Poslovna matematika

Poslovna matematika

http://www.megatrend-online.com/poslovna matematika/lekcije/lekcija...

PREDMET Poslovna matematika LEKCIJA 31 7.2.2. SLOŽEN KAMATNI RAČUN Kao što je već rečeno, osnovna razlika izmeñu prostog i složenog kamatnog računa je u tome što se kod prostog kamatnog računa kamata u svim obračunskim periodima obračunava na istu sumu (početnu glavnicu), a kod složenog kamatnog računa, u svakom obračunskom periodu, kamata se računa na sve veću glavnicu, odnosno na glavnicu iz prethodnog perioda perioda uvećanu za iznos kamate kamate iz prethodnog perioda. perioda. Zbog ovakvog povećanja glavnice glavnice iz perioda u period, veći su iznosi kamate kod složenog kamatnog računa od kamata koje daje prost kamatni račun. U praksi se kamata najčešće obračunava i dodaje kapitalu (kapitališe) (kapitališe) godišnje, polugodišnje, polugodi šnje, kvartalno (tromesečno) i neprekidno uz kamatnu stopu p(decimalni zapis) koja se odreñuje na godišnjem nivou. Ako se izračunavanj izračunavanje e kamate i njeno dodeljivanje dodeljivanje kapitalu vrši na kraju svakog obračunskog perioda, tada se takvo računjanj računjanje e kamate naziva dekurzivnim i obeležava se slovom d uz kamatnu stopu, na primer 5%(d). Ako se izračunavanj izračunavanje e kamate i njeno dodeljivanje dodeljivanje kapitalu vrši na početku svakog obračunskog perioda (unapred), tada se takvo računjanje kamate naziva anticipativnim i obeležava se slovom a uz kamatnu stopu, na primer 5%(a). Mi ćemo se na ovom kursu baviti samo dekurzivnim složenim kamatnim računom.

7.2.2.1. DEKURZIVNI SLOŽENI KAMATNI RAČUN Veličine koje figurišu prilikom izračunavanja dekurzivnog složenog kamatnog r ačuna su:

K0 - početna vrednost kapitala, odnosno glavnica koju je dužnik pozajmio od poverioca pod odreñenim kamatnim uslovima

t - vreme na koje je dužnik pozajmio novac , odnosno vreme posle koga se izračunava krajnja vrednost kapitala

Kt - krajnja vrednost kapitala , odnosno zbir glavnice i kamate na tu glavnicu koje dužnik duguje duguje poveriocu posle vremena t p(d) - dekurzivna interesna (kamatna) stopa na godišnjem nivou (decimalni zapis) m - broj obračunskih perioda u toku jedne godine (ovaj broj je obično ceo broj) tm- vreme obračunskog perioda , odnosno vremenski interval obračunavanja kamate i njegovog dodavanja kapitalu

l - ukupan broj obračunskih perioda u toku ukupnog vremena t na koje je dužnik pozajmio novac (ovaj broj ne mora biti ceo broj) Naravno, proizvod ukupnog broja obračunskih perioda i vremena obračunskog perioda predstavlja ukupno vreme na koje je dužnik pozajmio novac, odnosno t = l · t , m

1 f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


odnosno

. Takoñe, ako je vreme obračunskog perioda (t ) dato u godinama, izmeñu broja m

obračunskih perioda u toku jedne godine (m) i vremena obračunskog perioda datog u godinama (t ) važi sledeća relacija m· t = 1. m

m

7.2.2.1.1. Odnos izmedju krajnje i početne vrednosti kapitala kod složenog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja, kada je vreme na koje je dužnik pozajmio novac jednako celom broju obračunskih perioda (l je ceo broj) Odnos izmeñu krajnje i početne vrednosti kapitala pod u naslovu navedenim uslovima, odreñuje sledeća teorema koju nećemo dokazivati

Teorema 7.2.2.1.(složen kamatni račun, vreme ukamaćivanja je jednako celom broju obračunskih perioda) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K pod godišnjom dekurzivnom 0

kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t koje je jednako l obračunskih perioda, gde je l ceo broj, krajnja vrednost kapitala K iznosi t

Primena ove teoreme u slučaju kada je kapitalisanje godišnje (m=1) a vreme za koje se računa krajnja vrednost kapitala dato u godinama (t= n godina) daje sledeće: n

K =K ·(1+p) . n

0

U slučaju kada se m puta u toku godine vrši kapitalisanje, a vreme za koje se računa krajnja vrednost kapitala je takodje dato u godinama ( t=n godina), tada je l=m ·n pa je:

.

