PAGINA 331 1.
En los siguientes ejercicios, determine la constante c para que la función p(x) satisfaga las condiciones de una función de probabilidad de una variable aleatoria X. i)
, x = 1, 3, 5, 7
SOLUCION. 1) 2)
ii) 1) 2)
≥0
R.
≥0
∑ 1 =,,, ∑ ∑ 1 =,,, =,,, 1 13 15 171 ⟹ 105352115 105 1 176105 1 105176 , + + ≥0 ≥0 ∑ 1 = ∑ ∑ 1 = =
1
x = , , … n
R.
⟹ ∑= 1 ⟹ ∑= ∗ =∑ 1 1 1 1 ∗ 1 ⟹ 1
=∑ 1
2 2 4 2 1
iii) 1) 2)
≥0 ≥0
, x = , , , ,…
R. 9/8
∑ 1 = ∑ ∑ 1 1 = = 9 1 =∑ 9 1 Por suma geométrica se sabe que:
∑ 1 = 1 Entonces:
1 1 191 ⟹ 189 1 2
⟹ ∑= 1 ⟹ ∑= ∗ =∑ 1 1 1 1 ∗ 1 ⟹ 1
=∑ 1
2 2 4 2 1
iii) 1) 2)
≥0 ≥0
, x = , , , ,…
R. 9/8
∑ 1 = ∑ ∑ 1 1 = = 9 1 =∑ 9 1 Por suma geométrica se sabe que:
∑ 1 = 1 Entonces:
1 1 191 ⟹ 189 1 2
89 iv) 1) 2)
+ ≥0 ≥0
, x = , , …
R. 2/3
∑ 1 = ∑ ∑ 2 3 1 = = 6 2 3 1 ∑= 2 ∗ 3 =∑ 2 ∗ 31 ⟹ ∑= 3 =∑ 21 1 1 1 ∑= 3 =∑ 2 1 Por suma geométrica se sabe que:
∑ = 1 Entonces:
1 1 1 3 13 1 2 121 ⟹ 32 1 23 3
v)
4
++++ ++
, x =, ,…
R. 4
vi) 1) 2)
++ ≥0 ≥0
, x = , ,…, n
R.
+ +
∑ 1 = ∑ ∑ 1 1 = = 2 64 1 1 =∑ 222 Descomponiendo la expresión en fracciones parciales:
1 222 22 2 1 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 1222 1 22 2 ::: 22 22 01 1 12 1 1 1 222 22 22
Igualando coeficientes de cada grado y resolviendo el sistema:
Entonces:
5
En la integral:
∑= 211 212 1 [2111 2112 2211 2212 2311 2312 ⋯211 212]
Reemplazando (x) para valores de x=1, x=2, x=3,……x=n
x=1
x=2
x=3
x=n
[14 1616 1818 121 ⋯211 212]
(Propiedad telescópica de la sumatoria) Simplificando:
[14 212] 1 ⟹ 22 1 4 2 ∗ 42 1 42
2. Una caja contiene 5 tuercas defectuosas y 5 no defectuosas. Se extraen 2 tuercas aleatoriamente y sin reposición. Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X: número de tuercas no defectuosas que se obtienen en la extracción. R.
X
0
1
2
P(x)
2/9
5/9
2/9
SOLUCION.X: número de tuercas no defectuosas que se obtienen en la extracción RX= {0, 1, 2}
6
El espacio muestral será:
45 ∗ 0} 45 1045 29 ∗ 1} 45 2545 59 ∗ 2} 45 1045 29
Entonces:
La tabla de distribución de probabilidad será: X
0
1
2
P(x)
2/9
5/9
2/9
La función de probabilidad genérica será:
∗ − } 45 , 0,1,2.
3. Dos bolas son seleccionadas al azar de una urna que contiene 8 bolas blancas, 4 negras y 2 naranjas. Supongamos que ganamos I/.2 por cada bola negra seleccionada y perdemos I/. 1 por cada bola blanca seleccionada. Sea X la variable aleatoria que denota nuestras ganancias. ¿Cuáles son los posibles valores de X y cuáles son las probabilidades asociadas con cada valor? R.
