Lista de Exercícios: soluções - Unidade 3 3.1
Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 15 kg e rigidez k = k = 600 kN/m. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de amplitude F amplitude F 0= 30 N e freqüência: (a) = 50 rad/s; (b) =190 rad/s; (c) = 500 rad/s Dados: m = 15 kg,f k kg,f k = = 600 kN/m, F kN/m, F 0 = 30 N e freqüência: (a) = 50 rad/s; (b) =190 rad/s; (c) = 500 rad/s F 0 30 a) X 53,33106 m 2 2 k m 600000 15 50 F 0 30 b) X 512,8 106 m 2 k m 600000 15 1902 F 0 30 c) X 9,524 106 m 2 2 k m 600000 15 500
3.2
Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 0,3 kg e rigidez k = k = 1 kN/m. Determinar a magnitude da força atuante que produz uma vibração com amplitude 0,5 mm e freqüência 377 rad/s. Dados: m = 0,3 kg, k = k = 1 kN/m, X kN/m, X = = 0,5 mm e = 377 rad/s. 3 2 F 0 X k m 0,5 10 1000 0,3 3772 20,82 N
3.3
Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4 kN/m e é submetida a uma força harmônica com amplitude de 100 N e frequência de 5 Hz. Observa-se que a amplitude d o movimento forçado da massa é 20 mm. Determinar o valor da massa m. Dados: k = k = 4 kN/m, F kN/m, F 0 = 100 N, f N, f = = 5 Hz e X e X = = 20 mm. F 0 k m 2 X Solução 1 F 0 k m 2 X 100 F 4000 k 0 0,02 X 1,013 kg m 2 2 52 massa negativa solução impossível Solução 2 F 0 k m 2 X 100 F 4000 k 0 0,02 X 9,119 kg m 2 2 52
3.4
Em um sistema massa-mola é aplicada uma força harmônica F (t ) = F 0 cos t em t em um ponto da mola localizado a uma distância de 25% de seu comprimento, como mostra a Fig. 3.1, medida a partir da extremidade fixa. Assumindo que não há amortecimento, determinar a resposta de regime permanente da massa m.
Figura 3.1
Associação em série k 1 4k e k 2
4
k 3 Equação do movimento para força aplicada em 25% do comprimento da mola 0 0 F 0 cos t k 1 x0 k 2 x0 x m0 x
k 2 x x0 mx Da primeira x0
F 0 cos t k 2 x k 1 k 2
Substituindo na segunda k k F k 1 2 x 0 2 cos t m x k 1 k 2 k 1 k 2 Com
k 1 4k
e
k 2
4 3
k
4k 4 k
4 k 3 x 3 m x F 0 cos t 4 4 4k k 4k k 3 3 F 0 kx cos t m x 4 Com n
k m
Solução xt
3.5
F 0 4k m
2
cos t
Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 6 kg e rigidez desconhecida. Executou-se um teste com uma força harmônica de amplitude F 0 = 1 kN e freqüência = 250 rad/s e a amplitude de vibração medida foi 2,5 mm. Determinar a rigidez da mola. Dados: m = 6 kg, F 0 = 1 kN, = 250 rad/s e X = 2,5 mm. F 0 k m 2 X Solução 1 F 0 k m 2 X F 1000 6 2502 775,0 kN/m k 0 m 2 3 X 2,5 10 Solução 2
F 0 X
k m 2
k
3.6
F 0 X
m 2
1000 2,5 10
3
6 2502 25,00 kN/m
Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude F 0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força é aplicada é = 350 rad/s, a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência muda para = 500 rad/s a amplitude se t orna 1,2 mm. Determinar a massa e a ri gidez do sistema. Dados: F 0 = 30 N, = 350 rad/s, X 1 = 0,2 mm e = 500 rad/s, X 2 = 1,2 mm. F 0 X k m 2 Situação 1: n 500 rad/s X
F 0
k m 2
0,0002
30 k m 350 30
2
k m 500 k 270,1 kN/m m 0,9804 kg
2
0,0012
n 524,9 rad/s Solução possível Situação 2: 350 n 500 rad/s X
F 0
k m 2
0,0002
30 k m 350 30
0,0012
2
k m 500 k 318,1 kN/m m 1,373 kg
2
n 481,4 rad/s Solução possível Situação 3: n 350 rad/s X
F 0
k m
0,0002
2
30 k m 350 30
2
k m 500 k 270,1 kN/m
2
0,0012
m 0,9804 kg Rigidez e massa negativas, solução impossível. 3.7
Um compressor de refrigeração, mostrado na Fig. 3.2, está montado sobre quatro molas de rigidez k = 20 kN/m cada, possuindo uma massa m = 55 kg. As molas possuem um amortecimento desprezível. Devido ao projeto do compressor, existe uma força harmônica vertical de 12 N oscilando na freqüência de operação de 1750 rpm. Determinar a amplitude da vibração vertical do compressor.
