Prof. dr Dušan Joksimović
ZBIRKA ZAD ZBIRKA ZADA ATAKA IZ POSLOVNE STATISTIKE (drugo izdanje)
Megatrend univerzitet primenjenih nauka Beograd, 2004.
Prof. dr Dušan Joksimović
ZBIRKA ZADATA IZ POSLOVNE STATISTIKE (drugo izdanje) Recenzenti: Recenzen ti:
Prof. dr Veljko Spasić, naučni savetnik Matematički institut SANU
Prof. dr Goran Kilibarda, vanredni profesor Tehnološko-metalurškog fakulteta fakulteta u Beogradu Izdaje i štampa: štampa: Megatrend univerzitet primenjenih nauka, Beograd, Makedonska 21 Za izdavača: izdavača: Nevenka Trifunović, Trifunović, izvršni direktor Tehnički urednik: Prof. dr Dušan Joksimović Dizajn korica: Zoran Imširagić Tiraž: 500 primeraka Copyright: © 2004 „Megatrend“ univerzitet primenjenih nauka - Beograd
Izdavač zadržava sva prava. Reprodukcija pojedinih delova ili celine ove publikacije nije dozvoljena! ISBN 86-7747-139-1
CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 311:33(075.8)(076)
JOKSIMOVIĆ, Dušan Zbirka zadataka iz poslovne statistike / Dušan Joksimović. - (2. izd.). - Beograd : Megatrend univerzitet primenjenih nauka, 2004 (Beograd : Megatrend univerzitet u niverzitet primenjenih nauka). - 252 str. : graf. prikazi ; 24 cm Tiraž 500. - Bibliografija: str. 211 ISBN 86-7747-139-1 a) Poslovna statistika – Zadaci COBISS.SR–ID 116781324
Odlukom Komisije za izdavačku delatnost Megatrend univerziteta primenjenih nauka broj 92/35 (27.08.2004.) (27.08.2004.) rukopis je odobren za štampu i upotrebu u nastavi kao udžbenik.
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
SADRŽAJ
str.
1.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA ANALIZA............................ 1
2.
OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VEROVATNOE................. 42 2.1. Algebra dogaaja................................................................ 42 2.2. Kombinatorika................................ Kombinatorika................................................................ .................................... .... 47 2.3. Verovatnoa......................................................................... 51
3.
RASPODELE SLUAJNIH PROMENLJIVIH......................... 69 3.1. Raspodele diskretnih sluajnih promenljivih.................. 69 3.2. Neprekidne sluajne promenljive..................................... 83
4.
UZORAK I STATISTIKE UZORKA.................................. UZORKA.......................................... ........ 102 4.1. Raspodela parametara uzorka......................... uzorka.......................................... ................. 102
5.
STATISTIKO OCENJIVANJE................................................. 112 5.1. Takaste ocene..................................... ocene................................................................... .............................. 112 5.2. Intervalne ocene.................................... ocene................................................................. ............................. 117
6.
TESTIRANJE PARAMETARSKIH STATISTIKIH HIPOTEZA................................................. HIPOTEZA...................................................... ..... 134
7.
REGRESIJA I KORELACIJA........................... KORELACIJA.................................................... ......................... Prosta linearna regresija...................................... regresija............................................................... ......................... Kvadratna regresija....................................................................... Logaritamska regresija................................ regresija............................................................... ................................... Eksponencijalna regresija................................ regresija............................................................. .............................
8.
INDEKSI....................................................................... INDEKSI................................... ...................................................... .................. 184
9.
VREMENSKE SERIJE.................................. SERIJE................................................................. ............................... 192
165 165 171 174 177
LITERATURA............................................................................... 211 DODATAK - TABLICE ................................................................ 213 KONTROLNA PITANJA .............................................................. 221
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1. DESKRIPTIVNA STATISTIKA ANALIZA Rešeni zadaci: 1.1. Anketirana je populacija od 80 lanova o broju lanova u porodici i dobijeni su sledei odgovori: 3, 6, 3, 6, 6, 5, 2, 4,
4, 3, 4, 8, 5, 4, 4, 3,
2, 4, 5, 7, 8, 6, 3, 5.
2, 4, 4, 4, 2, 2, 5,
5, 3, 3, 3, 4, 3, 4,
1, 4, 4, 4, 3, 1, 8,
4, 1, 6, 4, 4, 4, 6,
3, 2, 2, 1, 4, 5, 4,
7, 7, 4, 2, 3, 7, 5,
5, 6, 5, 4, 4, 4, 5,
4, 8, 2, 6, 4, 6, 3,
a) Prikazati tabelarno i grafiki apsolutnu frekvenciju, relativnu frekvenciju, kumulativne frekvencije odreene sa “manje do jednako od” i “vee do jednako od”. b) Izraunati aritmetiku sredinu, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, drugi i osmi decil. c) Izraunati interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, od modusa i od medijane, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju. d) Izraunati koeficijent varijacije ove populacije i normalizovano standardno odstupanje jednog lana ove populacije ija porodica ima sedam lanova. e) Izraunati koeficijente asimetrinosti i spljoštenosti i prokomentarisati simetrinost i spljoštenost raspodele.
1
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rešenje:
a) Tabelarni prikaz je dat u Tabeli 1.1.1. Broj Apsolutna lanova frekvencija porodice f i 1 4 2 9 3 13 4 26 5 11 6 9 7 4 8 4 f i=80
Relativna frekvencija pi 4/80 9/80 13/80 26/80 11/80 9/80 4/80 4/80 pi=1
Kumulativna Kumulativna frekvencija frekvencija K i W i 4 80 13 76 26 67 52 54 63 28 72 17 76 8 80 4
Tabela 1.1.1. Grafi ki prikaz apsolutne, relativne i kumulativnih frekvencija dat je na sledeim slikama. a 30 j i c 25 n e v k 20 e r f 15 a n t 10 u l o 5 s p A 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Broj clanova porodice
Slika 1.1.1. Grafi ki prikaz apsolutne frekvencije
2
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
0.35
a j i c 0.3 n e 0.25 v k e r 0.2 f a 0.15 n v i t 0.1 a l e 0.05 R 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Broj clanova porodice
Slika 1.1.2. Grafi ki prikaz relativne frekvencije
a j 90 i c 80 n e 70 v k 60 e r f = 50 a < 40 n v i 30 t a l 20 u m 10 u 0 K 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Broj clanova porodice
Slika 1.1.3. Grafi ki prikaz kumulativne frekvencije
3
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
a j 90 i c 80 n e 70 v k 60 e r f = 50 a > 40 n v i 30 t a l 20 u m 10 u 0 K 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Broj clanova porodice
Slika 1.1.4. Grafi ki prikaz kumulativne frekvencije
b) Aritmeti ka sredina ove populacije je 8
f x i 1
i
N
i
4 1 9 2 13 3 26 4 11 5 9 6 4 7 4 8 4,175 80
Kako je najfrekventnija klasa upravo klasa u kojoj se nalaze lanovi populacije koji imaju etiri lana u svojoj porodici, to je modus ove unimodalne raspodele M o=4. Populacija sadrži paran broj lanova, N=80, pa medijanu nalazimo kao aritmeti ku sredinu 40. i 41. lana serije ure ene u rastui poredak. Analizirajui kumulativnu frekvenciju K i, vidimo da se i 40. i 41. lan serije ure ene u rastui poredak nalaze u klasi u kojoj se nalaze lanovi populacije koji imaju etiri lana u svojoj porodici, pa je medijana ove raspodele X X 41 4 4 4. M e 40 2 2
4
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Vrednost obeležja je diskretna pa prvi kvartil nalazimo kao vrednost N 3 N 3 -og lana serije ure ene u rastui poredak, ukoliko je ceo broj. 4 4 N 3 Kada nije ceo broj, onda vrednost prvog kvartila odre ujemo 4 N 3 -og i N 3 1 -og linearnom interpolacijom izme u vrednosti 4 4 N 3 obeležen ceo deo lana serije ure ene u rastui poredak, gde je sa 4 N 3 N 3 83 20 . Analizirajui broja . U našem slu aju je 4 4 4 kumulativnu frekvenciju K i, vidimo da se i 20. i 21. lan serije ure ene u rastui poredak nalaze u klasi u kojoj se nalaze lanovi populacije koji imaju tri lana u svojoj porodici, pa je prvi kvartil ove raspodele Q 1=3. 3 N 1 Vrednost treeg kvartila se nalazi kao vrednost -og lana ure ene 4 3 N 1 serije u rastui poredak, ukoliko je ceo broj, ili linearnom 4 3 N 1 -og i 3 N 1 1 -og lana interpolacijom izme u vrednosti 4 4 3 N 1 serije ure ene u rastui poredak, ukoliko nije ceo broj. 4 3 N 1 3 80 1 60. Analizirajui kumulativnu U našem slu aju je 4 4 frekvenciju K i, vidimo da se i 60. i 61. lan serije ure ene u rastui poredak nalaze u klasi u kojoj se nalaze lanovi populacije koji imaju pet lanova u svojoj porodici, pa je trei kvartil ove raspodele Q 3=5. Vrednost obeležja je diskretna pa drugi decil nalazimo kao vrednost 2 N 1 1 -og lana serije ure ene u rastui poredak, ukoliko je N 1 10 10 N 1 ceo broj. Kada nije ceo broj, onda vrednost drugog decila odre ujemo 10 N 1 1 -og i linearnom interpolacijom izme u vrednosti 2 10
5
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
N 1 2 1 1 -og lana serije ure ene u rastui poredak. U našem 10 N 1 1 2 79 1 16 . Analizirajui kumulativnu slu aju je 2 10 10 frekvenciju K i, vidimo da se i 16. i 17. lan serije ure ene u rastui poredak nalaze u klasi u kojoj se nalaze lanovi populacije koji imaju tri lana u svojoj porodici, pa je drugi decil ove raspodele D 2=3. N 1 1 -og lana Vrednost osmog decila se nalazi kao vrednost 8 10 8 N 1 ure ene serije u rastu i poredak ukoliko je ceo broj, ili linearnom 10 N 1 1 -og i 8 N 1 1 1 -og interpolacijom izme u vrednosti 8 10 10 8 N 1 lana serije ure ene u rastui poredak ukoliko nije ceo broj. 10 N 1 1 8 79 1 64. Analiziraju i U našem slu aju je 8 10 10 kumulativnu frekvenciju K i, vidimo da se i 64. i 65. lan serije ure ene u rastui poredak nalaze u klasi u kojoj se nalaze lanovi populacije koji imaju šest lanova u svojoj porodici, pa je osmi decil ove raspodele D 8=6. c) Interval varijacije je I v x max x min 8 1 7 . Interkvartilna razlika je I q Q3 Q1 5 3 2.
Srednje apsolutno odstupanje od aritmeti ke sredine je
6
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 8
AD
f x i 1
i
i
N 4 1 4,175 9 2 4,175 13 3 4,175 26 4 4,175 11 5 4,175 80 9 6 4,175 4 7 4,175 4 8 4,175 80 4 3,175 9 2,175 13 1,175 26 0,175 11 0,825 9 1,825 4 2,825 80 4 3,825 1,3025 80
Modus i medijana imaju iste vrednosti pa su i srednja apsolutna odstupanja od modusa i medijane me usobno jednaka i iznose: 8
AD M o AD M e
f x i 1
i
i
M o
8
f x i 1
i
i
M e
N N 4 1 4 9 2 4 13 3 4 26 4 4 11 5 4 80 9 6 4 4 7 4 4 8 4 80 4 3 9 2 13 1 26 0 11 1 9 2 4 3 4 4 1, 25 80
Srednje kvadratno odstupanje (varijansa ili disperzija) iznosi
7
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 8
2
i 1
f i xi 2
N 4 1 4,1752 9 2 4,1752 13 3 4,1752 26 4 4,175 2 80 11 5 4,1752 9 6 4,1752 4 7 4,1752 4 8 4,1752 80 4 3,1752 9 2,1752 13 1,1752 26 0,1752 11 0,825 2 80 9 1,825 2 4 2,825 2 4 3,825 2 2,869375 2,87 80
Varijansa se može izra unati i pomo u tzv. “radne formule”: 8
2
f x i 1
i
2 i
2
N 4 12 9 2 2 13 3 2 26 4 2 11 5 2 9 6 2 4 7 2 4 8 2 4,1752 80 2,869375 2,87
Standardna devijacija je 2 2,869375 1,69. d) Koeficijent varijacije je 1,69 C v 4,175
0,4048 , ili u procentima C v % C v 100% 40,48%.
Normalizovano standardno odstupanje jednog lana ove populacije ija x 7 4,175 1,67. porodica ima sedam lanova je Z i i 1,69
8
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike e) Koeficijent asimetri nosti je 3 moment, koji iznosi: 8
M 3
i 1
f i xi 3
M 3
3
, gde je M 3 trei centralni
N 4 1 4,1753 9 2 4,1753 13 3 4,1753 26 4 4,1753 80 11 5 4,1753 9 6 4,1753 4 7 4,1753 4 8 4,1753 80 4 3,1753 9 2,1753 13 1,1753 26 0,1753 11 0,825 3 80 9 1,8253 4 2,8253 4 3,8253 1,66321875 1,67 80 M 3 1,67 0,346 . pa je 3 3 3 1,69 Kako je 3 0 i 0,25 3 0,5 to je raspodela srednje pozitivno asimetri na.
Koeficijent spljoštenosti je 4 moment, koji iznosi:
9
M 4
4
, gde je M 4 etvrti centralni
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 8
M 4
i 1
f i xi 4
N 4 1 4,1754 9 2 4,1754 13 3 4,1754 26 4 4,175 4 80 11 5 4,1754 9 6 4,1754 4 7 4,1754 4 8 4,1754 80 4 3,1754 9 2,1754 13 1,1754 26 0,1754 11 0,825 4 80 9 1,825 4 4 2,825 4 4 3,825 4 23,11 80 M 23,11 2,83 . pa je 4 44 4 1,69 Kako je 4 3 , to je raspodela malo spljoštena.
NAPOMENA: Pošto je vrednost obeležja DISKRETNOG tipa, to su svi parametri empirijske raspodele izra unati po formulama za grupisane podatke (grupisani po klasama) ISTI kao i da su ra unati po formulama za negrupisane podatke.
10
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.2. Anketiran je sluajni uzorak od 30 studenata prve i druge godine o ukupnom broju položenih ispita i dobijeni su sledei odgovori: 6 8 9
3 10 10
8 12 8
7 7 7
11 8 8
7 7 9
8 9 9
9 4 8
8 5
9 4
8 8
a) Prikazati tabelarno i grafiki apsolutnu frekvenciju, relativnu frekvenciju, kumulativne frekvencije odreene sa “manje do jednako od” i “vee do jednako od”. b) Izraunati aritmetiku sredinu, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju ovog uzorka. c) Izraunati koeficijent varijacije ovog uzorka i normalizovano standardno odstupanje jednog studenta iz ovog uzorka koji je položio deset ispita. Rešenje:
a) Tabelarni prikaz je dat u Tabeli 1.2.1. Broj položenih ispita 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Apsolutna frekvencija f i 1 2 1 1 5 10 6 2 1 1 f i=30
Relativna frekvencija pi 1/30 2/30 1/30 1/30 5/30 10/30 6/30 2/30 1/30 1/30 pi=1
Kumulativna Kumulativna frekvencija frekvencija K i W i 1 30 3 29 4 27 5 26 10 25 20 20 26 10 28 4 29 2 30 1
Tabela 1.2.1.
11
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Grafi ki prikaz apsolutne, relativne i kumulativnih frekvencija dat je na sledeim slikama.
12 a j i 10 c n e 8 v k e r f 6 a n t u 4 l o s p A 2
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Broj položenih ispita
Slika 1.2.1. Grafi ki prikaz apsolutne frekvencije
0.35 a 0.3 j i c n 0.25 e v k 0.2 e r f a 0.15 n v i t 0.1 a l e R 0.05
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Broj položenih ispita
Slika 1.2.2. Grafi ki prikaz relativne frekvencije
12
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
35 a j 30 i c n e 25 v k e r 20 f = a < n 15 v i t a l 10 u m u 5 K
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Broj položenih ispita
1.2.3. Grafi ki prikaz kumulativne frekvencije ( )
35 a j 30 i c n e 25 v k e r 20 f = a > n 15 v i t a l 10 u m u 5 K
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Broj položenih ispita
1.2.4. Grafi ki prikaz kumulativne frekvencije ( )
13
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) Aritmeti ka sredina ovog uzorka je 8
_
x
f x i 1
i
n
i
1 3 2 4 1 5 1 6 5 7 10 8 6 9 2 10 1 11 1 12 7,8 30
Srednje kvadratno odstupanje (varijansa ili disperzija) ovog uzorka iznosi _ 2
i1 2 s n 1 1 3 7,82 2 4 7,82 1 5 7,82 1 6 7,8 2 5 7 7,8 2 10
f i xi x
29 10 8 7,82 6 9 7,82 2 10 7,82 1 11 7,8 2 1 12 7,8 2 29 1 4,82 2 3,82 1 2,82 1 1,82 5 0,8 2 10 0,2 2 6 1,2 2 29 2 2,2 2 1 3,2 2 1 4,2 2 3,889655 3,89 29
Varijansa uzorka se može izra unati i pomo u tzv. “radne formule”. 2
_ 2 f x n x i i s 2 i 1 n 1 1 3 2 2 4 2 1 5 2 1 6 2 5 7 2 10 8 2 6 9 2 2 10 2 1 112 10
29
1 12 2 30 7,8 2 3,889655 3,89 29 Standardna devijacija uzorka je s s 2 3,89 1,97 .
14
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike c) Koeficijent varijacije je
1,97 0,2526 , ili u procentima C v % C v 100% 25,26%. C v _ x 7,8 s
Normalizovano standardno odstupanje jednog jednog llana ana ovog uzorka koji je _
položio deset ispita je Z i
xi x 10 7,8 1,12. 1,97 s
1.3. Anketirana je populacija od 50 lanova o visini i dobijeni su sledei odgovori (u cm): 192 172 205 187 183
185 184 213 206 195
188 195 165 194 175
164 190 158 177 194
173 188 179 192 188
200 174 188 185 194
205 153 192 203
211 168 191 163
187 174 198 168
194 204 185 188
193 196 186 195
a) Grupisati podatke o visini u klase i prikazati tabelarno i grafiki apsolutnu frekvenciju, relativnu frekvenciju i kumulativne frekvencije odreene sa “manje od” i “vee do jednako od”. Izraunati sledee parametre raspodele, smatraju i da su podaci grupisani kao pod a): b) sedmi decil,
aritmetiku sredinu, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, trei i
c) interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, od modusa i od medijane, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju,
15
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike d) koeficijent varijacije ove populacije i normalizovano standardno odstupanje jednog lana ove populacije koji je visok 192 cm, e) koeficijente asimetrinosti i spljoštenosti i prokomentarisati simetrinost i spljoštenost raspodele. Rešenje:
a) Imajui u vidu preporuke date u udžbeniku o grupisanju neprekidnih vrednosti obeležja u intervalne klase i injenicu injenicu da je najmanja visina u populaciji 153 cm, a najve a 213 cm, podatke o visini iz ove populacije grupisaemo u sedam klasa širine 10 cm, po ev ev od 150 cm. Tabelarni prikaz je dat u Tabeli 1.3.1. Interval visine (cm) 150 - 160 160 - 170 170 - 180 180 - 190 190 - 200 200 - 210 210 - 220
Apsolutna frekvencija f i 2 5 7 13 15 6 2 f f i=50
Relativna frekvencija pi 2/50 5/50 7/50 13/50 15/50 6/50 2/50 p pi=1
Kumulativna frekvencija < K i 2 7 14 27 42 48 50
Kumulativna frekvencija W i 50 48 43 36 23 8 2
Tabela 1.3.1. Grafi ki ki prikaz apsolutne, relativne i kumulativnih frekvencija dat je na sledeim slikama.
16
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
16 14
a j i c 12 n e v k 10 e r f 8 a n t u 6 l o s 4 p A
2 0
150 160 170 180 190 200 210 220 (cm)
Visina Slika 1.3.1. Grafi ki ki prikaz apsolutne frekvencije
0.35 0.3 a j i c 0.25 n e v k 0.2 e r f a n 0.15 v i t a l e 0.1 R
0.05 0
150 160 170 180 190 200 210 220 (cm)
Visina Slika 1.3.2. Grafi ki ki prikaz relativne frekvencije
17
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
60 50 a j i c n e 40 v k e r f a < 30 n v i t a l 20 u m u K 10 0
150 160 170 180 190 1 90 200 210 220 (cm) ( cm)
Visina Slika 1.3.3. Grafi ki ki prikaz kumulativne frekvencije (<)
60 a 50 j i c n e 40 v k e r f = 30 a > n v i t a l 20 u m u 10 K
0
150 160 170 180 190 1 90 200 210 220 (cm) ( cm)
Visina ) Slika 1.3.4. Grafi ki ki prikaz kumulativne frekvencije (
18
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike NAPOMENA: Pošto je vrednost obeležja NEPREKIDNOG tipa, to e se parametri empirijske raspodele izra unati po formulama za grupisane podatke (grupisani po klasama) najverovatnije RAZLIKOVATI od parametara koje bismo dobili ra unaju i po formulama za negrupisane podatke.
b) Aritmeti ka sredina ove populacije je 7
i 1
f i xi'
N 2 155 5 165 7 175 13 185 15 195 6 205 2 215 187cm. 50 Najfrekventnija klasa, odnosno modalna klasa, je klasa 190 - 200 cm, pa je modus M o LM o
f M o f M o 1 15 13 190 10 191,82cm. 15 13 15 6 f M o f M o 1 f M o f M o 1
N 50 Kako je 25 , to je medijalna klasa 180 -190 cm, pa je 2 2 medijana
M e LM e
N M e 1 f i 25 14 2 i 1 180 10 188,46cm . 13 f M e
Kako je
N 50 12,5 , to je klasa prvog kvartila 170 -180 cm, pa je 4 4
prvi kvartil Q1
19
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike N Q1 1 f i 12,5 7 4 i 1 170 10 177,86cm . Q1 LQ1 7 f Q1
3 N 3 50 37,5 , to je klasa treeg kvartila 190 -200 cm, 4 4 pa je trei kvartil Q3 Kako je
3 N Q3 1 f i 37,5 27 4 i 1 190 10 197cm . Q3 LQ3 15 f Q3
Kako je
3 N 3 50 15 , to je klasa treeg decila 180 -190 cm, pa 10 10
je trei decil D3
3 N D3 1 f i 15 14 10 i 1 180 10 180,77cm . D3 L D3 13 f D3
7 N 7 50 35 , to je klasa sedmog decila 190 -200 cm, 10 10 pa je sedmi decil D7 Kako je
7 N D7 1 f i 35 27 10 i 1 190 10 195,33cm . D7 L D7 15 f D7
c) Interval varijacije je I v x max x min 220 150 70cm.
20
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Interkvartilna razlika je I q Q3 Q1 197 177,86 19,14cm. Srednje apsolutno odstupanje od aritmeti ke sredine je 7
AD
f x ' i
i
i 1
N 2 155 187 5 165 187 7 175 187 13 185 187 15 195 187 50 6 205 187 2 215 187 50 2 32 5 22 7 12 13 2 15 8 6 18 2 28 11,36cm. 50 Srednje apsolutno odstupanje od modusa je 7
ADM o
f x M i 1
i
' i
o
N 2 155 191,82 5 165 191,82 7 175 191,82 13 185 191,82 50 15 195 191,82 6 205 191,82 2 215 191,82 50 2 36,82 5 26,82 7 16,82 13 6,82 15 3,18 6 13,18 2 23,18 11,75cm. 50
Srednje apsolutno odstupanje od medijane je
21
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 7
ADM e
f x M i 1
i
' i
e
N 2 155 188,46 5 165 188,46 7 175 188,46 13 185 188,46 50 15 195 188,46 6 205 188,46 2 215 188,46 50 2 33,46 5 23,46 7 13,46 13 3,46 15 6,54 6 16,54 2 26,54 11,48cm 50 Srednje kvadratno odstupanje (varijansa ili disperzija) je 7
2
i 1
2
f i xi'
N 2 155 187 2 5 165 1872 7 175 1872 13 185 1872 50 15 195 187 2 6 205 1872 2 215 1872 50 2 (32) 2 5 (22) 2 7 (12) 2 13 (2) 2 15 8 2 6 18 2 2 28 2 200 50 Standardno odstupanje je 2 200 14,14cm
d) Koeficijent varijacije je Cv
14,14 187
0,0756 , ili u procentima C v % C v 100% 7,56%.
22
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Normalizovano standardno odstupanje jednog lana ove populacije koji je xi 192 187 0,35. visok 192 cm je Z i 14,14 e) Koeficijent asimetri nosti je 3 moment, koji iznosi: 7
M 3
i 1
M 3
3
, gde je M 3 trei centralni
3
f i xi'
N 2 155 187 3 5 165 1873 7 175 1873 13 185 1873 50 15 195 187 3 6 205 1873 2 215 1873 50 2 (32) 3 5 (22) 3 7 (12) 3 13 (2) 3 15 8 3 6 18 3 2 28 3 888 50 pa je 3
M 3
3
888 14,14
3
0,314 .
Kako je 3 0 i 0,5 3 0,25 to je raspodela srednje negativno asimetri na.
Koeficijent spljoštenosti je 4
M 4
4
, gde je M 4 etvrti centralni moment, koji
iznosi:
23
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 7
M 4
i 1
4
f i xi'
N 2 155 187 4 5 165 1874 7 175 1874 13 185 1874 50 15 195 187 4 6 205 1874 2 215 1874 50 2 (32) 4 5 (22) 4 7 (12) 4 13 (2) 4 15 8 4 6 18 4 2 28 4 106688 50 pa je 4
M 4 4
106688 2,67 . 4 14,14
Kako je 4 3 to je raspodela malo spljoštena.
1.4. Anketiran je sluajni uzorak od 30 studenata o težini i dobijeni su sledei odgovori (u kg): 68 82 82
93 77 91
106 74 72
73 53 68
52 68 63
83 109 69
82 82 75
75 79 89
93 74
83 76
80 83
Grupisati podatke u klase i prikazati tabelarno apsolutnu frekvenciju, relativnu frekvenciju i kumulativne frekvencije odreene sa “manje od” i “vee do jednako od” i, tretiraju i podatke kao grupisane, a) izraunati aritmetiku sredinu, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju ovog uzorka, b) izraunati koeficijent varijacije ovog uzorka i normalizovano standardno odstupanje jednog studenta iz ovog uzorka koji je težak 68 kg.
24
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rešenje:
Imajui u vidu preporuke date u udžbeniku o grupisanju neprekidnih vrednosti obeležja u intervalne klase i injenicu da je najmanja težina u uzorku 52 kg, a najve a 109 kg, podatke o težini iz ovog uzorka grupisa emo u šest klasa širine 10 kg, po ev od 50 kg. Tabelarni prikaz je dat u Tabeli 1.4.1.
