APOSTILA DE
PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
Prof. Welfane Kemil Tão
Versão 2006-1 2 006-1
1
Aplicações Usuais da Estatística ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
Índices econômicos; Taxas de natalidade; Eleições; Teste de QI; Aceitação de produto; Perfil de pessoas; Pesquisas de Opinião/Cursos Pesquisas de mercado
Obs: Softwares estatísticos: Statgraphics / Minitab / SPSS Objetivo da Estatística
TOMADA DE DECISÕES
Conceito de Estatística Estatística é à parte da matemática que fornece métodos para coleta, organização, descrição análise e interpretação de dados para tomada de decisões. Ramos da Estatística: 1) Estatística Descritiva É o ramo ramo da esta estatí tíst stic icaa qu quee proc procur uraa desc descre reve verr ob obse serv rvaç açõe õess através de tabelas, gráficos e medidas para transformar dados em informações.
2
2) Estatística Inferencial A Estatística Inferencial permite a interpretação e análise de resultados, possibilitando tirar conclusões. A Estatísti stica Inferenci ncial possib sibilita que parâmetros pop popul ulac acio iona nais is seja sejam m esti estima mado doss atra atravé véss do estud estudoo de part partee desta desta população (amostragem). Por exemplo, para estimar o percentual de alunos de Administração que têm computador em casa (população), determina-se esse percentual em uma amostra dos alunos e com mar margens gens de segu segura ranç nçaa esta estabe bele leci cida dass esti estima ma-s -see o perc percen entu tual al na população; 3) Probabilidade Ramo da Estatística que envolve uma margem de risco ou incerteza num processo de generalização de fenômenos. Exemplos: probabilidade de um produto ser ser vendido, probabilidade de chover, probabilidade de ocorrer acidente (empresa de seguros), resultados de moeda, baralho, dado e outros. Estudo de Variável: Variável é o conjunto de resultados possíveis poss íveis de um fenômeno.
CADA FENÔMENO
UM Nº DE RESULTADOS POSSÍVEIS
Exemplo: Fenômeno: Sexo
resultados possíveis: M/F
3
Tipos de variáveis: a) Qual Qualit itat ativ ivaa Quando seus valores são expressos por atributos. Tipos de Variáveis Qualitativas: a1) Nominal Associada a uma relação de atributos que não possui ordenação. Exemplo: Sexo, cor dos olhos, etc. a2) Ordinal Associada a uma relação de atributos que pode ser ordenada. Exemplo: Classe econômica, grau de instrução, etc. b) Qu Quan anti tita tati tiva va Quando seus valores são expressos por números. Exemplo: Idade, salário, etc. Tipos de Variáveis Quantitativas: b1) Discreta Associada à contagem. A variável é discreta quando ela assume valores inteiros. Exemplo: Número de livros, número de pessoas, número de cadeiras, etc. Se “x” é a variável número de livros, os valores que “x” pode assumir são: 0
1
2
3
4
5
b2) Contínua Associada à medição. A variável é contínua quando ela pode assumir qualquer valor entre dois limites de um intervalo, ou seja, num intervalo, podem existir infinitos valores. Exemplo: 4
Altura, comprimento, temperatura, massa, etc. Se “x” é a variável temperatura de uma pessoa, os valores que “x” pode assumir são:
36ºC
37ºC
População X Amostra População É o conjunto de todos os elementos que apresentam pelo menos uma característica comum. Tipos de população: a) Finita Possui um número limitado de elementos. Exemplo: Número de alunos de uma sala. b) Infi Infini nita ta Associada a processos contínuos, sendo o número de observações considerado infinito. Exemplo: Leitura de sensores para controle. Pesagem de materiais de um processo de produção. Amostra São sub ubccon onjjun unto toss não não vazi vazios os da po popu pula laçção em estud studo, o, exce excetu tuan ando do-s -see a próp própri riaa po popu pula laçã ção. o. Deve Deve ser ser repr repres esen enta tati tiva va da população.
POPULAÇÃO
AMOSTRA
5
Amostragem X Censo Uma amostra envolve o estudo de uma parcela da população, enquanto que um censo requer o exame de todos os itens. Situações em que a amostragem é mais vantajosa: popu pula laçã çãoo po pode de ser ser infi infini nita ta,, com com isto isto o cens censoo seri seriaa A po impossível; Se há necessidade de obter informação com rapidez o censo pode consumir muito tempo e perder a utilidade; Quando do os iten itenss são são dest destru ruíd ídos os du dura rant ntee a real realiz izaç ação ão do Quan experimento para obtenção dos dados, o censo destruiria toda a população; Os custos de um censo podem inviabilizar a realização da pesquisa. Situações em que o censo é mais vantajoso: Quando a população é pequena; stra é grande em relação ao da Se o tamanho da amostr população e o esforço adicional para realização do censo for pequeno; Se houver exigência na precisão completa; Quando as informações completas sobre a população já estão disponíveis.
AMOSTRAGEM I) INTRODUÇÃO Freqüentemente, são feitas pesquisas que estudam os elementos que compõem uma amostra extraída de uma população que será analisada. O conceito de popu popula laçã çãoo é intu intuit itiv ivo; o; trat trataa-se se do conj conjunt untoo de indi indiví vídu duos os ou obj objet etos os qu quee apresentam em comum determinadas características definidas para o estudo. Amostra é um subconjunto da população, sendo a parte efetivamente examinada.
Muitas Muitas aplica aplicaçõe çõess da estatí estatísti stica ca envolve envolvem m amostr amostras as de dados dados de uma população sobre o qual se deseja fazer alguma inferência. Simplesmente amostrar não é suficiente, a amostra deve ser representativa da população, isto é, a amostra deve ter características similares às características da 6
pop popul ulaç ação ão.. Deve Deve-s -see ter ter pres presen ente te qu que, e, a ún únic icaa form formaa de conh conhec ecer er o verdadeiro valor (valor exato) de uma variável da população é analisa-la por completo. Uma amostra representativa apresenta as mesmas características que tem a população de onde foi retirada. Suponha Supon hamo moss um umaa pesq pesqui uisa sa sobr sobree o níve nívell de esco escola lari rida dade de de um grupo grupo de oitocentas pessoas. Nesse caso, a população é o conjunto das oitocentas pessoas. Se sentirmos desnecessário ou impossível examinar os oitocentos elementos, podemo podemoss recorr recorrer er a amostr amostrage agem, m, ou seja, seja, podemos podemos examin examinar ar alguns alguns desses desses elementos. Se, no exemplo citado, referente à pesquisa sobre o nível de escolaridade de 800 pessoa pessoas, s, escolh escolherm ermos os apenas apenas duas duas pessoa pessoas, s, correm corremos os o risco risco de seleci seleciona onar r exatamente dois elementos com as mesmas características. Se os dois forem analfabetos, por exemplo, podemos concluir, de forma errada, que todos os elementos da população também o são. Observe que, para qualquer tamanho da amostra, sempre corremos o risco de chegar a conclusões erradas, mas este risco diminui à medida que a quantidade de elementos a serem examinados aumenta. au menta. Além de estabelecer um critério para quantidade de elementos que vão fazer parte de amostra, é importante estabelecer critérios de seleção desses elementos. Os métodos de escolha da amostra devem garantir a representatividade do grupo.
Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões: a) Comp Composi osiçã çãoo da amo amost stra ra.. b) Dimens Dimension ioname amento nto da amost amostra ra II) COMPOSIÇÃO DA AMOSTRA: Basicamente existem dois métodos para a composição da amostra: probabilístico e não-probabilístico: A) MÉTODO MÉTODO PROBABILÍSTI PROBABILÍSTICO: CO: Este exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Este método garante cientificamente que a aplicação das técnicas estatísticas de inferências.
7
Obs: Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra.
Neste método, as principais formas de amostragem são: • • • •
Aleatória Simples, Sistemática, Proporcional Estratificada e Por Conglomerados (ou agrupamentos).
A.1) AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ALEATÓRIA SIMPLES OU CASUAL. • Equivalente a um sorteio lotérico • Geralmente utilizada em populações com menos de 50 elementos
Procedimento: 1º) Numera-se a população de 1 até n, ou seja, do primeiro ao último. 2º) Sorteia-se por meio de um dispositivo aleatório qualquer (papéis, urna de bola ou por tabela de números aleatórios) a quantidade de elementos que irão compor a amostra. Obs.: Este passo pode ser omitido se for estipulada a quantidade de elementos que irão compor a amostra. 3º) Sorteia-se, da mesma forma, os elementos que irão compor a amostra. Exemplo: Vamos compor uma amostra de 10 % da estatura de uma turma que contém 90 alunos. 1º) Numera-se a população de 01 até 90: População 01, 02, 03,.... 90 2º) Calcula-se a número de pessoas que irão fazer parte da amostra, ou seja, 10% de 90 é igual a 9 pessoas. Obs.: Obs.: Norm Normal alme ment ntee o nú núme mero ro de elem elemen ento toss qu quee irão irão comp compor or a amost amostra ra é determinado por cálculos estatísticos e pelo custo do processo de amostragem. 3º) Os elementos que irão compor a amostra serão sorteados, utilizando-se a tabela de números aleatórios. Por exemplo, a amostra poderia ser formada pelos alunos de número: 87 07 19 20 35 50 90 61 13 (sorteados)
8
A.2) AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA ESTRATIFICADA Utilizada quando a população apresenta comportamento heterogêneo, mas em subpo subpopul pulaç açõe õess (est (estra rato tos), s), o comp compor orta tame ment ntoo é homogê homogêne neo. o. Nest Nestee caso, caso, a população é dividida em estratos e o sorteio dos elementos que irão compor a amostra leva em consideração esses estratos. Exemplo: Numa população população de 90 alunos, em que 54 são homens e 36 são mulheres, mulheres, obter uma amostra proporcional estratificada contendo 10% da população. 1º passo: Determinar o número de elementos da amostra SEXO POPULAÇÃO M 54 F 36
10 % ? ?
AMOSTRA ? ?
2º passo: passo: Numera-s Numera-see a popula população ção de mul mulher heres es de 01 até 36 e sorteia sorteia-se -se pela tabela de números aleatórios quais as mulheres que irão compor a amostra. ___ ___ ___ ___ (quatro mulheres) 3º passo: Repita o 2º passo para os homens (de 37 até 90) ___ ___ ___ ___ ___ (cinco homens) A.3) AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Utilizada quando os elementos se encontram ordenados. Neste tipo de amos amostr trag agem em os elem elemen ento toss da po popu pula laçã çãoo qu quee irão irão comp compor or a amos amostr traa são são determinados através de intervalos fixos, por exemplo, prontuários médicos, prédios de uma rua, linhas de produção, etc. Exemplo: Numa rua existem N = 900 prédios, desejamos obter uma amostra de n = 50 prédios. Qual Qu al o procedimento, utilizando a amostragem sistemática? 1º passo: Determinar a relação (N/n = x): 900 = 18, ou seja, seja, a cada x prédios, prédios, escolhe-se escolhe-se um prédio. prédio. No caso, caso, x=18. 50 2º passo: Sortear o 1º prédio entre o primeiro e o x-ésimo prédio: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 ... 18 Por exemplo, o prédio nº 04 foi sorteado, portanto: O primeiro prédio é o de nº 04
9
3º passo: Calcular os próximos prédios que irão formar a amostra (somando-se x ao número do prédio anterior), portanto: O segundo prédio é o de nº 22 ,ou seja, 04+18=22 O terceiro prédio é o de nº 40 ,ou seja, 22+18=40 . . . O último prédio é o de nº? A.4) AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (OU AGRUPAMENTOS) AGRUPAMENTOS)
Alguma Algumass popula populaçõe çõess não permit permitem em ou tornam tornam extrem extremame amente nte difíci difícill que se identifiquem seus elementos. Mas, em algumas condições é relativamente fácil identificar alguns subgrupos (conglomerados) da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples de tais subgrupos pode ser obtida e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Exemplos típicos deste processo são quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios e etc. Assim, por exemplo, num levantamento da população de uma cidade podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus seus mo mora rador dores es.. Po Pode de-s -se, e, entã então, o, colh colher er um umaa amost amostra ra (ale (aleat atór ória ia)) dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados.
B) MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOS São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população, com isto os resultados são considerados específicos para aquela amostra em estudo.
Neste método, as principais formas de amostragem são: • Acidental, • Intencional e • Por Quotas.
