Nocoes de Probabilidade e Estatistica 2

14. AMOSTRAGEM 14.1 INTRODUÇÃO CONFIABILIDADE DA AMOSTRA amostra é um dos fatores determinantes para o sucesso de sucesso de A estimativa do tamanho da amostra é uma Pesquisa Estatística. O tamanho da amostra pode ser pequeno em relação à população geral. Veremos formas específicas para o cálculo da amostra mínima necessária para dar confiança aos resultados obtidos. Entretanto, existem dois fatores estatísticos fatores estatísticos que devem ser mantidos em mente: maior o tamanho da amostra, as informações sobre a população serão mais - Quanto maior o precisas; precisas; tamanho poucas informações extras extras sobre a população - Acima de determinado tamanho podem ser obtidas, no entanto, o tempo e os custos aumentam.

PLANEJAMENTO DA AMOSTRA A amostragem ideal para todo o estudo estatístico é a Amostragem Aleatória Simples. amostra é um plano definido completamente antes Em estatística, um planejamento da amostra é da coleta de quaisquer dados e que tem por objetivo a obtenção de uma amostra de uma população. Os métodos mais usuais de amostragem além da amostragem aleatória simples são: -

Amostragem Sistemática;

-

Amostragem Estratificada;

-

Amostragem por Conglomerados.

Noções de Probabilidade e Estatística

108

Profª Berenice C. Damasceno

ERROS PROVENIENTES DA AMOSTRAGEM representativa em relação à população Estes erros surgem do fato da amostra não ser representativa em em questão. Eles geralmente são minimizados minimizados com a consideração cuidadosa do aleatórias, o tamanho desses método de amostragem a ser utilizado. Com amostras aleatórias, erros de amostragem pode ser posteriormente estimado e estimado e existem métodos de cálculo para estimá-lo.

ERROS NÃO PROVENIENTES DA AMOSTRAGEM Estes erros surgem devido a várias causas, incluindo: -

-

Registros incorretos dos dados; Transferência incorreta de dados para para a calculadora ou ou computador computador para processamento; Medições incorretas; Perguntas mal elaboradas;

PLANEJAMENTO GERAL DA PESQUISA Para resumir, aqui temos uma lista de verificação das principais etapas do projeto de uma pesquisa: – – –

–

– –

Defina as metas da pesquisa; Defina a população; Identifique o esquema de Amostragem (definir a amostra e o tamanho que ela deve ter); Decida que que método de coleta de dados utilizar (questionário pessoal, entrevista, entrevista, medições, etc); Caso decida usar questionário, questionário, preparar um um apropriado apropriado para para entrevistas entrevistas pessoais; Selecione e treine qualquer pessoa envolvida no processo processo de coleta de dados.


109


ERROS PROVENIENTES DA AMOSTRAGEM representativa em relação à população Estes erros surgem do fato da amostra não ser representativa em em questão. Eles geralmente são minimizados minimizados com a consideração cuidadosa do aleatórias, o tamanho desses método de amostragem a ser utilizado. Com amostras aleatórias, erros de amostragem pode ser posteriormente estimado e estimado e existem métodos de cálculo para estimá-lo.

ERROS NÃO PROVENIENTES DA AMOSTRAGEM Estes erros surgem devido a várias causas, incluindo: -

-

Registros incorretos dos dados; Transferência incorreta de dados para para a calculadora ou ou computador computador para processamento; Medições incorretas; Perguntas mal elaboradas;

PLANEJAMENTO GERAL DA PESQUISA Para resumir, aqui temos uma lista de verificação das principais etapas do projeto de uma pesquisa: – – –

–

– –

Defina as metas da pesquisa; Defina a população; Identifique o esquema de Amostragem (definir a amostra e o tamanho que ela deve ter); Decida que que método de coleta de dados utilizar (questionário pessoal, entrevista, entrevista, medições, etc); Caso decida usar questionário, questionário, preparar um um apropriado apropriado para para entrevistas entrevistas pessoais; Selecione e treine qualquer pessoa envolvida no processo processo de coleta de dados.


109


14.2 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS A distribuição amostral é provavelmente o conceito mais fundamental da inferência estatística, e está relacionado com a idéia de variação aleatória que permite enfatizar a necessidade de medir a variabilidade de dados. Para ilustrar o conceito de distribuição amostral vamos construir a distribuição da média de uma amostra aleatória de tamanho n=2 extraídas sem reposição, de uma população finita de tamanho N=5 cujos dados poderiam ser (3,5,7,9 e 11). Neste caso teremos: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =7 5 e seu desvio padrão é: µ=

( 3 − 7) 2 + (5 − 7 ) 2 + (7 − 7) 2 + (9 − 7 ) 2 + (11 − 7) 2 σ= = 8 5

Se tomarmos agora amostra n=2 neste caso temos 10 possibilidades, isto é, a 5! 5! 5.4.3! 5.4 = = = = 10 . Tais possibilidades são: combinação 5,2 , ou seja, C 5,2 = 2!.(5 − 2)! 2! .3! 2.3! 2 (3 e 5) (3 e 7) (3 e 9) (3 e 11) (5 e 7)

(5 e 9) (5 e 11) (7 e 9)

(7 e 11) (9 e 11)

e suas médias são: 4

5

6

7

6

7

8

8

9

10

Como cada amostra tem probabilidade 1/10, obtemos a seguinte Distribuição Amostral da Média: Probabilidade

__

Média X 4

1/10

5

1/10

6

2/10

7

2/10

8

2/10

9

1/10

10

1/10


110


Desta forma o Histograma da Distribuição das Probabilidades fica: 0,2

D A D I L I B A B O R P

6

7

8

0,1 4

5

4

5

9

10

9

10

0,0 6

7

8

MÉDIA

__

Observa-se que para X = 6, 7, 8 há uma probabilidade de 6/10 de uma Média Amostral não ser diferente de 1 da Média Populacional μ = 7. __

Também para média X = 5, 6, 7, 8 ou 9 há uma probabilidade probabilidade de 8/10 de uma Média Amostral não ser diferente de 2 da Média Populacional μ = 7 Assim, se não conhecêssemos a Média da População dada e quiséssemos estimá-la com a média de uma Amostra Aleatória de tamanho n = 2, o processo acima nos daria uma idéia do tamanho possível do erro envolvido. Para obtermos outras informações úteis sobre a Distribuição Amostral da Média calculamos : µ __ e σ __ . X

µ __ = X

σ __ =

X

X

4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10 =7 10 (4 − 7) 2 + ( 5 − 7) 2 + (6 − 7 ) 2 + (6 − 7) 2 + (7 − 7) 2 + (7 − 7 ) 2 + (8 − 7) 2 + (8 − 7) 2 + (9 − 7 ) 2 + (10 − 7) 2 10

σ __ = 3 X


111


14.2.1 ERRO PADRÃO DA MÉDIA Para amostras aleatórias de tamanho n extraídas de uma População com média μ e __

desvio padrão σ, a Distribuição Normal de X tem média: µ __ = µ X

e o Desvio Padrão da Média é definido como: σ σ __ = X n

N −n σ . σ __ = X n N −1

ou

Dependendo da População ser infinita ou finita de tamanho N, costuma-se referir-se a

σ

como o Erro Padrão da Média, onde: -

se σ __ for pequeno há uma boa chance que a Média da Amostra (ou Amostral) X

esteja próxima da Média da População; -

se σ __ for grande a Média Amostral será consideravelmente diferente da Média X

da População O Fator

N −n é chamado de Fator de Correção para População Finita. N −1

Exemplo: Com referência ao exercício anterior, tínhamos n = 2 e N = 5 e verifique que a segunda das fórmulas de σ __ é igual a 3 .

σ =

8,

X

Fazendo n = 2, N = 5 e σ = 8 para a fórmula para populações finitas temos: N −n 8 σ . σ __ = = X n N −1 2

5−2 8 3 8.3 24 = = = 5 −1 2 4 2.4 8

σ __ = 3 X


112


EXERCÍCIOS:

1- Qual é o fator de correção para a população finita, quando:

(a) n = 10

e N = 200

(b) n = 10

e N = 500

(c) n = 10

e N = 2000

(d) n = 20

e N = 200

(e) n = 40

e N = 400

(f) n = 400 e N = 4000

2- Dada uma População Finita de N = 6 números: 6, 9, 12, 15, 18 e 21:

(a) Calcule a Média Populacional e o Desvio Padrão (b) Calcule quantas amostras são possíveis se n = 2 (combinação 6,2) __ (c) Liste todas as amostras possíveis e calcule as suas médias X

(d) Construa o Histograma da Distribuição Amostral da Média para amostras aleatórias de tamanho n = 2 extraídas, sem reposição, dessa População Finita (e) Determine o Desvio Padrão da Distribuição Amostral da Média σ __ . X


113


14.3 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE A capacidade de usar AMOSTRAS para se fazer inferências sobre parâmetros populacionais depende do conhecimento da Distribuição Amostral. Já sabemos calcular a média e o desvio padrão, mas temos também que saber a forma da Distribuição Amostral.

Se uma distribuição individual é normal,

a distribuição das médias também será normal para qualquer número de amostras.

Se uma distribuição individual não é normal,

a distribuição das médias será normal apenas para amostras grandes.

Isso significa que para qualquer distribuição individual, podemos ter a distribuição normal com a única restrição que o tamanho da amostra seja grande, ou seja, acima de 30 amostras. Esses resultados são conhecidos como o Teorema Central do Limite ou do Limite Central. O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 1- Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das médias também será normal para todos os tamanhos de amostras. 2- Se a População básica não é normal, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal para grandes amostras. Exemplo 1 - Uma População muito grande tem média µ = 20 e desvio padrão σ = 1,4. Extrai-se uma amostra de 49 observações. Questões Resolvidas: (A) Qual é a média da Distribuição Amostral? A média da distribuição Amostral é sempre igual à média da População µ, logo µ __ = 20 . X Noções de Probabilidade e Estatística

114


Qual o desvio padrão da distribuição amostral? 1,4 1,4 σ σ __ = = = ⇒ σ __ = 0,2 X X n 49 7

(B) Qual a porcentagem das possíveis médias amostrais que diferirão por mais de 0,2 da média da População? Como n > 30, podemos supor que a distribuição é normal. Temos: σ __ = 0,2 X

e µ __ = 20 X

Portanto a curva normal seria

F(X) 0,3413

0,3413

( µ -3 σ )( µ -2 σ )( µ - σ ) µ ( µ + σ )( µ +2 σ )( µ +3 σ ) __

__

__

__

__

__

__

__

__

__

__

__

__

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Z1

Z2

Z1 =

19,8 − 20 − 0,2 = = − 1 ⇒ I Z 1 = 0,3413 0, 2 0, 2

Z2 =

20,2 − 20 0,2 = =1 0 ,2 0,2

Z

⇒ I Z 2 = 0,3413

I T = 0,5 − 0,3413 + 0,5 − 0,34132 ⇒ I T = 0,1587 + 0,1587 = 0,3174

Médias Inferiores a 19,8 e Superiores a 20,2.