SOLUCIÓN.-
7
X
-2
-1
0
1
2
4
X: Ganancias El espacio muestral será:
91 El rango de x será: X = (-2)
{blanca blanca}
X = (-1)
{blanca naranja}
X = (0)
{naranja naranja}
X = (1)
{negra blanca}
X = (2)
{negra naranja}
X = (4)
{negra negra}
Entonces: RX = {-2, -1, 0, 1, 2, 4} Calculando las probabilidades:
∗ ∗ 2 91 2891 1 ∗91 ∗ 1691 ∗ ∗ 0 91 911 ∗ ∗ 1 91 3291 ∗ ∗ 2 91 918 8
∗ ∗ 4 91 916
La tabla de distribución de probabilidad será: X
-2
2891 1691 911 913 918 916 -1
0
1
2
4
La función de probabilidad genérica será:
}
9
2,1,0,1,2,4.
PAGINA 345. 1.
Verifique si las siguientes funciones son funciones de densidad de una variable aleatoria X. a)
> ,− , > ,− , ∝∝++ , << ∝ ∝ ∝∝∝ ++ , > ∝ , ∝ > ,
, 0 < < 1
b)
SOLUCION.-
− − ; > ; − ∫ ∫−1 − ⟹ − ∫ ∫ a)
Cambio variable
Reemplazando en la integral
∞ −∞−∞∞ 1 0111 1
10
,− , > ∫− ∫2−1 2 2 ∫− 12 2 ∫ ∞ − ∞ SOLUCION.-
Cambio variable
Reemplazando en la integral
−∞−∗∞1 01111
,
0 < < 1
SOLUCION.-
0
f ( x)dx = f ( x)dx f ( x)dx
0
f ( x)dx = 1e
2e 2
x
dx
0
f ( x)dx = 1 e
x
x
dx 2 e
0
2 x
dx
0
2 e f ( x)dx = 1 e 2 2 0 x
x
11
f ( x)dx = 1e
x
e
2 x
0
f ( x)dx = 1
e
e
0
e
2
e
f ( x)dx = 10 1 0 1
f ( x)dx = 1 1 1
f ( x)dx =
1
=1
Como iguala a 1, la función dada si es una función de densidad.
b)
∝∝∝++ , << ∝ ∝∝∝ ++ , > ∝
, ∝>
SOLUCION.Según los datos:
0
g x dx = g xdx g xdx g xdx
0
2 x g x dx = dx x x x dx
x 2 x
2
2
2
2
0
i1
i2
RESOLVIENDO LAS INTEGRALES UNA POR UNA PARA i1:
i1=
x
2
0
12
x2 x
dx =
2 x x
0
2
2 x x 2
2
2
2
dx
20
i1=
2 x x 2 x x
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
0
1
i1=
0
dx
2
2 x x dx i1= 2 x x
2
1
x x
dx
2
2 x x 2
dx
dx
0
1 x1 i1= x 1 0
x 0 i1= x 0 0
i1= 1
1 0 1 2 0 1 2
i1= 1
1 2
1
1
2
PARA i2:
i2=
2 x x 2 x2 dx
2
Descomponiendo la expresión en fracciones parciales:
i2=
x
i2=
i2= i2= 2
2
3
x
2
x
2
x
2
3
3
i2= 2 x
13
2
2 x A B x x x
2 2 x 2
2 x
2
Ax 2
A x
2
2
x
2
Ax
2
B
C
x
2 A x
2
2
B
Ax
3
x
2
x Cx x Dx x x 2
B
2
2
2
2
2
2
2 x x
D
2 x x
2 B x
2
Bx
C x
2
2
C x
Cx
2
3
Cx
Dx
3
2
Dx
A C x 3 2 A B C D x 2 A 2 2 B x B 2
2
Igualando coeficientes de cada grado y resolviendo el sistema:
3
de (4):
x : A C 0......... 1
x : A 2 Bx 2 A ...........3 cte. : B ...............4 2
x : 2 A B C D 2
B
0........ 2
3 2
2
2
B
3
En (3): A 2 2
A
2
A A
En (2):
2 2
2
0
2
0
2
En (1):
2
C A 0
2
2
0
2 0 x B 0 D D
B
D
0
Luego la expresión será: x
2
2
2 x
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
En la integral:
i2=
x x dx x 2
2
2
1
x
dx
x x i2= 1 1
2
i2= x dx
2
1
1
i2= x x
14
dx
x
2
dx
i2=
i2= 1
1 2
1
2
2 1 1 2 2
i2=
i2=
1 2
Sumando las dos integrales: i1
i2
1 2
1 2
1
La suma iguala a 1, por tanto la función g(x) si es una función de densidad.
