Seminarski rad poslovna statistikaFull description
InternetFull description
Poslovna etika skriptaFull description
Marija Ilievska-Poslovna Komunikacija
FINANSIJSKA I POSLOVNA MATEMATIKA -3 Interesni kamatni racun
Full description
Full description
;lFull description
Udžbenik - Poslovna kultura i komunikacija.
Cyan Magenta Yellow Black
Diplomirao je na Elektrotehničkom fakultetu u Beogradu 1991. godine. Na istom fakultetu je magistrirao 1995. godine i doktorirao 2001. godine. Učesnik je više domaćih i inostranih kongresa i konferencija i ima preko trideset objavljenih radova u domaćim i međunarodnim stručnim publikacijama. Naučni je saradnik Instituta za fiziku i vanredni profesor na Fakultetu za poslovne studije Megatrend univerziteta primenjenih nauka za predmete Poslovna matematika i Poslovna statistika.
ISBN 86-7747-141-3
Prof. dr Dušan Joksimović • POSLOVNA MATEMATIKA
Prof. dr Dušan Joksimović rođen je 1966. godine u Beogradu.
CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 512.6(075.8) 517.3/.(075.8) 51-77:33(075.8) JOKSIMOVIĆ, Dušan Poslovna matematika / Dušan Joksimović. - 2. izd. - Beograd : Megatrend univerzitet primenjenih nauka, 2004 (Beograd : Megatrend univerzitet primenjenih nauka). 196 str. : graf. prikazi ; 24 cm Tiraž 700. - Bibliografija: str. 179 ISBN 86-7747-141-3
ISBN 86-7747-141-3 a) Linearna algebra b) Teorija funkcija c) Privredna matematika COBISS.SR-ID 116824076
Odlukom Komisije za izdavačku delatnost Megatrend univerziteta primenjenih nauka broj 94/35 (27.08.2004.) rukopis je odobren za štampu i upotrebu u nastavi kao udžbenik.
PREDGOVOR Ovaj udžbenik je namenjen studentima Megatrend univerziteta za izučavanje Poslovne matematike. Sadržaj udžbenika je u skladu sa nastavnim planom i programom predviđenim za predmet Poslovna matematika, koji se pohađa na prvoj godini studija. Način na koji su određene matematičke oblasti obrađene u ovom udžbeniku prilagođen je potrebama studenata kojima matematika nije osnovna oblast istraživanja, već primenjuju određene matematičke metode u raznim ekonometrijskim disciplinama. Izvori pojedinih sadržaja ove knjige nalaze se u naznačenoj literaturi, pa se čitalac u cilju dubljeg proučavanja pojedinih oblasti, upućuje na te radove. Zahvaljujem se recenzentima Prof. dr Šćepanu Ušćumliću i Prof. dr. Goranu Kilibardi koji su svojim sugestijama doprineli podizanju kvaliteta ovog udžbenika. Zahvalan sam i onim čitaocima koji će svojim sugestijama doprineti da eventualno sledeće izdanje bude još bolje.
Beograd, decembar 2002.
Autor
Poslovna matematika
1
1. ELEMENTI ALGEBRE
1.1. Osnovni pojmovi matematičke logike Definicija 1. (sud ili iskaz) Sud (ili iskaz) je afirmativna rečenica koja ima smisla i za koji važe sledeća dva principa: 1. Sud ne može biti istovremeno istinit i neistinit 2. Sud ne može biti ni istinit ni neistinit Polazne sudove ćemo zvati elementarni sudovi i označavati ih malim slovima p, q, r, s.... Osobine sudova istinitost ili neistinitost nazivaju se kratko vrednosti istinitosti i obeležavaju respektivno sa 1 (ili sa Τ , što se čita „TE”) i sa 0 (ili sa ⊥ , što se čita „NE TE”).Inače vrednost istinitosti suda p obeležava se sa τ(p) i čita „tau od p”. Sledeće rečenice su sudovi: Broj 18 je deljiv sa 6. Broj 5 je veći od broja 3. Broj 7 je veći od broja 10. Vrednost istinitosti sudova 1. i 2. je 1, a suda 3. je 0. Primetimo da postoje rečenice koje imaju smisla, ali za koje ne možemo reći ni da su istinite ni da su neistinite. Na primer rečenica „x2=4” je istinita ako je x=2 ili x= -2 a neistinita ako je, ne primer, x=3.
