INDICE
Etapa 1. Relaciones y funciones polinomiales................................................ ................................................................................................ ................................................ 4
PROBLEMAS SELECCIONADOS ..............................................................................................................................4 1.1 Introducción................................................................................................................................................4 1.2 Funciones y relaciones lineales ..................................................................................................................6 1.3.-FUNCIÓN CUADRÁTICA. ......................................................................................................................... 10 1.4
Función polinómica polinóm ica de grado superior. superior . ................................... ................. ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 15
GUIA DE APRENDIZAJE....................................................................................................................................... 17 Actividad diagnóstica ..................................................................................................................................... 17 Actividad de adquisición del conocimiento ................................................................................................... 18 Actividades de organización y jerarquización ............................................................................................... 18 LABORATORIO ................................................................................................................................................... 23 Etapa 2 Funciones algebraicas racionales e irracionales................................................... ............................................................................... ............................ 35
PROBLEMAS SELECCIONADOS ........................................................................................................................... 35 I. Introducción a las funciones algebraicas racionales .................................................................................. 35 II. Introducción a las gráficas de funciones racionales, ................................................................................. 35 discontinuidades y asíntotas ......................................................................................................................... 35 III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales .......................................................................... 35 IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales .............................................................................. 36 V. Gráfica de funciones irracionales .............................................................................................................. 36 2.- Función variación ..................................................................................................................................... 36 GUIA DE APRENDIZAJE....................................................................................................................................... 37 Actividad diagnostica ..................................................................................................................................... 37 Actividad de adquisición de conocimiento .................................................................................................... 37 LABORATORIO ................................................................................................................................................... 40 Etapa 3 Funciones exponenciales exponenciales y logarítmicas .................................................... ..................................... 47
PROBLEMAS SELECCIONADOS ........................................................................................................................... 47 GUIA DE APRENDIZAJE....................................................................................................................................... 49 Actividad de adquisición del conocimiento ................................................................................................... 49 Actividad de organización y jerarquización ................................................................................................... 50
INDICE
Etapa 1. Relaciones y funciones polinomiales................................................ ................................................................................................ ................................................ 4
PROBLEMAS SELECCIONADOS ..............................................................................................................................4 1.1 Introducción................................................................................................................................................4 1.2 Funciones y relaciones lineales ..................................................................................................................6 1.3.-FUNCIÓN CUADRÁTICA. ......................................................................................................................... 10 1.4
Función polinómica polinóm ica de grado superior. superior . ................................... ................. ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 15
GUIA DE APRENDIZAJE....................................................................................................................................... 17 Actividad diagnóstica ..................................................................................................................................... 17 Actividad de adquisición del conocimiento ................................................................................................... 18 Actividades de organización y jerarquización ............................................................................................... 18 LABORATORIO ................................................................................................................................................... 23 Etapa 2 Funciones algebraicas racionales e irracionales................................................... ............................................................................... ............................ 35
PROBLEMAS SELECCIONADOS ........................................................................................................................... 35 I. Introducción a las funciones algebraicas racionales .................................................................................. 35 II. Introducción a las gráficas de funciones racionales, ................................................................................. 35 discontinuidades y asíntotas ......................................................................................................................... 35 III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales .......................................................................... 35 IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales .............................................................................. 36 V. Gráfica de funciones irracionales .............................................................................................................. 36 2.- Función variación ..................................................................................................................................... 36 GUIA DE APRENDIZAJE....................................................................................................................................... 37 Actividad diagnostica ..................................................................................................................................... 37 Actividad de adquisición de conocimiento .................................................................................................... 37 LABORATORIO ................................................................................................................................................... 40 Etapa 3 Funciones exponenciales exponenciales y logarítmicas .................................................... ..................................... 47
PROBLEMAS SELECCIONADOS ........................................................................................................................... 47 GUIA DE APRENDIZAJE....................................................................................................................................... 49 Actividad de adquisición del conocimiento ................................................................................................... 49 Actividad de organización y jerarquización ................................................................................................... 50
Actividad de aplicación .................................................................................................................................. 50 LABORATORIO ................................................................................................................................................... 51 Etapa 4 Geometría G eometría Analítica .............................................. ................................................................................................... ..................................................... .................... 56
PROBLEMAS SELECCIONADOS ........................................................................................................................... 56 GUIA DE APRENDIZAJE....................................................................................................................................... 59 Actividad diagnóstica ..................................................................................................................................... 59 Actividades de adquisición del conocimiento ............................................................................................... 59 Actividad de organización y jerarquización ................................................................................................... 60 Actividad de aplicación .................................................................................................................................. 60 LABORATORIO ................................................................................................................................................... 60
Etapa 1. Relaciones y funciones polinomiales PROBLEMAS SELECCIONADOS 1.1 Introducción I. Formas de representar una relación Discute con tus compañeros y maestro cuál de los siguientes casos son funciones y cuáles no lo son: a) {(1, 2), (2, 1)} b) {(a, b), (a, c), (c, d ), (e, f )} c) {(x, 1), (y, 1), (z, 1)}
II. Gráficas Para los siguientes problemas traza la gráfica de la relación, señala su rango e indica si se trata o no de una función. a) y = – 0.5x; dominio = {números reales} b) y = x – 5; dominio = {enteros positivos}
De las figuras siguientes determina el dominio y el rango de la función representada.
NOTA: El punto o círculo negro (•) indica ≤ , ≥ ; esto es, que el punto sí pertenece a la gráfica. El hueco ( ) indica <, >; esto es, que el punto no pertenece a la gráfica.
III. Funciones en el mundo real Para cada uno de los problemas diseña una gráfica razonable. a) El número de latas de aluminio que has recolectado está relacionado con la cantidad de dinero que obtendrás al vender las latas. b) La altitud que alcance una pelota de fútbol, depende, entre otras cosas, del número de segundos que trascurran desde que ésta fue pateada. c) Cuando llenas el tanque de gasolina de tu carro y empiezas a manejar, la cantidad de gasolina que quede en el tanque depende de la distancia que has recorrido.
IV. Gráfica de funciones y relaciones. Criterio de la recta vertical
1.2 Funciones y relaciones lineales I. Función lineal 3. Ahora realiza las gráficas de las siguientes funciones: a) y = 2x
b) y = 2x + 1
d) y = 2x –1
e) y = 2x –2
c) y = 2x + 2 f) y = 2x –3
4. ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del término constante si la m permanece fija? 5. ¿En qué se diferencian las gráficas de las funciones de los incisos e y f del problema 1 del resto de las funciones del presente ejercicio?
II. Propiedades de la gráfica de una función lineal Contesta lo siguiente: 1. Las gráficas de las funciones lineales son siempre__________ 2. ¿A qué llamamos pendiente de una recta? _________________ 3. ¿La pendiente de una recta está dada por qué parte de la ecuación? 4. El valor de la m determina la inclinación de la recta así: a) Si m es positiva__________________ b) Si m es negativa __________________ c) Si m = 0 _______________________ 5. ¿Cuándo una función recibe el nombre de función constante? ______________ 6. El valor del término constante (b) señala el punto donde la gráfica cruza el ___________ 7.-Traza correctamente la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel cuadriculado. 8.-Utiliza el concepto de pendiente e intersección y, donde sea posible. b) y = — x + 3
c) y = 5x – 6
d) y = x + 9
e) 3x + 3y = 12
III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta 1. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide: • Determina la pendiente y las coordenadas del punto que aparece en la ecuación. • Traza la gráfica de la recta. • Transforma la ecuación a la form a pendiente – intersección. • Transforma la ecuación a lo forma ordinaria. • Transforma la ecuación a la forma intersección.
a) y - 2 = — (x - 6)
a) y = -2(x + 7)
b) y = — (x – 8)
3. Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente para las funciones lineales descritas. a) Pasa por el punto (1, 7), y tiene pendiente –3. b) Pasa por el punto (6, 6), y tiene pendiente 5.
IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica 1. Para los problemas: • Determina le ecuación de la recta descrita.
• Transforma la ecuación, si es necesario, a la forma pendiente-intersección.
• Transforma la ecuación a la forma ordinaria Ax + By = C. donde A, B y C son constantes
reales. a) Tiene pendiente 8 y la intersección y es -9.
b) Pasa por el punto (2, -6) y tiene una pendiente -1.
f) Pasa por el punto (7, -2) y es paralela a la recta y = –2x + 13.
g) Pasa por el punto (3, – 5) y es perpendicular a la recta y = – 2x + 13.
V. Funciones lineales como modelos matemáticos
Bosquejar la gráfica. Encontrar la ecuación particular. Utilizar la ecuación para predecir valores de la otra variable. Comprender el significado del valor de la pendiente y las intersecciones en el mundo real.
b) Cuando te picas con un alfiler transcurre un instante antes de que digas “¡ay!”. El
tiempo de esta reacción varía linealmente con la distancia entre tu cerebro y el lugar donde te picaste. Si el señor Garza pincha a Pedro en la mano y en el pie, estima un tiempo de reacción de 15.2 y 22.9 milésimas de segundo, respectivamente. Considerando que la mano se localiza a una distancia de 100 cm y el pie a 170 cm del cerebro de Pedro:
• Escribe la ecuación particular expresando el instante de tiempo en términos de la
distancia.
• ¿Cuánto tiempo se tardaría Pedro en decir “¡ay!” si se picara en el cuello, a 10 cm del
cerebro?
• ¿Cuál es el valor de la intersección -tiempo y qué representa en el mundo real?
• Bosqueja la gráfica de esta función.
• Como las unidades de la pendiente son milésimas de segundo por centímetro, su
reciproco es la velocidad con que viaja un impulso nervioso en cm/ms. ¿Cuál es la rapidez de un impulso nervioso en cm/s?