2.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad.
, ≤≤ , a) Encuentre el valor de k R. 1/12
≤≤
b) Calcular P [1 x 2] R. 1/3
SOLUCION.a)
15
0, ≥0 ∫ 16 1 ∫ 1 ∫ 1 6 16 2 1
16 32 023 01 34 31 121 b)
1 1 1≤≤2∫ 6 ∫ 12 1≤≤2 16 ∫ 121 ∫ 1 1≤≤2 6 2 121 1 2 1 1≤≤2 1 2 1
3.
6 2 2 12 1 ≤≤2 14 121 1 ≤≤2 13 , < , ,,><< <<
Una variable aleatoria continua X tiene la siguiente función de densidad.
a) Hallar K
R. 1/6
b) Hallar F(x) y esbozar su gráfica
SOLUCION.a)
16
0, ≥0
∫ ∫ 1 1 2 1
b)
28 42 2 1 241 16 0 , <0 1 ,, 0≤<2 2≤<4 { 0 , ≥4 ,, 0≤<2 <0 ∫0 16 ∫ 16 ∫ 16 1 , 2≤<4 ∫ 1 ∫ 1 1 , ≥4 { 6 6 ∫ 1 1 6 6 ∫ 1 ∫ 1 1 1 1 1 1 3 62 3 6 2 6 6 ∫ 16 ∫ 16 1 12 6 13
Resolviendo las integrales:
17
∫ 1 ∫ 1 1 1 1 1 16 41 3 62 3 2 6 6 Entonces la función de distribución acumulada será:
01 126 6 13 {1 Graficando:
18
,, 0≤<2 <0 , , 2≤<4 ≥4
PAGINA 371 1.
Supongamos que X es una variable aleatoria con media y varianza ambos iguales a 20. ¿Qué
≤ ≤ ≥ 0 ≤≤40 20≤20≤20 | 20|<20 P |x 20|≥20≤ 20 2020 201 P |x 20|<20≥1 201 19 20120 P |x 20|<20≥ 20
puede decirse acerca de P [0 x 40]? R. p
SOLUCION.-
Por desigualdad de Chebyshev, se tiene:
Luego:
2.
De experiencias pasadas un profesor conoce que los puntajes de los estudiantes después del examen final es una variable aleatoria con media 75. a) Dar una cota superior para la probabilidad de que el puntaje de un estudiante excederá a 85.
R.
Supongamos adicionalmente que el profesor conoce que la varianza de los puntajes de los estudiantes es igual a 25. b) ¿Qué puede decirse acerca de la probabilidad de que un estudiante tenga puntaje entre 65 y 85? SOLUCION.a)
Px ≥85
Por la desigualdad de markov:
19
P x ≥85 ≤ 8575 Px ≥85≤ 85
b)
Px ≥85≤ 1517 6 5≤≤85 6 5≤≤85 10≤20≤10 | 10|<10 P |x 10|≥10≤ 10 2025 14
Por desigualdad de Chebyshev, se tiene:
Luego:
P |x 10|<10≥1 41 414 P |x 10|<10≥ 34 3.
Suponga que X es una variable aleatoria para el cual p [x > 0] = 1 y P [X > 10] =1/5 Probar que E[X] > 2.
SOLUCION.De la desigualdad de Markov:
Según los datos e Igualando:
Invirtiendo:
20
P X ≥ P X ≥10 15 P X ≥10 ≤ 10
10 ≥ ≥10
10 ≥ 15 ≥ 15 10 ≥ 2
21
PAGINA 376 1.
