TALLER DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA
Nilson Cantillo Pérez Manuel Mendoza Turizo Daniel Pedroza Periñn !uan D" Pérez Palen#ia Palen#ia $a%in &illarra'a Palen#ia
(ni)ersidad de Carta'ena $a#ultad de In'enier*a Pro'ra+a de In'enier*a ,u*+i#a A%ril - de ./00 0" Clasi1#ar Clasi1#ar las si'uientes si'uientes )aria%les )aria%les aleatorias aleatorias #o+o dis#retas dis#retas o #ontinuas"
X: el número de accidentes de automóvil por año en el estado de Virginia. Y: Y: el tiempo que toma jugar 18 hoyos de gol. gol. !: la cantidad de leche producida anualmente por una vaca en particular. ": el número de huevos que pone mensualmente una gallina. #: el número de permisos para la construcción de edi$cios que otorga mensualmente una ciudad. %: la cantidad de granos producidos por acre. &olución: X es una varia'le discreta. Y es una varia'le continua. ! es una varia'le continua. " es una varia'le discreta. # es una varia'le discreta. % es una varia'le continua. ." (n e+%ar2ue e+%ar2ue de 3 auto+4 auto+4)il )iles es e5tran6e e5tran6eros ros in#lu7e in#lu7e . 2ue tienen unas li'eras +an#8as de 9intura" Si una a'en#ia re#i%e re#i%e : de estos estos )e8*#u )e8*#ulos los aleator aleatoria+ ia+ent ente; e; indi2ue indi2ue los ele+entos del es9a#io +uestral S utilizando las letras B 7 N 9ara <+an#8ado= 7 asi'ne enton#es 9ara #asa 9unto +uestral un )alor x de de la )aria%le aleatoria X 2ue re9resenta el n?+ero de auto au to+4 +4)i )iles les #on #on +an# +an#8a 8as s de 9intu 9intura ra #o+9r #o+9rad ados os 9or 9or la a'en#ia"
&olución: #untos muestrales BBN BNB NBB BNN NBN NNB NNN
X
( ( ( 1 1 1 )
X: el número de accidentes de automóvil por año en el estado de Virginia. Y: Y: el tiempo que toma jugar 18 hoyos de gol. gol. !: la cantidad de leche producida anualmente por una vaca en particular. ": el número de huevos que pone mensualmente una gallina. #: el número de permisos para la construcción de edi$cios que otorga mensualmente una ciudad. %: la cantidad de granos producidos por acre. &olución: X es una varia'le discreta. Y es una varia'le continua. ! es una varia'le continua. " es una varia'le discreta. # es una varia'le discreta. % es una varia'le continua. ." (n e+%ar2ue e+%ar2ue de 3 auto+4 auto+4)il )iles es e5tran6e e5tran6eros ros in#lu7e in#lu7e . 2ue tienen unas li'eras +an#8as de 9intura" Si una a'en#ia re#i%e re#i%e : de estos estos )e8*#u )e8*#ulos los aleator aleatoria+ ia+ent ente; e; indi2ue indi2ue los ele+entos del es9a#io +uestral S utilizando las letras B 7 N 9ara <+an#8ado= 7 asi'ne enton#es 9ara #asa 9unto +uestral un )alor x de de la )aria%le aleatoria X 2ue re9resenta el n?+ero de auto au to+4 +4)i )iles les #on #on +an# +an#8a 8as s de 9intu 9intura ra #o+9r #o+9rad ados os 9or 9or la a'en#ia"
&olución: #untos muestrales BBN BNB NBB BNN NBN NNB NNN
X
( ( ( 1 1 1 )
:" Sea W la )aria%le aleatoria 2ue da el n?+ero de #aras +enos el n?+ero de sellos de tres lanza+ientos de una +oneda" Indi2ue los ele+entos del es9a#io +uestral S 9ara los tres lanza+ientos de la +oneda 7 asi'ne un )alor w a la )aria%le W en #ada 9unto +uestral"
&olución: *l siguiente diagrama de +r'ol muestra los posi'les resultados de los tres lan,amientos de la moneda:
Elementos del espacio muestral
-a siguiente ta'la presenta los valores que toma la varia'le w para cada uno de los puntos muestrales del espacio S: #unto muestral @" ( (n na +oneda se o#urren : #aras solo a2uellos +uestral 2u e lanza+ientos" +uestral
&olución:
CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS SSS
w
1 1 /1 1 /1 /1 /
lanza al aire 8asta 2ue en su su#esi4n" Es Es#ri%a ele+entos del es9a#io re2uieren - o +enos Es este un es9a#io dis#reto E59li2ue"
*l diagrama de +r'ol para este ejercicio ejercicio resulta:
*l espaci espacioo muestr muestral al es consid considerad eradoo discr discreto eto porque porque contie contiene ne un numero $nito de posi'ilidades0 aun si no se restringiera0 pues l podr2a poseer tantos elementos como números naturales e3isten4 y a esto se le llama espacio muestral discreto.