VI. Desigualdades e inecuaciones lineales
VII. Desigualdades e inecuaciones lineales en una variable desigualdades. Representar las soluciones tanto gráficamente como en forma de intervalo. 1. En las siguientes desigualdades encuentra el conjunto solución, represéntalo en forma de intervalo y grafícalo en la recta numérica. a) 6 x ≤ 18
b) 8x + 5 > 29
c) 12 –x ≤ 2x + 4
d) 14 > x +2
e) 7x +14 ≥ 21
f) (6 + x) ≤ 3x – 6
VIII. Desigualdades e inecuaciones lineales en dos variables. 1. Traza la gráfica de las inecuaciones planteadas:
a) y ≥ 3/4— x –2
b) 3x + 5y < 20
IX. Aplicación de desigualdades a modelos matemáticos. 1. Supongamos que puedes rentar un automóvil en cierta compañía A en $250 por semana, sin cargo extra por millas recorridas. En otra compañía B el mismo auto puede rentarse en $150 por semana, más $0.25 por cada milla recorrida.
¿Cuántas millas debes recorrer en una semana para que la tarifa de la compañía B sea mayor que la de la compañía A?.
1.3.-FUNCIÓN CUADRÁTICA. I.
Forma general de la ecuación de la función cuadrática.
1. Transforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación de una función cuadrática. a) y = (x + 3) (x - 2)
d) y - 3 = (x + 4)2
2. Calcula el valor de y para los valores de x dados.
b) y = (x - 3)2
a) y = (x + 3) (x - 2)
x = -1, x = 0, x = 1
b) y = 3x 2 + 2x - 3
x = -2, x = 0, x = 2
II.
Gráfica de una función cuadrática
1. Contesta las siguientes preguntas en forma oral o escrita, según lo indique tu maestro. Si tienes dudas al contestarlas, discútelas con tu maestro y/o compañeros. a) ¿Qué forma tiene la gráfica de una función cuadrática y qué nombre recibe? b) ¿Qué es el eje de simetría de la gráfica de una función cuadrática? c) ¿Cuándo dos puntos de la gráfica son simétricos? d) ¿Qué es el vértice de la gráfica y qué características tiene? e) ¿Qué son las intersecciones de la gráfica? f) ¿Cuánto vale la coordenada x de la intersección y ? g) ¿Cuánto vale la coordenada y de la intersección x ? h) ¿Cuál es la causa de que los lados de la gráfica de una función cuadrática se cierren o se abran? i) ¿Cuál es la causa de que la gráfica se abra hacia arriba o hacia abajo? j) En la ecuación general, ¿qué constante te indica el valor de y, donde la gráfica corta el eje Y ?.
III. Dado un valor de y, calcular x. 2. En las siguientes ecuaciones calcula el valor de y para los valores de x: a) x = 2, b) x = 0. a) y = x 2 - x + 6
c) y = x 2 + 3
3. En las siguientes ecuaciones de las funciones cuadráticas, determina la intersección en y, es decir, las coordenadas del punto donde las gráficas de cada una de ellas corta el eje Y. a) y = x 2 - 6x + 8
e) y = x 2 + 2x
4. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, calcula los valores de x, para los valores de y: y = 1, y = 0. a) y = (x + 2)(x - 1) d) y = (x + 2)2 - 3
5. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, determina las intersecciones de x. (resuelve por factorización donde sea posible). a) y = x 2 + 4x
d) y = 2x 2
6. Calcula las coordenadas del vértice de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas y da la ecuación del eje de simetría. a) y = x 2 - 2x - 8
d) y = x 2 + x - 0.75
IV. Valores no reales de x, para un valor real dado de y 1. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la naturaleza de las respuestas de la fórmula general cuadrática cuando el discriminante b 2 - 4ac < 0?
b) ¿Qué significa que los valores de x dados por la ecuación general cuadrática sean números “no reales”, cuando se resuelve para un valor dado de y ?
c) ¿Cuál es el dominio de una función cuadrática?
d) Gráficamente, ¿cómo encuentras el rango de una función cuadrática?
e) En las siguientes funciones cuadráticas, investiga si los valores dados de y pertenecen al rango de la función. a) y = x 2 + 2x – 8
para y = 0; y = -10
b) y = x 2 - 2
para y = 0, y = -3
g) Si la gráfica se abre hacia arriba, ¿qué puedes decir del vértice de la parábola? h) Si la gráfica se abre hacia abajo, ¿qué puedes decir del vértice de la parábola?
V. Números imaginarios y complejos. Potencias de i. 1. Representa gráficamente los siguientes números complejos: a) 2 + 3i
d) 1 + i
g) 4 - 2i
2. En las siguientes ecuaciones calcula el discriminante y analiza si las soluciones serán compleja o reales (no resuelvas la ecuación). a)
2x 2 - 6x - 20 = 0 b) 2x 2 - 4x + 5 = 0
4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones en la ecuación dada. a) x 2 - 2x + 2 = 0 b) 2x 2 - 2x + 1 = 0
5. Calcula las siguientes potencias de la unidad de los números imaginarios: a) i 5 = b) i 1 514 = c) i 403 =
6. Efectúa las operaciones indicadas entra los números complejos: a) (5 - 3i ) + (-5 -3i ) b) (0 + 4i ) - (12 - 6i )
VI. Dos tópicos importantes de la función cuadrática 2. En un papel cuadriculado bosqueja las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x 2 - x - 6 b) y = x 2 + 6x + 7
3. Contesta las siguientes preguntas: a) Si la intersección x es un solo valor, ¿cómo queda situada la gráfica de la función? b) Si las intersecciones x no son números reales, ¿cómo queda situada la gráfica de la función? c) ¿Qué define si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo?
VIII. Aplicaciones de la función cuadrática a problemas del mundo real. 1. Un comerciante de manzanas necesita hacer una promoción para vender rápido su producto, pues no cuenta con un cuarto de enfriamiento para su conservación. El precio del kilogramo de manzana es de $10.00, pero si el número de kilogramos que lleve el cliente es mayor de 5, piensa disminuir en $0.20 el precio por cada kilogramo; para ello preparará bolsas que contengan diferente cantidad de manzanas.
a) Determinar cuál es el número de kilogramos del paquete más grande que debe hacer para que su utilidad sea máxima.
b) ¿Cuánto pagará el cliente si se lleva la bolsa más grande?
1.4 Función polinómica de grado superior. I. Factorización de polinomios de grado superior. El teorema del factor. 1. En los siguientes problemas utiliza el teorema del factor o el de la raíz racional para factorizar completamente el polinomio o probar que no tiene factores lineales con exponentes enteros. a) x 3 + 9x 2 + 24x + 20
b) x 4 + 4x 3 – 7x 2 - 34x – 24
II. Raíces o soluciones de una función polinómica. 1. Obtén las soluciones o raíces de las siguientes funciones polinómicas. En los siguientes problemas habrá que aplicar lo visto en la sección previa (teorema del factor y división algebraica). Grafica las funciones. a) y = f (x) = 3x – 6
b) y = f (x) = x 2 – 3x – 10
III. Teorema del residuo 1. Realiza lo que se indica, aplicando el teorema del residuo y la división sintética. a) Evalúa las siguientes funciones polinómicas en los valores de x que se señalan: • Si P (x) = 2x 3 – 5x 2 + 4x – 6 encuentra P (3). • Si P (x) = 4x 4 + 10x 3 + 19x + 5 halla P ( -3).
b) Determina el residuo de las siguientes divisiones: • (x 3 + 8x 2 + 6x + 1) ÷ (x + 5) • (-2 + x 3 – 45x) ÷ (x + 7)
IV. División sintética 1. Realiza las operaciones indicadas por el método de división sintética. a) (2x 3 + 5x 2 + 4x – 6) ÷ (x + 3)
b) (3x 4 + 2x 3 + x 2 + 4x + 2) ÷ (x + 2) 2. Factoriza los siguientes polinomios. Utiliza la división sintética, el teorema del residuo y el teorema del factor. a) x 3 - 5x 2 - 2x + 24
b) x 3 + 5x 2 - 2x – 24
GUIA DE APRENDIZAJE Actividad diagnóstica 1. De forma individual, en un documento escrito, electrónico o como el docente lo solicite, Contesta las siguientes preguntas y en sesión plenaria discutan las respuestas. a) ¿Qué entiendes por variable y por constante?
b) ¿El peso de las personas es una variable? Menciona ejemplos de variables.
c)¿A qué se le llama variable independiente de una relación?
d) ¿A qué se le llama variable dependiente de una relación?
e) En matemáticas se emplea la palabra relación. En general, ¿cuál es el significado de esta palabra? Menciona ejemplos de relaciones.
f) ¿Cuál es la fórmula del área de un círculo?
¿Representa una ecuación en dos variables? ¿Por qué?
¿Esta ecuación representa una relación?
¿Cuáles son las variables involucradas?
¿Cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente?
Actividad de adquisición del conocimiento 1. De manera individual realiza la lectura “Gráficas”, “Gráfica de relaciones y funciones. Criterio de la recta vertical” del libro de texto Matemáticas 3. Con base en la lectura anterior
contesta las siguientes cuestiones en plenaria: a) Define relación.
b) Define función.
c) ¿Toda función es una relación? ¿Toda relación es función? Argumenta tus respuestas.
d) Define dominio de una relación.
e) Define rango de una relación.
f) ¿Para qué se aplica el criterio de la línea vertical?
g) ¿En qué se basa y qué expresa el criterio de la línea vertical?
Actividades de organización y jerarquización Parte 1.- La función lineal
Con ayuda de tu profesor forma equipos d e trabajo y con base en la lectura del tema “La función lineal” de tu libro de Matemáticas 3, contesta las siguientes preguntas y en sesión
plenaria comparen y corrijan sus respuestas. 1. Define “función lineal” y menciona tres ejemplos. ¿Por qué se le llama función lineal?
2. Define función constante y menciona tres ejemplos. ¿Por qué se le llama función constante?
3. Si la función lineal está en la forma y = mx + b con m ≠ 0, ¿qué representan las constantes
m y b? 4. Para analizar las propiedades de la gráfica de la función lineal, bosqueja en un mismo sistema de coordenadas cada una de las siguientes funciones y responde a la pregunta planteada: a) f(x) = x + 1
b) f(x) = 2x + 1
c) f(x) = 4x + 1
d) f(x) = - 2x + 1
e) f(x) = - 4x + 1
¿Qué tienen en común las gráficas anteriores?
