporcionar una ganancia adicional de +20log α en el rango de las bajas frecuencias y permitir que el sistema tenga suficiente margen de fase. Proceso de diseño de un controlador por atraso de fase 1. Determinar la ganancia en lazo abierto, K, a partir de la que sabremos el margen de fase sin compensación. 2. Dibujar el diagrama de Bode del sistema sin compensar y evaluar la ganancia en bajas frecuencias. 3. Determinar α para conocer la ganancia a bajas frecuencias. 4. Elegir la frecuencia 1/T (la que anula el compensador) de tal manera que esté de una octava a una década por debajo de la nueva frecuencia de corte. 5. El otro valor límite de la frecuencia (el polo) es de1/αT 6. Repetir el diseño y ajustar parámetros Repitamos el ejemplo utilizado en el adelanto de fase: Para cumplir el requisito del error en estado estacionario se utiliza K=10. La tarea del diseñador consiste en elegir el tipo de compensación por retraso de tal manera que la frecuencia de cruce sea más baja y tengamos mejores resultados en el margen de fase. Para prevenir los efectos negativos del retraso de fase, los valores de los polos y ceros que se añaden deben ser mucho más bajos que la nueva frecuencia de cruce. Una posible solución sería que el cero estuviese a 0,1rad/s y el polo a 0,01 rad/s. Con esta selección de parámetros tenemos un margen de fase de 50º. Se representan los diagramas de Bode del sistema sin compensar y compensado.
- 35 -
9.3. Controladores PD, PI, PID: Diseño con el controlador PD Interpretación en el dominio de la frecuencia Para el diseño en el dominio de la frecuencia, la función de transferencia del controlador PD se escribe como:
K G ( s ) = K p + K D ( s ) = K p 1 + D s K p en general, la ganancia del controlador proporcional Kp se puede combinar con una ganancia en serie del sistema, para que la ganancia en frecuencia cero del controlador PD sea la unidad. Un controlador PD tiene características de un filtro paso altas. La propiedad de adelanto de fase se puede utilizar para mejorar el margen de fase de un sistema de control. El efecto negativo es que la característica de magnitud del controlador PD empuja la frecuencia de cruce de ganancia a un valor más alto. Por tanto, el principio de diseño del controlador PD involucra el localizar la frecuencia de corte del controlador, ω=Kp /KD, tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de corte de ganancia. Para un sistema dado existe un intervalo de valores de Kp /KD que es óptimo para mejorar el amortiguamiento del sistema. Otra consideración práctica al seleccionar los valores de Kp y KD está en la implementación física del controlador PD. Otro efecto aparente del control PD en el dominio de la frecuencia es que debido a las características del filtro paso altas, en la mayoría de los casos incrementa el ancho de banda del sistema y reduce el tiempo de respuesta al escalón. La desventaja práctica del controlador PD es que la parte diferencial es un filtro paso altas, el cual usualmente acentúa el ruido en alta frecuencia que se introduce por la entrada. Ejemplo de diseño en el dominio de la frecuencia. Considerar el sistema de tercer orden:
G(s) =
2.718.10 9 ( Kp + K D s ) s( s 2 + 3408.3s + 1204000)
- 36 -
A partir de las trazas de Bode del sistema en lazo abierto Kp=1, KD=0, se obtienen los siguientes parámetros del sistema sin compensar: Margen de ganancia: 3.6dB Margen de fase = 7,77º Pico de resonancia Mr =7,62 Ancho de banda =1410rad/s Cruce de ganancia 889rad/s Cruce de fase =1104rad/s