10
B.1) AMOSTRAGEM ACIDENTAL ACIDENTAL Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que qu e vão aparecendo, que são possíveis de se obter até completar o número de elementos da amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos. B.2) AMOSTRAGEM INTENCIONAL De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber opinião. Por exemplo, numa pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista pessoas que ali estão. B.3) AMOSTRAGEM POR QUOTAS QUOTAS Um dos meios de amostragem mais usados em levantamentos de mercado e em tempo de eleição é o método por quotas. Ele é dividido em três fases: 1ª) Classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou presume, serem relevantes para a característica a ser estudada; 2ª) Determina Determinação ção da proporção proporção da população população para cada caracter característic ística, a, com base na constituição conhecida, presumida ou estimada, da população; 3ª) 3ª) Fi Fixa xaçção de qu quot otaas para ara cada ada entre ntrevi vist stad ador or a quem uem vier vier sobr sobree si a respons responsabi abilid lidade ade de seleci seleciona onarr entrev entrevist istados ados,, de modo modo que a amostr amostraa tot total al contenha a proporção de cada classe tal como determinada na 2ª fase. Exemplo: Admi Admitte-se e-se qu quee se dese desejja pesq pesqui uissar o “tra “traba ballho das das mu mullhere heres” s”.. Prov Provav avel elme ment ntee se terá terá inte intere ress ssee em cons conside idera rar: r: a divi divisã sãoo cidad cidade/ e/ca camp mpo, o, a habitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas etárias... A prim primei eira ra tare tarefa fa é desco descobr brir ir as prop proporç orçõe õess (por (porce cent ntag agen ens) s) dessa dessass cara caract cter erís ísti tica cass na po popu pula laçã ção. o. Imag Imagin inee qu quee haja haja 47 47% % de ho home mens ns e 53% de mulheres na população. Logo uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma “quota” para entrevistar 27 mulheres. A consideração de várias categorias exigirá uma composição amostral que atenda às proporções populacionais estipuladas.
11
III) DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA Será abordado por pessoas que desejarem estudar mais profundamente a estatística.
Método Estatístico É uma técnica utilizada para estruturar e organizar as fases que devem ser seguidas no estudo dos fenômenos estatísticos. As principais fases do método estatístico são: Definição do problema; Planejar a coleta dos dados; Coletar os dados; Apurar os dados; Apresentar os dados; Analisar e interpretar os resultados. 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS: 1) Cite as fases fases do método método estatíst estatístico. ico. 2) Quais Quais os ramos ramos da estatí estatística stica?? 3) Classi Classific ficar ar as variá variávei veiss como: como: qualit qualitati ativa va,, quanti quantitat tativa iva discre discreta ta e quantitativa contínua. a) Cor Cor dos dos olho olhos: s: b) Número Número de filhos: filhos: c) Diâmet Diâmetro ro de peças: peças: d) Produç Produção ão de algodã algodão: o: 4) Quando você utilizaria um processo de amostragem em comparação com um censo? 5) Expl Expliq ique ue o proc proced edim imen ento to para para ob obte terr um umaa amos amostr traa prop propor orci cion onal al estratificada. 6) Em uma escola escola existem existem 250 alunos, alunos, sendo distribuíd distribuídos os nas séries a seguir:
12
Séries 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª
População de alunos 35 32 30 28 35 32 31 27
Calcule através do processo de amostragem proporcional estratificada quantos alunos de cada série irão compor a amostra que deve ter exatamente 40 alunos. 7) Numa Numa escola escola existe existem m 280 menino meninoss e 320 menina meninas. s. Escolh Escolhaa uma amostra de 10% do total de alunos quantos são meninos e quantas são meninas. 8) Uma populaçã populaçãoo está dividida dividida em 3 estados estados com os tamanhos: tamanhos: M1 = 40, M2 = 100, M3 = 60. Sabendo que foi realizada uma amostragem proporcional estratificada, e que 9 elementos foram retirados do 3º estado, qual é o tamanho da amostra?
Gráficos Estatísticos 13
1) Gráfico em colunas É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente. São de bases iguais e com alturas proporcionais aos dados. Desta Desta forma forma fica assegurada assegurada a proporciona proporcionalidad lidadee entre entre os dados e as áreas dos retângulos. Exemplo1: Representar os dados da série temporal abaixo, referente ao preço do computador na Grande Vitória, num gráfico em colunas. Preço do computador na Grande Vitória Vitória de Janeiro – Junho/1998 MESES Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Fonte: Dados fictícios
PREÇO (R$) 1.050,00 1.050,00 1.000,00 1.000,00 980,00 980,00
Obs.: A série temporal, também conhecida como Cronológica ou Histórica descreve os valores da variável em função do tempo.
Preço do Computador na Grande Vitóri Vitória a Jan J an - Jun/98 1100
$ 1050 R ( o 1000 ç e r 950 P
900 Ja n
Fev
Mar
A br
Tempo (mês)
2) Gráfico em barras
14
Mai
Jun
Semelhante ao anterior, porém os retângulos são horizontais. Neste cas caso, os retân etângu gulo loss têm a mesma esma alt altura ura e os com ompr priiment mentos os são proporcionais aos dados. Exemplo 2: Representar os dados da série específica referente ao número de matrículas no ensino superior, superior, num gráfico em barras. Matrículas no 3º grau de ensino do Brasil – 1975 ARÉA DE ENSINO MATRÍCULAS Ciências Biológicas 32.109 Ciências Exatas e Tecnologia 65.949 Ciências Agrárias 2.419 Ciências Humanas 148.842 Letras 9.883 Artes 7.464 Duas ou mais áreas 16.323 Fonte: Serviço de Estatística, Educação e Cultura.