Entonces, ¿cuál es el efecto del signo del coeficiente de x en la gráfica de la función lineal y = mx + b?
5. De manera individual realiza la lectura “Propiedades de la gráfica de una función lineal” del libro de texto Matemáticas 3. Con base en la lectura anterior contesta las siguientes preguntas en plenaria: a) ¿Qué es la pendiente de una función lineal y cómo se denota?
b) ¿Cuál es la fórmula para determinar la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de su gráfica? c) ¿Cómo se determina la intersección con el eje Y de una función? d) ¿Cómo se determina la intersección con el eje X de una función? e) ¿Cómo identificas la pendiente de una recta si conoces la función lineal? Por ejemplo, ¿cuáles son las pendientes de las funciones lineales siguientes? y = 3x - 5
y = - 4x + 1
y=x+8
y =2/3x – 7
7. Después de leer “Formas de la función lineal o ecuación de la recta” del libro de texto
Matemáticas 3, llena la siguiente tabla con la información correspondiente:
Parte 2. Desigualdades e inecuaciones lineales Comenta en plenaria las respuestas a las siguientes cuestiones.
1. Define los conceptos de “desigualdad” e “inecuación”.
2. ¿Cuáles son los símbolos usados para representar una desigualdad?
Parte 3. La función cuadrática De manera individual realiza la lectura de “La función cuadrática” del libro de texto
Matemáticas 3. Con base en la lectura anterior contesta las siguientes preguntas y coméntenlas en sesión plenaria: 1. ¿Cuál es la ecuación general de la función cuadrática?
2. ¿En qué tipo de función se convierte la ecuación general de la función cuadrática si el coeficiente de x2 es igual a cero?
3. Transforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación de una función cuadrática. a) y = (x - 4)(x + 3) + 7
b) y = (x - 3) 2
c) y = 2x(x - 7) + 5
Con base en las gráficas realizadas, responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué nombre recibe la gráfica de una función cuadrática?
b) ¿Hacia dónde abre la gráfica si el coeficiente “a” es positivo?
c) ¿Hacia dónde abre la gráfica si el coeficiente “a” es negativo?
Parte 4. La función polinomial de grado superior
Una vez que tu profesor haya ejemplificado el método de división sintética, resuelve en parejas las siguientes divisiones por este método; indicando el cociente y el residuo: a) (3x3 +2−5x+2x2) ÷ (x+1) b) (7x3 −24x+6) ÷ (x−2)
LABORATORIO RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON SU PROCEDIMIENTO
1.- DETERMINE EL DOMINIO DE LA SIGUIENTE FUNCION: F ( x) A) x 3
B) x 3
C) x 3
5 x 6 x 3
D x 3
2.- DETERMINE EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN y 3x 15 A) x 5
B) x 5
C) x 3
D) x 3
3.- DE LA SIGUIENTE GRÁFICA, DETERMINE SU DOMINIO y
3
2
1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
A) x 2
B) x 3
C) 2 x 3
D) 2 x 3
4.- DETERMINE LA PENDIENTE DE LA LINEA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS (3,15) Y (2,5) A) m 4
B) m 4
C) m
1 4
D) m
1 4
5.- ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTAS EN LA FORMA DE PENDIENTEINTERSECCION SI m 8 Y LA INTERSECCIÓN EN y ES –4
A) y 8 x 4
C) y 4 x 8
B) y 8 x 4
D) y 4 x 8
6.-SI LA LINEA RECTA ES VERTICAL, SU PENDIENTE VALE:
A) m 0
B) m 1
C) m
D) m
3 7.- TRANSFORMAR LA ECUACIÓN y 1 ( x 3) A LA FORMA ORDINARIA: 2
A) 3 x 2 y 7
B) 2 x 3 y 7
C) 5 x y 4 D) x y 1
8.- DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA EN FORMA PENDIENTE-INTERSECCION QUE PASA POR EL PUNTO (-4,-1) Y QUE ES PERPENDICULAR A LA RECTA x 3 y 5
A) y 3x 1 B) y
1 1 x 1 C) y x 1 3 3
D) y 3x 13
9.- DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA EN FORMA ORDINARIA QUE PASA POR EL PUNTO (2,-3) Y ES PARALELA A LA RECTA 5 x 4 y 1
A) y 5 x 4 y 3
B) y 3x 1 C) y 4 x 3
D) 5 x 4 y 2
10.- AL COMPRAR UN TERMÓMETRO EN ESCALA DE CELSIUS Y ESCALA FAHRENHEIT SE HA ENCONTRADO QUE LA LECTURA FAHRENHEIT VARIA LINEALMENTE CON LA LECTURA CELSIUS. SI EL TERMÓMETRO CELSIUS INDICA 100°C CUANDO UN TERMÓMETRO FAHRENHEIT INDICA 212°F E 0°C CUANDO UN TERMÓMETRO FAHRENHEIT INDICA 32°F. DETERMINE LA ECUACIÓN PARTICULAR EXPRESANDO °F EN TERMINOS DE °C.
5 A) F C 32 9
9 B) F C 32 5
5 C) F C 32 9
D) F
5 C 32 9
A UN RESTAURANTE LE CUESTA $220 ELABORAR 30 HAMBURGUESAS, MIENTRAS QUE A 45 HAMBURGUESAS LE CUESTA $280. SI EL COSTO (C) VARIA LINEALMENTE CON LA CANTIDAD DE HAMBURGUESAS PRODUCIDAS ( x ) Y CADA UNA DE ELLAS SE VENDE A $6.50. DETERMINEPARA LOS PROBLEMAS 11 AL 14
11.. LA ECUACIÓN DE LA FUNCIÓN DE INGRESO:
A) R ( x) 5 x B) R ( x) 6.5 x
C) R( x) 5 x
D) R ( x) 6.5 x
12.- LA ECUACIÓN DE LA FUNCIÓN DE COSTO:
A) C ( x) 5 x 100
B) C ( x) 4 x 100 C) C ( x) 5 x 125
D) C ( x) 4 x 125
13.- LA ECUACIÓN DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD:
A) U ( x) 2.5 x 100 B) U ( x) 6.5x 100 C) U ( x) 6.5x 100 D) U ( x) 2.5x 100
14.. LA CANTIDAD DE HAMBURGUESAS QUE SE DEBEN DE ELABORAR Y VENDER PARA QUE LA UTILIDAD SEA DE $260 A) x 63 Hamburguesas Hamburguesas
B) x 95 Hamburguesas
C) x 144 Hamburguesas D) x 155
15.- EVALUE EL COCIENTE
A)
F (1) 1 = G(1) 2
B)
F (1) SI F ( x) x2 3x 2 Y G( x) x 2 4 G(1)
F (1) = -2 G(1)
C)
F (1) =2 G(1)
D)
1 F (1) =3 G(1)
16.- REPRESENTE LA SIGUIENTE DESIGUALDAD EN SU FORMA DE INTERVALO: 1 x 4
A)
[ -5
-4
-3
-2
B)
-1
] 0
1
2
3
( -5
-4
-3
-2
C)
-1
-4
-3
-2
D)
-1
0
1
2
3
-4
-3
-2
-1
4
5
4
5
] 0
1
2
3
[ -5
5
)
( -5
4
) 0
1
2
3
4
5
17.- REPRESENTE EN FORMA DE INTERVALO LA SIGUIENTE DESIGUALDAD:
[ -5
) -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
A) 5 x 2 B) 5 x 2 C) 5 x 2 D) 5 x 2
18.- DETERMINE EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE LA DESIGUALDAD: 7 x 8( x 9) 52
A) x 20
B) x 20
C) x 20
D) x 20
19.- TRAZE LA GRÀFICA DE LA INECUACIÓN: 3 x 5 y 20
20.- EL LARGO DE UN RECTÁNGULO ES DE 38 cm . SI x REPRESENTA SU ANCHO. ¿PARA QUE VALORES DE x SU PERÍMETRO ES MAYOR QUE 204?
A) x 64 cm B) x 64 cm C) x 85 cm D) x 85 cm
21.- EL COSTO DE PRODUCIR x ARTÍCULOS ESTA DADO POR C ( x) 75x 28,00 . SI CADA ARTÍCULO SE VENDE A $100 , ¿PARA QUÉ VALORES DE LA x LA COMPAÑÍA OBTIENE GANANCIAS?
artículos B) x 1,250 artículos C) x 1,120 artículos D) x 1,120 artículos A) x 1,250
22.- TRANSFORME LA ECUACIÓN y 3 x( x 2) A LA FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA.
A) y x2 2x 3
B) y x2 2x 3
C) y 2 x2 3x 2 D) y 2 x2 3x 2
23.- SI EN LA GRAFICA DE LA PARÁBOLA ES CÓNCAVA HACIA ABAJO (SE ABRE HACIA 2 ABAJO) EL COEFICIENTE “ a “ DEL TERMINO x ES:
A) a 0
B) a 0
C) a 0
D) a 1
24.- ES EL UNICO PUNTO DE LA PARÁBOLA EN DONDE PARA UN VALOR DE y HAY UN SOLO VALOR DE x :
A) EL CENTRO
B) INTERSECCIÓN x
C) INTERSECCIÓN y
D) EL VÉRTICE
25.- SI EN LA FUNCION CUADRÁTICA, EL DISCRIMINANTE ES NEGATIVO LAS SOLUCIONES SERÁN:
A) COMPLEJAS CONJUGADAS
B) REALES
C) RACIONALES IGUALES D) CEROS
26.- DETERMINE LA COORDENADA DEL VÉRTICE DE LA FUNCION: y 3 x2 12 x 15
A) (2,0)
B) (3,4)
C) (0,4)
D) ( 2,27)
27.- DE LA FUNCION F ( x) x2 8x 7 TRANSFÓRMELA A LA FORMA DE VÉRTICE
A) y 1 2( x 1)2
B) y 1 ( x 4)2
C) y 9 ( x 4)2
D) y 9 ( x 4)2
28.- DETERMINE LOS VALORES DE x, y, z DEL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES 3 x 2 y z 3 2 x y z 4 x 2 y 3 z 3
A) (1,2,0)
B) (0,1,2)
C) (2,1,1)
D) (3,1,2)
29.- ENCUENTRE LA ECUACIÓN PARTICULAR DE LA FUNCION CUADRÁTICA QUE PASA POR LOS PUNTOS. ( 2,5) , (1,4) Y (2,3)
A) y x2 2x 3 B) y x2 2x 3 C) y x2 2x 3
D) y x2 2x 3
30.- DETERMINE EL ÁREA RECTANGULAR MÁXIMA QUE PUEDE ENCERRARSE CON 80 m DE CERCA.