115


EXERCÍCIOS: 1- Um fabricante de baterias alega que seu artigo, de primeira categoria, tem uma vida média esperada de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4 meses. Que porcentagem da amostra de 36 observações acusará vida média no intervalo de 1 mês em torno de 50 meses, admitindo-se ser de 50 meses a verdadeira vida média das baterias, qual será a resposta para uma amostra de 64 observações? 2- A média de uma distribuição amostral de médias é 50 e seu desvio padrão é 10. Suponha que a Distribuição Amostral seja normal: (a) Que porcentagem de médias amostrais estará entre 45 e 55? (b) Idem para 42,5 e 57,5 (c) Qual a porcentagem de médias amostrais será menor que a média populacional? (d) Qual a porcentagem de médias amostrais será igual à média populacional? 3- Determine a média da distribuição de médias amostrais, dada cada uma das seguintes médias populacionais: (a) 5,01 (b) 199,5 4- Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias para cada um dos seguintes casos: (a) (b) (c) (d) (e)

σ = 5,0 σ = 6,2 σ = 1,0 σ = 3,2 σ = 2,0

e e e e e

n=6 n = 100 n = 36 n = 44 n = 40


116


5- Deve-se extrair uma amostra de 36 observações de uma máquina que cunha moedas comemorativas. A espessura média das moedas é de 0,2 cm, com desvio padrão amostral de 0,01 cm. (a) É preciso saber que a população é normal para determinar a porcentagem de médias amostrais que estão dentro de certos intervalos? Explique. (b) Qual a porcentagem de médias amostrais estará no intervalo (0,20 ± 0,004) cm ? (c) Qual a probabilidade de se obter uma média amostral que se afaste por mais de 0,005 cm da média do processo?


117


15 ESTIMATIVAS E TAMANHO DE AMOSTRAS 15.1 ASPECTOS GERAIS

Quando decidimos usar métodos de Amostragem para chegar a uma decisão sobre a variável investigada, devemos definir rigorosamente nossos conceitos e procedimentos. Em seguida, devemos assegurar que nossa “Amostra” reflita as características do agregado no máximo grau possível. A principal vantagem de se adotar seleção Aleatória de amostras em investigação cientifica é a de que sabemos matematicamente alguma coisa sobre a natureza do comportamento destas Amostras Aleatórias. Do ponto de vista do Estatístico as amostras devem ser tão grandes quanto possíveis. Quanto maior é a amostra, maior é a confiança que se tem nos resultados. Para entender as razões desse ponto de vista, imagine que em uma cidade existem dois hospitais. Em um deles nascem 120 bebês por dia e no outro 12. A razão de meninos e meninas é, em média, 50% nos dois hospitais. Uma vez nasceu, em um dos hospitais, duas vezes mais meninos do que meninas (67% meninos e 33% meninas). Em qual dos hospitais é provável que isso tenha ocorrido? É claro que foi no menor. A probabilidade de obter uma estimativa que se desvia muito do parâmetro aumenta quando a amostra for pequena. As amostras muito pequenas são inúteis por que não dão, em geral, boas estimativas. No entanto amostras muito grandes, porém mal feitas, são piores porque dão a ilusão de conter a verdade.


118


15.2 ESTIMATIVAS DE UMA MÉDIA POPULACIONAL: GRANDES AMOSTRAS __

Em geral a média amostral X é a melhor estimativa de uma média populacional µ. __

Um estimador é uma estatística amostral (como a média amostral X ) utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional. Uma estimativa é um valor específico, ou um intervalo de valores, usado para aproximar um parâmetro populacional. __

Há duas razões para explicar por que uma média amostral X tende a centrar-se em torno da média populacional µ. __

1- Para muitas populações, a distribuição de médias amostrais X tende a ser consistente (apresenta menor variação) do que as distribuições de outras estatísticas amostrais (mediana ou moda) __

2- A média amostral X tende a centrar-se em torno da média populacional µ.

__

__

X1

X6

__

X5

__

X3 __

__

X4

__

X2

__

µ

X8

X7

15.2.1 INTERVALOS DE CONFIANÇA __

Quando usamos a média X para estimar a média populacional µ e fazemos uma estimativa pontual não temos qualquer indicação de quão boa é essa estimativa. Para isso foi desenvolvido outro tipo de estimativa que efetivamente indica quão boa é uma estimativa pontual.


119


Essa estimativa, chamada intervalo de confiança ou estimativa intervalar, consiste em uma amplitude (ou um intervalo) de valores, em lugar de um único valor. Um intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é a medida da nossa certeza de que o intervalo contem o parâmetro populacional. Para tanto usa-se a probabilidade α, que corresponde à área na curva normal, a qual pela simetria da curva divide-se em duas partes como aparece sombreada na curva abaixo:

α

α /2

Z=0

α /2

São escolhas comuns para o grau de confiança: 90% (com α = 0,10) 95% (com α = 0,05) 99% (com α = 0,01) A opção mais comum é a opção 95%

EXEMPLO Ache os valores críticos Z α / 2 correspondentes aos graus de confiança:

90% 95% 99%


120


90%

α

= 0,10

0,45

10% DE INCERTEZA

0,45

α/2=0.05 α/2=0,05

z=-1,645 95%

z=0 α

= 0,05

0,475

z=1,645 5% DE INCERTEZA

0,475

α/2=0.025 α/2=0.025

z=-1,96


z=0

121

z=1,96


99%

α

= 0,01

1% DE INCERTEZA

0,495

0,495 α/2=0.005 α/2=0.005

z=-2,576

z=0

z=2,576

α

zα/2

z=0

zα/2

ÁREAS SIMÉTRICAS NAS CAUDAS ÁREA

Z α / 2

ÁREA

Z α / 2

ÁREA

Z α / 2

ÁREA

Z α / 2

0,001

3,291

0,01

2,576

0,06

1,881

0,20

1,282

0,002

3,090

0,02

2,326

0,07

1,812

0,30

1,036

0,003

2,968

0,03

2,170

0,08

1,751

0,40

0,842

0,004

2,878

0,04

2,054

0,09

1,695

0,50

0,674

0,005

2,807

0,05

1,960

0,10

1,645

0,60

0,524


122


Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma média populacional µ, a margem de erro, denotada por E é a diferença máxima provável (com probabilidade 1 - α) entre a média amostral observada e a verdadeira média populacional µ. E ≡ erro máximo da estimativa FÓRMULA E = Z α / 2

σ

n

Esta fórmula só pode ser usada quando conhecemos σ (Desvio Padrão da População).

Quando σ é desconhecido, temos: -

-

Se n > 30, podemos substituir σ na fórmula acima pelo Desvio Padrão Amostral S. Se n ≤ 30, a curva deve ser normal e devemos conhecer obrigatoriamente o σ para aplicar a fórmula.

Adiante daremos uma outra solução quando n ≤ 30. Com base na definição da margem de erro E, podemos agora identificar o intervalo de confiança para a média populacional µ. Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) para a média populacional µ (com base em grandes amostras: n > 30) é: __

__

X − E ≤ µ ≤ X + E , onde: E = Z α / 2


σ

n

123


RESUMO Processo de construção de um intervalo de confiança para a média µ (n > 30). 1- Determinar o valor critico Z α / 2 correspondente ao grau de confiança desejado. Exemplo: 95% ⇒ Z α / 2 = 1,96 2 - Calcular a margem de erro E = Z α / 2

σ

. Se o desvio padrão da população não for

n conhecido, utilizar o desvio padrão da amostra S, desde que n > 30. __

__

3 - Com a margem de erro e o valor da média amostral X , calcular os valores X − E e __

X + E . Levar esses valores na expressão do intervalo de confiança. __

__

X −E ≤ µ ≤ X +E

__ ± E

ou µ = X

ou (X – E; X + E).


124


EXERCÍCIOS: 1 - Determine o intervalo de confiança 95% para a média populacional µ para os valores abaixo: 69,9

69,9

72,6

70,2

70,0

71,8

70,6

72,8

69,0

68,4

60,0

68,4

68,3

69,6

71,7

69,2

70,8

71,0

70,4

66,8

70,4

66,8

69,9

69,2

70,5

70,2

70,0

70,8

72,6

70,6

72,8

70,8

70,2

71,7

70,0

68,3

66,8

69,9

69,0

69,4

70,4

69,4

69,9

70,0

71,7

70,2

70,8

72,8

71,0

69,9

2 - Determine o valor critico de Z α / 2 que corresponde ao grau de confiança indicado: abcde-

99% 94% 98% 92% 96%

3 - Use o grau de confiança e os valores amostrais dados para achar a margem de erro e o intervalo de confiança para a média populacional µ. __

a- Altura das alunas: 95% de confiança, n = 50, X = 164, S = 4,5 __

b- Médias das notas: 99% de confiança, n = 70, X = 7,0, S = 0,88 __

c- Notas de um teste: 90% de confiança, n = 150, X = 77,6 , S = 14,6 __

d- Salário da Policia: 92% de confiança, n = 64, X = R$ 1200,00 , S = R$ 80,00 4 - A partir de uma amostra de 35 crânios de homens egípcios que viveram por volta de 1850 AC mede-se a largura máxima de cada crânio, obtendo-se: __

X = 134,5 mm e S = 3,48 mm. Com esses dados amostrais construa um intervalo de

95% de confiança para a média populacional µ.


125


15.2.2 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA Suponha que estamos definindo um procedimento para uma pesquisa cientifica. Como sabemos quantos elementos da População devem ser escolhidos? Suponha, por exemplo, que queiramos estimar a renda média de pessoas que concluíram um curso superior, no primeiro ano após a formatura. Quantas rendas devemos incluir em nossa amostra? Partindo-se da expressão da margem de erro E e resolvendo em relação ao tamanho da amostra n temos: .σ  Z n =  α / 2   E 

2

O número da amostra deve ser um número inteiro, quando isso não ocorre devemos arredondar usando o número inteiro mais próximo para cima. EXEMPLO: Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel por uma faculdade, que teve a feliz idéia de fazer um curso de Estatística. Quantos valores de renda devem ser tomados se o economista deseja ter 95% de confiança que a média amostral esteja a menos de R$ 20,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos por um estudo prévio, que, para tais rendas o desvio padrão σ = R$ 100,00. SOLUÇÃO: Queremos determinar o tamanho da amostra “n” dado que α = 0,05 (95% de confiança). Desejamos que a média amostral esteja a menos de R$ 20,00 da média populacional de forma que o Erro seja E = 20. Supondo que σ = R$ 100,00, aplicamos a Fórmula 2

2

.σ  1,96 . 100  Z n =  α / 2  =   = 96,04 ≈ 97 valores de renda E 20    


126


Devemos, portanto, obter uma amostra de 97 rendas de primeiro ano, selecionadas aleatoriamente, de Bacharéis de Faculdades que tenham feito um curso de Estatística. __

Com tal amostra teremos 95% de confiança de que a média amostral X difira em menos de R$ 20,00 da verdadeira média populacional, __

__

__

__

X − E ≤ µ ≤ X + E ⇒ X − 20 ≤ µ ≤ X + 20

Quando não conhecemos o valor de σ podemos estimar o valor a partir pelo menos de 31 valores amostrais selecionando aleatoriamente em um estudo piloto. No caso anterior poderíamos encontrar o valor R$ 2300,00 como a maior renda e R$ 1900,00 como a menor renda, o σ pode ser estimado por: σ=

RT 400 = 100 ⇒ σ= 4 4


127


15.3 ESTIMATIVA DE UMA MÉDIA POPULACIONAL: PEQUENAS AMOSTRAS Agora veremos a estimativa da média populacional “µ” quando o tamanho “n” da amostra é pequeno, ou seja, n ≤ 30. Neste caso: __

A melhor estimativa continua sendo a partir de X . Usaremos intervalo de confiança a partir da curva normal com a mesma margem de erro do capítulo anterior. Usaremos a Distribuição t de Student: t=

X−µ S n

O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.