Los requisitos para el diseño en frecuencia de nuestro sistema son: Error en estado estable debido a una rampa unitaria ≤ 0,00443 Margen de fase ≥ 80º Pico de resonancia Mr ≤ 1,05 BW ≤ 2000rad / s El controlador PD debe aportar una fase adicional de 72,23º, esta fase adicional se debe colocar en la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado. La fase adicional está siempre acompañada de una ganancia en la magnitud. Por lo tanto el cruce de ganancia será trasladado a una frecuencia más alta. Resumen de las características en el dominio de la frecuencia para distintos valores de Ki y KD KD
MG(dB)
MF(º)
Mr
BW(rad/s)
0 0,002 0,05
3,6 infinito infinito
7,77 58,42 16,69
7,62 1,07 3,34
1410 2604 17990
- 37 -
Cruce de Ganancia(rd/s) 889 1620 11521
Cruce de fase (rd/s) 1100 infinito infinito
Conclusiones. Situaciones en las que el controlador proporcional puede no ser efectivo: Si el sistema original tiene muy poco amortiguamiento, o es inestable, el control PD a veces no resulta efectivo para mejorar la estabilidad del sistema. Otra situación en la que este tipo de control puede no ser efectivo es si la pendiente de la curva de fase cerca de la frecuencia de cruce de ganancia es grande, entonces la rápida disminución del margen de fase debido al incremento del cruce de ganancia es grande; entonces la rápida disminución del margen de fase debido al incremento del cruce de ganancia de la ganancia añadida por el controlador PD puede hacer que la fase adicional no sea útil. Sys1= 2.718*1000000000*tf( [0.002 1],[1 3408.3 1204000 0] ) Sys2= 2.718*1000000000*tf( [0.05 1],[1 3408.3 1204000 0] ) Sys3= 2.718*1000000000*tf( 1,[1 3408.3 1204000 0] ) cloop1=feedback(Sys1,1) cloop2=feedback(Sys2,1) cloop3=feedback(Sys3,1) step(cloop1,'g', cloop2,'r',cloop3,'b') Respuesta a una entrada escalón del sistema en lazo cerrado, para los valores de KD descritos anteriormente Step Response 1.8 1.6 1.4
Amplitude
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Time (sec)
Diseño con el controlador PI En muchos problemas puede resultar muy útil mantener el ancho de banda pequeño y reducir el error en estado estacionario. Para este propósito se emplean los controladores integrales proporcionales, PI, o los compensadores de atraso. La función de transferencia de un controlador proporcional es:
G(s) = K p +
Ki s
Vamos a utilizar la misma función de transferencia del controlador PD, los datos del diseño del sistema no compensado son iguales. Se requiere que el sistema compensado tenga un margen de fase de al menos 65º. Seguimos el siguiente procedimiento de diseño: § Buscar la nueva frecuencia de cruce de ganancia ωg’ en la que se logra el margen de fase de 65º. En este caso podemos ver en la siguiente figura que es de 163 rad/s, y la magnitud de G(jω) es de 22,5 dB. Por tanto el controlador debe proporcionar una atenuación de –22,5 dB en ωg’=163 rad/s, obtenemos un valor de la constante de proporcionalidad de:
Kp = 10−|G( jω )|/ 20 = 0,075 §
Es aconsejable utilizar un valor de la constante de la parte integral de tal manera que KI/ Kp corresponda a una que es al menos una década, algunas
- 38 -
veces hasta dos décadas por debajo de ωg’. Esta elección depende de lo que se prefiera en cuanto al ancho de banda y la implementación del circuito. Por lo tanto tenemos KI =
ωg ' Kp 10
=1,22
Notas: Si reducimos Kp, se reduce el BW y aumenta el pico de resonancia. Simulación con MATLAB:
Diagrama de Bode del sistema compensado con el controlador PI