A) A 400 m2
B) A 600 m2
C) A 300 m2
D) A 500 m2
31.- UN HOTEL QUE TIENE 80 HABITACIONES PUEDE RENTARLAS TODAS SI EL PRECIO DE ALQUILER POR DIA ES DE $ 300, PERO HA ENCONTRADO QUE POR CADA $ 6 DE AUMENTO EN EL PRECIO DE ALQUILER , TENDRA UNA HABITACIÓN VACIA. DETERMINE EL NUMERO DE HABITACIONES VACIAS CUANDO EL INGERSO ES MÁXIMO.
A) x 20
B) x 15
C) x 12
D) x 5
UNA COMPAÑÍA DE FABRICA DE SILLAS, LAS VENDE A $200 CADA UNA. SI FABRICA x SILLAS POR SEMANA, ENTONCES EL COSTO TOTAL ESTA DADO POR LA C ( x) x 2 40x 1,500 . DETERMINE LO QUE SE PIDE PARA LOS PROBLEMAS 32 AL 35
32.- LA ECUACIÓN DE FUNCIÓN DE UTILIDAD:
A) U ( x) x 2 160x 1,500 B) U ( x) x 2 160 x 1,500 C) U ( x) x 2 240 x 1,500 D) U ( x) x 2 60x 1,500
33.- LA UTILIDAD SI SE FABRICAN Y VENDEN 90 SILLAS POR SEMANA
A) U (90) $4,800
B) U (90) $5,800
C) U (90) $2,700
D) U (90) $1,700
34. EL NUMERO DE SILLAS QUE SE DEBEN FABRICAR POR SEMANA PARA QUE LA UTILIDAD SEA MÁXIMA
sillas A) x 55
sillas B) x 80
sillas C) x 63
sillas D) x 96
35.- EL MONTO DE LA UTILIDAD MÁXIMA POR SEMANA
A) U max (55) $5,900 B) U max (63) $3,800 C) U max (80) $4,900 D) U max (96) $2,700
36.- DETERMINE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CUYO VÉRTICE ES (2,3) Y PASA POR EL PUNTO (3,2)
A) y x2 7 x 5 B) y 5 x2 7 x 5
C) y x2 20 x 3
D) y 5 x 2 20x 17
37.- EL VALOR DE i 23 2 SIMPLIFICADO ES:
A) i
B) i
C) 1
D) 1
PARA LOS PROBLEMAS DEL 38 AL 41 REALICE LA OPERACIÓN INDICADA CON NUMEROS COMPLEJOS
38 (15 6i) (4 7i)
A) 11 i
B) 11 i
C) 11 i
D) 11 i
C) 2 10i
D) 2 10i
39.- (12 15i) (10 25i)
A) 22 40i B) 22 40i
40.- (2 5i)(7 4i)
A) 24 17i
41.-
A)
B) 34 27i C) 34 27i
D) 24 17i
3i 5 2i
23 3 i 29 29
B)
25 12 23 3 i C) i 29 29 29 29
D)
17 1 i 29 29
UTILIZANDO EL TEOREMA DEL FACTOR O EL TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONAL FACTORICE PARA LOS PROBLEMAS DEL 42 Y 43
42.- x 3 3 x 2 4 x 12
A) ( x 2)( x 2)( x 3) B) ( x 2)( x 2)( x 3) C) ( x 2)( x 2)( x 3)
D) ( x 2)( x 2)( x 3)
43.- x 3 6 x 2 x 30
A) ( x 1)( x 5)( x 6)
B) ( x 2)( x 3)( x 5) C) ( x 1)( x 2)( x 15)
D) ( x 1)( x 4)( x 5)
DETERMINE LAS RAICES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES POLINOMIALES. DEL PROBLEMA 44 Y 45
44.- F ( x) x 3 10 x 2 17x 28
x1 1
A) x 2 4 x3 7
x1 1
x1 1
x1 1
B) x 2 4 x3 7
C) x 2 4 x3 7
D) x 2 4 x3 7
45.- F ( x) 5 x 3 9 x 2 42 x 8
x1 2
x1 2
B) x 2 2 x3 2
A) x 2 4 x3
2 5
x1 2
x1 2
C) x 2 4 x 3
1 5
D) x 2 2 x3 2
APLICANDO EL TEOREMA DEL RESIDUO, EVALÚE LAS SIGUIENTES FUNCIONES POLINOMIALES EN LOS VALORES DE x QUE SE INDICAN. PARA LOS PROBLEMAS DEL 46 Y 47
46.- P ( x) x 3 5 x 2 4x 6 , para P (2)
A) P (2) 2
B) P (2) 2 C) P (2) 10 D) P ( 2) 10
47.- P ( x) x 3 2 x 2 4x 2 , para P ( 3)
A) P (3) 8
B) P (3) 12 C) P (3) 87 D) P (3) 59
PARA LOS PROBLEMAS 48 Y 49 EFECTÚE LAS SIGIENTES DIVISIONES DE POLINOMIOS, MEDIANTE DIVISIÓN SINTÉTICA
48.- ( x 3 8 x 2 6 x 1) ( x 5)
2 A) x 3 x 9
46 x 5
49.- ( x 3 125) ( x 5)
2 B) x 3 x 9
46 x 5
2 C) x 3 x 2
12 x 5
2 D) x 3 x 2
12 x 5
2 A) x 5 x 1
1 x 5
B) x 2 3x 25
2 C) x 5 x 5
3
D) x 2 5x 25
x 5
UTILIZANDO DIVISIÓN SINTÉTICA, FACTORICE LOS POLINOMIOS DE LOS PROBLEMAS 50 AL 53 50.- x 3 4 x 2 x 6 C) ( x 1)( x 2)( x 3)
D) ( x 1)( x 2)( x 3)
A) ( x 1)( x 3)( x 6) B) ( x 1)( x 2)( x 9) C) ( x 2)( x 3)( x 3)
D) ( x 2)( x 3)( x 3)
A) ( x 1)( x 1)( x 6) B) ( x 1)( x 1)( x 6) 51.- x 3 4 x 2 3x 18
52.- x 4 8 x 3 17 x 2 2 x 24 A) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)
B) ( x 1)( x 1)( x 3)( x 8)
C) ( x 1)( x 1)( x 4)( x 6)
D) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)
53.- 6 x 3 19 x 2 x 6 A) (2 x 1)(3 x 3)( x 2) B) ( x 1)(6 x 3)( x 2) C) (2 x 1)( x 1)(3x 6) D) (2 x 1)(3 x 2)( x 3)
Etapa 2 Funciones algebraicas racionales e irracionales PROBLEMAS SELECCIONADOS
I. Introducción a las funciones algebraicas racionales
II. Introducción a las gráficas de funciones racionales, discontinuidades y asíntotas
III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales
IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales
V. Gráfica de funciones irracionales
2.- Función variación
GUIA DE APRENDIZAJE Actividad diagnostica
Actividad de adquisición de conocimiento
LABORATORIO RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON SU PROCEDIMIENTO PARA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES DE LOS PROBLEMAS 1 Y 2, DETERMINE SU DOMINIO
1.- F ( x)
x 4 x 2 16
A) x 4
2.- F ( x)
A)
x 3 x 7
B) x 4
C) x 4
D) x 4
x 7 x 10 x 21 2
B)
x 0 x 21
C)
x 3
D)
x 7
PARA LA FUNCIÓN RACIONAL F ( x)
x 6 x 2 36
x 3 x 7
, CONTESTE LOS PROBLEMAS 3 AL 6
3.- DETERMINE LOS VALORES DE LA " x" PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA
A)
x 3 x 3
B)
x 0 x 6
C)
x 6 x 0
D)
x 6 x 6
4.- SI LA HAY, DETERMINE LA ASÍNTOTA VERTICAL
A) x 6
B) x 6
C) x 3
D) x
5.- ENCUENTRE LA COORDENADA DE LA DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
A) (6,0)
B) (6,
1 ) 12
C) (6,
1 ) 12
D) (6,
1 ) 12
6.- BOSQUEJE SU GRÁFICA
PARA LA FUNCIÓN RACIONAL F ( x)
x 8 x 2 8 x
, CONTESTE LOS PROBLEMAS 7 AL 10
7.- DETERMINE LOS VALORES DE LA " x" PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA
A)
x 0 x 8
B)
x 0 x 8
C)
x 4
D)
x 4
x 2 x 4
8.- SI LA HAY, DETERMINE LA ASÍNTOTA VERTICAL
A) x 0
C) x 8
B) x 8
D) x
9.- ENCUENTRE LA COORDENADA DE LA DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
A) (0,8)
1 8
C) (8, )
B) (0,8)
10.- BOSQUEJE SU GRÁFICA
PARA LA FUNCIÓN RACIONAL F ( x)
x 4 x 2 x 12
, CONTESTE LOS PROBLEMAS 11 AL 14
1 8
D) ( 8, )
11.- DETERMINE LOS VALORES DE LA " x" PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA
A)
x 4 x 3
B)
x 3 x 4
C)
x 6
D)
x 2
x 2 x 6
12.- SI LA HAY, DETERMINE LA ASÍNTOTA VERTICAL
B) x 3
A) x 3
C) x 4
D) x 4
13.- ENCUENTRE LA COORDENADA DE LA DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
1 7
1 7
1 7
B) (3, )
A) (3, )
C) (4, )
14.- BOSQUEJE SU GRÁFICA
EL PESO DE UNA PERSONA EXPRESADO EN LIBRAS ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A EL PESO EXPRESADO EN KILOGRAMOS. SI MARÍA SE PESA EN UNA BÁSCULA Y MARCA 55 Kg, PERO EL SABE QUE SU PESO EN LIBRAS ES DE 121. CONTESTE LOS PROBLEMAS 15 Y 16 15.- ESCRIBA UNA ECUACIÓN PARTICULAR QUE EXPRESE LAS LIBRAS EN TÉRMINOS DE KILOGRAMOS
A) y 2.2 x
B) y 2.2 x
C) y
2.2 x
D) y
2.2 x 2
16.- CUANTO PESARÍA UNA PERSONA EN LIBRAS SI PESA 100 Kg
libras A) y 20
libras B) y 200
libras C) y 220
libras D) y 22
1 7
D) (4, )
LA CANTIDAD DE FUERZA QUE SE APLICA PARA APRETAR UN TORNILLO CON UNA LLAVE DE TUERCAS VARÍA INVERSAMENTE CON LA LONGITUD DE LA LLAVE. SUPÓN QUE PARA UN DETERMINADO TORNILLO UNA LLAVE DE UNA LLAVE DE 15 pu lg adas LONGITUD REQUIERE DE UNA FUERZA DE 126 libras . CONTESTE LOS PROBLEMAS 17 Y 18.