EXEMPLO Se 10 estudantes têm em um teste média 80, podemos atribuir valores arbitrários a nove delas, mas a décima fica determinada univocamente. A soma das 10 notas deve ser 800, de modo que a 10ª deve ser igual a 800 menos a soma das 9 primeiras. Como as 9 primeiras podem ser escolhidas arbitrariamente, dizemos que há 9 graus de liberdade (n – 1 ). Noções de Probabilidade e Estatística

128


Propriedades importantes da Distribuição t de Student: 1-

A distribuição t de Student é diferente, conforme o tamanho da amostra;

2-

A distribuição t de Student tem a mesma forma geral simétrica (forma de

sino) que a distribuição normal, mas reflete a maior variabilidade que é esperada em pequenas amostras; 3-

A distribuição t de Student tem média t = 0 igual à distribuição normal

padronizada que tem média Z = 0; 4-

O desvio padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho da

amostra ”n” mas é superior a 1, ao contrário da distribuição normal onde σ = 1; 5-

À medida que aumenta o tamanho “n” da amostra a Distribuição t de

Student se aproxima mais e mais da distribuição normal padronizada Condições para o uso da Distribuição t de Student: 1- O tamanho da amostra é pequeno (n ≤ 30) 2- σ é desconhecido 3- A População original tem distribuição Normal Margem de erro para a estimativa de µ para n ≤ 30: E = t α / 2

S onde t α / 2 tem (n - 1) graus de liberdade n

Intervalo de confiança para estimativa de µ: __

__

X −E ≤ µ ≤ X +E


129


EXEMPLO: Testes Destrutivos

O teste de colisão de carros é um exemplo muito dispendioso de teste destrutivo. Dificilmente pode-se fazer colidir mais de 30 carros, a fim de poder utilizar uma distribuição normal. Suponhamos que tenhamos feito teste de colisão de 12 carros de um tipo “A” cujo preço de venda seja R$ 59.000,00 sob diversas condições que simulam colisões típicas. A análise de 12 carros danificados resulta em custos de conserto que parecem ter distribuição em forma de sino com média de R$ 26.000,00 e desvio padrão S = R$ 15.000,00. Determine: a- A melhor estimativa da média populacional danificado. b- A estimativa intervalar de 95% de µ.

µ

do custo do conserto de cada carro

SOLUÇÃO: __

a- A melhor estimativa pontual de µ é o valor X , neste caso R$ 26.000,00. b- Usamos t de Student porque as condições básicas estão satisfeitas: - n ≤ 30 (n=12) - σ desconhecido, porém conhecemos S= R$ 15.000,00 - A curva tem a forma de sino Então: E = t α / 2

S 15000 = 9.530,61 ⇒ E = 2,201 . n 12

Podemos agora escrever a estimativa intervalar de 95% de confiança:


130


__

__

X −E ≤ µ ≤ X +E ⇒ ⇒ 26000 − 9530,61 < µ < 26000 + 9530,61 ⇒ ⇒ 16469 < µ < 35530 ou 26000±9530 ou (16469 ; 35530)

Com base nesse resultado, temos 95% de confiança de que os limites 16490 e 35530 contem o valor da média populacional µ. Esse exemplo é real e trata de um carro americano, dos mais caros para consertar em caso de colisão. Esta informação é de grande importância para as companhias de seguros.


131


EXERCÍCIOS: 1- Ache os valores críticos t α/2 que corresponde ao grau de confiança e ao tamanho da amostra “n”, para: abcd-

98% e n=10 98% e n=21 95% e n=16 90% e n=8

2- Dados os graus de confiança e os elementos amostrais, amostrais, determine: I- Margem de erro II- O intervalo de confiança para a média µ. Admita que a População tenha distribuição normal __

a- Altura das alunas: 95% de confiança; n=10; X = 164; S= 4,5cm. __

b- Média das Notas: 99% de confiança; n=15; X = 7,0; S= 0,88 __

c- Notas de um teste: 90% de confiança; n= 16, X = 77,6; S= 14,2 __

d- Salário da Polícia: 98% de confiança, confiança, n=19, X =R$1200,00; S= R$80,00 3- Determine corretamente se os intervalos de confiança são calculados com a distribuição normal padronizada ou com a Distribuição t de Student. Em um teste de colisão feito em 15 minivans Honda, os custos de conserto apresentam distribuição em forma de sino, com média de R$ 1786 e desvio padrão de R$ 937. Construa um intervalo de confiança de 99% para o custo médio de conserto para esse tipo de veículo. 4- Suponha que tenhamos apenas 10 temperaturas do corpo humano. Para esses __

valores a média X = 98,44° 98,4 4°F e S= 0,30° 0, 30°F. Construa Const rua um intervalo i ntervalo de co nfiança de 95% para a média de todas as temperaturas do corpo humano. Sabendo-se que essa distribuição é normal.


132


15.4 ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL Vamos abordar agora os mesmos três conceitos estudados anteriormente. (1) Estimativa pontual (2) Intervalo de confiança (3) Determinação do tamanho da Amostra “n “n” Anteriormente aplicamos esses conceitos à estimativa de uma média populacional µ; neste capitulo vamos aplicá-lo à Proporção Populacional “P”. EXEMPLO: Uma companhia de seguros poderia se interessar na estimativa da proporção de motoristas embriagados. Vamos trabalhar com a denominação p^ (lê-se p chapéu) para a proporção amostral. Já sabemos que Q=1-P; podemos associar que Q^= Q ^= 1-P^, desta forma: P= Proporção Populacional P^= Proporção Amostral FÓRMULAS Estimativa Pontual A proporção Amostral P^ é a melhor estimativa pontual da Proporção Populacional P. Margem de Erro da Estimativa P E = Zα / 2

P ^ Q^ n

Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar de uma Proporção Populacional P) P^ − E ≤ P ≤ P^ + E


133


Eventualmente podemos dizer: P = P^ ± E ou (P^ - E; P^ + E)

EXEMPLO: Os pesquisadores de opinião pública são atormentados por uma diversidade de fatores de confusão, como secretárias eletrônicas. Em uma pesquisa junto a 1068 Americanos, 673 informaram ter secretária eletrônica. Com esses resultados amostrais determine: a- A estimativa pontual da proporção populacional de todos os Americanos que possuem secretária eletrônica. b- A estimativa intervalar 95% da proporção Populacional de todos os Americanos que têm secretária eletrônica SOLUÇÃO: A- A estimativa pontual de P é: P^ =

X 673 = = 0,630 n 1068

e Q^ = 1 − P^ ⇒ Q^ = 1 − 0,63 = 0,37 B- A construção do intervalo de confiança exige primeiro o cálculo da margem de erro E. E = Z α / 2

P ^ Q^ n

= 1,96 .

0,63. 0,37 1068

= 0,029 ≅ 0,03

Podemos agora achar o intervalo de confiança usando P^=0,63 e E= 0,03: P^ − E ≤ P ≤ P^ + E 0,63 − 0,03 < P < 0,63 + 0,03 0,60 ≤ P ≤ 0,66

ou

60% ≤ P ≤ 66%

O resultado costuma ser apresentado da seguinte forma: “Entre os Americanos, a porcentagem dos que têm secretária eletrônica é estimada em 63%, com uma margem de erro de ± 3 pontos percentuais”.


134


C- Determinação do tamanho da amostra Se E = Zα / 2

P ^ Q^ n

Podemos definir: -

Quando se conhece uma estimativa de P^:

n=

-

Z α / 2 2 . P^ . Q^ E2

Quando não se conhece uma estimativa de P^:

n=

Z α / 2 2 . 0,25 E2

EXEMPLO: EXEMPLO: As companhias de seguros estão preocupadas com o fato de que o número crescente de telefones celulares resulte em um maior número de colisões de veículos. Então, por isso, pensando em cobrar um prêmio maior para motoristas que usam celular, deseja-se estimar, com uma margem de erro de três pontos percentuais (3%), a porcentagem de motoristas que falam ao celular enquanto estão dirigindo. Supondo que se pretende um nível de confiança de 95% nos resultados, quantos motoristas devem ser pesquisados? A- Suponha que tenhamos tenhamos uma estimativa estimativa de P^ com base em estudos anteriores que que mostrou que 18% dos motoristas falam ao telefone dirigindo. B- Suponha que não tenhamos tenhamos qualquer informação que possa sugerir um valor valor de P^. SOLUÇÃO: SOLUÇÃO: A- P^ = 0,18 e Q^ Q ^ = 0,82 Ao nível de 95%, temos Z α / 2 = 1,96


135


Margem de erro 3% ou 0,03 Z α / 2 2 . P^ . Q^ 1,96 2 . 0,18 . 0,82 n= = = 631 (arredondado para cima) 2 2 E 0,03

B- Quando não conhecemos P^ usamos P^ . Q^ = 0,25: Z α / 2 2 . 0,25 1,96 2 . 0,25 n= = = 1068 (arredondado para cima) 2 2 E 0,03

EXEMPLO: No caso da pesquisa eleitoral, determine o tamanho da amostra necessária para saber a preferência do eleitorado com um nível de confiança de 95% e admitindo um erro de mais ou menos 2,2 pontos percentuais. SOLUÇÃO: Como desconhecemos as proporções P^ dos candidatos usamos a fórmula: Z α / 2 2 . 0,25 1,96 2 . 0,25 = = 1985 (arredondado para cima) n= E2 0,022 2

Refaça o exemplo acima para os seguintes casos: a- Um nível de confiança de 99% com margem de erro de ± 2 pontos percentuais. b- Um nível de confiança de 90% com margem de erro de ± 2 pontos percentuais. Note que essas fórmulas não incluem o tamanho da População N, neste caso é irrelevante. A maioria das pesquisas de opinião apresentadas em jornais, revistas e tv envolvem amostras com tamanho de 1000 a 2000 elementos.


136


EXERCÍCIOS: 1- Usando uma amostra para estimar uma proporção populacional P, determine a margem de erro que corresponde aos valores dados n, X e o grau de confiança: a- n= 800

X=600

grau de confiança 95%

b- n= 4275

X=2576


c- n= 1400

X=420


d- n= 887

X=209


2- Utilize os dados amostrais e o grau de confiança para construir uma estimativa intervalar para a proporção populacional P: a- n= 800

X=600


b- n= 2000

X=300


c- n= 2475

X=992


d- n= 5200

X=1024


3- Utilize os dados abaixo para determinar o tamanho da amostra necessária para estimar uma proporção ou porcentagem populacional: a- Margem de erro 0,02, nível de confiança 95%, P^ e Q^ desconhecidos. b- Margem de erro 0,01, nível de confiança 90%, P^ e Q^ desconhecidos c- Margem de erro 4 pontos percentuais, nível de confiança 99%, P^ estimado em 0,20 com base em estudos anteriores.


137


d- Margem de erro 2 pontos percentuais, nível de confiança 97%, P^ estimado em 0,85 com base em estudos anteriores.

4- A Itaú seguros deseja estimar a porcentagem dos motoristas que trocam fita ou CD enquanto dirigem. Uma amostra de 850 motoristas acusou 544 que trocam fitas ou CD quando dirigem. a- Determine a estimativa pontual da porcentagem de todos os motoristas que trocam fitas ou CD quando dirigem. b- Determine uma estimativa intervalar de 90% da porcentagem de todos os motoristas que trocam fitas ou CD.