,, <<
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad dada por:
a) Determinar k R.
b) Determine E[X] ; R. .
c) Encuentre la mediana de X d) Encuentre la moda de X; R. 1 SOLUCION.a)
≥0
∫1 ∫ 1 ∫ 1 1 1
b)
22
ln2 ln1 1 21 12
≥0
∫ − ∫[ 21 ] 1 2 ∫ 1 2 ∫ 12
c)
d)
12 21 12 . ∫.− 12 ∫ 21 12 . 1 2 ∫ 1 12 ⟹ 12 ln. 12 12 ∗ln. 5ln1 12 ⟹ ln2. 5 12 . 5 √ 21,4142
Para hallar la moda debemos graficar:
Para x=1
23
12 1,44
Para x=2
2∗12 0,72
Entonces: Mod(X)=1
2.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad.
, ,<<
a) Hallar K; R.12
b) Encuentre E[X] ; R.
c) Determine la mediana de X
d) Encuentre Var [X] ; R.
R. Solución de SOLUCION.-
∙ ∙ . ≥0
∫1
24
≥0
∫ 1 ⟹ ∫ 1
∫ ∫ 1
[13 14]1 ⟹ [4123]1 [121 ]1 K
= 12
b)
∫ −
∫ 12 E x 12∫ 12 4 5 11
12 [4545] 12 [1220 ] 203 5
c)
. ∫− 12
25
. ∫ 12 12 12
. ∫ 12 12 12 ∫. 123 ∫. 124 12 4 3. 12 4. 5 3. 5 0,5
d)
Por tanto
26
0,61 ∫12 12∫ 12 5 6 1215 16[6305] 1230 25 2 3 Var x 52 59 Var x 5 25 Var x 10925 251
3.
Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada dada por: F (-2) = 0.3
F (0) = 0.5
F (1) = 0.6
F (2) = 0.8
F (5) = 1
a) Calcule E[X ]
R. 0.9
c) Determine P[ –1 < x < 4]
R. 0.5
b) Encuentre mod (X);
R. –2
d) Encuentre Var [X];
R. 6.29
SOLUCION.Calculando la tabla de distribución de probabilidad: X
-2
0
1
2
5
P(x)
0,3
0,2
0,1
0,2
0,2
a)
∑= ∗()
20,300,210,120,250,2 0,9 2 , 0,3 1≤≤4 1≤≤4 1≤≤40,20,10,2 1≤≤40,5 20,300,210,120,250,2 7,1
b) Se define moda como el valor de
c)
d)
27
que tiene la mayor probabilidad, entonces:
7,10,9 6,29
28
PAGINA 430 1.
Considere la siguiente distribución conjunta de X e Y. Y
–2
–1
4
5
1
0.1
0.2
0
0.3
2
0.2
0.1
0.1
0
X
a) Hallar las distribuciones marginales de X e Y. b) Calcular E[X], E[Y] y E[XY]
R. 1.4; 1; 0.9 R. –0.5
c) Calcular Cov [XY]
R. –0.3
d) Calcular P (X,Y) SOLUCIÓN a) Y –2
–1
4
5
PX(x)
1
0.1
0.2
0
0.3
0.6
2
0.2
0.1
0.1
0
0.4
PY(Y)
0.3
0.3
0.1
0.3
1
X
b)
∑= ∗
10,620,4 1,4 29
∑= ∗()
c)
20,310,340,150,3 1 ∑∗ , = 20,110,24050,340,220,180,1100 0,9 , ∗ , 0, 9 1,41 , 0,5 , , ∗ 2,21 2,211,4 0,25 10,6 10,61
d)
30
9,6 , 0,0,25∗9,5 6 , 0,32 2.
Dada la siguiente función de densidad conjunta de (X, Y):
, << , , , << , << , << a) Determinar las densidades marginales de X e Y R.
;
b) Calcular E [X] y E [Y]
R.