17.- DETERMINE LA ECUACIÓN PARTICULAR QUE NOS INDIQUE LA FUERZA EN TÉRMINOS DE LA LONGITUD DE LA LLAVE
A) f
1890 x
1890 x
B) f
2
C) f 1890 x
D) f 1890 x 2
18.- ENCUENTRE LA LONGITUD DE LA LLAVE PARA UNA FUERZA DE 100 libras
A) x 1890 pu lg adas
pu lg adas B) x 18,900
C) x 18.9 pu lg adas
D) x 780
pu lg adas
EL NÚMERO DE CASAS QUE PUEDEN SER SERVIDAS POR UNA TUBERÍA DE AGUA, ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DEL DIÁMETRO DE LA TUBERÍA. SUPÓN QUE UNA TUBERÍA DE 30cm DE DIÁMETRO ABASTECE 450 casas . CONTESTA LOS PROBLEMAS 19 Y 20.
19.- ENCUENTRE LA ECUACIÓN PARTICULAR QUE RELACIONA EL NÚMERO DE CASAS ABASTECIDAS POR EL AGUA EN TÉRMINOS DEL DIÁMETRO DE LA TUBERÍA.
A) n
1 d 2
B) n 2d 2
C) n 5d 2
D) n
1 2 d 2
20.- CUANTAS CASAS SE PUEDEN ABASTECER DE UNA TUBERÍA DE 10cm DE DIÁMETRO.
casas A) n 75
casas B) n 100
casas C) n 500
casas D) n 50
DE ACUERDO CON LA LEY DE BOYLE MARIOTE: EN UN GAS A TEMPERATURA CONSTANTE, SU VOLUMEN ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA PRESIÓN QUE ESTÁ SUJETO. SI A UNA PRESIÓN DE
24 lb / pug 2 EL VOLUMEN DE UN GAS ES DE 690 pies 3 . CONTESTA LOS PROBLEMAS 21 Y 22.
21.- DETERMINE LA ECUACIÓN PARTICULAR QUE RELACIONA EL VOLUMEN CON LA PRESIÓN A TEMPERATURA CONSTANTE.
16560 P
A) V
C) V
B) V 16560 P 2
16560 P 2
16560 P D) V
22.- ¿CUÁL ES EL VOLUMEN QUE OCUPARIA DICHO GAS CUANDO SU PRESIÓN ES DE 144
lb / pug 2 ?
A) V 156 pies 3
B) V 115 pies 3
C) V 98 pies 3
D) V 105 pies 3
EL PESO DE UN CUERPO ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE DICHO CUERPO Y EL CENTRO DE LA TIERRA. SI UN ASTRONAUTA PESA 784 N ( Newtons) EN LA SUPERFICIE TERRESTRE. SI EL RADIO DE LA TIERRA ES DE 6,436 Km . PARA LOS PROBLEMAS 23 Y 24, DETERMINE:
23.- LA ECUACION PARTICULAR QUE RELACIONA EL PESO DE UN CUERPO CON LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE DICHO CUERPO Y EL CENTRO DE LA TIERRA.
A) p 3.25 x10 d 10
B) p 3.25 x10 d 10
2
3.25 x1010 C) p d 2
3.25 x1010 D) p d
24.- ¿CUÁNTO PESARÁ UN ASTRONAUTA CUANDO SE ENCUENTRA A 80 Km SOBRE LA SUPERFICIE TERRESTRE?
A) p 712.78 N
B) p 823.33 N
C) p 689.98 N
D) p 764.87 N
PARA LOS PROBLEMAS DEL 25 Y 26, DETERMINE EL DOMINIO PARA LAS SIGUIENTES FUNCIONES IRRACIONALES
25.- F ( x) 5 x
A) x 5
B) x 5
C) x 0
D) x 5
26.- F ( x) 7 2 x 8
A) x 4
B) x 4
C) x 4
D) x 4
27.- EVALÚE LA SIGUIENTE ECUACIÓN IRRACIONAL: F ( x) 3 3x 4 , PARA F (4)
A) F ( 4) 1
B) F (4) 7
C) F ( 4) 1
D) F ( 4) 5
Etapa 3 Funciones exponenciales y logarítmicas PROBLEMAS SELECCIONADOS RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON SU PROCEDIMIENTO
1. Problemas del cero. • Evalúa 05. • Evalúa 50
2. En los siguientes problemas, evalúa el radical utilizando la definición de exponentes recíprocos. Verifica tu respuesta por multiplicación. a) √ 437 b) √ 99 735
3. Evalúa mental mente el radical c) √ 64 d) √ 81
4. Escribe la respuesta como una fracción cuando sea necesario. e) f) g)
64 64− 64
5. En los siguientes problemas resuelve la ecuación exponencial, encontrando el valor de x con una aproximación de tres dígitos significativos. h) 3 = 20 i) 3 =100 j) 4 = 20
6. En los siguientes problemas, resuelve las ecuaciones. k) 10 =397 l) 3 = 4.333 m) 3.5 x 10 = 8.53
7. En los siguientes problemas encuentra el valor de x n) log x = 2 o) log x = -3 p) log 81 = x q) log − x =
8. Aplique la propiedad. r) a) log(9)(5) = s) b) log(51 ÷ 3) = t) c) log(54) =
9. Escribe la expresión como un logaritmo único de un solo argumento. u) log 3 + log 8 v) 12 + 3 w) 225 + 3 − 15 x) 4
GUIA DE APRENDIZAJE Actividad de adquisición del conocimiento 1. Utiliza las propiedades de los logaritmos para la escribir las siguientes expresiones como un logaritmo único con un solo argumento. a)
b) 2log x + 3log y
log3 x + log3 y
c) 5logx + 2log y − log z
d)
log28 − log2x − log2y
2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a)
log5
c)
log5 x
e)
log2 (x + 2) + log2 (x 5)
x=3
= 2.1
=3
1 x=2
b)
log9
d)
log2 (5x 3)
f)
log3 (x + 1) log3 (x 2)
=3
3. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales a)
3 729 = 3
c)
800
e)
52+1= 8
= 200
b)
46(27) = 414
d)
60000.04
f)
4000(0.85) = 2000
= 12000
=3
Actividad de organización y jerarquización 1. Define “función exponencial”. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2. Dadas las siguientes funciones identifica las que son funciones exponenciales: a) f (x) = 3x2 b) f (x) = 3(2x) c) f (x) = 3x d) f (x) = x3
Actividad de aplicación 3. El número de bacterias presentes en un cultivo después de t horas de proliferación, está dado por la expresión:
N (t)=N0(2) a) ¿Después de cuánto tiempo el número de bacterias se incrementará de 1500 a 6000? b) ¿Después de cuánto tiempo se duplicará esta cantidad ?
4. La temperatura interior de un hielera conforme transcurre el tiempo está dada por la función T=25(0.8)t , donde t es el tiempo en minutos y T es la temperatura en grados Celsius. a) ¿Cuál es la temperatura interna de la hielera en el instante en que es enchufada? ¿Y a los 10, 15 y 20 minutos? b) ¿Qué pasaría con la temperatura de la hielera si el tiempo que está enchufada crece sin límite?
c) ¿En algún momento la temperatura de la hielera alcanzará los cero grados Celsius?
