Actividades de Matematicas

Actividades de matemáticas 4º de E.S.O.

Actividades de matemáticas 4º de E.S.O. 2ª edición revisada © Jesús Molina Núñez Antonio M. García Barberá Roland Calvo Calabuig ISBN: 978–84–9948–938–4 e-book v.1.0

ISBN edición en Papel: 978-84-8454-544-6

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Maqueta y diseño: Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

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Índice

Tema 1: Números Reales Tema 2: Polinomios Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Tema 4: Funciones Tema 5: Semejanza Tema 6: Trigonometría Tema 7: Funciones trigonométricas Tema 8: Estadística Tema 9: Probabilidad

5 19 41 79 131 149 165 191 229

Soluciones

258

Este libro ha sido pensado para las dos opciones, se han señalado con la letra B aquellos temas o actividades “recomendables” sólo para la opción B.

Tema 1: Números Reales

En cursos anteriores hemos clasificado los números según el cuadro siguiente:

⎧ ⎧ ⎧ Naturales ⎪ ⎪ Enteros : ⎨ ⎪ Racionales : ⎨ ⎩ negativos Reales : ⎨ ⎪ Racionales no enteros ⎩ ⎪ ⎪ Irracionales ⎩

Actividad 1.Clasifica los números atendiendo al cuadro anterior.

2; −2;

−3 ; 4

4;

3, 22222... ; 0; 3,15222... ;

1 ; 3

−1;

−6 ; 2 3

2 ; 7

3

8; π ; −4, 25 ;

2; 3,101001000....; 3

3

5; 9 ; 3

4; 11, 23581321....; 1;

3

−2

−1 3

5

Para poder distinguir entre los distintos tipos de números, daremos algunas propiedades que nos serán de utilidad:

6 Naturales: no tienen parte decimal, son positivos, sirven para contar cosas: 9 2 ; 4 ; 3 8; 3 Enteros: no tienen parte decimal, pero pueden ser positivos o negativos: 9 −6 3 2 ; − 2 ; 4; ; 8 ; 3 − 1; 2 3 Racionales: son todos los que se pueden expresar como división de dos números enteros. En principio cualquier número decimal con una cantidad finita de cifras decimales o con un cierto periodo decimal. −3 −6 9 1 2 ; − 2 ; ; 4; ; 3 8; − 4, 25 ; 3, 222222... ; 3 −1; ; ; 4 2 3 3 Irracionales: todos los no racionales, es decir, aquellos que no se pueden representar como una fracción, por tanto deberán tener infinitas cifras decimales y éstas no seguir ningún periodo. π ; 5; 3,101001000....; 3 4; 3 −2

Actividad 2.Clasifica los siguientes números: 3,12345....; 6, 25; − 4;

−2 −8 ; 64; ; 3 −8; −4; 3 4

2 12 3 3 ; ; 5; −4; 6, 24242424...; − 2,10222.. 7 3

Notación científica A menudo es necesario debido a la magnitud de ciertas cantidades trabajar en lo que se denomina notación científica, que consiste en expresar ciertas cantidades que suelen ser muy grandes o muy pequeñas como producto de un número “pequeño” por una potencia de 10. Esto resulta bastante útil no sólo a la hora de expresarlo sino también a la hora de operar con ellos. Para hacer operaciones en notación científica es necesario dominar las propiedades de las potencias. an 1 n m n m n+m −m 0 n−m a = an m a a =1 a · a = a = a = ( ) m m a a

7 Veamos a continuación algunos ejemplos de dichas cantidades, que en ciencia son bastante comunes: o o o o o o o o o o o o o

El radio del protón es 0,00000000005 metros. El tamaño del virus del resfriado común es 0,0000000022 metros. La masa de la Tierra es 5980000000000000000000000 kilos. El número de partículas que hay en un litro de aire en condiciones ambientales es 2448373980000000000000. La distancia media de la Tierra a la Luna es 384000000 metros. La distancia media de la Tierra al Sol es 149600000000 metros. La masa de la Luna es 73474000000000000000000 kilos. La masa del Sol es 1988920000000000000000000000000 kilos. El radio del Sol es 696000000 metros. La velocidad de la luz es 300000 km/s. Altitud del Everest 8846,1 metros. Tiempo transcurrido desde la desaparición de los dinosaurios 65000000 años Una diezmillonésima.

Veamos algunas de estas cantidades expresadas en notación científica: o Radio del protón: 0,00000000005 m = 5 ·10 -11 m o Diámetro del Sol: 2 · 696000000 m. = 1392000000 m. = 1,392 ·109 m. o Masa de la Tierra: 5980000000000000000000000 Kg. = 5,98 ·10 24 Kg.

Actividad 3.Expresa el resto de las cantidades anteriores en notación científica.

Actividad 4.¿Cuántas veces pesa más la Tierra que la Luna? ¿y el Sol que la Tierra?

Actividad 5.Sabiendo que un año luz es la distancia que la luz recorre a lo largo de un año en kilómetros, calcula esa distancia.

8 Veamos ahora algunos ejemplos de cómo operar en notación científica: a) En el caso de las multiplicaciones y divisiones, bastaría con aplicar las propiedades de potencias y agrupar las potencias de base 10, multiplicando o dividiendo también los números que acompañan a éstas: i ) 4,1 · 106 · 5,2 · 103 = 4,1 · 5,2 · 106+3 = 21,32 · 109 ii )

(6,3 · 10 )÷ (2,1 · 10 ) = (6,3 ÷ 2,1) · 10 8

10

8−10

= 3 · 10−2

iii ) 1,2 · 10 −15 · 2,3 · 10 −5 = 1,2 · 2,3 ·10−15−5 = 2,76 · 10−20

b) En el caso de sumas y diferencias, para poder resolverlas los sumandos deben tener la misma potencia de 10, en caso contrario deberemos de convertir una de ellas. Veamos algunos ejemplos: i) 2,8 · 1010 + 4 · 1010 = (2,8 + 4) ·1010 = 6,8 · 1010 ii ) 3,5 · 1010 − 2,4 · 109 = 35 · 109 − 2,4 · 109 = (35 − 2,4) · 109 = 32,6 · 109 iii ) 3,2 · 10−3 + 1,3 · 10− 4 = 32 · 10− 4 + 1,3 · 10− 4 = 33,3 · 10− 4

Actividad 6.Resuelve las operaciones siguientes:

a ) 3 · 109 · 5 · 109 b)

(2,5 · 10 ) ÷ (5 · 10 ) 20

18

c) 7,8 · 10 −3 · 2 · 10−4

d)

(2,5 · 10 )÷ (2,5 · 10 ) 30

31

e) 1,5 · 10 25 · 4 · 10 25 f)

(7,2 ·10 ) ÷ (1,2 · 10 ) −32

−31

Actividad 7.Resuelve las operaciones siguientes: a ) 3,7 ·109 + 4,5 ·109

d ) 5 ·1030 + 2,64 ·1031

b ) 2,5 ·1020 − 2,4 ·1018 c) 2,78 ·10−3 − 1,6 ·10− 4

e ) 6,5 ·1025 − 4,6 ·1025 f ) 7,8 ·10−32 + 1,6 ·10−31

9

Números racionales Los números racionales podemos expresarlos de dos formas distintas: de forma decimal o como fracción de dos números enteros. 17 Ejemplo: 3,4 = 5 Veamos el paso de decimal a fracción, ya que el paso contrario sólo consiste en realizar la división. Supongamos que tenemos un número con una cantidad finita de cifras decimales; multiplicándolo por una potencia de 10 obtendremos un número entero, por tanto sólo nos queda “despejar” el número y lo tendremos en forma de fracción. Veamos un ejemplo: x = 2,8756 ⇒ 10000 x = 28756 ⇒ x =

28756 4189 = 10000 2500

Supongamos ahora que tenemos un número con una cantidad infinita de cifras decimales que tiene algún periodo. La idea consiste en obtener dos números periódicos puros con el mismo periodo (multiplicando el número por dos potencias de 10 distintas); una vez hecho esto restaremos dichas cantidades y obtendremos un múltiplo de nuestro número, que en realidad es un número entero, así pues sólo nos queda despejar nuestro número. Veamos un ejemplo: ⎧ 1000x = 23456,5656... x = 23,45656.. ⇒ ⎨⎩− ( 10x = 234,5656... 990x = 23222,0000...

)

⇒x=

23222 11611 = 990 495

Actividad 8.Expresa los siguientes números como fracciones de números enteros: g ) 2,999 h) 5,67888...

a ) 2,32 b) 1,999...

d ) 5,575 e) − 29,234141...

c) 31,2323...

f ) 381,271271.... i ) 2,12345...

10

Números irracionales Al igual que cuando trabajamos con números racionales, normalmente en nuestros cálculos no solemos trabajar con números en expresión decimal (trabajamos con las fracciones). Con los números irracionales intentaremos hacer lo mismo siempre que esto sea posible. Pero los números irracionales tienen diversas procedencias, por lo que no existe una forma general de expresarlos. 3; 5; 7 ; 3 2 ; 4 3; π; ϕ;

2;

1+ 5 2

1,01001000100001....; 1,1235813213455....

Muchos de los números irracionales aparecen en forma de radical. Por tanto nos interesa recordar la equivalencia entre los radicales y las potencias. Así expresaremos la raíz enésima de un número en forma exponencial 1 n

a = an

m n

am = a n

Usando dicha relación, se puede comprobar que se cumplen las propiedades siguientes: a)

n

b)

n

c) d)

a b =n a

a = b

( a)

p

n

m

n

a

n n

n

b

a b

= n ap

= m• n a

Partiendo de estas propiedades se podrán realizar algunos cálculos y simplificaciones que serán muy útiles.

11 Para calcular de raíces (de cualquier índice) descompondremos el radicando en factores primos y utilizaremos las propiedades de las raíces. Ejemplo, cuando es exacta: 2 2

4 2

2500 = 2 · 5 = 2 · 5 = 21 · 52 = 50 2

a)

4

6

b)

3

729 = 3 36 = 3 3 = 32 = 9

c)

5

1024 = 5 210 = 2 5 = 2 2 = 4

10

2

2

2

1764 = 22 · 32 · 7 2 = 2 2 · 3 2 · 7 2 = 42

d)

Actividad 9.Calcula las siguientes raíces: a) 144

b) 3 1000

c) 196

d) 3 1728

e)

f)

676

225

Ejemplo, cuando la raíz no es exacta: En este caso extraemos factores de la raíz simplificándola. 2 2

1 2

a)

8 = 2 ·2 = 2 · 2 = 2 2

b)

320 = 2 6 · 5 = 2 2 · 5 2 = 2 3 5 = 8 5

2

6

4 6

1

2 3

c)

6

81 = 3 = 3 = 3 = 3 32 = 3 9

d)

6

512 = 2 = 2 = 2 = 2 · 2 = 2 2

6

4

6

9

9 6

3 2

2 2

1 2

12

Actividad 10.Extrae factores de las raíces y simplifica cuando sea posible: 324

b) 6 1000

c)

216

d)

e)

32

g)

375

a)

4

3

576

f)

4

8100

h)

3

375

En la comparación de radicales, es decir, para determinar si un radical es mayor que otro, procederemos del siguiente modo: 28 y 3 128

Ejemplo: Ordena los radicales 1

1

3

2

28 y 3 128 ⇒ 28 2 y 128 3 ⇒ 28 6 y 128 6 ⇒ ⇒ 6 283 y 6 1282 ⇒ 6 21952 y 6 16384 28 > 3 128

Claramente llegados aquí, resulta que Ejemplo: Ordena los radicales 6

32 y

4

1 6

1 4

8 ⇒ 32 y 8 ⇒ 32

Actividad 11.Compara las siguientes raíces: a) 5 y

4

32

b) 3 60 y 10 c) 4 4000 y 65

4 2 12

8 y

6

3 12

32

y 8 ⇒2

10 12

9 12

y 2 ⇒ 6 32 >

4

8

13 Para multiplicar y dividir raíces del mismo índice, operaremos de la manera siguiente, multiplicamos o dividimos los radicandos y después simplificamos la nueva raíz. Ejemplo: 4

2

a)

8 18 = 8 · 18 = 144 = 24 ·32 = 2 2 · 3 2 = 22 ·3 = 12

b)

32 10 = 320 = 2 · 5 = 2 · 5 = 2 · 5 = 8 5 6

6 2

1 2

1 2

3

3

c)

72 3 72 3 = = 8 = 3 23 = 2 3 9 9

3

d)

6

3

3

72

81

6 · 81 2 · 3 · 34 33 3 =3 3 2 =3 2 = 3 72 2 ·3 2 22

=3

Actividad 12.Resuelve y simplifica los siguientes productos y cocientes: a) 12 3

c) e)

3

i) 192

m)

648

f)

192 27

g)

k)

d)

4

9

3

500 75 12

8

b) 4

500 3

3

75

j)

3

l)

4

n)

4

8 4

3

1250 162 3

54

16

32

h) 27

54

4

6

8

32

6

8

1250

4

8

4

54 8

162

14 En la multiplicación y división de raíces de distinto índice convertimos las raíces en potencias, reducimos los exponentes al mismo denominador, volvemos a la notación con radicales y simplificamos si se puede. a)

5

3

5

3

72

1 3

2 =5 ·2 =5 1

b)

9

1 5

=

72 3 9

1 2

(3 ·2 ) = (3 )

c)

4 4

32 32

=

1 2 2

32

3 15

=

= 15 5 5 · 2 3 = 15 3125 · 8 = 15 25000 2

=

3

3 3 ·2 3 3

2

1

4 3 · 32 2 1 4

·2

1 3 3

2

1 3

5 15

−1

−1

5 4

2 3

5

23 · 22 2

2 2

2

= 3 3 ·2 = 3 3 · 2 =

2

= 23

+

5 5 − 2 4

=2

8 + 30 −15 12

1 3

=

2 3

3

23

= 2 12 = 12 2 23 = 2

12

211

Actividad 13.Resuelve y simplifica los siguientes productos y cocientes: a)

12

b) 3 9

3

3

500

4

8 64 3 9

c)

16

d)

54

24

No existen propiedades para sumar ni restar raíces. No obstante para realizar operaciones de este tipo simplificamos y extraemos factores. Nos podemos encontrar con dos casos: ƒ

Radicandos distintos, ejemplo: 2− 2 + 3

no podemos hacer nada, (si acaso calcular una aproximación). ƒ

Radicandos iguales, ejemplo: 8 − 18 = 23 − 32 · 2 = 2 2 − 3 2 = − 2

15 Veamos ahora otros ejemplos donde también se podrá simplificar:

a ) 75 + 2 3 − 5 12 = 52 ·3 + 2 3 − 5 2 2 ·3 = 5 3 + 2 3 − 10 3 = −3 3 b ) 20 − 36 + 5 = 2 2 ·5 − 6 + 5 = 2 5 − 6 + 5 = −6 + 3 5

c)

2 2 3 2 200 + 6 8 + 25 = 2 ·5 + 6 23 + 5 = 3 3 2 56 = 10 2 + 12 2 + 5 = 2 +5 3 3

d ) 32 − 2 3 + 4 8 = 25 − 2 3 + 4 23 = 4 2 − 2 3 + 8 2 = 12 2 − 2 3

Actividad 14.Resuelve y simplifica las sumas y restas siguientes: 20 9

a)

5 − 500 +

b)

75 + 2 12 − 3 27

c)

32 − 3 8 + 50 − 12

d)

12 − 75 + 300

e)

20 − 45 + 605 9

f)

44 − 99 + 176

g)

3

24 + 3 375

h)

3

1024 − 3 1458

16

Racionalización Cuando tenemos una fracción con algún radical en el denominador, buscaremos una fracción equivalente en la que no aparezca el radical en el denominador. Para conseguirlo usaremos las propiedades siguientes: a=

a n

( (

ap

( a)

2

=a

a n −p = n a n = a ∀p < n

n

a +b

)( a − b) = ( a ) − b = a − b b )( a − b ) = ( a ) − ( b ) = a − b 2

2

2

a+

2

2

Veamos algunos ejemplos de racionalización:

2 2 = 5 5

a) b) c) d)

4 4

32

=

4

5 2 5 2 5 = = 2 5 5 5

4

4

32

32

4

32

=

44 32 4

34

44 32 = 3

2 2 1+ 2 2 + 2 2 2 + 2 2 = = = = −2 − 2 2 2 −1 1 − 2 1 − 2 1 + 2 12 − 2 3 3 = 3− 2 3− 2

3+ 2 9+ 6 3+ 6 = = = 3+ 6 2 2 1 3+ 2 3 − 2

Actividad 15.Racionaliza las siguientes fracciones con radicales: 2 5 b) 2 3 1+ 2 6 −1 d) e) 6 2 2+ 3 1− 2 g) 2 + 3 −3 a)

18 2 1 f) 2 +1 5 h) 1− 5 + 2 c)

17

Actividades de refuerzo 1. Clasifica los números: 2 −8 − 2,333...; 4,33; ; ; − 9 ; 3 − 27 ; 2,875; 8 ; 9 ; − 3 8 2 Sol Q; Q; Q; Z; ; Z; Q; I; N; 2. Realiza las operaciones en notación científica:

a ) 2,9·10 23 − 4,5·10 22 + 0,5·10 24 b ) 4,2·10 −10 · 5,6·10 22 c)

4,2 ·10 −18 2,1 ·10 −15

Sol a) 74,5 · 1022 b) 23,52 · 1012 c) 0.002 3. Expresa en forma de fracción las expresiones decimales:

a) 3,222

b) 4,333....

c) 2,25777... Sol a) 29/9 b) 13/3 c) 508/225 4. Extrae fuera de la raíz todos los factores que sea posible y simplifica: a) 3

b)

8600

c)

3

80

729

d)

4

48

Sol 10 86 9 2 3 10

24 3

5. Compara las raíces: a ) 130

y

b) 3 16

y

3

5

1400 256

Sol 130 > 3 1400

3

16 < 5 256

18

6. Realiza las operaciones y simplifica: a) 3

b)

24

6

100

3

3

4

c)

3

25

d)

32

100 10 4 3

72

108

Sol 12

5 35 10 2 2 2

7. Resuelve y simplifica las sumas y restas de radicales: a)

72 − 2 200 +

b)

27 − 8 + 48

18 25

2 169 − 10 400 + 1000 3 67 Sol a ) − 2 b) 7 3 − 2 2 5 8. Racionaliza las expresiones: c)

a)

1

b)

− 3

1− 3 3

3

c)

Sol a) −

3 3

3

c) −

574 + 10 10 3

2 4 b)

3 −3 3

3

c)

4 2

9. Racionaliza las expresiones:

a) Sol a)

3 2 −2

3 2 +6 −2

b)

1− 3 3− 2

b) − 3 + 2 + 3 − 6

c)

1− 2 3 − 2 +1 c)

4−3 2 −2 3 + 6 4

Tema 2: Polinomios

Actividad 1.Expresa en el lenguaje algebraico las expresiones siguientes: a) b) c) d)

El doble de un número. El perímetro de un triángulo equilátero es de 18 metros. El doble de un número menos su quinta parte. El doble de un número menos otro.

La respuesta a cada una de estas preguntas es una expresión algebraica en la que intervienen uno o más términos. Efectivamente, en el apartado último de la actividad anterior la expresión es 2x – y, donde intervienen dos variables.

Actividad 2.Expresa mediante el lenguaje algebraico cada uno de los enunciados siguientes: a) b) c) d)

El área de un cuadrado de lado x. El área de un círculo de radio x. El perímetro de un cuadrado de lado x. El volumen de una esfera de radio x.

20 Cada una de las expresiones anteriores es una expresión algebraica que consta de un solo término. La expresión πx2 que nos proporciona el área de un círculo de radio x, está formada por el producto de una parte numérica π y una parte literal x2. A la letra asociada (x) o parte literal se le denomina indeterminada. Un monomio es una expresión algebraica de la forma axn, donde a es un número real y n un número natural.

Actividad 3.Indica cuales de las expresiones algebraicas siguientes son monomios. πx2 x2 +3x – 1 2x – 3 32x4 3 21 e) x 5 a) b) c) d)

En cada monomio nos encontraremos la indeterminada acompañada de un factor numérico que llamaremos coeficiente y un exponente al que va elevada, al que llamaremos grado del monomio.

Actividad 4.Indica cuales de las expresiones son monomios y el grado de los mismos. a) b) c) d) e)

12x5 3x4 3x4 + 2x3 5 x312 7

21

En la actividad anterior la expresión 3x4 + 2x3 no es un monomio, ya que no cumple los requisitos de la definición. En cursos anteriores estudiábamos los sistemas de numeración y la escritura de los números en cada uno de ellos. En nuestro sistema, el número 4628 tiene el desarrollo siguiente: 4628 = 4 ⋅ 10 3 + 6 ⋅ 10 2 + 2 ⋅ 10 + 8

Esta es la manera de descomponer un número en potencias de 10. Si en lugar de las potencias de 10 ponemos una indeterminada, obtendríamos una expresión de la forma: 4x3 + 6x2 + 2x + 8 A cualquier expresión de este tipo le llamaremos polinomio en una indeterminada. Un polinomio en una indeterminada x es una expresión de la forma: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x +a0 Donde cada uno de los exponentes es un número natural y los coeficientes a0 ... an son números reales. Al mayor exponente al que va elevada la indeterminada le llamaremos grado del polinomio. Ejemplo: El polinomio 3x3 – 2x + 1 es un polinomio de grado 3, ya que el exponente de mayor grado de la indeterminada es 3. Un polinomio es completo si posee todos sus coeficientes y términos en la indeterminada.

22

Actividad 5.Indica los coeficientes de los polinomios: A(x) = 3x3 – 2x2 + 5x –1 B(x) = 3x3 + x – 1 C(x) = 2x + 3 D(x) = 2x2 – 4

Actividad 6.Escribe un polinomio que cumpla las condiciones siguientes: De grado 4 completo y ordenado. De grado 4 y que sólo tenga tres términos. De la respuesta de la actividad anterior se deduce que a pesar de tener el mismo grado, no todos los polinomios son iguales.

Actividad 7.Encuentra los valores de a, b y c para que los polinomios A(x) y B(x) sean iguales. A(x) = ax3 + 2x2 – x + 1 B(x) = 2x3 – bx2 + cx +1

Operaciones con polinomios Con polinomios se pueden realizar todas las operaciones elementales. La suma de polinomios es otro polinomio que tendrá grado menor o igual que el mayor de los grados de los polinomios que intervienen. Cada término se obtiene como suma de los términos de igual grado de cada uno de ellos.

23 Ejemplo: Sean los polinomios: A(x) = 3x4 – 2x2 + x – 1 ; B(x) = 3x3 – 5x2 + 2x – 3 y C(x) = – 3x3 – 5x2 + 7 Calcula A(x) + B(x) y C(x) + B(x). En primer lugar ordenamos los polinomios y efectuamos la suma término a término. −2 x 2

3x 4 + 3x

4

3x

3

+3 x

3

+x

−1

−5 x

2

+2 x −3

−7 x

2

+3 x −4

−3 x 3 +

3x

3

−5 x 2

+7

−5 x

2

+2 x

−10 x

2

−3

+2 x +4

Para restar polinomios, le sumamos al primero el opuesto del segundo. Ejemplo: Sean los polinomios P(x) = 3x3 –2x2 +5x –1 y Q(x) = 2x3 –6x +3. Calcula P(x) – Q(x). P(x) – Q(x) = ( 3x3 – 2x2 + 5x –1) + (-2x3 + 6x – 3) = x3 – 2x2 + 11x – 4 Multiplicar un polinomio por un número es multiplicar todos los términos del mismo por dicho número. Ejemplo: Sea P(x) = 2x4 – 7x2 + 2x –3. Calcula 3P(x). 3P(x) = 6x4 – 21x2 + 6x – 9 Para multiplicar polinomios, se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio y después se suman los monomios de igual grado. Ejemplo: Sean los polinomios A(x) = 2x y B(x) = x2 – 2x + 1. Calcula A(x) · B(x). A(x) · B(x) = 2x · (x2 – 2x + 1) = 2x3 – 4x2 + 2x

24 Ejemplo: Sean los polinomios A(x) = 2x +1 y B(x) = x2 – 2x +1. Calcula A(x) · B(x). A(x) · B(x) = (2x +1) · ( x2–2x+1) = 2x3–4x2+2x+x2–2x+1 = 2x3 – 3x2 + 1 La potencia de exponente natural de un polinomio se obtiene multiplicando dicho polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente. Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = 2x2 – 3x + 2. Calcula (P(x))2. (P(x))2 = (2x2 – 3x + 2) · (2x2 –3x + 2) = = 4x4–6x3+4x2–6x3+9x2–6x+4x2–6x+4 = 4x4 –12x3 +17x2 –12x +4

Actividad 8.Dados los polinomios: A(x)= 4x3–3x2+5x–1, B(x)= 2x +3, C(x)= 2x2 –5x –1 y D(x) = 3x3 + 6x2 – 7x + 4. Efectúa las operaciones siguientes: A(x) + B(x) = A(x) – C(x) = A(x) · B(x) = A(x) + 3D(x) = A(x) + B(x) – D(x)= A(x) · (C(x) – B(x)) = A(x) + D(x) + C(x) = A(x) · B(x) · C(x) = (B(x))3 = (D(x))2 =

La división de polinomios es una operación más compleja que las anteriores. Para dividir dos polinomios seguiremos las indicaciones siguientes: En primer lugar, dividiremos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor grado del divisor.

25 Ejemplo: Sea P(x) = 4x4 + 3x2 – 2x +1 y lo queremos dividir por el polinomio Q(x) = x2 + x – 1. El monomio de mayor grado de P(x) es 4x4 y el de mayor grado del divisor es x2. Si efectuamos su división: 4x4 : x2 = 4x2 Ahora multiplicaremos cada término del divisor por dicho monomio y después se lo restaremos al dividendo. 4x4 −4 x 4

−4 x 3 −4 x 3

+3 x 2 +4 x 2

−2 x +1

+7 x 2

−2 x +1

x2 + x −1 4 x2

El polinomio resultante es el nuevo dividendo y repetimos el proceso. -4x3 : x2 = -4x Multiplicaremos todos los términos del divisor por (–4x) y el resultado se lo restaremos al dividendo. 4x4 −4 x 4

−4 x 3 −4 x 3 4 x3

+3 x 2 +4 x 2 +7 x 2 +4 x 11x 2 −11x 2

2

−2 x

+1

x2 + x −1 4 x 2 − 4 x + 11

−2 x −4 x −6 x −11x

+1 +1 +11

−17 x +12

Como el grado del polinomio –17x + 12 de grado menor que el del divisor, ya no podemos seguir efectuando la división. El polinomio R(x) = – 17x + 12 será el resto de la división y C(x) = 4x2 – 4x + 11 el cociente.

26 Para comprobar que la división está bien efectuada, realizaremos la comprobación siguiente, que ya efectuábamos con la división entre números. Dividendo igual a divisor por cociente más el resto

Actividad 9.Encuentra un polinomio que al dividirlo por x2 – 2 nos dé de cociente x + 1 y de resto x + 2.

Actividad 10.Realiza las divisiones siguientes: (3x5 – 6x3 –x2 + 4) : (x3 + 3x2 + 1) (4x3 – 2x2 + 5x – 1) : (x2 + 2x – 1) (4x4 – 7x3 + 2x2 – x + 1) : (x3 + 2x2 – x + 3)

Actividad 11.Efectúa las divisiones siguientes: (3x4 + 7x3 – 5x2 + 2x – 1) : (x2 – 2x – 3) (4x3 – 7x2 + 2x – 3) : (x2 + 3) Cuando el coeficiente del término de mayor grado del divisor es distinto de uno, la división se complica al necesitar el uso de las fracciones. Ejemplo: Efectúa la división (3x2 + 5x – 1) : (2x + 3) Siguiendo el proceso anteriormente utilizado, dividimos 3x2 entre 2x, es decir: 3x 2 3x = 2x 2

El siguiente paso consiste en multiplicar por este factor todos los términos del divisor y restar el resultado al dividendo.

27

3x 2 −3 x 2

−1

2x + 3

9 − x 2 1 x −1 2 1 3 − x − 2 4 7 − 4

3 1 x+ 2 4

+5 x

Actividad 12.-B Realiza las divisiones de polinomios: (4x3 + 2x2 – 5x – 1) : (3x2 + x + 3) (5x4 + 6x3 – 2x2 + 3) : (2x3 – 3x2 + 4x – 1) (3x3 – 5x2 + 2x + 3) : (3x2 + 5x – 1)

Actividad 13.-B Realiza las divisiones siguientes: (7x4 – 2x3 + 2) : (4x3 – 5x + 1) (2x5 + 4x4 – 7x3 + 2x2 – 5x + 1) : (3x3 + 2x – 5) Si la división es por un tipo particular de polinomio de primer grado, la podemos realizar por dos procedimientos diferentes: uno por el método general y el otro aplicando la regla de Ruffini. Sean los polinomios: A(x) = x3 + 2x2 – 2x + 1 y B(x) = x – 1. Si efectuamos la división por el procedimiento general

28 x3 − x3

+2 x 2 + x2 3x 2

−2 x +1

−3 x 2

+3 x x +1 − x +1

x −1 x 2 + 3x + 1

−2 x +1

2

Aplicando la comprobación de la división: D=d·C+R Nos queda: x3 + 2x2 – 2x + 1 = (x –1) · (x2 + 3x + 1) + 2 Que también podríamos escribir del siguiente modo:

D ( x) d ( x)

q ( x)

=

+

r ( x) d ( x)

x3 + 2 x 2 − 2 x + 1 2 = x 2 + 3x + 1 + x −1 x −1

Ahora efectuaremos la misma división aplicando la regla de Ruffini. Consiste en colocar todos los coeficientes que acompañan a la indeterminada de la forma: x3 ⇓

+2 x 2 ⇓

1

2

−2 x +1 ⇓ ⇓ −2

1

1

Si el polinomio no es completo, pondremos un cero en el lugar que corresponda.

29 El 1 que hay en la parte inferior corresponde al valor que anula el divisor: x – 1 = 0. En nuestro caso el polinomio es completo por lo que no tendremos que completarlo con ceros. A continuación bajamos el primer coeficiente del dividendo. 1 2 −2 1 1 ↓

1 El siguiente paso consiste en multiplicar el divisor por dicho coeficiente, sumarlo al término siguiente y repetir el proceso. 1 2 −2 1 1 ↓ 1·1 1·3 1·1 1

3

1

2

Si te fijas la división quedará: 1 2 −2 1 divisor x − 1 ← 1 ↓ 1·1 1·3 1·1 resto 1 3 1 2 ⇒ 2 ⇓ cociente

⇓

⇓

1x 2 + 3 x + 1

x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) ⋅ ( x 2 + 3 x + 1) + 2

Ejemplo: Efectúa aplicando la regla de Ruffini la división entre polinomios: (3x4 – 4x3 – x + 1) : (x + 2) Para efectuar la división, en primer lugar completaremos el polinomio añadiendo un cero donde no exista un término: 3x 4 − 4 x3 − x + 1 3 −4 0 −1 1

30

Observa que hemos puesto un cero, ya que el término de grado 2 no existe. 3 −4 0 −1 1 x + 2 ⇔ −2

El valor − 2 corresponde a la solución de x + 2 = 0 Una vez dispuestos los coeficientes, bajamos el primero 3 −4 0 −1 1 −2 ↓ 3 Después se multiplica (− 2) por 3 y se le suma a (−4) y así sucesivamente hasta llegar al último coeficiente que será el resto de la división. −4 −1 3 0 1 −2 ↓ ( −2 ) · 3 ( −2 )( −10 ) ( −2 ) ( 20 ) ( −2 )( −41) 3

−10

20

−41

83

3 x 4 − 4 x 3 − x + 1 = ( x + 2 ) ( 3 x3 − 10 x 2 + 20 x − 41) + 83 3x 4 − 4 x3 − x + 1 83 = 3x 3 − 10 x 2 + 20 x − 41 + x+2 x+2

Actividad 14.Efectúa, si es posible, las divisiones por la regla de Ruffini. (4x2 + 5x – 3) : (x + 1) (3x4 – 5x3 + 7x2 – 2x + 13) : (x – 4) (2x3 – 7x2 + 5x – 6) : (x – 3) (2x2 + 5x – 1) : (2x –1) (3x3 + 4x + 7) : (3x – 2)

31

Actividad 15.Halla el valor de k para que el resto de dividir 3x5 – 4x4 + 2x3 + kx – 3 entre x – 1 sea 2.

Actividad 16.Sabiendo que la división 2x3 – ax2 + ax + 28 entre x + 2 es exacta, calcula el valor de a. Hasta ahora hemos visto que cualquier polinomio se puede dividir por otro de la forma x – a, bien por el método tradicional bien aplicando la regla de Ruffini. Además hemos visto que: Dividendo igual a divisor por cociente más el resto D = d · c + r Esto quiere decir, que si quiero dividir el polinomio H(x) por x- a obtendré un cociente C(x) y un resto R. H(x) = (x – a) C(x) + R Si en esta igualdad sustituimos el valor de x por el valor a, obtendremos: H(a) = (a – a) C(a) + R O lo que es lo mismo H(a) = 0 + R = R Este resultado nos muestra cómo obtener el resto de una división sin efectuarla. Lo anteriormente expuesto recibe el nombre de teorema del resto y lo podemos enunciar de la siguiente manera: El valor numérico de un polinomio H(x) para x = a, es igual al resto de la división de dicho polinomio por x – a.

32 Ejemplo: Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x2 – 5x + 3 para x = –1 y para x = 2. P(-1) = (-1)2 – 5(-1) + 3 = 1+ 5 + 3 = 9 P(2) = 22 – 5(2) + 3 = 4 – 10 + 3 = – 3

Actividad 17.Calcula el valor numérico del polinomio B(x) = 2x3 +4x2 –5x +1 para x = 2.

Actividad 18.Encuentra el resto de la división de C(x) = 4x5 – 7x3 + 2x2 – 5x + 11 entre x – 1.

