ECT 1301 2012/1 Probabilidade e Estatistica Prof. Raquel Sampaio Lista de Exercicios 3 Probabilidade: conceitos básicos Pedro Anderson Balbino dos Santos - 2011006928 1. Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0.1, P(A B) = 0.5.
Pela regra geral da adição, temos que P(A B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) (Eq. 1) a) Calcule P(B) considerando A e B eventos disjuntos;
P(A B) = P(A) + P(B) P(B) = P(A B) - P(A) P(B) = 0.5 - 0.1 P(B) = 0.4 b) Calcule P(B) considerando que A está contido em B;
Já que A B, então P(B) = P(A B) P(B) = 0.45 (c) Calcule P(B) considerando A e B eventos independentes.
Pela regra da multiplicação de eventos independentes temos que; P(A∩B) = P(A) × P(B) (Eq. 2) Aplicando a Eq. 2 na Eq. 1, temos; P(A) + P(B) - P(A) × P(B) = P(A B) P(B) - P(A) × P(B) = P(A B) - P(A) P(B) × (1 - P(A)) = P(A B) - P(A) P(B) = (P(A B) - P(A)) ÷ (1 - P(A)) Substituindo os valores, temos; P(B) = (0.5 - 0.1) ÷ (1 - 0.1) P(B) = 0.4 ÷ 0.9 P(B) = 0.44
2. A rota usada por um motorista que vai ao trabalho contém dois cruzamentos com semáforos. A probabilidade de que ele tenha de parar no primeiro semáforo é 0.4, a probabilidade análoga para o segundo semáforo é 0.5 e a probabilidade de que ele tenha de parar em pelo menos um dos dois semáforos é 0.6. Qual é a probabilidade de ele ter de parar:
São eventos mutuamente exclusivos (disjuntos). (a) Nos dois semáforos?
P(A e B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2 (b) No primeiro semáforo mas não no segundo?
P(A) × P(Bc) = 0.4 × 0.5 = 0.2 (c) Exatamente em um semáforo?
P(A) × P(Bc) + P(B) × P(A c) = 0.4 × 0.5 + 0.5 × 0.6 = 0.2 + 0.3 = 0.5
3. Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. Escolha, aleatoriamente e sem reposição, 3 peças do lote (uma amostra aleatória de três peças). Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra?
Chamaremos de P as peças perfeitas e de D as peças defeituosas. Primeiro, descobrimos quantas combinações existem para 3 peças, sendo 2 defeituosas. Pela formula da combinação temos:
As 3 combinações possíveis são: {P,D,D} 2. {D,P,D} 3. {D,D,P} Vamos calcular a probabilidade de acontecer a combinação 1: 1.
Quando tiramos a primeira peça do lote, temos 15 peças perfeitas, de um total de 20 peças. Logo, a probabilidade de tirarmos a primeira perfeita é de 15/20. Ao tirarmos a segunda peça, temos 5 defeituosas de um total de 19, sendo a probabilidade de tirarmos uma defeituosa de 5/19. Para a terceira peça, temos uma probabilidade de 4/18 (4 peças defeituosas sobrando, de um total de 18 peças). Temos então:
Como a probabilidade das 3 combinações é igual, basta somarmos as probabilidades dos 3 casos:
4. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base de carne. Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dos
fregueses são homens. Para um freguês sorteado ao acaso desse restaurante, obtenha a probabilidade de:
Pelo enunciado, temos os seguintes eventos: H: Freguês homem; M: Freguês mulher; S: Freguês prefere salada; C: Fregues prefere carne; P(H) = 0.75; P(S|H) = 0.2; P(C|M) = 0.3. Com esses dados, podemos construir o seguinte diagrama de árvore:
(a) preferir salada;
Pelo diagrama, observamos que: P(S) = P(S∩H) + P(S∩M) = P(S|H) × P(H) + P(S|M) × P(M) P(S) = 0.20 × 0.75 + 0.70 × 0.25 = 0.15 + 0.175 P(S) = 0.325 (b) preferir carne dado que é um homem;
P(C|H) = 0.80 (verificado no diagrama de árvore) (c) ser uma mulher, sabendo-se que prefere salada?