LABORATORIO RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON SU PROCEDIMIENTO
I.PARA LOS PROBLEMAS DEL 1 AL 3, EVALÚE LAS POTENCIAS: 1.- 64
2 3
A) 16
B) 16
C) 512
D) 512
B) 16
C) 8
D) 8
3
2.- (32) 5 A) 16 27 3.- 64 16
A)
2 3
B)
9
16 9
C)
9
D)
16
16 9
II.RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES EXPONENCIALES. PARA LOS PROBLEMAS 4 Y 5 4.- 10 x 1,500 A) x 2.5 B) x 3.176091259 5.- 103 x 3,589,125 A) x 2.184996195
B) x 2.184996195
C) x 3.176091259 C) x 6.554988584
D) x 2.5 D) x 3.565
III.RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES LOGARÍTMICAS. PARA LOS PROBLEMAS 6 al 8 6.- log 8 ( x) A) x 2
2 3
1 7.- log 3 x 81 A) x 2 729 8.- log x 6 64 2 A) x 3
B) x 5.5
C) x 4
D) x 4
B) x 5.5
C) x 4
D) x 4
B) x
3 2
C) x
3 2
D) x
2 3
IV. PARA LOS PROBLEMAS DEL 9 Y 10 APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS, DESARROLLE SUS ARGUMENTOS
9.- log( 2 xy) A) log( 2) log( x) log( y) C) 2 log( x) 2 log( y)
B) log( 2) log( x) log( y) D) log( x 2 ) log( y 2 )
10.- log( x 2 y 3 ) A) log( 2) log(3) log( x) log( y) C) log( 2) log( x) 3 log( y)
B) 2 log( x) 3 log( y) D) log( 2) log( x) log(3) log( y)
V. ESCRIBA LAS EXPRESIONES COMO UN LOGARITMO ÚNICO CON UN SOLO ARGUMENTO, PARA LOS PROBLEMAS 11 Y 12 11.- log 5 (8) log 5 (m) log 5 (n) m A) log 5 n
8
8
B) log 5 mn
C) log 5 n 8m
D) log 5 8mn
12.- log(7) 2 log( x) 3 log( y) log( w) 4 log( z )
7 x 2 y 3 A) log 4 wz
B) log 7 xywz
x 2 y 3 C) log 4 wz
7
D) log 7 xywz
VI. RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES LOGARÍTMICAS. APLICANDO LA PROPIEDAD DEL CAMBIO DE BASE DE UN LOGARITMO, PARA LOS PROBLEMAS 13 AL 15 13.- 5 x 500 A) x 3.861353116
B) x 3.861353116
C) x 2.111232781
D) x 4.575
14.- 2 82 x 7,530 A) x 3.95947805
B) x 1.979739025
C) x 3.861353116
D) x 1.8540
C) x 14.40510795
D) x 2.0050
15.- 3.5 120.2 x 4,500 A) x 2.88102159 B) x 14.40510795
VII. UN AUTO QUE TIENE 8 AÑOS DE USO TIENE UN VALOR COMERIAL DE $28,770.76 , PERO HACE 3 AÑOS ERA DE $42,218.55 . SI EL VALOR VARÍA EXPONENCIALMENTE CON EL TIEMPO. DERERMINAR PARA LOS PROBLEMAS 16 AL 19: 16.- La ecuación particular que expresa el valor del carro y en términos de los años de uso x A) y 8,0000.88 x B) y 80,0000.843 x C) y 80,0000.88 x D) y 8,0000.88 x 17.- El valor del carro cuando tenga 12 años de uso A) y $16,253.7 B) y $18,459.1 C) y $11,788.4
D) y $12012.9
18.- El valor del carro cuando era nuevo A) y $85,000 B) y $80,000
C) y $8,000
D) y $12,000
19.- ¿Después de cuántos años de uso el valor del carro se reduce a la mitad? A) x 5.42años
B) x 3.56años
C) x 7.12años
D) x 8.56años
VIII. EL NÚMERO DE BACTERIAS n PRESENTES EN UN CULTIVO DESPUÉS DE t HORAS DE t 2
PROLIFERACIÓN SE DETERMINA POR LA ECUACIÓN n 12,000 2 . CONTESTE LOS PROBLEMAS 20 y 21 20.- El número de bacterias presentes después de 8 horas de proliferación A) n 185 ,000 bacterias B) n 127 ,500 bacterias
C) n 78 ,000 bacterias
D)
n 192,000
bacterias bacterias ? 21.- ¿Después de cuánto tiempo de proliferación habrá 384,000
horas A) t 15 D) t 3 horas
B) t 5 horas
horas C) t 10
22.- Considere que el número de bacterias n presentes en un cultivo crece exponencialmente con el tiempo t . Si el lunes de cierta semana había 800 bacterias y el viernes se incrementó a 4,050 bacterias. Determine la ecuación que corresponde a la relación entre las variables n y t , y el número de bacterias presentes en el cultivo el domingo de dicha semana. n 7001.5
t
A)
n6 8732
n 8001.5
B)
n6 9112
n 502.5
C)
n(6) 5384
n 4002.5
t
t
t
D)
n(6) 6984
23.- La intensidad de un terremoto es 10,000 veces mayor que el movimiento sísmico apenas registrable. Determine su magnitud en la escala de Richter. [ La magnitud de un terremoto en la escala de Richter R se calcula por la ecuación R log i , donde i es el número de veces que es más intenso dicho terremoto con respecto a aquel cuya intensidad es la más pequeña que puede registrarse en un sismógrafo ] A) R 4
B) R 5
C) R 2
D) R 6
24.- La intensidad del sonido es de 13,500 veces mayor que la del ruido apenas registrable. Determine su intensidad en decibeles. [La intensidad del sonido en decibeles d se calcula por la ecuación d 10 log i , donde i representa cuantas veces es más intenso un sonido que el apenas audibles] A) d 53.4 db
B) d 13.8 db
C) d 41.3 db
D) d 22.8 db
Etapa 4 Geometría Analítica PROBLEMAS SELECCIONADOS
1.- Determina Las Coordenadas De Los Vertices Del Polígono De La Figura.
2.- Dibujar El Triángulo Cuyos Vértices Son Los Dos Puntos: A(5, 2); B( –1, 4) Y C (0, – 5). 3.- Hallar la distancia entre los puntos: A( –2, 6) y B(1,10). 4.- Hallar las coordenadas del punto situado sobre el eje Y equidistante de los puntos M (5, 5) y N (4, 2). 5.- Dados los puntos A( –4, 8) y B(8, 0). Sean M el punto medio de AB y N el punto medio de AM . Hallar las coordenadas de N . 6.- Uno de los extremos de un segmento es el punto A(4, 6) y su punto medio es M (0, 1). Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento. 7.- Demostrar que los puntos A( –1, 1), B(2, 2), C (8, 4) y D(5, 3) pertenecen a la misma recta. 8.- Dada la recta r : 3 x + 4y – 12 = 0 y el punto P (1, 1). Hallar la distancia de P a r . 9.- Hallar la distancia del punto (1, 1) a la recta cuya ecuación es 3 x + 4y – 12 = 0. 10.- Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y de radio 5. 11.- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4, –5) y cuyo centro es C (6, – 4).
12.- Determinar si la ecuación x 2 1 y
2 –
14 x – 8y 1 40 5 0 representa o no una
circunferencia. En caso de que lo sea, encuentra. a) el radio; b) las coordenadas del centro; c) el perímetro de la circunferencia y d) su área. 13.- Dada la ecuación de la parábola y 2 5 12 x , encontrar: a) Las coordenadas del foco. b) La longitud del lado recto. c) La ecuación de la directriz. d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto. e) La gráfica. 14.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuya ecuación de su directriz es x = –4. 15.- Dada la ecuación de la parábola x 2 = – 8y , determinar: a) Las coordenadas del foco. b) La ecuación de la directriz. c) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto. d) La longitud del lado recto. e) Su gráfica. 16.- Dada la ecuación de la parábola x 2 – 2 x – 8y 1 33 5 0, encontrar: a) La ecuación en su forma reducida. b) Las coordenadas del vértice. c) Las coordenadas del foco. d) La ecuación de la directriz. 17.- Dada la ecuación de la elipse: Encontrar: a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) La longitud de cada lado recto. d) La longitud del eje mayor. e) La longitud del eje menor. f ) La excentricidad.
18.- Dada la ecuación de la elipse 25 x 2 + 16y 2 = 400, encontrar: a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) La longitud de cada lado recto. d) La longitud del eje mayor. e) La longitud del eje menor. f) La excentricidad. 19.- Hallar la ecuación de la elipse cuyas coordenadas de sus vértices son V (0, 5) y V’ (0, – 5) y cuya longitud del lado recto es 6. 20.- Dada la ecuación de la hipérbola 16 x 2 – 9y 2 = 144, encuentra: a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) La excentricidad. d) La longitud de cada uno de sus lados rectos. e) Las ecuaciones de las asíntotas. 21.- Dada la ecuación de la hipérbola: Encuentra:
a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) Las ecuaciones de las asíntotas.
22.- A partir de la ecuación de la hipérbola 9 x 2 –16y 2 – 54 x + 64y – 559 = 0, hallar: a) La ecuación de la hipérbola en la forma reducida. b) Las coordenadas del centro de la hipérbola.
GUIA DE APRENDIZAJE Actividad diagnóstica a) .Que es un sistema de coordenadas cartesianas? b) .Que son los cuadrantes del sistema de coordenadas? c) .Como se enumeran los cuadrantes en que se divide el sistema de coordenadas cartesiano? h) .Cual es el signo correspondiente de cada una de las coordenadas (abscisa y ordenada) de un punto localizado en cada uno de los cuadrantes en que se divide el sistema de coordenadas cartesiano?
Actividades de adquisición del conocimiento Investiga el proceso de determinar las coordenadas del punto medio de un segmento de recta si se conocen las coordenadas de sus puntos extremos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). a) ¿Cómo se define la distancia de un punto a una recta? b) ¿Qué pasos seguirías para determinar la distancia de un punto conocido (x1, y1) a una recta conocida Ax + By + C = 0? c) ¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta? ¿Cuál es la condición para la recta conocida
a) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C? b) ¿Cuáles son las coordenadas de las intersecciones de las rectas r1, r2 y r3 con los ejes X y Y? c) ¿Cuál es la longitud de los segmentos de recta AB, BC y AC? d) ¿Qué tipo de triángulo (de acuerdo con la longitud de sus lados) es el triángulo ABC? g) ¿Cuál es la distancia del punto A a la recta r2: x + 3y - 19 = 0? h) ¿Cuál es la distancia del punto B a la recta r3: 2x + y - 8 = 0 i) ¿Cuál es la distancia del punto C a la recta r1: x -2y +1 = 0?
Actividad de organización y jerarquización 1. Enuncia la definición geométrica de cada una de las cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. 2. Realiza un bosquejo de cada una de estas cónicas según su definición. 3. Identifica en el bosquejo anterior los elementos principales de cada una de las cónicas como son: centro, radio, foco(s), directriz,eje(s), vértice(s), lado(s) recto(s),etcétera.