Interval težine (kg)
Apsolutna frekvencija f i 2 5 9 9 3 2 f i=30
50 -60 60 -70 70 -80 80 -90 90 -100 100 -110
Relativna frekvencija pi 2/30 5/30 9/30 9/30 3/30 2/30 pi=1
Kumulativna frekvencija < K i 2 7 16 25 28 30
Kumulativna frekvencija W i 30 28 23 14 5 2
Tabela 1.4.1. a) Aritmeti ka sredina ovog uzorka je 6
_
x
f x i 1
i
n
' i
2 55 5 65 9 75 9 85 3 95 2 105 79kg . 30
Srednje kvadratno odstupanje (varijansa ili disperzija) ovog uzorka iznosi
25
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 2
_ f x x i i s 2 i 1 n 1 2 55 792 5 65 792 9 75 792 9 85 79 2 3 95 79 2 6
29
2 105 792 29 2 242 5 142 9 42 9 6 2 3 16 2 2 26 2 162,76. 29 Varijansa uzorka se može izra unati i pomo u tzv. “radne formule”: 6
s 2
i 1
_ 2
'2 i
f i x n x
n 1 2 55 2 5 65 2 9 75 2 9 85 2 3 95 2 2 105 2 30 79 2 162,76. 29
Standardna devijacija uzorka je s s 2 162,76 12,76kg . b) Koeficijent varijacije je
12,76 0,1615 , ili u procentima C v % C v 100% 16,15%. C v _ 79 x s
Normalizovano standardno odstupanje jednog lana ovog uzorka koji je težak _
68kg je Z i
xi x 68 79 0,86. 12,76 s
26
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.5. Rešiti prethodni zadatak ne grupišui podatke u klase. Rešenje:
a) Aritmeti ka sredina ovog uzorka izra unata za negrupisane podatke iznosi 30
x
68 93 106 73 52 83 82 75 93 83 80 82 77 74 30 n 53 68 109 82 79 74 76 83 82 91 72 68 63 69 75 89 30 78,47kg .
_
x
i 1
i
Varijansu uzorka emo izra unati pomou tzv. “radne formule”: 30
s 2
i 1
_ 2
xi2 n x
n 1 68 2 93 2 106 2 73 2 52 2 83 2 82 2 75 2 93 2 83 2 80 2 82 2 77 2 29 74 2 532 68 2 109 2 82 2 79 2 74 2 76 2 832 82 2 912 72 2 68 2 29 63 2 69 2 75 2 89 2 30 78,47 2 156,65 29
Standardna devijacija uzorka je s s 2 156,65 12,64kg . b) Koeficijent varijacije je
27
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 12,64 C v _ 0,1611 , ili u procentima C v % C v 100% 16,11%. x 78,47 s
Normalizovano standardno odstupanje jednog lana ovog uzorka koji je težak _
68kg je Z i
xi x 68 78,47 0,83. 12,64 s
Kao što je i o ekivano, rezultati se neznatno razlikuju od onih koje smo dobili u prethodnom zadatku, kada smo grupisali podatke.
1.6. Data je nepotpuna statisti ka serija: Klase
Apsolutna frekvencija 24 60 ? 130 ? 50 36 f i =458
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
Poznata je vrednost medijane: Me 45,92. Popuniti statistiku seriju. Rešenje:
Ozna imo sa f 3 apsolutnu frekvenciju klase 30-40 , a sa f 5 apsolutnu frekvenciju klase 50-60 . Po uslovu zadatka je 7
f 24 60 f 130 f 50 36 458 , i 1
i
3
5
28
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike pa je f 3 f 5 458 24 60 130 50 36 158 . Pošto je poznata vrednost medijane, a samim tim i medijalna klasa, važi: N M e 1 f i M e 1 N M e LM e 2 i 1 f i f M e 2 f M e i 1
M e LM e
229
45,92 40 130 152 10
Pošto je
M e 1
f 24 60 f i 1
i
3
to je f 3
M e 1
f 24 60 68 i 1
i
a f 5 158 f 3 158 68 90.
1.7. Prosena mesena zarada 80 lekara u jednoj bolnici je 35000 dinara. Prosena mesena zarada 150 medicinskih sestara u toj bolnici je 20000 dinara, dok je prosena zarada 30 administrativnih službenika 15000 dinara. Nai prosenu mesenu zaradu zaposlenih u toj bolnici. Rešenje:
Prose na mese na zarada zaposlenih u toj bolnici je m
N 80 35000 150 20000 30 15000 24038,46 din. 80 150 30 N _
i
i 1
i
m
i 1
i
29
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.8. Cena nekog proizvoda se u periodu od 1993. godine do 2003. godine menjala na sledei nain: od 1993-1996. rasla je godišnje 8%, od 19961998. opadala je godišnje 3% i od 1998-2003. rasla je godišnje 4%. Kolika je prosena procentualna godišnja promena cene ovog proizvoda u periodu od 1993-2003. godine? Rešenje:
U ovom slu aju, zbog prirode problema, koristi emo geometrijsku sredinu kao meru prose ne procentualne godišnje promene cene. G 10 1,08 3 0,97 2 1,04 5 1,0373 , pa je prose ni godišnji rast cene ovog proizvoda u periodu od 1993-2003. bio 3,73%.
1.9. Ako se cena nekog artikla utrostruila za period od 5 godina, koliki je procentualni godišnji porast cene? Rešenje:
Obeležimo sa x po etnu cenu robe, a sa p decimalni zapis procentualnog godišnjeg porasta cene ovog artikla. Važi: ln 3 ln 3 x 1 p 3 x ln1 p p e 5 1 0,2457. 5 5
Procentualni godišnji porast cene je p% p 100% 24,57%.
1.10. Mereno je vreme u minutima neophodno za izaradu jednog proizvoda za deset radnika i dobijeni su sledei podaci: 37
25
27
36
39
32
25
27
26
33.
Izraunati prosenu produktivnost ovih deset radnika izraženu preko vremena potrebnog za izradu ovog proizvoda. 30
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rešenje:
Prose no vreme izrade proizvoda je obrnuto proporcionalno produktivnosti rada, pa emo koristiti harmonijsku sredinu. H
10 N 29,89 min . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xi 37 25 27 36 39 32 25 27 26 33
Dakle, prose na produktivnost ovih deset radnika izražena preko vremena potrebnog za izradu ovog proizvoda je 29,89 minuta.
1.11. Odrediti proseno vreme obrta sredstava uloženih u etiri razliite proizvodnje na osnovu podataka iz sledee tabele: Sredstva (din.)
Vreme obrta (meseci) 6 11 7 8
250000 350000 100000 200000 Rešenje:
Ukoliko je vreme obrta duže to je obrt sredstava manji, pa za odre ivanje prose nog vremena obrta sredstava koristimo harmonijsku sredinu. Zato je prose no vreme obrta uloženih sredstava jednako
250000 350000 100000 200000 7,98 me sec i. 250000 350000 100000 200000 6 11 7 8
31
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.12. Finansijska služba jednog trgovinskog preduzea podnela je sledei izveštaj o prometu svojih 40 prodavnica u maju: Promet (din.) <100000 100000-150000 150000-200000 200000-250000 250000-300000 300000
Broj prodavnica 3 9 12 8 6 2
Odrediti prosean promet preko mere centralne tendencije koja se preporuuje kod otvorenih intervala. Rešenje:
Kod otvorenih intervala preporu uje se medijana kao mera centralne tendencije, pa je prose an promet u maju u ovom trgovinskom preduze u jednak medijani i iznosi
M e LM e
N M e 1 40 f i 12 2 i 1 150000 2 50000 183333,33 dinara. 12 f M e
1.13. Meseni prosek broja zaposlenih u jednom preduzeu iznosio je 2002. godine 15000 sa standarnom devijacijom 420, a 2003. 12000 sa standardnom devijacijom 350. Da li je stabilnost broja zaposlenih bila vea 2002. godine ili 2003. godine? Rešenje:
Meru stabilnosti broja zaposelnih izražava koeficijent varijacije broja zaposlenih, C V , koji je za 2002. godinu iznosio C V , 2002 %
420 100% 100% 2,8% , 15000 32
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike a za 2003. godinu
CV , 2003 %
350 100% 100% 2,92% . 12000
Dakle, stabilnost broja zaposlenih je bila ve a 2002. godine, jer je koeficijent varijacije bio manji.
1.14. Na osnovu uzorka, ocenjena je prosena težina studenata od 80 kg, sa varijansom 49, a prosena visina od 185 cm, sa standardnom devijacijom 12 cm. Da li je ve e variranje težine ili visine studenata? Rešenje:
Da bi se uporedilo variranje ova dva obeležja, treba izra unati i uporediti koeficijente varijacije ovih obeležja.
49 s 100% 8,75% , Koeficijent varijacije za težinu je C V ,težina % _ 100% 80 x dok je 12 s 100% 6,49%. koeficijent varijacije za visinu C V ,vi sin a % _ 100% 185 x Dakle, vee je variranje težine studenata.
1.15. Jedan student iz uzorka iz prethodnog zadatka visok je 190 cm i težak 85 kg. Da li on bolje reprezentuje ovaj uzorak težinom ili visinom? Rešenje:
Prona imo normalizovano standardno odstupanje visine i težine ovog studenta u odnosu na uzorak. Normalizovano standardno odstupanje njegove visine je _
z vi sin e
xi x 190 185 0,42 , 12 s
33
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike dok je normalizovano standardno odstupanje njegove težine _
z težine
xi x 85 80 0,71 , 7 s
pa on bolje reprezentuje ovaj uzorak svojom visinom nego težinom.
34
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 1.16. Na pismenom ispitu iz poslovne statistike 300 studenata je dobilo sledee poene: Broj poena na ispitu 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
Broj studenata 20 10 35 20 30 45 64 48 22 6
a) Prikazati tabelarno i grafiki apsolutnu frekvenciju, relativnu frekvenciju i kumulativne frekvencije odreene sa “manje do jednako od” i “vee od”. b) Izraunati aritmetiku sredinu, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, etvrti i šesti decil. c) Izraunati interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, od modusa i od medijane, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju. d) Izraunati koeficijent varijacije ove populacije i normalizovano standardno odstupanje studenta koji je dobio 82 poena na ispitu. e) Izraunati koeficijente asimetrinosti i spljoštenosti i prokomentarisati simetrinost i spljoštenost raspodele.
35
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.17. Jedan fudbalski tim je dao slede i broj golova u toku jedne fudbalske sezone: Broj postignutih golova po utakmici 0 1 2 3 4 5
Broj utakmica 18 13 9 4 2 3
a) Prikazati tabelarno i grafiki apsolutnu frekvenciju, relativnu frekvenciju i kumulativne frekvencije odreene sa “manje do jednako od” i “vee do jednako od”. b) Izraunati aritmetiku sredinu, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, drugi i deveti decil. c) Izraunati interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, od modusa i od medijane, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju. d) utakmici.
Izraunati koeficijent varijacije broja postignutih golova po
e) Izraunati koeficijente asimetrinosti i spljoštenosti i prokomentarisati simetrinost i spljoštenost raspodele.
1.18. Nai srednji priraštaj populacije po dekadi ako u prvoj dekadi priraštaj iznosi 25%, u drugoj 5% a u treoj -20%. 1.19. Godišnji obim rasta izvoza jedne fabrike za 4 godine iznosi 4%; 8%; -8%, 3%. Koliki je proseni godišnji rast izvoza u ovom periodu? 1.20. Avion je duž etiri strane kvadrata leteo brzinama 700, 800, 650, 1000 km/h respektivno. Kojom je srednjom brzinom avion obleteo kvadrat? 36
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.21. Na deset testova studenti A, B i C dobili su slede i broj poena: A: B: C:
68 82 65
79 89 68
48 93 76
99 72 64
93 75 70
64 62 74
87 78 65
56 34 69
78 63 72
82 90 75
Odrediti koji je student obrazovaniji i iji su rezultati stabilniji.
1.22. U jednoj fabrici koja ima 200 zaposlenih srednja dnevna zarada po radniku iznosi 600 dinara i varijansa 100 dinara, dok u drugoj fabrici, koja ima 300 zaposlenih, srednja dnevna zarada po radniku iznosi 700 dinara i varijansa 121 dinar. U kojoj je fabrici vea varijacija u raspodeli zarada po radniku? 1.23. U sledeoj tabeli dati su poeni dobijeni na ispitu od 200 studenata: Poeni
0
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
4
1
10 2 6
10 8
2
6 14
3
4
8
6 8
16 20 6
4
5
6
7
2 4 20 4 4
10 2
2 8
8
9
2
2
6 2
4
Ukupan broj studenata 24 30 80 44 22
Izraunati aritmetiku sredinu, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, drugi i deveti decil, interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, od modusa i od medijane, srednje kvadratno odstupanje, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije broja postignutih poena i normalizovano standardno odstupanje studenta koji je osvojio 15 poena koristei: a) sve podatke b) raspodelu frekvencija po klasama.
37
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.24. U 300 prodavnica “X Trade” prati se prodaja novog proizvoda “Y”. U sledeoj tabeli je data distribucija relativnih frekvencija o prodaji proizvoda “Y”. Prodato komada proizvoda “Y” 0-50 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300
Prodavnica % 8% 16% 39% 25% 7% 5%
a) Prikazati tabelarno i grafiki apsolutnu frekvenciju i kumulativne frekvencije odreene sa “manje od” i “vee do jednako od”. b) Izraunati aritmetiku sredinu, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, prvi i osmi decil. c) Izraunati interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, od modusa i od medijane, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju. d) Izraunati koeficijent varijacije ove populacije i normalizovano standardno odstupanje prodavnice u kojoj je prodato 62 komada proizvoda “Y”. e) Izraunati koeficijente asimetrinosti i spljoštenosti i prokomentarisati simetrinost i spljoštenost raspodele.
38
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.25. Kadrovska služba nekog preduzea je grupisala zaposlene prema godinama starosti u sledee grupe: Godine starosti 18-25 25-32 32-39 39-46 46-53 53-60 60-67
Broj zaposlenih 45 250 380 730 620 155 80
a) Izraunati aritmetiku sredinu, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, šesti decil. b) Izraunati interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju. c) Izraunati koeficijent varijacije ove populacije i normalizovano standardno odstupanje zaposlenog koji ima 37 godina starosti. d) Izraunati koeficijente asimetrinosti i spljoštenosti i prokomentarisati simetrinost i spljoštenost raspodele. e)
Koji je procenat zaposlenih mlaih od 39 godina?
1.26. U prodavnice “C marketa” isporuuju se gajbe sa 20 aša jogurta. Kontrolisan je kvalitet isporuke na osnovu uzorka od 11 slu ajno izabranih gajbi. Broj probušenih aša jogurta u tim gajbama je bio: 0
2
1
0
0
1
0
3
1
2
0
a) Izraunati prosean broj probušenih aša jogurta po u gajbi, modus, medijanu, prvi i trei kvartil, etvrti i deveti decil.
39
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) Izraunati interval varijacije, interkvartilnu razliku, srednje apsolutno odstupanje od aritmetike sredine, od modusa i od medijane, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju. c) Izraunati koeficijente asimetrinosti i spljoštenosti i prokomentarisati simetrinost i spljoštenost raspodele.
1.27. Prodavnica “A” je ostvarila u jednom danu promet od 65000 dinara, a zna se da ona ima prosean dnevni promet od 50000 dinara, sa standardnom devijacijom 13000 dinara. Prodavnica “B” je ostvarila u tom istom danu promet od 55000 dinara, a zna se da ona ima prosean dnevni promet od 45000 dinara sa varijansom 64000000. Koja prodavnica više odstupa od svog prosenog prometa? 1.28. Uporediti produktivnost dva radnika koji rade u razliitim grupama. Radnik iz prve grupe proizvede 125 komada proizvoda u toku radnog vremena, a radnik iz druge grupe 115 komada. U prvoj grupi proseno se u toku radnog vremena proizvede 150 komada, sa standardnom devijacijom 30 komada, a u drugoj grupi proseno se proizvede 130 komada, sa standardnom devijacijom 20 komada. 1.29. Dati su podaci o procentualnoj promeni broja kupaca u prodavnicama “Pekabete” u osam godina (pozitivan broj znai poveanje, a negativan smanjenje broja kupaca). Godina: 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. Promena broja kupaca % -3% -6% 5% 3% 8% -2% 10% -3% a) Nai prosenu godišnju promenu broja kupaca u periodu od 1998-2002. god. b) Nai prosenu godišnju promenu broja kupaca u periodu od 1996-2003. god. c) Prognozirati broj kupaca u 2004. godini ako je u 1995. bilo 150000 kupaca.
40
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1.30. Jedan radnik istovari robu iz kamiona za deset sati rada, drugi za osam sati rada, trei za devet sati, a etvrti za devet sati i trideset minuta. Za koje vreme e ova etiri radnika zajedno istovariti robu iz tog kamiona? 1.31. Dva radnika, radei zajedno, završe neki posao za tri sata. Jedan od njih, radei sam, taj isti posao završi za osam sati i petnaest minuta. Za koje vreme drugi radnik završi taj posao radei sam?
41
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VEROVATNOE 2.1. Algebra dogaaja Zadaci sa rešenjima 2.1.1. Odrediti suprotne dogaaje dogaajima: A – pojava etiri pisma pri bacanju etiri dinara B – ne više od pet pogodaka iz osam ga anja C – makar jedan pogodak iz tri ga anja D – izvlaenje plave kuglice iz kutije u kojoj se nalaze plave, žute i zelene kuglice Rešenje: __
A pojava makar jednog grba __
B šest, sedam ili osam pogodaka __
C tri promašaja
__
D izvla enje žute ili zelene kuglice
2.1.2. U magacinu se nalaze okolade dva proizvoaa. Ako je dogaaj A da je sluajno izabrana okolada prvog proizvoaa, a dogaaj B da joj nije prošao __
__
__
rok trajanja, šta znae sledei dogaaji: A , A+B, A B , A A , A A , __ __
A B A B . Rešenje: __
A slu ajno izabrana okolada je drugog proizvo a a A B slu ajno izabrana okolada je prvog proizvo a a ili joj nije prošao rok trajanja
A B slu ajno izabrana okolada je prvog proizvo a a i nije joj prošao rok trajanja 42
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike __
A A slu ajno izabrana okolada je prvog ili drugog proizvo a a __
A A nemogu doga aj __ __
A B A B slu ajno izabrana okolada je prvog proizvo a a i nije joj prošao rok trajanja ili je drugog proizvo a a i prošao joj je rok trajanja.
2.1.3. Ako su A, B i C tri proizvoljna dogaaja, izraziti slede e dogaaje: a) realizovao se samo dogaaj B b) realizovali su se dogaaji A i B c) realizovali su se samo dogaaji A i B d) sva tri dogaaja su se realizovala e) realizovao se bar jedan od ovih dogaaja f) realizovala su se bar dva od njih g) realizovao se samo jedan dogaaj h) realizovala su samo dva od njih i) nijedan od njih se nije realizovao j) realizovala su se najviše dva doga aja Rešenje: __
__
a)
A B C
b)
A B __
c)
A B C
d)
A B C
e)
A B C
f)
A B A C B C
g) h) i) j)
__ __ __
__ __ __
A B C A B C A B C __
__
__
A B C A B C A B C __ __ __
A B C __________ _
A B C
43
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.1.4. U grad se može ui prelazei preko dva mosta: A i B. Sa mosta A se u grad može ui jednom od ulica C i D, dok se sa mosta B u grad može u i jednom od ulica E, F i G. Ako sa imenom mostova i ulica obeležimo dogaaje “prei odreeni most” i “ii odreenom ulicom”, a sa H dogaaj ''dolazak u __
grad'', izraziti dogaaje H i H pomou dogaaja A, B, C, D, E, F i G. Rešenje:
H A C D B E F G __
__ __ __ __
__ __ __
H A B C D E F G
2.1.5. U kutiji se nalazi pet sijalica, od kojih su dve neispravne. Sijalice se na sluajan nain izvlae jedna po jedna i kontrolišu, sve dok se obe neispravne ne otkriju. Prikazati koji se sve slu ajevi mogu desiti pri kontroli. U koliko se sluajeva kontrola sijalice prekida posle provere tree sijalice? Rešenje:
Ako sa I obeležimo pojavu ispravne sijalice a sa N pojavu neispravne, mogu i su sledei slu ajevi prilikom kontrole: NN, NIN, NIIN, NIII (preostala sijalica se ne kontroliše jer je sigurno neispravna), INN, ININ, INII, IINN, IINI, III. U tri od deset slu ajeva kontrola se prekida posle tre e sijalice.
44
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 2.1.6. etiri studenta polažu ispit. Ako sa A, B, C i D ozna imo dogaaje “odreeni student je položio ispit”, izraziti slede e dogaaje: a) nijedan nije položio b) položio je samo prvi student c) položio je samo jedan student d) položio je makar jedan student e) položila su dva studenta f) položila su najviše dva studenta g) položila su najmanje tri studenta h) položila su najviše tri studenta. 2.1.7. Pilot upravlja avionom ili u režimu “ELEKTRONIKA” – dogaaj E, ili u režimu “MEHANIKA” – dogaaj M. Avion ima etiri motora (A i B na levom krilu i C i D na desnom krilu). Prednji stajni trap se otvara ili u režimu “ELEKTRONIKA” – dogaaj PE, ili u režimu “MEHANIKA” – dogaaj PM. Levi stajni trap se otvara ili u režimu “ELEKTRONIKA” – doga aj LE, ili u režimu “MEHANIKA” – dogaaj LM, kao i desni stajni trap, koji se tako e otvara ili u režimu “ELEKTRONIKA” – doga aj DE, ili u režimu “MEHANIKA” – dogaaj DM. Da bi avion uspešno sleteo – dogaaj S, potrebno je da pilot može da upravlja avionom, da se otvori prednji stajni trap, da se otvori bar jedan boni stajni trap i da, ukoliko nisu otvorena oba bona stajna trapa, na krilu ispod koga se nije otvorio stajni trap radi bar jedan motor. Izraziti dogaaj S preko dogaaja E, M, A, B, C, D, PE, PM, LE, LM, DE, DM. 2.1.8. Date su etiri urne sa sledeim sadržajem: -
prva urna sadrži 4 bele i 2 crne kuglice druga 3 bele i 2 crne trea 2 bele i 3 crne etvrta 1 belu i 4 crne kuglice.
Iz prve urne je na sluajan nain izvuena jedna kuglica i stavljena u drugu urnu. Iz druge urne je na sluajan nain izvuena jedna kuglica i stavljena u treu urnu, pa je iz tree urne na sluajan nain izvuena jedna kuglica i stavljena u etvrtu urnu, i na kraju, iz etvrte urne vraena je jedna kuglica u prvu urnu. Koji su sastavi prve urne mogui? Ako sa Ai oznaimo dogaaj “iz 45
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike i-te urne je izvuena crna kuglica”, izraziti sve mogu e sastave prve urne preko dogaaja Ai.
2.1.9. Meta se gaa sa etiri metka. Ako sa Ai oznaimo dogaaj “pogodak u i-tom hicu”, prikažimo sledee dogaaje pomou dogaaja Ai: a) sva etiri pogotka b) sva etiri promašaja c) makar jedan pogodak d) samo jedan pogodak e) makar jedan promašaj f) samo jedan promašaj g) ne manje od dva pogotka h) ne više od tri pogotka
2.1.10. Prilikom bacanja dve kocke oznaimo sa A dogaaj gde je zbir manji od 3, sa B dogaaj gde je zbir manji do jednak od 5, sa C doga aj zbir je paran broj i sa D dogaaj zbir je neparan broj. Izraziti dogaaje A B , A B D , __
__
________ __________ ___
A B, A C , A B , A B C , A B C , A B C D u vidu moguih vrednosti zbira.
46
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.2. Kombinatorika Rešeni zadaci: 2.2.1. Fabrika proizvodi 3 tipa automobila, svaki od njih sa 4 snage motora i 6 raznih boja karoserija. Koliko razliitih automobila proizvodi fabrika? Rešenje:
Broj razli itih itih automobila je 3 4 6 72.
2.2.2. Potrebno je izabrati predsednika, potpredsednika i sekretara Upravnog odbora preduzea od 18 akcionara tog preduzea. Na koliko naina je to mogue uiniti, ukoliko jedan akcionar ne može imati više od jedne funkcije? Rešenje:
Na 18 17 16 4896 na ina. ina.
2.2.3. Potrebno je da n muškaraca i n žena sedne na 2n stolica poreanih u red, tako da sede naizmenino. Na koliko je razli itih naina to mogue uiniti? Rešenje:
Pretpostavimo da je na prvoj stolici muškarac. Muškarci se mogu razmestiti na n! razli itih itih na ina, ina, žene tako e, e, pa tada ima ukupno n!n! razli itih itih razmeštaja. Isto toliko razli itih itih razmeštaja ima kada je na prvoj stolici žena. Dakle, ukupan broj razli itih itih razmeštaja je 2 n!2 .
2.2.4. Na koliko se naina može razmestiti n lica na a) n stolica b) n+m stolica
47
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike razmeštenih oko okruglog stola kada smatramo da su razmeštanja razli ita ako je meusobni raspored lica razliit, pod uslovom da je uzet u obzir raspored praznih stolica? Rešenje:
a) Da je n stolica pore ano ano u red, n ljudi bi se na n! razli itih itih na ina ina razmestili po njima. Kako su stolice pore ane ane u krug, to za svaki od ovih n! na ina ina važi da ako se svi pomere u jednu stranu za po jedno mesto raspored se nee promeniti. Ovakvih pomeranja u jednu stranu za po jedno mesto, koja ne menjaju raspored osnovne permutacije, ima ukupno n. To zna i da se n lica n! mogu razmestiti na n stolica pore anih anih u krug na n 1! razli itih itih na ina. ina. n b) Kada bismo umesto n lica razmeštali n+m lica na n+m stolica, to bismo mogli da uradimo na n m 1! razli itih itih na ina ina (videti pod a)). Kako permutacije praznih stolica, kojih ima m! u svakoj osnovnoj permutaciji, ne menjaju raspored osnovne permutacije, to je ukupan broj razli itih itih na ina ina na koji se može razmestiti n lica na n+m stolica pore anih anih u krug jednak n m 1! . m!
2.2.5. Potrebno je izabrati etvorolanu delegaciju od 12 kandidata. Na koliko je razliitih naina to mogue uiniti? Rešenje:
12 12 11 10 9 495 razli itih Na itih na ina. ina. 4 4 3 2 1 2.2.6. Ako košarkaška ekipa ima 3 beka, 5 krilnih igraa i 4 centra, na koliko je naina mogue sastaviti ekipu koja ima a) b)
jednog beka, dva krilna igraa i dva centra dva beka, jednog krilnog igraa i dva centra 48
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike c)
dva beka, dva krilna igraa i jednog centra?
Rešenje:
a)
3 5 4 54 43 180. Broj na ina ina je 3 2 1 2 1 1 2 2 b)
3 5 4 3 2 4 3 5 90. Broj na ina ina je 2 1 2 2 1 2 1 c)
3 5 4 3 2 5 4 4 120. Broj na ina ina je 2 2 1 2 1 2 1 2.2.7. U kolima ima mesta za dve osobe napred i tri pozadi. Na koliko razli itih naina može pet osoba da sedne u kola ako tri osobe znaju da voze? Rešenje:
Na 3 4! razli itih itih na ina, ina, jer kada svaka od tri osobe koja zna da vozi sedne na mesto voza a, a, ostale etiri etiri osobe se mogu razmestiti na 4! razli itih itih na ina. ina.