Obs: A Série Série Específica Específica ou Categórica Categórica descreve os valores valores da variável variável em função de uma característica específica. Matrículas Matrículas no 3º grau d e ensino no Brasil - 1975
Ciências Humanas Ciências Exatas e Tecnologia
e Ciências Ciências Biológicas e d Duas ou mais áreas a e r Letras Á Artes Ciências Agrárias 0
50. 000 100. 00 150.00 200.00 0 0 0 Matrícula
OBS. Sempre que os dizeres a serem escritos são extensos, devemos dar preferência aos gráficos em barras (séries geográficas ou específicas). Porém, se ainda preferir o gráfico em colunas, os dizeres deverão ser expostos de baixo para cima; Se a série for temporal sua disposição no gráfico deverá ser na ordem cronológica. Se a série for geográfica ou específica sua disposição no gráfico deverá ser em ordem decrescente;
15
À distância entre as colunas ou barras, por questões estéticas não deverá ser menor que a metade e maior que 2/3 da largura das colunas ou barras. Exercício 1: Construir um gráfico para representar a Série Geográfica abaixo: Duração Média dos Estudos Superiores na Europa – 1994
PAÍS Itália Alemanha França Holanda Inglaterra Fonte: Revista R evista Veja Veja
Nº DE ALUNOS 7,5 7 7 5,9 Menos de 4
Obs: A Série Geográfica, também conhecida como Territorial, Espacial ou de Localização descreve os valores da variável em função da região territorial (bairro, cidade, estado, etc...). 3) Gráfico em colunas ou barras múltiplas Usado para representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos para comparação. Exemplo 3: Fazer um gráfico em colunas dos dados abaixo: Balança Comercial no Brasil (1989 –1991) ESPECIFICAÇÕE ÇÕES
VALOR (U (US$ 11.0 .0000.00 .000) 1989 1990 1991 EXPORTAÇÕES 34.383 31.414 31.620 IMPORTAÇÕES 18.263 20.661 21.041 Fonte: Ministério da Fazenda
16
Balança Comerci C omercial al no Brasil ) 40.000 s e õ 30.000 h l i b $ 20.000 S U ( r 10.000 o l a 0 V
EXPOR EXPORT TAÇ Õ ES IMPOR MPORTAÇ Õ ES
1989
1990
1991
Tempo (anos)
Exercício 2: Representar os dados abaixo num gráfico em colunas. Terminais Telefônicos em Serviço no Brasil (1991 – 1993) REGIÕES 1991 Norte 343.000 Nordeste 1.288.000 Sudeste 6.234.000 Sul 1.497.000 Centro Oeste 713.000 Fonte: Ministério das Comunicações
1992 376.000 1.379.000 6.729.000 1.608.000 779.000
1993 403.000 1.487.000 7.232.000 1.746.000 885.000
No caso, a tabela acima é a conjugação da série geográfica com histórica. 4) Gráfico Gráfico em Setor Setores es (Pizza/ (Pizza/T Torta) Este gráfico é construído com base em um círculo, sendo empregado sempre que desejamos ressaltar a participação dos valores em relação ao total. Só é recomendado a sua utilização quando há no máximo 7 dados. As áreas dos setores são proporcionais aos dados, portanto: Total Parte
360º x
100 % y
17
Exemplo 4: Representar os dados abaixo em um gráfico de setores: ANOS
RECEITA DO MUNICÍPIO X DE 1975 A 1977 RECEITA % ÂNGULO NO (Cr$1.000,00) GRÁFICO 900 1200 1500
1975 1976 1977 Total Fonte: Município X
Receita do Município X (1975 - 1977)
33,3%
25%
41,7%
1975
1976
1977
5) Gráficos em Linhas ou Curvas Linha poligonal para representar séries estatísticas. Exem Exempl ploo 5: Cons Constr trui uirr um gráf gráfic icoo em linh linhas as do doss dado dadoss da Bala Balanç nçaa Comercial do Brasil (anterior)
18
Balança Comercial no Brasil 1989 - 1991 60.000 e õ 50.000 h l i B 40.000 $ S U 30.000 ( s e 20.000 r o l a 10.000 V
0 1989
1990
1991
Tempo Expo Export rtaç açãã o
Impor mporttaçã açã o
Representação de Dados e Distribuição de freqüências: Conceitos a) Dado Dadoss bru bruto toss São dados não organizados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, ou seja, estão na forma bruta que q ue foram coletados. Exemplo: Altura dos alunos da sala (na forma em que foi coletada). b) Rol Sãoo dado Sã dadoss orga organi niza zados dos em orde ordem m cres cresce cent ntee ou decr decres esce cent ntee de grandeza.
19
Exemplo: Altura dos alunos da sala (da menor para a maior). c) Amplitude Amplitude Total ou “Range” “Range” (R) R = maior valor – menor valor Exemplo: 10, 11, 5, 3, 2, 1. R = 11 – 1 R = 10 d) Freqü Freqüênc ência ia Absolu Absoluta ta (Fi) Número de vezes que o elemento ou classe de elementos aparece no conjunto de dados em estudo. Exemplo: 2, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 1. A freqüência freqüência absoluta do elemento 2 é: 4 A freqüência freqüência absoluta do elemento 1 é: 2 e) Di Distr stribu ibuiçã içãoo de Freqü Freqüênc ência ia Arranjo dos valores com sua respectiva freqüência. Exemplo:
Alunos da Sala 1 2 3 4 5
Fi 10 20 20 5 10
Representação dos dados utilizando uma variável v ariável discreta Exemplo: Cons Constr trui uirr um umaa dist distri ribu buiç ição ão de freq freqüê üênc ncia ia para para repr repres esen enta tarr os números abaixo. Determine as freqüências simples (absoluta e relativa) e acumulada (absoluta e relativa). xi: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4}. Dados xi
Freqüências Simples Absoluta Relativa Fi Fri 20
Freqüências Acumuladas Absoluta Relativa Fac Facr
1 2 3 4
Portanto os tipos de freqüências são: Absoluta (Fi) Simples Relativa (Fri) Freqüência Absoluta (Fac) Acumulada Relativa (Facr) Exercício: Com base nas idades dos alunos de uma turma, mostrada abaixo, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13. Responda: a) Construa Construa a distribuição distribuição de freqüência freqüência determin determinando: ando: Fi, Fri, Fri, Fac, Facr. Facr. b) Quanto Quantoss alun alunos os têm: têm: b.1) Até 11 anos? b.2) Mais de 11 anos? b.3) Entre 10 e 12 anos (incluindo os extremos)? c) Responda Responda os itens itens anteriores anteriores na forma forma percentual. percentual. Representação dos dados utilizando uma variável contínua e variável discreta com grande quantidade de elementos: Notação de classes: 20 | | 25: Compreende os valores de 20 a 25, incluindo os extremos. 20 | 25: Compreende os valores de 20 a 25, excluindo o 25. (Será usada esta notação) 21
