Penyelesaian Masalah
1.1 Pembuktian bahwa f (x - vt) adalah gelombang progresif bergerak kearah x positif dengan profio yang tidak berubah ! Sebuah sistem koordinat s´ bergerak ke kanan dengan gangguan pada kecepatan v, seperti pada Gambar. 1-1. Pada t = 0, dua sistem s dan s´ tumpang tindih dan sebagainya x' = x - vt. Di s´ fungsi gelombang independen waktu. Oleh karena itu, di s´ profil ini tidak berubah dan fungsi gelombang diberikan oleh, (x, t) = f (x ') = F (x – v v t).
1.2 Tunjukkan bahwa
(x, t) = f (x + vt) vt)
merupakan solusi solusi dari
diferensial satu dimensi persamaan gelombang !
, , = = = = ∓ = = ∓ = ∓ ∓ = ′ ∓ = = = = = dan
=
sedangkan
=
atau 1.3 Jika
=
=
(x,t) dan
(x,t) merupakan solusi dari persamaan gelombang
diferensial. Buktikan bahwa solusi.
=
(x, t) +
(x, t) juga merupakan
dan
+
Hasil di atas adalah prinsip superposisi untuk persamaan gelombang satu dimensi. Oleh karena itu:
, , =
1.4 Tulis ungkapan untuk gelombang progresif sesuai bergerak dengan kecepatan 2 m/s untuk meningkatkan arah y. a. Cukup ganti y dengan y + vt, atau, dalam kasus ini, oleh y - 2t. Karenanya :
, , = 223 1
b. gambarkanlah gelombangnya :
1.5
, = −+ , = −+
adalah gelombang progresif . berikut bukti perumusan matematikanya :
, = −+/
a.
dapat ditulis : yang mana merupakan fungsi dari z + vt , dengan v = 3/2. Dengan demikian, mewakili kecepatan sebesar 3/2 pada arah z negatif. b. Periksalah bahwa itu merupakan persamaan gelombang !
= 8 −+/ , =[8 ]8 =[8 ], =[8 ]83/2 Dan persamaan gelombang menjadi :
] 8= 3/2{[8 3/2]
{[-8(z + 3t/2)
8}
dimana v = 3/2
1.6 Perhatikan bahwa untuk sebuah gelombang harmonik yang bersifat berulang di ruang,
2/
, = ±,
, membutuhkan bahwa
=
.
Kita tahu bahwa fungsi pengulangan sinus sendiri ketika perbedaan
2 sin =sin[± ] =sin[ ±2] || = 2 =2/ , =cos =0 = /4 =/2 = 0 ,0 =cos = = = ,, =cos = = = ,, =
meningkat atau menurun dari
.
Jadi
Persamaan kedua didapat adalah positif,
, atau karena kedua
.
1.7 Sketsa gelombang , dan
Saat
pada saat
.
,
Saat Saat
Lihat gambar 1-4
atau
.
,
1.8 Panjang gelombang dari cahaya umumnya diukur dalam satuan nanometer
1 = 10−
. Contohnya, kuning, yang hanya spektrum
tengah, memiliki panjang gelombang kurang lebih 580 nm. Bandingkan ini dengan ketebalan dari rambut manusia (dari kepala), yang kurang lebih
4×10− 4×10−− = 69 580×10 mm.
Enam puluh sembilan gelombang tiap ketebalan dari sehelai rambut. Cahaya, meskipun menit dalam panjang gelombang, masih tidak jauh dari sesuatu yang kita gunakan untuk berurusan dengan. 1.9 Rentang cahaya dalam panjang gelombang kira-kira dari violet sekitar 390 nm untuk merah sekitar 780 nm. Kecepatan dalam ruang hampa
3×10 = × / =7,7×10− = × / =3,8×10− = × × m/s,
seperti
yang
terjadi
untuk
semua
gelombang
elektromagnetik. Tentukan rentang frekuensi yang sesuai.
Sejak
,
dan
Satuan kedua terbalik atau putaran perdetik. Saat ini salah satu kegunaan satuan
hertz ,
disingkat Hz, bukan cps. Rentang frekuensi kemudian dari 380
THz ke 770 THz (1 terahertz = 1.10
10 = 1
).