,
c) Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y. R. –0.036 SOLUCION.a)
31
∫−, ∫3 3 3 3 2 2 3 , 0≤≤1
2
∫−, ∫3 3 3 3 2 33 2 3 , 0≤≤1
b)
32
2 ∫ − 3 3 ∫ ∫ 2 2 3 8 3 38 13 1724 ∫ − 3 3 ∫ ∫ 2 2 3 8 3 38 13 1724
c)
, , ∗ Hallando varianzas y covariancia:
, 1 1 , , ∫0 ∫0 (3232) , ∫∫3 , 3∫ 4 3 , 3∫ 4 3 , 312 12 3[121 121 ]
33
, 12 , 12 1724 ∗ 17240.520.502 , 0. 001736 3 ∫ 2 ∫ 32 3 2 5 4 32 15 14 103 14 1210 40 1120 ∫ [32 ]
Entonces:
1120 11 17 20 24 0.550.500.05 11 17 20 24 0.550.500.05 , √ 0.0.005√ 017360.05 0.0.202∗0.0173622 , 0.03586
3. La función de probabilidad conjunta de las v.a. discretas X e Y es dado por:
, ,, ,,;,
a) Determine el valor de la constante C.
R.
b) Calcule P[X = 3, Y = 2]
R.
c) Determine F (2,2)
R.
d) Calcule el coeficiente de correlación entre ¨X e Y
R. 6
SOLUCION.a)
, ≥0 ≥0 =∑∑( , )1 = ∑∑1 ⟹ ∑∑1 = =
34
∑1231 ⟹ ∑61 b)
c)
3, 2 F(2,2)
181
6 ∗16∗21 ⟹ 181
PX 3, Y 2 181 3 ∗2 PX 3, Y 2 13 1 1 2,2∑∑ ∑ 18 6
d)
2,2 16 1 16 2 2,2 12
, , ∗
Hallando la covarianza:
, ∑ ,
∑ 181 181 1 181 2 183 35
36
16 ∑ , ∑ 181 181 1 181 2 181 3 186 13 1 1 ∑ ∑ ∑ 6 6 16 1 16 2 16 3 73 1 1 ∑ ∑ ∑ 3 3 13 1 13 2 53 ∑∑∗ , 1 1 ∑∑∗ ∑∑ 18 18 1 1 1 ∑ 18 1 18 2 18 3 ∑ 79
Entonces:
Por lo tanto:
37
79 1 79 2 359 359 , 359 73 ∗ 53
, 0 , ∗, 0∗ , 0
PAGINA 451 1. En un área geográfica determinada, el 40% de la población adulta pertenece al partido demócrata. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 adultos. ¿Qué probabilidad hay de que 3 de ellos pertenezcan al partido demócrata? R. 0.2150 SOLUCION.Sea X: adultos que pertenecen al partido demócrata Con una probabilidad de éxito P=0,40, sabiendo que n=10 Entonces: X~b(10, 0.4)
−
3 1030,40,6 3 0,21499
2. Supongamos que un jugador de basketball tiene probabilidad de ¾ de encestar un tiro libre y sus tiros son independientes. Si él consigue 5 tiros libres de un juego particular. ¿Cuál es la probabilidad de que él enceste 2 o más tiros libres?ç R. 63/64 SOLUCION.Sea X: número de tiros libres encestados Con una probabilidad de éxito Entonces: X~b (10, 0.4)
38
, sabiendo que n=5
− − 3 1 5 ≥2∑= 4 4
3 1 3 1 3 1 3 5 5 5 ≥2 24 4 34 4 44 4 4 ≥2 10∗ 169 ∗ 641 10∗ 2764 ∗ 161 5∗ 25681 ∗ 14 1024243 ≥2 102490 1024270 1024405 1024243 1008 1024 ≥2 6364 3. De las variables descritas a continuación, señale cuáles son binomiales y para estos de los respectivos dominios de definición y función de probabilidad. Cuando usted cree que la variable no es binomial, diga las razones de su conclusión. a) De una urna con 10 bolas blancas y 20 negras, se extraen con reposición, 5 bolas. Sea X la variable que denota el número de bolas blancas en las 5 extracciones. b) Supongamos que realizamos una investigación en 10 ciudades, escogiendo al