2.2.8. Na koliko razliitih naina možemo razmestiti m muškaraca i n žena u red tako da prvih p m u redu budu muškarci, a poslednjih q n budu žene? Rešenje:
m Možemo izabrati p muškaraca na razli itih itih na ina ina i njih razmestiti na p prvih p pozicija u redu na p! razli itih itih na ina. ina. Tako e, e, možemo izabrati q žena n na razli itih itih na ina ina i njih razmestiti na poslednjih q pozicija u redu na q! q
49
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike razli itih na ina. Preostalih m-p muškaraca i n-q žena ne biramo, jer su ve odre eni izborom p muškaraca i q žena, ali njih možemo razmestiti na m n p q ! razli itih na ina. Dakle, ukupan broj razli itih na ina na koji možemo razmestiti m muškaraca i n žena u red tako da prvih p m u redu budu muškarci, a poslednjih q n budu m n žene je p ! q !m n p q !. p q
2.2.9. Na listiu sportske prognoze ima 13 parova. Rezultati fudbalskih utakmica se zapisuju ovako: 1-pobeda domaina, 0-nerešen rezultat, 2-pobeda gostiju. Koliko ima razliitih rezultata kola u kome je bilo šest pobeda domaina, etiri nerešena rezultata i tri pobede gostiju? Rešenje:
Svaki od razli itih rezultata u ovom kolu sastoji se od 6 jedinica, 4 nule i 3 dvojke, pa predstavlja permutacije sa ponavljanjem kojih ima
6 4 3! 13 12 11 10 9 8 7 60060. 6!4!3! 4 3 2 1 3 2 1 2.2.10. U autobusu je deset ljudi. Autobus staje na pet stanica. Na koliko naina ljudi mogu izai na tih pet stanica, u zavisnosti samo od broja ljudi koji izlaze na razliitim stanicama? Rešenje:
Ozna imo sa brojem k svakog putnika koji iza e na k-toj stanici. Na ovaj na in dobijamo nizove dužine deset od pet elemenata, na primer 1134444555 ozna ava da su dva putnika izašla na prvoj stanici, jedan na tre oj, etiri na etvrtoj i tri na petoj stanici. Pošto se brojevi ponavljaju, a redosled ne igra nikakvu ulogu, dobijeni nizovi ine kombinacije sa ponavljanjem od pet 5 10 1 14 . elemenata desete klase, kojih ima 10 10
50
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.3. Verovatnoa Rešeni zadaci: 2.3.1. Muž i žena na dan ven anja imaju 25 i 20 godina. Na osnovu tablice smrtnosti izraunati verovatnou da: a) b) c) d) e)
oboje dožive 25 godina braka najmanje jedno doživi 25 godina braka samo jedno doživi 25 godina braka najviše jedno doživi 25 godina braka nijedno ne doživi 25 godina braka
Tablica smrtnosti Starost (god) 0 10 20 25 45 50
Muškarci 10000 8763 8626 8499 7853 7546
Žene 10000 8970 8876 8792 8314 8107
Rešenje:
Obeležimo sa A doga aj da muž doživi 25 godina braka, a sa B doga aj da žena doživi 25 godina braka. Na osnovu tablice smrtnosti važi
7546 0,89 p( A) 8499 8314 0,94 p( B) 8876 Pod pretpostavkom da su doga aji A i B nezavisni, važi slede e:
51
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike a)
doga aj da oboje dožive 25 godina braka je doga aj A B , pa je
p( A B) p( A) p( B) 0,89 0,94 0,84. b)
doga aj da najmanje jedno doživi 25 godina braka je doga aj A+B, pa je
p( A B) p( A) p( B) p( A B) 0,89 0,94 0,84 0,99 c)
doga aj da samo jedno doživi 25 godina braka je doga aj __ __
A B A B , pa je ___ __
p( A B A B) p( A) 1 p( B) 1 p( A) p( B) 0,89 1 0,94 1 0,89 0,94 0,1568 d)
doga aj da najviše jedno doživi 25 godina braka je doga aj __
__ __ __
A B A B A B , pa je __
__ __ __
p( A B A B A B) 1 p( A) p( B) p( A) (1 p( B)) (1 p( A)) (1 p( B)) 0,21 e) doga aj da nijedno ne doživi 25 godina braka je doga aj suprotan doga aju da najmanje jedno doživi 25 godina braka, odnosno to je doga aj _______
A B , pa je _______
p( A B) 1 p( A B) 1 0,99 0,01.
52
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.3.2. Broj prodatih kaputa u jednoj prodavnici svrstan je po boji i proizvo au u sledeoj tabeli: Proizvoa Uno Martin Uno Martin Uno Martin Nicola’s Nicola’s Nicola’s
Boja Teget Crn Braon Teget Crn Braon
Komada 34 10 4 26 4 2 Ukupno 80
Nai verovatnou da e sledei kupljeni kaput biti: a) b)
teget ili crn crn ili Nicola’s-ov.
Rešenje:
Obeležimo sa T – doga aj kaput je teget C – doga aj kaput je crn B – doga aj kaput je braon U – doga aj proivo a kaputa je Uno Martin N – doga aj proizvo a kaputa je Nicola’s. Sada važi a)
verovatnoa da e sledei kupljeni kaput biti teget ili crn je
p(T C ) p(T ) p(C ) p(T C ) 0 , b)
34 26 10 4 0,925 jer je T C , odnosno 80 80
verovatnoa da e sledei kupljeni kaput biti crn ili Nicola’s-ov je
p(C N ) p(C ) p( N ) p( N C )
10 4 26 4 2 4 0,525. 80 80 80 53
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.3.3. Dvesta gostiju u jednom odmaralištu svrstano je po polu i starosti sledeom tabelom: pol starost ispod 30 godina od 30 do 50 godina iznad 50 godina
muški 20 70 12
ženski 30 60 8
ukupno 50 130 20 200
Kolika je verovatnoa da je sluajno izabrani gost a) b) c) d) e) f)
od 30 do 50 godina starosti muškog pola iznad 50 godina starosti ženskog pola i da je ispod 30 godina starosti ženskog pola ili da je ispod 30 godina starosti ženskog pola, ako se zna da je ispod 30 godina starosti?
Rešenje:
Obeležimo sa M – doga aj da je slu ajno izabrani gost muškog pola Ž – doga aj da je slu ajno izabrani gost ženskog pola ( 30) – doga aj da je slu ajno izabrani gost ispod 30 godina starosti (30-50) – doga aj da je slu ajno izabrani gost izme u 30 i 50 godina starosti ( 50) – doga aj da je slu ajno izabrani gost iznad 50 godina starosti. Sad važi: a) p(30 50) b) p( M )
70 60 0,65 200
20 70 12 102 0,51 200 200
54
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike c) p( 50)
12 8 0,1 200
d) p( Ž 30)
30 0,15 200
e) p( Ž 30) p( Ž ) p( 30) p ( Ž 30) 30 60 8 30 20 30 0,59 200 200 200 f)
30 30 p( Ž 30) 200 0,6 . p( Ž \ 30) 20 30 50 p ( 30) 200
2.3.4. Procenjeno je sa 70% da e novi marketinški projekat biti uspešan, a sa 60% da se nee menjati ukupni budžet. Takoe se procenjuje sa 42% da e istovremeno marketinški projekat uspeti i budžet se nee promeniti. a) Odrediti verovatnou da e marketinški projekat uspeti ili se ne e menjati ukupni budžet. b) Kolika je verovatnoa da e marketinški projekat uspeti, ako je odlueno da se budžet ne menja? c) Da li su ova dva dogaaja nezavisna? Rešenje:
Obeležimo sa U – doga aj marketinški projekat uspeva N – ukupni budžet se ne menja. Po uslovu zadatka važi:
55
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike p(U ) 0,7 p( N ) 0,6 p(U N ) 0,42 Sada je: a) b)
p(U N ) p(U ) p( N ) p(U N ) 0,7 0,6 0,42 0,88 p(U N ) 0,42 p(U \ N ) 0,7 0,6 p( N )
c)
kako je p(U N ) 0,42 0,7 0,6 p(U ) p ( N ) , zaklju ujemo da su ovo nezavisni doga aji.
2.3.5. U studenskom odboru u kome se nalazi 8 studenata prve godine, 6 druge, 5 tree i 6 etvrte, bira se na sluajan nain komisija od 5 lanova. Nai verovatnou da e u komisiji biti a) dva predstavnika prve godine i po jedan predstavnik sa druge, tree i etvrte godine b) tri predstavnika sa druge godine i dva predstavnika sa etvrte godine Rešenje:
a) Verovatnoa ovog doga aja iznosi
8 6 5 6 87 656 2 1 1 1 2 1 0,095 25 24 23 22 21 25 5 4 3 2 1 5
56
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) Verovatnoa ovog doga aja iznosi
6 6 654 65 3 2 3 2 1 2 1 0,0056. 25 24 23 22 21 25 5 4 3 2 1 5 2.3.6. U kutiji se nalaze tri bele i etiri crne kuglice. Na sluajan nain izvlaimo tri puta po jednu kuglicu. Kolika je verovatnoe da emo izvui jednu belu i dve crne kuglice ako izvlaenja vršimo: a) bez vraanja b) sa vraanjem posle svakog izvlaenja c) tako što kuglicu vraamo samo ako je crna? Rešenje:
a)
3 4 3 4 3 1 2 2 1 0,5143 P 765 7 3 2 1 3 b) Mogue su sledee realizacije doga aja: A1 - izvu ana bela, crna, crna A2 - izvu ena crna, bela, crna A3 – izvu ena crna, crna, bela sa verovatnoama
57
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 3 4 4 p( A1 ) 7 7 7 4 3 4 p( A2 ) 7 7 7 4 4 3 p( A3 ) 7 7 7 pa je ukupna verovatno a
4 4 3 p( A) p( A1 ) p( A2 ) p( A3 ) 3 0,42 7 7 7
c) Mogue su sledee realizacije doga aja: A1 - izvu ana bela, crna, crna A2 - izvu ena crna, bela, crna A3 – izvu ena crna, crna, bela sa verovatnoama
3 4 4 p( A1 ) 7 6 6 4 3 4 p( A2 ) 7 7 6 4 4 3 p( A3 ) 7 7 7 pa je ukupna verovatno a p( A) p( A1 ) p( A2 ) p( A3 ) 0,49.
58
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.3.7. Nai verovatnou da se m puta pojavi grb u n bacanja novia (m n). Rešenje:
Ukupan broj svih mogu ih realizacija n bacanja nov ia jednak je broju varijacija sa ponavljanjem od 2 elementa (grb, pismo) n-te klase, odnosno jednak je 2 n . Realizacija kod kojih se grb pojavljuje m puta ima onoliko koliko ima n kombinacija od n elemenata m-te klase, odnosno , pa je tražena m n m n! verovatnoa jednaka P n,m n n . 2 2 m!n m!
2.3.8. Nai verovatnou dobijanja najmanje jednom 2 grba u n bacanja 2 novia. Rešenje:
Ukupan broj svih mogu ih realizacija n bacanja 2 nov ia jednak je broju varijacija sa ponavljanjem od 4 elementa (grb-grb, grb-pismo, pismo-grb, pismo-pismo) n-te klase, odnosno jednak je 4 n . Broj realizacija kod kojih se 2 grba ne realizuju istovremeno jednak je broju varijacija sa ponavljanjem od 3 elementa (grb-pismo, pismo-grb, pismo-pismo) n-te klase, odnosno jednak je 3 n . Dakle, broj realizacija kod kojih se 2 grba realizuju najmanje jednom iznosi 4 n 3n , pa je verovatno a dobijanja najmanje jednom 2 grba u n bacanja 2 n
4 n 3n 3 . 1 nov ia jednaka 4n 4
59
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.3.9. Nai verovatnou da se pri sluajnom istovremenom izboru 5 slova iz rei MEGATREND dobiju slova od kojih može da se sastavi re TREND. Rešenje:
Ukupan broj slu ajnih istovremenih izbora 5 slova iz re i MEGATREND je 9 jednak , a ukupan broj povoljnih slu ajeva je 1 1 2 1 1 2 , jer se slovo T 5 može izabrati na 1 na in, slovo R na 1 na in, slovo E na 2 na ina itd. 2 2 0,016 . Dakle, tražena verovatnoa je jednaka 9 8 7 6 5 9 5 4 3 2 1 5
2.3.10. Nai verovatnou da se pri izvlaenju n karata iz špila od 52 karte dobiju karte razliitih vrednosti. Rešenje:
Za n>13, doga aj je nemogu , jer u špilu nema više od 13 karata razli itih vrednosti, pa je dakle za n>13 verovatno a ovog doga aja P n 0. Za n 13 izvršimo slede u analizu. Broj svih moguih izvla enja n karata iz špila od 52 karte jednak je broju 52 kombinacija bez ponavljanja od 52 elementa n-te klase, odnosno . n Broj povoljnih realizacija možemo dobiti na slede i na in: Ako bismo izvukli n karata istog znaka, one bi sigurno bile razli itih vrednosti. 13 Takvih razli itih kombinacija izbora n karata istogi znaka ima . Ako n bismo sada, svaki put kada dobijemo neku kombinaciju karata istog znaka, zamenili jednu kartu kartom drugog znaka, ali iste vrednosti, dobili bismo još jednu kombinaciju od n karata razli itih vrednosti. Broj svih ovakvih zamena kod jedne kombinacije od n karata istog znaka je 4 n , jer svaka od n karata
60
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike u estvuje 4 puta u formiranju novih kombinacija n karata razli itih vrednosti. Ako bismo izveli sve mogue takve zamene, za svaku kombinaciju karata iste n 13 boje, dobili bismo sve povoljne slu ajeve, kojih dakle ima 4 , pa je n n 13 4 n tražena verovatno a jednaka . 52 n
2.3.11. U pakovanju od n proizvoda ima m n neispravnih. Nai verovatnou da se u uzorku bez ponavljanja od r n sluajno izabranih nae k m neispravnih. Rešenje:
Ukupan broj mogu ih uzoraka bez ponavljanja veli ine r iz skupa od n n elemenata je . Povoljni su oni uzorci koji sadrže k neispravnih (koje r biramo iz skupa od m neispravnih) i r – k ispravnih (koje biramo iz skupa od m n m , n – m ispravnih proizvoda). Ovakvih povoljnih uzoraka ima k r k m n m k r k . pa je tražena verovatnoa n r
2.3.12. Osam kuglica je rasporeeno nasumice u 14 kutija. Nai verovatnou da je tano 12 kutija prazno. Rešenje:
Prvu kuglicu možemo staviti u bilo koju od 14 kutija, drugu tako e, ..., osmu tako e, pa je ukupan broj mogu ih ishoda jednak 14 8 .
61
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Ako je ta no 12 kutija prazno, to zna i da smo svih 8 kuglica stavili u dve kutije, pri emu nijedna od te dve kutije nije prazna. Broj na ina za izbor dve 14 kutije je , dok je broj na ina da se 8 kuglica rasporedi u 2 kutije jednak 2 2 8 . Me utim, me u ovim na inima postoje dva na ina u kojima je jedna od dve izabrane kutije prazna. Dakle, broj na ina za raspored 8 kuglica u dve kutije pri emu ni jedna kutija nije prazna je 2 8 2 , pa je tražena verovatnoa 14 8 2 2 2 . 8 14
2.3.13. Date su tri jednake kutije. U prvoj se nalazi a belih i b crnih, u drugoj c belih i d crnih i u treoj sve bele kuglice. Na slu ajan nain se bira kutija i iz nje vadi jedna kuglica. Nai verovatnou da je ta kuglica bela. Rešenje:
Obeležimo sa A – doga aj izvu ena kuglica je bele boje K 1 – izabrana je prva kutija K 2 – izabrana je druga kutija K 3 – izabrana je tre a kutija. Važi sledee: p( A \ K 1 )
a
ab c p( A \ K 2 ) c d p( A \ K 3 ) 1 p( K 1 ) p( K 2 ) p( K 3 )
1 3
Sada je po formuli za totalnu verovatno u
62
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike p( A) p( A \ K 1 ) p( K 1 ) p( A \ K 2 ) p( K 2 ) p( A \ K 3 ) p( K 3 ) 1 a c 1 . 3 a b c d
2.3.14. Prva mašina proizvodi 5% defektnih proizvoda, a druga mašina 10% defektnih proizvoda. U skladištu se nalazi 70% proizvoda izra enih prvom mašinom i 30% proizvoda izraenih drugom mašinom. Na sluajan nain se bira proizvod iz skladišta. a) Nai verovatnou da je sluajno izabrani proizvod defektan. b) Ako je izabrani proizvod defektan, koja je verovatnoa da je izraen prvom mašinom? Rešenje:
Obeležimo sa A1 – doga aj izabrani proizvod je izra en prvom mašinom A2 – doga aj izabrani proizvod je izra en drugom mašinom D – doga aj izabrani proizvod je defektan. Po uslovu zadatka važi: p( A1 ) 0,7 p( A2 ) 0,3 p( D \ A1 ) 0,05 p( D \ A2 ) 0,1 pa je, po formuli totalne verovatno e p( D) p( D \ A1 ) p( A1 ) p ( D \ A2 ) p( A2 ) 0,05 0,7 0,1 0,3 0,065 dok je po Bayesovoj formuli
63
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike p( A1 \ D)
p( D \ A1 ) p( A1 ) 0,05 0,7 0,5385. 0,065 p( D)
2.3.15. Na avion su ispaljena tri pojedina na metka. Verovatnoa pogotka prvim metkom je 0,5, drugim 0,6 i treim 0,8. Od jednog pogotka avion e biti oboren sa verovatnoom 0,3, od dva pogotka sa verovatnoom 0,6 a sa tri pogotka avion e sigurno biti oboren. a) Nai verovatnou da je avion oboren. b) Ako je avion oboren, nai verovatnou da je pogoen jednim metkom, sa dva metka, sa tri metka. Rešenje:
Obeležimo sa B1 – doga aj avion je pogo en jednim metkom B2 – doga aj avion je pogo en sa dva metka B3 – doga aj avion je pogo en sa tri metka A – doga aj avion je oboren. Sada, po uslovu zadatka, važi: p( B1 ) 0,5 0,4 0,2 0,5 0,6 0,2 0,5 0,4 0,8 0,26 p( B2 ) 0,5 0,6 0,2 0,5 0,4 0,8 0,5 0,6 0,8 0,46 p( B3 ) 0,5 0,6 0,8 0,24 p( A \ B1 ) 0,3 p( A \ B2 ) 0,6 p( A \ B3 ) 1 pa je a) po formuli totalne verovatno e p( A) p( A \ B1 ) p( B1 ) p( A \ B2 ) p( B2 ) p( A \ B3 ) p ( B3 ) 0,3 0,26 0,6 0,46 1 0,24 0,594
64
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) po Bayesovoj formuli p( A \ B1 ) p( B1 ) 0,3 0,26 0,13 0,594 p( A) p( A \ B2 ) p( B2 ) 0,6 0,46 0,46 p( B2 \ A) 0,594 p( A) p( A \ B3 ) p( B3 ) 1 0,24 p( B3 \ A) 0,40 0,594 p( A) p( B1 \ A)
65
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 2.3.16. Podaci o 500 zaposlenih u jednoj firmi dati su u sledeoj tabeli: Godine starosti <25 godina 25-40 godina 40 godina Ukupno
Srednje obrazovanje 70 200 80 350
Visoko obrazovanje 10 100 40 150
Ukupno 80 300 120 500
Ako je jedan od zaposlenih izabran na sluajan nain, kolika je verovatnoa da a) ima srednje obrazovanje b) je star bar 40 godina c) je visoko obrazovan i da ima manje od 40 godina starosti d) ima 25-40 godina starosti, ako se zna da je sa visokim obrazovanjem e) je sa srednjim obrazovanjem ako je poznato da je star najmanje 40 godina?
2.3.17. Jedan student je od 50 ispitnih pitanja nauio 40, a drugi 30. Na ispitu su dobili po tri pitanja. Kolika je verovatno a da e prvi, odnosno drugi student odgovoriti na a) najmanje dva pitanja b) najviše jedno pitanje? 2.3.18. Šezdeset posto stanovnika jednog naselja ita list “BLIC”, dok list “GLAS” ita 20% stanovnika tog naselja. Oba lista ita 8% stanovnika. a) Koliko procenata ita bar jedan od ta dva lista? b) Koliko procenata ne ita nijedan od ta dva lista? c) Koliko procenata ita samo list “BLIC”? 2.3.19. Neka su A i B dogaaji kod kojih je verovatnoa p(A) = 0,6, p(B) = 0,35, a p(AB) = 0,15. Nai verovatnou da se od dogaaja A i B dogode a) oba b) tano jedan c) nijedan d) bar jedan e) najviše jedan. 66
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.3.20. Kolika je verovatnoa da e pri bacanju dve kocke a) pasti isti broj na obe b) biti zbir 6 ili 8 c) pasti dve jedinice d) pasti jedinica i šestica e) pasti jedna jedinica? 2.3.21. Date su dve kutije. U prvoj se nalazi a belih i b crnih kuglica, a u drugoj c belih i d crnih kuglica. Iz svake kutije se uzima po jedna kuglica. Na i verovatnou da: a) obe kuglice budu bele b) obe kuglice budu razliitih boja. 2.3.22. U kutiji se nalazi 7 belih, 4 crne i 3 crvene kuglice. Izvla e se tri kuglice a) sa vraanjem, b) bez vraanja. Odrediti verovatnou da je prva izvuena kuglica bela a druga crna. 2.3.23. Iz špila od 52 karte izvlai se deset karata jedna po jedna. Kolika je verovatnoa da e tek jedanaesta biti kec? 2.3.24. U jednoj zgradi stanuje pet porodica sa po jednim detetom, tri porodice sa po troje dece i dve porodice sa po petoro dece. Na sluajan nain se biraju tri porodice. Odrediti verovatnou da: a) makar dve izabrane porodice imaju isti broj dece b) sve tri izabrane porodice imaju ukupno sedmoro dece. 2.3.25. Koja je verovatnoa da u društvu od n osoba postoje bar dve koje su roene istog datuma u godini? Nai najmanje n da bi ova verovatnoa bila vea od 0,5. 2.3.26. Društvo koje se sastoji od 3 muškarca i 6 žena deli se na slu ajan nain na tri jednake grupe. Kolika je verovatnoa da se u svakoj grupi nae po jedan muškarac? 2.3.27. etiri lica, A, B, C i D, govore istinu samo jednom u tri slu aja. Lice A prenosi jednu informaciju u vidu “da” ili “ne” licu B, lice B licu C, lice C licu D. Lice D objavljuje informaciju na isti na in kao i ostali. Kolika je verovatnoa da je prvo lice A prenelo informaciju ta no ako je etvrto lice D reklo istinu?
67
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2.3.28. Osoba ima šest kljuevam od kojih samo jedan otvara bravu. Ona proba nasumice jedan po jedan klju, skljanjajui ve probane kljueve. Nai verovatnou da e biti potrebno n pokušaja (n = 1, 2, ..., 6) da bi se brava otvorila. 2.3.29. Tri kooperanta proizvode jedan deo nekog aparata. Kooperant X podmiruje 50% potreba, a Y i Z po 25 %. Uoeno je da kooperant X šalje fabrici 90% ispravnih delova, Y 80%, a Z 70%. a) Nai verovatnou da je u sluajno izabrani aparat ugraen neispravan deo. b) Ako je uoena neispravnost, kolika je verovatnoa da taj neispravni deo potie od kooperanta X? 2.3.30. Preduzee nabavlja od dobavljaa A korišene klima ureaje koji su u 90% sluajeva ispravni. Zbog potrebe za veom koliinom klima ureaja, preduzee mora da 35% svojih potreba za klima ure ajima obezbedi od snabdevaa B, iji su klima ureaji ispravni u 60% sluajeva. Za slu ajno odabrani klima ureaj, koja je verovatnoa de je a) ispravan b) od snabdevaa B, ako je utvr eno da je ispravan?
68
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.
RASPODELE SLUAJNIH PROMENLJIVIH
3.1.
Raspodele diskretnih sluajnih promenljivih
3.1.1. U sledeoj tabeli prikazana je dnevna prodaja automobila u prodajnom salonu u proteklih 100 dana. Broj dnevno prodatih automobila 1 2 3 4 5
Broj dana 5 20 40 25 10 Ukupno 100 dana
Prikazati tabelarno i grafiki a) b)
raspodelu verovatnoa dnevne prodaje funkciju raspodele verovatnoa dnevne prodaje.
Ako se pretpostavi da e prodaja biti nepromenjena, kolika je c) d)
oekivana vrednost dnevne prodaje verovatnoa da e biti prodata bar tri automobila u toku dana?
Rešenje:
Obeležimo sa X slu ajnu promenljivu “dnevna prodaja automobila”. a) Raspodela verovatno a slu ajne promenljive X, pi P ( X xi ) data je Tabelom 3.1.1. xi pi =P(X=x i)
1 0,05
2 0,2
3 0,4
Tabela 3.1.1.
69
4 0,25
5 0,1
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike gde je
pi
broj dana kada je X xi . ukupan broj posmatranih dana (100)
Grafi ki prikaz raspodele verovatno a dat je slede im grafikom 3.1.1.
Raspodela verovatnoc 0.5 c o ) i 0.4 n t x a = 0.3 v X ( 0.2 o r P 0.1 e V 0 0
1
2
3
4
5
6
Slucajna promenljiva
Grafik 3.1.1. Raspodela verovatno a b) Funkcija raspodele verovatno a, F ( x) P ( X x) , data je Tabelom 1.3.2. x F(x)
-
1
2
70
3
4
5
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Grafi ki prikaz funkcije raspodele verovatno a dat je slede im grafikom 3.1.2.
F(x) 1 0,9 0,65
0,25 1 2
3
4
5
x
Grafik 3.1.2. Funkcija raspodele verovatno a c) O ekivana vrednost dnevne prodaje jednaka je matemati kom o ekivanju slu ajne promenljive X, odnosno, jednaka je: E ( X )
n
x p i 1
i
i
1 0,05 2 0,2 3 0,4 4 0,25 5 0,1 3,15 .
d) Verovatnoa da e biti prodata bar tri automobila u toku dana jednaka je: P ( X 3) 1 P ( X 3) 1 ( P ( X 1) P ( X 2)) 1 F (3) 1 0,25 0,75.
71
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.1.2. Broj pacijenata koji dolaze u jednu privatnu lekarsku ordinaciju u toku jednog dana ima sledeu raspodelu verovatnoa: 0
1
2
3
4
5
6
0,05
0,10
0,15
0,25
0,30
0,10
0,05
X: Izraunati za odreeni dan a) b) c) d)
verovatnou da e doi najmanje dva pacijenta verovatnou da e doi najviše etiri pacijenta oekivani broj pacijenata koji e doi na lekarski pregled varijansu i standardnu devijaciju raspodele.
Rešenje:
a) Verovatnoa da e doi najmanje dva pacijenta je P ( X 2) 1 P ( X 2) 1 ( P ( X 0) P ( X 1)) 1 (0,05 0,10) 0,85. b) Verovatnoa da e doi najviše etiri pacijenta je P ( X 4) 1 P ( X 4) 1 ( P ( X 5) P ( X 6)) 1 (0,10 0,05) 0,85. c) O ekivani broj pacijenata koji e doi na lekarski pregled jednak je matemati kom o ekivanju slu ajne promenljive X, odnosno jednak je: E ( X )
6
x p i 0
i
i
0 0,05 1 0,1 2 0,15 3 0,25 4 0,3 5 0,1 6 0,05 3,15.
d) var(X)=E(X 2 ) – (E(X))2
72
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike E ( X ) 2
6
x i 0
2 i
p1
0 2 0,05 12 0,1 2 2 0,15 3 2 0,25 4 2 0,3 5 2 0,1 6 2 0,05 12,05 var(X)=E(X 2 ) – (E(X))2=12,05 – 3,15 2 = 2,1275 st .dev. var( X ) 2,1275 1,46.
3.1.3. Iz partije od 100 proizvoda, od kojih su 10 škart, izabran je na sluajan nain uzorak od 5 proizvoda. Ako sa X oznaimo broj škartova u uzorku, nai a) b) c) d)
raspodelu verovatnoa sluajne promenljive X verovatnou da se pojavi bar jedan škart u uzorku oekivani broj škartova u uzorku varijansu i standardnu devijaciju raspodele.
Rešenje:
Mogue vrednosti slu ajne promenljive X su x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5. Verovatnoa da se u uzorku od 5 proizvoda na e i (i=0, 1, 2, 3, 4, 5) škartova jednaka je
10 90 i 5 i pi P ( X i ) . 100 i a)
Raspodela verovatnoa slu ajne promenljive X sa ta noš u 10 -6 data je Tabelom 3.1.3.
73
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike xi pi
0 0,58375
1 0,33939
2 3 0,07021 0,00638 Tabela 3.1.3.