NAPOMENA: Izraz

se vrlo često koristi u složenom kamatnom računu za različite vrednosti p% i n , pa su, zbog njegove lakše i brže primene, izračunate vrednosti tog izraza za razne vrednosti p% i n, i date u vidu tablice . Recipročna vrednost tabličnih vrednosti tablice

je data u vidu tablice

f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


. Dakle, važi

. Teorema 7.2.2.1. definiše odnos izmeñu pet veličina K 0, Kt, p, m, l. Ako su poznate bilo koje četiri od ovih veličina, onda je uvek moguće izračunati preostalu nepoznatu veličinu jednostavnim rešavanjem jednačine date u Teoremi 7.2.2.1 po toj nepoznatoj veličini.

Primer 7.2.2.1.1 Na koju će sumu da naraste suma od 5600 dinara za 4 godine uz 12% godišnje kamate, ako je kapitalisanje a)

godišnje

b)

polugodišnje

c)

tromesečno

d)

mesečno

Rešenje:

Pošto je K =5600 din., p=0,12, n= 3godine, tada po Teoremi 7.2.2.1 važi: 0

a)

b)

c)

d)

Primer 7.2.2.1.2. Koji je iznos ukamaćen pre 3 godine uz 8% godišnje kamate i polugodišnje kapitalisanje ako je narastao na 20000 dinara?

Rešenje: Sada je krajnja vrednost kapitala K t=20000 dinara, p=0,08, n=3godine pa je

f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


Primer 7.2.2.1.3. Za koliko će godina iznos od 3800 dinara sa 6% kamate da naraste na 4543,35 dinara uz tromesečno kapitalisanje?

Rešenje: Sada je Kt=4543,35 dinara, K 0=3800 dinara, p=0,06, m=4 pa na osnovu Teoreme 7.2.2.1. važi sledeće:

Pošto broj l=12 predstavlja broj obračunskih perioda, vreme t dobijamo kada broj obračunskih perioda pomnožimo sa vremenom obračunskog perioda, tj. t=l·t

m

U ovom slučaju, kapitalisanje je tromesečno (odnosno t = 3 meseca) pa je m

t(mesecima)=12·3 meseci=36 meseci, odnosno u godinama t(godinama)=3 godine.

7.2.2.1.2. Odnos izmedju krajnje i početne vrednosti kapitala kod složenog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja, kada vreme na koje je dužnik pozajmio novac nije jednako celom broju obračunskih perioda (l nije ceo broj) U praksi, vreme na koje je dužnik pozajmio novac, često nije jednako celom broju obračunskih perioda ( l nije ceo broj ) . Veza izmeñu krajnje i početne vrednosti kapitala se u tom slučaju može odrediti kombinovanjem metode prostog i složenog kamatnog računa (ovo su takozvane metode prekidnog kapitalisanja) , kao i metodom neprekidnog (kontinualnog) kapitalisanja. Pre nego što objasnimo ove metode, primetimo da , u ovom slučaju a) je količnik

realan broj b)

i da , ako se sa

obeleži ceo deo tog realnog broja, važi

gde t

f 13

ost

može biti dato

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


-u danima, obeležavamo ga sa

t

ost

-u mesecima, obeležavamo ga sa t -u godinama, obeležavamo ga sa t

(d)

ost

ost

(m)

(g)

Tako, na primer ako je: t=7godina i 8 meseci (odnosno 92 meseca), a t =6 meseci onda m

je

,

Metode prekidnog kapitalisanja su: -

racionalni metod

-

komercijalni metod.

Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala racionalnom metodom prekidnog kapitalisanja, odreñuje sledeća teorema , koju nećemo dokazivati.

Teorema 7.2.2.1.2.1.(racionalni metod) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K pod godišnjom dekurzivnom 0

kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t krajnja vrednost kapitala K , po racionalnom metodu t

prekidnog kapitalisanja, iznosi

gde je t

m

vreme obračunskog perioda.

Bez obzira što ovu teoremu nećemo dokazivati, napomenimo da je ona direktna posledica teoreme 7.2.2.1., jer je

, samo što u ovom slučaju taj broj l nije ceo broj . Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala komercijalnim metodom prekidnog kapitalisanja, odreñuje sledeća teorema , koju takodje nećemo dokazivati.