Figura 3.2 Dados: quatro molas, k = 20 kN/m cada, m = 55 kg, amortecimento desprezível, F 0 = 12 N e f = 1750 rpm. F 0 12 6,791106 m X 2 2 k eq m 1750 4 20000 55 2 60 k
n
80000
m
55
38,14 rad/s
n 3.8
Para medir uma força harmônica causada por um desbalanceamento em um compressor de ar de pistão de massa m = 80 kg, como ilustra a Fig. 3.3, um engenheiro o montou sobre uma plataforma de massa M = 50 kg, que pode oscilar horizontalmente sem atrito, por meio de um suporte elástico com rigidez na direção horizontal k = 3500 N/m. A amplitude de vibração medida na freqüência de operação foi 0,0005 m. Calcular a magnitude da força de desbalanceamento horizontal, desconsiderando o amortecimento.
Figura 3.3 Dados: m = 80 kg, M = 50 kg, k = 3,5 kN/m, X = 0,5 mm e f = 1150 rpm 1150 2 f 2 120,4 rad/s 60 k
n
M m
3500 80 50
5,189 rad/s
n X
F 0
k m 2
F 0 X k m 2
2 2 F 0 0,00053500 80 50 1150 940,9 N 60
3.9
Um motor elétrico de massa m = 22 kg, mostrado na Fig. 3.4, está localizado no centro de uma viga de aço de seção transversal retangular, com b = 0,2 m e t = 10 mm, bi-apoiada, de comprimento L = 1 m. A magnitude da força harmônica vertical (causada por desbalanceamento) é 55 N quando a freqüência de rotação do motor é 58 Hz. Determinar a amplitude da vibração resultante, desprezando o amortecimento. ( E = 210 GPa)
Figura 3.4 Dados: m = 22 kg, b = 0,2 m, t = 10 mm, L = 1 m, F 0 = 55 N, f = 58 Hz e E = 210 GPa.
k X
48 EI
48 210 10 9
L3 F 0
k m
2
13
0,2 0,013 12 168,0 kN/m
55 168000 22 2 58
2
19,97 106 m
3.10 O núcleo móvel do relé eletromagnético mostrado na Fig. 3.5 possui massa m = 12 gr. Ele está apoiado na extremidade inferior na mola de rigidez k = 3000 N/m e na extremidade superior, na posição de contato fechado, lâminas elásticas que proporcionam o contato elétrico possuem rigidez total de 1200 N/m, na direção do movimento do núcleo. Uma força harmônica causada pelo campo elétrico, de magnitude 1,3 N atua ao longo do eixo do núcleo na freqüência síncrona de 60 Hz. Determinar a amplitude de vibração do núcleo, desprezando o amortecimento.