3" Deter Deter+in +ine e el )alo )alorr de c de tal or+a 2ue #ada una de las si'u si'uie ient ntes es u un# n#io ione nes s sir) sir)a a #o+o #o+o una una dist distri ri%u %u#i #i4n 4n de 9ro%a%ilidad de la )aria%le aleatoria dis#reta
a.
'.
&olución: a. -a distri'ución de pro'a'ilidad de cada x resulta:
5eniendo en cuenta que las sumas de estas pro'a'ilidades de'e ser 10 hacemos:
6on lo cual se o'tiene el resultado
'. -a distri'ución de pro'a'ilidad de cada x resulta:
5eniendo en cuenta que las sumas de estas pro'a'ilidades de'e ser 10 hacemos:
6on lo cual se o'tiene el resultado: -" De una #a6a 2ue #ontiene @ +onedas de 0/// 9esos 7 . de 3//; se sele##ionan : al azar sin ree+9lazo" Deter+ine la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad 9ara el total T de las : +onedas" E59rese 'r1#a+ente la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad #o+o un 8isto'ra+a"
&olución: &ea Q el evento de sacar una moneda de 7))0 y M el de sacar una de 1)))4 el diagrama de +r'ol para este ejercicio resulta: 5otal T
#rimera
&egunda
5ercera
#untos
moneda
moneda
moneda
muestrales
M
MMM
)))
Q
MMQ
(7))
M
MQM
(7))
Q
MQQ
()))
M
QMM
(7))
Q
QMQ
()))
M
QQM
()))
M
M
Q
M
Q Q
-a siguiente ta'la muestra la pro'a'ilidad de que ocurra cada uno de estos puntos muestrales0 sa'iendo que los eventos que los componen son dependientes entre s24 #unto muestral MMM MMQ
#ro'a'ilidad de cada evento 1 ( 9; 7 (9 9; 7 (9
#ro'a'ilidad del punto muestral 17 17
9; 9; (; (; (;
MQM MQQ QMM QMQ QQM
(7 (7 97 97 17
9 19 9 19 1
17 117 17 117 117
< continuación se determina la distri'ución de pro'a'ilidad para el total T de las monedas: T
()) ) (7) ) )) )
#ro'a'ilidad de T
MMQ, MQM, QMM
#ro'a'ilidad de cada punto muestral 1 ( 11 11 11 7 7 7 17 17 17
MMM
17
17
#untos muestrales MQQ, QMQ, QQM
17 7
*l siguiente histograma e3presa la gr+$camente la distri'ución de pro'a'ilidad para el total T :
F" De una #a6a 2ue #ontiene @ 9elotas ne'ras 7 . )erdes; se sele##ionan : de ellas en su#esi4n #on ree+9lazo" En#uentre la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad 9ara el n?+ero de 9elotas )erdes"
&olución: =e$nimos la varia'le aleatoria X como el número de pelotas verdes. =e'ido a que hay ; pelotas en total0 9 de las cuales son negras y ( son verdes0 X puede tomar los valores de )0 1 y (. &e de'e tener en cuenta que para este caso0 los eventos de'en ser tratados como independientes0 pues cada ve, que se saca una pelota0 se reempla,a por otra del mismo color. =e esta manera0 las pro'a'ilidades de que se saquen una pelota negra y una verde son0 respectivamente:
*l siguiente diagrama de +r'ol muestra los posi'les resultados a o'tener:
"
V
X
""" ""V
) 1
" V
" V " V
*spacio muestral
V " " V
" V
"VV V"" VV" VVV
"V" V"V
( 1
1 (
(
#ara calcular la pro'a'ilidad de cada uno de los puntos muestrales que hacen parte del espacio muestral0 simplemente se multiplican las pro'a'ilidades de los eventos que los componen0 de la siguiente manera:
-a distri'ución de pro'a'ilidad para el número de pelotas verdes X se determina teniendo en cuenta en cu+ntos puntos muestrales X se hace )0 10 ( o . -o que se hace es sumar las pro'a'ilidades de los eventos que cumplen la condición dada por X 0 de la siguiente manera: 6uando X > )0 se tiene un solo punto muestral ?NNN@ cuya pro'a'ilidad es de 8(A. 6uando X > 10 se tienen puntos muestrales ? VNN, NVN, NNV @0 cada uno de pro'a'ilidad 9(A0 para una pro'a'ilidad total de 1((A. 6uando X > (0 se tienen puntos muestrales ? VVN, VNV, NVV)0 cada uno de pro'a'ilidad ((A0 para una pro'a'ilidad total de ;(A. 6uando X > 0 se tiene un solo punto muestral ?VVV) cuya pro'a'ilidad es de 1(A. -a distri'ución de pro'a'ilidad resulta: #? X @ ) 8(A 1 1((
X
A ( ;(A 1(A
G" En#uentre la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad de la )aria%le aleatoria H del e6er#i#io :; su9oniendo 2ue la +oneda est #ar'ada de tal or+a 2ue una #ara tiene dos )e#es +s la 9osi%ilidad de o#urrir #on res9e#to a una #ruz"
&olución: -a pro'a'ilidad de W en cada movimiento est+ distri'uida de la siguiente orma:
#ro'a'ilidad del evento ?w@ C
C
C
(2/3)*(2/3)*(2/3)= 8/27 (3)
S
(2/3)*(2/3)*(1/3)= 4/27 (1)
C
(2/3)*(1/3)*(2/3)= 4/27 (1)
S
(2/3)*(1/3)*(1/3)= 2/27 (-1)
C
(1/3)*(2/3)*(2/3)= 4/27 (1)
S
(1/3)*(2/3)*(1/3)= 2/27 (-1)
C
(1/3)*(1/3)*(2/3)= 2/27 (-1)
S
(1/3)*(1/3)*(1/3)= 1/27 (-3)
S
C
S S
-a distri'ución de pro'a'ilidad resulta: B 1 /1 / C?D@ 8(A 9E (E 1(A
" En#uentre la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad 9ara el n?+ero de dis#os de 6azz #uando @ dis#os se sele##ionan al azar de una #ole##i4n 2ue #onsiste de 3 dis#os de 6azz; . de +?si#a #lsi#a 7 : de 9olJa" E59rese el resultado 9or +edio de una 4r+ula"
&olución: X > discos de ja,,
para 3 > )0 10 (0 0 9. -a distri'ución de pro'a'ilidad resulta: X
) 1 ( 9
fx)
0/" En#uentre una 4r+ula 9ara la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad de la )aria%le aleatoria X 2ue re9resenta el resultado de un solo lanza+iento de un dado"
&olución: &a'emos que X puede tomar cualquier valor entre 1 y ;0 y que adem+s la pro'a'ilidad de que el dado caiga en cualquier número es de 1;4 luego0 la distri'ución de pro'a'ilidad de X viene dada por la unción:
00" (n e+%ar2ue de F tele)isores #ontiene . a9aratos dee#tuosos" (n 8otel realiza una #o+9ra aleatoria de : de ellos" Si X es el n?+ero de unidades dee#tuosas 2ue se #o+9ran; en#uentre la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad de X " E59rese los resultados 'r1#a+ente #o+o un 8isto'ra+a de 9ro%a%ilidad"
&olución: -a siguiente órmula descri'e la pro'a'ilidad de que x televisores estn deectuosos:
< continuación se calcula la pro'a'ilidad para cada uno de los casos X > )0 1 y (:
*l siguiente histograma descri'e la distri'ución de pro'a'ilidad de X :
0." De un 9a2uete de #artas se sa#an tres en su#esi4n sin ree+9lazo" En#uentre la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad 9ara el n?+ero de #artas de es9ada"
&olución: 5omemos 1 > espadas4 ( > cora,ón4 > tr'ol4 9 > diamante. -a siguiente ta'la muestra la distri'ución de pro'a'ilidad para el total de cartas: 6art 6art 6art #?cart a1 a( a a 1@ 1
1
1
).(7
1
1
(
).(7
1
1
).(7
1
1
9
).(7
1
(
1
).(7
1
(
(
).(7
1
(
).(7
1
(
9
).(7
1
1
).(7
1
(
).(7
1
).(7
1
9
).(7
1
9
1
).(7