20 | 25: Compreende os valores de 20 a 25, excluindo o 20. Exemplo: Distribuição de freqüência para uma variável contínua: CLASSES Fi Fri Fac Facr 10 2 | 4 20 4 | 6 20 6 | 8 10 8 | 10 1ª Classe: 2 | 4 2ª Classe: 4 | 6 3ª Classe: 6 | 8 Limite inferior da 1ª classe: 2 Limite inferior da 2ª classe: 4 Limite superior da 1ª classe: 4 Limite superior da 2ª classe: 6 Ponto Médio das Classes (x i) O ponto médio de uma classe é calculado através da média aritmética entre o limite inferior e o superior da respectiva classe. Por exemplo, no caso da 1ª classe o ponto médio é:
CLASSES 2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10
2+4 x
1
=
=
3
2
xi 3 5 7 9
Amplitude das Classes (h) É a diferença entre o limite superior e o inferior da respectiva classe. 1ª classe: h = 4 – 2 = 2 2ª classe: h = 6 – 4 = 2 3ª classe: h = 8 – 6 = 2 Número de Classe (K)
22
Temos 4 classes na tabela do exemplo acima, portanto K=4. PROCEDIMENTO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL VARIÁVEL CONTÍNUA: 1º) calcular a amplitude dos dados (R) ____________________________________ R
maiorvalor
=
menorvalor
−
2º) calcular o nº de classes (k) Não há fórmula exata para calcular o nº de classes. A regra prática que será utilizada é: regra do quadrado:
se n
≤
25, k = 5
se n > 25,
K
=
n
Exemplo: se n=49, determine o nº de classes. 3º) calcular a amplitude das classes (h):
h
=
R K
Obs: K e h devem ser aproximados para o maior inteiro. 4º) determinar os limites das classes, preferindo sempre que possíveis números inteiros. Obs: O limite inferior da 1ª classe, muitas vezes, poderá ser o menor número do conjunto de dados em estudo. 5º) construir a tabela de freqüências determinando as freqüências de cada classe. Exemplo: Dado ado o rol de 50 no nota tass de alun alunos os,, agru agrupa parr os dado dadoss em clas classses. es. Determinando: Fi, Fri, Fac e Facr. 33 50 61 69
35 52 64 71
35 53 65 73
39 54 65 73
41 55 65 74
41 55 66 74 23
42 57 66 76
45 59 66 77
47 60 67 77
48 60 68 78
80
81
84
85
85
88
89
91
94
68 59 64 58
72 66 53 80
58 83 73 60
64 70 81 63
62 45 50 53
97
Exercício: Os pesos de 40 alunos são: 69 65 60 67
57 76 81 68
72 60 71 53
54 49 67 75
93 74 63 65
Agrupar os dados em classes, determinando Fi, Fri, Fac, Facr. Solução: O rol em colunas do exercício é: 45 49 50 53
53 53 54 57
58 58 59 60
60 60 62 63
63 64 64 65
65 66 67 67
68 68 69 70
71 72 72 73
74 75 76 80
81 81 83 93
Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência 1) Histogram Histogramaa de Freqüên Freqüência cia Simple Simpless (Fi) (Fi) Utiliz Util izad adoo para para repr repres esen enta tarr dado dadoss agru agrupa pado doss em clas classe ses. s. É a representação de uma distribuição por retângulos justapostos, onde as suas bases caracterizam a amplitude das classes e suas alturas são proporcionais as freqüências das classes. Exemplo: Construir o histograma de freqüências simples dos dados abaixo:
CLASSE
Fi
Fac
2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10 10 | 12
3 5 10 6 2
3 8 18 24 26
Fi 10
Polígono de Freqüência Simples 24
6
Histograma de Freqüência Simples
5 3 2
Classes 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2) Polígono de Freqüência Simples (Fi) Representação de distribuição por meio de um polígono. Cons Consis iste te em un unir ir os po pont ntos os médi médios os das das base basess supe superi rior ores es do doss retângulos do histograma através de retas. Exemplo: Construir o polígono de freqüências simples do exemplo anterior 3) Histogram Histogramaa de Freqüênci Freqüênciaa Acumulada Acumulada (Fac) (Fac) Semelhante ao histograma de freqüência simples, porém a freqüência utilizada é a acumulada (Fac). 4) Polígono de Freqüência Acumulada ou Ogiva (Fac) Semelhante ao polígono de freqüência simples, porém a freqüência utilizada é a acumulada (Fac). Exemplo: Construir o histograma de Fac a Ogiva para os o s dados abaixo: CLASSE Fi Fac xi 2 2 3 2 | 4 3 5 5 4 | 6 5 10 7 6 | 8 2 12 9 8 | 10 16 4 16 11 10 | 12 12 Fac 10 Polígono de Freqüência Acumulada ( Ogiva ) 5 2
25
Histograma de Freqüência Acumulada
Classes 2
4
6
8
10
12
EXERCÍCIOS: 1) Represent Representar ar um gráfi gráfico co polar polar dos dados:
Meses J F M A M J J A S O N D Temperatura 28 29 27 24 20 19 18 21 22 24 28 30 (ºC) A tabela a seguir mostra as áreas, em milhões de km2, dos oceanos. Representar graficamente os dados, usando: a) um grá gráfi fico co de de colun colunas as;; b) um gráf gráfico ico de seto setores res.. 2)
Oceano Área (milhões km2)
Antártico Ártico Atlântico Índico 36,8 2 3, 2 199,4 13 7, 9
Pacífico 342,7
3) Considere Considere os dados obtido obtidoss pelas medidas medidas das alturas alturas de 100 indivídu indivíduos os (dadas em cm): 151 – 152 – 154 – 155 – 158 – 159 – 159 – 160 – 161 – 161 161 – 162 – 163 – 163 – 163 – 164 – 165 – 165 – 165 – 166 166 – 166 – 166 – 167 – 167 – 167 – 167 – 167 – 168 – 168 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 169 – 169
26
169 – 169 – 169 – 169 – 169 – 170 – 170 – 170 – 170 – 170 170 – 170 – 171 – 171 – 171 – 171 – 172 – 172 – 172 – 173 173 – 173 – 174 – 174 – 174 – 175 – 175 – 175 – 175 – 176 176 – 176 – 176 – 177 – 177 – 177 – 177 – 178 – 178 – 178 179 – 179 – 180 – 180 – 180 – 180 – 181 – 181 – 181 – 182 182 – 182 – 183 – 184 – 185 – 186 – 187 – 188 – 190 – 190 Pede-se determinar: a) a ampl amplitu itude de amostr amostral; al; b) o númer númeroo de classe classes; s; c) a ampli amplitud tudee das das clas classes ses;; d) os limit limites es das das class classes; es; e) as freqüê freqüências ncias absolutas absolutas das classes; classes; f) as freqü freqüênci ências as relati relativas vas;; g) os pontos pontos médi médios os das clas classes ses;; h) a freqü freqüênc ência ia acum acumula ulada; da; i) o histo histogra grama ma – polí polígon gonoo de freq freqüên üência cia;; j) os gráf gráfico icoss de freqüê freqüênci nciaa acumul acumulada. ada.