Figura 3.5 Dados: m = 12 gr, k 2 = 3000 N/m, k 1 = 1200 N/m, F 0 = 1,3 N e f = 60 Hz. k k 1 k 2 1200 3000 4200 N/m
X
F 0 k m
2
1,3 4200 0,012 2 60
2
0,5211 mm
3.11 Um sistema massa-mola é submetido a uma força harmônica cuja frequência está próxima à frequência natural do sistema. Se a frequência com que a força é aplicada é 39,8 Hz e a frequência natural é 40,0 Hz, determinar o período de batimento. Dados: f n = 40,0 Hz e f = 39,8 Hz. 1 1 2,5 s T b 2 f n f 2 40 39,8 3.12 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, constante de amortecimento c = 1200 N.s/m, e rigidez 600000 N/m. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude F 0 = 30 N e freqüência: (a) = 50 rad/s; (b) =190 rad/s;
(c) = 500 rad/s Dados: m = 15 kg, c = 1200 N.s/m e k = 600 kN/m. F 0 30 a) X 53,03 106 m 2 2 2 2 k m 2 c 600000 15 502 1200 50
1200 50 c tan 1 0,1063 rad 2 2 k m 600000 15 50
tan 1
b) X
F 0
k m c 2 2
30
127,5 106 m
600000 15 190 1200 190 2 2
2
2
1200 190 c 1 tan 1,320 rad 2 2 k m 600000 15 190
tan 1
c) X
F 0
k m c 2 2
2
30
600000 15 500 1200 500 2 2
9,356 106 m
2
1200 500 c 1 tan 0,1882 rad 2 2 k m 600000 15 500
tan1
3.13 Um oscilador harmônico possui massa m = 0,3 kg, coeficiente de amortecimento c = 21 N.s/m e rigidez k = 1000 N/m. Determinar a magnitude da força harmônica atuante com uma freqüência = 377 rad/s que resulta em uma amplitude de vibração de 0,5 mm. Dados: m = 0,3 kg, c = 21 N.s/m e k = 1000 N/m, = 377 rad/s e X = 0,5 mm.
F 0 X k m 2 c 0,5 103 2
2
1000 0,3 377 21 377 2 2
2
21,19 N
3.14 Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento = 0,2 sofre a ação de uma força harmônica de amplitude F 0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força atua é = 350 rad/s a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência é = 500 rad/s a amplitude torna-se 0,12 mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador. Dados: = 0,2, F 0 = 30 N, = 350 rad/s X = 0,2 mm e = 500 rad/s X = 0,12 mm. F 0 k
X
1 n
2
2
2 2 n
de onde F 0 X
k
1 n
2
2
2 2 n
e para os dois valores de freqüência e amplitudes 30 k
0,2 10 2
3
2 350 2 350 2 0,2 1 n n
30 0,12 10
k
3
2
2 300 2 500 2 0,2 1 n n
Resolvendo, chega-se a n 405,7 rad/s , k 349,2 kN/m e m = 2,122 kg 3.15 Um sistema massa-mola-amortecedor está submetido a uma força harmônica. Achou-se uma amplitude na ressonância de 20 mm e de 10 mm em uma frequência 0,75 vezes a frequência de ressonância. Determinar o fator de amortecimento do sistema. Dados: X res = 20 mm e X = 10 mm com = 0,75 wn F 0 X
k
1 r 2 r 2 2
2
r = 1 X = 0,02 m F 0 k X 2 r = 0,75 X = 0,01 m F 0 X
k
1 0,75 2 0,75 2 2
2
Resolvendo, chega-se a = 0,1180 3.16 Resolver o Problema 3.7 assumindo que o sistema possui amortecimento e que foi medido um decremento logarítmico de 0,05. Dados: k = 20 kN/m, m = 55 kg, = 0,05, F 0 = 12 N, f = 1750 rpm. 0,05 7,957 103 2 2 2 2 2 2 0,05
n
k m
4 20000
38,14 rad/s
55
c 2 m n 2 7,96 103 55 38,1 33,38 N.s/m
2 183,3 rad/s 60
1750 X
F 0
k m c 2 2
2
12
80000 55 183 33,4 183 2 2
6,791106 m
2
3.17 Resolver o Problema 3.10 assumindo que o sistema está criticamente amortecido. Dados: m = 12 gr, k 2 = 3000 N/m, k 1 = 1200 N/m, F 0 = 1,3 N, f = 60 Hz e = 1.