4 0,00025
5 0
b) Verovatnoa da se pojavi bar jedan škart u uzorku je P ( X 1) 1 P ( X 1) 1 P ( X 0) 1 0,58375 0,41625. c) O ekivani broj škartova u uzorku jednak je matemati kom o ekivanju slu ajne promenljive X, odnosno jednak je E ( X )
5
x p i 0
i
i
0 0,58375 1 0,33939 2 0,07021 3 0,00638 4 0,00025 5 0 0,49995. d)
var(X) = E(X 2 ) – (E(X))2
E ( X ) 2
5
x i 0
2 i
pi
0 2 0,58375 12 0,33939 2 2 0,07021 3 2 0,00638 4 2 0,00025 5 2 0 0,68165 var( X ) 0,68165 0,499952 0,43167 st .dev. var( X ) 0,43167 0,657.
4 3.1.4. Ustanovljeno je da celokupne proizvodnje nekog proizvoda pripada 5 1 klasi I, dok celokupne proizvodnje pripada klasi II.. Formirati raspodelu 5 verovatnoa proizvoda klase I koji se nalaze u 5 slu ajno izabranih proizvoda. 74
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Koristei tu raspodelu nai oekivani broj proizvoda klase I u 5 sluajno izabranih proizvoda, varijansu i standardnu devijaciju. Rešenje:
Obeležimo sa X slu ajnu promenljivu: broj proizvoda klase I u 5 slu ajno izabranih proizvoda Svaki od 5 slu ajno izabranih proizvoda može biti klase I sa verovatno om 4 1 p ili klase II sa verovatno om q 1 p , tako da raspodela 5 5 verovatnoa slu ajne promenljive X predstavlja binomnu raspodelu sa 4 parametrima n=5 i p , odnosno verovatnoa da u 5 slu ajno izabranih 5 proizvoda ima ta no i iz klase I je 5 4 i 1 5i pi P ( X i ) . i 5 5 O ekivani broj proizvoda klase I u 5 slu ajno izabranih proizvoda jednak je matemati kom o ekivanju slu ajne promenljive X, koje za binomnu raspodelu iznosi 4 E ( X ) n p 5 4 , 5 dok je varijansa jednaka
4 1 var( X ) n p q 5 0,8 , 5 5 a stanardna devijacija st.dev. var( X ) 0,8 0,89 .
3.1.5. Baca se kocka 15 puta. Kolika je verovatno a da deset puta padne broj vei od 4. Rešenje:
Obeležimo sa X slu ajnu promenljivu: dobijeni broj prilikom bacanja kocke.
75
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Verovatnoa da prilikom jednog bacanja padne broj ve i od etiri jednaka je 1 1 1 P ( X 4) P ( X 5) P ( X 6) . 6 6 3 Obeležimo sa Y slu ajnu promenljivu: broj onih bacanja kocke kod kojih je pao broj vei od 4 u 15 bacanja. Ova slu ajna promenljiva ima binomnu raspodelu sa parametrima 1 n 15 , p , jer pokušavamo da realizujemo doga aj 15 puta, a verovatno a 3 1 njegove realizacije u jednom pokušaju je . 3 Dakle, verovatnoa da deset puta padne broj ve i od 4 u 15 bacanja kocke je
15 1 10 2 5 P(Y 10) 0,0006 . 10 3 3 3.1.6. Nai verovatnou da u jednoj porodici sa etvoro dece bude a) b)
najmanje jedan deak najmanje jedan deak i jedna devojica.
pretpostavljajui da je verovatnoa roenja deaka jednaka
1 . 2
Rešenje:
a) Obeležimo sa A – doga aj najmanje jedan de ak B – doga aj sve etiri su devoj ice C – doga aj sva etvorica su de aci D – doga aj najmanje jedan de ak i jedna devoj ica. a)
Važi 4
1 15 P ( A) 1 P ( B) 1 2 16 76
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b)
1 4 1 4 7 P( D) 1 ( P ( B) P (C )) 1 . 2 2 8 3.1.7. Koja je verovatnoa da se dobije zbir 9 a) b)
dva puta najmanje dva puta
u 5 bacanja dve kocke? Rešenje:
Prilikom jednog bacanja dve kocke, zbir devet se može javiti u 4 slu aja (3,6), (4,5), (6,3), (5,4), dok je broj mogu ih realizacija u jednom bacanju dve kocke 36, pa je verovatno a da se prilikom jednog bacanja dve kocke dobije zbir 9 4 1 . jednaka 36 9 Broj dobijanja zbira 9 u 5 bacanja dve kocke, dakle, ima binomnu raspodelu sa 1 parametrima n 5, p , pa je 9 a) verovatnoa da se dobije zbir 9 dva puta u 5 bacanja dve kocke jednaka
5 1 2 8 3 0,087 2 9 9 b) verovatnoa da se dobije zbir najmanje dva puta u 5 bacanja dve kocke jednaka
77
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
5 1 0 8 5 5 1 1 8 4 1 0,0981 . 0 9 9 1 9 9 3.1.8. Firma je ubacivala u poštansko sandue reklamu za svoje proizvode. U 20% sluajeva je tako dobijala nove kupce. Ako se reklama ubaci u 30 sanduia nai a) oekivani broj novih kupaca b) verovatnou da firma dobije bar jednog novog kupca c) verovatnou da firma dobije oekivani broj novih kupaca. Rešenje:
Obeležimo sa X slu ajnu promenljivu broj novih kupaca. Ova slu ajna promenljiva ima binomnu raspodelu sa parametrima n 30, p 0,2 pa je a) o ekivani broj novih kupaca jednak matemati kom o ekivanju slu ajne promenljive, odnosno jednak E ( X ) n p 30 0,2 6 b) verovatnoa da firma dobije bar jednog novog kupca jednaka 30 P ( X 1) 1 P ( X 0) 1 0,20 0,830 0,9988 0 c) verovatnoa da firma dobije o ekivani broj novih kupaca jednaka
30 P( X 6) 0,26 0,824 0,18 . 6
3.1.9. Verovatnoa pogotka u cilj pri svakom gaanju je 0,002. Nai verovatnou najmanje dva pogotka, ako je broj gaanja 2000. Rešenje:
Obeležimo sa X slu ajnu promenljivu: broj pogodaka u 2000 ga anja.
78
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Pošto se binomna raspodela verovatno e za n p 5 p 0,1 može aproksimirati Poasonovom raspodelom u kojoj je n p , to, s obzirom da je u ovom slu aju n p 2000 0,002 4 5 p 0,002 0,1 , važi P ( X 2) 1 P ( X 2) 1 ( P ( X 0) P ( X 1))
4 4 0 4 41 1 e e 1 5 e 4 0,91 0! 1! 3.1.10. U telefonskoj centrali u toku jednog sata bilo je 180 poziva. Izraunati verovatnou da u toku dva minuta a) b) c)
nije bilo nijednog poziva bilo je više od 3 poziva bilo je tano 6 poziva.
Rešenje:
Obeležimo sa x slu ajnu promenljivu broj poziva u toku dva minuta. 180 6 pa je verovatnoa da O ekivani broj poziva u toku dva minuta je 30 a) u toku dva minuta nije bilo nijednog poziva jednaka
60 P ( X 0) e e 6 0,0025 0! 6
b) je bilo više od 3 poziva jednaka P ( X 3) 1 P ( X 3) 1 P ( X 0) P ( X 1) P ( X 2) P ( X 3)
6 6 0 6 61 6 6 2 6 6 3 1 e e e e 1 61 e 6 0,85 0! 1! 2! 3! 79
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike c) je bilo ta no 6 poziva jednaka
66 P( X 6) e 0,16 . 6! 6
80
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu 3.1.11. Nai verovatnou da pri bacanju novia 5 puta padne: a) b) c) d)
5 pisama bar 3 pisma dva pisma i tri grba najviše dva pisma.
3.1.12. Osiguravajui zavod isplaivao je osiguranje protiv krae u stanu u proseku 3 puta na 500 osiguranika u toku godine. Kolika treba da je godišnja rata za osiguranje protiv krae u stanu, za vrednost pokustva od 20 000 EUR? 3.1.13. Kutija sadrži kuglice numerisane brojevima 1, 2, 3, 4, 5, iji je odnos u kutiji 4:5:1:3:2 redom. Ako definišemo sluajnu promenljivu X tako da predstavlja cifru oznaenu na sluajno izvuenoj kuglici iz kutije, nai: a) b)
raspodelu verovatnoe funkciju raspodele verovatnoe
sluajne promenljive X i predstaviti ih grafi ki.
3.1.14. Novi se baca 6 puta. Nai: a) b)
raspodelu verovatnoa funkciju raspodele verovatnoa
odnosa broja grbova prema broju pisama i predstaviti je grafiki.
3.1.15. Strelac koji ima etiri metka gaa u cilj dok ne pogodi. Nai raspodelu verovatnoa, funkciju raspodele verovatnoa, oekivanu vrednost i varijansu broja utrošenih metaka. 3.1.16. Lutrija je organizovana tako da na 100 lozova 15 donosi dobitke, i to 1 dobitak od 20 000 dinara, 4 dobitka od 5 000 dinara i 10 dobitaka od 1 000 dinara. Ako je cena jednog loza 70 dinara, nai matematiko oekivanje i varijansu dobiti igraa koji je kupio jedan loz.
81
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.1.17. Nai raspodelu verovatnoa, funkciju raspodele verovatnoa, matematiko oekivanje i varijansu sluajne promenljive koja predstavlja zbir koji se dobija prilikom bacanja dve kocke. 3.1.18. Nai verovatnou da se u 10 bacanja novia a) b) c)
sedam puta pojavi grb ne više od tri puta pojavi grb pojavi grb tri ili sedam puta.
3.1.19. U kutiji se nalazi 10 crnih i 20 belih kuglica. Iz kutije se na slu ajan nain izvlai 20 kuglica sa vraanjem. Nai verovatnou da je a) b)
izvueno 15 belih kuglica izvueno manje od 3 crne kuglice.
3.1.20. Dužom proverom kvaliteta nekog proizvoda ustanovljeno je da se na svakih 100 proizvoda nalazi 80 ispravnih. Ako se na sluajan nain iz partije od 200 proizvoda izabere 6 proizvoda, nai raspodelu verovatnoa, funkciju raspodele verovatnoa, matematiko oekivanje i varijansu sluajne promenljive koja predstavlja broj defektnih proizvoda meu njima. 3.1.21. Aparat se sastoji od 100 delova. Verovatnoa da otkaže jedan deo u toku godine dana iznosi 0,02, a rad tog dela ne zavisi od drugih delova, niti utie na rad ostalih delova. Kolika je verovatnoa da otkažu a) b)
dva dela ne manje od dva dela
za godinu dana?
3.1.22. Proizvodi jedne velike serije, koja sadrži 0,8% škarta, pakuju se u kutije od po 100 komada. Koliki e procenat kutija biti bez ijednog škarta, a koliko sa dva ili više škartova? 3.1.23. Stanica hitne pomoi prima u proseku 18 poziva na sat. Nai verovatnou da e u periodu od pet minuta biti: a) b) c)
bar 2 poziva najviše 3 poziva tano jedan poziv. 82
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.2. Neprekidne sluajne promenljive 3.2.1. Neprekidna sluajna promenljiva X ima na segmentu a,b konstantnu funkciju gustine f(x)=M za a x b, kao na slici 4.1.a. f(x) M
a
b
x
Slika 4.1.a.
Nai: a) konstantu M b) funkciju raspodele F(x) i nacrtati njen grafik c) medijanu Me, matematiko oekivanje E(X) i varijansu 2(X) b a X a 2 b a d) verovatnou P a 3 3 Rešenje:
a)
Iz uslova f ( x)dx 1 sledi
b
b
1
a
a
ba
f ( x)dx M dx M x | M b a 1 M
b) Kako je funkcija raspodele F(x) odre ena sa x
F ( x) P ( X x) f ( x)dx to važi
83
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
x x a 0 dx 0 za x a dx x a F ( x) 0 dx za a x b ba a ba b x a dx 0 dx 0 dx 1 za b x a ba b Grafik funkcije raspodele F(x) dat je na slici 4.1.b.
F(x) 1
a
b
x
Slika 4.1.b. c) Medijanu M e (ili kvantil reda 0,5) odre ujemo iz uslova M e 1 M a 1 ab M e F ( M e ) P ( X M e ) f ( x)dx e 2 2 2 ba
Matemati ko o ekivanje E(X) iznosi
b
x 2 b b 2 a 2 ab | E ( X ) x f ( x)dx dx 2 2 2 b a a b a a b a
x
Varijansa 2(X) iznosi
84
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
( X ) 2
2 2 2 ( ) ( ) ( ) x E X f x dx E X E X
2
2
x 2 a b b 3 a 3 a b b a 2 dx 12 2 3b a 2 a ba b
d)
b a X a 2 b a 3 3 2 b a F a b a F a 3 3 b a 2 b a a a a 1 a 3 3 . 3 ba ba P a
3.2.2. Sluajna promenljiva X ima Laplasovu raspodelu odreenu gustinom f ( x) K e x 0 . Nai: a) konstantu K b) funkciju raspodele c) modus Mo, medijanu Me, matematiko oekivanje E(X), i varijansu 2(X) d) verovatnou P ( X ) . Rešenje:
a)
x Kako je x 0 x
za za za
f ( x)dx 1
dobijamo
85
x 0 x 0 to iz uslova x 0
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 0 e x 0 e x x x x | | K e dx K e dx e dx K 0 0
K
2
1 K
2
b) Kako je funkcija raspodele F(x) odre ena sa x
F ( x) P ( X x) f ( x)dx to važi
x x 1 x x e x x 0 2 e dx 2 e | 2 za F ( x) 0 x x e x dx e x dx 1 e 0 za x 0 2 2 2 c) Modus M o je ona vrednost x slu ajne promenljive X za koju gustina raspodele ima maksimum. U ovom slu aju, gustina raspodele 0 ima maksimum za x=0, pa je modus jednak f ( x) K e x M o=0. Medijanu M e (ili kvantil reda 0,5) odre ujemo iz uslova F(M e )=0,5. Kako je
e x 2 F ( x) x e 1 2
za za
x 0 , to je F(0)=0,5 pa zaklju ujemo x 0
da je M e=0.
86
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Matemati ko o ekivanje E(X) iznosi
0 x x E ( X ) x f ( x)dx x e dx x e dx 2 0 1 0 e x 1 1 1 e x x | x | 2 2 0 2 0 2
Varijansa 2 iznosi 2
2 ( X ) E ( X 2 ) E ( X )
E ( X 2 ) x 2 f ( x)dx
0 2 x 2 x x e dx x e dx 2 0 e x 2 2 1 0 e x 2 2 1 2 2 2 x x | x x | 3 3 2 0 2 2
d) 2
2
2 e e 1 e . P ( X ) F ( ) F ( ) 1 2 2
3.2.3. Nai matematiko oekivanje i varijansu standardizovane slu ajne X promenljive Z , gde je E ( X ) (matematiko oekivanje sluajne
promenljive X), a var( X ) (pozitivan kvadratni koren varijanse slu ajne
promenljive X, odnosno standardna devijacija sluajne promenljive X). Rešenje:
Imajui u vidu osobine matemati kog o ekivanja i varijanse, važi:
87
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
X 1 E ( X ) 1 E ( X ) 0 X 2 1 2 2 var( Z ) E 0 2 E X 2 1
E ( Z ) E
3.2.4. Sluajne promenljive X i Y su nezavisne, pri emu je E(X)=3, var(X)=2, E(Y)=1 i var(Y)=4. Nai matematiko oekivanje i varijansu slu ajne promenljive Z=X-3Y+2. Rešenje:
E ( Z ) E ( X 3Y 2) E ( X ) 3 E (Y ) 2 3 3 2 2 var( Z ) var( X 3Y 2) var( X ) 3 2 var(Y ) 2 9 4 38
3.2.5. Odrediti površinu ispod grafika normalne funkcije gustine raspodela verovatnoa N(0,1) a) levo od 0,18 b) levo od -0,22 c) desno od 1,13 d) desno od -2,28 e) izmeu -1,1 i 2,08 f) levo od -1,03 i desno od 0,34. Rešenje:
Grafik normalne funkcije gustine raspodela verovatno a N(0,1), date sa x 2 1 f ( x) e 2 prikazan je na slici 3.2.5. 2
88
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
x2
e
F(a)
0.4
2
2
0.2
0
3
2
1
0 x
a Slika 3.2.5.
1
2
3
x
Iz tablica za normalnu funkciju raspodele, date u Prilogu, za dato a itamo vrednosti F(a)=P(X
P ( X 0,18) F (0,18) 0,5714
b) P ( X 0,22) 1 P ( X 0,22) 1 F (0,22) 1 0,5871 0,4129 c) P ( X 1,13) 1 P ( X 1,13) 1 F (1,13) 1 0,8708 0,1292 d)
P ( X 2,28) 1 P ( X 2,28) 1 (1 P ( X 2,28) F (2,28) 0,9887 e) P (1,1 X 2,8) F (2,8) F ( 1,1) F (2,8) (1 F (1,1) F (2,8) F (1,1) 1 0,9887 0,8643 1 0,853
f)
89
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike P ( X 1,03) P ( X 0,34) 1 F (1,03) 1 F (0,34) 2 0,8485 0,6331 0,5184
3.2.6. Neka X ima normalan raspored N(0,1). a) Odrediti konstantu a tako da je zadovoljena slede a jednakost P (a X a)
b) Nai a za
0 1.
0,95 , odnosno za 0,99.
Rešenje:
a)
P (a X a) F (a) F (a) F (a) (1 F (a)) 1 2 F (a ) 1 F (a) 2 Za dato , konstantu a o itavamo iz tablice za normalnu raspodelu N(0,1). b) Za 0,95 dobijamo F (a)
1 0,95 0,975 a 1,96 . 2
Za 0,99 dobijamo F (a)
1 0,99 0,995 a 2,58. 2
3.2.7. Neprekidna sluajna promenljiva X ima raspored N(30,9). Odrediti a) P ( X 27) b) P ( X 36) c) P ( X 28) d) P (25 X 33) .
90
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rešenje:
S obzirom da neprekidna slu ajna promenljiva X ima N(30,9) raspored, to X 30 X 30 neprekidna slu ajna promenljiva Z ima N(0,1) raspored, 3 9 pa važi: a) X 30 27 30 P ( X 27) P 3 3 P ( Z 1) F (1) 1 F (1) 1 0,8413 0,1587 b) X 30 36 30 P ( X 36) P 3 3 P ( Z 2) F (2) 0,9772 c) X 30 28 30 P ( X 28) P 3 3 P ( Z 0,67) P ( Z 0,67) F (0,67) 0,7486 d)
25 30 Z 33 30 P 1,67 Z 1 3 3 F (1) F (1,67) F (1) 1 F (1,67) F (1) F (1,67) 1 0,8413 0,9525 1 0,7938
P 25 X 33 P
3.2.8. Mašina proizvodi cevi ija je srednja dužina 150 cm a standardna devijacija 0,2 cm. Maksimalna tolerancija za prihvatanje cevi kao ispravne je dužina izmeu 149,7cm do 150,3cm. Odrediti procenat odbaenih cevi pod pretpostavkom normalne distribucije dužine cevi. Rešenje:
Obeležimo sa X slu ajnu promenljivu “dužina cevi”.
91
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike X 150 X ima N(150, 0,2 ) raspodelu, dok slu ajna promenljiva Z ima 0,2 N(0,1) raspodelu, pa važi: 2
149,7 150 X 150 150,3 150 0,2 0,2 0,2 P (1,5 Z 1,5) F (1,5) F (1,5) 2 F (1,5) 1 2 0.9332 1 0,8664
P (149,7 X 150,3) P
Dakle, 86,64% cevi e biti prihva eno, a 13,36% odba eno.
3.2.9. Ako sluajna promenljiva X ima N(,2) raspodelu, izraunati P m X m , za m=1, 2, 3. Rešenje:
Slu ajna promenljiva Z
X
ima N(0,1) raspodelu, pa važi:
P m X m P m
X
m P m Z m
F (m) F (m) 2 F (m) 1. Dakle, važi: m 1 P ( X ) 2 F (1) 1 2 0,8413 1 0,6826 m 2 P ( 2 X 2 ) 2 F (2) 1 2 0,9772 1 0,9544 m 3 P ( 3 X 3 ) 2 F (3) 1 2 0,9987 1 0,9974 Primetimo da je verovatnoa da se slu ajna promenljiva X, koja ima N( , 2 ) raspodelu, na e u intervalu ( - 3 , +3 ) vrlo bliska jedinici.
92
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.2.10. Sluajna promenljiva X ima N(,2) raspodelu. Nai simetrian interval oko take u kome sluajna promenljiva X uzima vrednosti sa verovatnoom . Koliki je taj interval za =10, =3, =0,85? Rešenje:
Neka je tal interval a oko ta ke .. Tada iz jednakosti P a X a sledi
a X a a , odakle je 2 F 1 , odnosno P a 1 F . 2 Vrednosti za Za
a
itamo
10,
iz tablice za N(0,1) raspored, odakle je lako na i a. 3,
0,85 , dobijamo
a 1 0,85 a 1,44 a 3 1,44 4,32 . F 2 3 3 Dakle, za slu ajnu promenljivu X koja ima N(10,9) raspored, važi P (5,68 X 14,32) 0,85.
3.2.11. Srednjim ili verovatnim odstupanjem sluajne promenljive X naziva se 1 takav broj S da važi P X E ( X ) S P X E ( X ) S . Nai 2 verovatno odstupanje sluajne promenljive X koja ima N(,2) raspodelu. Rešenje:
1 Iz uslova P X S dobijamo 2 93
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike P X S
1 1 S X S 1 P S X S P 2 2 2
1 S S 0,75 S 0,675 S 0,675 2 F 1 F 2 odnosno verovatno odstupanje ini 67,5% standardnog odstupanja.
3.2.12. U proizvodnji nekih proizvoda propisana tolerancija za jednu dimenziju je u granicama od 15 do 20 milimetara. Procenat škarta ispod donje granice je 5%, a iznad gornje granice je 9%. Uz pretpostavku da je uo ena dimenzija sluajna promenljiva X sa raspodelom N(,2), nai parametre raspodele i . Rešenje:
Uslovi zadatka su P ( X 20) 0,09
P (0 X 15) 0,05 .
i
Iz prvog uslova dobijamo X 20 P ( X 20) 0,09 P ( X 20) 0,91 P 0,91
20 20 1,34 (1). F 0,91 Iz drugog uslova dobijamo
X 15 0,05
P (0 X 15) 0,05 P
15 0,05 ( jer je 15). F F
Kako je F 1 , jer je o igledno
3 , to iz drugog uslova dobijamo
94
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
15 0,95 15 1,64 (2).
F
Reševajui sistem dve jedna ine sa dve nepoznate (1) i (2), dobijamo = 17,75 = 1,67.
3.2.13. Sluajna promenljiva X ima Studentov t raspored sa = 9 stepeni slobode. Nai: a) b) c) d)
P(X<1,38) P(X>2,26) P(0,703
Rešenje:
Iz tablica Studentovog t rasporeda sa = 9 stepeni slobode itamo: a)
P ( X 1,38) 1 P ( X 1,38) 1 0,1 0,9
b)
P ( X 2,26) 0,025
c) P (0,703 X 2,82) P ( X 2,82) P ( X 0,703) 1 P ( X 2,82) (1 P ( X 0,703)) P ( X 0,703) P ( X 2,82) 0,25 0,01 0,24 d) P (0,703 X 1,83) P ( X 1,83) P ( X 0,703) 1 P ( X 1,83) P ( X 0, 1 0,05 0,25 0,7
95
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.2.14. Sluajna promenljiva X ima 2 raspored sa =5 stepeni slobode. Nai: a) P(X<11,1) b) P(X>1,61) c) P(0,831
Iz tablica 2 rasporeda sa =5 stepeni slobode itamo: a)
P ( X 11,1) 1 P ( X 11,1) 1 0,05 0,95
b)
P ( X 1,61) 0,9
c) P (0,831 X 9,24) P ( X 9,24) P ( X 0,831) 1 P ( X 9,24) (1 P ( X 0,831)) P ( X 0,831) P ( X 9,24) 0,975 0,1 0,875
3.2.15. Jedna mašina proizvodi 4% defektnih proizvoda. Nai verovatnou da e u 500 proizvoda biti a) od 10 do 30 b) manje od 15 c) više od 28 defektnih proizvoda. Rešenje:
Broj defektnih u 500 proizvedenih proizvoda predstavlja slu ajnu promenljivu X koja ima binomni raspored sa parametrima n=500 i p=0,04. Ukoliko je zadovoljen uslov n p 5 n 1 p 5 , diskretni binomni raspored se može, radi lakšeg izra unavanja verovatno a, aproksimirati neprekidnim normalnim rasporedom.
96
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Naime, ako slu ajna promenljiva X ima binomni raspored sa parametrima n i p, i ako važi n p 5 n 1 p 5 , tada slu ajna promenljiva X n p Z ima približno normalan raspored N(0,1). n p 1 p Prilikom aproksimiranja diskretnog binomnog rasporeda neprekidnim normalnim rasporedom, neophodno je da se interval integracije neprekidne slu ajne promenljive proširi i sa leve i sa desne strane za vrednost 0,5. Kako je u ovom slu aju n p 500 0,04 20
i
n p 1 p 500 0,04 0,96 4,38 ,
to važi a)
9,5 20 X 20 30,5 20 (2,4 2,4) Z P 4,38 4,38 4,38 2 F (2,4) 1 2 0,9918 1 0,9836
P (10 X 30) P
b)
0,5 20 X 20 15,5 20 P (4,68 Z 1,03) 4,38 4,38 4,38 F (4,68) F (1,03) 1 0,8485 0,1515
P (0 X 15) P
c)
X 20 28,5 20 ( 1,94) P Z 4,38 4,38 1 F (1,94) 1 0,9738 0,0262
P ( X 28) P
97
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 3.2.16. Neprekidna sluajna promenljiva X ima na segmentu a,b funkciju gustine u obliku trougla (slika 3.2.16).
0 za x 0 i 2 x za 0 x a f ( x) ab 2 x 2 za ab b 2 b a
x b a x b
f(x)
a
x Slika 3.2.16.
Nai: a) funkciju raspodele F(x) b) medijanu, modus, matematiko oekivanje E(X) i varijansu 2(X) 3 b a a c) verovatnou P X a . 5 3
98
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.2.17. Sluajna promenljiva X ima gustinu raspodele verovatnoa u obliku pravouglog trougla (Slika 3.2.17). f(x)
a
x
Slika 3.2.17. Nai: a) formulu funkcije gustine raspodele verovatnoa b) funkciju raspodele verovatnoa i nacrtati je c) medijanu, modus, matematiko oekivanje E(X) i varijansu 2(X) a d) verovatnou P X a . 3
3.2.18. Gustina raspodele verovatnoa sluajne promenljive X je jednaka ( 0, 0 x ) . f ( x) K x 2 e x , Nai: a) konstantu K b) funkciju raspodele slu ajne promenljive X 2 c) verovatnou P 0 X .