Medidas de Posição ou de Tendência Central
__ 1) Média Média Aritm Aritméti ética ca ( X) X)
a) Pa Para ra dados dados não não agrupa agrupados dos:: x
=
∑x
i
n
Exemplo: Calcular a média dos números abaixo: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10. __ 27
X=? b) Para dados tabulad tabulados os (média (média ponder ponderada): ada): b.1) Sem intervalo de classes:
xi 2 3 4 5 6 x=
Fi 2 4 3 4 2
xi. Fi
∑x F i
i
n
__ X=? b.2) Com intervalo de classes:
CLASSE 2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10
Fi 2 3 4 5
Xi
xi. Fi
__ X=? Exemplo: Um aluno tirou 9,0 em uma prova de peso 2 e 6,0 em um trabalho de peso 1. Qual a nota média do aluno? Desvio em relação à média (di) É a diferença entre o valor (xi) e a média, ou seja, Exemplo: Calcule o desvio (di) dos valores abaixo: a)
xi: {2, 3, 4, 5}. xi di = x i − x 2 28
d i
=
xi
−
x
3 4 5 b) xi 2 3 4 5 6
Fi 2 4 3 4 2
xi . Fi
di = x i − x
c) CLASSES 2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10
Fi 2 3 4 5
xi
xi . Fi
Moda É o valor mais freqüente da distribuição. d istribuição. Determine a Moda nos exemplos abaixo: a) Pa Para ra dados dados não não tabula tabulados dos:: X = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5} b) Pa Para ra dados dados tabula tabulados dos b.1) Não agrupados
xi 1 2 3 4 5
Fi 3 7 2 1 6
29
di = x i − x
Mediana Medida de tendência central que divide uma série ordenada (Rol) em duas partes iguais. É também uma separatriz. 50%
50%
(__________Md __________) __________) a) Pa Para ra dados dados não não tabula tabulados dos:: a.1) Para um número ímpar de valores: Exemplo: x = {1, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 16, 17}
n = 9 elementos.
Md = 8, a mediana é o elemento central. n+ 1
posição do elemento central: a mediana é o 5º elemento. a.2) Para número par de valores: 2
9+ 1
=
= 5 ,ou seja,
2
Exemplo: x = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
n = 8 elementos n
posição dos elementos centrais:
2
e
8
= n 2
+
1
= 4 (4º elemento) = 7
2
=
8 2
+
1
=5 (5º elemento) = 9
A mediana é a média aritmética a ritmética dos elementos centrais: Md = 7 + 9 = 8 2 b) Pa Para ra dado dadoss tabul tabulado ados: s: b.1) Dados discretos (Não agrupados em classes):
30
Exemplo: Determine a mediana
xi 2 4 6 8 10 12
Fi 5 10 15 12 5 3
Fac
Exercício: Calcular a Md dos dados abaixo: xi 1 3 5 7 9 11
Fi 2 3 4 4 3 3
Medidas Separatrizes: a) PERC PERCEN ENTI TIS S (Pi (Pi): ): Dividem os dados em 100 partes iguais. Cada parte contém 1% dos dados. Procedimento do cálculo: 1º) Calcular o elemento do percentil: percentil: onde: n é o número de dados;
31
E Pi =
in 100
i é o percentil desejado, por exemplo: • i = 1 para o cálculo do primeiro percentil; • i = 2 para o cálculo do segundo percentil, e assim por diante, até o
último percentil, em que i = 99. 2º) 2º) Dete Determ rmin inar ar a clas classe se do perc percen enti till (de (de acor acordo do com com o elem elemen ento to do percentil e com a frequência acumulada). 3º) Calcular o valor do percentil: Pi
E − Fant.ac. = li + h F Pi
Pi
onde: Pi → valor do percentil; EPi → elemento do percentil; Li → limite inferior da classe do percentil; h → amplitude da classe do percentil; Fant.ac → Freqüência anterior (acumulada) à classe do percentil; F pi → Freqüência absoluta (simples) da classe do percentil;
Exemplo: Para os dados abaixo, determine: a) b) b) c) d) e)
perc percen enti till 25; 25; o 20º 20º perc percen enti til; l; o valor que que divide divide os dados em duas duas partes partes iguais iguais (MEDIANA) (MEDIANA);; o valor que que divide divide separa os em em 35% mais mais novos do restan restante; te; o valor valor que divide divide separa separa os em em 65% mais mais velhos velhos do restan restante; te;
IDADES(anos) Fi Fac 3 3 2 | 4 5 8 4 | 6 7 15 6 | 8 4 19 8 | 10 32
1
10 | 12
20
Exercício: Calcular a mediana
Classes 1 | 3 3 | 5 5 | 7 7 | 9 9 | 10
Fi 5 10 5 10 5
Fac 5 15 20 30 35
Quartis (Qi) Dividem os dados em 4 partes iguais. Cada parte contendo 25% dos dados. 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3
Portanto, • 1º quartil é igual ao percentil 25; • 2º quartil é igual ao percentil 50 (mediana); • 3º quartil é igual ao percentil 75;
Exemplo: Determine o 2º Quartil:
Classe 1 | 3 3 | 5 5 | 7 7 | 9 9 | 11 11 | 13
Fi 3 5 8 5 2 3
Fac 3 8 16 21 23 26
Decis (Di)
33
Dividem os dados em 10 partes iguais: 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% Portanto, • 1º decil é igual ao percentil 10; • 2º decil é igual ao percentil 20 e, assim por diante, até o último (9º) decil, ; Exercício: Determine o 3º Decil da tabela anterior: Obs.: P50 = D5 = Md = Q2 Exercício: Ao aplicar uma prova de estatística numa turma de 120 alunos, encontrouse o resultado:
Nota Nota do doss Alu luno noss 30 | 40 40 | 50 50 | 60 60 | 70 70 | 80 80 | 90 90 | 100
Núm Número ero de de Al Alun unos os 1 3 11 21 43 32 9
Calcule: a) Os qua quarrti tiss. b) O grau mais baixo baixo que poderia poderia ser obtido obtido pelos 25% melhore melhoress alunos da turma. c) A nota que que separa separa os 75% melhor melhores es alunos alunos dos outros outros.. d) A nota que separa separa os 70% 70% melhores melhores alunos alunos dos outros outros.. e) A nota que que separa separa os 35% piores piores alunos dos outros. outros.