5. Uma empresa usa três linhas de montagem diferentes A 1, A2, A3 para fabricar certo componente. Dos componentes fabricados pela linha A 1, 5% exigem retrabalho para corrigir um defeito, enquanto 8% dos componentes da linha A2 exigem retrabalho, assim como 10% de A 3. Suponha que 50% de todos os componentes sejam produzidos pela linha A 1, 30% por A 2 e 20% por A3. Se um componente selecionado aleatoriamente exigir retrabalho, qual será a probabilidade dele ser proveniente da linha A 1?
Sendo P(RT) = P(RT|A 1)×P(A1) + P(RT|A2)×P(A2) + P(RT|A3)×P(A3) P(RT) = 0.05×0.50 + 0.08×0.30 + 0.10×0.20 = 0.025 + 0.024 + 0.020 = 0.069 Temos
6. Em um sorteio de prêmios uma caixa contém quatro pedaços de papel exatamente de mesmas dimensões. Cada pedaço de papel é enumerado de 1 até 4 de forma que: (1) ganha o prêmio 1; (2) ganha o prêmio 2; (3) ganha o prêmio 3 e (4) ganha os prêmios 1, 2 e 3. Um pedaço é selecionado aleatoriamente.
Seja A1 = {ganha o prêmio 1}; A 2 = {ganha o prêmio 2} e A 3 = {ganha o prêmio 3}.
A probabilidade de puxar o papel (1) = papel (2) = papel (3) = papel (4), e a soma de todas as probabidades = 1, considerando que são eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (partição de S). Logo, P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0.25 (a) Sabendo que os pedaços de papel de (1) a (4) tem a mesma probabilidade de serem puxados, calcule P(A1), P(A2) e P(A3). P(A1) = P(1) + P(4) = 0.25 + 0.25 = 0.5
P(A2) = P(2) + P(4) = 0.25 + 0.25 = 0.5 P(A3) = P(3) + P(4) = 0.25 + 0.25 = 0.5 (b) Mostre que A1 e A2 são independentes, assim como A 2 e A3 são independentes.
Pela regra da probabilidade condicional, temos que, se P(B) > 0;
Para que dois eventos sejam independente, P(A|B) = P(A). Aplicando aos dados da questão, temos:
Sendo (A1∩A2) a probabilidade de se ganhar os dois prêmio, isso só acontece se for puxado o papel (4), sendo P(4) = 0.25, temos:
Como P(A1|A2) = P(A1) = eventos independentes. Evidenciamos essa independência com a regra da multiplicação, dado que P(A1∩A2) = P(A1) × P(A2) = 0.25
Da mesma forma para A2 e A3, Sendo (A 2∩A3) a probabilidade de se ganhar os dois prêmio, isso só acontece se for puxado o papel (4), sendo P(4) = 0.25, temos: P(A2∩A3) = 0.25 Como P(A2) × P(A3) = 0.25 = P(A 2∩A3), A2 e A3 são, portanto, eventos independentes. (c) Mostre, entretanto, que A1, A2 e A3 não são independentes.
P(A1∩A2∩A3) = probabilidade de ganhar os 3 premios. Isso só é possível se for puxado o papel (4), logo: P(A1∩A2∩A3) = P(4) = 0.25. Para que os eventos A 1, A2 e A3 sejam independentes, é preciso satisfazer a condição: P(A1∩A2∩A3) = P(A1) × P(A2) × P(A3) Além das condições de (a) e (b) .
Como P(A1) × P(A2) × P(A3) = 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125 Temos que P(A1∩A2∩A3) ≠ P(A1) × P(A2) × P(A3), logo, A 1, A2 e A3 são eventos dependentes.