3.2.19. Vreme popravke raunara sa razliitim kvarovima, koji se donose u radionicu radi popravke, jeste sluajna promenljiva T. Nai matematiko oekivanje i varijansu vremena potrebnog za popravku ra unara, ako je funkcija raspodele oblika
za 0 F (t ) t 1 e za
t 0 . t 0, 0
99
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.2.20. Broj posetilaca pozorišne predstave subotom ima normalan raspored, sa srednjom vrednošu 350 i standardnom devijacijom 20. Odrediti verovatno u da e sledee subote biti a) više od 370 posetilaca b) manje od 320 posetilaca c) izmeu 300 i 330 posetilaca. 3.2.21. Proizvoa A proizvodi akumulatore iji je srednji vek trajanja 100 asova i standardna devijacija 15 asova. Proizvoa B proizvodi akumulatore iji je srednji vek trajanja 120 asova i standardna devijacija 7 asova. Pod pretpostavkom o normalnoj raspodeli trajanja akumulatora, da li je bolje (i zbog ega) odluiti se za akumulator proizvo aa A ili B, ako je potreban akumulator koji e da radi bar a) 110 asova b) 130 asova? 3.2.22. Nai konstantu a tako da je F(a)=0,2981. 3.2.23. Sluajna promenljiva X ima normalnu raspodelu N(100,81). Izraunati verovatnou: a) P X 95 7 P ( X 103) b) P 85 X 99 . c) 3.2.24. a) Površina ispod normalne funkcije gustine raspodela verovatnoa N(0,1) od 0 do a iznosi 0,3508. Nai a. b) Površina ispod normalne funkcije gustine raspodela verovatnoa N(0,1) od -1,3 do b iznosi 0,4205. Nai b. 3.2.25. Ako sluajna promenljiva X ima N(0,1) raspored, nai: a) P(X -1,64) b) P(X>1) c) konstantu a, tako da je P(X>a)=0,75. 100
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
3.2.26. Pri velikom broju merenja uoeno je da 80% grešaka ne premašuje po apsolutnoj vrednosti 2,3mm. Odrediti verovatno odstupanje grešaka, smatrajui da su greške merenja realizacija sluajne promenljive X sa rasporedom N(0,). Pretpostaviti da su frekvencije pojavljivanja greške u stvari verovatno e pojavljivanja greške. 3.2.27. Posada aviona je dobila zadatak da leti koridorom širine 100m na visini od 1000 m, tj. na visini od 950m do 1050m. Visinomer pravi sistemsku grešku od +25m, a sluajna greška visine je okarakterisana verovatnim odstupanjem od 35m. Odrediti verovatnoe da avion leti ispod naznaenog koridora, u koridoru i iznad njega. 3.2.28. Poznato je da 95% kupaca televizora SONY nema reklamacije u garantnom roku. Preduzee je prodalo 200 ovakvih televizora. Nai: a) oekivani broj reklamacija u garantnom roku b) verovatnou da broj reklamacija bude maksimalno12 c) verovatnou da broj reklamacija bude od 7 do 14 d) verovatnou da bude više od 9 reklamacija. 3.2.29. Sluajna promenljiva X ima Studentov t raspored sa =8 stepeni slobode. Nai: a) P(X<1,86) b) P(X>1,40) c) P(0,706
3.2.30. Sluajna promenljiva X ima 2 raspored sa =15 stepeni slobode. Nai: a) P(X<8,55) b) P(X>22,3) c) P(4,60
101
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
4. UZORAK I STATISTIKE UZORKA 4.1. Raspodela parametara uzorka 4.1. Za datu populaciju 1, 2, 3, 4 a) odrediti srednju vrednost i varijansu 2 populacije b) odrediti sve uzorke sa ponavljanjem veliine n=2 i odrediti im
srednje vrednosti x _ 2 2 c) pokazati da je E X i var X . X n
Rešenje:
a) Srednja vrednost i varijansa populacije iznose
1 2 3 4 2,5 4 1 2,52 2 2,52 3 2,52 4 2,5 2 5 2 4 4
b) Broj uzoraka sa ponavljanjem veli ine n dobijenih iz populacije veli ine N iznosi N n . U našem slu aju je n=2, N=4, pa je broj svih uzoraka sa ponavljanjem jednak 42=16. Ovi uzorci i njihove srednje vrednosti dati su u Tabeli 4.1.1. Redni broj uzorka (i) Uzorak
Srednja vrednost
Redni broj uzorka (i)
Uzorak
_
uzorka ( x i )
Srednja vrednost uzorka _
( x i ) 1 2 3 4 5 6 7 8
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
1 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 3
9 10 11 12 13 14 15 16
Tabela 4.1.1.
102
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
2 2,5 3 3,5 2,5 3 3,5 4
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
c) Slu ajna promenljiva srednja vrednost uzorka sa ponavljanjem X ima sledeu raspodelu verovatno a:
1 X : 1 16
1,5 2 16
2 3 16
2,5 4 16
3 3 16
3,5 2 16
4 1 16
dobijenu iz tablice 4.1.1, pa je
E ( X )
7 _
x p i 1
1
i
i
1 2 3 4 3 2 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 2,5 16 16 16 16 16 16 16
dakle
E ( X ) .
2 2 var( X ) E X E X
2
X
1 2 3 4 1,5 2 2 2 2 ,5 2 16 16 16 16 3 2 1 5 3 2 3 ,5 2 4 2 2 ,5 2 16 16 16 8
12
Kako je
5 i 4 5 2 2 4 X 2 n 2
n 2 to je
103
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
4.2. Za datu populaciju 1, 2, 3, 4 a) odrediti sve uzorke bez ponavljanja veli ine n=2 i odrediti im srednje
vrednosti x _ 2 N n 2 b) pokazati da je E X i var X , X n N 1 gde su i 2 srednja vrednost i varijansa populacije, a N veli ina populacije, u
ovom sluaju N=4. Rešenje:
Srednja vrednost i varijansa ove populacije (videti prethodni zadatak) 5 2 . i iznose 2,5 4 a) Broj uzoraka bez ponavljanja veli ine n dobijenih iz populacije veli ine N N iznosi . U našem slu aju je n=2, N=4, pa je broj svih uzoraka bez n 4 ponavljanja jednak 6. Ovi uzorci i njihove srednje vrednosti date su u 2 Tabeli 4.2.1. Redni broj uzorka (i) Uzorak
Srednja vrednost
Redni broj uzorka (i)
Uzorak
_
uzorka ( x i ) 1 2 3
(1,2) (1,3) (1,4)
1,5 2 2,5
Srednja vrednost uzorka _
4 5 6
(2,3) (2,4) (3,4)
( x i ) 2,5 3 3,5
Tabela 4.2.1. b)
Slu ajna promenljiva srednja vrednost uzorka bez ponavljanja X ima sledeu raspodelu verovatno a:
104
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
1,5 X : 1 6
2 1 6
2,5 2 6
3,5 1 6
3 1 6
dobijenu iz tablice 4.2.1, pa je
E ( X )
5 _
x p i
i 1
1 6
1 6
i
2 6
1 6
1 6
1,5 2 2,5 3 3,5 2,5 dakle
E ( X ) . 2 2 2 var( X ) E X E X X
1 1 2 6 6 6 odnosno 5 4 2 2 N n 2 4 . X 2 4 1 n N 1
1 6
1 6
1,5 2 2 2 2,5 2 3 2 3,5 2 2,5 2
5 12
4.3. Pakovanja jedne vrste robe imaju težinu u proseku 5kg i standardnu devijaciju 50gr. Odrediti verovatnou da e prosena težina 250 pakovanja ove robe biti manja od 4995 gr. Rešenje:
Kako se podaci o prose noj težini 5000 gr i standardnoj devijaciji 50 gr odnose na beskona nu populaciju, i kako je veli ina uzorka _
n=250>30, to slu ajna promenljiva prose na težina uzorka X ima približno
105
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
2 N , raspodelu, pa važi: n _ X 4995 5000 P X 4995 P 50 250 n P ( Z 1,58) 1 F (1,58) 1 0,9429 0,0571 4.4. Hiljadu pakovanja jedne vrste robe ima težinu u proseku 5kg i standardnu devijaciju 50gr. Odrediti verovatnou da e prosena težina sluajno izabranih 250 od ovih 1000 pakovanja biti manja od 4995 gr. Rešenje:
Kako se podaci o prose noj težini 5000 gr i standardnoj devijaciji 50 gr odnose na kona nu populaciju veli ine N=1000, i kako je veli ina n 0,25 0,05 , to slu ajna promenljiva prose na težina uzorka n=250>30 i N _ 2 N n raspodelu, pa važi: uzorka X ima približno N , n N 1
_ 4995 5000 X P X 4995 P 50 1000 250 N n n N 1 1000 1 250 P ( Z 1,82) 1 F (1,82) 1 0,9656 0,0344
4.5. Na osnovu višegodišnjih istraživanja poznato je da je na MEGATREND univerzitetu 70% studenata ženskog pola. Na sluajan nain je izabrano 50 studenata sa MEGATREND univerziteta. Kolika je verovatnoa da je meu njima više od 38 studentkinja? 106
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rešenje:
Kako se podatak o proporciji studentkinja =0,7 odnosi na beskona nu populaciju (višegodišnje ispitivanje), i kako je n 50 0,7 35 5 i n 1 50 0,3 15 5 , to slu ajna promenljiva proporcija studentkinja u 1 uzorku P r ima približno N , raspodelu, pa važi: n
38 0 , 7 P r 38 50 P P r P 50 0,7 0,3 1 50 n P Z 0,93 1 F (0,93) 1 0,8238 0,1762. 4.6. U grupi od 500 studenata MEGATREND univerziteta 350 su ženskog pola. Iz te grupe na sluajan nain je izabrano 50 studenata. Kolika je verovatnoa da je meu njima više od 38 studentkinja? Rešenje:
350 0,7 odnosi na kona nu 500 populaciju N=500, i kako je n 50 0,7 35 5 , n 50 0,1 0,05 , to slu ajna promenljiva n 1 50 0,3 15 5 i N 500 1 N n proporcija studentkinja u uzorku P r ima približno N , 1 n N raspodelu, pa važi: 38 0 , 7 P r 38 50 P P r P 50 0,7 0,3 500 50 1 N n 50 500 1 n N 1 P Z 0,98 1 F (0,98) 1 0,8365 0,1635. Kako se podatak o proporciji studentkinja
107
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
4.7. Elektrine sijalice iz fabrike A imaju srednje vreme trajanja 2000 asova i standardno odstupanje 300 asova, dok iz fabrike B imaju srednje vreme trajanja 1800 asova i standardno odstupanje 200 asova. Ako izaberemo 200 sijalica iz fabrike A i 150 sijalica iz fabrike B, kolika je verovatno a da e srednje vreme trajanja sijalica iz fabrike A biti duže bar 250 asova od srednjeg vremena trajanja sijalica iz fabrike B. Rešenje:
Obeležimo sa X A slu ajnu promenljivu srednje vreme trajanja sijalica iz
fabrike A, a sa X B slu ajnu promenljivu srednje vreme trajanja sijalica iz fabrike B.
Po uslovu zadatka, slu ajna promenljiva X A ima parametre
A B
2000, A 300 , a slu ajna promenljiva X B parametre 1800, B 200 .
Kako je n A 200 30 i n B 150 30 , to slu ajna promenljiva X A X B ima
A2 B2 N A B , raspodelu, odnosno u ovom slu aju N 200, 716,67 n A n B raspodelu, pa važi:
X A X B A B 250 200 P X A X B 250 P 2 2 716,67 A B n n A B P ( Z 1,87) 1 F (1,87) 1 0,9693 0,0307
4.8. Iz populacije iji su parametri 150 i 2 5 uzet je prost sluajni uzorak veliine n=10. Kolika je verovatnoa da je centrirana varijansa tog
108
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike n
uzorka, koja se rauna po formuli s 2
xi i 1
n
10
2
2 150 x i i 1
10
, manja od
8? Rešenje:
Pošto je poznata aritmeti ka sredina populacije, to slu ajna promenljiva n s 2 2 ima n raspodelu (n stepeni slobode), pa važi: 2
n s 2 10 8 n s 2 n s 2 P 2 16 1 P 2 16 0,90 jer je P s 8 P 2 5 2
(videti tablicu) 102 ,.10 16 .
4.9. Iz populacije iji je parametar 2 50 uzet je prost sluajni uzorak veliine n=10. Kolika je verovatnoa da je centrirana varijansa tog uzorka, _ 2
_ 2
10 x x x x xi i i _ i 1 , gde je x i 1 , koja se rauna po formuli sc2 i 1 9 10 n 1 n
10
manja od 23,17? Rešenje:
Pošto nije poznata aritmeti ka sredina populacije, to slu ajna promenljiva n 1 sc2 2 ima n 1 raspodelu (n-1 stepeni slobode), pa važi: 2
(n 1) sc2 9 23,17 (n 1) s c2 4 , 17 P s 23,17 P P 2 2 50 jer je (n 1) s c2 1 P 4,17 0,10 2 2 c
(videti tablicu) 92,.90 4,17.
109
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 4.10. Za datu populaciju 3, 5, 7, 9, 11 a) odrediti srednju vrednost i varijansu 2 populacije b) odrediti sve uzorke sa ponavljanjem veliine n=2 i odrediti im
srednje vrednosti x 2 _ c) pokazati da je E X i var X 2 . X n
4.11. Za datu populaciju 5, 10, 15, 20, 25 a) odrediti sve uzorke bez ponavljanja veli ine n=2 i odrediti im srednje
vrednosti x _ 2 N n 2 b) pokazati da je E X i var X , X n N 1 gde su i 2 srednja vrednost i varijansa populacije, a N veli ina populacije, u
ovom sluaju N=5.
4.12. Prosena starost zaposlenih u fabrici od 5000 radnika je 42,6 godina, a standardna devijacija 10 godina. a) Nai verovatnou da je prosena starost 50 sluajno izabranih radnika ove fabrike manja od 40 godina. b) Nai verovatnou da je prosena starost 800 sluajno izabranih radnika ove fabrike manja od 40 godina. c) Nai verovatnou da je prosena starost 400 sluajno izabranih radnika ove fabrike u intervalu od 42 do 50 godina. 4.13. Poznato je da 65% studenata puši. Nai verovatnou da u 150 sluajno izabranih studenata bude manje od 100 pušaa. 4.14. U grupi od 700 studenata nalazi se 500 pušaa. Nai verovatnou da u 200 sluajno izabranih studenata iz ove grupe bude više od 150 pušaa. 4.15. Iz velikog magacina sa džakovima od u proseku po 50kg cementa i standardnom devijacijom 2kg, uzimaju se dva uzorka od po 1000 džakova. Kolika je verovatnoa da e se ukupne koliine cementa razlikovati za više od 100 kg? 110
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
4.16. Iz populacije iji su parametri 50 i 2 4 uzet je prost sluajni uzorak veliine n=8. Kolika je verovatnoa da je centrirana varijansa tog uzorka manja od 9,5? 4.17. Iz populacije iji je parametar 2 30 uzet je prost sluajni uzorak veliine n=20. Kolika je verovatnoa da je centrirana varijansa tog uzorka manja od 14,07?
111
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
5. STATISTIKO OCENJIVANJE 5.1. Takaste ocene 5.1.1. Dat je uzorak veliine n=4, ( x1 , x2 , x3 , x4), iz populacije sa poznatom aritmetikom sredinom i poznatom varijansom 2. 1.) Koja je od sledeih ocena parametra nepristrasna (centrirana)? ^
a)
1 x3
c)
x 2 4 x3 2 x 4 3 3 ^
b)
x1 x 2 x3 2 4
d)
x1 x 4 . 4 2
^
^
2.) Koja je od gore ponuenih nepristrasnih ocena najefikasnija (najbolja)? Rešenje:
Koristei da je E (a X b) a E ( X ) b, E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) var(a X b) a 2 var( X ) i da je kod nezavisnih promanljivih X i Y
var( X Y ) var( X ) var(Y ) dobijamo a) ^
E ( 1 ) E ( X 3 ) E ( X ) ^
var( 1 ) var( X 3 ) var( X ) 2
112
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b)
X 1 X 2 X 3 1 E ( X X X ) 1 2 3 4 4
^
E ( 2 ) E
1 4
E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 )
3 4
c) X 2 4 X 3 2 X 4 1 E ( 3 ) E E ( X 2 4 X 3 2 X 4 ) 3 3 ^
1 3
E ( X 2 ) 4 E ( X 3 ) 2 E ( X 4 ) X 2 4 X 3 2 X 4 1 2 21 var( 3 ) var 16 2 4 2 2 3 9 9 ^
d) X 1 X 4 1 1 E ( 4 ) E E ( X 1 X 4 ) E ( X 1 ) E ( X 4 ) 2 2 2 ^
^
X 1 X 4 1 2 2 1 2 2 2 4
var( 4 ) var
gde je X slu ajna promenljiva nad itavom populacijom, a X i je i-ta realizacija u slu ajnom uzorku veli ine n=4 iz ove populacije. ^
^
^
Dakle, nepristrasne ocene su 1 , 3 i 4 , jer im je matemati ko o ekivanje jednako aritmeti koj sredini populacije, dok je od njih najefikasnija ^
ocena 4 , jer ima najmanju varijansu.
113
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
5.1.2. Sluajan uzorak od 5 pakovanja jedne robe sadrži težine 9,95 kg, 10,3 kg, 9,97 kg, 9,99 kg i 10,25 kg. Oceniti srednju vrednost težine svih pakovanja ove robe, najefikasnijom ocenom. Rešenje:
Najefikasnija ocena aritmeti ke sredine populacije je aritmeti ka sredina uzorka, jer je ona saglasna i centrirana ocena sa najmanjom varijansom: _
x
9,95 10,3 9,97 9,99 10,25 kg 10,092 kg . 5
5.1.3. U sluajnom uzorku od 50 studenata ima 35 onih koji skijaju. Oceniti verovatnou da sluajno izabrani student zna da skija, najefikasnijom ocenom. Rešenje:
Najefikasnija ocena verovatno e neke pojave u populaciji je frekvencija te pojave u uzorku, jer je ona saglasna i centrirana ocena sa najmanjom varijansom: p r
35 0,7. 50
5.1.4. U 10 sluajno izabranih dana posmatrana je poseta web sajtu MEGATREND univerziteta u vremenu od 10 asova do 11 asova. Broj posetilaca ovog sajta u tim danima, i naravno u tom vremenu, bio je 85, 98, 105, 65, 78, 93, 87, 86, 98, 105. Oceniti broj posetilaca ovog sajta u vremenu od 10 asova do 11 asova, najefikasnijom ocenom. Rešenje:
Najefikasnija ocena matemati kog o ekivanja broja realizacija u populaciji slu ajne promenljive sa Poissonovom raspodelom, odnosno parametra u Poissonovoj raspodeli, jeste aritmeti ka sredina realizovanih vrednosti te promenljive u uzorku, jer je ona saglasna i centrirana ocena sa najmanjom varijansom:
114
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 85 98 105 65 78 93 87 86 98 105 r 90 . 10
5.1.5. Sluajan uzorak od 5 pakovanja jedne robe sadrži težine 9,95 kg, 10,3 kg, 9,97 kg, 9,99 kg i 10,25 kg. Oceniti varijansu težine u pakovanjima ove robe na itavoj populaciji ukoliko je srednja vrednost težine svih pakovanja ove robe 10 kg. Ocenu izvršiti centriranom i saglasnom ocenom. Rešenje:
Saglasna i centrirana uzora ka ocena varijanse populacije, ija je aritmeti ka sredina poznata, jeste: n
s 2 c
2 x i i 1
n
0,05 2 0,3 2 0,03 2 0,012 0,25 2 0,0312 . 5
5.1.6. Sluajan uzorak od 5 pakovanja jedne robe sadrži težine 9,95 kg, 10,3 kg, 9,97 kg, 9,99 kg i 10,25 kg. Oceniti varijansu težine u pakovanjima ove robe na itavoj populaciji. Ocenu izvršiti centriranom i saglasnom ocenom. Rešenje:
Saglasna i centrirana uzora ka ocena varijanse populacije, ija aritmeti ka sredina nije poznata, jeste: 2
2
5 5 x x _ x x _ xi i i _ i 1 , gde je x i1 10,092 kg , odnosno sc2 i 1 n 1 4 5 n
0,142 2 0,208 2 0,122 2 0,102 2 0,158 2 0,02842 s 4 2 c
115
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: ), iz popula populacij cijee sa 5.1.7. Dat je uzorak veliine n=6, ( x x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ), poznatom aritmetikom sredinom i i poznatom varijansom 2. 1.) Koja je od sledeih ocena parametra nepristrasna (centrirana)? ^
2 x 2 3 x3 4 x 4 2 x5
a)
1
c)
x x 2 x3 3 1 3 ^
d)
^
b) ^
4
2
x1 3 x 2 x3 6
2 x1 x 2 x6 2
2.) Koja je od gore ponuenih nepristrasnih ocena najefikasnija (najbolja)?
5.1.8. Sluajan uzorak od 4 pakovanja jedne robe sadrži težine 19,85 kg, 20,35 kg, 19,90 kg i 20,15 kg. Oceniti srednju vrednost težine svih pakovanja ove robe, najefikasnijom ocenom. 5.1.9. U sluajnom uzorku od 150 studenata ima 110 onih koji govore engleski jezik. Oceniti verovatno u da sluajno izabrani student govori engleski, najefikasnijom ocenom. 5.1.10. Neka na sluajnom uzorku veliine n=8 važi
8
x i 1
i
120 , gde sluajna
promenljiva Xi ima Poissonovu raspodelu sa nepoznatim . Oceniti parametar , najefikasnijom ocenom.
5.1.11. Sluajan uzorak od 7 pakovanja jedne robe sadrži težine 29,95 kg, 30,3 kg, 29,90 kg, 30,10 kg, 30,25 kg, 29,85kg i 30,20kg. Oceniti varijansu težine u pakovanjima ove robe rob e na itavoj populaciji ukoliko je srednja vrednost težine svih pakovanja ove robe 30 kg. Ocenu izvršiti centriranom i saglasnom ocenom. 5.1.12. Sluajan uzorak od 7 pakovanja jedne robe sadrži težine 29,95 kg, 30,3 kg, 29,90 kg, 30,10 kg, 30,25 kg, 29,85kg i 30,20kg. Oceniti varijansu težine u pakovanjima ove robe rob e na itavoj populaciji. Ocenu izvršiti centriranom i saglasnom ocenom. 116
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
5.2. Intervalne ocene 5.2.1. Poznato je da broj poena studenata na ispitu ima N( raspo spodel delu, u, gde , 2 ) ra je parametar poznat i iznosi =15 poznat =15 poena. Sluajan uzorak od 20 studenata, uzet iz ogromne populacije, ima na ovom ispitu srednji broj poena 78. Odrediti interval poverenja za srednji broj poena svih zadataka na ovom ispitu, ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,80. Rešenje:
Kako broj poena ima normalnu raspodelu raspodelu sa poznatom varijansom, i kako je populacija ogromna, odnosno uzorak je manji od 5% populacije, populacije, to za proizvoljan koeficijent pouzdanosti pouzdanosti 1- važi: važi: _ _ x Z 1 gde vrednost Z itamo P x Z itamo iz tablice n n 2 2 2 za N(0,1) raspodelu kao F Z 1 . 2 2
Dakle, interval poverenja za srednji broj poena poena svih zadataka iznosi: a) za 1 0,99
2
0,005 Z F (0,995) 2,58 , pa je 2
15 15 , odnosno 78 2,58 20 20 69,35 86,65 . 78 2,58
b) za 1 0,95
78 1,96
2
0,025 Z F (0,975) 1,96 , pa je 2
15 15 78 1,96 , odnosno 20 20 117
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 71,43 84,57 . c) za 1 0,80
78 1,28
2
0,10 Z F (0,9) 1,28 , pa je 2
15 15 78 1,28 , odnosno 20 20
73,71 82,29.
5.2.2. Rešiti prethodni zadatak ukoliko je grupa studenata iz koje je uzet uzorak i iji se srednji broj poena na ispitu ocenjuje konana i iznosi N=100 i ako je uzorak bez ponavljanja. Rešenje:
20 0,05 ), i uzorak bez Kako je veli ina ina uzorka vea od 5% populacije, ( 100 ponavljanja, to izraz za varijansu, u formulama iz prethodnog zadatka, N n množimo sa korekcionim faktorom , pa je N 1 _ _ N n N n P x Z x Z 1 , odnosno n N 1 n N 1 2 2 a) za 1 0,99
2
0,005 Z F (0,995) 2,58 , pa je 2
15 100 20 15 100 20 78 2,58 78 2,58 , odnosno 100 1 100 1 20 20 70,22 85,78 . b)
118
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike za 1 0,95
78 1,96
2
0,025 Z F (0,975) 1,96 , pa je 2
15 100 20 15 100 20 78 1,96 , odnosno 100 1 100 1 20 20
72,09 83,91 . c) za 1 0,80
78 1,28
2
0,10 Z F (0,9) 1,28 , pa je 2
15 100 20 15 100 20 78 1,28 , odnosno 100 1 100 1 20 20
74,14 81,86. poen a studenata na ispitu, ali je poznata 5.2.3. Nije poznata raspodela broja poena varijansa broja poena od srednje vrednosti i iznosi =20 =20 poena. Sluajan uzorak od 50 studenata iz ogromne populacije ima na ovom ispitu srednji broj poena 70. Odrediti interval poverenja pov erenja za srednji broj poena p oena svih zadataka na ovom ispitu, ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,80. Rešenje:
Kako je veli ina ina uzorka vea od 30 i manja od 5% populacije, a varijansa poznata, =20, =20, to raspodelu uzorka broja poena na ispitu možemo ,20 2 ) raspodelom, a za proizvoljan koeficijent pouzdanosti aproksimirati N( pouzdanosti 1- važi: važi: _ _ P x Z x Z 1 , gde vrednost Z itamo itamo iz tablice n n 2 2 2
119
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
za N(0,1) raspodelu kao F Z 1 . 2 2 Dakle, interval poverenja za srednji broj poena svih zadataka iznosi: a) za 1 0,99
2
0,005 Z F (0,995) 2,58 , pa je 2
20 20 70 2,58 , odnosno 50 50 62,70 77,30 . 70 2,58 b) za 1 0,95
70 1,96
2
0,025 Z F (0,975) 1,96 , pa je 2
20 20 70 1,96 , odnosno 50 50
64,46 75,54 . c) za 1 0,80
70 1,28
2
0,10 Z F (0,9) 1,28 , pa je 2
20 20 70 1,28 , odnosno 50 50
66,38 73,62.
5.2.4. Poznato je da broj poena studenata na ispitu ima N( , 2 ) raspodelu gde je parametar nepoznat. Sluajan uzorak od 20 studenata, uzet iz ogromne populacije, ima na ovom ispitu srednji broj poena 78 i na njemu je izraunata centrirana varijansa uzorka sc=15. Odrediti interval poverenja za srednji broj poena svih zadataka na ovom ispitu, ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,80. 120
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rešenje:
Kako broj poena ima normalnu raspodelu sa nepoznatom varijansom, i kako je populacija ogromna, odnosno uzorak je manji od 5% populacije, to za proizvoljan koeficijent pouzdanosti 1- važi: _ sc s _ x t n1, c 1 , gde vrednost t n1, itamo iz P x t n1, 2 2 2 n n Studentove t-tablice za n-1 stepeni slobode kao P t n 1 t . U ovom n 1, 2 2
slu aju, broj stepeni slobode je 19. Dakle, interval poverenja za srednji broj poena svih zadataka iznosi: a) za 1 0,99
2
0,005 t 19,0,005 2,86 , pa je
15 15 78 2,86 , odnosno 20 20 68,41 87,59 . 78 2,86
b) za 1 0,95
78 2,09
2
0,025 t 19, 0,025 2,09 , pa je
15 15 78 2,09 , odnosno 20 20
70,99 85,01 . c) za 1 0,80
2
0,10 t 19, 0,10 1,33 , pa je
15 15 78 1,33 78 1,33 , odnosno 20 20 73,14 82,46. 121
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
5.2.5. Uzorak od 50 bolesnika od tuberkoloze pokazao je da njih 75% puši. Odrediti interval poverenja za procenat puša a meu obolelim od tuberkoloze ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,90 0,85 0,75. Rešenje:
n Kako je pr =0,75 i n=50, to je n p r 5 i n 1 p r 5 , pa važi ( 0,05 ): N p r 1 p r p r 1 p r p r Z 1 . P p r Z n n 2 2 Dakle, interval poverenja za procenat puša a me u obolelim od tuberkoloze je: a) za 1 0,90
0,75 1,64
2
0,05 Z F (0,95) 1,64 , pa je 2
0,75 0,25 0,75 0,25 , odnosno 0,75 1,64 50 50
0,6496 0,8504 , tj. u procentima od 64,96% do 85,04%. b) za 1 0,85
0,75 1,44
2
0,075 Z F (0,925) 1,44 , pa je 2
0,75 0,25 0,75 0,25 0,75 1,44 , odnosno 50 50
0,6618 0,8382 , tj. u procentima od 66,18% do 83,82%. c)
122
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
za 1 0,75
0,75 1,15
2
0,125 Z F (0,875) 1,15 , pa je 2
0,75 0,25 0,75 0,25 0,75 1,15 , odnosno 50 50
0,6796 0,8204 , tj. u procentima od 67,96% do 82,04%.