Actividad 19.Obtén el resto de las divisiones sin efectuarlas. (4x3 – 2x2 + 5x – 1) : (x – 5) (4x4 + 12x3 – 5x2 –15x – 4) : (x + 1) (x3 –5x2 + 6x – 2) : (x –1)

Actividad 20.Halla el valor de m para que el resto de la división 3x5 – 4x4 + 2x3 + m entre x + 1 sea 5.

Actividad 21.Encuentra los valores de m y n para que P(x)= x3 + x2 + (m+1)x – n+1 verifique P(0) = 2 y P(1) = 7.

el

polinomio

Mientras las dos primeras divisiones de la actividad 19 tenían resto distinto de cero, en la tercera el resto era cero. Veámoslo de otro modo, calculemos el valor numérico del polinomio P(x) = x3 –5x2 + 6x – 2 para x = 1. P(1) = 13 – 5(1)2 + 6(1) – 2 = 1 – 5 + 6 – 2 = 0

33 Diremos que un número es una raíz de un polinomio si anula ese polinomio. Por tanto el valor x = 1 es una raíz del polinomio x3 –5x2 + 6x – 2. Ejemplo: Sea el polinomio x2 – 3x + 2, encuentra las raíces enteras de dicho polinomio. Para encontrar las raíces enteras de un polinomio, probaremos con los divisores del término independiente, es decir: como el término independiente es 2, sus divisores son 1, –1, 2 y –2. Aplicando la regla de Ruffini tendremos: 1 −3 2 1 ↓ 1 −2 1 −2 0 2 ↓ 2 1 0 Los valores x = 1 y x = 2 son los valores que anulan dicho polinomio y por tanto raíces del mismo.

Actividad 22.Encuentra las raíces de los polinomios siguientes: P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 M(x) = x3 + 2x2 –5x – 6

Q(x) = x3- x2 – 4x + 4 H(x) = x4 – 13x2 + 36

Si en un polinomio P(x), al sustituir la indeterminada por un número a, resulta que su valor numérico es cero, la división es exacta y, aplicando la regla de la división, nos queda: P(x) = (x – a) C(x) En estas circunstancias diremos que (x – a) es un factor de dicho polinomio. Factorizar polinomios es descomponerlos en producto de sus factores.

34 En efecto, sea el polinomio P(x) = x2 – 3x + 2, las raíces de dicho polinomio las encontramos calculando su valor numérico (o aplicando la regla de Ruffini) para los divisores positivos y negativos del término independiente. P(1) = 1 – 3 + 2 = 0

P(2) = 4 – 6 + 2 = 0

O aplicando la regla de Ruffini

1 −3 2 1 ↓ 1 −2 1 −2 2 ↓

2

1

0

0

Su descomposición factorial será: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) Si el polinomio no tiene término independiente sacaremos factor común. Ejemplo: Encuentra la descomposición factorial del polinomio 7x4 – 7x2 Sacamos factor común, aplicamos la regla de Ruffini y obtendremos 7x4 – 7x2 = 7x2 (x2 – 1) = 7x2 (x – 1) (x + 1)

Actividad 23.Escribe un polinomio de grado 4 que tenga por raíces 1, 2, –1 y –2.

Actividad 24.Encuentra la descomposición factorial de los polinomios: 3x3 – 6x2 –15x + 18 x4 + 2x3 – 23x2 – 60x x4 + 2x3 – 6x2 – 13x – 6 2x4 + 9x3 + 8x2 – 9x – 10 x4 + 2x3 – x2 – 2x

35 Al cociente entre dos polinomios se le denomina fracción algebraica. Con las fracciones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con las numéricas. Sean los polinomios P(x) = x3 – 2x2 + x – 2 y Q(x) = x3 + x – 10, llamamos fracción algebraica al cociente:

P( x) x 3 − 2 x 2 + x − 2 = Q( x ) x 3 + x − 10 Para simplificar dicha fracción, descompondremos en producto de factores ambos polinomios. x3 – 2x2 + x – 2 = (x – 2) (x2 + 1) x3 + x – 10 = (x – 2) (x2 + 2x + 5)

P( x) ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 1) x2 +1 = = Q( x) ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 2 x + 5) x 2 + 2 x + 5 que es una fracción irreducible.

Actividad 25.-B Simplifica las fracciones: a)

x 3 − 5 x 2 + 3x + 9 x 3 − 3 x 2 + 4 x − 12

b)

6x 2 − 19x − 7 2x 3 − 9x 2 + 3x + 14

Actividad 26.-B Simplifica las fracciones: 2x3 + 4x 2 + 2x a) 6x 3 − 6x

( x + 2) 2 ⋅ ( x + 1) b) 2 ( x − 1) ⋅ ( x 2 − 4)

( x + 2) ( 7 x + 7) 2 ( x2 − 1) ( 7 x + 14 )2 2

c)

3

36

Para sumar o restar fracciones algebraicas, se procede igual que con las numéricas. Calculamos el mcm de los denominadores, dividimos por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

Ejemplo: Efectúa la siguiente operación

3 2x − 1 + x x2 + x

En primer lugar descompondremos en factores cada uno de los polinomios de los denominadores: x=x x2 + x = x (x +1) El mcm( x; x2 + x ) = mcm( x; x (x + 1) ) = x (x + 1) Una vez hallado, lo dividimos por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por su numerador. 3·( x + 1) ( 2 x − 1) ·1 3( x + 1) + 2 x − 1 3 x + 3 + 2 x − 1 5 x + 2 + = = = 2 x( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x2 + x x +x

Actividad 27.-B Efectúa las operaciones siguientes: 3x 2 − 1 2 x + 3 a) 2 = − x − 4 x 2 + 2x

b)

2 3 x = + − x x −1 x +1

37

Para multiplicar fracciones, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Ejemplo: Efectúa

x 2 − 2x − 3 x 2 − 4 ⋅ x−2 x−3

x 2 − 2x − 3 x 2 − 4 ( x 2 − 2 x − 3)( x 2 − 4) ⋅ = = ( x − 2)( x − 3) x−2 x −3 ( x − 3)( x + 1)( x + 2)( x − 2) = = ( x + 1)( x + 2) = x 2 + 3x + 2 ( x − 2)( x − 3)

El cociente de fracciones se realiza multiplicando en cruz o, lo que es lo mismo, realizando el producto de la primera fracción por la inversa de la segunda. Ejemplo: Efectúa

2x + 1 2x : x x −1

2x + 1 2x 2 x + 1 x − 1 (2 x + 1)( x − 1) 2 x 2 − x − 1 = ⋅ = = : x x −1 x x ⋅ 2x 2x 2x 2

Actividad 28.-B Realiza la operación:

x 2 − 2x + 5 2x − 3 : x +1 x+2

Actividad 29.-B Halla a y b para que se verifique la igualdad: 3x − 1 a b = + x − 5x + 6 x − 3 x − 2 2

38

Actividades de refuerzo 3 7 4 2 x + x − 3 x 3 + x − 3 . ¿Es 2 3 completo o incompleto? ¿Cuál es su grado? Sol 7

1.- Ordena el polinomio: − 3 x 6 + 2 x 5 −

2.- Encuentra el valor de a para que se verifique la igualdad: P(x) = 3Q(x) – C(x) Donde: P(x)= 6x3 +3x2 +ax –1, Q(x)= 2x3 +x2 –2x +1 y C(x) = x +4. Sol a=-7 1 2 3.- Sea A(x)= x3 –x2 +6x –5, B(x)= -x4 +5x3 –8x2 +6 y C(x)= x 3 − x + 8. 9 3 Halla: A(–1), B(–2) y C(3) A(x) + B(x)= A(x) – C(x)= A(x) · C(x)= (B(x))2= Sol -13; -82; 9; 4.- Dados los polinomios A(x)= 3x2 –2x –1, B(x)= x5–3x3 +x –2 y C(x)= x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1. Calcula: 3A(x) – 2B(x) + C(x)= A(x)[B(x) – C(x)]= (C(x))2= (A(x))3=

-2x5+x4+9x3+7x²-7x 3x7-5x6-17x5+19x4+2x³-5x²+2x+1 1-2x+5x²-10x³+8x4-10x5+5x6+6x7+x8 27x6-54x5+9x4+28x³-3x²-6x-1

5.-B Halla el valor de a para que el valor numérico del polinomio 7 3 P(x) = x14 − x 7 + ax 3 − x 2 + 3 para x = –1 sea . 4 2 Sol a=11/4 10

5

6.- Efectúa la división de polinomios (x – x + 1) : (x – 1). Sol Q(x)=x9+x8+x7+x6+x5+1 R(x)=1

39 7.- Halla los valores de a y b para que el polinomio P(x) = x3 – 8x2 – ax + b sea divisible por x2 –1. Sol a=1; b=8 8.- Halla el polinomio B(x) que restado del polinomio A(x) = 4x3 – 2x2 + x – 1 nos dé el polinomio C(x) = 3x3 – x2 + x – 2. Sol B(x)= x3-x2+1 9.- Efectúa la división: (x3 – 2x2 + 4x + 7): (x2 + 4x – 1). Sol Q(x)=x-6; R(x)=29x+1 10 Encuentra las raíces del polinomio: x3 – x2 – x + 1. Sol -1; 1; 1 11.- Sean los polinomios: A(x) = x3–2x2+4x+7 y B(x) = 2x3+2x2+2x–5. Calcula: –2A(x) + 3B(x) = A(–1) · B(3) = Sol 4x3+10x2-2x-29; 0 12.- Sean los polinomios: P(x) = 3x + 2x – 5x + 7 y Q(x) = x2 – x + 1. Efectúa las operaciones: 4

2

P(x) : Q(x) P( x) ⋅ Q( x) (Q(x))2 Sol Qu(x)=3x2+3x+2; R(x)=-6x+5; 3x6-3x5+5x4-7x3+14x2-12x+7; x42x3+3x2-2x+1 13.-B Simplifica la fracción: x 3 − 3 x 2 − 13 x + 15 x 2 + 2x − 3

Sol (x2+x-15)/(x+3)

14.-B Simplifica las fracciones algebraicas: a)

x 4 − 4 x 3 − 7 x 2 + 34 x − 24 x 3 + 2 x 2 − 3x

b)

x3 − x 2 − 4x + 4 x3 + x 2 − 2x c) x2 − 4 x 3 + 6x 2 + 8x 2 Sol (x -6x+8)/x; x-1; (x-1)/(x+4)

40 15.-B Efectúa las operaciones: a)

3x − 1 4 x + 2 + 2x + 3 x − 1

3x − 1 4 x + 2 3x − 1 4 x + 2 c) ⋅ : 2x + 3 x − 1 2x + 3 x − 1 11x 2 + 12 x + 7 12 x 2 + 2 x − 2 3x2 − 4 x + 1 ; ; Sol ( 2 x + 3)( x − 1) ( 2 x + 3)( x − 1) ( 2 x + 3)( 4 x + 2 )

b)

16.- Calcula a y b para que el valor numérico del polinomio x5–6x4+ax–b sea 2 para x = -1 y 3 para x = 2. Sol b=-85/3; a=58/3 17.- Encuentra la descomposición factorial de los polinomios: 3x5 – 27x4 + 27x3 – 27x2 + 24x x4 – x3 – 7x2 + x + 6 x5 – x4 – 27x3 + 13x2 + 134x – 120

3x(x-1)(x-8)(x2+1) (x-1)(x-3)(x+2)(x+1) (x-1)(x-2)(x-5)(x+4)(x+3)

18.- Dado el polinomio P(x) = x3 – 5x2 + ax + b. Halla a y b sabiendo que, tanto al dividirlo por x – 2, como por x + 1, el resto de la división es –11. Sol a=2; b=-3 19.-B Simplifica: 2 x3 + x 2 − 2 x − 1 6 x 2 + 11x + 4 Sol (x+1)/(x-3); (x2-1)/(3x+4) 20.- Halla la descomposición factorial del polinomio:

a)

3 x3 − 5 x 2 − 4 x + 4 3 x 3 − 17 x 2 + 28 x − 12

b)

a) 25 x 4 − 30 x 3 + 3 x 2 + 2 x b) x 6 + 2 x 5 − x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 Sol x(x-1) (25x2-5x-2); x2 ·(x - 1)·(x + 3)·(x2 + 2) 21.-B Efectúa: 2x − 3 x − 1 2x + 1 + + x2 − 9 x + 3 x − 3 Sol (4x3 +x+2)/(x4-x2); (3x2 +5x+3)/(x2 - 9) 22.-B Halla a y b para que se verifiquen las igualdades:

a)

a)

x − 2 x + 2 2x − 1 + 2 + x2 x − x x2 −1

2x + 5 a b = + 2 x −4 x+2 x−2

b)

b)

4 x 2 − 10 x + 2 a b 1 = + + 3 2 x − 3x + 2 x x x − 1 x − 2 Sol a=-1/4 b=9/4; a=-1 b=-4

Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Para comenzar esta unidad didáctica, repasaremos los conceptos de ecuaciones ya estudiados el curso anterior.

Ecuaciones Una ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión que se puede reducir a la forma: ax + b = 0

Resolver una ecuación de primer grado es encontrar la solución. Generalmente habrá que transformar la ecuación en otra equivalente cada vez más sencilla. Para lograrlo, será necesario realizar bien alguno o todos los pasos siguientes y no necesariamente en ese orden: -

Quitar denominadores. Quitar paréntesis. Pasar a una parte de la igualdad los términos que tengan incógnita y dejar al otro lado los que no. Realizar las operaciones de suma y resta en cada miembro y despejar la incógnita.

Ejemplo: Resuelve la ecuación ( x − 1) +

3( x + 1) 2( x − 3) 3( x − 1) = − 4 3 2

42 En primer lugar, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores (2; 4; 3) que es 12. Una vez obtenido, lo dividimos por cada uno de los denominadores y su resultado lo multiplicamos por el numerador. Así obtenemos: 12 ⋅ ( x − 1) + 3 ⋅ 3 ⋅ ( x + 1) = 4 ⋅ 2 ⋅ ( x − 3) − 6 ⋅ 3 ⋅ ( x − 1)

El siguiente paso consistirá en realizar los productos y quitar paréntesis.

12( x − 1) + 9( x + 1) = 8( x − 3) − 18( x − 1) 12 x − 12 + 9 x + 9 = 8 x − 24 − 18 x + 18 A continuación, agrupamos los términos que tengan incógnita en una parte de la igualdad y los que no en la otra parte de la igualdad. 12 x + 9 x − 8 x + 18 x = 12 − 9 − 24 + 18

31x = −3 −3 x= 31

Actividad 1.Resuelve las ecuaciones: a) 3( 2 x − 5) + 4( x + 1) − 2 x = 7 − 5( 2 x − 3) 3x 2 x − 1 2x − 5 b) − = 2x + 4 3 6 4(3x − 2) 4 x − 5 1 + 2x c) − = x− 5 10 2 x − 3 2x − 7 3x − 4 d) 1 − = +1− 2 6 3 3( 4 − x ) 6 x − 7 2 − x 1 − x e) − = + 5 10 15 10

43 Una ecuación de segundo grado es aquella cuya incógnita aparece elevada al cuadrado. Su forma general es: ax 2 + bx + c = 0

y cuando tiene todos los términos se dice que es completa. La solución de la ecuación de segundo grado es: x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones a) x2 – 9 x +14 = 0

b) x2 + x + 4 = 0

c) x2 – 2 x +1 = 0

a) x2 – 9 x +14 = 0 Las dos soluciones de la ecuación se obtendrán sustituyendo en la fórmula anterior a, b y c por 1, -9 y 14 respectivamente.

x=

9 ± 81 − 56 9 ± 25 9 ± 5 = = 2 2 2

Y las dos soluciones de la ecuación serán: x1 =

9+5 =7 2

x2 =

9−5 =2 2

b) x2 + x + 4 = 0 ⎡a = 1⎤ ⎢ b = 1 ⎥ x = − 1 ± 1 − 16 = − 1 ± − 15 ⎢ ⎥ 2 2 ⎢⎣ c = 4 ⎥⎦ Como no existe ningún número real igual a − 15 ,encontramos que la ecuación no tiene soluciones en los números reales.

44 c) x2 – 2 x + 1 = 0 ⎡a = 1 ⎤ ⎢ b = −2 ⎥ x = 2 ± 4 − 4 = 2 ± 0 = 2 ± 0 ⎢ ⎥ 2 2 2 ⎢⎣ c = 1 ⎥⎦ Y las dos soluciones de la ecuación serán iguales. x1 =

2+0 =1 2

x2 =

2−0 =1 2

Si la ecuación es incompleta, de la forma: ax 2 + bx = 0

Se resolverá sacando factor común la incógnita. x(ax + b) = 0

Recordando que el producto de dos términos es cero, cuando uno o los dos lo son tendremos: x=0

ax + b = 0

Las dos soluciones serán:

x1 = 0

x2 =

−b a

Otra forma de haber resuelto la ecuación anterior, hubiese sido resolverla como una ecuación completa, pero teniendo en cuenta que c = 0. x=

− b ± b 2 − 4a ⋅ 0 − b ± b = 2a 2a

Y las dos soluciones serán: −b+b 0 x1 = = =0 2a 2a

x2 =

− b − b − 2b − b = = 2a 2a a

45 Ejemplo: Resuelve la ecuación 3 x2 – 9 x = 0. ⎡a = 3 ⎤ ⎢ b = −9 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ c = 0 ⎥⎦

x=

9 ± 81 − 4 ⋅ 3 ⋅ 0 9 ± 9 = 6 6

Y las dos soluciones son: x1 =

9+9 =3 6

x2 =

9−9 =0 6

Si la ecuación de segundo grado es de la forma: ax 2 + c = 0

Su solución se obtendrá despejando la incógnita. x2 =

−c −c →x=± a a

Ejemplo: Resuelve la ecuación 3x2 – 75 = 0. Despejando la incógnita tendremos: x2 =

75 = 25 → x = ± 25 = ±5 3

Actividad 2.Resuelve las ecuaciones: a)

x ( x − 2) x ( x + 1) 3x 2 + =x− 3 4 6 2

c) (3x − 2) − 1 = −( x − 1) e) B

x +1 2

x − 2x

+

2

x −1 =2 x

b)

x+2 x+4 = x −1 x − 4

4x + 3 x 2 + 2 + =1 d) 8 16

46 Una vez efectuado un repaso de lo estudiado el curso anterior, trataremos de resolver ecuaciones un poco más complejas. Llamamos ecuación irracional o ecuación con radical a aquella cuya incógnita aparece en alguno de sus términos dentro de un radical. Ejemplo: Resuelve la ecuación

x− x =6 Para resolver ecuaciones de este tipo, trataremos siempre de dejar en una parte de la igualdad los términos que tengan el radical y en la otra parte los que no lo tengan.

x −6 = x El siguiente paso consistirá en elevar al cuadrado las dos partes de la igualdad.

(x − 6)2 = (

x

)2

Recordemos los productos notables:

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (a − b) 2 = a 2 + b 2 − 2ab a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)

Por tanto:

( x − 6)

2

=

( x)

2

x 2 − 12 x + 36 = x x 2 − 12 x − x + 36 = 0 x 2 − 13 x + 36 = 0 x=

13 ± 169 − 144 13 ± 25 = 2 2

47

Y las dos soluciones de la última ecuación serán: x1 =

13 + 5 =9 2

x2 =

13 − 5 =4 2

Volvemos a recordar la ecuación original y vemos si estos valores nos sirven.

x− x =6 si

x = 9 9 − 9 = 6 cierto

si

x = 4 4− 4 = 6

falso

Por tanto la solución de la ecuación x − x = 6 es x = 9. Ejemplo: Resuelve la ecuación 2 x − x 2 + 5x − 1 = 3

En primer lugar despejaremos el radical: 2 x − 3 = x 2 + 5x − 1

Elevando al cuadrado las dos partes de la igualdad: 2 x − 3 = x2 + 5x − 1

( 2 x − 3)

2

=

(

x2 + 5x − 1

4 x 2 + 9 − 12 x = x 2 + 5 x − 1 3x 2 − 17 x + 10 = 0

)

2

48

⎡a = 3 ⎤ ⎢ b = −17 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ c = 10 ⎥⎦

x=

17 ± 289 − 120 17 ± 169 17 ± 13 = = 6 6 6

Y las soluciones de la última ecuación serán: x1 =

17 + 13 =5 6

x2 =

17 − 13 2 = 3 6

Volvemos a recordar la ecuación original y vemos si estos valores nos sirven. 2 x − x2 + 5x − 1 = 3 si

x=5

si

x=

2 3

10 − 25 + 25 − 1 = 3 cierto 4 4 10 − + −1 = 3 3 9 3

falso

Por tanto la solución de la ecuación 2 x − x 2 + 5 x − 1 = 3 es x = 5.

Actividad 3.-B Resuelve las ecuaciones: a) x + x 2 − 3 x + 1 = 4 b) x − x 2 + x + 9 = −3 c) 3− x + x + 2 = 3 d) x+4 − 6− x = 2 3 e) x −1 +1 = x f)

3

9 x2 − 8x + 7 + 1 = 2 + x

49

Sistemas de ecuaciones lineales En muchas ocasiones no podemos resolver un problema con una sola incógnita, sino que tenemos que utilizar más de una. Cuando para plantear un problema se necesita un conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas, estamos introduciendo los sistemas de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que han de verificarse para los valores de las incógnitas. Un sistema puede tener dos, tres o más incógnitas, y por tanto dos, tres o más ecuaciones. Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden simplificar a la forma: ax + by = c ⎫ ⎬ ux + vy = w⎭ Los métodos que se utilizan para su resolución son: sustitución, igualación, reducción y gráfico.

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación; a continuación resolvemos la ecuación resultante. Para obtener el valor de la otra incógnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuación. Ejemplo: Resuelve el sistema

x +1 y −1 ⎫ − =1 ⎪ 3 2 ⎬ 7 x − 4( x + y ) = 4⎪⎭ En primer lugar convendría transformar las ecuaciones hasta que el sistema adopte la forma: ax + by = c ⎫ ⎬ ux + vy = w⎭

50 Comenzaremos en la primera ecuación quitando denominadores; para ello, calculamos el mcm (3, 2) = 6. Una vez hallado, dividimos el mcm por cada uno de los denominadores y el resultado lo multiplicamos por su numerador. 2x + 2 –3y + 3 = 6 2x – 3y = 1 Cuando ya hemos transformado la primera ecuación, haremos lo mismo con la segunda. 7x – 4(x + y) = 4 7x – 4x – 4y = 4 3x – 4y = 4 El nuevo sistema que obtenemos es:

2x − 3y = 1 ⎫ ⎬ 3 x − 4 y = 4⎭ Para resolver el sistema por el método de sustitución, despejamos una incógnita de una de las ecuaciones y la sustituimos en la otra. x=

1 + 3y 2

Sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos: ⎛ 1 + 3y ⎞ 3⎜ ⎟ − 4y = 4 ⎝ 2 ⎠ 3(1 + 3y) – 8y = 8 3 + 9y – 8y = 8

51 y=5 Para obtener el valor de la otra incógnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuación. 1 + 15 x= =8 2

Actividad 4.En la Euroliga de baloncesto, el TAU participa junto a otros 7 equipos en el grupo C a doble partido. Cada partido que gana vale 2 puntos y cada partido que pierde vale un punto. En la clasificación final del grupo, el TAU ha obtenido 23 puntos. ¿Cuántos partidos ha ganado?

Actividad 5.Resuelve por el método de sustitución el sistema 3x + 2 y x + y ⎫ − = 1⎪ ⎬ 2 6 3x + 2 y = 5⎪⎭

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Igualar las dos expresiones obtenidas y resolver la ecuación de primer grado resultante. Para obtener el valor de la otra incógnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuación. Ejemplo: Resuelve el sistema 3( x − 4) 5(2 y − 4) 2 x + 3 y ⎫ − = 2 4 6 ⎪⎪ ⎬ 1 1 1 ( x − 8) − ( x + y ) = (3 − y ) ⎪ ⎪⎭ 9 3 6

Transformémoslo en un sistema más simple. El mcm de la primera ecuación es 12.

52 Dividimos el mcm por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por su numerador: 18(x – 4) – 15(2y – 4) = 2(2x + 3y) 18x – 72 – 30y + 60 = 4x + 6y 14x – 36y = 12 En la segunda ecuación, el mcm es 18 y nos queda: 3(x – 8) – 6(x + y) = 2(3 – y) 3x – 24 – 6x – 6y = 6 – 2y -3x – 4y = 30 El sistema resultante será:

14x − 36 y = 12 ⎫ − 3x − 4 y = 30⎬⎭ Si despejamos la incógnita x en las dos ecuaciones queda: 12 + 36 y 14 30 + 4 y x= −3 x=

Igualando:

12 + 36 y 30 + 4 y = 14 −3

Resolvemos la ecuación de primer grado resultante multiplicando en cruz: – 36 – 108y = 420 + 56y – 456 = 164y

53 y=

− 456 − 114 = 164 41

Para obtener el valor de la otra incógnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuación. ⎛ − 114 ⎞ 30 + 4⎜ ⎟ 41 ⎠ − 258 ⎝ x= = 41 −3

Actividad 6.Resuelve por el método de igualación el sistema x −1 y − 2 ⎫ + = 1− x⎪ ⎬ 3 4 3x − 8 y = 16 ⎪⎭

Actividad 7.Calcula dos números tales que su diferencia sea 12 y que al dividir el mayor entre el menor su cociente sea 5 y su resto 4.

El método de reducción o de Gauss consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por el número adecuado, para que al sumarlas o restarlas una de las incógnitas desaparezca. Para obtener el valor de la otra incógnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuación. Ejemplo: Resuelve el sistema

3 x − 2 y = 4⎫ ⎬ 5x − 3 y = 2 ⎭ El mcm(3 ; 5) = 15, multiplicamos por tanto, la primera ecuación por 5. 5(3x –2y = 4) Y nos queda:

15x – 10y = 20

54 La segunda ecuación la multiplicamos por 3. 3(5x – 3y = 2) 15x – 9y = 6 El sistema que nos queda es: 15x − 10 y = 20⎫ 15x − 9 y = 6 ⎬⎭ Cambiando el signo de una de las ecuaciones tendremos: 15x − 10 y = 20 − 15x + 9 y = −6 Sumando las dos ecuaciones nos desaparecerá la incógnita x, quedando: –y =14 ↔ y = –14 3x − 2(− 14) = 4 ↔ x = -8

Actividad 8.Resuelve el sistema 3x − 2 y 2 x − 4 y x − y − = +1 5 3 2

⎫ ⎪ ⎬ 21x − 15 = 13(2x − y ) + 45⎪ ⎭

Actividad 9.En su hucha, Jesús tiene dos tipos de monedas: de euro y de dos euros. En total tiene 100 monedas y 160 euros. ¿Cuántas monedas tiene de cada clase?

Actividad 10.Calcula a y b para que al dividir el polinomio A(x) = x3 + ax2 + bx + 1 entre x–1, se obtenga de resto 3, y al dividirlo por x + 1 el resto sea –2.

55 Una vez repasados los métodos de resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, nos proponemos resolver sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene la forma: ax + by + cz = d ⎫ ⎪ ux + vy + wz = t ⎬ mx + ny + pz = q ⎪⎭ Para resolver un sistema de este tipo bastará con aplicar los métodos aprendidos anteriormente. Ejemplo: Resuelve el sistema x − 2 y + 3z = 7⎫ ⎪ 2x − 3y + 5z = 1 ⎬ 3x − y − 2z = 4⎪⎭ En primer lugar lo resolveremos por sustitución. Si despejamos la incógnita x en la primera ecuación, nos queda: x = 7 + 2y – 3z Sustituyendo su valor en las otras ecuaciones nos quedará:

2(7 + 2 y − 3z ) − 3y + 5z = 1 ⎫ ⎬ 3(7 + 2 y − 3z ) − y − 2z = 4⎭ Efectuando las operaciones: ⎧ y − z = −13 ⎨ ⎩5 y − 11z = −17 Si despejamos la incógnita y, en la primera ecuación, nos queda: y = z – 13

56 Sustituyendo y, en la segunda ecuación tendremos: 5(z – 13) – 11z = –17 –6z = 48 z = –8 Sustituyendo el valor de z en la ecuación y = z – 13 tendremos: y = –8 – 13 = -21 Y por último sustituyendo en x = 7 + 2y – 3z, tendremos: x = 7 – 42 + 24 = – 11 Para resolver el mismo sistema por igualación, despejamos la misma incógnita en las tres ecuaciones. x = 7 + 2 y − 3z 1 + 3 y − 5z 2 4 + y + 2z x= 3 x=

Igualando dos a dos:

1 + 3 y − 5z 2 4 + y + 2z 7 + 2 y − 3z = 3 7 + 2 y − 3z =

Hemos pasado de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a uno de dos ecuaciones con dos incógnitas. Operando en las ecuaciones anteriores:

14 + 4 y − 6 z = 1 + 3 y − 5 z ⎫ ⎬ 21 + 6 y − 9 z = 4 + y + 2 z ⎭

57 El sistema resultante es:

y − z = −13⎫ ⎬ 5y − 11z = −17⎭ Despejando y, en las dos ecuaciones, nos queda: y = z − 13 ⎫ ⎪ 11z − 17 ⎬ y= 5 ⎪⎭ Igualando: 11z − 17 5 5z − 65 = 11z − 17 − 6z = 48 z − 13 =

z = −8 A pesar de que como hemos visto, con los métodos anteriores se pueden resolver sistemas de tres ecuaciones, en la práctica el método de Gauss es el más utilizado. El método de Gauss consiste en elegir, en primer lugar, una incógnita de una de las ecuaciones y eliminar dicha incógnita en las otras dos. Posteriormente se realizará dicha operación con el resto de las incógnitas en las ecuaciones resultantes.

Ejemplo: Resuelve por el método de Gauss el sistema x − 2 y + 3z = 7 ⎫ ⎪ 2 x − 3 y + 5 z = 1⎬ 3x − y − 2 z = 4 ⎪⎭ Si escogemos de la primera ecuación la incógnita que tiene el coeficiente más sencillo, o sea la x. Ahora deberemos eliminar dicha incógnita en las otras dos ecuaciones.

58 Fijémonos en la primera y segunda ecuación, el mcm de los coeficientes de x es: mcm(1 ; 2) = 2. Multiplicando la primera ecuación por 2 y cambiando el signo tendremos:

− 2x + 4 y − 6z = −14⎫ ⎬ 2x − 3y + 5z = 1 ⎭ Sumando las dos ecuaciones nos queda: y – z = – 13

Ahora realizaremos lo mismo con la primera y tercera ecuación.

El mcm de los coeficientes es mcm(1 ; 3) = 3. Multiplicamos la primera ecuación por tres y le cambiamos el signo y nos queda:

− 3x + 6 y − 9z = −21⎫ ⎬ 3x − y − 2z = 4 ⎭ Sumando: 5y – 11z = – 17 Hemos transformado el sistema inicial: x − 2 y + 3z = 7⎫ ⎪ 2x − 3y + 5z = 1 ⎬ 3x − y − 2z = 4⎪⎭ en el siguiente: x − 2 y + 3z = 7

⎫ ⎪ y − z = −13 ⎬ 5y − 11z = −17 ⎪⎭

59 Ahora elegimos una de las incógnitas de la segunda ecuación y la eliminaremos en la tercera. Sea y la incógnita elegida en la segunda ecuación. El mcm (1 ; 5) = 5. Multiplicando la segunda ecuación por cinco y cambiando el signo, nos queda:

− 5y + 5z = 65 ⎫ ⎬ 5y − 11z = −17⎭ Sumando las dos ecuaciones: -6z = 48 Hemos transformado el sistema anterior, en otro equivalente, más sencillo y que nos permite encontrar la solución de éste si la tiene. x − 2 y + 3z = 7

⎫ ⎪ y − z = −13⎬ − 6z = 48 ⎪⎭

Despejando z en la tercera ecuación: z = –8 Si sustituimos su valor en la segunda ecuación: y + 8 = –13 y = –21 Sustituyendo ambos valores en la primera ecuación: x – 2 (– 21) + 3 (– 8) = 7 x + 42 – 24 = 7 x = 7 – 42 + 24 = – 11

60

Ejemplo: Resuelve el sistema 2x + 3y − 5z = 1 ⎫ ⎪ − 3x + y + z = 2 ⎬ 2x − 2 y − z = −3⎪⎭ Procediendo como en el ejemplo anterior, mcm(2 ; 3) = 6. Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, nos queda:

6x + 9 y − 15z = 3 ⎫ ⎬ − 6 x + 2 y + 2z = 4 ⎭ Sumando: 11y – 13z = 7 Tomando ahora la primera ecuación y la tercera: mcm(2 ; 2) = 2. Multiplicando la primera ecuación por –1, nos quedará:

− 2x − 3y + 5z = −1⎫ ⎬ 2x − 2 y − z = −3⎭ Sumando: – 5y + 4z = – 4 Hemos pues, transformado el sistema inicial 2x + 3y − 5z = 1 ⎫ ⎪ − 3x + y + z = 2 ⎬ 2x − 2 y − z = −3⎪⎭ En otro equivalente

61 2x + 3y − 5z = 1 ⎫ ⎪ 11y − 13z = 7 ⎬ − 5y + 4z = −4⎪⎭ El mcm(11 ; 5) = 55, por tanto multiplicaremos por 5 la segunda ecuación y por 11 la tercera.