Ahora vamos a ver la respuesta al escalón de distintos valores de Ki y Kp Sysini= 2.718*1000000000*tf( 1,[1 3408.3 1204000 0] ) SysPI1=tf([0.075 1.22],[1 0]) SysPI2=tf([0.075 0.075 ],[1 0]) SysPI3=tf([0.04 0.6],[1 0]) Sys1=Sysini*SysPI1 Sys2=Sysini*SysPI2 Sys3=Sysini*SysPI3 cloop1=feedback(Sys1,1) cloop2=feedback(Sys2,1) cloop3=feedback(Sys3,1) %margin(Sys1) Se ejecuta para la figura anterior step(cloop1,'g',cloop2,'r', cloop3,'b') En verde se ve la respuesta al escalón para el sistema que hemos calculado. Step Response 1.4
1.2
1
Amplitude
Respuesta al escalón de distintos compensadores PI
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Time (sec)
Compensación PID Para problemas que necesiten mejora del margen de fase a la frecuencia de corte ωc y además de una mejora en la ganancia a bajas frecuencias, resulta efectivo usar los
- 39 -
dos tipos de compensadores descritos en apartados anteriores, el de adelanto y el de retraso. Mediante la realimentación de un integrador y de un derivador, obtendremos in controlador PID, tal que: KI K = (1 + K D1s)( K p 2 + I 2 ) s s
G (s ) = K p + K D s +
Vamos a comentar brevemente los pasos del diseño en el dominio de la frecuencia: § La constante proporcional de la parte PD se hace unitaria, ya que sólo se necesitan tres parámetros en el controlador PID. Se tiene a partir de la ecuación anterior: Kp = kp2+KD1KI2 KD=KD1Kp2 KI = KI2 §
Considerar que sólo opera la parte PD. Seleccionar el valor de KD1 para lograr una parte de la estabilidad relativa deseada. En el dominio de la frecuencia la estabilidad relativa se mide con el margen de fase. § Selección de Ki2 y Kp2. Se trabaja con el ejemplo de los apartados anteriores Sysini= 2.718*1000000000*tf( 1,[1 3408.3 1204000 0] ) SysPID =tf([0.0006 0.309 4.5],[1 0]) %KD=0,0006, KI=4,5 , Kp=0,309 Sys1=Sysini*SysPID cloop1=feedback(Sys1,1) margin(Sys1) step(cloop1,'g') Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 71.5 deg (at 579 rad/sec) 200
Magnitude (dB)
150 100 50
Diagrama de Bode del sistema compensado con PID
0 -50
-120
-150
-180 -1
10
10
0
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Frequency (rad/sec)
Step Response 1.4
1.2
1
Respuesta al escalón con el controlador PID
Amplitude
Phase (deg)
-100 -90
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04 Time (sec)
- 40 -
0.05
0.06
0.07
0.08
Métodos de Ziegler-Nichols (2º Método) En este caso sólo analizaremos el método de la respuesta frecuencial, usando los márgenes de estabilidad, este método se basa en determinar el punto de la curva de Nyquist , para la función de transferencia G(s), en el que dicha curva interseca el eje real negativo(punto de estabilidad relativa). Una vez obtenido este punto, se caracteriza por medio de dos parámetros denominados: ganancia crítica ku y periodo crítico Tu (se analiza la estabilidad del sistema con Routh). Este método se fundamenta en la observación de que muchos sistemas se hacen inestables cuando se hace un control proporcional con ganancia elevada. El método de determinación de los parámetros del regulador PID se resume en los siguientes pasos: 1. Se cierra el bucle de realimentación con un regulador de tipo proporcional. Se va aumentando la ganancia del regulador proporcional hasta que se obtiene la ganancia crítica Ku en la que se presenta una respuesta oscilatoria. Para esta ganancia, se calcula el periodo crítico Tu de la señal de salida oscilatoria.
2. Se determinan los valores de los parámetros del controlador a partir de Tu y Ku. Los valores propuestos por Ziegler y Nichols son: Controlador P PI PID
K 0,5Ku 0,4Ku 0,6Ku
Ti
Td
0,8Tu 0,5Tu
0,125Tu
Además de Ziegler-Nichols existen otra técnicas de sintonización de controladores PID: por ejemplo Young , Atkinson,..., aunque son menos utilizadas.