5.2.6. U uzorku od 52 bolesnika od tuberkoloze, uzetog iz skupa od 300 bolesnika, ima 39 pušaa. Odrediti interval poverenja za broj pušaa u ovom skupu od 300 obolelih ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,90 0,85 0,75. Rešenje:
Kako je p r
39 0.75 i n=52, to je n p r 5 i n 1 p r 5 , pa važi 52
n ( 0,05 ): N
1 1 p p p p N n N n r r r r pr Z P p r Z n N 1 n N 1 . 2 2 1 Dakle, interval poverenja za procenat puša a me u obolelim od tuberkoloze je: a) za 1 0,90
2
0,05 Z F (0,95) 1,64 , pa je 2
0,75 0,25 300 52 0,75 0,25 300 52 0,75 1,64 0,75 1,64 52 300 1 52 300 1 odnosno 123
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 0,6603 0,8397 , tj. u ovom skupu obolelih ima od 198 do 252 (od 0.6603 300 do 0,8397 300 ) puša a. b) za 1 0,85
0,75 1,44
2
0,075 Z F (0,925) 1,44 , pa je 2
0,75 0,25 300 52 0,75 0,25 300 52 0,75 1,44 52 300 1 52 300 1
odnosno
0,6712 0,8288 , tj. u ovom skupu obolelih ima od 201 do 249 (od 0.6712 300 do 0,8288 300 ) puša a.
c) za 1 0,75
0,75 1,15
2
0,125 Z F (0,875) 1,15 , pa je 2
0,75 0,25 300 52 0,75 0,25 300 52 0,75 1,15 52 300 1 52 300 1
odnosno
0,6871 0,8129 , tj. u ovom skupu obolelih ima od 244 do 206 (od 0.6871 300 do 0,8129 300 ) puša a.
5.2.7. Centrirana ocena varijanse nekog obeležja iz uzorka veliine n=15, uzetog iz ogromne populacije u kojoj obeležje ima N( , 2 ) raspodelu, gde je _ 2
x x i 400. Odrediti interval poverenja za nepoznato, iznosi sc2 i 1 n 1 n
varijansu datog obeležja na itavoj populaciji ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a)
0,99 124
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) c)
0,95 0,90. Rešenje:
Kako je aritmeti ka sredina populacije nepoznata, to za proizvoljan koeficijent pouzdanosti 1- važi:
2 n 1 sc2 n 1 sc 2 P 2 2 1 gde vrednost n21, i n21,1 itamo n 1, 2 2 n 1 , 1 2 2 2 2 2 iz tablice za =n-1 stepeni slobode kao P n 1 , odnosno n 1 , 2 2 2 2 1 kao P n 1 . U ovom slu aju, broj stepeni slobode je n 1 , 1 2 2 n-1=14. Dakle, interval poverenja za varijansu datog obeležja je: a) za 1 0,99
2
0,005 142 , 0,005 31,319
142 , 0,995
4,075 ,
142 , 0,975
5,629 ,
pa je 14 400 14 400 2 , odnosno 31,319 4,075
178,81 2 1374,23 . b) za 1 0,95
2
0,025 142 , 0,025 26,119
pa je 14 400 14 400 2 , odnosno 26,119 5,629
214,40 2 994,85 . 125
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike c) za 1 0,90
2
0,05 142 , 0,05 23,685
142 , 0,95
6,571 ,
pa je 14 400 14 400 2 , odnosno 23,685 6,571
236,44 2 852,23 .
5.2.8. Centrirana ocena varijanse nekog obeležja iz uzorka veliine n=15, uzetog iz ogromne populacije u kojoj obeležje ima N( , 2 ) raspodelu, gde je n
poznato, iznosi sc2
2 x i i 1
400. Odrediti interval poverenja za
n varijansu datog obeležja na itavoj populaciji ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak:
a) b) c)
0,99 0,95 0,90. Rešenje:
Kako je aritmeti ka sredina populacije poznata, to za proizvoljan koeficijent pouzdanosti 1- važi:
2 2 n sc n s P 2 2 2 c 1 , gde vrednost 2 i 2 itamo iz 2 n, n , 1 n , 2 2 n , 1 2 2 2 2 P tablice za = n stepeni slobode kao n , odnosno kao n, 2 2 2 2 P n 1 . U ovom slu aju, broj stepeni slobode je n , 1 2 2 n=15. Dakle, interval poverenja za varijansu datog obeležja je:
126
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike a) za 1 0,99
2
0,005 152 , 0,005 32,801
152 , 0,995
4,601 ,
152 , 0,975
6,262 ,
pa je 15 400 15 400 2 , odnosno 32,801 4,601
182,92 2 1304,06 . b) za 1 0,95
2
0,025 152 , 0,025 27,488
pa je 15 400 15 400 2 , odnosno 27,488 6,262
218,28 2 958,16 . c) za 1 0,90
2
0,05 152 , 0,05 24,996
152 , 0,95
7,261 ,
pa je 15 400 15 400 2 , odnosno 24,996 7,261
240,04 2 826,33 .
5.2.9. Testira se uinak novih lekova za spavanje pomou dve grupe bolesnika slinih karakteristika, tako što prva grupa od 50 bolesnika uzima ove lekove, dok ih druga grupa od 60 bolesnika ne uzima. Dužina spavanja bolesnika iz prve grupe je proseno 7,5 asova, a u drugoj 6,7 asova. Zna se da standardna devijacija dužine spavanja prve grupe bolesnika iznosi 1 0,20 asova, dok je standardna devijacija druge grupe bolesnika 2 0,30 asova. Odrediti interval poverenja za razliku srednjih vrednosti dužina spavanja koju 127
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike prouzrokuje uzimanje ispitivanih lekova, ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b)
0,99 0,95. Rešenje:
Kako je n1>30 i n2>30, to za proizvoljan koeficijent pouzdanosti 1- važi: 2 2 2 2 _ _ _ _ 1 2 1 2 1 2 x1 x 2 Z 1 , P x1 x 2 Z n1 n2 n1 n2 2 2
gde vrednost Z itamo iz tablice za N(0,1) raspodelu kao F Z 1 . 2 2 2 Dakle, interval poverenja za srednji broj poena svih zadataka iznosi: a) za 1 0,99
2
0,005 Z F (0,995) 2,58 , pa je 2
0,20 2 0,30 2 0,20 2 0,30 2 7,5 6,7 2,58 1 2 7,5 6,7 2,58 , 50 60 50 60 odnosno 0,68 1 2 0,92 , tj. sa verovatno om 0,99 smatramo da je novi lek produžio spavanje u proseku za 0,68 do 0,92 asova. b) za 1 0,95
2
0,025 Z F (0,975) 1,96 , pa je 2
0,20 2 0,30 2 0,20 2 0,30 2 7,5 6,7 1,96 1 2 7,5 6,7 1,96 , 50 60 50 60 odnosno 0,71 1 2 0,89 , 128
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike tj. sa verovatno om 0,95 smatramo da je novi lek produžio spavanje u proseku za 0,71 do 0,89 asova.
5.2.10. Koliko komada neke robe treba izabrati na slu ajan nain radi kontrole težine da bi se ocenila srednja težina te robe sa maksimalnom greškom od 0,5 kg uz koeficijent pouzdanosti 1- = 0,99, ako je poznato da je standardno odstupanje težine te robe jednako =1 kg. Rešenje: 2
2 Z Broj komada dobijamo iz jedna ine n 2 2 , gde je L maksimalna L
2,58 2 12 26,62 , odnosno treba na slu ajan na in izabrati greška, pa je n 2 0,5 27 komada.
5.2.11. Koliko studenata treba izabrati na slu ajan nain da bi se sa maksimalnom greškom od 5% i uz koeficijent pouzdanosti 0,90 ocenio procenat studenata koji ne puše ako a) se zna da ima oko 70% nepuša a studenata b) se ne zna procenat nepuša a meu studentima. Rešenje:
a) 2
Z p 1 p 1,64 2 0,70 0,30 2 225,93 226 studenata n L2
0,05 2
b) Pošto se ne zna procenat nepuša a me u studentima, a znaju i da je 1 p 1 p , imamo da je 4
129
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 2
Z 1,64 2 2 269 studenata. n 2 2 4 L 4 0,05
130
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 5.2.12. Poznato je da visina studenata ima N( , 2 ) raspodelu, gde je parametar poznat i iznosi =10 cm. Sluajan uzorak od 15 studenata, uzet iz ogromne populacije, ima srednju visinu 179 cm. Odrediti interval poverenja za srednju visinu svih studenata, ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90.
5.2.13. Poznato je da visina studenata ima N( , 2 ) raspodelu, gde je parametar poznat i iznosi =10 cm. Sluajan uzorak bez ponavljanja od 15 studenata, uzet iz populacije koja broji 90 studenta, ima srednju visinu 179 cm. Odrediti interval poverenja za srednju visinu svih studenata u ovoj populaciji ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90.
5.2.14. Nije poznata raspodela visine studenata, ali je poznata varijansa visine od srednje vrednosti koja iznosi =20 poena. Sluajan uzorak od 40 studenata iz ogromne populacije ima srednju visinu 170 cm. Odrediti interval poverenja za srednju visinu studenata ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90.
5.2.15. Poznato je da visina studenata ima N( , 2 ) raspodelu, gde je parametar nepoznat. Sluajan uzorak od 15 studenata, uzet iz ogromne populacije, ima srednju visinu 179 cm i na njemu je izraunata centrirana varijansa uzorka sc=10 cm. Odrediti interval poverenja za srednju visinu studenata ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90. 131
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
5.2.16. Iz uzorka od 300 ispitanih glasaa u jednom velikom okrugu, njih 90 e glasati za stranku A na predstoje in izborima. Odrediti interval poverenja za procenat glasaa iz ovog okruga koji e glasati za stranku A na predstoje im izborima ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90.
5.2.17. Iz uzorka od 300 ispitanih glasaa u jednom okrugu, u kome ima 2000 glasaa, njih 90 e glasati za stranku A na predstoje in izborima. Odrediti interval poverenja za procenat glasaa iz ovog okruga koji e glasati za stranku A na predstojeim izborima ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90.
5.2.18. Centrirana ocena standardne devijacije nekog obeležja iz uzorka veliine n=15, uzetog iz ogromne populacije u kojoj obeležje ima N( , 2 ) raspodelu, gde je nepoznato, iznosi sc=15. Odrediti interval poverenja za varijansu datog obeležja na itavoj populaciji ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90.
5.2.19. Centrirana ocena standardne devijacije nekog obeležja iz uzorka veliine n=15, uzetog iz ogromne populacije u kojoj obeležje ima N( , 2 ) raspodelu, gde je poznato, iznosi sc=15. Odrediti interval poverenja za varijansu datog obeležja na itavoj populaciji ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90. 132
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
5.2.20. Testira se izdržljivost dve vrste greja a, A i B. Uzorak od 50 grejaa grupe A pokazao je da je srednje vreme rada ovih grejaa 2580 sati sa centriranom varijansom 900, dok je uzorak od 70 grejaa grupe B pokazao da je srednje vreme rada ovih greja a 2190 sati sa standardnom devijacijom od 50 sati. Odrediti interval poverenja za razliku srednjih vrednosti izdržljivosti ovih grejaa, izraženu kroz broj radnih sati, ako je koeficijent pouzdanosti 1- jednak: a) b) c)
0,99 0,95 0,90.
5.2.21. Koliko komada neke robe treba izabrati na slu ajan nain radi kontrole težine da bi se ocenila srednja težina te robe, sa maksimalnom greškom od 1kg uz koeficijent pouzdanosti 1- = 0,95, ako je poznato da je standardno odstupanje težine te robe jednako =5kg. 5.2.22. Koliko studenata treba izabrati na slu ajan nain da bi se sa maksimalnom greškom od 2% i uz koeficijent pouzdanosti 0,95 ocenio procenat studenata koji skijaju ako: a) se zna da ima oko 60% skijaša meu studentima b) se ne zna procenat skijaša meu studentima.
133
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6. TESTIRANJE PARAMETARSKIH STATISTIKIH HIPOTEZA 6.1. Prosean dnevni broj posetilaca u lancu Jugopetrolovih benzinskih pumpi je 250 posetilaca po jednoj pumpi, sa standardnom varijansom =15. U jednom rutinskom ispitivanju na 40 sluajno odabranih pumpi, pokazalo se da je srednji broj posetilaca 244. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama promenio? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se srednji broj posetilaca promenio? Rešenje:
Kako je uzorak n=40 > 30, to broj posetilaca možemo aproksimirati N(250, 152 ) raspodelom. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 250 , a alternativna H 1 : 250. i) a) Za nivo zna ajnosti 0,05 Z 1,96 2
važi _
x 0
n
244 250 2,53 1,96 15 40
i možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama promenio.
134
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) Za nivo zna ajnosti ajnosti 0,01 Z 2,58 2
važi _
x 0
n
244 250 2,53 2,58 15 40
i ne možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama promenio. ii) Iz uslova _
x 0
n
Z 2
244 250 Z 2,53 Z , 15 2 2 40
koristei N(0,1) tablicu, dobijamo 1
2
0,9943 , odakle je
=0,0114. =0,0114.
Dakle, iz ovog uzorka možemo sa nivoom zna ajnosti ajnosti =0,0114 =0,0114 konstatovati da se srednji broj posetilaca promenio.
6.2. Prosean dnevni broj posetilaca u lancu Jugopetrolovih benzinskih pumpi je 250 posetilaca po jednoj pumpi, p umpi, sa standardnom varijansom varijans om =30. Posle poskupljenja naftnih derivata d erivata od 20%, uzorkovano uzor kovano je 40 sluajno odabranih pumpi, i pokazalo se da je srednji sredn ji broj posetilaca 242. i) Da li, sa nivoom znaajnosti 135
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama smanjio? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se srednji broj posetilaca smanjio? Rešenje:
Kako je uzorak n=40 > 30, to broj broj posetilaca možemo aproksimirati N(250, 302 ) raspodelom. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 250 , a alternativna H 1 : 250. i) a) Za nivo zna ajnosti ajnosti 0,05 Z 1,64 važi
_
x 0
n
242 250 1,69 1,64 30 40
i možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama smanjio. b) Za nivo zna ajnosti ajnosti 0,01 Z 2,33 važi
136
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
_
x 0
n
242 250 1,69 2,33 30 40
pa ne možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca posetilaca na pumpama smanjio. ii) Iz uslova
_
x 0
Z 1,69 Z 1,69 Z
n =0,0455. =0,0455.
koristei N(0,1) tablicu, dobijamo 1 0,9545 , odakle je
Dakle, iz ovog uzorka možemo sa nivoom zna ajnosti ajnosti =0,0455 =0,0455 konstatovati da se srednji broj posetilaca smanjio.
6.3. Prosean dnevni broj posetilaca u lancu Jugopetrolovih benzinskih pumpi je 250 posetilaca po jednoj pumpi, p umpi, sa standardnom varijansom varijans om =30. Posle smanjenja cena naftnih derivata od 20%, uzorkovano je 40 sluajno odabranih pumpi, i pokazalo se da je srednji sredn ji broj posetilaca 260. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama poveao? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se srednji broj posetilaca poveao?
137
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Rešenje:
Kako je uzorak n=40 > 30, to broj broj posetilaca možemo aproksimirati N(250, 302 ) raspodelom. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 250 , a alternativna H 1 : 250. i) a) Za nivo zna ajnosti ajnosti 0,05 Z 1,64 važi
_
x 0
260 250 2,11 1,64 30 40 n
pa možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na na pumpama poveao. b) za nivo zna ajnosti ajnosti 0,01 Z 2,33 važi _
x 0
n
260 250 2,11 2,33 30 40
pa ne možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca posetilaca na pumpama poveao.
ii) Iz uslova
138
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
_
x 0
Z 2,11 Z
n =0,0174.
koristei N(0,1) tablicu, dobijamo 1 0,9826 , odakle je
Dakle, iz ovog uzorka možemo sa nivoom zna ajnosti =0,0174 konstatovati da se srednji broj posetilaca pove ao.
6.4. Dnevni broj posetilaca u lancu Jugopetrolovih benzinskih pumpi ima N(250, 2) raspodelu. U jednom rutinskom ispitivanju na 10 sluajno odabranih pumpi, pokazalo se da je srednji broj posetilaca 239 i da je centrirana standardna devijacija s c=15. Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama promenio? Rešenje:
Kako broj posetilaca ima normalnu raspodelu sa nepoznatom varijansom i kako je veli ina uzorka n=10<30, to raspodela parametara uzorka ima t-raspodelu sa n-1=9 stepeni slobode. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 250 , a alternativna H 1 : 250. a) za nivo zna ajnosti 0,05 t 9, 2,26 2
važi
139
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike _
x 0 239 250 2,32 2,26 15 sc 10 n pa možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama promenio. b) Za nivo zna ajnosti 0,01 t 9, 3,25 2
važi _
x 0 239 250 2,32 3,25 15 sc 10 n pa ne možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama promenio.
6.5. Dnevni broj posetilaca u lancu Jugopetrolovih benzinskih pumpi ima N(250, 2) raspodelu. Posle poskupljenja naftnih derivata od 20%, uzorkovano je 10 sluajno odabranih pumpi, i pokazalo se da je srednji broj posetilaca 230 i da je centrirana standardna devijacija s c=30. Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama smanjio?
140
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rešenje:
Kako broj posetilaca ima normalnu raspodelu sa nepoznatom varijansom i kako je veli ina uzorka n=10<30, to raspodela parametara uzorka ima t-raspodelu sa n-1=9 stepeni slobode. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 250 , a alternativna H 1 : 250. a) za nivo zna ajnosti 0,05 t 9, 1,83 važi
_
x 0 230 250 2,1 1,83 30 s c 10 n pa možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama smanjio. b) za nivo zna ajnosti 0,01 t 9, 2,82 važi _
x 0 230 250 2,1 2,82 30 sc 10 n pa ne možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama smanjio.
141
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.6. Dnevni broj posetilaca u lancu Jugopetrolovih benzinskih pumpi ima N(250, 2) raspodelu. Posle smanjenja cena naftnih derivata od 20%, uzorkovano je 10 sluajno odabranih pumpi, i pokazalo se da je srednji broj posetilaca 272 i da je centrirana standardna devijacija sc=30. Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama poveao? Rešenje:
Kako broj posetilaca ima normalnu raspodelu sa nepoznatom varijansom i kako je veli ina uzorka n=10<30, to raspodela parametara uzorka ima t-raspodelu sa n-1=9 stepeni slobode. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 250 , a alternativna H 1 : 250. a) Za nivo zna ajnosti 0,05 t 9, 1,83 važi
_
x 0 272 250 2,32 1,83 30 s c 10 n pa možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama poveao. b) Za nivo zna ajnosti 0,01 t 9, 2,82 važi
142
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
_
x 0 272 250 2,32 2,82 30 sc 10 n pa ne možemo konstatovati da se srednji broj posetilaca na pumpama poveao.
6.7. Veruje se da e 30% glasaa iz jednog okruga glasati za stranku A na predstojeim izborima. Sluajan uzorak od 50 glasaa iz tog okruga pokazao je da e njih 8 glasati za stranku A. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se u ovom okrugu promenio procenat glasaa koji e glasati za stranku A? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se u ovom okrugu promenio procenat glasaa koji e glasati za stranku A? Rešenje:
8 42 5 i n 1 p r 50 5 i n 50 30 , to 50 50 možemo raspodelu procenta broja glasa a u uzorku aproksimirati normalnom raspodelom. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 0,3 , a alternativna H 1 : 0,3. i) a) Kako je n p r 50
Za nivo zna ajnosti 0,05 Z 1,96 2
važi
143
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
8 0,3 p r 0 50 2,16 1,96 0,3 0,7 0 1 0 50 n pa možemo konstatovati da se u ovom okrugu promenio procenat glasa a koji e glasati za stranku A. b) Za nivo zna ajnosti 0,01 Z 2,58 2
važi
8 0,3 p r 0 50 2,16 2,58 0,3 0,7 0 1 0 50 n pa ne možemo konstatovati da se u ovom okrugu promenio procenat glasa a koji e glasati za stranku A. ii) Iz uslova p r 0 Z 2,16 Z 0 1 0 2 2 n
koristei N(0,1) tablicu, dobijamo 1
=0,0308.
144
2
0,9846 , odakle je
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Dakle, iz ovog uzorka možemo sa nivoom zna ajnosti =0,0308 konstatovati da se u ovom okrugu promenio procenat glasa a koji e glasati za stranku A.
6.8. Veruje se da e 30% glasaa iz jednog okruga glasati za stranku A na predstojeim izborima. Sluajan uzorak od 50 glasaa iz tog okruga pokazao je da e njih 10 glasati za stranku A. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se u ovom okrugu smanjio procenat glasaa koji e glasati za stranku A? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se u ovom okrugu smanjio procenat glasaa koji e glasati za stranku A? Rešenje:
10 40 5 i n 1 p r 50 5 i n 50 30 , to 50 50 možemo raspodelu procenta broja glasa a u uzorku aproksimirati normalnom raspodelom. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 0,3 , a alternativna H 1 : 0,3. i) a) Kako je n p r 50
Za nivo zna ajnosti 0,05 Z 1,64 važi
10 0,3 p r 0 50 1,54 1,64 0,3 0,7 0 1 0 50 n pa ne možemo konstatovati da se u ovom okrugu smanjio procenat glasa a koji e glasati za stranku A.
145
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) Kako nismo mogli konstatovati sa nivoom zna ajnosti =0,05 da se smanjio procenat glasa a, sigurno to ne emo moi ni sa nivoom =0,01. ii) Iz uslova
10 0,3 p r 0 Z 50 1,54 Z , 0,3 0,7 0 1 0 50 n koristei N(0,1) tablicu, dobijamo 1 0,9382 , odakle je =0,0618. Dakle, iz ovog uzorka možemo sa nivoom zna ajnosti =0,0618 konstatovati da se u ovom okrugu procenat broja glasa a koji e glasati za stranku A smanjio.
6.9. Veruje se da e 30% glasaa iz jednog okruga glasati za stranku A na predstojeim izborima. Sluajan uzorak od 50 glasaa iz tog okruga pokazao je da e njih 19 glasati za stranku A. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se u ovom okrugu poveao procenat glasaa koji e glasati za stranku A? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se u ovom okrugu poveao procenat glasaa koji e glasati za stranku A? Rešenje:
19 31 5 i n 1 p r 50 5 i n 50 30 , to 50 50 možemo raspodelu procenta broja glasa a u uzorku aproksimirati normalnom Kako je n p r 50
146
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike raspodelom. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 0,3 , a alternativna H 1 : 0,3. i) a) Za nivo zna ajnosti 0,05 Z 1,64 važi
19 0,3 p r 0 50 1,23 1,64 0,3 0,7 0 1 0 50 n pa ne možemo konstatovati da se u ovom okrugu pove ao procenat glasa a koji e glasati za stranku A. b) Kako nismo mogli konstatovati sa nivoom zna ajnosti =0,05 da se poveao procenat glasa a, sigurno to ne emo moi ni sa nivoom =0,01. ii) Iz uslova
19 0,3 p r 0 50 Z 1,23 Z 0,3 0,7 0 1 0 50 n koristei N(0,1) tablicu, dobijamo 1 0,8907 , odakle je =0,1003. Dakle, iz ovog uzorka možemo sa nivoom zna ajnosti =0,1003 konstatovati da se u ovom okrugu procenat broja glasa a koji e glasati za stranku A poveao.
6.10. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja nepoznata, a smatra
147
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 41 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije? Rešenje:
Kako aritmeti ka sredina obeležja u populaciji nije poznata, to n21 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n 1 sc2 02
ima
02 , a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 2 26,119 važi 14 ,
2
n 1 sc2
14 412 26,15 26,119 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 2 31,319 važi 14 ,
2
n 1 sc2
14 412 26,15 31,319 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila.
6.11. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmetika sredina obeležja nepoznata, a smatra 148
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 17 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije? Rešenje:
Kako aritmeti ka sredina obeležja u populaciji nije poznata, to n21 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n 1 sc2 02
ima
02 , a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 2 5,629 važi 14 , 1
2
n 1 sc2
14 17 2 4,49 5,629 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 2 4,075 važi 14 , 1
2
n 1 sc2
14 17 2 4,49 4,075 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila.
149
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.12. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 42 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije? Rešenje:
Kako je aritmeti ka sredina obeležja u populaciji poznata, to n2 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n sc2
02 02
ima
, a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 2 27,488 važi 15,
2
n sc2
15 42 2 29,4 27,488 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 2 32,801 važi 15 ,
2
n sc2
15 42 2 29,4 32,801 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila.
150
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.13. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 19 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije? Rešenje:
Kako je aritmeti ka sredina obeležja u populaciji poznata, to n2 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n sc2
02 02
ima
, a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 2 6,262 važi 15, 1
2
n sc2
15 19 2 6,02 6,262 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 2 4,601 važi 15 , 1
2
n sc2
15 19 2 6,02 4,601 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji promenila.
151
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.14. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmetika sredina obeležja nepoznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 40 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se poveala varijansa populacije? Rešenje:
Kako aritmeti ka sredina obeležja u populaciji nije poznata, to n21 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n 1 sc2 02
ima
02 , a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 142 , 23,685 važi
n 1 sc2
14 40 2 24,89 23,685 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji poveala. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 142 , 29,141 važi
n 1 sc2
14 40 2 24,89 29,141 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji poveala.
152
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.15. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja nepoznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 20 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se smanjila varijansa populacije? Rešenje:
Kako aritmeti ka sredina obeležja u populaciji nije poznata, to n21 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n 1 sc2 02
ima
02 , a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 142 ,1 6,571 važi
n 1 sc2
14 20 2 6,22 6,571 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji smanjila. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 142 ,1 4,660 važi
n 1 sc2
14 20 2 6,22 4,660 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji smanjila.
153
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.16. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 39 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se poveala varijansa populacije? Rešenje:
Kako je aritmeti ka sredina obeležja u populaciji poznata, to n2 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n sc2
02 02
ima
, a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 152 , 24,996 važi n sc2
15 39 2 25,35 24,996 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji poveala. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 152 , 30,578 važi n sc2
15 39 2 25,35 30,578 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji poveala.
154
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.17. Sluajan uzorak veliine n=15 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 20 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se smanjila varijansa populacije. Rešenje:
Kako je aritmeti ka sredina obeležja u populaciji poznata, to n2 raspodelu. Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : 2
n sc2
02 02
ima
, a
alternativna hipoteza je H 1 : 2 02 . a) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,05 152 ,1
7,261 važi
n sc2
15 20 2 6,67 7,261 2 900 0 pa možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji smanjila. b) Za veli inu uzorka n=15 i nivo zna ajnosti 0,01 152 ,1 5,229 važi n sc2
15 20 2 6,67 5,229 2 900 0 pa ne možemo konstatovati da se varijansa datog obeležja u populaciji smanjila.