n
k m
3000 1200 0,012
591,6 rad/s
2 f 2 60 377,0 rad/s
r
n
377,0 591,6 F 0
X
0,6372 1,3
k
4200
1 r 2 r 2 2
1 0,6372 2 1 0,6372 2 2
2
0,2201 mm
2
3.18 Em um sistema vibratório, m = 10 kg, k = 2,5 kN/m, e c = 45 N.s/m. Sobre a massa, atua uma força harmônica de amplitude 180 N e frequência 3,5 Hz. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e 5 m/seg, determinar a expressão que representa o movimento da massa. Dados: m = 10 kg, k = 2500 N/m, c = 45 N.s/m, F 0 = 180 N, f = 3,5 Hz. x0 = 15 mm e v0 = 5 m/seg, 2 f 2 3,5 21,99 rad/s k
n
m
r
n
2500
10
22,0
15,8 c
2m n
15,81 rad/s
1,391 45
2 10 15,8
0,1423
d n 1 2 15,81 1 0,1423 15,65 rad/s xt X 0 e X
n t
cos d t 0 X cos t F 0
F 0
k m c 2 2
2
180
k
1 r 2 r 2 2
2
2500
1 1,391 2 0,1423 1,391 2 2
70,95 mm
2
c 1 2 r 1 2 0,1423 1,391 0,4007 rad tan tan 2 2 2 k m 1 r 1 1,391
tan 1 X 0
1
d
v
1 15,65
0
n x0 X cos X sin x0 X cos d 2 2
2
5 0,1423 15,81 0,015 0,07095 cos 0,4007 21,99 0,07095 sin 0,4007 0,015 0,07095 cos 0,4007 15,65
2
2
2
0,3547 m v n x0 X cos X sin tan 1 0 d x0 X cos 5 0,1423 15,81 0,015 0,07095 cos 0,4007 21,99 0,07095 sin 0,4007 tan 1 15,65 0,015 0,07095 cos 0,4007 2 0,1423 1,391 tan 1 1,428 rad 2 1 1,391 3.19 Observou-se que a amplitude de pico de um sistema de um grau de liberdade, sob excitação harmônica é 0,5 cm. Se a frequência natural do sistema é 5 Hz, e a deflexão estática da massa sob a ação da força máxima é 0,25 cm, (a) estimar o fator de amortecimento do sistema, e (b) determinar as frequências correspondentes à amplitude de meia potência. Dados: X pico = 0,5 cm, f n = 5 Hz, st = 0,25 cm (a) Fator de amortecimento
X 1 0,005 2 2 0 , 0025 2 1 st máx
4 2
1 16
0
1
1
2
4 1
2
1
0,9330
16
2
0,06699
Como 0,933 > 0,5
0,06699 0,2588 (b) Frequências de meia potência
1,401 f 1 7,004 Hz r 1, 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0,2588 2 2 0,2588 1 0,2588 2 0,3313 f 2 1,657 Hz 3.20 No sistema mostrado na Fig. 3.6, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade da mola de rigidez k 1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t ) = Y cos t , determinar: (a) a equação do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P ,
Figura 3.6 (a) equação do movimento da massa m k 2 x c2 x k 1 x y m x
c2 x k 1 k 2 x k 1Y cos t m x (b) deslocamento de regime permanente k 1Y cos t 1 x p t k 1 k 2 m 2 2 c2 2
k 1 k 2 m c2
1 tan 1
2
(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P k 1Y k 2 cos t 1 c2 sin t 1 F T k 2 x c2 x k 1 k 2 m 2 2 c2 2 2 k 1Y k 2 c2
2
F T
k k m c 2 2
1
2
2
2
3.21 No sistema mostrado na Fig. 3.7, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t ) = Y cos t, determinar: (a) a equação do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P ,
Figura 3.7 (a) equação do movimento da massa m k 2 x c2 x c1 x y m x
c1 c2 x k 2 x c1 y c1 Y sin t m x (b) deslocamento de regime permanente c1 Y sin t 1 x p t k 1 m 2 2 c1 c2 2
c1 c2 2 k 2 m
1 tan 1
(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P c1Y 2 F T k 2 x c2 x c2 cos t 1 k 2 sin t 1 2 k 2 m 2 c1 c2 2 2 c1Y k 2 c2
2
F T
k m c c 2
2
2
2
1
2