10. MODELADO DE UN MOTOR DE CC 10.1. Ecuaciones físicas del sistema Un actuador mecánico muy difundido es el motor de CC. Provee directamente movimiento rotacional y, adecuadamente acondicionado, movimiento traslacional. El circuito eléctrico de armadura y el diagrama mecánico rotacional, se muestran en la figura:
Para el ejemplo se consideraron los siguientes parámetros: * momento de inercia del sistema (J) = 0.01 Kg.m2/s2 * coeficiente de roce (b) = 0.1 Nms * constante de fuerza electromotriz (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp * resistencia de armadura (R) = 1 ohm * inductancia de armadura (L) = 0.5 H
- 41 -
* entrada (V): Fuente de Tensión * posición del eje: Θ * Se supone rotor y eje rígidos. La cupla (T) está relacionada con la corriente de armadura y la fem (e) con la velocidad de rotación, según las ecuaciones:
siendo ambas constantes iguales (Kt=Ke=K) En base a la ley de Newton y la ley de Kirchoff, resultan las siguientes ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema:
Función de Transferencia Aplicando la Transformada de Laplace y haciendo cero las condiciones iniciales, las ecuaciones del sistema quedan expresadas en el dominio de s:
Eliminando I(s) se obtiene la transferencia entre la entrada de tensión de armadura V y la velocidad de rotación Θ como salida:
Este sistema está simplificado para que sea de segundo orden y podamos trabajar más fácilmente con él. 10.2. Método de Diseño de un PID para Control de Velocidad de un Motor CC El diagrama esquemático del sistema compensado:
El sistema a lazo cerrado debe cumplir las siguientes especificaciones · tiempo de establecimiento de 2 seg · sobrepaso menor que el 5% · Error de estado estacionario 1%
- 42 -
El objetivo de esta sección será diseñar un controlador PID que permita verificar las especificaciones. Como primer paso crearemos el siguiente archivo .m: J=0.01; b=0.1; K=0.01; R=1; L=0.5; num=K; den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; Correspondiente al sistema a lazo abierto y recordando que la transferencia del PID es de la forma:
Control Proporcional Probemos primero un control proporcional con ganancia 100. Para ello hay que agregar los siguientes comandos al final del archivo .m: Kp =100; numa=Kp*num; dena=den; [numac,denac]=cloop(numa,dena); t=0:0.01:5; %respuesta al escalón en lazo cerrado step(numac, denac ,t) title('Step response with Proportional Control') siendo los vectores numac y denac el numerador y denominador de la transferencia a lazo cerrado. Resultando: Step response w ith Proportional Control 1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
Control PID Puede observarse que el error de estado estacionario y el sobrepaso son excesivos. Es sabido que agregando un término integral se elimina el error de estado estacionario al escalón, mientras que un término derivativo, adecuadamente sintonizado, puede reducir el sobrepaso. Probemos entonces con un controlador PID con bajas ganancias KI y KD. Para ello hay que modificar el archivo .m de la siguiente manera: J=0.01; b=0.1; K=0.01; R=1; L=0.5; num=K;
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den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; Kp=100; Ki=1; Kd=1; numc=[Kd, Kp, Ki]; denc=[1 0]; numa=conv(num,numc); dena=conv(den,denc); [numac,denac]=cloop(numa,dena); step(numac,denac) title('PID Control with small Ki and Kd') resultando PID Control w ith small Ki and Kd 1 0.9 0.8 0.7
Amplitude
0.6
PID con valores de Ki y Kp pequeños
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
50
100
150
200
250
300
350
Time (sec)
10.3. Sintonía Ahora el tiempo de establecimiento es muy largo, por lo que incrementaremos KI a 200. Modificando este valor en nuestro archivo y ejecutándolo se obtiene:
siendo una respuesta mucho más rápida que la anterior, pero a costa de aumentar el sobrepaso. En consecuencia, para reducirlo, incrementaremos el valor de KD a 10 en el archivo .m: Resultando:
- 44 -
Kp=100, Ki=200, Kd=10, una sintonía adecuada para cumplir los requerimientos de diseño. 10.4. Método de Diseño Frecuencial para Control de Velocidad de un Motor CC Aquí se tratará el diseño de un compensador para el motor de CC, con métodos en el dominio de la frecuencia. Consideraremos las mismas especificaciones de diseño. El primer paso es crear un archivo .m que contenga el modelo de la planta a lazo abierto. J=0.01; b=0.1; K=0.01; R=1; L=0.5; num=K; den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; Diagrama de Bode La idea principal de este método de diseño es utilizar el diagrama de Bode de la planta a lazo abierto para estimar su comportamiento a lazo cerrado. La idea entonces será agregar un compensador que modifique adecuadamente el Bode de lazo abierto de modo que la respuesta de lazo cerrado del conjunto cumpla con las especificaciones de diseño. Por consiguiente, el primer paso es graficar el Bode de la planta a lazo abierto, para ello hay que incluir el siguiente comando a nuestro archivo: bode(num,den) Ejecutándolo: Bode Diagram -20