1. Neki elementi opšte algebre
2
Od elementarnih sudova formiraju se takozvani složeni sudovi pomoću logičkih sveza kao što su „i”, “ili”, „ako je...onda je” itd., koje nazivamo logičkim operacijama. Osnovne logičke operacije su: konjunkcija (∧), disjunkcija (∨), ekskluzivna (isključna) disjunkcija ( ∨ ), negacija (¬), implikacija (⇒) i ekvi.− valencija (⇔). Konjunkcija (∧) sudova Sud „p i q” je konjunkcija (ili proizvod) sudova p i q i označava se sa p∧q. Tablica vrednosti istinitosti za konjunkciju je: p q p∧q 1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
Dakle, konjunkcija sudova p i q je istinita samo ako su oba suda p i q istiniti. Disjunkcija (∨) sudova Sud „p ili q” je disjunkcija (ili zbir) sudova p i q i označava se sa p∨q. Tablica vrednosti istinitosti za disjunkciju je: p q p∨q 1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 0
Dakle, disjunkcija sudova p i q je istinita samo ako je istinit bar jedan od sudova p i q .
Poslovna matematika
3
Ekskluzivna (isključna) disjunkcija ( ∨ ) sudova .− Sud „ili p ili q” je ekskluzivna (isključna) disjunkcija sudova p i q i označava se sa p ∨ q. .− Tablica vrednosti istinitosti za isključnu disjunkciju je: p q p ∨ q .− 1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0
Dakle, isključna disjunkcija sudova p i q je istinita samo ako je istinit samo jedan od sudova p i q . Negacija (¬) suda Sud „nije p” nazivamo negacijom suda p i označava se sa ¬ p. Tablica vrednosti istinitosti za negaciju je: p ¬p 1 0
0 1
Implikacija (⇒) sudova Implikacija redom sudova p i q je sud: „Ako je p onda je q”.Označava se sa p⇒ q, a netačan je sud jedino ako je p tačan a q netačan sud. U svim ostalim slučajevima implikacija je tačan sud. Sud „ako je p onda je q” ima isto značenje kao sudovi:
Iz p sledi q; p je dovoljan uslov za q; q je potreban uslov za p; p implicira q; p povlači q.
1. Neki elementi opšte algebre
4
Tablica vrednosti istinitosti implikacije je: p q p⇒q 1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 1
Primer 1.1.1: Osobe A i B su vlasnici zajedničkog računa. A i B žele da osoba A uradi određeni posao od zajedničkog interesa i da po uspešno obavljenom poslu uzme 30 000 dinara sa zajedničkog računa , kao naknadu za uspešno obavljen posao. Ovaj dogovor su definisali ugovorom koji sadrži sledeču stavku: „Ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa” . Ova stavka ugovora je sud koji je implikacija dva suda i to sud p : „osoba A je završila posao” sud q : „osoba A je uzela 30 000 dinara sa zajedničkog računa” Dakle, stavka ugovora je sud p⇒q , što znači da tako definisan sud dozvoljava da osoba A ne završi posao i da uzme 30 000 dinara sa zajedničkog računa, što verovatno ne odgovara osobi B, jer za p=0 (A nije završio posao) i q=1 (A je uzeo novac sa računa), gore definisani sud „Ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa” je tačan sud, jer je tada p⇒q=1.
Ekvivalencija (⇔) sudova Ekvivalencija redom sudova p i q je sud „p je ako i samo ako je q”. Označava se sa p⇔ q , a tačan je sud samo u slučaju da su p i q istih vrednosti istinitosti. Sud „p je ako i samo ako je q” ima isto značenje kao sudovi:
p je ekvivalentno sa q; p je potreban i dovoljan uslov za q; p je logički ravnovaljano sa q.