#?carta #?carta #?cart 1@#?carta(@#?car (@ a @ ta @ ).(7(E ).(( ).)1(E911A; 91( ).(7(E ).(; ).)17(E9118 91( ).(7(E ).(; ).)17(E9118 91( ).(7(E ).(; ).)17(E9118 91( ).(79E) ).(9 ).)17(E9118 1E; ).(79E) ).(9 ).)17(E9118 1E; ).(79E) ).(; ).)1;7;8;(A 1E; ).(79E) ).(; ).)1;7;8;(A 1E; ).(79E) ).(9 ).)17(E9118 1E; ).(79E) ).(; ).)1;7;8;(A 1E; ).(79E) ).(9 ).)17(E9118 1E; ).(79E) ).(; ).)1;7;8;(A 1E; ).(79E) ).(; ).)1;7;8;(A 1E;
1
9
(
).(7
1
9
).(7
1
9
9
).(7
(
1
1
).(7
(
1
(
).(7
(
1
).(7
(
1
9
).(7
(
(
1
).(7
(
(
(
).(7
(
(
).(7
(
(
9
).(7
(
1
).(7
(
(
).(7
(
).(7
(
9
).(7
(
9
1
).(7
(
9
(
).(7
(
9
).(7
(
9
9
).(7
1
1
).(7
1
(
).(7
1
).(7
1
9
).(7
( (
1 (
).(7 ).(7
).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(7(E 91( ).(7(E 91( ).(7(E 91( ).(7(E 91( ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E)
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(9
).)17(E9118
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)17(E9118
).((
).)1(E911A;
).(;
).)17(E9118
).(;
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
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).)17(E9118
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).(; ).(9
).)1;7;8;(A ).)17(E9118
(
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9
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1
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9
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9
1
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9
1
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9
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9
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1
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9
(
(
).(7
9
(
).(7
9
(
9
).(7
9
1
).(7
9
(
).(7
9
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9
9
).(7
9
9
1
).(7
9
9
(
).(7
1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(7(E 91( ).(7(E 91( ).(7(E 91( ).(7(E 91( ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(79E) 1E; ).(7(E 91( ).(7(E 91(
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)17(E9118
).(;
).)17(E9118
).((
).)1(E911A;
).(;
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(9
).)17(E9118
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(;
).)1;7;8;(A
).(;
).)1;7;8;(A
).(9
).)17(E9118
).(9
).)17(E9118
).(;
).)17(E9118
).(;
).)17(E9118
9
9
).(7
9
9
9
).(7
).(7(E 91( ).(7(E 91(
).(;
).)17(E9118
).((
).)1(E911A;
-a distri'ución de pro'a'ilidad de X resulta: ) ?3 ).917(E @ 91 X
1 ( ).9788 ).18E(1 ).)1(E91 (7 7A 18
0:" En#uentre la distri%u#i4n a#u+ulada de la de la )aria%le aleatoria K en el e6er#i#io G" (tilizando $ H; en#uentre a PK / % P0 K :
&olución: #ara el ejercicio 80 la ta'la de distri'ución de pro'a'ilidad de la varia'le aleatoria B ue: 1 /1 /
#ara 4 tenemos que:
a@ #ara #?B F )@ la distri'ución acumulada ser+:
'@ #ara #?/1 ≤ B G @
0@" Di%u6e una 'r1#a de la distri%u#i4n a#u+ulada del e6er#i#io 0:"
&olución:
w
!w)
: : 0 0 0 0 : Q:
) 1(A A(A 1E(A 1
03"En#uentre la distri%u#i4n a#u+ulada de la )aria%le aleatoria 2ue re9resenta el n?+ero de tele)isores dee#tuosos en el e6er#i#io 00" (tilizando 5; en#uentre
a. #?X>1@ '. #?)G3H(@ &olución:
a. '.