3.22 No sistema mostrado na Fig. 3.8, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do da mola de rigidez k 1 e do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t ) = Y cos t, determinar: (a) a equação do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P ,
Figura 3.8 (a) equação do movimento da massa m k 2 x c2 x k 1 x y c1 x y m x
c1 c2 x k 1 k 2 x k 1 y c1 y k 1Y cos t c1 Y sin t m x (b) deslocamento de regime permanente k Y cos t 1 c1 Y sin t 1 x p t 1 k 1 k 2 m 2 2 c1 c2 2
c2 2 k 1 k 2 m
c
1 tan 1
1
(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P Y k 1k 2 c1c2 2 cos t 1 k 2 c1 k 1c2 sin t 1 F T k 2 x c2 x 2 2 2 k 1 k 2 m c1 c2 2 Y k 1k 2 c1c2 k 2 c1 k 1c2 2
F T
2
k k m c 2
2
1
2
1
c2
2
3.23 Modelou-se um automóvel como um sistema de um grau de liberdade vibrando na direção vertical. Este veículo trafega em uma estrada cuja elevação varia senoidalmente. A distância entre pico e vale é 0,1 m e a distância ao longo da estrada entre dois picos é 35 m. Se a frequência natural do automóvel é 1 Hz e o fator de amortecimento dos absorvedores de choque é 0,15, determinar a amplitude de vibração do automóvel quando está com uma velocidade de 60 km/h. Dados: 2 X = 0,1 m, L = 35 m, f n = 1 Hz, = 0,15 e v = 60 km/h. L L 35 t 0 2,1 s v t 0 v 60000
3600
2
t 0
2 2,1
2,992 rad/s
n 2 f n 2 1 6,283 rad/s r
n
2,99 6,28
0,4762
1 2 r
2
X Y
1 r 2 r 2 2
2
0,1
1 2 0,15 0,4762
2
1 0,4762 2 0,15 0,4762
2
2 2
2
0,06423 m
3.24 Um oscilador harmônico possui massa m = 2 kg e rigidez k = 4500 N/m. O suporte vibra na freqüência de 50 Hz com amplitude 0,5 mm. Determinar a amplitude da vibração resultante não amortecida. Dados: m = 2 kg, k = 4500 N/m, f = 50 Hz e Y = 0,5 mm. 2 f 2 50 100 rad/s
n r
n
X
k
4500
m
47,43 rad/s
2 100 47,43
Y
1 r
6,623
2 2
0,5 10
3
1 6,623
2 2
11,66 106 m
3.25 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, rigidez k = 6 x 107 N/m e fator de amortecimento = 0,05. O suporte vibra na freqüência de 200 Hz com amplitude de 1 mm. Determinar (a) a amplitude da vibração resultante; (b) A amplitude da força transmitida. 7 Dados: m = 15 kg, k = 6 x 10 N/m, = 0,05, f = 200 Hz e Y = 1 mm. (a) Amplitude da vibração resultante 2 f 2 200 1257 rad/s
n
k m
6 10 15
7
2000 rad/s
r
n
1257 2000
0,6281
1 2 r
2
X Y
1 2 0,05 0,6281
2
1 r 2 r 2 2
2
0,001
1 0,6281 2 0,05 0,6281 2 2
2
1,647 mm
(b) Amplitude da força transmitida F T m 2 X 15 1257 2 0,00165 39,01 kN 3.26 Um automóvel de massa m = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfície irregular com perfil senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 m. Se a freqüência natural do carro é 0,8 Hz, com amortecimento crítico, determinar: (a) a amplitude de vibração vertical; (b) a força transmitida para o veículo. Dados: m = 1000 kg, = 1, v = 80 km/h, Y = 60 mm, L = 0,3 m e f n = 0,8 Hz, (a) Amplitude de vibração vertical L L 0,3 t 0 0,0135 s v t 0 v 80000
3600
2
t 0
2 0,0135
465,4 rad/s
n 2 f n 2 0,8 5,027 rad/s 465 ,
r
5,03
n
1 2r
92 ,59
1 2 92,59
2
X Y
2
1 r 2r 2 2
2
0,06
1 92,59 2 92,59 2 2
2
1,296 103 m