55y − 65z = 35 ⎫ ⎬ − 55y + 44z = −44⎭ Sumando: – 21z = – 9 El sistema que nos ha quedado es: 2x + 3y − 5z = 1 ⎫ ⎪ 11y − 13z = 7 ⎬ − 21z = −9⎪⎭ De la tercera ecuación z=

−9 3 = − 21 7

Sustituyendo su valor en la segunda ecuación 11y −

39 =7 7

39 7 49 + 39 11y = 7 88 11y = 7 88 8 y= = 77 7 11y = 7 +

62 Si sustituimos los valores de z e y en la primera ecuación nos queda: 2x +

24 15 − =1 7 7 9 2x + = 1 7 9 7 −2 2x = 7 −1 x= 7

2x = 1 −

Actividad 11.Resuelve el sistema − x + y − z = 0⎫ ⎪ 2 x + 3y − 4 z = 1 ⎬ x − y + 4z = 3⎪⎭

Actividad 12.Resuelve el sistema x y z ⎫ = = ⎪ 3 2 6 ⎬ x + y + z = 12⎪⎭

Actividad 13.Resuelve el sistema 2( x + y + z ) − 3x + 4 y = 2( −z − 3)⎫ ⎪ ⎪ ⎛ x −1 ⎞ ⎛ y − 2 ⎞ z 6⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟+ =1 ⎬ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4 ⎪ ⎪⎭ x+y−z = 5

63

Actividad 14.Averigua las edades de tres personas sabiendo que la suma de sus edades es 139 años. La edad del primero hace un año era el doble de la suma de las edades actuales de los otros dos, y el tercero sobrepasa en 4 años al segundo.

Actividad 15.Calcula tres números sabiendo que la suma del primero y el tercero es el doble del segundo. La suma de los tres es 9 y el triple del primero menos el doble del segundo más el tercero es 4.

Actividad 16.Resuelve el sistema x y ⎫ − +z=7 ⎪ 2 3 ⎪ y z ⎪ x + + = 11⎬ 2 3 ⎪ x z ⎪ + y− =5 ⎪ 3 2 ⎭

Actividad 17.Tres amigos reparten 3000 euros de beneficio. Si el primero puso la cuarta parte de lo que los otros dos juntos y el tercero la mitad que el segundo más 30 euros. ¿Qué le corresponderá a cada uno?

Sistemas no lineales A veces nos encontramos ecuaciones dentro de un sistema en las cuales las incógnitas aparecen multiplicándose o bien alguna está elevada a una potencia, o dentro de un radical, etc. A este tipo de sistemas se les denomina no lineales. Para su resolución el método de sustitución suele ser el más fácil de aplicar.

64 Ejemplo: Resuelve el sistema

x − y = 25 ⎫ ⎬ x ⋅ y = −100⎭ Si despejamos una de las incógnitas en la ecuación lineal nos quedará: x = 25 + y Sustituyendo su valor en la segunda ecuación ( 25 + y ) y = −100 y 2 + 25 y + 100 = 0 −25 + 15 ⎧ y = = −5 −25 ± 625 − 400 −25 ± 225 −25 ± 15 ⎪⎪ 1 2 = = =⎨ y= 2 2 2 ⎪ y = −25 − 15 = −20 ⎪⎩ 2 2 Las soluciones del sistema son: ⎧⎪ y1 = −5 ⎨ ⎪⎩ y2 = −20

⇒ ⇒

x1 = 25 + ( −5 ) = 20 x2 = 25 + ( −20 ) = 5

Actividad 18.-B Resuelve el sistema 2 xy − 2 y − 24 = 0 ⎫ ⎬ y 2 − 3 xy + 38 = 0 ⎭

Actividad 19.-B Resuelve el sistema x 2 + y 2 = 25⎫⎪ ⎬ 2 x + y + 5 = 0 ⎪⎭

65

Actividad 20.-B Resuelve el sistema x 2 + y 2 = 4⎫⎪ ⎬ x ⋅ y = 2⎪⎭

Actividad 21.-B Resuelve el sistema x+y=5 ⎫ ⎬ x + xy = 10⎭ 2

Actividad 22.-B La suma de las áreas de dos cuadrados es 3250 cm.2 y su diferencia 800 cm.2. Calcula la medida de sus lados.

Actividad 23.-B Resuelve el sistema x − 2 y = 1 ⎫⎪ ⎬ x + y − x − y = 2⎪⎭

Actividad 24.-B Resuelve el sistema

x+y =7 ⎫ ⎬ x + y 2 = 25 ⎭ 2

Actividad 25.-B Resuelve el sistema

⎧2 x − y = 4 ⎨ xy = 70 ⎩

66

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones Actividad 26.Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases: a) El número de alumnos y alumnas de este grupo que un día normal asisten a clase. b) Tengo más de 100 euros. c) Voy a viajar menos de una semana. d) Tengo igual o más años que tu. e) Mides menos que yo. Hasta ahora en las ecuaciones, el único símbolo que hemos utilizado ha sido el de la igualdad. Sin embargo existen otros signos llamados de desigualdad, éstos son: < menor que > mayor que ≥ mayor o igual que ≤ menor o igual que Los signos anteriores nos permiten contestar a las cuestiones de la actividad anterior, sin ellos difícilmente podríamos expresar algebraicamente su enunciado. En la actividad anterior, tengo más de 100 euros lo escribiríamos de la siguiente forma: x > 100 Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Al conjunto de valores que hagan que la desigualdad sea cierta le llamamos conjunto solución.

67

Actividad 27.Encuentra los valores de x que hacen que el perímetro del rectángulo sea más pequeño que el del triángulo equilátero. 2x + 4 < 3x 4< 3x – 2x 4< x La solución de la inecuación es x > 4, es decir a partir de dicho valor se verifica dicha inecuación. — ∞ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4]⎯⎯⎯⎯⎯⎯→+ ∞ Todos los valores que se encuentran a la derecha del 4 serán solución de la actividad anterior. Ahora bien, ¿cómo podemos expresar algebraicamente esta solución? Para poder contestar a este interrogante, deberemos definir anteriormente lo que es un intervalo. Intervalo cerrado.

Se representa genéricamente de la forma: [a ; b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} y es el conjunto de valores que se encuentran entre a y b ambos inclusive. Intervalo semiabierto por la derecha.

[a ; b[ = { x ∈ R : a ≤ x < b} Intervalo semiabierto por la izquierda.

] a ; b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} Intervalo abierto.

]a ; b[ = {x∈ R : a< x < b}

68 En el caso de la actividad anterior, la solución que teníamos era x > 4. En forma de intervalo x∈]4, +∞[, ya que el +∞ y el -∞ son los valores inicial y final de la recta.

Actividad 28.Expresa en forma de intervalo las siguientes soluciones obtenidas de diferentes inecuaciones: a) b) c) d) e) f) g) h)

x ≤ −2 2 −7 3≤x≤5 −3 ≤ x < 5 x ≥ 12 x < −5 o x > 5

Para resolver una inecuación realizaremos los mismos pasos que en una ecuación, respetando siempre el sentido de la desigualdad. Un aspecto importante a la hora de resolver inecuaciones es el signo de la incógnita. Si es negativo se cambiará a positivo multiplicando por –1 la inecuación y el sentido de la desigualdad cambiará al mismo tiempo. Ejemplo: x – 3 < 2x + 1 x – 2x < 3 + 1 −x<4 Por tanto la solución será: x>−4 Y en forma de intervalo

x ∈ ] − 4 ; +∞[.

69

Actividad 29.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x – (x − 1) + 3 < 3x – 6 x x −1 x − 4 b) + ≥ 3 2 6 2 < 4 (3x – 6) –2x c) 5x − 3 4x + 1 x − 2 2x − 3 5x − 3 d) − ≤ + 10 5 2 5

Actividad 30.Un vendedor de libros tiene un contrato con su empresa en las condiciones siguientes: - Sueldo fijo 900 €. - Una ganancia de 1,5 € por libro vendido. Si su sueldo fue superior a 1200 € . ¿Cuántos libros vendió?

Sistemas de inecuaciones con una incógnita Un sistema de inecuaciones en una variable es un conjunto de inecuaciones en la misma variable. Las soluciones son todas las que sean comunes a todas las inecuaciones. Ejemplo: Resuelve el sistema de inecuaciones

2x + 4 ≥ 0 ⎫ ⎬ 3 x − 2 ≤ x + 6⎭ De la primera inecuación tenemos: 2x ≥ − 4 x≥−2

70 Es decir la solución es el intervalo [-2 ; +∞[. De la segunda inecuación: 3x – 2 ≤ x +6 3x – x ≤ 2 +6 2x ≤ 8 x≤4 La solución es x∈] –∞ ; 4] Si ponemos juntas las dos soluciones:

∞ — ∞ ⎯⎯⎯⎯ ⎯ [ –2 –2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→+ –2⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯ + ∞ — ∞ ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4] ⎯

La parte común a las dos serán todos los valores comprendidos entre –2 y 4, ambos incluidos, es decir el intervalo [–2 ; 4].

Actividad 31.Resuelve los sistemas de inecuaciones: a)

x − 5 ≤ 2x + 3 ⎫ ⎬ 3x − 2( x + 1) ≤ 10⎭

b)

3( x − 1) + 2( 2x − 4) ≤ 3( 2x − 5) + 4( 2 − x )⎫ ⎬ 3x ≥ x − 2(1 − 2x ) ⎭

1 ⎫ 2x − 8 ≤ x − 5 ⎪ 3 c) ⎬ 3 1 x − 6 > ( 6 x − 4)⎪ 2 5 ⎭

71

Inecuaciones de segundo grado Una inecuación de segundo grado es una desigualdad en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado. Ejemplo: x2+ 3x – 4 ≥ 0 Para resolver una inecuación de segundo grado podemos razonar de dos maneras. Un primer método consiste en descomponer en factores el polinomio. Para lo cual resolvemos la ecuación x2+ 3x – 4 = 0 x=

− 3 ± 9 + 16 − 3 ± 5 ⎧− 4 = =⎨ 2 2 ⎩1

Por tanto: x2 +3x – 4 = (x – 1) (x + 4) Así la inecuación queda (x – 1)(x + 4) ≥0 Para resolverla, recordaremos en primer lugar los productos de signos: +.+ = + +.-=-.+=-.-=+ Como nuestro producto ha de ser mayor o igual que 0, solamente se podrán dar la primera y la cuarta posibilidad, es decir:

x −1 ≥ 0 ⎫ x −1 ≤ 0 ⎫ ⎬ ó ⎬ x + 4 ≥ 0⎭ x + 4 ≤ 0⎭

72 En el primer caso, nos quedará: x –1 ≥ 0 → x ≥ 1 x + 4 ≥ 0 → x ≥ –4 La solución es aquella que cumpla las dos condiciones, es decir: x ≥ 1 o lo que es lo mismo x∈[1 ; +∞[. En el segundo caso: x–1≤0→x≤1 x + 4 ≤ 0 → x≤ -4 La solución será x≤ – 4 o lo que es lo mismo x∈] –∞ ; –4] Con lo cual la solución de la inecuación x2+ 3x – 4 ≥ 0 es x∈] –∞; –4] ∪ [1; +∞[ Otra manera de resolver la inecuación sería la siguiente: Comenzamos, como antes, resolviendo la ecuación −3 + 5 ⎧ x1 = =1 ⎪ −3 ± 9 + 16 −3 ± 5 ⎪ 2 2 x + 3x – 4 = 0 → x = = =⎨ 2 2 ⎪ x = −3 − 5 = −4 ⎪⎩ 1 2

Después dividimos la recta real con las soluciones encontradas −∞

−4

1

]−∞; − 4[ ]−4; 1[ ]1; + ∞[

+∞

Encontrando, en este caso, tres intervalos. Sabemos que cualquier número de un intervalo tendrá el mismo comportamiento en la inecuación, es decir que –10; –5; –4,3 todos ellos cumplen o no la inecuación por formar parte del mismo intervalo.

73

Aplicando lo comentado elegiré un número cualquiera de cada intervalo y comprobaré si cumple o no la inecuación. 2 ]−∞; − 4[ ( −5 ) + 3 ( −5 ) − 4 ≥ 0 2 ]−4; 1[ ( 0 ) + 3 ( 0 ) − 4 ≥ 0 2 ]1; + ∞[ ( 5 ) + 3 ( 5) − 4 ≥ 0

cierto falso cierto

Ahora sólo nos queda identificar los intervalos que forman la solución. Por otro lado identificaremos si los extremos de los intervalos son soluciones de la inecuación. −4 1

( −4 ) + 3 ( −4 ) − 4 ≥ 0 2 (1) + 3 (1) − 4 ≥ 0 2

cierto cierto

Con lo cual la solución de la inecuación x2+ 3x – 4 ≥ 0 es x∈] –∞; –4] ∪ [1; +∞[

Actividad 32.Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 2x2 – 7x + 3 < 0 c)

2x − 3 ≤0 x +1

e) B

2 − x 1− 4x > 3x − 1 5 + 6 x

b) 3x2 + 2x ≥ 4 + x2 d) (x – 3)(x + 2) ≥ 0

f) B

x − 1 x( x + 1) > 2 3

74

Sistemas de inecuaciones lineales Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas es un conjunto formado por inecuaciones con dos incógnitas como mucho. La solución del sistema es el conjunto de valores que satisfacen al mismo tiempo las dos inecuaciones. Ejemplo: Calcula cuál es el conjunto de puntos que verifican las siguientes condiciones a) Los números “y” menores o iguales que la mitad de otro x. b) Los números “y” mayores o iguales que otro número x menos 3. Si traducimos al lenguaje algebraico las dos inecuaciones, tendremos:

x ⎫ ⎪ 2 ⎬ y ≥ x − 3⎪⎭

y≤

La solución a éste sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas, se obtiene al representar gráficamente ambas inecuaciones:

La zona interior de las dos rectas es la que verifica las dos condiciones.

75

Actividad 33.El grupo de 4º de ESO está preparando su viaje de estudios y decide alquilar una de las dos discotecas de su pueblo. La primera ofrece un coste fijo de 2000 euros y la segunda un coste fijo de 60 euros (para la limpieza del local) más 5 euros por persona que vaya a la fiesta. a) ¿Cuál de las dos discotecas crees que deben elegir? b) Si el número de personas que esperan que asista a la fiesta es como máximo de 200. ¿Cuál es la mejor opción? c) Si la capacidad máxima de la discoteca fuera de 500 personas. ¿Qué opción sería la más interesante?

Actividad 34.Resuelve mediante el método gráfico los sistemas de inecuaciones: a)

x + y ≥ 0⎫ ⎬ − 2 x + y ≤ 0⎭

x ≥ 0⎫ y ≤ 3⎪⎪ b) ⎬ 2 x + y ≥ 1⎪ y − x ≥ 0 ⎪⎭ 4 x + 2 y ≤ 8⎫ y − x ≥ 0 ⎪⎪ c) ⎬ y ≤ 2⎪ y ≥ 0 ⎭⎪

Actividad 35.Con un presupuesto máximo de 150 €, un coleccionista desea comprar monedas a un precio por unidad de 6 € y sellos a un precio por unidad de 9 €. En total quiere comprar un mínimo de 20 unidades. ¿Qué opciones tiene?

76

Actividades de refuerzo 1.-B Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x 2 − 6 x + 9 − 8 = 0 16 x + 1 3 4 c) x − 85 − 3x − 47 = 0

b) x 2 − 16 =

Sol a) {x=11; x=-5} b) {x=-29/9} c) x=101 2.- Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales: x + y − z =1 ⎫ ⎪ a) 2 x + y − z = 3⎬ x + y − 3z = 4⎪⎭ 1 − x c) B 2 + x

3 ⎫ =1⎪ y ⎪ ⎬ 3 = 4⎪ ⎪⎭ y

2 x + y = 5⎫ ⎪ b) x + z = 3 ⎬ y − z = 2 ⎪⎭ 2 x − y + 3 z = 3⎫ ⎪ d) 4 x − y + z = 1 ⎬ 2 x + y − z = 3 ⎪⎭

2x − y z ⎫ + =1 ⎪ 3 2 ⎪ y −1 ⎫ + 1 = 3⎪ 2x + y − z ⎪ + 3 = x⎬ f) B x + 1 e) ⎬ 2 ⎪ 2 x + 3 y = 4 ⎪⎭ x y z ⎪ + − =1 ⎪ 2 3 4 ⎭ Sol a) 2;-5/2;-3/2 b) 0;5;3 c) 3/5;9/2 d) 2/3;10/3;5/3 e) 21;-96;-90 f) -5/8; 7/4 3.-B Calcula dos números enteros positivos y consecutivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85. Sol 6; 7 4.-B Averigua dos números sabiendo que: la suma de sus cuadrados es 58 y la diferencia de sus cuadrados 40. Sol ±7; ±3

77 5.-B Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que el lado mayor es el triple que el menor y que si se aumenta en 3 metros el mayor la relación 15 . Sol x = 12 y = 4 con el menor es de 4 6.-B Averigua dos números sabiendo que su producto es 20 y la suma de sus cuadrados es 41. Sol {y=4,x=5},{y=5,x=4},{y=-5,x=-4} 7.- Un padre reparte 1460 euros entre sus tres hijos. Al primero le deja la quinta parte que al segundo más los cinco tercios del tercero. Al segundo el doble que al tercero menos 50 euros. Calcula cuánto le corresponde a cada uno. Sol p = 610 s = 550 t = 300 8.- Calcula tres números sabiendo que el doble del primero es igual al tercero menos la tercera parte del segundo. El primero más el segundo es igual al tercero y la suma de los tres es 20. Sol 4;6;10 9.-B Resuelve los sistemas: a)

b)

c)

x + y = 8⎫ ⎬ x ⋅ y = 15⎭ x = 2y +1

⎫⎪ ⎬ x + y − x − y = 2⎪⎭

2 x 2 + y 2 = 9⎫ ⎬ x = y −3 ⎭

Sol a) (3;5) (5;3) b) (17;8) c) (0; 3) (-2; 1) 10.- Resuelve las inecuaciones siguientes: a)

2x x − 5 3( x − 1) + +2≤ +x 3 4 2

c) 2 x −

x + 1 2( x − 1) 1 − x ≤ − 3 3 2

b)

4x − 1 2x + 1 2x − 1 ≥ x+ − 3 2 3

d)

x −1 x + 5 > 2 6

Sol a) x≥27/19 b) x≤-3/8 c) x≤-5/3 d) x>4

78

11.-Resuelve:

a)

x−3≥ 5− x

⎫ ⎬ 3(2 x − 1) − 4 x ≤ 9⎭

x + 3 x −1 ⎫ − ≤3 ⎪ ⎪ 4 b) 2 ⎬ 2x −1 x +1 + ≥ −1⎪ ⎪⎭ 3 4 Sol a) 4≤x≤6 b) -1≤x≤5

12.-B Resuelve: x 2 − 3x − 4 ≥0 x +1 b) ( x + 3) ⋅ ( x − 1) ≤ 0 c) 2x2 – 5x + 3 ≥ 0

a)

Sol a) 4≤x b) -3≤x≤1 c) 1≤x≤3/2 13.- Halla gráficamente la solución de los sistemas:

a)

2 x + y ≤ 5⎫ ⎬ x− y ≥2 ⎭

b)

2 x + y ≤ 4⎫ ⎬ x + y ≥1 ⎭

x + y − 2 > 0⎫ ⎪ c) x > 1 − y ⎬ ⎪ y≤2 ⎭ 14.-B Calcula las edades de dos amigos sabiendo que la suma de las edades de los dos es menor o igual a 30 y su diferencia es igual a 10. Sol 0≤y≤10; x=10+y 15.-B Halla dos números sabiendo que su suma es 24 y el primero es mayor que el doble del segundo. Sol y<8 ; x>2y

Tema 4: Funciones

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables de forma, que a cada valor real de la variable independiente le hacemos corresponder un único valor real de la variable dependiente. Dicha relación puede venir expresada mediante una tabla de valores, una gráfica o una fórmula. Se representa por y = f(x) y se lee y es igual a f de x. Un ejemplo de función es y = 2x + 1. Para representarla habrá que elaborar una tabla de valores tabla de valores: x y = 2x + 1 -3 -5 -2 -3 -1 -1 0 1 1 3 2 5 3 7

Su representación gráfica será:

80

Actividad 1.Completa una tabla de valores para cada una de las funciones siguientes y represéntalas gráficamente. y = 3x − 1 y = 2x Hasta aquí hemos visto cómo se puede representar una función pero podemos obtener más información estudiando otros aspectos de la misma como el dominio, la continuidad, el crecimiento y el decrecimiento, la simetría, la tendencia y la periodicidad.

Dominio de la función El dominio de una función es el conjunto de valores de la variable independiente para los que existe la variable dependiente. Dicho de otro modo, los valores de la variable independiente para los que se pueden realizar las operaciones que la fórmula plantea. Se representa por Dom(f). En las funciones polinómicas y las irracionales de índice impar el dominio es toda la recta real, mientras que en las racionales e irracionales de índice par el dominio hay que calcularlo. Ejemplo: Halla el dominio de las funciones 1 a) y = 3x + 2 b) y = x−2

a) y = 3x + 2 Para cada valor de la variable independiente x siempre podemos calcular el valor de la variable dependiente y. Por tanto el dominio será toda la recta real R o el intervalo ]-∞, +∞[. Gráficamente lo observamos al no ver “huecos” sobre el eje OX.

c) y = x − 2

81

b) y =

1 x−2

Cuando analizamos las operaciones implicadas en la fórmula vemos que terminaríamos realizando una división. Tenemos presente que no todos los números se pueden utilizar en las divisiones, no podemos pretender dividir entre cero.

Cuando x toma el valor 2 la variable dependiente y se calcula con la 1 que no puede realizarse, por tanto no existe un valor de la operación 2−2 variable dependiente relacionado con el valor 2 en la variable independiente. Cualquier otro valor que demos a la variable independiente tendrá un valor real asociado en la variable dependiente, ya que podemos realizar el cálculo. El dominio de la función será todos los números reales excepto el 2. ⎛ 1 ⎞ Dom(f) = Dom ⎜ ⎟ = { x ∈ R / x − 2 ≠ 0} = ] −∞; 2 [ ∪ ] 2; +∞ [ ⎝ x−2⎠ c) y = x − 2 En esta función, cuando sustituimos la variable x por un valor numérico terminamos calculando una raíz cuadrada. Sólo podemos calcular la raíz cuadrada de un número positivo. Formalmente planteamos: x–2≥0 La resolución de la inecuación nos da que la solución es x ≥ 2. Por tanto para esos valores podemos realizar el cálculo que la función plantea. Así Dom(f) = Dom

(

)

x − 2 = { x ∈ R / x − 2 ≥ 0} = [ 2 ; +∞ [

82

Actividad 2.Halla el dominio de las funciones siguientes: a) y = x 2 − 3 x − 4 b) y = x 2 + 3 x − 1 x+3 c) y = x−2

x 2 − 3x − 4 x−3 x e) y = 3 2 x − 2 x − 5x + 6 d) y =

Recorrido o imagen de una función La imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Ejemplo: Sea y=f(x) = x2. Después de representar la función vemos que x2 tomará cualquier número real positivo. Por tanto diremos que Im(f) = Im(x2) = [ 0 +∞ [

83

Continuidad de una función Una función es continua si no presenta ningún salto. Ejemplo: Estudia la continuidad de las funciones a) y =

2 x−3

b) y = 2 x − 1

2 no es x−3 continua, ya que el valor x = 3 no pertenece al dominio de la función y vemos que la gráfica presenta un salto.

La

La función y = 2 x − 1 es continua, tal como vemos en la representación gráfica, ya que para cualquier valor de x ∈R = Dom f no existe ningún salto.

función

y=

84

Actividad 3.Indica en qué puntos las funciones son o no continuas: y = 2 x 2 + 3x − 1

y = 3 x−3

5

4

3

2

1

0 -5

-4

-3

-2

-1

0 -1

-2

-3

-4

-5

y=

2x − 3 x −x−2 2

1

2

3

4

5

85

Crecimiento y decrecimiento de una función Una función es creciente si cuando aumenta la variable independiente lo hace también la dependiente. x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente disminuye la dependiente. x1< x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) Una función es constante cuando al aumentar o disminuir la variable independiente la dependiente permanece fija. x1< x2 ⇒ f(x1) = f(x2)

Actividad 4.El siguiente gráfico representa la variación de la Bolsa a lo largo de una semana. 310 308 306 304 302 300

L

M

X

J

V

S

Indica en qué días ha crecido y en qué días ha decrecido la función.

86

Actividad 5.-

Altura en m

El gráfico siguiente corresponde a la 8ª etapa de la vuelta a Murcia.

400 350 300 250

0

20

40

60

80

100

120

140

160 Recorrido en Km

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Es continua la función? Indica el dominio de la función.

Máximos y mínimos de una función Una función alcanza un máximo relativo en un punto si “antes y después” del mismo la función toma valores menores. Es decir, el máximo es el punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Una función alcanza un máximo absoluto en un punto si es el mayor valor que toma la función. Una función alcanza un mínimo relativo en un punto, si “antes y después” del mismo la función toma valores mayores. Es decir, el mínimo es el punto donde la función pasa de ser decreciente a creciente. Una función alcanza un mínimo absoluto en un punto si es el menor valor que toma la función.

87

Actividad 6.-

Profundidad (m)

La gráfica adjunta muestra cómo varía la profundidad del agua en el río Segura a su paso por Murcia durante un periodo de tiempo, medida ésta a la misma hora todos los días.

10 8 6 4 2

1

2

3

4

5

6

7

8

Días

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento del caudal. ¿En qué momentos su caudal alcanza máximos y mínimos? ¿Es continua la función?

Actividad 7.-

Número de personas

El horario de clases del instituto Luís García Berlanga es de 8 de la mañana a 14 h 30 min. de la tarde, con dos recreos de 20 min. La gráfica muestra el número de alumnos y profesores que acuden a la cantina del centro a lo largo de la mañana. 80 70 60 50 40 30 20 10

8

9

10

11

12

13

14

15 Horas

Indica en qué momentos es creciente o decreciente la función. Indica los puntos en donde alcanza un máximo o un mínimo. ¿Es continua la función?

88

Simetrías Una función es simétrica respecto del eje OY si se obtiene el mismo valor de y para cualquier pareja de valores de x iguales y cambiados de signo. Una función será por tanto, simétrica respecto del eje OY si se verifica: f(x) = f(–x) a la función que verifica lo anterior se le denomina función par. Gráficamente, una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY), si el dibujo que hay a su izquierda coincide con el de la derecha.

Ejemplo: Estudia la simetría de la función: y = x4 – 2x2 respecto del eje OY.

En primer lugar calcularemos f(x), f(x) = x4 – 2x2. En segundo lugar, calcularemos f(–x) = (–x)4 – 2(–x)2 = x4 – 2x2. Como coinciden ambos valores, la función será simétrica respecto del eje de ordenadas.

89

Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas, si verifica que para cualquier valor de x del dominio f(x) = – f(–x). A la función que verifica lo anterior se le denomina función impar. Gráficamente se dice que una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si al girar la mitad de la figura 180º coincide con la otra mitad. Observa los dos ejemplos.

Ejemplo: Estudia la simetría de la función y =

x respecto del origen de x −4 2

coordenadas. Calculamos f(x) =

−x −x x = , f(–x) = . x −4 (− x )2 − 4 x 2 − 4 2

Como los dos valores no coinciden, esta función no es simétrica respecto a OY. Ahora bien: ⎛ −x ⎞ ⎟= x –f(–x) = − ⎜ ⎜ (− x )2 − 4 ⎟ x 2 − 4 ⎝ ⎠ que coincide con f(x), por tanto la función será simétrica respecto del origen de coordenadas.

90

Actividad 8.Estudia la simetría de las funciones siguientes: a) f ( x ) = x 2 − 2 x + 3

b) f ( x) =

x2 + 1 x2 −1

c) f ( x) = 2 x − 3

d) f ( x) =

x3 x2 + 9

e) f ( x) = x + 3

f) f ( x) = 2 x

g) f ( x) = E [ x ] = (parte entera de x)

Tendencia En ocasiones interesa saber cómo se comporta una función al aumentar mucho la variable. Si al aumentar o disminuir la variable independiente indefinidamente, la variable dependiente se va aproximando a un valor determinado, entonces se dice que la función tiende hacia ese valor. Ejemplo: Estudia la tendencia de la función y =

1 2

x +1

.

Comenzamos estudiando cómo se comporta la función con valores muy grandes para la variable independiente. x y

1 3 10 100 1000 1000000 0,5 0,1 0,0099 0,00009999 0,000000999999 0,000000000000999999999999

Hemos de fijarnos que si vamos representando esos valores, la variable dependiente cada vez se va aproximando más a cero.

91 Diríamos por tanto, que la función 1 tiende a cero cuando x y= 2 x +1 tiende a +∞.

Gráficamente veríamos

Esto lo representaremos de la siguiente manera: x → +∞ ⇒ y → 0 ⎛ 1 ⎞ lim ⎜ 2 ⎟ = 0 o también x →+∞ x + 1 ⎝ ⎠

Ahora estudiamos cómo se comporta la función con valores muy pequeños para la variable independiente. Creamos una tabla dando valores a la variable independiente x, y obtenemos los valores de la variable dependiente y. x y

-1 -3 -10 -100 -1000 -1000000 0,5 0,1 0,0099 0,00009999 0,000000999999 0,000000000000999999999999

Hemos de fijarnos que si vamos representando esos valores, la variable dependiente cada vez se va aproximando más a cero.

Gráficamente veríamos

Diríamos por tanto, que la función 1 tiende a cero cuando x y= 2 x +1 tiende a −∞. Esto lo representaremos de la siguiente manera: x → −∞ ⇒ y → 0 ⎛ 1 ⎞ lim ⎜ o también ⎟=0 x → −∞ x 2 + 1 ⎝ ⎠

92

Actividad 9.Indica la tendencia, tanto para valores muy grandes como muy pequeños, de las funciones cuyas gráficas son:

Actividad 10.Estudia la tendencia de una función que relaciona el ángulo interior de un polígono regular y el número de lados. y = 180º −

360º siendo x= 3; 4; 5; … x

93

Periodicidad Una función es periódica cuando los valores que toma la variable dependiente se van repitiendo cada cierto intervalo. A este intervalo se le denomina periodo. Un ejemplo típico de funciones periódicas son las funciones trigonométricas seno y coseno.

Aunque no son las únicas

94

Actividad 11.Estudia el dominio, el recorrido, la continuidad, la simetría, los máximos, los mínimos y la tendencia de las funciones siguientes:

95

Actividad 12.-

Dom f =

Im f =

Intervalos donde crece

Intervalos donde decrece

Extremos relativos (máximos y mínimos) y absolutos. y= f (8)=

4= f (x) → x =

Puntos donde no es continua la función. lim f ( x) =

x →−∞

lim f ( x) =

x →+∞

Actividad 13.Dibuja las gráficas de las funciones siguientes: si x <1 ⎧ −1 ⎪ b) f ( x) = x − 1 a) f ( x) = ⎨2 x − 2 si 1 ≤ x ≤ 2 ⎪ 1 si 2 < x ⎩

c) f ( x) = E [ x + 1]

96

Actividad 14.Dibuja la gráfica de las funciones que verifican las características siguientes: a) Dom(f) = [-3; 3], Im(f ) = [-1; ∞[, simétrica respecto del eje OY y posee un mínimo en el punto (0,-1). b) Decreciente en el intervalo ]-∞; -3[, creciente en el intervalo ]-3; 0[, Im(f) = ]-∞; 2] y la función tiende a 1 cuando x tiende a +∞. c) La función tiende a 2 cuando x tiende a -∞ y tiende a -∞ cuando x tiende a +∞. Posee un mínimo en el punto (0; 0) y un máximo en el punto (2; 2).

Función afín La función afín es de la forma y = ax +b y se representa mediante una recta.

y=3

y = −2x+1

y = 3x

Si a = 0, la función afín se convierte en una función constante. Ejemplo: y=3. x y

-3 -2 -1 3 3 3

Dándole valores a la variable independiente, obtenemos una tabla de valores de la forma:

0 3

1 3

2 3

3 3

3

2

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

97 Si b = 0, la función afín pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo: La función y = 3x. Dándole valores a la variable independiente, obtenemos una tabla de valores de la forma:

x y

-3 -2 -9 -6

-1 -3

0 0

1 3

2 6

3 9

8 6 4 2 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -4 -6

Después uniríamos los puntos. Si b ≠ 0, la gráfica de la función no pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo: La función y = –2x + 1.

x y

-3 -2 7 5

-1 0 3 1

Una forma elemental de dibujar su gráfica, será obtener una tabla de valores y luego representar la misma.

1 2 3 -1 -3 -5 8 6 4 2 0

-4

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6

Después uniríamos los puntos.

1

2

3

4

98 Una manera más certera y útil de hacer esta misma representación, es a través de los puntos de corte con los ejes. Si a la variable x le damos el valor 0, obtenemos: y = −2 · 0 + 1 = 1 El punto de corte con el eje OY será el punto (0 ; 1). Si a la variable y le damos el valor 0, nos quedará: 0 = −2x + 1 resolvemos la ecuación 2x = 1 x=

1 2

⎛1 ⎞ El punto de corte con el eje OX será el ⎜ ; 0 ⎟ . ⎝2 ⎠ Para representar dicha función bastará con unir estos puntos de corte y prolongar su gráfica.

6

(0 ; 1) 4

⎛1 ⎞ ⎜ ; 0⎟ ⎝2 ⎠

2 0 -2

-1

0 -2 -4 6

1

2

99

Actividad 15.Dibuja la gráfica de las funciones siguientes: y=

1 x; 3

y = –2x;

y = 2x + 2;

y = –3x –1;

y = –1.

Toda función afín está definida por dos características fundamentales, su pendiente y su ordenada en el origen. Llamamos pendiente al coeficiente que acompaña a la variable independiente. La pendiente de una recta nos mide la variación de la variable dependiente y cuando aumenta una unidad la variable independiente x.

Si la pendiente de la función afín es positiva, la gráfica es creciente.

Si la pendiente es negativa, la gráfica es decreciente.

100

Ejemplo: Encuentra la pendiente de la función afín cuya gráfica pasa por los puntos (−2 ; −3) y (2 ; 3).

5 4 3

Si dibujamos la recta tenemos:

2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1

0

-2 -3 -4 -5

1

2

3

4

La pendiente hemos dicho que es la variación de y, es decir: 3 – (−3) = 6 respecto a la variación de x 2 – (−2) = 4 6 3 La pendiente será a = = 4 2

Actividad 16.Encuentra la pendiente de la función afín que pasa por los puntos (−1 ; 0) y (3 ; 5).