34
MEDIDAS de DISPERSÃO: São medi São medida dass uti utili liza zadas das para para aval avalia iarr o grau grau de vari variab abil ilid idade ade ou dispersão dos valores em torno da média. DISPERSÃO
x (média)
Exemplo 46: Sejam as séries:
35
a) 20, 20, 20 → xa = 20 b) 15, 10, 20, 25, 30 → x b = 20 Obs.: a série b possui maior dispersão do que a série a I) Amplitude Total (R) R = maior valor – menor valor Exemplo 1: Determine a amplitude dos dados abaixo: Idades de pessoas: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} R = 13 - 1 R = 12 II) Variânci Variânciaa CONC CONCEI EITO TO:: É a médi médiaa arit aritmé méti tica ca do doss qu quad adra rado doss do doss desv desvio ioss calculados em relação à média. É um umaa medi medidda qu quee cara caract cter eriz izaa o grau grau de conc concen entr traç ação ão ou de variabilidade dos dados em relação à média méd ia aritmética. A variância variância possui a dimensão dos dados ao quadrado. Lógica do Cálculo das medidas de dispersão: Para comp Para compre reen ende derr o conc concei eitto de vari variân ânci ciaa e das das ou outr tras as medi medida dass de dispersão, inicialmente vamos calcular os desvios das notas de dois alunos em relação à média das provas, de acordo com o exemplo a seguir: Exemplo 2: Estude os desvios das notas dos alunos A e B
Nota 1 Nota 2 Aluno A Aluno B
2 4
8 6
Média 5 5
Desvio da Nota 1 2-5= -3 4-5= -1
Desvio Soma da dos Nota 2 Desvios 8-5= 3 Zero 6-5= 1 Zero
Os desvios na tabela acima foram calculados da seguinte forma:
36
Cada desvio é a diferença entre o valor (xi) e a média ( x ), ou seja, di
=
xi
−
x
Exemplo 3: Calcule os desvios (di) dos valores abaixo: xi: {2, 4, 6, 8, 10, 12} estes números podem estar representando a idade de pessoas ou outra variável qualquer. Solução: 1º) Calcular a média aritmética: x = ∑
x
n
=
42 =7 6
2º) Calcular o valor dos desvios (di), de acordo com a tabela: xi 2 4 6 8 10 12
di = x i − x
TOTAL
Exemplo 4: Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos dados do exemplo 49, da seguinte forma: a) Cálculo da variância (VAR): VAR =
VAR =
∑quadradosd osdesvios quantidade
∑
di
n
, ou seja,
2
=
70 = 11,67 6
b) Cálculo Cálculo do do Desvio Desvio Padrão Padrão (DP): (DP):
37
CONCEITO: É a raiz quadrada da variância, ou seja, desviopadr ão = var iância .
Obs.: O desvio padrão possui a mesma dimensão dos dados. Portanto:
DP = VAR =
11,67 = 3,42
c) Cálculo Cálculo do Coefici Coeficiente ente de Variação ariação (CV): (CV): CONCEITO: É a relação entre o desvio padrão e a média aritmética dos dados. É utilizado para comparação entre séries distintas d istintas de dados. Obs.: É uma medida de dispersão relativa e sua representação é percentual. Portanto:
CV =
DP
.100 =
x
3,42 .100 = 48,8% 7
A dispersão dos dados pode ser alta, média ou baixa de acordo com o valor de CV. E pela tabela a seguir, o percentual de 48,8% é considerado de alta dispersão, isto é, os dados do exemplo 49 apresentam alta dispersão. Nível de Dispersão Baixa dispersão Média dispersão Alta dispersão
Valor do CV CV ≤ 15% 15% < CV < 30% CV ≥ 30%
Exemplo: Estude a dispersão d ispersão das notas dos alunos A e B (apresentadas no exemplo 48)
Aluno A Aluno B
Nota 1 Nota 2 Média 2 8 5 4
6
5
Solução: Aluno d i = x i − x A 38
2 8 TOTAL
Aluno d i = x i − x B 4 6 TOTAL
NOTAÇÃO PARA AS MEDIDAS DE DISPERSÃO: • •
Variância Populacional Variância ariânc ia Amostral S2
2
•
Desvio Padrão Populacional Desvio Padrão Amostral S
•
Coeficiente de Variação Amostral ou Populacional
•
CV
QUAD QUADRO RO RESU RESUMO MO DE FÓRM FÓRMUL ULAS AS PARA ARA AS MEDI MEDIDA DASS DE DISPERSÃO: POPULAÇÃO 2
σ =
Variância
2
2
S =
n
2
σ=
∑ ( x i − x ) .Fi
∑( x i − x ) n −1
2
S =
∑ ( x i − x ) .Fi n −1
n
σ
2
S=
39
2
2
2
σ =
Desvio Padrão ( DP = VAR )
∑( x i − x )
AMOSTRA
S
2
Dados não Tabulados (sem Fi) Dados Tabulados (com Fi)
Coeficiente de CV = σ . 100 x Variação
CV = S . 100 x
Exemplo: Verifique se os dados a seguir possuem alta, média ou baixa dispersão a) x = {1, 3, 6, 8}
X 1 3 6 8 b)
Classe Fi 2 1 | 3 4 3 | 5 4 5 | 7 2 7 | 9 Exemplo: Com base na amostra de notas de uma turma, verifique o nível de dispersão da turma (alta, média ou baixa dispersão). Notas 2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10 10 | 12
Fi 1 3 5 3 1
40
PROBABILIDADE 1) Concei Conceitos tos Básico Básicos: s: a)
Espaço Amostral (S): (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É conhecido como conjunto Universo.
Exemplo: Jogar um dado. O espaço amostral é: S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b)
Eventos: Eventos: São subconjuntos do espaço amostral. am ostral. São os resultados de um experimento. Normalmente expressos por letras maiúsculas do alfabeto.
Exemplo: Jogar um dado. Um evento poderia ser: A: {Resultado par}: {2, 4, 6}. Outro evento poderia ser: B: {Resultado ímpar}: {1, 3, 5}. c)
Experimen Experimentos tos Aleatórios Aleatórios:: São experimentos que, mesmo repetidos vári várias as veze vezess sob sob cond condiç içõe õess seme semelh lhan ante tes, s, apre aprese sent ntam am resu result ltad ados os imprevisíveis.
Exemplo: Jogar uma moeda 1 vez para o ar. Neste caso, teríamos: Espaço amostral → S: {cara, coroa} ou S: {c, k}. Evento → A: {O resultado será cara} Evento → B: {O resultado será coroa} d) Tipos de Eventos d.1) Complementar: Complementar: São todos os resultados possíveis do espaço amostral que não fazem parte do evento. Evento → A· Complementar → A A A
S Exemplo: Joga-se um dado S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} A: {par}
41
A : {1, 3, 5}
d.2) Mutuamente excludentes: excludentes: São eventos que não têm elementos em comum, ou seja, a ocorrência de um evento implica na não ocorrência do outro. Exemplo: Joga-se um dado S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} A: {par} B: {2, 3, 4} C: {ímpar} A e C são mutuamente excludentes → {A∩C}= φ A e B não são mutuamente excludentes B e C não são mutuamente excludentes Definição de probabilidade: Dado ado um exp xper erim imen entto alea aleató tóri rioo E, e S o espa espaço ço amos amostr tral al,, a probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo aos axiomas: I) 0 ≤ P(A) ≤ 1 II) P(S) = 1 III) Se A e B forem eventos mutuamente mutuamente excludentes {A∩B}= φ , então P(A∪B) = P(A) + P(B) Definição clássica de probabilidade (para eventos equiprováveis): P (A) = nº de vezes que o evento A pode ocorrer u ocorrer u nº de vezes que o espaço amostral S ocorre ou: P (A) = NCF → nº de casos favoráveis NCT → nº de casos totais Principais Teoremas: 1) 2)
Se A é o complemento de A → P(A) + P( A ) = 1 Se A e B são dois eventos quaisquer: P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B)
42
Exemplo: Joga-se um dado. Seja A o evento: {o resultado é par} B o evento: {2, 3}. Determine: a) P(A) b) P( A ) c) P(B) d) P( B ) e) P(A∩B) f) P(A∪B)
LEMBRETE:
A ou B ⇒ A ∪ B Ae B ⇒A∩ B
TÉCNICAS DE CONTAGEM Exercício: Em um lote existem 12 peças, 4 são defeituosas: 2 peças são retiradas aleatoriamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de: A) ambas serem serem defeituo defeituosas; sas; B) ambas não serem serem defeituo defeituosas; sas; C) ao menos menos uma ser ser defeituos defeituosa. a.