Buktikan fungsi gelombang harmonik ψ(x,t)=A sin 〖(kx-ωt)
merupakan solusi untuk persamaan diferensial gelombang satu dimensi. Berikut persamaan gelombangnya :
Sekarang
= 1 = cos , = sin =
= cos , = sin = = ) Oleh karena itu, dengan syarat = =, yang kita tahu seperti contoh Sedangkan
,
adalah sebuah solusi.
1.11
Buktikan bahwa gelombang harmonik berjalan dapat dijelaskan
alternatif dari:
= sin2 ∓ = sin2 ∓ = sin2∓, =1/ =sin∓ =2/ =sin2 ∓ ==1/ =sin2( ∓ )=sin2 ∓ = =1 =1/ =1/ dimana
(a) Dimulai dengan
, menggunakan
untuk
memperoleh Tapi
.
(b) Dari jawaban (a):
Karena
dan
(c) Subtitusi
1.12
.
dan
pada jawaban (a).
Fungsi gelombang untuk gelombang cahaya adalah
, = 10 3 10 9 10
Tentukan a) kecepatan , b) panjang gelombang, c) frekuensi, d) periode, d) amplitude Penyelesaian : a)
, = , = 10 3 10 3 10 ℎ = 3 10 . = 3 10 −./ℎ ℎ ƛ= = 666 . = ƛ = = 4.5 10 = = . = 2.2 10−
b) Berdasarkan persamaan (a),
c) d)
e) Berdasarkan persamaan (a),
1.13
=
Gambar gelombang
, = , : = 0, = 2 , = . ,0 = sin .
Jika, t = 0, menunjukkan interval sumbu x adalah ƛ/4,sehingga diperoleh gambar dibawah ini gambar 1 -5.
Jika kita menggambarkan gelombang sepanjang tali yang dihasilkan oleh tangan pada x=0, perpindahan awalnya (t=0) menjadi ke bawah dari nol ke dank e atas dari nol untuk .
1.14
=
, =cos , = , = , = .?
Berapakah besar fungsi gelombang
, 0,0 = 00 = , = = 0, 4 = 0 2 = 0 , 0, = 0 = (0, 34) = (0 32 ) = 0 0, = 0 2 = dimana x = 0 ketika t = 0, t =
sehingga didapatkan,
Selain itu,
dan
1.15 Dengan menguji fasenya, tentukan arah gerakan dari gelombang berjalan yang diwakili oleh :
, = cos2 , , =cos10 , Mengingat bahwa kondisi fase pada saat konstan yaitu :
= 2 ( )=
Seharusnya y akan menurun, karena t dalam positif dan naik. Sehingga untuk membuat konstan,gelombang harus bergerak pada arah y negatif. Sama halnya dengan ,gelombang yang bergerak naik atau pada arah z positif. Tanda menandakan penyimpang dari arah gerakan.
, = 10 sin 3 × 10 9 × 10 , 0 = = ( ) = ( ) − × = () = × = 3 ×10 /
1.16
Dari fakta bahwa v =
, hitunglah kecepatan gelombang
dan bandingkan jawabanmu dengan soal 1.12,menggunakan satuan SI. Kondisi = konstan akan sama dengan
Karena itu,
mengingat
v disini dalam jumlah yang positif. 1.17 Dituliskan tanda untuk bentuk (t = 0) dari gelombang harmonik
= 0 =10 =20 = ,=0 = 0 ,,0 =sin. 0,0 = = 10 /6,0 =sin3 =20 5/12,0 =sin56 =0 10sin3 =20 sin sin 3 coscos 3 sin=2 sin sin/3 = 1 tan= 2cos/3 √3
berjalan pada arah + demikian pula pada ,
Karena
Yang mana
; pada
; dan pada
Subtitusi datanya sehingga:
Kombinasikan persamaan pertama dan kedua
Atau
,
=
= /6 ,0 =20sin /6 , = Δ, Δ Δ Δ Δ Δ [ Δ] = ΔΔ =
Dengan demikian
radian dan A= 20 karena itu
1.18 Untuk gelombang yang bentuknya tidak berubah penyebarannya pada arah x positif dengan kecepatan v, kita misalkan . ( Ini hanya menjelaskan point pada gelombang yang mempunyai fase akan bergerak dengan jarak pada waktu . Ini menunjukan fungsi gelombang cocok untuk kondisi ini. Subtitusikan untuk , dan untuk t, Persaamaan gelombang tadi menjadi :