5- Selecionados aleatoriamente e pesquisados 500 estudantes universitários, verificou-se que 135 deles têm computadores pessoais. A- Determine a estimativa pontual da verdadeira proporção populacional de todos os universitários que têm computador pessoal. B- Determine um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção de todos os universitários que têm computador pessoal.


138


15.5 ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL Mantendo a linha de estudos dos itens anteriores usaremos agora a VARIÂNCIA POPULACIONAL σ², no lugar do desvio padrão σ. Para isso usaremos a Distribuição Qui-Quadrado: (n − 1) . S X2 = σ2

2

, onde: n ≡ tamanho da amostra S² ≡ variância amostral σ² ≡ variância populacional

Denotamos Qui-Quadrado por Χ². Para achar os valores críticos dos valores Qui-Quadrado, recorremos à Tabela 1 a seguir. A Distribuição Qui-Quadrado é determinada pelo número de graus de liberdade. Neste capitulo utilizamos (n-1) graus de liberdade. Propriedades da Distribuição Qui-Quadrado. 1- A Distribuição Qui-Quadrado não é simétrica ao contrário das distribuições Normal e t de Student. Na medida que aumenta o número de graus de liberdade, a distribuição vai se tornando menos assimétrica. GL=10

GL=20

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2- Os valores podem ser zero ou positivos, nunca negativos. 3- Há uma distribuição Qui-Quadrado diferente para cada número de graus de liberdade. À medida que eles aumentam a distribuição tende à distribuição normal. Noções de Probabilidade e Estatística

139


Tabela 1 Cada valor critico Χ ² corresponde à uma área dada na linha superior da Tabela, e essa área representa a região total localizada à direita do valor critico. v é o Nº de graus de liberdade. X2

X2

X2

X2

X2

X2

X2

X2

X2 0,05

0,025

X2 0,01

X2

0,995

0,99

0,975

0,95

0,90

0,75

0,50

1

7,88

6,63

5,02

3,84

2,71

1,32

0,455

0,102 0,0158 0,0039 0,0010 0,0002 0,0000

2

10,6

9,21

7,38

5,99

4,61

2,77

1,39

0,575

0,211

0,103

0,05,6 0,0201 0,0100

3

12,8

11,3

9,35

7,81

6,25

4,11

2,37

1,21

0,584

0,352

0,216

0,115

0,072

4

14,9

13,3

11,1

9,49

7,78

5,39

3,36

1,92

1,06

0,711

0,484

0,297

0,207

5

16,7

15,1

12,8

11,1

9,24

6,63

4,35

2,67

1,61

1,15

0,831

0,554

0,412

6

18,5

16,8

14,4

12,6

10,6

7,84

5,35

3,45

2,20

1,64

1,24

0,872

0,676

7

20,3

18,5

16,0

14,1

12,0

9,04

6,35

4,25

2,83

2,17

1,69

1,24

0,989

8

22,0

20,1

17,5

15,5

13,4

10,2

7,34

5,07

3,49

2,73

2,18

1,65

1,34

9

23,6

21,7

19,0

16,9

14,7

11,4

8,34

5,90

4,17

3,33

2,70

2,09

1,73

10

25,2

23,2

20,5

18,3

16,0

12,5

9,34

6,74

4,87

3,94

3,25

2,56

2,16

11

26,8

24,7

21,9

19,7

17,3

13,7

10,3

7,58

5,58

4,57

3,82

3,05

2,60

12

28,3

26,2

23,3

21,0

18,5

14,8

11,3

8,44

6,30

5,23

4,40

3,57

3,07

13

29,8

27,7

24,7

22,4

19,8

16,0

12,3

9,30

7,04

5,89

5,01

4,11

3,57

14

31,3

29,1

26,1

23,7

21,1

17,1

13,3

10,2

7,79

6,57

5,63

4,66

4,07

15

32,8

30,6

27,5

25,0

22,3

18,2

14,3

11,0

8,55

7,26

6,26

5,23

4,60

16

34,3

32,0

28,8

26,3

23,5

19,4

15,3

11,9

9,31

7,96

6,91

5,81

5,14

17

35,7

33,4

30,2

27,6

24,8

20,5

16,3

12,8

10,1

8,67

7,56

6,41

5,70

18

37,2

34,8

31,5

28,9

26,0

21,6

17,3

13,7

10,9

9,39

8,23

7,01

6,26

19

38,6

36,2

32,9

30,1

27,2

22,7

18,3

14,6

11,7

10,1

8,91

7,63

6,84

20

40,0

37,6

34,2

31,4

28,4

23,8

19,3

15,5

12,4

10,9

9,59

8,26

7,43

21

41,4

38,9

35,5

32,7

29,6

24,9

20,3

16,3

13,2

11,6

10,3

8,90

8,03

22

42,8

40,3

36,8

33,9

30,8

26,0

21,3

17,2

14,0

12,3

11,0

9,54

8,64

23

44,2

41,6

38,1

35,2

32,0

27,1

22,3

18,1

14,8

13,1

11,7

10,2

9,26

24

45,6

43,0

39,4

36,4

33,2

28,2

23,3

19,0

15,7

13,8

12,4

10,9

9,89

25

46,9

44,3

40,6

37,7

34,4

29,3

24,3

19,9

16,5

14,6

13,1

11,5

10,5

26

48,3

45,5

41,9

38,9

35,6

30,4

25,3

20,8

17,3

15,4

13,8

12,2

11,2

27

49,6

47,0

43,2

40,1

36,7

31,5

26,3

21,7

18,1

16,2

14,6

12,9

11,8

28

51,0

48,3

44,5

41,3

37,9

32,6

27,3

22,7

18,9

16,9

15,3

13,6

12,5

29

52,3

49,6

45,7

42,6

39,1

33,7

28,3

23,6

19,8

17,7

16,0

14,3

13,1

30

53,7

50,9

47,0

43,8

40,3

34,8

29,3

24,5

20,6

18,5

16,8

15,0

13,8

40

66,8

63,7

59,3

55,8

51,8

45,6

39,3

33,7

29,1

26,5

24,4

22,2

20,7

50

79,5

76,2

71,4

67,5

63,2

56,3

49,3

42,9

37,7

34,8

32,4

29,7

28,0

60

92,0

88,4

83,3

79,1

74,4

67,0

59,3

52,3

46,5

43,2

40,5

37,5

35,5

70

104,2

100,4

95,0

90,5

85,5

77,6

69,3

61,7

55,3

51,7

48,8

45,4

43,3

80

116,3

112,3

106,0

101,9

96,6

88,1

79,3

71,1

64,3

60,4

57,2

53,5

51,2

90

128,3

124,1

118,1

113,3

107,6

98,6

89,3

80,6

73,3

69,1

65,6

61,8

59,2

100

140,2

135,8

129,6

124,3

118,5

109,1

99,3

90,1

82,4

77,9

74,2

70,1

67,3

140

0,10

X2

v


0,25

X2

0,005


EXEMPLO: Determine os valores críticos de Χ² que definem regiões criticas contendo uma área de 0,025 em cada cauda. Suponha que o tamanho da amostra seja 10, de modo que o número de graus de liberdade é 10-1= 9. Solução: Conforme a figura abaixo, o valor critico é obtido à direita (Χ² = 19,023) diretamente, localizando 9 na coluna de graus de liberdade à esquerda e 0,025 na parte superior. O valor critico Χ² = 2,70 à esquerda mais uma vez correspondente a 9 na coluna de graus de liberdade mas devemos localizar 0,975 (1- 0,025) na parte superior, porque os valores no topo são sempre áreas à direita do valor critico. Verifique na figura abaixo que a área total à direita de Χ ² = 2,70 e 0,975.

0,025

0,025

X

L

= 2,7

X R = 19,0

(Χ²L=2,7 , onde L ≡ “Left” ≡ esquerda)

(Χ²R=19,0 , onde R ≡ “Rigth” ≡ direita)

Este valor corresponde na coluna esquerda a 9 graus de liberdade e 0,025 na linha superior Χ² (GL=9)

Este valor corresponde na coluna esquerda a 9 graus de liberdade e 0,975 na linha superior.

Estimadores de σ² A variância amostral S² é a melhor estimativa pontual da variância populacional σ². Embora S² seja a melhor estimativa de σ² não podemos avaliar quão boa é essa estimativa, portanto estabelecemos uma estimativa intervalar mais reveladora.


141


Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) para a variância populacional σ². (n − 1) . S 2 (n − 1) . S 2 2 <σ < X 2R XL2

Dessa expressão deferimos a estimativa intervalar para o desvio padrão populacional através da raiz quadrada de cada componente. (n − 1) . S 2 (n − 1) . S 2 <σ< X 2R X L2

Com uma área total α dividida igualmente entre as extremidades de uma distribuição QuiQuadrado, X2L denota o valor crítico da extrema esquerda e X2R denota o valor crítico da extrema direita.

EXEMPLO: Uma confeitaria fabrica bombons que são embalados em pacotes com 12 unidades pesando no total 420 gramas. Se a variação dos bombons é muito grande, algumas caixas terão peso a menos (prejudicando o consumidor) e outras terão peso a mais (diminuindo o lucro). Este problema pode ser evitado se os bombons tiverem um peso médio de 35 gramas e um desvio padrão de 0,60 gramas ou menos. Selecionam-se aleatoriamente, na linha de produção, dez bombons que são pesados, dando os resultados a seguir: 35,8 35,0 36,8 36,1 34,2

35,2 36,6 35,0 33,6 34,2

(gramas)

Construa dois intervalos de confiança de 95%, um para σ² e outro para σ, e determine se o processo está com problemas.


142


SOLUÇÃO: Calculamos: __

X = 35,25 e S == 1,070 superior ao desejado 0,60.

Passamos à construção do intervalo de confiança de σ²: Com uma amostra de 10 valores, temos 9 graus de liberdade. Com o grau de confiança de 95%, dividimos α = 0,05 igualmente entre as duas caudas de distribuição Χ² e localizamos os valores 0,975 e 0,025 na linha superior. Os valores críticos de X2L e X2R na tabela são: X2L = 2,70 X2R = 19,0 __

e X = 35,25 e S == 1,070 n = 10 Aplicamos a fórmula (n − 1) . S 2 (n − 1) . S 2 2 <σ < X 2R XL2 (10 − 1) . 1,07 2 (10 − 1) . 1,07 2 2 <σ < 19,0 2,70 0,5423 < σ 2 < 3,8163

ou 0,7364 < σ < 1,9535 Com base nesses resultados parece que o desvio padrão populacional é sempre superior ao desejado σ = 0,60 mostrando que o peso dos bombons deve ser mais consistente. Deve-se controlar melhor o processo.


143


EXERCÍCIOS: 1- Ache os valores críticos X2L e X2R que correspondem ao grau de confiança e ao tamanho da amostra, dados: a-

95%

n = 26

b-

90%

n = 60

c-

99%

n = 17

d-

95%

n = 50

2- Use o grau de confiança e os dados amostrais indicados para achar um intervalo de confiança para o desvio padrão populacional σ. Em cada caso admita que a população tenha distribuição normal. __

a- Altura das alunas: 95% de confiança, n = 10, X = 164 , S = 4,5 __

b- Médias das notas: 99% de confiança, n = 15, X = 7,0 , S = 0,88 __

c- Notas de um teste: 95% de confiança, n = 16, X = 77,6 , S = 14,2 __

d- Salário da Polícia: 92% de confiança, n = 19, X = R $ 1200,00 , S= R$ 80,00 3- Suponha uma pesquisa numa Universidade, junto aos formandos do curso de Administração, sobre o tempo gasto para se formarem. A média é de 5,15 anos e o desvio padrão 1,68 anos. Suponha que a amostra seja de 100 alunos. Com base nesses dados amostrais, construa o intervalo de 99% de confiança para o desvio padrão do tempo gasto por todos os formandos.