azar un habitante de cada una de ellas, y clasificándolo en pro o en contra de un cierto proyecto del gobierno. Suponga que X denota al número de individuos que están contra del proyecto al final de la investigación. c) En una industria existen 100 máquinas que fabrican determinada pieza. Cada pieza es clasificada como defectuosa o buena. Escogemos al azar un instante de tiempo y verificamos una pieza de cada una de las máquinas. Suponga que X es el número de piezas defectuosas. SOLUCION.-
39
Para determinar si son experimentos binomiales se debe verificar si satisface 4 supuestos descritos en la definición de un ensayo binomial: a) i)
El experimento consiste en n=5 ensayos(extracciones) de bernoulli, siendo los resultados posibles: extraer una bola blanca o extraer una bola negra
ii) La probabilidad de extraer una bola blanca es p=0,33, la que permanece constante en cada ensayo iii) Los ensayos son independientes, ya que extraer una bola blanca en un ensayo no afecta a la extracción de una bola en otro ensayo iv) Nos interesa saber el número de bolas blancas extraídas, no el orden en que se extrajeron. Por tanto el experimento es binomial
5 0, 0,330,67− , 1,2,3,4,5 b) i)
El experimento consiste en n=10 ensayos de Bernoulli, siendo los resultados probables que la persona esté a favor del proyecto del gobierno o caso contrario este en contra del proyecto del gobierno
ii) La probabilidad de éxito de un ensayo es P=0,5 y es constante para todos los ensayos. iii) Los ensayos son independientes, ya que la decisión de una persona en una ciudad no influye a la decisión de otra en una ciudad distinta
40
iv) Nos interesa saber la cantidad de personas que están en contra del proyecto, no el orden en el que estos eventos ocurren Por lo tanto el experimento es binomial
10 0, 0,50,5− , 0, 1,2,… . ,10
c) i)
El experimento consiste en 100 ensayos de Bernoulli, siendo los resultados probables que la pieza esté defectuosa o que la pieza esté correcta
ii) La probabilidad de que la pieza verificada sea defectuosa no es constante en los ensayos. Por lo tanto no es un experimento binomial.
41
PAGINA 481 1. Un punto es escogido al aza en el segmento de recta [1, 4]. Calcular: a) La probabilidad de que el punto escogido esté entre 2 y 3 R. 1/3 b) La probabilidad de que sea igual a 2. c) La media y la varianza de la distribución R. 2.5 , SOLUCION.-
1 , 1≤≤4 41 0 , 2 ≤≤3 2 ≤≤3 ∫ 13 2 ≤≤3 13 3 2 2 ≤≤3 13 2 2∫ 13 2 13 22 2 0 2
Hallando la función de densidad:
a)
b)
c)
42
142 2,5 12 4112 3 129 4 2. Sea X una v.a. con distribución uniforme en [- , ] donde
> 0. Si e posible, calcular
o de modo que las siguientes relaciones sean válidas. a) P[X > 1] = 1/3 c) P[X < 1/2] = 0,7
R.