4D 8P
2 serão retiradas sem reposição
43
B) Diagrama de Árvore Exemplo: Resolver o exercício anterior utilizando o diagrama de árvore. P 7/11 8/12
P
4/11 8/11
4/12
D P
D 3/11 D
Probabilidade Condicional É a probabilidade de um evento ocorrer sabendo-se da ocorrência de outro evento. Exemplo: Joga-se um dado. S: {1,2,3,4,5,6} evento A: {sair nº 3} P(A)=? evento B: {sair nº ímpar } P(B) = ? evento A∩B: {3} P(A∩B) = ? A probabilidade de A ocorrer sabendo que B já ocorreu é: P(A/B) = 1/3 ⇒ NCF (A∩B) ÷ (S) NCF (B) ÷ (S) O espaço amostral fica reduzido ao evento B: B : {1 3,5}, então: P (A/B) = P(A ∩B) = 1/6 = 1 P(B) 3/6 3 44
Portanto:
P (A/B) = P (A ∩B) P(B) P (B/A) = P (A ∩B) P(A)
Ou seja,
P(A∩B) = P(A/B). P (B) P(A∩B) = P(B/A). P (A)
Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística 1) Um grupo grupo de 15 elementos elementos apresen apresenta ta a seguinte seguinte composição composição::
Homens Menores 5 Adultos 5
Mulheres 3 2
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se: a) Qual Qual a probab probabili ilidad dadee de ser home homem? m? b) Qual a probabili probabilidade dade de de ser adulto? adulto? c) Qual a probabili probabilidade dade de de ser menor e mulher? mulher? d) Sabendo-se Sabendo-se que que o elemento elemento escolhido escolhido é adulto, adulto, qual a probabilid probabilidade ade de ser homem? e) Dado que a escolhid escolhidaa é mulher, mulher, qual a probabili probabilidade dade de ser ser menor? menor? 2) Determine Determine a probabili probabilidade dade de de cada cada evento: evento: a. pelo menos uma cara aparece no lançamento lançamento de 3 moedas; 3) Numa Numa urna urna são misturad misturadas as dez bolas numera numeradas das de 1 a 10. Duas bolas bolas são retiradas (a,b) sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10? 4) Um lote lote é form formad adoo po porr 10 peças peças boas, boas, 4 com com defe defeit itos os e du duas as com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a. ela não tenha tenha defeitos defeitos graves; b. ela não tenha defeitos; c. ela, ou seja boa, ou tenha defeitos graves. graves.
45
5) Consid Considere ere o mesmo mesmo lote do proble problema ma anterio anteriorr. Retir Retiramam-se se 2 peças peças ao acaso. Qual a probabilidade de que: a. ambas sejam perfeitas; b. pelo menos menos uma seja perfeita; c. nenhuma tenha defeito grave; d. nenhuma seja perfeita 6) Uma urna contém contém 5 bolas brancas brancas e 6 pretas. Três Três bolas bolas são retiradas. retiradas. Calcular a probabilidade de: a. todas pretas; b. exatamente uma branca; c. ao menos uma preta 8) Numa classe classe existem existem 5 alunos alunos do 4º ano, 4 do 2º 2º e 3 do 3º ano. Qual a probabilidade de serem sorteados, ao mesmo tempo, 2 alunos do d o 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º? Exercícios – Série II – Capítulo 1 1)
As prob probab abil ilid idad ades es de 3 jog ogad ador ores es marca arcarrem um penalty são 2 4 7 respectivamente , e . Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a 3 5 10
probabilidade de: a. todos acertarem; b. apenas um acertar; c. todos errarem. 2) Num umaa bo bollsa tem temos 5 moeda oedass de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,50. ,50. Qual Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 3) Uma Uma urna urna cont contem em 5 bo bola lass pret pretas as,, 3 verm vermel elha hass e 2 bran branca cas. s. Foram oram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de: a) terem sido duas bolas bolas pretas pretas e uma vermelha vermelha?? b) tod todas as serem serem da mesma mesma cor? cor? 3 4) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é e de seu 4
3 5
marido . Calcular a probabilidade de: a. apenas o homem estar vivo; b. somente a mulher estar viva; viva; 46
c. pelo menos um estar vivo; d. ambos estarem vivos.
Exercícios – Série III – Capítulo 1 1. Uma moeda moeda é lançada lançada três vezes. vezes. Ache a probabili probabilidade dade de se obterem obterem:: a) b) c) d) e) 2.
três cara carass; duas duas caras caras e uma uma coroa coroa;; uma ca cara; pelo pelo meno menoss uma uma coroa; coroa; nenh nenhum umaa car cara. a.
A probabilidade probabilidade de o aluno X resolver esse problema é
3 e a do aluno al uno Y 5
4 7
é . Qual probabilidade de que o problema seja resolvido? 3. Um grupo grupo de 100 pessoas pessoas aprese apresenta nta,, de acordo acordo com o sexo e filia filiação ção partidária, a seguinte composição: Homens Mulheres
Partido X 21 14
Partido Y 39 26
Calcular: a. a probabi probabilid lidade ade de um esco escolhi lhido do ser homem homem;; b. a probabilidad probabilidadee de um escolhido escolhido ser ser mulher mulher do partido partido Y; Y; c. a porcent porcentagem agem dos dos partidá partidário rioss do Y; Y; d. a porcen porcentag tagem em dos dos homens homens fili filiado adoss à X; e. se o sortead sorteadoo for da X, qual a probabilid probabilidade ade de ser ser mulher; mulher; f. se o sorteado sorteado for homem, homem, qual qual a probabili probabilidade dade de ser ser do Y.
47