Actividad 17.Halla la pendiente de la función afín que pasa por los puntos (−2 ; 7) y (3 ; −2). La ordenada en el origen es el término independiente b y coincide con el valor de corte con el eje OY, es la longitud del segmento vertical comprendido entre el origen de coordenadas y la recta. Ejemplos:

101

Actividad 18.Dibuja la gráfica de las funciones afines siguientes, y=ax+b donde: a = −1, b = 2. a = 3, b = −3. a = 0, b = −2. a = 2, b = 0.

Una función afín, cuya gráfica hemos dicho que es una recta, no siempre viene definida por su pendiente y su ordenada en el origen.

Actividad 19.Determina la ecuación de la recta que tiene por pendiente 2 y pasa por el punto (1,2).

La ecuación de la recta es de la forma: y = ax + b Como a = 2, la ecuación tomará la forma: y = 2x + b al pasar por el punto (1 ; 2) 2 = 2(1) + b 2=2+b 0=b La ecuación de la recta será y = 2x.

102

Actividad 20.Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (−3 ; 1) y tiene por pendiente –1.

Actividad 21.Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2 ; 3) y tiene por ordenada en el origen –1.

Actividad 22.Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−2 ; −1) y (3 ; 0).

Actividad 23.Determina la pendiente de la recta y = ax + 4 que pasa por el punto (8 ; 2).

Actividad 24.a) Expresa en función de la longitud de los lados, el perímetro de la figura: x x+5 b) Representa gráficamente la función.

Actividad 25.Un electricista cobra 15 euros por desplazamiento y 21 euros por hora de trabajo. Encuentra la expresión matemática que expresa el coste por reparación. Si ha tardado dos horas y media en arreglar la avería. ¿Cuál es su coste? Si he pagado 72,75 euros por la reparación. ¿Cuánto ha tardado en reparar la avería?

103

Actividad 26.Ayer al salir a pasear, me crucé con mi vecino al cabo de 4 km. Si ando a un ritmo constante de 6 km/h, ¿cuánto tiempo llevaba andando cuando me he cruzado con el vecino? ¿Y cuánto habré recorrido al cabo de 2 horas y media?

Función cuadrática La función cuadrática es una función de la forma y = ax2 +bx + c, donde los coeficientes a, b y c son números reales con la condición de que a sea siempre distinto de cero. Su gráfica es una parábola. Ejemplo: y = x2

X Y

-1 1

0 0

1 1

2 4

X Y

-3 9

-0,5 0,5 1,5 0,25 0,25 2,25

Actividad 27.Indica cuáles de las funciones siguientes son cuadráticas a) y = –x2 + 2x + 1 c) y = x2 + 3

b) y = x2 –3x. d) y = 3x –2.

104 Para representar gráficamente una función cuadrática, procederemos de la manera siguiente: 1º Calcularemos los puntos de corte con los ejes. 2º Calcularemos las coordenadas del vértice. Damos en primer lugar el valor 0 a la variable x. x = 0 → y = a (0)2 + b (0) + c = c Luego el punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0 ; c). En segundo lugar damos el valor cero a la variable y. y = 0 → 0 = ax2 + bx + c Para calcular los valores de x que anulan la función, resolvemos la ecuación de segundo grado. x=

x1 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

−b − b 2 − 4ac ; 2a

x2 =

−b + b 2 − 4ac 2a

Y las soluciones de esta ecuación cuando existan, serán los puntos de corte con el eje de abscisas: ( x1 ; 0 ) y ( x2 ; 0 )

A(x1,0) B(x2,0)

V(xv,yv)

105 Una vez hallados los puntos de corte, procederemos a calcular las coordenadas del vértice. Sea V(xv,yv) el vértice de la parábola, las coordenadas del vértice las calculamos por partes. El valor de la coordenada x del vértice (xv) es equidistante de los valores (x1) y (x2) soluciones de ax2 + bx +c = 0; dicho de otro modo se encuentra en medio de esos valores, por tanto es la media aritmética de ellos xv =

x1 + x 2 2

Ahora bien, x1 y x2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 y recordando que la suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado de este tipo vale: x1 +x2 =

−b b 2 − 4ac −b b 2 − 4ac −b −b − + + =2 = 2a 2a 2a 2a a 2a

La coordenada xv valdrá: x + x2 xv = 1 = 2

−b a 2

=

−b 2a

Una vez calculado el valor de xv, el valor de yv lo hallaremos sustituyendo xv en la función y = ax2 + bx + c. 2

ab 2 b 2 ⎛− b⎞ ⎛− b⎞ y v = a⎜ − ⎟ + b⎜ ⎟+c= ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ 4a 2 2a ab 2 − 2ab 2 − ab 2 = +c= +c=c− 4a 2 4a 2

+c= b 2 4ac − b 2 = 4a 4a

Una vez halladas dichas coordenadas, uniremos los puntos y tendremos la gráfica de la función.

106 El vértice es el punto donde la función cuadrática alcanza su máximo o su mínimo, dependiendo del signo del coeficiente a. Si a > 0, la parábola toma la forma:

Si a < 0, la parábola toma la forma: Ejemplo: Representa gráficamente la función y = x2 – 3x – 4. Calcularemos en primer lugar los puntos de corte con los ejes. Así, la gráfica de la función será: x = 0 → y = –4 y = 0 → x2 – 3x – 4 = 0 → x1 = –1 y x2 = 4. Puntos de corte: (0; –4);(–1; 0);(4; 0) En segundo lugar, calcularemos las coordenadas del vértice. ⎛ − b 4ac − b 2 ⎞ ⎟⎟ = ; V= ⎜⎜ 2 a 4 a ⎝ ⎠ ⎛ 3 − 16 − 9 ⎞ ⎛ 3 − 25 ⎞ =⎜ ; ⎟ =⎜ ; ⎟ 4 ⎠ ⎝2 4 ⎠ ⎝2

107

Actividad 28.Representa gráficamente las funciones cuadráticas siguientes: a) b) c) d) e)

y = – x2 –1 y = x2 – x – 2 y = x2 – 5x +4 y = x2 + 3x + 3 y = – x2 + 6x – 9

Actividad 29.Halla la ecuación de la función cuadrática que tiene su vértice en el punto (1 ; 2) y pasa por el punto (0 ; −3).

Actividad 30.Calcula y representa el área de un triángulo equilátero en función de su base.

Actividad 31.Se quiere construir un vallado rectangular de 60 m. de perímetro. Expresa el área en función del lado.

Actividad 32.Los gastos de una empresa en la fabricación de cierto producto vienen dados por la función: G(x) = 4x2 – 3x + 1 y los ingresos que se obtienen por la venta I(x) = 3x2 + x + 5. a) Representa gráficamente la función que expresa el beneficio. b) Si se fabrican 10 unidades. ¿Cuál será el beneficio? c) ¿Cuál es el beneficio máximo que se espera obtener?

Actividad 33.Determina la ecuación de la función cuadrática cuya gráfica pasa por los puntos: (1 ; 0), (–1 ; 2) y (2 ; 1).

108

Función de proporcionalidad inversa Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales cuando al aumentar una disminuye la otra en la misma proporción. Es decir, si aumentamos una al doble, la otra disminuye a la mitad, si aumentamos una al triple, la otra disminuye a la tercera parte, etc.

Actividad 34.Indica de qué tipo son las relaciones entre las magnitudes: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Longitud de una pared y cantidad de pintura. Tiempo en realizar una obra y número de obreros. Temperatura y tiempo de cocción. Capacidad pulmonar y volumen de aire en los pulmones. Velocidad de un atleta y tiempo invertido en recorrer los cien metros.

La función de proporcionalidad inversa es de la forma: y = producto de las dos variables es siempre constante xy = k .

k , es decir el x

Su representación gráfica es una curva llamada hipérbola. Si k < 0 la función es creciente.

Si k > 0 la función es decreciente.

109 Ejemplo: Representa la función y =

2 . x

Para representar la función, elaboraremos en primer lugar una tabla de valores. x y

0,1 20

0,25 8

x y

-0,1 -0,25 -20 -8

0,75 2,66667

1 2

2 1

4 0,5

10 0,2

100 0,02

-0,75 -2,66667

-1 -2

-2 -1

-4 -10 -100 -0,5 -0,2 -0,02

1000 0,002 -1000 -0,002

10 8 6 4

Señalamos los puntos calculados.

2 -12

-10

-8

-6

-4

0 -2 -2 0

2

4

6

8

10

12

-4 -6 -8 -10

Unimos los puntos, teniendo en cuenta que el valor cero no pertenece al dominio y la gráfica será:

Actividad 35.Representa gráficamente las funciones de proporcionalidad inversa siguientes: − 10 3 b) y = a) y = x x −1 1 d) y = c) y = x x

110

Actividad 36.Representa gráficamente la función que se obtiene al expresar en función de su base como varía la altura de una ventana rectangular de 5 m2 de superficie.

Actividad 37.Un móvil a distintas velocidades ha empleado los siguientes tiempos en recorrer la misma distancia. Velocidad m/s 6 4 2 1 Tiempo en segundos 10 15 30 60 a) Encuentra la expresión algebraica de la velocidad en función del tiempo. b) Representa gráficamente la función.

Actividad 38.Un circuito conectado a una pila de 4,5 voltios nos muestra la siguiente tabla: Intensidad (amperios) 1 2 3 4 Resistencia (ohmios) 4,5 2,25 1,5 1,125 a) Encuentra la expresión algebraica que nos relaciona la intensidad (I) con la resistencia ( R). b) Representa gráficamente la función. c) ¿Qué intensidad tendrá la pila para una resistencia de 2 ohmios?

Actividad 39.En un gas encerrado en una jeringuilla a temperatura constante, si se modifica su presión se modifica su volumen como muestra la tabla: Presión (atmósferas) Volumen (ml.)

1 20

2 10

4 5

10 2

20 1

a) Encuentra la expresión algebraica que relaciona la presión y el volumen. b) Para un volumen de 8 ml., ¿qué presión se aplicará?

111

Función exponencial Una leyenda dice que el juego del ajedrez fue inventado por un matemático al servicio de un príncipe indio. El príncipe entusiasmado por el juego, quiso premiar por sus servicios al matemático y le indicó que podía pedirle lo que quisiera. El matemático después de pensarlo, le solicitó un grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera y así sucesivamente hasta completar las casillas del tablero.

Actividad 40.-B a) Elabora una tabla que recoja en una columna las casillas del tablero y en otra el número de granos de trigo. b) Representa gráficamente los valores. c) Encuentra una fórmula matemática que los relacione. Como habrás podido comprobar al realizar la tabla de valores: Casillas Número de granos

1 1

2 2

3 4

Los números obtenidos son potencias de 2. 20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; ...; … 210 = 1024 La expresión matemática que relaciona las casillas y los granos de trigo es: y = 2x-1 Al unir los puntos se obtiene una gráfica de la forma:

4 8

10 1024

64

112

Llamamos función exponencial a toda función de la forma y = ax, en la que a es un número real positivo distinto de 1. Se nos pueden presentar dos casos:

Cuando 1 < a la función es siempre creciente.

Cuando 0
Al trabajar con funciones exponenciales nos interesa recordar las propiedades de las potencias. a0 = 1 a ·a = a x

y

x+ y

a− x =

1 ax

ax = a x− y y a

ay/x = x ay

(a )

x y

= a x· y

113 Ejemplo: Representa gráficamente la función y = 3x. Elaboraremos una tabla de valores: x y

-3 1/27

x y

0 1

-2 1/9 1 3

2 9

-1 1/3 3 27

Como 1 < 3 la función exponencial es creciente. Las tendencias de la función son: lim 3x = 0 ; lim 3x = +∞ x → −∞

x → +∞

La gráfica viene representada a la derecha. x

⎛1⎞ Ejemplo: Representa gráficamente la función y = ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ Dando valores a la variable x, obtenemos la tabla de valores siguiente:

x y

-2 4

-1 2

0 1

1 2 1/2 1/4

1 < 1, la función 2 exponencial es decreciente. Las tendencias de la función son: Como 0 <

x

x

⎛1⎞ ⎛1⎞ lim ⎜ ⎟ = +∞ ; lim ⎜ ⎟ = 0 x → −∞ 2 x → +∞ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ La gráfica viene representada a la izquierda.

114

Actividad 41.-B Representa gráficamente las funciones exponenciales siguientes: a) b) c) d)

y = 9x y = 32x y = 4 −x y = 0,13x

⎛1⎞ e) y = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x

⎛2⎞ f) y = ⎜ ⎟ ⎝5⎠

x

Actividad 42.-B Cierta bacteria se multiplica por 3 al cabo de un minuto. a) Si inicialmente había 3 bacterias. Encuentra una expresión algebraica que nos exprese el número de bacterias al cabo de x minutos. b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora?

Actividad 43.-B He colocado mis ahorros en una entidad bancaria que me ofrece un interés de un 1,5% anual. Si inicialmente dispongo de 100 euros: a) ¿Cuánto dinero tendré al cabo de tres años? b) Encuentra una expresión algebraica que exprese el dinero de la cuenta al cabo de x años.

Actividad 44.-B Si un grupo inversor nos ofrece un 10% de interés anual: a) ¿En cuánto se convierte un capital de 1000 euros al cabo de tres años? b) ¿Cuánto tiempo tardaré en duplicar mi capital?

115

Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente. Ejemplo: 2x = 8;

2x + 2x-1 = 2;

10x – 10-x =2

Pueden presentarse distintos tipos de ecuaciones, en algunos casos será necesario el uso de logaritmos, que estudiaremos posteriormente, y en otros no. En estas primeras actividades resolveremos ecuaciones exponenciales en las que no sea necesario el uso de logaritmos. Ejemplo: Resuelve la ecuación 2x = 8. Para resolver ecuaciones de este tipo, descompondremos el número en potencias de la base. 8 = 23 Por tanto 2x = 23 → x = 3

Actividad 45.-B Resuelve las ecuaciones exponenciales siguientes: 1 64 b) 3x · 92x = 9-4 2 c) 8 ⋅ 2 x + 2 x −5 = 1024 a) 2 3− x = 2

(1,02) x −1 = 52,02 0,02 e) 2x +3 − 5 · 2x − 3 = 0 f) 3 x +1 + 3 x + 3 x −1 = 117

d)

116 Ejemplo: Resuelve la ecuación 2x – 2 · 2 -x = 1. Aplicamos las propiedades de las potencias 2x –

2 =1 2x

Quitamos denominadores 22x – 2 = 2x Lo llevamos todo al primer miembro de la igualdad 22x – 2x – 2 = 0 Ahora si hacemos el cambio de variable ( 2x = t ) y tenemos en cuenta que ax · ax = a2x, nos quedará: t2 – t – 2 = 0

t=

1± 1+ 8 1± 3 = 2 2

Las soluciones son: t1 = 2 y t2 = −1. Para la primera solución

2x = 2 → x = 1

Para la segunda solución 2x = −1 → ∃ x No hay ninguna solución posible. Por tanto la solución de la ecuación 2x – 2 · 2 -x = 1 es x=1

Actividad 46.-B Resuelve las ecuaciones exponenciales siguientes: a) b) c) d)

4x – 7 · 2x + 12 = 0 4x – 2x+3 +12 = 0 6x + 62-x =12 2x+2 =6-21-x

117

Sistemas de ecuaciones exponenciales Un sistema de ecuaciones exponenciales es el formado por un conjunto de ecuaciones donde una como mínimo es una ecuación exponencial. Ejemplo: Resuelve el sistema

2x − y = 1 ⎫ ⎬ 2 x ⋅ 2 y = 4⎭

Para resolver este sistema, deberemos de aplicar las propiedades de las potencias. 2x · 2y = 2x+y Por tanto: 2x+y = 4 = 22 ⇐⇒ x + y = 2 El sistema inicial se transforma en otro equivalente: 2 x − y = 1⎫ ⎬ x+ y =2 ⎭ Sumamos las dos ecuaciones: 3x = 3 → x = 1 Sustituimos su valor en la segunda ecuación 1+y=2→y=1 3 x + 2 y = 4⎫⎪ Ejemplo: Resuelve el sistema x ⎬ 3 − 2 y = 2 ⎪⎭ Llamamos 3x = u y 2y = v, el sistema queda

u + v = 4⎫ ⎬ u − v = 2⎭

Sumamos 2u = 6 → u = 3 → 3 = 3x → x = 1 Sustituimos su valor en la primera ecuación 3 + v = 4 → v = 1 → 1 = 2y → y = 0

118

Actividad 47.-B Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales: a) b)

c) d) e)

3 x − y = 5⎫ ⎬ 3 x + y = 81 ⎭ 3 x + 5 y = 8 ⎫⎪ ⎬ 3 x +1 − 5 y = 4⎪⎭ 2 x ⋅ 2 y = 16 ⎪⎫ ⎬ 3 2 x ⋅ 3 − y = 9⎪⎭ 2 x + 2 y = 10 ⎫⎪ ⎬ 2 x +1 − 2 y − 2 = 2⎪⎭ 2 3 x − y = 16⎫⎪ ⎬ 3 2 x + y = 81⎪⎭

Función logarítmica La función logarítmica es la función inversa de la exponencial. Su expresión algebraica es de la forma: y = loga (x) Para representar gráficamente esta función, necesitaremos una tabla de valores y por consiguiente conocer qué es un logaritmo y qué propiedades tiene. Definimos logaritmo en base a, (a>0), de un número real positivo x como el número al que hay que elevar dicha base a para obtener el número inicialmente dado x, es decir: y = loga (x) ⇔ x = ay

119 Ejemplo: log3 (9) = y ⇔ 9 = 3y Por tanto: 32 = 3y → y = 2. Por tanto decimos que el logaritmo en base 3 de 9 vale 2.

Actividad 48.-B Encuentra los valores de las incógnitas en cada uno de los casos siguientes: a) b) c) d)

loga (2) = 4 log5 (125) = x log2 (0,0625) = x log10 (x) = 4

Los logaritmos tienen las siguientes propiedades: a) El logaritmo en cualquier base de 1 vale 0. a0 = 1 ⇔ loga (1) = 0 b) El logaritmo de la base vale la unidad. a = a1 ⇔ loga (a) = 1 c) El logaritmo en cualquier base de un producto es igual a la suma de los logaritmos. ax · ay = ax+y ⇔ loga(u · v) = loga (u) + loga (v) d) El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos. ax : ay = ax-y ⇔ loga(u : v) = loga (u) – loga (v) e) El logaritmo de un número elevado a un exponente es igual al exponente por el logaritmo del número. loga (xy) = y loga (x)

120

f) El logaritmo de la raíz de índice x de una potencia my vale: log a

( m ) = xy log (m) x

y

a

g) Los números positivos mayores que la unidad tienen logaritmo positivo. log2 (4) = y ⇔ 4 = 2y ⇔ 22 =2y⇔ y = 2 h) Los números positivos comprendidos entre 0 y 1 tienen logaritmo negativo. 1 ⎛1⎞ log 2 ⎜ ⎟ = y ⇔ = 2 y ⇔ 2−2 = 2 y ⇔ y = −2 4 ⎝4⎠ i) Los números negativos no tienen logaritmo. log3 (–3) = y ⇒ –3 = 3y Y el 3 lo elevemos a lo que lo elevemos nunca puede dar –3.

j) El logaritmo de 0 no existe en ninguna base. Si 0 < a < 1 entonces lim log a ( x ) = +∞ x →0 x >0

Si 1 < a

entonces lim log a ( x ) = −∞ x →0 x >0

k) Existen dos tipos de logaritmos con expresión propia. El logaritmo de base 10 que se expresa log(x) en lugar de log10(x). Y el logaritmo base e o logaritmo natural o neperiano que se expresa ln(x) en lugar de loge(x).

121 Una vez vistas estas propiedades, podemos encontrar una tabla de valores que nos permita representar una función logarítmica. Ejemplo: Representa la función y = log3 (x). Por definición y = log3 (x) ⇔ x =3y x y

1/9 -2

1/3 -1

1 0

3 1

9 2

La representación gráfica está a la izquierda. A través de la gráfica observarás que: lim log 3 ( x ) = −∞ x →0 x >0

lim log 3 ( x ) = +∞

x →+∞

Ejemplo: Representa gráficamente la función y = log1/2 x. y

Dando valores a la siguiente tabla y x

1 1/2

2 1/4

( )

y ⎛1⎞ x = ⎜ ⎟ = 2 −1 = 2− y . ⎝2⎠

Por definición

0 1

y

-1 2

obtenemos

-2 4

La representación gráfica está a la derecha. A través de la gráfica observarás que: lim log1/ 2 ( x ) = +∞ x →0 x >0

lim log1/ 2 ( x ) = −∞

x →+∞

122

Actividad 49.-B Representa gráficamente las funciones logarítmicas siguientes: a) y = log5 (x) b) y = log1/5 (x)

Ecuaciones con logaritmos Las propiedades anteriormente vistas nos sirven para desarrollar los logaritmos de diferentes expresiones algebraicas y para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. ⎛x⎞ Ejemplo: Resuelve la ecuación 3 log (x) – log (32) = log ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ Para resolver la ecuación aplicamos las propiedades de los logaritmos. ⎛ x3 ⎞ ⎛x⎞ ⎛ x⎞ log(x3) – log(32) = log ⎜ ⎟ Í Î log ⎜ ⎟ = log ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 32 ⎠

Igualamos los argumentos de los logaritmos x3 x = 32 2 Y resolvemos la ecuación 2x 3 = 32x 2x 3 − 32x = 0 ⎧x = 0 ⎪ x ( 2x − 32) = 0 ↔ ⎨2x 2 = 32 → x 2 = 32 → x = ± 16 ⇒ ⎧x = +4 ⎨ ⎪⎩ 2 ⎩x = −4 Por último comprobamos la idoneidad de las soluciones encontradas y x3 x = sólo es solución observamos cómo de las soluciones de la ecuación 32 2 de la ecuación original el valor 4. 2

123

Actividad 50.-B Calcula y desarrolla los logaritmos de base a de las expresiones siguientes: Como por ejemplo log a ( x y 3 z ) = log a ( x ) + 3log a ( y ) − log a ( z )

a) M = x3 · y2 b) N =

3

x2 y

⎛ x3 ⎞ c) P = ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎝ ⎠

4

Actividad 51.-B Resuelve las ecuaciones logarítmicas siguientes: a) log3 (x2) – log3 (x) = 1 b) log (x) = 1 - log(x + 3) log(25 − x 2 ) =4 c) log(5 − x)

d) log (3x) = log (6) + 2log (x) e) log(x2 – x + 1) = 0 f) log(x) + log(x – 2) = log(x – x2 ) log( x 2 − 2) =1 g) log(− x)

Sistemas de ecuaciones con logaritmos Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un conjunto de ecuaciones en las que como mínimo hay una ecuación con logaritmos.

124 Ejemplo: Resuelve el sistema

x + y = 11 ⎫ ⎬ log(x ) − log(y ) = 1⎭

Aplicamos las propiedades de los logaritmos en la segunda ecuación log(x) – log(y) = 1 Se transforma en ⎛x⎞ log⎜⎜ ⎟⎟ = log(10) ⎝y⎠ Igualamos los argumentos x = 10 y x = 10 y Nos queda el sistema: x + y = 11 ⎫ ⎬ x = 10 y ⎭ Aplicamos el método de sustitución 10 y + y = 11 ⇐⇒ y = 1 Por tanto x = 10 · (1) = 10

Actividad 52.-B Resuelve los sistemas de ecuaciones logarítmicas siguientes: a)

log x + log y = 0⎫ ⎬ log x − log y = 0 ⎭

b)

log x − log y = 2 ⎫ ⎬ 2 log x + 3log y = 4 ⎭

c)

log x − 2 log y = 2 ⎫ ⎬ x + y 2 = 101⎭

d)

2x + 3 y = 5⎫ ⎬ log x − log y = 0 ⎭

125

Actividades de refuerzo 1.- La gráfica siguiente nos muestra el perfil de una etapa de la vuelta ciclista a España. m 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Km 200

Estudia: Dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, simetrías y tendencia. Dom [0;190] Im [100;900] en: (20;80);(110;140)  en: (80;110); (140;180) M (80;900) M(140;800) m (100; 500). 2.-En la función siguiente estudia: dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, simetrías y tendencia.

Dom [-8,-5)∪(-4,4)∪(5,8] Im (-∞,1] en: (-4,-2);(0,2);(5,8)  en (8;5), (-2;0) i (2;4) M(-2;1) (2;1) m(0;-0,75) Sim resp OY x→{-5;-4;4;5} ⇒y→-∞

126

3.- Un montañero sabe que por cada 100 metros de ascenso a cierta montaña, la temperatura disminuye medio grado. Si la altitud de la montaña es de 1200 metros y la temperatura en la base es de 7,5º C. a) Representa gráficamente la temperatura en función de los metros ascendidos. b) Calcula la temperatura que se espera alcanzar en la cima. a) y=7,5+x/200 b) 13,5 4.- La siguiente tabla nos muestra el tiempo de llenado de una piscina en función del número de grifos utilizados. Nº de grifos x

2

3

4

Tiempo en horas

12

8

6

5 24 5

6 4

a) Encuentra el número de grifos para llenarla en 3h. b) Encuentra el número de grifos para llenarla en 4 horas y 48 minutos. c) Encuentra la expresión matemática que relaciona las dos variables. a) 8 b) 5 c) y=24/x 5.- La función de precio unitario de un cierto producto es P(x)= 30 – 0,1x. Si se venden x unidades y el coste total es G(x) = 120000 – 494x. a) Expresa analíticamente la función beneficio. b) ¿Cuántas unidades habrá que vender para que el beneficio sea máximo? c) Encuentra el beneficio máximo. a) -0,1x2+524x-120000 b) 2620 c) 566440€ 6.- Dibuja una función que cumpla los requisitos siguientes: Simétrica respecto al origen, tiene un máximo relativo en el punto (–2 ; 1), un mínimo en el punto (2 ; –1), tiende a cero cuando x tiende a +∞ y además corta a los ejes de coordenadas en el punto (0 ; 0).

127 7.- Halla la ecuación de la función cuadrática de vértice en el punto (1 ; 1) y que pasa por el punto (0 ; –3). -4x²+8x-3 8.- Una compañía de autobuses cobra en cada billete a los usuarios de la misma un precio fijo más un precio por kilómetro recorrido. Si un viajero que realizó un trayecto de 60 Km. pagó 7,37 euros y un segundo viajero pagó 13,31 € por un trayecto de 168 Km. ¿Cuánto pagará un tercer viajero por un trayecto de 100 Km. en la misma compañía? 9,57€ 9.- En un aparcamiento público el precio por aparcar es de 0,90 € por hora o fracción. A partir de las 11 horas de aparcamiento y hasta las 24 horas se paga una cantidad total de 10 €. a) Representa gráficamente la función que asocia el número de horas de aparcamiento y el precio a pagar. b) Estudia: dominio, recorrido, continuidad, simetría y tendencia de la función.

10.- De un folio recortamos el mismo trozo cuadrado en las cuatro esquinas, después lo doblamos y formamos una caja sin tapa. Sabiendo que las dimensiones del folio son: 21 cm. por 29,7 cm. a) Encuentra la función que nos relaciona el volumen con el lado del cuadrado recortado. b) Representa la función en el intervalo [0 ; 5] y estúdiala. c) ¿Qué longitud ha de tener el lado del cuadrado recortado, para obtener el mayor volumen posible? (por tanteo) a) 623.7x-101.4x²+4x³ c) 4,04 11.- La tarifa de un taxista es de 1 € fijo más un precio por km recorrido. Si en un recorrido de 7 Km. he pagado 9 €: a) Encuentra la función que relaciona el precio con los kilómetros recorridos. b) Representa gráficamente la función. a) y=8/7x+1

128

12.-B Una entidad bancaria me ofrece un 1,5% de interés compuesto anual si les deposito mis ahorros. a) Si deposito 1.000 euros ahora, ¿cuánto dinero tendré en mi cuenta al cabo de 3 años? ¿y al cabo de 10? b) ¿Cuánto tardaré en duplicar mi capital? a) 1045,7€ ; 1160,5€ b) 46,556 años 13.- El coste de apertura de cierta tienda de ropa es de 30.000 euros y el coste de fabricación de cada unidad producida es de 12 euros. a) Calcula el coste de fabricación de 100 prendas. b) Encuentra la expresión matemática que nos relaciona coste con producción. c) Representa gráficamente la función que nos relaciona el coste y el número de prendas fabricadas. a) 31200 b) 30000 + 12x 14.- Representa y estudia la función x < −1 ⎧ − 2 si ⎪ f ( x ) = ⎨2 x − 1 si −1 ≤ x < 2 ⎪ x 2 − 3 si 2≤ x ⎩

15.- Halla la función cuya gráfica viene representada por la parábola

y=1/3x²-2x+3

129

16.-B Resuelve las ecuaciones exponenciales siguientes: a) 5x −1 = 2 +

3 5

b) 9 x

x−2

2

− 2 x −1

=

1 −3 x + 2

3

c) −4 x + 2 x +1 + 8 = 0

d) 2 x − 21−x = 1

e) 2 x + 2 x +1 + 2 x −1 = 56

f) 2 ⋅ 4 x +1 + 2 x + 2 =

3 2

a) 2 b) 0;7/2 c) 2 d) 1 e) 4 f) -2

17.-B Sabiendo que el crecimiento de un país se rige por la fórmula C(t) = C0 · en·t Donde n es la tasa de crecimiento anual, t el tiempo en años y C0 la población inicial. a) Calcula la población del país dentro de 5 años si su tasa de crecimiento anual es del 0,9% y la población inicial es de 8 millones de habitantes. b) ¿Cuánto tiempo tardará el país en duplicar la población actual? a) 720137050,41 b) ln(2)/0,9

18.-B Resuelve las ecuaciones logarítmicas siguientes: a) log( x 3 − 3x 2 + 4 x − 3) = 1 + log( x − 1) b) log x + 1 − log x = 1 c) log10 x − log( x + 1) = log x d) log x + log(2 x − 1) = 2 log x e) log x − 1 = log( x − 1) a) 2 b) 1/99 c) 9 d) 1

130

19.-B Resuelve los sistemas de ecuaciones exponenciales siguientes: ⎧2 x + 2 y = 24 a) ⎨ x+y ⎩ 2 = 128 ⎧3x +2 y = 81 b) ⎨ x + y ⎩2 =4 a) (3;4) (4;3) b) (0;2) 20.-B Resuelve los sistemas de ecuaciones logarítmicas siguientes: ⎧2log x − 3log y = 1 a) ⎨ ⎩3log x + 2log y = −2 x + y =1 ⎧ b) ⎨ ⎩log x − log y = 0 a) (104/13, 10-7/13) b) (1/2; 1/2) 21.-B Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes: ⎧ 3x + y = 2187 a) ⎨ ⎩log x + log y = 1 ⎧ 16 = 2 x − y b) ⎨ ⎩log x − log y = 1

a)(5;2) (2;5) b) (40/9; 4/9)

Tema 5: Semejanza

En la vida cotidiana nos rodeamos a menudo de multitud de reproducciones, bien sea un cuadro, una fotografía, una maqueta, un plano, etc. Estas reproducciones pretenden transmitirnos la belleza, la forma o la imagen del original, ya que no todo el mundo puede poseer un Sorolla o un Picasso, ni puede tener en su casa la Torre Eiffel o el Museo Guggenheim. Cuanto más fiel sea la reproducción más apreciada será, y si por el contrario no es buena, no nos interesará conservarla, pues carecerá de valor.

Actividad 1.Fíjate en una pelota de tenis y en una pelota de baloncesto, ¿qué analogías encuentras entre ellas?

Diremos que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero tamaños diferentes.

132

Actividad 2.Indica cuáles de las figuras siguientes son semejantes entre sí.

En las figuras semejantes, a cada lado, ángulo, vértice, de la primera figura le corresponde otro de la segunda. Se denominan elementos homólogos aquellos que se corresponden de una figura a otra semejante a la primera.

133

Actividad 3.Observa las figuras siguientes:

a) ¿Son semejantes? b) Mide las longitudes de cada uno de los segmentos de cada triángulo a ′ b′ c′ y realiza los siguientes cocientes: ; ; a b c ¿Encuentras alguna relación entre ellos?

El cociente entre dos segmentos homólogos de dos figuras semejantes da siempre una misma cantidad que llamaremos razón de semejanza. Un ejemplo lo tenemos en la escala. Cuando decimos que tenemos una escala: 1:10.000, estamos diciendo que la razón de semejanza entre el dibujo y la realidad es precisamente: 1/10.000 Recordemos que la definición de escala, es

E= longitud en el plano partido por la longitud en la realidad.

Es importante recordar que semejanza no significa parecido, ni igual, sino que, por el contrario para que exista semejanza es necesario que tenga la misma forma pero distinto tamaño.

134

Las tres figuras anteriores son triángulos, por tanto más o menos parecidas, pero no son semejantes.

Diremos que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y los lados proporcionales. Dos triángulos son semejantes cuando podemos verificar alguno de estos criterios: ƒ

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

ƒ

Dos triángulos proporcionales.

ƒ

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

son

semejantes

si

tienen

sus

tres

Actividad 4.Estudia la semejanza de los triángulos y en caso afirmativo explícala.

lados

135

Actividad 5.Estudia la semejanza de los triángulos: a)

b)

a’

a

a

a b

b’

Como consecuencia de la semejanza de triángulos rectángulos, podemos obtener los siguientes teoremas.

136 Consideremos un triángulo rectángulo cualquiera y tracemos su altura respecto del lado CB . A

c

b

h

n

m

H

C

B

a

Tenemos dos triángulos rectángulos más A

A

c

b

h

h

m

n C

H

H

B

Los triángulos AHC, AHB y BAC son semejantes por tener los ángulos iguales, con lo cual sus lados son proporcionales. La semejanza entre AHC y BAC nos indica que a b = ⎯ ⎯→ b 2 = a ⋅ n b n

Esta expresión se conoce como teorema del cateto y nos dice que “el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella”. La semejanza entre AHB y BAC nos indica que a c = ⎯ ⎯→ c 2 = a ⋅ m c m

137

De los triángulos semejantes AHC y AHB A

A

c

b

h

h

m

n C

H

B

H

Tendremos

m h = ⎯ ⎯→ h 2 = m ⋅ n h n

A la expresión anterior se le conoce como teorema de la altura y dice que “el cuadrado de la altura es igual al producto de los dos segmentos que forma en la hipotenusa”. Si las expresiones anteriores b2=an y c2=am las sumamos c2 + b2 = an + am = a ( m + n ) = a · a = a2

A la expresión anterior se le conoce como teorema de Pitágoras y dice que “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”. c2 + b2 = a2

138

Actividad 6.Un tobogán con forma de triángulo rectángulo tiene el dibujo siguiente:

a) Calcula la altura del mismo (los datos se midieron en metros). b) Calcula los catetos b y c.