Teorema 7.2.2.1.2.2. (komercijalni metod) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K pod godišnjom dekurzivnom 0

kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih

f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


perioda, onda posle vremena t krajnja vrednost kapitala K , po komercijalnom t

metodu prekidnog kapitalisanja, iznosi

a)

,

b)

,

c) gde je t

ako je t

, m

ost

ako je t

u godnama

ost

ako je t

ost

u mesecima

u danima

vreme obračunskog perioda.

Očigledno je da komercijalna metoda predstavlja kombinovanje složenog i prostog kamatnog računa, na način, gde se za deo vremena t, koji predstavlja ceo broj obračunskih perioda

, kamata obračunava pravilima složenog kamatnog računa, dok se za ostatak vremena t

,

ost

kamata obračunava pravilima prostog kamatnog računa. Metod neprekidnog kapitalisanja odreñuje krajnju vrednost kapitala kao graničnu vrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoću metoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obračunskih perioda u toku jedne godine teži u beskonačnost

(m®¥). Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala neprekidnim kapitalisanjem odreñuje sledeća teorema.

Teorema 7.2.2.1.2.3.(neprekidno kapitalisanje) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K pod godišnjom dekurzivnom 0

kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz uslove neprekidnog kapitalisanja, onda posle vremena t datog u godinama, krajnja vrednost kapitala K iznosi: t

Dokaz: Pošto je vreme t dato u godinama, onda u formuli za metodu racionalnog prekidnog kapitalisanja i vrednost za t

m

je takoñe data u godinama. Za t

m

dato u

godinama , kao što je ranije rečeno, važi m· t

m

= 1Þ

, pa imajući u vidu da metod neprekidnog kapitalisanja odreñuje krajnju vrednost kapitala kao graničnu vrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoću metoda racionalnog

f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


prekidnog kapitalisanja, kada broj obračunskih perioda u toku jedne godine teži u beskonačnost (m®¥), važi sledeće:

Kraj dokaza. Primer 7.2.2.1.2.1. Izračunati na koju će sumu da naraste kapital od 5200din, za 4 godine i 2 meseca, uz godišnju kamatnu stopu od 6% uz a)

polugodišnje kapitalisanje koristeći i racionalni i komercijalni metod

b)

neprekidno kapitalisanje

Rešenje: Imamo de je K0=5200 din, a p=0,06 pa važi: a)

Po teoremama 7.2.2.1.2.1. i 7.2.2.1.2.2.

Racionalni metod: m=2, t=(4·12+2)meseca=50 meseci, t =6 meseci m

Komercijalni metod: m=2, t=(4 ·12+2)meseca=50 meseci, t =6 meseci m

pa je

b) Po teoremi 7.2.2.1.2.3. za neprekidno kapitalisanje imamo da je

gde je t u godinama što u ovom slučaju daje

pa je

f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


7.2.2.1.3. Konformna kamatna stopa Moguće je pokazati da se povećanjem broja kapitalisanja u toku jedne godine ( povećanjem m), uz uslov nepromenjenosti kamatne stope p, povećavaju iznosi kamate i iznosi krajnje vrednosti kapitala K . Ovu činjenicu zajmodavac (recimo štediša) može t

iskoristititi tako, što bi podizao svoje uloge zajedno sa pripadajućom kamatom ranije od obračunskog perioda, i taj ulog zajedno sa pripadajućom kamatom ponovo po istim uslovima oročavao. Ponavljanjem ovakvog procesa, štediša bi postigao da mu se glavnica više puta kapitališe od unapred dogovorenog broja kapitalisanja i samim tim mnogo više uveća od očekivanog. Ovakve operacije postaju beskorisne ako banka uvede novu k amatnu stopu koja bi, i pored većeg broja kapitalisanja u toku jedne godine, davala za godinu dana iste iznose kamate kao i godišnja kamatna stopa sa jednim kapitalisanjem. Takva kamatna stopa naziva se konformna kamatna stopa, i obeležavamo je sa p (decimalni zapis). k,m

Teorema 7.2.2.1.3.1. (konformna kamatna stopa) Konformna kamatna stopa p k,m (decimalni zapis) , tj. stopa koja sa m kapitalisanja početnog kapitala K u toku godine, 0

daje isti iznos krajnje vrednosti kapitala K

t

kao i kamatna stopa p sa jednim

kapitalisanjem u toku godine, se izračunava po formuli:

Dokaz: Krajnja vrednost početnog kapitala K 0 posle jedne godine sa godišnjim kapitalisanjem kamatnom stopom p je

dok krajnja vrednost početnog kapitala K jedne godine sa kamatnom stopom p

k,m

0

posle jedne godine uz m kašpitalisanja u toku

iznosi

Iz uslova jednakosti ova dva kapitala, sledi

Kraj dokaza. Primer 7.2.2.1.3.1. Kolika je tromesečna konformna kamatna stopa p k,m , ako je godišnja kamatna stopa p%=12%?