0-"Di%u6e una 'r1#a de la distri%u#i4n a#u+ulada del e6er#i#io 03"
&olución: -a siguiente gr+$ca descri'e el comportamiento de la distri'ución acumulada de pro'a'ilidad para la varia'le X del ejercicio 17:
0F"La distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad de X ; el n?+ero de dee#tos 9or #ada +etro de una tela sintéti#a en rollos #ontinuos de an#8o unior+e; es
) 1 ( ?3@ ).91 ).A ).1; x
).) 7
9 ).)1
=i'uje la distri'ución acumulada de x . &olución: C?X@ > # IX > 3J > ?3@ C?)@ > # IX>)J > ?)@ > )091 C?1@ > # IX>1J > ?)@ K ?1@ > )091 K )0A > )0A8 C?(@ > # IX>(J > ?)@ K ?1@ K ?(@ > )091 K )0A K )01; > )0E9 C?@ > # IX>J > ?)@ K ?1@ K ?(@ K ?@ > )091 K )0A K )01; K )0)7 > )0EE C?9@ > #IX>9J >?)@ K ?1@ K ?(@ K ?@ K ?9@ > )091 K )0A K )01; K )0)7K )0)1>1 )0 x G ) ).910 ) G x G 1 ).A80 1 H x G ( ).E90 ( H x G ).EE0 H x G 9 10 x L9 -a distri'ución acumulada de x resulta:
0G" (na 1r+a de in)ersiones ore#e a sus #lientes %onos +uni#i9ales 2ue )en#en des9ués de dierentes n?+eros de años" Dada la distri%u#i4n a#u+ulada de T; el n?+ero de años 9ara el )en#i+iento de un %ono sele##ionado aleatoria+ente; es $t
En#uentre a Pt 3 % Pt : # P 0"@ t -
&olución: C?t@>
C?1@> 19
C?@> 1( C?7@>9 C?A@>1
a@ #?t > 7@ C?7@ / C?@ > M / N > O
'@ #?t F @ C?A@ / C?@ > 1 / N > N
c@ # ?1.9 G t G ;@ C?7@ P C?1@ > M / O > N
19.(na )aria%le aleatoria #ontinua 2ue 9uede asu+ir )alores entre 5 . 7 5 : tiene una un#i4n de densidad f(x) = ½
a" De+uestre 2ue el rea %a6o la #ur)a es i'ual a 0" %" En#uentre P. ."3" #" En#uentre P 0"-"
&olución: a@
'@
c@
./" (na )aria%le aleatoria #ontinua 2ue 9uede to+ar )alores entre 5. 7 53 tiene una un#i4n de densidad"
En#uentre" a P@> % P:@
&olución: a@ 6omo sa'emos que 3 puede estar entre el rango de ( y 70 para el caso a@ como 3 se limita a los valores menores que 9 entonces en la integral de la unción de densidad los limites son de ( a 9 de la siguiente orma4
'@
.0" La 9ro9or#i4n de 9ersonas 2ue #ontestan una #ierta en#uesta en)iada 9or #orreo es una )aria%le aleatoria #ontinua 2ue tiene la un#i4n de densidad
a" De+uestre 2ue P/500 %" En#uentre la 9ro%a%ilidad de 2ue +s de 9ero +enos de 2ue U de las 9ersonas en #onta#to res9ondern a este ti9o de en#uesta"
&olución: a.
'.