Actividad 7.a) Calcula las dimensiones del tobogán anterior dibujado en una escala 1:10. b) ¿Cabría este dibujo en un folio DIN A4? c) Encuentra una escala que te permita dibujar el tobogán en el folio.

Actividad 8.Un bombero observa que en el balcón del 2º piso de un edificio en llamas hay un niño pidiendo socorro. Sabiendo que cada planta del inmueble tiene una altura de 3 m. y que la distancia del bombero a la casa es de 8 m. ¿Qué longitud ha de tener su escalera para poder llegar a dicho balcón desde el lugar donde se encuentra?

139

Actividad 9.Queremos ascender una montaña por su ladera más empinada. Conocemos los datos siguientes:

Calcula la distancia que tendremos que recorrer para alcanzar la cima d, sabiendo que forman un triángulo rectángulo en la cima. Las distancias están en kilómetros.

Actividad 10.Desde un pueblo A, a la cima B de una montaña hay 5 km. y desde la cima B, a otro pueblo C hay una distancia de 12 km. Sabiendo que ABC es un triángulo rectángulo, calcula la distancia de A hasta C y la altura de la montaña.

140

A veces la simple observación no nos vale para saber si dos figuras son semejantes o no.

Actividad 11.Dadas las rectas r y s

t

A

r

A’ s

a) Dibuja tres rectas paralelas a la recta t y representa los cortes con las rectas r y s como en la recta t, con las letras B, B´, C, C´, D, D´. b) Mide con tu regla los siguientes segmentos: AB , BC , CD , A'B' , B'C' , y C'D' . AB BC CD c) Calcula los siguientes cocientes ; ; A ′B ′ B ′C ′ C ′D ′ d) ¿Qué similitudes encuentras entre los cocientes?

Acabamos de enunciar un teorema de gran importancia en geometría, se trata del teorema de Thales y que dice “si cortamos dos rectas r y s por varias rectas paralelas, los segmentos obtenidos son proporcionales”. El teorema de Thales nos va a permitir, entre otras cosas poder calcular longitudes y alturas de puntos inaccesibles como la altura del edificio del centro, la de un árbol del patio o la de una farola de la calle.

141 Muchos pintores utilizan un mecanismo muy peculiar para reducir las medidas de un objeto real y no es otro que utilizar su propio lápiz de la manera siguiente: separan el lápiz de su ojo hasta que ven la totalidad de la figura, después usando la semejanza de triángulos, conocen las proporciones en el dibujo.

b

h’

a’ c a

Altura del lápiz : h´ Distancia del ojo al lápiz : a´ Distancia al pie del torreón : a Altura desde nuestro ojo a la cima del torreón : b Altura medida desde el suelo a nuestro ojo : c Por semejanza de triángulos y aplicando el teorema de Thales, se tiene: b a = h′ a ′

Como las distancias a, a´ y h´ las podemos medir con una cinta métrica o con cualquier otro instrumento de medida, a partir de la expresión anterior, podremos calcular b con una simple operación matemática. h ′a b= a′ La altura total del torreón será h= b + c.

142

Actividad 12.Utilizando el método ideado por los pintores, calcula la altura de la clase.

Actividad 13.Idea algún instrumento con más precisión que el utilizado por los pintores, para poder calcular alturas de puntos inaccesibles. Un instrumento más preciso y de fácil manejo lo podemos construir con dos reglas graduadas y un palo recto móvil.

Regla 2

La distancia de la regla 1 va a ser siempre la misma (30 o 40 cm.) y el palo nos marcará sobre la regla 2 la otra distancia necesaria. Aplicando la semejanza de triángulos y midiendo con una cinta métrica hasta el pie del objeto, podremos calcular la altura del mismo.

Regla 1

Actividad 14.Construye de madera o cualquier otro material, un instrumento como el anterior. Una vez que disponemos de un instrumento capaz de ayudarnos en el cálculo de alturas de puntos inaccesibles, es el momento de poder practicar con él.

143

Actividad 15.Sal al patio de tu instituto y realiza las siguientes prácticas: a) Calcula la altura del edificio principal. b) Calcula la altura de un árbol del patio. c) Calcula la altura de alguna de las farolas. Existen otros instrumentos más sencillos, como es el gnomon que nos van a permitir calcular distancias y alturas más lejanas. El gnomon es uno de los instrumentos más antiguos empleados por el hombre para poder medir. Los griegos ya lo utilizaban en épocas pasadas. Consiste en un simple palo vertical, que clavado en el suelo o en una superficie lisa proyecta una sombra. Aplicando la semejanza de triángulos es posible calcular distancias o alturas, ya que la razón entre su longitud y la sombra proyectada será siempre la misma que la de cualquier objeto y su sombra.

Actividad 16.Calcula la altura de un compañero de tu grupo, mediante el uso del gnomon. Para realizar esta actividad, es evidente que necesitaremos un día soleado y bastará con que midas con una regla la longitud de la sombra que proyecta el gnomon sobre el suelo, posteriormente con una cinta métrica midas la longitud de la sombra que proyecta tu compañero y apliques la semejanza de triángulos.

a h

h’

b

h h′ h′ ⋅ b ⎯→ h = = ⎯ b a a

144

Recordemos que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero distinto tamaño. Por tanto, dos polígonos serán semejantes si tienen sus lados proporcionales y sus ángulos homólogos iguales.

Actividad 17.Dibuja un polígono semejante al de la figura y calcula posteriormente la razón de semejanza.

Actividad 18.Dibuja dos pentágonos semejantes de razón de semejanza 2.

Actividad 19.a) Dibuja dos hexágonos semejantes de razón de semejanza 1,5. b) Dibuja dos círculos semejantes de razón de semejanza 1,5. c) Dibuja dos conos de razón de semejanza 1,5.

145

Actividad 20.Dibuja las figuras siguientes en tu libreta:

6 cm 4 cm

6 cm

9 cm

Contesta a las cuestiones siguientes: a) b) c) d) e)

¿Son figuras semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de semejanza. Calcula el perímetro de las dos figuras. Mide la longitud de la diagonal de cada una de las dos figuras. Calcula el cociente entre los dos perímetros. ¿Qué resultado obtienes? f) ¿Cuánto crees que valdrá el cociente entre las medidas de las diagonales del apartado d? g) Calcula las áreas de las dos figuras. h) Obtén el cociente entre sus áreas. ¿Existe alguna relación entre éste y la razón de semejanza?

Actividad 21.a) Dibuja dos polígonos semejantes y calcula las áreas de cada uno de ellos. b) Efectúa el cociente entre sus áreas. c) ¿Encuentras alguna relación entre el cociente de sus áreas y la razón de semejanza?

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es siempre el cuadrado de la razón de semejanza.

146

Actividad 22.Si en el cálculo de la razón entre las áreas de dos figuras semejantes, hemos obtenido que es el cuadrado de la razón de semejanza. ¿Qué crees que ocurrirá con la razón entre los volúmenes de figuras semejantes? La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es el cubo de la razón de semejanza.

Actividad 23.Dibuja dos ortoedros semejantes. Calcula sus volúmenes y el cociente entre los mismos. Comprueba que su razón es el cubo de la razón de semejanza.

Actividad 24.Realiza la misma actividad anterior para el caso de una esfera y de un cilindro.

Hasta este momento, los polígonos de los que hemos calculado sus áreas casi siempre han sido regulares o eran la suma de varios de ellos, nos plantearemos a continuación, cómo poder calcular superficies de objetos no regulares. La fórmula de Herón nos permite calcular el área de cualquier triángulo conocidos sus lados. Sea el triángulo a

b

c

A = p ( p − a ) ( p − b) ( p − c)

donde p=

a+b+c 2

147

Actividad 25.Calcula la superficie de la figura geométrica siguiente:

Un método bastante utilizado por su sencillez para el cálculo de superficies es la triangulación. Si la figura poligonal se puede descomponer en triángulos, bastará con hallar las áreas de cada uno de ellos y sumarlas, de esta forma obtendríamos la superficie total de la figura.

Actividad 26.Calcula la superficie ocupada por la figura siguiente:

148

Actividades de refuerzo 1.- La sombra que proyecta un edificio de 40 m. es de 20 m. Si una persona que se encuentra delante del edificio proyecta una sombra de 72 cm. ¿Cuánto mide? Sol. 1,44 m 2.- En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros respectivamente. Calcula la hipotenusa, la altura respecto de la hipotenusa y el área del triángulo. Sol. 5 m; 2,4 m; 12 m2 3.- Calcula la longitud de la diagonal de un cuadrado de 5m. de lado. Sol. 5 2 = 7,07 m

4.- En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 3 cm. y 8 cm. Calcula la hipotenusa, los catetos, la altura respecto de la hipotenusa y el área del triángulo. Sol. 11; 9,38; 5,74; 4,89; 26,94 cm2 5.- Dado el cuadrilátero, construye otro semejante a él, tres veces mayor.

6.- Consideramos que la distancia en línea recta entre Murcia y Alicante es de 90 km., calcula la distancia que habrá entre las representaciones de ambas capitales en un mapa cuya escala sea: 1: 4.500.000. Sol. 2 cm 7.- Si la distancia entre dos puntos del plano del ejercicio anterior es de 3,7 cm. ¿Cuál es la distancia real entre esos puntos? Sol. 166,5 km

Tema 6: Trigonometría (opción B)

Comenzaremos basándonos en la semejanza de triángulos.

Actividad 1.En el dibujo siguiente consideraremos que la distancia entre dos puntos consecutivos es de una unidad. Teniendo en cuenta esto mide los lados de los tres triángulos rectángulos que hemos dibujado.

Ahora completa la tabla:

Triángulo

lado menor Pequeño Mediano Grande

lado mayor

hipotenusa

150 Una vez localizadas las longitudes de los lados de los triángulos vamos a calcular las distintas razones que podemos formar con ellas. Copia una tabla similar a la siguiente en tu cuaderno y calcula las razones aquí planteadas. Razones entre los lados de un triángulo

Triángulo

menor hip.

mayor hip.

menor mayor

hip. menor

hip. mayor

mayor menor

Pequeño Mediano Grande

La igualdad de algunas razones en los distintos triángulos hace que consideremos la razón vinculada, no con el triángulo concreto sino, con el ángulo que forman los lados ya que es lo único en común en los tres triángulos. Vamos a definir seno, coseno y tangente de un ángulo.

Tomamos un triángulo rectángulo. Donde a, b y c representan la longitud de los respectivos lados. a:= hipotenusa b:= cateto c:= cateto α:= ángulo agudo Recordamos la relación entre estas medidas que aprendimos con Pitágoras: a2 = b2 + c 2

151

Definimos como seno del ángulo α a la razón entre las longitudes b y a. sen(α) =

cateto opuesto a α b = a hipotenusa

Definimos como coseno del ángulo α a la razón entre las longitudes c y a. cos(α) =

cateto contiguo a α c = a hipotenusa

Definimos como tangente del ángulo α a la razón entre las longitudes b y c. tan(α) =

sen (α ) cateto opuesto a α b = = c cateto contiguo a α cos (α )

Definimos como cosecante del ángulo α a la razón entre las longitudes a y b. cosec(α) =

hipotenusa 1 a = = b cateto opuesto a α sen (α )

Definimos como secante del ángulo α a la razón entre las longitudes a y c. sec(α) =

hipotenusa 1 a = = c cateto contiguo a α cos (α )

Definimos como cotangente del ángulo α a la razón entre las longitudes c y b. cotan(α) =

cos (α ) cateto contiguo a α 1 c = = = b cateto opuesto a α tan (α ) sen (α )

152 Ejemplo: Considera que en el triángulo dibujado anteriormente el lado b mide dos unidades y el lado c mide una unidad. Calcula las razones trigonométricas del ángulo α. Aplica el teorema de Pitágoras y calcula la hipotenusa del triángulo rectángulo. a 2 = 12 + 2 2 con lo cual

a = 12 + 22 = 5 ≅2,23607

Ahora, aplica las definiciones anteriores, y puedes calcular las razones trigonométricas:

1 1 5 5 = = =0,44721 5 5 5 5 racionalizando 2 2 5 20 = = cos(α) = =0,89443 5 5 5 1 tan(α) = =0,5 2

sen(α)=

cosec(α) =

5 = 5 =2,23607 1

5 =1,11803 2 2 cotan(α) = =2 1

sec(α) =

Actividad 2.Mide los lados del triángulo rectángulo y llamando β al ángulo agudo menor calcula sus razones trigonométricas.

sen(β)=

cosec(β)=

cos(β)=

sec(β)=

tan(β)=

cotan(β)=

153

Actividad 3.Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor γ, del triángulo de la actividad anterior. sen(γ)= cos(γ)= tan(γ)= sec(γ)=

cosec(γ)=

cotan(γ)=

Con la actividad 1 has visto que dados dos triángulos rectángulos semejantes, triángulos que tienen sus ángulos iguales, las razones entre los lados de un triángulo coinciden con las razones de los lados del otro triángulo. Cuando se comprobó esto se elaboraron tablas con las razones de los distintos ángulos, (Hiparlo de Nicea ca. 180-125a.C. primera tabla trigonométrica). Ahora dispones de la calculadora, con las teclas:

SEN

COS

TAN

que nos calculan las razones trigonométricas del ángulo que quieras. Comprueba que tu calculadora tiene activado el modo de trabajo DEG, significa que espera que los ángulos los expresemos en el sistema sexagesimal, es decir un ángulo recto mide 90º, 1º se divide en 60’, 1’ se divide en 60”.

Actividad 4.Completa la tabla siguiente. En la columna de los ángulos escribe todos los ángulos de 0º hasta 90º de 15º en 15º. Calcula las tres razones trigonométricas de cada ángulo (con un error de ±10-3) utilizando la calculadora. Ángulo

…

0 15º 90º

Seno del ángulo

Coseno del ángulo

Tangente del ángulo

0,259

0,966

0,268

154 Analizamos la tabla anterior parecen existir relaciones entre: • el seno y el coseno de un ángulo cualquiera. • el seno, el coseno y la tangente de un ángulo cualquiera. Se puede observar que para un ángulo agudo cualquiera. sen (α ) = tan (α ) cos (α ) sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1

Actividad 5.Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 45º utilizando un triángulo rectángulo e isósceles con unos catetos de 1 unidad.

Actividad 6.Calcula las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º utilizando el triángulo rectángulo de la figura.

Hasta ahora has visto que conocidos los lados de un triángulo rectángulo podíamos calcular las razones trigonométricas asociadas a uno de sus ángulos agudos, conocido o no. También has visto que conocido un ángulo puedes calcular o conocer sus razones trigonométricas. También puedes saber el valor de una razón trigonométrica y no saber el ángulo. En este caso el ángulo lo calculamos utilizando la calculadora.

155

Fíjate en la parte superior de las teclas SEN, COS y TAN

⇒

SEN-1

COS-1

SEN

COS

TAN-1

TAN

La segunda función de estas teclas sirve para resolver la cuestión planteada. SEN-1 es la abreviatura de la función arcsen que cuando le damos el valor del seno nos indica el ángulo asociado. Ejemplo:

arcsen(0,5) = sen-1(0,5)= 30º

Actividad 7.Utiliza la función recíproca del seno ( arcsen(x)= SEN-1(x) ) para calcular los ángulos cuyos senos toman los valores { 0; 0,1; 0,2; … ; 0,9; 1}

Actividad 8.La mayoría de los ángulos anteriores nos dan muchos decimales. Preséntalos en la notación más habitual de grados, minutos y segundos.

Por ejemplo: Presentación de un ángulo en grados, minutos y segundos. sen(α)=0,2 ⇒ α = arcsen(0,2)= 11,536959º La parte entera del ángulo son 11 grados. La parte decimal, 0,536959º la multiplico por 60 y tengo 32,21754 minutos, y la parte entera son 32 minutos. La parte decimal, 0,21754’ la multiplico por 60 y tengo 13,0524 segundos. Por tanto diré que

α = 11,536959º = 11º 32’ 13,0524”

En las actividades siguientes utilizamos las razones trigonométricas para descubrir las longitudes de los lados y la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo.

156 Ejemplo: Calcula la medida del ángulo C y de los lados b = AC y c = AB . Sabiendo que el ángulo A mide 90º, el ángulo B mide 73º y la longitud a = BC = 15 cm.

Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º, A+B+C=180º; en este triángulo ocurre que 90º+73º+C =180º C = 180º-90º-73º=17º AB AB = BC 15 AB = 15 sen(17) = 4,3855755

sen(C) = sen(17) = 0,2923717 =

cos(C) = cos(17) = 0,9563048 = 0,9563048 =

AC AC = BC 15

AC ⇒ AC = 15 0,9563048 = 14,344572 15

Ejemplo: Calcula las medidas de los ángulos B y C y el lado b = AC de un triángulo rectángulo, sabiendo que el ángulo A mide 90º, a = BC = 91 cm. y c = AB =35 cm. Utilizamos el teorema de Pitágoras b2+c2=a2 ⇔ b2+352=912 ⇔ b2=912−352 ⇔ b= ± 8281 − 1125 = ±84 de las dos soluciones sólo es admisible b=84.

157 Los ángulos los calculamos utilizando las razones recíprocas 35 Æ C = arcsen(0,384615) = 22,61986495º sen(C) = 0,384615 = 91 35 Æ B = arccos(0,384615) = 67,38013505º cos(B) = 0,384615 = 91

Actividad 9.Calcula en cada uno de los triángulos rectángulos siguientes (todos ellos identificados por sus vértices), la longitud de los lados y los ángulos desconocidos. A 90º 90º 90º 90º 90º 90º 90º

B 27º

C

BC (a) 54,92

57,5º 52,2 19º

AC (b) 23 19,24 27,2 19 17,2 17,9 32,9

AB (c)

17,3 23

Actividad 10.Los catetos de un triángulo rectángulo miden doce metros y dieciséis metros. Halla la hipotenusa y el área del triángulo.

Actividad 11.Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo conociendo que su perímetro es de treinta y seis metros, y que la tangente de uno de los ángulos agudos vale 1,5.

Actividad 12.Halla la altura de un triángulo isósceles si su base mide seis decímetros y el ángulo opuesto mide 82º 37’.

158

Actividad 13.La diagonal de un rectángulo mide doscientos treinta y cinco centímetros y el lado mayor ciento ochenta y siete centímetros. Halla los ángulos que forman las diagonales.

Actividad 14.Halla el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de cuatro centímetros de radio. Como el pentágono es regular esta formado por cinco triángulos isósceles cuyos lados iguales coinciden con el radio y el lado desigual es el lado del pentágono. El ángulo desigual del triángulo isósceles 360 es =72º. 5 Para calcular los otros dos 72+A+B=180 180 − 72 =54º y A=B, por tanto A=B= 2 La mitad del triángulo isósceles es un triángulo rectángulo AC Por tanto cos(A)= cos(54)= 4 AC= 4·cos(54) = 2,351 centímetros Con lo cual el lado del pentágono mide 2·AC = 4,702 centímetros.

Actividad 15.La longitud del lado de un octógono regular es doce centímetros. Halla los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

159

Actividad 16.¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de veinte metros de altura cuando el Sol se ha elevado veinte grados sobre el horizonte?

Actividad 17.Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que del pie de la escalera al edificio hay doce decímetros. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera, y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de setenta grados con el suelo?

Actividad 18.Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de cien metros, el ángulo de depresión (ángulo que forma respecto la horizontal la visual), con que se ve un barco es de quince grados. ¿A qué distancia del faro está el barco?

Actividad 19.Dos torres, de alto respectivamente 90 y 80 metros, están separadas una de la otra por una distancia de 100 metros. Entre ambas torres hay una fuente en tal lugar que dos aves que están colocadas cada una encima de una de las torres, se lanzan desde su torre al tiempo y volando a la misma velocidad llegan a la vez a beber a la fuente. ¿A qué distancia está situada la fuente de cada una de las torres? ¿Con qué ángulo de depresión inician su vuelo? ¿Con qué ángulo llegan a la fuente?

160

Actividad 20.Una escalera tiene 20 metros de alto y está apoyada sobre una torre que también mide 20 metros. El pie de la escalera se encuentra a 12 metros de distancia de la base de la torre. ¿Cuánto le falta a la escalera para llegar a la cima de la torre? ¿Qué ángulos forma la escalera?

Actividad 21.Un árbol de 5 metros está al pie de un río de 3 metros de ancho, pero un rayo cae sobre él y lo rompe de tal forma que la copa del árbol va a parar a la otra orilla del río. ¿Por dónde se quebró el árbol? ¿Qué ángulos podemos observar?

Ejemplo: Para calcular la altura de una torre se observa su punto más alto con una inclinación de la visual de doce grados. Si nos acercamos en línea recta cien metros hacia el pie de la torre y repetimos la observación, la inclinación de la visual es de treinta y seis grados. ¿Puedes con estos datos calcular la altura de la torre?

En principio hacemos un dibujo para esquematizar el problema

Queremos calcular la altura de la torre y desconocemos la distancia entre el lugar donde se mide el segundo ángulo y la base de la torre. En este caso, esa longitud la identificamos con la letra X.

161 En el triángulo grande

A = 12º

tan ( A ) =

h X + 100

En el triángulo pequeño

B = 36º

tan ( B ) =

h X

Y ahora como la medida de h y de X ha de ser la misma en los dos casos planteamos el sistema h ⎧ ⎪⎪ tan ( A ) = X + 100 ⎨ ⎪ tan ( B ) = h ⎪⎩ X Operamos ⎧ X tan ( A ) + 100 tan ( A ) = h ⎪ h ⎨ X = ⎪ tan ( B ) ⎩

Utilizamos el método de sustitución. h tan ( A ) + 100 tan ( A ) = h tan ( B )

162 Nos queda: 100 tan ( A ) = h −

tan ( A ) h tan ( B )

Sacamos factor común h

⎛ tan ( A ) ⎞ 100 tan ( A ) = ⎜⎜1 − ⎟⎟ h tan B ( ) ⎝ ⎠

Y despejamos h

100 tan ( A )

⎛ tan ( A ) ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ tan ( B ) ⎠

=h

Por tanto la altura de la torre del ejemplo mide: h=

100 tan (12º )

⎛ tan (12º ) ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ tan ( 36º ) ⎠

= 30,046 metros

Actividad 22.-

A

B

Para calcular la altura de una torre de telefonía móvil; hacemos observaciones desde los puntos A y B, y obtenemos como ángulos de elevación treinta grados y cuarenta y cinco grados, respectivamente. La distancia AB es de treinta metros. Halla la altura de la torre.

Actividad 23.Halla la altura de un edificio si desde dos puntos alineados con el edificio que distan ciento veintiséis metros, y están situados uno a cada lado, se observa el edificio bajo los ángulos de sesenta y cuarenta y cinco grados respectivamente.

163

Actividades de refuerzo 1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide veinticinco metros y uno de los catetos quince metros. Halla el otro cateto, los ángulos y el área del triángulo. Sol. 20m, 150m2 90º 36,870 53,130º 2. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo conociendo que la altura relativa a la hipotenusa es de quince centímetros y un ángulo agudo mide veintitrés grados y dieciséis minutos. Sol: 41,34 cm 3. Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden diez decímetros. Halla la altura sobre la hipotenusa. Sol. altura=5√2 dm 4. El lado de un rombo mide treinta y dos metros y el ángulo mayor ciento cuarenta grados. ¿Cuánto mide la diagonal mayor? Sol. 60,14 m. 5. Calcula la altura de un triángulo sabiendo que su base mide 40 m, y sus ángulos adyacentes, 28° y 53°. Sol 11,432 15,17 6. Halla la diagonal de un pentágono regular de 3 cm de lado.

Sol. 4,85 7. Qué ángulos forman las diagonales de un cubo cuya arista mide una unidad. Sol: 109,471º 70,529º 8. Las dos bases de un trapecio isósceles miden respectivamente tres y cuatro centímetros y la altura cinco centímetros. Halla el ángulo que forman sus diagonales. Sol. 69,984º; 110,016º 9. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden doce y seis metros. Sol. 126,87º; 53,13º 10. Un edificio de cien metros de altura proyecta una sombra de ciento veinte metros de longitud. ¿Qué ángulo de elevación tiene el Sol en ese momento? Sol. 39,806º 11. Una escalera de doce metros apoyada en una pared forma un ángulo de sesenta grados entre la escalera y la pared. ¿A qué distancia del suelo está apoyada la escalera? ¿Cuál es la distancia en el suelo entre la pared y la escalera? Sol. 6 m ; 10,39m

164

12. Halla el área de un decágono regular de lado diez centímetros. Sol 769,42 cm2 13. Un hombre recorre quinientos metros a lo largo de un camino que tiene una inclinación de veinte grados respecto a la horizontal. ¿Qué altura alcanza respecto al punto de partida? Sol. 171,01 m 14. Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. ¿Cuál era la altura del árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con éste un ángulo de cincuenta grados, y la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de veinte decímetros? Sol. 46,11 dm 15. En un triángulo rectángulo se conoce un ángulo mide 47º 48’ y el radio del círculo inscrito es de 47 milímetros. Halla el cateto opuesto al ángulo indicado.

Consulta los puntos notables de un triángulo, especialmente el incentro, necesitamos sus propiedades. Sol: 168,80 mm 16. Desde un punto del valle observamos la cima de una montaña con un ángulo de siete grados cuarenta y nueve minutos. Después de acercarnos en línea recta hacia la montaña quinientos metros volvemos a medir el ángulo y ahora es de ocho grados y doce minutos. ¿Cuál es la altura de la montaña? Sol 1449,70m 17. La Torre Eiffel, es una estructura de hierro forjado que proyectó para la Exposición Universal de París de 1889 el ingeniero Alexandre Gustave Eiffel. Para su construcción se emplearon unas 6.300 t de hierro. La torre se encuentra en una gran avenida denominada Campo de Marte. Situados en un lugar de la avenida observamos la torre con un ángulo de quince grados. Al acercarnos quinientos metros en línea recta hacia la torre la volvemos a observar pero esta vez con un ángulo de veinticuatro grados cuarenta y cuatro minutos y cuarenta y seis segundos. Calcula la altura de la Torre. Sol 320m

Tema 7: Funciones trigonométricas. (opción B)

Si trabajamos con un triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide una unidad, las longitudes de los catetos coinciden justamente con el valor del seno y del coseno del ángulo.

Utilizando esta idea vamos a trabajar con una circunferencia de radio 1, llamada circunferencia goniométrica, y estudiamos geométricamente las razones trigonométricas asociadas al ángulo. Además centramos la circunferencia en los ejes cartesianos. En cualquier ángulo agudo, es decir entre cero y noventa grados, las longitudes de los catetos van a coincidir con el valor de las razones trigonométricas. La medida de los catetos la realizamos fijándonos en la coordenada del eje correspondiente.

166 Cuando el ángulo que dibujamos es mayor de noventa grados tomamos el punto de la circunferencia que representa al ángulo y sus coordenadas son las razones trigonométricas, seno y coseno.

Actividad 1.Rellena la siguiente tabla identificando los signos correspondientes, recuerda que medimos las coordenadas en los ejes. 0º< α<90º

90º< α<180º

180º< α<270º

270º< α<360º

Signo cos(α) Signo sen(α) Signo tan(α)

Actividad 2.Utiliza la calculadora o analiza la circunferencia y rellena la tabla.

0º sen(α) cos(α) tan(α)

Ángulos α 90º 180º

270º

167

Relación entre sen(α) y el cos(α) Comprobemos que la igualdad 1 = sen 2 (α ) + cos2 (α ) es cierta. Fijándonos en los gráficos anteriores donde cualquier ángulo se asocia a un triángulo rectángulo. Consideremos el triángulo siguiente:

Aplicando el teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2 Dividimos por a2.

a2 b2 c 2 = + a2 a2 a2 2

⎛b⎞ ⎛c⎞ 1= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝a⎠

2

Utilizamos las definiciones de las razones trigonométricas

sen (α ) =

b c ; cos (α ) = a a

1 = sen 2 (α ) + cos 2 (α )

Por tanto hemos demostrado la igualdad para cualquier ángulo.

168 A partir de cualquier razón trigonométrica de un ángulo se podrían calcular el resto de razones trigonométricas. Ejemplo: 1 y el ángulo corresponde al tercer 5 cuadrante, es decir, es mayor de 180º y menor de 270º. Calcula el resto de razones trigonométricas.

Si el coseno de un ángulo vale −

Sabemos que todos los ángulos cumplen que: 2

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 Æ sen 2 (α ) + ⎜ − ⎟ = 1 Æ sen 2 (α ) = 1 − ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

2

La solución de la ecuación es ⎛ 1⎞ sen (α ) = ± 1 − ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠

2

sen (α ) = ±

24 2 6 =± 25 5

Los ángulos del tercer cuadrante tienen seno con signo negativo, por tanto, la solución es 2 6 sen (α ) = − 5

Al conocer el seno y el coseno ya podemos conocer la tangente 2 6 − sen (α ) 5 =2 6 = tan (α ) Æ tan (α ) = 1 cos (α ) − 5 Ahora calculamos las otras tres razones 1 1 5 5 6 cosec (α ) = = =− =− sen (α ) 12 2 6 2 6 − 5

169

1 1 1 1 6 = = −5 cotan (α ) = = = cos (α ) − 1 tan (α ) 2 6 12 5 180< α<270 sen(α) cos(α) tan(α) cosec(α) sec(α) cotan(α) 1 2 6 5 6 6 − −5 2 6 − − 5 5 12 12 sec (α ) =

Actividad 3.Calcula las razones trigonométricas: (resultados exactos) α 0< α<90 90< α<180 180< α<270 270< α<360

sen(α)

cos(α)

tan(α) cosec(α)

sec(α) cotan(α) 2

-2 -3/7 1/7

Actividad 4.Comprueba que la igualdad es cierta

1 + tan 2 (θ ) =

1 . cos2 (θ )

Comenzamos con la expresión de la izquierda. 1 + tan (θ ) = 1 + 2

=

sen 2 (θ ) cos2 (θ )

=

cos2 (θ )

cos2 (θ )

cos2 (θ ) + sen 2 (θ ) cos (θ ) 2

=

+

sen 2 (θ ) cos2 (θ )

=

1 cos2 (θ )

Al obtener la expresión de la parte derecha hemos demostrando que la igualdad es cierta.

170

Actividad 5.¿Es cierto que 1 +

1

tan (θ ) 2

=

1 ?. sen2 (θ )

Actividad 6.Comprueba si

1 − cos2 (θ ) = sen2 (θ ) + tan2 (θ ) . 2 cos (θ )

Actividad 7.2

Comprueba la igualdad siguiente

⎛ 1 ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ 1 ⎝ tan (θ ) ⎠ = 1 . 1 tan (θ ) sen (θ ) cos (θ )

Actividad 8.Simplifica la expresión para que la única razón trigonométrica que aparezca sea el seno 1 cos (θ ) cos (θ ) tan2 (θ ) + − + 1 + sen (θ ) . tan (θ ) cos (θ )

El hecho de trabajar sobre una circunferencia hace que intuyamos la existencia de relaciones entre las razones trigonométricas de distintos ángulos. Veamos algunas de las distintas situaciones que nos podemos encontrar.

171

Ángulos complementarios Dos ángulos, α y β, son complementarios si se cumple que α + β = 90º Esta relación la podemos presentar como

β = 90º −α en grados sexagesimales, o β =

π 2

− α en radianes.

Si conocemos las razones del ángulo α , veamos cómo podemos calcular las razones de β.

El triángulo sombreado es idéntico al triángulo definido por el ángulo α y los segmentos definidos por el sen(α) y el cos(α). Por tanto observamos siguientes equivalencias:

las

sen ( β ) = sen ( 90º −α ) = cos (α ) cos ( β ) = cos ( 90º −α ) = sen (α ) tan ( β ) = tan ( 90º −α ) = cotan (α )

172

Ángulos suplementarios Dos ángulos, α y β, son suplementarios si se cumple que α + β = 180º Esta relación la podemos presentar como

β = 180º −α en grados sexagesimales, o β = π − α en radianes.

Si conocemos las razones del ángulo α , veamos cómo podemos calcular las razones de β.

El triángulo gris es reflejo del triángulo asociado al ángulo α, por tanto por simetría podemos asociar las medidas de las razones de β con las de α.

Las equivalencias son: sen ( β ) = sen (180º −α ) = sen (α ) cos ( β ) = cos (180º −α ) = −cos (α ) tan ( β ) = tan (180º −α ) = − tan (α )

173

Ángulos que se diferencian en 180º grados Dos ángulos, α y β, se diferencian en 180º grados si se cumple que β − α = 180º Esta relación la podemos presentar como

β = 180º +α en grados sexagesimales, o β = π + α en radianes.

Si conocemos las razones del ángulo α , veamos cómo podemos calcular las razones de β.

El triángulo gris, es igual al triángulo del primer cuadrante por tener ángulos iguales y sus hipotenusas iguales, por tanto podemos asociar las medidas de las razones de β con las de α. Las equivalencias son: sen ( β ) = sen (180º +α ) = −sen (α ) cos ( β ) = cos (180º +α ) = −cos (α ) tan ( β ) = tan (180º +α ) = tan (α )

174

Ángulos opuestos Dos ángulos, α y β, son opuestos si se cumple que α + β = 360º , o también β = −α Esta relación la podemos presentar como

β = 360º −α en grados sexagesimales, o β = 2π − α en radianes.

Si conocemos las razones del ángulo α , veamos cómo podemos calcular las razones de β.