144


16 TESTE DE HIPÓTESES ESTATÍSTICAS Já foi visto como uma amostra pode ser usada para desenvolver estimativas pontuais e do intervalo dos parâmetros da população. Agora, continuaremos a discussão da inferência estatística mostrando como o teste de hipóteses pode ser usado para determinar se uma declaração sobre o valor de um parâmetro da população deve ser rejeitado. No teste de hipóteses começamos fazendo uma hipótese tentativa sobre um parâmetro da população. Essa hipótese tentativa é chamada de hipótese nula e é denotada por H0. Definimos então uma outra hipótese, chamada de hipótese alternativa , que é o oposto do que foi estabelecido na hipótese nula. A hipótese alternativa é denotada por Ha. O procedimento do teste de hipóteses implica em usar dados de uma amostra para testar as duas declarações contrárias indicadas por H0 e Ha. O objetivo aqui é mostrar como o teste de hipóteses pode ser conduzido sobre uma média da população. Começaremos dando exemplos que ilustram abordagens para desenvolver as hipóteses nula e alternativa.

16.1 DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA Em algumas aplicações pode não ser óbvio como as hipóteses nula e alternativa devem ser formuladas. Deve-se tomar cuidado para estar seguro de que as hipóteses são estruturadas apropriadamente e que a conclusão do teste de hipóteses forneça as informações que o pesquisador ou o tomador de decisão deseja. Diretrizes para estabelecer as hipóteses nula e alternativa são dadas para três tipos de situações nas quais os procedimentos do teste de hipóteses são comumente empregados. Testando Hipóteses de Pesquisa Considere um modelo particular de automóvel que atualmente atinge uma eficiência média de combustível de 24 Km por litro. Um grupo de pesquisa do produto desenvolveu um novo motor especificamente projetado para aumentar a relação quilômetros por litro. Para avaliar o novo motor, diversos deles são fabricados, instalados em automóveis e submetidos aos testes de condução controlados pela pesquisa. Note Noções de Probabilidade e Estatística

145


que o grupo de pesquisa do produto está buscando evidências para concluir que o novo motor aumenta a média de quilômetros por litro. Neste caso, a hipótese de pesquisa é que o novo motor fornecerá uma média de quilômetros por litro que exceda 24; isto é, µ > 24. Como diretriz geral, uma hipótese de pesquisa como essa deve ser formulada como hipótese alternativa . Por isso as hipóteses nula e alternativa para esse estudo são: H0 : µ ≤ 24 Ha : µ > 24 Se os resultados da amostra indicam que H 0 não pode ser rejeitada, os pesquisadores não podem concluir que o novo motor seja melhor. Talvez mais pesquisas e testes subseqüentes devam ser realizados. No entanto, se os resultados da amostra indicam que H0 pode ser rejeitada, os pesquisadores podem fazer a inferência de que H a : µ > 24 seja verdadeira. Com essa conclusão, os pesquisadores têm o suporte estatístico necessário para estabelecer que o novo motor aumenta o número médio de quilômetros por litro. A ação para iniciar a produção com o novo motor pode ser empreendida. Em estudos de pesquisa como esse, as hipóteses nula e alternativa devem ser formuladas de modo que a rejeição de H0 suporte a conclusão e a ação que estão sendo procuradas. Em tais casos, a hipótese de pesquisa deve ser expressa como a hipótese alternativa. Testando a Validade de uma Afirmação Como uma ilustração do teste da validade de uma afirmação, considere a situação de um fabricante de refrigerantes que estabelece que os recipientes de dois litros de seus produtos têm uma média de pelo menos 2,1 litros de líquido. Uma amostra de recipientes de dois litros será selecionada e o conteúdo será medido para testar a afirmação do fabricante. Neste tipo de situação de teste de hipóteses, geralmente partimos do pressuposto de que a afirmação do fabricante é verdadeira. Usando essa abordagem para o exemplo dos refrigerantes, poderíamos estabelecer as hipóteses nula e alternativa como segue: H0 : µ ≥ 2,1 Ha : µ < 2,1


146


Se os resultados da amostra indicam que H 0 não pode ser rejeitada, a afirmação do fabricante não pode ser desafiada. No entanto, se os resultados da amostra indicam que H0 pode ser rejeitada, será feita a inferência de que Ha : µ < 2,1 é verdadeira. Com essa conclusão, a evidência estatística indica que a afirmação do fabricante está incorreta e que os recipientes de refrigerante estão sendo preenchidos com uma média menor do que os 2,1 litros declarados. Uma ação apropriada contra o fabricante pode ser considerada. Em qualquer situação que implica testar a validade de uma afirmação sobre o produto, a hipótese nula é geralmente baseada na hipótese de que a afirmação é verdadeira. A hipótese alternativa é então formulada de modo que a rejeição de H 0 fornecerá evidência estatística de que a hipótese estabelecida está incorreta. A ação para corrigir a afirmação deve ser considerada sempre que H0 é rejeitada. Testando em Situações de Tomada de Decisão Ao testar hipóteses de pesquisa ou testar a validade de uma afirmação, uma ação é tomada se H0 for rejeitada. Em muitos casos, no entanto, a ação precisa ser tomada tanto quando H0 não pode ser rejeitada como quando H 0 pode ser rejeitada. Em geral, esse tipo de situação ocorre quando um tomador de decisão precisa escolher entre dois cursos de ação, um associado com a hipótese nula e um outro associado com a hipótese alternativa. Por exemplo, com base em uma amostra de peças de um embarque que acabou de ser recebido, o inspetor de controle de qualidade precisa decidir se aceita o carregamento inteiro ou retorna o carregamento ao fornecedor porque ele não satisfaz as especificações. Considere que as especificações para uma determinada peça estabeleçam que um comprimento médio de duas polegadas seja desejado. Se a média for maior ou menor que duas polegadas, as peças causarão problemas de controle de qualidade na operação de montagem. Neste caso, as hipóteses nula e alternativa seriam formuladas como segue: H0 : µ = 2 Ha : µ ≠ 2 Se o resultado da amostra indica que H 0 não pode ser rejeitada, o inspetor de controle de qualidade não terá razões para duvidar de que o embarque satisfaz as especificações e o embarque será aceito. No entanto, se os resultados da amostra indicam que H0 deva ser Noções de Probabilidade e Estatística

147


rejeitada, a conclusão será de que as peças não satisfazem as especificações. Neste caso, o inspetor de qualidade terá evidência suficiente para retornar o embarque ao fornecedor. Assim, que para esses tipos de situações, a ação é tomada tanto quando H 0 não pode ser rejeitada como quando H0 pode ser rejeitada. Resumo das Formas para as Hipóteses Nula e Alternativa Seja µ0 denotando o valor numérico específico que está sendo considerado nas hipóteses nula e alternativa. Em geral, um teste de hipóteses ao redor dos valores de uma média de população µ precisa tomar uma das seguintes três formas: H0 : µ ≥ µ0

H0 : µ ≤ µ0

H0 : µ = µ0

Ha : µ < µ0

Ha : µ > µ0

Ha : µ ≠ µ0

Em muitas situações, a escolha de H 0 e de Ha não é óbvia e é necessário julgamento para selecionar a forma apropriada. No entanto, como as formas acima mostram, a parte de igualdade da expressão (tanto ≥, ≤ ou =) sempre aparece na hipótese nula. Ao selecionar a forma apropriada de H 0 e de Ha tenha em mente que a hipótese alternativa é o que o teste está tentando estabelecer. Por isso, perguntar se o usuário está procurando por evidência para confirmar µ < µ0, µ > µ0 ou µ ≠ µ0 ajudará a determinar Ha. A seguir, temos dois exercícios para proporcionar alguma prática na escolha da forma apropriada para o teste de hipóteses.


148


EXERCÍCIOS 1. O gerente de uma revenda de automóveis está considerando um novo plano de bônus concebido para aumentar o volume de vendas. Atualmente, o volume médio de vendas é de 14 automóveis por mês. O gerente quer realizar uma pesquisa para verificar se o novo plano de bônus aumentará o volume de vendas. Para coletar dados sobre o plano, uma amostra do pessoal de vendas terá permissão de realizar vendas sob o novo plano de bônus por um período de um mês. a. Desenvolva as hipóteses nula e alternativa mais apropriadas para essa situação de pesquisa. b. Comente a conclusão quando H0 não pode ser rejeitada. c. Comente a conclusão quando H0 pode ser rejeitada. 2. Devido aos tempos e aos altos custos das mudanças de turno, um diretor de fabricação precisa convencer a administração de que um proposto método de fabricação reduz os custos antes que o novo método seja implementado. O método corrente de produção opera com um custo médio de US$ 220 por hora. Uma pesquisa está para ser realizada em que o custo do novo método será medido com relação a um período de produção da amostra. a. Desenvolva as hipóteses nula e alternativa mais apropriadas para esse estudo. b. Comente a conclusão quando H0 não pode ser rejeitada. c. Comente a conclusão quando H0 pode ser rejeitada.


149


16.2 ERROS DO TIPO I E DO TIPO II As hipóteses nula e alternativa são declarações que rivalizam sobre um parâmetro da população. Tanto a hipótese nula H 0 pode ser verdadeira como a hipótese alternativa Ha pode ser verdadeira, mas não ambas. Idealmente o procedimento de teste de hipóteses deve levar à aceitação de H 0 quando H0 é verdadeira e à rejeição de H 0 quando Ha é verdadeira. Infelizmente esse resultado ideal nem sempre é possível. Como os testes de hipóteses estão baseados na informação da amostra, precisamos levar em consideração a possibilidade de erros. A tabela a seguir ilustra os dois tipos de erros que podem ocorrer ao testar hipóteses. ERROS E CONCLUSÕES CORRETAS NO TESTE DE HIPÓTESE Condição da População Conclusão

H0 Verdadeira

Ha Verdadeira

Aceitar H0

Conclusão Correta

Erro do Tipo II

Rejeitar Ho

Erro do Tipo I

Conclusão Correta

A primeira linha da tabela acima mostra o que pode acontecer quando a conclusão é aceitar H0. Como tanto H0 como Ha são verdadeiras, se H0 é verdadeira e a conclusão é aceitar H0, essa conclusão é correta. No entanto se H a é verdadeira e a conclusão é aceitar H0, comete-se um erro do Tipo II ; isto é, aceita-se H0 quando ela é falsa. A segunda linha da tabela acima mostra o que acontece quando a conclusão é para rejeitar H0. Nesse caso, se H0 é verdadeira, comete-se um erro do Tipo I ; isto é, rejeitamos H0 quando ela é verdadeira. No entanto, se H a é verdadeira e a conclusão é rejeitar H0, essa conclusão é correta. Embora não possamos eliminar a possibilidade de erros no teste de hipóteses, podemos considerar as possibilidades de suas ocorrências. Usando a notação usual de estatística, denotamos as possibilidades de se cometer os dois erros como segue: α ≡ a possibilidade de se cometer um erro do Tipo I β ≡ a possibilidade de se cometer um erro do Tipo II