Rešenje: Pod ovim uslovima važi p=0,12 , m=4 pa je po teoremi 7.2.2.1.3.1.

pa je konformna kamatna stopa 2,87% .

7.2.2.1.4. Račun uloga kod dekurzivnog složenog kamatnog računa Dosadašnja analiza dekurzivnog složenog kamatnog računa podrazumevala je jednokratan početni ulog (početni kapital K ), bez dodatnih ulaganja. Naravno, ovakva 0

situacija je veoma retka, jer se često ukazuje potreba za dodatnim ulaganjima. Dodatna ulaganja mogu biti u istim ili različitim iznosima, u istim ili različitim

f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


vremenskim intervalima, koji se mogu poklapati sa vremenskim intervalima kapitalisanja, a mogu biti češći ili reñi od perioda vremena kapitalisanja.

7.2.2.1.4.1. Dodatni ulozi su u istim iznosima i istim vremenskim intervalima, koji se poklapaju sa vremenskim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja Ako se dodatni ulozi ulažu u istim iznosima na početku svakog obračunskog perioda (na početku svake godina), onda za takva ulaganja kažemo da su anticipativna.

Teorema 7.2.2.1.4.1.1. (anticipativni ulozi koji se poklapaju sa vremenskim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja) Ako se početkom svake godine ulaže suma od K dinara uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu p (decimalni zapis) i godišnje dekurzivno kapitalisanje, onda će stanje ukupnog kapitala S

gde je

a n

za n godina biti

r=1+p

Dokaz: Pošto se suma od K dinara ulaže na početku svake godine, to će na kraju n-te n

n

godine prvi ulog od K dinara da naraste na K ·(1+p) =K· r dinara (odnosno prvi ulog će n-1

n-1

imati n obračuna), drugi ulog će narasti na K ·(1+p) =K· r dinara (imaće n-1 obračuna) i tako redom sve do poslednjeg uloga koji će imati samo jedan obračun i koji će da naraste na K ·(1+p)=K· r dinara. Ukupan kapital nakon ovih n godina je naravno suma svih ovih iznosa i on iznosi:

2

n-1

jer je 1+r+r +…+r

suma konačnog geometrijskog reda (videti primer 2.2.3.1.)

Kraj dokaza. NAPOMENA: Izraz

se naziva faktor dodajnih uloga i njegova vrednost za dato p% i n se daje u vidu trećih kamatnih tablica , odnosno

, pa je . Ako se dodatni ulozi ulažu u istim iznosima na kraju svakog obračunskog perioda (na kraju svake godina), onda za takva ulaganja kažemo da su dekurzivna.

f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


Teorema 7.2.2.1.4.1.2. (dekurzivni ulozi koji se poklapaju sa vremenskim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja) Ako se krajem svake godine ulaže suma od K dinara uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu p (decimalni zapis) i godišnje dekurzivno kapitalisanje, onda će stanje ukupnog kapitala S

gde je

d n

za n godina biti

r=1+p

Dokaz: Pošto se suma od K dinara ulaže na kraju svake godine, to će na kraju n-te n-1

godine prvi ulog od K dinara da naraste na K ·(1+p)

=K· r

n-1

n-2

dinara (odnosno prvi ulog n-2

će imati n-1 obračuna), drugi ulog će narasti na K·(1+p) =K· r dinara (imaće n-2 obračuna) i tako redom sve do poslednjeg uloga koji se neće kapitalisati, odnosno iznosiće K dinara. Ukupan kapital nakon ovih n godina je naravno suma svih ovih iznosa i on izno

s 2

n-1

jer je 1+r+r +…+r

suma konačnog geometrijskog reda (videti primer 2.2.3.1.)

Kraj dokaza. NAPOMENA: Pošto je

važi da je . Primer 7.2.2.1.4.1. Ako se u banku ulaže: a) na početku svake godine b) na kraju svake godine po 20000 dinara, koja će suma biti u banci na kraju tre će godine, ako je godišnja kamatna stopa 6% i kapitalisanje godišnje.