El triángulo gris es reflejo del triángulo asociado al ángulo α, por tanto por simetría podemos asociar las medidas de las razones de β con las de α.

Las equivalencias son: sen ( β ) = sen ( 360º −α ) = −sen (α )

sen ( β ) = sen ( −α ) = −sen (α )

cos ( β ) = cos ( 360º −α ) = cos (α )

cos ( β ) = cos ( −α ) = cos (α )

tan ( β ) = tan ( 360º −α ) = − tan (α )

tan ( β ) = tan ( −α ) = − tan (α )

175

Ángulos que se diferencian en 90º grados Dos ángulos, α y β, se diferencian en 90º grados si se cumple que β − α = 90º Esta relación la podemos presentar como

β = 90º +α en grados sexagesimales, o β =

π 2

+ α en radianes.

Si conocemos las razones del ángulo α , veamos cómo podemos calcular las razones de β.

Los triángulos grises son iguales por tener los ángulos y la hipotenusa iguales, por tanto podemos asociar las medidas de las razones de β con las de α. Las equivalencias son: sen ( β ) = sen ( 90º +α ) = cos (α ) cos ( β ) = cos ( 90º +α ) = − sen (α ) tan ( β ) = tan ( 90º +α ) = − cotan (α )

176

Actividad 9.Sabiendo que sen(70º)=0,94, calcula los ángulos entre 0º y 360º que tienen el mismo valor para el seno e indica qué relación tienen con el ángulo de 70º. (Comprueba con la calculadora la corrección de las contestaciones)

Actividad 10.Sabiendo que cos(39º)=0,78, calcula los ángulos entre 0º y 360º que tienen el mismo valor para el coseno e indica qué relación tienen con el ángulo de 39º. (Comprueba con la calculadora la corrección de las contestaciones) Cuando queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo que supera los 360º, procedemos asociándolo con el ángulo que queda después de descontar las vueltas completas. Ejemplo: El ángulo de 1470º es 30º más 4 vueltas completas (360º) 1470 30

360 Æ 1470º= 30º+(4) · 360º 4

con lo cual las razones trigonométricas del ángulo 1470º son las del ángulo 30º. 1 sen (1470º ) = sen ( 30º ) = 2 3 cos (1470º ) = cos ( 30º ) = 2 3 tan (1470º ) = tan ( 30º ) = 3

Actividad 11.Calcula los ángulos entre 0º y 360º cuyas razones trigonométricas coincidan con las siguientes. (Comprueba con la calculadora la corrección de las contestaciones) sen(1150º)=

cos(1150º)=

tan(1150º)=

177 Recuerda que un ángulo puede ser expresado en dos sistemas de unidades, el sistema sexagesimal y el de los radianes. La equivalencia la establecemos a partir de la proporción 180º equivalen a π radianes.

Actividad 12.Completa la tabla siguiente: La primera columna contendrá los valores de los ángulos de 15 en 15 grados desde -360º hasta 720º, la segunda el ángulo expresado en radianes y la tercera el valor del seno (con un error de ±10-3). Ángulo Grados Radianes -30

-

0º

0

15º

π 6

π

12

Seno del ángulo

-0,5 0 0,259

Si representamos la tabla de valores anterior obtenemos:

Hemos podido calcular el seno de todos los ángulos, por tanto diremos que su dominio está formado por todos los números reales. Los resultados obtenidos varían entre -1 y 1, por tanto diremos que el recorrido de la función es [-1; 1].

178

Los puntos característicos son: Máximos: Mínimos:

(-270º; 1); (90º; 1); (450º; 1) (-90º; -1); (270º; -1); (630º; -1)

Puntos de corte: (-360; 0), (-180; 0), (0; 0), (180º; 0), (360; 0) (540; 0); (720º; 0)

La gráfica de la función se repite, la función es periódica.

El patrón de la gráfica lo vemos en

Sobre la gráfica puedes ver las relaciones entre ángulos complementarios, suplementarios, y otros tipos que antes has trabajado.

179 Si nos concentramos en la repetición de los valores en la gráfica, vemos que siempre que dos ángulos se diferencien en 360º el valor de sus senos coincide. Este hecho coincide con la definición que habíamos visto para los ángulos mayores de 360º.

Cuando una función es periódica, la principal característica es el periodo, es decir, la distancia entre dos valores de x “consecutivos” con la misma imagen y con la misma secuencia de imágenes entre ellos. Concluimos que la función y = sen(x) es una función periódica, con un periodo T=360º o en radianes T=2π

Actividad 13.Elabora una tabla de valores de la función y=cos(x) y gráficamente.

represéntala

Comprueba si tu tabla se ajusta a la representación gráfica siguiente. Estudia el dominio, la imagen, la periodicidad, la simetría, la continuidad, los intervalos de crecimiento, los puntos máximos y mínimos, los puntos de corte con los ejes y la tendencia en los valores muy extremos.

180

Actividad 14.Elabora una tabla de valores de la función y=tan(x) y gráficamente.

represéntala

Comprueba si tu tabla se ajusta a la representación gráfica siguiente. Estudia el dominio, la imagen, la periodicidad, la simetría, la continuidad, los intervalos de crecimiento, los puntos máximos y mínimos, los puntos de corte con los ejes y la tendencia en los valores muy extremos.

Actividad 15.Elabora una tabla de valores de la función y=sen(2x) y represéntala gráficamente. Comprueba si tu tabla se ajusta a la representación gráfica siguiente. Estudia el dominio, la imagen, la periodicidad, la simetría, la continuidad, los intervalos de crecimiento, los puntos máximos y mínimos, los puntos de corte con los ejes y la tendencia en los valores muy extremos.

181

Actividad 16.⎛1 ⎞ Elabora una tabla de valores de la función y= sen ⎜ x ⎟ y represéntala ⎝2 ⎠ gráficamente. Comprueba si tu tabla se ajusta a la representación gráfica siguiente. Estudia el dominio, la imagen, la periodicidad, la simetría, la continuidad, los intervalos de crecimiento, los puntos máximos y mínimos, los puntos de corte con los ejes y la tendencia en los valores muy extremos.

Después de haber trabajado distintas funciones basadas en la razón trigonométrica del seno, podemos concluir que el modelo general y=sen(B x) es una función periódica de periodo T = 360/B y altura de la curva A.

182

Actividad 17.Elabora una tabla de valores de la función y=arcsen(x)=sen-1(x) y represéntala gráficamente. Comprueba si tu tabla se ajusta a la representación gráfica siguiente. Estudia el dominio, la imagen, la periodicidad, la simetría, la continuidad, los intervalos de crecimiento, los puntos máximos, mínimos y los puntos de corte con los ejes.

Actividad 18.Elabora una tabla de valores de la función y=arccos(x)=cos-1(x) y represéntala gráficamente. Comprueba si tu tabla se ajusta a la representación gráfica siguiente. Estudia el dominio, la imagen, la periodicidad, la simetría, la continuidad, los intervalos de crecimiento, los puntos máximos, mínimos y los puntos de corte con los ejes.

183

Actividad 19.Elabora una tabla de valores de la función y=arctan(x)=tan-1(x) y represéntala gráficamente. Comprueba si tu tabla se ajusta a la representación gráfica siguiente. Estudia el dominio, la imagen, la periodicidad, la simetría, la continuidad, los intervalos de crecimiento, los puntos máximos, mínimos y los puntos de corte con los ejes y la tendencia en los valores muy extremos.

Ecuaciones trigonométricas Actividad 20.Sabiendo que el seno de un ángulo vale 0,7660444 calcula todos los ángulos que poseen un seno del mismo valor y son mayores de cero grados y menores de setecientos veinte grados. Queremos calcular los x ∈[0º; 720º] = [0; 4π] tal que sen(x)= 0,7660444 Realizamos una representación gráfica de la función sen(x), el eje OX debe mostrar los valores entre 0º y 720º por lo menos. En la misma gráfica dibujamos una línea horizontal a la altura 0,7660444.

184 La representación gráfica nos indica que debemos encontrar cuatro soluciones. Utilizamos la función recíproca del seno para obtener un ángulo que tenga asociado ese valor. arcsen(0,7660444)=sen-1(0,7660444) ≅ 50º. En la gráfica vemos que ha de ser la primera intersección. La función sen(x) tiene un periodo de 360º sen ( x ) = sen ( x + 1· 360 ) = sen ( x + 2 · 360 ) = " = sen ( x + k · 360 ) sen ( 50 ) = sen ( 410 ) sen ( 770 ) = = " = sen ( x + k · 360 )

410º es la tercera solución gráfica y 770º∉[0º; 720º]. El segundo ángulo lo obtenemos aplicando una de las relaciones geométricas comentadas anteriormente. Dos ángulos suplementarios, β = 180º −α , tienen el mismo valor del seno, por tanto la segunda solución es 180º −50º = 130º . Utilizamos la periodicidad de la función. sen ( x ) = sen ( x + 1· 360 ) = sen ( x + 2 · 360 ) = " = sen ( x + k · 360 ) sen (130 ) = sen ( 490 ) sen ( 850 ) = = " = sen ( x + k · 360 )

490º es la cuarta solución gráfica y 850º∉[0º; 720º]

185

Actividad 21.Halla todas las soluciones de la ecuación

sen ( x ) =

1 , cuando 2

-600º
Actividad 22.Halla todas las soluciones de la ecuación cos ( x ) =

− 2 , cuando 2

-180
Actividad 23.Halla todas las soluciones de la ecuación tan ( x ) = −1 utilizando la gráfica.

186

Actividad 24.Halla todas las soluciones de la ecuación sen ( x ) = cos ( x ) utilizando la gráfica

Sugerencia: sen ( x ) = cos ( x ) ⇔

sen ( x ) cos ( x ) = ⇔ tan ( x ) = 1 cos ( x ) cos ( x )

Actividad 25.Calcula todas las soluciones de la ecuación sen ( 4 x ) = 1 utilizando la gráfica.

Podemos resolver mediante un cambio de variable X=4x.

187

Representamos la función y=sen(X)

Calculamos un ángulo X tal que sen(X) = 1 X0= arcsen(1) = sen-1(1) = 90º X=90º es la única solución en el periodo inicial [0º ; 360º]. Representamos sen(4x)

Deshacemos el cambio de variable 4x0=90º ↔ x0=90º/4=22,5º El periodo de sen(4x) es 90º= 360º/4

188 Razonamos por periodicidad calculamos el ángulo siguiente hacia la derecha x1= x0+1 · 90º =22,5+1 · 90º = 112,5º Calculamos hacia la derecha las infinitas soluciones haciendo que la letra k tome todos los números naturales xdk= 22,5+k · 90º Razonamos por periodicidad hacia la izquierda. Calculamos las infinitas soluciones haciendo que la letra k tome todos los números naturales xi t= 22,5 − t · 90º Entonces hay infinitas soluciones que las expresamos así: sen ( 4 x ) = 1 si x = {22,5º +k ·90º / k ∈ Z}

Actividad 26.Calcula todas las soluciones de la ecuación tan ( 2x+30º ) =- 3 utilizando la gráfica.

189

Actividades de refuerzo 1 y el ángulo corresponde al primer 5 cuadrante, es decir, es mayor de 0º y menor de 90º, calcula el resto de razones trigonométricas. Sol 2 6 5 , 2 6 , 5, 5 6 12 , 6 12

1. Si el coseno de un ángulo vale

2. Si la tangente de un ángulo vale 3 y el ángulo corresponde al tercer cuadrante, es decir, es mayor de 180º y menor de 270º, calcula el resto de razones trigonométricas. Sol − 3 2 , -1/2, −2 3 3 , -2, 3 3

1 y el ángulo corresponde al cuarto 5 cuadrante, es decir, es mayor de 270º y menor de 360º, calcula el resto de razones trigonométricas. Sol - 2 6 5 , - 2 6 , 5, - 5 6 12 , - 6 12

3. Si el coseno de un ángulo vale

4. ¿Es cierto que tan 2 (θ ) =

1 − 1? cos2 (θ ) Sol sí

5. ¿Es cierto que sen (θ ) tan (θ ) + cos (θ ) =

1 ?. cos (θ ) Sol sí

1 6. Halla todas las soluciones de la ecuación cos ( x ) = − , cuando 2 -600º
190 8. Calcula todas las soluciones de la ecuación sen ( x+45º ) =

3 2

utilizando la gráfica.

Sol 15º + 360k, k∈Z 9. Calcula todas las soluciones de la ecuación tan ( x ) = 1 .

Sol 45º + 180k, k∈Z 10. Calcula todas las soluciones de la ecuación sen ( 2 x ) = −0,5 utilizando la gráfica.

Sol -15º + 180k, k∈Z

Tema 8: Estadística

La estadística es la ciencia que se ocupa de recoger, organizar, resumir, analizar datos y hacer inferencias a partir de ellos.

Tablas y gráficos estadísticos Actividad 1.a) Rellena los datos que aparecen en los distintos apartados de la ficha. b) Reúne los datos de tu ficha con los del resto de la clase y elabora una tabla. Edad: Sexo: Altura en centímetros: Peso en Kg.: Lugar de nacimiento: Horóscopo: Color de pelo: Número de calzado: Afición preferida: Número de hermanos: Grado de satisfacción con el servicio de cantina del centro: Deporte que practicas: Medida en centímetros de tu palmo:

192 A través de la ficha anterior, hemos estudiado una serie de características de la clase. Cada una de estas características es una variable estadística. Cualquier cualidad o característica de la que recogemos los datos se llama variable estadística. Las variables estadísticas pueden tomar valores numéricos como ocurre, por ejemplo, en el caso del número de hermanos. Sin embargo, otras veces no los toman como en el caso de la afición preferida. Las variables que toman valores numéricos se llaman cuantitativas y las que no lo hacen cualitativas. Dentro de las variables cuantitativas hay que distinguir dos tipos: discretas y continuas. Una variable cuantitativa se dice discreta si entre dos valores consecutivos de la variable no puede existir ningún valor más. Por ejemplo: el número de hermanos. Una variable se dice continua si puede tomar infinitos valores entre dos de ellos. Por ejemplo: el peso, el volumen, la longitud, etc.

Actividad 2.Clasifica las variables estadísticas siguientes: -

La hora de llegada del tren. El número de hijos de un matrimonio. El color del coche de tus padres. Lugar de nacimiento. Número de calzado. Horóscopo. Altura en centímetros. Edad. Deporte que practicas. Medida en centímetros de tu palmo.

193 Una vez recogida y tabulada la información sobre una variable, llamamos frecuencia absoluta al número de veces que aparece repetido cada valor de la variable. Se representa por ni la frecuencia del valor xi. Frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor y el número total de ellos. Se representa por fi y vale

fi =

ni N

n

Donde N =

∑n i =1

i

.

Llamamos frecuencia acumulada de una variable a la suma de las frecuencias absolutas correspondientes a su valor y anteriores, si la suma tiene sentido. Se representa por Hi y vale H1= n1 H2 = n1 + n2 H3 = n1 + n2 + n3 -----------------------Hn = n1 + n2 + … + nn = N

Actividad 3.Completa la tabla siguiente: Edad

ni

fi

Hi

Si la variable a estudiar es por ejemplo, la altura de los alumnos y alumnas de 3º y 4º de ESO, ordenar los datos en una tabla como la anterior no tiene sentido, ya que tendríamos demasiadas filas. Por tanto habrá que encontrar un mecanismo que nos permita tabular los datos de dicha variable.

194 Cuando el número de valores que toma la variable es grande, como en el caso de la altura de los alumnos y alumnas, es necesario que los agrupemos en intervalos, clases o categorías. Cada intervalo o clase puede o no tener la misma amplitud o cantidad de elementos, esto dependerá de la variable a estudiar. En el caso de variables continuas, para formar los intervalos seguiremos el procedimiento siguiente: En primer lugar nos fijaremos en el valor más grande y el más pequeño de la variable. Una vez encontrados dichos valores, se halla su diferencia, que llamamos recorrido de la variable. Una vez hallada la diferencia se divide en tantos intervalos como se desee, recordando que aunque no hay una regla exacta para calcular el número de éstos, se considera conveniente un mínimo de 3 y un máximo de 10 ó 12.

Actividad 4.Las alturas de 100 alumnos y alumnas del instituto medidas en centímetros son las siguientes: 168 163 153 180 159 168 159 169 160 a) b) c) d) e)

188 167 169 179 163 159 159 167 157

196 192 170 175 174 161 162 171 161

194 181 172 177 172 162 172 172 169

191 184 174 178 175 167 177 174

170 179 160 180 183 165 174 175

165 160 165 174 180 171 176 176

162 157 166 172 178 160 178 184

156 162 168 167 164 156 179 181

170 160 171 163 163 155 170 182

178 151 174 175 160 170 170 188

182 169 183 167 167 171 171 191

Encuentra el mayor y el menor valor de la variable. Halla su diferencia. Agrupa los datos en 10 intervalos. ¿Qué amplitud tendrá cada intervalo? ¿Qué agrupación consideras que sería la idónea para esta distribución? Elabora una tabla de frecuencias.

195

Actividad 5.La puntuación obtenida por 60 aspirantes a un puesto directivo de cierta empresa ha sido: 74 52 97 47 78

80 59 58 78 80

82 93 72 76 82

85 85 68 70 75

87 66 63 71 49

68 76 55 58 99

45 87 49 53 52

66 62 52 56 60

91 72 54 63 65

77 91 80 67 80

64 83 83 69 79

71 74 96 74 76

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5. b) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10. c) Elabora una tabla de frecuencias

Cuando los datos están agrupados en intervalos, no puede haber ninguno con frecuencia nula. Si esto ocurriera habría que modificar la amplitud o bien unir dos o más intervalos o elegir intervalos de distinta amplitud.

Actividad 6.El salario anual en euros de 50 personas elegidas al azar viene reflejado en la tabla siguiente: 7450 18625 15400 18300 19202 13432

8900 20412 19700 19400 12301 31300

10100 14207 14300 21200 22400 90418

12600 18600 12800 28600 23600 43128

12700 20412 13600 34400 24000 31307

13400 24607 17400 36780 41400

21200 31210 18600 42600 48700

6250 40218 19300 50700 70300

12628 20000 21150 72112 11122

a) ¿Tiene sentido agrupar los datos en intervalos de amplitud 3000 euros? b) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 15.000 euros. c) Encuentra una forma de poder clasificar en intervalos estos datos. d) Elabora una tabla de frecuencias.

196

Actividad 7.Confecciona la tabla de frecuencias para una de estas variables: sexo, horóscopo, color del pelo y afición preferida.

Actividad 8.En una clase de 4º de ESO se ha preguntado por el color de los ojos del alumnado. Se ha obtenido la información siguiente: Color de ojos Negro Marrón Azul Verde a) b) c) d)

ni

fi

16 4

4/7

%

3/28

¿Cuántas personas hay en la clase? ¿Qué porcentaje tienen los ojos marrones? ¿Cuántos alumnos tienen los ojos azules o verdes? ¿Qué tanto por uno tienen los ojos negros?

Actividad 9.Se ha pesado a los alumnos y alumnas de un grupo, obteniendo los datos que aparecen en la tabla siguiente: Peso 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85

ni 2

fi

% 10

1/5 4 1/10 2 5 1/20

197 a) ¿A cuántas personas se pesó? b) ¿Se podría prescindir en la tabla anterior de alguno de los datos que aparecen en la misma? c) Completa la tabla de frecuencias.

Las gráficas nos dan una visión rápida de una tabla de frecuencias. Según el tipo de variable, unas son más adecuadas que otras. Para las variables cualitativas se suelen emplear los diagramas de rectángulos, de sectores y los pictogramas. Para las variables cuantitativas, se emplean los diagramas de barras si es discreta o el histograma si es continua. Supongamos que hemos obtenido los datos siguientes en la actividad 8 Color de ojos Negro Marrón Azul Verde

ni 5 16 4 3

La variable es una variable cualitativa, por tanto podemos utilizar para representarla un diagrama de rectángulos. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Negros

Marrones

Azules

Verdes

Consiste en representar en el eje vertical las frecuencias y en el horizontal la variable cualitativa.

198 El diagrama de sectores como su propio nombre indica, consiste en dividir un círculo en sectores de forma proporcional a las frecuencias absolutas que aparecen. Por ejemplo, para los datos de la actividad 8 el gráfico sería: Verde; 3; 11%

Negro; 5; 18%

Azul; 4; 14%

Marrón; 16; 57%

La forma adecuada de hacer la división consiste en dividir los 360º que tiene el círculo de la manera siguiente: 28 alumnos equivalen a 360º 5 alumnos equivalen a xº Por tanto el ángulo asociado al número de alumnos con ojos de color negro será: 5 ⋅ 360 = 64º17´ x= 28 Con la ayuda del medidor de ángulos se puede dibujar el gráfico. El pictograma es un gráfico que utiliza dibujos llamativos relacionados con el fenómeno que se está estudiando. En un país imaginario se ha realizado el censo de teléfonos particulares en las ciudades más importantes. El número de teléfonos censados en sus cuatro ciudades más importantes fue: Ciudad 1: 600.000 teléfonos Ciudad 2: 300.000 teléfonos Ciudad 3: 200.000 teléfonos Ciudad 4: 100.000 teléfonos

199

La representación gráfica de estos datos se podría hacer de la manera siguiente: Si tomamos el símbolo tendríamos:

como representación de 100.000 teléfonos,

Ciudad 1: Ciudad 2: Ciudad 3: Ciudad 4:

El diagrama de barras se utiliza para representar tablas de frecuencias correspondientes a variables estadísticas cuantitativas discretas. En él, sobre cada valor de la variable representada en el eje horizontal, se traza un segmento de longitud proporcional a su frecuencia.

Las notas en un examen de un grupo de 30 alumnos y alumnas vienen expresadas en la tabla siguiente: Nota Nº de alumnos

1 2

2 3

3 4

4 3

5 4

6 3

7 4

8 4

9 2

10 1

frecuencia

5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

notas

El histograma se utiliza para representar variables cuantitativas continuas. Se utiliza cuando los datos están agrupados en intervalos. En él la frecuencia

200

es proporcional al área de cada rectángulo. Cuando las amplitudes de todos los intervalos coinciden, la frecuencia será directamente proporcional a la altura del rectángulo. La altura en centímetros de los alumnos y alumnas de un grupo de clase viene expresada por la tabla siguiente: Altura 150-160 160-180 180-200 200-210

ni 8 12 10 2

Su representación gráfica sería: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

145

155

165

175

185

195

205

215

Vemos cómo las frecuencias no aparecen en el eje vertical sino que son el área de los rectángulos dibujados.

Actividad 10.Elige el diagrama adecuado para cada una de las variables de la actividad 1 y represéntalo.

Actividad 11.El histograma adjunto representa la altura de los alumnos y alumnas de un grupo.

201

frecuencia

16 14 12 10 8 6 4 2 0 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 altura

a) De él se deduce que en ese grupo el número total de alumnos y alumnas es: 37, 40, 190 o indeterminado. b) ¿Cuántos alumnos y alumnas no superan 170 cm.? c) Haz la tabla de frecuencias correspondiente a esta gráfica. d) ¿Cuántos miden 165 cm.?

Parámetros estadísticos Las tablas de frecuencias y los gráficos estadísticos nos proporcionan información sobre la variable estudiada, pero parece razonable reunir la información en unos pocos valores que nos indiquen su comportamiento. Estos valores numéricos se denominan parámetros estadísticos. Nos centraremos en nuestro estudio en dos tipos de parámetros: de posición y de dispersión. Los primeros nos indican el valor en torno al cual se distribuyen los valores de la variable. Son parámetros de posición: la media, la mediana, la moda y los cuantiles. La media aritmética es el resultado de dividir la suma de todos los valores de la variable observada entre el número total de estos.

x=

1 n x + ... + x n xi = 1 ∑ n i=1 n

202

Actividad 12.Calcula la nota media de las obtenidas por tus compañeros y compañeras en el último examen de matemáticas. Si los datos nos vienen reflejados en una tabla de frecuencias, la media se calcula mediante la fórmula siguiente: x=

∑x

i

⋅ ni

N

Actividad 13.a) Elabora una tabla de frecuencias con el número de hermanos y hermanas que tienen tus compañeros y compañeras de clase. b) Calcula el número medio de hermanos y hermanas.

Actividad 14.Calcula el número medio de bolígrafos y lápices que llevan tus compañeros y compañeras de clase en su estuche. Si los datos están agrupados en intervalos, tendremos que calcular en cada intervalo su valor central o marca de clase. Una vez hallada se procederá a calcular la media por la fórmula anteriormente vista. Llamamos marca de clase (punto medio) al valor del intervalo que se obtiene como semisuma de sus valores extremos. Es decir la marca de clase es igual al menor valor del intervalo más el mayor valor del intervalo partido todo por 2.

xi =

Li + Ls 2

203

Por ejemplo Li

−

Ls

xi

50

−

55

xi =

Li + Ls 50 + 55 = =52,5 2 2

Actividad 15.Los pesos de las alumnas y alumnos de 4º de ESO de cierto instituto vienen reflejados de la forma siguiente: 75 54 59 60 58 62 73

73 55 60 60 84 67 80

62 48 51 49 46 59 82

55 50 78 90 61 54 49

63 65 85 99 72 53 52

72 60 66 54 68 62 54

48 60 60 65 55 83 56

56 65 59 61 60 78 58

67 60 53 58 85 69 60

89 53 47 47 49 71

a) Calcula el peso medio de los 69 datos b) Elabora una tabla de frecuencias agrupando en intervalos de amplitud 9 y tomando como límite inferior del primero el valor 46. c) Calcula el peso medio partiendo de esta última tabla. d) Elabora una tabla de frecuencias agrupando en intervalos de amplitud 6 y tomando como límite inferior del primero el valor 46. e) Calcula el peso medio partiendo de esta última tabla. En algunas ocasiones la media no es el parámetro más representativo de una distribución estadística y es necesario buscar otro parámetro que la represente mejor. Llamamos mediana de una variable estadística al valor de la variable que deja por debajo de él el mismo número de observaciones que por encima. Es decir, se llama mediana a aquel valor que ocupa el lugar central cuando los datos están ordenados de menor a mayor o viceversa. Se representa por Md o Me.

204 Para su cálculo distinguiremos dos casos: Cálculo de la mediana en una variable cuantitativa discreta.

En este caso se ordenan los datos de menor a mayor y el que ocupa el centro es la mediana. Ejemplo: El salario en euros de 5 trabajadores de una empresa es 1080; 985; 2054; 1250 y 5900. a) b) c) d)

Calcula el salario medio. Ordena los salarios de menor a mayor. ¿Qué salario ocupa la posición central? ¿Quién es más representativo en este caso, la media o la mediana?

a) x =

∑x n

i

=

1080 + 985 + 2054 + 1250 + 5900 11269 = = 2253,8 €. 5 5

b) Si ordenamos los salarios de menor a mayor, obtenemos: 985; 1080; 1250; 2054; 5900. c) El valor que ocupa el lugar central es 1250 y, por tanto, la mediana de la distribución. Me = 1250 d) El valor más representativo de esta distribución es la mediana, ya que la media está por encima de la mayoría de los salarios de los trabajadores. Si el número de datos de la serie es par, la mediana será la semisuma de los valores centrales. Ejemplo: Calcula la mediana de los datos de la distribución siguiente 5; 6; 6; 7; 7; 8. Como tenemos 6 datos, el valor central se encuentra entre el 6 y el 7.

205 La mediana vale:

Me =

6+7 = 6,5 2

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, para el cálculo de la mediana se procederá de la manera siguiente: en primer lugar se calcularán las frecuencias acumuladas y el valor de la variable al que N corresponda el valor de frecuencia será la mediana. 2 Ejemplo: Calcula la mediana de la distribución de frecuencias xi 0 1 2 3 4

ni 10 7 8 5 4 34

En primer lugar calculamos las frecuencias acumuladas: xi 0 1 2 3 4 Una vez calculadas, hallaremos

ni 10 7 8 5 4

Hi 10 17 25 30 34

N 34 = = 17 . 2 2

Esta frecuencia corresponde al valor de la variable x = 1, por tanto la mediana es Me = 1.

Actividad 16.a) Pregunta a tus compañeros y compañeras de clase el número de coches de que disponen en la familia. b) Elabora una tabla de frecuencias. c) Calcula la media y la mediana.

206

Actividad 17.Preguntadas las familias de cierto instituto sobre el número de personas que las forman, se obtuvo la tabla siguiente:

Nº de personas por familia 2 3 4 5 6 7 8

Nº de familias 45 235 185 26 14 10 4 519

xi · ni 90 705 740 130 84 70 32 1851

a) Elabora la tabla de frecuencias. b) Calcula la media y la mediana. c) ¿Tienen sentido las dos medidas de centralización?

Cálculo de la mediana en una variable cuantitativa continua.

Si la variable se distribuye en intervalos de clase, la mediana se calcula mediante la fórmula siguiente: M e = Li −1 +

N −H i −1 2 · ci ni

Donde: Li-1 Hi-1 Ci ni

es el valor más pequeño del intervalo donde se encuentra la mediana. es la frecuencia acumulada del intervalo anterior. la amplitud del intervalo frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana.

207 Ejemplo: Calcula la mediana de la distribución estadística siguiente Li-1 – Li 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 –50

ni 3 7 5 4 6 25

Calculamos en primer lugar N 25 = = 12,5 2 2

El intervalo en el que se encuentra la mediana es 20 – 30. I 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50

ni 3 7 5 4 6

Hi 3 10 15 19 25

Una vez localizado el intervalo, calculamos el valor de la mediana sustituyendo cada término en la fórmula: M e = 20 +

12,5 − 10 10 = 25 5

Actividad 18.Consultados los alumnos y alumnas de 4º de ESO de cierto instituto acerca de la edad del padre, se ha obtenido la distribución de frecuencias siguiente. Edad del padre ni

30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55 5 20 19 11 7

Halla la mediana de la distribución.

208

La moda es el valor de la variable que más veces se repite. Para calcular dicho valor se nos pueden presentar dos casos: a) La variable es cualitativa o cuantitativa discreta. b) La variable es cuantitativa continua. En el caso de que la variable sea cualitativa o cuantitativa discreta, la moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia.

Actividad 19.Tabulado el alumnado de 4º de la ESO respecto a la variable sexo tenemos la tabla siguiente: Sexo Mujeres Hombres

ni 9 8

a) ¿Se puede calcular la media de esta variable? b) ¿Tiene sentido el cálculo de la mediana? c) Calcula la moda.

En el caso de que la variable sea cuantitativa continua nos podemos encontrar dos casos:

i. Todos los intervalos tienen la misma amplitud. ii. No todos los intervalos tienen la misma amplitud. i) En el primer caso, la moda se calcula a través de la fórmula siguiente: M e = Li −1 +

ni − ni −1 ·c ( ni − ni −1 ) + ( ni − ni +1 ) i

209 Ejemplo: Dada la distribución de frecuencias de la actividad 18 Ni 5 20 19 11 7

30 –35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55 Calcula la moda.

El intervalo de mayor frecuencia es el 35 – 40, por tanto en ese intervalo ha de estar la moda. M o = 35 +

20 − 5 ⋅ 5 = 39, 6875 ( 20 − 5) + ( 20 − 19 )

ii) Si los intervalos no tienen la misma amplitud no podemos aplicar el procedimiento anterior hasta que no sepamos cuál es el intervalo modal. Para hallar el intervalo donde se encuentra la moda, habrá que dividir la frecuencia de cada uno de ellos por la amplitud del mismo, y aquel que tenga mayor cociente será el buscado. Una vez hallado éste, podremos aplicar la fórmula anterior. Ejemplo: La distribución de beneficios de 100 empresas en miles de euros viene reflejada por la tabla siguiente

Beneficio

ni

− − − − −

10 17 12 31 140

0 500 1000 2000 4000

500 1000 2000 4000 10000

frecuencia amplitud 0,02 0,034 0,022 0,0155 0,023

210 El mayor cociente 0,034 corresponde al intervalo 500 – 1000, por tanto este es el intervalo modal. M o = 500 +

0, 034 − 0, 02 ·500 = 769,2308 ( 0, 034 − 0, 02 ) + ( 0, 034 − 0, 022 )

Actividad 20.La vida media de 275 bombillas viene reflejada en la tabla siguiente: Nº de horas de vida 0 – 500 500 – 1500 1500 – 3000 3000 – 5000

Nº de bombillas 14 21 112 128

Halla la media, la mediana y la moda de la distribución.

Hasta aquí hemos estudiado valores que reflejan la posición central de una distribución. A partir de ahora estudiaremos otros valores de la variable que dividen la distribución en partes iguales. Si la distribución la dividen en cuatro partes iguales reciben el nombre de cuartiles, si la dividen en 10 deciles y si es en 100 partes percentiles. El cuartil uno o cuartil inferior es aquél que deja por debajo de si el 25% de los datos, el cuartil 2 corresponde a la mediana, ya que deja por debajo de él el 50% de los datos y el cuartil superior deja por debajo al 75% de los datos. ▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫ 25% 50% 75% Q1 Q2 Q3 De igual manera, el decil k deja por debajo de él 10 k % de los datos. ▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫ d1 d2 d3 d4 d5 d6 D7 d8 d9

211 Si la distribución se divide en 100 partes, el percentil k, Pk deja por debajo k% de los datos. ▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫▫ Me P25 P50 P75 P90 Q1 Q2 Q3 d5 d9 Si la variable es discreta, habrá que ver en la tabla de frecuencias acumuladas a qué valor de la variable corresponde.