155
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.18. Proizvoa A tvrdi da je prosean radni vek akumulatora koje on proizvodi vei za 50 radnih asova od radnog veka akumulatora koje proizvodi proizvoa B. Standardne devijacije radnog veka akumulatora proizvo aa A i B su poznate i iznose A 20 i B 30 asova. Uzorak od 50 akumulatora proizvoaa A ima srednji vek trajanja 2000 asova, dok uzorak od 60 akumulatora proizvoaa B ima srednji vek trajanja 1940 asova. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da je proizvoa A u pravu? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovih uzoraka konstatovati da je proizvoa A u pravu? Rešenje:
Po uslovu zadatka, nulta hipoteza je H 0 : A B 50 , a alternativna hipoteza je H 1 : A B 50 . Kako je n A >30, n B >30, i varijanse obe populacije poznate, važi: i) a) Za nivo zna ajnosti 0,05 Z 1,64 , pa je _
_
x A x B A B A2
n A
B2
n B
2000 1940 50 2,08 1,64 2 2 20 30 50 60
i možemo konstatovati da je proizvo a A u pravu. b) Za nivo zna ajnosti 0,01 Z 2,33 ,
156
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike pa je _
_
x A x B A B A2
n A
B2
n B
2000 1940 50 2,08 2,33 2 2 20 30 50 60
i možemo konstatovati da proizvo a A nije u pravu. ii) Iz uslova
_
_
x A x B A B A2
n A =0,0188.
B2
Z 2,08 Z ,
n B
koristei N(0,1) tablicu, dobijamo 1 0,9812 , odakle je
Dakle, iz ovih uzoraka možemo sa nivoom zna ajnosti =0,0188 konstatovati da je proizvo a A u pravu.
157
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 6.19. Proizvoa jedne vrste proizvoda tvrdi da je prosean vek trajanja ovog proizvoda 40000 sati, a zna se da je standardna devijacija 5000 sati. Ako je u uzorku od 150 proizvoda prosena dužina trajanja 40500 sati, i) da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da je proizvoa u pravu? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da je proizvoa u pravu?
6.20. Proizvoa jedne vrste proizvoda tvrdi da je prosean vek trajanja ovog proizvoda vei od 40000 sati, a zna se da je standardna devijacija 5000 sati. Ako je u uzorku od 150 proizvoda prosena dužina trajanja 40500 sati, i) da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da je proizvoa u pravu? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da je proizvoa u pravu.
6.21. Proizvoa jedne vrste proizvoda tvrdi da je prosean vek trajanja ovog proizvoda manji od 40000 sati, a zna se da je standardna devijacija 5000 sati. Ako je u uzorku od 150 proizvoda prosena dužina trajanja 39450 sati i) da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da je proizvoa u pravu? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da je proizvoa u pravu? 158
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.22. U sluajnom uzorku od 20 pakovanja jednog proizvoda prosena težina iznosi 980 gr. Propisana težina pakovanja je 1kg, a standardna devijacija je 15 gr. Ako težina pakovanja ima normalan raspored, utvrditi i) da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da težina pakovanja odstupa od standarda. ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da težina pakovanja odstupa od standarda?
6.23. Menadžer prodaje jednog lanca prodavnica zaklju io je da ponedeljkom ima najmanje kupaca, proseno 230 po prodavnici. Zbog toga je ponedeljkom uveo popust od 15% na nekoliko artikala. Posle odreenog vremena, proverio je broj kupaca ponedeljkom na uzorku veliine 9. Prosean broj kupaca bio je 242, a centrirana standardna devijacija 15. Pod pretpostavkom da broj kupaca ponedeljkom podleže normalnoj raspodeli, odrediti da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenio prosean broj kupaca ponedeljkom.
6.24. Menadžer prodaje jednog lanca prodavnica zaklju io je da ponedeljkom ima najmanje kupaca, proseno 230 po prodavnici. Zbog toga je ponedeljkom uveo popust od 15% na nekoliko artikala. Posle odreenog vremena, proverio je broj kupaca ponedeljkom na uzorku veliine 10. Prosean broj kupaca bio je 242 a centrirana standardna devijacija 15. Pod pretpostavkom da broj kupaca ponedeljkom podleže normalnoj raspodeli, odrediti da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se poveao prosean broj kupaca ponedeljkom.
159
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
6.25. Menadžer prodaje jednog lanca prodavnica zaklju io je da proseno ima 230 kupaca po prodavnici. Posle poskupljenja nekih artikala od 15%, proverio je broj kupaca na uzorku veliine 11. Prosean broj kupaca bio je 219 a centrirana standardna devijacija 17. Pod pretpostavkom da broj kupaca podleže normalnoj raspodeli, odrediti da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se smanjio prosean broj kupaca.
6.26. Procenat pušaa meu radnicima jedne firme je 35%. U ovoj firmi izabran je sluajni uzorak od 60 radnika, gde je za 17 radnika utvr eno da puše. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se procenat pušaa u ovoj firmi promenio? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se procenat pušaa promenio?
6.27. Procenat pušaa meu radnicima jedne firme je 35%. U ovoj firmi izabran je sluajni uzorak od 60 radnika, gde je za 18 radnika utvr eno da puše. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se procenat pušaa u ovoj firmi smanjio? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se procenat pušaa smanjio?
6.28. Procenat pušaa meu radnicima jedne firme je 35%. U ovoj firmi izabran je sluajni uzorak od 60 radnika, gde je za 23 radnika utvr eno da puše. 160
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se procenat pušaa u ovoj firmi poveao? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovog uzorka konstatovati da se procenat pušaa poveao?
6.29. Sluajan uzorak veliine n=17 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja nepoznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 800. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 34 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije?
6.30. Sluajan uzorak veliine n=17 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja nepoznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 700. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 13. Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije?
6.31. Sluajan uzorak veliine n=17 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 920. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 42 . Da li, sa nivoom znaajnosti 161
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije?
6.32. Sluajan uzorak veliine n=14 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 19 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se promenila varijansa populacije?
6.33. Sluajan uzorak veliine n=10 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja nepoznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 850. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 39 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se poveala varijansa populacije?
6.34. Sluajan uzorak veliine n=12 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja nepoznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 880. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 18. Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01 162
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike možemo konstatovati da se smanjila varijansa populacije?
6.35. Sluajan uzorak veliine n=19 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 39 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se poveala varijansa populacije?
6.36. Sluajan uzorak veliine n=13 uzet je iz populacije u kojoj analizirano obeležje ima N( , 2 ), gde je aritmeti ka sredina obeležja poznata, a smatra se da varijansa obeležja iznosi 02 900. Centralizovana standardna devijacija ovog uzorka iznosi sc 18 . Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da se smanjila varijansa populacije?
6.37. Proizvoa A tvrdi da je prosean radni vek sijalica koje on proizvodi vei za 30 radnih asova od radnog veka sijalica koje proizvodi proizvo a B. Standardne devijacije radnog veka sijalica proizvo aa A i B su poznate i iznose A 10 i B 15 asova. Uzorak od 55 sijalica proizvoaa A ima srednji vek trajanja 1000 asova, dok uzorak od 75 sijalica proizvoaa B ima srednji vek trajanja 965 asova. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da je proizvoa A u pravu?
163
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovih uzoraka konstatovati da je proizvoa A u pravu.
6.38. Proizvoa A tvrdi da je prosean radni vek sijalica koje on proizvodi vei za više od 30 radnih asova od radnog veka sijalica koje proizvodi proizvoa B. Standardne devijacije radnog veka sijalica proizvoaa A i B su poznate i iznose A 10 i B 15 asova. Uzorak od 55 sijalica proizvoaa A ima srednji vek trajanja 1000 asova, dok uzorak od 75 sijalica proizvoaa B ima srednji vek trajanja 962 asova. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da je proizvoa A u pravu. ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovih uzoraka konstatovati da je proizvoa A u pravu.
6.39. Proizvoa A tvrdi da je prosean radni vek sijalica koje on proizvodi vei od radnog veka sijalica koje proizvodi proizvo a B. Proizvoa B se slaže sa tom konstatacijom, ali tvrdi da radni vek sijalica proizvo aa A nije vei za više od 30 radnih asova od radnog veka sijalica koje proizvodi proizvoa B. Standardne devijacije radnog veka sijalica proizvoaa A i B su poznate i iznose A 10 i B 15 asova. Uzorak od 55 sijalica proizvoaa A ima srednji vek trajanja 1000 asova, dok uzorak od 75 sijalica proizvoaa B ima srednji vek trajanja 974 asova. i) Da li, sa nivoom znaajnosti a) b)
=0,05 =0,01
možemo konstatovati da je proizvoa B u pravu? ii) Sa kojim nivoom znaajnosti možemo iz ovih uzoraka konstatovati da je proizvoa B u pravu?
164
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
7. REGRESIJA I KORELACIJA Prosta linearna regresija 7.1. U Tabeli 7.1. prikazani su podaci o cenama i prodatoj koliini (tražnji) jedne vrste proizvoda. Cena po 1 kg u din. (x) 16 20 25 28 31
Tražnja u tonama (y) 45 41 37 30 27
Tabela 7.1. a) Odrediti parametre linearne regresije i predstaviti je grafiki. b) Odrediti standardnu grešku regresije se. c) Odrediti standardnu grešku ocene nagiba sb. d) Odrediti koeficijent proste linearne korelacije r i koeficijent determinacije r 2. e) Odrediti standardnu grešku ocene koeficijenta proste linearne korelacije sr . f) Testirati postojanje linearne zavisnosti tražnje ovog proizvoda od njegove cene pomou Studentovog t -testa sa nivoom znaajnosti = 0,05 za 1.) ocenu nagiba 2.) ocenu proste linearne korelacije. g) Odrediti standardnu grešku ocene prosene vrednosti zavisne promenljive (u ovom sluaju, tražnje) s _ pri ceni x p=35 din/kg . y p
h) Odrediti standardnu grešku ocene individualne vrednosti zavisne promenljive (u ovom sluaju, tražnje) s y p pri ceni x p=35 din/kg . i) Oceniti interval prosene vrednosti tražnje pri ceni x p=35 din/kg sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95.
165
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike j) Oceniti interval individualne vrednosti tražnje pri ceni x p=35 din/kg sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95. Rešenje:
a) Linearna regresija, ocenjena iz n uzora kih parova (x i, y i), data ^
je u obliku y a b x , gde je
n n n xi yi xi y i i 1 i 1 b i 1 2 n n n xi2 xi i 1 i 1 n
n
a
y i 1
n
i
n
b
x i 1
i
n
Analizirajui podatke iz Tabele 7.1.a. i imaju i u vidu da je n=5, dobijamo: Cena po 1 kg u din. (x i) 16 20 25 28 31 5
i 1
xi 120
Tražnja u tonama (y i) 45 41 37 30 27 5
i 1
y i 180
5
xi yi
xi2
yi2
720 820 925 840 837
256 400 625 784 961
2025 1681 1369 900 729
5
i 1
xi yi 4142
i 1
x 3026 2 i
5
i 1
yi2 6704
Tabela 7.1.a. b
5 4142 120 180 1,2192 2 5 3026 120
a
180 120 (1,2192) 65,26 . 5 5 ^
Dakle, jedna ina linearne regresije je y 1,2192 x 65,26 i grafi ki je predstavljena na slici 7.1.
166
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
) t ( 50 a n 40 i c i l 30 o k a 20 t a d 10 o r P 0
y = -1.2192x + 65.26
0
10
20
30
Cena (din/kg)
Slika 7.1. b) Standardna greška regresije s e , iznosi n
se
y 11
2 i
n
n
11
11
a yi b xi yi
n2 6704 65,26 180 1,2192 4142 1,54 3
c) Standardna greška ocene nagiba s b iznosi sb
se
xi n x 2 i 1 n
i 1
i
2
1,54 0,127 2 120 3026 5
n
167
40
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike d) Koeficijent proste linearne korelacije r je
n n n xi y i xi y i i 1 i 1 i 1 r 2 2 n n n n 2 2 n xi xi n y i y i i 1 i 1 i 1 i 1 5 4142 120 180 0,9843 2 2 5 3026 120 5 6704 180 n
Koeficijent determinacije je kvadrat koeficijenta proste linearne korelacije, tj. koeficijent determinacije je r 2 0,98432 0,9688 . e) Standardna greška ocene koeficijenta proste linearne korelacije sr iznosi
1 r 2 s r 0,102 . n2 ¸f) 1). Kako je za n=5 i = 0,05 b 1,2192 9,6 t 3,1824 , n2 , 0,127 sb 2 zaklju ujemo pomou testa nagiba, uz rizik verovatno e 0,05, da se parametar nagiba b razlikuje od nule i da postoji linearna veza izme u cene i tražnje ovog proizvoda. 2.) Kako je za n=5 i = 0,05
168
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike r 0,9843 9,65 t 3,1824 , n2 , 0,102 s r 2 zaklju ujemo pomou testa korelacije, uz rizik verovatno e 0,05, da postoji linearna veza izme u cene i tražnje ovog proizvoda. g) Standardna greška ocene prose ne vrednosti tražnje ovog proizvoda s _ , pri ceni x p=35 din/kg, iznosi y p
2
x i x i 1 2 p n 35 120 1 5 1,54 1 1,56 . s se 2 2 n y 5 n 120 3026 xi n 5 i 1 2 x n
_
p
i 1
i
n
h) Standardna greška ocene individualne vrednosti tražnje ovog proizvoda s y p , pri ceni x p=35 din/kg, iznosi 2
x i x i 1 p n 1 s y se 1 2 n n xi n x 2 i 1 n
p
i 1
i
n
2
35 120 1 5 1,54 1 2,19 2 5 120 3026 5
169
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike i) Kako je ^
y p (35) 1,2192 35 65,26 22,59 . to interval prose ne vrednosti tražnje pri ceni x p=35 din/kg sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95 iznosi ^
^
y p t
n 2 ,
2
s E Y p y p t _
n 2 ,
y p
s
_
y p
2
22,59 3,1824 1,56 E Y p 22,59 3,1824 1,56 17,63 E Y p 27,55 j) Kako je ^
y p (35) 1,2192 35 65,26 22,59 , to interval individualne vrednosti tražnje pri ceni x p=35 din/kg sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95 iznosi ^
y p t
n 2 ,
^
2
s y Y p y p t p
n 2 ,
s y
p
2
22,59 3,1824 2,19 Y p 22,59 3,1824 2,19 15,62 Y p 29,56
170
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Kvadratna regresija 7.2. U Tabeli 7.2. prikazani su podaci o troškovima reklame i dobiti jednog preduzea. Troškovi reklame u 10 000 din. (x) 2 3 5 6 7 10 11
Dobit u 100 000 din (y) 10 12 13 15 16 14 13
Tabela 7.2. a) Odrediti parametre kvadratne regresije i predstaviti je grafiki. b) Po ovom modelu, koliko treba ulagati u reklame i kolika se dobit oekuje za optimalno ulaganje u reklame? Rešenje:
a) Kvadratna regresija, ocenjena iz n uzora kih parova (x i, y i), ^
data je u obliku y a b x c x 2 , gde se koeficijenti a, b i c dobijaju iz sledeeg sistema jedna ina: an b
n
a a
i
i 1
n
x b x i 1 n
x i 1
i
2 i
n
x c x y i 1
n
n
i 1 n
2 i
2 i
i 1
n
i n
c x xi yi i 1 n
3 i
i 1 n
b xi3 c xi4 xi2 yi i 1
i 1
i 1
Imajui u vidu Tabelu 7.2.a. i injenicu da je n=7, ovaj sistem postaje:
171
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Rekla- Dobit me u u 10 100 000 000 din din. (y i) (x i) 2 10 3 12 5 13 6 15 7 16 10 14 11 13 = = 44 93
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 y i
4 9 25 36 49 100 121 = 344
8 27 125 216 343 1000 1331 = 3050
16 81 625 1296 2401 10000 14641 = 29060
20 36 65 90 112 140 143 = 606
40 108 325 540 784 1400 1573 = 4770
Tabela 7.2.a.
7 a 44 b 344 c 93 44 a 344 b 3050 c 606 344 a 3050 b 29060 c 4770 Rešenje ovog sistema je a 5,369
b 2,6364
c 0,1761 ,
pa je kvadratna regresija koja pokazuje zavisnost dobiti od koli ine ^
novca uloženog u reklamu y 5,369 2,6364 x 0,1761 x 2 i predstavljena je grafi ki na slici 7.2.
172
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
) . n i 20 d 0 15 0 0 0 10 0 1 x ( 5 t i b o 0 D
2
y = -0.1761x + 2.6364x + 5.369 0
5
10
15
Troškovi reklame (x10 000 din.)
Slika 7.2. b) Najbolje je uložiti u reklame onoliko novca koliko je potrebno da bi dobit bila maksimalna. Maksimum dobiti se, po ovom modelu kvadratne 2,6364 7,48 ; odnosno, za ulaganje od regresije, dobija za x 2 0,1761 74 800 din u reklame o ekuje se maksimalna dobit od 1 524 000 din, jer je ^
y max 5,369 2,6364 7,48 0,1761 7,482 15,24
173
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Logaritamska regresija 7.3. U Tabeli 7.3. dati su podaci o godišnjem dohotku po glavi stanovnika i potrošnji okolade po glavi stanovnika. Dohodak u 10 000 din. (x) 4 4,2 4,5 5 5,4 5,8 6,2
Potrošnja u kg (y) 2 2,5 3,2 3,8 4,0 4,2 4,3
Tabela 7.3.
a) grafiki. b) c)
Odrediti parametre logaritamske regresije i predstaviti je Odrediti standardnu grešku regresije se. Odrediti koeficijent korelacije r i koeficijent determinacije r 2.
Rešenje:
Logaritamska regresija, ocenjena iz n uzora kih parova (x i, y i), data je u ^
obliku y a b ln x , gde je
n n n ln xi yi ln xi y i i 1 i 1 b i 1 2 n n n ln xi 2 ln xi i 1 i 1 n
n
a
y i 1
n
n
i
b
ln x i 1
i
n
Analizirajui podatke iz tablice 7.3.a. i imaju i u vidu da je n=7 dobijamo
174
.
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Dohodak u Potrošnja 10 000 u kg din. (y i) (x i) 4 2 4,2 2,5 4,5 3,2 5 3,8 5,4 4,0 5,8 4,2 6,2 4,3 = = 35,1 24
lnxi
(lnx i) yi
(lnx i)2
yi2
1,3863 1,4351 1,5041 1,6094 1,6864 1,7579 1,8245 = 11,2037
2,7726 3,5877 4,8131 6,1157 6,7456 7,3832 7,8454 = 39,2633
1,9218 2,0595 2,2623 2,5902 2,8439 3,0902 3,3288 = 18,0967
4 6,25 10,24 14,44 16 17,64 18,49 = 87,06
Tabela 7.3.a.
7 39,2633 11,2037 24 5,1569 2 7 18,0967 11,2037 24 11,2037 4,8251 a 5,1569 7 7
b
^
Dakle, jedna ina logaritamske regresije je y 5,1569 x 4,8251 i grafi ki je predstavljena na slici 7.3. e d 5 a l o 4 k o ) 3 g a k j ( 2 n š 1 o r t o 0 P
y = 5.1569Ln(x) - 4.8251 0
2
4
6
Dohodak (x10 000 din.)
Slika 7.3.
175
8
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike b) Standardna greška regresije s e iznosi n
se
y 11
2 i
n
n
11
11
a yi b (ln xi ) yi
n2 87,06 4,8251 24 5,1569 39,2633 0,28 5
c) Koeficijent korelacije r je
n n n ln xi y i ln xi y i i 1 i 1 i 1 r 2 2 n n n n 2 2 n (ln xi ) ln xi n y i y i i 1 i 1 i 1 i 1 7 39,2633 11,2037 24 0,9588 2 2 7 18,0967 11,2037 7 87,06 24 n
Koeficijent determinacije je kvadrat koeficijenta korelacije, tj. koeficijent determinacije je r 2 0,9588 2 0,9193 .
176
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Eksponencijalna regresija 7.4. U Tabeli 7.4. dati su podaci o vrednosti osnovnih sredstava i dobiti sedam preduzea jedne grane industrije. Osnovna sredstva u mil din. (x) 2,1 2,5 2,9 3,4 4 4,2 4,7
Profit u 100 000 din. (y) 2 5 10 20 32 45 58
Tabela 7.4.
a) grafiki. b) c)
Odrediti parametre eksponencijalne regresije i predstaviti je Odrediti standardnu grešku regresije se. Odrediti koeficijent korelacije r i koeficijent determinacije r 2.
Rešenje:
Eksponencijalna regresija, ocenjena iz n uzora kih parova (x i, y i), data je u ^
obliku y a e b x , gde je
n n n xi ln yi xi ln y i i 1 i 1 b i 1 2 n n n xi2 xi i 1 i 1 n
n
ln yi
a,
ae e
i 1
n
n
a,
ln y i 1
n
n
i
b
x i 1
i
n
n
xi
b i 1
n
Analizirajui podatke iz tablice 7.4.a. i imaju i u vidu da je n=7 dobijamo
177
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Osnovna sredstva u mil din. (x i) 2,1 2,5 2,9 3,4 4 4,2 4,7 = 23,8
Profit u 100 000 din. (y i) 2 5 10 20 32 45 58 = 172
lnyi
(lny i) xi
xi2
(lny i)2
0,6931 1,6094 2,3026 2,9957 3,4657 3,8067 4,0604 = 18,9336
1,4555 4,0235 6,6775 10,1854 13,8628 15,9881 19,0839 = 71,2767
4,41 6,25 8,41 11,56 16 17,64 22,09 = 86,36
0,4804 2,5902 5,3020 8,9742 12,0111 14,4910 16,4868 = 60,3357
Tabela 7.4.a.
7 71,2767 23,8 18,9336 1,2688 2 7 86,36 23,8 18,9336 23,8 1,2688 1,60912 a, 7 7 , a e a e 1,60912 0,2
b
^
Dakle, jedna ina eksponencijalne regresije je y 0,2 e1, 2688 x i grafi ki je predstavljena na slici 7.4. ) . n 100 i d 0 80 0 0 60 0 0 40 1 ( t 20 i f o r 0 P
1.2688x
y = 0.2e 2
R = 0.9599
0
1
2
3
4
Osnovna sredstva (mil. din.)
Slika 7.4. b)
178
5
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Standardna greška regresije s e iznosi n
se
ln y 11
2
i
n
n
11
11
ln a ln yi b xi ln yi
n2 60,3357 (1,60912) 18,9336 1,2688 71,2767 0,27 5
c) Koeficijent korelacije r je
n n n xi ln y i xi ln y i i 1 i 1 i 1 r 2 2 n n n n 2 2 n xi xi n (ln y i ) ln y i i 1 i 1 i 1 i 1 7 71,2767 23,8 18,9336 0,9797 2 2 7 86,36 23,8 7 60,3357 18,9336 n
Koeficijent determinacije je kvadrat koeficijenta korelacije, tj. koeficijent determinacije je r 2 0,9797 2 0,9599 .
179
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu 7.5. U sledeoj tabeli prikazani su podaci o proizvodnji i dohotku jednog preduzea. Proizvodnja (1000 tona) (x) 4 6 10 12 16 20 26
Dohodak (mil. din.) (y) 10 14 16 18 18 22 30
a) Odrediti parametre linearne regresije i predstaviti je grafiki. b) Odrediti standardnu grešku regresije se. c) Odrediti standardnu grešku ocene nagiba sb. d) Odrediti koeficijent proste linearne korelacije r i koeficijent determinacije r 2. e) Odrediti standardnu grešku ocene koeficijenta proste linearne korelacije sr . f) Testirati postojanje linearne zavisnosti dohotka ovog preduzea od proizvodnje pomou Studentovog t -testa sa nivoom znaajnosti = 0,05 za 1.) ocenu nagiba 2.) ocenu proste linearne korelacije. g)
Odrediti standardnu grešku ocene prosenog dohotka s _ pri y p
proizvodnji x p=30 000 tona. h) Odrediti standardnu grešku ocene individualne vrednosti dohotka s y p pri proizvodnji x p=35 000 tona. i) Oceniti interval prosene vrednosti dohotka pri proizvodnji x p=30 000 tona sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95. 180
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike j) Oceniti interval individualne vrednosti dohotka pri proizvodnji x p=35 000 tona, sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95.
7.6. U sledeoj tabeli prikazani su cena smeštaja i broj turista u jednom hotelu. Cena smeštaja u 100 din. (x) 80 90 120 140 150 180 220 250 280
Broj turista (y) 250 280 350 400 380 330 300 220 180
a) Odrediti parametre kvadratne regresije i predstaviti je grafiki. b) Po ovom modelu, do koje visine treba poveavati cenu da se broj turista ne smanjuje?
181
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
7.7. U sledeoj tabeli dati su podaci o godišnjem dohotku po glavi stanovnika i potrošnji putera po glavi stanovnika. Dohodak u 10 000 din. (x) 4,5 5,2 5,5 5,8 6,2 6,6 7 7,5 7,8 8,2
Potrošnja u kg (y) 0,8 1 1,3 1,6 2 2,4 2,6 2,7 2,8 3
a) Odrediti parametre logaritamske regresije i predstaviti je grafiki. b) Odrediti standardnu grešku regresije se. c) Odrediti koeficijent korelacije r i koeficijent determinacije r 2. d) Odrediti standardnu grešku ocene koeficijenta korelacije sr . e) Odrediti standardnu grešku ocene prosene vrednosti zavisne promenljive s _ pri dohotku x p=95 000 din/ lanu. y p
f) Odrediti standardnu grešku ocene individualne vrednosti zavisne promenljive s y p pri dohotku x p=90 000 din/ lanu. g) Oceniti interval prosene vrednosti potrošnje putera po glavi stanovnika pri dohotku x p=95 000 din/ l anu sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95. h) Oceniti interval individualne vrednosti potrošnje putera po glavi stanovnika pri dohotku x p=90 000 din/ l anu sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95.
7.8. U sledeoj tabeli dati su podaci o vrednosti osnovnih sredstava i dobiti osam preduzea jedne grane industrije. 182
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Osnovna sredstva u mil. din. (x) 2 2,3 2,5 2,9 3,4 3,8 4,2 4,6
Profit u 100 000 din. (y) 2,7 7,8 16 25,8 39 55 75 120
a) Odrediti parametre eksponencijalne regresije i predstaviti je grafiki. b) Odrediti standardnu grešku regresije se. c) Odrediti koeficijent korelacije r i koeficijent determinacije r 2. d) Odrediti standardnu grešku ocene koeficijenta korelacije sr . e) Odrediti standardnu grešku ocene prosene vrednosti zavisne promenljive s _ pri osnovnim sredstvima od x p=4 mil. din. y p
f) Odrediti standardnu grešku ocene individualne vrednosti zavisne promenljive s y p pri osnovnim sredstvima od x p=3,5 mil. din . g) Oceniti interval prosene vrednosti profita pri osnovnim sredstvima od x p=4 mil. din sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95. h) Oceniti interval individualne vrednosti profita pri osnovnim sredstvima od x p=3,5 mil. din sa nivoom pouzdanosti 1- = 0,95.
183
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
8. INDEKSI 8.1. Koristei podatke iz Tabele 8.1, analizirati promene ukupnog broja zaposlenih u odnosu na 1999. god. (pomou baznih indeksa) i u odnosu na prethodnu godinu (pomou lananih indeksa). Takoe izraunati srednji tempo porasta broja zaposlenih za period 1999-2003. god. Godina 1999. 2000. 2001. 2002. 2003.
Broj zaposlenih (x1000) 1786 1694 1802 1956 2010 Tabela 8.1.
Rešenje:
y i 100 , gde je bazna Koristei formulu za dobijanje baznih indeksa Bi y B y godina 1999. god, i formulu za dobijanje lan anih indeksa Li i , dobijamo y i 1
Godina 1999. 2000. 2001. 2002. 2003.
Broj zaposlenih (x1000) 1786 1694 1802 1956 2010
Bazni indeks B1999=100 100 94,85 100,90 109,52 112,54
Lan ani indeks
94,85 106,38 108,54 102,76
y 2003 2010 1 100 4 1 100 2,998 . Srednji tempo porasta je S 4 1786 y1999
184
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
8.2. Na osnovu podataka iz Tabele 8.2, Proizvod
Cena u din. 2000. god.
Cena u din. 2003. god.