Magnitude (dB)
-40 -60 -80
Diagrama de Bode de la función de transferencia del motor en lazo abierto
-100 -120 0
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -1
10
0
10
10
1
10
2
3
10
Frequency (rad/sec)
- 45 -
Agregado de un controlador proporcional Del Bode puede observarse que la ganancia en continua es del orden de 0.1 (aproximadamente –29 dB), lo cual resulta en un importante error en estado estacionario. Además, el margen de fase (MF) puede ser mayor a 60 grados si ω es menor que 10 rad/s. En consecuencia, agregando ganancia de forma tal que el ancho de banda sea de 10 rad/s, resulta un MF de aproximadamente 60 grados. También puede observarse que el margen de ganancia (MG) en ω =10 rad/s es levemente mayor a -40 dB, (0.01 en magnitud). El comando bode invocado con argumento a izquierda, retorna las magnitudes exactas: [mag,phase,w] = bode(num,den,10); mag =0.0139 Por lo tanto, para tener ganancia 1 a ω =10 rad/s, basta con multiplicar el numerador por 1/0.0139 o sea aproximadamente por 70. num = 70* num. y reejecutar el archivo .m: Resultando una ganancia en continua aproximada de 7. Respuesta en lazo cerrado Para ver el comportamiento a lazo cerrado hay que agregar los siguientes comandos: [numc,denc]=cloop(num, den, -1); t=0:0.01:10; step(numc ,denc ,t) Ejecutando, se obtiene: Step Response 1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
El tiempo de establecimiento es corto, pero el sobrepaso y el error de estado estacionario son inadmisibles. El sobrepaso podría reducirse disminuyendo levemente la ganancia (y así aumentar el margen de fase), pero esto tendría el efecto adverso de incrementar el error de estado estacionario. Por consiguiente, un controlador por atraso de fase parecería adecuado. Agregado de un controlador por atraso de fase El controlador por atraso permitirá aumentar la ganancia en continua (a los efectos de reducir el error de estado estacionario) y, simultáneamente, disminuir la ganancia en la zona de frecuencias de interés (respecto de la propuesta con K=70), de tal modo que el MF aumente (reduciendo el sobrepaso). Para el diseño entonces, propongamos una ganancia proporcional algo menor a la del caso anterior de unas 50 veces, e incluyamos en cascada un controlador cuya transferencia sea:
s +1 s + 0.1
Se observa que este control a aporta una ganancia de 10 en continua (que, conjuntamente con los 50, resulta en una ganancia en bajas frecuencias de 500,
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reduciendo el error en estado estacionario 500/70=7.1 veces respecto del caso proporcional puro). La frecuencia de corte es menor a ω =10 rad /s, incrementándose el MF y reduciéndose el sobrepaso. El único inconveniente podría surgir por el aumento en el tiempo de establecimiento, aunque el sistema parece no estar muy comprometido en este sentido. Para ver el Bode resultante, incluir: den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; num=50*K; z=1; p=0.1; numa=[1 z]; dena=[1 p]; numb=conv(num,numa); denb=conv(den,dena); bode(numb,denb) Bode Diagram 40
Magnitude (dB)
20 0 -20 -40 -60 -80 0
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -3
-2
10
-1
10
10
10
0
1
2
10
3
10
10
Frequency (rad/sec)
Ahora, el MF parece aceptable y el error de estado estacionario es del orden de 1/40dB o 1%. Para cerrar el lazo y poder observar la respuesta obtenida, se agrega: [numc,denc]=cloop(numb, denb, -1); t=0:0.01:10; step(numc,denc,t) Step Response 1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
Finalmente, la respuesta a lazo cerrado cumple con las especificaciones: error de estado estacionario menor que 1%, sobrepaso cercano al 5% y tiempo de establecimiento de unos 2s.
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BIBLIOGRAFÍA: Automatic Control Systems. Bejamin C. Kuo. Ed. CECSA Control de sistemas dinámicos con realimentación. Gené F. Franklin. Ed. AddisonWesley Iberoamericana Ingenería de Control Modelado y Control de Sistemas dinámicos. Luis Moreno, Santiago Gumido, Carlos Balaguer. Ed. Ariel Sistemas Realimentados de Control: Análisis y Síntesis. D’azzo – Houpis. Ed. Paraninfo Sistemas de Control. Manuel Montero del Pino. Servicio de publicaciones de la ETSIT.
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