Ejemplo: Sea la distribución número de hermanos y hermanas de una clase de 4º de la ESO. Nº hermanas/os 0 1 2 3 4

Nº de familias 5 10 12 2 1

a) Calcula el cuartil inferior y el superior. b) Los deciles 3, 5, 7 y 9. c) Los percentiles 10, 25, 60 y 95. Para calcular estos valores habrá que confeccionar la tabla de frecuencias siguiente. xi 0 1 2 3 4

ni 5 10 12 2 1

Hi 5 15 27 29 30

Hi/N 100 16,67 50 90 96,67 100

212 El cuartil uno corresponde al valor de la variable que deja por debajo un 1 N de 25% de los datos, es decir es el valor de x que corresponde a N = 4 4 frecuencia acumulada. N = 30 ⇒

1 30 = 7,5 N= 4 4

El valor 7,5 de frecuencia corresponde al valor 1 de la variable, por tanto Q1 = 1. Q2 corresponde a

2 N N 30 = = = 15 , por tanto Q2 = 1. 4 2 2

Q3 corresponde a

3N 90 = = 22,5 ⇒ Q3 = 2. 4 4

Con un gráfico de porcentajes acumulados razonaríamos así: 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

1

Q1 = Q2

2

3

4

Q3

Procedemos de igual forma, d3 corresponde al valor de frecuencia 3N 90 = = 9 , por tanto d3 = 1. 10 10

213

d5 corresponde a

5 N N 30 = = = 15 ⇒ d5 = 1. 10 2 2

d7 corresponde a

7 N 210 = = 21 ⇒ d7 = 2. 10 10

Operamos de manera análoga d9 = 3. Para calcular los percentiles dividimos por 100. El percentil 10 se calcula: 10 N 300 = = 3 ⇒ P10 = 0 100 100

Realizamos las operaciones pertinentes y obtenemos: P25 = 1, P60 = 2 y P95 = 3 Para una variable continua, el cálculo de los cuantiles se complica y es necesario el uso de fórmulas. kN − H i −1 Qk = Li −1 + 4 ci ni kN − H i −1 10 d k = Li −1 + ci ni kN − H i −1 100 Pk = Li −1 + ci ni donde Li-1 Hi-1 ci ni

es el límite inferior del intervalo es la frecuencia acumulada anterior es la amplitud del intervalo es la frecuencia absoluta que corresponde al intervalo

214 Ejemplo: Consultadas las alumnas y alumnos de 4º de la ESO de cierto instituto acerca de la edad del padre, se ha obtenido la distribución de frecuencias siguiente Edad del padre en años 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55

Nº de familias 5 20 19 11 7

Calcula Q1, P30, d7 y P80. En primer lugar construimos la tabla de frecuencias: I 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55

Hi 5 25 44 55 62

ni 5 20 19 11 7

% acumulado 8,06 40,32 70,97 88,71 100

Una vez construida la tabla de frecuencias, procederemos al cálculo de cada uno de los cuantiles a través de la fórmula correspondiente. Calculamos Q1. N − H i −1 Q1 = Li −1 + 4 ci ni N 62 = = 15,5 ; como 5<15,5<25 identificamos el intervalo correspondiente 4 4 que es 35 – 40.

Por tanto Li-1 = 35, ci = 5; ni = 20 y Hi-1 = 5. Q1 = 35 +

15,5 − 5 ⋅ 5 = 37,625 20

215 Procedemos de igual forma para el resto de valores y tenemos: P30 = 35 +

18,6 − 5 ⋅ 5 = 38,4 20

d 7 = 40 +

43,4 − 25 ⋅ 5 = 44,8421 19

P80 = 45 +

49,6 − 44 ⋅ 5 = 47,5454 11

Actividad 21.Sea la distribución de notas obtenida en la asignatura de matemáticas por un grupo de 4º de ESO: Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ni 2 3 2 6 5 3 3 1 2 1

Calcula: a) Media, mediana y moda. b) Q1, d3 y P70. c) Porcentaje de alumnas y alumnos que han obtenido entre un 3 y un 6 ambos incluidos. d) Valores de la variable que dejan entre sí el 30% de los datos centrales.

216

Actividad 22.Preguntados los alumnos y alumnas de 4º de ESO acerca de la cantidad de dinero en céntimos que llevan en el bolsillo en ese momento, se ha obtenido la tabla siguiente: Dinero en céntimos 0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 – 100 100 – 120 120 – 140 140 – 160

ni 5 10 7 8 5 12 3 2

Calcula: a) Media, mediana y moda. b) Q1, Q3 , d2, d7, P20 y P70. c) Porcentaje de alumnas y alumnos que llevan encima entre 50 y 90 céntimos. d) ¿Qué percentil corresponde al valor 80 céntimos?

Actividad 23.Se ha medido el CI de las alumnas y alumnos de 4º de ESO de cierto instituto y se ha obtenido la tabla siguiente: CI 80 – 90 90 – 100 100 – 110 110 – 120 120 – 130

ni 2 8 22 12 1

Calcula: a) b) c) d)

Media, mediana y moda. Q3, d6 y P15. ¿Qué percentil corresponde al CI 115? Valores entre los que se encuentra el 60% de los datos centrales.

217

Medidas de dispersión Aunque las medidas de posición son importantes, ya que representan a la totalidad de los datos, no son suficientes, pues no nos indican si los datos están agrupados o por el contrario muy dispersos. Para poder medir lo concentrados o dispersos que están los datos sobre los valores centrales, utilizaremos las medidas de dispersión. Estas nos miden la representatividad de los parámetros centrales, determinando la mayor o menor separación de los valores respecto a otro que se pretende sea su síntesis. Será más representativa la media aritmética de una distribución cuanto más agrupados en torno a ella estén los valores y, por tanto, será menos representativa cuanto mayor sea la dispersión respecto a ella. Las más importantes son: el recorrido, la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. El recorrido de una variable es la diferencia entre el mayor valor de la misma y el menor. Se representa por R y vale: R = mayor valor menos menor valor Llamamos desviación de un dato a su diferencia con la media. di = xi − x A la media de los valores absolutos de las desviaciones, se le llama desviación media y se representa por dm. dm =

∑

di ⋅ n i N

218 Ejemplo: Dada la distribución de frecuencias ni 4 3 1 2

xi 1 2 3 4 Calcula el recorrido y la desviación media. El recorrido R = 4 – 1 = 3.

Para hallar la desviación media necesitamos calcular en primer lugar la media, luego las diferencias de cada valor con ella y posteriormente la media de los valores absolutos de esas diferencias.

Como x =

xi

ni

xi·ni

xi − x

xi − x ·ni

1 2 3 4

4 3 1 2 10

4 6 3 8 21

1,1 0,1 0,9 1,9

4,4 0,3 0,9 3,8 9,4

∑x

i

N

⋅ ni

=

21 9, 4 = 2,1 , por tanto dm = = 0,94. 10 10

Si la distribución viene dada en forma de intervalos, procedemos en primer lugar a calcular las marcas de clase que identificamos con xi y después operamos de igual forma que si la variable es discreta. Ejemplo: En una escuela de primaria consultadas las edades de las madres de la clase de 6º, se ha obtenido la tabla siguiente Edad 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 Calcula:

Número 11 25 13 7

219

a) La edad media de las madres. b) La desviación respecto a la media. Al ser una variable cuantitativa continua, calculamos las marcas de clase. Edad

ni

xi

xi·ni

|di|= xi − x

|di|·ni

20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60

11 25 13 7 56

25 35 45 55

275 875 565 385 2100

12,5 2,5 7,5 17,5

137,5 62,5 97,5 122,5 420

x=

∑x

dm =

i

⋅ ni

N

∑

=

2100 = 37,5 años 56

xi − x ⋅ ni N

=

∑d

i

N

⋅ ni

=

420 = 7,5 años 56

Actividad 24.Cuatro saltadores de longitud compiten entre sí obteniendo los resultados siguientes (en metros). Atleta A B C D

Prueba 1 8,02 7,88 7,9 7,99

Prueba 2 8,03 8,3 8,5 7,99

Prueba 3 8,07 8,06 8,3 8,1

Prueba 4 8,1 8,12 7,3 8,11

Prueba 5 7,94 7,8 8,16 7,97

Has de seleccionar a uno de estos atletas para ir a la olimpiada. ¿A cuál de ellos seleccionarías? a) Atendiendo a su regularidad. b) El que mejor marca pueda realizar.

220

Actividad 25.Las notas que han obtenido dos alumnos de 4º de ESO en la primera evaluación han sido: X Y

7 5

a) b) c) d) e) f) g)

7 9

8 9

7 10

8 6

9 9

8 7

7 6

7 9

7 6

7 6

Resume estos datos en una tabla de frecuencias para cada alumno. Haz una representación gráfica adecuada para cada alumno. Calcula la nota media de cada alumno. ¿Nos indica este dato quien es mejor alumno? Calcula el recorrido de cada uno. Calcula la desviación media. ¿Quién crees que es mejor alumno? Razona la respuesta.

Actividad 26.Las edades de un grupo de personas son: 15 13 10

a) b) c) d) e)

15 18 13

7 17 15

13 17 15

15 19 17

16 17 18

Resume estos datos en una tabla de frecuencias. Haz una representación gráfica adecuada. Calcula la edad media. Calcula la desviación media. Un grupo de amigos tiene una edad media de 16 años y una desviación media de 3,5 años. Si comparamos con el primer grupo, ¿cuál de ellos es más homogéneo?

221

Actividad 27.-

alumnado

Las dos gráficas siguientes representan las calificaciones obtenidas en las asignaturas de Matemáticas y Lengua por los alumnos y alumnas de una clase de 3º de ESO. Matemáticas

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

Lengua

6

7

8

9

10

a) ¿En qué asignatura se da una mayor dispersión de notas? Razona la respuesta. b) Construye, a partir de la gráfica, la tabla de frecuencias correspondientes a cada asignatura. c) Calcula la media de las notas de cada asignatura. d) Calcula la mediana de las notas de cada asignatura. e) Calcula la moda de las notas de cada asignatura. f) ¿Qué porcentaje del alumnado aprueba cada asignatura? g) Calcula que nota corresponde al decil 4, al cuartil 3 y al percentil 70 en cada una de las asignaturas. h) Calcula la desviación media de cada asignatura. i) Los resultados obtenidos, ¿están de acuerdo con tu respuesta del primer apartado?

222 La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de cada dato respecto de la media. Se representa por: S = σ 2

2

d = V( x ) = ∑

2 i

⋅ ni

N

∑x =

2

i

N

⋅ ni

− x2

Actividad 28.Una encuesta realizada a 50 personas, sobre el número de horas que ven la televisión diariamente, arroja los datos siguientes: 1 3

2 2

2 1

3 4

4 5

2 5

3 3

1 2

1 1

0 0

0 4 5

1 6 7

2 5 4

3 1 1

2 5 3

3 2 4

1 2 4

2 5 5

4 3 5

5 6 5

a) Completa la tabla siguiente: xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

ni

xi ·ni

di

|di | · ni

di2

di2·ni

b) Representa gráficamente los datos. c) Calcula la media del número de horas que ven la televisión diariamente. d) Calcula la mediana. e) Calcula la moda. f) Calcula la desviación media. g) Calcula la varianza.

223 Si la variable es la altura (en centímetros) la varianza viene medida en las mismas unidades al cuadrado (en cm.2). No tiene sentido usar un parámetro que se mida en una unidad diferente a la de los datos. Por tanto, para evitar este inconveniente, se toma la raíz cuadrada de la varianza, que se denomina desviación típica. Se representa por: s = σ = V(x ) .

Actividad 29.En una estadística hecha a cuatro equipos de baloncesto se han obtenido las siguientes medias y desviaciones típicas de las alturas de sus jugadores medidas en centímetros: Equipo

A

B

C

D

x σ

198,5 9,7

198,1 3,9

193 4,6

193,4 8,1

Y sus gráficas, pero sin ordenar son las siguientes: Equipo 1

180

Equipo 2

195

210

195

210

195

210

Equipo 4

Equipo 3

180

180

195

210

180

Asocia cada gráfica al equipo correspondiente y razona la repuesta.

224

Actividad 30.Una fábrica de yogures empaqueta éstos en cajas de cien unidades cada una. Para probar la eficacia de la producción se han analizado 80 cajas comprobando los yogures defectuosos que contiene cada una y se han obtenido los resultados de la tabla: Número de yogures defectuosos Número de cajas

0 40

1 15

2 10

3 9

4 3

5 2

6 1

a) Elabora la tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente los datos de la distribución. c) Calcula todas las medidas de centralización y de dispersión de esta serie estadística

Actividad 31.Calcula la desviación típica de la variable “peso” de los alumnos y alumnas de la clase.

Actividad 32.Preguntadas las alumnas y alumnos de 4º de ESO acerca del número de personas que forman su familia (padre, madre, hijos e hijas) se ha obtenido la tabla siguiente: Nº de personas 0– 2 2– 4 4– 6 6– 8 8 – 10

Nº de familias 5 28 15 3 1

a) ¿Cuál es el número medio de personas por familia? b) Calcula la desviación media. c) Calcula la varianza y la desviación típica.

225

El coeficiente de variación es el cociente que resulta de dividir la desviación típica y la media aritmética. CV =

σ x

A veces también se suele expresar en tanto por ciento. CV =

σ 100 x

A mayor valor del coeficiente de variación, menor representatividad de la media y, por tanto, menor homogeneidad de la variable.

Actividad 33.En otro centro también se le preguntó al alumnado de 4º de ESO sobre el número de personas que forman su familia. Se obtuvieron los resultados siguientes: una media de 3 personas por familia y una desviación típica de 1. ¿Cuál de los centros (el de la actividad 32 y éste) puede ajustar mejor sus previsiones atendiendo al tamaño de las familias?

Actividad 34.En la tabla se recogen los valores de cierta variable agrupados en intervalos: I 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 Calcula el coeficiente de variación.

ni 5 7 3 6 4

226

Actividades de refuerzo 1.- Indica de qué tipo son las variables: a) b) c) d) e)

El color del cabello. El número de nacimientos diarios en el hospital de San Juan. El sexo. Número de horas que duerme una persona al día. El color de la luz que tiene encendida un semáforo. Sol a) cualitativa b) discreta c) cualitativa d) continua e) cualitativa

2.- Lanzamos 100 veces un dado y obtenemos los resultados siguientes: Cara ni a) b) c) d)

1 15

2 16

3 14

4 17

5 18

6 20

Representa gráficamente los datos. Calcula la media, mediana y moda de la serie estadística. Calcula la desviación media. Calcula la desviación típica. Sol b) 2,47; 4; 6 c) 1,0854 d) 1,396

3.- Dada la distribución de datos: 138 137 133 140 152

167 157 152 161 138

151 145 157 156 160

170 146 149 149 153

175 148 169 152 165

138 155 159 140 157

148 167 148 146 158

153 142 150 151 162

178 154 153 143 155

142 133 145 140 144

a) Forma una distribución de tipo continuo con el extremo inferior igual a 130 y de amplitud 5. b) Representa gráficamente la distribución de frecuencias. c) Calcula las medidas de centralización (media, mediana y moda). d) Calcula las medidas de dispersión. Sol c) 152,2; 151,5; 151,666 d) 8,336; 113,41; 10,6494

227 4.- Dada la distribución de frecuencias: Intervalos 100 – 200 200 – 300 300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700

ni 140 90 150 280 220 120

Se pide: a) b) c) d)

Distribución de frecuencias relativas y acumuladas. Representación gráfica. Cálculo de las medidas de centralización y de dispersión. Calcula el P30, Q3 y d6.

Sol c) X =421; Me=442,86; Mo=468,42; dm=127,96; S2=23859; s=154,46 d) 346,66; 540,91; 478,57 5.- Consultados 100 matrimonios sobre la edad del marido, se han obtenido los resultados siguientes: Edad del marido 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 Totales

ni 18 24 35 13 7 3 100

Calcula: a) b) c) d)

La media, la mediana y la moda. El porcentaje de maridos con más de 35 años. El porcentaje de maridos con menos de 40 años. Las medidas de dispersión.

Sol a) 31,3; 31,14; 31,66 b) 23% c) 90% d) dm=4,992; S2=39,56; s=6,29

228 6.- Consultados los resultados de una prueba en las oposiciones convocadas por un ayuntamiento, se han obtenido los resultados siguientes: Puntuación 80 − 100 60 − 80 40 − 60 20 − 40 0 − 20

Número de opositores 20 80 300 60 40 500

Calcula: ¿Cuántos opositores participaron en la prueba? ¿Entre qué valores se encuentra la puntuación de la prueba? Calcula la media, la mediana y la moda de las notas. ¿Qué porcentaje de opositores no superaron la prueba? ¿Qué porcentaje de opositores obtuvieron una puntuación superior a 79? f) Calcula las medidas de dispersión. a) b) c) d) e)

Sol a) 500 b) 0 - 100 c) 50,8; 50; 49,565 d) 50% e)4% f) dm=10,88; S2= 303,36; s= 17,42 7.- En una determinada empresa trabajan 20 personas, y sus edades expresadas en años se distribuyen según la tabla: Intervalo 50 - 60 40 - 50 30 - 40 20 - 30

a) b) c) d) e)

ni 2 4 6 8 20

Representa gráficamente esta distribución. Calcula media, mediana y moda. Calcula d3, P75 y Q1. Calcula la desviación media. Calcula el coeficiente de variación. Sol b) 35; 33,33; 28 c) 27,5; 42,5; 26,25 d) dm=8 e) CV= 28,57%

Tema 9: Probabilidad

Si consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire, ¿qué probabilidad tendremos de que salga cara?, ¿es la misma probabilidad de que salga cruz? Si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga la cara 6?, ¿tienen todas las caras la misma probabilidad de aparecer?

Actividad 1.Lanza una moneda al aire 20 veces y anota los resultados obtenidos. a) Forma una tabla de frecuencias: ni

fi

Cara Cruz Totales b) Calcula la proporción de caras y cruces que has obtenido en tus lanzamientos. c) ¿Se aproxima la proporción a 0,5? En caso negativo, suma todos los resultados obtenidos por todas tus compañeras y compañeros a los tuyos y vuelve a calcular la proporción de caras.

Al aumentar el número de experiencias, la frecuencia relativa de un determinado suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número que se llama probabilidad.

230

Actividad 2.Lanza al aire un dado 50 veces y anota los resultados obtenidos. a) Expresa en una tabla de frecuencias los resultados obtenidos. b) ¿Las frecuencias relativas de cada una de las caras del dado se acerca al valor 0,1666? En caso negativo, junta en una misma tabla todos los datos obtenidos por tus compañeros y compañeras de clase.

Dado un espacio muestral E, donde todos los sucesos elementales son equiprobables la probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. p( A ) =

n N

donde n = número de casos favorables y N = número de casos posibles. La probabilidad cumple las siguientes propiedades: ƒ

La probabilidad de un suceso cualquiera está comprendida entre 0 y 1. 0≤p≤1

Vamos a demostrar la propiedad. Si denotamos por N al número de casos posibles y n el de casos favorables, tendemos: 0≤n≤N Dividimos todo por N 0≤

n ≤1 N

O lo que es lo mismo 0≤p≤1

231 ƒ

La probabilidad del suceso seguro es 1.

Es evidente ya que en este caso los casos favorables coinciden con los posibles. ƒ

La probabilidad del suceso imposible es cero.

Razonamos de manera análoga a la propiedad anterior, la probabilidad es cero, ya que no hay casos favorables y por tanto: p=

ƒ

0 =0 N

La probabilidad del suceso contrario es la unidad menos la probabilidad del suceso directo.

En efecto, sea A el suceso contrario de A. Queremos probar que: p ( A ) = 1 − p ( A)

Por definición p ( A) =

n N

El suceso contrario de A es el que ocurre cuando no ocurre A, y recíprocamente. Por tanto los casos favorables para A son N-n: p( A ) =

N −n N n n = − = 1 − = 1 − p ( A) N N N N

Actividad 3.Al lanzar un dado cúbico. a) b) c) d)

¿Cuál es la probabilidad de que salga un 3? ¿Cuál es la probabilidad de que salga múltiplo de 2? ¿Cuál es la probabilidad de que salga una puntuación superior a 4? ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar?

232

Actividad 4.De una baraja de 40 cartas se extrae una al azar. Calcula las probabilidades siguientes: a) b) c) d) e)

Que la carta extraída sea una copa. Que la carta extraída sea el as de espadas. Que la carta extraída sea un rey. Que la carta extraída sea una figura. Que sea rey o espada.

Actividad 5.Una urna contiene 25 bolas blancas, 13 azules y 16 rojas. Se extrae una bola al azar. ¿De qué color crees que es más probable que salga? ¿Qué color es el menos probable que aparezca?

Actividad 6.Al lanzar dos dados ¿Cuál es la probabilidad de los sucesos siguientes? a) b) c) d)

La suma de las puntuaciones sea 7. La suma de las puntuaciones sea 3. La suma de las puntuaciones sea 10. ¿Cuál crees que será la suma más probable?

Actividad 7.En una urna hay 10 bolas numeradas del 0 al 9. Se extrae una bola. Calcula las probabilidades siguientes: a) La bola extraída es impar. b) La bola extraída es múltiplo de 4. c) La bola extraída es un número superior a 6.

233

Actividad 8.Un alumno, de los 35 temas que entran para el examen de francés, ha estudiado 10; otro, de los 7 que entran para el examen de física, ha estudiado 1. ¿Quién crees que tiene más posibilidades de aprobar, si tienen que contestar bien a un tema elegido al azar?

En las actividades anteriores, el recuento de los casos favorables y posibles no ha presentado ninguna dificultad, pero en la mayoría de los casos esto no es así y es necesario recurrir a técnicas de recuento. Por ejemplo, si lanzamos dos monedas su espacio muestral es:

CC, CX, XC, XX Si lanzamos tres monedas sería más laborioso obtener por conteo directo su espacio muestral, pero ¿y si lanzamos 10 monedas? Evidentemente en este caso habría que utilizar alguna técnica matemática que me ayudase a resolver dicha cuestión. Una de las técnicas de recuento más utilizada por su sencillez es el diagrama de árbol. En el lanzamiento de dos monedas obtendríamos:

Lanzamiento 1º 2º

Resultado

C

Æ

CC

X

Æ

CX

C

Æ

XC

X

Æ

XX

C

X

234 En el lanzamiento de tres monedas:

1º

Lanzamiento 2º C

C X C X X

3º C X C X C X C X

El espacio muestral obtenido es:

CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX En este tipo de diagramas es difícil cometer errores por omisión de casos o repetición de elementos. Ahora bien, si lanzamos 10 monedas el árbol sería muy laborioso y extenso. Cuando esto es así recurrimos a la combinatoria como técnica de recuento.

Combinatoria La combinatoria tiene por objeto el estudio de las distintas agrupaciones y ordenaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. Llamamos variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a todas las distintas ordenaciones de n elementos, repetidos o no, que se pueden formar con los m elementos. Se representa por VRm,n a la cantidad de las ordenaciones citadas y vale mn. Ejemplo: ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5? Un número de dos cifras formado con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5} es cualquier ordenación de dos de esas cifras, repetidas o no.

235 11 21 31 41 51

12 22 32 42 52

13 23 33 43 53

14 24 34 44 54

15 25 35 45 55

VR5,2 = 52 = 25 números Un ejemplo típico de variaciones con repetición es la quiniela futbolística. ¿Cuántos boletos he de rellenar para tener la certeza de acertar los 14 resultados? El resultado de un partido lo indicamos con uno de los signos: 1, x, 2. El boleto de una quiniela es el pronóstico de 14 partidos. Se puede repetir un mismo signo en varios partidos, es decir el boleto xxxxxxxxxxxxxxxx es admisible. Los boletos 12xxxxxxxxxxxxxx y 21xxxxxxxxxxxxxx son distintos porque no pronosticamos el mismo resultado para el primer partido, por tanto interviene el orden para diferenciar los boletos. En estas circunstancias los boletos de quinielas se ajustan a las variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 14 en 14. Por tanto el número de boletos de quiniela distintos que se pueden rellenar serán: VR3,14 = 314 = 4.782.969

Llamamos variaciones de m elementos tomados de n en n a todas las distintas ordenaciones de n elementos elegidos de entre los m disponibles. Se representa por Vm,n a la cantidad de las ordenaciones citadas y vale m · (m−1) · (m−2) ·... · (m−n+1)

236 Ejemplo: ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 sin permitir que en el número se repitan las cifras? Un número de dos cifras formado con los dígitos { 1, 2, 3, 4, 5 } es cualquier ordenación de dos de estas cifras 11 21 31 41 51

12 22 32 42 54

13 23 33 43 53

14 24 34 44 45

15 25 35 45 55

Pero con las condiciones indicadas no se admiten los números 11, 22, 33, 44 y 55 Los números que cumplen las condiciones indicadas serían distintas ordenaciones de 2 elementos elegidos de entre los 5 disponibles {1, 2, 3, 4, 5} Por tanto esos números son variaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2 y hay V5,2 = 5 · 4 = 20 números Ejemplo: En una carrera participan 7 atletas y queremos pronosticar el orden de llegada de los 4 primeros. ¿Cuántos pronósticos distintos podrías hacer? V7,4 = 7 · (7 – 1) · (7 – 2) · (7 – 3) = 7 · 6 · 5 · 4 = 840 Cuando intervienen en la formación de los grupos todos los elementos disponibles, es decir m = n, tendremos un caso particular de variaciones que llamaremos permutaciones. Definimos factorial de un número n natural al resultado de multiplicar todos los números naturales desde ese mismo hasta la unidad. n! = n · (n – 1) · (n – 2) ·... · 3 · 2 · 1 Además se define 0! = 1 y 1! = 1.

237 Las permutaciones de orden n son las variaciones de n elementos tomados de n en n. Se representa por Pn el número de permutaciones distintas que se pueden generar con n elementos. Son las distintas ordenaciones de n elementos Pn = Vn,n = n · ( n − 1) · ( n − 2 ) ·

· ( n − n + 1) = n!

A partir de la definición de factorial de un número podemos calcular el número de variaciones de m elementos tomados de n en n como: Vm,n =

Pm m! = Pm−n ( m − n ) !

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un banco de 5 asientos? Consideremos que las cinco personas las identificamos con una letra. Sean A,B,C,D,E los cinco elementos disponibles. Indicaremos una forma de sentarse ordenando los nombres con el asiento utilizado. Así si decimos ABCDE estamos haciendo referencia a que la persona A está sentada en el primer asiento, la persona B está sentada en el segundo asiento, etc. Es razonable considerar ABCDE como una forma de sentarse distinta de BACDE. También es razonable admitir que una solución no puede ser AACDE. En estas condiciones las formas de sentar a 5 personas en 5 asientos cumple la definición de las variaciones de 5 elementos (personas) tomados de 5 en 5. Como coincide m con n nos encontramos ante una permutación. Por tanto el número de posibilidades será P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 formas. Ejemplo: Dados los dígitos {2,4,6,8}. Calcula cuántos números de cuatro cifras distintas pueden formarse. P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

238 Supongamos ahora que los elementos que forman las permutaciones pueden repetirse, es decir, disponemos de n elementos, pero realmente sólo tenemos tres tipos distintos, del primer tipo tenemos a elementos del segunto tipo b elementos y del tercer tipo c elementos, en este caso: PRna,b,c =

n! a ! b! c!

Donde a, b y c son las veces que se repiten los tres tipos y a + b + c = n. Ejemplo: Dado el conjunto formado por las cifras {1,1,1,1,2,2,2,3,3,4,5,5}. Determina cuántos números de 12 cifras se pueden formar. Resolvamos primero una situación con menos elementos. Dado el conjunto formado por las cifras {1,1,1,2}. Determina cuántos números de 4 cifras se pueden formar. 1112

1121

1211

2111

1112

1121

1211

2111

1112 1112 1112 1112

1121 1121 1121 1121

1211 1211 1211 1211

2111

↕ 1112

↕ 1121

↕ 1211

2111 2111 2111 ↕ 2111

Hemos supuesto que los tres 1 eran diferentes y hemos escrito todas las posibles permutaciones de los cuatro elementos. Después las hemos agrupado pensando que los unos no se pueden diferenciar y aparecen los 4 números distintos. PR43,1 =

4! 24 = =4 3! 1! 6· 1

Aplicamos la fórmula al problema original y diremos que existen: 12! PR124,3,2,1,2 = = 831.600 números distintos 4! 3! 2! 1! 2! Ejemplo: Determina de cuántas formas se pueden ordenar 3 bolas rojas y 2 negras. PR53,2 =

5! = 10 3! 2!

239 En el caso de que los elementos no se puedan distinguir entre sí, por ejemplo: si queremos calcular el número de caminos que unen los cinco lugares indicados en la figura

El camino que une A y B es el mismo que une B y A, por tanto sólo se considera una vez y queda claro que no interviene el orden. En este caso no podemos hablar de variaciones y tendremos que definir un nuevo concepto de agrupación que llamaremos combinaciones.

Llamamos combinaciones de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos que podemos formar eligiendo n elementos de los m de partida teniendo en cuenta, que lo importante es, que elementos han sido elegidos y no nos importa el orden de elección. El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n es:

Vm,n ⎛m⎞ m! C m;n = ⎜⎜ ⎟⎟ = = Pn ⎝ n ⎠ n! ( m − n )! En nuestro ejemplo anterior, el número de caminos que podemos formar es:

⎛ 5⎞ 5! C 5;2 = ⎜⎜ ⎟⎟ = = 10 ⎝ 2 ⎠ 2! (5 − 2)!

240 Ejemplo: Con los alumnos y alumnas de la clase, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar? Si en la clase suponemos que hay 24 alumnos y alumnas, el número de equipos de baloncesto que podemos formar será:

⎛ 24 ⎞ 24! = 42.504 C 24;5 = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 5 ⎠ 5! ( 24 − 5)! Ejemplo: Con diez puntos no alineados, ¿cuántas rectas se pueden trazar? Tengamos en cuenta que, cada pareja de puntos definen una recta, por tanto se trata de ver, de entre esos 10 puntos, cuantas parejas podemos formar.

⎛10 ⎞ 10! = 45 C10, 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 2 ⎠ 2!(10 − 2)!

Probabilidad de la unión e intersección de sucesos Una vez estudiadas algunas técnicas de recuento, podemos profundizar en el cálculo de probabilidades. Dados dos sucesos A y B, llamamos suceso unión a otro suceso consistente en que se verifique al menos uno de ellos. Se representa por A∪B. Llamamos intersección de dos sucesos A y B al suceso que resulta cuando se verifiquen simultáneamente A y B. Se representa por A∩B. Dos propiedades relativas a la unión y la intersección de sucesos que tienen gran utilidad son las conocidas como leyes de Morgan:

A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B

241

Actividad 9.En el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado, consideramos los sucesos: A = {obtener una puntuación impar} B = {obtener una puntuación múltiplo de 3} Forma los sucesos siguientes: a) Suceso unión. b) Suceso intersección. c) Suceso contrario del suceso A. d) Suceso contrario de la unión. e) Suceso contrario de A unión con el contrario de B. ¿Coincide con el contrario de la intersección? Suceso contrario de A intersección con B. f) Antes de contestar las preguntas planteadas debemos conocer el espacio muestral del experimento, E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} También debemos tener identificados los dos sucesos propuestos A = {1; 3; 5} y B = {3; 6} a) b) c) d) e) f)

A∪B ={ 1; 3; 5; 6 } A∩B ={ 3 } A = { 2; 4; 6 } = E − A A ∪ B = { 2; 4 }= E − A∪B A ∪ B = { 1; 2; 4; 5; 6 } = A ∩ B A∩B = { 6 }

Una vez identificada la unión de sucesos podemos definir su probabilidad. Dados dos sucesos A y B, la probabilidad del suceso unión valdrá: P(A∪B) = P(A) + P(B)

sí A∩B = ∅

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

sí A∩B ≠ ∅

242 Si en lugar de dos sucesos fuesen tres tendríamos: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C) Si A y B son dos sucesos independientes, es decir el resultado de uno no influye en el otro, entonces la probabilidad de la intersección de sucesos vale: P(A∩B) = P(A) · P(B)

Ejemplo: Si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de que la puntuación obtenida sea múltiplo de 3 o menor o igual a 2? Tenemos dos sucesos: A = { 3 }= { 3; 6 }

B = { x ≤ 2 }={ 1; 2 }

Son sucesos disjuntos (incompatibles), por tanto P(A∪B) = P(A) + P(B) =

2 2 4 + = . 6 6 6

Ejemplo: Si en el lanzamiento de un dado consideramos los sucesos: A = {puntuación impar} B = {puntuación múltiplo de 3 } Calcula la probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga una puntuación impar o múltiplo de 3. En este caso los sucesos son: A = {1; 3; 5}

B ={3; 6}

243 Estos sucesos tienen intersección, por tanto son compatibles y P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) =

3 2 1 4 + − = 6 6 6 6

Ejemplo: Calcula la probabilidad de que dos tiradores acierten una diana al lanzar una flecha, sabiendo que la probabilidad de que acierte el primero es de 0,7 y la del segundo es de 0,6. Como los sucesos son independientes P(A∩B) = P(A) · P(B) = 0,7 · 0,6 = 0,42

Ejemplo: Calcula la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja de 40 cartas sea as y oros. En este caso, la única posibilidad es que sea el as de oros, por tanto su 1 probabilidad es . 40

Ejemplo: En una clase de 4º de la ESO, al 60% del alumnado le gusta el rock y al 45% el pop y al 15% los dos. Se elige a una persona de la clase al azar. Calcula las probabilidades siguientes: a) b)

Que le guste el rock o el pop. Que no le guste el rock ni el pop.

Rock 45

Pop 15 30

10

244

60 45 15 90 9 + − = = 100 100 100 100 10 90 10 1 b) P Rock ∩ Pop = P Rock ∪ Pop = 1 − = = 100 100 10

a) P(Rock ∪ Pop) =

(

)

(

)

Ejemplo: En una urna que contiene 3 bolas blancas y 4 rojas. Calcula las probabilidades de que al extraer dos bolas de la urna: a) b) c) d)

Las dos sean rojas. La primera roja y la segunda blanca. Una blanca y la otra roja. Si sacamos 3 bolas, 2 sean rojas y una blanca.