(b) Força transmitida para o veículo F T m 2 X 1000 465,4 2 0,001296 280,7 kN 3.27 Um compressor de ar, pesando 4500 N e operando a 1500 rpm, é montado sobre um isolador. Existem disponíveis para utilização duas molas helicoidais, uma de rigidez igual a 80 kN/cm e a outra de rigidez igual a 25 kN/cm, e um absorvedor de choque com fator de amortecimento igual a 0,15. Selecionar o melhor sistema de isolamento para o compressor. Dados: W = 4500 N, f = 1500 rpm, k 1 = 80 kN/cm, k 2 = 25 kN/cm e = 0,15. O melhor sistema de isolamento é o que tr ansmite a menor força. 1500 2 f 2 157,1 rad/s 60 1ª opção – usando a mola de menor rigidez sem amortecedor
n
k
m
25 105 73,82 rad/s 4500 9,81
r
n
157,1 73,82
2,128 4500
F T Y
2
m
1 r
2
157,12
9,81 2 1 2,128
3,209 103 kN/m
2ª opção – usando a mola de maior rigidez sem amortecedor
n
80 10 132,1 rad/s 4500 5
k
m
9,81 r
n
157,1 132,1
1,189 4500
2
F T
m
1 r
2
Y
9,81
157,12
1 1,189
27,29 103 kN/m
2
3ª opção – usando as duas molas associadas em série k k 25 801010 1,905103 kN/m k eq 1 2 k 1 k 2 25 80105 1,905 10 64,44 rad/s 4500 6
k
n
m
9,81 r
n
157,1 64,44
2,438 4500
F T
2
Y
m
1 r
2
157,12
9,81 2 1 2,438
2,290 103 kN/m
Como em todos os casos r 2 , o acréscimo de amortecimento aumentará a força transmitida. Desta forma a melhor solução é a 3ª opção. 2
3.28 Um sistema torsional consiste de um disco com momento de inércia de massa J 0 = 10 kg.m , um amortecedor torsional de constante c = 300 N.m.s/rad, e um eixo de aço de diâmetro igual a 4 cm e comprimento de 1 m (fixo em uma extremidade e contendo o disco na outra extremidade), com G = 85 GPa. Observou-se uma amplitude de regime o permanente de 2 quando um torque de magnitude 1000 N.m foi aplicado no disco. Determinar: (a) a frequência com que o torque foi aplicado; (b) o máximo torque transmitido ao suporte. 2
o
Dados: J 0 = 10 kg.m , c = 300 N.m.s/rad, d = 4 cm, l = 1 m, G = 85 GPa, = 2 e T 0 = 1000 N.m. (a) Frequência com que o torque foi apl icado d 4 0,044 I 2,513107 m 4 32 32
GI
k t
l
n
k t
85 109 2,513107 1 21,3 103
J 0 c
2 J 0 n
10
46,22 rad/s
300 2 10 46,22
T 0
0,3245 2
k t
1 r 2 r 2 2
21,36 kN.m/rad
2
2
T 2 2 0 1 r 2 2 r k t
1000 1,798 1 r 2 2 2 r 2 2 21,36 103 180
Resultando na equação r 4 1,579r 2 0,7983 0 Cuja solução é dada por
1,982 0,4029
1,579 1,579 4 0,7983 2
r 2
2
Só a primeira solução é possível r 1,408 Conduzindo a r n 1,408 46,22 65,06 rad/s (b) Máximo torque transmitido ao suporte
T T k t 2 c 2
21,3610 300 65,06 3 2
2
3 2 1,010 10 kN.m 180
3.29 Um eixo de aço vazado ( E = 210 GPa), de comprimento 2,5 m, diâmetro externo 10 cm e diâmetro interno 9 cm, contém um rotor de turbina que pesa 2200 N, no centro de seu comprimento e está apoiado em mancais de rolamento nas suas extremidades. A folga entre o rotor e o estator é 1,25 cm. O rotor tem uma excentricidade equivalente a um peso de 2 N situado em um raio de 5 cm. Foi instalado um sistema que interrompe a rotação do rotor sempre que o mesmo estiver na iminência de tocar o estator. Se o rotor operar na ressonância, quanto tempo levará para que o sistema de proteção seja ativado? Assumir que as condições iniciais são nulas. Dados: E = 210 GPa, l = 2,5 m, d e = 10 cm, d i = 9 cm, W = 2200 N, X = 1,25 cm, mg = 2 N e e = 5 cm.