=3
b) P[X > 1] = ½
R. 5/4
SOLUCIÓN.-
a)
, >0 ≤ ≤ 2 >1 1/3 >1 1 ≤1 13 1 12 13 21 1 2 3 12 13
43
d) P[X < 1/2] = 0,3
b)
c)
44
233 3 >1 1/2 >1 1 ≤1 12 1 12 12 21 1 2 2 12 12 222 0≠2 ó < 0, 7 1 1 2 [< 2] 2 0,7 0, 5 2107 0, 5 75 12 25 54
d)
< 0, 3
1 1 2 [< 2] 2 0,3 0, 5 2103 12 35 12 25 54 <0
3. La temperatura T de destilación del petróleo es crucial en la determinación de la calidad final del producto. Suponga que T es una v.a. con distribución uniforme en el intervalo [150, 300]. Suponga que el costo para producir un galón de petróleo es C
1
intis. Si el aceite es destilado a una temperatura inferior a 200º, el producto obtenido es vendido a C 2 intis; si la temperatura fuera superior a 200º, el producto es vendido a C 3 intis. a) Trazar la gráfica de la función de densidad de la v.a. T. b) ¿Cuál es el lucro medio esperado por galón? R. 0.33(C2 – C1) + 0.67 (C2 – C1) SOLUCIÓN.a)
45
b) Hallando la función de densidad para el problema dado:
1 , 150≤≤300 300150 0 , 1 50≤≤300 ∫ 1501 50 1 50≤≤300 200150 150 150 1 50≤≤300 0,33 2 00≤≤300 ∫ 1501 100 1 50≤≤300 300200 150 150 1 50≤≤3000,67
Si T˂200, entonces la ganancia es de (C2-C1)
Si T>200, entonces la ganancia es de (C 3-C1) Para hallar la ganancia media, las ganancias serán afectadas por las probabilidades de T: E(G)=0,33(C2-C1)+0,67(C3-C1)
46
EJERCICIOS LIBRO “INFERENCIA ESTADÍSTICA”
EJEMPLO 13, PAGINA 17.La inspección de un cierto tipo de piezas es destructiva. Se
sabe que el costo en
nuevos soles de inspeccionar una pieza es 100 veces su longitud en milímetros. Si la longitud de una pieza tiene distribución normal. Con media 12min y desviación estándar 0,2,¿Cuál es la probabilidad de que la perdida promedio diaria por inspección sea mayor que 1220 si al día se inspeccionan 4 piezas? SOLUCIÓN.-
~
Sea L la longitud da la pieza, entonces L N(12;0,04). El costo de examinar una pieza es C=100L. Luego, C tiene una distribución normal, con media 100E L y varianza
100
~
2
, esto es
Var L
C N 1200;400 La pérdida diaria, P, en que se incurre al examinar 40 piezas es P C 1 ... C 4 . Luego la perdida promedio P se distribuye como: P
~
N 1200;
400 4
N 1200;100
Por tanto, la probabilidad perdida es
P 1200 1220 1200 P P 1220 P P Z 2 0,02275 n / 100
EJEMPLO 26, PAGINA 29.Un distribuidor de tornillos determina a través de pruebas que el 4% de los tornillos fabricados por una determinada compañía son defectuosos. El distribuidor vende paquetes de 150 tornillos con garantía de que el paquete contiene 92% de tornillos no defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete no satisfaga la garantía? SOLUCIÓN.-
47
El porcentaje de tornillos defectuosos fabricados por la compañía es
p = 0,04.
Como n = 150 > 30, la proporción muestral se distribuye
pq N 0,04;0,000256) n
p N p; ˆ
Luego la probabilidad de que un paquete no satisfaga la garantía es:
p p 0,080 0,04 P Z 2,5 0,00621 P p 0,08 P 0,000256 pq n ˆ
ˆ
EJEMPLO 32, PAGINA 33.Dos amigos A y B, juegan al lanzamiento de un dado. Cada uno lanza un dado 60 veces; uno gana el juego si obtiene por lo menos 7 caras superiores del dado con numero 6 más que el otro. ¿Cuál es la probabilidad de que A gane el juego? SOLUCIÓN.Sean n1 60; n2 60 p1
p2
Probabilidad de obtener 6 por el jugador A en un lanzamiento = 1/6
Probabilidad de obtener 6 por el jugador B en un lanzamiento = 1/6
Luego, la diferencia de proporciones muestrales se distribuye:
p1q1
n1
p1 p2 N p1 p2 ; ˆ
ˆ
p2 q2
N 0;0,0046296296 n2
Para que A gane el juego debe obtener por lo menos 7 caras con numero 6 más que B en 60 lanzamientos, esto es, A debe obtener por lo menos 7/60 = 0,1167 más que B. así, la probabilidad pedida es
P p1 p 2 0,1167 P Z ˆ
ˆ
48
P Z 1,72 0,04272 0,0046296296 0,1167 0
EJERCICIO 16, PAGINA 123.Sea X 1 ......, X N una m.a. extraída de una población
; 2 y sea
N
; 2 el vector
de parámetros. Hallar una estadística suficiente para . SOLUCIÓN.La función conjunta de la muestra es: f x,
n
f xi ;
i 1
f x ,
f x ,
Donde h x
1;
n / 2
2
1
n/
2 1
2
n/2
g T 1 ; T 2
. n
2
. n
.