.."El n?+ero total de 8oras; 2ue se +iden en unidades de 0// 8oras; 2ue una a+ilia utiliza una as9iradora durante un año
es una )aria%le aleatoria #ontinua ; 2ue tiene la un#i4n de densidad 5 5 9ara /50 5 .5 9ara 05. 5 / en #ual2uier otro #aso En#uentre la 9ro%a%ilidad de 2ue una a+ilia utili#e la as9iradora durante un año" a Menos de 0./ 8oras % Entre 3/ 7 0// 8oras"
&olución: a@
'@
.:" Para la un#i4n de densidad de e6er#i#io 0; en#uentre $5 7 util*#ela 9ara e)aluar P .."3"
&olución: 6omo la unción densidad para el ejercicio 1E es: entre los valores
0 para hallar la distri'ución
acumulada de una varia'le aleatoria continua C?3@0 aplicamos:
5enemos que para
*valuado en
0 ser+:
4
.@" Para la un#i4n de densidad del e6er#i#io ./ en#uentre $5 7 util*#ela 9ara e)aluar P : @"
&olución: &a'emos que la unción del ejercicio () es:
#ara hallar # ? H XG 9@0 hacemos:
.3" Considere
la
un#i4n
densidad
a" E)al?e J %" En#uentre $5 7 util*#ela 9ara e)aluar
&olución: a.
'.
)0 C?X@ >
3 H )0 )0 G 3 G )0;
10
3 L )0;
.-" El tie+9o de )ida ?til; en d*as; de ras#os de una #ierta +edi#ina es una )aria%le aleatoria 2ue tiene la un#i4n de densidad
*ncuentre la pro'a'ilidad de que un rasco de este medicamente tenga una vida útil de a@ al menos ()) d2as4 '@ cualquier duración entre 8) y 1() d2as. &olución: a@ -a pro'a'ilidad de que un rasco del medicamento tenga una vida útil de al menos ()) d2as ser+:
#ara resolver la integral hacemos la sustitución por lo cual #ara sustituir estos valores0 se de'en cam'iar los l2mites de integración de la siguiente manera: -2mite inerior: -2mite superior: -a pro'a'ilidad resulta:
Qeempla,ando u por su valor original0 y cam'iando tam'in los l2mites:
Qesolviendo el l2mite o'tenido:
-uego0 la pro'a'ilidad de que un rasco de medicamento tenga una vida útil de al menos ()) d2as es de:
'@ -a pro'a'ilidad de que un rasco del medicamento tenga una vida útil entre 8) y 1() d2as ser+:
Rna ve, m+s0 para resolver la integral hacemos la sustitución por lo cual #ara sustituir estos valores0 se de'en cam'iar los l2mites de integración de la siguiente manera: -2mite inerior:
-2mite superior:
-a pro'a'ilidad resulta:
Qeempla,ando u por su valor original0 y cam'iando tam'in los l2mites:
-uego0 la pro'a'ilidad de que un rasco de medicamento tenga una vida útil entre 8) y 1() d2as es:
.F" El tie+9o de es9era; en 8oras; 2ue tarda un radar en dete#tar dos #ondu#tores su#esi)os a alta )elo#idad es una )aria%le aleatoria #ontinua #on una distri%u#i4n a#u+ulada
En#uentre la 9ro%a%ilidad de es9erar +enos de 0. +inutos entre dos #ondu#tores su#esi)os a (tilizando la distri%u#i4n a#u+ulada de X % (tilizando la un#i4n de densidad de 9ro%a%ilidad de X "
&olución: #rimero convertimos los minutos en horas.