d e4 d i4
4
I
0,14 0,094
1,688106 m 4 64 64 48 EI 48 210 109 1,688106 k 3 1,089103 kN/m 3 l 2,5
n
k g W
1,089 10 9,81 6
2200 2
2
me n
69,69 rad/s
0,05 69,692
9,81 45,45 106 m 6 k 1,089 10 Na ressonância o movimento é x t xt x0 cos n t 0 sen n t st n sin n t n 2
st
Com condições iniciais nulas t xt st n sin n t 2 Limitando o deslocamento na ressonância em 0,025 m, o mesmo será atingido no tempo t 0, calculado por 45,45 106 69,69 0,0125 t 0 sin 69,69t 0 1,584 103 t 0 sin 69,2t 0 2 t 0 0,09194 s 3.30 Uma hélice do rotor traseiro de um helicóptero tem uma massa desbalanceada m = 0,5 kg a uma distância e = 0,15 m do eixo de rotação, como mostra a Fig. 3.9. A cauda (tail section) do helicóptero tem um comprimento de 4 m, uma 2 massa de 240 kg, uma rigidez flexional ( EI ) de 2,5 MN.m , e um fator de amortecimento de 0,15. A massa do rotor traseiro, incluindo as lâminas e o motor, é 20 kg. Determinar a resposta de regime permanente da cauda quando as lâminas giram a 1500 rpm.
Figura 3.9 2
Dados: m = 0,5 kg, e = 0,15 m, l = 4 m, M cauda = 240 kg, EI = 2,5 MN.m , = 0,15, M rotor = 20 kg e f = 1500 rpm 1500 2 f 2 50 rad/s 60
k
3 EI
l 3
3 2,5 106
M eq M rotor
n r
n
k
3
117,2 kN/m
100 kg
1,17 10
M eq
5
34,23 rad/s
100
157
43 M cauda
34,2
4,589 0,5 0,15 157
2
me k
X
1 r 2 r 2 2
1,17 10
2
5
1 4,59 2 0,15 4,59 2 2
2
0,7855 mm
2
2 r 1 2 0,15 4,59 0,06853 rad tan 2 2 1 r 1 4,59 xt X cos t 0,7855 cos50 t 0,06853 mm tan 1
6
3.31 Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2×10 N/m possuindo neste ponto um disco de massa m = 200 kg. O eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento = 0,05, e uma massa desbalanceada me = 50 gr com uma excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibração. 6 Dados: k = 1,2×10 N/m, m = 200 kg, f = 3600 rpm, = 0,05, me = 50 gr e e = 0,20 m. 3600 2 f 2 120 rad/s 60
n r
n
k
1,2 106
m
77,46 rad/s
200 377 77,5
4,867 0,05 0,2 4,867
2
me er X
m
1 r 2 r 2 2
2
2
200
1 4,867 2 0,05 4,867 2 2
52,19 106 m
2
3.32 Um motor elétrico de velocidade variável, desbalanceado, é montado sobre um isolador. Quando é dada partida ao motor, observou-se que as amplitudes de vibração são de 1,4 cm na ressonância e 0,4 cm bem acima da ressonância. Determinar o fator de amortecimento do isolador. Dados: X res = 1,4 cm e X r> >1 = 0,4 cm.