Actividad de aplicación 1. Dadas las siguientes ecuaciones identifica la cónica correspondiente (Circunferencia, parábola, elipse o hipérbola) y determina los elementos principales para cada una: • Circunferencia: radio. • Parábola: Coordenadas del foco, longitud del lado recto y ecuación de su directriz. • Elipse: Coordenadas de sus vértices y focos, longitud de cada lado recto, longitud del eje mayor, longitud del eje menor y excentricidad. • Hipérbola: Coordenadas de sus vértices y focos, lo ngitud de cada lado recto, longitud del eje transverso, longitud del eje conjugado y excentricidad.
2. Dadas las siguientes ecuaciones de las cónicas en su forma general identifica si es una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola:
LABORATORIO
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON SU PROCEDIMIENTO
1- DETERMINE LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS A(2,5) Y B(4,3) A) d 8
B) d 10
C) d 10
D) d 6
2.- UNO DE LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO DE RECTA DE LONGITUD IGUAL A 17 ES EL PUNTO M (1,11) ; SI LA ORDENADA DEL OTRO EXTREMO ES 4, DETERMINE SU ABSCISA (DOS SOLUCIONES) x1 9 x1 3 x1 9 x1 3 A) B) C) D) x 2 5 x 2 7 x 2 7 x 2 5 3.- ¿PARA QUE VALORES DE y LA DISTANCIA ENTRE (1,7) Y (3, y ) ES IGUAL A 5? A)
y1 0 y 2 3
B)
y1 4
C)
y 2 2
y1 2
D)
y 2 3
y1 5 y 2 1
4.- DETERMINE LA COORDENADA DEL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO DE RECTA CUYOS PUNTOS EXTREMOS SON (2,5) Y (8,1) A) M (2,3) B) M (6,7) C) M (5,8)
D) M (5,3)
5.- EL PUNTO (1,2) ES EL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO DE RECTA QUE UNE A ( x,11) Y (5, y ) . DETERMINE LOS VALORES DE x Y y A)
x 4
B)
x 0
C)
x 9
D)
x 7
y 5 y 0 y 15 y 1 LOS EXTREMOS DEL DIÁMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA SON A(2,4) Y B(10,8) . CONTESTE LOS PROBLEMAS 6 Y 7
6.- DETERMINE LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA A) C (6,2)
B) C (6,2) C) C (6,2)
D) C ( 6,2)
7.- ENCUENTRE EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA A) r 7.21
B) r 14.42
C) r 6
D) r 8
PARA LOS PUNTOS A( 2,10) Y B(3,25) DE UNA LÍNEA RECTA, CONTESTE LOS PROBLEMAS 8 AL 13 8.- ENCUENTRE SU PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN A)
m 7 98º 7'48.37' '
B)
m3 81º52'11.63' '
C)
m 3 81º52'11.63' '
D)
9.- DETERMINE SU ECUACIÓN EN LA FORMA PUNTO-PENDIENTE
m7 30º5'20' '
A) y 25 7( x 3) B) y 10 7( x 2) C) y 25 7( x 3)
D) y 10 7( x 20)
10.- HALLAR SU ECUACIÓN EN LA FORMA PENDIENTE-INTERSECCIÓN A) y 7 x 4
B) y 7 x 4 C) y 7 x 4
D) y 7 x 4
11.- ENCUENTRE SU ECUACIÓN EN LA FORMA GENERAL A) 7 x y 4 B) 7 x y 4 C) 7 x y 4 D) 7 x y 4 12.- DETERMINAR SU ECUACIÓN EN SU FORMA SIMÉTRICA A)
x
7
y
4
1
B)
y x 1 7 4 4
C)
y x 1 4 4 7
D)
x
7
y
4
1
13.- HACER LA GRÁFICA EN UNA HOJA MILIMÉTRICA 14.- ENCUENTRE LA ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA EN SU FORMA GENERAL U ORDINARIA CUYA INTERSECCIÓN EN x ES 5 E INTERSECCIÓN EN y ES 3 A)
x
y
3 5
1 B) y 3 5( x 5) C) 3 x 5 y 15 D) y 3x 15
15.- ENCUENTRE LA DISTANCIA DE LA RECTA 3 x 4 y 4 AL PUNTO (6,2) A) d 6
B) d 4
C) d 9
D) d 6
PARA LOS PROBLEMAS 16 Y 17, DETERMINE LAS DISTANCIAS ENTRE CA DA PAR DE RECTAS PARALELAS 16.-
3 x 4 y 12 3 x 4 y 8
A) d
17.-
7 5
B) d 4
C) d
6 5
D) d 5
2 x 10 0 3 x 9 0
A) d 5
B) d
C) d 8
D) d 0
PARA LOS PROBLEMAS 18 AL 21, DETERMINE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE SATISFACE LAS CONDICIONES DADAS 18.- CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO 6 A) x 2 y 2 6
B) x 2 y 2 36
C) x 2 y 2 12
D) x 2 y 2 4
19.- PASA POR EL PUNTO P (5,12) Y CENTRO EN EL ORIGEN A) x 2 y 2 169 B) x 2 y 2 25
C) x 2 y 2 144
D) x 2 y 2 4
20.- CON CENTRO C (7,4) , Y RADIO 5 A) x 2 y 2 14 x 8 y 40 0
B) x 2 y 2 14 x 8 y 40 0
C) x 2 y 2 7 x 4 y 25 0
D) x
2
y 2 25
21.- PASA POR EL PUNTO P (1,3) Y CENTRO C (4,1) A) x 2 y 2 14 x 8 y 40 0
B) x 2 y 2 14 x 8 y 40 0
C) x 2 y 2 7 x 4 y 25 0
D) x
2
y 2 8 x 2 y 24 0
TRANSFORME LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA DE SU FORMA REDUCIDA A SU FORMA GENERAL, PARA LOS PROBLEMAS 22 Y 23 22.- ( x 2) 2 ( y 3) 2 20 A) x 2 y 2 2 x 3 y 20 0
B) x 2 y 2 12 x 3 y 20 0
C) x 2 y 2 4 x 6 y 20 0
D) x
2
y 2 4 x 6 y 7 0
23.- x 2 ( y 8) 2 65 A) x 2 y 2 8x 1 0
B) x 2 y 2 8 y 3 0
C) x 2 y 2 16 y 1 0
D) x
2
y 2 8x 65 0
TRANSFORME LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA DE SU FORMA GENERAL A SU FORMA REDUCIDA, PARA LOS PROBLEMAS 24 Y 25 24.- x 2 y 2 6 x 4 y 9 0 A) ( x 5) 2 ( y 6) 2 2
B) ( x 3) 2 ( y 2) 2 4
C) ( x 2) 2 ( y 4) 2 9
D) ( x 3) 2 ( y 3) 2 25
25.- x 2 y 2 14 y 15 0 A) ( x 6) 2 ( y 7) 2 36
B) x 2 ( y 7) 2 64
C) ( x 2) 2 ( y 3) 2 49
D) ( x 7) 2 y 2 64
26.- DETERMINE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN SU FORMA GENERAL CUYO CENTRO ES C ( 2,5) Y QUE ES TANGENTE A LA RECTA x 7
A) x 2 y 2 4 x 10 y 52 0
B) x 2 y 2 2 x 8 y 52 0
C) x 2 y 2 8 x 5 y 32 0
D) x 2 y 2 8 x 5 y 32 0
27.- DETERMINE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN SU FORMA GENERAL CUYO CENTRO ES C (3,4) Y QUE ES TANGENTE A LA RECTA 5 x 12 y 7 0 A) x 2 y 2 6 x 8 y 21 0
B) x 2 y 2 6 x 8 y 21 0
C) x 2 y 2 x 5 y 30 0
D) x
2
y 2 x 5 y 30 0
PARA LOS PROBLEMAS 28 AL 31, DETERMINE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA QUE SATISFACE LAS CONDICIONES DADAS 28.- CON FOCO EN F (5,0) A) x 2 20 y B) y 2 20 x C) y 2 20 x
D) x 2 20 y
29.- CON DIRECTRIZ y 3 A) x 2 12 y
B) y 2 12 x
C) y 2 12 x
D) x 2 12 y
30.- CON LADO RECTO LR 7 Y SE ABRE HACIA LA IZQUIERDA A) x 2 28 y B) x 2 28 y
C) y 2 7 x
D) y 2 7 x
31.- PASA POR EL PUNTO P (6,3) Y SU FOCO ESTA SOBRE EL EJE y A) x 2 12 y
B) y 2 8 x C) y 2 8 x
D) x 2 12 y
PARA LAS ECUACIONES DE LAS PARÁBOLAS DE OS PROBLEMAS 32 Y 33, DETERMINE LA LONGITUD DEL LADO RECTO, LAS COORDENADAS DEL FOCO Y LA ECUACIÓN DE SU DIRECTRIZ 32.- y 2 4 x
LR 4 A) F (0,2)
directriz : x 1
LR 4
LR 4
B) F (1,0)
C) F (0,2)
directriz : x 1
directriz : x 1
LR 4 D) F (1,0)
directriz : x 1
33.- x 2 28 y LR 28
LR 4
LR 4
A) F (0,7)
B) F (1,0)
C) F (0,2)
directriz : x 1
directriz : y 7
LR 4 D) F (1,0)
directriz : x 1
directriz : x 1
34.- DETERMINE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN SU FORMA REDUCIDA Y EL LADO RECTO, DONDE CUYO FOCO ES 2,2 Y EL VÉRTICE 2,2 Y GRAFÍQUELA A)
y 22 16 x 2
B)
LR 16
2 2 16 x 16 2 y x y C) D) LR 8 LR 8