#rocedemos a reali,ar los c+lculos de acuerdo a la inormación que se tiene:
0" Deter+ine el )alor de # de tal +anera 2ue las si'uientes un#iones re9resenten distri%u#iones de 9ro%a%ilidad #on6unta de las )aria%les aleatorias 7 Y
a@ C?X0 Y@ > 6XY para X > 10 (0 4 Y > 10 (0 '@ C?X0 Y@ > 6 para X > /(0)0(4 Y > /( 0 &olución: a@ C?X0 Y@ > 6XY
X > 10 (0
Y > 10 (0
C?101@ > ?1@?1@ 6 > 6 C?(01@ > ?(@?1@6 > (6 C?01@ > ?@?1@6 > 6 C?10(@ > ?1@?(@ 6 > (6 C?(0(@ > ?(@?(@6 > 96 C?0(@ > ?@?(@6 > ;6 C?10@ > ?1@?@ 6 > 6 C?(0@ > ?(@?@6 > ;6 C?0@ > ?@?@6 > E6 1 > C ?101@ K C ?10(@ K C ?10@ K C ?(01@ K C ?(0(@K C ?(0@K C ?01@K C ?0(@K C ?0@ 1 > 6 K (6 K 6 K (6 K 96 K ;6 K 6 K ;6 K E6 1 > )6
C 0V:/
'@ C?X0 Y@ > 6 C?/(0/(@ >
X > /(0 )0 ( C?)0/(@
>) C?/(0@ > > 76
>
C?(0/(@
> (6 C?)0@
Y > /(0 > > 96
>
C?(0@
> 6
> >6
1 > C ?/(0/(@ K C ?/(0@ K C ?)0/(@ K C ?)0@ K C ?(0/(@ K C ?(0@ 1 > 76 K (6 K 6 K 96 K 6 C 0V03
1 > 176
." Si la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad #on6unta de 7 Y es
Para x /;0;.;:> y /;0;.; en#uentre a % # d
&olución: a@
'@
c@
d@
:" De un #ostal de rutas 2ue #ontiene : naran6as; . +anzanas; 7 : 9ltanos; se sele##iona una +uestra aleatoria de @ rutas" Si es el n?+ero de naran6a 7 Y es el n?+ero de +anzana en la +uestra; en#uentre" a La distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad #on6unta de 7 Y" % PW;Y E AX; donde A es la re'i4n ;YZ [Y .\
&olución: a@ *l número total de ormas igualmente pro'a'les de seleccionar cualquiera de 9 rutas de las posi'les 8 es ?8 com'inación en 9@> A)4 ahora pues 'ien para proseguir con el ejercicio ela'oraremos la ormula que representa la distri'ución de pro'a'ilidad conjunta.
#ara 3> )0 10 (0 4 y> )0 10 (4 )G 3KyG ?30y@
) ///// ) / 1 1 y 7 A ( ) 11 5otales por columna 9
1 A ) E 7 EA ) A
X
( EA ) E 7 A ) A
A ) 1 7 ///// / 11 9
5otales por renglón
'@ #I?X0Y@ *
17A) ()7 17A) 1
@" Considere un e59eri+ento 2ue #onsiste en . lanza+ientos de un dado %alan#eado" Si es el n?+ero de #uatros 7 Y es el de #in#os 2ue o%tienen en los . lanza+ientos; en#uentre a la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad #on6unta de 7 Y" % donde A es la re'i4n
&olución: X > número de 9s Y > número de 7s -a siguiente ta'la muestra los posi'les resultados en cada lan,amiento: #osi'ilidades en los ( lan,amientos 1/1 1/( 1/ 1/9 1/7 1/; (/1 (/( (/ (/9 (/7 (/; /1 /( / /9 /7 /; 9/1 9/( 9/ 9/9 9/7 9/; 7/1 7/( 7/
X
"
) ) ) 1 ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) 1 ) ) 1 1 1 ( 1 1 ) ) )
) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) 1 ) 1 1 1
7/9 7/7 7/; ;/1 ;/( ;/ ;/9 ;/7 ;/;
1 ) ) ) ) ) 1 ) )
1 ( 1 ) ) ) ) 1 )
a. -a distri'ución de pro'a'ilidad conjunta de X y " resulta: X ) 1 ( 5otales por renglón ) 9E (E 1 (7; ; Y 1 (E 11; / 91199 ( 1; / / 1; 9119 1 5otales por columna (7 1 ; 9 ; ?30y@
'.