Na ressonância me X r 1 M 0,014 m 2 Bem acima da ressonância MX r 1 me n 1 0,004 me M Então o fator de amortecimento é me 0,004 0,1429 M 2 X r 1 2 0,014 3.33 Quando um exaustor de massa 380 kg está apoiado em molas com amortecimento desprezível, a deflexão estática resultante é 45 mm. Se o exaustor t em um desbalanceamento rotativo de 0,15 kg.m, determinar: (a) a amplitude de vibração a 1750 rpm e (b) a força transmitida para a base nesta velocidade. Dados: m = 380 kg, st = 45 mm, me = 0,15 kg.m e f = 1750 rpm. 1750 2 f 2 183,2 rad/s 60
n r
n
g
st
9,81
0,045
377 77,5
14,76 rad/s
12,41 0,15 12,41
2
2
meer X
m
1 r 2 r 2 2
2
380
1 12,41
2 2
0,3973 mm
k m n2 380 14,762 82,84 kN/m
F T kX 82,84 0,3973 32,91 N 3
3.34 Uma viga de aço ( = 7800 kg/m , E = 210 GPa) bi-engastada, com comprimento igual a 5 m, largura de 0,5, e espessura de 0,1 m, suporta um motor de massa 750 kg operando com uma velocidade de 1200 rpm em seu centro, 2 como mostra a Fig. 3.10. Uma força rotativa, de magnitude F 0 = me = 5000 N, se desenvolve devido ao desbalanceamento no rotor do motor. Determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o fator de amortecimento do sistema é = 0,15. (a) desconsiderando a massa da viga e (b) considerando a massa efetiva da viga. F0
t
l /2
l /2
Figura 3.10
3
2
Dados: = 7800 kg/m , E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F 0 = me = 5000 N e = 0,15
2 f 2 I k
bt 3
0,5 0,13
12 192 EI 3
1200
125,7 rad/s
60
4,167 105 m 4
12 192 2,11011 4,17 105
134,4 106 kN/m
3
l 5 (a) desconsiderando a massa da viga k
n r
1,344 10
m
n
7
133,9 rad/s
750 126
0,9387
134
5000
F 0 k
X
1 r 2 r 2 2
1,344 107
1 0,9387 2 0,15 0,9387 2 2
2
1,217 mm
2
(b) considerando a massa efetiva da viga mviga V btL 7800 0,5 0,1 5 1950 kg mef m
mef
n
750
3
k
n r
mviga
1950
1,34 10
1400
126 98,0
3
1400 kg
7
97,98 rad/s
1,283 5000
F 0 X
k
1 r 2 r 2 2
2
1,344 10
7
1 1,283 2 0,15 1,283 2 2
0,4954 mm 2
3.35 Se o motor elétrico do Problema 3.34 é montado na extremidade livre da mesma viga de aço, agora engastada em sua outra extremidade engastada (Fig. 3.11) , determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o fator de amortecimento do sistema é = 0,15 (a) desconsiderando a massa da viga e (b) considerando a massa efetiva da viga. F0
t
l
Figura 3.11 3
2
Dados: = 7800 kg/m , E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F 0 = me = 5000 N e = 0,15 1200 2 f 2 125,7 rad/s 60
I
bt 3 12
0,5 0,13 12
41,67 106 m 4
k
3 EI
3 2,11011 4,167 105
l 3 53 (a) desconsiderando a massa da viga
n r
k
2,110
m
n
5
16,73 rad/s
750 126
210 kN/m
7,510
16,7
5000
F 0 k
X
1 r 2 r 2 2
2,1105
1 7,510 2 0,15 7,510 2 2
2
0,4294 mm
2
(b) considerando a massa efetiva da viga mviga V btL 7800 0,5 0,1 5 1950 kg mef m
n r
n
mviga
750
3
k
3
2,1105
mef
1950
12,25 rad/s
1400
126
1400 kg
10,26
12,2
5000
F 0 k
X
1 r 2 r 2 2
2,1105
1 10,26 2 0,15 10,26 2 2
2
0,2282 mm
2
3.36 Uma bomba centrífuga pesando 600 N e operando a 1000 rpm, é montada em seis molas de rigidez 6000 N/m cada, associadas em paralelo, com amortecimento = 0,2. Determinar a máxima excentricidade permissível para o rotor, de forma que a amplitude de regime permanente se limite a 5 mm pico a pico. Dados: W = 600 N, f = 1000 rpm, k = 6 × 6000 N/m, = 0,2 e 2 X = 5 mm W 600 m 61,16 kg g 9,81
2 f 2 n r
n
k m
1000 60
3,6 10
4
24,26 rad/s
61,2
105 24,3
104,7 rad/s
4,316 2
mer X
M
1 r 2 r 2 2
2
Com M = m
0,0025 2 2 X 2 2 1 4,3162 2 0,2 4,316 2,377 mm 1 r 2 2 r 2 2 r 4,318
e