y 22 16 x LR 8
DADA LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA x 2 4 x 16 y 4 0 . PARA LOS PROBLEMAS DEL 35 AL 37, DETERMINE: 35.- LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN SU FORMA REDUCIDA Y EL LADO RECTO A)
x 22 16 y LR 16
B)
x 22 16 y
C)
LR 16
y 22 16 x
D)
LR 16
y 22 16 x LR 16
36.- LAS COORDENADAS DEL FOCO Y DEL VÉRTICE A) F 2,0, V 2,4
B) F 2,4, V 2,0
C) F 2,0, V 2,4
D) F 2,4, V 2,4
37.- LA ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
DADA LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE: DETERMINE:
D) y 4
C) x 4
B) y 4
A) x 4
4 x 2 9 y 2 144 , PARA LOS PROBLEMAS DEL 38 AL 41
38.- LAS COORDENADAS DEL LOS FOCOS Y VÉRTICES A)
V 1 6,0, V 2 6,0
F 1 2 5,0 , F 2 2 5,0
B)
V 1 6,0, V 2 6,0
V 1 6,0, V 2 6,0 C) D) F 1 2 5 ,0 , F 2 2 5 ,0 F 1 0,2 5 , F 2 0,2 5 F 1 5 ,0 , F 2 5 ,0
V 1 0,6, V 2 0,6
39.- LONGITUD DEL EJE MAYOR Y EJE MENOR A)
Eje mayor 8 Eje menor 12
B)
Eje mayor 12 Eje menor 8
40.- EL LADO RECTO Y LA EXCENTRICIDAD
C)
Eje mayor 20 Eje menor 5
D)
Eje mayor 5 Eje menor 20
16 3 A) 3 5 e 5
16 3 B) 5 e 3 LR
LR
3 16 C) 5 e 3 LR
LR D) e
3 16
2 5 5
41.- LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS EXTREMOS DEL EJE MENOR A) B1 4,0, B2 4,0
B) B1 4,0, B2 4,0
C) B1 0,4, B2 0,4 D) B1 0,4, B2 0,4
DADO UNO DE LOS VÉRTICES V 1 0,3 Y LA EXCENTRICIDAD e
2 DE UNA ELIPSE AL ORIGEN, 3
DETERMINE PARA LOS PROBLEMAS 42 Y 43: 42.- LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
x 2 y 2 A) 1 9 5
x 2 y 2 B) 1 9 5
x 2 y 2 C) 1 5 9
y2 x 2 D) 1 5 9
43.- LAS COORDENADAS DE LOS FOCOS Y EL LADO RECTO
F 1 2,0, F 2 2,0 A)
LR
F 1 2,0, F 2 2,0 B)
3 10
LR
10 3
F 1 0,2, F 2 0,2 C)
LR
10 3
F 1 0,2, F 2 0,2 D)
LR
3 10
TRANSFORME LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE LA ELIPSE DE SU FORMA REDUCIDA A SU FORMA GENERAL, PARA LOS PROBLEMAS 44 Y 45 44.-
x 12 9
y 2 2 25
1
A) 25 x 2 9 y 2 50 x 36 y 164 0
B) 9 x 2 25 y 2 14 x 8 y 164 0
C) 25 x 2 9 y 2 7 x 54y 125 0
D) 9 x 2 25 y 2 8 x 2 y 164 0
45.-
x 52 16
y 6 2 9
1
A) 9 x 2 16 y 2 90 x 192 y 657 0
B) 9 x 2 16 y 2 144 x 81y 801 0
C) 16 x 2 9 y 2 72 x 514 y 801 0
D) 16 x 2 9 y 2 712 x 614 y 657 0
TRANSFORME LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE LA ELIPSE DE SU FORMA GENERAL A SU FORMA REDUCIDA, PARA LOS PROBLEMAS 46 Y 47 46.- 4 x 2 25 y 2 16 x 50y 59 0
A)
C)
x 12 y 22 5
2
2
2
1
x 12 y 22 22
B)
1
52
D)
x 22 y 12 5
2
2
2
x 22 y 12
22
52
1
1
47.- 169 x 2 144 y 2 338 x 864 y 22,871 0 A)
C)
x 32 y 12 12 2
132
x 32 y 12
132
12 2
1
B)
1
D)
DADA LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE:
x 32
25
y 4 2 16
x 32 y 12
132
12 2
x 32 y 12 12 2
132
1 1
1 , PARA LOS PROBLEMAS DEL 48 AL 52
DETERMINE: 48.- LONGITUD DEL EJE MAYOR Y EJE MENOR A)
Eje mayor 16
B)
Eje menor 9
Eje mayor 9 Eje menor 6
C)
Eje mayor 10 Eje menor 8
D)
Eje mayor 8 Eje menor 10
49.- LAS COORDENADAS DEL LOS VÉRTICES A) V 1 0,4, V 2 8,2
B) V 1 2,0, V 2 6,4
C) V 1 2,4, V 2 8,4
D) V 1 2,4, V 2 8,4
50.- LAS COORDENADAS DE LOS FOCOS A) F 1 0,4, F 2 6,4
B) F 1 0,2, F 2 6,2
C) F 1 3,0, F 2 3,6
D) F 1 3,4, F 2 3,0
51.- EL LADO RECTO Y LA EXCENTRICIDAD LR A)
16 5
4 e 5
LR B)
3 e 5
18 5
LR C)
5 e 3
5 18
LR D)
e
5 16
5 4
52.- LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS EXTREMOS DEL EJE MENOR A) B1 4,1, B2 4,6 B) B1 4,0, B2 4,8 C) B1 3,1, B2 3,6 D) B1 3,0, B2 3,8 DADA LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA DETERMINE:
x 2 y 2 1 , PARA LOS PROBLEMAS DEL 53 AL 57, 25 9
53.- LA LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO Y EL EJE CONJUGADO
A)
Eje transverso 9 Eje conjugado 6
B)
Eje transverso 6 Eje conjugado 9
C)
Eje transverso 10 Eje conjugado 6
D)
Eje transverso 12 Eje conjugado 6
54.- LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES A) V 1 3,0, V 2 3,0
B) V 1 4,0, V 2 4,0
C) V 1 0,5, V 2 0,5
D) V 1 5,0, V 2 5,0
55.- LAS COORDENADAS DE LOS FOCOS A) F 1
B) F 1 0,4, F 2 0,4 C) F 1 3,0, F 2 3,0
34 ,0 , F 2 34 ,0
D) F 1 0, 2 , F 2 0, 2
56.- EL LADO RECTO Y LA EXCENTRICIDAD
16 5 A) 2 e 5 LR
LR B)
18 5
LR C)
34 e 5
5 e 3
5 18
LR D) e
5 16
5 4
57.- LAS ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS
3 4
5 4
A) y x
B) y x
2 3
C) y x
3 5
D) y x
TRANSFORME LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA DE SU FORMA REDUCIDA A SU FORMA GENERAL, PARA LOS PROBLEMAS 58 Y 59 58.-
x 22 y 12 4
5
1
A) 5 x 2 4 y 2 20 x 8 y 4 0
B) 5 x 2 4 y 2 24 x 18y 16 0
C) 4 x 2 952 27 x 54y 25 0
D) 4 x 2 5 y 2 18 x 12 y 64 0
59.-
y 32 x 22 16
9
1
A) 9 x 2 16 y 2 90 x 192 y 157 0
B) 9 x 2 16 y 2 14 x 81y 80 0
C) 9 y 2 16 x 2 64 x 54 y 127 0
D) 16 y 2 9 x 2 72 x 14 y 157 0
TRANSFORME LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE LA ELIPSE DE SU FORMA GENERAL A SU FORMA REDUCIDA, PARA LOS PROBLEMAS 60 Y 61 60.- 5 x 2 4 y 2 20 x 24 y 4 0
A)
x 12 y 52
C)
y 42 x 72
8
6
3
5
1
B)
1
D)
y 32
2 x 2 1
5
4
x 22 y 1 2
2
5
1
61.- 4 y 2 25 x 2 200 x 16 y 484 0 A)
C)
x 32 y 12
22
32
y 52 x 52
52
42
1
B)
1
D)
DADA LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA:
y 32 x 42 42
32
x 32 y 12 32
22
y 22 x 42
52
22
1
1
1 , PARA LOS PROBLEMAS DEL 62 AL
66, DETERMINE: 62.- LA LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO Y EL EJE CONJUGADO A)
Eje transverso 8 Eje conjugado 6
B)
Eje transverso 10 Eje conjugado 9
C)
Eje transverso 10
D)
Eje conjugado 8
Eje transverso 12 Eje conjugado 4
63.- LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES A) V 1 8,4, V 2 2,4 B) V 1 7,4 , V 2 1,4
C) V 1 4,8, V 2 4,0
D) V 1 4,7, V 2 4,1
64.- LAS COORDENADAS DE LOS FOCOS A) F 1 4,8, F 2 4,2 B) F 1 8,4, F 2 2,4 C) F 1 4,7, F 2 4,1
D) F 1 7,4 , F 2 1,4
65.- EL LADO RECTO Y LA EXCENTRICIDAD LR A)
6 5
1 e 5
LR B)
8 5
LR C)
3 e 5
9 2
5 e 4
LR D) e
5 4
5 3
66.- LAS ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS
3 4
A) y x
B) y 3
4 x 4 3
C) y 4
3 x 3 4
3 5
D) y x
RELACIONE AMBAS COLUMNAS, DETERMINANDO ASÍ A QUE ECUACIÓN LE CORRESPONDE 67.- x 2 y 2 6 x 4 y 9 0
A) ELIPSE
68.- x 2 4 x 16 y 4 0
B) HIPERBOLA
69.- 4 x 2 25 y 2 16 x 50y 59 0
C) CIRCUNFERENCIA
70.- 5 x 2 4 y 2 20 x 8 y 4 0
D) PARABOLA
EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES GRAFICAS COLOCA SOBRE LA LINEA LA ECUACION QUE LE CORRESPONDE CONSIDERANDO LAS SIGUIENTES OPCIONES: A) y
2
8 x 8 y 64 0
C) x 2 y 2 36
B)
D)
x 2 y2 1 100 36 y 2
9
71.-
72.-
x2
16
1