150


Lembre-se da ilustração do teste de hipóteses discutida na página 136, em que um grupo de pesquisa de produtos para automóveis tinha desenvolvido um novo motor projetado para aumentar a taxa de quilômetros por litro de um determinado automóvel. Com o atual motor fazendo uma média de 24 quilômetros por litro, o teste de hipóteses foi formulado como segue: H0 : µ ≤ 24 Ha : µ > 24 A hipótese alternativa Ha : µ > 24, indica que os pesquisadores estão procurando por uma evidência de amostra que confirmará a conclusão de que a média de quilômetros por litro é maior que 24. Nesta aplicação, o erro do Tipo I de rejeitar H 0 quando ela é verdadeira corresponde aos pesquisadores afirmarem que o novo motor melhora a média de quilômetros por litro (µ > 24) quando de fato o novo motor não é nada melhor do que o motor em uso. Em contraste, o erro do Tipo II de aceitar H 0 quando ela é falsa corresponde aos pesquisadores concluírem que o novo motor não é nada melhor do que o motor em uso (µ ≤ 24) quando de fato o novo motor melhora o desempenho de quilômetros por litro. Na prática, a pessoa que conduz o teste de hipóteses especifica a probabilidade máxima permissível de se cometer o erro do Tipo I, chamado de nível de significância para o teste. Escolhas comuns para o nível de significância são 0,05 e 0,01. Referindo-se à segunda linha da tabela acima, observe que a conclusão de rejeitar H 0 indica que tanto um erro do Tipo I como uma conclusão correta foram feitos. Assim, se a probabilidade de se cometer um erro do Tipo I é controlada por selecionar um pequeno valor para o nível de significância, temos um alto grau de confiança de que a conclusão para rejeitar H 0 está correta. Em tais casos, temos o suporte estatístico para concluir que H 0 é falsa e que Ha é verdadeira. Qualquer ação sugerida pela hipótese alternativa H a é apropriada. Embora a maioria das aplicações de teste de hipóteses esteja atenta à probabilidade de se cometer um erro do Tipo I, nem sempre estão atentas à probabilidade de se cometer um erro do Tipo II. Por isso se decidimos aceitar H0 não podemos determinar quão confiantes podemos estar com aquela decisão. Por causa da incerteza associada com o “cometer o erro do Tipo II”, os estatísticos freqüentemente recomendam que usemos a declaração “não rejeitar H0” em vez de “aceitar H0”. Usar a declaração “não rejeitar H0” inclui a recomendação para reter tanto o julgamento como a ação. Com Noções de Probabilidade e Estatística

151


efeito, por nunca aceitar diretamente H0, o estatístico evita o risco de se cometer o erro do Tipo II. Sempre que a probabilidade de se cometer um erro do tipo II não tenha sido determinada e controlada, não tiraremos a conclusão de aceitar H 0. Em tais casos, somente duas conclusões são possíveis: não rejeitar H0 ou rejeitar H0. Observação: Muitas aplicações de teste de hipóteses têm um objetivo de tomada de decisão. A conclusão rejeitar H 0 fornece o suporte estatístico para concluir que H a é verdadeira e tomar a ação apropriada, seja ela qual for. A declaração de não rejeitar H 0, embora inconclusiva, freqüentemente força os tomadores de decisão (como por exemplo, os gerentes) a se comportarem como se H0 fosse verdadeira. Neste caso, os tomadores de decisão precisam estar cientes do fato que tal comportamento pode resultar num erro do Tipo II.


152


EXERCÍCIOS 1. O rótulo em um recipiente de três quartos de suco de laranja indica que esse suco contem uma média de um grama de gordura ou menos. Responda às seguintes questões para um teste de hipóteses que poderia ser usado para testar a declaração no rótulo. a. Desenvolva as hipóteses nula e alternativa apropriadas. b. Qual é o erro do Tipo I nessa situação? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? c. Qual é o erro do Tipo II nessa situação? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? 2. Suponha que um novo método de produção será implementado se um teste de hipóteses suportar a conclusão de que o novo método reduz os custos médios operacionais por hora. a. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa apropriadas se o custo médio para o corrente método de produção é US$ 220 por hora. b. Qual é o erro do Tipo I nessa situação? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? c. Qual é o erro do Tipo II nessa situação? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro?


153


16.3 TESTES UNILATERAIS (OU UNICAUDAIS) DA MÉDIA DA POPULAÇÃO: O CASO DA GRANDE AMOSTRA Testes Unilaterais da Média da População Vamos generalizar o procedimento de teste de hipótese para testes unilaterais sobre a média da população. Consideramos o caso de grande amostra (n ≥ 30) no qual o __

Teorema do Limite Central nos possibilita assumir que a distribuição amostral de X possa ser aproximada por uma distribuição normal de probabilidade. No caso de grande amostra com σ desconhecido, simplesmente substituímos o desvio-padrão da amostra s por σ no cálculo da estatística do teste. A forma geral de um teste de cauda inferior, onde µ0 é um valor estabelecido para a média da população, é apresentado a seguir. Teste de Hipótese de Grande Amostra (n ≥ 30) da Média da População para um Teste Unilateral da forma: H0 : µ ≥ µ0 Ha : µ < µ0 Estatística do Teste: σ conhecido: __

z =

X − µ 0 σ

n

Estatística do Teste: σ desconhecido: __

z =

X − µ 0 s n

Regra de Rejeição a um Nível de Significância de α: Rejeitar H0 se z < - zα OBS.: Na maioria das aplicações usa-se o desvio-padrão da amostra s no cálculo da estatística do teste porque o desvio-padrão σ é desconhecido Noções de Probabilidade e Estatística

154


Uma segunda forma do teste unilateral rejeita a hipótese nula quando a estatística do teste está na cauda superior da distribuição amostral. Esse teste unilateral e a regra de rejeição são resumidamente apresentados a seguir. Novamente, estamos considerando o caso da grande amostra; quando σ é desconhecido, σ pode ser substituído por s na estatística do teste z. Teste de Hipótese de Grande Amostra (n ≥ 30) da Média da População para um Teste Unilateral da forma: H0 : µ ≤ µ0 Ha : µ > µ0 Estatística do Teste: σ conhecido: __

z =

X − µ 0 σ

n


z =

X − µ 0 s n

Regra de Rejeição a um Nível de Significância de α: Rejeitar H0 se z > zα


155


Seja µ0 representando o valor da média da população na hipótese. A forma geral do teste de hipótese bilateral da média da população é apresentada a seguir: Teste de Hipótese de Grande Amostra (n ≥ 30) da Média da População para um Teste Bilateral da forma: H0 : µ = µ0 Ha : µ ≠ µ0 Estatística do Teste: σ conhecido: __

z =

X − µ 0 σ

n


z =

X − µ 0 s n

Regra de Rejeição a um Nível de Significância de α: Rejeitar H0 se z < - zα /2 ou se z > zα /2

Etapas do Teste de Hipóteses Um resumo das etapas que podem ser aplicadas a qualquer teste de hipóteses é apresentado a seguir: 1. Determinar as hipóteses nula e alternativa que são apropriadas para a aplicação. 2. Selecionar a estatística de teste que será usada para decidir rejeitar ou não a hipótese nula. 3. Especificar o nível de significância α para o teste. 4. Usar o nível de significância para desenvolver a regra de rejeição que indica os valores da estatística de teste que levará à rejeição de H0. 5. Coletar os dados amostrais e calcular o valor da estatística de teste. 6. Comparar o valor da estatística do teste com o(s) valor(es) crítico(s0 especificado(s) na regra de rejeição para determinar se H0 deve ser rejeitada.


156


EXEMPLO

Suponha que entre pessoas sadias a concentração de certa substância se comporta segundo um modelo normal com média 14 unidades/ml e desvio-padrão 6 unidades/ml. Pessoas sofrendo de uma doença específica têm a concentração alterada para 18 unidades/ml. Admitimos que o modelo normal, com desvio-padrão 6 unidades/ml, continua representando de forma adequada a concentração da substância em pessoas com a doença.

sadio

doente

14

18

Observe que as curvas, representando as concentrações, irão se cruzar em algum momento, fazendo com que uma certa proporção de indivíduos na população sadia possa apresentar valores de concentração tão altos (ver região marcada na figura acima) quanto aqueles observados para pessoas doentes, ainda que este evento ocorra com baixa probabilidade. Desejamos averiguar se um certo tratamento, proposto para combater a doença, é eficaz.


157


Uma amostra aleatória de tamanho n = 30 é selecionada entre indivíduos doentes que foram submetidos ao tratamento. Representemos as concentrações dos indivíduos da amostra por X1 , ..., X30. Sabemos que para i = 1, 2, ..., 30, temos Xi aproximada por uma distribuição normal com µ e σ2 , isto é, Xi ~ N(µ, 36), Onde: σ2 = 62 = 36 e, µ = 14 ou µ = 18 dependendo se o tratamento for eficiente ou não.

Caso a amostra forneça valor alto “próximo” de 18 unidades/ml, teremos evidências de que o tratamento não é eficaz, ao passo que um valor baixo e “próximo” de 14 nos levaria a crer que o tratamento apresenta resultados satisfatórios, logo: H0 : o tratamento não é eficaz Ha : o tratamento é eficaz Ou seja, H0 : µ = 18

Hipóteses

Ha : µ = 14

Simples


158


Resumindo: -

Pessoa sadia: 14 unidades/ml 6 unidades/ml

N(14,36)

-

Pessoa doente: 18 unidades/ml 6 unidades/ml

N(18,36)

Deseja-se testar se a média populacional µ é igual a 14, caso em que os indivíduos pertencem à população de sadios, contra a alternativa µ é igual a 18, correspondente à população de doentes. Se o tratamento for eficaz, então uma amostra com 30 indivíduos podem ser vistos como membros da população com concentração modelada por uma normal N(14,36); caso contrário, eles pertencerão à população N(18,36). Observação: a caracterização do que significa “próximo” depende, entre outros fatores, da variabilidade da concentração na população. Como n = 30 é aleatório, o problema necessita de uma análise probabilística: teste de hipóteses para a média com variância conhecida. No teste teremos: -

__

X ≡ média

__

amostral ( X é um estimador de µ) __

-

a tomada de decisão será baseada no valor observado, denotado por x obs

-

n = 30 (tamanho da amostra)

N(µ, 36/30)


(lembrando que s =

159

σ

n

2

e

2

s =

σ

n

)


Observações:

(1) Mesmo quando µ = 14,

__

X pode apresentar valores maiores que 14, e,

__

P( X > 14  µ =14) = 0,5 (pela simetria) (2) Um critério que pode ser utilizado, para decidir sobre o valor de µ, é determinar um valor crítico, xC, tal que, se

__

X > xC

a amostra pertence à população com µ = 18, ou seja, o tratamento não é eficaz.

(3) Quando

__

X ≤ xC

a amostra pertence à população com µ = 14, ou seja, o tratamento é eficaz.

µ = 14

µ = 18

__

xC

x

obs

(4) Hipóteses simples: H0 : µ = 18, tratamento não é eficaz Ha : µ = 14, tratamento é eficaz É mais usual utilizarmos hipóteses unilaterais ou bilaterais, ou seja:


160


H0 : µ = 18, tratamento não é eficaz Unilateral Ha : µ < 18, tratamento é eficaz

H0 : µ = 18, tratamento não produz efeito Bilateral Ha : µ ≠ 18, tratamento produz efeito

Lembrando que: α = P(erro

do tipo I) = P(rejeitar H0  H0 verdadeira)

β = P(erro do tipo II) = P(não rejeitar H0  H0 falsa)


161


Considerando o teste UNILATERAL, temos: H0 : µ = 18 Ha : µ < 18 α = P(concluir que o tratamento

é eficaz quando na verdade ele não é)

β = P(concluir que o tratamento não é eficaz quando na verdade ele é)

(A situação ideal é: α e β próximas de zero.).