Poslovna matematika
5
Tablica vrednosti istinitosti ekvivalencije je: p q p⇔q 1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
Primer 1.1.2: Neka je stavka ugovora iz prethodnog primera definisana na sledeći način: „Ako i samo ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa”. Sada je ova stavka ugovora ekvivalencija dva suda i to: sud p : „A je završio posao” sud q : „A je uzeo 30 000 dinara sa zajedničkog računa”. Ovako definisan sud je , za razliku od prethodnog primera, tačan, odnosno istinit, samo ako A završi posao i uzme novac sa računa ili ako ne završi posao i ne uzme novac sa računa, što je u stvari na prvi pogled u redu i za osobu A , kao strane koja želi da uradi posao i da za to dobije određenu sumu novca i za osobu B, koja žele da A uradi odgovarajući posao i da za taj posao dobije 30 000 dinara, i naravno da ako A ne uradi posao ne dobije novac sa računa. Međutim ovako, na prvi pogled, pravilno definisan sud, omogućava da A završi posao i da, pošto je mogućnosti, jer je i sam jedan od vlasnika zajedničkog računa , uzme na primer 100 000 dinara sa računa, jer je tada sud p istinit ( A je završio posao) i sud q je takodje istinit (jer uzevši 100 000 dinara osoba A je ispunila i sud q tj uzeo je 30 000 dinara sa računa), pa je i sud p⇔q istinit. Ovo naravno ne bi odgovaralo osobi B. Pravilno i nedvosmisleno definisana stavka ugovora, koja podjednako štiti i osobu A i osobu B je: „Ako i samo ako osoba A završi posao, ona će uzeti samo 30 000 dinara sa zajedničkog računa” .
Definicija 2. (formula) Svaki konačan sud formiran pomoću konstanata 1 i 0 i elementarnih sudova primenom logičkih operacija ∧, ∨,¬, ⇒, ⇔, naziva se formula ili iskazna formula. Iskazne formule se obično obeležavaju velikim slovima A, B, C, ... . Formula je, na primer , (p∧(q∨r)⇒s)⇔r.
1. Neki elementi opšte algebre
6
Definicija 3. (tautologija) Formula koja za sve vrednosti istinitosti sudova koji ulaze u tu formulu dobija vrednost 1 (odnosno T) naziva se tautologija. Definicija 4. (kontradikcija) Formula koja za sve vrednosti istinitosti sudova koji ulaze u tu formulu dobija vrednost 0 (odnosno ⊥ ) naziva se kontradikcija. Kvantifikatori (kvantori) Simbol ∀ (svaki) naziva se univerzalni kvantifikator, a simbol ∃ (postoji) je tzv. egzistencijalni kvantifikator. Primer 1.1.3. Sud „za svako x važi x2≥0” simbolički se zapisuje (∀x), x2≥0; Sud „postoji x tako da je x<6” simbolički se zapisuje (∃x), x<6; Sud „za svako x postoji bar jedno y tako da je x>y” simbolički se zapisuje (∀x)(∃y), x>y. Primer 1.1.4. Neke važnije tautologije: 1. (p∧q)⇔(q ∧ p); (p∨q)⇔(q∨p); (p⇔q)⇔(q⇔p). (Konjunkcija, disjunkcija i ekvivalencija su komutativne). 2. ((p∧q)∧r)⇔(p∧(q∧r)); ((p∨q)∨r)⇔(p∨(q∨r)); ((p⇔q)⇔r)⇔(p⇔(q⇔r)). (Konjunkcija, disjunkcija i ekvivalencija su asocijativne. ). 3. (p∧p)⇔p; (p∨p)⇔p. (Konjunkcija i disjunkcija su idempotentne) 4. (p∧(q∧r)⇔((p∧q)∧(p∧r)); (p∨(q∨r)⇔((p∨q)∨(p∨r)). (Konjunkcija i disjunkcija su distributivne). 5. (p∧(q∨r)⇔((p∧q)∨ (p∧r)); (p∨(q∧r)⇔((p∨q)∧ (p∨r)). (Konjunkcija je distributivna prema disjunkciji i obratno) 6. (p∧(p∨r)⇔p; (p∨(p∧r)⇔p. (Konjunkcija je apsorptivna prema disjunkciji i obratno)
Poslovna matematika
7
7. ¬(¬p)⇔p. (Negacija je involutivna) 8. ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q); ¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q). (De Morganova pravila. ) 9. (p⇒q)⇔(¬q⇒¬p). (Zakon kontrapozicije)
Sve navedene tautologije mogu se dokazati, na primer, pomoću tablica istinitosti. Primera radi, dokažimo tautologiju 8. Dokaz tautologije ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q): p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q 1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
¬p∧¬q 0 0 0 1
Kako za sve vrednosti istinitosti sudova p i q , kolona 4 (¬(p∨q)) ima iste vrednosti istinitosti kao i kolona 7 (¬p∧¬q), zaključujemo da je razmatrana formula tautologija.