Rešenje: Pošto je K=20000, p=0,06 , r=1,06, n=3 važi sledeće: a) pošto se radi o anticipativnom ulogu, po teoremi 7.2.2.1.4.1.1 je

b) pošto se radi o dekurzivnom ulogu, po teoremi 7.2.2.1.4.1.2. je

7.2.2.1.4.2. Dodatni ulozi su u istim iznosima i ulažu se u istim vremenskim intervalima, m puta u toku godine, uz primenu godišnjeg dekurzivnog

10 f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


kapitalisanja Očigledno je da je u ovom slučaju ulaganje češće od kapitalisanja, (odnosno ulažemo m puta u toku jedne godine , a kapitališemo samo jednom) . Meñutim, primenom konformne kamatne stope mi možemo izjednačiti broj kapitalisanja sa brojem ulaganja, i samim tim primeniti formule za izračunavanje ukupnog kapitala iz prethodnog poglavlja. Naime, po Teoremi 7.2.2.1.3.1., konformna kamatna stopa p ima sa m kapitalisanja u k

toku godine iste efekte kao i godišnja kamatna stopa p sa jednim kapitalisanjem, naravno uz uslov da je

Primenom konformne kamatne stope, broj kapitalisanja za period od n godina, postaje jednak broju ulaganja za taj isti period i naravno on iznosi m · n, tako da važi sledeća teorema, koju nećemo dokazivati jer je direktna posledica Teorema 7.2.2.1.4.1.1. i 7.2.2.1.4.1.2.

Teorema 7.2.2.1.4.2. (ulaganja češća od kapitalisanja) Ako se u istim vremenskim intervalima ulaže ista suma od K dinara m puta u toku godine, po godišnjoj kamatnoj stopi p i godišnjem kapitalisanju, onda stanje ukupnog kapitala posle n godina iznosi a) za slučaj anticipativnog ulaganja

b) za slučaj dekurzivnog ulaganja

gde je

a r =1+p k

k,m

.

Primer 7.2.2.1.4.2. : Koliko je stanje uloga posle 3 godine, ako se 10000 dinara ulaže u banku a) početkom svakog meseca b) krajem svakog meseca sa godišnjom kamatnom stopom od 6% i godišnjim kapitalisanjem.

Rešenje: U ovom slučaju je m=12, n=3, K=10000, p=0,06,

pa je a) pošto se radi o anticipativnom ulaganju

b) pošto se radi o dekurzivnom ulaganju

11 f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


7.2.2.1.5. Račun uloga kod neprekidnog kapitalisanja Prilikom korišćenja neprekidnog kapitalisanja mnogi problemi pri izračunavanju se uprošćavaju, a neki od njih gube i smisao, poput, recimo anticipativnog i dekurzivnog ulaganja. Neprekidno kapitalisanje dosta jednostavno izračunava stanje uloga za slučaj nejednakih uloga u nejednakim vremenskim intervalima ulaganja, što odreñuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati.

Teorema 7.2.2.1.5. (račun uloga pri neprekidnom kapitalisanju) Ako su uložene sume K , K , …, K u vremenima t , t , …, t , pri neprekidnom 1

2

n

1

2

n

kapitalisanju uz godišnju kamatnu stopu p , onda stanje svih uloga u trenutku t (gde je s

t £t i

s

za i=1,2,…,n) iznosi

, gde je vreme t dato u godinama. Vremenski interval t -t s

k

, k=1,2,…,n predstavlja vremenske razmake od trenutka

ulaganja t do trenutka izračunavanja stanja na računu t , izražene u godinama. k

s

Primer 7.2.2.1.5. Na koji će iznos da naraste ukupni kapital 20. III 2003. godine ako je ulagano: 10000 dinara 15.III 2002. godine , 20000 dinara 25.VI 2002. godine i 15000 dinara 15.II 2003 godine, uz godišnju neprekidnu kamatnu stopu 5%.

Rešenje: Odgovarajući vremenski intervali za svaki od ovih uloga su: prvom 371 dan, odnosno

godina, drugom 268 dana, odnosno

godina, i trećem 34 dana, odnosno

godina, pa prema prethodnoj teoremi ukupni kapital na dan 20.III 2003. godine iznosi:

IMATE PITANJA? KONSULTUJTE VIRTUELNOG KONSULTANTA

12 f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika


UDJITE U LABORATORIJU - IZVEDITE VIRTUELNI EKSPERIMENT

ZADACI, SEMINARSKI RADOVI, RELEVANTNI LINKOVI, DODATNA LITERATURA

13 f 13

01 A

2011 12 37 P

Poslovna matematika

Recommend Documents