α

β

Sadio Ha

Doente H0

14

18

xC

Região de Rejeição de H0

Região de Aceitação de H0

À medida que diminuirmos α, β tende a aumentar, fato diretamente relacionado com a posição (ou valor) de xC. α é

chamado de nível de significância do teste e é o erro mais importante a ser

evitado.


162


Supondo α conhecido, podemos encontrar x C da seguinte forma: α = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H0  H0 verdadeira) __

__

= P( X < xC  µ =18) (ou simplesmente P( X < xC))  __    − µ C -18 X x  ( ou seja, P(z < zC), com z ~ N(0, 1).) < = P 6   σ   30   n

zC =

xC -18 6

xC =18 + zC .

6 30

30

Por exemplo, para α = 0,05, temos:

α=0,05

18


163


Logo, da tabela de áreas simétricas nas caudas (página 122), temos: para 0,05 em uma das caudas, por simetria, temos uma área total nas duas caudas igual a 0,10, logo zα /2 (= zC) = -1,645 (pois está à esquerda do eixo da média) Portanto:

xC =18 + ( −1,645)

6 30

14

=16,1980 ⇒ xC ≅16,20

18

16,20

Região de Rejeição ou Região Crítica (RC)


164


__

Se x obs < 16,20 ⇒ H0 é rejeitada ⇒ o tratamento é eficaz RC = {x ∈ |R : x < 16,20} (Teste Unilateral)

(obs. : RA ≡ Região de Aceitação, que é complementar à RC)


165


Considerando o teste BILATERAL, temos: H0 : µ = µ0 Ha : µ ≠ µ0 RC = {x ∈ |R : x < xC1 ou x > xC2}

xC1

__

xC2

µ0

__

α = P( X < xC1 ou X > xC2), onde:

α 2

__

=

P( X < xC1) e

α 2

__

=

P( X > xC2)

se α = 0,05 ⇒ tab. pág. 122 ⇒ zC1 = -1,96 e zC2 = 1,96 logo,


166


xC1 =18 + zC1 .

6 30

xC1 =18 + (−1,96) .

e

xC2 = 18 + zC2 .

6 30

e

6 30

xC2 = 18 + (1,96) .

6 30

xC1 = 15,85 e xC2 = 20,15

15,85

18

20,15

RC = {x ∈ |R : x < 15,85 ou x > 20,15} (Teste Bilateral)


167


EXEMPLO:

Uma variável aleatória tem distribuição normal e desvio-padrão 12. Estamos testando se a sua média é igual ou diferente de 20 e coletamos uma amostra de 100 valores dessa variável, obtendo uma média amostral de 17,4. (a) Formule as hipóteses; (b) Obtenha a RC e dê a conclusão para os seguintes níveis de significância ( α): 1%, 2%, 4%, 6% e 8%.


168


SOLUÇÃO:

(a) H0 : µ = 20 Ha : µ ≠ 20

xC1

µ0

xC2

(b) Para n = 100, dados µ = 20 e σ = 12, temos N (µ, σ2) = N (20, 144/100) e RC = {x ∈ |R : x < xC1 ou x > xC2} __

__

α = P( X < xC1 ou X > xC2), onde:

α 2

__

=

P( X < xC1) e

α 2

__

=

P( X > xC2)

(b.1) se α = 0,01 ⇒ tab. pág. 122 ⇒ zC1 = -2,576 e zC2 = 2,576 logo, xC1 = 20 + zC1 .

12 100

xC1 = 20 + (−2,576) .

e

xC1 = 20 + zC2 .

12 100

e

12 100

xC1 = 20 + (2,576) .

12 100

xC1 =16,91 e xC2 = 23,09

Portanto: para α = 1% ⇒ RC = {x ∈ |R : x < 16,91 ou x > 23,09} ⇒não rejeitar H0 pois 17,4 ∉ RC 16,91


169

20

23,09


Analogamente, temos: (b.2) para α = 2% ⇒ RC = {x ∈ |R : x < 17,21 ou x > 22,79} ⇒não rejeitar H0 pois 17,4 ∉ RC

(b.3) para α = 4% ⇒ RC = {x ∈ |R : x < 17,54 ou x > 22,46} ⇒rejeitar H0 pois 17,4 ∈ RC




170


17 CORRELAÇÃO 17.1 INTRODUÇÃO Até agora nossa preocupação era descrever a distribuição de valores de uma única variável. Com esse objetivo, aprendemos a calcular medidas de tendência central (média, mediana e moda) e variabilidade (variância e desvio padrão). Quando, porém, consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge um novo problema: as relações que podem existir e obter duas ou mais variáveis estudadas. Assim, quando consideramos variáveis como peso e altura de um grupo de pessoas, uso do cigarro e incidência do câncer, a potência gasta e a temperatura da água no chuveiro, procuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual o grau dessa relação. Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas. Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o instrumento adequado para descobrir e medir essa relação. Uma vez caracterizada a relação, procuramos descrevê-la através de uma função matemática. A regressão é o instrumento adequado para a determinação dos parâmetros dessa função.

17.2 RELAÇÃO FUNCIONAL E RELAÇÃO ESTATÍSTICA Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença matemática: P=4L P= PERÍMETRO L= LADO DO QUADRADO Atribuindo-se, então, um valor qualquer de L, é possível determinar exatamente o valor do perímetro. Noções de Probabilidade e Estatística

171


Considerando, agora a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas, é evidente que essa relação não é do mesmo tipo da anterior, ela é bem menos precisa. Assim, pode acontecer que as estaturas diferentes correspondam a pesos iguais ou que estaturas iguais correspondam a pesos diferentes. Porém, em média, quanto maior a estatura, maior o peso. As relações do tipo perímetro são conhecidas como relações funcionais. As relações do tipo peso-estatura, como relações estatísticas. Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe uma correlação entre elas.

17.3 DIAGRAMA DE DISPERSÃO Consideremos uma amostra aleatória, formada por 98 alunos de uma classe de uma Universidade e pelas notas obtidas por eles em matemática e estatística: NOTAS Nº

01 08 24 38 44 58 59 72 80 92

MATEMÁTICA (xi)

ESTATÍSTICA (yi)

5,0 8,0 7,0 10,0 6,0 7,0 9,0 3,0 8,0 2,0


6,0 9,0 8,0 10,0 5,0 7,0 8,0 4,0 6,0 2,0

172


Representando, em um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, os parâmetros (xi ; yi), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos DIAGRAMA DE DISPERSÃO. Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, porém útil, da correlação existente: yi 10 . o .

o

8 .

o

.

o

o

6 .

o

o

.

o

4 .

o

. 2 .

o

. .

2

.

.

4

.

.

.

6

.

.

.

8

.

10 xi

17.4 CORRELAÇÃO LINEAR Os pontos obtidos, vistos em conjunto formam uma elipse em diagonal. Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elipse mais ela se aproximara de uma reta. Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem como “imagem” uma reta, sendo, por isso denominada de correlação Linear. Noções de Probabilidade e Estatística

173


É possível verificar que a cada correlação está associada como “imagem“ uma relação funcional. Por esse motivo, as relações funcionais são chamadas relações Perfeitas.

yi 10 .

RETA IMAGEM

.

o

o

8 .

o

.

o

o

6 .

o

o

.

o

4 .

o

. 2 .

o

. .

2

.

.

4

.

.

.

6

.

.

.

8

.

10 xi

Como a correlação em estudo tem como “imagem” uma reta ascendente, ela e chamada de correlação Linear Positiva. Assim uma correlação é: a- Linear Positiva se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma reta ascendente; b- Linear Negativa se os pontos têm como ”imagem” uma reta descendente; c- Não Linear se os pontos têm como “imagem” uma curva.


174


Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida, concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo. Temos: o oo ooo oo ooooo ooo ooooo oo o oo

correlação positiva

o oo ooo oo ooooo ooo ooooo oo o oo

correlação negativa

o o oo oo oooo ooo oo oo ooo ooooo o correlação não linear ooo oooo ooooo ooo oo oo o oooo oo ooo

oo o o o o o o o oooo ooo o ooo oo ooo oooo oooo oooo o o oo ooo ooooo o o ooo oo o ooooo


175

não há correlação


17.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR O instrumento empregado para a medida de correlação Linear é o Coeficiente de correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo). Faremos uso do coeficiente de correlação de Person, que é dado por: r=

n ∑ x i y i − ( ∑ x i ) (∑ y i ) [n ∑ x i2 − (∑ x i ) 2 ][n ∑ y i2 − ( ∑ y i ) 2 ]

Onde: n = número de observações Os valores limites de r são -1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [ -1 e +1]. Assim:

A- Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = +1. B- Se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1 C- Se não há correlação entre as variáveis ou a relação é por acaso não linear, então r = 0.

NOTAS Para que uma relação possa ser descrita por meio do Coeficiente de correlação de Person é imprescindível que ela se aproxime de uma função Linear. Uma maneira prática de verificarmos a linearidade da relação é a inspeção do Diagrama de Dispersão: se a elipse apresenta saliências ou reentrâncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de uma relação curvilínea. - Para podermos tirar algumas conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que: 0,6 ≤ | r | ≤ 1 Se 0,3 ≤ | r | < 0,6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis. Se 0 < | r | < 0,3, a correlação é muito fraca e, praticamente, nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo. -


176


Em seguida vamos calcular o coeficiente de correlação relativos ao exercício anterior. O modo mais prático para obtermos r é abrir, na tabela, colunas correspondentes aos valores de xi yi, x i2 e y 2i . Assim:

MATEMÁTICA (xi) 5,0 8,0 7,0 10,0 6,0 7,0 9,0 3,0 8,0 2,0 Σ=65

ESTATÍSTICA (yi)

xi yi

x 2i

6,0 9,0 8,0 10,0 5,0 7,0 8,0 4,0 6,0 2,0

30 72 56 100 30 49 72 12 48 04

25 64 49 100 36 49 81 09 64 04

Σ=473

Σ=481

Σ=65

y 2i

36 81 64 100 25 49 64 16 36 04 Σ=475

Logo: r=

10 . 473 − 65 . 65 505 505 = = = 0,911 554 , 18 [4810 − 4225 ][4750 − 4225 ] 585 . 525

Daí: r = 0,91 - Resultado que indica uma correlação linear positiva altamente significativa entre as duas variáveis.


177


17.6 CUIDADOS COM OS ERROS COM A INTERPRETAÇÃO DE CORRELAÇÃO Identificamos a seguir três dos erros mais comuns cometidos na interpretação de resultados que envolvem correlação. 1- Devemos evitar a conclusão de que a correlação implica em casualidade . Um

estudo mostrou uma correlação entre salários de professores de estatística e o consumo individual de cerveja. Porém essas duas variáveis são afetadas pelas condições econômicas que envolvem não só os professores de estatística. Aparece, neste caso, uma terceira variável oculta.

2- Surge outra fonte de erro potencial quando os dados se baseiam em taxas ou médias . Quando utilizamos taxas ou médias para os dados, suprimimos a variação entre

os indivíduos ou elementos, e isto pode levar a um coeficiente de correlação inflacionado.

3- Um terceiro erro diz respeito à propriedade de linearidade . A conclusão de que não

há correlação linear significativa não quer dizer que x e y não estejam relacionados de alguma forma provavelmente possa haver uma correlação não linear.