1.2. Skupovi i operacije sa skupovima Pojam skupa je jedan od osnovnih pojmova matematike koji se ne definiše, već se smatra poznatim. Pod skupom se podrazumeva potpuno određena lista objekata. Skup se obično obeležava velikim slovima A; B; S; X; Y...Objekti koji čine skup nazivaju se elementi skupa (ili članovi skupa) i obeležavaju se malim slovima a, b, c, x, y, ... Ako skup A sačinjavaju elementi a, b, c,..., onda se to označava sa A={a,b,c,...}. Sa A={x⏐F(x)} označava se skup svih elemenata x koji imaju osobinu F(x). Ako je A skup, tada se sa x∈A označava tvrđenje „x je element skupa A”, odnosno „x pripada skupu A” . Negacija ovog iskaza se označava sa x∉A . Skup ne zavisi od poretka kojim su dati njegovi elementi. Tako, na primer, skupovi {a,b,c} i {b,a,c} su jednaki, kao i skupovi {a,a,a,b,c} i {b,c,c,a}.
1. Neki elementi opšte algebre
8
Skup je konačan ako je broj njegovih elemenata konačan. Skup koji ne sadrži nijedan element zove se prazan skup i označava se simbolom ∅. Definicija 1.2.1. (Inkluzija, odnosno podskup) Za skup B kaže se da je sadržan u skupu A, tj. da je B podskup ili deo skupa A, ako i samo ako je svaki element skupa B takođe element skupa A. Činjenica da je B podskup skupa A se označava sa B⊂A ili A⊃B. Dakle, B⊂A⇔(∀x)(x∈B⇒x∈A). Definicija 1.2.2.(Jednakost skupova) Skupovi A i B su jednaki ako i samo ako je B⊂A i A⊂B. Odnosno, A=B ⇔ B⊂A∧A⊂B Definicija 1.2.3. (Unija skupova) Ako su A i B dva skupa, pod unijom (zbirom) skupova A i B (u oznaci A∪B) podrazumeva se skup svih elemenata koji se nalaze bar u jednom od skupova A i B. To znači, A∪B={x⏐x∈A∨x∈B} Definicija 1.2.4. (Presek skupova) Presek (proizvod) skupova A i B ( u oznaci A∩B) je skup svih elemenata koji pripadaju i skupu A i skupu B. Dakle, A∩B={x⏐x∈A∧x∈B} Definicija 1.2.5. (Razlika skupova) Pod razlikom dva skupa A i B (u oznaci A\B) podrazumeva se skup svih elemenata skupa A koji ne pripadaju skupu B. To znači, A\B={x⏐x∈A∧x∉B}
Poslovna matematika
9
Definicija 1.2.6. (Komplement skupa) Ako je A⊂B, pod komplementom skupa A u odnosu na skup B (u oznaci A’) podrazumeva se skup svih elemenata skupa B koji ne pripadaju skupu A. To znači da je A’={x⏐x∉A∧x∈B} Definicija 1.2.7. (Partitivni skup) Partitivni skup skupa A (u oznaci P(A)) je skup svih podskupova skupa A. Za neke skupove, koji su često u upotrebi, usvojene su sledeće oznake: N skup svih prirodnih brojeva; Z skup svih celih brojeva; Q skup svih racionalnih brojeva; R skup svih realnih brojeva; R+ skup svih pozitivnih realnih brojeva; I skup svih iracionalnih brojeva; C skup svih kompleksnih brojeva. Važi sledeće:
N⊂Z⊂Q⊂R; I⊂R; Q∪I=R
Skup realnih brojeva je neograničen, odnosno ne postoje najmanji i najveći realan broj. Zato se uvode dva simbola -∝ (minus beskonačno), i +∝ (plus beskonačno), tako da za svaki realan broj a važi -∝
1. Neki elementi opšte algebre