donde < es la región 0 resulta:
3" Si re9resenta el nu+ero de #aras 7 Y el n?+ero de #aras +enos el nu+ero de sellos #uando se lanzan : +onedas" En#uentre la distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad #on6unta de 7 Y"
&olución: -a siguiente ta'la muestra los posi'les resultados de cada lan,amiento0 con sus respectivas pro'a'ilidades: -an,amiento -an,amiento -an,amiento #?-1@ 1 ( c c c ).7 c c s ).7 c s c ).7 c s s ).7 s c c ).7 s c s ).7 s s c ).7 s s s ).7
#?-(@
#?-@
).7 ).7 ).7 ).7 ).7 ).7 ).7 ).7
).7 ).7 ).7 ).7 ).7 ).7 ).7 ).7
#?-1@ #?-(@ #?-@ ).1(7 ).1(7 ).1(7 ).1(7 ).1(7 ).1(7 ).1(7 ).1(7
-a distri'ución de pro'a'ilidad conjunta de X y " resulta: "
? x 0 # @
1
/ ).1( 7 /
(
/
) X
/ 5otal por columna ).1( 7
/1 / ).A 7 / / ).A 7
5otal por renglón
1 /
/
/ ).A 7 / ).A 7
/
).A7
/ ).1( 7 ).1( 7
).A7
).1(7
).1(7 1
-" Se sa#an tres #artas sin ree+9lazo de las 0. #artas +a7ores 6otas; reinas 7 re7es de un 9a2uete #o+?n de 3. #artas" Sea el n?+eros de re7es sele##ionados 7 Yel n?+ero de 6otas" En#uentre
a@ -a distri'ución de pro'a'ilidad conjunta de X y Y. '@ # I?X0Y@∈ W de reyes seleccionados Y > W de jotas seleccionadas
a@ -a órmula para halla la distri'ución de pro'a'ilidad conjunta ser+:
) ) 1 ( 55<-
1
/
(
/ /
/ / /
55<-
1
'@
-a pro'a'ilidad resulta:
:
00" (na +oneda se lanza dos )e#es" Sea ] el nu+ero de #aras en el 9ri+er lanza+iento 7 K el n?+ero total de #aras en los . lanza+ientos" Si la +oneda no est e2uili%rada 7 una #ara tiene @/^ de 9osi%ilidad de o#urrir; en#uentre
a@ '@ c@ d@
-a distri'ución de pro'a'ilidad conjunta de B y -a distri'ución marginal de B4 -a distri'ución marginal de 4 -a pro'a'ilidad de que ocurra al menos una cara
&olución: > W de caras en el primer lan,amiento B > W total de caras en los lan,amientos C
S
C
(2/5)*(2/5)=(4/25) W=2
S C
(2/5)*(3/5)=(6/25) W=1
S
(3/5)*(3/5)=(9/25) W=0
(3/5)*(2/5)=(6/25) W=1
a@ -a distri'ución de pro'a'ilidad conjunta de W y $ 0 resulta: D , ) 1 (
)
1
E(7 ;(7 X 17( 7
X ;(7 9(7 1)( 7
E(7 1((7 9(7 1
'@ =istri'ución marginal de W B ) 1 h?D@ E(7 1(1 7
( E(7
c@ =istri'ución marginal de $ ) 1 g?,@ 7 (7 d@ #ro'a'ilidad de que ocurra al menos una cara:
!>
> 9(7 K ;(7 K ;(7 > 1; (7 > ).;9
0." Con los datos del e6er#i#io :; en#uentre a
9ara todos los )alores de 7>
%
&olución: a@
"
%
C?(0y@ 1) b)
&
7
'
11)
0:" Su9on'a 2ue 7 Y tienen la si'uiente distri%u#i4n de 9ro%a%ilidad #on6unta
?30y@ y
1 (
1 ) 17 (17
a@ 6alcule la distri'ución marginal de X. '@ 6alcule la distri'ución marginal de Y. c@ encuentre #?y> T 3>(@. &olución: a@ #ara la varia'le aleatoria X0 se tiene que :
-a distri'ución marginal de X resulta: 1 ( g?3@ 1 1; (;
3 ( 1; 1E O
11( ) 118
E '@
-a distri'ución marginal de " resulta: 1 ( AE18 h?y@ 19 1E ) c@ #ara los valores cuando #Iy> T3>(J
*ntonces tenemos que