A B C D
100 60 30 40
120 85 45 55
Prodata koliina (t) 2000. god. 55 80 90 40
Prodata koliina (t) 2003. god. 60 80 100 60
Tabela 8.2. izraunati za 2003. god. kao tekuu i 2000. god. kao baznu: a) po metodi agregata, grupni neponderisani indeks cena, indeks koliina, indeks vrednosti; b) po metodi prosenih odnosa, grupni neponderisani indeks cena, indeks koliina i indeks vrednosti; c) po metodi agregata, grupni ponderisani indeks cena i indeks koliina po Laspeyers-ovom metodu; d) po metodi agregata, grupni ponderisani indeks cena i indeks koliina po Pasche-ovom metodu; e) Fisher-ov idealni indeks cena i indeks koliina; f) Marschall Edgworth-ov indeks cena i indeks koliina. Rešenje:
a)
Po metodi agregata, grupni neponderisani indeks cena je pi qi 100 , indeks koli ina je I q 100 i indeks vrednosti I p p 0 q0 pi qi 100 . Imajui u vidu rezultate iz Tabele 8.2.a, je I pq p0 q 0
185
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
P Cena u ro din. 2000. iz god. v p0 o d A 100 B 60 C 30 D 40 p0=230
Cena u Prodata din. koliina (t) 2003. god. 2000. god. pi q0 120 85 45 55 p1=305
Prodata koliina (t) 2003. god. qi
55 80 90 40 q0=265
60 80 100 60 q1=300
p0q0
piqi
5500 7200 4800 6800 2700 4500 1600 3300 = = 14600 21800
Tabela 8.2.a. dobijamo indeks cena
p 100 305 100 132,61 , 230 p q 300 100 100 113,21 , 265 q i
I p
0
indeks koli ina
I q
i
0
indeks vrednosti
I pq
p q p q i
i
0
0
100
21800 100 149,32 . 14600
b) Koristei rezultate Tabele 8.2.b, Proizvod A B C D
pi 100 p0 120 141,67 150 137,5 =549,17
qi 100 q0 109,09 100 111,11 150 =470,2 Tabela 8.2.b.
186
pi qi 100 p0 q0 130,91 141,67 166,67 206,25 =645,5
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
po metodi prose nih odnosa, dobijamo
indeks cena
indeks koli ina
indeks vrednosti c)
I p I q
pi 100 p0 549,17 137,29 4 n qi 100 q0 470,2 117,55 4 n pi qi 100 p0 q0 645,5 161,375 . 4 n
I pq
Koristei rezultate Tabele 8.2.c,
Proizvod A B C D
p0 q0 5500 4800 2700 1600 =14600
pi q0 6600 6800 4050 2200 =19650
qi p0 6000 4800 3000 2400 =16200
Tabela 8.2.c. dobijamo da je po Laspeyers-ovom metodu agregata grupni ponderisani indeks cena
indeks koli ina
I p
I q
p q p q i
0
0
0
q p p q i
0
0
0
d)
187
100
19650 100 134,59 14600
100
16200 100 110,96 . 14600
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Koristei rezultate Tabele 8.2.d, pi qi 7200 6800 4500 3300 =21800
Proizvod A B C D
pi q0 6600 6800 4050 2200 =19650
qi p0 6000 4800 3000 2400 =16200
Tabela 8.2.d. dobijamo da je po Pasche-ovom metodu agregata grupni ponderisani indeks cena
I p
indeks koli ina
I q
p q p q i
i
0
i
q p q p i
i
0
i
100
21800 100 134,57 16200
100
21800 100 110,94 . 19650
e) Imajui u vidu rezultate dobijene pod c) i d), imamo da je Fisher-ov idealni indeks cena pi q0 I P p 0 q0
p q 100 1,3459 1,3457 100 134,58 p q i
i
0
i
indeks koli ina
I q
q p q p 100 1,1096 1,1094 100 110,95 . q p q p i
0
i
i
0
0
0
i
f) Na osnovu Tabele 8.2.f,
188
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Proizvod
A B C D
pi q 0 qi 13800 13600 8550 5500 =41450
p0 q0 qi
qi p0 pi
q 0 p 0 p i
11500 9600 5700 4000 =30800
13200 11600 7500 6000 =38300
12100 11600 6750 3800 =34250
Tabela 8.2.f. dobijamo da je po Marschall-Edgworth-ovom metodu indeks cena I p
p (q p (q i
qi ) 41450 100 100 134,58 30800 0 qi )
0
0
indeks koli ina I q
q ( p q ( p i
0
pi ) 38300 100 100 111,82 . 34250 0 p i )
0
189
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu 8.3. Koristei podatke iz sledee tabele, analizirati promene ukupnog broja zaposlenih u odnosu na 1999. god. (pomou baznih indeksa) i u odnosu na prethodnu godinu (pomou lananih indeksa). Takoe izraunati srednji tempo porasta broja zaposlenih za period 1998-2002. god. Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003.
Broj zaposlenih (x1000) 285 297 315 302 313 326 328
8.4. Na osnovu podataka iz sledee tabele, Proizvod
Cena u din. 1999. god.
Cena u din. 2003. god.
A B C D
1300 680 390 480
1520 835 455 550
Prodata koliina (t) 2000. god 50 85 95 45
Prodata koliina (t) 2003. god. 65 85 110 70
izraunati za 2003. god. kao tekuu i 1999. god. kao baznu: a) po metodi agregata, grupni neponderisani indeks cena, indeks koliina i indeks vrednosti; b) po metodi prosenih odnosa, grupni neponderisani indeks cena, indeks koliina i indeks vrednosti; c) po metodi agregata, grupni ponderisani indeks cena i indeks koliina po Laspeyers-ovom metodu; 190
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike d) po metodi agregata, grupni ponderisani indeks cena i indeks koliina po Pasche-ovom metodu; e) Fisher-ov idealni indeks cena i indeks koliina; f) Marschall Edgworth-ov indeks cena i indeks koliina.
8.5. Na osnovu podataka iz sledee tabele, Proizvod
Cena u din. 2001. god.
Cena u din. 2003. god.
A B C D E
950 760 330 640 450
1200 850 450 550 500
Prodata koliina (t) 2000. god. 12 18 20 25 17
Prodata koliina (t) 2003. god. 16 24 30 22 24
izraunati za 2003. god. kao tekuu i 2001.god. kao baznu: a) po metodi agregata grupni neponderisani indeks cena, indeks koliina i indeks vrednosti; b) po metodi prosenih odnosa, grupni neponderisani indeks cena, indeks koliina i indeks vrednosti; c) po metodi agregata grupni ponderisani indeks cena i indeks koliina po Laspeyers-ovom metodu d) po metodi agregata, grupni ponderisani indeks cena i indeks koliina po Pasche-ovom metodu; e) Fisher-ov idealni indeks cena i indeks koliina; f) Marschall Edgworth-ov indeks cena i indeks koliina.
191
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
9. VREMENSKE SERIJE 9.1. Data je vremenska serija Tabelom 9.1. Mesec i godina jan. 2002. feb. 2002. mart 2002. apr. 2002. maj 2002. jun 2002. jul 2002. avg. 2002. sept. 2002. okt. 2002. nov. 2002. dec. 2002. jan. 2003. feb. 2003. mart 2003. apr. 2003. maj 2003. jun 2003. jul 2003. avg. 2003. sept. 2003. okt. 2003. nov. 2003. dec. 2003.
t
xt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
85 99 125 132 140 145 150 125 122 113 102 100 75 86 104 112 109 116 120 102 90 85 80 80
Tabela 9.1. a) Odrediti seriju trolanih pokretnih proseka i predstaviti grafiki originalnu seriju i seriju trolanih pokretnih proseka. b) Odrediti njeno eksponencijalno izravnanje po formuli f 1 x1 , f t 1 a xt 1 1 a f t t 1, 2, ..., n 1 za a=0,8; a=0,5; i a=0,25 i 192
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike grafiki predstaviti originalnu seriju i ovako izravnate serije. Za ovako izravnatu seriju prognozirati vrednost f 25 (za januar 2004) po formuli f 25 a x 24 1 a f 24 . c) Odrediti njeno eksponencijalno izravnanje po formuli f 1 x1 , f t 1 a xt 1 a f t t 1, 2, ..., n 1 za a=0,8; a=0,5; i a=0,25 i grafiki predstaviti originalnu seriju i ovako izravnate serije. Za ovako izravnatu seriju prognozirati vrednost f 25 (za januar 2004) po formuli f 25 a x 24 1 a f 24 . Rešenje:
a)
Serija tro lanih pokretnih proseka y t izra unava se po formuli 1 1 y t xt k t=2,3,…,23 i prikazana je u Tabeli 9.1.a. 3 k 1
Mesec i godina
t
xt
1 1 y t xt k 3 k 1
jan. 2002. feb. 2002. mart 2002. apr. 2002. maj 2002. jun 2002. jul 2002. avg. 2002. sept. 2002. okt. 2002. nov. 2002. dec. 2002. jan. 2003. feb. 2003. mart 2003. apr. 2003. maj 2003. jun 2003. jul 2003. avg. 2003. sept. 2003. okt. 2003. nov. 2003. dec. 2003.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
85 99 125 132 140 145 150 125 122 113 102 100 75 86 104 112 109 116 120 102 90 85 80 80
103 118.6667 132.3333 139 145 140 132.3333 120 112.3333 105 92.33333 87 88.33333 100.6667 108.3333 112.3333 115 112.6667 104 92.33333 85 81.66667 -
Tabela 9.1.a.
193
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Grafik originalne serije i serije tro lanih pokretnih proseka dat je na slici 9.1.a.
160
140
120
100
y , 80 x
60
40
20
0 0
5
10
15
t
20
25
Originalna serija x Trolani proseci y
Slika 9.1.a.
b) Eksponencijalno izravnata serija f t izra unata po formuli
f 1 x1 f t 1 a xt 1 1 a f t
t 1, 2,... n 1
za a= 0,8; 0,5; i 0,25 prikazana je u Tabeli 9.1.b.
194
30
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Mesec i godina jan. 2002. feb. 2002. mart 2002. apr. 2002. maj 2002. jun 2002. jul 2002. avg. 2002. sept. 2002. okt. 2002. nov. 2002. dec. 2002. jan. 2003. feb. 2003. mart 2003. apr. 2003. maj 2003. jun 2003. jul 2003. avg. 2003. sept. 2003. okt. 2003. nov. 2003. dec. 2003.
t
xt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
85 99 125 132 140 145 150 125 122 113 102 100 75 86 104 112 109 116 120 102 90 85 80 80
f t za a=0,8 85 96.2 119.24 129.448 137.8896 143.5779 148.7156 129.7431 123.5486 115.1097 104.6219 100.9244 80.18488 84.83698 100.1674 109.6335 109.1267 114.6253 118.9251 105.385 93.077 86.6154 81.32308 80.26462
f t za a=0,5 85 92 108.5 120.25 130.125 137.5625 143.7813 134.3906 128.1953 120.5977 111.2988 105.6494 90.32471 88.16235 96.08118 104.0406 106.5203 111.2601 115.6301 108.815 99.40752 92.20376 86.10188 83.05094
f t za a=0,25 85 88.5 97.625 106.2188 114.6641 122.248 129.186 128.1395 126.6046 123.2035 117.9026 113.427 103.8202 99.36516 100.5239 103.3929 104.7947 107.596 110.697 108.5228 103.8921 99.16905 94.37679 90.78259
Tabela 9.1.b. Grafik originalne serije i serija eksponencijalnih izravnanja dat je na slici 9.1.b.
195
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 160 140 120 100
) t ( y , 80 ) t ( x 60 40 20 0
0
5
10
15
20
25
30
t Originalna serija x(t) Serija y(t) za a=0,5
Serija y(t) za a=0,8 Serija y(t) za a=0,25
Slika 9.1.b. Prognozirana vrednost za januar 2004. god. iznosi: za a=0,8: f 25 a x 24 1 a f 24 0,8 80 0,2 80,26462 80,05 za a=0,5: f 25 a x 24 (1 a ) f 24 0,5 80 0,5 83,05094 81,53 za a=0,25: f 25 a x 24 1 a f 24 0,25 80 0,75 90,78259 88,09 . c)
Eksponencijalno izravnata serija f t izra unata po formuli
f 1 x1 f t 1 a xt 1 a f t
t 1, 2,... n 1
za a= 0,8; 0,5; i 0,25 prikazana je u Tabeli 9.1.c.
196
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Mesec i godina jan. 2002. feb. 2002. mart 2002. apr. 2002. maj 2002. jun 2002. jul 2002. avg. 2002. sept. 2002. okt. 2002. nov. 2002. dec. 2002. jan. 2003. feb. 2003. mart 2003. apr. 2003. maj 2003. jun 2003. jul 2003. avg. 2003. sept. 2003. okt. 2003. nov. 2003. dec. 2003.
t
xt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
85 99 125 132 140 145 150 125 122 113 102 100 75 86 104 112 109 116 120 102 90 85 80 80
f t za a=0,8 85 85 96.2 119.24 129.448 137.8896 143.5779 148.7156 129.7431 123.5486 115.1097 104.6219 100.9244 80.18488 84.83698 100.1674 109.6335 109.1267 114.6253 118.9251 105.385 93.077 86.6154 81.32308
f t za a=0,5 85 85 92 108.5 120.25 130.125 137.5625 143.7813 134.3906 128.1953 120.5977 111.2988 105.6494 90.32471 88.16235 96.08118 104.0406 106.5203 111.2601 115.6301 108.815 99.40752 92.20376 86.10188
f t za a=0,25 85 85 88.5 97.625 106.2188 114.6641 122.248 129.186 128.1395 126.6046 123.2035 117.9026 113.427 103.8202 99.36516 100.5239 103.3929 104.7947 107.596 110.697 108.5228 103.8921 99.16905 94.37679
Tabela 9.1.c
Grafik originalne serije i serija eksponencijalnih izravnanja dat je na slici 9.1.c.
197
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike 160 140 120 100 ) t ( f , 80 ) t ( x 60 40 20 0 0
5
10
15
20
25
30
t Originalna serija x(t) Izravnana serija a=0,5
Izravnana serija a=0,8 Izravnana serija a=0,25
Slika 9.1.c. Prognozirana vrednost za januar 2004. god. iznosi: za a=0,8: f 25 a x 24 1 a f 24 0,8 80 0,2 81,32308 80,26 za a=0,5: f 25 a x 24 (1 a ) f 24 0,5 80 0,5 86,10188 83,05 za a=0,25: f 25 a x 24 1 a f 24 0,25 80 0,75 94,37679 90,78 .
9.2. U Tabeli 9.2. dati su podaci o broju prodatog artikla x jedne fabrike. god. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003.
ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tabela 9.2. 198
xi (kom.) 225 330 410 470 520 615 700 780 910
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike a) b) c)
Odrediti linearni trend serije. Prognozirati prodaju u 2005. god. Nacrtati grafik originalne serije i linearnog trenda.
Rešenje:
a) Linearni trend, ocenjen iz n uzora kih parova (t, x ), t dat je u obliku f (t ) a b t , gde je
n n n t i xt t i xi i 1 i 1 b i 1 2 n n n t i2 t i i 1 i 1 n
n
a
x i 1
n
n
i
b
t i 1
n
i
.
a 149,86 , odnosno Rešavanjem ovih jedna ina dobijamo b 80,25 linearni trend je oblika f (t ) 80,25 t 149,86 . b) Za 2005. god. je t=11, pa je prognozirana prodaja u 2005. godini f (11) 80,25 11 149,86 1032,61 komada ovog artikla . c) Grafik originalne serije i linearnog trenda dat je na slici 9.2.
1000 900 800 700 ) t 600 ( f , 500 ) t ( 400 x 300 200 100 0 0
2
4
6
t
Slika 9.2.
199
8
10
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
9.3. Za seriju prikazanu u Tabeli 9.3. odrediti paraboliki trend i predstaviti ga grafiki. Prognozirati vrednost serije u 2004. godini. god. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xt 32 53 58 65 70 72 74 76 85
Tabela 9.3. Rešenje:
Paraboli ki trend, ocenjen iz n uzora kih parova (t, x ), t dat je u obliku f (t ) a b t c t 2 , gde se koeficijenti a, b, c dobijaju iz slede eg sistema jedna ina: an b
n
a
n
t c t x i 1
a
n
n
i
i 1
n
2 i
n
i 1
i n
t b t c t t x i 1 n
i 1
i
t i2 b
i 1 n
i 1
2 i
t i3 c
i 1 n
i 1
3 i
t i4
i 1 n
i 1
i
i
t i2 xi
Rešenje ovog sistema za podatke iz Tabele 9.3. je a 26,31 b 11,892 c 0,6558 pa je paraboli ki trend ove serije oblika f (t ) 0,6558 t 2 11,892 t 26,31 . Grafi ki prikaz paraboli nog trenda i originalne serije dat je na slici 9.3.
200
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
90 80 70 60 ) t ( f 50 , ) t ( 40 x 30 20 10 0 0
2
4
6
8
10
t
Slika 9.3. Za 2004. godinu je t=10, pa je vrednost serije po modelu paraboli kog trenda f (10) 0,6558 10 2 11,892 10 26,31 79,65 .
9.4. Za seriju xt iz Tabele 9.4. Period zima 2000. god. prolee 2000. god. leto 2000. god. jesen 2000. god. zima 2001. god. prolee 2001. god. leto 2001. god. jesen 2001. god. zima 2002. god. prolee 2002. god. leto 2002. god. jesen 2002. god. zima 2003. god. prolee 2003. god. leto 2003. god. jesen 2003. god.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Tabela 9.4.
201
xt 171 149 142 151 162 138 133 159 158 146 129 135 161 140 131 145
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike odrediti mulitiplikativnim metodom: a) sezonsku i rezidualnu komponentu serije, sezonske indekse i desezoniranu seriju i predstaviti ih grafiki; b) ciklinu komponentu serije, pretpostavljajui da serija ima linearni trend, i predstaviti je grafi ki. Rešenje:
Po multiplikativnoj teoriji, podaci vremenske serije X predstavljaju proizvod trenda T, cikli ne komponente C, sezonske komponente S i rezidualne komponente R, odnosno X T C S R . a) Serija dobijena pokretnim prosecima (PP) predstavlja proizvod trenda i cikli ne komponente PP=T C , pa je proizvod sezonske i rezidualne komponnte X jednak S R . U ovom slu aju, pokretni proseci predstavljaju centrirane PP etvoro lane pokretne proseke. Videti Tabelu 9.4.a. Period
t
xt
2
x
i 1
t i
4 zima 2000. god. prolee 2000. god. leto 2000. god. jesen 2000. god. zima 2001. god. prolee 2001. god. leto 2001. god. jesen 2001. god. zima 2002. god. prolee 2002. god. leto 2002. god. jesen 2002. god. zima 2003. god. prolee 2003. god. leto 2003. god. jesen 2003. god.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
171 149 142 151 162 138 133 159 158 146 129 135 161 140 131 145
xt 1 xt PP 2
xt 100 SR PP
154 147.33 151.66 150.33 144.33 143.33 150 154.33 144.33 136.66 141.66 145.33 144
Tabela 9.4.a.
202
150.66 149.5 151 147.33 143.83 146.66 152.16 149.33 140.5 139.16 143.5 144.66
94.24 101 107.28 93.66 92.468 108.40 103.83 97.76 91.81 97 112.19 96.77
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Grafi ki prikaz je dat na slici 9.4.a. 180
160
140
120 ) t ( R S100 , ) t ( P P 80 , ) t ( x 60
40
20
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t Originalni podaci x(t)
Centrirani pokretni prosek PP
Sezonska i rezidualna serija SR
Slika 9.4.a. Sezonske indekse dobijamo usrednjavanjem proizvoda sezonske i rezidualne ______
komponente serije S S R , gde se usrednjavanje vrši po sezoni za koju tražimo sezonski indeks (u ovom slu aju po godišnjim dobima). Videti Tabelu 9.4.b. Zima 2000. 2001. 2002. 2003.
Prolee
Leto
Jesen
94.24
101
107.28
93.66
92.468
108.40
103.83
97.76
91.81
97
112.19
96.77
107,78
96,07
92,84
102,14
_____
S S R
Tabela 9.4.b
203
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Grafi ki prikaz je dat na slici 9.4.b. 120
100
80
) t ( S , 60 ) t ( R S 40
20
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t Sezonska i rezidualna komponenta SR
Sezonska komponenta S
Slika 9.4.b. Desezonirana serija DX je koli nik originalne serije i sezonskih indeksa X DX . Videti Tabelu 9.4.c. S Period zima 2000. god. prolee 2000. god. leto 2000. god. jesen 2000. god. zima 2001. god. prolee 2001. god. leto 2001. god. jesen 2001. god. zima 2002. god. prolee 2002. god. leto 2002. god. jesen 2002. god. zima 2003. god. prolee 2003. god. leto 2003. god. jesen 2003. god.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
xt 171 149 142 151 162 138 133 159 158 146 129 135 161 140 131 145
Tabela 9.4.c.
204
DX (desezonirana) 158.6696 155.0967 152.9453 147.8371 150.3185 143.6466 143.2516 155.6695 146.607 151.974 138.9433 132.1722 149.3907 145.7285 141.0975 141.6085
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Grafi ki prikaz je dat na slici 9.4.c. 180
160
140
120
) t ( 100 X D , ) t ( 80 x 60
40
20
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t Originalna serija x(t)
Desezonirana serija DX(t)
Slika 9.4.c. b) Cikli nu komponentu serije dobijamo deljenjem serije pokretnih PP proseka PP i trenda T, C . T Uobi ajenim na inom za odre ivanje linearnog trenda serije dobijamo T (t ) 1,1059 t 156,28 . Videti Tabelu 9.4.d.
205
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike Period zima 2000. god. prolee 2000. god. leto 2000. god. jesen 2000. god. zima 2001. god. prolee 2001. god. leto 2001. god. jesen 2001. god. zima 2002. god. prolee 2002. god. leto 2002. god. jesen 2002. god. zima 2003. god. prolee 2003. god. leto 2003. god. jesen 2003. god.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
xt 171 149 142 151 162 138 133 159 158 146 129 135 161 140 131 145
Trend T(t)
PP(t)
C(t)
150.66 149.5 151 147.33 143.83 146.66 152.16 149.33 140.5 139.16 143.5 144.66
98.50 98.45 100.16 98.45 96.83 99.48 103.99 102.83 97.49 97.31 101.12 102.75
155.17 154.07 152.96 151.86 150.75 149.64 148.54 147.43 146.33 145.22 144.11 143. 141.90 140.80 139.69 138.58
Tabela 9.4.d. Grafi ki prikaz je dat na slici 9.4.d. 180 160 140 120
) t ( C , 100 ) t ( T , 80 ) t ( x
60 40 20 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t Originalna serija x(t)
Komponenta trenda T(t)
Slika 9.4.d.
206
Cikli na komponenta C(t)
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
Zadaci za vežbu: 9.5. Data je vremenska serija Tabelom 9.5. Mesec i godina jan. 2002. feb. 2002. mart 2002. apr. 2002. maj 2002. jun 2002. jul 2002. avg. 2002. sept. 2002. okt. 2002. nov. 2002. dec. 2002. jan. 2003. feb. 2003. mart 2003. apr. 2003. maj 2003. jun 2003. jul 2003. avg. 2003. sept. 2003. okt. 2003. nov. 2003. dec. 2003.
t
xt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
110 130 195 230 210 185 170 162 150 155 172 180 195 200 210 250 280 290 260 210 190 150 180 200
Tabela 9.5.
a) Odrediti seriju petolanih pokretnih proseka i predstaviti grafiki originalnu seriju i seriju petolanih pokretnih proseka. b) Odrediti njeno eksponencijalno izravnanje po formuli f 1 x1 , f t 1 a xt 1 1 a f t t 1, 2, ..., n 1 za a=0,9; a=0,6; i a=0,35 i 207
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike grafiki predstaviti originalnu seriju i ovako izravnate serije. Za ovako izravnatu seriju prognozirati vrednost f 25 (za januar 2004) po formuli f 25 a x 24 1 a f 24 . c) Odrediti njeno eksponencijalno izravnanje po formuli f 1 x1 , f t 1 a xt 1 a f t t 1, 2, ..., n 1 za a=0,9; a=0,6; i a=0,35 i grafiki predstaviti originalnu seriju i ovako izravnate serije. Za ovako izravnatu seriju prognozirati vrednost f 25 (za januar 2004) po formuli f 25 a x 24 1 a f 24 .
9.6. U Tabeli 9.6. dati su podaci o broju prodatog artikla x jedne fabrike. god. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003.
ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi (kom.) 335 380 400 410 480 560 620 680 720
Tabela 9.6. d) e) f)
Odrediti linearni trend serije. Prognozirati prodaju u 2004. god. Nacrtati grafik originalne serije i linearnog trenda.
208
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
9.7. Za seriju prikazanu u Tabeli 9.7. odrediti paraboliki trend i predstaviti ga grafiki. Prognozirati vrednost serije u 2005. godini. god. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xt 52 73 78 85 90 92 94 96 105
Tabela 9.7.
9.8. Za seriju iz Tabele 9.8. prognozirati vrednost za januar 2004. koriste i jedan od metoda eksponencijalnog izravnanja sa konstantom a=0,9 i predstaviti grafiki originalnu i prognoziranu seriju. 2002. god. jan. feb. mart april maj jun jul avg. sept. okt. nov. dec.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xt 110 138 215 250 203 248 308 327 359 375 420 465
2003. god. jan. feb. mart april maj jun jul avg. sept. okt. nov. dec.
Tabela 9.8.
209
t 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
xt 478 485 505 535 576 587 612 645 684 716 723 758
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
9.9. Za seriju xt iz Tabele 9.9. Period zima 2000. god. prolee 2000. god. leto 2000. god. jesen 2000. god. zima 2001. god. prolee 2001. god. leto 2001. god. jesen 2001. god. zima 2002. god. prolee 2002. god. leto 2002. god. jesen 2002. god. zima 2003. god. prolee 2003. god. leto 2003. god. jesen 2003. god.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
xt 275 244 247 258 269 235 230 259 257 248 225 238 264 242 230 246
Tabela 9.9. odrediti mulitiplikativnim metodom a) sezonsku i rezidualnu komponentu serije, sezonske indekse i desezoniranu seriju i predstaviti ih grafiki; b) ciklinu komponentu serije, pretpostavljajui da serija ima linearni trend, i predstaviti je grafi ki.
210
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
LITERATURA 1. Aris Spanos, Probability Theory and Statistical Inference, Econometric Modeling with Observational Data; Cambridge University Press, 1999. 2. M. L. Berenson, D. M. Levine, T. C. Krehbiel, Basic Business Statistics Concepts and Applications, Eighth Edition, Prentice Hall, 2002. 3. A. D. Aczel, J. Sounderpandian, Complete Business Statistics, Fifth Edition, Mc Grew-Hill, 2002. 4. P. Mladenovi, Verovatnoa i statistika, Matemati ki fakultet, Beograd, 2002. 5. M. Merkle, P. Vasi, Verovatnoa i statistika, Akademska misao, Beograd, 2001. 6. M. Žiži, M. Lovri, D. Pavlii, Metodi statisti ke analize, Ekonomski fakultet, Beograd, 2001. 7. J. Mališi, Vremenske serije, Matemati ki fakultet, Beograd, 2002. 8. S. V. Vukadinovi, Elementi teorije verovatno e i matemati ke statistike, Privredni pregled, Beograd, 1990. 9. S. V. Vukadinovi, Zbirka rešenih zadataka iz teorije verovatnoe, Privredni pregled, Beograd, 1990. 10. S. V. Vukadinovi, Zbirka rešenih zadataka iz matemati ke statistike, Nauna knjiga, Beograd, 1988. 11. N. Mari, N. Ralevi, L. Filipovi, Poslovna statistika, Megatrend Univerzitet primenjenih nauka, Beograd 2001. 12. Z. A. Ivkovi, Matematika statistika, Nauna knjiga, Beograd, 1992.
211
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
DODATAK
TABLICE
Dodatak – Tablice
214
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
215
Dodatak – Tablice
216
Zbirka zadataka iz Poslovne statistike
217
Dodatak – Tablice
218