178


EXERCÍCIOS:

1- Complete o esquema de cálculo do coeficiente de correlação para os valores das variáveis xi e yi : xi yi

4 12

6 10

8 8

10 12

12 14

Temos:

(xi)

(yi)

4,0 ……. ……. ..….. 12,0

12,0 ……. …… …… 14,0

Σ=

Σ=

x i2

xi yi

Σ=

Σ=

y i2

Σ=

Logo:

r=

. [

−

−

][

. −

]

=

.

=

=

ONDE: r =


179


2- Padronize cada conjunto de escores e calcule o coeficiente de correlação. A(xi) 34 30 40 34 39 35 42 45 43 Σ=

(yi)

xi yi

x 2i

y i2

21 22 25 28 15 24 24 22 17 Σ=

Σ=

Σ=

Σ=

B-

(xi)

(yi)

3,9 4,6 6,0 2,8 3,1 3,4 4,2 4,0

46 46 52 50 48 40 42 44

Σ=

Σ=


xi yi

Σ=

180

x 2i

Σ=

y 2i

Σ=


3- Determine o coeficiente de correlação para os dois conjuntos de valores abaixo:

1ª AVALIAÇÃO 2ª AVALIAÇÃO

estudante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Σ=

(xi)

(yi)

82 84 86 83 88 87 85 83 86 85 87

92 91 90 92 87 86 89 90 92 90 91 Σ=

x i2

xi yi

Σ=

Σ=

y i2

Σ=

4- Com os dados abaixo, sobre crimes violentos e a temperatura média entre 21 e 2 horas das noites de sábado numa grande comunidade, monte o gráfico para os dados e calcule o coeficiente de correlação. Crimes Violentos/ 1000 residentes 5,0 2,2 4,1 5,4 2,8 3,0 3,6 4,9 4,1 4,2 2,0 2,7 3,1


temperatura média (°F) 87 50 75 90 55 54 68 85 82 80 45 58 66

181


18 REGRESSÃO 18.1 INTRODUÇÃO Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos sempre uma análise de regressão. Podemos dizer que a análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente. Assim, supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis.

18.2 GRÁFICO DE LINHAS É comum, para quem trabalha na área de administração e negócios, observar o comportamento de uma variável ao longo do tempo. Por exemplo, um executivo acompanha a cotação diária das ações da sua empresa, um gerente acompanha o volume semanal de vendas da sua loja, um engenheiro de produção acompanha características de qualidade do produto que fabrica. As séries temporais são dados produzidos e monitorados ao longo do tempo. Quando se fazem observações ao longo do tempo, é preciso registrar tanto o valor observado como o momento de observação. Depois, com esse conjunto de dados, é possível fazer um gráfico de linhas. O gráfico de linhas é usado para apresentar a variação das séries temporais.


182


Para fazer o gráfico de linhas: i. colete os valores da variável Y nos tempos que você pretende estudar; ii. trace um sistema de eixos cartesianos e represente o tempo no eixo das abscissas e a variável Y no eixo das ordenadas; iii. estabeleça as escalas; iv. escreva o nome das variáveis nos respectivos eixos. Depois faça as graduações; v. faça um ponto para representar cada par de valores x e y; vi. una os pontos por segmentos de reta; vii. escrever o título. Exemplo: Variação percentual do PIB, no Brasil

Ano

Variação percentual do PIB, no Brasil

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998*

1,03 -0,54 4,92 5,85 4,22 2,76 3,68 0,15

*Nota: O valor do PIB em 1998 foi de 901 bilhões de Reais. Fonte IBGE, (1999)

Gráfico de linhas Variação percentual do PIB, no Brasil 7,00 6,00 B I P o d o ã ç a i r a V

5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 -1,00

1991

1992


1993

183

1994

1995

1996

1997

1998*


18.3 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Se você aumentar o lado de um quadrado em 1 cm, a área aumenta, não é mesmo? E se você continuar aumentando o lado do quadrado de 1 cm em 1 cm, a área continuará aumentando. Você saberia dizer exatamente a área do quadrado para cada tamanho de lado. Pense agora em um supermercado que vai aumentar seu gasto com propaganda porque – dizem – quem não se anuncia se esconde. Vamos então pensar o aumento do volume de vendas como função do aumento dos gastos com propaganda. Você acha que existe uma relação exata entre essas variáveis, isto é, para cada real a mais gasto com propaganda haverá um aumento fixo no volume de vendas? Não é bem assim. As vendas aumentam em certas épocas do ano. O volume de vendas também depende dos preços e aumentos de salário, depende da concorrência e outras coisas além, é claro, da propaganda. Mesmo que nós conhecêssemos todas as causas que explicam o volume de vendas em supermercados, ainda assim não saberíamos prever exatamente o volume de vendas. Sempre existiria o acaso, aumentando ou diminuindo o volume de vendas. Com estes exemplos queremos lembrar que existem relações determinísticas como é a relação entre lado e área de um quadrado e relações probabilísticas como é a relação entre gasto com propaganda e volume de vendas. No primeiro caso, não existe espaço para erro na previsão, isto é, dado o lado de um quadrado você pode dizer exatamente qual é a área. No segundo caso é possível alguma previsão,mas dentro de certas margens de erro. Então a relação entre as duas variáveis admite o que os estatísticos chamam de erro aleatório. O exemplo a seguir, mostra que o tempo de entrega de um carregamento aumenta em função da distância rodoviária a ser percorrida. Então é possível prever o tempo de entrega de um carregamento, desde que se conheça a distância rodoviária a ser percorrida e se tenha o modelo matemático que estabelece a relação entre as variáveis. É o que se chama, em Estatística, análise de regressão . Mas como se acha o modelo matemático da função? Observe cuidadosamente o diagrama de dispersão feito para o exemplo a seguir.


184


Exemplo: Tempo de entrega de dez carregamentos em função da distância rodoviária Distância (em Km)

Tempo de entrega (em dias)

825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

3,50 1,00 4,00 2,00 1,00 3,00 4,50 1,50 3,00 5,00

Fonte Kazmier, (1982)

Diagrama de Dispersão Tempo de entrega de dez carregamentos em funçaõ da distância rodoviária 6 a 5 g e r t n 4 e e d 3 o p 2 m e T 1

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Distância

Parece existir uma reta que dá o tempo de entrega de um carregamento em função da distância rodoviária a ser percorrida. Você se lembra da equação de uma reta? Veja a figura abaixo e lembre que uma reta é dada pela equação: Y = α + βX.


185


O coeficiente linear α dá a altura em que a reta corta o eixo das ordenadas e o coeficiente angular β é a tangente trigonométrica do ângulo θ, formado pela reta Y = α + βX e uma paralela ao eixo das abscissas, de ordenada igual a α. Reta de regressão Y

Y = α + βX θ

α

β = tg θ X

Se X é a variável que representa a distância rodoviária e Y é a variável que representa o tempo de entrega, então o modelo que relaciona as duas variáveis é: Y = α + βX + ε, onde α e β indicam os coeficientes linear e angular da reta, respectivamente, e ε indica o erro aleatório. Para obter as estimativas

∧

α

∧

e β de α e β, aplicam-se as fórmulas apresentadas em

seguida. Fórmula do coeficiente angular:

Fórmula do coeficiente linear:

x∑y n β= ( ∑ x )2 2 ∑x − n ∧

∑ xy − ∑

_ ∧_ α = y −β x ∧

Reta de regressão é a reta que relaciona as variáveis X e Y. A variável Y é denominada dependente e a variável X é denominada explanatória.


186


Cálculos intermediários

X2

Y2

X

Y

XY

825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

3,50 1,00 4,00 2,00 1,00 3,00 4,50 1,50 3,00 5,00

2887,5 215,0 4280,0 1100,0 480,0 2760,0 6075,0 487,5 2010,0 6075,0

7620

28,50

26370,0 7104300,00

680625,00 46225,00 1144900,00 302500,00 230400,00 846400,00 1822500,00 105625,00 448900,00 1476225,00

12,25 1,00 16,00 4,00 1,00 9,00 20,25 2,25 9,00 25,00 99,75

∧

Para obter β : 7620 . 28,5 4653 10 β= = = = 0,0035851≅ 0,0036 2 1 297 860 (7620) 7 104 300 − 10 26370,0 −

∧

Para obter

∧

α

: _

7620 = 762 x= 10

_

e

y=

28,5 = 2,85 10

_ ∧_ ⇒ α = y − β x = 2,85 − 0,0036.762 = 0,1068 ≅ 0,11 ∧

Reta de regressão ajustada aos dados Tempo de entrega de dez carregamentos em função da distância rodoviária 6 g 5 e r t n 4 e e d 3 o p 2 m e T 1

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Distância


187


Observação: Antes de ajustar uma reta de regressão, desenhe o diagrama de dispersão. Esse cuidado ajuda a prevenir o uso de modelos inadequados. Algumas vezes, basta observar o diagrama para perceber que a relação entre as variáveis não é linear.

EXERCÍCIO: 1- A tabela abaixo apresenta o tempo, em meses, que seis pessoas estão trabalhando na inspeção de carros e o número de carros que elas inspecionaram em uma tarde de trabalho. Ajuste uma reta de regressão aos dados e calcule o coeficiente de determinação. Se uma pessoa tivesse trabalhado dez meses, quantos caros ela teria inspecionado? Exercício: Número de carros inspecionados, segundo o tempo de serviço, em meses, de seis pessoas Tempo

Carros inspecionados

5 1 7 9 2 12

16 15 19 23 14 21


188


PRINCIPAIS REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D.J.; WILLIAMS, T.A. Estatística Aplicada à Administração e Economia ; Ed. Thomson, 2003. BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Métodos Quantitativos: Estatística Básica ; Atual Editora, 1987. LEITE, O.P.; DAMASCENO, B.C. Apostilas de “Estatística”, “Estatística Aplicada” e “Probabilidade e Estatística” dos cursos de Administração de Negócios 2º semestre, Administração de Negócios 3º semestre e Sistemas de Informação, respectivamente.

UNISO – Universidade de Sorocaba, 2002. MAGALHÃES, M.N.; LIMA, A.C.P. Noções de Probabilidade e Estatística ; EDUSP, 2002. VIEIRA, S. Princípios de Estatística ; Ed Pioneira, 1999.


189


Anexo 1: Tabela: Distribuição t de Student

Anexo : TABELA: DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT


i


Anexo 1: Tabela: Distribuição t de Student


ii


Anexo 2: Apresentação do Curso

UNIDADE UNIVERSITÁRIA: FACULDADE DE ENGENHARIA UNESP- CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DEPARTAMENTO RESPONSÁVEL: MATEMÁTICA DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROFª: BERENICE CAMARGO DAMASCENO

BIBLIOGRAFIA BÁSICA BÁSICA: MEYER, Paul L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Tradução por Ruy de C.B. Lourenço Filho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1991. 426p. BUSSAB, W. O. e MORETTIN, P.A. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. São Paulo, Atual, 2002, 526p. COMPLEMENTAR: MOOD, A.M.; GRAYBILL, F.A.; BOES, D.C. Introduction to the Theory of Statistics, Tokyo, McGraw-Hill Kogakusha, 1974. 564p. SPIEGEL, MURRAY, R. Estatística. McGraw-Hill/Makron Books, São Paulo, 1993, 639p. MAGALHÃES, M.N.; LIMA, A.C.P. Noções de Probabilidade e Estatística; EDUSP, 2010.



Nocoes de Probabilidade e Estatistica 2

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