Generamos el esquema de árbol. 1ª

⎛3⎞ B⎜ ⎟ ⎝7⎠

⎛4⎞ R⎜ ⎟ ⎝7⎠

Posibles resultados

2ª

⎛2⎞ B⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎛4⎞ R⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎛3⎞ B⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎛3⎞ R⎜ ⎟ ⎝6⎠

Æ

BB

Æ

BR

Æ

RB

Æ

RR

Tenemos en cuenta el esquema anterior: ⎛4⎞ ⎛3⎞ 2 a) P(RR) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝7⎠ ⎝6⎠ 7 ⎛ 4⎞ ⎛3⎞ 2 b) P(RB) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝7⎠ ⎝6⎠ 7

Probabilidad

⎛3⎞ ⎛2⎞ P(BB) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝7⎠ ⎝6⎠ ⎛3⎞ ⎛4⎞ P(BR) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝7⎠ ⎝6⎠ ⎛4⎞ ⎛3⎞ P(RB) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝7⎠ ⎝6⎠ ⎛4⎞ ⎛3⎞ P(RR) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝7⎠ ⎝6⎠

245 c) Que una sea blanca y la otra roja, presenta dos casos: RB ∪ BR, por tanto su probabilidad será la suma de las probabilidades. ⎛4⎞ ⎛3⎞ 2 P(RB) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝7⎠ ⎝6⎠ 7 2 2 4 P(RB∪BR) = + = 7 7 7

⎛3⎞ ⎛4⎞ 2 P(BR) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝7⎠ ⎝6⎠ 7

d) Para calcular esta probabilidad habrá que contar los casos que se nos pueden presentar: Los tres casos serán RRB, RBR y BRR. El cálculo del número de posibilidades lo podríamos haber hecho con el razonamiento siguiente: Disponemos de tres elementos {R; R; B} ¿de cuántas formas distintas los podemos ordenar? Nos encontramos ante las permutaciones de 3 elementos en las que 2 de ellos son indistinguibles, por tanto: PR3 2,1 =

3! =3 2! 1!

La probabilidad será la suma de las probabilidades P(2 bolas rojas y una blanca) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) = =

4 3 3 4 3 3 3 4 3 18 + + = 7 6 5 7 6 5 7 6 5 35

Actividad 10.Halla la probabilidad de que al lanzar un dado la suma de las caras visibles sea múltiplo de 5.

246

Actividad 11.De una baraja española de 40 cartas se extraen 3 al azar. Calcula las probabilidades siguientes: a) De que las tres sean sietes. b) Dos sean copas y una bastos. c) Cada una sea de un palo distinto.

Actividad 12.En una urna hay 10 bolas numeradas del 0 al 9. Calcula la probabilidad de que al extraer dos bolas su suma sea: a) Múltiplo de tres. b) Sea siete. c) Sea par.

Actividad 13.De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad de que la carta extraída: a) No sea de copas. b) Sea de oros o figura. c) Sea el siete de espadas.

Actividad 14.En una urna hay 5 bolas rojas, 4 azules y 3 blancas. Si extraemos dos bolas al azar sin devolución, calcula las probabilidades siguientes: a) b) c) d)

De que las dos sean rojas. Una roja y la otra no. La primera azul y la segunda blanca. Alguna sea blanca o roja.

247

Actividad 15.Calcula la probabilidad de obtener dos caras y una cruz en el lanzamiento de tres monedas.

Actividad 16.En una ciudad el 60% lee la prensa deportiva, un 35% la prensa diaria y un 20% los dos tipos. Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar no lea la prensa. Nota: probabilidad de ninguno igual a uno menos probabilidad de alguno.

Actividad 17.La probabilidad de que un tirador acierte una diana es de

2 . Si realiza tres 5

disparos, calcula la probabilidad: a) De acertar 2 disparos. b) De no acertar ninguno. c) De acertar algún disparo.

Actividad 18.En un instituto hay 40 profesores y 32 profesoras. Calcula la probabilidad de que elegidas dos personas al azar para designar director: a) Los dos sean hombres. b) Una sea mujer y otro hombre.

Actividad 19.Calcula la probabilidad de que elegido al azar un número de dos cifras, éste sea par.

248

Actividad 20.Calcula la probabilidad de que elegido al azar un número de tres cifras, sea múltiplo de cinco.

Actividad 21.Queremos colocar una enciclopedia de 10 tomos al azar en una estantería. Calcula la probabilidad de que todos los tomos estén bien ordenados.

Actividad 22.En una urna hay 3 bolas rojas, 4 bolas blancas, 5 bolas azules y 3 bolas verdes. Calcula la probabilidad de: a) Que extraída una bola sea blanca, verde o azul. b) Que extraídas dos bolas sean de distinto color.

Actividad 23.En la celebración de una fiesta de clase, María y Pepe se sentarán en una mesa circular para 8 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que se sienten juntos?

Actividad 24.Si juegas un partido de tenis a tres sets con tu amigo Juan, sabes que la probabilidad de ganarle un set es de 0,7. Calcula la probabilidad de que ganes el partido.

Actividad 25.Halla la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja española, la segunda sea un oro sabiendo que la primera ha sido una copa.

249

Actividad 26.Dos personas escriben, cada una por separado un número con las tres cifras 1, 2 y 3. Halla la probabilidad de que los dos formen el mismo número.

Actividad 27.En el sorteo de la primitiva. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer número extraído sea múltiplo de 3 ó 5?

Actividad 28.Se lanzan tres dados. a) Calcula la probabilidad de que salgan 3 cincos. b) Calcula la probabilidad de que aparezca la misma puntuación en los tres.

Probabilidad condicionada (opción B) Tablas de contingencia o de doble entrada Son tablas en donde aparecen las probabilidades de los sucesos disjuntos que las conforman. Nos permiten de forma rápida el cálculo de probabilidades. En general una tabla de contingencia de 2 x 2 es de la forma: A A B A∩B A ∩B A∩ B A ∩B B

La probabilidad condicionada P(B/A) es la probabilidad de que se verifique el suceso B habiendo ocurrido el suceso A, se escribe: P(B/A) =

P( A ∩ B) P ( A)

250 Ejemplo: En el curso de 4º de ESO A de los 24 alumnos y alumnas que lo forman 8 juegan al baloncesto. En 4º ESO B de las 22 alumnas y alumnos que lo forman 9 juegan al baloncesto. a) Forma la tabla de contingencia que nos muestra todas las posibilidades. b) Calcula la probabilidad de que al escoger un alumno o alumna al azar sea de 4º de ESO A y juegue al baloncesto. c) Calcula la probabilidad de que al escoger un alumno o alumna al azar no juegue al baloncesto. d) Calcula la probabilidad de que al escoger un alumno o alumna al azar sea de 4º de ESO B. e) Sabiendo que se ha escogido un alumno o alumna de 4º de ESO A, ¿qué probabilidad hay de que sea jugador de baloncesto?

a) Grupo de 4º de ESO Total

Juegan a baloncesto A B

Sí

No

8 9 17

16 13 29

Total 24 22 46

Definimos los siguientes sucesos: JB = {juega al baloncesto} JB = {no juega al baloncesto} 4ºA = {del 4º ESO A} 4ºB = {del 4º ESO B} b) P(JB∩4ºA) = c) P( JB ) =

8 4 = 46 23

29 46

Otra forma de haberlo calculado sería P( JB ) =1 − P(JB) = 1 − d) P(Sea de 4º B) =

22 11 = 46 23

8 P ( JB ∩ 4º A ) 46 8 1 = e) P(JB/4ºA) = = = 24 24 3 P ( 4º A ) 46

17 29 = 46 46

251 Ejemplo: En las familias españolas que tienen dos hijos. Calcula las probabilidades siguientes: a) Que los dos hijos sean niños. b) Que los dos sean niñas sabiendo que uno de ellos es niña. mayor ⎛1⎞ M⎜ ⎟ ⎝2⎠

⎛1⎞ H⎜ ⎟ ⎝2⎠

menor ⎛1⎞ m⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ h⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ m⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ h⎜ ⎟ ⎝2⎠

Æ Æ Æ Æ

⎛1⎞ ⎛1⎞ P(Mm) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞⎛1⎞ P(Mh) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ P(Hm) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ P(Hh) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠

⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 a) Que los dos hijos sean niños P(Hh) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = . ⎝2⎠ ⎝2⎠ 4 b) P(las dos sean niñas / uno es niña) =

P(las dos son niñas ∩ una es niña ) P(una es niña )

Las dos sean niñas = { Mm } Uno es niña = { Mm; Mh; Hm } Las dos sean niñas ∩ uno es niña = { Mm } ⎛1⎞⎛1⎞ P( las dos sean niñas ∩ uno es niña ) = P( Mm ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 1 1 1 3 P( uno es niña ) = P( Mm ) + P( Mh ) + P( Hm ) = + + = 4 4 4 4 1 1 P(las dos son niñas ∩ una es niña ) = 4 = 3 3 P(una es niña ) 4

252

Ejemplo: Hemos preguntado a las alumnas y alumnos de 4º de la ESO sobre si saben nadar o no, se han obtenido los resultados siguientes: Chicos 19 Chicas 25

Saben nadar 8 Saben nadar 12

Se elige un alumno o alumna al azar, calcula las probabilidades siguientes: a) b) c) d)

Que sea chico y sepa nadar. Que sea chica y no sepa nadar. Sabiendo que es chico que sepa nadar. Sabiendo que sabe nadar que sea chica.

En primer lugar construiremos la tabla de contingencia correspondiente:

Sabe nadar No Sabe nadar

a) P(chico y sabe nadar) =

c) P(sabe nadar/chico) =

8 . 44

8 . 19

Chico 8 11 19

Chica 12 13 25

20 24 44

b) P(chica y no sabe nadar) =

d) P(chica/sabe nadar) =

13 . 44

12 . 20

Actividad 29.En un instituto hay 460 alumnas y alumnos. Se sabe que el 40% son chicos y el resto chicas. La probabilidad de aprobar matemáticas para un chico es del 75% y el número de chicas que suspenden matemáticas es de 69. Si elegimos una persona al azar ¿qué probabilidad hay de que sea chica? ¿Cuántos chicos aprueban matemáticas?

253

Actividad 30.En un instituto el alumnado se matricula de un idioma, inglés o francés. El número total de alumnos y alumnas es de 600. Se sabe que 20 de los chicos no estudian inglés y 240 de las 300 chicas estudian inglés. a) Construye la tabla de contingencia. b) Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar, estudie francés y sea chica. c) Elegida una persona que estudia inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico? d) Elegida una chica al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie francés?

Actividad 31.En una biblioteca municipal hay 100 lectores habituales. De las fichas de los libros solicitados se han obtenido los resultados siguientes: H Lee literatura clásica No lee literatura clásica

M 30

40

55

100

a) Calcula la probabilidad de que elegida una mujer al azar no lea literatura clásica. b) Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar sea mujer y lea literatura clásica. c) Probabilidad de que elegida una persona al azar no leyendo literatura clásica sea hombre.

Actividad 32.Un aspirante a entrar en una empresa ha de pasar 2 pruebas. Se sabe que la probabilidad de superar la primera prueba es de 0,8 y de que supere la segunda habiendo superado la primera es de 0,7. Calcula la probabilidad de que sea elegido.

254

Actividad 33.En un hospital se ha descubierto una nueva vacuna para curar cierta enfermedad. Se sabe que:

Vacunados No vacunados

Curados 70 14 84

No curados 23 52 75

93 66 159

Elegida una persona al azar, calcula las probabilidades siguientes: a) b) c) d)

Que se haya curado. Que no se haya curado. Que habiéndose curado haya sido vacunado. No habiéndose vacunado se haya curado.

Actividad 34.Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de que: a) La diferencia entre las puntuaciones obtenidas sea 2. b) La suma de las puntuaciones sea 6 sabiendo que su diferencia es 2.

Actividad 35.Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de que: c) La suma de las puntuaciones obtenidas sea 8. d) La diferencia entre las puntuaciones sea 2 sabiendo que su suma ha sido 8.

Actividad 36.Dos hermanos se encuentran entre los 15 preseleccionadas para formar un equipo de baloncesto. Calcula la probabilidad de que el hermano mayor forme parte del quinteto titular sabiendo que el menor ya forma parte del mismo.

255

Actividades de refuerzo 1.- En el lanzamiento de un dado, se consideran los sucesos siguientes: A = {salir puntuación par} B = {ser un número múltiplo de 3} C = {Puntuación igual o superior a 4} Calcula la probabilidad de los sucesos siguientes: a) b) c) d)

e)

P( A ) P(A∪B) P(A∩C) P A∪C

( ) P (A ∩ B) Sol a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 5/6

2.- Se saca al azar una carta de una baraja española de 40 cartas. Calcula las probabilidades siguientes: a) b) c) d)

De que sea el caballo de bastos. De que sea oros o copas. De que sea figura o copas. De que sea rey o caballo. Sol a) 1/40 b) 20/40 c) 19/40 d) 8/40

3.- En una urna hay 4 bolas rojas y 5 bolas blancas. Calcula la probabilidad de que extraídas dos bolas al azar las dos sean rojas. a) Sin devolución.

b) Con devolución. Sol a) 3/5 b) 14/25

4.- Dos tiradores hacen un disparo cada uno. La probabilidad de acertar el primero es de 0,7 y la del segundo 0,5. Halla la probabilidad de que acierte alguno. Sol 0,85 5.-B En una reunión hay 8 mujeres y 8 hombres. Si se escogen dos personas Sol 7/15 al azar, calcula la probabilidad de que sean del mismo sexo.

256 6.- Lanzamos al aire una moneda trucada. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara si se sabe que la de cruz es tres veces la de cara? Sol 1/4 7.- Lanzamos un dado lastrado, de manera que la probabilidad de que obtengamos un número es proporcional a dicho número. Halla la probabilidad de obtener una puntuación múltiplo de 3. Sol 3/7 8.- En una bolsa hay 5 bolas blancas y 4 negras. Se extraen dos bolas sin devolución. Si la primera bola es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea blanca? Sol 1/2 9.- Una urna contiene bolas numeradas del 1 al 9. Se considera el experimento consistente en extraer una bola y anotar su número. Consideramos los sucesos siguientes: A = {salir puntuación par} B = {salir puntuación múltiplo de 3} C = {salir puntuación superior a 5} Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea par o múltiplo de 3 o con puntuación superior a 5. Sol a) 4/9 b) 1/3 c) 5/9 10.-B Se lanzan al aire tres monedas. Calcula la probabilidad de que el resultado sea: a) b) c) d)

Dos caras y una cruz. Las dos primeras caras y la última cruz. Una cara y dos cruces. Alguna cara. Sol a) 3/8 b) 1/8 c) 3/8 d) 7/8

11.-B Se elige al azar uno de los 50 primeros números naturales. a) Calcula la probabilidad de que el número elegido sea múltiplo de 5. b) Sabiendo que el número elegido es múltiplo de 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea cuadrado perfecto? Sol a) 1/5 b) 1/8 12.- Calcula la probabilidad de que dos personas que acceden juntas a un edificio de siete plantas vayan a la misma planta. Sol 1/7

257 13.- Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados. a) La suma sea igual o mayor que 8. b) La suma sea inferior a 4. c) En el primer dado se obtenga una puntuación par y en el segundo una puntuación menor o igual a dos. d) La diferencia de las puntuaciones sea tres. e) Sabiendo que la diferencia entre las puntuaciones es tres, su suma sea 7. Sol a) 1/5 b) 1/12 c) 1/12 d) 1/6 e) 1/3 14.- De una baraja española se extrae una carta. Calcula la probabilidad de que: a) Sea el caballo de bastos. b) Un caballo o una figura. Sol a) 1/40 b) 12/40 15.-B En una urna hay 6 bolas: 4 blancas y 2 rojas. Se extraen las 6 bolas una a una. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos rojas sean las últimas? Sol 48/720 16.- En un dado lastrado se sabe que la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número. a) Halla la probabilidad de obtener una puntuación impar. b) Halla la probabilidad de obtener un 5 sabiendo que salió una puntuación impar. Sol k=1/21 a) 9/21 b) 5/9 17.-B Dos hermanos se encuentran entre los 15 preseleccionadas para formar un equipo de balonmano. a) Calcula la probabilidad de que los dos hermanos formen parte del equipo titular. b) Calcula la probabilidad de que el hermano mayor forme parte del equipo titular sabiendo que el menor ya forma parte del mismo. Sol a) 286/3003 b) 286/1001 18.- Se lanzan tres dados. Calcula las probabilidades siguientes: a) Que la suma sea 15.

b) Que la suma sea múltiplo de 5. Sol a) 10/216 b) 43/216

258

Tema 1 A2 I, Q, Z, Q, Z, Z, Z, , Q, N, I, I, Q, Q A3 5 ⋅ 10 −11 , 22 ⋅ 10 −10 , 5,98 ⋅ 10 24 , 2,45 ⋅ 10 21 , 3,84 ⋅ 10 −8 , 1,5 ⋅ 1011 , 7,35 ⋅ 10 22 , 1,99 ⋅ 10 30 , 6,96 ⋅ 10 8 , 3 ⋅ 10 5 , 8,8 ⋅ 10 3 , 6,5 ⋅ 10 7 , 10-7 A4 81,36; 332775,9 A5 9,46 · 1012 km A6 15 ·1018; 2; 15,6 · 10−7; 0,1; 6 · 1050; 0,6 A7 8,2 · 109; 247,6 · 1018; 26,2 · 10−4; 31,4 · 1030; 1.9 · 1025; 23,8 · 10−32 A8 58/25 ; 2; 3092/99; 223/40; 97447/3300; 380890/999; 3; 5111/900; irracional A9 12; 10; 14; 12; 26; 15 A10 3 2 ; 10 ; 6 6 ; 4 3 9 ; 4 2 ; 3 10 ; 5 15 ; 5 3 3 A11 5 5 < 4 32 3 60 > 10 4 4000 < 65 A12 30; 12 3 ; 5; 4 8 ; 18; 6 3 4 ; 3 2 3 3 8/3; ; 72; 16 6 ; 10 2 ; 30 4 2 ; 5/2; A13 22 6 22 33 ; 32 6 23 3 ; 2 3 25 26 5 ; −8 3 ; 3 2 − 2 3 ; 7 3 ; 5 ; 3 11 ; 7 3 3 ; 5 6 25 ; 6 3 A14 − 3 3 5 1 3; 6+2 3 ; 3− 2 − 3 2 A15 2 ; 3 6

(

)

Tema 2 A1 2x, 3x=18, 2x-x/5, 2x-y A2 x² , 2πx, 4x, 1/3πx² A3 Si, No, No, Si, Si A4 Si 5, sí 4, No, Si 312, Si 0 A5 3, -2, 5, -1; 3, 0, 1, -1; 2, 3; 2, 0, -4 A7 a=2 b=-2 c=-1 A8 4x³-3x²+7x+2; 4x³-5x²-2; 8x4+6x³+x²+13x-3; 13x³+15x²16x+11; x³-9x²+14x-2 ; -12x6-7x5+5x4-43x³+29x²-27x+5; 7x³+5x²-7x+2; 16x6-28x5-36x4+15x³-72x²+2x+3; 8x³+36x²+54x+27; 9x6+36x5-6x460x³+97x²-56x+16 A9 x³+x²-x A10 Q(x)= 3x-15 R(x)= 44x²-3x+19; Q(x)= 4x-10 R(x)= 29x+9; Q(x)= 4x-15 R(x)= 36x²-28x+46 A12 Q(x)=4/3x+2/9 R(x)=-83/9x-5/3; Q(x)=5/2x+27/4 R(x)=41/4x²-49/2x+39/4; Q(x)=x-10/3 R(x)=59/3x-1/3 A13 Q(x)=7/4x-1/2 R(x)=35/4x²-17/4x+5/2; Q(x)=2/3x²+4/3x-25/9 R(x)=8/3x²+65/9x-116/9 A14 Q(x)=4x+1 R(x)=-4; Q(x)=3x³+7x²+35x+138 R(x)=565; Q(x)=2x²-x+2 R(x)=0; Q(x)=x+3 R(x)=2; Q(x)=x²+2/3x+16/9 R(x)=95/9 A15 k=4 A16 a=2 A17 B(2)=23 A18 5 A19 474; -2; 0 A20 m=14 A21 m=2 n=-1 A22 1; 1, 2, -2; 2, -3, -1; 2, 3, -3, -2 A23 x4-5x2+4 A24 3(x-1)(x-3)(x+2); x(x-5)(x+4)(x+3); (x+1)(x³+x²-7x-6); (2x+5)(x-1)(x+2)(x+1); x(x-1)(x+2)(x+1) A25 (x²-2x3)/(x²+4); (3x+1)/(x²-x-2) A26 (x+1)/(3(x-1)); (x+2)/((x-2)(x-1)); (49(x+1)(x+2))/(x-1)² A27 (3x³-2x²+6)/((x+2)x(x-2)); (-x³+6x²+3x-2)/(x(x1)(x+1)) A28 ((x²-2x+5)(x+2))/((x+1)(2x-3)) A29 b=-5, a=8

259

Tema 3 A1 11/6; 14/27; 3/10; -8; 86/31 A2 {0, 17/13}; {-4/5}; {2/5, 1}; {-4+2√6, 4-2√6}; {-1, 3} A3 {3}; {0}; {-1;2}; {5}; {1, 2}; {1; 2; 3}; A4 9 A5 x=47/37 y=22/37 A6 y=-190/137, x=224/137 A7 y=2, x=14 A8 y=145 x=365 A9 y=60, x=40 A10 b=3/2, a=-1/2 A11 z=1, x=2/5, y=7/5 A12 x=36/11, z=72/11, y=24/11 A13 y=19/23, z=-52/23, x=44/23 A14 {y=21, z=25, x=93} A15 {y=3, z=4, x=2} A16 {z=6, y=6, x=6} A17 {p = 600; s = 1580; t = 820} A18 {x = 7 y = 2; x = 13 y = 1} A19 {x=0,y=-5} {y=3,x=-4} A20 {y=√2, x=√2} {y=-√2, x=-√2} A21 {y=3, x=2} A22 {y=35, x=45} A23 {y=8, x=17} A24 {y=3, x=4},{y=4, x=3} A25 {x=-5, y=-14}, {x=7, y=10} A26 x≤?; x>100; x<7; x≥y; x
(5/6)}∪{(1/3)
;

A33 {x<388} A34

;

A35 x mon y se

Tema 4 y 10

5 0 -5

-2.5

0 -5

2.5

5 x

A1 A2 {x≤-1}∪{4≤x}; R; R-{2}; {-1≤x<3}∪{4≤x}; R-{-2;1;3} A3 Cont. ; Cont; Discont en -1 , 2; A4 de M a J ; de L a M i de J a D. A5 en [20,30] [40,70] [100,140];  en [30,40] [70,100] [140,160]; Cont; Dom [20,160] A6 en [0,1] [2,3] [4,5] [6,7]  en [1,2] [3,4] [5,6] [7,8] ; Máx rel en: x=1, x=3, x=5, x=7 Máx abs en x=3 mín rel x=0, x=2, x=4, x=6, x=8 mín abs x=2, x=4, x=8; Cont A7 en [9:00,10:30] [12:30,12:45]  en [10:30,11:00] [12:45,13:00] const [8:00,9:00] [11:00,12:30] [13:00,14:00]; Máx en x=10:30 x=12:45 abs en x=10:30 mín abs en 14:30; cont A8 no sim; sim resp OY; no sim; no sim; no sim; no sim; sim resp (0; 0) A9 x→-∞ ⇒y→+∞ x→+∞ ⇒y→+∞; x→-∞ ⇒y→-∞ x→+∞ ⇒y→3; x→-∞ ⇒y→2 x→+∞ ⇒y→-1 A10 x→+∞ ⇒y→180º A11 a) Dom= R Im= {1,-1} discont en x=0, sim resp (0;0), el valor Máximo és 1, i el mínimo −1; x→-∞ ⇒y→1 x→+∞ ⇒y→-1 ; b) Dom= R Im= [0,+∞), cont, Sim resp OY, mín en x=0, x→-∞ ⇒y→+∞ x→+∞ ⇒y→+∞; c) Dom=R Im=R=(-∞,+∞), cont, Sim resp (0;0), x→-∞ ⇒y→-∞ x→+∞ ⇒y→+∞ d) Dom= R Im= (-∞,3); Cont, No Sim. Máx en x=0 x=5 mín en x=3 x→-∞ -10

15

260 ⇒y→-∞ x→+∞ ⇒y→0 e) Dom= (0,+∞) Im= (-∞,2], Cont. No Sim, Máx en x=4, x→0- ⇒y→-∞ x→+∞ ⇒y→0 A12 Dom f=(-∞,-4.5]∪[-3,1) ∪ (1,+∞) Im f=(-∞,6], en (-1;7)  en (-3,-1) ∪ (7,+∞) , Const en (-∞;-4,5] mín (-1; -4) Máx (7; 6) y=f(8)=5 4=f(x)⇒x=6 Discont en x=-4,5; x=-3;

x=1; x=6

x→-∞ ⇒y→5 x→+∞ ⇒y→-∞ A13 a)

b)

c) A14 A15 A16 5/4 A17 -9/5 A18 A19 y=2x A20 y=-x-2 A22 y=1/5 x-3/5 A23 y=-1/4 x+4 A24 y=4x+10 y

30

20

10

A25 y=15+21x ;67,5€; 2h:45min A26 40 min 15 km A27 a, b, c A28 A29 y=-5x²+10x-3 A30 a=√3 b²/4 A31 a=b (60-b) A32 B(x)=I(x)-D(x)=-x²+4x+4 b) B(10)=-56 c) 8 A33 y=2/3 x²-x+1/3 A34 dir propor; inver propor; no propor; direc. propor.; inver. propor. A36 h=5/b A37 v=60/t A38 I=4,5/R 2,25 A39 P=20/V 2,5 A40 y=2x-1 A41 A42 0

5

-2.5

3x+1

0

2.5

127173474825648610542883299603

A43

100·1,015³=104.57

y=100·1,015 A44 1331; x=7,2725 A45 x=±3 x=-8/5 x=-1±√13 x=3 x=0 x=3 A46 a) x=ln3/ln2 x=2 b) x=ln6/ln2 x=1 c) x=1 d) x=-1 x=0 A47 a) x=9/4 y=7/4 b) y=1 x=1 c) x=2 y=2 d) x=1 y=3 e) y=4/5 x=8/5 A48 a) x=4√2 x=-4√(2) b) x=3 c) x=-4 d) x=10000 A49 A50 a) 3logax+2logay b) 1/3 2logax-logay c) 4 (3logax-2logay) A51 a) 3 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 0; 1 f) no solution g) x=-2 A52 a) (1; 1) b) (100; 1) c) (100; 1) d) (1;1) x

Tema 5 A4 r=1,5; A6; a) 2,4 m b) b=4 m c=3 m A7 a) c=30cm b=40cm a=50cm b) no c) 1:e e>=15 A8 10 m A9 26,46 km A10 13 km; 4,615 km A20 sí; b) 1,5 c) p=20cm P=30cm d) d=7,21cm D=10,82cm e) P/p=r f) D/d=r g) a=24cm2 A=54cm2 h) A/a=r2

Tema 6 A10 hip= 20 m a=96 m2 A11 15,08 m A12 3,41 A13 105,45º 74,55º A15 R= 15,68 cm r=14,49cm A16 54,95 A17 long=35,09dm alt=32,97dm A18 dist = 373,21m A19 41,5 m 58,5m; 65,25º 53,82º A20 4 m 53,13º 36,87º A21 1,6 m 61,93º 28,07º A22 h = 40,98 m A23 h = 79,88 m

261

Tema 7

A1 + - - +, + + - -, + - + - A2 0 1 0 -1; 1 0 -1 0; 0 ∃ 0 ∃ A3 5 5 2 5 5 1/2 5 5 2 2; 2 5 5 − 5 5 -2 5 2 − 5 -1/2; -3/7 − 2 10 7 3 10 20 -7/3 − 7 10 20 2 10 3 ;

− 4 3 7 1/7 −4 3 − 7 3 12 7 − 3 12 A5 sí A6 sí A7 no A8 1 sin θ

A9 180-70=110º A10 360-39=321º A11 70 A13 Dom = ]-∞; +∞[ Im = [1; 1] T=360º ; Par; continua; máx (0+k360;1); min (180+k360;-1); (90º+k180; 0) (0;1) A14 Dom = ]-∞; +∞[-{90º+k180} Im = ]-∞; +∞[ T=180º ; Impar; discontinua en {90º+k180}; (0º+k180; 0) A15 Dom = ]-∞; +∞[ Im = [-1; 1] T=180º ; Impar; continua; máx (45+k180;1); min (135+k180;-1); (0º+k90; 0) A16 Dom = ]-∞; +∞[ Im = [-1; 1] T=720º ; Impar; continua; máx (180+k720;1); min (540+k720;-1); (0+k360; 0) A17 Dom = [-1; 1] Im = [-90; 90] ; Impar; continua; máx (1;90º); min (-1;-90º); (0; 0) A18 Dom = [-1; 1] Im = [0; 180] ; continua; máx (-1;180º); min (1;0º); (0; 90º) A19 Dom = ]-∞; +∞[ Im = ]-90; 90[ ; Impar; continua; (0; 0) A21 -570; -330; -210; 30 A22 -135; 135; 225; 495; 585 A23 135+180k, k∈Z A24 45+180k, k∈Z A26 -60+k*180=2x+30, -45+k*90, k∈Z

Tema 8 A2 discreta discreta cualitativa cualitativa discreta cualitativa continua discreta cualitativa continua A8 28; 57,14% ; 7; 0,179 A9 20; no; 1/10 4 20 4 1/5 20 1/5 20 2 10 1/10 10 1 1/20 1 5 A11 a)40; b)29; d) no se sabe A15 63,058 A17 b) 3,5665; 3 c) no A18 41,5 A19 a) no b) no c) mujeres A20 2867,2727 ; 2872,7679; 3320 A21 4,9286; 5; 4; 3; 4; 6; 57,14%; [4,6] A22 71,5385; 70; 108,75; 36; 106,66; 30,8; 102,33; 26,9%; 57,7% A23 105,44; 105,68; 105,83; 111,46; 107,72; 95,94; 84,44%; [98,75;113,33] A24 A; C A25 c) 7,4545; 7,4545 d) no e) 2 ; 5 f) 0,5785; 1,5868 g) X más regular A26 c) 15 d) 2,111 e) el primer grupo A27 c) 5,1666 ; 5,2666 d) 5; 5 e) 2 y 3; 5 f) 53,3% ; 66,6% g) mat 4; 8; 7 lengua 5; 6; 6 h) 2,53555; 1,6888 A28 c) 3 d) 3 e) 2 y 5 f) 1,48 g) 3,08 A29 A-4; B-1; C-3; D-2 A30 c) x =1,125; Me=0; Mo=0; dm=1,1719; V=2,1094; σ=1,4524 A32 3,7308; 1,3121; 2,6198; 1,6186 A33 el nuevo centro A34 41,268%

262

Tema 9 1 3 1 2 1 3 1 10 1 1 4 1 = b) = d) b) = c) = d) = A4 a) c) 6 6 2 6 3 6 2 40 4 40 40 10 12 3 13 = e) A5 El más probable el blanco y el menos el azul. A6 a) 40 10 40 6 1 2 1 3 1 5 1 3 3 c) c) d) 7 A7 a) A8 2/7 1/7 = b) = = = b) 36 6 36 18 36 12 10 2 10 10 A9 A = {2, 4, 6} A ∪ B = {2, 4} A ∪ B = {1, 3, 5, 6} A ∩ B = {3} A3 a)

A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6} A ∩ B = {6} A10 1/6 A11 1/2470 45/988 300/741 A12 1/3 4/45 4/9 A13 3/4 19/40 1/7 A14 5/33 35/66 1/11 10/11 A15 3/8 A16 1/4 A17 36/125 27/125 98/125 A18 65/213 320/639 A19 1/2 A20 1/5 A21 1/10! A22 4/5 83/105 A23 2/7 A24 0,784 A25 10/39 A26 1/6 A27 22/49 A28 1/216 1/36 A29 69/115 138 A30 1/10 7/13 1/5 A31 5/11 3/10 7/12 .A32 0,56 A33 28/53 25/53 5/6 7/11 A34 2/9 1/4 A35 5 2 A36 2/7 36 5

Índice Tema 1: Números Reales Notación científica Números racionales Números irracionales Racionalización: Actividades de refuerzo

5 6 9 10 16 17

Tema 2: Polinomios Operaciones con polinomios La división de polinomios Actividades de refuerzo

19 22 24 38

Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales El método de sustitución El método de igualación El método de reducción o de Gauss Sistemas no lineales Inecuaciones y sistemas de inecuaciones Intervalo Sistemas de inecuaciones con una incógnita Inecuaciones de segundo grado Sistemas de inecuaciones lineales Actividades de refuerzo

41 41 49 49 51 53 63 66 67 69 71 74 76

Tema 4: Funciones Dominio de la función Recorrido o imagen de una función Continuidad de una función Crecimiento y decrecimiento de una función Máximos y mínimos de una función Simetrías Tendencia Periodicidad Función afín Función cuadrática Función de proporcionalidad inversa

79 80 82 83 85 86 88 90 93 96 103 108

Función exponencial Ecuaciones exponenciales Sistemas de ecuaciones exponenciales Función logarítmica Aplicación de las propiedades de los logaritmos Actividades de refuerzo

111 115 117 118 122 125

Tema 5: Semejanza Teorema del cateto Teorema de la altura Teorema de Pitágoras Teorema de Thales Actividades de refuerzo

131 136 137 137 140 148

Tema 6: Trigonometría Razones trigonométricas Razones trigonométricas recíprocas Aplicaciones Actividades de refuerzo

149 151 155 157 163

Tema 7: Funciones trigonométricas Relación entre sen(α) y el cos(α) Ángulos complementarios, suplementarios, que se diferencian en 180º grados, opuestos, que se diferencian en 90º grados Ecuaciones trigonométricas Actividades de refuerzo

165 167

Tema 8: Estadística Tablas y gráficos estadísticos Parámetros estadísticos Medidas de dispersión Actividades de refuerzo

191 191 202 217 226

Tema 9: Probabilidad Combinatoria Probabilidad de la unión e intersección de sucesos Probabilidad condicionada Tablas de contingencia o de doble entrada Actividades de refuerzo

229 234 240 249 249 255

171 183 189