1
2
i 1
f x ,
1/ 2 2 1. exp n
n
1 . exp 2 2
1 . exp 2 2
n
x i 1
n
2
x i
i 1
2
i
2
xi 2
2
n
i 1
xi
n 2
1 T 2 T 1 n 2 g T 1 ; T 2 h x 2 2 2
. exp
1
2 n / 2 . n
1 2 T T n 2 1 2 2 2
. exp
2 Por tanto, T t X X ; X es una estadística suficiente para 1 1 n
n
i
i
i
; . 2
i
EJEMPLO 27, PAGINA 130.Un torno fabrica tuercas, cuyo diámetro oscila aleatoriamente entre los valores a y b. suponiendo que el diámetro se ajusta a una variable aleatoria distribuida uniformemente U(a ; b); hallar los estimadores de a y b, a partir de la muestra(medidos en mm): 10,20; 10,22; 10,10; 10,14; 10,15; 10,18. Utilizando el método de los momentos. SOLUCIÓN.Si X es el diámetro de la tuerca 1 milímetros, entonces en
f x; a; b
0
49
b a
Si a < x < b
En otro caso La media y la varianza de X son:
E X
ab
;
2
2
Var X
b
a
2
12
Igualando los momentos poblacionales y muestrales, tenemos: X E X ; M 2
M 1´
1
n
X n
X
2
i
i 1
De acuerdo a la propiedad de invarianza de estimadores, se tiene ab
ˆ
ˆ
ˆ
X
2
b a
ab
ˆ
ˆ
2 X .......... .......... ..... 1
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
12
ba ˆ
ˆ
12 2 3 .............. 2 ˆ
ˆ
La solución del sistema de ecuaciones (1) y (2) es: a ˆ
X
3 ˆ
; b X ˆ
3 ˆ
Evaluando la media y la desviación de la muestra, obtenemos
X 10,165
y
ˆ
0,039896
Por lo tanto, los estimadores de a y b son: a
10,65 3 0,039896 10,0959
b
,2341 10,65 30,039896 10
ˆ
ˆ
EJEMPLO 31, PAGINA 135.Una v.a. X tiene una distribución
. Se toman 30 observaciones de X, pero, en vez
N ;1
de anotar su valor observado solo se anota si X era positivo o no. Suponiendo que el suceso X 0 ocurrió exactamente 20 veces; utilizar esta información para hallar un E.M.V. de .
50
SOLUCIÓN.Sea Y una v.a. definida por
1, si Y 0, si
X 0
X
0
Con probabilidad
p
X
0
Con probabilidad
q
1
p
Luego la v.a. Y tiene distribución B(1;p) cuya función de densidad es f y; p
p y 1 p
1 y
;
y
0,1
La función de verosimilitud de la m.a. de tamaño 30 es: 30
30
30
L p f y i ; p p i 1
yi
1 yi
1 p
p
yi i 1
30
30
1 p
yi i 1
i 1
Su logaritmo y derivada con respecto a p igualado a cero son: 30 3 l p ln L p yi ln p 30 yi ln 1 p i 1 i 1
30
dl p dp
30
yi i 1
p
30
yi i 1
1 p
0
30
y La segunda ecuación conduce a: p
i 1
ˆ
30
i
20 30
0,66667 Asi, tenemos
X 0 P Z 1 1
p 0,66667 P X 0 P ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p 0,66667 P Z 0 0,5 P 0 Z 0,5 ˆ
ˆ
ˆ
De donde se obtiene:
P 0 Z 0,66667 0,5 0,16667 ˆ
Como el numero 0,66667 no se encuentra en el cuerpo de la tabla 1. Entonces el valor de
se obtiene por la siguiente interpolación lineal ˆ
51
